СодержаниеВведениеМежсимвольная интерференция и формирующий фильтрФормирующий фильтр Найквиста для устранения МСИФизически-реализуемый формирующий фильтр «приподнятого косинуса»Формирующий фильтр для согласованного приема сигналов. Фильтр «корень

из приподнятого косинуса»Использование формирующего фильтра Найквиста для BPSK сигналаПреимущества и недостатки использования формирующего фильтра

НайквистаВыводы

ВведениеПри передаче данных по радиоканалу очень остро встает необходимость

сужения спектра сигналов. В предыдущей статье мы рассмотрели BPSK модуляцию и приводили спектр BPSK сигнала. Однако на практике в эфире увидеть подобный спектр с множеством боковых лепестков вряд ли удастся, поскольку эфир - он один на всех, и размножать боковые лепестки спектра это дорогое удовольствие. В данной статье мы рассмотрим пути сужения полосы BPSK сигнала при помощи формирующих фильтров. Мы уже сужали спектр GMSK сигнала при помощи гауссова фильтра, и говорили о том, что при этом возникает межсимвольная интерференция. В данной статье мы более внимательно рассмотрим этот эффект и научимся так сужать спектр сигнала, чтобы исключить негативное влияние межсимвольной интерференции.

Межсимвольная интерференция и формирующий фильтрПри рассмотрении BPSK сигналов мы говорили о том, что в качестве

исходного модулирующего сигнала выступает последовательность прямоугольных

биполярных импульсов  , причем импульс положительной амплитуды соответствует передаваемой единице, а отрицательный — нулю, как это показано на рисунке 1 для входного битового потока «10110100...».

Рисунок 1: Последовательность биполярных импульсов

Однако такой модулирующий сигнал является идеальным и обладает спектром, с очень низкой скоростью затухания боковых лепестков. Спектр BPSK

сигнала на основе модулирующего сигнала   показан на рисунке 2, обладает

шириной главного лепестка  ( где   – скорость передачи цифровой

информации (бит/c)), уровнем максимального бокового лепестка -13 дБ, и

скоростью затухания боковых лепестков как  .

Рисунок 2: Спектр BPSK сигнала

Если же мы ограничим полосу исходного модулирующего сигнала, это в свою очередь приведет к более компактному спектру BPSK, но в результате фронты импульсов расширятся и получим следующую картину (рисунок 3).

Рисунок 3: Межсимвольная интерференция при сглаживании фронта импульса

Сглаживание фронтов приводит к тому, что следующий и предыдущий импульсы начинают перекрываться во времени, и скачок переходит в непрерывную кривую. При сглаживании предыдущий импульс начинает влиять на следующий, а следующий на предыдущий и оба искажаются (заштрихованная область на рисунке 3). Этот эффект называется межсимвольной интерференцией (МСИ, в англоязычной литературе intersymbol interference ISI ), он ухудшает качество

передачи информации, но позволяет более компактно представить сигнал в частотной области.

Мы уже прибегали к сглаживанию импульсов, когда рассматривали GMSK модуляцию. Для того чтобы произвести сглаживание фронтов импульсов необходимо ограничить полосу, другими словами произвести фильтрацию. Тогда

исходный модулирующий сигнал   можно представить как выход

формирующего фильтра с импульсной характеристикой  . Фильтр   должен возбуждаться сигналом соответствующим передаваемой информации как это показано на рисунке 4.

Рисунок 4: Формирующий фильтр, возбуждаемый импульсами передаваемой информации

Поясним. Сигнал   – набор дельта-импульсов, отнесенных к центру информационного импульса, отстоящих на длительность информационного

импульса   (верхний график, серым показана исходная информационная последовательность бит):

(1)

где  , если  – ый информационный бит равен 1 и  , если   – ый

информационный бит равен 0. Тогда пропустив сигнал   через фильтр с

импульсной характеристикой  , получим модулирующий сигнал  , как

свертку   и :

(2)

Подставив (1) в (2), поменяв местами интегрирование и суммирование и применив фильтрующее свойство дельта-функции получим:

(3)

Таким образом,   полностью определяется импульсной

характеристикой   и передаваемой информацией. Это очень важно, поскольку

в случае с BPSK   полностью определяет спектральные характеристики радиосигнала (напомним, что BPSK является вырожденным видом модуляции, совпадающим с балансной АМ). Значит вывод который мы должны сделать

следующий: меняя импульсную характеристику   формирующего фильтра мы можем сужать или расширять полосу BPSK сигнала.

Формирующий фильтр Найквиста для устранения МСИВ данном параграфе мы рассмотрим какими свойствами должна

обладать  , чтобы обеспечить минимальную ширину полосы передаваемого

сигнала. Для начала рассмотрим более внимательно  . Сигнал   представляет собой последовательность дельта-импульсов, соответствующих бит

передаваемой информации и отстоящих друг от друга на интервал .

Тогда их можно трактовать как дискретные отсчеты сигнала  , взятые с

частотой  . При прохождении формирующего фильтра   очень важно,

чтобы   в моменты   (т. е. в узлах дискретизации) было равно

, как это показано на рисунке 5.

Рисунок 5: Исключение МСИ при декодировании

Тогда при демодуляции и декодировании можно исключить влияние МСИ, если производить оценку передаваемого бита точно в моменты

времени  , где   точно соответствует передаваемой информации для всех бит. Другими словами внося искажения в

исходный модулирующий сигнал   с целью сужения его полосы мы тем не менее, оставляем в определенные моменты времени его значения неизменными и

равными   (значениям передаваемой информации), чтобы на приемной стороне

в эти моменты декодировать   без искажений.

Рассмотрим какими свойствами должна обладать  ,

чтобы  . Исходя из (3) можно записать:

(4)

Тогда для исключения МСИ необходимо чтобы выполнялось равенство:

(5)

Из которого следует что   должна удовлетворять условию:

(6)

Графически условие (6) показано на рисунке 6.

Рисунок 6: Условия импульсной характеристики формирующего фильтра для исключения МСИ при декодировании

Разумеется можно подобрать бесконечное число импульсных

характеристик  , которые будут проходить через указанные точки, но нам нужна одна, которая будет при этом обеспечивать минимальную ширину полосы сформированного сигнала. Таковой импульсной характеристикой формирующего фильтра является

(7)

показанная на рисунке 7 (верхний график), которая соответствует идеальному ФНЧ

с полосой   (нижний график).

Рисунок 7: Импульсная характеристика идеального формирующего фильтра

Импульсная характеристика (7) является физически нереализуемой, ввиду

бесконечных «хвостов» затухающих во времени как  , но она позволяет

сформулировать теоретический предел передачи информации без МСИ. Так при

передаче по каналу связи цифровой информации со скоростью   без МСИ

требуется полоса  . Или как еще говорят, для передачи информации без МСИ требуется не менее 1 Гц полосы на 1 бит/с скорости передачи информации. Например в полосе 1 МГц без МСИ можно передать цифровой поток со скоростью не более 1 Мбит/c.

Сигнал на выходе формирующего фильтра можно представить как отклик формирующего фильтра на входные дельта-импульсы соответствующие входному битовому потоку, что наглядно показано на рисунке 8.

Рисунок 8: Формирующий фильтр как интерполятор

На верхнем графике рисунка 8 каждый символ информации   умножается на импульсную характеристику (7), тогда в узлах дискретизации импульсные характеристики от других информационных импульсов равны нулю и МСИ в

моменты взятия  отсутствует. По сути мы получили интерполятор в виде

идеального ФНЧ, который «соединяет»   плавной кривой, при этом сами  не искажает.

Физически-реализуемый формирующий фильтр «приподнятого косинуса»

Как мы уже говорили выше, импульсная характеристика (7) нереализуема.

Поэтому на практике бесконечную  приходится усекать по длительности, при этом формирующий фильтр перестает быть идеальным интерполятором. На

рисунке 9 показана усеченная импульсная характеристика   формирующего

фильтра в зависимости от нормированного времени  (  соответствует одному символу передаваемой информации). Импульсная

характеристика   усечена до 4-х символов передаваемой информации,

т. е.   при  . Также на рисунке 9 показан квадрат АЧХ 

формирующего фильтра соответствующего усеченной  . АЧХ строилась в

зависимости от нормированной частоты .

Рисунок 9: Усеченная импульсная характеристика и АЧХ формирующего фильтра

Как видно из рисунка 9 усечение импульсной характеристики приводит к появлению боковых лепестков в АЧХ формирующего фильтра. При этом уровень боковых лепестков получается очень высоким, а скорость спада очень низкой. Кроме того появляется неравномерность в полосе пропускания фильтра. Этот эффект называется эффектом Гиббса. Для его уменьшения Найквистом было предложено произвести сглаживание фронта АЧХ идеального фильтра, расширив

его, но в отличии от усечения  это расширение полосы фильтра можно сделать регулируемым, как это показано на рисунке 10.

Рисунок 10: Формирующий фильтр Найквиста при аппроксимации фронта АЧХ приподнятым косинусом

АЧХ фильтра становится кусочной и описывается выражением:

(8)

Вблизи фронта идеальная АЧХ аппроксимируется функцией приподнятого

косинуса. Параметр  , который изменяется от 0 до 1 задает интервал на котором

происходит аппроксимация. При   имеем идеальный ФНЧ, при   имеем формирующий фильтр с АЧХ в виде приподнятого косинуса:

(9)

Сглаживание фронта в частотной области согласно теореме о свертке соответствует умножению импульсной характеристики (7) на весовое окно:

(10)

На рисунке 11 показаны импульсные характеристики   фильтра

Найквиста при различном  , в зависимости от нормированного времени   

а также их АЧХ   в зависимости от нормированной частоты  .

Рисунок 11: Импульсная характеристика и АЧХ фильтра Найквиста

Из рисунка 11 видно, что   регулирует степень сглаживания фронта АЧХ идеального фильтра, что соответствует уровню боковых лепестков импульсной

характеристики  . При   АЧХ фильтра   принимает вид

приподнятого косинуса, а импульсная характеристика   имеет минимальные боковые лепестки. Можно заметить, что полоса фильтра Найквиста по уровню 0.5

(-3 дБ) остается постоянной и равна  .

Формирующий фильтр для согласованного приема сигналов. Фильтр «корень из приподнятого косинуса»

На рисунке 12 показана укрупненная схема системы передачи цифровой информации.

Рисунок 12: Укрупненная структурная схема системы передачи информации

На практике прием и декодирование, как правило осуществляется при

помощи согласованного фильтра  . предположим, что модулятор и передатчик, а также приемник и демодулятор идеальные, т.е. сигнал на входе

согласованного фильтра   равен сигналу на выходе формирующего

фильтра   (ниже будет понятно зачем обозначили другой буквой) плюс аддитивный белый гауссов шум (AWGN). Тогда общая частотная

характеристика   равна произведению . Для

исключения МСИ необходимо чтобы   удовлетворяла (8). При этом можно

заметить, что  должен быть согласован с исходным сигналом на выходе

формирующего фильтра  , что означает, что  (комплексно-сопряженная с формирующим фильтром). Тогда можно сказать,

что  , а .Давайте разбираться. При использовании согласованного фильтра для

декодирования, его частотная характеристика должна быть комплексно-сопряженной частотной характеристике формирующего фильтра. Тогда если частотная характеристика формирующего фильтра будет представлять собой корень из приподнятого косинуса, то каскад из формирующего и согласованного фильтра будет давать как раз фильтр Найквиста, который позволит устранить МСИ при декодировании.

На рисунке 13 показана импульсная характеристика и АЧХ фильтра

«приподнятого косинуса»  ,   (красный) и фильтра «корень из

приподнятого косинуса»   (синий) при  . Также показаны АЧХ

данных фильтров  и  в зависимости от нормированной

частоты  .

Рисунок 13: Импульсная характеристика и АЧХ фильтра корень из приподнятого косинуса

Можно заметить, что фильтр «корень из приподнятого косинуса» не удовлетворяет условию отсутствия МСИ (смотри рисунок 6), однако если поставить последовательно два таких фильтра, то МСИ устраняется.

Использование формирующего фильтра Найквиста для BPSK сигналаНа рисунке 14 приведена структурная схема BPSK модулятора с

использованием формирующего фильтра Найквиста. 

Рисунок 14: BPSK модулятор с использованием фильтра Найквиста

Поясняющие осциллограммы показаны на рисунке 15.

Рисунок 15: Поясняющие осциллограммы BPSK модулятора

На верхнем графике показан исходный битовый поток   в виде биполярных импульсов, соответствующих передаваемой информации со

скоростью  . Тактовый генератор формирует дельта-импульсы с

периодом  , но сдвинутые относительно фронтов   на полсимвола  . Таким образом тактовый генератор управляет ключом, который выбирает из

исходного сигнала   значения бит   передаваемой информации с

периодом   как это показано на третьем графике серыми стрелочками. Синим

показан сигнал   на выходе формирующего фильтра Найквиста с импульсной

характеристикой  . Сигнал   умножается на несущее колебание и

получается на выходе BPSK сигнал   с ограниченной полосой, полученный с использованием фильтра Найквиста. В результате использования фильтра Найквиста в BPSK сигнале меняется амплитуда во время смены информационных символов.

На рисунке 16 показаны осциллограммы BPSK сигнала при различных

параметрах фильтра Найквиста:   (верхний график) и  , фильтр приподнятого косинуса (нижний график). Скорость передачи данных при этом была равна 10 кГц и несущая частота 200 кГц.

Рисунок 16: Осциллограммы BPSK сигнала при различном параметре фильтра Найквиста

Видно, что при   амплитуда сигнала меняется в меньших пределах,

чем при  . Это также можно проиллюстрировать глазковыми диаграммами

сигнала   при различных параметрах  , показанных на рисунках 17-19.

Рисунок 17: Глазковая диаграмма

при 

Рисунок 18: Глазковая диаграмма

при 

Рисунок 19: Глазковая диаграмма при Рисунок 20: Спектр BPSK сигнала при различных параметрах формирующего

фильтра

На рисунке 20 показан спектр BPSK сигнала при ограничении полосы с

помощью фильтра Найквиста при различных параметрах  , а также спектр BPSK сигнала без использования формирующего фильтра (черный график). Можно заметить, что при ограничении спектра BPSK сигнала фильтром Найквиста

боковые лепестки полностью подавляются. При этом ширина спектра при   примерно равна ширине главного лепестка спектра BPSK сигнала без фильтра

Найквиста, т. е. при   имеем скорость передачи 0.5 бит/c на 1 Гц полосы, а

при   почти теоретический предел: 1 бит/c на 1 Гц полосы. При получаем промежуточное значение ширины полосы сигнала.

Преимущества и недостатки использования формирующего фильтра Найквиста

Главным преимуществом использования фильтра Найквиста является возможность сужения полосы сигнала вплоть до теоретического предела 1 бит/c на 1 Гц полосы с полным подавлением боковых лепестков. Однако чаще

используют   со скоростью передачи 0.5 бит/c на 1 Гц полосы. Это

обусловлено главным образом тем, что при  получаем наибольшую помехоустойчивость при передаче данных, кроме того амплитудная огибающая меняется в меньших пределах, а значит, выходной усилитель может иметь меньший динамический диапазон и более высокий КПД.

Главным недостатком использования фильтра Найквиста при BPSK модуляции являются повышенные требования к устройству временной синхронизации при декодировании информации, поскольку МСИ отсутствует только в заданные моменты времени соответствующие импульсам тактового

генератора  . Во все другие моменты времени МСИ очень велика. Это приводит к меньшей помехоустойчивости сигнала, причем

помехоустойчивость тем хуже, чем меньше параметр   и, соответственно, уже полоса.

ВыводыВ данной статье мы ввели понятие межсимвольной интерференции,

возникающей при ограничении полосы сигнала. Также мы рассмотрели формирующий фильтр Найквиста и показали, что теоретический предел скорости передачи информации без МСИ составляет 1 бит/c на 1 Гц полосы радиосигнала. Получен нереализуемый идеальный формирующий фильтр, обеспечивающий теоретический предел по скорости передачи информации. Также введен фильтр приподнятого косинуса для физической реализуемого формирующего фильтра Найквиста, позволяющий устранить МСИ. Было показано, что в случае оптимального приема согласованным фильтром для устранения МСИ при декодировании требуется формирующий фильтр типа «корень из приподнятого косинуса». Рассмотрено использование фильтра Найквиста для BPSK модуляции с полным подавлением боковых лепестков спектра.

Сигналы с двоичной фазовой манипуляцией (BPSK). Дифференциальная BPSK (DBPSK)

СодержаниеВведениеСигналы с двоичной фазовой манипуляциейСпектр и векторная диаграмма BPSK сигналаОтносительная (дифференциальная) двоичная фазовая манипуляция (DBPSK)Выводы

ВведениеРанее мы рассматривали сигналы с частотной манипуляцией FSK и ее

разновидности CPFSK, MSK и GMSK. Мы говорили о том, что эти сигналы получаются как частный случай частотной модуляции при цифровом модулирующем сигнале в виде последовательности импульсов, соответствующих нулям и единицам бинарного потока. Поскольку импульсы модулирующего сигнала меняют знак при смене информационного бита, то мы получали частотную манипуляцию.

Проводя аналогию, мы можем рассмотреть сигналы с фазовой манипуляцией (phase shift key PSK), если подадим в качестве модулирующего сигнала на фазовый модулятор цифровой сигнал. В данной статье речь пойдет о двоичной фазовой манипуляции (binary phase shift key BPSK). Данный вид модуляции нашел очень широкое применение ввиду высокой помехоустойчивости и простоты модулятора и демодулятора. В отечественной литературе BPSK модуляцию обозначают как ФМн-2.

Сигналы с двоичной фазовой манипуляцией

Рассмотрим сигнал   в виде последовательности импульсов цифровой информации, как это показано на рисунке 1.

Рисунок 1: Униполярный и биполярный цифровой сигнал

На верхнем графике показан униполярный цифровой сигнал, в котором

информационном логическому нулю соответствует , а на нижнем графике

биполярный цифровой сигнал  , в котором котором информационном

логическому нулю соответствует  .

Подадим цифровой сигнал в качестве модулирующего сигнала   

на фазовый модулятор, как это показано на рисунке 2 с девиацией фазы равной   рад.

Рисунок 2: Формирование BPSK сигнала на основе фазвого модулятора

Поскольку   принимает только значения равные 0 и 1, то

синфазная   и квадратурная   компоненты комплексной огибающей

 BPSK сигнала равны:

(1)

Тогда BPSK сигнал можно записать:

(2)

а структурную схему модулятора можно упростить, как это показано на рисунке 3.

Рисунок 3: Упрощенная структурная схема BPSK модулятора

Внимательный читатель заметит, что эта схема точь в точь совпадает с рассмотренной ранее схемой АМ с подавлением несущей (DSB), при

модулирующем сигнале  . Поясняющие графики формирователя BPSK показаны на рисунке 4.

Рисунок 4: Поясняющие графики BPSK модулятора

Информация передается со скоростью   бит/c, длительность одного

импульса цифровой информации равна  . Исходный модулирующий

сигнал   умножается на несущее колебание (   на

рисунке  ) и получаем фазоманипулированный сигнал со скачком

фазы на   рад. Такой же скачок фазы мы наблюдали при формировании DSB сигнала. Таким образом BPSK модуляция – вырожденный тип фазовой манипуляции, который совпадает с балансной амплитудной модуляцией при биполярном цифровом модулирующем сигнале.

Спектр и векторная диаграмма BPSK сигналаПоскольку BPSK сигнал можно представить как DSB сигнал, то его спектр

представляет собой перенесенный на несущую частоту спектр цифрового

биполярного модулирующего сигнала  . На рисунке 5 показан спектр BPSK

сигнала при скорости передачи информации   и несущей

частоте  . Из рисунка 5 отчетливо видно, что спектр BPSK сигнала имеет основной лепесток и медленно убывающие боковые лепестки. На рисунке 6 показаны основные соотношения спектра BPSK и параметров исходного модулирующего сигнала.

Рисунок 5: Спектр BPSK сигнала Рисунок 6: Спектральные соотношения параметров BPSK сигнала

Так основной лепесток спектра BPSK имеет ширину равную удвоенной

скорости передачи информации  , симметричен относительно несущей

частоты  . Уровень максимального (первого) бокового лепестка спектра равен -

13 дБ. Также можно сказать о том, что ширина боковых лепестков равна  .Рассмотрим векторную диаграмму BPSK сигнала. Согласно выражению (1)

синфазная компонента   комплексной огибающей BPSK

сигнала   равна  , а квадратурная

компонента  . При этом  принимает значения  , тогда векторная диаграмма BPSK сигнала показана на рисунке 7.

Рисунок 7: Векторная диаграмма BPSK сигнала

Вектор комплексной огибающей может принимать одно из двух

значений   (при передаче информационного нуля) и  при передаче информационной единицы.

Относительная (дифференциальная) двоичная фазовая манипуляция (DBPSK)

При передаче информации с использованием BPSK требуется применять следящие системы для демодуляции сигнала. При этом часто применяют некогерентные устройства приема, которые не согласованы по фазе с задающим генератором на передающей стороне, и соответственно не могут отследить случайный поворот фазы в результате распространения, выходящий за

интервал  . Например рассмотрим рисунок 8.

Рисунок 8: Пояснения к некогрентному приему BPSK

Исходная векторная диаграмма BPSK (в случае с PSK сигналами векторную диаграмму часто называют созвездие) показана на рисунке 8а и 8г. Красным обозначено значение соответствующее информационному нулю, а синим единице. В результате распространения сигнал приобретет случайную начальную фазу и созвездие повернется на некоторый угол. На рисунке 8б показан случай когда

поворот созвездия лежит в пределах от   до   рад. В этом случае при некогерентном приеме все созвездие будет повернуто как это показано стрелочками на рисунке 8б. Тогда после поворота созвездие займет исходное положение и информация будет демодулирована верно. На рисунке 8д показан

случай когда поворот созвездия лежит в пределах от  до   рад. В этом случае, при приеме созвездие также будет повернуто для горизонтального расположения, но как следует из рисунка 8е информационные нули и единицы будут перепутаны.

Для того чтобы устранить перепутывание информационных символов, используют относительную манипуляцию или как ее еще называют дифференциальную BPSK (DBPSK). Суть относительной манипуляции заключается в том, что кодируется не сам бит информации, а его изменение.

Структура системы передачи данных с использованием DBPSK показана на рисунке 9.

Рисунок 9: Структура системы передачи данных с использованием DBPSK

Исходный битовый поток   проходит дифференциальное кодирование, после чего модулируется BPSK и на приемной стороне демодулируется некогерентным BPSK демодулятором. Демодулированный поток проходит

дифференциальный декодер и получаем принятый поток  .Рассмотрим дифференциальный кодер, показанный на рисунке 10.

Рисунок 10: Дифференциальный кодер

Суммирование производится по модулю два , что соответствует логическому

XOR (исключающее ИЛИ). Обозначение  означает задержку на один бит информации. Пример дифференциального кодирования приведен на рисунке 11.

Рисунок 11: Пример дифференциального кодирования битового потока

Исходный битовый поток равен 011100101, на выходе дифференциального кодера мы получили 010111001. Первый бит (в приведенном примере первый 0 не кодируется), затем первый происходит сложение по модулю два предыдущего бита на выходе кодера и текущего бита на входе. Для дифференциального

декодирования необходимо сделать обратную процедуру согласно схемы показанной на рисунке 12 (структура дифференциального декодера показана на рисунке 9).

Рисунок 12: Пример дифференциального декодирования битового потока

Как видно из кодированного битового потока 010111001 мы получили исходный 011100101. Теперь рассмотрим дифференциальный декодер, если мы инвертируем на приемной стороне все биты кодированного потока, т.е. вместо 010111001 примем 101000110. Это наглядно показано на рисунке 13.

Рисунок 13: Пример дифференциального декодирования при инверсии принятого потока

Из рисунка 13 наглядно следует, что при перепутывании всех бит информации на выходе дифференциального декодера информация не искажается (за исключением первого бита, показанного красным), и в этом несомненное преимущество DBPSK, которое позволяет существенно упростить передающие и приемные устройства. Но нужно также сказать и о недостатках дифференциального кодирования. Главным недостатком DBPSK по сравнению с BPSK является более низкая помехоустойчивость, поскольку ошибки приема размножаются на этапе декодирования.

Рассмотрим пример. Пусть исходный поток равен 011100101, закодированный поток равен 010111001. Пусть при приеме четвертый бит закодированного потока был принят с ошибкой, тогда на входе декодера будет 010101001. И в результате декодирования целых два бита будут декодированы с ошибкой (смотри рисунок 14).

Рисунок 14: Размножение ошибок приема при декодировании DBPSK

ВыводыТаким образом, мы рассмотрели сигналы с двоичной фазовой манипуляцией

(BPSK) и показали, что BPSK – частный случай PSK при входном сигнале в виде потока биполярных импульсов, который является вырожденным и сводится к DSB сигналу. Мы рассмотрели спектр BPSK и его спектральные характеристики: ширина главного лепестка, уровень боковых лепестков. Также было введено понятие относительной или дифференциальной двоичной фазовой манипуляции DBPSK, которая позволяет устранить инверсию символов при некогерентном приеме на этапе декодирования, но ухудшает помехоустойчивость DBPSK по сравнения с BPSK ввиду размножения ошибок на этапе декодирования.