Brev 22

GÖTEBORGS UNIVERSITETFysiska institutionen april 1983Hans Linusson, Carl-Axel Sjöblom, Örjan Skeppstedt januari 1993FY 2400 mars 1998Distanskurs

LEKTION 22

Delkurs 4

GASER

TERMODYNAMIK

I detta häfte ingår övningsuppgifter som Du skalllösa och sända in för rättning. Lösningar till

uppgifterna Ö 5.15, Ö 9.1 och Ö 9.5 iövningskompendiet skall vara kursledaren tillhanda

senast

2004-04-06

2 (17)

FY2400, Distanskurs, brev 22

I denna delkurs av FY2400 skall Du studera termodynamik, statistisk fysik och kvantfysik i Alonso-Finn. Detta finns i kapitlen 15 - 18, 30 - 31 och 36 - 41. Vi kommer i huvudsak att använda egnaövningsuppgifter, eftersom bokens avviker ganska mycket från de typer vi på institutionen anservara de bästa.

I den klassiska termodynamiken anger man tillståndet hos ett system genom att mäta exempelvistryck, volym och temperatur. Vidare definierar man tillståndsfunktioner såsom inre energi, entalpi,entropi etc (dessa kommer längre fram i läroboken). Tillståndsändringar och kretsprocesser styrs avlagar, i första hand värmelärans första och andra huvudsats (kommer också senare). Allt dettabaseras på makroskopiska storheter, som man använder för att beräkna hur de termodynamiskaprocesserna förlöper.

I denna klassiska värmelära skulle vi kunna bortse från materiens atomära struktur, anse denna varahelt homogen och ändå kunna genomföra tekniska beräkningar om kretsprocesser och rättdimensionera t.ex. dieselmotorer och gasturbiner. Med en sådan homogen världsbild skulle viemellertid bli tvungna att acceptera postulat och definitioner som vore främmande och svåra attmotivera. Begreppet ideal gas skulle t.ex. bli en död definition baserad på allmänna tillståndslagenutan förankring i fysikalisk intuition.

Kvantteorin ger en naturlig förklaring till många av den klassiska värmelärans lagar och postulat.Med den kinetiska gasteorin kan man förklara temperatur och tryck hos en gasmassa. Gasens tryckförklaras med att kärlets väggar tar upp de rörelsemängdsändringar som molekylerna erfar då destöter emot väggarna. Begreppet ideal gas får en fysikalisk rimlig innebörd och temperaturen visarsig vara ett mått på molekylernas kinetiska energi och för en ideal gas är den proportionell motgasens inre energi.

Den kinetiska gasteorin ger många välkomna perspektiv på termodynamiska storheter, men fortfa-rande återstår många obesvarade frågor. Vad innebär t.ex. begreppet entropi? Varför strävar en-tropin mot ett maximum i ett isolerat system? Vad innebär temperaturjämvikt?

Med hjälp av den statistiska mekaniken kan vi komma ett steg längre än med den kinetiska gas-teorin. Det blir möjligt att studera energifördelningen hos ett (stort) antal molekyler och att fråndenna utgångspunkt med större insikt komma tillbaka till de klassiska makroskopiska egenskapernatryck, temperatur, entropi etc.

De statistiska metoderna kan endast tillämpas på system med ett mycket stort antal partiklar. Ävende minsta makroskopiska system innehåller emellertid ett tillräckligt antal molekyler (1015 - 1020)varför kravet på ett stort antal partiklar alltid är uppfyllt.

Molekylernas rörelse är fullständigt oordnad och de antar snabbt den mest sannolika fördelningen avenergi och hastighet. Det stora antalet molekyler borgar för att denna den mest sannolika för-delningen blir utomordentligt väl definierad, med experimentellt sett välbestämda värden på tempe-ratur, tryck, entropi etc. I ett system med ett fåtal partiklar (tusen à tiotusen) är de statistiska fluk-

3 (17)


tuationerna däremot så stora att temperatur och tryck knappast kan definieras. Med ökande antalpartiklar definieras systemet emellertid snabbt med stor exakthet, och avvikelser från jämviktsför-delningen är så osannolika att de "aldrig" inträffar. Sannolikheten för att en droppe av sig själv skalllyfta ur kaffekoppen är betryggande liten!

Statistiska fluktuationer, dvs tillfälliga avvikelser från jämviktsfördelningen, kan emellertid obser-veras i tillräckligt små makroskopiska system. Den s.k. brownska rörelsen, som upptäcktes av denengelske botanisten Robert Brown år 1827, innebär att små uppslammade partiklar i en vätska synsbefinna sig i ständig, oregelbunden rörelse. Partiklarna är utsatta för ständiga stötar från vätskansmolekyler. Tillfälliga fluktuationer hos molekylstötarna medför att antalet stötar från en sida avpartikeln dominerar så mycket att partikeln knuffas iväg. En kvantitativ förklaring till den brownskarörelsen baserad på statistisk mekanik formulerades av Einstein år 1905. Experiment bekräftaderiktigheten av denna teori, vilket innebar ett kraftigt stöd för den atomistiska uppfattningen avmaterien. Browns experiment är fortfarande föremål för livliga diskussioner, även om man heltaccepterat den bakomliggande mekanismen: var hans experiment verkligen känsliga nog för attpåvisa effekten?

Värmerörelsens statistiska fluktuationer kan påvisas i andra fall också. Man kan exempelvis byggaförstärkare med så hög förstärkning, att de registrerar de oregelbundna variationer hos elektron-strömmarna, som beror av störningar från värmerörelsen hos metallens atomer (s.k. termiskt brus).

Brobygget mellan mikro- och makrokosmos utvecklades under slutet av 1800-talet inom den sta-tistiska mekaniken. Man använde statistiska metoder för att beskriva ett stort antal partiklar (som varför sig kunde beskrivas med Newtons lagar) för att beräkna materialegenskaper som värmekapacitet,magnetisk susceptibilitet m m.

Man stötte emellertid på flera svårigheter. Man fick bekymmer med teorins inre konsistens, ochvissa förutsägelser stämde inte med experimentella observationer. Efterhand som man lärde sig attuppnå lägre temperaturer fann man t.ex. att den molära värmekapacitiviteten hos ett fast ämne inteär konstant = 3R utan avtar mot 0 då temperaturen sänks. Kammerlingh Onnes lyckades 1908kondensera helium (kokpunkt 4,2 K) och ganska snart upptäckte man fenomenen supraledning ochsuprafluiditet.

Dessa makroskopiska fenomen ledde till ett intensivt studium av mikrofysiken/kvantfysiken. Meden kvantmekanisk beskrivning kan vi nu förklara dessa fenomen. Vi kan t.o.m. hävda att supra-ledning och värmekapacitetens temperaturberoende är bättre förstådda än t.ex. fasövergången då envätska kokar! Detta är bara några exempel i en lång rad på att kvantfysiken behövs för att förklarat.o.m. enkla makroskopiska materialegenskaper.

Med kvantfysiken har vi fått större förståelse för hur man mikroskopiskt skall beskriva de enskildapartiklar (atomer) som bygger upp ett makroskopiskt system. Den statistiska fysikens mål är att geen enhetlig och välgrundad metod för att beräkna makroskopiska egenskaper som inre energi,

4 (17)


jämviktstryck, värmekapacitivitet, hållfasthet etc. för ett ämne med utgångspunkt från den kvant-fysikaliska beskrivningen av dess atomer och/eller molekyler.

Kap. 15. Gaser

15.1 Inledning

Läs igenom.

15.2 Temperatur

Detta avsnitt innehåller sannolikt inte mycket nytt utöver vad Du redan inhämtat i tidigare kurser.Det kan kanske vara intressant att se att en termometer kan vara vilket system som helst som har entemperaturberoende egenskap. Olika termometrar är alltså principiellt likvärdiga, även om de oftager mer eller mindre olika temperaturskalor (och därigenom olika värden på termiska storheter).

En enkel gastermometer har Du redan sett i vårt kurslaboratorium, och Du vet redan att om manskall göra noggranna mätningar med en sådan så krävs det ordentliga förberedelser och stor nog-grannhet.

Läs igenom Ex. 15.1.

15.3 Idealgastemperaturen

För att undkomma att alla verkliga termometrar är beroende av en eller annan materialegenskapinför man idealgastemperaturen. Avsnittet beskriver i (mycket) stora drag hur man realiserar ensådan. Rent konkret gör man mätningar med en (konstantvolyms)gastermometer med allt mindre gasi behållaren, och definierar idealgastemperaturen som

T = 273,16

p trippel →0lim

p

p trippel

om man använder temperaturen vid vattens trippelpunkt som referenspunkt. Att man har valt justdenna som referens beror på att den är jämförelsevis lätt att bestämma experimentellt. Däremot ärt.ex. temperaturen hos smältande is mindre väl bestämd. Lägg också märke till den kända

pV = NRT (15.4)

5 (17)


som man bör kalla idealgaslagen (och inte allmänna gaslagen, som man brukar säga i skolan!) Detär svårt att skriva konstanten N (ett litet stort N) så att den är lätt att känna igen, så antalet molerkommer i stället att betecknas med med n*.

Den är det första exemplet på en s.k. tillståndsekvation, som beskriver ett samband mellan tre s.k.tillståndsvariabler (p, V, T) som beskriver tillståndet hos ett system (en gasmassa). Du kommerlängre fram att se exempel på termodynamiska storheter som inte är tillståndsvariabler.

Innehållet i detta avsnitt är viktigt. Du känner nog till det mesta. Räkna igenom Ex. 15.2.

15.4 Temperatur och molekylenergi

Innan den statistiska mekaniken utvecklats ordentligt (och detta skedde inte förrän i början av 1900-talet) var temperaturens fysikaliska bakgrund en knepig fråga. Avsnittet ger några av de mekaniskaexperiment/iakttagelser som ledde till frågans lösning.

Du skall känna till sambandet (15.9) och definitionen av termisk jämvikt.

15.5 Inre energi hos en idealgas

Författarna börjar med att ge en fysikalisk bild av trycket mot väggarna i en gasfylld behållare ochfortsätter sedan med att definiera en ideal gas på ett noggrannare sätt än tidigare mitt på sidan 388.

Du skall kunna förstå och genomföra härledningen av sambandet mellan trycket och molekylernasmedelhastighet (rutan på sidan 389) vilken leder till ekvation (15.12). Tillsammans med idealgasla-gen leder denna till de viktiga sambanden (15.13 - 15.18). En slutsats av räkningarna är att

den inre energin hos en idealgas beror bara av temperaturen.

Exempel 15.3 Joules experiment beskriver ett klassiskt försök i värmeläran, som långt innan denstatistiska mekanikens framväxt ledde till slutsatsen ovan!

15.6 Reala gaser 15.7 Fleratomiga gaser

Läs igenom kursivt så att Du behärskar de stora dragen i framställningen. Du skall kunna förstå ochförklara kurvorna i Fig. 15.8 Du skall vidare känna till begreppet frihetsgrad och ekvipartitions-principen (ekvation 15.25)

6 (17)


Kapitel 16 Termodynamik

16.1 Inledning

Läs igenom. Som Du redan vet utvecklades termodynamiken (värmeläran) som en rent makro-skopisk beskrivning av materiens (bulk)egenskaper.

16.2 Inre energi och arbete

Vi studerade detta redan i första delkursen, och då för ett ganska enkelt partikelsystem. Vi skalldenna gång utveckla teorin lite längre. Studera avsnittet och lägg särskilt märke till att

ändringen i inre energi hos ett system är lika med det på systemet av de yttre krafterna utfördaarbetet Wext

Observera teckenkonventionen för Wext på sidan 401!

16.3 Mångpartikelsystem. Arbete.

I detta avsnitt inför man definitioner som motsvarar de man brukar använda i den klassiska värme-läran. Det kommer att vara mera praktiskt att använda det av systemet utförda arbetet, Wsyst. Förenkelhets skull kommer vi att beteckna detta W. Med föregående teckenkonvention blir då

Wext = - Wsyst = - W

Med hjälp av diskussionen av en gasmassa innesluten i en kolv (figur 16.2) kommer man fram tillden mycket viktiga ekvation som beskriver det av gasen utförda arbetet

dW = pdV (16.2)

och i integralform

W = pdV

V0

V

∫ (16.3)

Dessa två ekvationer kommer att visa sig mycket användbara. (Man kan filosofera lite över vilkaenheter man behöver använda för att ekvationerna skall gälla - en pålitlig regel är: använd enbart SI-enheter!!)

7 (17)


Figurerna 16.3 och 16.4 är mycket klargörande. Den andra visar, att arbetet beror av den väg sys-temet tar från A till B. En annan viktig definition är kretsprocess (cycle) mitt på sidan 403. Vi skallräkna mycket på kretsprocesser när vi härlett lite mera!

Studera exemplen 16.1 och 16.2. De definierar två viktiga typer av processer: isobariska och iso-terma och visar hur man kan räkna på sådana.

16.4 Mångpartikelsystem. Värme.

Storheten värme, Q, är ganska besvärlig att definiera utifrån statistisk mekanik, men boken gör i allafall ett lovvärt försök. I den klassiska värmeläran nöjer man sig med att definiera värme som energiunder transport. Det kan vara praktiskt att ha denna i bakhuvudet också. Man väljer enteckenkonvention så att Q räknas positiv då energin tas upp av systemet och negativ då systemetavger energi. Begreppet värme är mycket viktigt!

16.5 Mångpartikelsystem

Det mekanistiska betraktelsesättet gör det rättframt att formulera energiprincipen i form av termo-dynamikens första huvudsats

∆U = U − U0 = Q − W (16.8)

eller med ord

ändringen i inre energi hos ett system är lika med det tillförda värmet minus det av systemetutförda arbetet

Denna innebär också, att energi inte kan förintas eller nyskapas utan endast omvandlas till andraenergiformer. Om vi tillför en liten värmemängd dQ till en gas, uträttar denna eventuellt ett yttrearbete dW = pdV vid en expansion, medan en del av den tillförda värmemängden går åt till en ök-ning av inre energin dU. Första huvudsatsen ger då följande samband, ekvation (16.8) i differenti-alform:

dQ = dU + dW = dU + pdV = (16.10)

eller, enligt läroboken

dU = dQ - dW (16.10)

dU = dQ - pdV

8 (17)


Den inre energin U är en s.k. tillståndsvariabel (en sådan beror bara på systemets tillstånd och intepå hur det kom dit), medan Q och W inte är tillståndsvariabler (ändringarna i Q och W beror påvägen).

Räkna igenom exempel 16.3 och 16.4 ordentligt och lägg definitionerna av smältvärme ochförångningsvärme på minnet liksom deras inbördes storlekar!

16.6 Speciella processer

En det termodynamiska processer har särskilt stort intresse, och några av dem är samlade i dettaavsnitt. Efter en inledning om tillståndsvariabler tar man upp

Kretsprocesseroch finner, att i en kretsprocess är det av systemet utförda arbetet lika med det tillförda värmet

Adiabatiska processer Isokora processer. StrålningsprocesserLäs igenom. Definitionerna är viktiga.

Studera exempel 16.5 så att Du lär Dig att genomföra sådana beräkningar.

16.7 Värmekapacitivitet

Definitionerna av CV, värmekapacitiviteten vid konstant volym V, och Cp värmekapacitiviteten vidkonstant tryck p, är mycket viktiga, likaså definitionen av γ.

Härledningen av tillståndsekvationen för en adiabatisk transformation av en idealgas är enkel menviktig (rutan på sid. 414-415). Denna typ av beräkningar skall Du kunna genomföra utan svårighet.Alla slutformler däremot (det finns många) behöver Du inte kunna utantill!

I exempel 16.6 Värmekapacitivitet hos en enatomig idealgas finns flera viktiga saker gömda som Duskall känna till, inklusive ekvation (16.22)

Räkna igenom Ex. 16.7Det kan nu vara dags att demonstrationsräkna en övningsuppgift:

9 (17)


Ö 5.4En enatomig idealgas upptar en volym av 4 m3 vidett tryck av 8 atm. och en temperatur av 400 K.Gasen expanderar till ett sluttryck av 1 atm.Beräkna slutvolymen och sluttemperaturen, det ut-rättade arbetet, den absorberade värmen och änd-ringen i inre energi vid var och en av de följande processerna:

a) expansionen är reversibel och isotermb) expansionen är reversibel och adiabatiskc) expansionen sker ut i vakuum.

Lösning:Från läroboken har vi ett antal användbara samband:

dW = pdV (1) = (16.2)

dQ = dU + pdV = n * CVdT + pdV (2) = ("16.10") + (16.18)

dU = dQ − dW (3) = (16.10)

pV = n* RT (4) = (15.4)

pV γ = konst (5) = (16.20)

a)Isoterm process. Detta innebär, att det är mest praktiskt att använda ekvation (4) ovan. Denna ger

p 1V1 = p2V2 ⇒ V2 =

p 1

p2

V1 = 32 m3

(2) ger

dQ = n* CVdT + pdV = pdV eftersom dT = 0

alltså

dQ∫ = pdV =∫ (4) =n *RT

VV1

V2

∫ dV

Q = n * RTln

V2

V1

= p1V1lnV2

V1

= 8 ⋅1,013 ⋅105 ⋅ 4ln32

4= 6,74 ⋅106 J

Eftersom inre energin U hos en ideal gas endast beror av temperaturen, och T är konstant, måste dU= 0, och alltså(3) Q = W = 6,74·106 J

p

V

p V T

p V T1 1 1

2 2 2

10 (17)


Gasen uträttar alltså ett arbete under expansionen, eftersom W > 0.

b)Adiabatisk process, dQ = 0. Enligt (5) gäller, att

p 1V1

γ = konst = p 2V2γ ⇒

p1

p2

=V2

V1

γ

och därför V2 =

p1

p 2

1

γ

⋅ V1

För en enatomig ideal gas gäller, att

γ (= κ) =

5

3

dvs V2 =

8 ⋅ 1,013 ⋅105

1 ⋅1,013 ⋅105

3

5⋅ 4 ≈ 14 m3

Idealgaslagen (4) gäller även för en adiabatisk process, dvs

T2 =

p 2V2

n * R=

p2 V2

p1V1

⋅ T1 =1 ⋅ 1,013 ⋅105 ⋅14

8 ⋅1,013 ⋅ 105 ⋅ 4⋅ 400 = 175 K

Som förut gäller W = pdV∫ och för en adiabat

p =

konst

V γ =CV γ

dvs W = C V−γ

V1

V2

∫ dV =C

1- γV− γ + 1[ ]V1

V2 =1

1- γCV2

1−γ − CV11−γ( ) =

1

1- γp 2V2

γ V21−γ − p1V1

γV11−γ( )

W =

1

1- γp2V2 − p1V1( ) =

1

1 − 53

⋅1,013 ⋅105 1 ⋅14 − 8 ⋅ 4( ) = −2,73 ⋅106 J

I en adiabatisk process är värmeutbytet med omgivningen noll, dvs

U2 − U1 = Q − W = 0 − W = −2,73 ⋅106 J

c)Detta är en s.k. fri expansion, som beskrivs i Ex. 15.3 på sidan 390. Eftersom ingen ändring av inreenergin uppträder, så förblir temperaturen konstant. Detta betyder, att volymen efter expansionenblir densamma som i a), dvs V2 = 32 m3.

11 (17)


De yttre kärlväggarna är fixa, varför gasen inte kan utföra något yttre arbete, dvs W = 0.

16.8 Reversibla och irreversibla processer

Distinktionen mellan reversibla och irreversibla processer är mycket viktig i termodynamiken.Boken beskriver vad som brukar kallas en kvasistationär reversibel process. Den läsare som känneratt författarna lämnat ett och annat outsagt känner alldeles rätt: i en uttömmande framställning skulledetta ha omfattat åtminstone ett helt kapitel.

16.9 Entropi och värme

Entropin S är en mycket betydelsefull storhet i termodynamiken. Den får här en rent makroskopiskdefinition, och vi återkommer med motsvarande från statistisk mekanik i nästa kapitel. Studeraavsnittet noga (även figurerna), och räkna exempel 16.8 och 16.9 Sådana räkningar skall Dubehärska väl.

16.10 Verkningsgraden hos en Carnotmaskin

Det finns värmemaskiner som följer olika kretsprocesser: en ångmaskin följer Rankine-cykeln, enStirlingmotor Stirlingcykeln och t.o.m. en vanlig bilmotor kan beskrivas med en kretsprocess(Otto-cykeln). Den teoretiskt viktigaste typen av kretsprocess (och f.ö. den som har högst termiskverkningsgrad) är dock Carnotcykeln, som består av två isotermer och två adiabater. Som Du serkan Carnotprocessen även beskriva en s.k. värmepump (t.ex. ett kylskåp).

Observera, att medan verkningsgraden för en Carnotprocess definieras

η=

W

Q1

=Q1 − Q2

Q1

=T1 − T2

T1

så definieras köldfaktorn (kylförmågan) hos en värmepump

ε =

Q2

W=

Q2

Q1 − Q2

=T2

T1 − T2

Processen kan särskilt enkelt beskrivas m.hj.a. entropin S, och Carnotprocessen bildar en rektangel iett TS-diagram (figur 16.16).

12 (17)


Studera avsnittet omsorgsfullt. Ett av huvudmålen med kursen i termodynamik är att lära Dig räknapå värmemaskiner, och då särskilt på Carnotprocessen.

Räkna igenom exempel 16.10 Carnotprocessen för en idealgas noggrant. Vi skall genomföra lik-nande beräkningar i ett övningsexempel:

Ö 6.31 kg luft genomlöper en Carnots kretsprocess varvid 125,5kJ tillföres och 83,7 kJ bortföres. Skillnaden mellan högstaoch lägsta temperaturen under processen är 150°C. Beräknaförhållandet mellan begynnelse- och sluttryck vid ena iso-termen.

Lösning:En Carnotprocess (se figuren och läroboken på sid. 425) be-står av två isotermer (T1 och T2) och två adiabater. Den ge-nomlöpes medsols i detta fall.

Vi börjar med den översta isotermen. För denna gäller, att dT = 0, dU = 0 och alltså, att dQ = pdV.

Alltså:

Q1 = pdV =

V1

V2

∫n *RT1

VdV =

V1

V2

∫ n *RT1lnV2

V1

= n *RT1lnp1

p 2

Antalet moler kan skrivas n* =

m ′M

där m´ är massan hos gasen och M molvikten. Vi får

därför ett uttryck för den sökta kvoten:

lnpp

M Qm RT

1

2

1

1

= ⋅′

I detta uttryck är tyvärr temperaturen T1 okänd, men vi kan ta reda på denna t.ex. genom att användaformeln för den termiska verkningsgraden (16.34 på sidan 424)

= = − = − ⇒ = ⋅ − ⋅⋅

WQ

T TT

Q QQ T1

1 2

1

1 2

1 1

3 3

3

150 125 5 10 83 7 10125 5 10

, ,,

dvs T1 150125 541 8

450= ⋅ =,,

K

p

V

p V T

p V T1 1 1

2 2 1

p V T23 3

p V T24 4

Q1

Q2

13 (17)


och ln,

, ,, ,,p

ppp

e1

2

3

31

2

0 97329 125 5 101 0 8 31 10 450

0 973 2 6= ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

= ⇒ = =

Det finns naturligtvis många likvärda sätt att lösa problemet, detta är bara ett av dem!

Ö 7.81 kg vatten vid 0°C bringas i kontakt med en stor värmereservoar vid 100°C. Beräkna den totalaentropiändringen för systemet vatten + reservoar när vattnet har uppnått en temperatur av 100 °C.För vatten är cp = 4180 J/kg·K och kan antas vara oberoende av temperaturen.

Lösning:

Generellt gäller, att dSdQT

= . För vattnet varierar temperaturen, varför vi måste integrera fram en-

tropiändringen:

∆Svatten =

dQ

T∫ =mc p

TT0

T1

∫ dT = mc p lnT1

T0

= 1 ⋅ 4180 ⋅ln373

273= 1310 Ws/K

∆Sreservoar =

dQ

T1T0

T1

∫ =mc p

T1

T1 − T0( ) =1 ⋅ 4180

373373 − 273( ) = 1120 Ws/K

∆Ssystem = ∆Svatten −∆Sreservoar = 1310 − 1120 = 190 Ws/K

8.4Beräkna skillnaden i inre energi U mellan 1 g etylalkohol i vätskeform vid 0°C och 1 g mättadalkoholånga vid 78,3°C. Ångbildningsvärmet är 845 kJ/kg och vätskans specifika värme är 2,4kJ/kg·K

Lösning:Vi måste först beräkna ökningen i inre energi under temperaturhöjningen. Enligt första huvudsatsengäller, att

dU dQ dW dQ pdV dQ1 1 1 1 1= − = − ≈ eftersom volymsändringen är liten

∆U Q m c T Tp1 1 2 1 0 001 2400 78 3 188= = ′ − = ⋅ ⋅ =( ) , , J

Under förångningen gäller

dU 2 = dQ2 − dW 2 = dQ2 − pdV = dQ 2 − p Vånga − Vvätska( ) ≈ dQ2 − pV ånga

14 (17)


Enligt idealgaslagen, tillämpad på gasfasen, gäller då

dU dQ n RT dQmM

RTkokpunkt kokpunkt2 2 2= − = − ′*

dvs dU230 001 845 10

0 0012 12 5 1 16 1

8310 351 3 782= ⋅ ⋅ −⋅ + ⋅ + +

⋅ ⋅ =,,

, J

där den första termen kommer från ångbildningsvärmet och nämnaren i andra från den kemiskaformeln C2H5OH. Totala skillnaden i inre energi blir slutligen

dU dU dU= + = + =1 2 188 782 970 J

9.31 mol av en enatomig idealgas får genomlöpa en re-versibel kretsprocess sammansatt av två isobareroch två adiabater. I begynnelsetillståndet har gasen1 atm tryck och 0 oC temperatur. Den samman-tryckes reversibelt-adiabatiskt till 3 atm. Därpå föl-jer en isobarisk förändring tills temperaturen upp-går till 300 oC, varefter gasen först genom en re-versibelt-adiabatisk förändring expanderas till 1atm, därpå utefter isobaren 1 atm återföres tillbegynnelsetillståndet. Beräkna kretsprocessarbetet.

Lösning:Enklare än att direkt beräkna kretsprocessarbetet W är att beräkna det tillförda nettovärmet Q, ef-tersom dessa är lika i en kretsprocess, Q = W

Vi börjar med att genomföra en praktisk omskrivning (som bara gäller för en ideal gas) av

dQ n C dT pdVV= +*

Idealgaslagen ger

pV n RT= * differentiera: p dV V dp n R dT⋅ + ⋅ = ⋅*

Insättning ger:

dQ n C dT n RdT V dp n C R dT VdpV V= + − ⋅ = + −* * *( )

alltså dQ n C dT Vdpp= −*

p

V

p V T2 2 2p V T2 33

p V T441

Q1

Q2p V T

1 1 1

adiabat

adiabat

isobar

isobar

15 (17)


För den övre isobaren gäller (dp = 0):

dQ n C dT Q n C T Tp p= ⇒ = −* * ( )1 3 2 (> 0) (1)

Av samma skäl gäller för den undre isobaren, att

Q n C T Tp2 1 4= −* ( ) (< 0) (2)

Vi behöver veta T2 och T4, vilka vi beräknar m.hj.a. de två adiabaterna. För den vänstra gäller, att

p V p V1 1 2 2= vilket, som tidigare kan skrivas om till

T2 = T1

p2

p 1

γ− 1

γ

(3)

och för högra adiabaten p.s.s.

T4 = T3

p2

p1

γ− 1

γ

(4)

Gasen är en enatomig idealgas, varför = 53 och C Rp= 5

2 och alltså ger

(3): T2 = 273

3

1

2 ⋅33⋅5

= 423,7 K

(4): T4 = 573

1

3

2 ⋅33⋅5

= 369,2 K

Men W = Q1 + Q2 = n *C

pT3 − T2 + T1 − T4( ) = n*

5R

2T3 − T2 + T1 − T4( )

Alltså W = Q1 + Q2 = 1 ⋅

5

2⋅ 8,31(573,0 − 423,7 + 273,0 − 369,2) = 1103 J

16 (17)


10.2Temperaturen i ett kylskåp är 0 °C och tempera-turen i rummet där kylskåpet är placerat är 25 °C.Den värmemängd som per dygn måste pumpas bortav kylmaskinen för att hålla kylskåpet kallt är 8MWs. Om en Carnot-kylmaskin (den normala Car-notprocessen med omvänd omloppsriktning) voretillgänglig och arbetade mellan temperaturerna 0 °Coch 25 °C, hur mycket effekt i watt skulle erfordrasför att driva maskinen?

Lösning:I en kylmaskin pumpas värmet bort vid den lägre temperaturen T2, dvs vid T2 upptas värmemängdenQ2 av maskinen och vid T1 avges värmemängden Q1.

I härledningen av verkningsgraden η hos en Carnotmaskin kommer man fram till, att

= = −WQ

T TT1

1 2

1

(11.47 på sid. 486)

På liknande sätt kan man komma fram till, att den s.k. köldfaktorn (kylförmågan)

= =−

QW

TT T

2 2

1 2

Detta betyder, att per dygn erfordras det mekaniska arbetet

W QT T

T= − = ⋅ ⋅ − = ⋅2

1 2

2

6 58 10298 273

2737 33 10, J (Ws)

Den erforderliga effekten blir därför

PWt

= = ⋅⋅ ⋅

=7 33 1024 60 60

8 485,

, W

16.11 Entropilagen

De erfarenheter som leder till den viktiga slutsatsen (16.35) är mycket viktiga, liksom samman-fattningen i termodynamikens andra lag (sid 426). Det finns också andra, likvärdiga formuleringar(även om dessa på ytan kan se mycket annorlunda ut).

Räkna (och tänk) också igenom Ex. 16.12 och 16.13

p

V

Q1

Q2

1

2

3

4

T

1 2T > T

2

isoterm

adiabat

adiabat

isoterm

17 (17)


Du kan med fördel öva på ytterligare några uppgifter i övningskompendiet, t.ex. Ö 6.7, Ö 8.15 ochÖ 9.6.

Insändningsuppgifter till detta brev är Ö 5.15, Ö 9.1 och Ö 9.5 som skall vara kursledaren tillhandasenast det datum som står på försättsbladet.

Documents

Brev 22