Breve Manual Ma Thematic A

8/14/2019 Breve Manual Ma Thematic A

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BREVE MANUAL DEBREVE MANUAL DEMATHEMATICAMATHEMATICA 5.15.1

Robert Ipanaqu Chero

Ricardo Velesmoro Len

DEPARTAMENTO ACADMICO DE MATEMTICAUNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA, PER

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BREVE MANUAL DEBREVE MANUAL DE MATHEMATICAMATHEMATICA 5.15.1

Mathematica y MathReaderson marcas registradas de WolframResearch

Robert Ipanaqu [email protected]://www.unp.edu.pe/pers/ripanaque

Ricardo Velesmoro [email protected]

Departamento Acadmico de MatemticaUniversidad Nacional de Piura, Urb. Miraflores s/n, Castilla - Piura, Per

ISBN:N Registro:

Setiembre 2005, editado por el grupo eumednetGrupo de Investigacin de la Universidad de Mlaga, Espaa

http://www.eumed.net

Para citar este libro puede utilizar el siguiente formato:Ipanaqu Chero y Velesmoro Len (2005) Breve Manual deMathematica 5.1. Edicin a texto completo enwww.eumed.net/libros/2005/

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ndice

ndice ........................................................................................................................31. Funcionamiento de Mathematica .........................................................................61.1. Interfase de cuaderno .................................................................................61.2. Interfase basada en texto ............................................................................8

2. Clculos numricos ..............................................................................................92.1. Aritmtica ..................................................................................................92.2. Resultados exactos y aproximados ..........................................................102.3. Algunas funciones matemticas................................................................122.4. Clculos con precisin arbitraria .............................................................14

2.5. Nmeros complejos .................................................................................152.6. Acostumbrndose a Mathematica ............................................................162.7. Notaciones matemticas en cuadernos .....................................................17

3. Generacin de clculos ......................................................................................193.1. Uso de resultados previos ........................................................................203.2. Definicin de variables ............................................................................203.3. Construccin de listas ..............................................................................223.4. Manipulacin de los elementos de una lista ............................................233.5. Las cuatro formas de agrupar en Mathematica ........................................25

3.6. Secuencias de operaciones .......................................................................254. Uso del sistema Mathematica ............................................................................264.1. La estructura de Mathematica ..................................................................264.2. Cuadernos como documentos ..................................................................294.3. Elementos activos en cuadernos ..............................................................324.4. Hipervnculos y texto activo ....................................................................354.5. Acceso a la ayuda en una interfase de cuaderno ......................................364.6. Acceso a la ayuda en una interfase basada en texto .................................374.7. Paquetes en Mathematica ........................................................................39

4.8. Advertencias y mensajes ..........................................................................404.9. Interrupcin de clculos ...........................................................................415. Clculos algebraicos ..........................................................................................42

5.1. Clculo simblico ....................................................................................425.2. Valores para smbolos ..............................................................................445.3. Transformacin de expresiones algebraicas ............................................485.4. Simplificacin de expresiones algebraicas ..............................................495.5. Puesta de expresiones en diferentes formas .............................................515.6. Simplificacin con asunciones .................................................................55

5.7. Seleccionar partes de expresiones algebraicas .........................................565.8. Controlar la presentacin de expresiones grandes ...................................58

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5.9. Las limitaciones de Mathematica ............................................................595.10. Uso de smbolos para etiquetar objetos .................................................61

6. Matemticas simblicas .....................................................................................636.1. Operaciones bsicas .................................................................................636.2. Diferenciacin ..........................................................................................64

6.3. Integracin ...............................................................................................656.4. Sumas y productos ...................................................................................686.5. Ecuaciones ...............................................................................................706.6. Operadores relacionales y lgicos ...........................................................726.7. Solucin de ecuaciones ............................................................................746.8. Desigualdades ..........................................................................................806.9. Ecuaciones diferenciales ..........................................................................826.10. Series de potencias .................................................................................836.11. Lmites ...................................................................................................85

6.12. Transformadas integrales .......................................................................866.13. Ecuaciones recurrentes ...........................................................................876.14. Paquetes para matemticas simblicas ..................................................876.15. Casos genricos y no genricos .............................................................906.16. Notacin matemtica en cuadernos .......................................................91

7. Matemticas numricas ......................................................................................937.1. Operaciones bsicas .................................................................................937.2. Sumas, productos e integrales numricas ................................................947.3. Solucin numrica de ecuaciones ............................................................95

7.4. Ecuaciones diferenciales numricas ........................................................977.5. Optimizacin numrica ............................................................................987.6. Manipulacin de datos numricos .........................................................1007.7. Estadstica ..............................................................................................102

8. Funciones y programas ....................................................................................1038.1. Definicin de funciones .........................................................................1038.2. Funciones como procedimientos ............................................................1058.3. Operaciones repetitivas ..........................................................................1078.4. Reglas de transformacin para funciones ..............................................108

9. Listas ................................................................................................................1099.1. Juntar objetos .........................................................................................1099.2. Fabricacin de tablas de valores ............................................................1109.3. Vectores y matrices ................................................................................1139.4. Elegir elementos de listas .......................................................................1189.5. Prueba y bsqueda de elementos de una lista ........................................1209.6. Agregar, quitar y modificar elementos de una lista ...............................1229.7. Combinacin de listas ............................................................................1239.8. Listas de conjuntos .................................................................................124

9.9. Reordenamiento de listas .......................................................................1259.10. Agrupacin y combinacin de elementos de listas ..............................1266


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9.11. Ordenamiento de listas .........................................................................1279.12. Reorganizacin de listas anidadas .......................................................128

10. Grficos y sonido ...........................................................................................12810.1. Grficos bsicos ...................................................................................12810.2. Opciones ..............................................................................................131

10.3. Rehacer y combinar grficos ...............................................................13810.4. Manipulacin de opciones ...................................................................14310.5. Contornos y grficos de densidad ........................................................14510.6. Grficos de superficies tridimensionales .............................................14810.7. Conversin entre tipos de grficos .......................................................15610.8. Grficos de listas de datos ....................................................................15710.9. Grficos paramtricos ..........................................................................16010.10. Algunos grficos especiales ...............................................................16510.11. Grficos animados .............................................................................168

10.12. Sonido ................................................................................................16911. Entradas y salidas en cuadernos .....................................................................172

11.1. Ingreso de letras griegas .......................................................................17211.2. Ingreso de entradas bidimensionales ...................................................17411.3. Edicin y evaluacin de expresiones bidimensionales.........................18011.4. Ingreso de frmulas...............................................................................18111.5. Ingreso de tablas y matrices..................................................................18711.6. Subndices, barras y otros adornos .......................................................18811.7. Caracteres no ingleses ..........................................................................190

11.8. Otras notaciones matemticas...............................................................19111.9. Formas de entrada y salida ...................................................................19311.10. Mezcla de texto y frmulas ................................................................19911.11. Creacin de sus propias paletas .........................................................20011.12. Creacin de Hipervnculos .................................................................20411.13. Numeracin automtica .....................................................................204

12. Archivos y operaciones externas ....................................................................20512.1. Lectura y Escritura de archivos en Mathematica .................................20512.2. Localizacin y manipulacin de archivos ............................................208

12.3. Importacin y exportacin de datos .....................................................21012.4. Exportacin de grficos y sonidos .......................................................21112.5. Exportacin de frmulas de cuadernos ................................................21212.6. Generacin e Importacin de TeX .......................................................21312.7. Cambio de material con la Web ...........................................................21412.8. Generacin de expresiones C y Fortran ...............................................21712.9. Empalmar salidas de Mathematica con archivos externos ..................218

Bibliografa ..........................................................................................................220

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Breve manual de Mathematica 5.1

Este libro da una introduccin a Mathematica, concentrndose en usar

Mathematica como sistema interactivo para resolver problemas. Cuando lo hayaledo, debe tener suficiente conocimiento de Mathematica para abordar muchasclases de problemas prcticos.

1. Funcionamiento de Mathematica

Para saber cmo se instala y funciona Mathematica debe leer la documentacinque vino con su copia de Mathematica. Los detalles difieren a partir de un sistema

informtico a otro, y son afectados por las varias clases de arreglo para requisitos particulares que se pueden hacer en Mathematica. Sin embargo, esta seccindelinea dos casos comunes.

Observe que aunque los detalles de funcionamiento de Mathematica difieren a partir de un sistema informtico a otro, la estructura de los clculos deMathematica es igual en todos los casos. El usuario digita la entrada (input),Mathematica la procesa, y devuelve un resultado.

1.1. Interfase de Cuaderno

utilice un icono o el men deInicio

mathematica

formas grficas de inicializarMathematica

comando para inicializarMathematicafinalizar texto con+

elegir el tem salida del men

entrada para Mathematica

salir de MathematicaFuncionamiento de Mathematica con una interfase de cuaderno.

En una interfase de cuaderno, usted interacta con Mathematica creandodocumentos interactivos.

Si usa su computadora va una interfase puramente grfica haremos como decostumbre doble en el icono de inicio de Mathematica. En cambio, si la usa va unsistema operativo basado en texto digitaremos el comando mathematica para

iniciarMathematica.

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Cuando Mathematica inicializa usualmente presenta un cuaderno en blanco. Usteddigita la entrada (input), luego presiona (en simultneo) + para queMathematica procese su entrada. + indica a Mathematica que ustedha finalizado su entrada. Si su teclado posee teclado numrico puede usar la tecla del mismo en lugar de +.

Despus de ejecutar una entrada en Mathematica desde un cuaderno, Mathematicaetiquetar su entrada con In[n]:=. Tambin etiqueta la correspondiente salidaOut[n]=.

Usted digita 11 + , luego finaliza su entrada con +.Mathematica procesa la entrada, luego agrega la etiqueta a la entradaIn[1]:=, y devuelve la respectiva salida.

A lo largo de este libro los dilogos con Mathematica se mostrarn de lasiguiente manera:

Con una interfase de cuaderno, usted slo digita 1+1. Mathematica aade laetiqueta In[1]:=, e imprime el resultado.

1 + 12

Recuerde que los cuadernos corresponden a la parte visible (front end) deMathematica. El ncleo de Mathematica que realiza realmente los clculos puede

funcionar en la misma computadora que el front end, o en otra computadoraconectada va alguna clase de red o de lnea. En la mayora de los casos, el ncleoincluso no se inicializa hasta que el usuario hace realmente un clculo conMathematica.

Para salir de Mathematica, usted elige el tem salida del respectivo men en lainterfase de cuaderno.

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1.2. Interfase Basada en Texto

math comando del sistema operativo parainicializarMathematica

finalizar texto con Control-D, Control-Z Quit[]

entrada para Mathematicasalir de Mathematica

Funcionamiento de Mathematica con una interfase basada en Texto.

Con una interfase basada en texto, usted interacta con su computadora digitandotexto en el teclado.

Para inicializar Mathematica con una interfase basada en texto, se digita el

comando math en el prompt del sistema operativo. En algunos sistemas, tambines posible inicializar Mathematica con una interfase basada en texto haciendodoble clic en el icono del ncleo de Mathematica.

Cuando Mathematica ha inicializado, imprimir el prompt In[1]:=, estosignifica que esta lista para que usted haga su entrada. Puede entonces digitar suentrada, terminndola con .

Mathematica procesa la entrada, y genera un resultado, el mismo que etiquetar

con Out[1]=.

A lo largo de este libro los dilogos con Mathematica se mostrarn de lasiguiente manera:

La computadora imprime In[1]:=. Usted slo digita 1+1. La lnea queempieza con Out[1]= es el resultado de Mathematica.

1 + 1

2

Observe que usted no digita explcitamente el prompt In[1]:=; slo digita eltexto que sigue despus de este aviso.

Observe tambin que la mayor parte de los dilogos dados en el libro muestransalidas en la forma que usted obtendra con una interfase de cuaderno deMathematica; la salida con una interfase basada en texto luce similar, pero carecede caractersticas tales como caracteres especiales y cambio de tamao de fuente.

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Para salir de Mathematica, digite Control-D, Control-Z Quit[ ] en el promptde la entrada.

2. Clculos numricos

2.1. Aritmtica

Usted puede hacer aritmtica con Mathematica tal y como lo hara con unacalculadora.

Aqu tenemos la suma de dos nmeros.

5.6 + 3.79.3

Con * indicamos el producto de dos nmeros.

5.6 * 3.720.72

Con el espacio en blanco tambin se indica el producto de dos nmeros.

5.6 3.720.72

Usted puede digitar operaciones aritmticas haciendo uso de los parntesis.

(2 + 3) ^ 3 4 (6 + 7)73

Los espacios no son necesarios, aunque a menudo hacen su entrada msfcil de leer.

(2+3)^34(6+7)73

x yxx/y

xyzox*y*zx+y+z

potenciamenosdivisin

productosuma

Operaciones aritmticas en Mathematica.

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Las operaciones aritmticas en Mathematica se agrupan de acuerdo con lasconvenciones estndares de la matemtica. Como es usual, 2+3/7, por ejemplo,significa 2+(3/7), y no (2+3)/7. Usted puede controlar siempre la forma deagrupar explcitamente usando parntesis.

Este resultado se da en notacin cientfica.

3.7 ^ 36

2.85274 1020

Usted puede incorporar nmeros en notacin cientfica de esta forma.

4.6 10^45

4.6 1045

O de esta otra forma.

4.6*^45

4.6 1045

2.2. Resultados exactos y aproximados

Una calculadora electrnica hace todos sus clculos con una precisindeterminada, digamos de diez dgitos decimales. Con Mathematica, en cambio,usted puede obtener resultados exactos.

Mathematica da un resultado exacto para 3002 , a pesar que ste tiene 91dgitos decimales.

2^300203703597633448608626844568840937816105146839366593

6250636140449354381299763336706183397376

Usted puede pedir a Mathematica que devuelva un resultado aproximado, tal comolo dara una calculadora, para ello debe finalizar su entrada con //N.

Esto da un resultado numrico aproximado.

2^300//N2.037041090

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Mathematica puede dar resultados en trminos de nmeros racionales.

1/3 + 2/7

21

13

//N siempre da un resultado numrico aproximado.

1/3 + 2/7//N0.619048

exp //N da un valor numrico aproximado para exp

Obteniendo aproximaciones numricas.

Cuando usted digita un entero como 7, Mathematica asume que es exacto. Si usteddigita un nmero como 4.5, con un punto decimal explcito, Mathematica asumeque desea efectuar clculo numricos aproximados.

Esto es tomado como un nmero racional exacto, y es llevado a una fraccinirreducible.

26/78

3

1

Cuando usted digita un nmero con un punto decimal explcito,Mathematica produce un resultado numrico aproximado.

26.7/780.342308

Aqu otra vez, la presencia del punto decimal hace que Mathematica d unresultado numrico aproximado.

26./780.333333

Cuando cualquier nmero en una expresin aritmtica es digitado con unpunto decimal explcito, usted obtiene un resultado numrico aproximadopara toda la expresin.

5. + 9 / 78 - 5/84.49038

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2.3. Algunas funciones matemticas

Mathematicaincluye una gran coleccin de funciones matemticas. A

continuacin mencionamos las ms comunes.

Sqrt[x] raz cuadrada ( x )

Exp[x] exponencial ( xe )

Log[x] logaritmo natural ( xelog )

Log[b,x] logaritmo en base b ( xblog )

Sin[x], Cos[x], Tan[x],

Cot[x], Sec[x], Csc[x]

funciones trigonomtricas (con argumentos

en radianes)ArcSin[x], ArcCos[x],

ArcTan[x], ArcCot[x],

ArcSec[x], ArcCsc[x]

funciones trigonomtricas inversas

n! factorial de n (producto de los enteros 1,2, ..., n)

Abs[x] valor absolutoRound[x] redondeo del enterox

Mod[n,m] n mdulo m (resto de la divisin de n entrem)Random[ ] nmero seudo aleatorio entre 0 y 1

Max[x,y, ...], Min[x,y, ...] mximo, mnimo dex,y, ...FactorInteger[n] factores primos de n

Algunas de las funciones matemticas ms comunes.

Los argumentos de todas las funciones en Mathematica se colocan entrecorchetes.

Los nombres de las funciones incorporadas en Mathematica empiezan conletra mayscula.

Dos puntos importantes acerca de funciones en Mathematica.

Es importante recordar que todos los argumentos de funciones se colocan entrecorchetes, no entre parntesis. Los parntesis en Mathematica se usan solamente

para indicar agrupacin de trminos, y jams para encerrar argumentos defunciones.

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Esto da )7.15(log e . Note la letra mayscula para Log, y los corchetes

para el argumento.

Log[15.7]2.75366

Esto devuelve 64 como un entero exacto.

Sqrt[64]8

Esto da un valor numrico aproximado para 6 .

Sqrt[6]//N2.44949

La presencia explcita de un punto decimal le indica a Mathematica que dun resultado numrico aproximado.

Sqrt[6.]2.44949

En este caso Mathematica devuelve un nmero en forma simblica exacta.

Sqrt[6]6

Aqu tenemos un resultado entero exacto para 30 29 ... 1. Usted puededigitar nmeros grandes para calcular factoriales. Por ejemplo, puedecalcular 2000! en corto tiempo.

40!815915283247897734345611269596115894272000000000

Esto da un valor numrico aproximado del factorial.

40!//N8.159151047

Pi 3.14159E e 2.71828 (normalmente aparece como )

Degree /180: factor de conversin de grados a

radianes (normalmente aparece como )I i = 1 (normalmente aparece como )

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Infinity

Algunas constantes matemticas comunes. Note que todos los nombres de las constantes incorporadas en Mathematicaempiezan con mayscula.

Este es el valor numrico de 2 .

Pi^2//N9.8696

Esto devuelve un resultado exacto para sen( /2).Note que los argumentosde las funcin trigonomtricas siempre se dan en radianes.

Sin[Pi/2]

1

Esto devuelve el valor numrico de sen(20). Multiplicando por la constanteDegree convertimos el argumento a radianes.

Sin[20 Degree]//N0.34202

Log[x] devuelve el logaritmo dex en base e.

Log[E^15]15

Usted puede obtener logaritmos en cualquier base b usando Log[x]. Comouna notacin estndar de Mathematica la b es opcional.

Log[3,81]4

2.4. Clculos con precisin arbitraria

Cuando usted utiliza //N para obtener un resultado numrico, Mathematica haceque lo que hara una calculadora estndar: devuelve el resultado con un nmerofijo de cifras significativas. No obstante, usted puede indicarle a Mathematica lascifras significativas con las que desea operar. Esto permite obtener resultadosnumricos en Mathematica con cualquier grado de precisin.

exp //N o N[exp] valor numrico aproximado para expvalor numrico de exp calculado con n

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N[exp,n] dgitos de precisin

Funciones de evaluacin numrica.

Esto devuelve el valor numrico de con un nmero fijo de cifrassignificativas. DigitarN[Pi] es equivalente a Pi//N.

N[Pi]3.14159

Esto devuelve con 50 dgitos.

N[Pi, 50]3.1415926535897932384626433832795028841971693993751

Aqu tenemos a 7 con 40 dgitos.

N[Sqrt[7], 40]2.645751311064590590501615753639260425710

Al realizar cualquier tipo de clculo numrico puede introducir pequeos erroresde redondeo en sus resultados. Cuando se aumenta la precisin numrica estoserrores se hacen ms pequeos. Asegurarse que usted obtiene la misma respuesta alaumentar la precisin numrica es a menudo una buena forma de verificar losresultados.

La cantidad 163e esta bastante prxima a ser entera. Para verificar que elresultado no es, de hecho, un entero, usted tiene que usar la precisinnumrica suficiente.

N[Exp[Pi Sqrt[163]], 40]2.6253741264076874399999999999925007259721017

2.5. Nmeros complejos

Puede ingresar nmeros complejos en Mathematica con slo incluir la constante I,igual a 1 . Asegrese que la letra I sea mayscula. Si est usando cuadernos,tambin puede ingresarI como digitando ii . La forma es la quese usa normalmente como salida. Note que una i ordinaria significa una variablellamada i, pero no 1 .

Esto devuelve como resultado el nmero imaginario 2i.

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Sqrt[-4]2

Esto devuelve la divisin de dos nmeros complejos.

(8 + 4 I)/(-1 + I)

-2 - 6

Aqu tenemos el valor numrico de un exponencial complejo.

Exp[11 + 5 I]//N16984. - 57414.8

x + Iy el nmero complejox + iyRe[z] parte realIm[z] parte imaginaria

Conjugate[z] complejo conjugado *z o zAbs[z] mdulo dez

Arg[z] el argumento eni

ez

Operaciones con nmeros complejos.

2.6. Acostumbrndose a Mathematica

Los argumentos de las funciones se colocan entre corchetes. Los nombres de las funciones incorporadas empiezan con letra mayscula. La multiplicacin se puede representar por un espacio. Las potencias se denotan por ^. Los nmeros en la notacin cientfica se ingresan, por ejemplo, como

2.5*^-4 2,5 10^-4.

Puntos importantes a recordar en Mathematica.

Esta seccin le ha dado una primera idea de Mathematica. Si ha utilizado otrossistemas informticos antes, habr advertido probablemente algunas similitudes yalgunas diferencias. A menudo encontrar en las diferencias las partes ms difcilesde recordar. Esto puede ayudarle, sin embargo, a entender un poco de por quMathematica funciona en la manera que lo hace, y por qu existen talesdiferencias.

Una caracterstica importante de Mathematica que difiere de otros lenguajes de

programacin, y de la anotacin matemtica convencional, es que los argumentosde una funcin se encierran en corchetes, no en parntesis. Los parntesis en

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Mathematica se reservan especficamente para indicar la agrupacin de trminos.Hay obviamente una diferencia conceptual entre dar argumentos a una funcin yagrupar trminos entre s; el hecho que la misma notacin a menudo se ha utilizado

para ambas cosas es en gran parte una consecuencia de la tipografa y de los primeros teclados de computadora. En Mathematica, los conceptos son

distinguidos por la diferente notacin.

Esta diferencia tiene varias ventajas. En la notacin de parntesis, no est claro si)1( xc + significa c[1 + x] c*(1 + x). Usar los corchetes para los

argumentos de una funcin quita esta ambigedad. Tambin permite que lamultiplicacin sea indicada sin el explcito * o algn otro caracter. Porconsiguiente, Mathematica puede manejar expresiones como 2x y ax a(1 + x), tratndolos tal como en la notacin matemtica estndar.

Habr visto en esta seccin que las funciones incorporadas de Mathematica tienena menudo nombres absolutamente largos. Puede preguntarse por qu, por ejemplo,la funcin del nmero pseudaleatorio se llama Random, en lugar de, por ejemplo,rand. La respuesta, que depende mucho del diseo de Mathematica, es laconsistencia. Hay una convencin general en Mathematica que todos los nombresde funciones estn representados con palabras inglesas completas, a menos quehaya una abreviatura matemtica estndar para ellos. La gran ventaja de esteesquema es que es fiable. Una vez que usted sabe lo que una funcin hace, usted

por lo general ser capaz de adivinar exactamente cual es su nombre. Si losnombres fueran abreviados, tendra que recordar siempre cual abreviatura de las

palabras inglesas estndares fue utilizada.

Otra caracterstica de los nombres de funciones incorporadas en Mathematica esque todos comienzan con mayscula. En secciones posteriores, usted ver cmodefinir variables y funciones por si mismo. La convencin de la mayscula hacefcil distinguir objetos incorporados. Si Mathematica utilizara max en vez deMax para representar la operacin de encontrar el mximo, despus usted nunca

podra utilizarmax

como el nombre de una de sus variables. Adems, cuandousted lee los programas escritos en Mathematica, las maysculas de los nombresde objetos incorporados los hace ms fciles seleccionar.

2.7. Notaciones matemticas en cuadernos

Si usa una interfase basado en texto con Mathematica, entonces las entradas queusted vaya a hacer consistirn solamente en caracteres que digite directamente con

su teclado. Pero si usa una interfase de cuaderno entonces es posible que realiceotro tipo de entradas.19


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Usualmente se incorporan paletas las cuales operan como extensiones de suteclado, y poseen botones sobre los que usted puede hacer clic para ingresar algunaforma en particular. Puede acceder a las paleta estndares usando el submenPelettes del men File.

Haciendo clic en el botn de esta paleta ingresar pi en su cuaderno.

Haciendo clic en el primer botn una estructura en blanco par ingresar una potencia. Usted puede usar el mouse para rellenar esta estructura odesplazarse en ella con la tecla .

Tambin puede hacer ingresos como los anteriores mediante teclas especiales de suteclado.

el smbolo el smbolo el smbolo para constante exponencial(equivalente a E)el smbolo para 1 (equivalente a I)el smbolo (equivalente a Degree)lleva al exponente de una potencia

lleva al denominador de una fraccinlleva al subradical de una raz cuadradaregresa de un exponente, denominador o razcuadrada

Algunas maneras de ingresar notaciones especiales.

Esta es un clculo ingresado mediante los caracteres comunes de un teclado.

N[E^3/5]

4.01711

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Este es el mismo clculo ingresado usando una paleta o teclas especiales.

4.01711

Esta es una secuencia de las teclas que puede usarse para ingresar la entradaanterior.

4.01711

En un lenguaje de programacin tradicional tal como C, FORTRAN, Java o Perl, laentrada que usted da siempre debe consistir de una cadena de caracteres ordinarios

que se puedan digitar directamente del teclado. Pero el lenguaje de Mathematicatambin le permite dar entradas que contienen caracteres especiales, exponentes,fracciones, etctera.

El lenguaje incorpora muchas caractersticas de la notacin matemtica tradicional.Pero debe comprender que el objetivo del lenguaje es proporcionar una formaexacta y constante de especificar clculos. Y por consiguiente, no sigue todos losdetalles de la notacin matemtica tradicional.

Sin embargo, es posible conseguir que Mathematica produzca salidas que imitancada aspecto de notacin tradicional matemtica. Y es tambin posible paraMathematica importar texto que usa tal notacin, y en cierta medida traducirlo ensu propio lenguaje.

3. Clculos

3.1. Uso de resultados previos

Al realizar clculos, muchas veces usted necesita usar resultados previamenteobtenidos. En Mathematica, % siempre hace referencia al ltimo resultado.

% el ltimo resultado generado%% el penltimo resultado

%%...% (kveces) el k-simo previo resultado%n el resultado de la lnea de salida Out[n]

Formas de hacer referencia a resultados previos.

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Aqu tenemos el primer resultado.

5^3125

Esto agrega 6 al ltimo resultado.

% + 6131

Esto utiliza los dos ltimos resultados.

5 + % 2 - %%142

Hemos mencionado que las entradas y salidas en Mathematica son numeradas.Estos nmeros pueden ser usados para hacer referencia a resultados previos.

Esto suma los resultados de las lneas 1 y 3.

%1 + %3267

Si utiliza una interfase basada en texto en Mathematica, entonces las lneassucesivas de entradas y salidas aparecern siempre en orden, como se muestra eneste tem. Sin embargo, si utiliza una interfase de cuaderno, entonces varias lneassucesivas de entradas y salidas no necesariamente aparecen en orden. Usted puede

por ejemplo volver atrs e insertar el clculo siguiente dondequiera que desee enel cuaderno. Tenga en cuenta que % siempre invoca el ltimo resultado queMathematica gener. ste puede o no ser el resultado que aparece inmediatamenteencima de su actual posicin en el cuaderno. Con una interfase de cuaderno, lanica manera de saber cundo un resultado particular fue generado es mirar laetiqueta de

Out[n]

que tiene. Como usted puede insertar y suprimir en todas partes en un cuaderno, de acuerdo a su necesidad, el ordenamiento de losresultados en el cuaderno, por lo general, no tiene ninguna relacin con el orden enel cual los resultados fueron generados.

3.2. Definicin de variables

Cuando usted efecta clculos extensos, muchas veces es conveniente dar nombre

a los resultados intermedios. De la misma manera que en las matemticas

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23/225

tradicionales o en otros lenguajes de programacin, usted puede hacer estointroduciendo variables nombradas.

Esto inicializa el valor de la variable x con 6.

x = 6

6

Donde quiera que aparezca x, Mathematica la reemplaza por su valor 6.

x^3 - 25191

Esto asigna un nuevo valor para x.

x = 11 + 5

16

pi es inicializada con el valor numrico de con 20 dgitos de exactitud.

pi = N[Pi, 20]3.1415926535897932385

Aqu esta el valor de Sqrt[pi].

Sqrt[pi]1.77245385090551602730

x = value asigna un valor a la variablexx = y = value asigna un valor a las variablex ey

x = . o Clear[x] quita cualquier valor asignado ax

Asignando valores a variables.

Es muy importante recordar que los valores asignados a las variables sonpermanentes. Una vez que usted ha asignado un valor a una variable en particular,el valor ser almacenado hasta que usted lo remueva explcitamente. El valor, claroest, desaparecer si usted inicia una nueva sesin con Mathematica.

Olvidarse de las definiciones hechas es la causa ms comn de errores al usarMathematica. Si usted pusiera x = 5, Mathematica asume que usted siemprequiere que x tenga el valor5, hasta o a menos que usted e indique explcitamenteotra cosa. Para evitar los errores, usted debe quitar los valores definidos en cuantohaya terminado de usarlos.

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Quite valores que asigne a las variables en cuanto termine de usarlos.

Un principio til al usarMathematica.Las variables que usted define pueden tener cualquier nombre. No hay lmite parlongitud de sus nombres. Un inconveniente, sin embargo, es que los nombres de las

variables nunca pueden empezar con nmeros. Por ejemplo, x3 puede ser unavariable, pero 2x significa 2*x.

Mathematica usa letras minsculas y maysculas. Hay una convencin para losobjetos incorporados en Mathematica, los nombres de todos ellos empiezan conletra mayscula. Para evitar alguna confusin, usted siempre debe escoger nombresque empiecen con letra minscula.

aaaaa una variable cuyo nombre contiene slo letras

minsculasAaaaa una variable cuyo nombre empieza con unaletra mayscula (aplicable por lo general aobjetos incorporados en Mathematica)

Convenciones para nombrar variables.

Usted puede digitar frmulas que involucren variables en Mathematica de lamisma manera que lo hara matemticamente. Sin embargo, hay algunos puntosimportantes que observar.

x y significa x pory. xy sin espacio es la variable con nombre xy. 5x significa 5 porx. x^2y significa (x^2) y, no x^(2y).

Algunos puntos a observar cuando usamos variables en Mathematica.

3.3. Construccin de listas

Al realizar clculos, a veces es conveniente agrupar ciertos objetos, y tratarloscomo una sola entidad. Las listas proporcionan una manera de coleccionar objetosen Mathematica. Como veremos despus las listas son muy importantes enMathematica.

Una lista como {4,7,6} es una coleccin de tres objetos. Pero en muchos casosusted puede tratar esta lista como un solo objeto. Usted puede, por ejemplo, hacer

aritmtica con esta lista o asignarla a una variable.

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Aqu hay una lista de tres nmeros.

{4, 7, 6}{4, 7, 6}

Esto eleva al cubo cada nmero de la lista, y le resta 2.

{4, 7, 6}^3 - 2{62, 341, 214}

Esto toma la diferencia entre los correspondientes elementos de las doslistas. Las listas deben ser de la misma longitud.

{9.5, 8, 7} - {3, 4, 2.3}{6.5, 4, 4.7}

El valor de % es el de la lista

%{6.5, 4, 4.7}

Usted puede aplicar cualquier funcin matemtica a la lista.%//N{665.142, 54.5982, 109.947}

Esto asigna una lista en la variable u.

u = {5, 3, 8.2}{5, 3, 8.2}

Esto asigna una lista en la variable u.(u + 1)/(u - 6)

{-6,3

4 , 4.18182}

3.4. Manipulacin de los elementos de una lista

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Muchas de las ms potentes operaciones de manipulacin de listas en Mathematicatratan a las listas como un solo objeto. A veces, sin embargo, extraer un conjuntoindividual de elementos de una lista.

Usted puede referirse a un elemento de una lista en Mathematica mediante su

ndice. Los elementos son numerados en orden, empezando en 1.

{a,b,c} una listaPart[list,i] o list[[i]] el i-simo elemento de list(el primer

elemento es list[[1]])Part[list,{i,j, }] o

list[[i,j, ]]una lista formada por los elementos i,j, ... delist

Operaciones con elementos de una lista.

Esto extrae el tercer elemento de la lista.

{4, -1, 8, -6}[[3]]8

Esto extrae una lista de elementos.

{4, -1, 8, -6}[[ {2, 3, 1, 2, 3, 4, 1} ]]{-1, 8, 4, -1, 8, -6, 4}

Esto asigna una lista en la variable u.

u = {7, 2, 4, 6}{7, 2, 4, 6}

Usted puede extraer elementos de u.

u[[3]]4

Al asignar una lista a una variable, usted puede usar las listas en Mathematica demanera similar a los arrays en otros lenguajes de programacin. De esta manera,

por ejemplo, usted puede resetear un elemento de una lista asignando un valor au[[i]].

Part[u,i] o u[[i]] extrae el i-simo elemento de una listaPart[u,i] = value o

u[[i]] = valueresetea el i-simo elemento de una lista

Operando listas como arrays.

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Aqu hay una lista.

u = {2, 1, 5, 7}{2, 1, 5, 7}

Esto resetea el segundo elemento de la lista.

u[[2]] = 00

Ahora la lista asignada a u se ha modificado.

u{2, 0, 5, 7}

3.5. Las cuatro formas de agrupar en Mathematica

En las secciones anteriores hemos introducido cada una de las formas de agruparen Mathematica. Cada una de ellas tiene diferente significado. Es importante queusted los recuerde.

(terms) parntesis para agruparf[x] corchetes para funciones

{a,b,c} llaves para listasu[[i]] corchetes dobles para indexar (Part[u,i])

Las cuatro formas de agrupar en Mathematica.

Cuando la expresin que usted digita es complicada, a veces es una buena ideaingresar un espacio en blanco para conjunto de agrupaciones. Esto hace que searelativamente fcil ubicar pares de agrupaciones. u[[ {a, b} ]] permite, porejemplo, fcilmente reconocer a u[[{a, b}]].

3.6. Secuencia de operaciones

Al realizar clculos con Mathematica, usted usualmente lo hace mediante unasecuencia de pasos. Si usted desea puede realizar cada paso en una lnea separada.

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A veces, sin embargo, es conveniente ingresar varios pasos en una misma lnea.Usted puede hacer esto simplemente separando cada una de las partes ingresadascon punto y coma.

exp1; exp2; exp3 hace varias operaciones y da el resultado en

la ltima lneaexp1; exp2; hace las operaciones pero no imprime la

salida

Formas de hacer secuencias de operaciones en Mathematica.

Esto realiza tres operaciones en una misma lnea. El resultado corresponde ala ltima operacin.

x = 3; y = 7; z = y - 2

5

Si usted finaliza su entrada con un punto y coma, esto es como si usted estuvieraingresando una secuencia de operaciones, con un punto y coma al final. Esto tieneel efecto de hacer que Mathematica calcule las operaciones especificadas, pero nomuestre la salida.

exp; realiza una operacin, pero no muestra lasalida

Inhibiendo la salida.

Aadiendo un punto y coma al final de la lnea le Mathematica que nomuestre la salida.

x = 47 + 5;

Usted puede usar% para poder visualizar la salida anterior.

%52

4. Uso del Sistema Mathematica

4.1. La estructura de Mathematica

Kernel (ncleo) deMathematica

la parte que realmente realiza los clculos

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Front end (parte visible) deMathematica

la parte que se ocupa de interactuar con elusuario

Partes bsicas del Sistema Mathematica.

Mathematica es un sistema de software modular, en el cual el kernelque realmenterealiza los clculos est separado del front endque se ocupa de la interaccin conel usuario. El tipo ms comn de front end de Mathematica est basado endocumentos interactivos conocidos como cuadernos. Los cuadernos mezclan lasentradas y salidas de Mathematica con texto, grficos, paletas y otros materiales.Usted puede usar los cuadernos para hacer clculos continuos o como medio para

presentar o publicar resultados.

Interfase de cuaderno documentos interactivos

Interfase basada en texto texto desde el tecladoInterfase de MathLink comunicacin con otro programas

Tipos comunes de interfase con Mathematica.

Un cuaderno que mezcla texto, grficos con entradas y salidas deMathematica.

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En algunos casos, puede que usted no necesite usar la interfase de cuaderno, y quedesee en cambio interactuar directamente con el ncleo de Mathematica. Usted

puede hacer esto usando la Interfase basada en texto, en la cual usted digita el textoen el teclado y ste va directamente al ncleo.

Un dilogo con Mathematica usando interfase basada en texto.

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Un aspecto importante de Mathematica es que no solamente puede interactuar con

usuarios humanos sino que tambin puede hacerlo con otros programas. Esto selogra principalmente a travs del MathLink, el cual es un protocolo estandarizado

para la comunicacin bidireccional entre programas externos y el ncleo deMathematica.

Un fragmento de cdigo C que se comunica va MathLinkcon el kernel deMathematica.

4.2. Cuadernos como documentos

Los cuadernos de Mathematica le permiten crear documentos que pueden verse

interactivamente en la pantalla o imprimirse en papel.

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Particularmente, en los cuadernos extensos, es comn tener los captulos, seccionesetc., representados cada uno en grupos de celdas. La extensin de estos grupos deceldas es indicada por el corchete que aparece a la derecha.

La agrupacin de celdas en un cuaderno se indica con los corchetes

anidados que aparecen en el lado derecho.

Un grupo de celdas puede estarabierto o cerrado. Cuando est abierto usted puedever todas sus celdas explcitamente. Pero cuando est cerrado, usted slo puede verla celda que encabeza el grupo de celdas.

Los cuadernos extensos son a menudo distribuidos con muchos grupos de celdascerradas, para que cuando usted vea por primera vez el cuaderno aprecie solamente

una lista de su contenido. Usted puede abrir las partes en las que est interesadohaciendo doble clic sobre el corchete apropiado.

Haciendo doble clic sobre el corchete que abarca un grupo de celdascerramos el grupo, dejando slo la primera celda visible.

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Cuando el grupo est cerrado, el corchete que le corresponde tiene unaflecha en la parte inferior. Haciendo doble clic sobre esta flecha abrimosnuevamente el grupo.

A cada celda dentro de un cuaderno se le asigna un estilo en particular que indicasu rol dentro del cuaderno. As, por ejemplo, el material entendido como entrada

para ser ejecutado por el ncleo de Mathematica est tpicamente el estilo de

Input (entrada), mientras que el que se entiende para ser ledo como puramentede texto est tpicamente en estilo Text (texto).

La interfase de Mathematica provee mens y mtodos abreviados de teclas paracrear celdas con diferentes estilos, y para cambiar estilos en las celdas existentes.

Esto muestra celdas en diferentes estilos. Los estilos no slo definen elformato del contenido de las celdas, sino que tambin su ubicacin yespaciado.

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Poniendo una celda en un estilo en particular, usted especifica una coleccin enterade propiedades para celda, incluyendo por ejemplo el tamao y la fuente del textoque se digitar.

La interfase de Mathematica permite modificar tales propiedades, bien sea para lasceldas completas o para material especfico dentro de las celdas.

Incluso dentro de una celda con un estilo en particular, la interfase deMathematica permite modificar una amplia gama de propiedades en forma

separada.

Vale mencionar que al hacer diversas clases de cosas con los cuadernos deMathematica, usted est utilizando diversas partes del sistema de Mathematica.Las operaciones tales como apertura y cierre de grupos de celdas, realizacin deanimaciones y reproduccin de sonidos utilizan solamente una parte pequea delfront end de Mathematica, y estas operaciones tranquilamente se pueden realizarcon un programa fcilmente disponible conocido como MathReader.Para poder crear y corregir los cuadernos, usted necesita ms que el front end deMathematica. Y finalmente, para poder actualizar los clculos dentro de uncuaderno de Mathematica, necesita un sistema completo de Mathematica, que

contenga el front end y el ncleo.

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MathReader lee cuadernos de Mathematicafront end de Mathematica crea y edita cuadernos en Mathematica

ncleo de Mathematica hace clculos en cuadernos

Programas requeridos para diversas clases de operaciones en los cuadernos.

4.3. Elementos activos en cuadernos

Una de las caractersticas ms potentes de los cuadernos de Mathematica es quesus acciones pueden ser programadas. As, por ejemplo, usted puede establecer un

botn en un cuaderno de Mathematica que permita realizar varias operacionessiempre que usted haga clic sobre l.

He aqu un cuaderno que contiene un botn.

Haciendo clic en el botn conseguimos que se muestre la fecha actual.

Ms adelante en este libro, discutiremos cmo usted puede crear botones y otrosobjetos similares en los cuadernos de Mathematica. Por ahora es suficiente decirque siempre que una celda se indique como activa, al hacer clic en los elementosactivos dentro ella se producir las acciones que han sido programadas para queestos elementos realicen.

Es comn inicializar paletas que consisten en una serie de botones. A veces tales

paletas aparecen como celdas dentro de un cuaderno. Aunque a menudo, se usa uncuaderno especial que aparece como ventana, que se puede ponerconvenientemente en algn lado de la pantalla de su computadora y utilizarconjuntamente con cualquier otro cuaderno.

Las paletas que consisten en una serie de botones a menudo son colocadasen cuadernos separados.

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En los casos ms simples, los botones en las paletas sirven como teclas adicionalesa su teclado. As, cuando usted presiona un botn, el carcter o el objeto mostradoen aquel botn es insertado en su cuaderno tal como si usted lo hubiera escrito amquina.

Aqu est una paleta de letras griegas con botones que actan como teclasadicionales a su teclado.

A menudo, sin embargo, un botn puede contener un placeholder indicado por .Esto significa que cuando usted presiona el botn, lo que se selecciona actualmenteen su cuaderno ser insertado en la posicin del placeholder.

Estos botones contienen placeholders indicados por .

Este es un cuaderno con una expresin seleccionada.

Al presionar el botn superior izquierdo de la ltima paleta la expresinseleccionada queda envuelta en una raz cuadrada.

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A veces los botones que contienen placeholders sern programados simplemente para insertar una cierta expresin en su cuaderno. Pero ms a menudo, sernprogramados para evaluar el resultado, envindolo como una entrada al ncleo deMathematica.

Estos botones se inicializan para realizar operaciones.

He aqu un cuaderno con una expresin seleccionada.

Al presionar el botn superior en la ltima paleta la expresin seleccionadaes simplificada.

Hay algunas situaciones en las cuales es conveniente tener varios placeholders enun solo botn. Su actual seleccin se inserta en la posicin del primer placeholder,indicada por . Los placeholder adicionales se indican por , y usted puedetrasladarse a travs de los placeholders sucesivos usando la tecla .

He aqu una paleta que contiene botones con varios placeholders.

He aqu una expresin en un cuaderno.

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Presionando el botn superior izquierdo en la ltima paleta insertamos laexpresin en el lugar de .

Usted puede trasladarse a los otros placeholders usando la tecla , yentonces los corrige para insertar lo que usted desea.

4.4. Hipervnculos y texto activo

El front end de Mathematica proporciona una variedad de formas de buscarpalabras o texto particulares en los cuadernos de Mathematica. Pero cuando losdocumentos son extensos o tenemos colecciones de documentos, conviene insertarhipervnculos que nos llevan inmediatamente a un punto especfico en uncuaderno, tal como se hace en los websites.

Los hipervnculos se indican generalmente por palabras o frases subrayadas,

y estn a menudo en un color diferente. Al hacer clic en un hipervnculo lelleva inmediatamente dondequiera que el hipervnculo seale.

Los hipervnculos en cuadernos trabajan bastante bien como los botones discutidosen la seccin anterior. Y de nuevo, todos los aspectos de hipervnculos son

programables.

De hecho, es posible crear texto activo en cuadernos que permita realizar casicualquier tipo de accin.

4.5. Acceso a la ayuda en una interfase de cuaderno

En la mayora de las versiones de interfase de cuaderno de Mathematica, el menHelp (ayuda) le da acceso al Help Browser(navegador de ayuda), el cual sirvecomo un punto de entrada a la gran cantidad de documentacin en lnea paraMathematica.

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Getting Started un inicio rpido en el uso de MathematicaBuilt-in Functions informacin sobre todas las funciones

incorporadas en MathematicaThe Mathematica Book el libro completo en lnea

Master Index ndice de todo el material documentado enlnea

Tpicos tipos de ayuda disponibles en la Interfase de notebook.

Un ejemplo de buscar la informacin bsica sobre una funcin en el HelpBrowserde Mathematica.

4.6. Acceso a la ayuda en una interfase basada en texto

?Name muestra informacin sobreName

??Name muestra informacin adicional sobreName

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?Aaaa muestra informacin sobre todos los objetoscuyos nombres empiezan conAaaa

Formas de recibir informacin directamente desde el kernel de Mathematica.

Esto da informacin de la funcin incorporada Log.

Usted puede preguntar por informacin acerca de cualquier objeto, si es

incorporado en Mathematica, ha sido ledo en un paquete de Mathematica o hasido introducido por usted.

Cuando utiliza ? para conseguir la informacin, debe cerciorarse de que el signode interrogacin aparezca como el primer carcter en su lnea de entrada. Debehacer esto de modo que Mathematica sepa cundo usted est solicitandoinformacin y no est dando una entrada ordinaria para ser evaluada.

Vale mencionar que junto con la informacin brindaba aparece un hipervnculo en

color azul con la palabra More. Haciendo clic sobre este hipervnculoMathematica nos lleva directamente a la informacin de la misma en el HelpBrowser.

Puede conseguir informacin adicional usando ??.

?Aaaa le dar la informacin de un objeto en particular cuyo nombre especifique.Usando el caracter*, sin embargo, usted puede obtener informacin sobre todoslos objetos con nombres similares. As pues, por ejemplo ?Lo* brinda informacinsobre todos los objetos cuyos nombres contengan las letras Lo, seguidas por

cualquier cadena de caracteres.

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Esto da informacin sobre todos los objetos de Mathematica cuyos nombrescomiencen con Lo. Cuando hay ms de un objeto, Mathematica enumerasus nombres como hipervnculos y haciendo clic sobre ellos es posibleobtener informacin.

Haciendo clic en Log de la lista anterior se obtiene la respectivainformacin.

Usted puede poner* en cualquier lugar de la cadena que ingresa iniciada con ?.Por ejemplo, ?*Expand le dara todos los objetos cuyos nombres terminan enExpand. De manera similar?P*d le dara los objetos cuyos nombres comienzancon P, terminan con d, y tienen cualquier cadena de caracteres intermedios. (Noteque la manera en que se utiliza * para especificar nombres en Mathematica essimilar a la manera que se utiliza * en Unix y otros sistemas operativos paraespecificar nombres del archivos.)

Usted puede pedir la informacin sobre la mayor parte de las formasespeciales de entrada que Mathematica utiliza. Esto pide la informacin

acerca del operador:=.

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4.7. Paquetes en Mathematica

Una de las caractersticas ms importantes de Mathematica es que es un sistemaextensible. Hay una cierta cantidad de funciones incorporadas en Mathematica.Pero usando el lenguaje de programacin de Mathematica, siempre es posibleaadir ms funciones.

Para muchos tipos de clculos, lo incorporado en la versin estndar deMathematica ser suficiente. Sin embargo, si usted trabaja en particular en un reaespecializada, puede encontrarse en la necesidad de utilizar ciertas funciones noincorporadas en Mathematica.

En tales casos, usted podra encontrar un package (paquete) de Mathematica quecontiene las funciones que usted necesita. Los paquetes de Mathematica sonarchivos escritos en el lenguaje de programacin de Mathematica. Los mismosconsisten en colecciones de definiciones hechas en Mathematica las cuales seaplican a reas particulares.


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GramSchmidt[{{1, 2}, {-7, 0}}]

Hay varias sutilezas asociadas a estas cosas como los conflictos entre los nombresde las funciones en los diferentes paquetes. Un punto importante que no debeolvidar es que usted no debe referirse a una funcin que leer desde un paqueteantes de leerla realmente en el paquete. Si usted hace esto por equivocacin, deberejecutar el comando Remove[name] para librarse de la definicin de la funcinque usted hizo antes de leer el paquete. Si usted no usa Remove, Mathematicausar su versin de la funcin, en lugar de la del paquete.

Remove[name] remueve una funcin que ha sido introducida

por errorAsegurndose que Mathematica use las definiciones correctas de los paquetes.

El hecho de que Mathematica pueda extenderse usando paquetes significa que laspartes de Mathematica son ilimitadas. En lo que al uso concierne, no hay enrealidad ninguna diferencia entre las funciones definidas en paquetes y lasfunciones incorporadas en Mathematica.

De hecho, un nmero determinado de las funciones descritas en este libro se

ejecutan como paquetes de Mathematica. Sin embargo, en la mayora de lossistemas de Mathematica, se han cargado los paquetes necesarios, de modo que lasfunciones que ellos definen estn siempre presentes.

Usted puede utilizar el Help Browserpara obtener informacin sobre los paquetesestndares de Mathematica. Para ello seleccione la tarjeta Add-ons & Links delmismo.

4.8. Advertencias y mensajes

Mathematica sigue su trabajo silenciosamente, dando salida solamente cuando haacabado de hacer de los clculos que usted pidi.

Sin embargo, si Mathematica se percata de algo que usted esta haciendo y quedefinitivamente no entiende, imprimir un mensaje para advertirle.

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La funcin de la raz cuadrada debe tener solamente un argumento.Mathematica imprime un mensaje para advertirle que usted ha dado dosargumento aqu.

Sqrt[4, 5]

Sqrt::argx : Sqrt called with 2 arguments; 1 argument is expected.

Sqrt[4, 5]

Cada mensaje tiene un nombre. Usted puede apagar mensajes usando Off.

Off[Sqrt::argx]

El mensaje Sqrt::argx ahora se ha apagado, y no volver a aparecer.

Off[Sqrt::argx]

Esto vuelve a encenderSqrt::argx otra vez.

On[Sqrt::argx]

Off[Funcin::etiqueta]

On[Funcin::etiqueta]

apaga (suprime) un mensajeenciende un mensaje

Funciones para controla la salida de un mensaje.

4.9. Interrupcin de clculos

Probablemente habr veces en que desee detener Mathematica en medio de unclculo. Tal vez usted se da cuenta que pidi a Mathematica hacer un clculoincorrecto. O quizs el clculo tarda demasiado, y usted quiere saber que es lo que

pasa.

La forma en que usted interrumpe un clculo en Mathematica depende de qu clasede interfase est utilizando.

++

interfase de cuadernointerfase basada en texto

Combinaciones de teclas para interrumpir clculos en Mathematica.

En algunos sistemas informticos, puede tomar a Mathematica un cierto tiempopara responder a su interrupcin. Cuando Mathematica responde, le dar un men

de cosas posibles para hacer.

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continueshow

inspectabort

exit

continuar el clculomostrar que est haciendo Mathematicaexaminar el estado actual de su clculoabortar este clculo en particular

salir de Mathematica completamenteAlgunas opciones disponibles cuando usted interrumpe un clculo en Mathematica.

5. Clculos algebraicos

5.1. Clculo simblico

Una de las caractersticas importantes de Mathematica es que puede hacer clculossimblicos y numricos. Esto significa que puede manejar frmulas algebraicas ascomo nmeros.

He aqu un tpico clculo numrico.

4 + 36 - 139

Este es un clculo simblico.7 x 3 x + 66 + 4x

Clculo numricoClculo simblico

4 + 36 - 1 39

7x - 3x + 6 6 + 4x

Clculo simblico y numrico.

Usted puede digitar cualquier expresin algebraica en Mathematica.-1 + 2 x + x^3-1 + 2x + x3

Mathematica realiza automticamente simplificaciones algebraicas bsicas.Aqu combina a 2x y a 24x para dar 23x .

x^2 + x - 4x^2x 3x2

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Usted puede digitar cualquier expresin algebraica, usando a los operadoresenumerados en la seccin 2.1. Puede utilizar espacios para denotar lamultiplicacin. Tenga cuidado de no olvidarse del espacio en x y . Si usted digitaxy sin espacio, Mathematica interpretar esto como solo smbolo, con el nombrexy, no como un producto de dos smbolos x y y.

Mathematica reordena y combina trminos usando las reglas estndares dellgebra.

x y + 2 x^2 y + y^2 x^2 - 2 y x-xy + 2x2y + x2y2

He aqu otra expresin algebraica.

(x + 2 y + 1)(x - 2)^2(-2 + x)2(1 + x + 2y)

La funcin Expand ampla productos y potencias.

Expand[%]4 3x2 + x3 + 8y 8xy + 2x2y

Factor hace lo inverso de Expand.

Factor[%]4 3x2 + x3 + 8y 8xy + 2x2y

Cuando digita expresiones complicadas, es importante que ponga los parntesis enlos lugares correctos. As, por ejemplo, debe dar la expresin yx4 en la forma

x^(4y). Si deja abiertos los parntesis, se interpretar como yx4 .

He aqu una frmula ms complicada, que requiere de varios parntesis.

Sqrt[2]/9801 (4n)! (1103 + 26390 n) / (n!^4 + 1)

Cuando usted digita una expresin, Mathematica aplica automticamente su granrepertorio de reglas para transformar las expresiones. Estas reglas incluyen lasreglas estndares del lgebra, tales como 0=xx , junto con reglas mucho mssofisticadas.

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Mathematica utiliza reglas estndares del lgebra para sustituir 4)1( x+

por 2)1( x+ .

Sqrt[1 + x]^4(1 + x)2

Mathematica no conoce ninguna regla para esta expresin, as que dejaexpresin en la forma original que usted le dio.

Log[1 + Cos[x]]Log[1 + Cos[x]]

La nocin de reglas de transformacin es muy general. De hecho, usted puedepensar en Mathematica como un simple sistema que aplica una coleccin de reglas

de transformacin a diferentes clases de expresiones.

El principio general que Mathematica sigue es simple de explicar. Toma cualquierexpresin que usted introduce, y obtiene resultados aplicando una sucesin dereglas de transformacin, detenindose cuando no hay ms reglas detransformacin que aplicar.

Tome cualquier expresin, y aplique reglas de transformacin hasta que elresultado no cambie ms.

El principio fundamental Mathematica.

5.2. Valores para smbolos

Cuando Mathematica transforma una expresin por ejemplo x + x en 2x, esttratando la variable x en forma puramente simblica o formal. En tales casos, x esun smbolo que puede representar cualquier expresin.

A menudo, sin embargo, usted necesita sustituir un smbolo como x por un valordeterminado. Algunas veces este valor ser un nmero; aunque frecuentementeser una expresin.

Para sustituir el smbolo x, que aparece en la expresin 1 + 2 x, con un valordeterminado; puede crear una regla de la transformacin en Mathematica, ydespus aplicar esta regla a la expresin. Para sustituir x por el valor 3, ustedcreara la regla de transformacin x->3. Debe digitar -> como un par de

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caracteres, sin espacio entre ellos. Puede interpretarx->3 como una regla en lacual x ser sustituido por3.

Para aplicar una regla de transformacin a una expresin particular deMathematica, usted digita expr/.regla. El operador de reemplazo /. se

digita como un par de caracteres, sin espacio entre ellos.

Esto utiliza la regla de transformacin x->3 en la expresin 1 + 2 x .

1 + 2x /. x -> 37

Usted puede sustituirx por cualquier expresin. Aqu cada ocurrencia de xes sustituida por2 - y .

1 + x + x^2 /. x -> 2 - y3 + (2 - y)2 - y

He aqu una regla de transformacin. Mathematica la trata como cualquierotra expresin simblica.

x -> 3 + y

x 3 + y

Esto aplica la regla de transformacin ltima a la expresin x ^ 2 - 9 .

x^2 - 9 /. %- 9 + (3 + y)2

expr /. x -> valor

expr /. {x -> xval, y -> yval}

reemplazax porvaloren la expresin exprealiza varios reemplazos

Sustitucin de smbolos por valores en expresiones.

Usted puede aplicar reglas juntas poniendo las reglas en una lista.

(x + y) (x - y)^2 /. {x -> 3, y -> 1 - a}(4 - a) (2 + a)2

El operador de reemplazo /. le permite aplicar reglas de la transformacin a unaexpresin particular. A veces, sin embargo, usted querr definir reglas detransformacin que se apliquen siempre. Por ejemplo, puede ser que desee sustituirx por3 siempre que aparezca x.

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Segn lo discutido en la seccin 3.2, usted puede hacer esto asignando el valor3 ax usando x = 3 . Una vez que haya hecho la asignacin x = 3 , x siempre sersustituido siempre por3, cuando aparezca.

Esto asigna el valor de3

ax

.

x = 33

Ahora x ser sustituido automticamente por3 dondequiera que aparezca.

x^2 - 18

Esto asigna la expresin 1 + a a x.x = 1 + a1 + a

Ahora x es reemplazado por1 + a .

x^2 - 1-1 + (1 + a)2

Usted puede definir como valor de un smbolo a cualquier expresin, no solamentea un nmero. Recuerde que una vez que haya dado tal definicin, sta continuarsiendo utilizada siempre que aparezca el smbolo, hasta que la cambie o quiteexplcitamente. Para la mayora de usuarios, el olvidarse quitar valores que hanasignado a los smbolos es la causa ms comn de errores al usarMathematica.

x=valor

x=.

define un valor parax que ser utilizadosiempreremueve cualquier valor definido parax

Asignando valores a smbolos.

El smbolo x todava tiene el valor que le asign arriba.

x + 5 - 2x6 + a - 2(1 + a)

Esto quita el valor que asign a x.

x =.

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Ahora x no tiene ningn valor definido, as que puede ser utilizado comovariable puramente simblica.

x + 5 - 2x5 - x

Los lenguajes de programacin tradicionales que no soportan el clculo simblicopermiten que las variables sean utilizadas solamente como nombres para objetos,tpicamente nmeros, que se han asignado como valores para ellos. EnMathematica, sin embargo, x se puede tambin tratar como variable puramenteformal, a la cual se le puede aplicar varias reglas de transformacin. Por supuesto,si usted da explcitamente una definicin, por ejemplo x = 3 , entonces x sersustituida siempre por3, y no sirve ms como variable formal.

Debe recordar que las definiciones explcitas por ejemplo x = 3 tienen un efecto

global. Por otra parte, un reemplazo tal como exp/ . x - > 3 afecta solamente a laexpresinespecfica expr.

Puede mezclar siempre reemplazos con asignaciones. Con asignaciones, puede darnombres a las expresiones en las cuales desea hacer reemplazos, o a las reglas queusted desea utilizar para hacer los reemplazos.

Esto asigna un valor al smbolo t.

t = 1 + x^21 + x2

Esto encuentra el valor de t, y despus sustituye x por2 en l.

t /. x -> 25

Esto encuentra el valor de t para un valor diferente de x.

t /. x -> 5a1 + 25 a2

Esto encuentra el valor de t cuando x es sustituido porPi, y luego evalael resultado numricamente.

t /. x -> Pi //N10.8696

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5.3. Transformacin de expresiones algebraicas

A menudo hay muchas formas diferentes de escribir la misma expresin algebraica. Como un ejemplo, la expresin 2)1( x+ puede ser escrita como

221 xx ++ . Mathematica proporciona una gran coleccin de funciones parahacer conversiones entre las diferentes formas de expresiones algebraicas.

Expand[expr]

Factor[expr]

desarrolla productos y potencias, escribiendoel resultado como suma de trminosescribe exprcomo un producto de factoresmnimos

Dos funciones comunes para transformar expresiones algebraicas.

Expand da la forma expandida, con los productos y las potenciasdesarrolladas.

Expand[ (1 + x)^2 ]1 + 2 x + x2

Factor recupera la forma original.

Factor[ % ]

(1 + x)2

Es fcil generar expresiones complicadas con Expand.

Expand[ (1 + x + 3 y)^4 ]

Factor a menudo le da expresiones ms simples.

Factor[ % ](1 + x + 3 y)4

Hay algunos casos, no obstante, donde Factor puede darle expresionesms complicadas.

Factor[ x^10 - 1 ]

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En este caso, Expand da la forma ms simple.

Expand[ % ]-1 + x10

5.4. Simplificacin de expresiones algebraicas

En muchas situaciones usted desea escribir una expresin algebraica en la formams simple posible. Aunque sea difcil saber exactamente lo que se entiende por laforma ms simple, un procedimiento prctico que vale la pena seguir es analizarvarias formas diferentes de una expresin, y elegir la de menor nmero de partes.

Simplify[expr]

FullSimplify[expr]

intenta encontrar la forma ms simple deexpraplicando varias transformacionesalgebraicas estndaresintente encontrar la forma ms simpleaplicando una amplia gama detransformaciones

Simplificacin de expresiones algebraicas.

Simplify escribe 122 ++ xx en forma factorizada.

Simplify[x^2 + 2x + 1](1 + x)2

Simplify deja a 110 x en forma expandida, puesto que para estaexpresin, la forma descompuesta en factores es ms grande.

Simplify[x^10 - 1]-1 + x10

Usted puede utilizar a menudo Simplify para mejorar expresionescomplicadas que obtiene como resultado de clculos.

He aqu la integral de )1/(1 4 x .

Integrate[1/(x^4 - 1), x]

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Al derivar el ltimo resultado deberamos volver a la expresin original. Eneste caso, como es comn, se obtiene una versin ms complicada de laexpresin original.

D[%, x]

Simplify permite volver a la forma original de la expresin

Simplify[%]

Simplify se usa para aplicar varias transformaciones algebraicas estndares a lasexpresiones que usted ingresa. A veces, sin embargo, puede usar transformacionesms sofisticadas para poder encontrar la forma ms simple de una expresin.

FullSimplify aplica una gama mucho ms amplia de transformaciones,incluyendo no solamente funciones algebraicas, sino tambin muchas otras clasesde funciones.

Simplify no altera esta expresin.

Simplify[Gamma[x] Gamma[1 - x]]Gamma[1 x] Gamma[x]

FullSimplify, sin embargo, consigue simplificarla.

FullSimplify[Gamma[x] Gamma[1 - x]]

Csc[ x]

Para expresiones muy pequeas, FullSimplify a menudo permitir obteneralgunas simplificaciones notables. Pero para expresiones grandes, puede llegar aser considerablemente lento. La razn de esto es que para hacer su trabajo,FullSimplify tiene que tratar de combinar cada parte de una expresin con otra, y

para expresiones grandes el nmero de casos que debe considerar puede serastronmicamente grande.

Simplify tambin tiene una tarea difcil de hacer, pero evita algunas de lastransformaciones que demandan ms tiempo y que son utilizadas porFullSimplify. Para los clculos algebraicos simples, por lo tanto, resultaconveniente aplicarSimplify a sus resultados.

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En clculos ms complicados, sin embargo, incluso Simplify puede ser quenecesite probar con un nmero muy grande de diversas formas, y por lo tanto tomeun largo tiempo. En tales casos, necesita hacer una simplificacin controlada, yutilizar su conocimiento de manera que usted gue el proceso.

5.5. Puesta de expresiones en diferentes formas

Las expresiones algebraicas complicadas se pueden escribir generalmente en variasmaneras. Mathematica proporciona una variedad de funciones para convertirexpresiones de una forma a otra. Las ms comunes de estas funciones sonExpand, Factor y Simplify. Sin embargo, cuando usted tiene expresionesracionales que contienen cocientes, puede ser que necesite utilizar otras funciones.

Expand[expr] desarrolla productos y potencias, escribiendoExpandAll[expr] aplica Expand por todas partes

Factor[expr] reduce a producto de factoresTogether[expr] pone todos los trminos sobre un comn

denominadorApart[expr] separa en trminos con denominadores

simplesCancel[expr] cancela factores comunes entre numeradores

y denominadoresSimplify[expr] aplica un conjunto de transformaciones

algebraicas y da la forma ms pequea deexprencontrada

Funciones para transformar expresiones algebraicas.

He aqu una expresin racional que puede ser escrita en varias formasdiferentes.

e = (x - 1)^2 (2 + x) / ((1 + x) (x - 3)^2)

Expand expande el numerador, pero deja el denominador en formafactorizada.

Expand[e]

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ExpandAll expande todo, incluyendo el denominador.

ExpandAll[e]

Apart separa la expresin en trminos con denominadores simples.

Apart[%]

Factor factoriza todo, en este caso reproduce la forma original.

Factor[%]

Segn Simplify, esta es la forma ms simple de escribir la expresinoriginal.

Simplify[e]

Conseguir expresiones en la forma que uno desea se convierte en todo un arte. Enla mayora de los casos, es mejor simplemente experimentar, intentando diversastransformaciones hasta que se consiga lo que se desea.

Cuando tenga una expresin con una sola variable, puede elegir escribirla comouna suma de trminos, un producto, etctera. Si tiene una expresin con variasvariables, hay una coleccin ms amplia de posibles formas. Usted puede, por

ejemplo, elegir agrupar trminos en una expresin de modo que una u otra de lasvariables sea dominante.

Collect[expr,x]FactorTerms[expr,x]

agrupa juntas todos las potencias dexextrae los factores que no dependen dex

Reordenamiento de expresiones en varias variables.

He aqu una expresin algebraica en dos variables.

v = Expand[(3 + 2 x)^2 (x + 2 y)^2]

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Esto agrupa los trminos de v afectados por la misma potencia de x.

Collect[v, x]

Esto agrupa juntas las potencias de y.Collect[v, y]

Uno de estos factores no depende de y.

FactorTerms[v, y]

Como hemos visto, cuando usted se limita a expresiones polinmicas racionales,hay muchas formas de escribir cualquier expresin particular. Si consideraexpresiones ms complicadas, que incluyan, por ejemplo, funciones matemticastrascendentes, la variedad de formas posibles llega a ser mayor. Por consiguiente,es imposible tener una funcin incorporada especfica en Mathematica para

producir cada forma posible. Ms bien Mathematica le permite construir sistemasarbitrarios de reglas de transformacin para hacer diversas conversiones. Sinembargo hay algunas funciones incorporadas adicionales de Mathematica paratransformar expresiones.

TrigExpand[expr] expande expresiones trigonomtricas en unasuma de trminos

TrigFactor[expr] factoriza expresiones trigonomtricas enproductos de trminos

TrigReduce[expr] reduce expresiones trigonomtricas usandongulos mltiples

TrigToExp[expr] convierte funciones trigonomtricas aexponenciales

ExpToTrig [expr] convierte funciones exponenciales atrigonomtricas

FunctionExpand[expr] expande funciones especiales y otrasComplexExpand[expr] realiza expansiones asumiendo que todas las

variables son realesPowerExpand[expr] transforma pyx )( en pp yx , etc.

Algunas funciones ms para transformar expresiones.

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Esto expande la expresin trigonomtrica, escribindola de modo que todaslas funciones tengan argumento x.

TrigExpand[Tan[x] Cos[2x]]

Esto utiliza identidades trigonomtricas para factorizar la expresin.

TrigFactor[%]

Esto reduce la expresin usando ngulos mltiples.

TrigReduce[%]

Esto expande el seno asumiendo que x e y son reales.

ComplexExpand[ Sin[x + I y] ]

Esto hace la extensin asumiendo que x e y son complejos.

ComplexExpand[ Sin[x + I y], {x, y} ]

Las transformaciones a expresiones hechas por funciones como Expand yFactor siempre son correctas, independientemente del valor que puedan tener lasvariables simblicas en las expresiones. A veces, sin embargo, es til realizartransformaciones que slo son correctas para algunos posibles valores de lasvariables simblicas. Una transformacin como esta la realiza PowerExpand.

Mathematica no expande automticamente potencias no enteras deproductos.

Sqrt[x y]

PowerExpand hace la expansin.

PowerExpand[%]

He aqu otro ejemplo.

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Sqrt[a^2]//PowerExpanda

5.6. Simplificacin con asunciones

Simplify[expr,asun] simplifica exp son asunciones

Simplificacin con asunciones.

Mathematica no simplifica esto automticamente, puesto que es solamenteverdad para algunos valores de x.

Simplify[Sqrt[x^2]]

2x es igual a x para 0x , pero no en otro caso.

{Sqrt[4^2], Sqrt[(-4)^2]}{4, 4}

Esto le dice a Simplify que haga la asuncin x>0, de modo que lasimplificacin pueda proceder.

Simplify[Sqrt[x^2], x > 0]x

Ninguna simplificacin automtica se puede hacer en esta expresin.

2 a + 2 Sqrt[a - Sqrt[-b]] Sqrt[a + Sqrt[-b]]

Si a y b son asumidos positivos, la expresin puede sin embargo sersimplificada.Simplify[%, a > 0 && b > 0]

He aqu un ejemplo simple que involucra funciones trigonomtricas.

Simplify[ArcSin[Sin[x]], -Pi/2 < x < Pi/2]x

Element[x,dom] indica quex es un elemento del dominiodom

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Element[{x1,x2,...},dom] indica que todos losxi son elementos deldominio dom

Reals nmeros realesIntegers enterosPrimes nmeros primos

Algunos dominios usados en asunciones.

Esto simplifica 2x asumiendo quex es un nmero real.

Simplify[Sqrt[x^2],Element[x, Reals]]Abs[x]

Esto simplifica el seno asumiendo que n es un entero.Simplify[Sin[x + 2 n Pi],Element[n, Integers]]Sin[x]

Con las asunciones dadas, puede ser utilizado el Pequeo Teorema deFermat.

Simplify[Mod[a^p, p], Element[a, Integers] &&

Element[p, Primes]]Mod[a,p]

Esto utiliza el hecho de que )sin( x , pero no )arcsin( x , es real cuandox es real.

Simplify[Re[{Sin[x], ArcSin[x]}],Element[x, Reals]]{Sin[x],Re[ArcSin[x]]}

5.7. Seleccionar partes de Expresiones Algebraicas

Coefficient[expr,form] coeficiente deform en exprExponent[expr,form] mxima potencia deform en expr

Part[expr,n] orexp[[n]] n-simo trmino de expr

Funciones para seleccionar partes de polinomios.

He aqu una expresin algebraica.

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e = Expand[(1 + 3x + 4y^2)^2]

Esto da el coeficiente de x en e.

Coefficient[e, x]

Exponent[expr,y] da la mayor potencia de dey que aparece en expr.

Exponent[e, y]4

Esto da trmino en e.

Part[e, 4]

Usted puede notar que la funcin Part[expr, n] usada para seleccionar eln-simo trmino en una suma es igual que la funcin descrita en la seccin 3.4

para seleccionar elementos en listas. sta no es ninguna coincidencia. En efecto,segn lo discutido en la seccin 3.5, cada expresin de Mathematica se puedemanipular estructuralmente como una lista. Sin embargo, segn lo discutido en laseccin 3.5, debe tener cuidado, porque Mathematica muestra a menudoexpresiones algebraicas en una forma diferente a como las trata internamente.

Coefficient trabaja incluso con polinomios que no estn explcitamenteexpandidos.

Coefficient[(1 + 3x + 4y^2)^2, x]

Numerator[expr]

Denominator[expr]

numerador de expr

denominador de expr

Funciones para seleccionar partes de expresiones racionales.

He aqu una expresin racional.

r = (1 + x)/(2 (2 - y))

Denominator selecciona el denominador.

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Denominator[%]

Denominator da 1 para las expresiones que no son cocientes.

Denominator[1/x + 2/y]1

5.8. Controlar la presentacin de expresiones grandes

Cuando usted hace clculos simblicos, es muy fcil encontrarse con expresionesextremadamente complicadas. A menudo, incluso no desear ver el resultadocompleto de un clculo.

Si termina su entrada con un punto y coma, Mathematica har el clculo que pidi, pero no mostrar el resultado. Puede sin embargo utilizar % o Out[n] parareferirse al resultado.

Aunque no desee ver el resultado completo de un clculo, a menudo necesita ver suforma bsica. Puede utilizar Short para presentar la salida de una expresin,omitiendo algunos de los trminos.

Terminar su entrada con ; impide a Mathematica mostrar el resultadocomplicado de un clculo.

Expand[(x + 5 y + 10)^8] ;

Usted puede referirse al resultado como %. //Short muestra el resultadoen una lnea. indica los n trminos que no se han mostrado.

% //Short

Esto muestra una versin de tres lneas de la expresin. Ms partes sonvisibles ahora.

Short[%, 3]

Esto da el nmero total de trminos en la suma.

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Length[%]45

comando; ejecuta comando pero no imprime elresultado

expr//Short muestra expren una sola lneaShort[expr,n] muestra expren n lneas

Algunas formas de acortar su salida.

5.9. Las limitaciones de Mathematica

En slo un comando de Mathematica, usted puede especificar fcilmente un

clculo que sea demasiado complicado de hacer para cualquier ordenador. Porejemplo, usted podra pedirExpand[(1+x)^(10^100)]. El resultado de esteclculo tendra ms trminos que el nmero total de partculas en el universo.

Usted no tendra ningn problema para resolver Expand[(1+x)^100] encualquier ordenador que pueda utilizarMathematica. Pero cuando usted aumenta elexponente de (1+x), los resultados que consigue tarde o temprano se harndemasiado grandes de almacenar para la memoria de su ordenador. Exactamente enqu punto sucede esto depende no solamente de la cantidad total de memoria que

su computadora tiene, sino a menudo tambin de detalles tales como qu otrostrabajos esta realizando su computadora cuando usted intenta hacer su clculo.

Si su ordenador realmente se queda sin memoria en medio de un clculo, la mayorparte de versiones de Mathematica no tienen ninguna otra opcin, ms que pararseinmediatamente. Por consiguiente, es importante planificar sus clculos de modoque ellos nunca necesiten ms memoria de la que su ordenador tiene.

Incluso si el resultado de un clculo algebraico es absolutamente simple, las

expresiones intermedias que usted genera en el curso del clculo pueden ser muycomplicadas. Esto significa que incluso si el resultado final es pequeo, las partesintermedias de un clculo pueden ser demasiado grandes de manejar para suordenador. Si esto sucede, puede particionar su clculo, y resolver exitosamentecada parte del mismo. Usted debe saber que el esquema interno que Mathematicausa para direccionar la memoria es tal que cuando la parte de un clculo esterminada, la memoria que se usaba para almacenar las expresiones intermediasque surgen inmediatamente es hecha disponible para nuevas expresiones.

El espacio de memoria es el factor restrictivo ms comn en los clculos conMathematica. El tiempo tambin, sin embargo, puede ser un factor restrictivo.

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Usted por lo general esta preparado para esperar un segundo, o an un minuto, paraobtener el resultado de un clculo. Pero no lo esta para esperar una hora o un da, ycasi nunca ser capaz de esperar un ao.

El cdigo interno de Mathematica usa algoritmos sumamente eficientes y

optimizados. Pero hay algunas tareas para las cuales los mejores algoritmosconocidos siempre tarde o temprano toman una gran cantidad de tiempo. Unacuestin tpica es que el tiempo requerido por el algoritmo puede aumentar casiexponencialmente con el tamao de la entrada. Un caso clsico es la factorizacinde nmeros enterosdonde los mejores algoritmos conocidos requieren tiemposque crecen casi de manera exponencial con el nmero de dgitos. En la prctica,usted encontrar que FactorInteger[k] dar un resultado casi inmediatocundo k tiene menos de aproximadamente 40 dgitos. Pero si k tiene 60 dgitos,FactorInteger[k] puede comenzar a tomar un tiempo inmanejablemente

largo.

En algunos casos, hay mejora progresiva de los algoritmos que se conocen, demodo que las versiones sucesivas de Mathematica puedan realizar clculos

particulares cada vez ms rpidos. Pero las ideas de la teora de cmputo sugierenque muchos cmputos siempre requerirn una cantidad irreducible de trabajocomputacionalde modo que ningn algoritmo ms rpido sea encontrado algunavez para ellos.

Hacer aritmtica con los nmeros que contienen algunos cientos millones dedgitos.

Generar un milln de dgitos de nmeros como y e . Expandir un polinomio que da un milln de trminos. Factorizar un polinomio en cuatro variables con unos cien mil trminos. Reducir un sistema de desigualdades cuadrticas para unos miles de

componentes independientes. Encontrar las races enteras de un polinomio con grado un milln.

Aplicacin de una regla recurrente un milln de veces. Clculo de todos los primos hasta diez millones. Encontrar la inversa numrica de una matriz de 1000 1000. Solucin de un sistema lineal de un milln de variables con cien mil

coeficientes no ceros. Encontrar el determinante de una matriz entera de 250 250. Encontrar el determinante de una matriz simblica de 20 20.

Encontrar las races numricas de un polinomio de grado 200. Solucin de un problema de programacin lineal con cien mil variables.

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Encontrar la trasformada de Fourier de una lista con cien millones deelementos.

Representacin de milln de grficos primitivos. Clasificar una lista de diez millones de elementos.

Buscar una cadena que tiene diez millones de caracteres. Importacin de unos diez megabytes de datos numricos. Formatear unas cien de pginas con salida TraditionalForm.

Algunas operaciones que tpicamente toman algunos segundos en una PC 2004.

5.10. Uso de smbolos para etiquetar objetos

Hay muchas

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