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ücke
nbau
II
- Se
ile
Vorlesungsskript Brückenbau II - Seile
2. Auflage Februar 2011
Technische Universität Berlin Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren - Massivbau Sekretariat TIB 1 - B 2 Gustav-Meyer-Allee 25 13355 Berlin
Prof. Dr. sc. techn. Mike Schlaich Dr.-Ing. Annette Bögle Dipl.-Ing. Achim Bleicher
Tel +49 (0)30 314-721 30 Fax +49 (0)30 314-721 32 [email protected] www.ek-massivbau.tu-berlin.de
TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Inhaltsverzeichnis
I
INHALTSVERZEICHNIS
1 EINFÜHRUNG 1
1.1 Bauen mit Seilen 1
1.2 Charakteristische Eigenschaften 3
1.3 Tragseile und Abspannseile 5
1.4 Kinematische und elastische Eigenschaften 6
1.5 Statik des Einzelseils 8 1.5.1 Das dehnstarre und biegeschlaffe Seil: EA = , EI = 0 8 1.5.2 Das dehnsteife und biegeschlaffe Seil: EA , EI = 0 8 1.5.3 Das dehnsteife und biegesteife Seil EA , EI 0 9
2 DEHNSTARRES UND BIEGESCHLAFFES SEIL: EA = , EI = 0 10
2.1 Herleitung der Differentialgleichung für Gleichlast und Eigengewicht 10 2.1.1 Parameter und Begrifflichkeiten 10
2.2 Seil unter Gleichlast 13 2.2.1 Gleich hohe Aufhängepunkte 13 2.2.2 Unterschiedlich hohe Aufhängepunkte 18
2.3 Seil unter Eigengewicht 20 2.3.1 Gleich hohe Aufhängepunkte 20 2.3.2 Unterschiedlich hohe Aufhängepunkte 22
2.4 Nichtlinearer Zusammenhang zwischen Seillänge, Spannweite und Stich 24 2.4.1 Zusammenhang zwischen Seilkraft H und Durchhang f 25
2.5 Zusammenhang zwischen Last und Form für andere Streckenlasten 26 2.5.1 Zur Annäherung der Katenoide durch eine Parabel 26 2.5.2 Seilgeometrie für verschiedene Belastungen 27
2.6 Das Seil unter Einzellast 28
3 DEHNSTEIFES UND BIEGESCHLAFFES SEIL: EA , EI = 0 30
3.1 Seil unter Gleichlast 30 3.1.1 Ausgangszustand: gerade gespannt, gleich hohe Aufhängepunkte 30 3.1.2 Ausgangszustand: durchhängend, gleich hohe Aufhängepunkte 32
3.2 Seil unter Einzellast 38 3.2.1 Ausgangszustand: gerade gespannt, gleich hohe Aufhängepunkte 38 3.2.2 Ausgangszustand: durchhängend, gleich hohe Aufhängepunkte 40
4 DER E-MODUL VON SEILEN UNTER BERÜCKSICHTIGUNG DES DURCHHANGES 43 4.1.1 Allgemeines 43
LITERATUR 47
TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Inhaltsverzeichnis
II
TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Kapitel 1
1
1 Einführung
1.1 Bauen mit Seilen
Der Entwicklung der Seiltragwerke und der Leichtbauweise allgemein kommt auch das heutige Interesse an ökologischen Fragen, am Minimieren des Material-verbrauchs, an Demontierbarkeit und Wiederverwendbarkeit, der Nachhaltigkeit also, entgegen.
Die Fördertechnik, der Spannbetonbau und später indirekt die Produktion technisch einsetzbarer Textilien beschleunigten die Entwicklung hochfester Stahldrähte und Elastomerfasern, die heute in großen Mengen verarbeitet werden. Computer-unterstützte Rechenverfahren wurden entwickelt, so dass heute das Verhalten großer Systeme mit Tausenden von Elementen in ihrem nichtlinearen und zeitabhängigen Verformungsverhalten während der Montage und unter den verschiedenen Laststellungen sehr genau vorausberechnet werden kann. Seiltragwerke sind ein Teil des heutigen Leichtbaus, der sich im Bauwesen immer mehr durchsetzt.
Die Zahl der neuen großen Seilbrücken und deren Spannweiten wachsen ständig, mit der Akashi-Kaikyō-Brücke, eine rückverankerte Hängebrücke, als derzeitiger Rekordhalter mit einer Spannweite von 1991 m (Bild 1). Aber nicht nur die Großbrücken beeindrucken durch ihre Spannweite, sondern auch die Fußgängerbrücken mit ihren anschaulichen und greifbaren Details. Diese überschaubaren Tragwerke eignen sich besonders zum Studium des Kraftflusses im Gesamttragwerk als auch im Detail. Über die Jahre entstand so eine Vielzahl seilgestützter Konstruktionen, die sich aus den klassischen Schrägseil- bzw. Hängebrücken entwickelten (Bild 2).
Bild 1: Akashi-Kaikyō-Brücke, Japan Bild 2: Gahlensche Straße, Bochum
TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Kapitel 1
2
Im Hochbau sorgte der deutsche Pavillon auf der Expo 1967 in Montreal (Bild 3) für einen furiosen Auftakt der leichten Flächentragwerke aus Seilnetzen, gefolgt vom Olympiadach in München 1972 (Bild 4). Über die Jahrzehnte wurde eine Vielzahl weiterer komplexer Seiltragwerke geplant und gebaut wie zum Beispiel Seilnetz-fassaden, Ringseildächer für Stadien, ….
„Das Leichte ist schwer!“ [6]. Im Umgang mit dieser Bauweise mussten und müssen die Ingenieure einiges dazulernen, insbesondere den Umgang mit beweglichen, kinematischen Systemen. Diese Systeme können durch die Vorspannung stabilisiert werden, da sie der Verformung Rückstellkräfte entgegensetzt. Damit ist zusätzlich zur bekannten elastischen Steifigkeit die geometrische Steifigkeit zu beachten. Das Lastverformungsverhalten ist nichtlinear, die Lastangriffspunkte verschieben sich mit zunehmender Lastgröße, und die Lastfälle sind nicht superponierbar. Dazu gehört, dass man es bereits beim Entwurf versteht, eine zu den wesentlichen Hauptlasten „geometrie-affine“ Tragwerksform zu finden, um die „dehnungslosen“ Verformungen unter nicht-geometrie-affinen Lasten in vernünftigen Grenzen zu halten.
Bild 3: Deutscher Pavillon, Expo, Montreal
Bild 4: Olympiadach, München
TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Kapitel 1
3
Die mit diesen Leichtbauten verbundenen, durchaus erwünschten, ungewöhnlich großen Verformungen machen natürlich auch die konstruktive Durchbildung der Anschluss- und Verbindungsdetails zu einem wichtigen Anliegen des Ingenieurs. Schädliche Zwänge und Ermüdungsbrüche müssen vermieden werden. Die großen Bewegungen der Konstruktion müssen auch bei der Ausbildung der Dachhaut, dem Anschluss der Fassaden und der Ausbildung des Korrosionsschutzes berücksichtigt werden.
1.2 Charakteristische Eigenschaften
Durch Seilkonstruktionen können Ingenieurkonstruktionen oft wirtschaftlicher errichtet werden. Hierzu tragen ihre vielen spezifischen Vorteile bei, wie z. B.:
- große architektonische Gestaltungsfreiheit (Tabelle 1)
- geringes Eigengewicht der Konstruktion einerseits bedingt durch die hohe Festigkeit der Seile, andererseits dadurch, dass nur Zugkräfte und keine Biegung im Seilquerschnitt auftreten
- die Möglichkeit, Baukonstruktionen mit sehr großen Flächen und Spannweiten zu errichten
- verhältnismäßig billige und einfache Konstruktionsmontage, sehr oft ohne komplizierte Baugerüste
Außer den oben genannten Vorteilen weisen Seilkonstruktionen auch einige Nachteile auf:
- es entstehen bewegliche, kinematische Systeme
- es treten große Verformungen auf
- Lastverformungsverhalten ist nichtlinear, was eine aufwändigere statische Berechnung nach sich zieht
- Zugkräfte müssen durch aufwändigere Fundamente verankert werden
TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Kapitel 1
4
linear
räumlich
Rosensteingarten II, Stuttgart Voliere Hellabrunn, München
geschlossen
offen
Eislaufzelt Olympiapark, München
Olympiadach, München
streng, klar
frei
Gottlieb-Daimler-Stadion, Stuttgart
Deutscher Pavillon EXPO ´67, Montreal
Tabelle 1: Architektonische Gestaltungsfreiheit zugbeanspruchter Konstruktionen
TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Kapitel 1
5
1.3 Tragseile und Abspannseile
Wie die vertraute Wäscheleine wird das zugbeanspruchte Tragseil im Bauwesen im Wesentlichen quer zu seiner Achse belastet (Bild 5 und 6). Da das Seil definitionsgemäß eine global (aber nicht lokal) vernachlässigbar kleine Biegesteifigkeit hat, und wie eine Gelenkkette wirkt, kann es nur Zugkräfte in Achsrichtung aufnehmen. Ein Tragseil muss stetig oder polygonal gekrümmt sein, um Strecken- oder Einzellasten Umlenkkräfte entgegensetzen zu können.
Bild 5: Quer zur Achse belastetes Seil
Die Zugkraft in einem Abspannseil entsteht hingegen ausschließlich durch die Krafteinleitung an seinen beidseitigen Verankerungen (Bild 7). Auf seiner freien Strecke wird es quer zur Achse nur von (geringen) Eigenlastkomponenten belastet, die einen kleinen Durchhang bewirken, der sich als Gleichgewichtsfigur zwischen dieser Eigenlast als Streckenlast und der Seilkraft ergibt. Daraus folgt, dass ein Abspannseil mit zunehmender Seilkraft straffer wird und die für die Wirksamkeit der Abspannung maßgebende Verformungssteifigkeit in Richtung der Verbindungslinie zwischen den beiden Endpunkten (oft auch als scheinbarer E-Modul oder Sekantenmodul bezeichnet) um so näher an die Dehnsteifigkeit des geraden Seils herankommt, je geringer das Seilgewicht bzw. je steiler die Abspannung und je größer die Seilkraft ist.
Bild 6: Max-Eyth-See Brücke, Stuttgart: Hauptseil in Brückenmitte trägt als
Tragseil, vom Mast zum Fundament als Abspannseil
Bild 7: Aufwindkraftwerk, Manzanares, Spanien: Seile tragen als Abspannseil
TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Kapitel 1
6
1.4 Kinematische und elastische Eigenschaften
Während ein Seil auf eine zu seiner Geometrie affinen Laständerung mit Dehnungen in Achsrichtung und deshalb relativ kleinen Verformungen reagiert, bewirkt eine Veränderung der Lastkonfiguration (nicht-geometrie-affine Belastung) wegen der dehnungslosen Verformungen des Seils (ohne Dehnung der Seilachse) eine Veränderung der Seilgeometrie. Diese Verschiebungen können – bezogen auf die Ausgangsgeometrie – beträchtlich sein (Bild 9).
-gewichtsloses Seil unter Einzellast (Dreieck)
- gewichtsloses Seil unter zwei Einzellasten (Trapez)
- gewichtsloses Seil unter mehreren Einzellasten (Polygon)
Bild 8: Seilform in Abhängigkeit der Lastanordnung (hier geometrie-nichtaffin)
TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Kapitel 1
7
- hängendes Seil unter Eigengewicht (Kettenlinie Parabel bei kleinem f/l)
- Seil unter Gleichlast (Parabel)
- Seil unter Radiallast (Kreis)
Bild 9: Seilform in Abhängigkeit der Lastanordnung (hier geometrie-affin)
Für die allgemeine Betrachtung des kontinuierlich belasteten Tragseils oder des durchhängenden Stabzuges ist es sinnvoll, von einer quadratischen Parabel auszugehen, weil sich diese Form unter einer Gleichlast einstellt. In der Regel wird das Eigengewicht des Seiles vernachlässigt. Die Parabelgleichung ist einfach, und an ihr können die wesentlichen Zusammenhänge dargestellt werden, auch wenn die dazugehörige Gleichlast in der Natur selten vorkommt. Kräfte in Seildächern mit abrutschendem Schnee, Windlasten und ungleichmäßige Eigenlasten sind so nur angenähert erfassbar [6].
TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Kapitel 1
8
1.5 Statik des Einzelseils
Je nachdem wie genau die Seilkraft bzw. Beanspruchung, die Seillänge und die Seildehnungen bekannt sein müssen, können differenzierte Betrachtungen auf drei unterschiedlichen Ebenen durchgeführt werden:
1.5.1 Das dehnstarre und biegeschlaffe Seil: EA = , EI = 0
Die Kettenglieder im 18. und 19. Jahrhundert waren aus Schmiedeeisen und besaßen eine geringe Festigkeit. Um die vorhandene Zugkraft bei niedriger Festigkeit tragen zu können, war eine große Querschnittsfläche erforderlich. Dies führte zu einer großen Dehnsteifigkeit. Da zwischen den einzelnen Gliedern keine Biegesteifigkeit auftritt, ist die gegliederte Kette Sinnbild des dehnstarren und biegeschlaffen Seils.
Bild 10: Die gegliederte Kette Bild 11: Conwy Castle Bridge, Wales, 1826, Ingenieur: Thomas Telford
1.5.2 Das dehnsteife und biegeschlaffe Seil: EA , EI = 0
In dieser Betrachtungsebene wird die reale Dehnsteifigkeit des Seils berücksichtigt. Durch eine äußere Belastung dehnt sich der Querschnitt und das Seil wird länger. Bereits kleine Längenänderungen des Seils bewirken eine neue Seilgeometrie und ein neues Kräftegleichgewicht. Die Iterationen zum Erreichen des Kräftegleich-gewichts im gedehnten bzw. verformten Zustand sind wesentlicher Bestandteil dieser Betrachtungsebene. Auch hier besitzt das Seil keine globale Biegesteifigkeit.
TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Kapitel 1
9
1.5.3 Das dehnsteife und biegesteife Seil EA , EI 0
In der Regel handelt es sich bei einem Seil um ein konstruktives Element mit großer Länge und kleinem Querschnitt. In diesem Fall ist die Biegesteifigkeit annähernd Null. Wird dagegen ein kurzes Seilstück betrachtet, dann ist sehr wohl die Biegesteifigkeit des Querschnitts zu berücksichtigen. Bei Betrachtung bestimmter lokaler Situationen kann die Biegesteifigkeit des Seils nicht unberücksichtigt bleiben, wie z. B.:
- Seilklemme am Tragseil zum Anschluss des Hängerseils
- Einspann-/ Sattelstelle eines Spannbandes
Bild 12: Nordbrücke, IGA, Rostock Bild 13: Talbrücke Obere Argen, Wangen im Allgäu
Bild 14: Seilnetzbrücke am Löwentor, Stuttgart
Bild 15: Fußgängerbrücke, Untereggersberg
TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Kapitel 2
10
2 Dehnstarres und biegeschlaffes Seil: EA = , EI = 0
2.1 Herleitung der Differentialgleichung für Gleichlast und Eigengewicht
2.1.1 Parameter und Begrifflichkeiten
Es wird ein durchhängendes Seil mit unterschiedlich hohen Aufhängepunkten im statischen Gleichgewichtszustand unter lotrechten Lasten betrachtet. Zur Beschreibung der Seilkurve wird ein Koordinatensystem x, y mit den Aufhänge-punkten A und B aufgespannt (Bild 16). Die Seilkraft S = S(x) ist über die Spannweite veränderlich.
Bild 16: Lasten, Kräfte und geometrischen Größen am durchhängenden Seil
Lage des Koordinatensystems
In der Regel im Auflagerpunkt A
Seilgeometrie
h Höhendifferenz der Auflagerpunkte
l Spannweite zwischen den Auflagerpunkten
s Seillänge
f(x) Stich an der Stelle x
TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Kapitel 2
11
Lastart
Lasten quer zur Achse → Tragseil
- Einzellast (Ort des Lastangriffs)
- Streckenlast: Art der Verteilung (Eigengewicht g, Gleichlast q,
dreiecksförmige Lastverteilung)
Lasten in Achsrichtung → Abspannseil
- Zugkräfte
Kräfte
S Seilkraft
H Horizontalkomponente von S
V Vertikalkomponente von S
Kräftegleichgewicht
Aus dem horizontalen Gleichgewicht folgt:
.constH:H
Aus dem vertikalen Gleichgewicht folgt:
0dVVdsgdxqV:V
H
H
dy
dx
ds
q dx g ds
VS
S+dS V+dV
Bild 17: Kräftegleichgewicht am Element
Gleichlast q (g = 0) Eigengewicht g (q = 0)
dx
dVq
ds
dVg
TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Kapitel 2
12
Geometrische Beziehung
dx
dytan
Zwischen den Kräften H und V besteht folgende Beziehung:
dx
dyHtanHV
Seil – Differentialgleichung
Gleichlast q (g = 0) Eigengewicht g (q = 0)
2
''2
dV d yq H H y
dx dx
2q dx H y
1q x C dx H y
211 22 q x C x C H y
dV
gds
2dV g ds g 1 y ' dx
2
22
dV d yg 1 y ' H
dx dx
2 2g 1 y ' dx H y
Seilkraft S
2
2
dx
dy22 1HVHS
Seillänge s
dx'y1dx1dss
dx'y1dx1dydxds
22
dxdy
22
dxdy22
TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Kapitel 2
13
2.2 Seil unter Gleichlast
2.2.1 Gleich hohe Aufhängepunkte
y
x f
f
g
l
Bild 18: Seil unter Eigengewicht mit gleich hohen Aufhängepunkten (zum Beispiel bei einer Hängebrücke)
Aus der hergeleiteten Seil DGL für Gleichlast unter 2.1.1
yHCxCxq 212
21
folgt mit den Randbedingungen und den Integrationskonstanten die Seilgleichung.
Auflager A: x = 0, y = 0; Auflager B: x = l, y = 0
→ 0C2 und lqC21
1
1. Seilgleichung
xH2
lqx
H2
qy 2
2. Durchhang
Aus dieser Gleichung wird ersichtlich, dass es nicht reicht, die Parameter Belastung q und Spannweite l festzulegen, es ist eine weitere Festlegung nötig: Ist die Kraft H gegeben, ergibt sich der Parabelstich f = maximaler Durchhang in der Mitte zu:
12
2 212
x l
q l q l l qly( l) f
2 H 4 2H 2 8H
Das Minuszeichen ergibt sich aufgrund der Vorzeichendefinition: Die x-Achse geht durch die Auflagerpunkte, der Durchhang ist negativ.
TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Kapitel 2
14
3. Horizontalkraft
Umgekehrt gilt: Ist der Stich f gegeben, dann ergibt sich die Horizontalkraft H zu:
f8
lqH
2
Für die Parabelgleichung gilt dann:
xl
f4x
l
f4y 2
2
Zusammenstellung
In Abhängigkeit von H In Abhängigkeit von f
y xH2
lqx
H2
qy 2 x
l
f4x
l
f4y 2
2
y’ H2
qlx
H
q'y
l
f4x
l
f8'y
2
Die 1. Ableitung beschreibt die Steigung der Kurve. Für den Scheitelpunkt x = l/2 gilt dann y‘ = 0. Hier ist die Tangente horizontal und damit die Steigung Null. Im Auflagerbereich x = 0 wird die Steigung zu:
l
f4
H2
ql'y .
In Abhängigkeit von H In Abhängigkeit von f
y’’ H
q''y 2l
f8''y
Die 2. Ableitung macht eine Aussage über den Verlauf (Maß) der Krümmung in jedem Punkt: konkave Krümmung, konvexe Krümmung, Wendepunkt.
Die Krümmung ist die Änderung des Winkels als Funktion der Bogenlänge.
23
2'y1
''y
TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Kapitel 2
15
Da im Scheitel gilt y’ = 0 (die Steigung ist Null) gilt hier y‘‘ = .
RqH
R
1
H
q''y
2l
f8''y
Zum Vergleich: Kessel- oder Ringformel
q
H1R
RqH
f8
l1R
2
4. Seilkraft
2
dx
dy22
H2
lqx
H
q1H1HVHS 2
2
Maximale Seilkraft
Verhältnis zw ischen H/S und f/l
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 f/l
H/S
Bild 19: Verhältnis zwischen H/S und f/l
22
l)x0,(xmax l
f41H
H2
lq1HS
TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Kapitel 2
16
5. Seillänge
dxy'1dx1dss
dx1dydxds
22
dxdy
2
dxdy22
Exakte Seillänge
Integration mit Hilfe des Substitutionsverfahrens:
dz8f
ldx
l
8f
dx
dzz'
l
4fx
l
8fy'z
2
2
2
Die neuen Integrationsgrenzen ergeben sich zu:
l
f4)l(z
l
f4)0(z
Das Integral sieht dann folgendermaßen aus:
lf4
lf4
dz z1f8
ldz
f8
l z1s 2
2)l(z
)o(z
22
Aus Bronstein
zsinharz1zdzz1 2
212
lf4
22
lf4
lf42
lf4
2
22
sinharf8
l1
2
ls
sinhar21l
f8
2
1
f8
ls
zsinharz1z2
1
f8
ls
lf4
lf4
Die exakte Seilgleichung ist eine transzendente Gleichung. Dies bedeutet, dass sie nicht einfach nach f auflösbar ist Die Lösungen können nur numerisch oder graphisch, jedoch nicht analytisch gefunden werden.
TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Kapitel 2
17
Genäherte Lösung (für f/l 0,2)
dx'y1sl
o
2
Entwicklung einer Taylor-Reihe
....)'y(642
31)'y(
42
1'y
2
11'y1 322222
l
0
642l
o
2 dx....'y16
1'y
8
1'y
2
11dx'y1s
Abbruch der Taylor-Reihe nach dem 2. Glied
2
2
3
22
4
22
2
2
l
f16x
l
f64x
l
f64
l
f4x
l
f8'y
sls
l3
f8ls
l
f8
l
f16
l3
f32ls
xl
f8x
l
f16x
l3
f32xs
dxl
f8x
l
f32x
l
f321dx'y
2
11s
2
222
l
02
22
3
23
4
2
l
02
2
3
22
4
2l
0
2
Wird die Reihenentwicklung erst nach dem 3. Glied abgebrochen, dann wird die Seillänge s zu:
3
42
l
f
5
32
l
f
3
8ls
TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Kapitel 2
18
2.2.2 Unterschiedlich hohe Aufhängepunkte
Bild 20: Seil unter Gleichlast mit unterschiedlich hohen Aufhängepunkten
Aus der hergeleiteten Seil DGL für Gleichlast unter 2.1.1
yHCxCxq 212
21
folgt mit den Randbedingungen und den Integrationskonstanten die Seilgleichung.
Auflager A: x = 0, y = 0; Auflager B: x = l, y = h
→ 0C2 und 2
lq
l
hHC1
1. Seilgleichung
xl
hx
H2
lqx
H2
qy 2
In Abhängigkeit von H In Abhängigkeit von f
y xl
hx
H2
lqx
H2
qy 2 x
l
hx
l
f4x
l
f4y 2
2
y’ l
h
H2
qlx
H
q'y
l
h
l
f4x
l
f8'y
2
Lage des Tiefpunktes
lq
Hh
2
lx
l
h
H2
qlx
H
q0'y
TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Kapitel 2
19
2. Durchhang
Lage des maximalen Stichs
H8
qlf
H8
ql
2
hy
2
lx
l
h
H2
qlx
H
q
l
h'y
2
2
3. Horizontalkraft
f8
lqH
2
4. Seilkraft
2
dx
dy22
l
h
H2
lqx
H
q1H1HVHS 2
2
Maximale Seilkraft
22
)lX/0x(max l
h
l
f41H
l
h
H2
lq1HS
5. Seillänge
(Näherung, Abbruch der Taylor-Reihe nach dem 2. Glied, f/l < 0,2)
2
2
2
2
l
0
2
2
l
0
2
l2
h
l
f
3
81ls
dxl
h
l
f4x
l
f8
2
11dx'y
2
11s
TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Kapitel 2
20
2.3 Seil unter Eigengewicht
Der Ursprung des Koordinatensystems wird hier so gelegt, dass der Tiefpunkt C die Koordinaten 0 und H/g hat (Bild 21).
2.3.1 Gleich hohe Aufhängepunkte
Bild 21: Seil unter Eigengewicht mit gleich hohen Aufhängepunkten
Aus der hergeleiteten Seil DGL für Eigengewicht unter 2.1.1
yHdx'y1g 22
folgt mit den Randbedingungen die Seilgleichung.
g
Hy,0x
g
Hfy,
2
lx
1. Seilgleichung
Gleichung der Kettenlinie
H
gxcosh
g
Hy
fH2
lgcosh
g
H
2
lxy
H
gxsinh'y
TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Kapitel 2
21
2. Durchhang
1H2
glcosh
g
H
g
H)(yf
2l
Mit der Reihenentwicklung
!n2
x.....
!4
x
!2
x1xcosh
n242
folgt für den Stich:
......H46080
lg
H284
lg
H8
glf
.....!6H64
lg
g
H
!4H16
lg
g
H
!2H4
lg
g
Hf
g
H....
!6H2
gl
g
H
!4H2
gl
g
H
!2H2
gl
g
H1
g
Hf
1H2
glcosh
g
Hf
5
65
3
432
6
66
4
44
2
22
322221
Folgerung:
1. Stich entspricht näherungsweise der Parabel
2. Exakte Bestimmung des Stiches nur iterativ möglich
3. Horizontalkraft
Im Gegensatz zur Parabellösung kann bei der Kettenlinie bzw. Katenoide der Horizontalzug wegen der transzendenten Gleichungen nicht direkt aus dem vorgegebenen Durchhang oder der Seillänge bestimmt werden. Daher muss zunächst ein Horizontalzug geschätzt werden und iterativ mit Hilfe der Gleichungen für den Durchhang (siehe 2. Durchhang) bzw. der Gleichungen für die Seillänge (siehe 5. Seillänge) solange verbessert werden, bis die Gleichung erfüllt ist.
4. Seilkraft
H
xgcoshH
H
xgsinh1HS
'y1HVHS
2
222
Maximale Seilkraft am Auflager 2
lx
H2
lgcoshHSmax
TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Kapitel 2
22
5. Seillänge
H2
lgsinh
g
H2s
H2
lgsinh
g
H
H2
lgsinh
g
H
H2
lgsinh
g
H
H2
lgsinh
g
Hs
H
xgsinh
g
Hdx
H
xgcoss
dxH
xgsinh1dx'y1s
2/l
2/l
2/l
2/l
2/l
2/l
22/l
2/l
2
2.3.2 Unterschiedlich hohe Aufhängepunkte
Auch bei unterschiedlich hohen Aufhängepunkten wird der Ursprung des Koordinatensystems so gelegt, dass der Tiefpunkt C die Koordinaten 0 und H/g hat (Bild 22).
Bild 22: Seil unter Eigengewicht mit unterschiedlich hohen Aufhängepunkten
Vom Tiefpunkt C aus haben die Aufhängepunkte A und B die Abstände a und b. Der Höhenunterschied zwischen A und B ist h.
H
gacosh
H
gbcosh
g
Hh
1. Seilgleichung
H
gacosh
H
gaxcosh
g
Hy
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23
2. Durchhang
Der Seilstich ist gemäß Definition die maximale Seilordinate, bezogen auf die Sehne. Der zugehörige Ort folgt aus:
l
h
H
gaxsinh'y
Ist x bekannt, berechnet sich f zu:
H
gacosh
H
gaxcosh
g
Hx
l
hf
3. Horizontalkraft
Im Gegensatz zur Parabellösung kann bei der Kettenlinie bzw. Katenoide der Horizontalzug wegen der transzendenten Gleichungen nicht direkt aus dem vorgegebenen Durchhang oder der Seillänge bestimmt werden. Daher muss zunächst ein Horizontalzug geschätzt werden und iterativ mit Hilfe der Gleichungen für den Durchhang (siehe 2. Durchhang) bzw. der Gleichungen für die Seillänge (siehe 5.Seillänge) solange verbessert werden, bis die Gleichung erfüllt ist.
4. Seilkraft
Die Seilkraft entlang des Seils ergibt sich in Abhängigkeit vom betrachteten Punkt x zu:
H
gaxcoshHS
Auch bei der Kettenlinie ist die Seilkraft am oberen Verankerungspunkt am größten.
bH
gcoshHSmax
5. Seillänge
Mit der Kenntnis von a und b kann die Seillänge berechnet werden.
22
CBAC H2
glsinh
g
H2c
H
gbsinh
H
gasinh
g
Hsss
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24
2.4 Nichtlinearer Zusammenhang zwischen Seillänge, Spannweite und Stich
Zwischen Seillänge, Spannweite und Stich besteht ein nichtlinearer Zusammen-hang. Die genäherte Lösung der Seillänge für eine Parabel (ein unter Gleichstrecken-last hängendes Seil) mit gleich hohen Aufhängepunkten ist:
∆sl3l
8f1l
3l
8fls
2
22
(siehe Kapitel 2.2.1)
l∆s0,6l∆s8
3f
l
f
3
8∆s
2
Dabei ist s die Differenz zwischen der Seillänge und der Spannweite.
Baupraktische Relevanz von ∆s:
Seilverlängerung S
Infolge von Toleranzen, Nachlassen, Schlupf, Seilkriechen
Infolge der elastischen Dehnung des Seils für EA
Auflagerverschiebung l
Infolge Nachgiebigkeit oder Beweglichkeit des Lagers
Fazit
Seil mit geringem Stich = f/l klein: s, l bewirkt großes f, große Änderung der Seilkräfte
Seil mit großem Stich = f/l groß: s, l bewirkt kleines f, geringe Änderung der Seilkräfte
TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Kapitel 2
25
Änderung der Seillänge - Auswirkungen auf den Stich
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 s/l
f/l
Bild 23: Nichtlinearer Zusammenhang zwischen Seillänge und Stich
2.4.1 Zusammenhang zwischen Seilkraft H und Durchhang f
x
11
lq
H8f
l
8
lq
8f
qlH
lf
2
Die dargestellte Funktion ist eine Hyperbel, H ist umgekehrt proportional zum Verhältnis Durchhang zu Spannweite f/l.
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20
f/l
H/q*l
Bild 24: Nichtlinearer Zusammenhang zwischen Horizontalkraft und Durchhang
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26
2.5 Zusammenhang zwischen Last und Form für andere Streckenlasten
2.5.1 Zur Annäherung der Katenoide durch eine Parabel
Zur Bewertung werden zwei Parameter vereinbart:
ql
2H
l/2
H/qm ;
l
fn
Hiermit lauten die Beziehungen zwischen Durchhang f und Horizontalzug H in dimensionsloser Form:
Katenoide:
1
m
1cosh
2
mnf
Parabel: 4m
1nf
Bild 25 a,b: Kurvenverlauf m als Funktion von nf
Bild 25 zeigt den Kurvenverlauf m als Funktion von nf, also die Abhängigkeit zwischen H und f. Die entsprechenden Beziehungen zwischen Seillänge s und dem Horizontalzug H lauten, wenn noch
l
sns
eingeführt wird.
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27
Katenoide: m
1sinhmns
Parabel: 22
s m
11
m
1ln
2
m
m
11
2
1n
In Teilbild b sind diese Funktionen gegenübergestellt. Aus Bild a erkannt man, dass erst oberhalb f/l ~0,12 erkennbare Abweichungen im Horizontalzug und damit in der Seilkraft auftreten. Vergleicht man für den zugeordneten m-Wert die Unterschiede im Kennwert sn , so stellt man geringfügige Abweichungen fest, d.h. die Seillänge ist
sensitiver. Die Ergebnisse zeigen, dass es für straff gespannte Seile und Seilabspannungen zulässig ist, von der Parabelnäherung auszugehen. Bei großem Durchhangverhältnis f/l, wie z.B. bei Freileitungen, dem Tragseilen von Hängebrücken, ist die Näherung nicht mehr vertretbar.
2.5.2 Seilgeometrie für verschiedene Belastungen
Bild 26: Seillinien in Abhängigkeit der Belastung
a) Seillinie unter Gleichlast 22
xl
f4x
l
f4
l
x1
l
x4fy
b) Seillinie unter dreiecksförmiger Last
2
2
l
x1
l
x60,2fy
c) Seillinie unter zwei dreiecksförmigen Lasten
2
2
l
x4
l
x63
l
x2fy
TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Kapitel 2
28
2.6 Das Seil unter Einzellast
Wird ein gewichtsloses, zwischen zwei Auflagerpunkten parabelförmig oder kettenlinienförmig hängendes Seil mit einer Einzellast belastet, dann verformt sich das Seil so weit, bis ein Gleichgewichtszustand erreicht ist. Dieser ist stabil (für diesen bestimmten Lastfall) aber leicht zu stören (eine neue Lastkonfiguration wird zu einer neuen Gleichgewichtsform führen).
Eine einzelne Einzellast führt ausschließlich zu einem geometrischen Problem, die Größe der Last hat keinen Einfluss auf die entstehende Gleichgewichtsform. Greifen dagegen mehrere Einzellasten an dem hängenden Seil an, dann ist das Gleichgewicht abhängig von der Laststellung und der Größe der Lasten.
Bild 27: Lastverformungskurve eines Seils unter Einzellast
TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Kapitel 2
29
Charakteristik der Lastverformungskurve eines Seils unter Einzellast: 1. Wirkungslinie des Lastangriffspunktes verschiebt sich
2. A = B = feste Lagerpunkte des Seils = Brennpunkt einer Ellipse
3. Angriff der Einzellast P an der Stelle s(x) = p (p = Störbereich): Seillinie verformt sich derart, dass die verschobene Wirkungslinie unmittelbar durch das Auflager führt, folglich wird s1 die volle Last abtragen und s2 spannungslos werden
4: Lastangriffspunkt < p: Lastabtragung ist nicht mehr über beide Auflager möglich
5. Ort der maximalen Verschiebung in Abhängigkeit des Verhältnisses f/l: f/l groß: größte Verformung in den Viertelspunkten f/l klein (gespannte Saite): größte Verformung in Feldmitte
TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Kapitel 3
30
3 Dehnsteifes und biegeschlaffes Seil: EA , EI = 0
3.1 Seil unter Gleichlast
3.1.1 Ausgangszustand: gerade gespannt, gleich hohe Aufhängepunkte
Ein gerade gespanntes Zugelement wird quer zu seiner Achse mit einer Gleichstreckenlast q belastet. Eine Lastabtragung ist nur möglich, wenn sich infolge der elastischen Dehnung ein Gleichgewicht einstellen kann. Bei diesem Gleichgewicht im verformten Zustand sind die Kräfte von der Höhe der Dehnungen abhängig. Dabei gilt: je geringer die elastische Dehnsteifigkeit EA desto größer sind die Dehnungen und desto kleiner die Zugkräfte im Seil.
Bild 28: Seil unter Gleichlast: Ausgangszustand: gerade gespannt mit gleich hohen Aufhängepunkten
gegeben:
s0 Seillänge im ungedehnten Zustand
l Spannweite im ungedehnten Zustand
q Belastung
EA Dehnsteifigkeit
hier: s0 = l
gesucht:
vH Horizontalkraft im verformten Zustand
ef Durchhang infolge elastischer Dehnung
vs Seillänge im gedehnten Zustand, Endzustand
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31
Gleichgewicht (1)
v
e
e
2
v H8
lq
l
fund
f8
lqH
Verträglichkeit (2)
Annahme: Es handelt sich um ein vergleichsweise flach gespanntes Seil mit einem kleinen Durchhang und daher darf die Horizontalkomponente H gleich der Seilkraft S gesetzt werden
EA
Hlls v
Geometrie (3)
sll
f
3
81ls
2
v
Die Gleichungen (1) und (2) werden in die Gleichung (3) eingesetzt. Dann ergibt sich die Horizontalkraft vH im verformten Zustand zu:
EA
H1l
H24
lq1l
EA
Hll
H8
lq
3
81l
v2v
22
v
2
v
24
lqEAH
223v
Durchhang infolge elastischer Dehnung ef
v
2
e H8lq
f
Seillänge im gedehnten Zustand vs
EA
Hllsls v
v
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32
3.1.2 Ausgangszustand: durchhängend, gleich hohe Aufhängepunkte
Ein parabelförmig hängendes gewichtloses Seil wird mit einer Gleichstreckenlast belastet. Dabei handelt es sich um eine geometrie-affine Belastung, es ergeben sich nur elastische Dehnungen.
Bild 29: Seil unter Gleichlast: Ausgangszustand: durchhängend mit gleich hohen Aufhängepunkten
gegeben:
s0 Seillänge im ungedehnten Zustand
l Spannweite im ungedehnten Zustand
q Belastung
EA Dehnsteifigkeit
gesucht:
vH Horizontalkraft in verformten Zustand
ef Durchhang infolge elastischer Dehnung
vs Seillänge im gedehnten Zustand, Endzustand
Zur Ermittlung der elastischen Dehnung und der Horizontalkraft können verschieden Zustände betrachtet werden:
1. Theorie I. Ordnung
Für die Berechnung der elastischen Dehnung bzw. elastischen Stichänderung wird die Horizontalkomponente im unverformten Zustand angesetzt (Lösung nach Kleinhanß).
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33
2. Theorie II. Ordnung
Nach Theorie II. Ordnung erfolgt die geometrisch nichtlineare Betrachtung am verformten System zunächst ohne Berücksichtigung des Gleichgewichts.
Für die Berechnung der elastischen Dehnung bzw. elastischen Stichänderung wird die Horizontalkomponente im unverformten Zustand nach Theorie I. Ordnung angesetzt (Lösung nach Kleinhanß).
Die Horizontalkomponente Hv wird für den verformten Zustand ermittelt.
Um das Gleichgewicht im verformten Zustand zu berücksichtigen (siehe 3. Geometrisch nichtlineare Berechnung) müsste zwischen Horizontal-komponente und elastischer Dehnung iteriert werden.
3. Geometrisch nichtlineare Berechnung
Für eine geometrisch nichtlineare Berechnung wird das Gleichgewicht im verformten Zustand berechnet (Lösung nach Palkowski).
Theorie I. Ordnung
Bild 30: Elastische Dehnung nach Theorie I. Ordnung
Bedingungen im unverformten Zustand:
Gleichgewicht (1)
f8
lqH
2
Horizontalkraft
2'y1HS Seilkraft
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34
Verträglichkeit (2)
Elastische Dehnung s
dsEA
Sds
EA
Nds
Edss
s
0
s
0
ds'y1EA
Hdx'y1
EA
Hs 2
l
o
2
dx'y1EA
Hs 2
Das Integral dx'y1 2 kann mit der Seilgleichung für eine Parabel xl
f4x
l
f4y 2
2
exakt gelöst werden
l 2
22
o
16f1 y ' dx l 1
3l
2
2
l3
f161l
EAH
s
Elastische Stichänderung fe
2
2
ee l3
f161l
EAH
fsf
2
2e
e l3
f161l
EAH
sf
f
Geometrie (3)
l3
f16
f
s
e
gilt für die Näherung der Seillänge
2
0 l
f
3
81ls für f/l 0,2
→
2
2
ef16
l31f
EA
Hf für f/l 0,2
Seillänge im verformten Zustand vs
sss 0v
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35
Theorie II. Ordnung
Zur Erläuterung dieses Ansatzes wird hier kurz die vergleichbare Betrachtung zur Ermittlung der Momentenschnittgröße Mv nach Theorie II. Ordnung am Ersatzbalken eingeführt.
f
f1
HH
ffHfH
)x(yH)x(M)x(yH)x(M
fHM
ev
ev
vvv
max
Bild 31: Elastische Dehnung nach Theorie I. Ordnung, Horizontalkraft Hv nach Theorie II. Ordnung
Die Horizontalkomponente Hv nach Theorie II. Ordnung verringert sich gegenüber H nach Theorie I. Ordnung durch die Vergrößerung des Stichs infolge elastischer Dehnung.
Zur Berechnung der elastischen Stichänderung kann die Näherung für f/l 0,2 nach Theorie I. Ordnung angesetzt werden.
2
2
ef16
l31f
EA
Hf
Die Horizontalkomponente im verformten Zustand nach Theorie II. Ordnung ergibt sich zu:
EAf8
f16
l31ql
1f8
ql
ff
1
HH
2
22
2
ev
TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Kapitel 3
36
Geometrisch nichtlineare Berechnung
Bild 32: Elastische Dehnung und Horizontalkraft Hv im verformten Zustand unter Berücksichtigung des Gleichgewichts im verformten Zustand
Bedingungen im verformten Zustand:
Gleichgewicht (1) 2
vv
q lH
8 f
Verträglichkeit (2)
dx'y1EA
Hs
l
o
2v
1. Vereinfachung: Die Seildehnung wird mit der Horizontalkomponente berechnet und ist über die Seillänge konstant. Daraus folgt:
EAsH
s 0v
Geometrie (3)
2. Vereinfachung gilt für f/l 0,2
ssl
f
3
81ls 0
2
v
Durch einsetzen von (1) in (3) folgt der Zusammenhang zwischen Seillänge und Belastung im verformten Zustand:
2v
22
vH24
lq1ls
TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Kapitel 3
37
Daraus folgt nach Umformen und Auflösen die kubische Gleichung zur Ermittlung der Horizontalkomponente im verformten Zustand unter Berücksichtigung der geometrischen Nichtlinearität.
0
32
0
2v
3v s24
lqEA
s
l1EAHH
Diese kubische Gleichung kann durch verschiedene Methoden gelöst werden:
- Nullstellensuche → quadratische Gleichung
- Substitution → Diskriminante → Fallunterscheidung
- Excel Lösungsblatt (Vortragsübung)
Elastische Stichänderung fe
fH8
lqf
v
2
e
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38
3.2 Seil unter Einzellast
3.2.1 Ausgangszustand: gerade gespannt, gleich hohe Aufhängepunkte
Ein gerade gespanntes gewichtsloses Zugelement wird quer zu seiner Achse mit einer Einzellast P in Feldmitte belastet. Eine Lastabtragung ist nur möglich, wenn sich infolge der elastischen Dehnung ein Gleichgewicht einstellen kann; vgl. Kapitel 3.1 Seil unter Gleichlast.
Bild 33: Seil unter Einzellast: Ausgangszustand: gerade gespannt mit gleich hohen Aufhängepunkten
TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Kapitel 3
39
gegeben:
s0 Seillänge im ungedehnten Zustand
l Spannweite im ungedehnten Zustand
P Belastung
EA Dehnsteifigkeit
hier: s0 = l
gesucht:
vH Horizontalkraft im verformten Zustand
ef Durchhang infolge elastischer Dehnung
vs Seillänge im gedehnten Zustand, Endzustand
Geometrisch nichtlineare Berechnung
Bedingungen im verformten Zustand:
Gleichgewicht (1)
ev f
2l2PH
Verträglichkeit (2)
dx'y1EA
Hs
l
o
2v
1. Vereinfachung: Die Seildehnung wird mit der Horizontalkomponente berechnet.
EAsH
s 0v
Geometrie (3)
sll
f21l
2
lf2s
222
v
2. Vereinfachung: Der Wurzelterm wird als Taylorreihe dargestellt und diese nach dem 2. Glied abgebrochen.
TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Kapitel 3
40
l
f2l....
l
f2
16
1
l
f2
8
1
l
f2
2
11ls
2642
v
l
f2ls
2
v
Durch Einsetzen von (1) in (3) folgt der Zusammenhang zwischen Seillänge und Belastung im verformten Zustand:
2
v
2
vv
H8
P1l
H4
lP
l
2ls
Mit (2) ergibt sich die Horizontalkraft vH im verformten Zustand zu:
8
PEAH
23
v
Durchhang infolge elastischer Dehnung ef
ve H4
lPf
3.2.2 Ausgangszustand: durchhängend, gleich hohe Aufhängepunkte
Ein dreiecksförmig hängendes gewichtsloses Seil wird mit einer Einzellast P in Feldmitte belastet. Dabei handelt es sich um eine geometrie-affine Belastung, es ergeben sich nur elastische Dehnungen.
Bild 34: Seil unter Einzellast: Ausgangszustand: dreiecksförmig durchhängend mit gleich hohen
Aufhängepunkten
TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Kapitel 3
41
gegeben:
s0 Seillänge im ungedehnten Zustand
l Spannweite im ungedehnten Zustand
P Belastung
EA Dehnsteifigkeit
gesucht:
vH Horizontalkraft im verformten Zustand
ef Durchhang infolge elastischer Dehnung
vs Seillänge im gedehnten Zustand, Endzustand
Geometrisch nichtlineare Berechnung
Bedingungen im verformten Zustand:
Gleichgewicht (1)
ev ff4
lPH
Verträglichkeit (2)
dx'y1EA
Hs
l
o
2v
1. Vereinfachung: Die Seildehnung wird mit der Horizontalkomponente berechnet.
EAsH
s 0v
Geometrie (3)
ss
lff2
1ls2
v
2. Vereinfachung: Der Wurzelterm wird als Taylorreihe dargestellt und diese nach dem 2. Glied abgebrochen.
l
ff2l....
l
ff2
16
1
l
ff2
8
1
l
ff2
2
11ls
2642
v
TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Kapitel 3
42
l
ff2ls
2
v
Durch Einsetzen von (1) und (2) in (3) folgt:
EA
sHs
H8
P1l v
2v
2
Daraus folgt nach Umformen und Auflösen die kubische Gleichung zur Ermittlung der Horizontalkomponente im verformten Zustand unter Berücksichtigung der geometrischen Nichtlinearität.
0
2
0
2v
3v s8
lPEA
s
l1EAHH
Diese kubische Gleichung kann durch verschiedene Methoden gelöst werden:
- Nullstellensuche → quadratische Gleichung
- Substitution → Diskriminante → Fallunterscheidung
- Excel Lösungsblatt (Vortragsübung)
Durchhang infolge elastischer Dehnung ef
fH4lP
fv
e
TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Kapitel 4
43
4 Der E-Modul von Seilen unter Berücksichtigung des Durchhanges
4.1.1 Allgemeines
Bei der Berechnung von Schrägseilbrücken wird oft mit geraden Zugstäben gerechnet. Um den Durchhang zu berücksichtigen muss der E-Modul „künstlich“ reduziert werden.
Zunächst soll der Durchhang allein betrachtet werden (Bild 35). Als Gedankenmodell wird ein Seil mit E = ∞ an dem unteren festen Punkt A gelenkig angeschlossen. Der obere Auflagerpunkt B sei auf einer Rolle gelagert. Die Auflagerpunkte haben den Abstand ls.
Wirkt an den Seilenden die Kraft S, wird das Seil nach der Form einer Kettenlinie durchhängen. Die Seillänge ist dann s > ls. Wird die Kraft S bis S = ∞ gesteigert, verläuft das Seil gerade. Der Endpunkt E wandert nach E´, indem er den Weg ∆ ls zurücklegt. Bei der Vergrößerung der Kraft auf S1 = S + ∆S wird sich der Punkt E um ∆∆ls = ∆ls - ∆ls 1 bewegen. Dieser Vorgang kommt einer Längenänderung des Seiles um ∆∆ls infolge ∆S gleich.
Die Betrachtung erfolgt am Seil mit geringem Durchhang, so dass das Eigengewicht entlang der Seilsehne angenommen werden kann.
Mit diesem Wege ∆∆ls lässt sich eine scheinbare Dehnung εf = ∆∆ls/ls berechnen. Für die praktische Rechnung hat es sich als zweckmäßig erwiesen, hieraus den scheinbaren Modul Ef = б/ εf zu ermitteln.
Bild 35: Gedankenmodell zum Seildurchhang
TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Kapitel 4
44
Das Spannungs-Dehnungs-Verhalten eines Seiles, dessen Durchhang durch eine reibungslose Unterstützung verhindert wird, ist durch seinen E-Modul charakterisiert, im Folgenden mit Ee bezeichnet.
Aus dem scheinbaren E-Modul infolge Durchhanges Ef und dem elastischen Anteil Ee kann ein ideeller Module Ei berechnet werden, der beide Anteile gleichzeitig erfasst.
ef i εε
σE
wobei für
E
σε und
E
σε
ee
ff zu setzen ist.
Daraus ef
ef i EE
EEE
.
Für die Berechnung von Ei muss ∆ls infolge des Durchhanges ermittelt werden. Einer genauen Berechnung müsste die Kettenlinie zugrunde gelegt werden. Diese Berechnung ist aber sehr aufwendig. Es wird daher die Näherungsberechnung mit der Parabel durchgeführt.
Gleichgewicht (1)
s
2s
f8
lcosαgS
S8
lcosαgf
2s
s
Geometrie (2)
s
2s
s l
f
3
8ls
ss ls∆l
s
2s
s l
f
3
8l
daraus folgt
2
3s
2
s S
lαcosg
24
1∆l
2
und
3
3s
22s
S
lαcosg
12
1
S
∆l
TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Kapitel 4
45
Verträglichkeit (3)
EA
lSl ss
s
s
s
s
∆l
S
A
l
∆l
l
A
S
ε
σE
Alαcosg
S12E
2s
22
3
f
2l
32
3
A
S12
mit
A
gγ
s
s
l
∆lε
A
Sσ
ee ε
σE
E
E1
E
EE
EEE
f
e
e
ef
efi
daraus folgt
Eσ12
l)(γ1
E E
e3
2e
i
Darin bedeuten:
[m] Seillänge s
[m²] cosαs l
[m²] tQuerschnit emetallisch A
[MN/cm] Seiles des htMetergewic g
[MN/m³]g/A γ
[MN/m²] Anteilrelastische Modul,-E E
[MN/m²] hnittSeilquersc im Spannung σ
e
TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Kapitel 4
46
Die Kurvenwerte (Bild 36) für verschlossene Seile sind aufgrund folgender Annahmen berechnet:
Ee = 170 MN/m².
γ nimmt für verschlossene Seile mit genügender Genauigkeit den Wert 0,084 MN/m³ an.
Bild 36: Kurventafel zu Entnahme von Ei in Bild 37: Kurventafel zu Entnahme von б in Abhängigkeit von б Abhängigkeit von бm
TU Berlin, Fachgebiet Entwerfen und Konstruieren – Massivbau Brückenbau II – Seile Literatur
47
Literatur
[1] Petersen, C.: Stahlbau, Verlag Vieweg und Sohn, Braunschweig /
Wiesbaden, 1988
[2] Peil, U.: Bauen mit Seilen, Stahlbau-Kalender 2000, Verlag Ernst und Sohn, 2000
[3] Otto, F.: Gestalt finden, Edition Axel Menges, 2001
[4] Berger, H.: Light Structures, Birkhäuser Verlag
[5] Palkowski, S.: Statik der Seilkonstruktionen, Springer Verlag, 1990
[6] Schlaich, J.; Gabriel, K.: Seiltragwerke, Baukonstruktionen, Hrg. Dierks, Schneider, Wormuth, Werner Verlag, 2002
[7] SFB 64: Alle Hefte
[8] IL-Reihe: Alle Hefte
[9] Hertel, H.: Leichtbau, Springer Verlag, Berlin, 1960
[10] Otto, F.: Das hängende Dach, Ullstein Verlag, Berlin, 1954
[11] Otto, F.: Zugbeanspruchte Konstruktionen, Bd. 1+2, Ullstein Verlag, Frankfurt, 1962
[12] Otto, F.: Natürliche Konstruktionen, DVA, Stuttgart, 1985.
[13] Wiedenmann, J.: Leichtbau, Bd. 1 + 2, Springer Verlag, Berlin, 1989
[14] Koch, K.-M.: Bauen mit Membranen, Prestel Verlag, 2004
[15] Eibl, J., Pelle, K., Nehse, H.: Zur Berechnung von Spannbandbrücken. Flache Hängebänder, Werner Verlag, Düsseldorf, 1973
[16] Strasky J.: Stress ribbon and cable-supported pedestrian bridges, Thomas Telford Ltd, London, 2005
[17] Ernst, H.-J: Der E-Modul von Seilen unter Berücksichtigung des Durchhanges, Der Bauingenieur 40, Heft 2, 1965