BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARITPhương trình mũ cơ bản: log x b a, 0 a 1 z b log x b x a a , 0 a 1 z b lgx b x 10 , lnx b x e b Ví dụ 1.1.3 Giải các phương trình: 1. 2

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT -

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )a a

f x g xlog f x log g x

f x 0 g x 0

==

( ) ( ) balog f x b f x a= =

( ) ( )a alog f x log g x ( )

• Nếu a 1 thì ( )( ) ( )

( )

f x g x

g x 0

• Nếu 0 a 1 thì ( )( ) ( )

( )

f x g x

f x 0

Chú ý: ( )alog f x có nghĩa ( )f x 0

0 a 1

.

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

Dạng 1. Biến đổi, quy về cùng cơ số Phương pháp:

( ) ( )( ) ( )a a

0 a 1log f x log g x

f x g x 0

=

=

Phương trình mũ cơ bản: alog x b= , ( )0 a 1

balog x b x a= = , ( )0 a 1

blgx b x 10= = , blnx b x e= =

Ví dụ 1.1.3 Giải các phương trình:

1. ( )2

25 5 3log 4x 5 log x log 27+ + = 2. 2 3 4 20log x log x log x log x+ + =

Lời giải.

1. Điều kiện: x 0

Phương trình cho trở thành: ( )5 5log 4x 5 log x 3+ + = đưa phương trình này về

phương trình dạng 24x 5x 125 0 x 5+ − = = hoặc 25

x4

= .

https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/



Vậy, phương trình cho có nghiệm x 5= hoặc 25

x4

= .

2. Điều kiện: x 0 . Bài toán áp dụng công thức đổi cơ số ba

b

log xlog x

log a=

Phương trình cho 2 2 22

2 2 2

log x log x log xlog x

log 3 log 4 log 20 + + =

2 22 2 2

1 1 1log x 1 0 log x 0 x 1

log 3 log 4 log 20

+ + − = = =

Vậy, phương trình cho có nghiệm x 1=

Chú ý: Ngoài ra bài toán trên ta có thể dùng công thức aln x

log xlna

= sẽ giải

quyết nhanh gọn và đẹp hơn .

Ví dụ 2.1.3 Giải phương trình: ( )2

3 3 2

xlog x 2 log 0

x 3x 3− + =

− +

Lời giải.

Điều kiện: 0 x 2

Cách 1: Phương trình cho viết lại: ( )2

23 3 2

xlog x 2 log 0

x 3x 3

− + =

− +

Hay ( )2

23 2

xlog x 2 . 0

x 3x 3

− =

− + tức ( )

22

2

xx 2 . 1

x 3x 3

− =

− + , giải

phương trình này ta được 3

x 1, x , x 32

= = = .

Cách 2: Phương trình cho viết lại: 3 3 2

xlog x 2 log 0

x 3x 3− + =

− +

Hay 3 2

xlog x 2 . 0

x 3x 3

− =

− + tức

2

xx 2 . 1

x 3x 3

− =

− + ( )

Nếu 0 x 2 thì ( )x 2 x 2 2 x− = − − = − . Khi đó phương trình ( ) viết lại:

2 2x 2x x 3x 3 x 1− + = − + = hoặc 3

x2

= .

Nếu x 2 thì x 2 x 2− = − . Khi đó phương trình ( ) viết lại:

2 2x 2x x 3x 3 x 3− = − + = .

Vậy, phương trình cho có 3 nghiệm 3

x 1, x , x 32

= = = .




Ví dụ 3.1.3 Giải phương trình: ( ) ( )22 1

2

log 8 x log 1 x 1 x 2 0− + + + − − =

Đề thi Đại học Khối B – năm 2011

Lời giải.

( ) ( ) ( )22 2log 8 x log 1 x 1 x 2− − + + − = . Với x 1;1− phương trình ( )

viết lại ( ) ( )22 2log 8 x 2 log 1 x 1 x − = + + + −

( )28 x 4 1 x 1 x − = + + − ( )

Đặt t 1 x 1 x= + + − , phương trình ( ) trở thành ( ) ( )2 2t 2 t 4t 8 0− + + = ,

phương trình này có nghiệm t 2= hay 1 x 1 x 2+ + − = . Bình phương 2 vế

và rút gọn ta được x 0= .

Chú ý: Từ ( ) ( ) ( ) 24 1 1 x 4 1 1 x x − + + − − =

2x 0

4x 4xx x 04 4

x1 1 x 1 1 x1 1 x 1 1 x

=

+ = = + =+ + + − + + + −

Ví dụ 4.1.3 Giải phương trình: 2lg 1 x 3lg 1 x 2 lg 1 x+ + − − = −

Lời giải.

Điều kiện: ( )2

1 x 0

1 x 0 1 x 1

1 x 0

+

− −

−

Để ý : 2lg 1 x lg 1 x 1 x lg 1 x lg 1 x− = + − = + + −

Phương trình cho lg 1 x 3lg 1 x 2 lg 1 x lg 1 x + + − − = + + −

( )lg 1 x 1 1 x 10 1 x 100 x 99 − = − = − = = −

Từ ( ) , ( ) suy ra phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 5.1.3

Giải phương trình: ( ) ( ) ( )226 23

2 2 2 21

log 3x 4 .log x 8 log x log 3x 43

− = + −

Lời giải.




Điều kiện:

( )

( )

6

2

3

3x 4 0

3x 4 0 43x 4 00 x

x 0 3x 0

x 0

− − −

Phương trình cho 2

2

2 2 2 26 1

log 3x 4 .3log x 8 log x 2log 3x 43 2

− = + −

( ) ( )22

2 2 2 26log 3x 4 .log x 2 log x 4 log 3x 4 − = + −

( ) ( )22

2 2 2 2 2 2log x log 3x 4 .log x 2 log 3x 4 2log 3x 4 .log x 0 − − + − − − =

( ) ( )2 2 2 2 2 2log x log x log 3x 4 2log 3x 4 log 3x 4 log x 0 − − − − − − + =

( )( )2 2 2 2log x log 3x 4 log x 2log 3x 4 0 − − − − =

2 22 22

2 2 2 2 2

log x log 3x 4log x log 3x 4 0

log x 2log 3x 4 0 log x 2log 3x 4 log 3x 4

= − − − = − − = = − = −

( )2

2

x 0x 0 x 1

x 3x 4x 3x 4 x 2

x 3x 416x 3x 4 x9x 25x 16 0 9

= = − = − = = − − = − = − + =

Vậy, phương trình cho có nghiệm: x 1= , x 2= , 16

x9

=

Lời bình :

Khác với bài trên , bài toán này lắm sai lầm mà người giải vấp phải

( ) ( ) ( ) ( )6 2

2 2 2 2log 3x 4 6log 3x 4 ,log 3x 4 2log 3x 4− = − − = − là các phép biến

đổi không tương đương , đôi chút ( )2

2 22 2 2

1log x log x log x!!!

2= = là không

thể .

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Giải các phương trình:

1. 2 4 8log x log x log x 11+ + = 2. ( ) ( )3 2x 1log 2x 1 2log 3 1+

+ = +

3. ( )22 2log x 2log 3x 4= + 4. ( ) ( )

23 3

log x 1 log 2x 1 2− + − =




5. 4 2 2 4log log x log log x 2+ = 6. ( )( )4 4x 2

log x 2 x 3 log 2x 3

− + + + = +

7. 3 3 3log (x 1) log (x 2) log 6− + − = 8. 22( 1 x 1 x 2)log (x x) 0− + + − − =

9. 5 3 5 9log x log x log 3.log 225+ =


1. 22 2 2log x log x log 9x+ = 2. 16 4 2 2log x log x log x log 108+ + =

3. 5 25 0,2log x log x log 3+ = 4. ( )x xlg 6.5 25.20 lg 25 x− − =

5. x 1 x5 5 5(x 1)log 3 log (3 3) log (11.3 9)+− + + = −

6. ( ) ( )2lg x 7x 6 lg x 1 1− + = − +

7. ( ) ( )2

3 3log x 1 log 2x 1 2− + − = 8. ( )2

xlog 2x 5x 4 2− + =

9. ( ) ( )4 2log x 3 log x 7 2+ − + = − 10. ( )

2lg x1

lg 6x 5=

−

11. ( ) ( ) ( )8

4 22

1 1log x 3 log x 1 log 4x

2 4+ + − =

12. 2 22 2 2log (x 3x 2) log (x 7x 12) 3 log 3+ + + + + = +


1. ( ) ( )x x 12 2log 2 1 .log 2 2 2++ + = 2. 3 2ln x 3ln x 4lnx 12 0− − + =

3. ( )x 2 51 log 5 log x 2++ = +

4. ( ) ( ) ( )2 3 3

1 1 1

4 4 4

3log x 2 3 log 4 x log x 6

2+ − = − + +


1. ( )22 2

x 5log log x 25 0

x 5

−+ − =

+ 2. ( )

26 6

x 1 11 log log x 1

x 7 2

−+ = −

+

3. ( ) ( )2

3 32log x 2 log x 4 0− + − = 4. ( )( )

2

2 2

lg x x 10 1 lg 4lg 2

log 3x 2 2 log 5

− + − −=

+ − −


1. ( ) ( ) ( )1 1 1

2 2 2

log x 1 log x 1 log 7 x 1− + + − − =

2. ( )22 2

x 5log log x 25 0

x 5

−+ − =

+




3. ( ) ( ) ( )21 2 2x 1

2

log 5 2x log 5 2x .log 5 2x+− + − −

( ) ( ) ( )2

2 2 2log 2x 5 log 2x 1 .log 5 2x= − + + −

4. ( )2

6 6x 1 1

1 log log x 1x 7 2

−+ = −

−

5. ( ) ( ) ( )2 3 3

1 1 1

4 4 4

3log x 2 3 log 4 x log x 6

2+ − = − + +

Dạng 2. Đặt ẩn phụ Phương pháp:

( ) ( )( )

( )a

a

t log g xf log g x 0 0 a 1

f t 0

= = =

Công thức đổi cơ số:

ab a

a b

log x 1log x log b

log b log a= = a,b,x 0;a,b 1 .


1. 2 2log x 10 log x 6 9+ + = 2. 9 3log x 1 log x 3 5+ + + =

3. 2log 2x log 6 log 4x2 2 24 x 2.3− =

Lời giải.

1. Đặt 2t log x= với x 0 và 210log x 6 0+

Phương trình đã cho đưa về dạng: ( )

2

9 t 010t 6 9 t

10t 6 9 t

− + = −

+ = −

từ đây

ta tìm được t 3= tức x 8= .


2. Đặt 3t log x= với x 0 và 3log x 3 0,+ 9log x 1 0+

Phương trình đã cho về dạng 1

t 1 t 3 52

+ + + = ( )1

Với điều kiện t 2 − , bình phương hai vế của ( )1 và rút gọn ta được

21 5 3t t 3 21 t

2 2 2+ + = −

2

2 t 14

t 292t 1716 0

−

− + =

t 6= tức x 64=


3. Phương trình cho 1 log x log x 2 2log x2 2 24 6 2.3+ +

− =




log x log x log x2 2 24.4 6 18.9 0 − − = log x log x2 22 2

4. 18 03 3

− − =

Đặt log x22

t , t 03

=

, ta có: 2 94t t 18 0 t

4− − = =

log x 22

22 9 2 1

log x 2 x3 4 3 4

−

= = = − =

.

Vậy, phương trình cho có nghiệm 1

x4

=

Ví dụ 2.2.3 Giải phương trình: ( ) ( )2 22 2 2log x x 1 log x.log x x 2 0− + − − =

Lời giải.

Với x 1 . Biến đổi phương trình về dạng:

( )( )

22

22 2 2

x xlog log x.log x x 2 0

x

−+ − − =

( ) ( )2 22 2 22log x x log x.log x x 2 0 − + − − = ( )

Đặt ( )22u log x x= − và 2v log x= . Đưa phương trình ( ) về phương trình:

( )( )u 1 v 2 0− − = u 1= hoặc v 2= .

Với u 1= thì ( )2 22log x x 1 x x 2 x 2− = − = = thỏa x 1

Với v 2= thì 2log x 2 x 4= =

Vậy, phương trình cho có nghiệm x 2,x 4= =



1. ( )log x2727 27

101 log x log x

3+ = 2. ( ) ( )

2 24 2lg x 1 lg x 1 25− + − =

3. ( ) ( )34 2lg x 1 2lg x 1 40− + − =

4. ( ) ( )2 23 2x 3 xlog 2x 9x 9 log 4x 12x 9 4 0− −− + + − + − =


1. ( )2 x 11 log x 1 log 4−+ − =

2. 2 22. log x log 16x 7 0+ − =

3. ( )2 x 11 log x 1 log 4−+ − =

4. 25x 5

5log log x 1

x+ =

5. 2 2xxlog 16 log 64 3 + =




6. 2 23 3log x log x 1 5 0+ + − =


1. ( )2lg 100xlg 10x lg x 4 6 2.3

− =

2. ( ) ( )x 1 x2 2 1

2

1log 4 4 .log 4 1 log

8+ + + =

3. ( ) ( )22

2x 1 x 1log 2x x 1 log 2x 1 4− ++ − + − =

4. ( ) ( )log x log x2 2 22 2 x 2 2 1 x+ + − = + 5.

2log 2x log 6 log 4x2 2 24 x 2.3− =

6. ( )3 9x3

42 log x log 3 1

1 log x− − =

− 7.

log 9 log x log 322 2 2x x .3 x= −

8. x 2x 2xlog 2 2log 4 log 8+ = 9.

2log 2x log 6 log 4x2 2 24 x 2.3− =

10. 2 3x 16x 4x

2

log x 14log x 40log x 0− + =

11. ( ) ( ) ( ) ( )23 3x 2 log x 1 4 x 1 log x 1 16 0+ + + + + − =

12. log x6

2 6log (x 3 ) log x+ = 13. log (x 1)32 x

+=

14. 2 225

log (x 2x 3) log (x 2x 4)− − = − − 15. 2 3log (1 x) log x + =

16. ( )x x5 4log 3 3 1 log 3 1

+ + = +

Dạng 3. Biến đổi phương trình về dạng tích Phương pháp:

( ) ( ) ( )f x .g x 0 f x 0= = hoặc ( )g x 0=

Ví dụ 1.4.3 Giải phương trình: 3 4 5log x log x log x+ =

Lời giải.

Dễ thấy, 4 4 3 5 5 3log x log 3.log x;log x log 3.log x= =

Với x 0 . Phương trình được viết dưới dạng:

3 4 3 5 3log x log 3.log x log 3.log x+ = 3log x 0 x 1 = =






1. 25x 5

5log log x 1

x+ = 2. 2 2xx

log 16 log 64 3 + =

Lời giải.

1. Điều kiện: 1

0 x5

.

Phương trình cho 5

2 255 5

5 5

5log 1 log xx log x 1 log x 1log 5x 1 log x

− + = + =

+

25 5 5log x(log x log x 2) 0 + − = ( )( )5 5 5log x log x 1 log x 2 0 − + =

5

5

25

log x 0 x 1

log x 1 x 5

log x 2 x 5−

= =

= = = − =

Vậy phương trình có ba nghiệm: 1

x 1;x 5;x25

= = = .


0 x 1,x2

.

Phương trình cho 2 22

2 2 22

log 16 log 64 2 63 3

log 2x log x 1 log xlog x + = + =

+

( )( )22 2 2 23log x 5log x 2 0 log x 2 3log x 1 0 − − = − + =

2

2 3

x 4log x 2

11 xlog x3 2

= = == −

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: 3

1x 4;x

2= = .


1. ( ) ( )29 3 32 log x log x.log 2x 1 1= + − 2. ( ) ( )x x

2 4log 5 1 .log 2.5 2 1− − =

Lời giải.

1. Với x 0 .

Phương trình được viết lại: ( )2

3 3 31

2 log x log x.log 2x 1 12

= + −

( )3 3 3log x 2log 2x 1 1 log x 0 − + − =

( )3 3log x 2log 2x 1 1 0 − + − = hoặc 3log x 0=




Với 3log x 0 x 1= =

Với ( ) ( )2

3 3 3 3log x 2log 2x 1 1 0 log x log 2x 1 1− + − = = + − với x 0

Tức là ( )2

x 2x 1 1= + − với 2x 0 x 4x 0 − = với x 0 x 4 =

Vậy, phương trình cho có nghiệm x 1= hoặc x 4=

2. ( ) ( ) ( ) ( )x x x x2 2 2 2

1log 5 1 .log 2 5 1 1 log 5 1 . 1 log 5 1 2

2 − − = − + − =

Hay ( ) ( )x x2 2 5log 5 1 1 log 5 1 2 0 x log 3 − − − + = =

hoặc 5

5x log

4=

Vậy, phương trình cho có nghiệm 5x log 3= hoặc 55

x log4

=


Bài 1: Giải các phương trình: ( )22 2lg x lg x.log 4x 2log x 0− + =

Bài 2: Giải các phương trình: 2 33 2 3 2log x log 8x.log x log x 0− + =

Bài 3: Giải các phương trình: ( ) ( )x x 13 3log 3 1 log 3 3 6+− − =

Bài 4: Giải các phương trình: ( )2

1 16

4

2 log 2x 17 2x 1 2log x+ + − + =

Dạng 4. Phương pháp đồ thị

Phương pháp:

Giải phương trình: ( )alog x f x= ( )0 a 1 ( )

( ) là phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị ay log x= ( )0 a 1 và

( )y f x= . Khi đó ta thực hiện 2 bước:

Bước 1: Vẽ đồ thị các hàm số: ay log x= ( )0 a 1 và ( )y f x= .

Bước 2: Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của 2 đồ thị.

Ví dụ 1.5.3 Giải phương trình: ( ) ( ) ( )3 2

3 2log x 1 3 x 1 3x 4 2log x 1 + + + + + = +

Lời giải.

Điều kiện x 1 −

Phương trình cho tương đương ( ) ( )3

3 2log x 2 2log x 1+ = + hay

( ) ( )3 23log x 2 2log x 1+ = +




Đặt ( ) ( )3 23log x 2 2log x 1 6t+ = + = suy ra 2t

t t

3t

x 2 39 8 1

x 1 2

+ = − =

+ =

tức : t t

1 81

9 9

+ =

( )

Xét hàm ( )t t

1 8f t

9 9

= +

, ta thấy hàm ( )f t nghịch biến , lại có ( )f 1 1= nên

t 1 = là nghiệm duy nhất của ( )

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 7.=

Ví dụ 2.5.3 Giải phương trình: ( )log x62 6log x 3 log x+ =

Lời giải.

Đặt t6t log x x 6= = . Phương trình đã cho trở thành : t t t6 3 2+ = , chia cả 2

vế cho t2 .

Xét hàm số ( )t

t 3f t 3 1

2

= + −

, vì

33 1

2 nên ( )f t tăng và ( )f 1 0− = , do đó

( )f t 0= xảy ra khi t 1= − tức 1

x6

= .

Vậy, phương trình cho có nghiệm 1

x6

=

Ví dụ 3.5.3 Giải phương trình: ( ) ( )22 24x 5 log x 16x 7 log x 12 0− − − + =

Lời giải.

Đặt 2t log x= , phương trình cho đưa về: ( )( )t 2 t x 3 0+ + − =

Với t 2= − thì x 0,25=

Với t 3 x= − , ta xét ( ) 2f x log x= , ( )g x 3 x= − .

Dễ thấy ( )f x luôn là hàm số đồng biến và ( )g x là hàm số nghịch biến.

Dựa vào đồ thị ta thấy ( )f x và ( )g x cắt nhau 1 giao điểm có hoành độ x 2= .

Phương trình cho có nghiệm x 0,25= , x 2= .

Ví dụ 4.5.3 Giải phương trình: ( ) ( )23 33x 5 log x 9x 19 log x 12 0− + − − =

Lời giải.

Điều kiện: x 0

Đặt 3t log x,= phương trình trở thành: ( ) ( )23x 5 t 9x 19 t 12 0− + − − =




Khi 5

x3

= : phương trình vô nghiệm.

Khi 5

x3

, ta có: ( )2

9x 11 = − , khi đó phương trình có 2 nghiệm t 3= − hoặc

4t

3x 5=

−.

Với t 3= − tức 33

1log x 3 x 3

27−= − = =

Với 4

t3x 5

=−

tức 34

log x3x 5

=−

Cách 1: Xét hàm số ( ) 34

f x log x3x 5

= −−

với 5

0 x3

Ta có: ( )( )

2

1 12f ' x 0

xln 3 3x 5= +

−

, với mọi 5

0 x3

( )xlim f x ,→+

= + ( )5

x3

lim f x ,−

→

= + ( )5

x3

lim f x+

→

= −

Lập bảng biến thiên, dễ thấy phương trình ( )f x 0= luôn có 2 nghiệm phân

biệt, hơn nữa ( )1

f 3 f 03

= =

nên phương trình ( )f x 0= luôn có 2 nghiệm

1x

3= hoặc x 3= .

Vậy, phương trình có 3 nghiệm 1 1

x ; ; 327 3

.

Cách 2:

TH1: Nếu 5

0 x3

: hàm số đồng biến trên khoảng 5

0;3

, hơn nữa 1

f 03

=

nên phương trình cho có nghiệm 1

x3

= .

TH1: Nếu 5

x3

: hàm số đồng biến trên khoảng 5

;3

+

, hơn nữa ( )f 3 0= nên

phương trình cho có nghiệm x 3= .

Vậy, phương trình có 3 nghiệm 1 1

x ; ; 327 3

.

Ví dụ 5.5.3




Giải phương trình: ( ) ( ) ( )21 x

2 2 2x.2 2.log 1 x x.log 1 x log x 1− + + = + + +

Lời giải.

Điều kiện: x 1 −

Phương trình cho viết lại:

( ) ( ) ( )1 x2 2 2x.2 2.log 1 x x.log 1 x 2log 1 x 0− + + − + − + =

( )1 x2x. 2 log 1 x 0 x 0− − + = =

hoặc ( )1 x

22 log 1 x 0 − − + =

Xét hàm số: ( ) ( )1 x2f x 2 log 1 x−= − + với x 1 −

Ta có: ( )( )

1 x 1f ' x 2 ln 2 0

x 1 ln 2−= − −

+, x 1 − suy ra ( )f x là hàm số nghịch

biến trên khoảng ( )1;− + , hơn nữa ( )x 1

lim f x 0,+→−

( )xlim f x 0→+

từ đó suy ra

đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm có hoành độ x 1= . Do đó phương

trình ( )f x 0= có nghiệm duy nhất x 1= .

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm x 0, x 1= =

Ví dụ 6.5.3 Giải phương trình:

1. ( )3x 1

77 2log 6x 5 1− − − = 2. ( )

23 2

2x 1log 3x 8x 5

x 1

−= − +

−

Lời giải.


x6

.

Phương trình đã cho viết lại: ( ) ( )x 177 6 x 1 6x 5 6log 6x 5− + − = − + − .

Xét hàm số ( ) 7g t t 6log t= + có ( )6

g' t 1 0,t ln7

= + t 0 suy ra ( )g t là hàm

đồng biến, khi đó ( ) ( )x 1 x 1g 7 g 6x 5 7 6x 5− −= − = − hay u7 6u 1= + với

u x 1= − .

Tiếp tục xét hàm ( ) ug u 7 6u 1= − − có ( ) ( )ug' u 7 ln7 6 g' u 0= − = khi và chỉ

khi ( )7 7u log 6 log ln7= −

Bảng biến thiên:

Vì hàm số ( )g u đồng biến trên khoảng ( );u− và nghịch biến trên khoảng

( )u;+ nên hàm ( )g u 0= có không quá hai nghiệm.




Mặt khác ( ) ( )g 0 g 1 0= = , cho nên u 0= hoặc u 1= là 2 nghiệm của phương

trình ( )g u 0= .

Khi u 0= tức x 1 0− = hay x 1=

Khi u 1= tức x 1 1− = hay x 2=

Vậy, phương trình đã cho có tập nghiệm S 1;2=

Chú ý: Cần tìm , sao cho ( ) ( )1 x 1 6x 5= − + − tương đương với

( )1 6 x 5= + −− . Đồng nhất hai vế ta được 6 = − và 1 = .

Vì thế ( ) ( )x 177 6log 6x 5 6 x 1 6x 5− − − = − − + − tức ta có phương trình

( ) ( )x 177 6 x 1 6x 5 6log 6x 5− + − = − + − .

Để hiểu hơn kĩ thuật phân tích trên, bạn đọc tìm đọc cuốn: “ Phương pháp giải toán

chuyên đề Phương trình, Bất phương trình, hệ phương trình – Bất đẳng thức “ nhóm

tác giả: Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Tất Thu.

2. Phương trình cho tương đương

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

3 3log 2x 1 2x 1 log 3 x 1 3 x 1− + − = − + − .

Xét hàm số: ( ) 3f t log t t= + , t 0 và ( )1

f ' t 1 0t ln3

= + với t 0 nên hàm

( )f t đồng biến trên khoảng ( )0;+

Phương trình ( ) có dạng ( ) ( )2

f 2x 1 f 3 x 1 − = −

( )2

2x 1 3 x 1− = − , phương

trình này có nghiệm 2

x3

= hoặc x 2= .

Vậy, phương trình cho có 2 nghiệm 2

x3

= hoặc x 2= .


Bài 1: Giải phương trình:

1. 5log x 2x 11 0+ − = 2. ( ) ( )2lg x x 6 x lg x 2 4− − + = + +

3. x33 1 x log (1 2x)= + + +


1. ( )log x 352 x+

= 2. log 4 log x log 223 3 38

x x .2 x3

= −


1. log 3 log 72 2x x x 2+ = − 2. ( ) ( )2 24 25

log x 2x 3 2log x 2x 4− − = − −




3. ( )

2

21

2

x 18log x 18x 31

2x 1

−= − −

+

4. x

x x

x x

1 1 53 5 3x 10 0

123 4

− + − − + − =


1. ( )3log 2x 1 x 2+ + = 2. ( ) ( )21 1

2 2

x 1 .log x 2x 5 .log x 6 0+ + + + =


1. ( )7 3log x log x 2= + 2. x

x2

2 1log 1 x 2

x

−= + −

3. ( )3x 1

77 1 2log 6x 5− = + − 4. 2

23 2

x x 3log x 3x 2

2x 4x 5

+ += + +

+ +

5. 2

6 22012 6 2

4x 2log x 3x 1

x x 1

+= − −

+ +

6.xx 2 x

29x 512

2 (2 1) log x 2xx

+ ++ + + =

Bài 6:

1. Tìm nghiệm dương của phương trình: 11

112x 3 x

2

1 1xln 1 x ln 1 1 x

x x

++

+ − + = −

2. Chứng minh rằng phương trình: ( )xx 1x x 1+ = + có một nghiệm dương duy

nhất.

3. Chứng minh rằng phương trình x 24 (4x 1) 1+ = có đúng ba nghiệm phân

biệt.

Dạng 5. Tìm tham số thực m thỏa mãn điều kiện I cho trước

Ví dụ Hệ phương trình 33 3

22 2x 2x 5

log (x 1) log (x 1) log 4 (1)

log (x 2x 5) m log 2 5 (2)− +

+ − −

− + − =

có hai

nghiệm phân biệt.

Lời giải.

Điều kiện : x 1 .




3 3

x 1 x 1(1) log log 2 2 1 x 3

x 1 x 1

+ +

− − (Do x 1 ).

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm phân biệt x thỏa

mãn1 x 3 .

Đặt 22t log (x 2x 5) 2 t 3 x (1;3)= − + và (2) trở thành

2mt 5 t 5t m (3)

t+ = − = −

Từ cách đặt t ta có: 2 t(x 1) 2 4− = − Với mỗi giá trị t (2; 3) thì cho ta đúng

một giá trị x (1;3) . Suy ra (2) có 2 nghiệm phân biệt x (1;3) (3) có 2

nghiệm phân biệt t (2; 3) .

Xét hàm số 2f(t) t 5t= − với t (2; 3)

Lập bảng biến thiên f(t) ta tìm được: 25

6 m4

.


Bài 1: Tìm m để phương trình :

1. ( ) ( )3 2122

log mx 6x 2log 14x 29x 2 0− + − + − = có 3 nghiệm p.biệt.

2. 2 23 3log x log x 1 2m 1 0+ + − − = có nghiệm trên đoạn 31;3

3. ( )2 2 22x x 2x x 2x xm.9 2m 1 6 m.4 0− − −− + + = nghiệm đúng x :

1x

2 .

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi m 0 phương trình sau luôn có nghiệm:

22

2x mx 2

log 2x x mx 2 12x 1

+ + = − + + −

−

( )

Bài 3: Tìm k để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt:

( ) ( )2x k 2 x 2x

122

4 log x 2x 3 2 log 2 x k 2 0− − − +− + + − + =

Bài 4: Tìm tất cả các giá trị của x để phương trình sau thỏa mãn m : 2 3 2 2

2 22 mlog (m x 5m x 6 x) log (3 x 1)

+− + − = − − .

Bài 5: Tìm tất cả các giá trị của x để các phương trình 2 2

2 22 mlog (m x 5mx 3 5 x) log (5 x 1)

+− + + − = − − thỏa mãn m .

Dạng 6. Giải bất phương trình




Ví dụ Giải bất phương trình:

1. ( ) ( )2 2log 3x 1 6 1 log 7 10 x+ + − − − 2. 2 1

2

5 12xlog log x 0

12x 8

−+

−

Lời giải.

1. Điều kiện:

3x 1 01

10 x 0 x 103

7 10 x 0

+

− −

− −

.

Bất phương trình tương đương với ( )2 23x 1 6

log log 7 10 x2

+ + − −

( )3x 1 6 2 7 10 x + + − − 3x 1 2 10 x 8 + + −

249x – 418x 369 0 + 369

1 x 49

(thoả điều kiện).

Vậy, bất phương trình cho có nghiệm 369

1 x 49

2. Bất phương trình đã cho tương đương với:

5 12xx

12x 85 12x

012x 8

− −

−

−

2

5 1x

6 212x 4x 50 5 1212x 8 xx

12 235 12x0

5 212x 8 x12 3

− − − +

− − −

.

Vậy, bất phương trình cho có nghiệm 5 1

x12 2


Bài 1: Giải các bất phương trình:

1. 2 21 5 3 1

3 5

log log x 1 x log log x 1 x + + + −

2. 2 3 2 3

4 4

1 3log xlog x 3 log x log x

2 2+ +

3. ( ) ( )22 1

2

1log 4x 4x 1 2x 2 x 2 log x

2

− + − − + −




4. 2 23 3log x log x 1 5 0+ + −

5. 2 24 2log (2x 3x 2) 1 2log 2x 3x 2+ + + + +


1. ( )2xlog 5x 8x 3 2− +

3. ( ) ( )2x xlog 3x 1 log x 1− +

5. ( ) ( )

2 32 3

2

log x 1 log x 10

x 3x 4

+ − +

− −

2. 2x 2xlog 64 log 16 3+

4. ( )31 1

3 3

1log x log 1 x 1

2 + −

6. 3

4 2 22 1 2 12

2 2

x 32log x log 9log 4log x

8 x− +


1. ( )22x 4log 8 log x log 2x 0+ 2. 3 5 3 5log x log x log x.log x−

3. 21

2

log (x 3x 2) 1− + − 4. 3 1

3

2log (4x 3) log (2x 3) 2− + +

5. ( )2xlog 2x 5x 4 2− + 6. ( )

2

1 16

4

2 log 2x 17 2x 1 2log x+ + − +


1. 20,2 0,2log x log x 6 0− −

2.

x 2log

sin 2 x 43 1

−

+

3. ( )21

2

log x 3x 2 1− + −

4. 32x 3

log 11 x

−

−

5. ( ) ( )x x 25 5 5log 4 144 4log 2 log 5 2 1−+ − +

6. ( ) ( )3 1

3

2log 4x 3 log 2x 3 2− + +


1. x3x 2

log 1x 2

+

+ 2. 2x

4x 2 1log

2x 2

−

−

3. 2

0,7 6x x

log log 0x 4

+

+


1. 2 3lg x lgx 2 0− +

2.

lg x 7lg x 14x 10

+

+

3. ( )2 24 2log 2x 3x 2 1 2log 2x 3x 2+ + + + +

4.3

4 2 22 1 2 12

2 2

x 32log x log 9log 4log x

8 x

− +






1. ( ) ( )x x

2

4 x 11 2 8 x 30

log x 2

+ − − −

−.

2. ( )2 2x 3log x 2 9log x 2− −

3. ( )2 25 9log 2 x x 2 1 log x x 7 2

− + + + − +

4. ( ) ( )2 29 3log 3x 4x 2 1 log 3x 4x 2− + + − +

5. ( )2 1

13

3

1 1

log x 1log 2x 3x 1

+− +

Bài 9: Tìm m để bất phương trình :

1. 2 2 2sin x cos x sin x2 3 m.3+ nghiệm đúng x .

2. 2lg x mlgx m 3 0− + + có nghiệm x 1 .

3. 2ln(1 x) x mx+ − nghiệm đúng x 0 .


Documents

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARITPhương trình mũ cơ bản: log x b a, 0 a 1 z b log x b x a a , 0 a 1 z b lgx b x 10 , lnx b x e b Ví dụ 1.1.3 Giải các phương trình: 1. 2