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Interpolation/Décimation
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Rappels
• suite d’échantillons réels : xe(n)
= x(nT e)
• reconstruction parfaite si F e =
1
T e≥ 2B
∀F e le dispositif d’échantillonnage fournit une
suite xe(n) dont la
TFtd se construit à partir de la TFtc de xa(t)
selon le schéma S suivant :
1. on divise l’axe des fréquences par F e,
2. on périodise avec la période 1,
3. on multiplie l’amplitude par F e.
Si F e > 2B, la TFtd est nulle pour
B/F e
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Interpolation
Construire la suite des échantillons obtenus par interpolation
de la
suite xe(n) avec le facteur M .
On note x
(M )
e (n) la suite interpolée et X
(M )
e (e2jπf
) sa TFtd. D’après leschéma S et notant que
T e/T
e = M , on obtient la relation :
X (M )e (e2jπf ) =
M X e(e
2jπMf ) si f ∈ (−1/2M,
+1/2M )
0 si 1/2M
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Partant de la suite xe(n) considérons la suite :
ye(n) =xe(n/M ) si n = 0 mod M 0 si
n = 0 mod M
où on a intercalé (M − 1) zéros. On a alors :
Y e(e2jπf ) =
nye(n)e
−2jπnf =
kxe(k)e
−2jπkMf = X e(e2jπMf )
Partant de (1), on en déduit que :
X (M )e (e2jπf ) = M Y e(e
2jπf )rect(−1/2M,+1/2M )(f )
Pour obtenir la suite x(M )e (n), il suffit
donc de filtrer la suite ye(n) par le filtre
numérique de gain complexe :
H (e2jπf )
= M rect(−1/2M,+1/2M )(f ) (périodique de
période 1)
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M
-1/2 M 1/2 M
passe-bas
insertion
Figure 1: Interpolation d’ordre M :
on insère M −1 zéros et on filtre
par H (e2jπf ) =
M rect(−1/2M,+1/2M )(f ).
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Décimation
Construire la suite des échantillons que l’on aurait obtenue si
on
avait échantillonné M fois moins vite.
On note x
(M )
e (n) cette suite et X
(M )
e (n)(e2jπf
) sa TFtd.D’après la règle de passage :
X (M )e (e2jπf ) =
1
M X e(e
2jπf/M ) si f ∈ (−1/2, +1/2)
(2)
Rappelons que, par définition, la TFtd est périodique de
période 1.
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Evidemment, à cause du repliement de spectre, il ne suffit pas
de supprimer
brutalement (M − 1) points sur M .
Rappelons que l’échantillonnage à la
fréquence F e/M nécessite un
préfiltrage dans la bande (−F e/2M, F e/2M ).
Etudions toutefois cette opération. Pour cela, partant d’une
suite ye(n),
considérons la suite :
te(n) = ye(M n)
Déterminons la relation qui lie leurs TFtd. Il vient :
T e(e2jπf ) =
+∞n=−∞
te(n)e−2jπnf =
+∞n=−∞
ye(M n)e−2jπnf
=+∞
p=−∞ye( p)
M −1
r=01
M e2jπpr/M
e−2jπpf/M
= 1
M
M −1r=0
+∞ p=−∞
ye( p)e−2jπp(f −r)/M =
1
M
M −1r=0
Y e(e2jπ f −r
M )
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Nous avons représenté figure 2 pour M = 4 les
TFtd de la suite ye(n) et celle
de la suite “décimée”. On observe l’effet du repliement.
f1/8 1/2 1
f1/8 1/2 1
T e( f )
résultat souhaité X edM ( f )
Y e( f )
Figure 2: La décimation pour M =
4.
Toutefois on constate que, pour que T e(e2jπf )
= X (M )e (e2jπf ), il suffit que
Y e(e2jπf ) = X e(e
2jπf )rect(−1/2M,+1/2M )(f ). Il faut donc
avant décimation
filtrer numériquement le signal xe(n).
On aboutit au schéma de la figure 3.
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M
passe-bas
-1/2 M 1/2 M
décimation
Figure 3: Décimation d’ordre M :
on filtre par H (e2jπf ) =
rect(−1/2M,+1/2M )(f )
puis on décime (M − 1) points
sur M .
Démo:
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Réalisation du filtre passe-bas
Le filtre passe-bas idéal de gain complexe
H (e2jπf )
= M rect(−1/2M,+1/2M )(f )
filtre peut être approché par un filtre RIF en utilisant la
méthode de la
fenêtre. Soit :
he(n) = w(n) sin(πn/M )(πn/M ) pour
n ∈ {−K , . . . , 0, . . . , K }
où w(n) est une fenêtre de pondération, par exemple la
fenêtre de Hamming :
w(n) = 0.54 + 0.46 cos(nπ
K )
renormalisation éventuelle
hn = 1.
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