Endah Budi RahajuR. SulaimanTatag Yuli Eko SMega Teguh BudiartoKusrini PUSAT PERBUKUAN Departemen Pendidikan NasionalHak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional Dilindungi Undang-undang Penulis:Endah Budi RahajuKusrini R. SulaimanSitti Maesuri Tatag Yuli Eko S Masriyah Mega Teguh BudiartoIsmail Ilustrasi, Tata Letak:Direktorat Pembinaan SMP Perancang Kulit:Direktorat Pembinaan SMP Buku ini dikembangkan Direktorat Pembinaan SMP Ukuran Buku:21 x 30 cm Diterbitkan oleh Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Tahun 2008 510.07CONContextual Teaching and Learning Matematika: Sekolah Menengah Pertama/ MadrasahTsanawiyahKelasVIIIEdisi4/EndahBudiRahaju,[et.al].-- Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, 2008. Vi, 232 hlm.: ilus.; 30 cm. Bibliografi: hlm. 227-228 Indeks.ISBN 979-462-463-2 1. Matematika- Studi dan PengajaranI. Judul II. Sulaiman, RIII. Eko , Tatag Yuli SIV. Budiarto, Mega Teguh VI. KusriniVII. Maesuri, SittiVIII, MasriyahIX. Ismail. KATA SAMBUTAN Salah satu upaya untuk melengkapi sumber belajaryang relevan dan bermaknagunameningkatkanmutupendidikandiSekolahMenengah Pertama(SMP),DirektoratPembinaanSMPmengembangkanbuku pelajaranMatematikauntuksiswakelasVII,kelasVIII,dankelasIX.Buku pelajaran ini disusun berdasarkan Peraturan Menteri Pendidikan Nasional No. 22Tahun2006TentangStandarIsi,No.23Tahun2006tentangStandar KompetensiLulusan,danberdasarkankriteriabukupelajaranyang dikembangkan oleh Badan Standar Nasional Pendidikan.Bukupelajaraninimerupakanpenyempurnaandaribahanajar kontekstualyangtelahdikembangkanDirektoratPembinaanSMPdalam kaitannyadengankegiatanproyekpeningkatanmutuSMP.Bahanajar tersebut telah diujicobakan ke sejumlah SMP di provinsi Kalimantan Selatan, KalimantanTimur,SulawesiTengah,SulawesiTenggara,SulawesiUtara,dan Gorontalosejaktahun2001.Penyempurnaanbahanajarmenjadibuku pelajaranyangbernuansapendekatankontekstualdilakukanolehpara pakardaribeberapaperguruantinggi,guru,daninstrukturyang berpengalaman di bidangnya. Validasi oleh para pakar dan praktisi serta uji cobaempiriskesiswaSMPtelahdilakukangunameningkatkankesesuaian dan keterbacaan buku pelajaran ini. BukupelajaranMatematikainitelahdinilaiolehBadanStandar NasionalPendidikan,dandinyatakanmemenuhisyaratuntukdigunakan sebagaibukupelajarandiSMP.Sekolahdiharapkandapatmenggunakan bukupelajaraninidengansebaik-baiknyasehinggadapatmeningkatkan efektivitasdankebermaknaanpembelajaran.Padaakhirnya,parasiswa diharapkandapatmenguasaisemuaStandarKompetensidanKompetensi Dasarsecaralebihmendalam,luassertabermakna,kemudiandapat mengaplikasikannya dalam kehidupan sehari-hari. Saranperbaikanuntukpenyempurnaanbukupelajaraninisangat diharapkan.Terimakasihsetulus-tulusnyadisampaikankepadaparapenulis yangtelahberkontribusidalampenyusunanbukupelajaranini,baikpada saatawalpengembanganbahanajar,ujicobaterbatas,maupun penyempurnaansehinggadapattersusunnyabukupelajaranini. Terimakasihdanpenghargaanjugadisampaikankepadasemuapihak yang telah membantu terwujudnya penerbitan buku pelajaran ini.Jakarta, Juli2008 Direktur Pembinaan SMP iiiKATA PENGANTAR Puji dan syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas rahmat dan karunia-Nya sehinggakamidapatmenyelesaikanbukupelajaranMatematikauntuk tingkat SMP/MTs. Buku pelajaran ini disusun dan dikembangkan dengan menggunakan strategi pembelajarandenganpendekatankontekstual(ContextualTeachingand Learning/CTL).CTL merupakankonsepbelajaryangmembantugurudan siswa dalam mengaitkan materi pelajaran yang diajarkan/dipelajaridengan situasinyatadilingkunganbelajarnya. Sepertistrategipembelajaranyang lain,pembelajarankontekstualdikembangkandengantujuanagar pembelajaran berjalan lebih produktif dan bermakna tanpa harus mengubah kurikulumdantatananyangada.Dandenganpendekatankontekstualini diharapkansiswaakanbelajarlebihbaikjikalingkungandiciptakansecara alamiah.Belajarakanlebihbermaknajikaanakmengalamiapayang dipelajarinya,bukanmengetahui-nyasebagaibekalanakdalam memecahkanpersoalandalamkehidupanmereka,dimasyarakatdalam jangka panjang. Bukupelajaraninidirancanguntukmemudahkansiswadalammempelajari Matematika,dandilengkapidenganpetakonsep,petakompetensi, petunjukpenggunaan,latihanakhirbab,latihanakhirsemester,glosarium, dan indeks. Akhirnya,atasnamaTimPenyusunDirektoratPembinaanSMPberharap semogabukupelajaraninidapatmenambahkhasanahperbukuandan pengetahuansiswa,sertakamimengucapkanterimakasihyangsetulus-tulusnyakepadasemuapihakyangtelahmembantuterwujudnyabuku pelajaran ini.Jakarta,Juli 2008 Tim PenyusunivvPendahuluanPetunjukPenggunaanBukuBuku Matematika SMP Klelas VIII ini disusun untuk memenuhikebutuhanmasyarakatakanbukureferensiyangmemenuhiStandarIsiyangtelahditetapkanpemerintah.Disampingitu,bukuinijugabermaksuduntukmemenuhituntutanpemerintahdalamrangkapenyedianbukubermutusesuaistandaryangtelahditetapkanolehBSNP.Buku ini berisi tujuh bab yaitu: bab 1 tentang Faktorisasi bentukaljabar,bab2tentangRelasidanfungsi,bab3tentangPersamaanGarisLurus,bab4tentangSistemPersamaanLinierDuaVariabel,bab5tentangTeoremaPythagoras,bab6tentangLingkarandanbab7tentangBangunDatarSisiDatar.Disampingmempertimbangkan Standar Isi, urutan bab memperhatikanhierarkimateri.Tiapbabdibagimenjadibeberapasubbab.BanyaksubbabsesuaidengankeluasandankedalamanmateriyangdituntutolehSandarKompetensidanKompetensiDasar.Untuk mempelajari buku ini, ikutilah mulai uraian bagian awalhinggabagianakhirsecaraberurutan.Tidakdisarankansiswalangsungmempelajarirangkumanpadabagianakhirbabtanpamempelajaribagianawal.Halitudikarenakanbanyakbagianyangharusdiikuti,dilakukansiswauntukmembangunsuatukonsep.LakukanlahkegiatanbaikituberupakerjakelompokmaupunKegiatanLabMiniuntukdapatmemperdalampengetahuanmutentangsuatukonsep.LabMinidisusununtukmemberikanpengalamanpadasiswauntukdapatmenduga,menganalisisdata,menyimpulkandanmengkonstruksisuatuide.Setelah mempelajari tiap subbab, ujilah pemahamanmu denganmengerjakansoallatihan.Setelahmempelajarisuatubabcobalahujipemahamanmu dengan mengerjakan soal evaluasi bab. Kerjakan soalevaluasisecaramandiriterlebihdahulu(janganmelihatkuncijawaban terlebih dahulu). Setelah kamu mengerjakan, cocokkan hasilpekerjaanmudengankunciataupetunjukpengerjaanyangterdapatdibagianakhirbukuini.Lakukanlanrefleksidarikegiatanbelajarmu,baikyangterkaitdengan diri kamu sendiri maupun yang terkait dengan pembelajaranyangdilakukanBapak/Ibugurumu.viDAFTARISIKataSambutan ................ iiiKataPengantar ................ ivPendahuluan ......................................................................................... vDaftar Isi ................ viBAB1 FaktorisasiSukuAljabar1.1.SukuBanyak ............... 21.2. MenentukanFaktor-faktorSukuAljabar .................... 14Refleksi ................ 25Rangkuman .. 25EvaluasiBab 1 26BAB2 RelasidanFungsi2.1. Relasi.. 302.2. Fungsi (Pemetaan) ..... 382.3. MenghitungNilai Fungsi 48Refleksi .. 53Rangkuman .. 53Evaluasi Bab 2 .. 53BAB3 PersamaanGarisLurus3.1. PengertianPersamaanGarisLurus .. ... 563.2. Gradien. .623.3. MenentukanGradiendenganMenghitungSatuan 713.4. Menentukan PersamaanGaris Lurus.... 76Refleksi .. 85Rangkuman .. 85Evaluasi Bab 3 .. 86BAB4 SistemPersamaanLinearDuaVariabel4.1. PersamaanLineardenganDuavariabel...... 904.2. SistemPersamaanLineardenganDuaVariabel.. 95Refleksi .. 106Rangkuman .. 106EvaluasiBab 4 . 107BAB5 TeoremaPythagoras5.1.TeoremaPythagoras........................ 1105.2.MenggunakanTeoremaPythagoras.... 120Refleksi ... 124Rangkuman ... 124EvaluasiBab 5 . 125viiBAB 6 Lingkaran6.1. LingkarandanBagian-bagiannya.................................... 1286.2. KelilingdanLuasLingkaran........... 1326.3. SudutPusat,Busur,danJuringLingkaran 1426.4. SifatGarisSinggungLingkaran............................... 1486.5. LingkaranDalamdanLingkaranLuar... 1566.6. GarisSinggungPersekutuanDuaLingkaran 160Refleksi... 169Rangkuman 167EvaluasiBab6 169BAB 7 BangunRuangSisiDatar7.1. KubusdanBalok.............. 1727.2. Jaring-jaring Kubus dan Balok............................... ........... 1887.3. Besaran dalam Kubus dan Balok................................... 1947.4. Prisma............................................................................ 2047.5. Limas................................................................ 214Refleksi...... 220Rangkuman.. 220EvaluasiBab7.. 222Petunjuk Penyelesaian / Kunci Evaluasi....................................................... 225DaftarPustaka ................................................................................................... 227Glosarium ........................................................................................................... 229Indeks.................................................................................................................... 231Faktorisasi Suku AljabarStandar KompetensiMemahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus. Kompetensi Dasar1.1Melakukan operasi aljabar. 1.2Menguraikan bentuk aljabar ke dalam factor-faktornya.Bab 128ob. 1 Fokfor|sos| 5uku A|joborMasih ingatkah kamu tentang penjumlahan bilanganbulat?Cobakerjakanbeberapasoal berikut.2+ (-3) = . . .-4 - (-5) = . . .7 + (-2) = . . .Jikakamulupa,sebaiknyakamupelajari kembali.Pemahamantentangpenjumlahan bilangan bulat diperlukan untuk dapat memahami materi pada Bab 1 ini dengan baik. Misalkankamuakanberbelanja5kggula dan7 kg beras. Jika harga gula adalah g rupiah perkilogramdanhargaberasadalahbrupiah perkilogram, maka uang yang harus kamu bayar adalah 5g + 7b rupiah.Bentuk5g+7badalahsalahsatucontoh bentuk aljabar. Pada bentuk aljabar5g+7b, g dan b disebut variabel. Bilangan 5 disebut koefsien dari g dan 7 disebut koefsien dari b. 5g dan 7b disebut suku dari bentuk aljabar 5g+7b. Jadi 5g+7b terdiri dari dua suku. Bentuk aljabar yang terdiri dari dua suku disebut suku dua (binomial), yang mempunyai tigasukudisebutsukutiga(trinomial)danyang terdiridaridarisatusukudisebutsukusatu (monomial). Bentuk aljabar yang mempunyai dua suku atau lebih disebut suku banyak (polinomial).Berikutinibeberapacontohdaribentuk aljabar.1. 2h+6s - 7k adal ahc ont ohs ukut i ga (trinomial). A1.1Suku BanyakApa yang akan kamu pelajari?Mengelompokkan suku-suku sejenis dari suatu suku banyak.Menyederhanakan suku banyak Menentukan hasil kali suatu bilangan dengan suku dua.Menentukan hasil kali suku satu dengan suku dua. Menentukan hasil kali suku dua dengan suku dua.Menentukan perpangka-tan suku duaKata Kunci:Suku-suku sejenisSuku banyak (polinomial)Suku satu (monomial)Suku dua (binomial)Suku tiga (trinomial)Sifat DistributifPengertian suku banyak AMofemof|ko 5MF Ke|os Vlll 3 Variabelnya adalah h, s dan k. Bilangan 2 adalah koefsien dari h, 6 adalah koefsien s dan -7 adalah koefsien k.2.-4w+8adalahcontohsukudua(binomial).Variabelnya adalah w. Bilangan 8 disebut dengan konstanta. Nama Suku Banyak ContohSuku dua (Binomial) 5h+2 f 8 c+2 C2 + 3CSuku tiga (Trinomial) 3h+2f+m 52c+36w+4 C2-5c+2Suku banyak yang lain (dapat memiliki suku-suku yang ter-batas):c4 + r3+2c+5+z 2x3 + 4x2+8t+z-3 3c3+3f+3h+2m+2x-5 Bila suatu bentuk hanya memiliki satu suku, maka bentuk itu disebut monomial (suku satu)dan tidak termasuk dalam suku banyak. Berikut contoh suku satu 7h,3x2 z,6cdrAgarmudahdibacadandifahami,penulisansukubanyak biasanya memperhatikan urutan pangkat variabel dan urutan huruf yang dipakai sebagai variabel.a) 7 5 2 6 3 25 3 3 2 + + + t a y a s sering ditulis sebagai 7 2 6 3 2 52 3 3 5 + + + s y a a t.b)2 3 3 2 25 8 2 6 5 4 2 t p y x p x + + + + + sering ditulis 8 2 5 6 4 22 2 3 2 3+ + + + x t y p pMenyederhanakan Bentuk AljabarIngatkah kamu bagaimana mengkombinasi dan menyederhanakan bentuk aljabar seperti h + h + k + s + k + c + h ?Ingat bahwa ada beberapa variabel yang sama. Kita menyebutnya sukusejenis.Jikabentukaljabartersebutpanjangdan membingungkan, bentuk aljabar tersebut dapat dikelompokkan berdasarkan suku-suku yang sama. Bila bentuk aljabartersebut dikelompokkan berdasarkan suku-suku yang sama,maka akan diperoleh( h + h + h ) + ( k + k) + s + c = 3h + 2k + s + c .Contoh 148ob. 1 Fokfor|sos| 5uku A|joborBerikut ini diberikan beberapa contoh dari beberapa bentuk aljabaryang sering dilihat dalam buku-buku matematika.

a)2x - 5 - 3x + 1= 2x - 3x - 5 + 1= (2-3)x -4= -1x - 4.-1x selanjutnya boleh hanya ditulis dengan -x, demikian juga 1x boleh hanya ditulis dengan x. b)5k + 4j - 2h -8k + 6 - 7h= 5k - 8k + 4j -2h - 7h +6 = -3k +4j -9h+6.Contoh 2Contoh 3Masih Ingatkah kamu? Suku pada bentuk aljabar dapat berupa bilangan atau variabel atau suatu perkalian antara bilangan dan variabel.Suku sejenis adalah suku-suku yang memuat variabel yang sama.Konstanta adalah suku yang tidak memuat variabel.Mofemof|ko 5MF Ke|os Vlll 5 Kerjakan Bersama-samaUntuk memudahkan memahami cara menyederhanakan bentuk aljabar, kita dapat menggunakan bantuan model.Model yang digunakan di sini dinamakan ubin aljabar.Bentuk 2x - 5 - 3x + 1 dapat dimodelkan seperti berikut.Mo d e l t e r s e b u t d a p a t disederhanakandengancara mengelompokkanmodel-model sejenis. Jika pada pengelompokan ituterdapatpasangannol,maka semuapasangannolyangada dihapus.diperolehJadi bentuk sederhana dari 2x-3x-5+1 adalah -x-4Ingat ! Catatan Ubin aljabar dapat dibuat dari potongan kertas dengan ukuran tertentu.8ob. 1 Fokfor|sos| 5uku A|joborSelanjutnya pikirkan dan diskusikan!1.Tuliskanbentuk-bentukaljabarberikutdalambentukyang paling sederhana. a. 4x - 2xb. 5 + 2x - 1 c. 3x - 6x + 4 d. 8 + 3x - x - 6e. 6 + 6xf. 3x + 3x - xg. 4x2 - x h. 5x2 + 2x - 3i. 2x3 - 3x -x2 + 2x + 52.Gunakanlahubinalj abaruntukmenj elaskanbahwa z - 4z = - 3z.3.Cobalahkamutulissatucontohdansatunon-contohdari suku satu, suku dua dan suku tiga.Jelaskan mengapa disebut contoh dan mengapa non-contoh!1.Gunakanlah model ubin aljabar untuk menyederhanakan -y + 5 + 3y 4.2.Sederhanakanlah setiap bentuk aljabar berikut.a.x + 1,3 + 7xb.7y2 3y + 4y + 8y2 + 4yc.c2 + 2c c2 c3.Tiga orang siswa menyederhanakan 3p 4p. Masing-masing memperoleh hasil 1, p, 1p. Tulislah jawaban manakah yang benar dan jelaskan alasanmu.4.Tulislah tiga bentukaljabar yang merupakan binomial atau sukudua.Jelaskanmengapaketigabentuktersebutdisebut binomial.5.Tentukan apakah setiap bentuk aljabar berikut merupakan po-linomial. Jika ya, tentukan apakah sebagai monomial, binomial, atau trinomial. 6.Pertanyaan Terbuka. Tulislah bentuk aljabar yang memuat 4 suku dan dapat disederhanakan menjadi 2 suku.a. 2xb. 5c. abcc d. 3x2 + 4x 27. Ukurandari duasudutsuatu segi- tigaditunjukkanpadagambardi samping.Tentukanjumlahdari ukuran kedua sudut tersebut.Latihan 1.1.aMofemof|ko 5MF Ke|os Vlll 7 Perkalian Bentuk Aljabar2x + 3Pada bagian ini, kamu akan mempelajari perkalian suku satu dan suku dua dari bentuk aljabar. Contohberikut menjelaskan pentingnya perkalian tersebutAndi diminta oleh bu guru untuk menghitung luas persegipanjang yangpanjangnya2cmlebihnyadarilebarnya.Berapaluas persegipanjang tersebut?Misalkanlebarpersegipanjangtersebutlcm,makapanjang persegipanjangtersebutadalah ) 2 ( + = l pcm.Dengandemikian luaspersegipanjangtersebutadalahl l l p L + = = ) 2 ( cm2.Pada persoalanini,kitamemerlukanperkaliansukusatudansuku dua. Untukmemudahkanmemahamiperkaliansukusatu dengan suku dua, kerjakan dahulu Lab Mini berikut ini.PERKALIAN SUKU DUAKerjakan secara Bersama-samaBahan: ubin aljabarUbin aljabar dinamai berdasarkan luas suatu persegi atau persegipanjang. Luas suatu persegi-panjang merupakan hasil kali dari panjang dan lebarnya.Kamu dapat menggunakan ubin aljabar untukmemo-delkan persegi panjang yang lebih kompleks. Persegipan-jang-persegipanjang ini akan membantu kamu memahami bagaimana menentukan hasil kali suku dua yang ben-tuknya sederhana. Panjang dan lebar masing-masing menyatakan faktor yang dika-likan.Tugasmu!Kerjakanlah dengan teman kelompokmu bagaimana menentukanx(x + 2).Caranya adalah seperti berikut.Buatlah sebuah persegipanjang dengan panjang x + 2 dan lebar x. Gunakan ubin aljabar untuk menandai faktor yang dikalikan.Gunakan tanda itu sebagai pedoman mengisi persegi-panjang dengan ubin aljabar.B88ob. 1 Fokfor|sos| 5uku A|joborPadabagianLabMini,kitatelahmenentukanluassuatu persegipanjangdenganmenggunakanbantuanmodelaljabar. Sekarangkitaakanmenggunakansifatdistributifyangtelah kamu pelajari di Kelas VII.Cobalahkamuselesaikanperkaliansukusatudansukudua berikuttanpamenggunakanmodel,tetapigunakansifat distributif.a. 7(2x + 5) b. (3x 7) 4xTentukan luas persegipanjang itu dengan menggunakan dua cara.Cara I: menjumlahkan luas ubin-ubin aljabar yang menutupi persegi- pan-jang itu.Cara II:menggunakan rumus luas suatu persegipanjang dan menerapkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.Bandingkan jawaban yang kamu peroleh dari kedua cara di atas. Diskusikanlah!1.Nyatakan apakah setiap pernyataan berikut benar atau salah. Periksa jawabanmu dengan menggunakan ubin aljabar.a.x(2x + 3) = 2x2 + 3x b.2x(3x + 4) = 6x2 + 8x2.Tentukan hasil setiap perkalian berikut dengan menggunakan ubin aljabar.a.x(x + 5)b.2x(x + 2) c.3x(2x + 1)3.Misalkan Agus mempunyai sebuah taman yang ukuran panjang setiap sisinya xmeter. Jika Agus bermak-sud memperluas taman itu dengan panjang menjadi dua kali dari ukuran semula dan lebarnya ditambah 3 meter. Bagaimana luas dari taman yang baru tersebut.Mofemof|ko 5MF Ke|os Vlll B.2. Suku dua dan suku duaMasalah GenetikaKeterkaitan.Berabad-abadorangtelah tertarik mengapa satu generasi berbeda satu sama lain dan mengapa anak mirip dengan orang tuanya.a.J i kaayahdani budari suat u keluarga berkulit hitam, apakah ada kemungkinan anak dari orang tua itu berkulit putih? Jelaskan alasanmu. b.Jika ayah dan ibu dari suatu keluarga berhidung mancung, apakahadakemungkinananakdariorangtuatersebut berhidung pesek? Jelaskan alasanmu.Dalamdirimanusiaterdapatgenyangmenentukansifat keturunan. Misalkan, sepasang orang tua mempunyai rambut keriting dengan genotif Kk. Gen K menunjukkan gen dominan untukrambutkeritingdangenkmenunjukkangenresesif untuk rambut lurus. Huruf di bagian kotak paling kiri dan atas menyatakan gen orang tua.Sedangkan huruf di dalam kotak menunjukkan kemungkinan kombinasi gen.Contoh 3Perkalian suku satu dengan suku dua dapat dimodelkan sebagai suatu persegipanjang yang dibentuk dengan menggunakan ubin aljabar.Bentuk aljabar (x + 2) 2xdimodelkan sebagai persegipanjang yang panjang x + 2 dan lebarnya 2x.Hasil dari (x + 2) 2x menyatakan luas persegipanjang, dapat ditentu-kan dengan dua cara.Cara I:Jumlahkan luas ubin-ubin aljabar pembentuk persegipanjang. Yaitu: x2 + x2 + x+ x+ x + x = 2x2 + 4xCara II:Menerapkan sifat distributif:(x + 2) 2x= (x) 2x + (2) 2x =2x2 + 4x108ob. 1 Fokfor|sos| 5uku A|joborApabilagenorangtuadigabungkan maka semua kombinasi yang mungkin adalah (K + k)(K + k)= KK + Kk + Kk + kk= KK+ 2Kk + kkArti dari kombinasi gen di atas adalah, kemungkinan jenis rambut anak darikedua orang tua tersebut adalah rambut keriting atau rambut lurus.(K + k)(K + k) adalah satu contoh perkalian suku dua dengan suku dua.Cobatuliskancontohlainbentukperkaliansukuduadengan suku dua. Ubin aljabardapat juga digunakan untuk membantumu dalam memahamiperkaliansukuduadengansukudua.Berikutini diberikan beberapa masalahKerjakan bersama-sama1.Selesaikanlah perkalian (x + 3)(x + 2) dengan mengacu pada Lab Mini halaman 8. Jelaskan langkah-langkah yang kamu gunakan.2.Sebuahkebunberbentukpersegipanjang. Panjang kebun itu 5 m lebihnya dari dua kali lebar kebun. Pada kedua sisi kebun terdapat jalandenganlebar1m.Luasjalanpinggir kebun adalah 24 m2. Berapakah panjang dan lebar kebun tersebut?Untukmenjawabpermasalahanke-2tersebut,kamudapat menggunakan ubin aljabar guna memodelkan permasalahan di atas. Eksplorasi.Misal x menyatakan lebar kebun. Maka 2x + 5 menyatakan panjang kebun. x + 1 menyatakan lebar kebun dan jalan.2x + 6 menyatakan panjang kebun dan jalan.Jadix(2x + 5) = luas kebun.(x + 1)(2x + 6) = luas kebun dan jalan.Sketsa Kebun Mofemof|ko 5MF Ke|os Vlll 11 Lebar kebun adalah 6 m.Panjang kebun (2x + 5) m= (2(6) + 5) m = 17 m.Cobaperiksaapakahhasilyangdiperolehsudahcocok,jika x = 6kamu substitusikan pada persamaan (*)!Apakah kamu dapat menyelesaikan soal ini dengan cara lain? Jelaskan!3.Selesaikandenganmenggunakanlangkah-langkah yang kamu gunakan!a. (2x + 3)(3x + 5)b. (2x + 1)(5x 3)Cara lain yang dapat digunakan untuk menentukan hasil kali dua buah suku dua dengan cara seperti berikut ini.( a + b) ( c + d) = a.c + a.d + b.c + b.d1. (2x + 5)(x+2)= 2x.x + 2x.2+ 5.x+5.2= 2x2 + 4x + 5x + 10= 2x2 + 9x + 10Contoh 4Penyelesaian: (x + 1)(2x + 6) x(2x + 5) = 24 (Mengapa?)2x2+6x + 2x + 6 2x2 5x = 24 (Mengapa?)(2x2 2x2) +(6x + 2x 5x) + 6 = 24 (Mengapa?) 3x + 6 = 24 (Mengapa?)3x= 18 (Mengapa?) x =6(Mengapa?)(x + 1)(2x + 6) x(2x + 5) = 24( * )128ob. 1 Fokfor|sos| 5uku A|jobor2. (-x+3) (3x-2)= (-x) 3x + (-x).(-2) + 3.3x + 3 (-2)= -3x2 + 2x + 9x - 6= -3x2 + 11x - 6B.3. Perpangkatan Suku satu dan Suku DuaKalian masih ingat tentang perpangkatan suatu bilangan pada pelajaran di Sekolah Dasar?Kalian masih ingat tentang perpangkatan suatu bilangan pada pelajaran di Sekolah Dasar? Apa arti 73? Jelaskan! Bagaimana menentukan nilai dari 73? Berapakah nilainya? Apa arti dari k4?k4 merupakan salah satu contoh perpangkatan suku satuDiskusikan. 1.PakBudimempunyaikebunberbentukpersegidengan panjang sisi (x + 5). a.Nyatakan luas kebun Pak Budi!b.ApakahluaskebunPakBudimerupakanbentuk perpangkatan?c.Jika merupakan bentuk perpangkatan, perpangkatan suku berapakah luas kebun pak Budi?d.NyatakanluaskebunpakBudidenganmenggunakan operasi penjumlahan dan pengurangan!e.Langkahapayangkamugunakanuntukmengerjakan (d)? Sebutkan!f.Adakahcaralainyangdapatkamugunakanuntuk menyelesaikan (e)? Jika ada, sebutkan!2.Bagaimana caramu menentukan hasil (x 2)3? Jelaskan!Mofemof|ko 5MF Ke|os Vlll 13 1.Jelaskan bagaimana kamu menentukan hasil kali dari x dan 2x 1.2.Tulislah hasil kali dari x dan 2x + 3 dengan menggunakan persegipanjang di samping.3.Tentukan hasil perkalian berikut.a. 2(x + 8) b. pq(pq + 8) c. 3y(6 9y + 4y2)d. (5b 4) 52 4.Tentukan hasil perkalian berikut.a. (x + 2)(2x + 4) b. (x + 4)(-2x-3) c. (x 1)(3x- 4)5.Sederhanakanlah setiap bentuk aljabar berikut.a. 14(b + 3) + 8bb. 3(8 + a) + 7(6 + 4a) c. 3(x + y) + 4(2x + 3y)6.Berpikir Kritis. Apakah 2ab = 2a 2b? Jelaskan jawabanmu!7.Geometri. Tentukan ukuran luas daerahyangdiarsir pada gambar di samping dalam bentuk paling 8.Apakah 2ab = 2a x 2b? Jelaskan jawabanmu!9.Gambarlahsuatudaerah persegipanjang yang menyatakan perkalian dari (x + 3) dan (2x + 1).10.Tentukan hasil perpangkatan berikuta. (3 + 2t)2 b. (x 4)3 c. (x 1)3 + (x + 7)2Latihan 1.1.b148ob. 1 Fokfor|sos| 5uku A|joborBingkai FotoLia ingin mem-beri bingkai pada hiasan dindingnya yang berben-tuk persegi-panjang. Dia tahu bahwa luas hiasan dinding tersebut adalah 221 cm2,tetapi lupa berapa panjang dan lebarnya.Cobalah kamu bekerja dengan pasanganmu untuk membantu Lia menentukan berapa panjang dan lebar hiasan dinding tersebut tanpa mengukur.a. Jelaskanmengapa221bukanmerupakan hasil kali dari dua bilangan yang terdiri dari 1 angka?Dit. PSMP,2006Apa yang akan kamu pelajari?Memfaktorkan suku bentuk aljabar sampai dengan suku tiga.Menyederhanakan pem-bagian suku Menyelesaikan perpang-katan konstanta dan sukuKata Kunci:MemfaktorkanFaktorFPBSelisih dua kuadratKuadrat Sempurna1.2Menentukan Faktor-faktor Suku Aljabarb.Gunakanlahkertasberpetak.Guntinglahbeberapa persegi dengan ukuran 10x10, beberapa persegi-panjang dengan ukuran 1x10, dan beberapa persegi dengan ukuran 1x1. Gunakan potongan-potongan tersebut untuk membuat persegipanjangyangmenyatakanhiasandindingtersebut. Berapakah panjang dan lebarnya?c.Ulangilahprosestersebutuntukmenentukanpasangan bilanganprima yang hasil kalinya sebagai berikut.(i) 133(ii). 161(iii) 209Mofemof|ko 5MF Ke|os Vlll 15 Menggunakan Ubin Aljabarpada PemfaktoranMemfaktorkan suatu bilangan artinya menyatakan bilangan itu sebagai perkalianbeberapabilangan. Ingat kembali berapakah faktor12?Ya,kamubisamencarinyadenganpohonfaktor. Bilangan 12 dapat dituliskan sebagai12= 1x212= 3x412= 3x2x212= 6x2Pada notasi 12 1 12 =,kita ingat 1 dan 12 merupakan faktor dari 12. Demikian juga untuk yang lainnya,2, 3, 4 dan 6 merupakan faktor dari 12.Perhatikan perkalian suku satu dengan suku dua berikut x xy y x 6 4 ) 3 2 ( 2 + = + Pada perkalian bentuk aljabar di atas, 2x dan (2y+3)masing-masing merupakan faktor darix xy 6 4 + .Padakegiatanini,kitaakanbekerjasebaliknya.Diberikan bentuk aljabar, dapatkah kita mencari masing-masing faktornya. Untuk kegiatan tersebut kita akan menggunakan ubin aljabar sebagai media belajarnya. Untuk itu, kerjakan terlebih dahulu Lab Mini berikut.Misalkan sebuah persegipanjang (x+3)dan lebar (x+1), maka (x+1) (x+3)= x2 + 4x+3. BerartiFaktor dari x2 + 4x + 3 adalah (x+1) dan (x+3).Kamu dapat menggunakan ubin alajabar sebagai model dalammemfaktorkan suku tiga yang berbentuk ax2 + bx + c.Tugasmu:Bekerjalah bersama untuk memfaktorkan x2 + 3x + 2.Modelkan suku tiga tersebut.PEMFAKTORANKerjakan secara bersama-samabahan :ubin aljabarA18ob. 1 Fokfor|sos| 5uku A|joborCara memfaktorkan suku tiga dapat digambarkan dengan skema berikut.Tempatkan ubin x2 dan ubin1 seperti yang ditunjukan berikut.Lengkapilah persegipanjang itu dengan ubin x.Karena sebuah persegipanjang dapat dibentuk makax2 +3x +2 dapat difaktorkan. Panjang persegipanjang itu adalah(x + 2) dan lebarnya (x+1), maka faktor darix2 +3x+2 adalah (x+1) dan (x+2)1.Tentukan apakah suku banyak berikut dapat difaktorkan. Periksa jawabanmu dengan menggunakan ubin alabar.a. x2 + 6x + 8b. x2 +5x +6c. x2 +7x + 3d. 3x2 + 8x +5e. 5x2 - x + 16f. 8x2 - 31x -42.Berikan contoh suku tiga yang dapat difaktorkan dan suku tiga yang tidak dapat difaktorkan.Jumlah dari bilangan-bilangan ini sama dengan bHasil kali dari bilangan-bilangan ini sama dengan cMofemof|ko 5MF Ke|os Vlll 17 Faktorkan 3x3 9x2 + 15x.Jawab:Menentukan FPB dari 3x3, 9x2, dan 15x dengan cara 3x3= 3x3 = 3xx2 9x2= 32 x2 = 3x3x15x = 3 5x = 3x5FPB dari3x3, 9x2, dan 15xadalah : 3xSelanjutnyamenggunakansifatdistributifuntukmemisahkan faktor persekutuannya.3x3 9x2 + 15x=3x (x2) 3x (3x) + 3x (5)=3x (x2 3x + 5)Untuk memfaktorkan ax2 + bx + c dengan a =1 salah satu cara adalah: daftarlah faktor-faktor dari a dan c. Gu-nakanlah faktor-faktor tersebut untuk menuliskan suku dua-suku dua. Kemudian ujilah dengan nilai b yang benar.Faktorkanlah 3x2 7x 6. Memfaktorkan dengan Memisahkan FPBMemfaktorkanbentukaljabardapatdilakukandengan memisahkan FPBnya. Berikut ini cara menfaktorkan 2x2 10x.FPB dari 2x2 dan 10xadalah 2x.Denganmenggunakansi fatdi stri buti fdapatdi tul i s 2x2 10x = 2x (x) 2x (5) = 2x (x - 5).Jadi pemfaktoran juga dapat dilakukan dengan terlebih dahulu memisahkan FPB-nya dan menggunakan sifat distributif.Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh lain berikut ini.Menfaktorkanax2 + bx + c, jika a tidak 1Contoh 1Contoh 2BC188ob. 1 Fokfor|sos| 5uku A|joborJawab:Daftarlah faktor-faktor dari 3, yaitu 1 dan 3 ;-1 dan 3.Daftarlah faktor-faktor dari 6, yaitu 1 dan 6; 1 dan 6; 2 dan 3; dan 2 dan 3.Gunakanfaktor-faktortersebutuntukmenuliskanbinomial dengan cara menempatkan faktor dari 3 dalam tanda dan faktor dari 6 dalam tanda o pada bentuk ( x + o)( x + o).Carilahperkalianduabinomialyangsukutengahnya(jumlah dari hasil perkalian dalam dan luar) adalah 7x.Dengan cara seperti di atas, faktorkanlah 6x2 x 2.Soal 1(1 x + 1)(3x + 6)6x + 3x = 3xSALAH(1 x + 6)(3x +1 )1x 18x = 17xSALAH(1 x + 1)(3x +6 )6x 3x= 3x5ALAH(1 x + 6)(3x + 1)1x + 18x = 17xSALAH(1 x + 2)(3x + 3)3x + 6x = 3xSALAH(1 x + 3)(3x +2 )2x 9x = 7xBENAR Mofemof|ko 5MF Ke|os Vlll 1 Jadi bentuk a2 b2 dapat difaktorkan menjadi (a+b) (a-b).Memfaktorkan Selisih dari Dua KuadratKerja Kelompok Kerjakan secara berpasangan setiap pertanyaan pada kelompok A, B, dan C yang terletak pada tabel berikut.1.Bagaimana pola dari setiap pasangan faktor di atas?2.Tentukan hasil perkaliannya.3.Bagaimanakamumenggunakancaramencongakuntuk mengalikan secara cepat suku dua-suku dua seperti pada setiap kelompok tersebut.Seperti yang kita lihat pada bagian Kerjakan Bersama-sama, kadang kadang ketika mengalikan suku dua dengan suku dua, suku tengah dari hasil perkalian tersebut adalah 0, seperti pada perkalian dalam Kelompok A di atas.KelompokAdapatditulissebagaiselisihduakuadratatau ditulis sebagai a2 b2?4.Denganmenggunakansimpulandiatas,cobalahkamu memfaktorkan bentuk aljabar berikut.a. x2 64.b. 4x2 121 c. 9y2 255.Berpikir Kritis.Misalkan seorang temanmu memfaktorkan 4x2 121menjadi (4x + 11) (4x 11). Kesalahan apakah yang dilakukan oleh temanmu? Jelaskan!D208ob. 1 Fokfor|sos| 5uku A|joborTentukan hasil perkalian suku dua berikut. a.(a + b) (a + b) b. (a b) (a b)Hasildariperkalian-perkaliandiatasdisebutsukutiga bentuk kuadrat sempurna.Memfaktorkan Suku Tiga Bentuk Kuadrat Sempurna PadabagianKerjakanBersama-samahalaman24,kamu telahmengalikansuatusukuduadengandirinyasendiri seperti pada Kelompok B dan C . Perkalian seperti ini disebut mengkuadratkan suku dua. Hasilnya disebut suku tiga bentuk kuadratsempurna.Jadisebaliknyafaktor-faktordarisuku tigabentukkuadratsempurnaadalahduabinomialyang tepat sama.Diskusikan!Bagaimanakamumengetahuibahwasuatusukutiga merupakan bentuk kuadrat sempurna?a. Tulislah suatu suku tiga yang lain yang merupakan suku tiga bentuk kuadrat sempurna.Soal 3Ingat ! faktor-fak-tor yang kamu peroleh dengan mengalikannya kembali.Soal2Soal3Soal1Faktorkan bentuk aljabar berikut.Amati bentuk pemfaktorannya ke-mudian temukan polanya!a.x2 +8x + 16b. x2 -8x + 16Selisih dari Dua KuadratEMofemof|ko 5MF Ke|os Vlll 21 b.Jelaskanbagaimanakamumengetahuibahwasuatusuku tiga merupakan bentuk kuadrat sempurnaKadang-kadangsuatubentukkuadrattampaksepertitidak dapat difaktorkan. Jika kamu temukan hal seperti itu, terlebih dahulu pisahkan faktor persekutuannya. Kemudian dari faktor-faktor yang ada, periksalah apakah ada yang dapat difaktorkan kembaliFaktorkanlah 10x2 40.Jawab: 10x2 40= 10(x2 4)= 10(x + 2)(x 2)Jadi10x2 40 = 10(x + 2)(x 2).Contoh3Selisih dari Dua KuadratBentuk Kuadrat SempurnaFaktor persekutuan dari 10 x2

dan 40 adalah 10Faktor x2-4228ob. 1 Fokfor|sos| 5uku A|jobor1.Tulislah panjang dan lebar dari setiap persegipanjang berikut sebagaisuatusukudua.Kemudiantulislahsuatubentuk aljabar untuk setiap persegipanjang berikut.2.Tentukan FPB dari suku-suku pada setiap polinomial berikut.a. 15x+ 21 b. 6a2 8a c. 8p3 24p2 + 16p3.Jikatiapbentukalj abarberikutmenyatakanluas persegipanjang,nyatakanpanjangdanlebarnyadalam bentuk suku dua (binomial). a. x2+ 4x + 3 b. x2 3x + 2 c.x2+ 3x 4d. x2+ 5x + 6 e. x2 3x 4 f.x2+ x 24.Berpikir KritisMisal nsuatubilanganbulat. Mengapan2 + npasti bilangan genap? Jelaskan jawabanmu!5.Lengkapilan pernyataan berikut.a.x2 6x 7 = (x + 1)(x - ....) b.k2 4k 12 = (k 6)(k + ..)c.t2+ 7t + 10 = (t + 2)(t +....)d.c2+ c 2 = (c + 2)(c - ..)6.Jika x2+ bx + c dapat difaktorkan menjadi perkalian suku dua, a.Jelaskan apa yang kamu ketahui tentang faktor-faktornya jikac > 0b.Jelaskan apa yang kamu ketahui tentang faktor-faktornya jikac < 0Latihan 1.2c. b. a.Mofemof|ko 5MF Ke|os Vlll 23 7.Faktorkan setiap bentuk aljabar berikut!a. x2+ 6x + 8 b. a2 5a + 6 c.d2 7d + 12d. t2+ 7t 18 e. x2+ 12x + 35 f.y2 10y + 168.PertanyaanTerbukaUntuksetiapsoalberikut,tentukan masing-masing tiga bilangan yang berbeda untuk melengkapi setiapbentukaljabarberikutsehinggadapatdifaktorkan sebagaiperkalianduasukudua.Tunjukkanfaktor-faktornya!a. x2 3x b. x2+ x + c. x2+x + 9.Faktorkanlah setiap bentuk aljabar yangberpola ax2 + bx + c dengan a=1 berikut ini.a. 2x2 15x + 7 b. 5x2 2x 7c.2x2 x 3d. 8x2 14x + 3 e. 2x2 11x 21 f.3x2 + 13x 1010. Faktorkanlah setiap bentuk aljabar berikut!a. x2+ 2x + 1 b. t2 144 c. x2 18x + 81 d. 15t2 15 e. x249 f. a2+ 12a + 36g. 4x2 4x + 1h. 16n2 56n + 49i. 9x2+ 6x + 1j. 9x2 6x + 1k. 2g2+ 24g + 72l. 2x3 18x 11.a.Bentukaljabar(2x+4)2samadengan4x2++16. Berapakah suku tengahnya?248ob. 1 Fokfor|sos| 5uku A|joborb.Cobalah kamu melengkapi pernyataan berikut.(3x + 4)2 = 9x2 + + 16.12.Menulis.Buatlahrangkumantentangproseduruntuk memfaktorkansuatusukutigayangberbentukkuadrat sempurna. Berilah paling sedikit dua contoh!13.a.PertanyaanTerbukaTulislahsuatusukutigayang bentuknya kuadrat sempurna.b. Jelaskan bagaimana kamu mengetahui bahwa suku tiga di atas merupakan kuadrat sempurna.c. Tuliskan juga suku tiga yang bukan kuadrat sempurna.14.Faktorkanlah setiap bentuk aljabar berikut! a.41m2 91 b. p22p+ 4 c. n2 Mofemof|ko 5MF Ke|os Vlll 25 RefeksiSetelahmempelajariBab1cobakamuingat,adakahbagian yang belum kamu fahami? Jika ada, coba pelajari kembali atau diskusikan dengan temanmu!Buatlah rangkuman tentang apa yang telah kamu fahami dan catatlah hal-hal yang sulit kamu pahami.Masih ingatkah kamu,a. Bagaimana cara menyederhanakan bentuk aljabar?b. Bagaimana cara menfaktorkan bentuk?Pada saat pembelajaran apakah kamu merasakan tidak senang karena takut, jemu, sulit memahami ataukah merasakan senang? Sampaikan hal itu kepada Bapak/Ibu gurumu. RangkumanUntuk menyederhanakan suatu bentuk aljabar dapat digunakan berbagai cara, yaitu:- Mengelompokkan suku-suku sejenis, kemudian menghitungnya.- Menggabungkan suku-suku sejenis dengan caramenjumlahkan koefsien-koefsiennya.Beberapa macam bentuk aljabar dijelaskan berikut ini.- Suku satu (monomial) dapat berupa angka, variabel. - Suku banyak (polinomial) adalah penjumlahan danpengurangan dari beberapa suku satu. -Polinomial dengan dua suku disebut suku dua(binomial)-Polinomial dengan tiga suku disebut suku tiga(trinomial)Cara memfaktorkan bentuk : Jumlah dari bilangan-bilangan ini sama dengan b 100 5 10 5 10 5 = =Hasil kali dari bilangan-bilangan ini sama dengan c28ob. 1 Fokfor|sos| 5uku A|joborUntuk nomor 1 sampai 5 pilihlah satu jawaban yang benar.1.. . . 8 6 ) 2 3 ( = + x x xa. 8 9 22 +x x

b. -12x2 + 12x - 8 c. 8 9 22 + x x d. 8 9 22 x x2. . . . ) 3 2 (2= ya.9 6 42+ + y y b.9 6 42+ + y y c.9 6 42+ y y d. 9 6 42 + y y3.t2 - t -12 = . . .a.) 3 ( ) 4 ( + t t b.) 3 ( ) 4 ( t tc.) 3 ( ) 4 ( + + t t d.) 3 ( ) 4 ( + t t4. -6p2 + 16p - 8 = . . .a.) 4 2 ( ) 2 3 ( + p pb. ) 4 2 ( ) 2 3 ( + p p c.) 4 2 ( ) 2 3 ( + p pd. ) 4 2 ( ) 2 3 ( + + p p5. Berikut ini yang merupakan bentuk kuadrat sempurna adalah . . .a. 9 y2- 12 y - 4 b. 4 y2 - 12 p + 9c. 9 y2+12 y - 4 d. 4y2 +12 p - 9Untuk soal nomor 6 sampai 10 kerjakan disertai dengan langkah-langkahnya.EvaluasiBab 1Mofemof|ko 5MF Ke|os Vlll 27 6. Tulislah suatu bentuk aljabar untuk setiap situasi berikut. Kemudian sederhanakanlah bentuk aljabar tersebut.a.Anitamembawa4kotakyangmasing-masingberisi sebanyak t kelereng dan 3 kotak masing-masing berisi sebanyak r + 2 kelereng.b.Anita membeli 5 bungkus kue yang masing-masing seharga Rp. x,00 rupiah. Kemudian Anita membeli permen seharga Rp 15.000,00 dan kerupuk seharga Rp 5.000,00.7.Sederhanakanlah setiap bentuk aljabar berikut.a. 2n 3nb. 2k 5b b kc. 2x2 4 + 3x2 6 x28.Sederhanakanlah setiap bentuk aljabar berikut.a. 18y + 5(7 + 3y) b. 30(b + 2) + 2b c. x + 5x + 8(x + 2) 9.Tentukan hasil perkalian berikut.a. 7(3x + 5) b. y(y 9) c. 7(2a2 + 5a 11)d. 2(n 6) e. 52(5w + 10)10.Tentukan hasil perpangkatan berikuta. (p 3)2 b. (2x 1)2 c.(-2a + 1)2 288ob. 1 Fokfor|sos| 5uku A|joborRelasi dan FungsiStandar KompetensiMemahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus. Kompetensi Dasar1.3Memhami relasi dan fu ngsi1.4Menentukan nilai fungsi. 1.5Membuat sketsa grafk fungsi aljabar sederhana pada sistem koordinat Cartesius Bab 230 Bab. 2 FungsiMasihingatkahkamutentangmaterihimpunan?CobabericontohduabuahhimpunanJikakamulupa,sebaiknyakamupelajarikembali.PemahamantentanghimpunandiperlukanuntukdapatmemahamimateripadaBab2inidenganbaik.Pengertian RelasiPakBudimempunyailimaoranganak,yaituRiska, Dimas, Candra, Dira, dan Reni. Masing-masinganakmempunyaikegemaranberolahragayangberbeda-beda.Riskagemarberolahragabadmintondanrenang.Dimasgemarberolah raga sepak bola. Candra gemar berolahragasepakbola.SedangkanDiradanRenimempunyaikegemaranberolahragayangsamayaitubasketdanbadminton.Jika anak-anak Pak Budi dikelompokkan menjadi satu dalamhimpunanA,makaanggotadarihimpunanAadalahRiska,Dimas,Candra,Dira,danReni.HimpunanAtersebutkitatuliskansebagaiA={Riska,Dimas,Candra,Dira,Reni}.Apayangakankamupelajari?Menjelaskan danmenyatakan masalahsehari-hari yangberkaitan dengan fungsiMenyatakan suatu fungsiyang terkait dengankejadian sehari-hari.Menggambar grafikfungsi dalam koordinatCartesiusKataKunci:RelasiHimpunanAnggota himpunanDiagram PanahKoordinat CartesiusPasangan BerurutanSumber:www.flickr.com2.1Rel asi AMatematika SMP Kelas VIII 31Sedangkan jenis olah raga yang digemari anak-anak Pak BudidapatdikelompokkandalamhimpunanB.HimpunanBdituliskanB={Badminton,Renang,Basket,Sepakbola}Terhadap kegemaran anak-anak pak Budi, terdapat hubunganantarahimpunanAdanhimpunanB.Hubungantersebutberkait dengan gemar berolah ragadari anak-anak pak Budi.RiskagemarberolahragabadmintondanrenangDimasgemarberolahragasepakbolaCandragemarberolahragasepakbolaDiragemarberolahragabadmintondanbasketRenigemarberolahragabadminton danbasketApabilagemarberolahragakitanotasikandengantandapanah,pernyataan-pernyataandiatasdapatdigambarkansebagaigemarberolahraga RiskaDimas CandraDiraReni BadmintonRenangBasket Sepakbola Gambar 2.1 Kita melihat antara anggota himpunan A dan anggota himpunaBmemilikihubungan(relasi)gemarberolahraga.SelanjutnyakitakatakanterdapatrelasiantaraanggotahimpunanAdananggotahimpunanB,atauseringjugadisebutrelasidarihimpunan Ake himpunB.Dariuraiandiatas,dapatdisimpulkanbahwa:Tugas.Buatkelompokdengananggotamasing-masing5orang.Buatlahrelasihobidarimasing-masinganggotakelompokmu.ABDefinisiRelasiRelasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang menghubungkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B32 Bab. 2 FungsiMenyatakanRelasiDuaHimpunandenganDiagramPanahDiagrampanahadalahdiagramyangmenggambarkanhubunganantaraduahimpunandengandisertaitandapanah.SepertirelasipadaGambar2.1.Marilahkitalihatcontohlainpenggambaranrelasidengandiagrampanah.Perhatikansoalceritadibawahini.DikelasVIIISMPNIBanjarmasin,terdapatsebuahkelompokbelajaryangberanggotakan4orang,yaituAni,Adi,Ina,danIman.AnimempunyaiseorangadikyangbernamaBudi.Adimempunyai dua orang adik bernama Surya dan Hani. Ina tidakmempunyaiadik.SedangkanSantiadikdariIman.Cobatebak,relasiapayangdinyatakanolehceritadiatas?Benar!Relasi tentang adik dan kakak. Sekarang, mari kita buathimpunanyangberisikakakdanhimpunanyangberisiadik.MisalhimpunanPmenyatakanhimpunankakak,danQmenyatakan himpunan adik. Himpunan P mempunyai anggotaAni,Adi,Ina,danImandandituliskandenganP={Ani,Adi,Ina,Iman},sedangkanhimpunan Qadalah{Budi,Hani,Surya,Santi}. Jika kita tentukan relasi atau hubungan antara himpunanPdenganhimpunanQsebagaikakakdari,makaAnidihubungkandenganBudi,artinyaAnikakakdariBudi,AdidihubungkandenganSuryadanHani,artinyaAdikakakdariSuryadanHani.SedangkanInatidakmempunyaiadik.Imandihubungkan dengan Santi. Hubungan antara anggota-anggotahimpunanPdanQdapatdigambarkansebagaiberikut: Ani Adi Ina Iman Budi Surya Hani Santi Kakak dariGambar 2.2P QBerdasar contoh di atas tampak bahwa ada satu anggota P yaituInayangtidakmempunyaihubungandengananggotaQ.Relasi antara himpunan P dan himpunan Q adalah relasi kakakdari. BMatematika SMP Kelas VIII 33OlehkarenaitulambangpadaGambar2.2menyatakanrelasikakakdari.BiladituliskanAniBudi,artinyaAnikakak dari Budi,AdiSurya,artinya Adi kakakdariSuryadan Adi Hani, artinya Adi kakak dariHani dan seterusnya.1. Dapatkankamumenemukanrelasilainantaraanggota-anggotahimpunanPdananggota-anggotahimpunanQpadacontohdiatas?Jikaada,sebutkandangambarkanrelasitersebut!2. Buatlah contoh lain tentang relasi antara anggota-anggotaduahimpunanyangkamuketahui!Menyatakan RelasiDua HimpunandalamKoordinat CartesiusDalammenyatakanrelasiantaraanggota-anggotaduahimpunan,selaindenganmenggunakandiagrampanahdapatjugadinyatakandalamkoordinatCartesius.JikakitamenyebutkataCartesius,yangkitaingatadalahbidang Cartesiusyang mempunyai dua sumbu,yaitu sumbumendatardansumbutegak.Demikian juga pada koordinat Cartesius, terdapat dua sumbuyang saling tegak lurus yaitu sumbu mendatar atau horisontaldansumbutegakatauvertikal.Pada Gambar 2.1 di atas, kita dapat menyatakan relasi antaraanggota himpunan A dan anggota himpunan B tersebut dalamkoordinatCartesius.Nama anggota-anggota himpunan A diletakkan pada sumbumendatardannamaanggota-anggotaBdiletakkanpadasumbutegak.SetiapanggotahimpunanAyangberelasidengananggotahimpunanBdapatdinyatakandengannoktah()ataudenganbintang(*).JadikoordinatCartesiusdarirelasitersebutadalah: C34 Bab. 2 Fungsi Sepak bola Basket Renang Badminton RiskaDimasCandraDiraReni 2 3 4 5 7 6 8 B A 1 Gambar 2. 3Relasi antara anggota himpunan A dan B adalah gemar berolahraga.Noktah1menghubungkanRiskadanbadminton,artinyaRiskagemarberolahragabadminton.Noktah4menghubungkanCandradansepakbola,artinyaCandragemarberolahragasepakboladanseterusnya.Diskusikan1. CobagambarkandalamkoordinatCartesiusuntukrelasidarihimpunanPkehimpunanQ(padaGambar2.2)dengananggotahimpunanPdiletakkanpadasumbumendatardananggotahimpunanQdiletakkanpadasumbutegak.2. GambarkanpuladalamkoordinatCartesiusuntukrelasidarihimpunanPkehimpunanQdengannamaanggotahimpunanPdiletakkanpadasumbutegakdannamaanggotahimpunanQdiletakkanpadasumbumendatar.3. Apa yang dapat kamu simpulkandari (1) dan(2) ?Menyatakan RelasiDua Himpunan dengan Pasangan BerurutanPasanganberurutandilambangkandengan(x,y)denganxmenyatakananggota suatuhimpunan tertentu,sebut A,danymenyatakananggotadarihimpunanlain,sebutB.Padabagianinikitaakanmenyatakanrelasisebagaihimpunanpasanganberurutan(x,y).Padabagiansebelumnya,relasiantara anggota dua himpunan dapat dinyatakan dengan dia-grampanahdandalamkoordinatCartesius.KitaakanmengambilcontohpadaGambar2.1,danmenyatakannyasebagai pasangan berurutan. Pada relasi gemar berolahragadiatas,kitamemilikihimpunanpenggemarolahragaA={Riska,Dimas,Candra,Dira,Reni},danhimpunancabangolahragaB={Badminton,Renang,Basket,Sepakbola}. DMatematika SMP Kelas VIII 35BerdasarkanGambar2.1,relasigemarberolahragadituliskansebagaiR={(Riska,Renang),(Riska,Badminton),(Dimas,Sepakbola),(Candra,Sepakbola),(Dira,Badminton),(Dira,Basket),(Reni,Badminton),(Reni,Basket)}.Diketahui P = {2, 3, 4, 5} dan Q = {4, 9, 25}.Tentukan contoh relasi dariP ke Q.Jawab:Relasi(R)antaraanggota-anggotahimpunanPdanQadalahfaktor dari.Relasidiatasdapatdinyatakandenganpasanganberurutanseperti berikut:(2, 4), artinya 2faktor dari4.(4,4),artinya4 faktordari4 danseterusnya.Jadihimpunanpasanganberurutandarirelasi tersebutadalah:R = {(2, 4) , (3, 9) , (4, 4) , (5, 25)}.Pikirkan!1. Apakahadarelasiyanglainantaraanggota-anggotahimpunan P dan Q di atas? Jika ada, nyatakan relasi tersebutdengandiagram panah,koordinat Cartesius dan pasanganberurutan.TugasKelompokBentuksebuahkelompokyangberanggotakan5orang.Ukurtinggi badan masing-masing anggota kelompokmu, catat tinggibadantersebut(nyatakandalamsatuancm).1. Dapatkahdibuatrelasiantaraanggotadalamkelompokmudenganukurantinggibadan?2. Jikadapat,apakahrelasinya?3. Nyatakanrelasitersebutdalamtigacara,yaitu:a. DiagramPanah.b. KoordinatCartesius.c. PasanganBerurutan.Cont oh1Relasi antara himpunan X dan Y dapat dinyatakan sebagaihimpunanpasanganberurutan(x,y)denganxanggotahimpunan pertama (X) dan y anggota himpunan kedua (Y).36 Bab. 2 Fungsi1. Perhatikanrelasiantaraanggota-anggotaduahimpunanyangdinyatakandengandiagrampanahdibawahini.Sebutkanrelasi-relasitersebut.a.AB 2 3 4 4 5 6 7 8 b.DE2. BuatlahdiagrampanahdarirelasitigakalinyadariantaraK = {9, 12, 15, 21}danL= {3, 4, 5, 7}3. Diketahui enam orang anak di kelas VIII SMP Palangkaraya,yaituDina,Alfa,Sita,Bima,Doni,danRudi.Merekamempunyaiukuransepatuyangberbeda-beda.DinadanSitamempunyai ukuransepatuyangsama yaitu nomor 38.Alfamempunyaiukuransepatu37.Bimamempunyaiukuransepatunomor40.SedangkanDonidanRudimempunyaiukuransepatuyangsamayaitu39.a. Gambarlah diagram panah yang menghubungkan semuanama anak di kelas VIII SMP Palangkaraya dengan semuaukuransepatunya. DenpasarKendariPadangSurabayaBaliJawatimurJawaBaratSulawesitenggaraSumateraBaratLat i han 2. 1Matematika SMP Kelas VIII 37b. GambarlahrelasitersebutdenganmenggunakankoordinatCartesius.c. Tulislahsemuapasanganberurutanyangmenyatakanrelasitersebut.38 Bab. 2 FungsiMenyatakan Bentuk FungsiPernahkahkamumerasakanrasagula,garam,ladadanberbagaibahandapuryanglainnya?Cobarasakanbagaimanakahrasagula?Pastimanis.Bagaimanakahrasanyagaram?Pastiasin,tidakadagaramyangrasanyamanis.Bagaimanakahrasanyalada?Adakahladayangrasanyatidakpedas?Adakahrasacukayangtidakasam?Jika bahan-bahan dapur dikumpulkan dalam satuhimpunanyaituAdanrasadaribahan-bahandapurdikumpulkandalamhimpunanB,makarelasiapayangdapatdigunakanuntukmenghubungkanhimpunanAdanB?Jikarelasiyangdigunakanuntukmenghubungkananggota-anggotahimpunanAdengananggota-anggotahimpunanBadalahrasanya,makarelasitersebutdapatdinyatakandengandiagrampanahsepertiberikut: Garam Gula Cuka LadaAsam Asin Pahit Manis PedasrasanyaGambar 2.4ABApa yang akan kamupelajari? Menyatakan suatu fungsiyang terkait dengankejadian sehari-hari Menggambar grafik fungsidalam koordinat Cartesius.Kata Kunci: Daerah asal Daerah kawan Daerah hasil Peta Prapeta2.2Fungsi (Pemet aan) APerhatikanGambar2.4.ApakahsetiapanggotahimpunanAmempunyaihubungandengananggotahimpunanB?Matematika SMP Kelas VIII 39ApakahsetiapanggotahimpunanAmempunyaihubungandenganhanyasatu anggotahimpunanB?KarenasetiapanggotahimpunanAmempunyaihubungandengananggotahimpunanBdansetiapanggotahimpunanAhanyamempunyaisatukawananggotahimpunanB,makarelasidarihimpunanAdanBdisebutfungsiataupemetaan.RelasipadaGambar2.4merupakanfungsi(pemetaan).Dalamdiagrampanah,garamdihubungkanolehanakpanahdenganasindandituliskansebagaigaramasin.Garamberadapadapangkalanakpanah,sedangkanAsinberadapadaujunganakpanah.Garamdipetakanpadaasin,sehingga asin disebutsebagai peta darigaram. Asindihasilkanoleh siapa, garam! Selanjutnya, dalam matematika garam seringdisebutsebagaiprapetadariasin.Padanotasigulamanis.Manisdisebutpetadariguladanguladisebutprapetadarimanis.Cobajelaskandenganbahasamusendiri,notasi-notasiberikut:cuka asamladapedasHimpunan-himpunanprapetadanhimpunanpetamemilikiistilahsebagaiberikut:A= {garam,gula, cuka,lada} disebutdaerah asalataudomaindarifungsi.B={asam,asin,pahit,manis,pedas}disebutdaerahkawanataukodomaindarifungsi.Himpunan {asam, asin, manis, pedas} disebut daerah hasil ataurange darifungsi.Diskusikandengantemanmupertanyaan-pertanyaanberikut:ApakahsetiapanggotadaerahhasilmerupakanpetadarianggotahimpunanA?Apakah semua peta dari anggota himpunan A menjadi anggotadaerahhasil?DefinisiFungsiFungsi dari himpunan A ke himpunan B adalahrelasiyangmenghubungkansetiapanggotahimpunanAdengantepatsatuanggotahimpunanB.40 Bab. 2 FungsiApakah daerah kawan pada fungsi di atas sama dengan daerahhasilnya?Perhatikankesimpulanberikut:Sekarangkamuperhatikandiagrampanahuntukrelasifaktordari pada himpunanK = {2, 3, 4, 5}terhadap himpunanL = {4,9,25}berikutini.Notasi 2 4, dibaca2 faktordari 4Notasi 3 9, dibaca3 faktordari 9Tolongsebutkanyanglain! 2 3 4 5 4 9 25KLfactor dari Gambar 2.5 PerhatikanGambar2.5diatas.a. ApakahsetiapanggotaKmempunyaihubungandengansatuanggotahimpunanL?b. Apakahrelasitersebutmerupakanfungsi?c. Jika relasi di atas merupakan fungsi, maka sebutkan daerahasal,daerahkawan,dandaerahhasilnya.Bagaimanahubunganantaradaerahkawandengandaerahhasil? Perhatikan diagrampanah berikut: Ani Adi Ina Iman Budi Surya Hani Santi P QKakak dari Gambar 2.6Faktor dariDaerahHasilDaerahhasiladalahhimpunandarianggotadaerah kawan yang mempunyai prapeta. Daerahhasilmerupakanhimpunandaripetasetiapanggota daerah asal. atauMatematika SMP Kelas VIII 41Notasi Ani Budi, dibacaAni kakak dari Budi.Notasi AdiSurya,dibacaAdikakakdariSurya.Sebutkananggotarelasiyanglain!PerhatikandiagrampanahpadaGambar2.6diatas.a. Apakah setiap anggota himpunan P mempunyai hubungandengananggotahimpunanQ?b. Apakah setiap anggota himpunan P mempunyai hubungandengan tepatsatu anggotahimpunan Q?c. Apakahrelasitersebutmerupakanfungsi?Untuk menjawab pertanyaan ( c ), kamu harus memperhatikan(a) dan (b).KarenaadasatuanggotahimpunanPyaituInatidakmempunyaihubungandengansatupunanggotahimpunanQ,maka relasi kakak daridari himpunan P ke himpunan Q bukanfungsi.Adakahalasanlainyangdapatkamutemukanuntukmemperkuatsimpulan diatas?Untukmelihatapakahsuaturelasiantaraduahimpunanadalahfungsi,yangperludiperhatikanadalahsetiapanggotadaerahasalharusmempunyaihubungandengansatusajaanggotadaerahkawan.Karenafungsimerupakanrelasi yangmempunyaicirikhusus,makafungsidapatdinyatakanjugadalambentuk:a. diagrampanah,b. koordinatCartesius,c. himpunanpasanganberurutan.KoordinatCartesiusuntukfungsidarihimpunanAkehimpunanB,padaGambar2.4diatasadalah42 Bab. 2 Fungsi GulaCuka LadaAsam Asin Pahit Manis Pedas B A Gambar 2.7GaramPadagambardiatastampakbahwa setiapnama padasumbumendatar hanya mempunyai satu pasangan dengan nama padasumbutegak.DarikoordinatCartesiuspadagambardiatas,fungsidarihimpunanAkehimpunanBdapatpuladinyatakandenganpasanganberurutansebagaiberikut:{(garam,asin),(gula,manis) ,(cuka, asam) ,(lada,pedas)}Susunlahbeberaparelasidalamkehidupansehari-hariyangmerupakanfungsi.Nyatakanfungsi(pemetaan)tersebutdengandiagrampanah,koordinatCartesiusdanhimpunanpasanganberurutan.Tugas KelompokBuat kelompok yang beranggotakan5 orangteman sekelasmu.Catatukuransepatudarimasing-masinganggotakelompok.Hati-hatidalammemilihhimpunanyangmenempatisumbuhorizontal(datar)dansumbuvertikal(tegak)koordinatCartesisus . Penyajian koordinat Cartesius untuk fungsi, sumbudataruntukdaerahasal(domain)dansumbuvertikaluntukdaerahkawan(kodomain).Matematika SMP Kelas VIII 43a. Misal A=himpunandarinamaanggotakelompok.B = himpunan dari nomor sepatu anggota kelompok.TuliskanHimpunanAdanHimpunanB!b. Buatlah relasidari himpunanAkehimpunanB!c. Apakahrelasitersebutmerupakanfungsi(pemetaan)?d. Jikamerupakanpemetaan,nyatakanfungsi(pemetaan)tersebute. Dengandiagrampanah,koordinatCartesius,danhimpunanpasanganberurutanDiketahui A = {Anto},B = {Dira, Reni}, C = { Anto, Dira, Reni}dan D ={ SMP Harapan, SMP Unggul}a. Gambarkandiagrampanah darihimpunanAkeDyangmerupakanfungsi.b. GambarkandiagrampanahdarihimpunanBkeDyangmerupakanfungsi.c. GambarkandiagrampanahdarihimpunanCkeDyangmerupakanfungsi.d. Kesimpulanapayangdapatkamuperoleh?JikaibukotapropinsiyangterdapatdipulauKalimantandikelompokkan dalam himpunan A danpropinsi yang terdapatdi pulau Kalimantan dikelompokkan dalam himpunan B, makarelasiibukotapropinsidarihimpunanAkehimpunanBdinyatakandalamdiagrampanahsebagaiberikut. Banjarmasin Samarinda Palangkaraya Pontianak Kalimantan Selatan Kalimantan Timur Kalimantan Tengah Kalimantan Barat A BIbukota propinsiApakahrelasidarihimpunanAkehimpunanBmerupakanpemetaan ?Sebaliknya,apabilakitamembuat relasiibukotanyaadalahdarihimpunanBkehimpunanA,makadiagrampanahnyaadalahsebagaiberikut.44 Bab. 2 Fungsi Banjarmasin Samarinda Palangkaraya Pontianak Kalimantan Selatan Kalimantan Timur Kalimantan Tengah Kalimantan Barat B A Ibukotanya adalahApakahrelasidarihimpunanBkehimpunanAmerupakanpemetaan?Selanjutnya,kitaakanmenggambarkankeduarelasitersebutdalamsatudiagrampanah.Jikarelasiibukotapropinsidinotasikandenganfdanrelasiibukotanyaadalahdinotasikang, maka kedua diagram panah di atas dapat digambar sebagaiberikut. g Banjarmasin Samarinda Palangkaraya Pontianak Kalimantan Selatan Kalimantan Timur Kalimantan Tengah Kalimantan Barat ABfKeduarelasifdangadalahfungsi(kenapa?).FungsifmemetakanhimpunanAkepadahimpunanB,sebaliknyafungsigmemetakanhimpunanBkepadahimpunanA.Pemetaan yang bersifat bolak-balik, baik untuk f dan gdisebutkorespondensisatusatu.Berpikir KritisSelidikisifat-sifatkorespondensisatu-satu!1. Sifatapayangdimilikifungsif?Bagaimanadomain,kodomain,dan daerahhasildarif?2. Sifatapayangdimilikifungsig?Bagaimanadomain,kodomain,dandaerahhasildarig?Matematika SMP Kelas VIII 451. Diagram panah berikut ini menunjukkan relasi antara duahimpunan.Relasimanakahyangmerupakanfungsi? a b c d e f g A Ba. 1 2 3 4 a b c d C Db. p q r a b c d E Fc.a b c d 2 5 G Hd.Perhatian!1. Bila kodomain (f)= daerah hasil(f), makafungsi fdinamakanfungsipada.2. Bila peta fpada x1 dan x2 (yaituf (x1 ), f (x2 ) berbeda untuksetiapx1 danx2 berbeda,makafungsidinamakanfungsisatu-satu3. Bilapetafhanyamemuatsatuanggota(hanyamemilikianggota tunggal), maka fungsi f dinamakan fungsi konstan.Lat i han 2. 246 Bab. 2 Fungsi2. Diketahui A = {2,5, 7, 9} dan B = {7, 10, 12, 14, 16}.Jikahubungananggota Adengananggota B ditunjukkandengan 2 7, 5 10, 7 12, dan 9 14,maka :a. GambarlahdiagrampanahrelasidarihimpunanAkeB.b. SebutkanrelasiyangmungkindarihimpunanAkeB.c. Apakahrelasitersebutmerupakanfungsi?Jelaskan!3. DiketahuisuaturelasidarihimpunanPkehimpunanQyangdinyatakandenganhimpunanpasanganberurutan{(-1, 2), (1, 4), (3, 6), (5, 8), (7, 10)}.a. Sebutkananggota-anggotahimpunanPdanQ.b. Sebutkan duarelasi lain yangmungkindarihimpunanP ke himpunan Q.c. GambarlahkoordinatCartesiusdarirelasitersebut.d. JikahimpunanPmerupakan daerahasal darirelasi (b)dan dengan melihat koordinat Cartesius pada (c), apakahrelasidarihimpunanPkehimpunanQmerupakanfungsi?4. Andaikan x anggota himpunan C yaitu himpunan bilanganasliganjilyangkurangdari10danhimpunanDyaituhimpunanbilanganasligenap yang kurangdari 19.Relasiyang menghubungkan himpunan C dan D adalahsetengahdari.a. Sebutkananggota-anggotahimpunanCdananggota-anggotahimpunanD.b. Sebutkansemuapasanganberurutandarirelasitersebut.c. Apakahrelasi diatasmerupakanfungsi?d. Jikaya, tentukandaerahhasil.e. TentukanrelasilainyangmenghubungkanhimpunanC dan D!f. Apakahrelasi diatasmerupakanfungsi?g. Jikaya,tentukandaerahhasil.5. DiketahuiA = { p, q, r } dan B = { 2, 3, 4 }a. Buatlah semua pemetaan yang mungkin dari himpunanAkehimpunanBdengandiagrampanah.b. Tentukanbanyaknyapemetaanyangmungkindarihimpunan AkehimpunanB.Matematika SMP Kelas VIII 475. DiketahuiA = { 2, 3, 5 } dan B = { 21, 25, 26 }a. MisalpemetaanyangdigunakanuntukmenghubungkanhimpunanAkehimpunanBadalahfaktordari.Gambarkandiagrampanahnya.b. Misalpemetaanyangdigunakanuntukmenghubungkan himpunanB kehimpunanAadalahkelipatandari.Gambarkandiagrampanahnya.c. Apakahterdapatkorespondensisatu-satuantarahimpunanAdanhimpunanB?Gambarkandiagrampanahnya.48 Bab. 2 FungsiPerhatikandiagrampanahberikutini: 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6KLdikurangi satu menjadiPadadiagrampanahdiatas,tampakbahwa:21,dibaca2dikurangisatumenjadi1atau2 satulebihnyadari1.32,dibaca3dikurangisatumenjadi2atau3 satulebihnyadari2.43,dibaca4dikurangisatumenjadi3atau4satulebihnyadari3.54,dibaca5dikurangisatumenjadi4atau5 satulebihnyadari4.SecaraumumBila kita mengambil sebaranganggota K, sebutx, maka kawannya di L adalah(x 1). (Kenapa?)Dengandemikian,biladinotasikandengandiagrampanahmenjadix(x 1)dibacax dikurangi1 menjadi(x 1).Apakahrelasi diatasmerupakanfungsi?Apayangakankamupelajari? Menghitung nilai fungsiMenyusun tabel fungsi Menghitung nilaiperubahan fungsi jikavariabel berubah Menentukan bentuk fungsijika nilai dan data fungsidiketahuiKataKunci: Fungsi (Pemetaan) Rumus fungsi Tabel Fungsi Nilai fungsi Variabel Diagram Panah2.3Menghi t ungNi l ai FungsiMatematika SMP Kelas VIII 49Jikarelasisatulebihnyadaridinotasikansebagairelasif,makafmemetakanxke(x1).Selanjutnyarelasifdituliskansebagaif : x (x 1).Apabila relasi f ini merupakan fungsi , maka (x 1)menyatakanpeta dari x dan peta xoleh f dinotasikansebagaif(x).Notasif(x) = (x 1) dikenal juga sebagai aturan fungsi ,rumusfungsi,ataupersamaanfungsi.Akantetapi,notasitersebutseringhanyadibacafungsif.Bilakitanotasikanf(x)=ymakarumusfungsif(x)=(x1)menjadiy = x 1.Persamaany = x 1lebih dikenal sebagai persamaanfungsi.Pada persamaan tersebutxdisebut variabel bebas,sedangkanyadalahvariabeltakbebasdarifungsi. Perhatikan kembali fungsi fdengan aturan x (x 1).Untuk x = 2,maka f(2) = 2 1 = 1. Nilai f(2) = 1 disebutnilaifungsi untuk x = 2.Nilai fungsi dari setiap anggota himpunanKdapatdinyatakandalamtabelfungsiberikut.x 234 5 -1 -1-1-1-1 f(x) = x - 1 1234 Grafikberikut merupakankoordinatCartesiusuntuk fungsif. 5 4 3 5 2 4 1 321 Y X 0 Jelaskanbagaimanacarakamumemperolehgrafiktersebut?50 Bab. 2 FungsiDiketahuisuatufungsifdengandaerahasalA={7,9,11,13}dengan rumus fungsi f(x) = 2x 3a. Tentukanf(7),f(9),f(11)danf(13).Kesimpulanapayangdapatkamuperoleh?b. Buatlahtabel fungsidiatas.c. Tentukandaerahhasilnya.d. GambarlahgrafikfungsidalamkoordinatCartesius.Diketahui suatu fungsi gdengan daerah asalP = { x x 3,xbil. real} dengan rumus fungsi g(x) = 3x +4.a. Buatlahtabelfungsidiatasdenganmengambilbeberapanilaix.b. Tentukandaerahhasilnya.c. GambarlahgrafikfungsidalamkoordinatCartesius.Berpikir KritisBandingkangrafikfungsifpadasoal1dangrafikfungsigpada soal 2!Apayangdapatkamusimpulkan?Didepantelahdijelaskancaramenggambardiagrampanahatau koordinat Cartesius dari suatu fungsi,jika diketahui daerahasaldanrumusfungsinya.Sekarangkerjakanmasing-masingpertanyaanberikut,gunakankoordinatCartesiusuntukmenjawab pertanyaantersebut.Terakhir,kesimpulanapayangdapatkamuperoleh!PerhatikangrafiksuatufungsifberbentukgarisluruspadakoordinatCartesiusdibawah.a. Tentukan daerahasal fungsif.b. Tentukan daerahhasilfungsif.c. Tentukan nilai-nilaifungsi f untuk x = -1, x = 0, x = 1, x = 2.Dapatkah kamu menemukan pola dari fungsi dan nilainya?d. Tentukan rumusfungsifberdasarkan(c)?Soal1Soal2Matematika SMP Kelas VIII 51 5 4 3 5 2 4 1 32 1 Y X 6 7 8 9 -7 -4 -1 -2 -1 0 1. Diketahui suatu fungsi f dengan rumus f(x) = -x + 3 dengandaerah asal K= {-3, -1, 1,3, 5, 7}.a. Buatlahtabel nilaifungsifb. Tentukan nilai fungsi f untuk x = -3, x = 5c. Tentukan daerahhasilfungsif.d. GambarlahgrafikfungsifpadakoordinatCartesiuse. Berupaapakahgrafik fungsif?2. Diketahui suatu fungsi g dengan rumus g(x) = 3x - 1 dengandaerah asal A = {x 1 x 5, x bilangan real}.a. Tentukan nilai fungsi f untuk x = 3, x = 29b. Tentukandaerahhasilfungsig.c. GambarlahgrafikfungsigpadakoordinatCartesiusd. Berupaapakahgrafik fungsig?Lat i han 2. 352 Bab. 2 Fungsi3. PerhatikangrafikfungsifpadakoordinatCartesiusberikut.a. Tentukan daerahhasilfungsif.b. Tentukan nilai fungsi f untuk x = 0, x = 1, x = 2, x = 3 dan x=4.Polaapakahyangkamuperoleh?c. Tentukan rumusfungsifberdasarkan(b)?Diskusikana. Diketahui suatu fungsi g dengan rumus g(x) = ax + 7. Nilaifungsi g untuk x = -2 adalah 1.Coba tentukan nilai fungsi g untuk x = 5.Tentukanrumusfungsig.Jelaskancaramu!b. Diketahui suatu fungsi f dengan rumus f(x) = -2x + b. Nilaifungsi f untuk x = -1 adalah 11. Coba tentukan nilai fungsif untuk x = 3. Tentukan rumus fungsi f. Jelaskan caramu! 5 4 3 5 2 4 1 32 1 Y X 6 7 8 9 -3 -2 -1 -2-1 0 Matematika SMP Kelas VIII 53SetelahmempelajariBab2cobakamuingat,adakahbagianyangbelumkamufahami?Jikaada,cobapelajarikembaliataudiskusikandengantemanmu!Buatlahrangkumantentangapayangtelahkamufahamidancatatlahhal-halyangsulitkamufahami.Cobakamujelaskan,a. ArtirelasidarihimpunanAkehimpunanBdanberilahcontoh!b. Arti fungsi darihimpunan P ke himpunanQ, beri contohsertasebutkandomain,kodomaindanrangenya!Padasaatpembelajaranapakahkamumerasakantidaksenangkarenatakut,jemu,sulitmemahamiataukahmerasakansenang?SampaikanhalitukepadaBapak/Ibuguru.Rangkuman1. Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yangmenghubungkananggota-anggotahimpunanAdengananggota-anggotahimpunanB2. RelasiantaraduahimpunanXdanY,dapatdinyatakansebagaihimpunanpasanganberurutan(x,y)denganxanggotahimpunanpertama(X)danyanggotahimpunankedua(Y).3. Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yangmenghubungkan setiap anggota himpunan A dengan tepatsatuanggotahimpunanB.4. Jika f adalah fungsi A ke B, makaA disebut daerahasal(domain),Bdisebutdaerahkawan(kodomain.)HimpunananggotaByangmempunyaiprapetadisebutdaerahhasil(range).Eval uasi Bab 21. Relasiyangdapatdibuatdarihimpunan} 6 , 5 , 3 , 2 { = A ke} 15 , 12 , 10 , 4 { = B adalah....a.setengahdari b.lebihdaric.faktordari d.duakalidariRef l eksi54 Bab. 2 Fungsi2. Diketahuisuatu fungsi f dengan rumus f(x) = x2 5x, nilai-nilaifungsiberikutyangbenaradalah....a. f(-1) = 6 b. f(3) = 6c. f(-2) = -6 d. f(2) = -63. Diketahui P={1, 2} danQ ={a, b, c},banyaknya pemetaanyang dapat dibuat dari himpunan P ke himpunan Q adalah....a.5 b.6c. 8 d.94. Diketahuisuatufungsigdenganrumusg(x)=ax5.Nilai fungsi g untuk x = -1 adalah 3. Nilai a yang memenuhiadalah....a.8 b.3c. 3 d. 85. Suatu fungsi f dengan rumus f(x) = x2 1. Jika domainfungsifadalah{x|-2x3,xR},makakodomainfadalah....a. {y | -5 y 8, y R} b. {y | -4 y 8, y R}c. {y | 4 y 8, y R} d. {y | 3 y 8, y R}6. DiketahuisuaturelasidarihimpunanAkehimpunanByangdinyatakandenganhimpunanpasanganberurutan {(-2, 4), (-1,-3), (2, 6), (7,10), (8, -5)}.a. TulislahhimpunanAdanB.b. GambarlahkoordinatCartesiusdarirelasitersebut.c. Apakahrelasiitumerupakanfungsi?Jelaskan!7. DiketahuiA = { a, b, c } B = { -1, 0 }a. Buatlahsemuapemetaanyangmungkindarihimpunan Akehimpunan Bb. Tentukanbanyaknyapemetaanyangdapatdibuat?8. Diketahuisuatufungsifdenganrumus5 2 ) ( = x x f dengan daerah asal M = {-5, -1, 2, 6, 8 }.a. Tentukan nilai fungsi f untuk x = -5, x = 8b. Tentukan daerahhasilfungsif.c. GambarlahgrafikfungsifpadakoordinatCartesiusPersamaan Garis LurusStandar KompetensiMemahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus. Kompetensi Dasar1.4 Menentukan gradien, persamaan dan grafk garis lurusBab 356 Bab. 3 PersamaanGaris Lurus3.1Pengert i anPersamaanGar i sLurusSisi pada bangunruang berupabidang datar,karena yangmembatasi bagiandalam dan luarbangun ruangadalah bidang.Sedangkan sisipada bangun datarberupa garis,karena yangmembatasi bagiandalam dan bagianIngat !Masihingatkah kamutentang fungsi? Jikaf(x)=2x-3,tentukanf(-2).Pemahamantentangfungsidiperlukanuntukdapatmemahamimateripada Bab3inidengan baik.Bak Penampungan AirSebuah rumah mempunyai bak penampungan airyangdiletakkandihalamandepan.Padasuatuhari,airdialirkandaribakpenampungankedalambakmandi.Hubunganantaravolumairyangtertampungdenganwaktualirdisajikandalamtabeldisamping.Misalxmenyatakanlamanyaairmengalirdanymenyatakanvolumairdalambakmandi.Relasiapakahyangdapatkitabuatdaridatatersebut?Perhatikanbahwapertambahanwaktuadalah1menit(darimana?),sedangkanpertambahanvolumeairadalah5liter(darimana?Sekarangcobaperhatikanrelasiwaktudanvolume air yang dinyatakan oleh diagram panahberikut:0 1 2 3 4 5 Apayangakankamupelajari?Persamaan garis lurusdalam berbagai bentuk danvariabel.Menggambar garis y=mxpada bidang Cartesius.Menggambar garis y=mx + cpada bidang Cartesius.Menentukan persamaangaris jika diberikangrafiknya pada bidangCartesius.KataKunci:persamaan garisWaktu alir (x) menit Volum air yang tertampung pada bak mandi(y) liter 0 1 2 3 4 5 2 7 12 17 22 27 2 + 0 x 5 7 = 2 + 1 x 5 12 = 7 + 5 = 2 + 2 x 5 17 = 12 + 5 = 2 + 3 x 5 22 = 17 + 5 = 2 + 4 x 5 27 = 22 + 5 = 2 + 5 x 5 Matematika SMP Kelas VIII 57Sekarangapabilawaktualirnyaadalahx=tmenit,berapavolumeair(y)literyangtertampungdalambakmandi?Selanjutnya coba kamu gambar relasi yang dihasilkan di atasdalam koordinatCartesius. Apabila titik-titik pada koordinatCartesiuskamu hubungkan,apayangkamuperoleh?Bilaairmengalirselama10menit,berapakahvolumairdalambakmandi?Bilavolumbakmandi75liter,berapakahwaktuyangdiperlukan untuk mengalirkan air hingga bak mandi penuh?Perhatikanpersamaangarisy=5x+2yangkitaperolehdiatas.SekarangtunjukkandalamkoordinatCartesiusuntukpersamaan garis tersebut untuk beberapa titik x = -1, 0, 1, 2, 3danhubungkanmenjadisatugarislurus,sepertigambardibawahini. XYHasil yang kamu peroleh pada kegiatan di atas berupa fungsidenganrumusy=5x+2.GrafikyangkamuperolehpadakoordinatCartesiusberupagarislurus.Selanjutnya,apabilakamumenjumpaifungsidenganbentuky=ax+b,dalamkoordinatCartesiusberupagarislurus(cobalakukanpercobaandenganmengambilbeberapanilaiadanb).Olehkarenaitufungsidenganbentuky=ax+bdinamakanpersamaangarislurus(kenapa?)58 Bab. 3 PersamaanGaris LurusBerdasarkanpengamatanmu,apakahgambargaristersebutmemotongsumbu-Xdansumbu-YpadakoordinatCartesius?Kalaumemotong,dimanatitikpotongnya?Titik-titikperpotongantersebutterjadipadax =0dany=0.Sekarangmarikitaamatilebihmendetil.Pada x = 0 nilai fungsi y = 5x + 2 adalah y = 5x0 + 2 = 2. Jadititikpotong berupapasangan terurut(0,2).Pada saaty= 0persamaanfungsi tersebutmenjadi0 = 5x +2.Dapatkahkamumencariberapanilaix?Titikpotongkeduayangkitaperoleh adalah(25,0).Sekaranguntukpersamaangarissecaraumumy=ax+bdimanatitikpotonggaristersebutdengansumbu-X?Titikpotonggaristersebutdengansumbu-Y?Contoh :Tentukan koordinat titik potong garis dengan persamaan 2y-3x=-6terhadapsumbu-sumbu koordinat.Jawab:a. Garisakanmemotongsumbu-Xjikay=0.Makadiperoleh2.(0) - 3x = -6.-3x = -6 x = 2JadiKoordinat titikpotongdengansumbu-Xadalah(2,0)b. Garisakanmemotongsumbu-Yjikax=0.Makadiperoleh2y =-6.y = -3Jadi Koordinattitik potong dengan sumbu-Yadalah (0,-3)Ingat !Kondisix=0,menyebabkangarisy=5x+2memotongsumbu y. Seringkali dinamakan perpotongan garis dengansumbuy.Kondisiy=0,menyebabkangarisy=5x+2memotongsumbu x. Seringkali dinamakan perpotongan garis dengansumbux.Matematika SMP Kelas VIII 59Lama masa tanam (dalam jam) Tinggi Kecambah (mm) 1 2 3 4 1,5 3,0 4,5 6,01.Tabeldisampingkananmenunjukkantinggikecambah(dalammm)danlamanyamasatanam(dalamjam).a. Misalymenyatakantinggitanamansetelahxjammasatanam.Bagaimanakamumenyata-kan hubungantinggitanaman(y)denganlamamasatanam (x) ?b. Gambarlahsetiappasangantitik(x,y)padakoordinatCartesius.c. Tariklahsebuahgarisyangmenghubungkanpasangan-pasangantitiktersebut.d. Berapakahtinggikecambahpadajamke-9?e. Dalamwaktuberapajam,kecambahakanmempunyaitinggi10,5mm?2. Mainan Mobil-mobilanDityamempunyaimainanmobil-mobilanyangdigerakkandenganbaterei.Mobil-mobilantersebutberada5cm dari tepi ruangan dan bergerak pada lantairuangandengankecepatankonstanyaitu12cmuntuktiapdetiknya. a. Rumuskanjarakmobil-mobilandaritepiruangansetelahtdetik,jikajarakmobil-mobilandaritepiruanganadalahs.Lat i han 3. 160 Bab. 3 PersamaanGaris Lurusb. Lengkapilahtabelberikutc. SebutkanduasumbuyangsalingtegakluruspadakoordinatCartesiusyangdigunakanuntukmenggambarkanmasalahdiatas!d. Gambarlahmasing-masingpasangantitik(t,s)padakoordinatCartesius. e. Tariklahsebuahgarisyangmelaluititik-titiktersebut.f. Tentukankoordinattitikpotonggaristersebutdengan sumbu s !g. Berapakahjarakmobil-mobilandaritepiruangansetelah 4detik?h. Dalamwaktuberapadetik,mobil-mobilanakanberjarak89cmdaritepiruangan? t12t5 + 12ts(t, s) 0 1 2 3 4 ................ ............... ............... ............... ............... ............... ............... ............... ............... ............... .......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... Matematika SMP Kelas VIII 613. NutrisiPersamaanc=12f+180menjelaskanhubunganantarajumlahlemakfdalamgramdanjumlahkaloricdalambeberapajenismakanan.a. Carilahtitikpotonggaristersebutdengansumbuc!b. Gambarlahpersamaangaristersebut.c. Suatujenismakananmengandung30gramlemak.Berapajumlahkalorimakanantersebut?4. TentukantitikpotongdengansumbuX,titikpotong dengansumbu Ydari tiap-tiap garis denganpersamaanberikut.a. 10x+25y=100.b. 21x 7y= 14.5. Gambarlahtiap-tiapgarisdenganpersamaanberikut.a. y = -4x + 3.b. x + y = 8.c. 3x +7y =0.d. y = 6 x41+.62 Bab. 3 PersamaanGaris LurusUkuran KemiringanKamu tentu pernah melihat atap rumah. Cobaperhatikan gambar atap rumah di bawah ini. (a)Gambar 3.7 (b) Mengapa atap rumah tersebut dibuat miring?Pada Gambar 3.7, atap rumah manakah yangtampaklebihmiring?Gambar3.7(a)atauGambar3.7(b)?Masihbanyakcontohbenda-bendadisekelilingmuyangletaknyamiring.Cobalahkamusebutkanbenda-bendatersebut.Selanjutnya,kitaakanmempelajaricaramenentukankemiringansuatubenda.Pertama-tama, gambar atap rumah (a) di atasdisederhanakanmenjadisebuahsegitigasepertipadaGambar3.8disamping.Misal AB : atapbagiankiriCB : atapbagiankananDB : tiangpenyanggategakAC : alaspenyanggamendatarMisal titik H dan Gpada AB.Apakahkemiringan AB, HB,dan GBsama? Gambar 3.8 C A B E F G H 6 4 2 3 3 3 D Apayangakankamupelajari?Mengenal pengertiandanmenentukan gradienpersamaan garis lurusdalam berbagai bentuk.Menentukan gradien darisuatu garis yang melaluidua buah titik yangdiketahui.Menentukan gradien garis-garis yang saling sejajar.Menentukan gradien garis-garis yang saling tegaklurus.Menentukan koordinat titikpotong dua garis.KataKunci:KemiringanUkuran KemiringanGradienSumber:koleksipribadi3.2Gradi en0 5 3 = + x yAMatematika SMP Kelas VIII 63SekarangperhatikantigamodelataprumahpadaGambar3.9.Apakahkemiringan ABsamadengankemiringan EF?Jikatidak,manakahyanglebihmiring? A Jarak datar AD(a) (b) C B PRS Q D Jarak tegak BD Pada Gambar 3.9(a) dan 3.9(c),tampakbahwapanjangtiangpenyangganyatidaksama,atauDBHF.DBadalahperbedaantinggi(jaraktegak)AdanB.HFadalah perbedaan tinggi E danF. Jadi perbedaantinggi dapatmempengaruhikemiringan.(c) E F G H Gambar 3.9 SelanjutnyaperhatikanGambar3.9(a)dan3.9(b).Apakahkemiringan ABsamadengankemiringan PQ?Jikatidak,manakahyanglebihmiring?Mengapa?Panjang tiang penyangga atap pada Gambar 3.9(a) dan 3.9(b)adalahsamaatau DB= SQ,tetapi mengapakemiringan atapberbeda?Jawabnya,karenapanjangalaspenyangganyatidaksamaatauACPR.AkibatnyaADPS.ADadalahperbedaandatar(jarakdatar)AdanB.PSadalahperbedaandatarPdan Q. Ini menunjukkan bahwa kemiringan atap dipengaruhiolehperbedaandatar.Jadidapatdisimpulkanbahwakemiringansuatubendadipengaruhiolehperbedaantinggidanperbedaandatar.Misal atap pada Gambar 3.9(a) dan 3.9(c) mempunyai panjangalasyangsama,yaituAC=EG,tetapikemiringannyaberbeda.Mengapakemiringannyaberbeda?64 Bab. 3 PersamaanGaris LurusPerhatikan gambar sebelah kiripadagambar3.8.a. BerapakahperbandinganBD danAD?b. BerapakahperbandinganFB dan HF?c. BerapakahperbandinganEB dan GE?d. Apakesimpulanyangkamuperoleh?e. Apakah GEBEHFFBADBD= =?Apa artinya itu ? A B C D H 4 2 F 3 3 3 Bagian kiri Gambar 3.8G Gambar 3.10 E 6 Nilaiperbandinganpadabagianpertamaadalahsama,yaitu3:2.Demikianjuganilaiperbandinganpadabagiankeduaadalah sama, yaitu 3:2. Hal ini sesuai dengan kenyataan bahwakemiringan AB, HB,dan GBadalahsama.Inimenunjukkanbahwanilaiperbandingandiatasdapatdijadikansebagaiukurankemiringansuatubenda.CobaselidikikembalikemiringanAB danCB padaGambar3.8!ApakahukurankemiringanAB samadenganCB ?Jelaskan.Untuk selanjutnya, disepakati bahwa ukuran kemiringanbendaadalahsebagaiberikut.Soal 1Ukuran Kemiringan =datar Perbedaan besarnyatinggi Perbedaan besarnya Untukmenandaiperbedaanarahkemiringankitaseapkatibahwajikabendadarikirikekanannaik,ukurankemiringannyabernilaipositif. Sedangkanjika benda dari kirike kananturun,ukurankemiringannyanegatif. Istilahyangdigunakandalammatematikauntukmenggambarkanukurankemiringanadalahgradien(Jadiistilahukurankemiringan(gradien)adapadakehidupan nyata. Contoh,ukuran kemiringan jembatan,kemiringanataprumah.Matematika SMP Kelas VIII 65PerhatikankembaliGambar3.7(a)danGambar3.8.a. Pada gambar 3.7 a. Menurut pendapatmu bagaimanakemiringanatapsebelahkiridanatapsebelahkanan?b. Apayangberbedapadakeduaatap itu?c. Bagaimanaperbedaandankesamaanantarakeduanya?1. Perhatikangambarjembatan penyeberangandisampingini.Gambar3.11(b)adalahbagiandarijembatansebelahkananyangdilihatdariarahdepan.GambarinidapatdiilustrasikansepertipadaGambar3.11(c). Jika AB = 8 m danBC=5m,berapakahkemiringanjembatanpenyeberanganitu? (a) (b) BC Gambar 3.11 (c)A Perhatikanduapersamaangarisberikuty = 2x + 2 dan y = 5x + 2.Sekarang amati persamaan garis tersebut untuk titik x = 0, 1,2,3,4,5denganmembuatdiagrampanahuntukmasing-masingpersamaangaris.Sekarangbandingkannilaiyuntukmasing-masingtitikx=0,1,2,3,4,5padakeduagaris,kesimpulanapayangkamuperoleh?Sumber:koleksipribadiSumber:koleksipribadiSoal 2Soal 3Gradien B66 Bab. 3 PersamaanGaris LurusSekarang, kamu gambar persamaan garis pada satu koordinatCartesiusyangsama, Darigambargaristersebut,manayanglebihlandai?Bagaimanakamumenghitungkelandaiangaristersebut?Percobaan Hitungsebarangselisihpadasumbuxdanselisihyangbersesuaianpadasumbuypadagrafikfungsiyangtelahdibuatdiatas,kemudianbuatdaftarberikut0x 0y 00yx Contoh:Perhatikankembaligrafikgarisy=5x+2.DuatitikyangdilaluinyaadalahA(2,12)danB(4,22).Selisihordinatnya=22-12=10.Selisihabsisnya4-2=2Selisih ordinat 10Gradien = = = 5Selisihabsis 2Garisdenganpersamaanax+by=cmempunyaigradienabContoh:Garisdenganpersamaan3x-2y=7mempunyaigradien 32 PercobaanMatematika SMP Kelas VIII 67PesawatTerbangGrafikberikutmemodelkanketinggian suatu pesawat dimulaidarisaatroda di kel uar kan(waktu0detik)sampaisaatpesawatmendarat. 500 10000 3060 90 (60,1000) 60 sat. Ke kananWaktu (detik) Ketinggian (kaki) Gambar 3.12 BA 500 sat.ke bawah Tentukansebarangduatitikpadagrafik,misal titik-titik tersebut adalah AdanB.Gunakan titik-titik itu untukmencarigradiennya.a. Berapa perbedaanordinat AdanB?b. BerapaperbedaanabsisAdanB?c. Berapagradiengaristersebut?JelaskanapaartigradienuntukmasalahtersebutJadidapatdisimpulkansepertiberikut.Apa yangkamutemukanterhadappercobaantersebut?Kamuakanmenemukannilaiperbandinganyangsama.Berapa nilai perbandinganuntuk persamaangaris y =2x +2?Berapa nilai perbandinganuntuk persamaangaris y =5x +2?Untuk persamaan garis y = ax + b nilai perbandinganyx = a. Nilai perbandingan ini selanjutnya disebut gradien garis y. Soal 4Gradien AB= A absis B absisA ordinat B ordinat = 1 21 2x xy y Sama halnya dengan arah kemiringan, jika diperoleh nilai gradien positif berarti arah garis dari kiri ke kanan naik dan jika diperoleh nilai gradien negatif berarti arah garis dari kiri ke kanan turun. 68 Bab. 3 PersamaanGaris Lurus X 02 468 1012-2-4 -6 g -10-8 -6 -4-2 8 6 4 2 P Q Y 02468 10-10-8 -6-4 -2 -2-4 -6 l 8 6 4 2 N XY M 1).2).a. Gambarlahpadasatudiagram,garis-garisdenganpersamaan y = -x,y = x + 2, dan y = -x 2.b. Apakahketigagarisitusejajar?c. Tentukangradiendarimasing-masinggarisdiatas?a. Gambarlahpadasatudiagram,garis-garisdenganpersamaany = -2x, y = 21x , dan y = -2x + 2.b. Apakahgarisy=-2xtegaklurusy= 21x?Bagaimanakamumengetahuinya?c. Apakah garis y = -2x + 2 tegak lurus y = 21 x?Bagaimanakamumengetahuinya?d. Denganmelihat(a),apayangdapatkamusimpulkantentanggaris-garisdengan persamaan y = -2x dany=-2x+2?Bagaimanagradienkeduagaris tersebut?e. Denganmelihat(b),apayangdapatkamusimpulkan?Bagaimanagradiendarikeduagaristersebut?f. Denganmelihat(c),apayangdapatkamusimpulkan?Bagaimanagradiendarikeduagaris?a. Diketahuititik-titikA(2,-4)danB(8,-2),tentukangradien garis AB.b.Tentukangradiendarigarispadagambarberikutini.Soal 5Soal 6Soal 7Matematika SMP Kelas VIII 691. Misalkangrafikdarisuatugarisdengangradien12menunjukkanhubunganantaraketinggianpesawatdanwaktuterbangpada12detikpertama.Apaartigradiendalamsituasiini?2. Jikagarisldanmmasing-masingmempunyaigradien43dan 43,makabagaimanakahposisigarisldangarism?(Ukurdenganbusurderajat,berapaderajatsudutyangdibentukpadatitikpotongnya!)3. Jika sudut kemiringan suatu jalan 450, berapakah gradiendarijalantersebut?4. Berpikir Kritis.Apa yang akan Anda alami jika berjalanmelaluijalanyanggradiennyacukupbesar?Dimanalebihcepatlelahberjalanpadajalanyangdataryanggradiennya nol atau berjalan pada jalan yang gradiennyalebihdarinol?5. a. Gambarlahdua garisyangsejajar dengansumbu-X.b. Hitunggradiendarimasing-masinggaristersebut.c. Apakahgradienkeduagaristersebutsamaatauberbeda?d. Berapagradiengarisyangsejajardengansumbu-Y. 0 12800 600 400 200 Jam (liter) 6. Grafikdisampingmenunjukkanhubungan antara waktu dan banyaknyaair yang mengalir dari satu kran air. Jikakitamemerlukanair2000literdalamwaktu2jam,berapabuahkranyangharusdibuka?7. Carilahgradiendari garis yangmelaluisetiappasangantitikberikut.a. (-8,0)dan(1,5)b. (21, 8) dan (1,-2)c. (8,3)dan(4,3)d. (4,-1)dan(4,7)e. (9,-2)dan(3,4)Lat i han 3. 270 Bab. 3 PersamaanGaris Lurus8. Berapakahgradiendarigarisberikut. 02 468 1012-2-4 -6 n -10 -8 -6-4 -2 8 6 4 2 XY 0 2468 10-10-8-6 -4 -2 -2-4 -6 m 8 6 4 2 XY9. Apakahpernyataanberikutbenaratausalah?Jelaskan!Semuagarishorisontalmempunyaigradienyangsama.10. Apakahsetiaptigatitikberikutterletakpadasatugarisatautidak?Jelaskan!a. A(3,5),B(-1,3),C(7,7)b. L(6,4),M(3,2),N(0,0)c. P(4,1),Q(-1,5),R(1,2)11. Seoranganakmenyatakanbahwagradiengarisyangmelaluititik(1,7)dan(3,9)samadengan 3 79 1.Apakahinibenar?Jelaskan!Matematika SMP Kelas VIII 71Padamaterisebelumnyatelahdijelaskancaramenentukangradiensuatugarisdenganmenggunakankoordinat,yaitudengancaramemilihduatitiksebarangpadagaristersebutmisalkantitik A(x1, y1) dan B(x2, y2).SelanjutnyagradiengaristersebutdiperolehdarigradiengarisAB.GradiengarisAB=ordinat B - ordinat Aabsis B - absis A =-2 1-2 1y yx xAdacaralainuntukmenentukangradiensuatugarisyaitudengancaramenghitungsatuan.Gradien = datar perbedaan besarnyatinggi perbedaan besarnya ,besarnya perbedaantinggidipandangnegatifbilagarisdarikiriturunkekanan.Misal:gradien=mBesarnyaperbedaantinggi=yBesarnyaperbedaandatar=xMaka m = xy (-1, 1) (4, 3) ke kanan 5 satuan ke atas 2 satuan X Y O a. (-1, 5) (4, 2) ke kanan 5 satuan ke bawah 3 satuanX Y O b. Carilahgradienmasing-masinggarisberikutApayangakankamupelajari?Menentukan gradiendengan menghitungsatuan.Menggambar garis jikagradien dan suatu titikpada garis diketahui.KataKunci:GradienGaris3.3Menent ukanGr adi endenganMenghi t ungSat uanSoal172 Bab. 3 PersamaanGaris LurusDuniaNyata Ke kanan 120 satuan Ke bawah 1000 satuan PesawatTerbang.Grafikdiatasmemodelkanketinggiansuatupesawatdimulaidarisaatrodadikeluarkan(waktu0detik)sampaisaatpesawatmendarat.a. Tentukansebarangduatitikpadagrafik!b. Denganmenggunakantitik-titiktersebutcarilahgradiennya!c. Bila telah diperoleh gradiennya jelaskan apa arti gradiendalammasalahini!Menggambar Suatu Garis jika Gradien dan Suatu Titik yangDilaluinyaDiketahui.Diketahuisebuahgarislurusmelaluititik(1,2)dangradiennya-23.a. Gambarlahtitik(1,2)padakoordinatCartesius!b. Bagaimanakahcaramumenggambargarisitu?Sumber:http//noefieman.com/wp-contentSoal2Soal3Matematika SMP Kelas VIII 73Lengkapilahisianberikut,kemudiancarilahgradientiap-tiapgaris Gradien =....................Gradien =....................Gradien=....................4. Gambarlahsuatugarislurusdengangradiendanmelaluititik(2, -4).Penyelesaiana. Gambartitik(2,-4)padabidangCartesiusb. Carilahtitiklainnyapadagarisdenganmenggunakan gradien dari titik (2, -4), naik satuan ke atas, kemudian .. satuan ke kanansehingga diperoleh titik (.,).c. Tariklahsebuahgarisyangmelaluikeduatitiktersebut!Lat i han 3. 3Untukmencarigradiensuatugarisbiladiketahuigrafiknyaadalah Langkah1Tentukansebarangduatitikpadagrafik Langkah2Ukurlahperbedaantinggidanperbedaandatarnya Langkah3Tentukangradiendenganrumus74 Bab. 3 PersamaanGaris Lurus5. Gambarlahsuatugarislurusdengangradien2danmelaluititik (0,-2).Penyelesaiana. Gambarlahtitik(0,-2)padakoordinatkartesius.b. Carilahtitiklainnyapadagarisdenganmenggunakangradien-2darititik(0,-2),turun satuan ke bawah, kemudian.............satuan kekanansehinggadiperolehtitik(.,).c. Tariklahsebuahgarisyangmelaluikeduatitiktersebut. 6. Lihatlahdiagramdisebelahkanan.a. Berapakahgradiengarisq?b. Berapakahgradiengarisz?7. Carilahgradiengarisyangmelaluipasangantitik-titikberikut dengancaramenghitung satuan.a. (8, 0),( 1, 5) b.(8, 3), (-4, 3)c. (-5, -5), (-9, 1) d. (4, -1), (4, 7)8. Gambarlahsuatugarisjika gradiendan suatu titik yangdilaluinyadiketahuisebagaiberikut.a. (0, 4),gradien b. (-2, 1), gradien 2c. (-5,-2), gradien9. Cobaperiksa masing-masingpernyataan berikutapakahbenaratau salah?Jelaskanjawabanmu!a. Semuagarismendatarmempunyaigradienyangsamabesarnya.b. Gradiengaristegakselalubernilainegatif.10. Komidiputar.Grafikberikutmemperlihatkanberapaongkossewakomidiputarpadasuatupasarmalam.Berapagradiengaris?Bilangangradiengaristersebutmenunjukkanapa?Sumber:www.indosiar.comMatematika SMP Kelas VIII 75 Ongkos sewa (dlm ribuan rupiah) Waktu (dalam jam) (6, 900) 32 1 200 700 600 900 300 500 400 100 456800 b. Bilaseseoranginginnaikkomidi putardan iamembayarRp.2.500,00berapajumlahpenumpanglainyangdibutuhkanuntukdapatmenutupiongkossewakomidiputaruntukpertun-jukkansetiapjamnya?76 Bab. 3 PersamaanGaris LurusNegara kita kaya akan tempat-tempat wisatayangindah.KotaMalang,terletakdiJawaTimur,kuranglebih80kmdariibukotapropinsiSurabaya. Gambar 3.13KotaMalangterkenalakanhawayangsejuk,danbuahapelnya.SuhuudaradiKotaMalangberkisarantara280300Celcius.DiIndonesiakitamenggunakansatuanderajatCelsius untuk mencatat suhu udara suatu tempat,sedangkandinegaralainsepertiAmerikaSerikatukuransuhumenggunakanderajatFahrenheit.BilapadabulanSeptem-ber suhu Kota Malang 280 Celcius, suhu tersebut setara denganberapaderajatsuhuFahrenheit?Apayangakankamupelajari?Menentukan persamaan garisjika diketahui gradien dantitik potong terhadap sumbu-Y.Menentukan persamaan garisjika diketahui gradien dankoordinat titik yang dilaluiMenentukan persamaan garisjika diketahui koordinat duatitik yang dilaluiMenentukan syarat dua garissejajar, berpotongan danberimpitMenentukan persamaan garisyang tegak lurus dengan garisl dan melalui titikP(x, y).KataKunci:GradienSumber:koleksipribadi3.4Menent ukanPersamaanGar i sLurusMatematika SMP Kelas VIII 77Grafik di sebelah kiri memperlihatkanhubunganantarasuhudalamCelsiusdansuhudalamFahrenheit.TitikpotongterhadapsumbuYadalah32,yangmenunjukkansuhudimanaairmembeku.Padasuhu200Csetaradengan680Fa. Tentukanlahgradiengaristersebut!b. BilagradiennyatelahdidapatdantitikpotonggarisdengansumbuYdiketahui,tentukanlahpersamaangarisnya!c. Dengan menggunakan persamaan garis yang telah kamuperolehtadi,carilahberapaderajatsuhuFahrenheitsetaradengan310Celsius?1.Menentukan Persamaan Garis jika diketahui gradienm dan suatu titik pada garisMisalkanpersamaangarisyangdimaksudadalahy=mx +cdanP1(x1, y1)padagaristersebut.Untukx=x1dan y =y1 diperoleh y1 = m x1 + catau c = y1 mx1.Kemudianc=y1mx1 disubstitusikanpadapersamaany = mx + c sehingga diperoleh:y = mx + (y1 mx1)y= m x mx1 + y1y y1 = m (x x1) m = 11x xy y, dimana y y1 selisihordinat titik P(x,y)dengantitikP1(x1, y1) dan x x1selisihabsistitikP (x, y) dengantitik P1(x1, y1).Soal 178 Bab. 3 PersamaanGaris LurusTulislahpersamaangarisyangmemilikigradien2danmemotong titik (4,10)!UntukmenjawabsoaltersebutRinidanTonimenggunakancaraberbeda.CaraRiniGunakan rumus y y1 = m(x x1)Sehingga diperoleh y 10 = -2(x 4) atauy =-2x + 18CaraToniKita tahu gradien garis adalah 2(atau m = -2), substitusikanm = -2 pada persamaan y = mx + cTitik (4, 10)pada garis. Substitusikan koordinat titik tersebutpadapersamaanuntukmengetahuinilaicy = -2x + c10 = -2(4) + c10 = -8 + c atauc = 18Jadipersamaangarisyangdimaksudadalahy=-2x+18.Bandingkan kedua cara tersebut! Apakah mereka memperolehhasilyangsama?Pesawat TerbangSebuahpesawatterbangakanmendaratdibandara.Mulairodakeluar(0detik)hinggamendarat,pesawattersebutmembentuk garis lurus dengan kemiringan (gradien) -3. Padasaat2detiksesudahrodadikeluarkan,pesawattersebutberadapadaketinggian700mdariatastanah. Soal 3Cont oh 1Matematika SMP Kelas VIII 79a. Tulislahpersamaangarisyangmenunjukkanhubunganantarawaktudanketinggianpesawat.b. Buatlahsebuah tabelyangsesuai dengan(a)c. Gambarlahgrafiknya!d. Berapakah ketinggian pesawat di atas tanah, pada saat 8detiksesudahrodakeluar?e. Pada detik berapa pesawat menyentuh lantai? Bagaimanacaramumenemukanhasiltersebut?f. Padadetikberapapesawatmempunyaiketinggian550m diatas tanah?2. Menentukan Persamaan Garis jika diketahui koordinat dua titikpada garis B(3, 6) A(-3, 0) Y X O LangkahkeduaSesudahkitaperolehgradiengaris,pilihlahsalahsatutitikdiantaraduatitikpadagaristadimisalnyatitikB(3,6)kemudiansubstitusikanpadapersamaan:y y1=m(x-x1)sehinggadiperolehy 6 = 1(x 3)atau y = x + 3Jadipersamaangarisyangdiminta yaituy=x +3.CobakamupilihtitikA(-3, 0), dancaripersamaangariss!Bandingkanhasilnya.Simpulanapayangkamuperoleh?Cont oh 2Tentukan persamaan garis s, jikadiketahui titik A(-3, 0) dan B(3,6) padagaris sJawab:LangkahpertamacarilahgradiengarissdenganmenggunakanduatitikyangdiketahuiyaitutitikA(-3,0)dantitik B(3,6)m =66) 3 ( 30 6x xy y1 21 2= = atau 180 Bab. 3 PersamaanGaris LurusPerusahaan PenerbitanSuatuperusahaanpenerbitanmajalahmingguanpadatahun1998yaitutahunpertama operasi penerbitan memperolehkeuntunganbersih3miliarrupiah,sedangkanpadatahun2000memperolehkeuntungan25miliarrupiah.Misalkenaikankeuntungantiaptahunnya tetap (konstan).a. Tulislahpersamaangarisyangmenunjukkan hubunganantarakeuntungan(dalammiliarrupiah)danwaktudalamtahun!b. Tulislahtitik-titikyangsesuaidenganpersamaanpadasoala)dalamsebuahtabel!c. Gambarlahgrafiknya!d. Berapakahkeuntunganperusahaansetelah8tahunberoperasi?Posisiduabuahgarisdalambidang,adatigakemungkinan;yaitusalingsejajar,berpotongandanberimpit.Jikakeduagarissalingberpotongan,makakamudapatmenentukankoordinattitikpotongkeduagaristersebut.Diketahuiduagariskdanmdenganpersamaan,y=3x+5dan 2y= 7x+ 12.a. GambarlahkeduagarispadakoordinatCartesius!b. Apakahkeduagarissalingberpotongan?c. Dengan melihat grafik (a), tentukan koordinat titik potongtersebut!Garisgmempunyaigradien2danmelaluititikA(-1,1)dangaris hmempunyai gradien3 dan melaluititik (2,13)a. Tentukanpersamaangarisgdanpersamaangarish!b. GambarlahkeduagarispadakoordinatCartesius!c. Apakahkeduagarissalingberpotongan?d. Tentukankoordinattitikpotongnya!Soal3Soal4Soal53. Menentukan Koordinat Titik Potong Dua GarisMatematika SMP Kelas VIII 814. Menentukan Persamaan Garis yang sejajar dengan garis l danmelalui titik P(x, y)Diketahuiduabuahgarispdanqdenganpersamaany = 3x + 2 dan y = 3x -5.a. GambarkeduagarispdanqpadakoordinatCartesius.b. Bagaimanagradiendarigarispdanq?c. Denganmelihat keduagambartersebut,apa yangdapatkamusimpulkan?Apakahkeduagaristersebutsejajar?Jelaskan!Diketahui dua buah garis k dengan persamaan y = 2x + 3 dangaris hyangmelaluititik(3,9)dansejajargarisk.a. GambarkeduagariskdanhpadakoordinatCartesius.b. Bagaimanagradiendarigariskdanh?c. Denganmelihat keduagambartersebut,apa yangdapatkamu simpulkan? Apakah kedua garis tersebut berimpit?Jelaskan!Duagarisluruspdanqdikatakansejajarsatusamalainbilapdanqterletakdalamsatubidangdatar,dantidakberpotonganmeskipundiperpanjang.Duagarispdanqsejajar,makagradiennyasama.Duagarispdanqberimpit,mempunyaipersamaangarisyangsamadangradienyangsamapula.Diketahuipersamaangarisgsejajardengangarisy=2x+3danmelaluititik (4,3).a. Berapakahgradiengarisy =2x+3?b. Berapakahgradiengarisg?c. Tentukanlahpersamaangarisg!Soal6Soal7Soal882 Bab. 3 PersamaanGaris Lurus5. Menentukan Persamaan Garis yang Tegak Lurus dengan garis ldan melalui titik P(x, y)Gambarlahduabuahgarisgdanhdenganpersamaany = 2x + 1 dan 2y = -x + 5 pada koordinat Cartesius!a. Tentukangradiengarisgdangradiengarish.b. Berapakahhasilkaligradiengarisgdangradiengarish?c. Apakahgarisgberpotongandengangarish?Jikaberpotongan,tentukankoordinattitikpotongnya!d. Tentukansudutyangmembentukkeduagaristersebut!Kesimpulanapayangkamuperoleh?Dua garis lurus p dan qsaling tegak lurus, maka hasil kaligradien garis p dangradien garisq adalah -1.Tulislah persamaan garis k yang melalui titik (6, -3) dan tegaklurus pada garis y = 4x 1.a. Berapakah gradiengaris y =4x- 1?b. Apakahgradiengarisksamadengangradiengarisy = 4x - 1? Jelaskan jawabanmu!c. Tentukanlahpersamaangarisk!Bagaimanacaramemperolehjawabantersebut?Soal9Soal10Matematika SMP Kelas VIII 831. Jelaskanbagaimanacaramenentukanpersamaangarisyangmemilikigradien3danordinattitikpotongnyaterhadapsumbuYadalah102. Tulislahpersamaangarisjikaditentukangradiendankoordinat titik yang dilalui garis tersebut sebagai berikut.a. Gradien4danmelaluititik(1,5).b. Gradien - 31dan melaluititik (-2,4)3. Tentukanpersamaangarishjikadiketahuititik(2,-3)dan (-1, -9)pada garish.4. UangTabunganDiramemilikiuangtabungandibanksebesar500riburupiahdanmemperolehbungasebesar4 riburupiah setiap bulannya.Tulis pasangan titik yangmemperlihatkanberapabanyakuang(dalamribuanrupiah)yangdimilikiDirasetelah2bulandansetelah4bulanjikadiamenyimpanseluruhuangnya.Tuliskanpersamaangarisyangmenunjukkanhubunganantarabanyakuangyangdimiliki(dalamribuanrupiah)denganwaktu(dalambulan)(petunjuk: gambar dahulu titik-titiknya pada bidang koordinatkemudian gunakan gambar tersebut untuk menulis persamaangaris)5. Tentukanpersamaangarisg,jikagarisg:a. Sejajardengangarisy=5x2danmelaluititik(4,0).b. Sejajar dengansumbu Y dan melalui titik(4, -3).6. Tulislahpersamaangarisyangmemenuhikeadaana. tegak luruspada sumbuY danmelalui titik(-5, 10)b. tegakluruspadagarisy=21x-5danmelaluititik(4, -1)7. Diketahuipersamaangaris6x4y=3Carilahgradiendantitikpotongterhadapsumbu-Ydarigaris tersebut.Lat i han 3. 484 Bab. 3 PersamaanGaris Lurus8. Segitiga ABC siku-siku di B , ABCletaknya di sebelahkanan.Jika koordinat titik A dan B berturut-turutadalah(4,6) dan(5,8) tulislah persamaangarisBC.9. Garis a memiliki gradien -53 dan melalui titik (6, 3). Garisb tegak lurus terhadap garis a. Tuliskan persamaan garisbjikagarisadanbmempunyaiordinattitikpotongterhadapsumbuXyangsama.10. Tentukan titik potong antara garis x + 2y = 5 dan y = 3x- 8Matematika SMP Kelas VIII 85Ref l eksiSetelahmempelajariBab3cobakamuingat,adakahbagianyang belum kamu fahami? Jika ada, coba pelajari kembali ataudiskusikandengantemanmu!Buatlahrangkumantentangapayangtelahkamufahamidancatatlahhal-halyangsulitkamufahami.Cobakamujelaskan,a. artigradiensuatugarisb. bagaimanacaramenentukanpersamaangarisyangdiketahuikoordinatduatitikyangdilaluinyac. bagaimanacaramenentukanpersamaangarisyangdiketahuigradiennyadankoordinattitikyangdilaluinya.d. syaratduagarisyangtegaklurus,sejajar.Padasaatpembelajaranapakahkamumerasakantidaksenangkarenatakut,jemu,sulitmemahamiataukahmerasakansenang?SampaikanhalitukepadaBapak/Ibuguru.Rangkuman1. JikaA(x1, y1)danB(x2, y2),makaGradiengarisAB= A absis B absisA ordinat B ordinat=1 21 2x xy y2. PersamaangarisyangmelaluititikA(x1, y1)danbergradienmadalah) (2 1x x m y y = 3. Persamaangarisyang melaluititik) , (1 1y x P dan) , (2 2y x Qadalah ) (11 21 21x xx xy yy y = 4. Duagarisyangsejajargradiennyasama5. Duagarisyangtegaklurushasilkaligradiennyasamadengan- 1.86 Bab. 3 PersamaanGaris LurusUntuknomor1sampai5pilihlahsatujawabanyangbenar.1. Ji kasuatugarismempunyai persamaan12 4 2 = y x ,pernyataanberikutyangbenaradalah...a. garisitumemotongsumbu-Xdi(-6,0)b. garisitumemotongsumbu-Xdi(0,-3)c. garisitumemotongsumbu-Ydi(6,0)d. garisitumemotongsumbu-Ydi(0,-3)2. Gradiengarisdenganpersamaan3 5 9 3 + = + y x adalah. . .a. -3 b.35c.53d.53.Gradiengarisyangmelaluititik(2,-5)dan(4,6)adalah...a. 215 b. 112c. 112d. 2114. GarisyangmelaluititikA(-1,4)danB(2