Upload
vina-amalia
View
1.003
Download
8
Embed Size (px)
Citation preview
BAB I
PENDAHULUAN
PROGRAM LINIER
A. Sejarah Program Linier
Ide Linear Programming pertama kali
dicetuskan oleh seorang ahli matematika
asal Rusia bernama L.V. Kantorivich dalam
bukunya yang berjudul ”MATHEMATICAL
METHODS IN THE ORGANIZATION AND
PLANNING OF PRODUCTION”. Dengan buku
ini, ia telah merumuskan pertama kalinya
persoalan “Linear Programming”. Namun,
cara-cara pemecahan persoalan in di Rusia
tidak berkembang dengan baik dan ternyata
para ahli di negara Barat dan AS yang
menggunakan cara ini dimanfaatkan dengan
baik.
Pada tahun 1947, seorang ahli
matematika dari AS yang bernama George
B. Dantzig menemukan suatu cara untuk
memecahkan persoalan-persoalan linear
programming. Cara pemecahan ini
dinamakan ” Simplex Method”, yang
1
diuraikan dalam bukunya ”LINEAR
PROGRAMMING AND EXTENTION”.
Selanjutnya teori ini berkembang pesat
sekali terutama dibidang kemiliteran yang
menyangkut optimisasi dalam strategi
perang dan di bidang-bidang lainnya.
B. Pengertian Program Linier
Linear Programming (LP) /
Pemrograman linier merupakan suatu model
yang dapat digunakan dalam pemecahan
masalah pengalokasian sumber-sumber
yang terbatas secara optimal dengan
menggunakan model matematika. Sumber-
sumber yang dimaksud dapat berupa bahan
baku, peralatan & mesin, ruang, waktu,
dana dan orang. istilah linier menunjukan
bahwa seluruh fungsi matematika yang ada
di dalam model harus merupakan suatu
fungsi linier, sedangkan programming pada
hakekatnya adalah sinonim dengan
perencanaan.
2
Jadi pemrograman linier mencakup
perencanaan kegiatan-kegiatan untuk
mencapai suatu hasil yang optimal, yaitu
suatu hasil yang mencerminkan tercapainya
sasatan tertentu yang paling baik diantara
alternatif-alternatif yang mungkin dengan
mengunakan fungsi linier. Atau dengan kata
lain LP adalah metode atau teknik
matematis yang digunakan untuk
membantu manajer dalam pengambilan
keputusan.
Pokok pikiran yang utama dalam
menggunakan LP ialah merumuskan
masalah dengan jelas dengan menggunakan
sejumlah informasi yang tersedia, kemudian
menerjemahkan masalah ini kedalam
bentuk model matematika guna
menemukan jawaban terhadap masalah
yang dihadapi.
Pada saat kita akan menentukan alat
program linier dalam mencoba memecahkan
suatu persoalan, maka ada beberapa hal
yang harus dicermati atau kondisi yang
diperlukan. Hal-hal tersebut adalah:
3
1. Tujuan dari pemecahan kasus
merupakan optimalisasi. Optimalisasi
artinya mencari suatu titik pada besaran
angka yang akan menunjuk pada tujuan
utama dari kasus yang akan dipecahkan.
Tujuan utama dari kasus adalah maksimasi
atau minimasi. Contoh suatu perusahaan
apakah ingin memaksimumkan keuntungan
atau meminimumkan biaya dalam target
operasionalnya. Optimalisasi dari
perusahaan itu adalah mencari tingkat
output dan kombinasi input yang akan
mencapai tujuan dari perusahaan, yaitu
maksimasi laba atau minimasi biaya.
2. Terdapat berbagai alternatif dari
kombinasi berbagai variabel input yang
tersedia yang salah satunya akan
memberikan tingkat output yang sesuai
dengan tujuan dari optimalisasi. Misalnya
apakah membuat nasi goreng yang akan
memaksimumkan keuntungan dibuat
dengan proporsi satu piring nasi dan dua
takar bumbu atau dengan proporsi satu
piring nasi dengan tiga takar bumbu?
4
3. Variabel-variabel input merupakan
variabel yang terbatas. Keterbatasan di sini
dalam arti jumlah yang tersedia terbatas
disertai dengan biaya dari tiap variabel juga
tertentu. Kombinasi variabel input dalam
menghasilkan output mempunyai sifat
substitusi, artinya semakin banyak satu
variabel input digunakan untuk membuat
suatu output, maka alokasi variabel input
tersebut untuk output lain akan berkurang.
4. Semua output yang akan dihasilkan
merupakan suatu pertidaksamaan linier dari
input. Pertidaksamaan ini akan
menggambarkan keterbatasan atau
kemungkinan yang timbul dari kondisi input
dan output. Misalnya, jika X adalah nasi
goreng biasa dan Y adalah nasi goreng
spesial, serta ada ketentuan bahwa biaya
untuk membuat 3 piring nasi goreng biasa
dan 2 piring nasi goreng spesial tidak boleh
melebihi 30.000 rupiah. Oleh karena itu,
bisa kita tulis: 3X + 2Y 30.000.
5
Pemprograman linier adalah metode matematika dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimalkan keuntungan atau meminimumkan biaya.
Program linier berkaitan dengan pejelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dengan beberapa kendala linier (Taha,1993).
Program linier banyak digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi didalam industri,perbankan,pendidikan,dan masalah-masalah lain yang dapat dinyatakan dalam bentuk linier.
C. Karakteristik Pemprograman Linier
Sifat linearitas suatu kasus dapat ditentukan dengan menggunakan beberapa cara. Secara statistik, kita dapat memeriksa kelinearan menggunakan grafik (diagram pencar) ataupun menggunakan uji hipotesa. Secara teknis, linearitas ditunjukkan oleh adanya sifat proporsionalitas, additivitas, divisibilitas dan kepastian fungsi tujuan dan pembatas.
Sifat proporsional dipenuhi jika
kontribusi setiap variabel pada fungsi tujuan
atau penggunaan sumber daya yang
membatasi proporsional terhadap level nilai
6
variabel. Jika harga per unit produk misalnya
adalah sama berapapun jumlah yang dibeli,
maka sifat proporsional dipenuhi. Atau
dengan kata lain, jika pembelian dalam
jumlah besar mendapatkan diskon, maka
sifat proporsional tidak dipenuhi. Jika
penggunaan sumber daya per unitnya
tergantung dari jumlah yang diproduksi,
maka sifat proporsionalitas tidak dipenuhi.
Sifat additivitas mengasumsikan
bahwa tidak ada bentuk perkalian silang
diantara berbagai aktivitas, sehingga tidak
akan ditemukan bentuk perkalian silang
pada model. Sifat additivitas berlaku baik
bagi fungsi tujuan maupun pembatas
(kendala). Sifat additivitas dipenuhi jika
fungsi tujuan merupakan penambahan
langsung kontribusi masing-masing variabel
keputusan. Untuk fungsi kendala, sifat
additivitas dipenuhi jika nilai kanan
merupakan total penggunaaan masing-
masing variabel keputusan. Jika dua variabel
keputusan misalnya merepresentasikan dua
produk substitusi, dimana peningkatan
7
volume penjualan salah satu produk akan
mengurangi volume penjualan produk
lainnya dalam pasar yang sama, maka sifat
additivitas tidak terpenuhi.
Sifat divisibilitas berarti unit
aktivitas dapat dibagi ke dalam sembarang
level fraksional, sehingga nilai variabel
keputusan non integer dimungkinkan.
Sifat kepastian menunjukkan bahwa
semua parameter model berupa konstanta.
Artinya koefisien fungsi tujuan maupun
fungsi pembatas merupakan suatu nilai
pasti, bukan merupakan nilai dengan
peluang tertentu.
Keempat asumsi (sifat) ini dalam
dunia nyata tidak selalu dapat dipenuhi.
Untuk meyakinkan dipenuhinya keempat
asumsi ini, dalam pemrograman linier
diperlukan analisis sensitivitas terhadap
solusi optimal yang diperoleh.
1. Sifat linieritas
8
2. Sifat proposional dipenuhi jika kontribusi setiap varabel pada fungsi tujuan atau penggunaan sumber daya yang membatasi proposional terhadap level nilai variable.
3. Sifat additivitas mengasumsikan bahwa tidak ada bentuk perkalian silang diantara berbagai aktivitas,sehingga tidak dapat ditemukan bentuk perkalian silang pada model.
4. Sifat diviiabel berarti unit aktivitas dapat dibagi dalam sembarang level fraksional,sehingga nilai variable keputusan non integer dimungkinkan.
5. Sifat kepastian menunjukan bahwa semua parameter model berupa konstanta.
D. Formulasi Permasalahan
Masalah keputusan yang sering dihadapi analis adalah alokasi optimum sumber daya.
Sumber daya dapat berupa uang, tenaga kerja, bahan mentah, kapasitas mesin,waktu, ruangan, atau teknologi.
Tugas analis adalah mencapai hasil terbaik dengan keterbatasan sumber daya itu.
Setelah masalah diidentifikasikan, tujuan ditetapkan, langkah selanjutnya adalah formulasi model matematik.
Formulasi model matematik ada 3 tahap:1. Tentukan variable yang tidak diketahui
dan dinyatakan dalam symbol.
9
2. Membentuk fungsi tujuan yang ditujukkan sebagai suatu hubungan linier dari variable keputusan.
3. Menentukan semua kendala masalah tersebut dan mengekspresikanya dalam persamaan atau pertidaksamaan.
E. Bentuk Umum Program Linear1. Fungsi Tujuan
Maksimumkan atau Minimumkan
Z=C1 X1+C2X 2+…+CnX n
2. Sumber daya yang membatasi (kendala/syarat)
a11x11+a12 x12+…+an xn=¿≤/≥b1
a21 x21+a22 x22+…+a1n xn=¿≤/≥b2
am1 x1+am2 x2+…+amn xn=¿≤/≥bm
10
BAB II
METODE GRAFIK
A. Menentukan nilai optimum dengan metode uji titikLangkah-langkah:1. Membuat model matematika2. Menentukan fungsi sasaran3. Menyelesaikan fungsi pertidaksamaan4. Menentukan titik-titik terluar dari himpunan
penyelesaian5. Menentukan nilai fungsi sasaran di setiap
titik terluar6. Menentukan nilai optimum
Catatan :
Metode Grafik hanya dapat digunakan dalam pemecahan masalah program linier yang ber “dimensi” : 2 x n atau m x 2, karena keterbatasan kemampuan suatu grafik dalam “menyampaikan” sesuatu (sebenarnya grafik 3 dimensi dapat digambarkan, tetapi sangat tidak praktis).
B. Contoh soal1. Perhatikan pertidaksamaan berikut dengan
kendala :
3 x+2 y ≤12
3 x+4 y ≤18
x≥0 ; y ≥0
11
Gambarlah daerah penyelesaian dan tentukanlah nilai terbesar dari T=4 x+5 y !
2. Tentukan nilai ekstrim T=4 x+5 y jika
(x . y ) adalah penyelesaian pertidaksamaan dari kendala berikut :
3 x+2 y ≥12
3 x+4 y ≥18
x≥0 ; y ≥0
Pembahasan :
1. Formulasi: Fungsi Tujuan :
Max T=4 x+5 y Kendala :
3 x+2 y ≤12→3 x+2 y=12
3 x+4 y ≤18→3 x+4 y=18 Titik potong kendala 1
x 0 4
y 6 0 Titik potong kendala 2
x 0 6
y 92
0
Membuat grafik dari titik potong diatas
12
Menetukan nilai titik yang berpotongan
3 x+2 y=12
3 x+4 y=18 -
−2 y=−6
y=3
3 x+2 y=12
3 x+2(3)=12
3 x=12−6
3 x=6
x=2 Menentukan nilai maksimum dari titik-
titik yang termasuk HP:
T=4 x+5 y
a. (0 ,92 )=¿ 4 (0 )+5( 9
2 )=452
b. (2,3 )=4 (2 )+5 (3 )=8+15=23c. (4,0 )=4 (4 )+5 (0 )=16
∴max=23 saat x=2dan y=3
2. Formulasi: Fungsi Tujuan :
Max T=4 x+5 y
13
Kendala :
3 x+2 y ≤12→3 x+2 y=12
3 x+4 y ≤18→3 x+4 y=18 Titik potong kendala 1
x 0 4
y 6 0 Titik potong kendala 2
x 0 6
y 92
0
Membuat grafik dari titik potong diatas
Menetukan nilai titik yang berpotongan
3 x+2 y=12
3 x+4 y=18 -
−2 y=−6
y=3
3 x+2 y=12
3 x+2(3)=12
3 x=12−6
14
3 x=6
x=2 Menentukan nilai maksimum dari titik-
titik yang termasuk HP:
T=4 x+5 ya. (0,6 )=4 (0 )+5 (6 )=30b. (2,3 )=4 (2 )+5 (3 )=8+15=23c. (6,0 )=4 (6 )+5 (0 )=24
Nilai ekstrim dilihat dari gambar = max/min
∴nilaiekstrim (minimum )=23 ,saat x=2 ; y=3
BAB III
METODE SIMPLEK
A. PengantarPersoalan program linier tidak selalu sederhana karena melibatkan banyak constraint (pembatas) dan banyak variabel sehingga tidak mungkin diselesaikan dengan metode grafik. Oleh karena itu serangkaian prosedur matematik (aljabar linier) diperlukan untuk mencari solusi dari persoalan yang rumit tersebut. Prosedur yang paling luas digunakan adalah Metode Simplex. Penemuan metode ini
15
merupakan lompatan besar dalam Riset Operasidan ia digunakan sebagai prosedur penyelesaian dari setiap program komputer.
Salah satu teknik penentuan solusi optimal yang digunakan dalam pemrograman linier adalah metode simpleks. Penentuan solusi optimal menggunakan metode simpleks didasarkan pada teknik eleminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim satu per satu dengan cara perhitungan iteratif. Sehingga penentuan solusi optimal dengan metode simpleks dilakukan tahap demi tahap yang disebut dengan iterasi. Iterasi ke-i hanya tergantung dari itersi sebelumnya (i-1).
Dapat disimpulkan juga bahwa metode simpleks adalah suatu metode yang secara sistematis dimulai dari suatu pemecahan dasar yang fleksibel ke pemecahan dasar yang fisibel lainnya dan ini dilakukan berulang-ulang (dengan jumlah ulangan yang tebatas) sehingga tercapai sesuatu pemecahan dasar yang optimum dan pada setiap step menghasilkan suatu nilai dari fungsi tujuan yang selalu lebih besar atau sama dari step-step sebelumnya.Ada beberapa istilah yang sangat sering
digunakan dalam metode simpleks,diantaranya :
16
1. Iterasi adalah tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari nilai table sebelumnya.
2. Variable non basis adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam terminologi umum,jumlah variabel non basis selalu sama dengan derajat bebas dalam sistem persamaan.
3. Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada solusi awal,variabel basis merupakan variabel slack ( jika fungsi kendala merupakan pertidaksamaan ≤ ) atau variabel buatan ( jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan ≥ atau = ). Secara umum,jumlah variabel basis selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas ( tanpa fungsi non negatif ).
4. Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia. Pada solusi awal,nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan.
5. Variabel slack adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≤ menjadi persamaan ( = ). Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal,variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis.
17
6. Variabel surplus adalah variabel yang dikurangkan dari model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan ( = ). Penambahan ini tejadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal,variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis.
7. Variabel buatan adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal. Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi optimal karena kenyataanya variabel ini tidak ada. Variabel hanya ada diatas kertas.
8. Kolom pivot (kolom kerja) adalah kolom yang memuat variabel masuk. Koefisien pada kolom ini akan menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris pivot (baris kerja).
9. Baris pivot (baris kerja) adalah salah satu baris dari antara variabel basis yang memuat variabel keluar.
10. Elemen pivot (elemen kerja) adalah elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot. Eleme pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk table simpleks berikutnya.
11. Variabel masuk adalah variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih
18
satu dari antara variabel non basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif.
12. Variabel keluar adalah variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi berikutnya dan digantika oleh variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu dari antara variabel basis pada setiap iterasi . variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai nol.
Bentuk Aljabar Metode Simplex
Dengan menggunakan contoh pada kasus perusahaan TAS terdahulu maka model
linier persoalan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut:
Max .Z=3 X 1+2 X 2
Subject ¿
2 X 1+2 X2≤800
2 X 1+3.3 X 2≤1000
1 X 1+0.5 X 2≤300
2 X 1+1.5 X 2≤650
Dengan menyertakan variabel Slack atau surplus maka model tersebut dibuat
19
menjadi bentuk standar berikut:
Max .Z=3 X 1+2 X 2+0S 1+0S2+0S3+0 S 4
Subject to constraint:
2 X 1+2 X2+1 S1=800 ...(1)
2 X 1+3.3 X 2+1S2=1000 ...(2)
1 X 1+0.5 X 2+1S3=300... (3)
2 X 1+1.5 X 2+1S4=650 ...(4)
X 1 , X 2, S1 , S2 , S3 , S4≥0
Properti Aljabar Metode Simplex
Keempat fungsi pembatas tersebut merupakan suatu persamaan sistem dengan enam variabel. Jika suatu sistem persamaan memiliki veriabel yang lebih banyak dibanding dengan jumlah persamaannya maka solusi dari persamaan sistem tersebut adalah infinity. Metode simplex dengan demikian merupakan prosedur aljabar untuk mendapatkan solusi terbaik bagi suatu sistem persamaan. Dalam proses mencari solusi terbaik (best solution), solusi yang tidak memenuhi persyaratan non negatif akan dieliminasi.
Mendapatkan Solusi dasar
20
Oleh karena jumlah variabel dalam persamaan sistem lebih besar dibanding jumlah persamaaannya –-dalam hal ini ada enam variabel untuk empat persamaan-- maka metode simplex memberikan nilai nol untuk dua variabel, dan mencari solusi terbaik bagi empat variabel lainnya dalam sistem persamaan tersebut. Misalkan X2 = 0 dan S1 = 0 sehingga persamaan sistem tersebut menjadi:
2X1 = 800 ... (5)
2X1 + 1S2 = 1000 ... (6)
1X1 + 1S3 = 300 ... (7)
2X1 + 1S4 = 650 ... (8)
Dengan menetapkan nilai nol untuk variabel X2 dan S1 maka persamaan sistem tersebut direduksi menjadi empat persamaan dengan empat variabel (X1,S2,S3,S4).
Dari persamaan (5) diperoleh 2
2X1 = 800
sehingga X1 = 800/2 = 400.
Dari persamaan (6) masukkan nilai x1 = 400 untuk mendapatkan nilai S2 yaitu
2X1 + 1S2 = 1000
21
sehingga S2 = 1000 – (2*400) = 200
Dari persamaan (7) diperoleh
1X1 + 1S3 = 300
sehingga S3 = 300 – 400 = -100
Dari persamaan (8) diperoleh
2X1 + 1S4 = 650
sehingga diperoleh S4 = 650 – (2*400) = -150
Dengan demikian diperoleh solusi dari persamaan sistem dengan enam variabel
dan empat persamaan, yaitu:
X1 = 400
X2 = 0
S1 = 0
S2 = 200
S3 = -100
S4 = -150
Solusi diatas disebut Solusi dasar (Basic Solution). Prosedur umum untuk mendapatkan basic solution adalah dengan membangun bentuk persamaan standar untuk n variabel (termasuk variabel keputusan, slack dan
22
surplus) dan m persamaan pembatas dimana n lebih besar dari m.
B. Metode Pemecahan Dasar (Basis) atau simplek 1
1. Nilai maksimum dari f ( x , y )=6 x+10 y
pada himpunan penyelesaian system pertidaksamaanKendala :
x+ y≤10x+2 y≤10x≥2
a. Menambahkan setiap kendala dengan sebuah variabel tambahan (slack)
x+ y≤10→x+ y+u=10
x+2 y≤10→x+2 y+v=10x≥2→−x ≤−2→−x+w=−2
( x , y , u , v ,w ) b. Menetukan banyaknya variabel basis
dengan cara kombinasi
m= jumlah variabeln= jumlah persamaan
mCn=5C2= 5 !(5−2 )!2 !
= 5 !3 !2!
=5.4 !2!
=5.2=10
¿ syarat=x , y , u , v ,w≥0( positif )Jawab :
1. x= y=0 ,u=10 , v=10 ,w=−2
23
2.
x=u=0 , y=10 ,w=−2,2 y+v=10 , v=103.
x=v=0,2 y=10 , y=5 , y+u=10 ,u=5 ,w=−24. x=w=05.
y=u=0 , x=10 , x+v=10 , v=0 ,−x+w=−2 ,w=86.
y=v=0 , x=10 , x+u=10 , u=0 ,−x+w=−2 ,w=87.
y=w=0 ,−x=−2 , x=2 , x+u=10 , u=8 , x+v=10 , v=88.
u=v=0 , x+ y=10 , x=10 ,−x+w=−2 ,w=2x+ y=10x+2 y=10+¿y=0
9.
u=w=0 ,−x=−2, x=2 , x+ y=10 , y=8 , x+2 y+v=10 , v=810.
v=w=0 ,−x=−2 , x=2, x+2 y=10 , y=4 , x+ y+u=10 , u=2
No Variabel Basis
Variabel Non Basis
Ket Titik z=6 x+10 y
1. u=10 ,v=10 ,w=−2
x= y=0 TL - -
2. y=10 ,w=−2 ,v=10
x=u=0 TL - -
24
3. y=5 ,u=5 ,w=−2
x=v=0 TL - -
4. y=− ,u=−,v=−¿
x=w=0 TL - -
5. x=10 ,v=0 ,w=8
y=u=0 L (10,0) 60
6. x=10 ,u=0 ,w=8
y=v=0 L (10,0) 60
7. x=2 ,u=8 ,v=8
y=w=0 L (2,0) 12
8. y=0 ,x=10 ,w=2
u=v=0 L (10,0) 60
9. x=2 ,y=8 ,v=8
u=w=0 TL - -
10.
x=2 ,y=4 ,u=2
v=w=0 L (0,4) 52
Jadi dari data diatas maka nilai maksimalnya adalah 60 pada titik (0,0)
2. Untuk (x,y) yang memenuhi 4 x+ y≥4,2 x+3 y≥6,dan 4 x+3 y ≤12,maka
25
nilai maksimum untuk f (x , y )=x+ y adalah
…Jawab:
a. Menambahkan setiap kendala dengan variabel slack
−4 x+ y+u=−4−2 x+3+v=−¿6
4 x+3 y+w=12(x , y , u , v ,w)
b. Menentukan banyaknya variabel basis dengan cara kombinasi
mCn=5C2= 5 !(5−2 )!2 !
= 5 !3 !2!
=5.4 !2!
=5.2=10
1. x= y=0 ,u=−4 , v=−6 ,w=122.
x=u=0 ,− y=−4 , y=4 ,−3 y+v=−6 , v=6,3 y+w=12 ,w=03.
x=v=0 ,−3 y=−6 , y=2 ,− y+u=−4 , u=−2,3 y+w=12,w=124.
x=w=0,3 y=12 , y=4 ,− y+u=−4 , u=0 ,−3 y+v=−6 , v=65.
y=u=0 ,−4 x=−4 , x=1 ,−2 x+v=−6 , v=−4,4 x+w=12 ,w=86.
y=v=0 ,−2 x=−6 , x=3 ,−4 x+u=−4 , u=8,4 x+w=12 ,w=07.
y=w=0,4 x=12 , x=3 ,−4 x+u=−4 , u=8 ,−2 x+v=−6 , v=0
8. u=v=0 , y=85, x=3
5,w=24
5
26
9. u=w=0 , y=4 , x=0 , v=610. v=w=0 , x=3 , y=0 , u=8
No Variabel Basis
Variabel Non Basis
Ket Titik z=x+ y
1. u=−4 ,v=−6 ,w=12
x= y=0 TL - -
2. y=4 ,v=6 ,w=0
x=u=0 L (0,4) 4
3. y=2,u=−2 ,w=12
x=v=0 TL - -
4. y=4 ,u=0 ,v=6
x=w=0 TL - -
5. x=1 ,v=−4 ,w=8
y=u=0 TL - -
6. x=3 ,u=8 ,w=0
y=v=0 L (0,3) 3
7. x=3 ,u=8 ,v=0
y=w=0 L (0,3) 3
8.y=8
5,
x=35,
u=v=0 L(35,
85
)115
27
w=245
9. y=4 ,x=0 ,v=6
u=w=0 L (0,4) 4
10.
x=3 ,y=0 ,u=8
v=w=0 L (3,0) 3
Jadi dari data diatas nilai maksimumnya adalah 4 pada titik (0,4)
C. SIMPLEKS DENGAN OPERASI BARISAda beberapa hal yang harus diperhatikan dalam membuat bentuk baku/standar, yaitu: a. fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≤
dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan menambahkan satu variabel slack.
b. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≥ dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan mengurangkan satu variabel surplus.
c. Fungsi kendala dengan persamaan dalam bentuk umum, ditambahkan satu artificial variable (variabel buatan).
28
Contoh soal :
1. max f : 4000 x1+3000 x2
syarat :100 x1+200 x2≤9000
400 x1+200 x2≤12000
x1 , x2≥0
Misal s1 dan s2 variabel slack
Sistem persamaan :
100 x1+200 x2≤9000 ⟹
100 x1+200 x2+s1=9000
400 x1+200 x2≤12000 ⟹
400 x1+200 x2+s2=12000
f−4000x1−3000 x2=0
Tabel awal simplex
x1 x2 s1 s2 c¿
100 200 1 0 9000
400 200 0 1 1200
-4000 -3000 0 0 0
Matrix simpleks
100 200 1 0 9000
400 200 0 1 1200
-4000 -3000 0 0 0
Membaca Tabel Optimal
29
Membaca tabel optimal adalah bagian penting bagi pengambil keputusan. Ada beberapa hal dibaca dari tabel optimal :
1. Solusi optimal variabel keputusan2. Status sumber daya3. Harga bayangan (dual/shadow price)
Menggunakan tabel optimal :
Menggunakan tabel optimal :
VB x1 x2 x3 s1 s2 s3NK
Z 0 0 4 0 53
23
313
s10 0 4
31 −1
9−19
79
x20 1 8
30 7
9−29
59
x11 0 -2 0 −2
313
23
Solusi optimal x1 = 23
, x2 = 59
, dan Z = 313
, artinya untuk mendapatkan keuntungan
maksimum sebesar $ 313
, maka perusahaan
sebaiknya menghasilkan produk 1 sebesar 23
unit
dan produk 2 sebesar 59
unit.
Status sumber daya :
30
Sumber daya pertama dilihat dari keberadaan variabel basis awal dari setiap fungsi kendala pada tabel optimal. Dalam kasus di atas, untuk fungsi kendala pertama periksa keberadaan
s1 pada variabel basis tabel optimal. Periksa
keberadaan s2 pada variabel basis tabel optimal
untuk fungsi kendala kedua. Periksa keberadaan s3
pada variabel basis tabel optimal untuk fungsi kendala ketiga.
s1 = 79
. sumber daya ini disebut berlebih.
(abundant)
s2=s3 = 0 . kedua sumber daya ini disebut habis
terpakai (scarce).
Harga bayangan :
Harga bayangan dilihat dari koefisien variabel slack atau surplus pada baris fungsi tujuan.
Koefisien s1 pada baris fungsi tujuan tabel
optimal = 0 , dengan demikian harga bayangan sumber daya pertama adalah 0.
Koefisien s2 pada baris fungsi tujuan tabel
optimal = 53
, dengan demikian harga bayangan
sumber daya pertama adalah 53
.
31
Koefisien s3 pada baris fungsi tujuan tabel
optimal = 23
, dengan demikian harga bayangan
sumber daya pertama adalah 23
.
Perhatikan juga kasus berikut:
Maksimumkan z = 2x1 + 3x2 Terhadap :
10x1 + 5x2 ≤ 600 6x1 + 20x2 ≤ 600 8x1 + 15x2 ≤ 600 x1, x2 ≥ 0
Bentuk di atas juga merupakan bentuk umum. Perubahan kedalam bentuk baku hanya membutuhkan variabel slack, karena semua fungsi kendala menggunakan bentuk pertidaksamaan ≤ dalam bentuk umumnya. Maka bentuk bakunya adalah sebagai berikut:
Maksimumkan z=2 x1+3 x 2+0 s1+0 s2+0 s3
Terhadap :
10 x1+5 x2+s1=600
6 x1+20x2+s2=600
8 x1+15x2+s3=600
x1 x2 s1 s2 s3≥0
s1 s2 s3oleh karenanya merupakan variabel slack.
32
PEMBENTUKAN TABEL SIMPLEKS Gunakan kasus di atas, maka tabel awal simpleksnya adalah :
VB X 1 X 2 S1 S2 S3 solusiz -2 -3 0 0 0 0
S1 10 5 1 0 0 600
S2 6 20 0 1 0 600
S3 8 15 0 0 1 600
LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN
Langkah-langkah penyelesaian adalah sebagai berikut: 1. Periksa apakah tabel layak atau tidak.
Kelayakan tabel simpleks dilihat dari solusi (nilai kanan). Jika solusi ada yang bernilai negatif, maka tabel tidak layak. Tabel yang tidak layak tidak dapat diteruskan untuk dioptimalkan.
2. Tentukan kolom pivot. Penentuan kolom pivot dilihat dari koefisien fungsi tujuan (nilai di sebelah kanan baris z) dan tergantung dari bentuk tujuan. Jika tujuan berupa maksimisasi, maka kolom pivot adalah kolom dengan koefisien negatif terbesar. Jika tujuan minimisasi, maka kolom pivot adalah kolom dengan koefisien positif terkecil. Perhatikan, kita tidak menggunakan kata-kata nilai terkecil dan terbesar, karena kita memang tidak memilih nilai terkecil dan terbesar. Jika kolom
33
pivot ditandai dan ditarik ke atas, maka kita akan mendapatkan variabel keluar. Jika nilai negatif terbesar (untuk tujuan maksimisasi) atau positif terbesar (untuk tujuan minimisasi) lebih dari satu, pilih salah satu secara sembarang.
3. Tentukan baris pivot. Baris pivot ditentukan setelah membagi nilai solusi dengan nilai kolom pivot yang bersesuaian (nilai yang terletak dalam satu baris). Dalam hal ini, nilai negatif dan 0 pada kolom pivot tidak diperhatikan, artinya tidak ikut menjadi pembagi. Baris pivot adalah baris dengan rasio pembagian terkecil. Perhatikan, rasio pembagian tidak mungkin bernilai negatif, karena nilai kanan tidak negatif demikian juga dengan nilai kolom pivot. Jika baris pivot ditandai dan ditarik ke kiri, maka kita akan mendapatkan variabel keluar. Jika rasio pembagian terkecil lebih dari satu, pilih salah satu secara sembarang.
4. Tentukan elemen pivot. Elemen pivot merupakan nilai yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot.
5. Bentuk tabel simpleks baru. Tabel simpleks baru dibentuk dengan pertama sekali menghitung nilai baris pivot baru. Baris pivot baru adalah baris pivot lama dibagi dengan elemen pivot. Baris baru lainnya merupakan pengurangan nilai kolom pivot baris yang bersangkutan dikali baris pivot baru dalam satu kolom terhadap baris lamanya yang terletak dalam satu kolom juga.
34
6. Periksa apakah tabel sudah optimal. Keoptimalan tabel dilihat dari koefisien fungsi tujuan (nilai pada baris z) dan tergantung dari bentuk tujuan. Untuk tujuan maksimisasi, tabel sudah optimal jika semua nilai pada baris z sudah positif atau 0. Pada tujuan minimisasi, tabel sudah optimal jika semua nilai pada baris z sudah negatif atau 0. Jika belum, kembali ke langkah no.2, jika sudah optimal baca solusi optimalnya.
Kita selesaikan kasus di atas.VB X1 X2 S1 S2 S3 solusi rasioz -2 -3 0 0 0 0 -
S1 10 5 1 0 0 600 12S2 6 20 0 1 0 600 3S3 8 15 0 0 1 600 4
X2 adalah variabel masuk dan s2 adalah variabel keluar. Elemen pivot adalah 20.
VB X1 X2 S1 S2 S3 solusi Rasioz -11/10 0 0 3/20 0 90 -
S1 8.5 0 1 -1/4 0 450 52.9X2 3/10 1 0 1/20 0 30 100S3 3.5 0 0 -¾ 1 150 42.857
Perhitungan kita lanjutkan ke iterasi 2. Variabel masuk adalah x1 dan variabel keluar adalah s3
35
VD X1 X2 S1 S2 S3 Solusiz 0 0 0 9/70 1/35 94.2857
S1 0 0 1 11/7 -17/7 85.7155X2 0 1 0 8/70 -3/35 17.1329X1 1 0 0 -3/14 2/7 42.857
Tabel sudah optimal, sehingga perhitungan iterasi dihentikan! Membaca tabel optimal adalah bagian penting bagi pengambil keputusan. Ada beberapa hal yang bisa dibaca dari tabel optimal :
1. Solusi optimal variabel keputusan. 2. Status sumber daya. 3. Harga bayangan (dual/shadow prices).
Menggunakan tabel optimal di atas:
VD X1 X2 S1 S2 S3 solusiz 0 0 0 9/70 1/35 94.2857
S1 0 0 1 11/7 -17/7 85.7155X2 0 1 0 8/70 -3/35 17.1329X1 1 0 0 -3/14 2/7 42.857
Solusi optimal : x1 = 42.857; x2 = 17.1329 dan z = 94.2857, artinya untuk mendapatkan keuntungan maksimum sebesar $94.2857, maka perusahaan sebaiknya memproduksi produk 1 sebesar 42.857 unit dan produk sebesar 17.1329 unit. Status sumber daya : sumber daya pertama dilihat dari keberadaan variabel basis awal dari setiap fungsi kendala pada tabel optimal. Dalam kasus di atas, fungsi kendala pertama periksa keberadaan
36
s1 pada variabel basis tabel optimal; periksa keberadaan s2 pada variabel basis tabel optimal untuk fungsi kendala kedua; periksa keberadaan s3 pada variabel basis tabel optimal untuk fungsi kendala ketiga.
s1 = 85.7155. Sumber daya ini disebut berlebih (abundant)
s2 = s3 = 0. Kedua sumber daya ini disebut habis terpakai (scarce).
Harga bayangan : harga bayangan dilihat dari koefisien variabel slack atau surplus pada baris fungsi tujuan. koefisien s1 pada baris fungsi tujuan tabel
optimal = 0, dengan demikian harga bayangan sumber daya pertama adalah 0.
Koefisien s2 pada baris fungsi tujuan tabel optimal = 9/70, dengan demikian harga bayangan sumber daya kedua adalah 9/70.
Koefisien s3 pada baris fungsi tujuan tabel optimal = 1/35, dengan demikian harga bayangan sumber daya ketiga adalah 1/5.
D. Simplex Fase 1
Solusi dasar mungkin saja fisibel atau infisibel. Sebuah solusi dasar fisibel akan memenuhi persyaratan tidak negatif. Solusi dasar yang diperoleh diatas dengan menetapkan X2 dan S1 sebagai variabel bukan basis dan bernilai sama dengan nol telah mendapatkan solusi untuk nilai
37
X1,S2,S3,S4 bukan sebagai solusi dasar fisibel karena nilai S3 = -100 dan S4 = -150. Oleh karena itu pemilihan variabel bukan basis perlu diubah.
Jadi jika variabel yang dipilih sebagai variabel bukan basis adalah X1 dan X2 dan bernilai nol maka solusi basis yang diperoleh adalah fisibel, yaitu:
S1 = 800
S2 = 1000
S3 = 300
S4 = 650
dengan variabel bukan basis X1 = 0 dan X2 = 0.
Prosedur penyelesaian program linear dengan Metode Simplex
1. Formulasikan persoalan menjadi model linear2. Transformasikan model tersebut kedalam
bentuk standar dengan menambahan variabel slack atau mengurangi dengan variable surplus
3. Buatlah tableau form
Menyusun Tabel Simplex Awal (Initial Simplex Tableau)
Setelah melakukan konversi program linier kedalam tabel simplex maka tahap
38
pertama adalah membangun tabel simplex awal (initial simplex tableau). Pada tahap ini termasuk pemberian notasi bagi semua koefisien yaitu:
cj = koefisien fungsi tujuan untuk variabel j
bi = koefisien sisi kanan (RHS) untuk constraint ke i
aij = koefisien yang berasosiasi dengan variabel j pada constraint i
E. Simpleks Fase 2
Langkah-langkah :
1. Sistem pertidaksamaan 1 dan seterusnya dibuat sama seperti simpleks dengan 1 fase.
2. Nilai Z diminimumkan (dikalikan dengan -).3. Z pindah ruas menjadi bernilai + .4. Selanjutnya sama seperti pada simpleks dengan
1 fase. Namun pembedanya adalah yang mempunyai nilai hanya variabel M dan Z. Variabel yang mengandung nilai M bernilai = -1 dan Z = 1 selebihnya bernilai 0 .
5. Cari nilai pada sistem pertidaksamaan yang membentuk identitas dan pada posisi 1 di sebelah kiri (pengali) di letakkan nilai x. Lalu setelah 2 variabel dikali dan di jumlahkan, dikurng nilai x di atasnya.
6. Selanjutnya sama seperti pada simpleks 2 dan 1 fase himgga berakhir pada nilai baris terakhir yang bernilai positif.
39
7. Hilangkan kolom yang mengandung nilai M pada Z lalu letakkan nilai keseluruhan Z pada atas baris (nilai x).
8. Lalu seperti cara no.5 hingga nilai baris terakhir bernilai positif.
9. Dan itulah nilai Z (jangan lupa nilai Z adalah -Z).
Contoh Soal :
Minimmumkan : Z=8 x+6 y
Kendala : 4 x+2 y ≥60 ,2 x+4 y≥48dan x , y ≥=0
Penyelesaian :
4 x+2 y ≥60 ↔ 4 x+2 y− x3+x4=60
2 x+4 y ≥48 ↔ 2 x+4 y− x5+x6=48
Z = 8 x+6 y ↔ z−8 x−6 y−M x4−M x6=0
Cj 0 0 0 -1 0 -1HB
VB CB X Y X3 X4 X5 X6
X4 -1 4 2 -1 1 0 0 60X6 -1 2 4 1 0 1 0 48
Zi - Cj -6 -6 1 0 1 0 -108Transformasi baris kunci (X6)
2 4 0 0 -1 1 48 (÷4)
40
12
1 0 0−14
14
12
Transformasi baris X4
4− (2 ) 12=3
2− (2 )1=0
−1− (2 )0=−1
1− (2 )0=1
0−(2 ) −14
=12
0−(2 ) 14=−1
2
60−(2 )12=36
Cj 0 0 0 -1 0 -1HB
VB CB X Y X3 X4 X5 X6
X4 -1 3 0 -1 1 12
−12
36
Y 0 12
1 0 0 −14
0 12
Zi - Cj
-3 0 1 0 −12
32
-36
41
Transformasi baris kunci (X4)
3 0 -1 112
−12
36
(÷3)
1 0−13
13
16
16
12
Transformasi baris Y
12−( 1
2 )1=0
1−( 12 )0=1
0−( 12 )−1
3=1
6
0−( 12 ) 1
3=−1
6
−14
−( 12 ) 1
6=−1
3
14−( 1
2 ) 16=1
6
42
12−( 12 )12=6
Cj 0 0 0 -1 0 -1 HBVB CB X Y X3 X4 X5 X6
X 0 1 0 −13
13
16
16
12
Y 0 0 1 16
−16
−13
16
6
Maka X = 12 ; Y = 6
Jadi Z = 8x + 6y
= 8(12) + 6(6)
= 96 + 36
= 132
F. Metode M. Charness
Minimumkan Z = 3x – 2y
Kendala : x + y ≥2
2x + y ≥3
x,y ≥0
Penyelesaian :
Masalah PL menjadi z = 3 x+2 y+0α+0b
Menggunakan prosedur memaksimalkan :
43
MinZ=−Maks(−Z )
Zmin=−3 x−2 y Pada kendala kurangi variable surplus dan
tambahkan variabel slack
x+ y – a+c=22 x+ y – b+d=3
a,b = variabel surplusc, d = variabel slack Pada fungsi tujuan kurangi dengan M dikali
kan variabel slack, sehingga
Zmin=−3 x−2 y−Mc– Md
Cj -3 -2 0 0 -M -MHB
VBCB X y a B c d
c-M 1 1
-
10 1 0 2 r =2/1=2
d -M 2 1 0 -1 0 1 3 r =3/2
Zj-Cj
3 2 0 0 0 0 0konstant
a
-3 -2 1 1 0 0 -5 Nilai M
Keterangan : r = rasio
44
Mencari nilai Zj – Cj
(−M .1 )+ (−M .2 )− (−3 )=−3 M+3
(−M .1 )+ (−M .1 )− (−2 )=−2 M+2
(−M .−1 )+(−M .0 )−0=M
(−M .0 )+(−M .−1 )−0=M
(−M .1 )+ (−M .0 )−M=0
(−M .0 )+(−M .1 )−0=0
(−M .2 )+ (−M .3 )−0=−5 M
Cari unsur kunci, dengan mencari baris kunci dan kolom kunci didapat unsur kunci 2
Transformasi baris kunci
2/2 1/2 0/2 -1/2 0/2 1/2 3/21 1/2 0 -1/2 0 1/2 3/2
Transformasi baris lain Baris c
1− (1 ) (1 )=0
1− (1 ) (1/2 )=1 /2−1− (1 ) (0 )=−1
45
Note : Banyaknya VB tergantung banyak variabel slack, nilai CB mengikuti nilai variabel slack
0−(1 ) (−1 /2 )=1/21− (1 ) (0 )=1
0−(1 ) (1 /2 )=−1/22− (1 ) (3/2 )=1/2
Cj -3 -2 0 0 -M -MHB
VB CB x y A B c d
c -M 0 1/2 -1 1/2 1 -1/2 1/2
x -3 1 1/2 0 -1/2 0 1/2 3/2
Zj-Cj
0 1/2 0 3/2 0 -3/2 -9/2
0 -1/2 1 -1/2 0 3/2 -1/2
Mencari nilai Zj – Cj
(−M .0 )+(−3.−1 )−(−3 )=0
(−M .1/2 )+ (−3.1/2 )−(−2 )= −12 M
+1/2
(−M .−1 )+(3.0 )−0=M
(−M .1/2 )+ (−3.−1/2 )− (−M )= −12 M
+ 32
(−M .1 )+ (3.0 )−(−M )=0
(−M .−12 )+(−3.1
2 )−(−M )= 32 M
−32
(−M .1/2 )+ (−3.3/2 )−0= 12M
−92
46
Cari baris kunci dan kolom kunci. Unsur kunci = 1/2
Transformasi baris kunci
012
1212
−112
1212
112
−1212
1212
0 1 -2 1 2 -1 1
Transformasi baris lain Baris x
1− (1 /2 ) (0 )=1
1/2− (1 /2 ) (1 )=0
0−(1/2 ) (−2 )=1
−12
−( 12 ) (1 )=−1
0−(1/2 ) (2 )=−1
1/2− (1 /2 ) (−1 )=1
3/2−(1/2 ) (1 )=1
Cj -3 -2 0 0 -M -MHB
VB CB X y a B c dY -2 0 1 -2 1 2 -1 1X -3 1 0 1 -1 -1 1 1
47
Note : yang paling negatif ada 2 yaitu -1/2 dan -1/2. Lihat nilai Zj-Cj diatasnyac 1/2 < 3/2, maka ambil nilai -1/2 yang pertama
Zj-Cj0 0 1 1 -1 -1 -5
0 0 0 0 1 -1 0
Karena koefisien-kefisien variabel adasar sudah tidak ada lagi yang negatif, berarti optimalisasi sudah dicapai pada tahap penyelesaian pada tahap ini. Tabel terakhir merupakan tabel optimal.
Contoh soal
Syarat : 3x1 + x2 ≤ 3
Kendala : 4x1 + 3x2 ≥ 6
x1 + 2x2 ≤ 3
x1,x2 ≤ 0
48
∴ kesimpulan
−Z=−5
Z¿5
x =1
y = 1
Jawab :
-zmin = - maks (-z)
−z min=−4 x1 – x 2 Kendala 1 dan 3 hanya ditambahkan
variabel slack, karena “≤” sedangkan kendala 2 dikurangi variabel surplus dan ditambahkan variabel slack. Sehingga :
3 x1+x 2+a=34 x1+3 x2 – b+c=6
x1+2 x 2+d=3 Pada fungsi tujuan kurangi M dikali kan
variabel slack- Zmin = - 4x1 – x2 – Ma – Mc – Md
Substitusikan ke dalam tabel
Cj -4 -1 -M 0 -M -M HB
VB CB x1 x2 a b C d
a -M 3 1 1 0 0 0 3 r = 1
c -M 4 3 0 -1 1 0 6 r=6/4=3/2
D -M 1 2 0 0 0 1 3 r=3
Zj – Cj 4 1 0 0 0 0 0
-8 -6 0 1 0 0 -12
Mencari nilai Zj – Cj
−3 M−3 M−2 M+4=−8 M+4−M−3 M−2 M+1=−6 M+1
49
−M−0−0+M=00+M−0+0=M0−M−0+M=00−0−M+M=0−3 M−6 M−3 M−0=−12 M
Transformasi baris kunci
3/3 1/3 1/3 0/3 0/3 0/3 3/31 1/3 1/3 0 0 0 1
Transformasi baris yang lain Baris c
4− (4 )1=0
3−(4 )1/3=5/30−(4 )1 /3=−4 /3−1− (4 )0=1
1− (4 )0=−1
0−(4 ) 0=0
6−(4 )1=2
Baris d
1− (1 )1=0
2− (1 )1/3=5/30−(1 )1 /3=−1/30−(1 ) 0=0
0−(1 ) 0=0
1− (1 )0=1
50
3−(1 )1=2
Cj -4 -1 -M 0 -M -M HB
VB CB x1 x2 a B c d
x1 -4 1 1/3 1/3 0 0 0 1
c -M 0 5/3 -4/3 1 -1 0 2
d -M 0 5/3 1/3 0 0 1 2
Zj - Cj 0 1/3 -4/3 0 0 0 -4
0 -10/3 8/3 1 0 0 -4
Transformasi baris kunci
053
5353
−1353
053
053
153
253
0 1 -1/5 0 0 3/5 6/5
Transformasi baris lain
Transformasi baris x1
1− (1 /3 )0=1
51
1/3− (1/3 )1=1
1/3−( 13 )−1/3=6 /15
0−(1/3 ) 0=0
0−(1/3 ) 0=0
0−( 13 )3/5=−1/3
1−( 13 )6/5=3/5
Transformasi baris b
0−(5/3 ) 0=0
5/3−(5/3 ) 1=0
−43
−( 53 )−1
5=−1
−1−( 53 )0=1
1−( 53 )0=−1
0−( 53 )3
5=−1
0−(5/3 ) 0=0
2−( 53 )6/5=0
Mencari nilai Zj-Cj
52
−4−0−0+4=00−0−1+1=0−2415
−M+5+M=51 /15
0−M−0+0=M0−M−0+M=043+M−3
5+M=11
5
−125
−0−65=−18 /5
Cj -4 -1 -M 0 -M -MHB
VB CB x1 x2 a B C dx1 -1 1 0 6/15 0 0 -1/3 3/5c -M 0 0 -1 -1 1 -1 0x2 -1 0 1 -5 0 0 3/5 6/5
Zj - Cj0 0 51/15 0 0 11/19 -18/50 0 0 1 0 2 0
Kesimpulan :
Zmin = −18
5 ,X1 = 3/5 , X2 = 6/5
G. Metode Simplex 2 FaseLangkah-langkah :1. Sistem pertidaksamaan 1 dan seterusnya
dibuat sama seperti simplek dengan fase 1.2. Nilai z minimumkan (dikalikan sengan -).3. Z pindah ruas menjadi nilai +.
53
4. Selanjutnya sama seperti pada simplek dengan 1 fase, namun perbedaannya adalah yang mempunyai nilai hanya variabel M dan Z. Variabel yang mengandung nilai M bernilai = -1 dan z = 1 selebihnya bernilai 0.
5. Cari nilai pada sistem pertidaksamaan yang membentuk identitas dan pada posisi 1 disebelah kiri (pengali) di letakkan nilai x. Lalu setelah 2 variabel dikali dan dijumlahkan, dikurang nilai x diatasnya.
6. Selanjutnya sama seperti pada simplek 2 dengan 1 fase hingga berakhir pada nilai baris terakhir yang bernilai positif.
7. Hilangkan kolom yang mengandung nilai M pada Z lalu letakkan nilai keseluruhan z pada atas baris ( nilai x ).
8. Lalu seperti cara pada no. 5 hingga nilai baris terakhir bernilai positif.
9. Dan itulah nilai z (jangan lupa nilai z adalah –z).
Contoh soal :
Zmin=30 x1+40 x2
Syarat ¿ x1+ x2≥40
x1+2x2≥60
x1 , x2≥0
Jawab :
54
Misal : x3 , x4=variabel surplus
x5 , x6=variabel slack
x1+ x2−x3+x5=40
x1+2x2−x4+x6=60
z=0 x1+0 x2+0 x3+0 x4−x5−x6
CJ 0 0 0 0 -1 -1
VB CB x1 x2 x3 x4 x5 x6HB
x5-1 1 1 -1 0 1 0 40
x6-1 1 2 0 -1 0 1 30
ZJ-CJ -2 -3 1 1 0 1 -100
Fase 1
Transformasi baris x2 sebagai baris kunci ;
1 :2=12
2 :2=1
0 :2=0
−1 :2=−12
55
0 :2=0
1 :2=12
60 :2=30
Transformasi baris x5
1− (1 ) . 12=1
2
1− (1 ) .1=0
−1− (1 ) .0=−1
0−(1 ) .−12=1
2
1− (1 ) .0=1
0−(1 ) . 12=−1
2
40−(1 ) .30=10
CJ 0 0 0 0 -1 -1
VB CB x1 x2 x3 x4 x5 x6 HB
x5 -112 0 -1
12 1
−12
10 /12
=
20
56
x2 012
1 0−12
012
30/12
= 60
ZJ-CJ−12
0 1−12
032
-10
Transformasi baris x1 sebagai kolom kunci
12
:12=1
0 :12=0
−1 :12=−2
12
:12=1
1 :12=2
−12
:12=−1
10 :12=20
Transformasi baris x2
57
12−( 1
2 ) .1=0
1−( 12 ) .0=1
0−( 12 ) .−2=1
−12
−( 12 ) .1=−1
0−( 12 ) .2=−1
12−( 1
2 ) .−1=1
30−( 12 ) .20=20
CJ 0 0 0 0 -1 -1HBVB CB x1 x2 x3 x4 x5 x6
x50 1 0 -2 1 2 -2 20
x20 0 1 1 -1 -1 1 20
ZJ−CJ 0 0 0 0 1 1 0
Fase 2
58
CJ 30 -40 0 0
VB CB x1 x2 x3 x4HB
x1-30 1 0 -2 1 20
x2-40 0 1 1 -1 20
ZJ-CJ 0 0 20 10 -1400
Zmin=− (Z )
¿−(−1400)
¿1400
Catatan :
Fase 1 berakhir pada kondisi Z¿=0, maka simpulkan untuk meneruskan ke fase 2 dengan memperhatikan 3 kemungkinan berikut :
1. Z¿ maks < 0 dimana satu atau lebih variabel slack berada dalam basis pada tingkat nilai yang positif. Masalah Program Linier yang asli tidak mempunyai penyelesaian layak (fisibel)
2. Z¿ maks = 0, dengan kenyataan tidak ada variabel slack terletak dalam basis ini berarti telah diperoleh penyelesaian layak dasar (fisibel basis) dari persoalan Program Linier yang asli.
59
3. Z¿ maks =0, dengan kenyataan satu/lebih variabel slack terletak dalam basis pada tingkat nol (degenerasi). Kenyataan ini juga menunjukkan bahwa telat diperoleh penyelesaian layak dasar (fisibel basis) dari masalah Program Linier yang asli.
Persyaratan untuk memulai fase 2 :
Perhitungan fase 2 merupakan lanjutan fase 1, apabila akhir fase 1 menunjukkan kemungkinan (2 dan 3) Tabel fase 2 adalah akhir fase 1 dengan modivikasi sebagai berikut :
a. Koefisien hanya fungsi tujuan adalah koefisien fungsi tujuan yang asli, atau nilai koefisien variabel pokok pada fase 1 yaitu nol harus di ganti dengan koefisien asli.
b. Elemen pada baris Zj-Cj di hitung kembali.
Soal latihan!
1. MinZ=14 x1+18 x2
Dengan syarat : x1+ x2≤25
5 x1+6 x2≥140
x1 , x2≥0
Jawab,
Misal :x3=variabel slurplus
60
x4 , x5=variabel s lack
Jadi,
x1+ x2+x4=25
5 x1+6 x2−x3+x5=140
Z=0 x1+0x2+0 x3−x4− x5
Transformasi baris x5 sebagai baris kunci
5 :6=56
6 :6=1
−1 :6=−16
61
CJ 0 0 0 -1 -1HBVB CB x1 x2 x3 x4 x5
x4-1 1 1 0 1 0 25:
1=25x5
-1 5 6 -1 0 1 140:6=703
ZJ-CJ -6 -7 1 0 0 -165
0 :6=0
1 :6=16
140 :6=703
Transformasi baris x4
1− (1 ) . 56=1
6
1− (1 ) .1=0
0−(1 ) .−16=1
6
1− (1 ) .0=1
0−(1 ) . 16=−1
6
25−(1 ) . 703
=53
CJ 0 0 0 -1 -1HBVB CB x1 x2 x3 x4 x5
x4-1 1
60 1
61 −1
653
: 16
= 10
x20 5
61 −1
60 1
6703
:
62
−16
=−140
ZJ-CJ−16
0 −16
0 76
−53
Transformasi baris x4 sebagai baris kunci
16
:16=1
0 :16=0
16
:16=1
1 :16=6
−16
:16=−1
53
:16=10
Transformasi baris x2
56−( 5
6 ).1=0
63
1−( 56 ) .0=1
−16
−( 56 ).1=−1
0−( 56 ).6=−5
16−( 5
6 ) .−1=1
703
−( 56 ).10=15
CJ 0 0 0 -1 -1HBVB CB x1 x2 x3 x4 x5
x10 1 0 1 6 -1 10
x20 0 1 -1 -5 1 15
ZJ-CJ 0 0 0 1 1 0
x1=10
x2=15
Zmin=14 (10 )+18 (15 )
¿410
Fase 2
64
CJ 0 0 0HBVB CB x1 x2 x3
x1-14 1 0 1 10
x2-18 0 1 -1 15
ZJ-CJ 0 0 4 -410
BAB IV
65
PRIMAL DAN DUAL
Untuk memperoleh gambaran yang jelas tentang masalah “PRIMAL” dan “DUAL”, kita definisikan masalah-masalah berikut sebagai masalah primal dan dual nya masing-masing.
(*) Masalah maksimum :
Maksimumkan: f=c1 x1+c2 x2+. . .. .. .. . ..+cm xm
Syarat:
a11x1+a12 x2+a13 x3+.. . .. .. . ..+a1m xm≤b1
a21 x1+a22 x2+a23 x3+. . .. .. . .. .+a2m xm≤b2
a31 x1+a32 x2+a33 x3+. .. . .. .. . .+a3m xm≤b3
. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .
. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .
. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .ak1 x1+ak 2 x2+ak3 x3+. . .. .. . .. .+akm xm≤bk
xi ≥ 0, i = 1, 2, .........., m
(**) Masalah minimum :
Minimumkan: g=b1 y1+b2 y2+. . .. .. .. . ..+bk yk
Syarat:
66
a11 y1+a21 y2+a31 y3+ .. .. . .. .. .+ak1 yk≥c1
a12 y1+a22 y2+a32 y3+. .. .. . .. ..+ak 2 yk≥c2
a13 y1+a23 y2+a33 y3+. . .. .. . .. .+ak3 yk≥c3
. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .
. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .
. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .a1m y1+a2m y2+a3m y3+. .. . .. .. . .+akm yk≥cm
yi ≥ 0, i = 1, 2, .........., k
Masalah (*) dan (**) saling berperan sebagai primal dan dualnya. Akan kita tulis kembali koefisien dari sekelompok persamaan (*) dan (**) dalam bentuk matriks, dengan koefisien dari fungsi obyektif sebagai baris paling bawah.
(*) Masalah Maksimum
a11 a12 a13 . . . . . . . . . a1m b1
a21 a22 a23 . . . . . . . . . a2m b2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ak1 ak2 ak3 . . . . . . . . . akm bk
c1 c2 c3 . . . . . . . . . . ck *
(**) Masalah Minimum
67
a11 a21 a31 . . . . . . . . . ak1 c1
a12 a22 a32 . . . . . . . . . ak2 c2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a1m a2m a3m . . . . . . . . akm cm
b1 b2 b3 . . . . . . . . . . bk *
Dalam setiap kasus, koefisien dari matriks DUAL dapat ditentukan sebagai transpose dari koefisien matriks PRIMALnya.
PRIMAL DAN DUAL
Berkaitan dengan setiap masalah program linear selalu ada dualnya. Arti dari DUAL akan menjadi lebih jelas setelah Anda mempelajari masalah vitamin yang telah dibahas di muka. Untuk lengkapnya kita tuliskan kembali data masalah tersebut.
Vitamin Makanan Keperluan
68
sehari-hariF1 F2
A 2 4 40
B 3 2 50
Harga Makanan/Unit 3 2,5
Marilah kita pertimbangkan makanan F1 dan F2 yang dijual disebuah toko. Pemilik toko menyadari bahwa makanan F1 dan F2 memiliki nilai jual karena mengandung vitamin A dan B yang diperlukan untuk kesehatan.
Masalah yang ia hadapi adalah menentukan harga jual, misal x sen dolar per unit vitamin A dan y sen dolar per unit vitamin B. Ia menyadari bahwa harga per unit vitaminnya harus diatur sedemikian rupa sehingga harga jual yang ditetapkannya untuk kedua jenis makanan kurang dari atau sama dengan harga pasaraan.
Dengan perkataan lain terhadap x dan y harus ditentukan harga, sehingga biaya yang dihitung untuk makanan F1 dan F2 kurang dari atau sama dengan 3 sen dan 2,5 sen dolar perunit, masing-masing. Kalau pemilik toko menentukan harga di atas harga 3 dan 2,5 sen dolar, ia akan kehilangan pelanggan.
Pada saat yang sama, ia ingin memaksimumkan penghasilannya, yang diberikan oleh f = 40 x + 50
69
y, karena keperluan vitamin sehari-harinya adalah 40 unit dan 50 unit untuk masing-masing vitamin.
Masalah yang dihadapi oleh pemilik toko dapat dirangkum sebagai berikut :
(**) Maksimumkan : f=40x+50 y
Syarat :2 x+3 y≤3
4 x+2 y ≤2,5
dan x≥0 , y ≥0
Sekelompok pertidaksamaan (**) ini merupakan DUAL dari masalah aslinya. Untuk mengenalinya, masalah aslinya disebut PRIMAL. Jika (**) kita sebut PRIMAL, maka masalah asli disebut DUAL nya, dan sebaliknya.
Kesimpulan yang perlu diperhatikan ialah bahwa setiap masalah program linear memiliki DUAL yang unik (hanya satu-satunya). Masalah (**) dengan mudah dapat diselesaikan dengan Metode SimpleksI.
70
Selama dalam barisan penilaian masih terdapat nilai yang positif, berarti program belum optimal, dan masih memerlukan perbaikan.
Program 3 ini sudah optimal karena Baris penilaian tidak memiliki nilai positif lagi. Pemilik toko harus
71
menetapkan harga
316 sen dolar untuk vitamin A
dan
78 sen dolar untuk vitamin B perunitnya. Nilai
dari fungsi obyektif adalah :
f = 40 (
316 ) + 50 (
78 ) = 51,25 sen dolar
yang memang persis sama dengan jawaban yang diperoleh pada masalah mencari nilai minimum dengan membeli makanan F1 dan F2.
MEMBANDINGKAN TABEL PRIMAL DAN DUAL NYA
Sekarang kita perhatikan tabel optimal dari masalah primal yang melibatkan pembelian makanan F1 dan F2 (tabel*), kemudian tabel optimal dari dual nya (tabel **). Tabel dari dua tabel optimal tersebut akan memberikan nilai yang sama.
72
73
DAFTAR PUSTAKA
Hasan, Iqbal. 2004. Pokok-pokok Materi Teori Pengambilan Keputusan. Bogor: Ghalia Indonesia
Sri Mulyono, Riset Operasi, Jakarta: Lembaga Penerbit Fakultas Ekonomi UI, 2002
Supranto, J. 2005. Teknik Pengambilan Keputusan. Edisi Revisi. Jakarta: Rineka Cipta
Taha, Hamdy A., Riset Operasi – Jilid 1, Jakarta: Binarupa Aksara, 1996
http://fairuzelsaid.wordpress.com/2009/11/24/data-mining-konsep-pohon-keputusan/
http://duljimbonpdq.blogspot.com/2010/09/formulasi-model-pemrograman-linier.html
hendri.staff.gunadarma.ac.id
74