CONECTIVITATE I INTERDEPENDEN N SISTEMELE ADAPTIVE COMPLEXE

Conectivitatea i interdependena (CI) determin comportamentul complex al sistemului.Agenii sistemelor (familii, organizaii, asociaii) sunt n relaii, cu diferite grade de conectivitate, formeaz o reea.Rolul CI: determin numrul i intensitatea legturilor ntre ageni. asigur transferurile materiale i informaionale ntre ageni. favorizeaz formarea reelelor complexe de conexiuni, care constitue mediul n care agenii evolueaz.

Tipuri de interdependene:materiale, energetice, informaionle, sociale, de proprietate.MODELAREA CONECTIVITII I INTERDEPENDENEI

Principala metod de modelare este oferit de teoria grafurilor.

GRAF: pereche ordonat de mulimi , unde este mulime finit i nevid de elemente numite noduri sau vrfuri, iar mulime de perechi ordonate sau neordonate din V, numite muchii (dac perechile sunt neordonate) sau arce (dac perechile sunt ordonate).

Dac perechea este neordonat, iar graful se numete neorientat;

Dac perechea se numete ordonat, iar graful este orientat.Graf neorientat

Graf orientat

Ordinul unui graf : este numrul de vrfuri/noduri;

Numrul de muchii/arce :

Gradul unui nod, numrul de arce conectate la acel nod.

REELE COMPLEXEREEA: mulime de noduri sau vrfuri, conectate prin arce sau muchii.1735 - EULER- formuleaz problema podurilor din KNIGSBERG, fundamenteaz teoria grafurilor i formuleaz prima problema de drum din graf/reea.Obs: Problema podurilor din KNIGSBERG: problema care s-a pus a fost dac se poate pleca de pe un mal, s se treac pe toate podurile i s revin pe acelai mal astfel nct pe fiecare pod s se treac o singur dat.

Studii n domeniul reelelor: - statistice (proprietile statisice ale reelei), - modelarea reelelor (pentru determinarea comportamentului agenilor n reea);- analiza dinamicii reelelor, etc.Tipuri de reele: Reele sociale: mulime de personae sau grupuri de personae interconectate cu un anumit tip de conexiuni; Reele informaionale: WORLD WIDE WEBB (system informatic care leag documente care pot fi accesate prin internet. Reeaua de citri Reeaua peer to peer: reea de calculatoare care folosesc aceleai fiiere, Reele semantice (folosite pentru traducerile automate), Reele tehnologice (rutiere, feroviare, calculatoare), Reele biologice (genetice, ecologice, metabolice)

PROPRIETILE REELELOR COMPLEXE

Reelele complexe sunt grafuri care pot fi descrise de indicatorii:

1. CONECTIVITATE: mulimea drumurilor de lungime unu (conexiunile directe ntr-un graf):

k este numrul de arce/muchii, N este numrul de vrfuri, , nr maxim de drumuri n reea.

2. DISTRIBUIA GRADELOR: P(k) probabilitatea ca un nod s aibe k=1,2,3,N-1, vecini dac N este numrul de noduri. Este data de o distribuie de probabilitate (probabilitatea de apariie a unei anumite valori a unei variabile aleatoare), n cazul acesta a vrfurilor cu acelai numr de muchii/arce incidente.

3. DRUM MEDIU DE LUNGIME MINIM:

numrul mediu de arce ale drumului minim ntre oricare dou noduri ale unei reele.

drum minim ntre i L lungimea drumului mediu:

4. DIAMETRUL REELEI:

Cel mai lung drum minim n reea.

5.

COEFICIENTUL DE CLUSTERIZARE al reelei este media coeficienilor de clusterizare ai tuturor nodurilor din reea. Coeficientul nodului , cu vecini: numrul total de arce ntre cei vecini ai vrfului , notat ()/numrul potenial de arce care revin la un nod , respectiv .

CLICA: reea n care fiecare nod este legat de celelalte noduri (toi prietenii din reea se cunosc i interacioneaz).6. SUBGRAF: , unde V i respectiv E reprezint mulimea vrfurilor, respective arcelor grafului.

Exemple de subgrafuri: ciclurile, arborii, subgrafe complete de ordin 2.

Ciclu: Bucl nchis de r arce, astfel nct muchiile consecutive au un vrf comun:

Arbore de ordin m: are m vrfuri/noduri, are (m-1) arce/muchii, nu are cicluri.

Subgraf complet de ordin 2: conine z vrfuri interconectate ntre ele, deci are z(z-1) drumuri, maxim posibil de (clica se reprezint printr-un subgraph complet de ordin 2).

7. COMPONENTA GIGANT: cea mai mare parte care poate fi deconectat din reea.

n general, o reea complex poate conine pri care pot fi deconectate (separate) de reea atunci cnd analiza o impune.

Component puternic conectat: cluster cu proprietatea c exist drumuri ctre toate componentele sale.

Component gigant puternic conectat: cea mai mare component care poate fi desprins din reea i care are arce ntre toate vrfurile , deci este cea mai mare component puternic conectat.

Component slab conectat: component conectat pentru care se ignor direcia arcelor (subgraf neorientat).

Component gigant slab conectat: cea mai mare component slab conectat cel mai mare subgraf neorientat.

8. CRITICALITATEA: prag critic de la care se formeaz componenta gigant (unul dintre subgrafe se transform ntr-o component gigant puternic conectat).Sub acest prag, reeaua este format din subgrafuri, care nu pot fi separate de graf.

9. BETWEENESS CENTRALITY (BC):Centralitatea este importana relativ a unui nod n reea, se msoar prin numrul de drumuri care trece prin acel nod.

TemConstruii un graf orientat cu 10 noduri i 7 muchii. Calculai: - conectivitatea, drumul mediu de lungime minim, diametrul reelei, coeficientul de clusterizare, betweeness centrality.Construii o reea cu o component gigant, o reea de tip clic, de tip ciclu, de tip arbore, de tip subgraph complet de ordin 2.

MODELAREA REELELOR COMPLEXE

1. Reele financiare

Reelele financiare vizeaz relaiile financiare dintre diferite companii, membrii comuni n Consiliul de Administraie, instituii financiare, clieni, etc.

1. Modelul portofoliilor optime al lui Markowitz (1952, 1959) modeleaz o reea de active (aciuni).Modelul lui Markowitz se bazeaz pe selecia portofoliului cu ajutorul varianei (dispersiei) , mediei i matricei de covarian. media

media

variana sau dispersiaUnde X este un vector cu elemente variabile aleatoare:

Fiecare avnd un numr de j=1,N realizri posibile.

Problema optimizrii portofoliului a fost asociat cu minimizarea riscului, utiliznd o funcie obiectiv:

Matrice de covarian:

Elementul este covariana ntre elementele i i j ale unui vector de variabile aleatoare.

Funcia obiectiv reprezint minimizarea riscului calculat ca suma diferenelor ntre cursul actual i valoarea ateptat a cursului (egal cu media cursului) corespunztoare activelor portofoliului.

Cu urmtoarele restricii: Atingerea unui anumit profit:

este randamentul ateptat al aciunii i;R este rentabilitatea ateptat a portofoliului,n este numrul de aciuni tranzaionabile,

- cursul aciunii i

restricia bugetar:

unde - cursul aciunii i, iar M este bugetul alocat, n este numrul de aciuni tranzaionabile.Markowitz a sugerat c pentru un set de valori ateptate i pentru covariana ateptat a cursului tuturor aciunilor i i j , fiecare investitor poate gsi o combinaie (R, V) care s satisfac restriciile i s minimizeze riscul.

Fiecare investitor trebuie s identifice Frontiera Markowitz i apoi s i aleag portofoliul n concordan cu aceasta. Frontiera Markowitz locul geometric al combinaiilor de active (portofolii) care are o varian/dispersie minim n raport cu venitul ateptat (cu cel mai mic risc). Agenii care prefer un venit ateptat superior i o varian mai mic (avnd deci preferine de tipul medie-varian) vor alege portofolii aparinnd frontierei. Este clar c, chiar dac preferinele agenilor economici nu ndeplinesc aceste proprieti, o frontier medie-varian exist ntotdeauna, i poate fi util n scopuri pur i simplu descriptive.

Modelul din 1959 are ca obiectiv maximizarea profitului i minimizarea riscului:

reprezint aversiunea la risc a investitorului.n prezent exist o literatur bogat pentru modele de optimizare a reelelor financiare.

2. MODELUL GRAFELOR ALEATOARE (Erds i Renyi)Modelul grafelor aleatoare are N noduri (vrfuri) legate ntre ele prin arce sau laturi plasate ntre perechi de vrfuri alese aleator.Fie GN,p graful n care ntre dou vrfuri exist un arc cu o probabilitate egal cu p. Gradul de separare al elementelor grafului:

Notm A o persoan din reea care are z vecini, care la rndul lor au cte z vecini. Atunci A are vecini de ordinul doi, vecini de ordinul trei, .a.m.d. Gradul de separare al grafului este exponenul lui z pentru care se poate atinge ntreaga populaie, de N persoane, vrfuri:

, Creterea logaritmic a numrului de grade de separare odat cu creterea mrimii reelei complexe se numete efect de lume mic (small-world effect) i este una dintre cele mai interesante proprieti ale unor astfel de reele.Deoarece log N crete lent odat cu creterea lui N, rezult c numrul de grade de separare rmne mic chiar i n condiiile n care N devine foarte mareERDS RENY (reea ERDS) a matematicienilor (noduri) ntre care apare n mod aleator un arc dac doi sau mai muli matematicieni scriu un articol. Fiecare dintre cele N noduri se poate conecta cu maximum (N-1) vecini.

3. Modele ale reelelor lumii mici

Ctre sfritul anilor 60 ai secolului trecut, Milgram (1967) a efectuat un experiment devenit faimos. Dei nu exista o reea fizic n spatele acestui experiment, rezultatele arat fora deosebit a structurii reelelor sociale complexe. n esen, experimentul examineaz lungimea drumurilor dintre vrfurile unei reele sociale, cerndu-se participanilor la acest experiment s trimit o scrisoare unuia dintre cunoscuii si direci, cu rugmintea ca aceasta s fie transmis mai departe n acelai mod, pn cnd i atinge inta, reprezentat de un destinatar final. Dei multe scrisori s-au pierdut pe drum i nu au mai ajuns la destinaie, aproape un sfert dintre ele i-au atins inta.n medie, o scrisoare a trebuit s treac prin minile a cinci sau ase persoane pn cnd a ajuns la destinaie. Acest experiment a reprezentat sursa cunoscutului concept de ase grade de separare.Dac considerm o reea/graf neorientat i L este distanta medie geodezic (cea mai scurt) dintre perechile de vrfuri ale reelei, atunci:

unde dij reprezint distana geodezic de la vrful i la vrful j. n tabelul de mai jos sunt date distanele medii geodezice pentru cteva tipuri de reele complexe.

TIPUL DE REEA N \(Numrul de vrfuri) M (Numrul de arce) L (Distana medie geodezic)

Reeaua actorilor de film 449913253164823.48

Directori de companii 7673553924.60

Mesaje e-mail59912863004.95

Internet 10697319923.31

Reea de ci ferate 587196032.16

Reea metabolic 76536862.56

Reea neuronal 30723593.97

Reea ecologic submarin 1355982.56

Relaii interstudeni 57347716.01

Di tabel reiese c efectul de lume mic este aproape general.Efectul de lume mic are implicaii mari asupra dinamicii proceselor care se petrec ntr-o reea. De exemplu, dace consider procesul de difuzare a informaiei sau al oricrui lucru din cadrul reelei, efecul de lume mic implic faptul c acest proces se desfoar cu o vitez mare n cadrul ntregii reele. Acest efect se aplic nu numai informaiei, dar i reelelor Internet, n care sunt necesare maximum ase calculatoare provider prin care un pachet de informaii trebuie s treac pentru a ajunge la orice destinatar din reea, numrului de pai necesari pentru a strbate lumea utiliznd reeaua de aeroporturi, de exemplu, timpului necesar unei boli molipsitoare pentru a se rspndi n ntreaga populaie a unei regiuni (reele biologice) etc.

Modelul reelelor libere de scal

n cazul reelelor reale de dimensiuni mari, distribuia gradelor ( probabilitatea ca un nod s aibe k=0,1,2,,N-1 vecini)

este de tip putere, , unde reprezint un coeficient pozitiv adimensional.

Cel mai vechi exemplu de reea n care avem o astfel de distribuie este cea construit de Price plecnd de la citrile ntre lucrrile tiinifice menionate n revistele ISI ( a gsit ). Mai recent, distribuia gradelor de tip lege a puterii a fost observat i n alte reele, cum ar fi WWW, Internetul, reelele metabolice, reeaua apelurilor telefonice etc.Distribuia gradelor exponenial, este de asemenea frecvent n reelele mari:

care a fost descoperit, de exemplu, n cazul reelelor electrice, reelelor de ci ferate, reeaua actorilor, reele colaborative .a.Distribuia binomial a gradelor ( probabilitatea ca un nod s aibe k=0,1,2,,N-1 vecini),

N este numrul de noduri, p este probabilitatea ca ntre dou noduri s existe muchie, k este nr de vecini.

Cel mai cunoscut model al unei reele libere de scal este modelul Barabasi Albert n care se introduc dou elemente dinamice eseniale: creterea reelei i conectarea preferenial. Reeaua este supus permanent unui proces de cretere, ncepnd cu un mic numr de vrfuri complet conectate. Creterea are loc n aa fel nct vrfurile nou introduse n reea sunt legate preferenial de acele vrfuri care au cele mai multe conexiuni. n figura de mai jos se reprezint acest proces de cretere prin conexiuni prefereniale.

O implicaie major a acestui fapt este c apare un numr mic de vrfuri puternic conectate (hub-uri), n timp ce marea majoritate a vrfurilor are o conectivitate foarte mic. Reeaua este foarte sensibil la atacuri intenionate dac intele sunt aceste huburi, dar este foarte robust la atacuri aleatoare, n care vrfurile int sunt alese aleatoriu.Faptul c reelele sociale sunt libere de scal, ca i multe alte reele informaionale, tehnologice sau biologice demonstreaz existena unei similitudini uimitoare ntre sistemele adaptive complexe din natur, tehnic sau societate.

30