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C A P Í T U L O 5 Vigas sobre base elástica
UERJ – FEN – ESTR - Resistência dos Materiais IV – Luciano Lima
Este capítulo vai apresentar as bases para o estudo estático e elástico da
flexão simples de vigas suportadas diretamente pelo terreno (que constitui, então,
num apoio elástico contínuo para estas vigas), de trilhos de estradas de ferro
(suportados por dormentes que, devido à pequena distância entre estes em
relação ao comprimento total, podem ser considerados como um apoio elástico
contínuo), de estacas verticais submetidas a cargas horizontais em seu topo (o
terreno em contato com o fuste das estacas será o apoio elástico contínuo) e de
quaisquer outros tipos de peças cujos apoios elásticos possam, com precisão
satisfatória, ser considerados contínuos.
5.1. Vigas de comprimento infinito
O apoio elástico (solo) exerce sobre a viga, em cada seção, uma reação
de apoio proporcional ao deslocamento vertical y sofrido por esta seção, igual Ky ,
sendo K a constante de mola do meio elástico que serve de apoio.
A hipótese simples de que a reação contínua da base seja proporcional ao
afundamento, é uma aproximação satisfatória em muitos casos da prática
(exemplo das estradas de ferro – comprovação experimental).
Pela curva elástica da viga, tem-se a equação diferencial,
CAPÍTULO 5 Vigas sobre base elástica
UERJ – FEN – ESTR - Resistência dos Materiais IV – Luciano Lima
2
(1) qdx
ydEI
4
4
z
onde q representa a intensidade da carga que atua na viga.
Para um trecho sem carga, a única força que atua é a reação distribuída
continuamente do lado da base e que tem intensidade y.k sendo y.kq ,
y.kdx
ydEI
4
4
Z (2)
Fazendo 4
ZEI4
K a solução geral da equação acima pode ser escrita da
seguinte forma,
xsen.Dxcos.Cexsen.Bxcos.Aey xx (3)
Nos casos particulares, as constantes arbitrárias A, B, C e D da solução
devem ser determinadas por meio de condições em certos pontos.
5.1.1. Atuação de uma carga concentrada
Supondo, como exemplo, uma única carga concentrada atuando numa
viga infinitamente longa.
O → origem das coordenadas
Simetria → considera-se
apenas a metade da viga
P/2 M
CAPÍTULO 5 Vigas sobre base elástica
UERJ – FEN – ESTR - Resistência dos Materiais IV – Luciano Lima
3
Usando a solução geral (3) para este caso, determinam-se as constantes
arbitrárias.
Admitindo-se que o deslocamento vertical e as curvaturas, em pontos
infinitamente distantes da força P, são iguais a zero, tem-se A = B = 0.
Logo,
xsen.Dxcos.Cey x (4)
As constantes C e D devem ser determinadas pelas condições na origem,
ou seja, x = 0. Neste ponto, a linha elástica deve ter tangente horizontal,
0dx
dy
0X
(5)
Em (4) tem-se,
DC0DC0dx
dy
0xcos.Dxsen.Cxsen.Dxcos.Ce.0dx
dy
0X
x
A equação (4) torna-se:
xsenxcose.Cy x (6)
As derivadas consecutivas dessa equação são:
xsenCe2dx
dy x (7)
xcosxsenCe2dx
yd x2
2
2
(8)
xcosCe4dx
yd x3
3
3
(9)
CAPÍTULO 5 Vigas sobre base elástica
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4
A constante C pode ser obtida pela condição de que o cortante em x = 0, é
igual a 2
P para a parte a direita da viga. Para isso, torna-se necessário saber
que: EI
M
dx
yd2
2
, EI
V
dx
yd3
3
e EI
q
dx
yd4
4
.
2
P
dx
ydEI
dx
dM0Q
0X
3
3
z
0X
x
2
PC4.EI 3
Z Z
3EI8
PC
Logo nas equações (6) e (8) respectivamente, tem-se:
4
Z
x
Z3 EI4
K com xsenxcose.
EI8
Py
xsenxcoseK2
Py x
(equação dos deslocamentos) (10)
xcosxsene4
P
dx
ydEIM x
2
2
Z
(equação do momento) (11)
Para simplificar, tem-se as equações de funções auxiliares a seguir:
xsenxcose x (12)
xcosxsene x (13)
xcose x (14)
xsene x (15)
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0.0 2.0 4.0 6.0 8.0
x
-0.4
-0.20.0
0.20.4
0.60.8
1.01.2
0.0 2.0 4.0 6.0 8.0
x
CAPÍTULO 5 Vigas sobre base elástica
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5
Convenção de sinais: P e y → Positivos p/ baixo M e Q → Convenção clássica de sinais
comprimento de onda dado pelo período das funções cosβx e senβx
4 Z
k
EI42
2a
Que fornecem então:
xk2
Py
(16)
xk
P
dx
dy 2
(17)
x4
P
dx
ydEIM
2
2
Z
(18)
x2
P
dx
ydEIQ
3
3
Z (19)
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0.0 2.0 4.0 6.0 8.0
x
q
-0.1
0.00.1
0.10.2
0.20.3
0.30.4
0.0 2.0 4.0 6.0 8.0
x
CAPÍTULO 5 Vigas sobre base elástica
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6
A tabela apresentada a seguir auxilia no cálculo do deslocamento, da
curvatura, do momento e do cortante fornecendo os valores a serem substituídos
nas equações anteriores (16) e (19):
x
0.0 1.0000000 1.0000000 1.0000000 0.0000000
0.1 0.9906500 0.8099840 0.9003170 0.0903330
0.2 0.9650673 0.6397540 0.8024106 0.1626567
0.3 0.9266574 0.4888039 0.7077307 0.2189268
0.4 0.8784406 0.3563707 0.6174056 0.2610349
0.5 0.8230670 0.2414944 0.5322807 0.2907863
0.6 0.7628361 0.1430714 0.4529538 0.3098824
0.7 0.6997184 0.0599004 0.3798094 0.3199090
0.8 0.6353794 -0.0092784 0.3130505 0.3223289
0.9 0.5712047 -0.0657492 0.2527278 0.3184770
1.0 0.5083260 -0.1107938 0.1987661 0.3095599
1.1 0.4476462 -0.1456681 0.1509890 0.2966572
1.2 0.3898648 -0.1715847 0.1091401 0.2807248
1.3 0.3355022 -0.1896983 0.0729019 0.2626002
1.4 0.2849223 -0.2010955 0.0419134 0.2430089
CAPÍTULO 5 Vigas sobre base elástica
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7
1.5 0.2383548 -0.2067876 0.0157836 0.2225712
1.6 0.1959151 -0.2077057 -0.0058953 0.2018104
1.7 0.1576231 -0.2046986 -0.0235378 0.1811608
1.8 0.1234197 -0.1985322 -0.0375563 0.1609759
1.9 0.0931828 -0.1898908 -0.0483540 0.1415368
2.0 0.0667407 -0.1793794 -0.0563193 0.1230600
2.1 0.0438839 -0.1675272 -0.0618217 0.1057055
2.2 0.0243762 -0.1547917 -0.0652078 0.0895840
2.3 0.0079635 -0.1415636 -0.0668001 0.0747635
2.4 -0.0056182 -0.1281715 -0.0668948 0.0612766
2.5 -0.0166363 -0.1148875 -0.0657619 0.0491256
2.6 -0.0253561 -0.1019323 -0.0636442 0.0382881
2.7 -0.0320363 -0.0894809 -0.0607586 0.0287223
2.8 -0.0369259 -0.0776672 -0.0572966 0.0203707
2.9 -0.0402610 -0.0665895 -0.0534252 0.0131643
3.0 -0.0422629 -0.0563148 -0.0492888 0.0070260
3.1 -0.0431371 -0.0468834 -0.0450102 0.0018732
3.2 -0.0430722 -0.0383132 -0.0406927 -0.0023795
3.3 -0.0422395 -0.0306032 -0.0364214 -0.0058182
3.4 -0.0407935 -0.0237370 -0.0322652 -0.0085282
3.5 -0.0388713 -0.0176858 -0.0282785 -0.0105927
3.6 -0.0365941 -0.0124115 -0.0245028 -0.0120913
3.7 -0.0340674 -0.0078686 -0.0209680 -0.0130994
3.8 -0.0313823 -0.0040068 -0.0176946 -0.0136877
3.9 -0.0286160 -0.0007726 -0.0146943 -0.0139217
4.0 -0.0258332 0.0018894 -0.0119719 -0.0138613
4.1 -0.0230874 0.0040347 -0.0095264 -0.0135610
4.2 -0.0204215 0.0057180 -0.0073517 -0.0130698
4.3 -0.0178693 0.0069928 -0.0054383 -0.0124311
4.4 -0.0154564 0.0079099 -0.0037732 -0.0116831
4.5 -0.0132011 0.0085176 -0.0023417 -0.0108594
4.6 -0.0111158 0.0088611 -0.0011273 -0.0099884
4.7 -0.0092073 0.0089819 -0.0001127 -0.0090946
4.8 -0.0074781 0.0089183 0.0007201 -0.0081982
4.9 -0.0059270 0.0087048 0.0013889 -0.0073159
5.0 -0.0045499 0.0083725 0.0019113 -0.0064612
5.1 -0.0033400 0.0079489 0.0023044 -0.0056445
5.2 -0.0022890 0.0074582 0.0025846 -0.0048736
5.3 -0.0013871 0.0069216 0.0027672 -0.0041543
5.4 -0.0006236 0.0063569 0.0028666 -0.0034903
5.5 0.0000128 0.0057796 0.0028962 -0.0028834
5.6 0.0005336 0.0052023 0.0028679 -0.0023343
5.7 0.0009503 0.0046355 0.0027929 -0.0018426
5.8 0.0012744 0.0040876 0.0026810 -0.0014066
5.9 0.0015166 0.0035650 0.0025408 -0.0010242
6.0 0.0016874 0.0030726 0.0023800 -0.0006926
6.1 0.0017968 0.0026139 0.0022053 -0.0004086
6.2 0.0018538 0.0021910 0.0020224 -0.0001686
6.3 0.0018669 0.0018052 0.0018360 0.0000309
6.4 0.0018439 0.0014566 0.0016502 0.0001937
6.5 0.0017917 0.0011448 0.0014682 0.0003234
CAPÍTULO 5 Vigas sobre base elástica
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8
6.6 0.0017165 0.0008689 0.0012927 0.0004238
6.7 0.0016239 0.0006272 0.0011255 0.0004983
6.8 0.0015186 0.0004180 0.0009683 0.0005503
6.9 0.0014050 0.0002391 0.0008221 0.0005829
7.0 0.0012866 0.0000884 0.0006875 0.0005991
Exemplo 5.1 – Obter os deslocamentos verticais e os momentos fletores
atuantes sob os pontos de aplicação das cargas de 50kN indicadas abaixo para a
viga infinita cuja rigidez à flexão EI é igual a 104 kN.m2 e que se apóia sobre um
meio elástico cuja constante de mola é k = 4x104 kN/m2.
P1 = P2 = P3 = P4 = 50kN
Solução:
m1
m1
m.KN10.4
mKN10.4
EI4
K4
44
24
24
4
Escolhendo para origem do sistema de coordenadas a primeira das cargas
concentradas, tem-se a partir da tabela abaixo, empregando-se o princípio da
superposição dos efeitos, que:
P1 P2 P3 P4
βx 0 1 2 3
φ 1 0,5083 0,0667 -0,0423
ψ 1 -0,1108 -0,1794 -0,0563
m.kN17,8M0563,01794,01108,01
m1.4
kN50x
4
PM 00
CAPÍTULO 5 Vigas sobre base elástica
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9
m000957,00423,00667,05083,01m/kN10.4.2
m1.kN50
xk2
P0240
m.kN49,7M1794,01108,021
m1.4
kN50x
4
PM AA
m0013,00667,05083,02110.4.2
50x
k2
PA4A
Devido a simetria existente (pois a viga é infinita), os valores encontrados
para as seções O e A são também válidos para as seções O' e A',
respectivamente.
5.1.2. Atuação de uma carga uniformemente distribuída
Seja uma viga da figura abaixo submetida a uma carga uniformemente
distribuída
O deslocamento em C, produzido por um elemento qdx da carga é obtido
substituindo-se P por qdx na equação (11a),
xsenxcoseEI8
qdy x
Z3
x
O deslocamento em A provocado pela carga distribuída ao longo do
comprimento ℓ será:
a
0
b
0
x
Z3
x
Z3
xsenxcoseEI8
qdxxsenxcose
EI8
qdxy
bcoseacose2k2
qy ba (20)
CAPÍTULO 5 Vigas sobre base elástica
UERJ – FEN – ESTR - Resistência dos Materiais IV – Luciano Lima
10
Para valores de a e b grandes, os valores de e-βa e e-βb serão pequenos e
o deslocamento y será igual a aproximadamente q/k, ou seja, em pontos muito
afastados das extremidades da parte carregada da viga, a flexão da barra pode
ser desprezada e pode-se admitir que a carga uniformemente distribuída q é
transmitida diretamente à base elástica.
Comparando-se a equação (20) com a equação (10) e observando-se as
equações (12) a (15), tem-se,
ba2k2
qy (21)
bak2
q
dx
dy
(22)
ba4
qM
2
(23)
baq
Q
4
(24)
Supondo agora uma seção situada fora do trecho compreendido sob o
carregamento.
Seguindo-se o mesmo procedimento adotando anteriormente, tem-se,
bcoseacosek2
qydxxsenxcose
k2
qy ba
a
b
x
Logo, utilizando-se as equações (12) a (15), tem-se,
CAPÍTULO 5 Vigas sobre base elástica
UERJ – FEN – ESTR - Resistência dos Materiais IV – Luciano Lima
11
bak2
qy (25)
bak2
q
dx
dy
(26)
ba4
qM
2
(27)
ba4
(28)
5.1.3. Atuação de uma carga momento
Seja a viga infinita abaixo submetida à atuação de uma carga momento M0
aplicada na origem,
Pode-se fazer o problema recair no caso de carga concentrada
substituindo-se a carga momento M0 por um binário com a tendendo para zero.
a
xaxlim
k2
Pay
axxk2
Plimy
0ax
0ax
Entretanto, sabe-se que,
h
xfhxflim
0h é a definição de derivada.
xk
Mx2
k2
My
dx
xd
k2
My
200
x
0x
CAPÍTULO 5 Vigas sobre base elástica
UERJ – FEN – ESTR - Resistência dos Materiais IV – Luciano Lima
12
xk
My
20
x
(29)
xk
M
dx
dy 30
(30)
x2
MM 0
x (31)
x2
MQ 0
x
(32)
Exemplo 5.2 – Obter o deslocamento e o momento fletor no ponto A da
viga infinita abaixo sabendo-se que EI = 344x109 N.mm2 e β = 6,3 x 10-4 mm-1.
CAPÍTULO 5 Vigas sobre base elástica
UERJ – FEN – ESTR - Resistência dos Materiais IV – Luciano Lima
13
Solução:
1) Carga concentrada P=10kN
xk2
PyP
A
x4
PMP
A
4
EI
K EI4k 4
29
44
mm.N10x344x4xmm
10x3x6k
2mm/N217,0k
Ponto A → 0x
217,02
10x3,6x10x10y
43PA
mm53,14yPA
4
3PA
10x3,6x4
1x10x10M
m.kN97,3MP
A
2) Carga distribuída
ba2k2
qyq
A
9003,07077,02217,0x2
35yq
A
mm61,31yqA
ba4
qM
2
qA
0903,02189,0
10x3,6x4
35M
24
qA
m.kN82,6MqA
19,476x10x13,6a 4
30,0a
73,158x10x3,6b 4
10,0b
0903,0b
2189,0a
9003,0b
7077,0a
a b
A
x
q = 35 N/mm
M = 10 kN.m
10kN
CAPÍTULO 5 Vigas sobre base elástica
UERJ – FEN – ESTR - Resistência dos Materiais IV – Luciano Lima
14
5.2. Vigas semi-infinitas
5.2.1. Vigas semi-infinitas com bordo livre
Seja a viga semi-infinita acima, submetida ao carregamento indicado, que
se deseja resolver. Procura-se então a maneira pela qual pode-se fazer com que
sua resolução recaia na solução de uma viga infinita (problema resolvido
anteriormente).
Para resolver a viga infinita acima (sem M0 e P0) considera-se sua
diferença estática da viga semi-infinita como sendo a existência em A, de um
momento fletor MA e de um esforço cortante QA que mantém a continuidade entre
os trechos semi-infinitos da viga à esquerda e à direita de A. Se MA=QA=0,
equivale dizer que não existe ação estática da parte (carregada) da viga à direita
de A sobre a parte (descarregada) da viga a esquerda de A, que não estaria,
então, trabalhando. Deste modo, fazendo desaparecer MA e QA para a viga
infinita, sua resolução será idêntica a da viga semi-infinita inicial.
Isto pode facilmente ser conseguido aplicando-se à viga infinita, em Aesq,
uma carga vertical P0 e um momento M0 tais que promovam o aparecimento, em
CAPÍTULO 5 Vigas sobre base elástica
UERJ – FEN – ESTR - Resistência dos Materiais IV – Luciano Lima
15
A, de um momento fletor (-MA) e de um esforço cortante (-QA) que tornem inativa
a parte da viga infinita à esquerda de A.
Desta forma,
A00
A00
Qx2
Mx
2
P
Mx2
Mx
4
P
(com x = 0)
Obtendo-se então,
AA0
AA0
QM22
M
QM.4P
Assim, a resolução da viga semi-infinita será a resolução da viga infinita
submetida ao carregamento da semi-infinita, acrescido das cargas P0 e M0
definidas acima, atuantes em Aesq.
Exemplo 5.3 – Resolver a viga semi-infinita abaixo:
Solução:
2
Px
2
PQ
4
Px
4
PM
A
A
0x
A fim de evitar problemas com condições de contorno, supõe-se P aplicado em ADIR, para determinação de P0 e M0.
CAPÍTULO 5 Vigas sobre base elástica
UERJ – FEN – ESTR - Resistência dos Materiais IV – Luciano Lima
16
Substituindo-se nas equações (33) e (34)
2
P
4
P4P0
P3P0
PPM
2
P
4
P2
2Q 0A
P2M0
Logo
xPx2
P2x
2
P4Q
xP
x2
1P2x
4
P4M
xk
P2
dx
dy
xk
P2x
k
P4
dx
dy
xk
P2x
k
P2x
k
P2y
xk
P2x
k2
P4y
2
32
2
P+P0 M0
P+3P 2P/
CAPÍTULO 5 Vigas sobre base elástica
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17
Exemplo 5.4 – Para a viga semi-infinita abaixo, submetida ao carregamento
indicado, obter o momento fletor sob o ponto de aplicação da carga P.
Solução:
O momento fletor pedido pode ser obtido a partir da viga infinita abaixo
onde P0 e M0 podem ser obtidos através das equações (33) e (34)
a4
PMA
e a
2
PQA
aP2aPa2
Pa
4
P4P0
a2aPP0
aP
aP
a2
Pa
4
P2
2M0
aaP
M0
Logo, o momento atuante sob a carga P, aplicando-se o princípio da
superposição dos efeitos será,
aaa2
Paa2a
4
P0
4
PMB
a2a14
PM 22
B
M0
P0
a
P
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19
5.3. Vigas Finitas
5.3.1. Caso de bordos livres
As cargas M0A, P0A, M0B e P0B são aplicadas em Aesq e Bdir
respectivamente. As partes à esquerda de A e à direita de B das vigas infinitas
ficam inertes.
Sendo então QA, MA, QB e MB os esforços cortantes e momentos fletores
atuantes, na viga infinita, nas seções A e B, devidos ao mesmo carregamento
que o aplicado na viga finita, as cargas POA, MOA, POB e MOB devem satisfazer às
condições:
BB0A0B0A0
BB0A0B0A0
AB0oAB0A0
AB0A0B0A0
Q02
M
2
M0
2
P
2
P
M02
M
2
M0
4
Pl
4
P
Q2
M0
2
M
2
P0
2
P
M2
M0
2
M
4
P0
4
P
Hetényi propôs um artifício de combinação de cargas transformando o
sistema de 4 equações com 4 incógnitas em 2 sistemas independentes de 2
equações e 2 incógnitas.
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20
a) Caso simétrico (M=Q=0 em A e B e SAM e
SAQ )
SA
S0
S0
SA
S0
S0
Q02
M0
2
P
M02
M0
4
P
Solução:
1M21QEs2
M
1M1QEs4P
SA
SA
S0
SA
SA
S0
Onde
senRsen2
eE
11112
1E
S
S
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21
b) Caso anti-simétrico
1M21QEa2
M
1M1QEa4P
aA
aA
a0
aA
aA
a0
Onde
sensenh2
eEa
11112
1Ea
Exemplo 5.4 – Calcular o deslocamento vertical e o momento fletor sob a
carga P para a viga finita de bordos livres com βℓ = 1.
Solução:
Como o carregamento é simétrico, deve-se utilizar apenas as equações da
parte simétrica obtidas anteriormente.
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22
22
PQS
A
e
24
PMS
A
dados por:
1
24
P1
22
PEs4PS
0
1
22
P1
22
PEs
2MS
0
como 1 , P45,0M
P94,0P
S0
S0
Empregando-se o princípio da superposição dos efeitos, tem-se:
22
M2
24
P20
4
PM
2k
M2
2k2
P20
K2
Py
S0
S0
c
2S0
S0
c
como 1
4cEJ4
P01,1
k
P01,1y
EJ
P25,0y
3
c
P13,0Mc