C alculo I - docentes.uto.edu.bodocentes.uto.edu.bo/ablancob/wp-content/uploads/calculus1.pdf · Los cambios vienen con el uso de una metodolog a de ensenanza~ en particular que usa

Calculo I

Armengol Blanco BenitoFacultad Nacional de IngenierıaDepartamento de Matematicas

27 de octubre de 2018

ii

Prefacio

Este apunte nace ante de la necesidad de proporcionar a los alumnos de Calculo I una ayudapara clarificar y aplicar los conceptos expuestos en clases.

Es un compendio de la asignatura. Se consultaron varios textos clasicos de Calculo Diferenciale Integral y Geometrıa Analıtica.

El Calculo tiene una vigencia de mas 3 siglos, desde Newton(1642-1727) y Leibniz (1646-1716),considerados como los padres del Calculo, sus enfoques y conceptos son distintos, pero llegan basi-camente a los mismos resultados, un calculo algo distinto del que se usa ahora.

No se pretende ser original en cuanto al contenido tematico, el calculo diferencial e integral es unalgoritmo general que vale para todas expresiones analıticas, hasta la actualidad no sufrio cambiosprofundos, tal vez en la forma de enfocar y presentar los temas.

Los cambios vienen con el uso de una metodologıa de ensenanza en particular que usa asistentesmatematicos, tales como: MathCAD, Derive, Matlab y otros.

Por otra parte, se pretende satisfacer los intereses, tanto de los alumnos que estudian ingenierıacomo de los que quisieran dedicarse a las matematicas puras.

A lo largo del texto, se incluyen ejemplos resueltos para clarificar y aplicar los conceptos ex-puestos.

La edicion del texto, se preparo en el ambiente LATEX 2ε mediante el editor TexMaker y lasgraficas se realizaron en Derive c© 6.

Armengol Blanco Benito

Indice general

1. Introduccion Teorica 1

1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Numeros Reales, R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2.1. Numeros Naturales, N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2.2. Numeros Enteros, Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2.3. Numeros Racionales, Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2.4. Numeros Irracionales, Q′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Recta Numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4. Concepto de Cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4.1. Cuerpo de los Numeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5. Leyes usuales de la aritmetica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.6. Axiomas de Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.7. Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.7.1. Reglas para Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.8. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.8.1. Intervalos Acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.8.2. Intervalos Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.9. Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.9.1. Propiedades del Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.10. Vecindades y Entorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.11. Punto de Acumulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.12. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.12.1. Diversas Formas de Expresion de una Funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.12.2. Funciones Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.12.3. Funciones Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.12.3.1. Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.12.3.2. Funcion parte Entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.12.3.3. Funcion signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.12.4. Composicion de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.12.5. Funcion Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.12.5.1. Funcion Inyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.12.5.2. Funcion Sobreyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.12.5.3. Funcion Biyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.13. Clases de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.14. Funciones Acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.14.1. Operaciones Algebraicas con Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.15. Sistema de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.15.1. Sistema Rectangular de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.15.1.1. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

iii

iv INDICE GENERAL

1.15.1.2. Punto Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.15.2. Sistema de Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.15.3. Transformacion de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.16. Lınea Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.16.1. Formas de la Ecuacion de la Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.16.1.1. Reduccion de la Forma General a Normal . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.16.2. Distancia de un Punto a una Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.17. Secciones Conicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.17.1. Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.17.2. Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.17.3. Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.17.4. Hiperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.17.5. Transformacion de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.18. Lectura Recomendada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.18.1. Axiomas de Cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.18.2. Relacion, Funcion, Aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2. Lımites y Continuidad de las Funciones 35

2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2. Sucesion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3. Lımite de una Sucesion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4. Lımite de una Funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4.1. Lımites Laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4.2. Lımite de la Funcion cuando x→∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.5. Infinitesimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.6. Teoremas Fundamentales sobre Lımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.7. Lımites Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.8. Continuidad de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.8.1. Puntos de Discontinuidad de una Funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3. Derivadas y Diferenciales 45

3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2. Definicion de la Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3. Interpretacion Geometrica de la Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4. Velocidad del Movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.5. Reglas de Derivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.6. Derivada de Funciones Compuestas: Regla de la Cadena . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.7. Derivada de Funciones Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.8. Derivada de Funciones Parametricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.9. Derivada de una Funcion Implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.10. Derivada de Funciones Hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.11. Diferencial de una Funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.12. Derivada de Orden Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.12.1. Formula de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.13. Formula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.14. Regla de L’Hopital-Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.15. Aplicaciones Geometricas de la Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4. Teorema del Valor Medio, Extremos 57

4.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

INDICE GENERAL v

4.2. Teoremas del Valor Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3. Puntos Crıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.4. Puntos de Inflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.5. Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.6. Asıntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.7. Formula de Interpolacion de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.8. Aplicaciones de la Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.8.1. Graficar una Funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.8.1.1. Pasos para Graficar una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.8.2. Problemas de Optimizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5. Integrales 69

5.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.2. Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.3. Reglas Fundamentales de Integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.3.1. Metodo de Sustitucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.3.2. Integracion por Simple Inspeccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.4. Integracion por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.5. Integracion de Fracciones Racionales Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.6. Descomposicion de una Fraccion Racional Propia en Fracciones Simples . . . . . . . 74

5.6.1. Casos de Descomposicion en Fracciones Parciales . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.7. Integracion de Fracciones Irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.8. Integracion de Integrales Binomias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.9. Integracion por Sustitucion de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.10. Integrales Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.10.1. Estrategia para calcular∫

cosn xdx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.10.2. Estrategia para Calcular∫

senm xdx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85


senm x cosn xdx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86


tanm x secn xdx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.10.5. Estrategia para Calcular a)∫

senmx cosnxdx, b)∫

senmx sennxdxo c)

∫cosmx cosnxdx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.10.6. Substituciones Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.11. Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.11.1. Integral de Reimann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.11.2. Cambio de Variable en una Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.12. Integrales Impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.13. Aplicaciones de la Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.13.1. Calculo de Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.13.2. Pasos para el Calculo de areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.13.3. Calculo de Volumenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.13.4. Volumen de un Solido de Revolucion: Metodo de discos . . . . . . . . . . . . 93

5.13.5. Volumen de un Solido de Revolucion: Metodo de los cilindros . . . . . . . . . 93

5.13.6. Calculo de Longitud de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.13.7. Calculo de Centros de Gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.13.8. Calculo de Lımites de Sumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6. Series 99

6.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.2. Sucesion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.3. Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

vi INDICE GENERAL

6.4. Algunos Tipos de Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.4.1. Serie Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.4.2. Serie Armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.4.3. Serie Telescopica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.5. Series de Terminos Positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.5.1. Condicion Necesaria de Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.5.2. Criterios de Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.5.2.1. Criterio de la Raız o de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.5.2.2. Criterio del Cociente o de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.5.2.3. Criterio de Comparacion Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.5.2.4. Criterio de Comparacion por Paso al Lımite . . . . . . . . . . . . . 1026.5.2.5. Criterio de Pringsheim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.5.2.6. Criterio de Raabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.5.2.7. Criterio de la Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.6. Series Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.6.1. Criterio de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.6.2. Convergencia Condicional y Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.6.2.1. Convergencia Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.6.2.2. Convergencia Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.7. Series de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.7.1. Intervalo de Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.7.2. Operaciones con Series de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.7.3. Diferenciacion e Integracion termino a termino de Series de Potencias . . . . 106

Indice de cuadros

4.1. Aproximacion sucesiva en cada iteracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.2. Aproximacion sucesiva. Primera solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.3. Aproximacion sucesiva. Segunda solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.1. Sustituciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

vii

viii INDICE DE CUADROS

Indice de figuras

1.1. Recta Numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Entorno de p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. p es un punto de acumulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4. El numero 2, es un punto de acumulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5. Diagrama de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6. Grafica de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.7. Graficas de la funcion potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.8. Graficas de la funcion potencial: a < 0; a ∈ Z− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.9. Graficas de la funcion potencial: a fraccionario positivo . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.10. Graficas de la funcion potencial: a fraccionario negativo . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.11. Graficas de la funcion exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.12. Graficas de la funcion logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.13. Graficas de funcion seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.14. Graficas de funcion coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.15. Graficas de funcion tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.16. Familia de rectas con b=0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.17. Familia de rectas con m=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.18. Grafica de la funcion cuadratica, a > 0, raıces reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.19. Grafica de la funcion cuadratica, a > 0, raıces complejas . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.20. Grafica de la funcion cuadratica, a < 0, raıces reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.21. Grafica de la funcion cuadratica, a < 0, raıces complejas . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.22. Grafica funcion cubica a > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.23. Grafica funcion cubica a < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.24. Grafica funcion par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.25. Grafica funcion impar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.26. Grafica funcion constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.27. Grafica de la funcion valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.28. Grafica de la funcion parte entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.29. Grafica de la funcion signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.30. Diagramas de Venn de la composicion de funciones: g ◦ f . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.31. Ecuacion normal de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.32. Distancia del punto P1(x1, y1) a la recta L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.33. Circunferencia con centro en C(h, k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.34. Parabola con vertice en el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.35. Elipse con centro en el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.36. Hiperbola con centro en el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.37. Traslado de ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.38. Rotacion de ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

ix

x INDICE DE FIGURAS

2.1. Representacion de la sucesion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2. Lımite de la sucesion de ejemplo(2.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3. Lımite de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4. Lımites laterales de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.5. La funcion senx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1. Interpretacion geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.2. Velocidad instantanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3. Recta tangente y normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.4. Angulo entre curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.1. Grafica de la funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2. Grafica de la funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.3. Grafica de la funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.4. Grafica de la funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.5. Grafica de la funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.6. Esquema del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.7. Lata de 250cm3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.1. Area bajo la curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.2. Rectangulo vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.3. Rectangulo horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.4. Aproximacion de arco por diferenciales de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.5. Diferencial de area: Rectangulo vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.6. Diferencial de area: Rectangulo horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.7. Centro de gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Capıtulo 1

Introduccion Teorica

1.1. Introduccion

En el presente capıtulo se trata del cuerpo de los numeros reales, funciones y la geometrıaanalıtica plana.

1.2. Numeros Reales, R

Unos de los conceptos mas importantes de las matematicas, es el conjunto de los numeros reales.

El concepto de numero surge en la antiguedad, se amplia y generaliza con el tiempo.

R = {x|x es un numero real}

1.2.1. Numeros Naturales, N

Los numeros naturales son numeros enteros positivos: 1, 2, 3, 4, 5, . . ., son sımbolos abstractospara indicar cuantos objetos hay en una coleccion o conjunto de elementos discretos.

N = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}

1.2.2. Numeros Enteros, Z

El conjunto Z, incluye tanto a los enteros positivos como los negativos y el numero cero, el cualno es ni negativo ni positivo.

Z = {. . . ,−6,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .}

1.2.3. Numeros Racionales, Q

Los numeros racionales, son los numeros enteros y fraccionarios. Todo numero racional puedeexpresarse como la razon, mn de dos numeros enteros m y n para n 6= 0.

Q = {x =m

n; m, n ∈ Z}

Los numeros racionales pueden expresarse en forma de fracciones decimales finitas o periodicasinfinitas.

Todos los numeros reales tienen una representacion decimal. Los numeros racionales, tienen surepresentacion decimal periodica. Por ejemplo:

1

2 CAPITULO 1. INTRODUCCION TEORICA

1

2= 0,50000 . . . = 0,50

1

3= 0,333333 . . . = 0.3 (1.1)

157

495= 0,317171717 . . . = 0,317 (1.2)

9

7= 1,285714285714 . . . = 1.285714 (1.3)

1.2.4. Numeros Irracionales, Q′

Los numeros irracionales, son numeros en forma de fracciones decimales indefinida, no periodicay que no puede expresarse como la razon de dos numeros enteros.

Q′ = {. . . , −√

3,−π,√

2, π, e, . . .}

1.3. Recta Numerica

La recta numerica, se denomina tambien eje numerico, es la representacion grafica de los numerosreales como puntos de una recta, es una recta infinita. La recta numerica permite visualizar, sobretodo, las relaciones de orden.

Figura 1.1: Recta Numerica

En la Fig. (1.1), se tiene la grafica de la recta numerica.

1.4. Concepto de Cuerpo

Definicion 1.1 Un cuerpo es un conjunto F en el que hay definidas dos operaciones + : F × F →F, · : F × F → F (suma y producto, respectivamente) y dos elementos 0 6= 1 que cumplen laspropiedades siguientes:

I) (F,+) es un grupo abeliano: si x, y, z ∈ F se tiene

i) x+ y = y + x (propiedad conmutativa)

ii) (x+ y) + z = x+ (y + z) (propiedad asociativa)

iii) x+ 0 = x,∀x ∈ F (elemento neutro o cero)

iv) ∀x ∈ F,∃y ∈ F tal que x+ y = 0 (inverso respecto de la suma)

II) (F \ {0}, ·) es un grupo abeliano: si x, y, z ∈ F se tiene

v) x · y = y · x (propiedad conmutativa)

vi) (x · y) · z = x · (y · z) (propiedad asociativa)

vii) 1 · x = x,∀x ∈ F (elemento neutro o unidad)

viii) ∀x ∈ F con x 6= 0, ∃y ∈ F tal que x · y = 1 (inverso respecto del producto)

1.5. LEYES USUALES DE LA ARITMETICA. 3

III) Propiedad distributiva del producto respecto de la suma:

ix) x · (y + z) = x · y + x · z, ∀x, y, z ∈ FEn lo que sigue, se escribira xy en lugar de x · y.

1.4.1. Cuerpo de los Numeros Reales

El conjunto de los numeros reales en donde se define las operaciones de adicion y multiplicacion,es un cuerpo conmutativo. Y se cumplen los siguientes axiomas:

Definicion 1.2 Axioma: Un axioma, es un principio o sentencia tan claro que no necesita ex-plicacion ni demostracion, es una verdad evidente.

Sean x, y, z numeros reales

Axioma 1.1 Propiedad Conmutativax+ y = y + x; xy = yx

Axioma 1.2 Propiedad Asociativax+ (y + z) = (x+ y) + z ; x(yz) = (xy)z

Axioma 1.3 Propiedad Distributivax(y + z) = xy + xz

Axioma 1.4 Existencia de elementos neutros 0, 10 + x = x+ 0 = x; 1x = x1 = x

Axioma 1.5 Existencia de negativos.∀x ∈ R, ∃y ∈ R , tal que

x+ y = y + x = 0

Es decir: y = −x

Axioma 1.6 Existencia del recıproco.∀x ∈ R, ∃y ∈ R , tal que

xy = yx = 1

Es decir: y = 1x

1.5. Leyes usuales de la aritmetica.

Definicion 1.3 Teorema: Un teorema, es una proposicion que exige demostracion.

Sean a, b, c, d numeros reales

Teorema 1.1 Ley de simplificacion para la suma.Si a+ b = a+ c, entonces b = c

Teorema 1.2 Posibilidad de la sustraccion.Dados a y b existe uno y solo un x tal que a + x = b: Este x se designa por b − a (si b = 0,

0− a = −a negativo)

Teorema 1.3 b− a = b+ (−a)


Teorema 1.4 −(−a) = a

Teorema 1.5 a(b− c) = ab− ac

Teorema 1.6 0a = a0 = 0

Teorema 1.7 Ley de simplificacion para la multiplicacion.Si ab = ac y a 6= 0, entonces b = c

Teorema 1.8 Posibilidad de la division.Dados a y b con a 6= 0 existe uno y solo un x tal que ax = b, se designa por b

a y se denomina

cociente de b y a (1a = a−1 recıproco de a)

Teorema 1.9 Si a 6= 0, ( ba = ba−1)

Teorema 1.10 Si a 6= 0, (a−1)−1 = a

Teorema 1.11 Si ab = 0 entonces a = 0 o b = 0

Teorema 1.12 (−a)b = −(ab) y (−a)(−b) = ab

Teorema 1.13 abcd

= acbd

si b 6= 0 y d 6= 0

Teorema 1.14

a

bcd

= adbc

si b 6= 0, c 6= 0 y d 6= 0

Teorema 1.15 ab

+ cd

= ad+ bcbd

; si b 6= 0, d 6= 0

1.6. Axiomas de Orden

Ordenacion entre los numeros reales

Axioma 1.7 Si x, y son positivos, tambien lo son x+ y, xy

Axioma 1.8 Para cada numero real x 6= 0, x es positivo o x es negativo, pero no ambos.

Axioma 1.9 El numero 0 no es positivo

1.7. Desigualdades

Las desigualdades son expresiones donde dos terminos se comparan por medio de sımbolosparticulares, por esto, las desigualdades tambien se le llaman inecuaciones. La solucion de unadesigualdad se da por un intervalo.

1.8. INTERVALOS 5

1.7.1. Reglas para Desigualdades

x < y Significa que y − x es positivo

Teorema 1.16 Para los numeros reales a y b, se verifica una y sola una de las tres relaciones:a < b, b < a, a = b

Teorema 1.17 Propiedad Transitiva.Si a 0 es ac < bc

Teorema 1.20 Si a 6= 0 es a2 > 0

Teorema 1.21 1 > 0

Teorema 1.22 Si a bc

Teorema 1.23 Si a −b

Teorema 1.24 Si ab > 0 entonces a y b son positivos o ambos negativos

Teorema 1.25 Si a < c y b < d entonces a+ b < c+ d

1.8. Intervalos

Los intervalos son subconjuntos de numeros reales.

1.8.1. Intervalos Acotados

A1 = {x | 0 ≤ x ≤ 1}A2 = {x | 2 < x < 5}A3 = {x | 1 < x ≤ 2}A4 = {x | − 1 ≤ x < 0}Otra forma de representar los intervalos:A1 = [0, 1]A2 = ]2, 5[= (2, 5)A3 = ]1, 2] = (1, 2]A4 = [−1, 0[= [−1, 0)

1.8.2. Intervalos Infinitos

A = {x|x > 1} = (1,∞)B = {x|x ≥ 2} = [2,∞)

1.9. Valor Absoluto

Definicion 1.4 Siendo x ∈ R, se llama valor absoluto de x, lo que se denota por |x|, a:

|x| ={

+x : x ≥ 0−x : x < 0


La interpretacion geometrica del valor absoluto de x, es la distancia del numero x al origen dela recta numerica. La distancia entre a y b, es: |a− b| = |b− a|.

El valor absoluto se comporta de manera adecuada con la multiplicacion y la division, pero noası con la suma y la resta.

1.9.1. Propiedades del Valor Absoluto

Teorema 1.26 ∀x, x ∈ R: |x| ≥ 0

Teorema 1.27 Si x ∈ R y |x| = 0 entonces x = 0

Teorema 1.28 Si x ∈ R, y ∈ R entonces |x · y| = |x||y|

Teorema 1.29 ∀x, x ∈ R: | − x| = |x|

Teorema 1.30 Si x ∈ R, y ∈ R, y 6= 0 entonces∣∣∣xy

∣∣∣ =|x||y|

Teorema 1.31 ∀x, x ∈ R: |x|2 = x2

Teorema 1.32 Sea x ∈ R y k ∈ R, k > 0 entonces: |x| = k ⇐⇒ x = k o x = −k

Teorema 1.33 Sea x ∈ R y k ∈ R, k > 0 entonces: |x| < k ⇐⇒ −k < x < k

Teorema 1.34 Sea x ∈ R y k ∈ R, k > 0 entonces: |x| > k ⇐⇒ x > k o x < −k

Teorema 1.35 Sea x ∈ R y k ∈ R, k > 0 entonces:

1. |x| ≤ k ⇐⇒ −k ≤ x ≤ k

2. |x| ≥ k ⇐⇒ x ≥ k o x ≤ k

Teorema 1.36 ∀x, x ∈ R: −|x| ≤ x ≤ |x|

Teorema 1.37 (Desigualdad triangular) Si x ∈ R, y ∈ R, entonces |x+ y| ≤ |x|+ |y|

Teorema 1.38 Si x ∈ R, y ∈ R, entonces |x− y| ≤ |x|+ |y|

Teorema 1.39 Si x ∈ R, y ∈ R, entonces |x| − |y| ≤ |x+ y|

Teorema 1.40 Si x ∈ R, y ∈ R, entonces |x| − |y| ≤ |x− y|

1.10. Vecindades y Entorno

Dados dos numeros reales a y b con a < b dan lugar a intervalos cerrados [a, b] (Dados pora ≤ x ≤ b) e intervalos abiertos ]a, b[ (dados por a < x < b).

Sea p ε [a, b] y todo r pequeno, entonces p−r < x < p+r es un intervalo vecindad o entorno]p− r, p+ r[

En la Fig. (1.2), se muestra la grafica del entorno de p.

Definicion 1.5 Entorno de un Punto: Dado p ∈ R, se denomina entorno de p a todo conjuntoV ⊆ R para el que exista algun r > 0 de manera que V contenga al intervalo (p−r,p+r).

Definicion 1.6 Entorno reducido: Si V es un entorno de p, se dice que el conjunto V \ {p} esun entorno reducido de p.

1.11. PUNTO DE ACUMULACION 7

Figura 1.2: Entorno de p

1.11. Punto de Acumulacion

Definicion 1.7 Punto de acumulacion: Sea A ⊆ R, p ∈ R; p es un punto de acumulacionde A si todo entorno reducido de p contiene puntos de A.

Definicion 1.8 Sea A ⊆ R. Se dice que p ∈ R es un punto de acumulacion de A cuando paratodo r > 0 se tiene que

A ∩ ((p− r, p+ r) \ {p}) 6= φ

Figura 1.3: p es un punto de acumulacion

En la Fig. (1.3), se muestra la ilustracion del punto de acumulacion, p.

Ejemplo 1.1 El punto 2 es un punto de acumulacion del intervalo (1,2).

Figura 1.4: El numero 2, es un punto de acumulacion

En la Fig. (1.4), se presenta la solucion grafica del ejemplo (1.1).

Teorema 1.41 Sean A ⊆ R y p ∈ R. Entonces p es un punto de acumulacion de A si y solo sitodo entorno de p contiene infinitos puntos de A.

Corolario 1.1 Un conjunto finito no tiene puntos de acumulacion.

Observacion 1.1 Es importante aclarar que el hecho de que p sea un punto de acumulacion de Ano implica que p este en A.

1.12. Funciones

Definicion 1.9 f es un funcion de A y B si y solo si f es una relacion entre A y B, tal que todoelemento de A tiene un unico elemento correspondiente en B.

f : A→ B

donde:


A es el dominio de f , es el conjunto de existencia de la misma, es decir, los elementos para loscuales la funcion esta definida.

B es el codominio de f , es el conjunto imagen de la misma, es decir, los valores que toma f .Tambien se denomina rango de la funcion f .

Ejemplo 1.2 Sean A = {−1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4}f es la aplicacion definida por:(x, y) ∈ f ⇔ y = x2; x ∈ A, y ∈ Bf = {(−1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)}En la Fig. (1.5), se muestra el diagrama de Venn de la funcion f .

Figura 1.5: Diagrama de Venn

Definicion 1.10 Funcion. f es una funcion de A en B si y solo si f es un subconjunto de A×Bque satisface las siguientes condiciones de existencia y unicidad:

∀a ∈ A, ∃b ∈ B |(a, b) ∈ f

Si (a, b) ∈ f ∧ (a, c) ∈ f ⇔ b = c

Si (a, b) ∈ f , b es el correspondiente o imagen de a, se denota por f :

b = f(a) ’b es funcion de a’

Una cantidad y es funcion de otra x, si cada valor de x tiene un valor unico de y relacionadocon el. Se dice que y es el valor de la funcion o la variable dependiente y es el argumento o variableindependiente:

y = f(x)

El dominio de una funcion es un conjunto de posibles valores de la variable independiente y elrango es el conjunto correspondiente de los valores de la variable dependiente.

1.12.1. Diversas Formas de Expresion de una Funcion

a) Funciones dadas en forma tabular

Por ejemplo la temperatura ambiente dada por un centro meteorologico

t 0 1 2 3 4 5 6 . . . 8 9 10 12 13 Horas

T 5 5 4 3 3 2 2 . . . 5 6 15 17 17 Grados

b) Representacion Grafica de funciones

Se llama grafica de una funcion al conjunto de puntos del plano xy cuyas abscisas son los valoresde la variable independiente y las ordenadas, las correspondientes de la funcion.

En la Fig. (1.6), se muestra la grafica de la funcion.

1.12. FUNCIONES 9

Figura 1.6: Grafica de una funcion

c) Representacion Analıtica de funciones

Las funciones, tambien se pueden representar mediante expresiones matematicas de la forma:

y = x4 − 2

y =√

1− x2

y =3x3 + x2 + 4x+ 5

4x5 + x3 + 3x+ 220 sen(x+ 2)

1.12.2. Funciones Elementales

a) Funcion Potencial y = xa ; a es numero real

1.- a es entero positivo

En la Fig. (1.7), se muestra las graficas de la funcion potencial para a = 1, 2, 3.

2.- a es entero negativo

En la Fig. (1.8), se muestra las graficas de la funcion potencial para a = −1,−2,−3.

3.- a es un numero racional fraccionario positivo

En la Fig. (1.9), se muestra las graficas de la funcion potencial para a = 1/2, 1/3 y a = 4/3.

4.- a es un numero racional fraccionario negativo

En la Fig. (1.10), se muestra las graficas de la funcion potencial para a = −1/3 y a = −8/5.

b) Funcion Exponencial

y = ax; a > 0; a 6= 1

En la Fig. (1.11), se muestra las graficas de la funcion exponencial para a = 2, 5 y a = 1/2, 1/5.


Figura 1.7: Graficas de la funcion potencial

Figura 1.8: Graficas de la funcion potencial: a < 0; a ∈ Z−

Figura 1.9: Graficas de la funcion potencial: a fraccionario positivo

c) Funcion Logaritmo y = logax; a > 0; a 6= 0

En la Fig. (1.12), se muestra las graficas de la funcion logaritmo: a = 10 y a = e. Las que sedenominan: logaritmo decimal y logaritmo natural.

d) Funcion Trigonometrica Las funciones trigonometricas son funciones periodicas, que se repiten

1.12. FUNCIONES 11

Figura 1.10: Graficas de la funcion potencial: a fraccionario negativo

Figura 1.11: Graficas de la funcion exponencial

Figura 1.12: Graficas de la funcion logaritmo

cada periodo T .

Definicion 1.11 Funcion Periodica: Sea f una funcion definida en R, se dice que f es unafuncion periodica de periodo T (T ∈ R\{0}) si para cada x ∈ R se cumple f(x+T ) = f(x) (su


grafica se puede obtener por traslacion reiterada de la grafica en cualquier intervalo de longitud—T—).

1.- Funcion Seno

y = a · sen(bx+ c)

donde:

a Amplitud

b Determina el periodo: T = 2πb

c Desfase

Figura 1.13: Graficas de funcion seno

En la Fig. (1.13), se muestra las graficas de la funcion seno.

2.- Funcion Coseno

y = a · cos(bx+ c)

Figura 1.14: Graficas de funcion coseno

En la Fig. (1.14), se muestra las graficas de la funcion coseno.

3.- Funcion Tangente

y = a · tan(bx+ c)

En la Fig. (1.15), se muestra las graficas de la funcion tangente.

1.12. FUNCIONES 13

Figura 1.15: Graficas de funcion tangente

e) Familia de funciones lineales

y = ax+ b

En la Fig. (1.16), se muestra las graficas de la funcion y = ax+ b con b = 0. En la Fig. (1.17),

Figura 1.16: Familia de rectas con b=0

se muestra las graficas de la funcion y = ax+ b con a = m = 1.

f) Funciones algebraicas (funciones no lineales)

1.- Funcion cuadraticay = ax2 + bx+ c

En la Fig. (1.18), se muestra las graficas de la funcion cuadratica y = 2x2 + x− 1.

En la Fig. (1.19), se muestra las graficas de la funcion cuadratica y = 2x2 − 2x+ 6.

En la Fig. (1.20), se muestra las graficas de la funcion cuadratica y = −3x2 − 32x+ 3

2.

2.- Funcion de tercer gradoy = ax3 + bx2 + cx+ d


Figura 1.17: Familia de rectas con m=1

Figura 1.18: Grafica de la funcion cuadratica, a > 0, raıces reales

Figura 1.19: Grafica de la funcion cuadratica, a > 0, raıces complejas

3.- Funciones racionales

y =anx

n + an−1xn−1 + . . . + a1x+ a0

bmxm + bm−1xm−1 + . . . + b1x+ b0

1.12. FUNCIONES 15

Figura 1.20: Grafica de la funcion cuadratica, a < 0, raıces reales

Figura 1.21: Grafica de la funcion cuadratica, a < 0, raıces complejas

Figura 1.22: Grafica funcion cubica a > 0

4.- Funciones Irracionales

y =ax

n

m + bx

l

p

cx

r

s + dx

q

t


Figura 1.23: Grafica funcion cubica a < 0

donde: n, m, l, p, ,r, t son enteros.

g) Funciones pares e impares

Definicion 1.12 Funcion Par: Sea f una funcion definida en R, se dice que f es una funcionpar, si para cada x ∈ R se cumple f(−x) = f(x) (su grafica, es simetrica respecto al eje deordenadas).

Figura 1.24: Grafica funcion par

Definicion 1.13 Funcion Impar: Sea f una funcion definida en R, se dice que f es unafuncion impar, si para cada x ∈ R se cumple f(−x) = −f(x) (su grafica, es simetrica respectoal origen de ordenadas).

h) Funcion constante

y = c

1.12. FUNCIONES 17

Figura 1.25: Grafica funcion impar

Figura 1.26: Grafica funcion constante

1.12.3. Funciones Especiales

1.12.3.1. Valor Absoluto

Definicion 1.14 El valor absoluto de cualquier numero real es positivo.

|x| ={

+x : x ≥ 0−x : x < 0

Figura 1.27: Grafica de la funcion valor absoluto

Interpretacion geometrica: El valor absoluto de x es la distancia del punto x de la recta al


origen. La distancia entre dos numeros reales a y b, es |a− b| = |b− a|, denominado tambien comomodulo o tamano. En la Fig. (1.27), se muestra la grafica de la funcion valor absoluto.

1.12.3.2. Funcion parte Entera

Definicion 1.15 Es una funcion que a cada numero real hace corresponder el numero entero in-mediatamente inferior.

Figura 1.28: Grafica de la funcion parte entera

En la Fig. (1.28), se muestra la grafica de la funcion parte entera.

1.12.3.3. Funcion signo

f(x) =

1 si x > 00 si x = 0−1 si x < 0

Figura 1.29: Grafica de la funcion signo

En la Fig. (1.29), se muestra la grafica de la funcion signo.

1.12.4. Composicion de Funciones

Sea f una funcion de A en B y sea g una funcion de B (el codominio de f) en C.La composicion de las funciones f : A → B y g : B → C es la funcion g ◦ f : A → C definida

por (g ◦ f)(x) = g[f(x)]; ∀x ∈ Ag ◦ f denota la funcion compuesta de f con g

Ejemplo 1.3 Sean A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c, d}, C = {5, 6} y las funciones f : A→ B y g : B → Cdefinida por:

f = {(1, a), (2, b), (3, d)}; a = f(1), b = f(2), d = f(3)g = {(a, 5), (b, 5), (c, 5), (d, 6)}; 5 = g(a), 5 = g(b), 5 = g(c), 6 = g(d)La funcion compuesta, es:

1.12. FUNCIONES 19

Figura 1.30: Diagramas de Venn de la composicion de funciones: g ◦ f

g ◦ f = {(1, 5), (2, 5), (3, 6)}El diagrama de Venn correspondiente:

En la Fig. (1.30), se muestra los diagramas de Venn de la composicion de funciones.

Ejemplo 1.4 Sean f : R→ R; tal que f(x) = 2x y g : R→ R ; tal que g(x) = x2

Entonces

1. g ◦ f : R→ R definido por (g ◦ f)(x) = g[f(x)] = g(2x) = (2x)2 = 4x2

2. f ◦ g : R→ R definido por (f ◦ g)(x) = f [g(x)] = f(x2) = 2x2

en general g ◦ f 6= f ◦ g , es decir la composicion de funciones no es conmutativa.

1.12.5. Funcion Inversa

1.12.5.1. Funcion Inyectiva

Sea f una aplicacion de A en B. Entonces f se dice inyectiva si elementos distintos de Bcorresponden a elementos de A, es decir, si dos elementos distintos de A tienen imagenes distintas.

Si a = a′ implica que f(a) = f(a′)

1.12.5.2. Funcion Sobreyectiva

Sea f una funcion de A en B. El dominio de imagenes f(A) de la funcion f es un subconjuntode B esto es, f(A) ⊂ B, si f(A) = B, es decir, si todo elemento de B es imagen de al menos de unelemento de A, se dice entonces que ”f es una funcion sobreyectiva de A en B”.

Toda funcion f : A→ B es una relacion, ¿la relacion inversa es una funcion?.Cuando f : A→ B , es una funcion inyectiva y sobreyectiva,f−1 : B → A , se llama la funcion inversa de la f

1.12.5.3. Funcion Biyectiva

Si f es inyectiva y sobreyectiva, se denomina biyectiva.

Definicion 1.16 Funcion Inversa Dada una funcion biyectiva f : A → B, se llama funcioninversa de f a la funcion f−1 : f(A)→ A, tal que f−1(y) = x, si y solo si f(x) = y.


1.13. Clases de Funciones

Existen clases particulares de funciones que aparecen frecuentemente.

Definicion 1.17 Una funcion f se dice monotona no creciente si dados cualesquiera x, y ∈ domf con x < y, es f(x) ≥ f(y).

Definicion 1.18 Una funcion f se dice monotona no decreciente si dados cualesquiera x, y ∈dom f con x < y, es f(x) ≤ f(y).

Definicion 1.19 Una funcion f se dice monotona estrictamente creciente si dados cuales-quiera x, y ∈ dom f con x < y, es f(x) < f(y).

Definicion 1.20 Una funcion f se dice monotona estrictamente decreciente si dados cuales-quiera x, y ∈ dom f con x < y, es f(x) > f(y).

La monotonıa no es una propiedad puntual de la funcion, es una propiedad g lobal.

1.14. Funciones Acotadas

Definicion 1.21 Una funcion f esta acotada superiormente si su conjunto imagen esta acotadosuperiormente. Dicho de otro modo, si existe un numero fijo M ∈ R tal que, simultaneamente paratodos los x ∈ dom f , se tenga f(x) ≤M (f esta acotada superiormente por M).

Una funcion f esta acotada inferiormente si su conjunto imagen esta acotado inferiormente.Dicho de otro modo, si existe un numero fijo m ∈ R tal que, simultaneamente para todos losx ∈ dom f , se tenga f(x) ≥ m (f esta acotada inferiormente por m).

Finalmente, una funcion acotada es aquella que esta acotada superior e inferiormente, es decir,aquella cuyo conjunto imagen esta acotado, de manera que existen constantes m,M ∈ R, tales quepara cada x ∈ domf se tiene que m ≤ f(x) ≤M .

1.14.1. Operaciones Algebraicas con Funciones

Las operaciones algebraicas con numeros reales se pueden extender a las funciones entre sub-conjuntos de R de forma natural. Si f : R → R y g : R → R son funciones, se define las funcionessiguientes:

f + g : R→ R

fg : R→ Rf

g= f/g : R→ R

como sigue:(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(fg)(x) = f(x) · g(x)(f

g

)(x) =

f(x)

g(x)

El dominio de estas funciones, son:dom(f + g) = dom(fg) = domf ∩ domg

dom

(f

g

)= (domf ∩ domg) \ {x ∈ domg : g(x) = 0}

Las operaciones mas comunes, son:

1.15. SISTEMA DE COORDENADAS 21

1. cf(x)

La grafica se expande en forma vertical si c > 0, se contrae si 0 < c < 1 y la grafica se invierteverticalmente si c < 0.

2.f(x)

c

La grafica se contrae en forma vertical si c > 1, se expande si 0 < c < 1 y la grafica se invierteverticalmente si c < 0.

3. c+ f(x)

La grafica se desplaza verticalmente en c unidades.

4. f(cx)

La grafica se expande horizontalmente si c > 0 y se refleja horizontalmente si c < 0.

5. f(xc

)La grafica se contrae horizontalmente si c > 0 y se refleja horizontalmente si c < 0.

6. f(x+ c)

La grafica se traslada horizontalmente si c > 0 hacia la izquierda en −c unidades y si c < 0hacia la derecha en c unidades.

1.15. Sistema de Coordenadas

Para especificar la localizacion de un punto o un objeto es necesario definir un sistema dereferencia. Si a la referencia se asocia un sistema de coordenadas, se tienen unos ejes de coordenadas.

1.15.1. Sistema Rectangular de Coordenadas

En el plano definido por el producto cartesiano P = R×R = {(x, y)∣∣ x, y ∈ R}, se escoge una

par de rectas perpendiculares, una horizontal y otra vertical. La horizontal se denomina el eje x yla vertical el eje y.

Si se toma un sistema lineal de coordenadas sobre cada una de ellas. Se establece una corres-pondencia entre los puntos del plano P y los pares de numeros reales.

1.15.1.1. Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) esta dado por:

d =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

1.15.1.2. Punto Medio

El punto medio M(x, y) esta en el centro del segmento que une los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2)

y tiene coordenadas: x1 + x22 ;

y1 + y22


1.15.2. Sistema de Coordenadas Polares

Un punto del plano se puede localizar mediante sus coordenadas rectangulares. En muchas oca-siones, sin embargo, es mas conveniente localizar los puntos por medio de un sistema de coordenadas(r, φ) llamadas coordenadas polares.

En coordenadas polares un punto esta determinado por una distancia y un angulo:

P (r, φ) = P (r, φ+ k360◦)

1.15.3. Transformacion de Coordenadas

Se tienen dos conjuntos de coordenadas para localizar los puntos del plano:

a) Coordenadas rectangulares (x, y)

b) Coordenadas polares (r, φ)

Las relaciones de transformacion, son:

1. Transformacion de coordenadas cartesianas a coordenadas polares

r =√x2 + y2

tanφ =y

x

φ = arctany

x

2. Transformacion de coordenadas polares a coordenadas cartesianas

x = r cosφ

y = r senφ

Distancia entre puntos:

1. En coordenadas cartesianas

d2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

2. En coordenadas cartesianas

d2 = r21 + r2

2 − 2r1r2 cos(φ2 − φ1)

1.16. Lınea Recta

La lınea recta, analıticamente, es una ecuacion lineal. La representacion grafica del lugar geometri-co de una ecuacion de primer grado de dos variables, es una recta.

Una recta queda completamente definida, si se conocen dos condiciones: dos puntos o un puntoy su direccion.

1.16. LINEA RECTA 23

1.16.1. Formas de la Ecuacion de la Recta

a) Punto-Pendiente. La ecuacion que pasa por el punto P1(x1, y1) y cuya pendiente sea m, es:

y − y1 = m(x− x1)

b) Pendiente-Ordenada en el origen. La ecuacion de la recta de pendiente m y que corta al ejey en el punto (0, b) - siendo b, la ordenada en el origen- es:

y = mx+ b

c) Cartesiana. La ecuacion de la recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) es:

y − y1

x− x1=y2 − y1

x2 − x1

tanα = m =y2 − y1

x2 − x1

d) Reducida o abscisa y ordenada en el origen. La ecuacion de la recta que corta a los ejescoordenados x e y en los puntos (a, 0) - siendo a la abscisa en el origen- y (0, b) -siendo b laordenada en el origen-, respectivamente, es:

x

a+y

b= 1

e) General. Una ecuacion lineal o de primer grado en las variables x e y es la forma: Ax+By+C = 0

, en donde A,B y C son constantes arbitrarias. La pendiente de la recta, es: m = −AB y su

ordenada en el origen, es: b = −CBf) Normal. Una recta tambien queda determinada si se conocen la longitud de la perpendicular

a ella trazada desde el origen (0, 0) y el angulo que dicha perpendicular forma con el eje x. Ladistancia P de 0 a AB se considera siempre positiva.

Sean (x1, y1) las coordenadas del punto C, en esas condiciones:

x1 = P cosω

y1 = P senω

y la pendiente de AB: m = − 1tgω = − cotgω = − cosω

senω

En la Fig. (1.31), se muestra la recta normal de la recta AB.

Denominando (x, y) otro punto cualquiera de AB, se tiene:

y − y1 = m(x− x1) = − cotgω(x− x1)

y − Psenω = − cosωsenω

(x− Pcosω)

y senω = P sen2 ω − x cosω + P cos2 ω

x cosω + y senω − P = 0


Figura 1.31: Ecuacion normal de la recta

1.16.1.1. Reduccion de la Forma General a Normal

Sean Ax + By + C = 0 y xcosω + ysenω − P = 0, las ecuaciones de la misma recta. Para quesean iguales, los coeficientes de ambas ecuaciones deben ser iguales o proporcionales:

cosω

A=

senω

B=−PC

= k

k es una constante de proporcionalidad.

Entonces: cosω = kA; senω = kB y −P = kC

cos2 ω + sen2 ω = k2(A2 +B2) = 1

de donde: k = 1

±√A2 +B2

, entonces:

cosω = A

±√A2 +B2

; senω = B

±√A2 +B2

; −P = C

±√A2 +B2

La forma normal de la recta Ax+By + C = 0, es:

Ax

±√A2 +B2

+Bx

±√A2 +B2

+C

±√A2 +B2

= 0

Se debe considerar, el signo del radical opuesto al de C. Si C = 0, el signo del radical se consideraigual al de B.

1.16.2. Distancia de un Punto a una Recta

Para hallar la distancia d de un punto (x1, y1) a una recta L, se traza la recta L1, paralela a Ly que pase por (x1, y1).

En la Fig. (1.32), se muestra la distancia del punto P1(x1, y1) a la recta L.La ecuacion de L es x cosω+y senω−P = 0 y la ecuacion de L1 es x cosω+y senω−(P +d) = 0Las coordenadas del punto P1(x1, y1) satisfacen la ecuacion de L1:

x1 cosω + y1 senω − (P + d) = 0

y despejando d, se tiene:

d = x1 cosω + y1 senω − P

1.17. SECCIONES CONICAS 25

Figura 1.32: Distancia del punto P1(x1, y1) a la recta L

Otra alternativa, es emplear la siguiente expresion:

d = |Ax1 +By1 + C√A2 +B2

|

que se puede deducir de la ecuacion 1.4 al reemplazar cosω, senω y −P .

1.17. Secciones Conicas

Sea la ecuacion:

Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0

Es una ecuacion de segundo grado. El conjunto total de puntos correspondientes a los pares or-denados (x, y) que verifican la ecuacion se llama seccion conica. La razon de este nombre es quegeometricamente, se puede obtener la curva mediante la interseccion de un plano con un cono.

1.17.1. Circunferencia

Una Circunferencia es el lugar geometrico de todos los puntos P cuya distancia a un punto fijoes constante.

Sea C(h, k) un punto fijo, el punto P (x, y) estara a r unidades de C si y solamente si la distanciaPC es igual a r.

r =√

(x− h)2 + (y − k)2

r2 = (x− h)2 + (y − k)2

desarrollando

x2 + y2 − 2hx− 2ky + h2 + k2 − r2 = 0

La ecuacion x2 + y2 = r2 corresponde a una circunferencia de radio r y con centro en el origen.En la Fig. (1.33), se muestra la circunferencia con centro en C(h, k).La circunferencia resulta la figura de interseccion entre un cono y un plano horizontal.


Figura 1.33: Circunferencia con centro en C(h, k)

1.17.2. Parabola

Una Parabola es el lugar geometrico de todos los puntos P , tales que la distancia de P a unpunto fijo es siempre igual a la distancia de P a un recta fija (denominada recta directriz). UnaParabola es el lugar geometrico de los puntos cuya relacion de distancias aun punto fijo y una rectafija es constante y se denomina seccion conica. El punto fijo se llama foco, la recta fija directriz yla relacion constante excentricidad, e:

e =PF

MP= 1

La recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz, se llama eje de la parabola.

Figura 1.34: Parabola con vertice en el origen

En la Fig. (1.34), se muestra la parabola con vertice en el origen.

MP = PF

√(x− (−a))2 + (y − y)2 =

√(x− a)2 + (y − 0)2

(x+ a) =√

(x− a)2 + (y − 0)2

Elevando al cuadrado miembro a miembro, se tiene:

(x+ a)2 = (√

(x− a)2 + (y − 0)2)2


x2 + 2ax+ a2 = x2 − 2ax+ a2 + y2

Cancelando terminos identicos, se tiene:

y2 = 4ax

La ecuacion de la recta directriz, es:

x+ a = 0

La longitud del segmento c′c, denominada latus rectum = 4a, es el coeficiente del termino de1er grado.

Otras formas, son:

y2 = −4ax

, cuya recta directriz esta a la derecha del vertice: x = a

x2 = 4ay

, el eje de la parabola es el eje y cuya recta directriz esta por debajo del vertice: y = −a

x2 = −4ay

, el eje de la parabola es el eje y cuya recta directriz esta por encima del vertice: y = aLas ecuaciones de las parabolas con vertice en punto V(h,k)y sus rectas directrices, son:(y − k)2 = 4a(x− h); x=-a+h(y − k)2 = −4a(x− h); x=a+h(x− h)2 = 4a(y − k); y=-a+k(x− h)2 = −4a(y − k); y=a+kLas otras formas son:

x = ay2 + by + c

y = ax2 + bx+ c

La parabola resulta la figura de interseccion entre un cono y un plano vertical.

1.17.3. Elipse

Una Elipse es el lugar geometrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos esconstante. Los puntos fijos se llaman focos.

Figura 1.35: Elipse con centro en el origen

En la Fig. (1.35), se muestra la elipse con centro en el origen.


Sea 2a la suma de distancias, (a > c) considerando un punto generico P (x, y) que pertenezca allugar, entonces:

F ′P + PF = 2a√(x+ c)2 + (y − 0)2 +

√(x− c)2 + (y − 0)2 = 2a

Despejando la 1ra raız cuadrada, se tiene:√(x+ c)2 + y2 = 2a−

√(x− c)2 + y2

elevando al cuadrado miembro a miembro y desarrollando, se tiene:

x2 + 2cx+ c2 + y2 = 4a2 − 4a√

(x− c)2 + y2 + x2 − 2cx+ c2 + y2


4cx− 4a2 = −4a√

(x− c)2 + y2

elevando al cuadrado miembro a miembro nuevamente, se tiene:

c2x2 + a4 − 2a2cx = a2(x2 − 2cx+ c2 + y2)

x2(a2 − c2) + a2y2 = a4 − a2c2 = a2(a2 − c2)

Sea a2 − c2 = b2, como a > c, entonces a2 > c2; a2 − c2 > 0, reemplazando y dividiendo por a2b2,se tiene la ecuacion de la elipse:

x2

a2+y2

b2= 1

Si los focos fueran los puntos de coordenadas (0, c) y (0,−c), el eje mayor esta sobre el eje y, Laecuacion de la elipse, es:

x2

b2+y2

a2= 1

La excentricidad e = ca =

√a2 − b2a < 1. La elipse, tiene dos focos, entonces tiene dos rectas

directrices, cuyas ecuaciones son:

x+a

e= 0; x− a

e= 0

Si los focos estuvieran en el eje y, las directrices serıan:

y +a

e= 0; y − a

e= 0

La longitud del latus rectum de la elipse, C ′C = 2b2a

Si el centro de la elipse es el punto (h, k) y el eje mayor tiene la direccion x. La ecuacion de laelipse, es:

(x− h)2

a2+

(y − k)2

b2= 1

o(x− h)2

b2+

(y − k)2

a2= 1

si el eje mayor fuera paralelo al eje y.La forma general de la ecuacion de la elipse, es:

Ax2 +By2 +Dx+ Ey + F = 0

siempre que A y B sean del mismo signo.La elipse resulta la figura de interseccion entre un cono y un plano inclinado.


Figura 1.36: Hiperbola con centro en el origen

1.17.4. Hiperbola

Una Hiperbola es el lugar geometrico de los puntos cuya diferencia de distancias a los puntosfijos F (c, 0) y F ′(−c, 0) es constante e igual a 2a.

En la Fig. (1.36), se muestra la hiperbola con centro en el origen.Sea P (x, y) un punto generico cualquiera de la curva. Por definicion:

F ′P − PF = 2a

√(x− (−c))2 + (y − 0)2 −

√(x− c)2 + (y − 0)2 = 2a

Despejando la 1ra raız, se tiene:√(x+ c)2 + y2 = 2a+

√(x− c)2 + y2

elevando al cuadrado miembro a miembro, se tiene:

x2 + 2cx+ c2 + y2 = 4a2 + 4a√

(x− c)2 + y2 + x2 − 2cx+ c2 + y2


4cx− 4a2 = 4a√

(x− c)2 + y2

nuevamente elevando al cuadrado miembro a miembro, se tiene:

c2x2 + a4 − 2a2cx = a2(x2 − 2cx+ c2 + y2)

x2(c2 − a2)− a2y2 = −a4 + a2c2 = a2(c2 − a2)

Sea c2 − a2 = b2, como c > a, entonces c2 > a2; c2 − a2 > 0, reemplazando y dividiendo por a2b2,se tiene la ecuacion de la hiperbola:

x2

a2− y2

b2= 1

es una hiperbola con centro en el origen y focos sobre el eje x.Si los focos fueran (0, c) y (0,−c), la ecuacion de la hiperbola, serıa:

y2

a2− x2

b2= 1


La excentricidad e = ca =

√a2 + b2a > 1

Las ecuaciones de las directrices D y D′, son:x = ±ae cuando los focos estan en el eje x.y = ±ae cuando los focos estan en el eje y.Las ecuaciones de la asıntotas, son:

y = ± bax cuando los focos estan en el eje x.y = ±a

bx cuando los focos estan en el eje y.

La longitud del latus rectum de la hiperbola, C ′C = 2b2a

Si el centro de la hiperbola es el punto (h, k) y el eje real es paralelo al eje x, la ecuacion de lahiperbola, es:

(x− h)2

a2− (y − k)2

b2= 1

Si el eje real es paralelo al eje y, la ecuacion es:

(y − k)2

a2− (x− h)2

b2= 1

si el eje mayor fuera paralelo al eje yLas ecuaciones de la asıntotas, son:

y − k = ± ba(x− h) si el eje real el paralelo al eje x.y − k = ±a

b(x− h) si el eje real el paralelo al eje y.

La longitud del eje real, A′A = 2aLa forma general de l ecuacion de la hiperbola de ejes paralelos a los de coordenadas x e y, es:

Ax2 −By2 +Dx+ Ey + F = 0

Siendo A y B de signos iguales.La hiperbola resulta la figura de interseccion entre dos conos opuestos unidos por el vertice y

un plano vertical.

1.17.5. Transformacion de Coordenadas

a) Traslacion de ejesx = MP = MM ′ +M ′P = h+ x′

y = NP = NN ′ +N ′P = k + y′

En la Fig. (1.37), se muestra la traslacion de ejes.

La ecuacion para la traslacion de ejes, es:

x = x′ + h

y = y′ + k

b) Rotacion de ejes

x = OM = ON −MN

x = x′cosφ− y′senφ


Figura 1.37: Traslado de ejes

y = MP = MM ′ +M ′P = NN ′ +M ′P

y = x′senφ+ y′cosφ

Figura 1.38: Rotacion de ejes

En la Fig. (1.38), se muestra la rotacion de ejes.

Las formulas de rotacion φ de los ejes coordenados, son:

x = x′cosφ− y′senφ

y = x′senφ+ y′cosφ

Las nuevas coordenadas en funcion de la antiguas, son:

x′ = xcosφ+ ysenφ

y′ = −xsenφ+ ycosφ


1.18. Lectura Recomendada

En el calculo, se manejan conceptos para facilitar la comprension de otros conceptos.

Definicion 1.22 Proposicion: Es un enunciado de una hipotesis o suposicion, y de una tesis oconclusion, que es consecuencia de la hipotesis.

Definicion 1.23 Axioma: Es una proposicion evidente en sı misma y por lo tanto, no necesitademostracion.

Definicion 1.24 Teorema: Es una proposicion que para ser evidente necesita demostracion.

Definicion 1.25 Postulado: Es una proposicion que se admite sin demostracion, aunque sin laevidencia del axioma.

Definicion 1.26 Lema: Es un teorema preliminar que sirve de base para demostrar otras propo-siciones.

Definicion 1.27 Corolario o consecuencia: Es un teorema, la verdad del cual se deduce sim-plemente de otro ya demostrado.

Definicion 1.28 Escolio: Es una advertencia o nota que se hace a fin de aclarar, ampliar o res-tringir proposiciones anteriores.

Definicion 1.29 Problema : Es una cuestion que se propone con la finalidad y animo de aclararlao resolverla utilizando una metodologıa determinada.

1.18.1. Axiomas de Cuerpo

Definiciones basicas:

Definicion 1.30 Anillo: Sea un conjunto no vacıo A y dos funciones ∗ y ◦. La terna (A, ∗, ◦) esun anillo si y solo si: El conjunto con la primera ley es un grupo. El conjunto con la segunda ley esun semigrupo. La segunda ley es doblemente distributiva respecto a la primera.

Definicion 1.31 Grupo: Sea un conjunto no vacıo G, y una funcion ∗. El par (G, ∗) es un gruposi y solo si ∗ es una ley interna en G, es asociativa, con neutro, y tal que todo elemento de G admiteinverso respecto de ∗.

Definicion 1.32 Semigrupo: El par (A, ∗), donde A y ∗ es una funcion, es un semigrupo si ysolo si ∗ es una ley interna y asociativa en A.

Definicion 1.33 Cuerpo: Un anillo con unidad cuyo elementos no nulos son inversibles, se llamaanillo de division.

Definicion 1.34 Anillo conmutativo:Todo anillo conmutativo es un cuerpo. La terna (K, +, ◦)es un cuerpo si y solo si es un anillo conmutativo, con unidad, cuyos elementos no nulos admiteninverso multiplicativo.

1.18. LECTURA RECOMENDADA 33

1.18.2. Relacion, Funcion, Aplicacion

Una relacion binaria R entre los elementos A y B es un subconjunto de A×B.Mientras que una funcion o aplicacion f de A en B y es una relacion entre A y B, es un

subconjunto f de A×B tal que:Para todo x ∈ A existe un unico elemento y de B tal que (x, y) pertenece a f y se denota por

y = f(x).Como se puede ver toda funcion es una relacion sin embargo no toda relacion es una funcion

porque la funcion tiene la fuerte restriccion de que para cada elemento x de A exista un unicoelemento y de B tal que (x, y) pertenezca a f .

Tiene sentido decir que (x, y) pertenezca a f pues f es un subconjunto del producto cartesianoA×B y los elementos de este ultimo conjunto son pares ordenados.

Ası a groso modo una relacion entre dos conjuntos es simplemente un subconjunto del productocartesiano de dichos conjuntos.

El concepto de funcion, es identico al concepto de aplicacion, sin embargo se prefiere la palabrafuncion cuando se trata con numeros reales. Mientras que la palabra aplicacion se reserva para casosdonde los conjuntos A y B no siempre son numeros reales.


Capıtulo 2

Lımites y Continuidad de lasFunciones

2.1. Introduccion

En este capıtulo, se presentan las definiciones de sucesion y lımites para una sucesion y funcion,y la condicion necesaria y suficiente para la continuidad de una funcion en un punto.

2.2. Sucesion

La idea de sucesion en R, es la de una lista de puntos de R. Son ejemplos de sucesiones:

2, 4, 6, 8, 10, · · ·

1, 1/2, 1/3, 1/4, · · ·

Definicion 2.1 Sucesion. Una sucesion (de numeros reales) es una funcion a : N → R. Es unafuncion discreta.

Sea a : N→ Adonde A ⊂ R

an = a(n)

La funcion a(n) se denomina termino n-esimo de la sucesion:

{an} = {a1, a2, . . . , an}

donde an = a(n), es el termino n-esimo de la sucesion.

Ejemplo 2.1 La suma de los primeros n enteros

S(n) = 1 + 2 + 3 + . . . + n =n(n+ 1)

2es una funcion de nS = {1, 3, 6, 10, 15, . . . }En la Fig. (2.1), se representa la sucesion.

35

36 CAPITULO 2. LIMITES Y CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES

Figura 2.1: Representacion de la sucesion

2.3. Lımite de una Sucesion

Sea an = 1n , la sucesion es S = {1, 1

2 ,13 ,

14 , . . . ,

1n} ningun elemento de esta sucesion es cero,

pero conforme n crece, an se aproxima a cero.

Sea an =(−1)n−1

n , la sucesion es S = {1, −12 ,

13 , −

14 , . . . ,

(−1)n−1

n } los an tienden a cerocuando n crece, pero los an son a veces mayores y a veces menores que cero, la sucesion oscila entorno al lımite cero. En el caso considerando, la sucesion tiende al lımite oscilando alrededor de el.

Definicion 2.2 Lımite de una sucesion. La constante a se llama lımite de la sucesion {an}, sipara un numero pequeno, ε > 0, tan pequeno como se quiera, se puede encontrar un valor de lasucesion, a partir del cual todos los valores consecuentes de la misma satisfacen la desigualdad:

|an − a| < ε

Entonces

lımn→∞

an = a

Ejemplo 2.2 Sea an = 1 + 1n . Demostrar que su lımite es la unidad.

En la Fig. (2.2), se representa la sucesion y se muestra que la sucesion tiende a 1 cuando ntiende a infinito.

Demostracion, como |an − a| = |(1 + 1n)− 1| = | 1n | =

1n

Para cualquier ε todos los valores consecuentes de la sucesion, a partir de n, donde 1n < ε o

n > 1ε , satisfacen la desigualdad

|an − a| < ε

Sea ε = 0,001, entonces para n > 1000 satisface la desigualdad.Entonces: lımn→∞(1 + 1

n) = 1

Ejemplo 2.3 Demostrar:

lımn→∞

(1 +(−1)n−1

2n) = 1

2.4. LIMITE DE UNA FUNCION 37

Figura 2.2: Lımite de la sucesion de ejemplo(2.2)

Demostracion, como: |an − a| = |(1 +(−1)n−1

2n)− 1| = |(−1)n−1

2n| = |(−1)n−1|

|2n| = 12n

< ε

Para cualquier ε todos los valores consecuentes de la sucesion, a partir de n, donde 12n

< ε o

n >ln

1

εln2

, satisfacen la desigualdad

|an − a| < ε

Entonces a partir del 9no termino, la sucesion tiende a 1 con un error menor a 0.001.

Ejemplo 2.4 Sea an = (−1)nn

S = {−1, 2, −3, 4, . . . (−1)nn}

Sea M el lımite |an −M | = |(−1)nn−M | < ε no se satisface, el lımite es infinitamente grande.

Definicion 2.3 La sucesion an tiende al infinito si, para cualquier numero positivo dado, M , sepuede elegir un valor de an a partir de la cual todos los valores consecuentes de la sucesion satisfacenla desigualdad

|an| > M

lımn→∞

(−1)nn = +∞

lımn→∞

|(−1)nn| = +∞

2.4. Lımite de una Funcion

Definicion 2.4 Sea la funcion y = f(x), esta definida en un determinado entorno del punto a, oen ciertos puntos del mismo. La funcion y = f(x) tiende al lımite b (y → b) cuando x tiene a a(x→ a), si para cada numero positivo, ε, por pequeno que sea, es posible hallar un numero positivo,δ, tal que para todos los valores de x, diferentes de a y que satisfagan la desigualdad |x− a| < δ, severifica la desigualdad

|f(x)− b| < ε

En la Fig. (2.3), se muestra graficamente el lımite de la funcion f(x) cuando x→ a, cuyo lımitees b.

Si b es el lımite de la funcion f(x), cuando x tiende a a, su notacion es:

lımx→a

f(x) = b


Figura 2.3: Lımite de una funcion

Ejemplo 2.5 Demostrar que:lımx→1

(4x+ 7) = 11

Sea ε > 0 un numero pequeno dado arbitrariamente; para que se verifique la desigualdad:|(4x+ 7)− 11| < ε es necesario que sea satisfecha:|x− a| < δ

|(4x+ 7)− 11| = |4x+ 7− 11| = |4x− 4| = 4|x− 1| < ε

|x− 1| < ε

4= δ

Ejemplo 2.6 Sea la funcion f(x) definida por f(x) = x2. Demostrar que:

lımx→a

x2 = a2

cualquiera que sea a ∈ R. Notese que domf = R, luego todo numero a es un punto de acumulacionde domf . Si ε > 0, se supone que 0 < |x − a| < δ y se vera como hay que tomar δ para que ladesigualdad anterior implique que |x2 − a2| < ε. Para ello, observese que:

|x2 − a2| = |x− a||x+ a| ≤ δ|x+ a|

El problema se reduce a probar que |x+ a| no puede ser muy grande si 0 < |x− a| < δ. En efecto:

|x+ a| = |(x− a) + 2a| ≤ |x− a|+ 2|a| < δ + 2|a|

Luego0 < |x− a| < δ =⇒ |x2 − a2| < δ(δ + 2|a|)

Se debe tomar δ > 0 tal queδ(δ + 2|a|) ≤ ε

Pero esto siempre es posible. En efecto, si se toma 0 < δ < 1 entonces δ2 ≤ δ y por tanto:

δ(δ + 2|a|) = δ2 + 2|a|δ ≤ δ(2|a|+ 1) ≤ ε

si δ ≤ ε2|a|+ 1

En resumen, cualquiera sea ε > 0, si se toma δ = min{1, ε2|a|+ 1

}Entonces

0 < |x− a| < δ =⇒ |x2 − a2| < ε

como se querıa demostrar.

2.4. LIMITE DE UNA FUNCION 39

Observacion 2.1 No hace falta conseguir el valor optimo (es decir mayor) de δ para el cual|f(x) − b| < ε si 0 < |x − a| < δ y x ∈ domf . Por ejemplo, en esta caso el mayor δ para el que secumple es δ =

√ε+ a2 − |a|.

Ejemplo 2.7 Demostrar que

lımx→3

x2 − 9

x− 3= 6

Es necesario demostrar que para todo ε, se puede tomar un δ tal que satisfaga la desigualdad:

|x2 − 9

x− 3− 6| < ε

siempre que |x − 3| < δ. En x = 3, la funcion no esta definido, pero cuando x 6= 3, la desigualdades equivalente a:

|(x− 3)(x+ 3)

(x− 3)− 6| = |x+ 3− 6| = |x− 3| < ε

Si se toma δ = ε, la funcion tiene por lımite 6 cuando x→ 3.

2.4.1. Lımites Laterales

Si f(x) tiene al lımite b1, cuando x tiende a cierto numero a sin tomar mas que valores inferioresa a, su notacion es lım

x→a−f(x) = b1, siendo b1 el lımite a la izquierda de la funcion en el punto a. En

caso de que x tome solo valores de que a, la notacion sera lımx→a+

f(x) = b2, siendo b2 el lımite a la

derecha de la funcion en el punto a.

Figura 2.4: Lımites laterales de una funcion

En la Fig. (2.4), se muestra graficamente los lımites laterales de la funcion f(x).

2.4.2. Lımite de la Funcion cuando x→∞

Definicion 2.5 La funcion f(x) tiende al lımite b cuando x → ∞, si para un numero positivo, ε,por pequeno que sea, se puede encontrar un numero positivo, N , tal que, para todos los valores dex que satisfagan la desigualdad |x| > N , se cumple la desigualdad

|f(x)− b| < ε

Demostrar:

lımx→∞

x+ 2

x= 1


es decir

lımx→∞ 1 + 2x = 1

|(1 + 2x)− 1| = < ε| 2x | = < ε

siempre que |x| > N , dependiendo N de la eleccion de ε, 1x <

ε2 ; |x| > 2

ε

lımx→∞

f(x) = lımx→∞

x+ 2

x= 1

lımx→−∞

f(x) = lımx→−∞

x+ 2

x= 1

2.5. Infinitesimos

Definicion 2.6 La funcion α = α(x) se denomina infinitesimo cuando x → a o cuando x → ∞,si lımx→a = 0 o lımx→∞ = 0

Ejemplo 2.8 Sea α(x) = (x− 2)3, es un infinitesimo cuando x→ 2, ya que limx→2(x− 2)3 = 0

Teorema 2.1 Si la funcion y = f(x) puede expresarse como suma de un numero b y de un infi-nitesimo α:

y = b+ α

Entonces: lım y = b (cuando x→ a o x→∞)

Teorema 2.2 Si α = α(x) tiende a cero, cuando x→ a (o cuando x→∞), sin anularse, entonces

y = 1α tiende a infinito.

Teorema 2.3 La suma algebraica de un numero finito de infinitesimos es un infinitesimo.

Teorema 2.4 El producto de un infinitesimo α(x) por una funcion acotada z = z(x), es un infi-nitesimo cuando x→ a (o cuando x→∞).

Teorema 2.5 El cocienteα(x)z(x)

de un infinitesimo, α(x) y una funcion cuyo lımite es distinto de

cero, es un infinitesimo.

2.6. Teoremas Fundamentales sobre Lımites

Sealımx→a

f(x) = F

ylımx→a

g(x) = G

Teorema 2.6 El lımite de la suma algebraica de funciones, es igual a la suma algebraica de loslımites:

lımx→a

(f(x) + g(x)) = lımx→a

f(x) + lımx→a

g(x) = F +G

Teorema 2.7 El lımite del producto de funciones es igual al producto de sus lımites:

lımx→a

(f(x)g(x)) = lımx→a

f(x) lımx→a

g(x) = FG

2.7. LIMITES ESPECIALES 41

Teorema 2.8 El lımite del producto de una constante por una funcion es igual al producto de laconstante y su lımite:

lımx→a

cf(x) = c lımx→a

f(x) = cF

Teorema 2.9 El lımite del recıproco de una funcion es igual al recıproco de su lımite:

lımx→a

1

g(x)=

1

lımx→a

g(x)=

1

G

con G 6= 0

Teorema 2.10 El lımite del cociente de funciones, es igual al cociente de los lımites, siempre queel lımite del denominador sea distinto de cero:

lımx→a

f(x)

g(x)=

lımx→a

f(x)

lımx→a

g(x)=F

G

con G 6= 0Si F = 0 y G = 0, se debe anular el factor (x− a) tanto del numerador y denominador.

Teorema 2.11 El lımite de la raız n-esima de una funcion es igual a la raız n-esima de su lımite:

lıma→a

n√f(x) = n

√lımx→a

f(x) =n√F

Teorema 2.12 El lımite del valor absoluto de una funcion, es el valor absoluto de su lımite:

lımx→a|f(x)| = | lım

x→af(x)| = |F |

Teorema 2.13 El lımite de la potencia de un funcion es igual a la potencia de sus lımites:

lımx→a

[f(x)]g(x) = [ lımx→a

f(x)]lımx→a

g(x)= FG

Si F = 1 y G = ∞, es una indeterminacion, en este caso la funcion f(x) se reemplaza por sulımite mas un infinitesimo: f(x) = 1 + α(x), entonces:

lımx→a

[(1 + α(x))

1α(x) ]α(x)g(x) = e

lımx→a

α(x)g(x)= e

lımx→a

(f(x)− 1)g(x)

Teorema 2.14 El lımite de la funcion logaritmo, es igual al logaritmo del lımite:

lımx→a

[lnf(x)] = ln[ lımx→a

f(x)] = ln|F |

2.7. Lımites Especiales

a) Lımite desen(x)x , cuando x tiende a cero.

En la Fig. (2.5), se muestra graficamente la deduccion del lımite desen(x)x .

La funcion esta indeterminada en x, toma la forma 00

Para 0 < x < π2 , se verifica:

Area 4MOA < area del sector MOA < area 4COASiendo:


Figura 2.5: La funcion senx

Area 4 MOA

=1

2Base·Altura =

1

2OA ·BM =

1

2senx

Area del sector MOA

=1

2OA·AM =

1

2x

Area 4 COA

=1

2OA ·AC =

1

2tanx

1

2senx <

1

2x <

1

2tanx

suprimiendo el factor 12 , la desigualdad se convierte en:

senx < x < tanx

Dividiendo por senx todos los miembros de la desigualdad, se tiene:

1 <x

senx<

1

cosx

Escrito de otra forma, se tiene:

1 >senx

x> cosx

Determinado el lımite cuando x tiende a 0, se tiene:

lımx→0

senx

x= 1

b) Lımite e

lımx→∞

(1 +k

x)x = ek

lımx→ 0

(1 + kx)1x = ek

2.8. CONTINUIDAD DE FUNCIONES 43

2.8. Continuidad de Funciones

Definicion 2.7 Continuidad: La funcion f(x), se llama continua para x = ξ (o en el punto ξ),si :

1. Dicha funcion esta determinada en el punto ξ, es decir, existe el numero f(ξ);

2. Existe y es finito el lımite lımx→ξ

f(x),

3. El lımite es igual al valor de la funcion en el punto ξ:

lımx→ξ

f(x) = f(ξ)

2.8.1. Puntos de Discontinuidad de una Funcion

1. Se dice que una funcion es discontinua en el punto x0, si en ese punto no se verifica la condicionde continuidad.

2. Si la funcion tiene lımites finitos:

lımx→ x−0

f(x) = f(x−0 )

lımx→ x+0

f(x) = f(x+0 )

pero los tres numeros f(x0), f(x+0 ), f(x−0 ) no son iguales, entonces x0 recibe el nombre de

punto de discontinuidad de 1ra especie (no infinitos)

3. Si f(x+0 ) = f(x−0 ), x0 se llama punto de discontinuidad evitable.


Capıtulo 3

Derivadas y Diferenciales

3.1. Introduccion

Existen dos formas basicas para la definicion del concepto de derivada y estan relacionadas conlos grandes matematicos: Newton y Leibniz.

3.2. Definicion de la Derivada

Sea y = f(x) una funcion continua, si la variable independiente x se incrementa en ∆x, entonces,la variable dependiente y se incrementa en ∆y. Es decir, para

x+ ∆x

le corresponde uny + ∆y = f(x+ ∆x)

de donde:∆y = f(x+ ∆x)− y = f(x+ ∆x)− f(x)

La razon del incremento de la funcion al incremento del argumento, se tiene:

∆y

∆x=f(x+ ∆x)− f(x)

∆x

Si existe el lımite:

lım∆x→0

∆y

∆x= lım

∆x→0

f(x+ ∆x)− f(x)

∆x

se denomina la derivada de f(x)

df(x)

dx= y′ = lım

∆x→0

∆y

∆x= lım

∆x→0

f(x+ ∆x)− f(x)

∆x

Definicion 3.1 Sea f(x) una funcion definida en un intervalo abierto (b, c), y sea a un punto delintervalo. Se dice que f(x) es derivable en a si existe el lımite del ’cociente de incrementos’ o’cociente de diferencias’:

lımx→a

f(x)− f(a)

x− a

Cuando f(x) es derivable en a, el valor del lımite anterior recibe el nombre de derivada de f(x)en a y se denota por f ′(a), es decir:

f ′(a) = lımx→a

f(x)− f(a)

x− a

45

46 CAPITULO 3. DERIVADAS Y DIFERENCIALES

si tal lımite existe y es finito.

Tambien, se usan otras notaciones: ddxf(a),

dfdx

∣∣∣x=a

,dydx

, y′, etc.

Definicion 3.2 Sea f : D ⊆ R→ R una funcion derivable en algun punto, y sea S el subconjuntode puntos de D en los que f es derivable (naturalmente, puede ser S 6= D). La funcion derivadade f se define haciendo corresponder a cada x ∈ S el valor de la derivada de f en el punto x. Porrazones obvias, esta funcion suele denotarse por f ′, de manera que

f ′ : x ∈ S → f ′(x) = lımy→x

f(y)− f(x)

y − x∈ R

Ejemplo 3.1 Hallar la derivada de la funcion

y = 2x2 + 4x+ 7

El incremento de la variable dependiente es:

y + ∆y = 2(x+ ∆x)2 + 4(x+ ∆x) + 7 = 2x2 + 4x∆x+ 2∆x2 + 4x+ 4∆x+ 7

Despejando ∆y, se tiene:∆y = 4x∆x+ 2∆x2 + 4∆x

La razon de incrementos; es:

∆y

∆x=

4x∆x+ 2∆x2 + 4∆x

∆x=

∆x(4x+ 2∆x+ 4)

∆x= 4x+ 2∆x+ 4

entonces el lımite de la razon de incrementos, es:

y′ = lım∆x→0

∆y

∆x= lım

∆x→0(4x+ 2∆x+ 4) = 4x+ 4


y = sen(x)

∆y = sen(x+ ∆x)− sen(x)

∆y = sen(x) cos(∆x) + cos(x) sen(∆x)− sen(x)

y′ =dy

dx= lım

∆x→0

∆y

∆x= lım

∆x→0

sen(x) cos(∆x) + cos(x) sen(∆x)− sen(x)

∆x

y′ = lım∆x→0

cos(x) sen(∆x)

∆x= cos(x) lım

∆x→0

sen(∆x)

∆x= cos(x)

ya quelım

∆x→0cos(∆x) = 1


y =2

x

∆y =2

x+ ∆x− 2

x= 2

x− (x+ ∆x)

(x+ ∆x)x= − 2∆x

(x+ ∆x)x

y′ = lım∆x→0

∆y

∆x= lım

∆x→0− 2∆x

∆x(x+ ∆x)x= lım

∆x→0− 2

(x+ ∆x)x= − 2

x2

3.3. INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA 47


y =13√x

∆y =1

3√x+ ∆x

− 13√x

Considerando que: a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2), se tiene:

∆y =1

3√x+ ∆x

− 13√x

= (1

3√x+ ∆x

− 13√x

)

(1

3√x+ ∆x

)2 +1

3√x+ ∆x

13√x

+ (13√x

)2

(1

3√x+ ∆x

)2 +1

3√x+ ∆x

13√x

+ (13√x

)2

∆y =

(1

3√x+ ∆x

)3 − (13√x

)3

(1

3√x+ ∆x

)2 +1

3√x+ ∆x

13√x

+ (13√x

)2=

1

x+ ∆x− 1

x

(1

3√x+ ∆x

)2 +1

3√x+ ∆x

13√x

+ (13√x

)2

∆y =

x− (x+ ∆x)

x(x+ ∆x)

(1

3√x+ ∆x

)2 +1

3√x+ ∆x

13√x

+ (13√x

)2=

−∆x

(x+ ∆x)x

(1

3√x+ ∆x

)2 +1

3√x+ ∆x

13√x

+ (13√x

)2

∆y = − ∆x

x(x+ ∆x)[(1

3√x+ ∆x

)2 +1

3√x+ ∆x

13√x

+ (13√x

)2]

y′ = lım∆x→0

∆y

∆x= lım

∆x→0− ∆x

∆x(x+ ∆x)x[(1

3√x+ ∆x

)2 +1

3√x+ ∆x

13√x

+ (13√x

)2]

y′ = − lım∆x→0

1

(x+ ∆x)x[(1

3√x+ ∆x

)2 +1

3√x+ ∆x

13√x

+ (13√x

)2]= − 1

x23(13√x

)2= − 1

33√x4

3.3. Interpretacion Geometrica de la Derivada

La derivada, se puede interpretar como la pendiente de la recta tangente a la grafica de lafuncion.

y′ = lım∆x→0

∆y

∆x= m

Donde: m es la pendiente de la recta tangente en P a la curva y = f(x)En la Fig. (3.1), se muestra la interpretacion geometrica de la derivada.

3.4. Velocidad del Movimiento

La distancia, s, recorrida por un movil calculada a partir de cierta posicion inicial, M0, dependedel tiempo t:

s = f(t)


Figura 3.1: Interpretacion geometrica

Supongase que el movil, en el instante t, se encuentra a la distancia s de la posicion inicial, M0 yen el instante t + ∆t se encuentra en la posicion M1, a la distancia s + ∆s de la posicion inicial.

Durante el intervalo de tiempo ∆t, la distancia s se incremento en ∆s, la razon ∆s∆t es la velocidad

media:

vm =∆s

∆t

y la derivada de s respecto a t, es decir:

ds

dt= v = lım

∆x→0

∆s

∆t= lım

∆x→0

f(t+ ∆t)− f(t)

∆t

es la velocidad instantanea de un movimiento no uniforme.

Figura 3.2: Velocidad instantanea

En la Fig. (3.2), se muestra la interpretacion de la derivada como velocidad instantanea de unmovil.

3.5. Reglas de Derivacion

La derivacion es el proceso de calcular la derivada de una funcion.Sean u, v, w funciones diferenciables de x y a, c, m son constantes.Una funcion es diferenciable (o derivable) en x = x0, si existe f ′(x0)

1. ddx

(c) = 0

2. ddx

(x) = 1

3. ddx

(u+ v − w + . . . ) = ddx

(u) + ddx

(v)− ddx

(w) + . . .

4. ddx

(cu) = c ddx

(u)

5. ddx

(uv) = u ddx

(v) + v ddx

(u) = uv′ + vu′

6. ddx

(uvw) = uv ddx

(w) + uw ddx

(v) + vw ddx

(u)

3.5. REGLAS DE DERIVACION 49

7. ddx

(uc ) = ddx

(1cu) = 1

cddx

(u); c 6= 0

8. ddx

( cu) = c ddx

( 1u) = − c

u2ddx

(u); u 6= 0

9. ddx

(uv ) =vd

dx(u)− u d

dx(v)

v2 ; v 6= 0

10. ddx

(xm) = mxm−1

11. ddx

(um) = mum−1 ddx

(u)

12. ddx

(eu) = eu ddx

(u)

13. ddx

(au) = aulna ddx

(u)

14. ddx

(lnu) = 1uddx

(u); u 6= 0

15. ddx

(loga u) = 1u

1ln a

ddx

(u) = 1u loga e

ddx

(u); u 6= 0

16. ddx

(uv) = uv(lnu ddx

(v) + vuddx

(u)); u 6= 0

17. ddx

(senu) = cosu ddx

(u)

18. ddx

(cosu) = − senu ddx

(u)

19. ddx

(tanu) = sec2 u ddx

(u) = (1 + tan2 u) ddx

(u)

20. ddx

(arc senu) = 1√1− u2

ddx

(u)

21. ddx

(arc cosu) = − 1√1− u2

ddx

(u)

22. ddx

(arctanu) = 11 + u2

ddx

(u)

23. ddx

(senhu) = coshu ddx

(u)

24. ddx

(coshu) = senhu ddx

(u)

25. ddx

(tanhu) = sech2u ddx

(u) = (1 + tanh2 u) ddx

(u)

26. ddx

(arcsenh(u)) = 1√1 + u2

ddx

(u)

27. ddx

(arccosh(u)) = − 1√1 + u2

ddx

(u)

28. ddx

(arctanh(u)) = 11− u2

ddx

(u)


3.6. Derivada de Funciones Compuestas: Regla de la Cadena

Teorema 3.1 Sean g : D → R y f : E → R tales que g(D) ⊆ E y suponiendo que g es derivableen un punto a y que f es derivable en g(a). Entonces la funcion compuesta f ◦ g es derivable en ay su derivada en este punto viene dada por la regla de la cadena:

(f ◦ g)′(a) = f ′(g(a))g′(a)

Esta regla expresada en forma mas sencilla, serıa:Sea

y = f(u)u = g(x)y = f(u) = f(g(x))

entonces:

dy

dx=dy

du

du

dx

3.7. Derivada de Funciones Inversas

Proposicion 3.1 (Condicion Necesaria para la Derivabilidad de la Funcion Inversa). Sif es una funcion inyectiva, derivable en un punto c, y su funcion inversa f−1 es asimismo derivableen b = f(c), necesariamente se tiene f ′(c) 6= 0. Ademas:

(f−1)′(b) =1

f ′(c)

Si para la funcion y = f(x), existe una funcion inversa x = φ(y), tal que en un punto y dadotenga una derivada x = φ′(y) distinta de cero, entonces la funcion tiene en el punto correspondiente,

x, una derivada f ′(x) igual a 1φ′(y)

, es decir:

f ′(x) =1

φ′(y)

Ejemplo 3.5 Sea y = arcsen(x):La funcion inversa es:x = sen(y),la derivada es:dxdy

= cosy = y′ = 1x′

= 1cosy como cos2x+ sen2y = 1, se tiene: cos2y = 1− sen2y y por tanto

cosy =√

1− sen2y =√

1− x2, finalmente, se tiene:

y′ =dy

dx=

1√1− x2

3.8. Derivada de Funciones Parametricas

Sean las funciones unıvocas:

x = ϕ(t)y = ψ(t)

}ecuaciones parametricas

a cada valor de t ∈ [T1, T2] le corresponde dos valores uno de x, y otro y, considerando que x, yson las coordenadas de un punto en el plano 0xy, describe una cierta curva en el plano xy cuandovarıa t de T1 a T2.

3.9. DERIVADA DE UNA FUNCION IMPLICITA 51

Si de la funcion x = ϕ(t) se despeja la variable t = φ(x), φ es la funcion inversa de ϕ, por tanto,se puede escribir: y = ψ(φ(x)). Resulta que t es una variable intermedia.

Sean ϕ, ψ y φ funciones continuas y derivables. Se tiene: y = ψ(t); t = φ(x), aplicando la reglade la cadena, resulta:

dy

dx=

d

dt(φ(t))

d

dx(φ(x)) =

d

dt(φ(t))

d

dx(t)

dy

dx=dy

dt

dt

dx=

dy

dtdx

dt

3.9. Derivada de una Funcion Implıcita

Cuando la variable y no es posible despejar, es decir, la funcion y = f(x) no es sencilla. Ladependencia entre x y y viene dado por la forma implıcita:

F (x, y) = 0

Para determinar y′, se deriva miembro a miembro respecto a x y se despeja y′:

d

dxF (x, y) = 0

Ejemplo 3.6 Hallar la derivada y′ de la funcion implıcita:

F (x, y) = x3 + y3 − 3axy + y2 = 0

Se deriva todos los terminos respecto a x, se tiene:

3x2 + 3y2y′ − 3a(y + xy′) + 2yy′ = 0

Despejando y’, se tiene:

y′ =3(ay − x2)

3y2 + 2y − 3ax

3.10. Derivada de Funciones Hiperbolicas

En muchas aplicaciones se tienen funciones de la forma:

y =1

2(ex − e−x)

y =1

2(ex + e−x)

y se denomina seno y coseno hiperbolico respectivamente.

senhx = 12(ex − e−x)

coshx = 12(ex + e−x)

tanhx = senhxcoshx

La derivada de coshx, es:

d

dx(coshx) =

d

dx(1

2(ex + e−x)) =

1

2(ex − e−x) = senhx


3.11. Diferencial de una Funcion

Sea y = f(x), derivable en el intervalo [a, b], es decir: lım∆→0

∆y

∆x= f ′(x), cuando ∆x → 0, la

razon∆y∆x tiende a un numero determinado f ′(x) y por tanto se diferencia de la derivada f ′(x) en

un infinitesimo, es decir:

∆y

∆x= f ′(x) + α(x)

donde α(x)→ 0 cuando ∆x→ 0, despejando ∆y, se tiene:

∆y = f ′(x)∆x+ α(x)∆x

Si ∆x→ 0f ′(x)∆x es un infinitesimo de primer ordenα(x)∆x es un infinitesimo de orden superiorEl termino f ′(x)∆x, es la diferencial de la funcion f(x)

3.12. Derivada de Orden Superior

a) Derivada de Segundo Orden, denominada tambien como derivada segunda de una funcion y =f(x), se llama a la derivada de su derivada, es decir:

y′′ = (y′)′ = f ′′(x) = (f ′(x))′

d2y

dx2 =dy′

dx=

d

dxf ′(x) =

d2f(x)

dx2

b) Derivada de Orden n-esimo, la derivada n-esima de y = f(x), es la derivada de orden (n-1):

y(n) =dny

dxn= f (n)(x) =

d

dxy(n−1)

c) Derivada de ordenes superiores de funciones dadas en forma parametrica

Sea x = ϕ(t); y = ψ(t)

dy

dx=

dy

dtdxdt

=dy

dt

dt

dx

y′x =y′tx′t

y′′xx = (y′x)′x =(y′x)′tx′t

y′′′xx = (y′′xx)′x =(y′′xx)′tx′t

3.13. FORMULA DE TAYLOR 53

3.12.1. Formula de Leibniz

La formula de Leibniz para la n-esima derivada de un producto, es:

(d

dx)n[f(x)g(x)] =

n∑k=0

(n

k

)[(d

dx)kf(x)][(

d

dx)n−kg(x)]

donde: (n

k

)=

n!

(n− k)!k!

se llama coeficiente binomial.

3.13. Formula de Taylor

Si una funcion f(x) es continua y tiene derivadas continuas hasta de grado (n− 1) inclusive, enel segmento a ≤ x ≤ b y para cada punto interior del mismo, existe una derivada finita f (n)(x), eneste segmento se verifica la formula de Taylor.

f(x) = f(a) + (x− a)f ′(a) + (x−a)2

2! f ′′(a) + (x−a)3

3! f ′′′(a) + . . .

+ (x−a)n−1

(n−1)! f (n)(a) + (x−a)n

n! f (n)(ξ)

donde ξ = a+ θ(x− a); 0 < θ < 1Si a = 0, Formula de MacLaurin

f(x) = f(0) + xf ′(0) +x2

2!f ′′(0) +

x3

3!f ′′′(0) . . .+

xn−1

(n− 1)!f (n)(0) +

xn

n!f (n)(ξ)

donde ξ = θx; 0 < θ < 1

3.14. Regla de L’Hopital-Bernoulli

a) Lımites indeterminados de la forma 00 y ∞∞

Sea f(x), g(x) funciones derivables para 0 < |x− a| < h sin que g′(x) sea cero.

lımx→a

f(x)

g(x)= lım

x→a

f ′(x)

g′(x)

Si el lımite sigue indeterminado, se aplica nuevamente la regla.

b) Lımites indeterminados de la forma 0∞

Se debe convertir a la forma 00 o ∞∞

La expresion f(x)g(x) =f(x)

1

g(x)

c) Lımites indeterminados de la forma ∞−∞

Se debe convertir a la forma 00 o ∞∞

f(x)− g(x) = f(x)(1− g(x)f(x)

) =1− g(x)

f(x)1

f(x)


3.15. Aplicaciones Geometricas de la Derivada

a) Ecuacion de la recta tangente

La ecuacion de la recta tangente a la grafica de la funcion y = f(x) en el punto M(x0, y0) es:

y − y0 = y′(x0, y0)(x− x0)

donde y′(x0, y0) es la derivada y′ evaluada en M(x0, y0)

b) Ecuacion de la recta normal

La recta perpendicular a la recta tangente, que pasa por el punto contacto es:

y − y0 = − 1

y′(x0, y0)(x− x0)

x− x0 = −y′(x0, y0)(y − y0)

c) Angulo entre curvas

Es el angulo formado por las curvas y = f(x) y y = g(x) en el punto de contacto M(x0, y0).Sean φ1 y φ2, los angulos de las rectas tangentes respectivamente.

ω es al angulo que forman las rectas tangentes:

ω = φ1 − φ2

tanω =g′(x0)− f ′(x0)

1 + f ′(x0)g′(x0)

Ejemplo 3.7 Hallar la recta tangente y la recta normal a la grafica de la funcion: y = f(x) =x3 − 3x2 − 6x+ 12, en el punto x0 = 2.

Solucion 3.1 Las ecuaciones de las rectas tangente y normal en el punto M(x0, y0), son:

y − y0 = y′(x0)(x− x0)

y − y0 = − 1

y′(x0)(x− x0)

Si x0 = 2, entonces y0 = f(x0) = −4. La pendiente de la recta tangente, esta dado por:

y′(x0) = f ′(x0) = −6

.La ecuacion de la recta tangente, es: y − (−4) = −6(x− 2)

y + 4 = −6(x− 2)

La pendiente de la recta normal, esta dado por:

− 1

y′(x0)= − 1

f ′(x0)= − 1

−6=

1

6

.

La ecuacion de la recta normal, es y − (−4) =1

6(x− 2)

y + 4 =1

6(x− 2)

En la Fig.(3.3), se muestran las graficas de la funcion, y las rectas tangente y normal.

3.15. APLICACIONES GEOMETRICAS DE LA DERIVADA 55

Figura 3.3: Recta tangente y normal

Ejemplo 3.8 Hallar el angulo formado en el punto de contacto entre las curvas de las funciones:

y = f(x) = x2 + 4x− 6 y y = g(x) = −x2

4+ 4x− 1

Solucion 3.2 Sean φ1 y φ2, los angulos de las rectas tangentes respectivamente y sea ω el anguloque forman las rectas tangentes:

ω = φ1 − φ2

tanω =g′(x0)− f ′(x0)

1 + f ′(x0)g′(x0)

Para determinar los puntos de contacto, es necesario resolver la ecuacion: f(x) = g(x), es decir:

x2 + 4x− 6 = −x2

4+ 4x− 1. Las soluciones, son dos: x = 2 y x = −2, y sus ordenadas, son: y = 6

y y = −10 respectivamente.Las derivadas de las funciones, son:

f ′(x) = 2x+ 4

g′(x) = −x2

+ 4

Las pendientes de las rectas tangentes, son:Para x0 = 2, se tiene:

f ′(xo) = f ′(2) = 8

g′(xo) = g′(2) = 3

tanω =g′(2)− f ′(2)

1 + f ′(2)g′(2)=

3− 8

1 + 3 · 8= −1

5

w = arctan(−1

5) = −11,30993247o

Para x0 = −2, se tiene:f ′(xo) = f ′(−2) = 0

g′(xo) = g′(−2) = 5

tanω =g′(−2)− f ′(−2)

1 + f ′(−2)g′(−2)=

5− 0

1 + 0 · 5= 5

w = arctan(5) = 78,69006752o

En la Fig.(3.4), se muestran los angulos entre las graficas de las funciones.


Figura 3.4: Angulo entre curvas

Capıtulo 4

Teorema del Valor Medio, Extremos

4.1. Introduccion

En este capıtulo, se consideran los teoremas del valor medio, los puntos crıticos y de inflexion,se analizan los extremos de una funcion, las asıntotas y se presentan los pasos para graficar unafuncion.

4.2. Teoremas del Valor Medio

Teorema 4.1 Teorema de Rolle. Si una funcion y = f(x), es continua en el segmento a ≤ x ≤ b,tiene una derivada f ′(x) en cada uno de los puntos interiores de este y f(a) = f(b), para su variableindependiente x, existe por lo menos un valor ξ, donde a < ξ < b, es tal que:

f ′(ξ) = 0

Teorema 4.2 Teorema de Lagrange o teorema de los incrementos. Si una funcion y = f(x),es continua en el segmento a ≤ x ≤ b, tiene una derivada f ′(x) en cada uno de los puntos interioresde este, se tiene:

f(b)− f(a) = (b− a)f ′(ξ)

donde a < ξ < b

Teorema 4.3 Teorema de Cauchy. Si dos funciones f(x) y g(x), son continuas en el segmentoa ≤ x ≤ b y tienen en el intervalo a < x < b derivadas que no se anulan simultaneamente, siendog(b) 6= g(a), se tiene:

f(b)− f(a)

g(b)− g(a)=f ′(ξ)

g′(ξ)

4.3. Puntos Crıticos

Para cualquier funcion f(x), un punto x en el dominio de f(x) en donde f ′(x) = 0 o f ′(x) noesta definido, se llama punto crıtico.

Que indican los puntos crıticos?

1. Geometricamente, en un punto crıtico, en donde f ′(x) = 0, la lınea tangente a la grafica de fen x es horizontal.

2. En un punto crıtico, en donde f ′(x) no esta definido, no hay tangente horizontal a la grafica,es decir, o hay una tangente vertical o no hay tangente en absoluto.

57

58 CAPITULO 4. TEOREMA DEL VALOR MEDIO, EXTREMOS

Si f ′(x) = 0, entonces los puntos crıticos determinan el mınimo o maximo de una funcion.

4.4. Puntos de Inflexion

Sea f ′′(x0) = 0, el punto x0 cambia el sentido de la concavidad de la grafica de la funcion y x0

se llama punto de inflexion, (tambien se denomina punto crıtico de 2a especie).Se verifica que:si f ′′(x) < 0 para a < x 0 para a < x 0 tal que para todo x ∈ D con |x− c| < δ es f(x) ≤ f(c) (tambien se dice que f tieneun maximo local en c).

Se dice que f tiene un maximo relativo estricto en c si existe un δ > 0 tal que para todox→ D con 0 < |x− c| < δ es f(x) < f(c) (tambien se dice que f tiene un maximo local estricto enc).

Se dice que f tiene un mınimo relativo en c si existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ D con|x− c| < δ es f(x) > f(c) (tambien se dice que f tiene un mınimo local en c).

Se dice que f tiene un mınimo relativo estricto en c si existe un δ > 0 tal que para todox ∈ D con 0 < |x− c| < δ es f(x) > f(c) (tambien se dice que f tiene un mınimo local estricto enc).

Que f tiene un extremo relativo en c significa que tiene un maximo relativo o un mınimorelativo.

Los extremos de una funcion permiten determinar las caracterısticas de una funcion.

4.6. Asıntotas

a) Asıntotas verticales en x = a

lımx→a

f(x) =∞

b) Asıntotas oblicuas Si existen los lımites:

lımx→+∞

f(x)

x= k1

y

lımx→+∞

[f(x)− k1x] = b1

La recta y = k1x+ b1, sera una recta asıntota (oblicua a la derecha)

Si existen los lımites:

lımx→−∞

f(x)

x= k2

y

lımx→−∞

[f(x)− k2x] = b2

La recta y = k2x+ b2, sera una recta asıntota (oblicua a la izquierda)

4.7. FORMULA DE INTERPOLACION DE NEWTON 59

4.7. Formula de Interpolacion de Newton

La formula de interpolacion de Newton, permite resolver ecuaciones de la forma f(x) = 0). Sise traza la recta tangente a la funcion en x0, se tiene la ecuacion:

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) = 0

se tiene la nueva aproximacion:

x = x0 −f(x0)

f ′(x0)

la formula iterativa, es:

xi+1 = xi −f(xi)

f ′(xi)

Ejemplo 4.1 Resolver la ecuacion 2x3 + 3x2 + 4x+ 5 = 0

Solucion 4.1 Considerando la funcion y = f(x) = 2x3 + 3x2 + 4x+ 5 y su interseccion con el ejeY, es la solucion de la ecuacion, es decir:

2x3 + 3x2 + 4x+ 5 = 0

.

Figura 4.1: Grafica de la funcion

En la Fig. (4.1), se muestra la grafica de la funcion. El analisis de la grafica de la funcion,determina que se tiene un solo punto de interseccion con el eje X, por tanto, se concluye que lafuncion tiene una sola raız real.

Para aplicar la formula de interpolacion de Newton para resolver la ecuacion, es necesario hallarla funcion derivada: y′ = f ′(x) = 6x2 + 6x+ 4.

La formula de interpolacion es:

xi+1 = xi −f(x)

f ′(x)

Considerando el punto de partida: x0 = 1, las iteraciones sucesivas, son:


Iteracion inicial, i = 0x0 = 1, f(1) = 2 · 13 + 3 · 12 + 4 · 1 + 5 = 14 y f ′(1) = 6 · 12 + 6 · 1 + 4 = 16.La nueva aproximacion, es:

x1 = x0 −f(x0)

f ′(x0)= 1− 14

16= 0,125

Nueva iteracion: i = 1x1 = 0,125; f(0,125) = 2 · (0,125)3 + 3 · (0,125)2 + 4 · (0,125) + 5 = 5,55078125 y f ′(0,125) =

6 · (0,125)2 + 6 · (0,125) + 4 = 4,84375.La nueva aproximacion, es:

x2 = x1 −f(x1)

f ′(x1)= 0,125− f(0,125)

f ′(0,125)= 0,125− 5,55078125

4,84375= −1,020967742

En el cuadro 4.1, se muestran las aproximaciones sucesivas, despues de 7 iteraciones se tiene lasolucion con 9 decimales.

Cuadro 4.1: Aproximacion sucesiva en cada iteracioni xi+1 xi f(x) f ′(x)

0 0,125 1 14 16

1 -1,020967742 0,125 5,55078125 4,84375

2 -1,484772387 -1,020967742 1,914791657 4,128444329

3 -1,379953881 -1,484772387 -0,871949509 8,318659926

4 -1,37119161 -1,379953881 -0,062614424 7,145912992

5 -1,371134334 -1,37119161 -0,000404018 7,053848928

6 -1,371134331 -1,371134334 -1,71476E-08 7,053250165

7 -1,371134331 -1,371134331 0 7,053250139

Observacion 4.1 El punto inicial es determinante para el exito de la solucion del problema, puntosmuy alejados de la solucion requerira muchas iteraciones. En algunos casos, la tecnica puede fallar.

Ejemplo 4.2 Resolver la ecuacion: x2 − x− sen(x)− 2,75 = 0

Solucion 4.2 En la Fig. (4.2), se muestra la grafica de la funcion. El analisis de la grafica de lafuncion, determina que se tiene dos puntos de interseccion con el eje X, por tanto, se concluye quela funcion tiene dos raıces reales.

Considerando el punto de partida: x0 = 2, las iteraciones sucesivas, son:

Iteracion inicial, i = 2x0 = 2, f(2) = −1, 659297427 y f ′(2) = 3, 416146837.La nueva aproximacion, es:

x1 = x0 −f(x0)

f ′(x0)= 2− f(2)

f ′(2)= 2− −1, 659297427

3, 416146837= 2, 485721928

Nueva iteracion: i = 2x1 = 2, 485721928; f(2, 485721928) = 0, 333242035 y f ′(2, 485721928) = 4, 763961072.La nueva aproximacion, es:

x2 = x1 −f(x1)

f ′(x1)= 2, 485721928− f(2, 485721928)

f ′(2, 485721928)= 2, 485721928− 0, 333242035

4,84375= 2, 415771307

4.8. APLICACIONES DE LA DERIVADA 61


Cuadro 4.2: Aproximacion sucesiva. Primera solucioni xi+1 xi f(x) f ′(x)

0 2,485721928 2 -1,659297427 3,416146837

1 2,415771307 2,485721928 0,333242035 4,763961072

2 2,414367287 2,415771307 0,006429704 4,579497119

3 2,414366713 2,414367287 2,62583E-06 4,575756425

4 2,414366713 2,414366713 4,38427E-13 4,575754896

5 2,414366713 2,414366713 0 4,575754896


La ecuacion cuadratica, tiene dos soluciones. Para la otra solucion, se puede partir desde x0 =−0, 5.


Cuadro 4.3: Aproximacion sucesiva. Segunda solucioni xi+1 xi f(x) f ′(x)

0 -1,028420794 -0,5 -1,520574461 -2,877582562

1 -0,974529301 -1,028420794 0,192555038 -3,573013642

2 -0,974052372 -0,974529301 0,001674315 -3,510616192

3 -0,974052334 -0,974052372 1,33367E-07 -3,510056899

4 -0,974052334 -0,974052334 0 -3,510056854

4.8. Aplicaciones de la Derivada

4.8.1. Graficar una Funcion

4.8.1.1. Pasos para Graficar una funcion

1. Determinar los puntos de interseccion con el eje X. Resolver y = f(x) = 0


2. Determinar los puntos de interseccion con el eje Y . Hallar y(0)

3. Determinar los puntos de indeterminacion. Puntos donde el denominador (si fuera el caso) dela funcion, se anula

4. Hallar los puntos crıticos xi, tal que: f ′(xi) = 0

5. Hallar los puntos de inflexion xj , tal que: f ′′(xj) = 0

6. Hallar los puntos maximos y mınimos: f ′′(xi) < 0 y f ′′(xi) > 0

7. Hallar las asıntotas horizontales, verticales y oblicuas

Ejemplo 4.3 Graficar la funcion: y = f(x) = x3 − 6∆x2 − 19∆x+ 24

Solucion 4.3 1. Los puntos de interseccion con el eje X, son las raıces de y = 0, es decir:x3 − 6∆x2 − 19∆x+ 24 = 0. Las raıces, son: x = 1, x = −3 y x = 8

2. Los puntos de interseccion con el eje Y, son: y(0) = 24

3. La funcion esta definida para todo numero real, es decir, no tiene puntos de indeterminacion.

4. Los puntos crıticos xi, se calculan resolviendo: f ′(x) = 3x2 − 12x − 19 = 0. Estos puntos

crıticos, son: x1 = 2−√

93

3= −1,214550253 y x2 = 2 +

√93

3= 5,214550253. Sus ordenadas,

son: y1 = f(x1) = 36,43403857 y y2 = f(x2) = −96,43403857

5. Los puntos de inflexion, xj, se calculan resolviendo: f ′′(x) = 6x− 12 = 0. Este punto crıtico,es: x3 = 2 y su ordenada, es: y3 = f(x3) = −30

6. Los puntos maximos y mınimos, se determina evaluando: f ′′(xi)

f ′′(x1) = −19,28730151 < 0 es un maximo local y f ′′(x2) = 19,28730151 > 0, es un mınimolocal.

7. Las asıntotas:

lımx→∞f(x)

x= lım

x→∞x2 − 6x− 19 +

24

x=∞

No tiene una recta asıntota oblicua hacia la derecha.

lımx→−∞f(x)

x= lım

x→−∞x2 − 6x− 19 +

24

x= −∞

No tiene una recta asıntota oblicua hacia la derecha. Por tanto, la funcion no tiene rectasasıntotas.

En la Fig. (4.3), se muestra la grafica de la funcion f(x), donde se muestran los puntos:maximo, mınimo y de inflexion, asimismo los puntos de interseccion con los ejes Y y X.

Ejemplo 4.4 Graficar la funcion: y = f(x) =x3 + 12x2 − 5x+ 5

x− 5

Solucion 4.4 1. El punto de interseccion con el eje X, es: x = −12,4344 y las otras dos soncomplejos conjugados.

2. El punto de interseccion con el eje Y, es: y(0) = −1

3. La funcion no esta definida en x = 5. El denominador se anula.



4. Los puntos crıticos xi, se calculan resolviendo: f ′(x) =2x3 − 3x2 − 120x+ 20

(x− 5)2= 0. Estos

puntos crıticos, son: x1 = 0,1660, x2 = 8,4558 y x3 = −7,1218. Sus ordenadas, son: y1 =f(x1) = −0,9320, y2 = f(x2) = 412,4434 y y3 = f(x3) = −23,7614

5. Los puntos de inflexion, xj, se calculan resolviendo: f ′′(x) =2(x3 − 15x2 + 75x+ 280

(x− 5)3= 0.

Este punto crıtico, es: x4 = −2,3986 y su ordenada, es: y4 = f(x4) = −9,7631


f ′′(x1) = −5,1710 < 0 es un maximo local,

f ′′(x2) = 21,6257 > 0 es un mınimo local y

f ′′(x3) = 1,5452 > 0, es un mınimo local.

7. Las asıntotas:

lımx→∞f(x)

x= lım

x→∞

x3 + 12x2 − 5x+ 5

x(x− 5)=∞

No tiene una recta asıntota oblicua hacia la derecha.

lımx→−∞f(x)

x= lım

x→−∞

x3 + 12x2 − 5x+ 5

x(x− 5)= −∞

No tiene una recta asıntota oblicua hacia la derecha. Por tanto, la funcion no tiene rectasasıntotas oblicuas.

En el punto de indeterminacion x = 5, tiene una recta asıntota vertical.

lımx→5+x3 + 12x2 − 5x+ 5

x− 5=

405

0+= +∞

lımx→5−x3 + 12x2 − 5x+ 5

x− 5=

405

0−= −∞

En la Fig. (4.4), se muestra la grafica de la funcion f(x), donde se muestran los puntos:maximo, mınimo y de inflexion, asimismo los puntos de interseccion con los ejes Y y X.

Ejemplo 4.5 Graficar la funcion: y = f(x) =2x2 + 3x− 21

x+ 6



Solucion 4.5 1. Los puntos de interseccion con el eje X, son: x = 2,5760 y x = −4,0760.

2. El punto de interseccion con el eje Y, es: y(0) = −7

2

3. La funcion no esta definida en x = −6. El denominador se anula.

4. Los puntos crıticos xi, se calculan resolviendo: f ′(x) =2x2 + 24x+ 39

(x+ 6)2= 0. Estos puntos

crıticos, son: x1 = −10,0620 y x2 = −1,9380. Sus ordenadas, son: y1 = f(x1) = −37,2481 yy2 = f(x2) = −4,7519.

5. Los puntos de inflexion, xj, se calculan resolviendo: f ′′(x) =66

(x+ 6)3= 0. Esta ecuacion no

tiene una solucion para ningun x finito. Por tanto, no tiene punto de inflexion.


f ′′(x1) = −0,9847 < 0 es un maximo local y

f ′′(x2) = 0,9847 > 0 es un mınimo local.

7. Las asıntotas:

lımx→∞f(x)

x= lım

x→∞

2x2 + 3x− 21

x(x+ 6)= 2 = k1

lımx→∞[f(x)− k1x] = lımx→∞2x2 + 3x− 21

x+ 6− 2x = lım

x→∞

−9x− 21

x+ 6= −9 = b1

La ecuacion de la recta asıntota oblicua hacia la derecha, es:

y = 2x− 9

lımx→−∞f(x)

x= lım

x→−∞

2x2 + 3x− 21

x(x+ 6)= 2 = k2

lımx→−∞[f(x)− k2x] = lımx→−∞2x2 + 3x− 21

x+ 6− 2x = lım

x→−∞

−9x− 21

x+ 6= −9 = b2


La ecuacion de la recta asıntota oblicua hacia la izquierda, es:

y = 2x− 9

En el punto de indeterminacion x = −6, tiene una recta asıntota vertical.

lımx→−6+2x2 + 3x− 21

x+ 6=

33

0+= +∞

lımx→−6−2x2 + 3x− 21

x+ 6=

33

0−= −∞


En la Fig. (4.5), se muestra la grafica de la funcion f(x), donde se muestran los puntos:maximo y mınimo, interseccion con los ejes Y y X, y las rectas asıntotas.

4.8.2. Problemas de Optimizacion

Una de las aplicaciones mas frecuentes de la derivada es determinar los valores maximos ymınimos, por ejemplo: El calculo del costo mınimo, la utilidad maxima, la tension maxima, laforma optima, el tamano mınimo, la resistencia maxima, la distancia maxima, etc.

Son problemas que se plantean en un determinado contexto. Para resolver este tipo de problemas,es necesario modelar y aplicar las derivadas para calcular los valores extremos.

La estrategia a seguir para obtener la solucion, esta determinado por los siguientes pasos:

1. Definir las variables y los datos, y graficar (o esquematizar) la situacion del problema si esposible.

2. Determinar la funcion que se va a optimizar y plantear la restriccion del problema si existe.

3. Hallar los puntos crıticos y determinar si corresponden a un maximo o mınimo.

4. Verificar si los maximos y mınimos estan dentro del dominio del problema.

5. Interpretar los resultados y la respuesta.


Ejemplo 4.6 Se debe construir una caja rectangular de laton sin tapa. Se dispone un laton de20 × 16 cm, se le realiza un corte cuadrado en cada esquina y se doblan lo bordes por las lıneaspunteadas. ¿Cual debe ser tamano de los cuadrados recortados para maximizar el volumen?

Solucion 4.6 Los pasos de la solucion, son los siguientes:

1. Sea x el lado del cuadrado a cortar.

La longitud de la base, es: 16− 2x

La anchura de la base es: 20− 2x y

La altura de la caja, es: x

Figura 4.6: Esquema del problema

En la Fig. (4.6), se muestra el diagrama esquematico del problema.

2. El volumen de la caja a optimizar, es: V = (16− 2x)(20− 2x)x = 4x3 − 72x2 + 320x

3.dV

dx= 12x2 − 144x + 320 = 0, los valores de x que anulan V ′, son: x1 = 9,0551 y x2 =

2,9449 con los cuales V ′′(x) =d2V

dx2= 24x − 144, se tiene: V ′′(9,0551) = 16

√21 > 0 es un

mınimo y V ′′(2,9449) = −16√

21 < 0 es un maximo. Los volumenes que se obtienen, son:V1 = −36,1104cm3 y V2 = 420,1104cm3.

4. El cuadrado maximo que se puede cortar es16

2= 8 una de las soluciones x1 = 9,0551 > 8 por

tanto, no corresponde al dominio del problema, por lo cual se lo descarta por ser una solucionno fısica.

5. La solucion del problema corresponde al cortar un cuadrado de x2 = 2,9449 cm. El volumenmaximo de la caja de hojalata es de 420,1104cm3.

Ejemplo 4.7 Una fabrica desea producir un recipiente cilındrico, es decir, una lata que contenga250cm3 de leche. Determinar las dimensiones que minimizan el costo de la hojalata.

Solucion 4.7 1. El area total de la hojalata es igual a la suma de las areas de: La base, la tapay los lados.

En la Fig.(4.7), se muestra el esquema para el problema.

2. El area: A = 2πr2 + 2πrh El volumen: V = πr2h = 250cm3, la altura de la lata, h =250

πr2

sustituyendo en el area, se tiene:

A = 2πr2 + 2πr250

πr2= 2πr2 +

500

r


Figura 4.7: Lata de 250cm3

3. La derivada del area, A: A′ =dA

dr= 4πr − 500

r2A′′ =

d2A

dr2= 4π +

1000

r3

A′ = 4πr − 500

r2= 0, → 4πr − 500

r2= 0 → 4πr3 − 500 = 0 → r = 3

√500

4π= 3,4139

A′′ = 4π +1000

(3,4139)3= 37,6991 > 0, entonces, se tiene un mınimo.

4. El problema tiene una sola solucion, las otras raıces con complejas conjugadas.

5. La lata debe tener un radio de r = 3,4139cm y una altura de h = 11,6549cm


Capıtulo 5

Integrales

5.1. Introduccion

Las integrales y su calculo son de aplicacion permanente en el campo de la ingenierıa. En estecapıtulo, se presentan: la definicion de integral indefinida, los metodos de integracion, la integraldefinida, las integrales impropias y aplicaciones.

5.2. Integral Indefinida

Sea F ′(x) la derivada de F (x), es decir:

f(x) = F ′(x) =dF (x)

dx

F (x) se llama la funcion primitiva de f(x) (se denomina tambien, integral o antiderivada)

Definicion 5.1 Integral IndefinidaSi F (x) es una funcion primitiva de f(x), la expresion F (x) + c, se llama integral indefinida de

la funcion f(x): ∫f(x)dx = F (x) + c

donde:c es una constante de integracion arbitraria.f(x) se llama integrando o funcion bajo el signo integral.∫

signo de integracion.f(x)dx elemento de integracion.

La integral indefinida representa una familia de funciones de la forma:

y = F (x) + c

La integracion de una funcion, es el proceso que permite hallar la funcion primitiva. La integra-cion es un proceso inverso a la derivacion.

Definicion 5.2 La derivada de una integral indefinida es igual al integrando, es decir, si:

F ′(x) = f(x)

(

∫f(x)dx)′ = (F (x) + c)′ = f(x)

69

70 CAPITULO 5. INTEGRALES

Definicion 5.3 La diferencial de una integral indefinida es igual al elemento de integracion:

d(

∫f(x)dx) = f(x)dx

Definicion 5.4 La integral indefinida de la diferencial de una cierta funcion es igual a la suma dela funcion primitiva y una constante arbitraria, denominada constante de integracion:∫

dF (x) = F (x) + c

5.3. Reglas Fundamentales de Integracion

Sean f, g y u funciones, a, m, c constantes. Las principales reglas de integracion, son:

1.∫ ddx

[f(x)]dx = f(x) + c

2.∫

(f(x)± g(x))dx =∫f(x)dx±

∫g(x)dx

3.∫dx = x+ c

4.∫adx = ax+ c

5.∫af(x)dx = a

∫f(x)dx

6.∫xmdx = xm+1

m+ 1 + c; m 6= −1

7.∫ 1xdx = ln|x|+ c

8.∫umdu = um+1

m+ 1 + c; m 6= −1

9.∫ 1udu = ln|u|+ c

10.∫axdx = ax

ln a+ c; a > 0, a 6= 1

11.∫exdx = ex + c

12.∫eudu = eu + c

13.∫

sen(x)dx = − cos(x) + c

14.∫

cos(x)dx = sen(x) + c

15.∫

tan(x)dx =∫ sen(x)

cos(x)dx = −ln| cos(x)|+ c

16.∫

sen(u)du = − cos(u) + c

17.∫

cos(u)du = sen(u) + c

18.∫

tan(u)du =∫ sen(u)

cos(u)du = −ln| cos(u)|+ c

5.4. INTEGRACION POR PARTES 71

5.3.1. Metodo de Sustitucion

Tambien, se denomina metodo del cambio de variable.El metodo de integracion por sustitucion, consiste en efectuar un cambio de variable con el

objeto de simplificar el integrando e integrar directamente.Sea

∫f(x)dx, realizando un cambio de variable o sustitucion

x = g(u) ; dx = g′(u)du

El metodo de integracion por sustitucion se basa en la regla de la cadena.∫f(x)dx =

∫f(g(u))g′(u)du

El metodo se basa en identificar una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable u,de modo que se obtenga una integral mas sencilla.

Ejemplo 5.1 Calcular la siguiente integral:∫x2 + 2x

3√x3 + 3x2 + 1

dx

Solucion 5.1 Sea u = x3 + 3x2 + 1; dudx

= 3x2 + 6x, entonces, dx = du3x2 + 6x

=, por lo tanto:

∫x2 + 2x

3√x3 + 3x2 + 1

dx =

∫x2 + 2x

3√u

du

3x2 + 6x=

1

3

∫13√udu =

1

3

∫u−1/3du =

1

3· 3

2u2/3 + c

5.3.2. Integracion por Simple Inspeccion

Se presentan dos casos:

1.∫g′(x)[g(x)]rdx = 1

r + 1g(x)r+1 + c; r 6= −1

2.∫ g′(x)g(x)

dx = ln|g(x)|+ c

5.4. Integracion por Partes

Cuando u, v son funciones diferenciables de x

d(uv) = udv + vdu

udv = d(uv)− vdu∫udv =

∫d(uv)−

∫vdu = uv −

∫vdu∫

udv = uv −∫vdu

donde se debe tener en cuenta que:

1. La parte escogida como dv ha de ser facil de integrar

2. La∫vdu no debe ser mas complicado que

∫udv


5.5. Integracion de Fracciones Racionales Elementales

Toda funcion racional se puede expresar en forma de una fraccion racional, como cociente dedos polinomios:

f(x) =p(x)q(x)

=amx

m + am−1xm−1 + . . .+ a1x+ a0

bnxn + bn−1x

n−1 + . . .+ b1x+ b0Si m < n, se llama fraccion racional propia.Si m > n, se llama fraccion racional impropia.Si la fraccion racional es impropia, es necesario expresar la fraccion como un polinomio cociente

y un residuo:p(x)q(x)

= c(x) +r(x)q(x)

La integracion de polinomios no ofrece problemas. La dificultad esta en la integracion de frac-ciones racionales propias:

Fracciones elementales o simples:

I) Ax− a

II) A(x− a)k

; k entero positivo y k ≥ 2

III) Ax+Bx2 + px+ q

; las raıces del denominador son complejas: p2 − 4q < 0

IV) Ax+B(x2 + px+ q)k

; k ≥ 2 y p2 − 4q < 0

La integracion de fracciones elementales, es inmediata:La integral del I) tipo: ∫

A

x− adx = A

∫dx

x− a= Aln|x− a|+ c

La integral del II) tipo:∫A

(x− a)kdx = A

∫(x− a)−kdx = A

(x− a)−k+1

−k + 1+ c; k 6= 1

La integral del III) tipo:

∫ Ax+Bx2 + px+ q

dx =∫ A

2(2x+ p) + (B − A

2p)

x2 + px+ qdx

= A2

∫ (2x+ p)

x2 + px+ qdx+ (B − A

2p)∫ dxx2 + px+ q

= A2 ln(x2 + px+ q) + (B − A

2p)1√

q − p2

4

arctan( x+

p

2√q − p2

4

)+ c

La ultima integral se obtiene completando cuadrados y realizando un cambio de variables, comosigue: ∫

dx

x2 + px+ q=

∫dx(

x+p

2

)2+(q − p2

4

)

5.5. INTEGRACION DE FRACCIONES RACIONALES ELEMENTALES 73

Realizando el cambio de variable: t = x+p

2y m2 = q − p2

4, entonces dt = dx, la integral queda:

∫dx(

x+p

2

)2+(q − p2

4

) =

∫dt

t2 +m2=

1

marctan

t

m=

1√q − p2

4

arctanx+

p

2√q − p2

4

La integral del IV) tipo:

∫ Ax+B(x2 + px+ q)k

dx =∫ A

2(2x+ p) + (B − Ap

2)

(x2 + px+ q)kdx

=A

2

∫(2x+ p)

(x2 + px+ q)kdx+ (B − Ap

2)

∫dx

(x2 + px+ q)k

=A

2(1− k)

1

(x2 + px+ q)k−1+ (B − Ap

2)

∫dx

(x2 + px+ q)k

Denominando Ik a la segunda integral y completando cuadrados, se tiene:

Ik =

∫dx

(x2 + px+ q)k=

∫dx[(

x+p

2

)2+(q − p2

4

)]k =

∫dt

(t2 +m2)k

En la que t = x+p

2, m2 = q − p2

4y dt = dx. Se procede de la siguiente manera:

Ik =

∫dt

(t2 +m2)k=

1

m2

∫(t2 +m2)− t2

(t2 +m2)kdt =

1

m2

∫1

(t2 +m2)k−1dt− 1

m2

∫t2

(t2 +m2)kdt

Transformada, esta ultima integral, se tiene:∫t2

(t2 +m2)kdt =

∫t · tdt

(t2 +m2)k=

1

2

∫td(t2 +m2)

(t2 +m2)k= − 1

2(k − 1)

∫td[ 1

(t2 +m2)k−1

]Integrando por partes, se tiene:∫

t2

(t2 +m2)kdt = − 1

2(k − 1)

[t

1

(t2 +m2)k−1−∫

dt

(t2 +m2)k−1

]Reemplazando en Ik, se tiene:

Ik =∫ dt

(t2 +m2)k=

1

m2

∫dt

(t2 +m2)k−1+

1

m2

1

2(k − 1)

[t

1

(t2 +m2)k−1−∫

dt

(t2 +m2)k−1

]=

t

2m2(k − 1)(t2 +m2)k−1+

2k − 3

2m2(k − 1)

∫dt

(t2 +m2)k−1

La integral del segundo termino, Ik−1, es del mismo tipo que Ik cuyo grado del denominador dela funcion a integrar es k − 1, entonces, Ik se expresa en funcion de Ik−1.

Aplicando sucesivamente este proceso, se llega a la integral conocida:

I1 =

∫dt

t2 +m2=

1

marctan

t

m


Ejemplo 5.2 Hallar la integral∫ 3x+ 4

(x2 + 3x+ 5)2dx

Solucion 5.2

∫ 3x+ 4

(x2 + 3x+ 5)2dx =

∫ 3

2(2x+ 3) + (4− 3

23)

(x2 + 3x+ 5)2dx =

3

2

∫(2x+ 3)dx

(x2 + 3x+ 5)2− 1

2

∫dx

(x2 + 3x+ 5)2

= −3

2

1

x2 + 3x+ 5− 1

2

∫dx

(x2 + 3x+ 5)2=

3

2

1

x2 + 3x+ 5− 1

2I2

La integral I2,se halla completando cuadrados y realizando el cambio de variable recomendado:

I2 =∫ dx

(x2 + 3x+ 5)2=

∫dx[(

x+ 32

)2+ 11

4

]2 =

∫dt

(t2 + 114 )2

= 1114

∫ (t2 + 114 )− t2

(t2 + 114 )2

dt =1114

∫dt

t2 + 114

− 1114

∫t2dt

(t2 + 114 )2

=1114

I1 −1

2

1114

∫td(t2 + 11

4 )

(t2 + 114 )2

Integrando por partes la ultima integral, se tiene:∫td(t2 + 11

4 )

(t2 + 114 )2

= − t

t2 + 114

−∫− dt

t2 + 114

= − t

t2 + 114

+ I1

Como:I1 =∫ dt

t2 + 114

=1√114

arctanx+ 3

2√114

=2√

11

11arctan

√11(2x+ 3)

11

Reemplazando en I2 y t = x+ 32 , se tiene:

I2 =∫ dt

(t2 + 114 )2

=1114

I1 −1

2

1114

∫td(t2 + 11

4 )

t2 + 114

=1114

I1 −1

2

1114

[− t

t2 + 114

+ I1

]= 1

114

I1 − 12

1114

[− t

t2 + 114

+ I1

]=

t

2114 (t2 + 11

4 )+

1

2114

I1

= t2 11

4(t2+ 11

4)

+ 12 11

4

I1 =x+ 3

2112

(x2+3x+5)+ 1

2 114

2√

1111 arctan

√11(2x+3)

11

Reemplazando en la integral original, se tiene:

∫ 3x+ 4

(x2 + 3x+ 5)2dx =

3

2

1

x2 + 3x+ 5− 1

2I2

= −3

2

1

x2 + 3x+ 5− 1

2

[ x+ 32

112 (x2 + 3x+ 5)

+1

2114

2√

11

11arctan

√11(2x+ 3)

11

]= − x+ 18

11(x2 + 3x+ 5)− 2√

11

121arctan

√11(2x+ 3)

11+ c

5.6. Descomposicion de una Fraccion Racional Propia en Fraccio-nes Simples

Sean f(x) =p(x)q(x)

una fraccion racional propia y q(x) = (x−a)α(x−b)β . . . (x2+px+q)µ . . . (x2+

lx+ s)γ .

La fraccionp(x)q(x)

, se descompone en:

5.6. DESCOMPOSICION DE UNA FRACCION RACIONAL PROPIA EN FRACCIONES SIMPLES 75

p(x)q(x)

= A(x− a)α

+ A1

x− a)α−1 + A2

(x− a)α−2 +. . .+Aα−1

(x− a)+ B

(x− b)β+ B1

(x− b)β−1 + B2

(x− b)β−2 +

. . . +Bβ−1

(x− b) + Mx+N(x2 + px+ q)µ

+ M1x+N1

(x2 + px+ q)µ−1 + M2x+N2

(x2 + px+ q)µ−2 + . . . +Mµ−1x+Nµ−1

(x2 + px+ q)+

Px+Q(x2 + lx+ s)γ

+P1x+Q1

(x2 + lx+ s)γ−1 +P2x+Q2

(x2 + lx+ s)γ−2 + . . .+Pγ−1x+Qγ−1

(x2 + lx+ s)

Ejemplo 5.3 Descomponer la fraccion racional en fracciones parciales:

x4 + 4x3 + 6x+ 1

x(x− 1)(x+ 2)

Solucion 5.3 La fraccion racional a descomponer en fracciones parciales, es una fraccion racio-nal impropia, debido a que el grado del numerador, 4, es mayor al grado del denominador, 3.Previamente, es necesario hallar el polinomio cociente y la fraccion racional propia que puede serdescompuesta en fracciones simples.

x4 + 4x3 + 6x+ 1

x(x− 1)(x+ 2)= x+ 3 +

−x2 + 6x+ 1

x(x− 1)(x+ 2)

La fraccion racional propia, se descompone en fracciones simples:

−x2 + 6x+ 1

x(x− 1)(x+ 2)=A

x+

B

x− 1+

C

x+ 2=A(x− 1)(x+ 2) +Bx(x+ 2) + Cx(x− 1)

x(x− 1)(x+ 2)

El denominador de las fracciones deben ser iguales para cualquier valor de x, es decir:

−x2 + 6x+ 1 = A(x− 1)(x+ 2) +Bx(x+ 2) + Cx(x− 1)

Considerando que las raıces del denominador, son reales y simples, se puede aplicar la siguientetecnica para hallar las constantes, A, B y C:

Si x = 0; 1 = −2A, entonces, A = −1

2Si x = 1; 12 = 3B, entonces, B = 4

Si x = −2; −27 = 6C, entonces, C = −9

2La descomposicion, pedida, es:

x4 + 4x3 + 6x+ 1

x(x− 1)(x+ 2)= x+ 3 +

−x2 + 6x+ 1

x(x− 1)(x+ 2)= x+ 3− 1

2

1

x+

4

x− 1+−9

2

1

x+ 2

Ejemplo 5.4 Descomponer en fracciones parciales, la siguiente fraccion racional:

3x− 5

2x2 + x− 6

Solucion 5.4 En los problemas de descomposicion en fracciones parciales, el denominador se debeexpresar en termino de factores que contiene sus raıces. El problema radica en hallar las raıces deldenominador, en algunos problemas ayuda la tecnica de la regla de Ruffini si los coeficientes delpolinomio son numeros enteros.

En este caso el denominador se puede factorizar, como:

2x2 + x− 6 = (2x− 3)(x+ 2)

Las raıces, son: x =3

2y x = −2


3x− 5

2x2 + x− 6=

3x− 5

(2x− 3)(x+ 2)=

A

2x− 3+

B

x+ 2=A(x+ 2) +B(2x− 3)

(2x− 3)(x+ 2)

Considerando los denominadores, se tiene:

3x− 5 = A(x+ 2) +B(2x− 3)

Si x =3

2; −1

2=

7

2A; entonces: A = −1

7

Si x = −2; −11 = −7B, entonces: B =11

7La descomposicion en fracciones parciales, es:

3x− 5

2x2 + x− 6= −1

7

1

2x− 3+

11

7

1

x+ 2

Observacion 5.1 Para facilitar la descomposicion en fracciones parciales, es preferible expresarel denominador en funcion de sus raıces. La fraccion racional propia del ejemplo anterior quedaexpresado como:

3x− 5

2x2 + x− 6=

1

2

3x− 5

x2 + 12x− 3

=1

2

3x− 5

(x− 32)(x+ 2)

Y se procede del mismo modo.

5.6.1. Casos de Descomposicion en Fracciones Parciales

En la descomposicion de fracciones racionales propias en fracciones parciales, se presentan varioscasos:

1. Caso: Raıces reales simples


2x2 + 3x+ 4

(x− 1)(x+ 2)(x− 3)

Solucion 5.5

2x2 + 3x+ 4

(x− 1)(x+ 2)(x− 3)=

A

x− 1+

B

x+ 2+

C

x− 3

=A(x+ 2)(x− 3) +B(x− 1)(x− 3) + C(x− 1)(x+ 2)

(x− 1)(x+ 2)(x− 3)


2x2 + 3x+ 4 = A(x+ 2)(x− 3) +B(x− 1)(x− 3) + C(x− 1)(x+ 2)

Las raıces del denominador, son: x = 1, x = −2 y x = 3, las cuales son reales diferentes.

Si x = 1; 9 = −6A, entonces, A = −3

2

Si x = −2; 6 = 5B, entonces, B =2

5

Si x = 3; 31 = 10C, entonces, C =31

10La descomposicion de la fraccion racional propia en fracciones simples, resulta:

22 + 3x+ 4

(x− 1)(x+ 2)(x− 3)= −3

2

1

x− 1+

2

5

1

x+ 2+

31

10

1

x− 3


2. Caso: Raıces reales multiples


3x+ 6

x2(x+ 1)3

Solucion 5.6

3x+ 6

x2(x+ 1)3=

A

x2+A1

x+

B

(x+ 1)3+

B1

(x+ 1)2+

B2

x+ 1

=A(x+ 1)3 +A1x(x+ 1)3 +Bx2 +B1x

2(x+ 1) +B2x2(x+ 1)2

x2(x+ 1)3

=A(x3 + 3x2 + 3x+ 1) +A1(x4 + 3x3 + 3x2 + x) +Bx2

x2(x+ 1)3

+B1(x3 + x2) +B2(x4 + 2x3 + x2)

x2(x+ 1)3

=(A1 +B2)x4 + (A+ 3A1 +B1 + 2B2)x3+

x2(x+ 1)3

+(3A+ 3A1 +B +B1 +B2)x2 + (3A+A1)x+A

x2(x+ 1)3


3x+6 = (A1 +B2)x4 +(A+3A1 +B1 +2B2)x3 +(3A+3A1 +B+B1 +B2)x2 +(3A+A1)x+A

Igualando los coeficientes de los monomios de cada miembro, se tiene el siguiente sistema deecuaciones:

x4 A1 +B2 = 0x3 A+ 3A1 +B1 + 2B2 = 0x2 3A+ 3A1 +B +B1 +B2 = 0x1 3A+A1 = 3x0 A = 6

Resolviendo el sistema de ecuaciones, se tiene: A = 6, A1 = −15, B = 3, B1 = 9 y B2 = 15.La descomposicion en fracciones parciales, es:

3x+ 6

x2(x+ 1)3=

6

x2− 15

x+

3

(x+ 1)3+

9

(x+ 1)2+

15

x+ 1

3. Caso: Raız real y Raıces complejas


4x+ 3

x(x2 + x+ 1)

Solucion 5.7 El trinomio cuadratico tiene raıces complejas, entonces la descomposicion, es:

4x+ 3

x(x2 + x+ 1)=

A

x+

Mx+N

x2 + x+ 1

=A(x2 + x+ 1) + (Mx+N)x

x(x2 + x+ 1)=

(A+M)x2 + (A+N)x+A

x(x2 + x+ 1)



x2 A+M = 0x1 A+N = 4x0 A = 3

Resolviendo el sistema de ecuaciones, se tiene: A = 3, M = −3 y N = 1.

La descomposicion en fracciones parciales, es:

4x+ 3

x(x2 + x+ 1)=

3

x+−3x+ 1

x2 + x+ 1

4. Caso: Raız real multiple y Raıces complejas

Ejemplo 5.8 Descomponer la fraccion racional propia en fracciones simples:

2x3 + 4x2 + x+ 2

(x− 1)2(x2 + x+ 1)

Solucion 5.8 La fraccion racional es una fraccion racional propia, la descomposicion esdirecta. El denominador tiene un trinomio cuadratico con raıces complejas, pero, tiene unaraız real doble, la aplicacion del metodo anterior no es efectivo. Para la descomposicion enfracciones simples, se procede de la siguiente forma:

2x3 + 4x2 + x+ 2

(x− 1)2(x2 + x+ 1)=

A

(x− 1)2 +A1

(x− 1)+

Mx+N

(x2 + x+ 1)

Reduciendo la igualdad al denominador comun, se tiene:

2x3 + 4x2 + x+ 2(x− 1)2(x2 + x+ 1)

=A(x2 + x+ 1) +A1(x− 1)(x2 + x+ 1) + (Mx+N)(x− 1)2

(x− 1)2(x2 + x+ 1)

=(A1 +M)x3 + (A− 2M +N)x2 + (A+M − 2N)x+ (A−A1 +N)

(x− 1)2(x2 + x+ 1)

Comparando los coeficientes de los monomios x3, x2, x, x0, se tiene el siguiente sistema deecuaciones:

x3 A1 +M = 2x2 A− 2M +N = 4x1 A+M − 2N = 1x0 A−A1 +N = 2

Resolviendo el sistema, se tiene: A = 3, A1 = 2,M = 0, N = 1

La descomposicion de la fraccion racional propia, es:

2x3 + 4x2 + x+ 2(x− 1)2(x2 + x+ 1)

= 3(x− 1)2 + 2

(x− 1)+ 1

(x2 + x+ 1)


5. Caso: Raıces reales y complejas multiples


4x3 + 6x2 + 3x+ 5

(x+ 4)2(x2 + 3x+ 4)2

Solucion 5.9 El denominador tiene un trinomio cuadratico con raıces complejas dobles yuna raız doble, la descomposicion de la fraccion racional propia, es:

4x3 + 6x2 + 3x+ 5

(x+ 4)2(x2 + 3x+ 4)2=

A

(x+ 4)2+

A1

x+ 4+

Mx+N

(x2 + 3x+ 4)2+

M1x+N1

x2 + 3x+ 4

=A(x2 + 3x+ 4)2 +A1(x+ 4)(x2 + 3x+ 4)2

(x+ 4)2(x2 + 3x+ 4)2

+(Mx+N)(x+ 4)2 + (M1x+N1)(x+ 4)2(x2 + 3x+ 4)

(x+ 4)2(x2 + 3x+ 4)2


4x3 + 6x2 + 3x+ 5 = (A1 +M1)x5 + (A+ 10A1 + 11M1 +N1)x4

+(6A+ 41A1 +M + 44M1 + 11N1)x3

+(17A+ 92A1 + 8M +N + 80M1 + 44N1)x2

+(24A+ 112A1 + 2M +N + 8M1 + 10N1)x+16A+ 64A1 +N + 4N1


x5 A1 +M1 = 0x4 A+ 10A1 + 11M1 +N1 = 0x3 6A+ 41A1 +M + 44M1 + 11N1 = 4x2 17A+ 92A1 + 8M +N + 80M1 + 44N1 = 6x1 24A+ 112A1 + 2M +N + 8M1 + 10N1 = 3x0 16A+ 64A1 +N + 4N1 = 5

Resolviendo el sistema de ecuaciones, se tiene: A = −167

64, A1 = −247

256, M = −85

64, N =

13

64,

M1 =247

256y N1 =

421

256.

La descomposicion en fracciones parciales, es:

4x3 + 6x2 + 3x+ 5

(x+ 4)2(x2 + 3x+ 4)2= −167

64

1

(x+ 4)2− 247

256

1

x+ 4+−85

64x+

13

64(x2 + 3x+ 4)2

+

247

256x+

421

256x2 + 3x+ 4

6. Caso: Raıces complejas multiples


3x3 + x2 + 10x+ 1

(x2 + x+ 1)2(x2 + 2x+ 3)2


Solucion 5.10 El denominador tiene trinomios cuadraticos con raıces complejas, la descom-posicion de la fraccion racional propia, es:

3x3 + x2 + 10x+ 1

(x2 + x+ 1)2(x2 + 2x+ 3)2=

Mx+N

(x2 + x+ 1)2+M1x+N1

x2 + x+ 1+

Px+Q

(x2 + 2x+ 3)2+

P1x+Q1

x2 + 2x+ 3

Operando las fracciones e igualando los polinomios del numerador, se tiene:

3x3 + x2 + 10x+ 1 = (M1 + P1)x7 + (5M1 +N1 + 4P1 +Q1)x6

+(M + P + 15M1 + +5N1 + 10P1 + 4Q1)x5

+(4M +N + 2P +Q+ 26M1 + 15N1 + 14P1 + 10Q1)x4

+(10M + 4N + 3P + 2Q+ 31M1 + 26N1 + 14P1 + 14Q1)x3

+(12M + 10N + 2P + 3Q+ 21M1 + 31N1 + 8P1 + 14Q1)x2

+(9M + 12N + P + 2Q+ 9M1 + 21N1 + 3P1 + 8Q1)x+9N +Q+ 9N1 + 3Q1


x7 M1 + P1 = 0x6 5M1 +N1 + 4P1 +Q1 = 0x5 M + P + 15M1 + +5N1 + 10P1 + 4Q1 = 0x4 4M +N + 2P +Q+ 26M1 + 15N1 + 14P1 + 10Q1 = 0x3 10M + 4N + 3P + 2Q+ 31M1 + 26N1 + 14P1 + 14Q1 = 3x2 12M + 10N + 2P + 3Q+ 21M1 + 31N1 + 8P1 + 14Q1 = 1x1 9M + 12N + P + 2Q+ 9M1 + 21N1 + 3P1 + 8Q1 = 10x0 9N +Q+ 9N1 + 3Q1 = 1

Resolviendo el sistema, se tiene: M = 2, N = 3, P = −7

3, Q = 2, M1 =

10

3, N1 = −3,

P1 = −10

3, Q1 = −1

3La descomposicion de la fraccion racional propia, es:

3x3 + x2 + 10x+ 1

(x2 + x+ 1)2(x2 + 2x+ 3)2=

2x+ 3

(x2 + x+ 1)2+

103 x− 3

x2 + x+ 1+

−73x+ 2

(x2 + 2x+ 3)2+−10

3 x−13

x2 + 2x+ 3

5.7. Integracion de Fracciones Irracionales

1.∫R(x, x

mn , . . . , x

rs )dx, donde R es una funcion real de sus variables.

sea k el maximo comun denominador de las fracciones mn , . . . ,rs , entonces el cambio de variable

recomendado es: x = tk; dx = ktk−1dt

2.∫R[x, (ax+ b

cx+ b)mn , . . . , (ax+ b

cx+ b)rs ]dx

La integral se reduce a la de una funcion racional mediante la sustitucion:

ax+ b

cx+ b= tk

donde k es el maximo comun denominador de las fracciones: mn , . . . ,rs

5.7. INTEGRACION DE FRACCIONES IRRACIONALES 81

Ejemplo 5.11 Integrar la funcion irracional:∫ √x

4√x3 + 1

dx

Solucion 5.11 El maximo comun denominador de las fracciones 12 y 3

4 , es: 4

El cambio de variable recomendado, es: x = t4, entonces, dx = 4t3dt, reemplazando en la integral,se tiene: ∫ √

x4√x3 + 1

dx =

∫ √t4

4√

(t4)3 + 14t3dt =

∫4t5

t3 + 1dt

El integrando es una fraccion racional impropia, no se puede descomponer directamente enfracciones parciales.

El integrando, se puede escribir como:

4t5

t3 + 1= 4t2 − 4t2

t3 + 1

El denominador, se puede escribir como: (t+ 1)(t2 − t+ 1).Por tanto la fraccion racional propia, se puede expandir en fracciones parciales:

−4t2

(t+ 1)(t2 − t+ 1)=

A

t+ 1+

Mt+N

(t2 − t+ 1)

Operando, se tiene:

−4t2

(t+ 1)(t2 − t+ 1)=

A(t2 − t+ 1) + (Mt+N)(t+ 1)

(t+ 1)(t2 − t+ 1)

=(A+M)t2 + (−A+M +N)t+ (A+N)

(t+ 1)(t2 − t+ 1)

Comparando los coeficientes de los monomios t2, t, t0, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

A+M = −4−A+M +N = 0

A+N = 0

Resolviendo el sistema, se tiene: A = −43 ,M = −8

3 , N = 43

Integrando, se tiene:

∫ 4t5

t3 + 1dt =

∫ (4t2 − 4t2

t3 + 1

)dt =

∫4t2dt+

∫ (− 4

31

t+ 1 +− 8

3t+ 4

3t2−t+1

)dt

=∫

4t2dt+∫ (− 4

31

t+ 1 −43

2t−1t2−t+1

)dt = 4

3 t3 − 4

3 ln|t+ 1| − 43 ln|t

2 − t+ 1|+ c

Reemplazando t = 4√x, se tiene:∫ √x

4√x3 + 1

dx =4

3

4√x3 − 4

3ln| 4√x+ 1| − 4

3ln| 4√x2 − 4

√x+ 1|+ c

Ejemplo 5.12 Hallar∫ 3√

(x+ 2)2

√x+ 2− 1

dx


Solucion 5.12 La integral se puede expresar como:∫ 3√

(x+ 2)2

√x+ 2− 1

dx =

∫(x+ 2)

32

(x+ 2)12 − 1

dx

El comun de nominador de las fracciones:2

3,

1

2, es 6. La sustitucion adecuada, es: x + 2 = t6,

dx = 6t5dt; entonces:

∫(x+ 2)

32

(x+ 2)12 − 1

dx = 6

∫t4

t3 − 1t5dt = 6

∫t9

t3 − 1dt =

∫(t6 + t3 + 1 +

1

t3 − 1)dt

Descomponiendo en fracciones parciales el ultimo termino, se tiene:

1

t3 − 1=

1

(t− 1)(t2 + t+ 1)=

A

t− 1+

Mt+N

t2 + t+ 1=A(t2 + t+ 1) + (Mt+N)(t− 1)

(t− 1)(t2 + t+ 1)

1 = A(t2 + t+ 1) + (Mt+N)(t− 1)

Si t = 1; 1 = 3A, entonces: A =1

3

Si t = 0; 1 = A−N , entonces: N = −2

3

Si t = 2; 1 = 7A+ 2M +N , entonces: M = −1

3

6∫ t9

t3 − 1dt = 6

∫(t6 + t3 + 1 +

1

3

1

t− 1− 1

3

t+ 2

t2 + t+ 1)dt

= 6∫

(t6 + t3 + 1 +1

3

1

t− 1− 1

3

[1

2

2t+ 1

t2 + t+ 1+

3

2

1

(t+ 12)2 + 3

4

])dt

=6

7t7 +

3

2t4 + 6t+ 2 ln |t− 1| − ln |t2 + t+ 1| − 2

√3 arctan

√3(2t+ 1)

3+ c

=6

7(x+ 2)

76 +

3

2(x+ 2)

23 + 6(x+ 2)

16 + 2 ln |(x+ 2)

16 − 1|

− ln |(x+ 2)13 + (x+ 2)

16 + 1| − 2

√3 arctan

√3(2(x+ 2)

16 + 1)

3+ c

en donde: t = (x+ 2)16

5.8. Integracion de Integrales Binomias∫xm(a+ bxn)pdx

donde m, n, p, a , b, son constantes.Condiciones de Chebyshev. Si m, p, n son numeros racionales, la integral se puede reducir

solamente en los siguientes tres casos:

1. p ε Z. Corresponde al 1er caso de integracion de fracciones irracionales.

2. m+ 1n ε Z. Realizar la sustitucion: a+ bxn = zs, donde s es el denominador de p.

3. m+ 1n + p ε Z. Realizar la sustitucion: ax−n + b = zs.

Ejemplo 5.13 Hallar∫x3(1 + 3x2)−

32dx

5.8. INTEGRACION DE INTEGRALES BINOMIAS 83

Solucion 5.13 m = 3, n = 2 y p =−3

2,m+ 1

n= 2. Corresponde al caso 2.

Sea la sustitucion: 1+3x2 = z2, por tanto: x =

√3

3

√z2 − 1 =

√3

3(z2−1)−

12 ; dx =

√3

3

zdz

(z2 − 1)12

√dz.

Reemplazando en la integral, se tiene:

∫x3(1 + 3x2)−

32 =

1

9

∫z2 − 1

z2dz =

1

9

∫(1− 1

z2)dz =

1

9(z +

1

z) + c

=1

9(√

1 + 3x2 +1√

1 + 3x2) + c =

1

9

2 + 3x2

√1 + 3x2

+ c

en donde: z =√

1 + 3x2.

Ejemplo 5.14 Hallar∫x2(1 + x2)−

32dx

Solucion 5.14 m = 2, n = 2 y p =−3

2,m+ 1

n+ p = 0. Corresponde al caso 3.

Sea la sustitucion: x−2 + 1 = z2, por tanto: x =1√

z2 − 1= (z2 − 1)−

12 ; dx = − zdz

(z2 − 1)32

Reemplazando en la integral, se tiene:∫x2(1 + x2)−

32dx = −

∫dz

z2(z2 − 1)=

∫−1

z2(z − 1)(z + 1)dz

Descomponiendo en fracciones parciales la funcion bajo el signo integral, se tiene:

−1

z2(z − 1)(z + 1)=A

z2+A1

z+

B

z − 1+

C

z + 1

−1 = A(z − 1)(z + 1) +A1z(z − 1)(z + 1) +Bz2(z + 1) + Cz2(z − 1)

Si z = 0, −1 = −A; A = 1

Si z = 1, −1 = 2B; B = −1

2

Si z = −1, −1 = −2C; C =1

2Si z = 2, −1 = 3A+ 6A1 − 12B − 4C; A1 = 0Integrando, se tiene:

∫x2(1 + x2)−

32dx =

∫ −dzz2(z − 1)(z + 1)

=

∫(

1

z2− 1

2

1

z − 1+

1

2

1

z + 1)dz

= −1

z− 1

2ln |z − 1|+ 1

2ln |z − 1|+ c

= − x√1 + x2

− 1

2ln∣∣∣√1 + x2

x− 1∣∣∣+

1

2ln∣∣∣√1 + x2

x+ 1∣∣∣+ c

= − x√1 + x2

+1

2ln

∣∣∣∣∣√

1 + x2

x+ 1

√1 + x2

x− 1

∣∣∣∣∣+ c =

= − x√1 + x2

+1

2ln

∣∣∣∣∣√

1 + x2 + x√1 + x2 − x

∣∣∣∣∣+ c

en donde: z =

√1 + x2

x.


5.9. Integracion por Sustitucion de Euler

1. Primera sustitucion de Euler, si a > 0√ax2 + bx+ c = ±

√a x+ t

Tomando el signo positivo y elevando al cuadrado miembro a miembro y despejando x, se

tiene: x = t2 − cb− 2

√a t

√ax2 + bx+ c =

√a t2 − cb− 2

√a t

+ t

2. Segunda sustitucion de Euler, si c > 0√ax2 + bx+ c = xt±

√c

Tomando el signo positivo y elevando al cuadrado miembro a miembro y despejando x, se

tiene: x =2t√c − b

a− t2

entonces√ax2 + bx+ c =

2t√c − b

a− t2t+√c

3. Tercera sustitucion de Euler, si a > 0 o a < 0

Sean α y β las raıces reales de√ax2 + bx+ c√

a(x− α)(x− β) = (x− α)t

elevando al cuadrado miembro a miembro, simplificando y despejando x, se tiene

x =aβ − αt2a− t2

5.10. Integrales Trigonometricas

En esta seccion, se emplea identidades trigonometricas para integrar funciones trigonometricasy sus combinaciones.

5.10.1. Estrategia para calcular∫

cosn xdx

a) Si la potencia del coseno es impar n = 2k+1, conservar el factor coseno y usar cos2 x = 1−sen2 xpara expresar el factor restante en terminos de seno:∫

cos2k+1 xdx =∫

(cos2 x)k cosxdx=

∫(1− sen2 x)k cosxdx

Realizar el cambio de variable u = senx.

b) Si la potencia del coseno es par (n = 2k), usar cos2 x =1 + cos 2x

2y convertir el factor remanente

en terminos de coseno del angulo doble, cuadruple, sextuple, etc.:

∫cos2k xdx =

∫(cos2 x)kdx

=∫ (1 + cos 2x

2

)kdx

5.10. INTEGRALES TRIGONOMETRICAS 85


senm xdx

a) Si la potencia del seno es impar (m = 2k+ 1), conservar el factor seno y usar sen2 x = 1− cos2 xpara expresar el factor restante en terminos de coseno:∫

sen2k+1 xdx =∫

(sen2 x)k senxdx=

∫(1− cos2 x)k senxdx

Realizar el cambio de variable u = cosx.

b) Si la potencia del seno es par (m = 2k), usar sen2 x =1− cos 2x

2y convertir el factor remanente

en terminos de coseno del angulo doble, cuadruple, sextuple, etc.:∫sen2k xdx =

∫(sen2 x)kdx

=∫ (1− cos 2x

2

)kdx

Ejemplo 5.15 Hallar∫

cos5 xdx.

Solucion 5.15 La integral, se calcula al sustituir cos2 x = 1 − sen2 x y u = senx, ya que du =cosxdx:

∫cos5 xdx =

∫(cos4 x) · cosxdx =

∫(cos2 x)2 cosxdx =

∫(1− sen2 x)2 cosxdx

=∫

(1− 2 sen2 x+ sen4 x) cosxdx =∫

(1− 2u2 + u4)du = u− 2

3u3 +

1

5u5 + c

= senx− 2

3sen3 x+

1

5sen5 x+ c

Considerando las identidades trigonometricas, tal como: sen2 x = 1 − cos2 x, el resultado tambien,se puede expresar como:∫

cos5 xdx =8

15senx+

4

15senx cos2 x+

1

5senx cos4x+ c


cos4 xdx.

Solucion 5.16 La integral, se calcula al sustituir cos2 x =1 + cos 2x

2y cos2 2x =

1 + cos 4x

2:

∫cos4 xdx =

∫(cos2 x)2dx =

∫ (1 + cos 2x

2

)2dx

=1

4

∫(1 + 2 cos 2x+ cos2 2x)dx =

1

4

∫ (1 + 2 cos 2x+

1 + cos 4x

2

)dx

=1

4

∫ (3

2+ 2 cos 2x+

cos 4x

2

)dx =

3

8x+

1

4sen 2x+

1

32sen 4x+ c

Considerando las identidades trigonometricas, tales como:

sen 2x = 2 senx cosxcos 2x = 2 cos2−1sen 4x = 2 sen 2x cos 2x = 4 senx cosx(2 cos2−1)

= 8 senx cos3−4 senx cosx

el resultado tambien, se puede expresar como:∫cos4 xdx =

3

8x+

3

8senx cosx+

1

4senx cos3 x+ c



sen5 xdx.

Solucion 5.17 La integral, se calcula al sustituir sen2 x = 1 − cos2 x y u = cosx, ya que du =− senxdx:

∫sen5 xdx =

∫(sen4 x) · senxdx =

∫(sen2 x)2 senxdx =

∫(1− cos2 x)2 senxdx

=∫

(1− 2 cos2 x+ cos4 x) senxdx = −∫

(1− 2u2 + u4)du = −u+2

3u3 − 1

5u5 + c

= − cosx+2

3cos3 x− 1

5cos5 x+ c

Considerando las identidades trigonometricas, tal como: cos2 x = 1 − sen2 x, el resultado tambien,se puede expresar como:∫

sen5 xdx = − 8

15cosx− 4

15cosx sen2 x− 1

5cosx sen4x+ c


sen4 xdx.

Solucion 5.18 La integral, se calcula al sustituir sen2 x =1− cos 2x

2y cos2 2x =

1 + cos 4x

2:

∫sen4 xdx =

∫(sen2 x)2dx =

∫ (1− cos 2x

2

)2dx

=1

4

∫(1− 2 cos 2x+ cos2 2x)dx =

1

4

∫ (1 + 2 cos 2x+

1 + cos 4x

2

)dx

=1

4

∫ (3

2− 2 cos 2x+

cos 4x

2

)dx =

3

8x− 1

4sen 2x+

1

32sen 4x+ c

Considerando las identidades trigonometricas, tales como:

sen 2x = 2 senx cosxcos 2x = 1− 2 sen2 xsen 4x = 2 sen 2x cos 2x = 4 senx cosx(2 cos2−1)

= 4 cosx senx− 8 cosx sen3 x

el resultado tambien, se puede expresar como:∫cos4 xdx =

3

8x− 3

8cosx senx− 1

4cosx sen3 x+ c


senm x cosn xdx

a) Si la potencia del coseno es impar (n = 2k+1), conservar el factor coseno y usar cos2 x = 1−sen2 xpara expresar lo factores restantes en terminos de seno:∫

senm x cos2k+1 xdx =∫

senm x(cos2 x)k cosxdx=

∫senm x(1− sen2 x)k cosxdx

Realizar el cambio de variable u = senx.

b) Si la potencia del seno es impar (m = 2k+ 1), conservar el factor seno y usar sen2 x = 1− cos2 xpara expresar lo factores restantes en terminos de coseno:∫

sen2k+1 x cosn xdx =∫

(sen2 x)k(cosn x)k senxdx=

∫(1− cos2 x)k cosn x senxdx

Realizar el cambio de variable u = cosx. Si las potencias de seno y coseno son impares, empleara) o b).

5.10. INTEGRALES TRIGONOMETRICAS 87

c) Si las potencias tanto del seno y coseno son pares, emplear las identidades del angulo mitad:

sen2 x = 12(1− cos 2x)

cos2 x = 12(1 + cos 2x)

Tambien ayuda la identidad:

senx cosx =1

2sen 2x


tanm x secn xdx

a) Si la potencia del secante es par (n = 2k, k ≥ 2) conservar el factor sec2 x y utilizar sec2 x =1 + tan2 x para expresar los factores restantes en terminos de tanx:∫

tanm x sec2k xdx =∫

tanm x(sec2 x)k−1 sec2 xdx=

∫tanm x(1 + tan2 x)k−1 sec2 xdx

= senx− 13 sen3 x+ c

Utilizar el siguiente cambio de variables u = tanx.

b) Si la potencia del secante es impar (m = 2k+1) conservar el factor secx tanx y utilizar tan2 x =sec2 x− 1 para expresar los factores restantes en terminos de secx:∫

tan2k+1 x secn xdx =∫

(tan2 x)k(secn−1 x) secx tanxdx=

∫(sec2 x− 1)k secn−1 x secx tanxdx

y utilizar la sustitucion u = secx

5.10.5. Estrategia para Calcular a)∫

senmx cosnxdx, b)∫

senmx sennxdxo c)

∫cosmx cosnxdx

Se debe usar las siguientes identidades correspondientes:

a) senA cosB = 12

[sen(A−B) + sen(A+B)

]b) senA senB = 1

2

[cos(A−B)− cos(A+B)

]c) cosA cosB = 1

2

[cos(A−B) + cos(A+B)

]5.10.6. Substituciones Trigonometricas

Las sustituciones trigonometricas recomendadas, se muestran en el cuadro (5.1).

Cuadro 5.1: Sustituciones trigonometricas

Expresion Sustitucion Identidad√a2 − x2 x = a sen θ, −π

2 ≤ θ ≤π2 1− sen2 θ = cos2 θ√

a2 + x2 x = a tan θ, −π2 ≤ θ ≤

π2 1 + tan2 θ = sec2 θ√

x2 − a2 x = a sec θ, 0 ≤ θ ≤ π2 o π ≤ θ ≤ 3π

2 sec2 θ − 1 = tan2 θ


5.11. Integral Definida

La integral definida, entendida como suma de partes, fue conocida por Arquımedes (250 aC),quien conocıa el metodo de acotar el area de una region por un conjunto de rectangulares inscritosy circunscritos que cubrıa justamente el area.

5.11.1. Integral de Reimann

Reimann (1826-1866) basa su definicion de la integral sobre la idea de Arquımedes.

Definicion 5.5 (Integral Definida)Sea un area encerrada por la curva y = f(x), el eje x, y las ordenadas trazadas en x = a, x = b.

Ver la Fig. (5.1).

Figura 5.1: Area bajo la curva

Si se subdivide el intervalo [a, b] en n subintervalos mediante los puntos x1, x2, . . . , xn−1, elegi-dos arbitrariamente, y se escoge en cada uno de los nuevos intervalos (a, x1), (x1, x2), . . . , (xn−1, b)puntos ξ1, ξ2, ξ3, . . . , ξn arbitrariamente y formandose la suma:

f(ξ1)(x1 − a) + f(ξ2)(x2 − x1) + . . .+ f(ξn)(b− xn−1)

Sea: x0 = a, xn = b y xk − xk−1 = 4xkSe tiene:

n∑k=1

f(ξk)(xk − xk−1) =

n∑k=1

f(ξk)4xk

Pasando al lımite:

S = lımn→∞

n∑k=1

f(ξk)4xk =

∫ b

af(x)dx

∫ ba f(x)dx, se denomina, la integral definida de f(x) entre a y b y [a, b] se denomina rango de

integracion, a y b, son los lımites inferior y superior.Si a < c < b, se verifica: ∫ b

af(x)dx =

∫ c

af(x)dx+

∫ b

cf(x)dx

Sea F (x) la primitiva de la funcion continua f(x), se verifica:∫ b

af(x)dx = F (x)

∣∣∣x=b

x=a= F (b)− F (a)

5.12. INTEGRALES IMPROPIAS 89

5.11.2. Cambio de Variable en una Integral Definida

Sea la integral:b∫af(x)dx y sea x = φ(t), si:

1. φ(α) = a

φ(β) = b

2. φ(t), φ′(t) son continuas en el intervalo [α, β]

3. f(φ(t)) esta definida y en continua en [α, β]

Entonces, se verifica que:b∫af(x)dx =

β∫αf(φ(t))φ′(t)dt

5.12. Integrales Impropias

Definicion 5.6 Sea A ⊆ R, se dice que una funcion f : A→ R es localmente integrable en Asi es integrable en cada intervalo cerrado y acotado contenido en A.

Si se considera funciones definidas en intervalos del tipo [a, b), donde b es finito o +∞.

Definicion 5.7 Dada una funcion f : [a, b) → R localmente integrable, −∞ < a < b ≤ +∞, siexiste el lımite:

lımx→b−

∫ x

af(t)dt

y es finito, se dice que la integral impropia∫ ba fdt es convergente, y al valor de dicho lımite se

denomina integral impropia de f en el intervalo [a,b). Si el lımite anterior existe, pero es +∞ o−∞, se dice que la integral impropia diverge a +∞ o −∞, y si no existe el lımite, se dice quela integral impropia no existe, o que no tiene sentido, o que es oscilante.

Una definicion analoga se puede establecer para funciones definidas en un intervalo (a, b], −∞ ≤a < b < +∞.

La definicion de la integral impropia de funciones localmente integrables en intervalos abiertos:

Definicion 5.8 Dada una funcion f : (a, b) → R localmente integrable, −∞ ≤ a < b ≤ +∞, se

dice que la integral impropia∫ ba f(t)dt es convergente si existe un c ∈ (a, b) tal que

∫ ca f(t)dt y∫ b

c f(t)dt son ambos convergentes; en tal caso, se define:∫ b

af(t)dt =

∫ c

af(t)dt+

∫ b

cf(t)dt

Proposicion 5.1 Sea f : [a, b)→ R una funcion localmente integrable y sea a < c < b. La funcionf es integrable en sentido impropio en [a, b) si y solo si es integrable en sentido impropio en [c, b),en cuyo caso se tiene: ∫ b

af(t)dt =

∫ c

af(t)dt+

∫ b

cf(t)dt

Demostracion. Basta tener en cuenta que para cada x ∈ (c, b) es:∫ x

af(t)dt =

∫ c

af(t)dt+

∫ x

cf(t)dt

Por tanto, el lımite cuando x→ b− de la primera integral existe si y solo si existe el lımite de latercera integral, y cuando esto suceda, pasando al lımite se obtiene la relacion del enunciado.


5.13. Aplicaciones de la Integral

Las aplicaciones de la integral definida en ciencias de la ingenierıa, es muy importante.

5.13.1. Calculo de Areas

El diferencial de area, dA, puede elegirse de dos formas:dA = altura dx = hdx donde la altura h, es la diferencia de ordenada de la grafica de la funcion

f(x)

b∫a

f(x)dx = F (b)− F (a)

Figura 5.2: Rectangulo vertical

En la Fig. (5.2), se muestra el diferencial de area que es un rectangulo vertical.dA = base dy = bdy donde la base b, es la diferencia de abscisas de la grafica de la funcion

f−1(y)

d∫c

f−1(y)dy = F−1(d)− F−1(c)

En la Fig. (5.3), se muestra el diferencial de area que es un rectangulo horizontal.

5.13.2. Pasos para el Calculo de areas

En general, para calcular el area de una region plana:

1. Esbozar la grafica de la area bajo consideracion.

2. El area, se divide en rectangulos, infinitamente estrechas, de manera vertical o horizontal.

3. Se supone que las franjas son rectangulos, con lo cual su area se obtendra como el productode la base por la altura, es decir, dA = hdx, para el caso de rectangulos verticales o bien,dA = bdy para el caso de rectangulos horizontales

5.13. APLICACIONES DE LA INTEGRAL 91

Figura 5.3: Rectangulo horizontal

4. Se calcula el area total como la suma de las areas de los infinitos rectangulos:

A =

∫ b

adA

Los lımites de integracion se determinan estudiando el recorrido del diferencial correspondien-te.

5. Si las curvas se cortan dentro del intervalo de integracion, entonces habra que descomponerla integral en dichos puntos y calcular las areas por separado.

Proposicion 5.2 (Area bajo una curva). El area del trapecio curvilıneo limitado por la curvay = f(x), siendo f(x) ≥ 0, por las rectas verticales x = a y x = b y por el segmento [a, b] del ejeOx viene definido por la integral:

A =

∫ b

af(x)dx

Proposicion 5.3 (Area entre dos curvas).El area de la region limitada por las curvas y = f(x)e y = g(x), siendo f(x) ≥ g(x), y por las rectas x = a y x = b viene definida por la integral:

A =

∫ b

a[f(x)− g(x)]dx

Ejemplo 5.19 Hallar el area de la region comprendida entre la parabola y = x2 +1 y la recta y = 3solucion

a) Rectangulos verticales

Los puntos de interseccion de ambas graficas, son:

y = 3 → 3 = x2 + 1 → x = ±√

2 → (±√

2, 3)

El diferencial de area, esta definido por:

dA = hdx = (3− (x2 + 1))dx = (2− x2)dx

Entonces, el area total, sera:


A =

∫ √2

−√

2(2− x2)dx = 2

∫ √2

0(2− x2)dx = 2

[2x− x3

3

]√2

0= 2(

2√

2− 2√

2

3

)=

8√

2

3

b) Rectangulos horizontales

En esta caso los lımites de integracion, son:

y1 = 1 y y2 = 3


dA = bdy = 2xdy = 2√y − 1dy = 2(y − 1)1/2dy

Entonces, el area total, sera:

A = 2

∫ 3

1(y − 1)1/2dy = 2

[2

3(y − 1)3/2

]3

1= 2(2

32√

2− 0)

=8√

2

3

Ejemplo 5.20 Calcular el area de la region comprendida entre las parabolas x = y2+1 y x = 3−y2.En este caso, conviene dividir el area en rectangulos horizontales. Los puntos de interseccion de

ambas graficas se obtiene por igualacion:

y2 + 1 = 3− y2 → 2y2 = 2→ y = ±1


dA = bdy = [(3− y2)− (y2 + 1)]dy = 2(1− y2)dy

Entonces el area total, es:

A =

∫ 1

−1dA = 2

∫ 1

0dA = 2

∫ 1

−12(1− y2)dy = 4

[y − 1

3y3]1

0= 4(1− 1

3) =

8

3

5.13.3. Calculo de Volumenes

En general para calcular el volumen de un cuerpo:

1. Se divide en secciones, rebanadas infinitamente estrechas, mediante cortes con planos perpen-diculares a una direccion determinada (ya sea a uno de los ejes de coordenadas o una rectaparalelo a uno de ellos)

2. Se supone que las secciones son cilındricas, con lo cual su volumen se obtiene como productodel area de la base por la altura, es decir: dV = S(x)dx o dV = S(y)dy.

3. Se determina el volumen total como la suma de los volumenes de las infinitas secciones:

V =

∫ b

adV

Los lımites de integracion se determinan estudiando el recorrido del diferencial correspondien-te.

Proposicion 5.4 (Metodo de las secciones). Si el area de la seccion de un cuerpo por unplano perpendicular al eje Ox puede expresarse en funcion de x, es decir, S = S(x), siendo a ≤x ≤ b, entonces el volumen de la parte del cuerpo comprendida entre los plano x = a y y = b,perpendiculares al eje Ox viene definido por:

V =

∫ b

aS(x)dx


5.13.4. Volumen de un Solido de Revolucion: Metodo de discos

Al cortar un solido mediante plano perpendiculares al eje de giro, las secciones que se obtienenson discos, con lo cual su volumen viene determinado por dV = πr2dx o bien dV = πr2dy, si el ejede giro es la frontera a la region que gira; y por dV = π(r2

2 − r21)dx, o bien, dV = π(r2

2 − r21)dy, si

el eje de giro es exterior a la region que gira.

Proposicion 5.5 (Giro de trapecio curvilıneo). Si un trapecio curvilıneo limitado por la curvay = f(x), el eje Ox y las verticales por los puntos x = a y x = b gira alrededor del eje Ox, entoncesel volumen del cuerpo de revolucion que se engendra viene definido por:

V = π

∫ b

ay2dx

Proposicion 5.6 (Giro de region entre dos curvas). Si la region limitada por las curvas y1 =f1(x), e y2 = f2(x), siendo 0 ≤ f1(x) ≤ f2(x), y las verticales por los puntos x = a y x = b giraalrededor del eje Ox, entonces el volumen del cuerpo de revolucion que se engendra viene definidopor:

V = π

∫ b

a(y2

2 − y21)dx

5.13.5. Volumen de un Solido de Revolucion: Metodo de los cilindros

Este metodo tambien se llama de capas.Si se divide un solido de revolucion mediante cilindros concentricos con el eje de giro, cada

cilindro con un espesor infinitesimal. El volumen de cada uno de estos cilindros esta determinadopor: dV = 2πrhdx, o bien dv = 2πrhdy.

La region generatriz debera estar a un solo lado del eje de giro, en caso contrario se tiene quedescomponer la integral y hacer los volumenes por separado. Tambien se tiene que descomponerla integral si la region viene determinada por dos curvas que se cortan dentro del intervalo deintegracion.

Ejemplo 5.21 Hallar por el metodo de discos y por el de capas el volumen de solido generado algirar la region comprendida entre la parabola y = x2 + 1 y la recta y = 3 alrededor de la recta y = 3.

a) Metodo de discos

El diferencial de volumen de un disco elemental dV , es:

dV = πr2dx = π(3− y)2dx = π(3− (x2 + 1))2dx = π(2− x2)2dx

Los lımites de integracion para la variable x, son:

y = 3→ 3 = x2 + 1→ x = ±√

2

El volumen total al ser simetrico, es:

V =∫ √2

−√

2dV = 2

∫ √20 dV = 2π

∫ √20 (2− x2)2dx = 2π

∫ √20 (4− 4x2 + x4)dx

= 2π[4x− 4

3x3 + 1

5x5]√2

0= 2π(4

√2− 8

3

√2 + 4

5

√2) = 64π

√2

15


b) Metodo de capas

El volumen diferencial de un cilindro elemental dV , es:

dV = 2πrbdy = 2π(3− y)(2x)dy = 2π(3− y)√y − 1dy

El volumen total, esta dado por:

V =

∫ 3

1dV = 4π

∫ 3

1(3− y)

√y − 1dy

Para facilitar la integracion, se realiza el cambio de variable:

y − 1 = t2 → y = t2 + 1→ dx = 2tdt

y0 = 1→ t0 = 0; y1 = 3→ t1 =√

2

Reemplazando, se tiene:

V = 4π

∫ √2

0(3− t2 − 1)t2tdt = 8π

∫ √2

0(2− t2)t2dt = 8π

∫ √2

0(2t2 − t4)dt

V = 8π[2

3t3 − 1

5t5]√2

0= 8π(

2

3

√2

3 − 1

5

√2

5) = 8π(

4

3

√2− 4

5

√2) =

64π√

2

15

Ejemplo 5.22 Calcular el volumen generado al girar la region comprendida entre las parabolasy = x2 + 1 y y = 3− x2, alrededor del eje Ox, aplicando el metodo de discos y el de capas.

a) Metodo de discos

Los puntos de interseccion de las graficas de ambas funciones, se obtiene por igualacion:

x2 + 1 = 3− x2 → 2y2 = 2→ y = ±1

El volumen de un disco diferencial dV , es:

dV = π(r22 − r2

1)dx = π[(3− x2)2 − (x2 + 1)2]dx = 8π(1− x2)dx

Los lımites de integracion para la variable x son: y = ±1, el volumen es simetrico:

V = 2

∫ 1

08π(1− x2)dx = 16π

[x− 1

3x3]1

0= 16π

[1− 1

3

]=

32

3π

b) Metodo de capas

El volumen de un cilindro elemental dV , es:

dV = 2πrbdy = 2πy(2x)dy = 4πyxdy

El valor de x cambia a partir de x = 2, por tanto, la integral se descompone en ese punto:

V =

∫ 2

1dV1 +

∫ 3

2dV2 = 4π

∫ 2

1y√y − 1dy + 4π

∫ 3

2y√

3− ydy = 4π16

15+ 4π

8

5=

32π

3


c) Metodo de discos (Giro de region entre dos curvas):

El volumen de un cilindro elemental dV , es:

V = π(y22 − y2

1)dx

El volumen total, esta dado por:

V =∫ 1−1 π(y2

2 − y21)dx = π

∫ 1−1[(3− x2)2 − (x2 + 1)2]dx = 2π

∫ 10 (8− 8x2)dx

= 16π∫ 1

0 (1− x2)dx = 16π[x− 1

3x3]1

0= 16π

[1− 1

3

]= 32

3 π

5.13.6. Calculo de Longitud de Arco

Figura 5.4: Aproximacion de arco por diferenciales de arco

En la Fig. (5.4), se muestra la aproximacion del arco por diferenciales de arco.

dl =√

(dx)2 + (dy)2 =

√1 +

(dydx

)2dx

Ejemplo 5.23 Determinar la longitud de arco de la parabola y = 2x2, desde x = 0 a x = 1.

Solucion 5.19

L =1∫0

√1 +

(dydx

)2 =1∫0

√1 +

(4x)2dx = 1

4

4∫0

√1 + u2du

= 14

[12u√

1 + u2 + 12 ln(u+

√1 + u2)

]4

0= 1

2

√17− 1

8 ln(−4 +√

17) = 2,3234

5.13.7. Calculo de Centros de Gravedad

Sean x, y las coordenadas del centro de gravedad, las cuales se determina mediante las siguientesexpresiones.

x =

∫xdA∫dA

Para lo cual, se toma como elemento diferencial de area un rectangulo vertical. En la Fig.(5.5), semuestra el esquema para determinar la abscisa del centro de gravedad.


Figura 5.5: Diferencial de area: Rectangulo vertical

y =

∫ydA∫dA

Para lo cual, se toma como elemento diferencial de area un rectangulo horizontal. En la Fig.(5.6),se muestra el esquema para determinar la ordenada del centro de gravedad.

Figura 5.6: Diferencial de area: Rectangulo horizontal

Ejemplo 5.24 Determinar las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por lafuncion y = f(x) = 2x2, y = 2 y el eje Y .

Solucion 5.20 En la Fig. (5.7), se muestra la figura del problema. En la Fig.(5.7a) se muestra eldiferencial de area para calcular la coordenada x y en la Fig.(5.7b) se muestra el diferencial de areapara calcular la coordenada y.

Las coordenadas del centro de gravedad, se calcula mediante las siguientes expresiones:

x =

∫xdA∫dA


Figura 5.7: Centro de gravedad

y =

∫ydA∫dA

El area de la figura, es:

A =

∫dA =

∫altura · dx =

1∫0

(2− y)dx =

1∫0

(2− 2x2)dx = 2x− 2

3x3∣∣∣10

=4

3unidades de area

Para calcular la integral∫xdA, el diferencial de area, se toma como:

dA = altura · dx = (2− y)dx = (2− 2x2)dx

∫xdA =

1∫0

x(2− 2x2)dx =1∫0

(2x− 2x3)dx = x2 − 1

2x3∣∣∣10

=1

2

Para calcular la integral∫ydA, el diferencial de area, se toma como:

dA = base · dy = xdy =

√y

2dy

donde x = f−1(y) =

√y

2, es la funcion inversa de y = f(x) = 2x2.

∫ydA =

2∫0

y

√y

2dy =

1∫0

√2

2y

32dy =

√2

5y

52

∣∣∣20

=8

5

Las coordenadas del centro de gravedad, son:

x =

∫xdA∫dA

=

1

24

3

=3

8

y =

∫ydA∫dA

=

8

54

3

=6

5


5.13.8. Calculo de Lımites de Sumas

Algunos lımites pueden calcularse mediante integrales:

Proposicion 5.7

lımn→∞

n∑i=1

f( in

)=

∫ 1

0f(x)dx

Capıtulo 6

Series

6.1. Introduccion

Las series son muy importantes y tienen multitud de aplicaciones en la ingenierıa, tales como porejemplo, en el diseno y construccion de equipos musicales en lo concerniente a la armonıa musicaly en otras areas tradicionales de la investigacion cientıfica, como la holografıa, la tomografıa y laespectroscopıa. Se presentan varios ejemplos.

6.2. Sucesion

Definicion 6.1 Una sucesion es un conjunto de numeros, bien ordenados por una regla fija.

Por ejemplo:

1, 4, 9, 16, 25, 36, . . . , (n+ 1)2, . . .

−x, x2

2,−x

3

3,x4

4,−x

5

5, . . . ,

(−1)nxn

n+ . . .

son sucesiones.

6.3. Serie

Definicion 6.2 Una serie es una sucesion formada por las sumas sucesivas de los terminos deuna sucesion.

Por ejemplo:

1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + . . .+

−x+x2

2− x3

3+x4

4− x5

5+ . . .+

(−1)nxn

n+ . . .+

Una expresion de la forma

u1 + u2 + u3 + . . . (6.1)

donde los numeros un (terminos de la serie), dependen de los ındices n = 1, 2, . . . , se denominaserie.

La serie (6.1) se denota tambien en la siguiente forma:

+∞∑n=1

un =

+∞∑1

un

99

100 CAPITULO 6. SERIES

Los numeros

Sn = u1 + u2 + u3 + . . .+ un; (n = 1, 2, 3, . . .)

son las n-esimas sumas parciales de la serie ( 6.1 ).

6.4. Algunos Tipos de Series

6.4.1. Serie Geometrica

Una serie geometrica es una serie asociada a una progresion geometrica, cada termino de laserie se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razon. La ecuacion generadorade una sucesion o progresion geometrica esta dado por:

an = r · an−1

donde r es la razon, es decir, el factor por el cual se multiplica un termino para generar el posterior.La serie geometrica, es:

Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + . . .+ an = a1(1 + r + r2 + r3 + . . .+ rn−1) =

a1(1− rn)

1− rsi r 6= 1

a1n si r = 1

Por ejemplo: Si r =1

2

1 +1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ . . .+ =

+∞∑n=0

1

2n

6.4.2. Serie Armonica

La serie+∞∑n=1

1

n

se llama serie armonica. Se verifica que, para cada n, su suma parcial n−esima, denotadahabitualmente por Hn, cumple:

Hn =

n∑k=1

1

k≥

n∑k=1

k+1∫k

dx

x=

n+1∫1

dx

x= ln(n+ 1)

luego la serie armonica diverge a +∞ a pesar de que lımn→∞

1

n= 0

6.4.3. Serie Telescopica

Sea bn una sucesion numerica. La serie+∞∑n=1

(bn − bn−1)) se denomina serie telescopica.

6.5. Series de Terminos Positivos

La serie+∞∑n=1

an se dice que es de terminos positivos si an > 0, ∀n ∈ N

6.5. SERIES DE TERMINOS POSITIVOS 101

6.5.1. Condicion Necesaria de Convergencia

Teorema 6.1 (Condicion Necesaria) Si una serie+∞∑n=1

an es convergente, entonces lımn→∞

an = 0.

Demostracion 6.1 La demostracion, se basa en la relacion que existe entre el termino n−esimode la serie y la sucesion de sumas parciales:

an = Sn − Sn−1

Como Sn−1 es una subsucesion de Sn que, por hipotesis es convergente, entonces Sn−1 y Sntiene el mismo lımite y por tanto, lım

n→∞an = 0.

Corolario 6.1 Si lımn→∞

an 6= 0, entonces+∞∑n=1

an es divergente.

6.5.2. Criterios de Convergencia

La convergencia o divergencia de una serie, depende de la convergencia o divergencia de lasucesion de las sumas parciales.

Existen varios criterios para determinar la convergencia o divergencia de una serie.

6.5.2.1. Criterio de la Raız o de Cauchy

Sea anuna sucesion tal que an > 0 y sea α = lımn→∞

n√an. Entonces:

1) Si α < 1, la serie+∞∑n=1

an converge.

2) Si α > 1 o α = +∞, la serie+∞∑n=1

an diverge.

3) Si α = 1, el criterio no decide.

Ejemplo 6.1 Determinar la convergencia de la serie:+∞∑n=1

1

2n

Solucion 6.1 Aplicando el criterio, se tiene:

α = lımn→+∞

n√an = lım

n→+∞n

√1

2n= lım

n→+∞

1n√

2n=

1

2

Como α =1

2< 1, la serie

+∞∑n=1

1

2nes convergente.

6.5.2.2. Criterio del Cociente o de D’Alembert

Sea anuna sucesion tal que an > 0 y sea β = lımn→∞

an+1

an. Entonces:

1) Si β < 1, la serie+∞∑n=1

an converge.

2) Si β > 1 o β = +∞, la serie+∞∑n=1

an diverge.


3) Si β = 1, el criterio no decide.


1

n!

Solucion 6.2 Aplicando el criterio del cociente, se tiene:

β = lımn→+∞

an+1

an= lım

n→+∞

1

(n+ 1)!1

n!

= lımn→+∞

1

n+ 1= 0

Como β = 0 < 1, la serie es convergente.

6.5.2.3. Criterio de Comparacion Directa

Sean an y bn sucesiones tales que 0 < an < bn para todo n.

1) Si+∞∑n=1

bn converge, entonces+∞∑n=1

an converge.

2) Si+∞∑n=1

bn diverge, entonces+∞∑n=1

an diverge.


1

n+ 2n

Solucion 6.3 Se verifica que:1

n+ 2n≤ 1

2n

Como la serie+∞∑n=1

1

2nes convergente (es una serie geometrica de razon

1

2), entonces, la serie

+∞∑n=1

1

n+ 2nes convergente.

6.5.2.4. Criterio de Comparacion por Paso al Lımite

Sean+∞∑n=1

an y+∞∑n=1

bn dos series de terminos positivos. Se verifica:

1) Si+∞∑n=1

an converge y lımn→∞

bnan

= l ≥ 0, entonces+∞∑n=1

bn converge.

2) Si+∞∑n=1

an diverge y lımn→∞

bnan

= l ≥ 0 o +∞, entonces+∞∑n=1

bn diverge.


1

2n − n

Solucion 6.4 Comparando el termino n-esimo de la serie+∞∑n=1

1

2n − ncon el n-esimo de la serie:

+∞∑n=1

1

2n, se tiene:

l = lımn→+∞

bnan

= lımn→+∞

1

2n1

2n − n

= lımn→+∞

(1− n

2n)

= 1

Como l = 1 y la serie+∞∑n=1

1

2nes convergente, entonces, la serie

+∞∑n=1

1

2n − 1es convergente.

6.5. SERIES DE TERMINOS POSITIVOS 103

6.5.2.5. Criterio de Pringsheim

Sea+∞∑n=1

an y existe el numero p, tal que:

1) lımn→∞

npan = l <∞ y p > 1, entonces,+∞∑n=1

an converge.

2) lımn→∞

npan = l 6= 0 y p ≤ 1, entonces,+∞∑n=1

an diverge.

Observacion 6.1 El numero p se elige, en general, como la diferencia de grados entre el denomi-nador y el numerador.

Ejemplo 6.5 Determinar el caracter de la serie:+∞∑n=1

n+ 2

n3 + 3 senn

Solucion 6.5 La funcion seno esta acotada cuando nto+∞. Puesto que el numerador es de grado1 y el denominador es de grado 3, entonces p = 3− 1 = 2.

Aplicando el criterio, se tiene:

l = lımn→+∞

npan = lımn→+∞

npn+ 2

n3 + 3 senn= lım

n→+∞

1 +2

n

1 + 3senn

n3

= 1

Como l = 1 < +∞ y p = 2 > 1, entonces, la serie+∞∑n=1

n+ 2

n3 + 3 sennes convergente.

6.5.2.6. Criterio de Raabe

Sea+∞∑n=1

an una serie de terminos positivos y α = lımn→∞

n(

1− anan−1

):

1) Si α > 1, entonces+∞∑n=1

an converge.

2) Si α < 1, entonces+∞∑n=1

an diverge.

Ejemplo 6.6 Determinar la convergencia de la serie: lımn→+∞

1

n2

Solucion 6.6 Aplicando el criterio, se tiene:

α = lımn→+∞

n(1− an

an−1

)= lım

n→+∞n(

1−

1

n2

1

(n− 1)2

)= lım

n→+∞

2n2 − nn2

= 2

Como α = 2 > 1, el criterio de Raabe, determina que la serie lımn→+∞

1

n2converge.


6.5.2.7. Criterio de la Integral

Sea f(x) una funcion positiva y estrictamente decreciente definida en [1,+∞) tal que f(n) = anpara todo n natural.

La integral+∞∫1

f(x)dx converge, si y solo si, la serie+∞∑n=1

an converge.

Ejemplo 6.7 Determinar el caracter de la serie:+∞∑n=2

1

n · lnn

Solucion 6.7 El termino general de la serie esta definido por f(n) =1

n · lnn,entonces se puede

definir la funcion f(x) =1

x · lnx. Aplicando el criterio de la integral, se tiene:

+∞∫2

1

x · lnx= lım

c→+∞

c∫2

1

x · lnx= lım

c→+∞ln lnx

∣∣∣c2

= lımc→+∞

ln ln c− ln ln 2 = +∞

Como la integral es divergente, entonces, la serie+∞∑n=2

1

n · lnnes divergente.

6.6. Series Alternadas

Una serie alternada, es una serie infinita cuyos terminos alternan en signo.Ejemplos:

1− 1

2+

1

4− 1

8+− . . .

1− 2 + 3− 4 + 5− 6 +− . . .

1− 1

2+

1

3− 1

4+− . . .

6.6.1. Criterio de Leibniz

Sea+∞∑n=1

(−1)nan con an ≥ 0, ∀n ∈ N, una condicion suficiente para que+∞∑n=1

(−1)nan sea conver-

gente, es que, se cumpla las condiciones:

1) an es decreciente.

2) lımn→∞

an = 0

Ejemplo 6.8 Determinar la convergencia de la serie armonica alternada: lımn→+∞

(−1)n

n= lım

n→+∞(−1)nan

Solucion 6.8 an es decreciente y lımn→+∞

an = lımn→+∞

1

n= 0, por tanto, la serie armonica alternada

es convergente.

6.6.2. Convergencia Condicional y Absoluta

6.6.2.1. Convergencia Absoluta

La serie alternada∞∑n=1

an, se dice, que es absolutamente convergente si∞∑n=1|an| converge.

6.7. SERIES DE POTENCIAS 105

6.6.2.2. Convergencia Condicional

La serie alternada∞∑n=1

an es convergente, pero no es absolutamente convergente, entonces, se

dice, que es condicionalmente convergente o converge condicionalmente.

6.7. Series de Potencias

Definicion 6.3 Recibe el nombre de serie de potencias toda serie de la forma:

∞∑n=0

an(x− c)n

donde: an se denomina coeficiente n-esimo de la serie de potencias.an(x− c)n es el termino n-esimo de la serie.c es el centro de convergencia de la serie.

6.7.1. Intervalo de Convergencia

Interesa conocer para que valores de la variable x es convergente la serie de potencia∞∑n=0

an(x−

c)n, es decir, se debe determinar el dominio de la funcion f(x) =∞∑n=0

an(x − c)n. Este dominio,

coincide con el conjunto de todos los x para los cuales la serie converge. El intervalo de convergencia,R, se determina al aplicar uno de los criterios de convergencia y se tiene:

|x− c| < R

De otro modo la serie diverge.

Ejemplo 6.9 Hallar el intervalo de convergencia de la serie+∞∑n=2

xn

n, estudiando donde la conver-

gencia es absoluta, y de haberla, donde es condicional.

Solucion 6.9 Aplicando el criterio de convergencia absoluta, se tiene:

lımn→+∞

n

√∣∣∣xnn

∣∣∣ = lımn→+∞

|x|n√n

= |x|

Donde: lımn→+∞

n√n = 1 Se sabe que para valores de x para los que lım

n→+∞n

√∣∣∣xnn

∣∣∣ < 1, la serie

sera convergente, mientras para aquellos valores de x que hagan lımn→+∞

n

√∣∣∣xnn

∣∣∣ > 1, la serie sera

divergente. Cuando lımn→+∞

n

√∣∣∣xnn

∣∣∣ = 1, se tendra que estudiar la serie con otros criterios.

Considerando ahora los valores de |x|, se tiene, tres casos:

1. Para |x| < 1, la serie converge absolutamente: lımn→+∞

n

√∣∣∣xnn

∣∣∣ < 1. El intervalo de convergencia,

es: (−1, 1)

2. Cuando |x| > 1, la serie es divergente: lımn→+∞

n

√∣∣∣xnn

∣∣∣ > 1. Los intervalos de divergencia, son:

(−∞,−1) y (1,−∞).


3. Cuando |x| = 1. Las series correspondientes a los valores que hacen |x| = 1, son dos:

a) Para x = 1, se tiene la serie lımn→+∞

1

n, conocida serie armonica, que diverge.

b) Para x = −1, se tiene la serie lımn→+∞

(−1)n

n, conocida serie armonica alternada, conver-

gente. Esta serie es condicionalmente convergente.

El intervalo de convergencia absoluta, es: [-1, 1). Y en x = −1, tiene una convergenciacondicional.

6.7.2. Operaciones con Series de Potencias

Sean las series de potencia∞∑n=0

anxn y

∞∑n=0

bnxn con intervalos de convergencia Ra y Rb respec-

tivamente y sea c una constante. Entonces, se tienen las siguientes operaciones:

1. La serie∞∑n=0

(can)xn, tiene un intervalo de convergencia Ra y

∞∑n=0

(can)xn = c

∞∑n=0

anxn

2. La serie∞∑n=0

(an + bn)xn tiene un intervalo de convergencia R ≥ min{Ra, Rb} y

∞∑n=0

(an + bn)xn =∞∑n=0

anxn +

∞∑n=0

bnxn

6.7.3. Diferenciacion e Integracion termino a termino de Series de Potencias

Si se parte de la idea de que una serie de potencias es un polinomio, la derivacion e integracionde una serie de potencias resulta sencillo.

Si la serie de potencia∞∑n=0

anxn converge a la funcion suma f(x) en el intervalo (−R,R), donde

R > 0, entonces:

1. La serie de potencia f(x) =∞∑n=0

anxn es diferenciable en (−R,R) y

f ′(x) =∞∑n=0

nanxn−1

2. La serie de potencia f(x) =∞∑n=1

anxn es integrable en (−R,R) si |x| < R entonces

x∫0

f(x)dx =

∞∑n=0

ann+ 1

xn+1

Bibliografıa

[1] T. M. Apostol, Calculus, Vol I. Ed. Reverte, Barcelona, 1989.

[2] N. Piskunov, Calculo Diferencial e Integral. Ed. Limusa, Mexico, 1994.

[3] G. N. Berman, Problemas y Ejercicios de Analisis Matematicos. Editorial MIR, Moscu, 1977.

[4] B. Demidovich, Problemas de Analisis Matematico. Editorial MIR, Moscu.

[5] B. Demidovich, 5.000 Problemas de Analisis Matematico. Editorial Paraninfo, Madrid, 1976.

[6] W. A. Granville, Elementos de Calculo Diferencial e Integral . 1961

[7] R. Wrede, M. R. Spiegel, Teorıa y Problemas de Calculo Superior. 2da Edicion, McGraw-Hill

[8] Joseph H. Kindle, Teorıa y Problemas de Geometrıa Analıtica. Mc Graw-Hill, 1977.

[9] F. Ayres, E. Mendelsen, Teorıa y Problemas de Calculo Diferencial e Integral, 3ra Edicion,McGraw-Hill, 1962

[10] V. Chungara, Calculo Diferencial e Integral. 2001.

107

Indice alfabetico

Aplicaciones de la derivada, 61

Geometricas, 54

Graficar una funcion, 61

Pasos para graficar una funcion, 61

Problemas de optimizacion, 65

Aplicaciones de la integral, 90

Calculo de areas, 90

Pasos para el calculo de areas, 91

Calculo de centros de gravedad, 96

Calculo de lımites de sumas, 98

Calculo de longitud de arco, 95

Calculo de volumenes, 92

Metodo de discos, 93

Metodo de los cilindros, 93

Asıntotas, 58

Axiomas de orden, 4

Clases de funciones, 20

Composicion de funciones, 19

Concepto de cuerpo, 2

Continuidad de funciones, 43

Coordenadas

Cartesianas, 22

Polares, 22

Cuerpo

Numeros reales, 3

Derivada, 45

Ordenes superiores, 52

Aplicaciones geometricas, 54

Formula de Leibniz, 53

Funcion implıcita, 51

Funciones hiperbolicas, 51

Funciones inversas, 50

Funciones parametricas, 50

Regla de la cadena, 50

Reglas de derivacion, 48

Descomposicion en fracciones simples, 75

Casos, 76

Desigualdades, 4

Reglas, 5

Diferencial de una funcion, 52

Distancia de un punto a una recta, 25Distancia entre dos puntos, 22Diversas formas de expresion de una funcion, 9

Entorno, 7Reducido, 7

Extremos, 58

Formula de interpolacion de Newton, 59Formula de Taylor, 53Familia de funciones, 13Formas de la ecuacion de la recta, 23Funcion

Constante, 17Especiales

Parte entera, 18Signo, 18Valor absoluto, 17

Exponencial, 10Impar, 17Irracional, 16Logaritmo, 11Par, 16Potencial, 10Racional, 16Trigonometrica, 12

Funcion biyectiva, 20Funcion inyectiva, 20Funcion primitiva, 69Funcion sobreyectiva, 20Funciones, 8Funciones acotadas, 20Funciones elementales, 10Funciones no lineales, 13

Inecuaciones, 4Infinitesimos, 40Integracion, 69

Fracciones irracionales, 81Fracciones racionales, 72Reglas de integracion, 70

IntegralDefinida, 88

108

INDICE ALFABETICO 109

Indefinida, 69Integral de Reimann, 88Integral definida

Cambio de variable, 89Integrales binomias, 83Integrales impropias, 89Integrales trigonometricas, 84Integrando, 69Interpretacion de la derivada

Geometrica, 47Velocidad del movimiento, 47

Intervalos, 5Acotados, 5Infinitos, 5

LımiteFuncion, 37Sucesion, 36

Lımites especiales, 42Lımites laterales, 39Lınea recta, 23Leyes de la aritmetica, 3

Metodos de integracionPor partes, 71Simple inspeccion, 71Sustitucion, 71

NumerosEnteros, 1Irracionales, 2Naturales, 1Racionales, 1Reales, 1

Operaciones algebraicas con funciones, 21

Punto de acumulacion, 7Punto medio, 22Puntos crıticos, 57Puntos de discontinuidad de una funcion, 43Puntos de inflexion, 58

Recta numerica, 2Regla de L’Hopital-Bernoulli, 53Reglas de lımites, 40

Secciones conicas, 25Circunferencia, 25Elipse, 28Hiperbola, 29Parabola, 26

Serie, 99Alternadas, 104

Convergencia absoluta, 104Convergencia condicional, 105Criterio de Leibniz, 104

Armonica, 100Condicion necesaria de convergencia, 101Criterios de convergencia, 101

Criterio de comparacion directa, 102Criterio de comparacion por paso al lımite,

102Criterio de la integral, 104Criterio de la raız, 101Criterio de Pringsheim, 103Criterio de Raabe, 103Criterio del cociente, 101

Geometrica, 100Terminos positivos, 100Telescopica, 100

Serie de potencias, 105Intervalo de convergencia, 105Operaciones, 106

Diferenciacion e integracion, 106Sistema de coordenadas, 21Substituciones trigonometricas, 88Sucesion, 35, 99Sustituciones de Euler, 84

Teorema de Cauchy, 57Teorema de Lagrange, 57Teorema de Rolle, 57Teoremas del valor medio, 57Teoremas fundamentales sobre lımites, 40Transformacion de coordenadas, 22, 31

Valor absoluto, 6Propiedades, 6

Vecindad, 7

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