1 整数 x; yに関する以下の問に答えよ．

(1) x2 ¡ y2 ¡ 3 = 0をみたす整数の組 (x; y)をすべて求めよ．

(2) x2 ¡ y2 ¡ 4x+ 6y¡ 5を因数分解せよ．

(3) x2 ¡ 4y2 ¡ 4x+ 12y¡ 8 = 0をみたす整数の組 (x; y)をすべて求めよ．

（奈良教育大学 2016）

2 次の ア から ネ までの にあてはまる 0から 9までの数字を記入せよ．

(1) 36 + 2p155 = (

C

ア イ +C

ウ )2であり，

1B

36 + 2p155

+1

B

36¡ 2p155

=

C

エ オ

カ キ

である．

(2) 放物線 y = 4x2 ¡ 4kx + 5k2 + 19k ¡ 4が x軸の負の部分および正の部分と交わるような kの範囲は

¡ ク < k <ケ

コである．この範囲で kが動くとき，放物線 y = 4x2¡ 4kx+5k2+19k¡ 4が

切り取る x軸上の線分の長さの最大値はサ

C

シ ス

セである．

(3) 3桁の整数で 3の倍数は，全部で ソ タ チ 個ある．3桁の整数で各位の数の和が kであるもの

の個数を n(k)とする（たとえば，3桁の整数で各位の数の和が 2であるものは 101，110，200の 3個であ

るから，n(2) = 3である）．このとき，n(3) = ツ ，n(27) = テ ，n(24) = ト ナ であ

り，n(6) + n(9) + n(12) + n(15) + n(18) + n(21) = ニ ヌ ネ である．

（大同大学 2014）

3 aを実数とする．xの 2次関数 f(x) = x2+ ax+1の区間 a¡ 1 5 x 5 a+1における最小値をm(a)と

する．このとき以下の問いに答えよ．

(1) m # 12;を求めよ．

(2) m(a)を aの値で場合分けして求めよ．

(3) aが実数全体を動くとき，m(a)の最小値を求めよ．

（岡山大学 2017）

4 四面体ABCDにおいて，AB = 3，AC = AD = 5，BC = BD = 4，CD = 6であるとする．次の問いに

答えよ．

(1) 三角形 BCDの面積を求めよ．

(2) 四面体ABCDの体積を求めよ．

(3) 辺 CDの中点をM，点 Bから直線AMへ下ろした垂線と直線AMの交点を Hとする．このとき，線分

BHの長さを求めよ．

（奈良女子大学 2016）

5 下の表は，ある高校の生徒 30人の 2つの科目 xと yのテスト（点）の得点をまとめたものである．数値

は，四捨五入していない正確な値とし，次の問いに答えよ．ただし，x，yはそれぞれ科目 x，yの平均を

意味し，p1:64 = 1:28，

p2:73 = 1:65とする．

番号 x y x¡ x (x¡ x)2 y¡ y (y¡ y)2 (x¡ x)(y¡ y)

1 38 39 ¡23 529 ¡29 841 667

2 40 50 ¡21 441 ¡18 324 378

ÞÞÞÞÞÞ

ÞÞÞÞÞÞ

ÞÞÞÞÞÞ

ÞÞÞÞÞÞ

29 80 90 19 361 22 484 418

30 82 96 21 441 28 784 588

合計 1830 12 0 4932 0 8190 3181

平均値 61 13

中央値 60 63

(1) 12 ， 13 の値を求めよ．

(2) 科目x; yのそれぞれの分散sx2; sy2を求めよ．小数点以下を四捨五入して整数値で求めよ．sx2 = 14 ，

sy2 = 15

(3) 科目 x; yの共分散 sxyを求めよ．小数点以下を四捨五入して整数値で求めよ．sxy = 16

(4) 科目 xと yの相関係数 rを求めよ．小数第 3位を四捨五入して小数第 2位まで求めよ．r = 17

(5) 科目 xと yの散布図として適切なものを下の（ア），（イ），（ウ）の図から選べ． 18

（広島女学院大学 2016）

6 1個のさいころを 3回投げるとき，出る目の最大値をmとする．ただし，すべての目が等しいときは，そ

れをmとする．

(1) m = 4となる確率を求めよ．

(2) m = kとなる確率を pkとするとき，pkを kを用いて表せ．ただし，2 5 k 5 6とする．

(3) (2)で求めた pkを最大にする kの値を求めよ．

（名城大学 2016）

7 次の あ ～ お に当てはまるものを，下の選択肢から選べ．

(1) x = ¡ 23は 3x2 ¡ 13x¡ 10 = 0であるための あ

(2) nを自然数とする．n2が 5の倍数であることは，nが 5の倍数であるための い

(3) a; bを自然数とする．(a+ b)2が奇数であることは，abが偶数であるための う

(4) 平面上の異なる 2つの円C，C0の半径をそれぞれ r，r0とし，中心間の距離を dとする．ただし，r < r0

とする．このとき，Cと C0が共有点をもたないことは，d > r+ r0であるための え

(5) AB = 8，BC = 5，CA = 7の4ABCにおいて，辺 BCの延長上に CD = 4となる点Dをとり，辺AC

上に AE = 3となる点 Eをとる．このとき，辺AB上の点 Fに対して，AF = 3であることは，3点 D，

E，Fが一直線上にあるための お

選択肢：

1 必要条件であるが十分条件ではない．

2 十分条件であるが必要条件ではない．

3 必要十分条件である．

4 必要条件でも十分条件でもない．

（上智大学 2014）

8 1辺の長さ 1の正三角形 ABCにおいて，BCを 1 : 2に内分する点を D，CAを 1 : 2に内分する点を E，

ABを 1 : 2に内分する点を Fとし，さらに BEと CFの交点を P，CFとADの交点を Q，ADと BEの交

点を Rとする．このとき，4PQRの面積を求めよ．

（千葉大学 2015）