第三冊 課外讀物 1. Sine的字源

2. 黃金三角形

3. 弦的三倍角公式

4. 公尺的定義

5. 二元二次聯立方程式

6. 三角不等式(課本 P.158)

7. 向量的直線參數式(課本 P.166)

8. 三角形重心的向量作法(課本 P.170)

9. 線性組合

Sine 的字源

sin 的名字有其來源，想要看看這段歷史故事嗎？

單維彰‧2009年 9月 8日

英文本來有 sin 這個字，讀 / s n /，是（宗教、道德方面的）罪惡的意思。

可是，正弦的 sin 其實是 sine 的縮寫（雖然並沒有縮掉很多），讀 / sa n /。而這

個英文字，是從拉丁文 sinus 簡化而來。而 sinus 又是什麼意思呢？以下就講這

一段故事。

古典的希臘數學所討論的是「弦」(chord) 函數，也就是對應圓心角 的

弦長；我們姑且將它記作 ( )S ，如下圖。

有些書籍資料，說希臘數學家或天文學家托勒密 (Claudius Ptolemy, 西元

85—165) 製作了「正弦函數表」。其實他做的是解析度為半度的「弦表」，也就

是 (05 )S , (1 )S , (1S .5 ) , (2 )S , …, (180 )S 的近似值。至於他的弦表的「精

確度」就不容易說明，因為當時用的是六十進位的分數 (Sexagesimal System，也

就是 1 度 60 分，1 分 60 秒的等分制度)，大約可以說精確至小數點下四位。

印度人在西元第五世紀發展出「半弦」的觀念，先計算半個圓心角（也就是

對同弧的圓周角）所對應的半根弦，而其兩倍就是弦長了。所以，我們今天說的

「正弦」其實是印度人的「半弦」。

我們不會寫印度文字，用英文字母拼其近似的音，就是 jya-ardha，而經常簡

記作 jya。印度的數學家發明了比托勒密更高明的估計半弦值的方法，並且製作

半弦表，主要是供天文觀測使用。用今天的符號寫，就是

( ) 2S jya(2

)。

如果我們令圓周角的其中一邊是圓的直徑，則弦和兩個邊形成直角三角形，如下

圖。這就是我們將圓上的問題轉換成直角三角形問題的來源了。

就如同「阿拉伯數字」一樣，印度的「半弦」也傳到了阿拉伯。我們也不會

寫阿拉伯文字，用英文字母來對應，阿拉伯翻譯了印度的 jya，變成他們的 jiba。

阿拉伯人比印度人更進一步，發現了 tan 的用途，於是除了計算並製作半弦

表以外，也製作了正切表。

在歐洲所謂的「十字軍東征」之後，西方學者透過掠奪回去的書籍逐漸從阿

拉伯人那裡學到了令他們「耳目一新」的數學。而當時的阿拉伯文明，其實遠高

於所謂的西方。當時的阿拉伯，融會貫通了希臘和印度的數學和科學知識，並以

阿拉伯文記述在書籍上；而當時的歐洲才剛開始要從「黑暗時期」走向曙光。

西方的學者，當時可以說都是僧侶或者靠著修道院生活和工作的人。他們有

少數人學會了阿拉伯文，就負起將阿拉伯書籍翻譯成拉丁文的責任；當時的歐洲

共同語文是拉丁文，也就是羅馬帝國的官方語文。

因為 jiba 不是阿拉伯生活或文學中的用字，而且就像我們把 sine 縮寫成 sin，

jiba 又經常被縮寫成 jb。所以，可能有某位負責謄寫的寫字僧把 jiba 誤寫成 jaib，

或者有某位負責翻譯的僧侶把 jiba 誤會成 jaib。總之，願他們的靈魂安息。

而 jaib 就是一個阿拉伯字了，意思是「山凹」。修道院的僧侶或許不知道書

的內容是在計算「半弦」，也可能不明白「半弦」和「山凹」有何關係？總之，

這位修道院高閣內的僧侶，出於我們或許可以想像的原因，用了 sinus 這個字來

翻譯 jaib。Sinus 這個拉丁字有幾個意思，當時最可能被引用的意思，是女性上

半身某處所形成的「山凹」；想必讀者一定知道，就是「乳溝」的意思（後來又

俗稱為「事業線」）。Sinus 的拉丁文發音類似「希努斯」。

現在我們知道，其實 sin 的本義來自印度文的「半弦」，而它的拼音來自拉

丁文的「乳溝」。至於 cos 就是 complementary sine 的縮寫，它就是「餘角的 sine」

的意思，讀作 / kosa n /。為了將 sin 和 cos 相對而稱，就把一個稱為正弦，而另

一個稱為餘弦了。

關於這段數學史，推薦閱讀《溫柔數學史》，博雅書屋出版。關於十四世紀

那個時代的修道院、藏書閣、寫字僧以及他們的生活環境，推薦閱讀一部頗注重

考據的小說《玫瑰的名字》，皇冠出版。

黃金三角形

兩底角為 72 的等腰三角形稱為「黃金三角形」，想要知道為什麼嗎？

單維彰‧2009年 9月 8日

這是因為它的邊長比例滿足與黃金矩形一樣的二次方程式，因此也會得到黃

金比。參照第一冊 2–3 隨堂練習 1，所謂黃金比就是黃金矩形的長寬比，它是二

次方程式 2 1 0x x 的一個根。

令兩底角為 72 的等腰三角形之頂點如下。因為小角對小邊，依方便令最

短的底邊為 1，腰為 x，則 1x 。如下面之左圖。

做 C 的角平分線，交 AB 於 D 點。則因為 36DCB ， 72B ，

所以 180 72 36 72CDB ，如上面的右圖，所以 ~CDB ABC 。由

對應邊成比例而得

1

1 1

x

x

，

整理得到 2 1 0x x 。這就是黃金比的方程式，得到的兩個實根是 1 5

2

，

其中負號不合，所以 5 1

2x

即黃金比。

為了方便起見，我們把黃金三角形的底邊（最短邊）設為 2，則兩腰各為

5 1 ，這就是課文內所畫的圖。

弦的三倍角公式

我們現在可以推導在第一冊 2–3 中引用的「弦的三倍角公式」 3(3 ) 3 ( ) ( )S S S ，想要看一看嗎？

單維彰‧2009年 9月 26日

在第三冊的 1–1 我們已經知道，在單位圓上：

( ) 2sin( )2

S

所以只要導出正弦的三倍角公式，就能導出弦的三倍角公式。

而 sin(3 ) sin(2 ) ，所以

sin(3 ) sin(2 )cos cos(2 )sin( )

2 22sin cos cos cos sin sin

2 33sin cos sin

2 33sin 1 sin sin

33sin 4sin

如同第一冊 2–3 所言，當 sin(3 ) 已知而欲求 sin 時，需要求解一個三次方

程式。

現在，可以導出弦的三倍角公式為

33(3 ) 2sin( ) 2 3sin 4sin

2 2 2S

3

3 2sin 2sin2 2

33 ( ) ( )S S

從以上的知識，我們已經可以說明，如果要製造一張 1 , 2 , 3 , … 的正

弦表，程序該是如何？

從第三冊 1–1 我們知道 5 1

sin184

，在 1–4 又知道 6 2

sin154

。

運用差角公式得到

sin3 sin(18 15 ) sin18 cos15 cos18 sin15 。

此計算固然複雜，但是可以得到真確的結果。但是，從特殊角出發，如果不利用

三倍角公式，就是得不到 sin1 的值。而求解三倍角公式，就需要解三次方程

式

34 3 sin3x x 。

這是數學史上，在「倍立方」那種 3x a 的問題以外，人們首次「遭遇」三次

方程式。而這個方程式（當時）沒有公式解，必須訴諸於數值估計，也就是第一

冊第二章學習的「勘根定理」與第二冊之附錄所提出的「二分逼近法」的應用。

解出 sin1 之後，從平方關係就知道 cos1，然後我們就能重複使用和角

公式，依序計算

sin 2 sin(1 1 ) ，（從平方關係知道 cos2）

sin3 已知，（從平方關係知道 cos3）

sin 4 sin(3 1 ) ，（從平方關係知道 cos4）

sin5 sin(4 1 ) ，（從平方關係知道 cos5）

公尺的定義

地球上通過南北極的圓周長，幾乎就是 40,000 公里。想要知道為什麼會

這麼「湊巧」嗎？

單維彰‧2009年 9月 10日

其實，這一點都不「湊巧」，而是精心策劃的結果。自古以來，各民族的人，

不約而同地採用身體的一部份當作測量長度的單位，如中國的一「尺」是以手肘

的長度規定的，而英格蘭的一「尺」(foot) 是用腳掌的長度規定的（某位國王的

腳還蠻長的）。在十八世紀後半，歐洲人有了新的知識和儀器，於是掀起一陣測

量地球的熱潮。浪漫的法國人因此倡議一個「全人類都能接受」的長度單位，它

不應該來自任何一個民族，而是來自於我們共存的家園：地球。

法國的數學家在 1760 年代已經應用微積分的計算，得知地球是個橢球形

狀，並且在 1765 年前後派出兩組測量探險隊，在北半球同一經線上的兩處位

置，分別測量它到地心的距離，並得到兩點之間的地心夾角。根據這些資料，可

以推算地球從北極到赤道的弧長。當然這是假設沿著海平面來計算的長度，地表

的變化都不計在內。法國人對於這次的測量很有信心，1793 年，法國人制定度

量衡標準的時候，就定義一公尺是地球從北極到赤道那四分之一弧的一千萬分之

一，並在 1795 年以銅為材質製作了一根桿子作為標準的一公尺長度。1799 年，

又以白金製造了一根更精確的標準公尺桿。順帶一提，整個測量工作都在動盪不

安的法國大革命期間進行。1799 年，拿破崙原本領軍在外，遠征埃及和敘利亞，

卻在當年 10 月悄悄回到巴黎，一個月後發動革命，奪取政權。那年他才 30 歲。

可見，地球的四分之一弧長被定義成一千萬公尺；也就是一萬公里。所以，

「根據定義」，地球的周長（特別指經過南北極的圓周長）是四萬公里。

最近，因為科技和儀器的進步，公尺被重新定義為「光在真空中一秒鐘前進

距離的 299,792,458 分之一」，而一秒的定義是「銫 133 原子放射 9,192,631,770

個微波週期的時間」。如此定義非常精確，所以難免和十八世紀的定義稍有出入。

以今日的「公尺」定義而言，地球的四分之一弧長大約是 10000.2 公里。

二元二次聯立方程式

我們已經知道，可以用兩圓的圓心距離和它們的半徑，來討論兩個圓相

切、相割和不相交的關系。想要看看怎樣運用圓方程式來處理這個問題嗎？

單維彰‧2011年 4月 16日

若 1 和 2 是坐標平面上兩個圓，則它們各自可以寫成二元二次方程式。設

1 : 2 2

1 1 1 0x y d x e y f ，

2 : 2 2

2 2 2 0x y d x e y f 。

則

2 2

1 1 1

2 2

2 2 2

0 1

0 2

圓圈

圓圈

x y d x e y f

x y d x e y f

(L)

稱為二元二次聯立方程式。同時滿足兩條方程式的數對 ( , )x y 稱為此聯立方程

式的一組解。在坐標平面上，一組解 ( , )x y 就是同時滿足 1 和 2 的一個點，也

就是它們的交點。所以，如果聯立方程式有兩組（實數）解，則 1 和 2 有兩個

交點，它們是相割的情形；如果只有一組（實數）解，就是相切的情形；而如果

無（實數）解，就是不相交或相離的情形。

解二元一次聯立方程式的方法，有「消去法」和「代入法」。只要試試看用

「消去法」解上面的聯立方程式 (L)，則很快就會發現無效。例如，考慮

圓圈 1 – 圓圈 2 得到 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0d d x e e y f f 。

一般而言上述方程式是直線方程式，有無窮多點 ( , )x y 滿足這個方程式。而兩

圓就算有無窮多個交點（它們重疊），也不會落在一條直線上。所以，上述的消

去法是不管用的。

現在我們就只剩下「代入法」了。一般而言，將 圓圈 1 式配方寫成

2 2 21 1( ) ( )2 2

d ex y r ，

解得

2 21 1( ) 32 2

圓圈y r xe d

。

再將此 y 代入 圓圈 2 可以整理得到 x 的四次方程式，求其實數解再代回 圓圈 3，

經過一些正負號的討論之後，可以得到聯立方程式 (L) 的實數解。

經過以上描述，讀者應該明白，這個程序在理論上是「可行」的，但是非常

繁雜。若非數據經過命題者精心巧妙的設計，否則很難計算。

因為「平面本無坐標」：坐標是我們訂定的，所以我們總可以將坐標的原點

移動到 1 的圓心；如此一來，二元二次聯立方程式就會變得稍微容易一點。首

先，為了符號上的方便，先將 1 和 2 都以配方改寫成標準式，並重新給予係數

的名稱如下：

1 : 2 2 2

1 1 1( ) ( )x x y y r

2 : 2 2 2

2 2 2( ) ( )x x y y r

做以下變數「代換」，相當於把 xy 坐標「平移」成 x y 坐標，使得 x y 坐標的原點，

在原來 xy 坐標的 1 1( , )x y 位置：

1

1

x x x

y y y

在新的 x y 坐標系統上， 1 和 2 的標準式就變成以下形式：

1 : 2 2 2

1x y r

2 : 2 2 2

0 0 2( ) ( )x x y y r

其中 0 2 1x x x ， 0 2 1y y y ，並且可以圖示如下。

如此一來，從 1 的標準式得到以下關係：

2 2 2

1y r x

代入 2 的 x y 方程式之後，恰可消去 2x 而整理得到（假設 1 2y y 所以 0 0y ）

2 2 2 2

0 0 0 1 2

0 02

x x y r ry x

y y

， (K)

代回 2 2 2

1x y r 之後，得到一個 x 的二次方程式，可以用公式求解。求解之後，

我們會得到 1 和 2 交點的 x y 坐標，再換回 xy 坐標即可。

雖然利用兩圓的半徑和圓心距離，可以得知兩圓的相交關係。但是如果我們

必須求得兩個圓的交點坐標，則必須求解二元二次聯立方程式而不能迴避它的繁

複。

舉例而言，求 1 : 2 2 1x y 和 2 : 2 2( 1) ( 1) 1x y 的交點，就屬於「人

工設計」的簡單問題。只要畫出草圖（如以下的左圖），就應該看得出來兩個交

點是 (1,0) 和 (0, 1) 。而代數的程序，可以由 1 得到 2 21y x ，代入 2 消去 2x

項而化簡整理出 1y x ，再代回 2 2 2 2( 1) 1x y x x 解出 1x 或 0。因為

1y x 所以 (1,0) 和 (0, 1) 就是兩個交點。

但是，如果將 2 改成 2 2( 1) ( 1) 2x y ，就不能方便地由圖觀察交點坐標

（如以上的右圖）。由以上的公式 (K) 得知 1

2y x ，代回 1 得到

2 32 0

4x x ，

得到兩個交點 1 7 1 7

,4 4

和 1 7 1 7

,4 4

。

事實上，以今天的科技而言，在實務上，可以用電腦軟體求解二元二次聯立

方程式，而不須要以上繁複的手算。所以，課本裡不討論這一類的問題。

三角不等式

其實三角不等式也有「兩邊之差小於第三邊」的形式，想要看看那是什麼嗎？

單維彰‧2011年 5月 27日

課本裡已經發展了：若a 和b 為平面向量，則

|a +b | |

a |+|b |， (1)

當a =0 或b =0 或a //b 時，等號成立。其實，在第四冊我們將學到空間向量。

因為（不平行也不為零的）空間向量可以決定一個平面，a 、b 和a +b 在那個

平面上形成三角形，所以三角不等式 (1) 還是成立的。將來在大學的線性代數

或其他高等數學課程中，將會知道，任意「維度」的向量a 、b 都滿足三角不等

式 (1)，並不限於平面或空間向量。

然而三角不等式的基本形式 (1) 只描述了三角形三邊關係之一：「三角形兩

邊之和大於第三邊」，我們知道此種關係還有第二形式：「三角形兩邊之差小於第

三邊」。注意，古典意義的「差」指的是大數減小數，所以「差」必定不是負數。

其實，形式 (1) 已經包含了第二形式，只要做些簡單的置換即可，如下。

根據 (1)，

|a |=|a b +b | |

a b |+|b |，

所以

|a | |

b | |

a b |。

另一方面，

|b | |

a +b a | |

a | |

b a | |

a b | |

a |，

所以

|a b | |

a | |

b |。

合併以上兩個不等式，得到一個絕對值不等式

， (2)

這就是第二形式的三角不等式；等號成立的條件仍是a =0 或b =0 或a //b 。注

意，在第二形式，我們使用的是a 、b 和a b 形成三角形。第二形式的三角不

等式也是對所有「維度」的向量都成立的，不限於平面向量。

向量的直線參數式

直線參數式就是一個等速運動，參數可以代表時間。想要了解參數式和等速

運動的關係嗎？

單維彰‧2011年 5月 27日

通過 1 2( , )A a a 、 1 2( , )B b b 兩點的直線，也就是通過 A 點且與v 1 1 2 2( , )b a b a

平行的直線，其參數式如下：

1 1 1

2 2 2

( )

( )

x a b a t

y a b a t

， t (1)

另一方面，我們已經知道在直線上進行等速運動的位置 x 與時間 t 之關係式為

0x vx t ， (2)

其中 v 是速度而 0x 是初始位置（當時間 0t 時的位置）。

類似於直線上的等速運動方程式 (2)，平面上的等速運動也可以用平面向量

寫成同樣形式方程式。令運動的初始位置是點 1 2( , )A a a ，速度是v 1 2( , )v v ，則

運動之質點在時間 t 的位置 ( , )P x y 滿足

2 2

1 1x a v t

y a v t

，

用位置向量和速度向量的符號改寫，就是

OP OA

v t。 (3)

可見平面上的等速運動方程式 (3) 和直線上的等速運動方程式 (2) 具有同樣的

形式，都是

位置 = 初始 + 速度 時間。

而等速運動方程式 (3) 寫成 x 和 y 分量的形式，就是直線的參數式。可見直線參

數式 (1) 就是初始位置在 1 2( , )A a a ，速度向量為v 1 1 2 2( , )b a b a 的等速運動方

程式。我們稱直線 (1) 為等速運動 (3) 的軌跡或路徑 (trajectory 或 path)。

附帶一提，直線上的等速運動方程式不是參數式，它在 xt 平面上的圖形（一

條直線）不是直線上等速運動的軌跡，它是等速運動之位移 x 和時間 t 的關係圖。

三角形重心的向量作法

課本 3-1.2 例題 11 用重心在中線上的位置，導出重心坐標；也可以用中線的

參數式，先解出重心坐標，再推出重心在中線上的位置。想要看看怎麼做實嗎？

單維彰‧2011年 5月 27日

設坐標平面上一三角形 ABC，而a 、b 、c 分別是三頂點 A、B、C 的位置

向量。參照下圖，令 C 是 AB 邊的中點，則 C 的位置向量是1

2(a b )；令 B

是 AC 邊的中點，則 B 的位置向量是1

2(a c )。

直線 CC上面的點，有位置向量 (1 )tc

2

t (a b )；直線 BB上面的點，

有位置向量 (1 )sb

2

s (a c )。重心 G 是直線 CC 與直線 BB 的交點，所以

存在 s 和 t 使得 G 的位置向量滿足

(1 )tc

2

t (a b ) (1 )s

b

2

s (a c )，

整理為2

t a

2

tb (1 )t

c

2

sa (1 )s

b

2

sc 。我們發現，當

2 2

t s （也就是

t s ）而且 12

tt 時，等式有解，也就是

2

3t s 。所以 G 的位置向量是

2(1 )

3c

1

3 (a b )

1

3 (a b c )。

線性組合

當u

v ，則

u 和v 的線性組合就是一般化的平面坐標系統。想要知道它

是怎麼運作的嗎？

單維彰‧2011 年 6 月 7 日

這一篇課外讀物是在課本完成之後追加的，所以來不及在課本裡用文字框提

示。本篇應該在學習了課文第 3 章第 3 節的「線性組合」之後閱讀。

任給兩個非零且不平行的平面向量u 、v ，透過二元一次聯立方程組，我們

發現對任意一個平面向量b ，必存在唯一的一對實數 ( , )x y 使得

xu y

v b

我們說b 是u 與v 的線性組合，而 x 和 y 是線性組合的係數。舉例而言，若 2x 、

1y ，它們的幾何關係如下圖。

取一組特例，令u (1,0) 、

v (0,1) )，也就是

u 和v 分別是 x 軸和 y 軸上的

單位向量（長度為 1 的向量），則根據直角坐標的定義，平面上任一點 ( , )A x y 的

位置向量OA ( , )x y 坐標 x、y 就是線性組合的係數：

xu y

v (1,0) (0,1) ( , )x y x y

現在我們可以明白，直角坐標系統就是一種特殊的線性組合，其中作為「基

底」的兩個向量互相垂直而且長度相等（把它們的長度定義為 1）。仿照直角坐

標的方式，我們可以用任兩個非零且不平行的平面向量u 、v ，在平面上建立一

個坐標系統，稱為 uv 坐標系統。作法如下。

首先，在平面上任給兩個非零且不平行的向量u 和v ，如下圖 (a)。注意，

此時尚未有坐標系統，所以u 和v 只是平面上的有向線段，它們還沒有坐標表示

法。

將u 和v 的始點放在一起，令它為點 O。做兩條分別以

u 和v 為方向向量且通過

點 O 的直線。由u 和v 所決定的坐標系統，稱為 uv 坐標系統；則點 O 是此系統

之原點，而上述兩條直線可稱為 u 軸和 v 軸，如上圖 (b)。

固定以原點為始點，則u 和v 的係數積 x

u 和 y

v 的終點就分別是 u 軸和 v

軸上的點。這就使得 u 軸和 v 軸各成為一條數線，而它們各有自己的單位長|u |

和|v |，如下圖。

以前，在直角 xy 坐標系統上，任一點 A 的坐標是如此決定的：過點 A 做鉛直線

交 x 軸於 1A ，做水平線交 y 軸於 2A 。則 1A 和 2A 在兩條數線上的坐標，就是 A 點

的坐標。如下頁圖。

事實上，所謂「鉛直線」就是平行於 y 軸的直線，而所謂「水平線」就是平

行於 x 軸的直線。利用平行的觀念，兩個軸不一定要互相垂直，也不一定要放在

「水平」和「鉛直」的位置。

現在，在 uv 坐標系統上，任一點 A 的坐標可以如此決定：過點 A 做平行於

v 軸的直線，交 u 軸於點 1A ，做平行於 u 軸的直線，交 v 軸於 2A 。則 1A 和 2A 在

兩條數線上的坐標，就是 A 點的坐標。而且，根據向量加法的「平行四邊形」

法，我們明白點 A 在 uv 坐標系統的坐標 0 0( , )A u v 就是線性組合的係數：

0uu 0v

v OA

如下圖。