Lezioni diPropagazione guidataMaurizio ZoboliFacolt` a di IngegneriaUniversit` a di Modena e Reggio Emilia15 marzo 2009iim.zoboliIndice1 Propagazione guidata 11.1 Relazioni fra le componenti di campo . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Onde di tipo TEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.1 Interpretazione sica delle funzioni V (z) e I(z) . . . . . 71.2.2 Il cavo coassiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.3 Linee di trasmissione in regime armonico . . . . . . . . . 121.2.4 Limpedenza di ingresso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.5 Il rapporto donda stazionaria (ROS) . . . . . . . . . . . . 161.2.6 La carta di Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.7 Adattatore a /4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.8 Regime di onda stazionaria in una linea ideale . . . . . . . 231.2.9 Adattatore a semplice stub . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.2.10 Adattatore a doppio stub . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.2.11 Linee con perdite: modi quasi TEM. . . . . . . . . . . . 291.3 Componenti trasversi e componenti longitudinali . . . . . . . . . 301.4 Propriet` a generali: ortogonalit` a dei modi . . . . . . . . . . . . . . 351.4.1 Sviluppo in serie di modi. . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.4.2 Legge di dispersione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.5 Riassunto riguardante la propagazione guidata TE e TM . . . . . 421.6 Esempi di propagazione guidata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42iiiiv Indice1.6.1 Guide Metalliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.6.2 Onde guidate da due piani paralleli conduttori . . . . . . . 471.6.3 La guida rettangolare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Formule vettoriali 65Bibliograa 69m.zoboliCapitolo 1Propagazione guidata1.1 Relazioni fra le componenti di campo nelle strutturecilindricheConsideriamo un mezzo lineare e isotropo, ma non necessariamente omogeneo,nel quale sia possibile individuare una direzione rispetto alla quale le propriet` asiche e geometriche del mezzo non cambiano; in queste condizioni si dice che ilmezzo costituisce una struttura cilindrica.Figura 1.1: struttura cilindrica12 1.1. Relazioni fra le componenti di campoLa sezione trasversa della struttura ` e arbitraria anche se in pratica potr` a essere orettangolare o circolare o ellittica. Consideriamo una struttura cilindrica e introdu-ciamo un generico sistema di coordinate curvilinee ortogonali (u1, u2, z) orientatoin maniera tale che la permeabilit` a e la permittivit` a del mezzo risultino funzionedelle due sole coordinate trasverse u1 e u2. Supponendo cio` e che risulti: = (u1, u2); = (u1, u2);poich` e le propriet` a della struttura non dipendono dalla coordinataz essa risultainvariante rispetto allorigine degli assi; la struttura pu` o essere traslata in avanti oallindietro senza che sia possibile distinguere il vericarsi di questo spostamento.Le soluzioni di campo che, in vista di ci` o che segue, conviene indicare con ceH, dovranno rispettare questa invarianza (rispetto allorigine degli assi) e la lorodistribuzione nel piano trasverso dovr` a risultare indipendente dalla coordinata z.Tenuto conto dellaspetto privilegiato dellasse z conviene porre:c(u1, u2, z) = ct(u1, u2, z) +cz(u1, u2, z);H(u1, u2, z) = Ht(u1, u2, z) +Hz(u1, u2, z); = t +z z ;con t che opera sulle sole coordinate trasverse (u1, u2). Le equazioni di Max-well, in assenza di sorgenti e in mezzi privi di perdite, si possono allora riscrivere:Applicando la semplice regola del prodotto vettoriale risulta infatti:E= (t +z z) (Et +Ez) = tEt +tEz + z Etzm.zoboli1. Propagazione guidata 3tct = jHztHt = jcztcz + z ctz= jHttHz + z Htz= jct(1.1)Il fatto che, per denizione, una struttura cilindrica sia invariante lungo la dire-zione dellasse z, induce a supporre che le componenti di campo elettromagneticosiano separabili rispetto alla variabile z. Le soluzioni di campo che godono di que-sta propriet` a prendono il nome di modi della struttura. In altre parole nel seguitofaremo lipotesi che i due vettori campo elettrico e magnetico siano esprimibilinella forma:c(u1, u2, z) = E(u1, u2)V (z)H(u1, u2, z) = H(u1, u2)I(z)in cui le due funzioni diz, V (z) eI(z), sono per il momento arbitrarie. Conqueste posizioni le (1.1) diventano:dVdz z Et +V tEz z = jHtI;V tEt = jHzI z;dIdz z Ht +ItHz z = jEtV ;ItHt = jEzV z.(1.2)In queste equazioni, grazie alla separazione delle variabili, alcuni termini dipen-dono dalla sola coordinata longitudinale z mentre altri dalle sole coordinate tra-m.zoboli4 1.2. Onde di tipo TEMsverse. Se le prime due equazioni vengono divise per V (z), per I(z) la terza e laquarta, riordinando si ottiene:(dVdz /V ) z Et= j(I/V )HttEz z;tEt= j(I/V )Hz z;(dIdz/I) z Ht= jEt(V/I) tHz z;tHt= j(V/I)Ez z.(1.3)Diquesteultimequattroequazionisialasecondachelaquartahannoiprimimembri che non dipendono da z e quindi dovranno risultare tali anche i secondi.Ci` o si pu` o vericare o perch` eEzeHzsono entrambe nulle, e in questo casosiparladionda(omodo)trasversoelettromagnetica(TEM), oppureperch` eilrapporto V/I non dipende da z ed ` e invece una costante. In questo secondo casovengono denite le seguenti ulteriori possibili congurazioni: Ez = 0, Hz ,= 0: onda trasverso elettrica (TE) Ez ,= 0, Hz = 0: onda trasverso magnetica (TM) Ez ,= 0, Hz ,= 0: onda ibrida (EH o HE)Ci riferiremo dapprima al caso TEM.1.2 Onde di tipo TEMEsaminiamo il caso di unonda TEM nella quale, per denizione, risultano con-temporaneamente Ez = 0 e Hz = 0. In questo caso le (1.3) diventano:I(z) e V (z) non possono essere nulle perch` e, in caso contrario, anche il campoelettromagnetico sarebbe nullo.m.zoboli1. Propagazione guidata 5dVdz z Et= jHtI(z)V (z)Et= 0dIdz z Ht= jEtV (z)I(z)Ht= 0Afnch` e la prima e la terza di queste quattro equazioni possano essere soddisfatte,occorre che i due vettori z Et e Ht risultino fra loro paralleli. Porremo allora: z Et = AHtove A` e una costante da determinarsi,caratteristica della guida. La prima e laterza equazione, con semplici passaggi, portano a scrivere:dVdz= j(/A)I(z)dIdz= jAV (z)che indicano come le due funzioni che forniscono la dipendenza dalla variabilelongitudinale del campo elettrico e magnetico risultino accoppiate tra loro. Conle posizioni:L = /A; C = A (1.4)le precedenti diventano:m.zoboli6 1.2. Onde di tipo TEMdVdz= jL I(z)dIdz= jCV (z)(1.5)e sono note come equazioni del telegrafo. Esse possono essere rappresentate cir-cuitalmente, a meno di innitesimi di ordine superiore, con lo schema di gura(1.2)Figura 1.2: Rappresentazione circuitale di una cella innitesima di lineae questo permette di interpretare la linea di trasmissione come un circuito a co-stanti distribuite.Le equazioni del telegrafo possono essere disaccoppiate per dar luogo alla cosid-detta equazione del telefono:d2Vdz2+2LC V= 0. (1.6)Una volta ottenuta V (z),I(z) pu` o essere determinata utilizzando la prima delle(1.5) ovvero la:I(z) =jLdVdz(1.7)m.zoboli1. Propagazione guidata 71.2.1 Interpretazione sica delle funzioni V (z) e I(z)Prima di risolvere lequazione del telefono e determinare quindi le espressioni diV (z) e diI(z) nel caso di unonda TEM occorre eliminare lindeterminazioneintrodotta con la costante A. Poich` e deve essere:V (z)tEt = 0e siccome ` e V (z) ,= 0, dovr` a essere tEt = 0. Dunque il componente trasversodel campo elettrico ` e irrotazionale e come tale derivabile da un gradiente:Et = tcon =(u1, u2) denita a meno di una costante arbitraria. Per di pi` u, se ilmezzo ` e omogeneo, ` e anche:t Et = 0equindi lafunzionescalaredivienesoluzionedellequazioneomogeneadiLaplace:2t = 0.Una volta nota sar` a possibile determinare la dipendenza del campo elettricodalle coordinate trasverse (u1, u2). Se il contorno della guida ` e costituito da unconduttore elettrico perfetto, sul contorno stesso deve essere:Et

l = t l = l= 0in cui l indica il versore tangente. Dunque sul contorno deve risultare costante.Se la sezione trasversa della guida ` e semplicemente connessa, la costanza di sulcontorno ed il fatto che essa debba essere soluzione dellequazione di Laplace,implica che sia ovunque costante (propriet` a delle funzioni armoniche soluzionim.zoboli8 1.2. Onde di tipo TEMBsCFigura 1.3: Percorso integrale del campo elettricodellequazione di Laplace). Dunque, poich` e il componente trasverso del cam-po elettrico ` e identicamente nullo, si deduce che onde di tipo TEM non possonoesistere in guide con sezione trasversa. semplicemente connessa.Diverso il caso di una sezione non semplicemente connessa, perch` e in questo ca-so pu` o assumere valori costanti ma tra loro diversi su posizioni disgiunte delcontorno. Fissiamoleideesuunasezionedoppiamenteconnessa. Siosservi,preliminarmente, che poich` e il campo elettrico deriva da un gradiente, la sua di-stribuzione trasversa coincide con quella di un campo statico. Indichiamo alloracon B e C due punti appartenenti a due posizioni disgiunte del contorno; si avr` a:_CBc s ds =_CBV (z)Et s ds = V (z)_CBt s ds == V (z)[(C) (B)];dunque, afnch` e V (z) rappresenti la differenza di potenziale tra i due conduttorioccorre che risulti:(C) (B) = 1.Questa condizione denisce univocamente la funzione . Per di pi` u, con questascelta, Et assume la dimensione dellinverso di una lunghezza.m.zoboli1. Propagazione guidata 9Il grado di libert` a costituito dalla costante A pu` o essere utilizzato per fare in modoche I(z) rappresenti la corrente che circola longitudinalmente lungo i conduttori.PerdeterminarelespressionediAimponiamochelacircuitazionedelcampomagnetico lungo un qualunque contorno eguagli il usso di corrente attraverso lasupercie sostenuta da quel contorno. Se I(z) deve coincidere con questa correntedovr` a essere:_Hl dl =_I(z)Ht

l dl =I(z)A_AHt

l dl ==I(z)A_ z Et

l dl = I(z)in cui si ` e fatto ricorso alla: z Et = AHt. La precedente, per essere soddisfattarichiede che sia:A =_ z Et

l dl = _ z t l dlche indica come A risulti una costante adimensionale che pu` o essere determinatasolo quando sia specicata la sezione trasversa della guida. Vale la pena osservareche, comeEt, ancheHtassume ladimensionedellinverso diunalunghezza.Nota A si possono calcolare L e C che, con le scelte fatte, assumono le dimensionidi uninduttanza per unit` a di lunghezza e di una capacit` a per unit` a di lunghezza,rispettivamente.1.2.2 Il cavo coassialeIlcasodiuncavocoassiale` ecostituitodaunconduttorecilindricointernodiraggio ro e da un conduttore esterno di raggio r1.Lespressione del laplaciano in coordinate cilindrico-polari ` e la seguente:2 =1rr_rr_ +1r222+2z2 .m.zoboli10 1.2. Onde di tipo TEMr1r0Figura 1.4: Cavo coassialeNel caso di interesse non dipende da z; inoltre, per simmetria, si pu` o supporreche risulti anche indipendente da . Lequazione di Laplace diviene allora:1rddr_rddr_ = 0che integrata porta a scrivere:rddr= c1e quindi, integrando ulteriormente:(r) = c1 lnr +c2.Per r = ro e r = r1 si ha:(ro) = c1 ln ro +c2(r1) = c1 ln r1 +c2dunque imponendo che sia:m.zoboli1. Propagazione guidata 11(r1) (ro) = 1si ottiene:c1(ln r1lnro) = c1 ln(r1/ro) = 1e pertantoc1 = 1/ ln(r1/ro).Dunque:(r) = ln(r)ln(r1/ro) + costquindi: =ddr r = rr ln(r1/ro)dove r, , z formano una terna destrorsa: z r = ;ne segue che:A = _dlr ln(r1/ro)ed essendodl = rdsi ottiene nalmente:A = _2odln(r1/ro)=2ln(r1/ro).m.zoboli12 1.2. Onde di tipo TEMPertanto:C = A =2ln(r1/ro)L = /A =ln(r1/ro)2.1.2.3 Linee di trasmissione in regime armonicoAbbiamo visto che in una linea di trasmissione le onde di tensione e corrente sonosoluzioni dalle equazioni del telegrafo (1.5); se si risolve lequazione del telefono(1.6) per ottenere V (z) e poi si applica la (1.7) per ottenere I(z), si ha:V (z) = V+ejz+Vejz(1.8)I(z) = I+ejzIejz(1.9)in cui V+, V, I+, I sono costanti di integrazione; la costante di fase vale: = LC = (1.10)e, attraverso di essa, ` e possibile denire la lunghezza donda in linea: =2. (1.11)Essa evidentemente ` e tale per cui:V (z +) = V (z); I(z +) = I(z).Nellespressione di I(z) le due ampiezze valgono:I+ =V+Zo; I =VZoessendo Zo limpedenza caratteristica della linea denita dalla:m.zoboli1. Propagazione guidata 13Zo =LC=1A_=A. (1.12)con =_limpedenza caratteristica del mezzo.`E consuetudine introdurre lintensit` a dellonda direttaa(z) e dellonda riessab(z) denite in questo modo:a(z) =V+Zoejz;b(z) =VZoejz;Si ricava immediatamente:V (z) = _Zo[a(z) +b(z)]I(z) =1Zo[a(z) b(z)]ovvero le relazioni inverse:a(z) =12[V (z)Zo+I(z)_Zo]b(z) =12[V (z)ZoI(z)_Zo]Si deniscepoi, inunagenericasezionedellalinea, limpedenzadi ingressoattraverso la:Zi(z) =V (z)I(z)(1.13)e inoltre il coefciente di riessione:(z) =b(z)a(z). (1.14)m.zoboli14 1.2. Onde di tipo TEMEsprimendo a(z) e b(z) in termini di V (z) e I(z), si pu` o anche scrivere:(z) =Zi(z) ZoZi(z) +Zo(1.15)o anche introducendo limpedenza di ingresso normalizzata:zi(z) =Zi(z)Zo(1.16)(z) =zi1zi + 1; (1.17)sussiste inne la relazione inversa:zi(z) =1 +(z)1 (z). (1.18)Le precedenti quantit` a possono essere riferite al carico. Si consideri infatti unalinea lunga L chiusa su di un carico ZL, come riportato in gura (1.5).LZL0~zFigura 1.5: Linea di trasmissione chiusa su un caricoLorigine della variabile z viene fatta coincidere con la sezione di carico e assumevalori negativi risalendo verso il generatore. Evidentemente:ZL =V (0)I(0)e inoltre:

L =b(0)a(0)=VV+= (0)m.zoboli1. Propagazione guidata 15`E possibile esprimere il coefciente di riessione nella generica sezione in terminidi L. Infatti:(z) =b(z)a(z)=VV+ej2z= Lej2z(1.19)dunque:[(z)[ = [L[cio` e il modulo del coefciente di riessione non cambia al variare della sezione,ma si mantiene costante lungo tutta la linea. Si noti che la fase del coefciente diriessione vale 2z.1.2.4 Limpedenza di ingressoDallequazione (1.13) che la denisce, si deduce che limpedenza di ingresso, inassenza dellonda riessa, coincide con limpedenza caratteristica della linea. Inqueste condizioni londa diretta, mentre si propaga vede unimpedenza costanteche non varia lungo la linea. La presenza di unonda riessa determina invece unavariazione dellimpedenza di ingresso. Per determinarla si supponga che la lineasia chiusa su una impedenza di caricoZL. Utilizzando alcune delle denizioniprecedenti si scrive:Zi(z) =V (z)I(z)=V+ejz+VejzI+ejzIejz==_V+I+_ejz+ (VV+)ejzejz(II+)ejz== Z0ejz+LejzejzLejz=m.zoboli16 1.2. Onde di tipo TEM= Z0ejz+ (ZLZ0ZL +Z0)ejzejz(ZLZ0ZL +Z0)ejz.Riordinando la precedente, anche limpedenza di ingresso Zi(z) pu` o essere espres-sa in termini dellimpedenza di carico:Zi(z) =V (z)I(z)= ZoZLcosz jZosinzZocosz jZLsinz(1.20)che, introducendo limpedenza di carico normalizzata zL = ZL/Zo, si pu` o riscri-vere:zi(z) =zLjtgz1 jzLtgz.Analogamente per lammettenza di ingresso si ottiene:Yi(z) = YoYLcosz jYosinzYocosz jYLsinz. (1.21)Queste relazioni verranno utilizzate in un prossimo paragrafo per studiare le pro-priet` a dello stub.1.2.5 Il rapporto donda stazionaria (ROS)Dallespressione dellonda di tensione:V (z) = V+ejz+Vejzsi osserva che se ci si sposta dal carico verso il generatore, z assume valori negativivia via crescenti e quindi la fase dellonda diretta assume valori positivi crescenti(rotazione antioraria) mentre quella riessa valori negativi (rotazione oraria). E-siste dunque un valore di z in corrispondenza del quale le due fasi sono uguali equindi le due onde si sommano. Si avr` a:m.zoboli1. Propagazione guidata 17Vmax = [V+[ +[V[.Con uno spostamento di /4 da questa posizione, la prima onda subisce uno sfa-samento di /2 e la seconda di /2 sicch` e tra le due lo sfasamento risulta di ;corrispondentemente la tensione raggiunger` a il suo minimo:Vmin = [V+[ [V[.Si denisce rapporto donda stazionaria (ROS) o Standing Wave Ratio la quan-tit` a:S =VmaxVmin(1.22)ossia dalle precedenti:S = [V+[ +[V[[V+[ [V[=1 +[[1 [[, (1.23)che pu` o essere invertita:[[ =S 1S + 1(1.24)suggerendo quindi come misurare indirettamente il coefciente di riessione.Poich` e nellequazione dellonda di corrente compare un segno meno, ` e facile ve-ricare che nelle sezioni in cui le tensioni si sommano in fase le correnti si sot-traggono e viceversa. Dunque in corrispondenza del massimo di tensione si ha unminimo di corrente:Imin = [V+[ [V[Zo. = z=24=2m.zoboli18 1.2. Onde di tipo TEMIn questa posizione la tensione e la corrente hanno la stessa fase e quindi il lo-rorapporto, cio` elimpedenza, risultapuramentereale; limpedenza` edunqueresistiva e vale:Zmax = Zo[V+[ +[V[[V+[ [V[= ZoS .In corrispondenza di un minimo di tensione si ha un massimo di corrente:Imax = [V+[ +[V[Zo.e di conseguenza un minimo dellimpedenza:Zmin = Zo[V+[ [V[[V+[ +[V[=ZoS.1.2.6 La carta di SmithLanalisi delle linee di trasmissione risulta talvolta sensibilmente semplicata dalricorso alla carta di Smith. Essa rappresenta limpedenza di ingresso normalizza-ta nel piano del coefciente di riessione. Limpedenza normalizzata della linea,nella sezione z, pu` o essere scritta come:zi(z) = r +jx;il coefciente di riessione nella stessa sezione vale:(z) = u +jv = Le2jz.Poich` e zi ` e legata adalle relazione (1.18), si dovr` a imporre che risulti:r +jx =(1 u2v2) +j2v(1 u)2+v2e quindi, in particolare:m.zoboli1. Propagazione guidata 19r =1 (u2+v2)(1 u)2+v2 ; (1.25)x =2v(1 u)2+v2 ; (1.26)Dallequazione che esprime r, dopo alcuni passaggi algebrici, si ottiene:(u r1 +r)2+v2=1(1 +r)2. (1.27)Dunque nel piano del coefciente di riessione(piano u, v) il luogo dei punti ar costante ` e espresso dalla (1.27). Si tratta di circonferenze con centro in (r/(1 +r), 0) e raggio (1/1 +r). Le curve per r = 0, 1/2, 1, 2, sono riportate in gura(1.6)x=0x=1/2x=1x=2x=-1/2x=-2x=-1r=2r=1r=1/2r=0versoilcaricoversoilgeneratoreFigura 1.6: Costruzione della carta di SmithDallequazione che esprime x si ottiene:dopo aver sviluppato, si divida per (1 +r); si sommi poi e si sottraggar2(1 +r)2m.zoboli20 1.2. Onde di tipo TEM(u 1)2+ (v 1x)2=1x2. (1.28)Le curve ax costante sono espresse dalla (1.28); si tratta ancora di archi di cir-conferenza con centro in (1, 1/x) e raggio 1/[x[. Archi corrispondenti ax=0, 1, 1/2, 1, 2, , sono pure mostrati in gura (1.6). Ogni punto su una datalinea di trasmissione presenter` a una certa impedenza con parte reale positiva e conparte immaginaria positiva o negativa. Gli archi corrispondenti a valori positividi x appartengono al semicerchio superiore; a quello inferiore appartengono archicon x negativo.Come illustrato nella gura (1.8),la carta di Smith pu` o essere utilizzata anchecome carta delle ammettenze y = g +jb con una semplice rotazione di . Questopunto verr` a chiarito nel prossimo paragrafo.1.2.7 Adattatore a /4La presenza in linea di unonda riessa pu` o produrre,da un lato,forti disturbinella trasmissione del segnale;dallaltro linsorgere di unonda stazionaria pu` oprovocare seri danni al dielettrico. Ci` o impone di ricercare dei metodi atti ad eli-minare londa riessa. Si parla in questo caso di adattamento della linea, mentre ildispositivo che permette di eliminare londa riessa prende il nome di adattatore.Poich` e lassenza di onde riesse implica lannullarsi del coefciente di riessionee quindi, per la (1.18), che risulti zi = 1, in condizioni di adattamento limpedenzavistainqualunquesezionedellalineacoincideconlimpedenzacaratteristicadella linea stessa. Qualunque discontinuit` a nellimpedenza di ingresso provocainvece linsorgere di unonda riessa e quindi il disadattamento.Ladattatore a /4 consiste di un tratto di linea lungo /4 di impedenza caratteri-stica Z

o ,= Zo.`E basato sul fatto che dallespressione dellimpedenza di ingresso(1.20), per z = /4, si ottiene:Zi(/4) = Z

o[ZLcos/4 +jZ

osin/4Z

ocos/4 +jZLsin/4]m.zoboli1. Propagazione guidata 210 . 10.10.10 . 20.20.20.30.30.30.40.40.40.50.50.50.60.60.60.70.70.70.80.80.80.90.90.91.01.01.01.21.21.21.41.41.41.61.61.61.81.81.82.02.02.03.03.03.04.04.04.05.05 . 05.0101 010202 020505 0500.20 . 20 . 20.20.40 . 40 . 40.40.60.60.60.60.80.80.80.81.01.01.01.020-2030-3040-4050-5060-6070- 7 080- 8 090- 9 0100- 1 0 0110- 1 1 0120-120130-130140-140150-150160-160170-1701800.050.050.060.060.070.070.080.080.090.090 . 10.10 . 1 10.110 . 1 20.120 . 1 30.130 . 1 40.140 . 1 50.150.160.160.170.170.180.180.190.190.20.20.210.210.220.220.230.230.240.240.250.250.260.260.270.270.280.280.290.290.30.30.310.310.320.320.330.330.340.340.350 . 3 50.360 . 3 60.370 . 3 70.380 . 3 80.390 . 3 90.40 . 40.410.410.420.420.430.430.440.440.450.450.460.460.470.470.480.480.490.490.00.0ANGLEOFREFLECTIONCOEFFICIENTINDEGREES>WAVELENGTHSTOWARDGENERATOR>