Upload
vi7er
View
41
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
Cursul 4Cursul 4Rezolvarea sistemelor de
ecuaţii
Rezolvarea numerică a ecuaţiilor ţalgebrice
Rezolvarea sistemelor triunghiulare gEliminarea GaussEliminarea Gauss cu pivotare parţială Eliminarea Gauss cu pivotare parţială Eliminarea Gauss cu pivotare totala Factorizarea LU Factorizarea LU Factorizarea Cholesky Metoda Gauss Jordan Metoda Gauss-Jordan
Factorizarea LU
Factorizarea LUl l l lMatricea U se calculeaza in cursul procesului
de eliminare gaussiana fara pivotare Matricea L esteMatricea L este
( )n-11-1 -1 -1 -1 T
n-1 n-2 2 1 1 2 n-1 n p p1
L=T T T T T T T T I + T eminus= sdot sdot sdot sdot = sdot sdot sdot = sdotsump=1
21
1t 1⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥
31 32t t 1L= 1
⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥n1 n2 nn-1t t t 1⎢ ⎥⎣ ⎦
Daca se considera elementele diagonale ale matricei U Daca se considera elementele diagonale ale matricei U unitare (Uii=1) se obtine factorizarea Crout daca Lii=1se obtine factorizarea Doolitle
Factorizarea CroutSe dezvolta relatia
min(ij)sumij im mj
m=1A = L Usdotsum
Matricele L si U se calculeaza incepand cu prima Matricele L si U se calculeaza incepand cu prima coloana din L si prima linie din U
l 1 di L (i 1 j 1)
i1 i1 11 i1 i1
coloana 1 din L (i=1n j=1)A =L U de unde L =A i=1nbull
sdot
linia 1 din U (i=1 j=2n)A
bull
1j1j 11 1j 1j
11
AA =L U U = j=2n
Lsdot rArr
Factorizarea CroutF l i d i d i l i D Folosind inductia procesul se continua Dupa ce s-au
calculat primele p-1 coloane din L si primele p-1 linii din U
coloana p din L (i=pn j=p)bullp-1 p-1
ip im mp ip pp ip ip im mpm=1 m=1
A = L U L U L =A L U i=pnsdot + sdot rArr minus sdotsum summ=1 m=1
linia p din U (i=p j=p+1n)bullp-1
pj pm mjp-1m=1
j j j j
A L UA = L U L U U =
minus sdotsdot + sdot rArr
sumsumpj pm mj pp pj pj
ppm=1A = L U L U U =
Lsdot + sdot rArrsum
Factorizarea Cholesky
Factorizarea CholeskyDacă o matrice pătrată A este simetrica si pozitiv definita ei i se poate aplica o factorizare speciala mai eficienta din punct de vedere numeric numita factorizare eficienta din punct de vedere numeric numita factorizare Cholesky Simetria inseamna satisfacerea egalității A=AT sau aij = jaji pentru toti indicii ij=1n O matrice A se numește pozitiv definita daca inegalitateaxTAxgt0 este satisfacuta pentru orice vector x iar x Axgt0 este satisfacuta pentru orice vector x iar anularea produsului matriceal are loc numai atunci cand x este identic cu vectorul nul P i t t d fi i ii iti t i i A j l Proprietatea definirii pozitive a matricei A joaca un rol esential in stabilitatea numerica a calculelor efectuate in cursul factorizarii Cholesky
Factorizarea CholeskyDaca cele doua proprietăți sunt satisfacute factorizarea
Cholesky descompune matricea A icircntr-un produs de doua matrice triunghiulare de tipul L U cu proprietateadoua matrice triunghiulare de tipul LmiddotU cu proprietatearemarcabilă L=UT
A L LTA=LmiddotLT
Pentru acest tip de factorizare se pot scrie (n2+n)2 ecuații independente care conțin tot atacirctea necunoscutep ț(elementele nenule din matricea L)
In consecință factorizarea Cholesky a unei matrice esteunică nefiind necesara precizarea a priori a valorilorunică nefiind necesara precizarea a priori a valorilorunor necunoscute
Factorizarea CholeskyPentru stabilirea relatiilor generale de calcul dupa care se
desfasoara factorizarea Cholesky expresia A=LmiddotLT se expliciteaza in functie de elementele matricelor A si Lexpliciteaza in functie de elementele matricelor A si L
In ipoteza determinarii prealabile a elementelor de peprimele j-1 coloane ale matricei L relația anterioară se explicitează pentru a evidenția elementul diagonal p p ț g
Factorizarea CholeskyCu particularizarea i = j se obține
Deoarece toti termenii λ ( m=1 j 1 ) au fost calculați Deoarece toti termenii λjm ( m=1j-1 ) au fost calculați icircn prealabil se poate determina elementul diagonal
d l l ă t l l t l d l jdupa care se calculează restul elementelor de pe coloana ja matricei L
Factorizarea CholeskyUltimele două relații stau la baza factorizarii matricei A dupa metodaCholesky Aplicarea lor repetata pentru toti indicii j=1n permitedeterminarea celor n coloane ale matricei L determinarea celor n coloane ale matricei L O particularitate a factorizării Cholesky se referă la aplicarea tehnicilorde pivotare In acest sens dacă matricea A satisface conditiile pentrua admite o factorizare Cholesky (este simetrica si pozitiv definita) ea a admite o factorizare Cholesky (este simetrica si pozitiv definita) ea va fi icircntotdeauna nesingulara Prin urmare riscul impartirii la un element nul in ultima relație nu exista si nici erorile de rotunjire nu pot afecta semnificativ rezultateleexista si nici erorile de rotunjire nu pot afecta semnificativ rezultatelecalculelor Prin urmare nu mai este necesara aplicarea pivotarii Mai mult decatatat aplicarea tehnicilor de pivotare nici nu este permisa deoarece atat aplicarea tehnicilor de pivotare nici nu este permisa deoarece
pivotarea partiala strica simetria matricei pivotarea completa pastreaza simetria dar conduce de regula la
d d d f pierderea proprietatii de definire pozitiva a matricei A In ambele cazuri sunt incalcate conditiile care asigura existentafactorizarii Cholesky
Rezolvarea sistemelor tridiagonale g(aij=0 |i-j|gt1)
Rezolvarea sistemelor tridiagonale g(aij=0 |i-j|gt1)
Inversarea matricelor triunghiulare
Metoda Gauss-JordanI i i l Inversarea unei matrice presupune rezolvarea a n
sisteme de ecuatii lineare Daca se noteaza X=A-1 pornind de la identitatea AX=In dezvoltata pe coloane
bse obtine
[ ] [ ]1 2 1 2A n nx x x e e esdot =[ ] [ ]1 2 1 2A A 1
n n
i i
x x x e e ex e i nsdot = =
Matricea inversa ar avea drept coloane solutiile sistemului avand ca termeni liberi coloanele matricei unitateunitate
Metoda este inutilizabila datorita complexitatii ei O(n4)
Metoda Gauss-JordanM t d G J d t d l t i ti Metoda Gauss-Jordan porneste de la matricea extinsa pe
care o aduce la forma diagonala
1n nB= A I scrisa sub forma B=A I Aminus⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Transformarea se efectueaza progresiv in fiecare pas se modifica o singura coloana din primele n ale matricei B
li
pjj
normalizareA
A = p=1n j=p2n
bull
pjpp
A p 1n j p2nA
reducerebull
ij ij ip pj
reducereA =A A A p=1n i=1n j=p2nbull
minus sdot
Exemplul 3Folosind metoda Gauss-Jordan să se rezolve sistemul
2 8 4 1x x x+ + =⎧ 1 2 3
1 2 3
2 8 4 12 10 6 1
x x xx x x
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪
1 2 38 2 1x x x⎪ + + =⎩
Metoda Gauss-JordanMatricele sistemului
⎡ ⎤ ⎡ ⎤2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanP i l bi ti t iti t l i (1 0 0) i i Primul obiectiv este aparitia vectorului (1 0 0) in prima
coloana Se imparte prima linie la 2 se scade din a doua linie impartita la randul ei cu 2 si din a treia linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 4 2 120 2 2 0A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
0 4 0 12⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanAl d il bi ti t iti t l i (0 1 0) i d Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia
0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia coloana Se imparte a treia linie la -4 se aduna de 2 ori la prima linie si se scade din a doua linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0 1 40 1 0 180 0 1 18
A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0 1 18⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanV t l b ti l tiVectorul b contine solutia
11
14
x =
218
x =
31x = minus3 8
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
In rezolvarea sistemelor de ecuaţii lineare anumite matrice (rău condiţionate) pot crea difi ltăţi icirc l ă i i i ţii l d t l dificultăţi icircn sensul că mici variaţii ale datelor pot produce mari variaţii icircn soluţii
Astfel dacă icircn sistemul de ecuaţiiAstfel dacă icircn sistemul de ecuaţii
1 2 3 410 7 8 7 32x x x xsdot + sdot + sdot + sdot =⎧⎪
1 2 3 4
1 2 3 47 5 6 5 238 6 10 9 33
x x x x⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎨ + + +⎪ 1 2 3 4
1 2 3 4
8 6 10 9 337 5 9 10 31
x x x xx x x x
⎨ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎩⎩
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
avacircnd soluţiile Se aplică termenilor liberi mici perturbaţii astfel icircncacirct
[ ]1 1 1 1Tx =p ţ
devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =
se obţin soluţiile noului sistem [ ]~ 92 126 45 11Tx = minus minus
Să considerăm sistemul de ecuaţii liniare şi sistemul perturbat
~ ~
~ A x bb b bδsdot =
= +~
b b bx x x
δ
δ
+
= +
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
( )1 1
A x x b b
A x b x A b x A b
δ δ
δ δ δ δ δ δminus minus
sdot + = +
= rArr = rArr le A x b x A b x A b
b A x b A x
δ δ δ δ δ δsdot = rArr = sdot rArr le sdot
= sdot rArr le sdot
1b x A A x bδ δminussdot le sdot sdot sdot
( )x b
K Aδ δ
le sdot( )x b
Numarul de conditionare al matricei 1( )K A A A minus= sdotNumarul de conditionare al matricei
care actioneaza ca un factor de amplificare a perturbarii solutiilordatorate variatiei termenilor liberi
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
O relaţie asemănătoare se obţine icircn cazul perturbării matricei coeficienţilor
( ) ( )A A x x bδ δ+ sdot + =1δ δ δ δ10A x A x x A A xδ δ δ δminussdot + sdot = rArr = minus sdot sdot
1x A A xδ δminusle sdot sdotx A A xδ δle
( )x A
K Aδ δ
le sdot( )K Ax A
le
Efectul perturbării coeficienţilor se regaseste p ţ gamplificat de K(A) ori in solutie
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
A xδ δsdotDacă icircn relaţiile anterioare nu se neglijează
termenul A xδ δsdotte e u
se obţine o majorare mai exactă de formase obţine o majorare mai exactă de forma
( ) AK A
δ( )K Ax A
Aδ
δ
sdotle
( )1Ax K A
Aδ
minus sdot
Dacă se consideră că numerele reale au mantisaDacă se consideră că numerele reale au mantisa reprezentată cu t cifre binare semnificative
2 2t tij ijA A A Aδ δminus minusle rArr le
( )12 2t tA A K Aδ minus minus minus ( )( )1
2 21 21 2
t
tt
A Ax K Ax K AA Aδ
minusminus minus
sdotle =
minusminus sdot
Se verifică relativ uşor următoarele proprietăţi ale numărului de condiţionare al proprietăţi ale numărului de condiţionare al unei matrici
K(A)ge1K(A)ge1K(A)=K(A-1)K(cA)=K(A)(c ) ( )Numărul de condiţionare depinde de norma
considerată
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
Pentru matricele cu număr de condiţionare mare (matrice rău condiţionate) amplificarea erorilor din datele iniţiale este mare erorilor din datele iniţiale este mare indiferent de cacirct de exact sunt efectuate calculele justificacircnd variaţia relativă mare a
icircsoluţiilor icircn raport cu variaţia termenilor liberi
11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus
A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9
= = =A A A
1 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9 matricea Hilbert matricea Wilson matricea Rutishauser
minus
Rezolvarea numerică a ecuaţiilor ţalgebrice
Rezolvarea sistemelor triunghiulare gEliminarea GaussEliminarea Gauss cu pivotare parţială Eliminarea Gauss cu pivotare parţială Eliminarea Gauss cu pivotare totala Factorizarea LU Factorizarea LU Factorizarea Cholesky Metoda Gauss Jordan Metoda Gauss-Jordan
Factorizarea LU
Factorizarea LUl l l lMatricea U se calculeaza in cursul procesului
de eliminare gaussiana fara pivotare Matricea L esteMatricea L este
( )n-11-1 -1 -1 -1 T
n-1 n-2 2 1 1 2 n-1 n p p1
L=T T T T T T T T I + T eminus= sdot sdot sdot sdot = sdot sdot sdot = sdotsump=1
21
1t 1⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥
31 32t t 1L= 1
⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥n1 n2 nn-1t t t 1⎢ ⎥⎣ ⎦
Daca se considera elementele diagonale ale matricei U Daca se considera elementele diagonale ale matricei U unitare (Uii=1) se obtine factorizarea Crout daca Lii=1se obtine factorizarea Doolitle
Factorizarea CroutSe dezvolta relatia
min(ij)sumij im mj
m=1A = L Usdotsum
Matricele L si U se calculeaza incepand cu prima Matricele L si U se calculeaza incepand cu prima coloana din L si prima linie din U
l 1 di L (i 1 j 1)
i1 i1 11 i1 i1
coloana 1 din L (i=1n j=1)A =L U de unde L =A i=1nbull
sdot
linia 1 din U (i=1 j=2n)A
bull
1j1j 11 1j 1j
11
AA =L U U = j=2n
Lsdot rArr
Factorizarea CroutF l i d i d i l i D Folosind inductia procesul se continua Dupa ce s-au
calculat primele p-1 coloane din L si primele p-1 linii din U
coloana p din L (i=pn j=p)bullp-1 p-1
ip im mp ip pp ip ip im mpm=1 m=1
A = L U L U L =A L U i=pnsdot + sdot rArr minus sdotsum summ=1 m=1
linia p din U (i=p j=p+1n)bullp-1
pj pm mjp-1m=1
j j j j
A L UA = L U L U U =
minus sdotsdot + sdot rArr
sumsumpj pm mj pp pj pj
ppm=1A = L U L U U =
Lsdot + sdot rArrsum
Factorizarea Cholesky
Factorizarea CholeskyDacă o matrice pătrată A este simetrica si pozitiv definita ei i se poate aplica o factorizare speciala mai eficienta din punct de vedere numeric numita factorizare eficienta din punct de vedere numeric numita factorizare Cholesky Simetria inseamna satisfacerea egalității A=AT sau aij = jaji pentru toti indicii ij=1n O matrice A se numește pozitiv definita daca inegalitateaxTAxgt0 este satisfacuta pentru orice vector x iar x Axgt0 este satisfacuta pentru orice vector x iar anularea produsului matriceal are loc numai atunci cand x este identic cu vectorul nul P i t t d fi i ii iti t i i A j l Proprietatea definirii pozitive a matricei A joaca un rol esential in stabilitatea numerica a calculelor efectuate in cursul factorizarii Cholesky
Factorizarea CholeskyDaca cele doua proprietăți sunt satisfacute factorizarea
Cholesky descompune matricea A icircntr-un produs de doua matrice triunghiulare de tipul L U cu proprietateadoua matrice triunghiulare de tipul LmiddotU cu proprietatearemarcabilă L=UT
A L LTA=LmiddotLT
Pentru acest tip de factorizare se pot scrie (n2+n)2 ecuații independente care conțin tot atacirctea necunoscutep ț(elementele nenule din matricea L)
In consecință factorizarea Cholesky a unei matrice esteunică nefiind necesara precizarea a priori a valorilorunică nefiind necesara precizarea a priori a valorilorunor necunoscute
Factorizarea CholeskyPentru stabilirea relatiilor generale de calcul dupa care se
desfasoara factorizarea Cholesky expresia A=LmiddotLT se expliciteaza in functie de elementele matricelor A si Lexpliciteaza in functie de elementele matricelor A si L
In ipoteza determinarii prealabile a elementelor de peprimele j-1 coloane ale matricei L relația anterioară se explicitează pentru a evidenția elementul diagonal p p ț g
Factorizarea CholeskyCu particularizarea i = j se obține
Deoarece toti termenii λ ( m=1 j 1 ) au fost calculați Deoarece toti termenii λjm ( m=1j-1 ) au fost calculați icircn prealabil se poate determina elementul diagonal
d l l ă t l l t l d l jdupa care se calculează restul elementelor de pe coloana ja matricei L
Factorizarea CholeskyUltimele două relații stau la baza factorizarii matricei A dupa metodaCholesky Aplicarea lor repetata pentru toti indicii j=1n permitedeterminarea celor n coloane ale matricei L determinarea celor n coloane ale matricei L O particularitate a factorizării Cholesky se referă la aplicarea tehnicilorde pivotare In acest sens dacă matricea A satisface conditiile pentrua admite o factorizare Cholesky (este simetrica si pozitiv definita) ea a admite o factorizare Cholesky (este simetrica si pozitiv definita) ea va fi icircntotdeauna nesingulara Prin urmare riscul impartirii la un element nul in ultima relație nu exista si nici erorile de rotunjire nu pot afecta semnificativ rezultateleexista si nici erorile de rotunjire nu pot afecta semnificativ rezultatelecalculelor Prin urmare nu mai este necesara aplicarea pivotarii Mai mult decatatat aplicarea tehnicilor de pivotare nici nu este permisa deoarece atat aplicarea tehnicilor de pivotare nici nu este permisa deoarece
pivotarea partiala strica simetria matricei pivotarea completa pastreaza simetria dar conduce de regula la
d d d f pierderea proprietatii de definire pozitiva a matricei A In ambele cazuri sunt incalcate conditiile care asigura existentafactorizarii Cholesky
Rezolvarea sistemelor tridiagonale g(aij=0 |i-j|gt1)
Rezolvarea sistemelor tridiagonale g(aij=0 |i-j|gt1)
Inversarea matricelor triunghiulare
Metoda Gauss-JordanI i i l Inversarea unei matrice presupune rezolvarea a n
sisteme de ecuatii lineare Daca se noteaza X=A-1 pornind de la identitatea AX=In dezvoltata pe coloane
bse obtine
[ ] [ ]1 2 1 2A n nx x x e e esdot =[ ] [ ]1 2 1 2A A 1
n n
i i
x x x e e ex e i nsdot = =
Matricea inversa ar avea drept coloane solutiile sistemului avand ca termeni liberi coloanele matricei unitateunitate
Metoda este inutilizabila datorita complexitatii ei O(n4)
Metoda Gauss-JordanM t d G J d t d l t i ti Metoda Gauss-Jordan porneste de la matricea extinsa pe
care o aduce la forma diagonala
1n nB= A I scrisa sub forma B=A I Aminus⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Transformarea se efectueaza progresiv in fiecare pas se modifica o singura coloana din primele n ale matricei B
li
pjj
normalizareA
A = p=1n j=p2n
bull
pjpp
A p 1n j p2nA
reducerebull
ij ij ip pj
reducereA =A A A p=1n i=1n j=p2nbull
minus sdot
Exemplul 3Folosind metoda Gauss-Jordan să se rezolve sistemul
2 8 4 1x x x+ + =⎧ 1 2 3
1 2 3
2 8 4 12 10 6 1
x x xx x x
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪
1 2 38 2 1x x x⎪ + + =⎩
Metoda Gauss-JordanMatricele sistemului
⎡ ⎤ ⎡ ⎤2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanP i l bi ti t iti t l i (1 0 0) i i Primul obiectiv este aparitia vectorului (1 0 0) in prima
coloana Se imparte prima linie la 2 se scade din a doua linie impartita la randul ei cu 2 si din a treia linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 4 2 120 2 2 0A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
0 4 0 12⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanAl d il bi ti t iti t l i (0 1 0) i d Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia
0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia coloana Se imparte a treia linie la -4 se aduna de 2 ori la prima linie si se scade din a doua linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0 1 40 1 0 180 0 1 18
A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0 1 18⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanV t l b ti l tiVectorul b contine solutia
11
14
x =
218
x =
31x = minus3 8
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
In rezolvarea sistemelor de ecuaţii lineare anumite matrice (rău condiţionate) pot crea difi ltăţi icirc l ă i i i ţii l d t l dificultăţi icircn sensul că mici variaţii ale datelor pot produce mari variaţii icircn soluţii
Astfel dacă icircn sistemul de ecuaţiiAstfel dacă icircn sistemul de ecuaţii
1 2 3 410 7 8 7 32x x x xsdot + sdot + sdot + sdot =⎧⎪
1 2 3 4
1 2 3 47 5 6 5 238 6 10 9 33
x x x x⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎨ + + +⎪ 1 2 3 4
1 2 3 4
8 6 10 9 337 5 9 10 31
x x x xx x x x
⎨ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎩⎩
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
avacircnd soluţiile Se aplică termenilor liberi mici perturbaţii astfel icircncacirct
[ ]1 1 1 1Tx =p ţ
devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =
se obţin soluţiile noului sistem [ ]~ 92 126 45 11Tx = minus minus
Să considerăm sistemul de ecuaţii liniare şi sistemul perturbat
~ ~
~ A x bb b bδsdot =
= +~
b b bx x x
δ
δ
+
= +
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
( )1 1
A x x b b
A x b x A b x A b
δ δ
δ δ δ δ δ δminus minus
sdot + = +
= rArr = rArr le A x b x A b x A b
b A x b A x
δ δ δ δ δ δsdot = rArr = sdot rArr le sdot
= sdot rArr le sdot
1b x A A x bδ δminussdot le sdot sdot sdot
( )x b
K Aδ δ
le sdot( )x b
Numarul de conditionare al matricei 1( )K A A A minus= sdotNumarul de conditionare al matricei
care actioneaza ca un factor de amplificare a perturbarii solutiilordatorate variatiei termenilor liberi
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
O relaţie asemănătoare se obţine icircn cazul perturbării matricei coeficienţilor
( ) ( )A A x x bδ δ+ sdot + =1δ δ δ δ10A x A x x A A xδ δ δ δminussdot + sdot = rArr = minus sdot sdot
1x A A xδ δminusle sdot sdotx A A xδ δle
( )x A
K Aδ δ
le sdot( )K Ax A
le
Efectul perturbării coeficienţilor se regaseste p ţ gamplificat de K(A) ori in solutie
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
A xδ δsdotDacă icircn relaţiile anterioare nu se neglijează
termenul A xδ δsdotte e u
se obţine o majorare mai exactă de formase obţine o majorare mai exactă de forma
( ) AK A
δ( )K Ax A
Aδ
δ
sdotle
( )1Ax K A
Aδ
minus sdot
Dacă se consideră că numerele reale au mantisaDacă se consideră că numerele reale au mantisa reprezentată cu t cifre binare semnificative
2 2t tij ijA A A Aδ δminus minusle rArr le
( )12 2t tA A K Aδ minus minus minus ( )( )1
2 21 21 2
t
tt
A Ax K Ax K AA Aδ
minusminus minus
sdotle =
minusminus sdot
Se verifică relativ uşor următoarele proprietăţi ale numărului de condiţionare al proprietăţi ale numărului de condiţionare al unei matrici
K(A)ge1K(A)ge1K(A)=K(A-1)K(cA)=K(A)(c ) ( )Numărul de condiţionare depinde de norma
considerată
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
Pentru matricele cu număr de condiţionare mare (matrice rău condiţionate) amplificarea erorilor din datele iniţiale este mare erorilor din datele iniţiale este mare indiferent de cacirct de exact sunt efectuate calculele justificacircnd variaţia relativă mare a
icircsoluţiilor icircn raport cu variaţia termenilor liberi
11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus
A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9
= = =A A A
1 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9 matricea Hilbert matricea Wilson matricea Rutishauser
minus
Factorizarea LU
Factorizarea LUl l l lMatricea U se calculeaza in cursul procesului
de eliminare gaussiana fara pivotare Matricea L esteMatricea L este
( )n-11-1 -1 -1 -1 T
n-1 n-2 2 1 1 2 n-1 n p p1
L=T T T T T T T T I + T eminus= sdot sdot sdot sdot = sdot sdot sdot = sdotsump=1
21
1t 1⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥
31 32t t 1L= 1
⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥n1 n2 nn-1t t t 1⎢ ⎥⎣ ⎦
Daca se considera elementele diagonale ale matricei U Daca se considera elementele diagonale ale matricei U unitare (Uii=1) se obtine factorizarea Crout daca Lii=1se obtine factorizarea Doolitle
Factorizarea CroutSe dezvolta relatia
min(ij)sumij im mj
m=1A = L Usdotsum
Matricele L si U se calculeaza incepand cu prima Matricele L si U se calculeaza incepand cu prima coloana din L si prima linie din U
l 1 di L (i 1 j 1)
i1 i1 11 i1 i1
coloana 1 din L (i=1n j=1)A =L U de unde L =A i=1nbull
sdot
linia 1 din U (i=1 j=2n)A
bull
1j1j 11 1j 1j
11
AA =L U U = j=2n
Lsdot rArr
Factorizarea CroutF l i d i d i l i D Folosind inductia procesul se continua Dupa ce s-au
calculat primele p-1 coloane din L si primele p-1 linii din U
coloana p din L (i=pn j=p)bullp-1 p-1
ip im mp ip pp ip ip im mpm=1 m=1
A = L U L U L =A L U i=pnsdot + sdot rArr minus sdotsum summ=1 m=1
linia p din U (i=p j=p+1n)bullp-1
pj pm mjp-1m=1
j j j j
A L UA = L U L U U =
minus sdotsdot + sdot rArr
sumsumpj pm mj pp pj pj
ppm=1A = L U L U U =
Lsdot + sdot rArrsum
Factorizarea Cholesky
Factorizarea CholeskyDacă o matrice pătrată A este simetrica si pozitiv definita ei i se poate aplica o factorizare speciala mai eficienta din punct de vedere numeric numita factorizare eficienta din punct de vedere numeric numita factorizare Cholesky Simetria inseamna satisfacerea egalității A=AT sau aij = jaji pentru toti indicii ij=1n O matrice A se numește pozitiv definita daca inegalitateaxTAxgt0 este satisfacuta pentru orice vector x iar x Axgt0 este satisfacuta pentru orice vector x iar anularea produsului matriceal are loc numai atunci cand x este identic cu vectorul nul P i t t d fi i ii iti t i i A j l Proprietatea definirii pozitive a matricei A joaca un rol esential in stabilitatea numerica a calculelor efectuate in cursul factorizarii Cholesky
Factorizarea CholeskyDaca cele doua proprietăți sunt satisfacute factorizarea
Cholesky descompune matricea A icircntr-un produs de doua matrice triunghiulare de tipul L U cu proprietateadoua matrice triunghiulare de tipul LmiddotU cu proprietatearemarcabilă L=UT
A L LTA=LmiddotLT
Pentru acest tip de factorizare se pot scrie (n2+n)2 ecuații independente care conțin tot atacirctea necunoscutep ț(elementele nenule din matricea L)
In consecință factorizarea Cholesky a unei matrice esteunică nefiind necesara precizarea a priori a valorilorunică nefiind necesara precizarea a priori a valorilorunor necunoscute
Factorizarea CholeskyPentru stabilirea relatiilor generale de calcul dupa care se
desfasoara factorizarea Cholesky expresia A=LmiddotLT se expliciteaza in functie de elementele matricelor A si Lexpliciteaza in functie de elementele matricelor A si L
In ipoteza determinarii prealabile a elementelor de peprimele j-1 coloane ale matricei L relația anterioară se explicitează pentru a evidenția elementul diagonal p p ț g
Factorizarea CholeskyCu particularizarea i = j se obține
Deoarece toti termenii λ ( m=1 j 1 ) au fost calculați Deoarece toti termenii λjm ( m=1j-1 ) au fost calculați icircn prealabil se poate determina elementul diagonal
d l l ă t l l t l d l jdupa care se calculează restul elementelor de pe coloana ja matricei L
Factorizarea CholeskyUltimele două relații stau la baza factorizarii matricei A dupa metodaCholesky Aplicarea lor repetata pentru toti indicii j=1n permitedeterminarea celor n coloane ale matricei L determinarea celor n coloane ale matricei L O particularitate a factorizării Cholesky se referă la aplicarea tehnicilorde pivotare In acest sens dacă matricea A satisface conditiile pentrua admite o factorizare Cholesky (este simetrica si pozitiv definita) ea a admite o factorizare Cholesky (este simetrica si pozitiv definita) ea va fi icircntotdeauna nesingulara Prin urmare riscul impartirii la un element nul in ultima relație nu exista si nici erorile de rotunjire nu pot afecta semnificativ rezultateleexista si nici erorile de rotunjire nu pot afecta semnificativ rezultatelecalculelor Prin urmare nu mai este necesara aplicarea pivotarii Mai mult decatatat aplicarea tehnicilor de pivotare nici nu este permisa deoarece atat aplicarea tehnicilor de pivotare nici nu este permisa deoarece
pivotarea partiala strica simetria matricei pivotarea completa pastreaza simetria dar conduce de regula la
d d d f pierderea proprietatii de definire pozitiva a matricei A In ambele cazuri sunt incalcate conditiile care asigura existentafactorizarii Cholesky
Rezolvarea sistemelor tridiagonale g(aij=0 |i-j|gt1)
Rezolvarea sistemelor tridiagonale g(aij=0 |i-j|gt1)
Inversarea matricelor triunghiulare
Metoda Gauss-JordanI i i l Inversarea unei matrice presupune rezolvarea a n
sisteme de ecuatii lineare Daca se noteaza X=A-1 pornind de la identitatea AX=In dezvoltata pe coloane
bse obtine
[ ] [ ]1 2 1 2A n nx x x e e esdot =[ ] [ ]1 2 1 2A A 1
n n
i i
x x x e e ex e i nsdot = =
Matricea inversa ar avea drept coloane solutiile sistemului avand ca termeni liberi coloanele matricei unitateunitate
Metoda este inutilizabila datorita complexitatii ei O(n4)
Metoda Gauss-JordanM t d G J d t d l t i ti Metoda Gauss-Jordan porneste de la matricea extinsa pe
care o aduce la forma diagonala
1n nB= A I scrisa sub forma B=A I Aminus⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Transformarea se efectueaza progresiv in fiecare pas se modifica o singura coloana din primele n ale matricei B
li
pjj
normalizareA
A = p=1n j=p2n
bull
pjpp
A p 1n j p2nA
reducerebull
ij ij ip pj
reducereA =A A A p=1n i=1n j=p2nbull
minus sdot
Exemplul 3Folosind metoda Gauss-Jordan să se rezolve sistemul
2 8 4 1x x x+ + =⎧ 1 2 3
1 2 3
2 8 4 12 10 6 1
x x xx x x
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪
1 2 38 2 1x x x⎪ + + =⎩
Metoda Gauss-JordanMatricele sistemului
⎡ ⎤ ⎡ ⎤2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanP i l bi ti t iti t l i (1 0 0) i i Primul obiectiv este aparitia vectorului (1 0 0) in prima
coloana Se imparte prima linie la 2 se scade din a doua linie impartita la randul ei cu 2 si din a treia linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 4 2 120 2 2 0A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
0 4 0 12⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanAl d il bi ti t iti t l i (0 1 0) i d Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia
0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia coloana Se imparte a treia linie la -4 se aduna de 2 ori la prima linie si se scade din a doua linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0 1 40 1 0 180 0 1 18
A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0 1 18⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanV t l b ti l tiVectorul b contine solutia
11
14
x =
218
x =
31x = minus3 8
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
In rezolvarea sistemelor de ecuaţii lineare anumite matrice (rău condiţionate) pot crea difi ltăţi icirc l ă i i i ţii l d t l dificultăţi icircn sensul că mici variaţii ale datelor pot produce mari variaţii icircn soluţii
Astfel dacă icircn sistemul de ecuaţiiAstfel dacă icircn sistemul de ecuaţii
1 2 3 410 7 8 7 32x x x xsdot + sdot + sdot + sdot =⎧⎪
1 2 3 4
1 2 3 47 5 6 5 238 6 10 9 33
x x x x⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎨ + + +⎪ 1 2 3 4
1 2 3 4
8 6 10 9 337 5 9 10 31
x x x xx x x x
⎨ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎩⎩
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
avacircnd soluţiile Se aplică termenilor liberi mici perturbaţii astfel icircncacirct
[ ]1 1 1 1Tx =p ţ
devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =
se obţin soluţiile noului sistem [ ]~ 92 126 45 11Tx = minus minus
Să considerăm sistemul de ecuaţii liniare şi sistemul perturbat
~ ~
~ A x bb b bδsdot =
= +~
b b bx x x
δ
δ
+
= +
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
( )1 1
A x x b b
A x b x A b x A b
δ δ
δ δ δ δ δ δminus minus
sdot + = +
= rArr = rArr le A x b x A b x A b
b A x b A x
δ δ δ δ δ δsdot = rArr = sdot rArr le sdot
= sdot rArr le sdot
1b x A A x bδ δminussdot le sdot sdot sdot
( )x b
K Aδ δ
le sdot( )x b
Numarul de conditionare al matricei 1( )K A A A minus= sdotNumarul de conditionare al matricei
care actioneaza ca un factor de amplificare a perturbarii solutiilordatorate variatiei termenilor liberi
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
O relaţie asemănătoare se obţine icircn cazul perturbării matricei coeficienţilor
( ) ( )A A x x bδ δ+ sdot + =1δ δ δ δ10A x A x x A A xδ δ δ δminussdot + sdot = rArr = minus sdot sdot
1x A A xδ δminusle sdot sdotx A A xδ δle
( )x A
K Aδ δ
le sdot( )K Ax A
le
Efectul perturbării coeficienţilor se regaseste p ţ gamplificat de K(A) ori in solutie
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
A xδ δsdotDacă icircn relaţiile anterioare nu se neglijează
termenul A xδ δsdotte e u
se obţine o majorare mai exactă de formase obţine o majorare mai exactă de forma
( ) AK A
δ( )K Ax A
Aδ
δ
sdotle
( )1Ax K A
Aδ
minus sdot
Dacă se consideră că numerele reale au mantisaDacă se consideră că numerele reale au mantisa reprezentată cu t cifre binare semnificative
2 2t tij ijA A A Aδ δminus minusle rArr le
( )12 2t tA A K Aδ minus minus minus ( )( )1
2 21 21 2
t
tt
A Ax K Ax K AA Aδ
minusminus minus
sdotle =
minusminus sdot
Se verifică relativ uşor următoarele proprietăţi ale numărului de condiţionare al proprietăţi ale numărului de condiţionare al unei matrici
K(A)ge1K(A)ge1K(A)=K(A-1)K(cA)=K(A)(c ) ( )Numărul de condiţionare depinde de norma
considerată
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
Pentru matricele cu număr de condiţionare mare (matrice rău condiţionate) amplificarea erorilor din datele iniţiale este mare erorilor din datele iniţiale este mare indiferent de cacirct de exact sunt efectuate calculele justificacircnd variaţia relativă mare a
icircsoluţiilor icircn raport cu variaţia termenilor liberi
11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus
A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9
= = =A A A
1 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9 matricea Hilbert matricea Wilson matricea Rutishauser
minus
Factorizarea LUl l l lMatricea U se calculeaza in cursul procesului
de eliminare gaussiana fara pivotare Matricea L esteMatricea L este
( )n-11-1 -1 -1 -1 T
n-1 n-2 2 1 1 2 n-1 n p p1
L=T T T T T T T T I + T eminus= sdot sdot sdot sdot = sdot sdot sdot = sdotsump=1
21
1t 1⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥
31 32t t 1L= 1
⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥n1 n2 nn-1t t t 1⎢ ⎥⎣ ⎦
Daca se considera elementele diagonale ale matricei U Daca se considera elementele diagonale ale matricei U unitare (Uii=1) se obtine factorizarea Crout daca Lii=1se obtine factorizarea Doolitle
Factorizarea CroutSe dezvolta relatia
min(ij)sumij im mj
m=1A = L Usdotsum
Matricele L si U se calculeaza incepand cu prima Matricele L si U se calculeaza incepand cu prima coloana din L si prima linie din U
l 1 di L (i 1 j 1)
i1 i1 11 i1 i1
coloana 1 din L (i=1n j=1)A =L U de unde L =A i=1nbull
sdot
linia 1 din U (i=1 j=2n)A
bull
1j1j 11 1j 1j
11
AA =L U U = j=2n
Lsdot rArr
Factorizarea CroutF l i d i d i l i D Folosind inductia procesul se continua Dupa ce s-au
calculat primele p-1 coloane din L si primele p-1 linii din U
coloana p din L (i=pn j=p)bullp-1 p-1
ip im mp ip pp ip ip im mpm=1 m=1
A = L U L U L =A L U i=pnsdot + sdot rArr minus sdotsum summ=1 m=1
linia p din U (i=p j=p+1n)bullp-1
pj pm mjp-1m=1
j j j j
A L UA = L U L U U =
minus sdotsdot + sdot rArr
sumsumpj pm mj pp pj pj
ppm=1A = L U L U U =
Lsdot + sdot rArrsum
Factorizarea Cholesky
Factorizarea CholeskyDacă o matrice pătrată A este simetrica si pozitiv definita ei i se poate aplica o factorizare speciala mai eficienta din punct de vedere numeric numita factorizare eficienta din punct de vedere numeric numita factorizare Cholesky Simetria inseamna satisfacerea egalității A=AT sau aij = jaji pentru toti indicii ij=1n O matrice A se numește pozitiv definita daca inegalitateaxTAxgt0 este satisfacuta pentru orice vector x iar x Axgt0 este satisfacuta pentru orice vector x iar anularea produsului matriceal are loc numai atunci cand x este identic cu vectorul nul P i t t d fi i ii iti t i i A j l Proprietatea definirii pozitive a matricei A joaca un rol esential in stabilitatea numerica a calculelor efectuate in cursul factorizarii Cholesky
Factorizarea CholeskyDaca cele doua proprietăți sunt satisfacute factorizarea
Cholesky descompune matricea A icircntr-un produs de doua matrice triunghiulare de tipul L U cu proprietateadoua matrice triunghiulare de tipul LmiddotU cu proprietatearemarcabilă L=UT
A L LTA=LmiddotLT
Pentru acest tip de factorizare se pot scrie (n2+n)2 ecuații independente care conțin tot atacirctea necunoscutep ț(elementele nenule din matricea L)
In consecință factorizarea Cholesky a unei matrice esteunică nefiind necesara precizarea a priori a valorilorunică nefiind necesara precizarea a priori a valorilorunor necunoscute
Factorizarea CholeskyPentru stabilirea relatiilor generale de calcul dupa care se
desfasoara factorizarea Cholesky expresia A=LmiddotLT se expliciteaza in functie de elementele matricelor A si Lexpliciteaza in functie de elementele matricelor A si L
In ipoteza determinarii prealabile a elementelor de peprimele j-1 coloane ale matricei L relația anterioară se explicitează pentru a evidenția elementul diagonal p p ț g
Factorizarea CholeskyCu particularizarea i = j se obține
Deoarece toti termenii λ ( m=1 j 1 ) au fost calculați Deoarece toti termenii λjm ( m=1j-1 ) au fost calculați icircn prealabil se poate determina elementul diagonal
d l l ă t l l t l d l jdupa care se calculează restul elementelor de pe coloana ja matricei L
Factorizarea CholeskyUltimele două relații stau la baza factorizarii matricei A dupa metodaCholesky Aplicarea lor repetata pentru toti indicii j=1n permitedeterminarea celor n coloane ale matricei L determinarea celor n coloane ale matricei L O particularitate a factorizării Cholesky se referă la aplicarea tehnicilorde pivotare In acest sens dacă matricea A satisface conditiile pentrua admite o factorizare Cholesky (este simetrica si pozitiv definita) ea a admite o factorizare Cholesky (este simetrica si pozitiv definita) ea va fi icircntotdeauna nesingulara Prin urmare riscul impartirii la un element nul in ultima relație nu exista si nici erorile de rotunjire nu pot afecta semnificativ rezultateleexista si nici erorile de rotunjire nu pot afecta semnificativ rezultatelecalculelor Prin urmare nu mai este necesara aplicarea pivotarii Mai mult decatatat aplicarea tehnicilor de pivotare nici nu este permisa deoarece atat aplicarea tehnicilor de pivotare nici nu este permisa deoarece
pivotarea partiala strica simetria matricei pivotarea completa pastreaza simetria dar conduce de regula la
d d d f pierderea proprietatii de definire pozitiva a matricei A In ambele cazuri sunt incalcate conditiile care asigura existentafactorizarii Cholesky
Rezolvarea sistemelor tridiagonale g(aij=0 |i-j|gt1)
Rezolvarea sistemelor tridiagonale g(aij=0 |i-j|gt1)
Inversarea matricelor triunghiulare
Metoda Gauss-JordanI i i l Inversarea unei matrice presupune rezolvarea a n
sisteme de ecuatii lineare Daca se noteaza X=A-1 pornind de la identitatea AX=In dezvoltata pe coloane
bse obtine
[ ] [ ]1 2 1 2A n nx x x e e esdot =[ ] [ ]1 2 1 2A A 1
n n
i i
x x x e e ex e i nsdot = =
Matricea inversa ar avea drept coloane solutiile sistemului avand ca termeni liberi coloanele matricei unitateunitate
Metoda este inutilizabila datorita complexitatii ei O(n4)
Metoda Gauss-JordanM t d G J d t d l t i ti Metoda Gauss-Jordan porneste de la matricea extinsa pe
care o aduce la forma diagonala
1n nB= A I scrisa sub forma B=A I Aminus⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Transformarea se efectueaza progresiv in fiecare pas se modifica o singura coloana din primele n ale matricei B
li
pjj
normalizareA
A = p=1n j=p2n
bull
pjpp
A p 1n j p2nA
reducerebull
ij ij ip pj
reducereA =A A A p=1n i=1n j=p2nbull
minus sdot
Exemplul 3Folosind metoda Gauss-Jordan să se rezolve sistemul
2 8 4 1x x x+ + =⎧ 1 2 3
1 2 3
2 8 4 12 10 6 1
x x xx x x
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪
1 2 38 2 1x x x⎪ + + =⎩
Metoda Gauss-JordanMatricele sistemului
⎡ ⎤ ⎡ ⎤2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanP i l bi ti t iti t l i (1 0 0) i i Primul obiectiv este aparitia vectorului (1 0 0) in prima
coloana Se imparte prima linie la 2 se scade din a doua linie impartita la randul ei cu 2 si din a treia linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 4 2 120 2 2 0A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
0 4 0 12⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanAl d il bi ti t iti t l i (0 1 0) i d Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia
0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia coloana Se imparte a treia linie la -4 se aduna de 2 ori la prima linie si se scade din a doua linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0 1 40 1 0 180 0 1 18
A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0 1 18⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanV t l b ti l tiVectorul b contine solutia
11
14
x =
218
x =
31x = minus3 8
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
In rezolvarea sistemelor de ecuaţii lineare anumite matrice (rău condiţionate) pot crea difi ltăţi icirc l ă i i i ţii l d t l dificultăţi icircn sensul că mici variaţii ale datelor pot produce mari variaţii icircn soluţii
Astfel dacă icircn sistemul de ecuaţiiAstfel dacă icircn sistemul de ecuaţii
1 2 3 410 7 8 7 32x x x xsdot + sdot + sdot + sdot =⎧⎪
1 2 3 4
1 2 3 47 5 6 5 238 6 10 9 33
x x x x⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎨ + + +⎪ 1 2 3 4
1 2 3 4
8 6 10 9 337 5 9 10 31
x x x xx x x x
⎨ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎩⎩
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
avacircnd soluţiile Se aplică termenilor liberi mici perturbaţii astfel icircncacirct
[ ]1 1 1 1Tx =p ţ
devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =
se obţin soluţiile noului sistem [ ]~ 92 126 45 11Tx = minus minus
Să considerăm sistemul de ecuaţii liniare şi sistemul perturbat
~ ~
~ A x bb b bδsdot =
= +~
b b bx x x
δ
δ
+
= +
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
( )1 1
A x x b b
A x b x A b x A b
δ δ
δ δ δ δ δ δminus minus
sdot + = +
= rArr = rArr le A x b x A b x A b
b A x b A x
δ δ δ δ δ δsdot = rArr = sdot rArr le sdot
= sdot rArr le sdot
1b x A A x bδ δminussdot le sdot sdot sdot
( )x b
K Aδ δ
le sdot( )x b
Numarul de conditionare al matricei 1( )K A A A minus= sdotNumarul de conditionare al matricei
care actioneaza ca un factor de amplificare a perturbarii solutiilordatorate variatiei termenilor liberi
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
O relaţie asemănătoare se obţine icircn cazul perturbării matricei coeficienţilor
( ) ( )A A x x bδ δ+ sdot + =1δ δ δ δ10A x A x x A A xδ δ δ δminussdot + sdot = rArr = minus sdot sdot
1x A A xδ δminusle sdot sdotx A A xδ δle
( )x A
K Aδ δ
le sdot( )K Ax A
le
Efectul perturbării coeficienţilor se regaseste p ţ gamplificat de K(A) ori in solutie
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
A xδ δsdotDacă icircn relaţiile anterioare nu se neglijează
termenul A xδ δsdotte e u
se obţine o majorare mai exactă de formase obţine o majorare mai exactă de forma
( ) AK A
δ( )K Ax A
Aδ
δ
sdotle
( )1Ax K A
Aδ
minus sdot
Dacă se consideră că numerele reale au mantisaDacă se consideră că numerele reale au mantisa reprezentată cu t cifre binare semnificative
2 2t tij ijA A A Aδ δminus minusle rArr le
( )12 2t tA A K Aδ minus minus minus ( )( )1
2 21 21 2
t
tt
A Ax K Ax K AA Aδ
minusminus minus
sdotle =
minusminus sdot
Se verifică relativ uşor următoarele proprietăţi ale numărului de condiţionare al proprietăţi ale numărului de condiţionare al unei matrici
K(A)ge1K(A)ge1K(A)=K(A-1)K(cA)=K(A)(c ) ( )Numărul de condiţionare depinde de norma
considerată
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
Pentru matricele cu număr de condiţionare mare (matrice rău condiţionate) amplificarea erorilor din datele iniţiale este mare erorilor din datele iniţiale este mare indiferent de cacirct de exact sunt efectuate calculele justificacircnd variaţia relativă mare a
icircsoluţiilor icircn raport cu variaţia termenilor liberi
11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus
A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9
= = =A A A
1 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9 matricea Hilbert matricea Wilson matricea Rutishauser
minus
Factorizarea CroutSe dezvolta relatia
min(ij)sumij im mj
m=1A = L Usdotsum
Matricele L si U se calculeaza incepand cu prima Matricele L si U se calculeaza incepand cu prima coloana din L si prima linie din U
l 1 di L (i 1 j 1)
i1 i1 11 i1 i1
coloana 1 din L (i=1n j=1)A =L U de unde L =A i=1nbull
sdot
linia 1 din U (i=1 j=2n)A
bull
1j1j 11 1j 1j
11
AA =L U U = j=2n
Lsdot rArr
Factorizarea CroutF l i d i d i l i D Folosind inductia procesul se continua Dupa ce s-au
calculat primele p-1 coloane din L si primele p-1 linii din U
coloana p din L (i=pn j=p)bullp-1 p-1
ip im mp ip pp ip ip im mpm=1 m=1
A = L U L U L =A L U i=pnsdot + sdot rArr minus sdotsum summ=1 m=1
linia p din U (i=p j=p+1n)bullp-1
pj pm mjp-1m=1
j j j j
A L UA = L U L U U =
minus sdotsdot + sdot rArr
sumsumpj pm mj pp pj pj
ppm=1A = L U L U U =
Lsdot + sdot rArrsum
Factorizarea Cholesky
Factorizarea CholeskyDacă o matrice pătrată A este simetrica si pozitiv definita ei i se poate aplica o factorizare speciala mai eficienta din punct de vedere numeric numita factorizare eficienta din punct de vedere numeric numita factorizare Cholesky Simetria inseamna satisfacerea egalității A=AT sau aij = jaji pentru toti indicii ij=1n O matrice A se numește pozitiv definita daca inegalitateaxTAxgt0 este satisfacuta pentru orice vector x iar x Axgt0 este satisfacuta pentru orice vector x iar anularea produsului matriceal are loc numai atunci cand x este identic cu vectorul nul P i t t d fi i ii iti t i i A j l Proprietatea definirii pozitive a matricei A joaca un rol esential in stabilitatea numerica a calculelor efectuate in cursul factorizarii Cholesky
Factorizarea CholeskyDaca cele doua proprietăți sunt satisfacute factorizarea
Cholesky descompune matricea A icircntr-un produs de doua matrice triunghiulare de tipul L U cu proprietateadoua matrice triunghiulare de tipul LmiddotU cu proprietatearemarcabilă L=UT
A L LTA=LmiddotLT
Pentru acest tip de factorizare se pot scrie (n2+n)2 ecuații independente care conțin tot atacirctea necunoscutep ț(elementele nenule din matricea L)
In consecință factorizarea Cholesky a unei matrice esteunică nefiind necesara precizarea a priori a valorilorunică nefiind necesara precizarea a priori a valorilorunor necunoscute
Factorizarea CholeskyPentru stabilirea relatiilor generale de calcul dupa care se
desfasoara factorizarea Cholesky expresia A=LmiddotLT se expliciteaza in functie de elementele matricelor A si Lexpliciteaza in functie de elementele matricelor A si L
In ipoteza determinarii prealabile a elementelor de peprimele j-1 coloane ale matricei L relația anterioară se explicitează pentru a evidenția elementul diagonal p p ț g
Factorizarea CholeskyCu particularizarea i = j se obține
Deoarece toti termenii λ ( m=1 j 1 ) au fost calculați Deoarece toti termenii λjm ( m=1j-1 ) au fost calculați icircn prealabil se poate determina elementul diagonal
d l l ă t l l t l d l jdupa care se calculează restul elementelor de pe coloana ja matricei L
Factorizarea CholeskyUltimele două relații stau la baza factorizarii matricei A dupa metodaCholesky Aplicarea lor repetata pentru toti indicii j=1n permitedeterminarea celor n coloane ale matricei L determinarea celor n coloane ale matricei L O particularitate a factorizării Cholesky se referă la aplicarea tehnicilorde pivotare In acest sens dacă matricea A satisface conditiile pentrua admite o factorizare Cholesky (este simetrica si pozitiv definita) ea a admite o factorizare Cholesky (este simetrica si pozitiv definita) ea va fi icircntotdeauna nesingulara Prin urmare riscul impartirii la un element nul in ultima relație nu exista si nici erorile de rotunjire nu pot afecta semnificativ rezultateleexista si nici erorile de rotunjire nu pot afecta semnificativ rezultatelecalculelor Prin urmare nu mai este necesara aplicarea pivotarii Mai mult decatatat aplicarea tehnicilor de pivotare nici nu este permisa deoarece atat aplicarea tehnicilor de pivotare nici nu este permisa deoarece
pivotarea partiala strica simetria matricei pivotarea completa pastreaza simetria dar conduce de regula la
d d d f pierderea proprietatii de definire pozitiva a matricei A In ambele cazuri sunt incalcate conditiile care asigura existentafactorizarii Cholesky
Rezolvarea sistemelor tridiagonale g(aij=0 |i-j|gt1)
Rezolvarea sistemelor tridiagonale g(aij=0 |i-j|gt1)
Inversarea matricelor triunghiulare
Metoda Gauss-JordanI i i l Inversarea unei matrice presupune rezolvarea a n
sisteme de ecuatii lineare Daca se noteaza X=A-1 pornind de la identitatea AX=In dezvoltata pe coloane
bse obtine
[ ] [ ]1 2 1 2A n nx x x e e esdot =[ ] [ ]1 2 1 2A A 1
n n
i i
x x x e e ex e i nsdot = =
Matricea inversa ar avea drept coloane solutiile sistemului avand ca termeni liberi coloanele matricei unitateunitate
Metoda este inutilizabila datorita complexitatii ei O(n4)
Metoda Gauss-JordanM t d G J d t d l t i ti Metoda Gauss-Jordan porneste de la matricea extinsa pe
care o aduce la forma diagonala
1n nB= A I scrisa sub forma B=A I Aminus⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Transformarea se efectueaza progresiv in fiecare pas se modifica o singura coloana din primele n ale matricei B
li
pjj
normalizareA
A = p=1n j=p2n
bull
pjpp
A p 1n j p2nA
reducerebull
ij ij ip pj
reducereA =A A A p=1n i=1n j=p2nbull
minus sdot
Exemplul 3Folosind metoda Gauss-Jordan să se rezolve sistemul
2 8 4 1x x x+ + =⎧ 1 2 3
1 2 3
2 8 4 12 10 6 1
x x xx x x
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪
1 2 38 2 1x x x⎪ + + =⎩
Metoda Gauss-JordanMatricele sistemului
⎡ ⎤ ⎡ ⎤2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanP i l bi ti t iti t l i (1 0 0) i i Primul obiectiv este aparitia vectorului (1 0 0) in prima
coloana Se imparte prima linie la 2 se scade din a doua linie impartita la randul ei cu 2 si din a treia linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 4 2 120 2 2 0A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
0 4 0 12⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanAl d il bi ti t iti t l i (0 1 0) i d Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia
0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia coloana Se imparte a treia linie la -4 se aduna de 2 ori la prima linie si se scade din a doua linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0 1 40 1 0 180 0 1 18
A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0 1 18⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanV t l b ti l tiVectorul b contine solutia
11
14
x =
218
x =
31x = minus3 8
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
In rezolvarea sistemelor de ecuaţii lineare anumite matrice (rău condiţionate) pot crea difi ltăţi icirc l ă i i i ţii l d t l dificultăţi icircn sensul că mici variaţii ale datelor pot produce mari variaţii icircn soluţii
Astfel dacă icircn sistemul de ecuaţiiAstfel dacă icircn sistemul de ecuaţii
1 2 3 410 7 8 7 32x x x xsdot + sdot + sdot + sdot =⎧⎪
1 2 3 4
1 2 3 47 5 6 5 238 6 10 9 33
x x x x⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎨ + + +⎪ 1 2 3 4
1 2 3 4
8 6 10 9 337 5 9 10 31
x x x xx x x x
⎨ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎩⎩
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
avacircnd soluţiile Se aplică termenilor liberi mici perturbaţii astfel icircncacirct
[ ]1 1 1 1Tx =p ţ
devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =
se obţin soluţiile noului sistem [ ]~ 92 126 45 11Tx = minus minus
Să considerăm sistemul de ecuaţii liniare şi sistemul perturbat
~ ~
~ A x bb b bδsdot =
= +~
b b bx x x
δ
δ
+
= +
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
( )1 1
A x x b b
A x b x A b x A b
δ δ
δ δ δ δ δ δminus minus
sdot + = +
= rArr = rArr le A x b x A b x A b
b A x b A x
δ δ δ δ δ δsdot = rArr = sdot rArr le sdot
= sdot rArr le sdot
1b x A A x bδ δminussdot le sdot sdot sdot
( )x b
K Aδ δ
le sdot( )x b
Numarul de conditionare al matricei 1( )K A A A minus= sdotNumarul de conditionare al matricei
care actioneaza ca un factor de amplificare a perturbarii solutiilordatorate variatiei termenilor liberi
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
O relaţie asemănătoare se obţine icircn cazul perturbării matricei coeficienţilor
( ) ( )A A x x bδ δ+ sdot + =1δ δ δ δ10A x A x x A A xδ δ δ δminussdot + sdot = rArr = minus sdot sdot
1x A A xδ δminusle sdot sdotx A A xδ δle
( )x A
K Aδ δ
le sdot( )K Ax A
le
Efectul perturbării coeficienţilor se regaseste p ţ gamplificat de K(A) ori in solutie
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
A xδ δsdotDacă icircn relaţiile anterioare nu se neglijează
termenul A xδ δsdotte e u
se obţine o majorare mai exactă de formase obţine o majorare mai exactă de forma
( ) AK A
δ( )K Ax A
Aδ
δ
sdotle
( )1Ax K A
Aδ
minus sdot
Dacă se consideră că numerele reale au mantisaDacă se consideră că numerele reale au mantisa reprezentată cu t cifre binare semnificative
2 2t tij ijA A A Aδ δminus minusle rArr le
( )12 2t tA A K Aδ minus minus minus ( )( )1
2 21 21 2
t
tt
A Ax K Ax K AA Aδ
minusminus minus
sdotle =
minusminus sdot
Se verifică relativ uşor următoarele proprietăţi ale numărului de condiţionare al proprietăţi ale numărului de condiţionare al unei matrici
K(A)ge1K(A)ge1K(A)=K(A-1)K(cA)=K(A)(c ) ( )Numărul de condiţionare depinde de norma
considerată
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
Pentru matricele cu număr de condiţionare mare (matrice rău condiţionate) amplificarea erorilor din datele iniţiale este mare erorilor din datele iniţiale este mare indiferent de cacirct de exact sunt efectuate calculele justificacircnd variaţia relativă mare a
icircsoluţiilor icircn raport cu variaţia termenilor liberi
11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus
A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9
= = =A A A
1 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9 matricea Hilbert matricea Wilson matricea Rutishauser
minus
Factorizarea CroutF l i d i d i l i D Folosind inductia procesul se continua Dupa ce s-au
calculat primele p-1 coloane din L si primele p-1 linii din U
coloana p din L (i=pn j=p)bullp-1 p-1
ip im mp ip pp ip ip im mpm=1 m=1
A = L U L U L =A L U i=pnsdot + sdot rArr minus sdotsum summ=1 m=1
linia p din U (i=p j=p+1n)bullp-1
pj pm mjp-1m=1
j j j j
A L UA = L U L U U =
minus sdotsdot + sdot rArr
sumsumpj pm mj pp pj pj
ppm=1A = L U L U U =
Lsdot + sdot rArrsum
Factorizarea Cholesky
Factorizarea CholeskyDacă o matrice pătrată A este simetrica si pozitiv definita ei i se poate aplica o factorizare speciala mai eficienta din punct de vedere numeric numita factorizare eficienta din punct de vedere numeric numita factorizare Cholesky Simetria inseamna satisfacerea egalității A=AT sau aij = jaji pentru toti indicii ij=1n O matrice A se numește pozitiv definita daca inegalitateaxTAxgt0 este satisfacuta pentru orice vector x iar x Axgt0 este satisfacuta pentru orice vector x iar anularea produsului matriceal are loc numai atunci cand x este identic cu vectorul nul P i t t d fi i ii iti t i i A j l Proprietatea definirii pozitive a matricei A joaca un rol esential in stabilitatea numerica a calculelor efectuate in cursul factorizarii Cholesky
Factorizarea CholeskyDaca cele doua proprietăți sunt satisfacute factorizarea
Cholesky descompune matricea A icircntr-un produs de doua matrice triunghiulare de tipul L U cu proprietateadoua matrice triunghiulare de tipul LmiddotU cu proprietatearemarcabilă L=UT
A L LTA=LmiddotLT
Pentru acest tip de factorizare se pot scrie (n2+n)2 ecuații independente care conțin tot atacirctea necunoscutep ț(elementele nenule din matricea L)
In consecință factorizarea Cholesky a unei matrice esteunică nefiind necesara precizarea a priori a valorilorunică nefiind necesara precizarea a priori a valorilorunor necunoscute
Factorizarea CholeskyPentru stabilirea relatiilor generale de calcul dupa care se
desfasoara factorizarea Cholesky expresia A=LmiddotLT se expliciteaza in functie de elementele matricelor A si Lexpliciteaza in functie de elementele matricelor A si L
In ipoteza determinarii prealabile a elementelor de peprimele j-1 coloane ale matricei L relația anterioară se explicitează pentru a evidenția elementul diagonal p p ț g
Factorizarea CholeskyCu particularizarea i = j se obține
Deoarece toti termenii λ ( m=1 j 1 ) au fost calculați Deoarece toti termenii λjm ( m=1j-1 ) au fost calculați icircn prealabil se poate determina elementul diagonal
d l l ă t l l t l d l jdupa care se calculează restul elementelor de pe coloana ja matricei L
Factorizarea CholeskyUltimele două relații stau la baza factorizarii matricei A dupa metodaCholesky Aplicarea lor repetata pentru toti indicii j=1n permitedeterminarea celor n coloane ale matricei L determinarea celor n coloane ale matricei L O particularitate a factorizării Cholesky se referă la aplicarea tehnicilorde pivotare In acest sens dacă matricea A satisface conditiile pentrua admite o factorizare Cholesky (este simetrica si pozitiv definita) ea a admite o factorizare Cholesky (este simetrica si pozitiv definita) ea va fi icircntotdeauna nesingulara Prin urmare riscul impartirii la un element nul in ultima relație nu exista si nici erorile de rotunjire nu pot afecta semnificativ rezultateleexista si nici erorile de rotunjire nu pot afecta semnificativ rezultatelecalculelor Prin urmare nu mai este necesara aplicarea pivotarii Mai mult decatatat aplicarea tehnicilor de pivotare nici nu este permisa deoarece atat aplicarea tehnicilor de pivotare nici nu este permisa deoarece
pivotarea partiala strica simetria matricei pivotarea completa pastreaza simetria dar conduce de regula la
d d d f pierderea proprietatii de definire pozitiva a matricei A In ambele cazuri sunt incalcate conditiile care asigura existentafactorizarii Cholesky
Rezolvarea sistemelor tridiagonale g(aij=0 |i-j|gt1)
Rezolvarea sistemelor tridiagonale g(aij=0 |i-j|gt1)
Inversarea matricelor triunghiulare
Metoda Gauss-JordanI i i l Inversarea unei matrice presupune rezolvarea a n
sisteme de ecuatii lineare Daca se noteaza X=A-1 pornind de la identitatea AX=In dezvoltata pe coloane
bse obtine
[ ] [ ]1 2 1 2A n nx x x e e esdot =[ ] [ ]1 2 1 2A A 1
n n
i i
x x x e e ex e i nsdot = =
Matricea inversa ar avea drept coloane solutiile sistemului avand ca termeni liberi coloanele matricei unitateunitate
Metoda este inutilizabila datorita complexitatii ei O(n4)
Metoda Gauss-JordanM t d G J d t d l t i ti Metoda Gauss-Jordan porneste de la matricea extinsa pe
care o aduce la forma diagonala
1n nB= A I scrisa sub forma B=A I Aminus⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Transformarea se efectueaza progresiv in fiecare pas se modifica o singura coloana din primele n ale matricei B
li
pjj
normalizareA
A = p=1n j=p2n
bull
pjpp
A p 1n j p2nA
reducerebull
ij ij ip pj
reducereA =A A A p=1n i=1n j=p2nbull
minus sdot
Exemplul 3Folosind metoda Gauss-Jordan să se rezolve sistemul
2 8 4 1x x x+ + =⎧ 1 2 3
1 2 3
2 8 4 12 10 6 1
x x xx x x
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪
1 2 38 2 1x x x⎪ + + =⎩
Metoda Gauss-JordanMatricele sistemului
⎡ ⎤ ⎡ ⎤2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanP i l bi ti t iti t l i (1 0 0) i i Primul obiectiv este aparitia vectorului (1 0 0) in prima
coloana Se imparte prima linie la 2 se scade din a doua linie impartita la randul ei cu 2 si din a treia linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 4 2 120 2 2 0A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
0 4 0 12⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanAl d il bi ti t iti t l i (0 1 0) i d Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia
0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia coloana Se imparte a treia linie la -4 se aduna de 2 ori la prima linie si se scade din a doua linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0 1 40 1 0 180 0 1 18
A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0 1 18⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanV t l b ti l tiVectorul b contine solutia
11
14
x =
218
x =
31x = minus3 8
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
In rezolvarea sistemelor de ecuaţii lineare anumite matrice (rău condiţionate) pot crea difi ltăţi icirc l ă i i i ţii l d t l dificultăţi icircn sensul că mici variaţii ale datelor pot produce mari variaţii icircn soluţii
Astfel dacă icircn sistemul de ecuaţiiAstfel dacă icircn sistemul de ecuaţii
1 2 3 410 7 8 7 32x x x xsdot + sdot + sdot + sdot =⎧⎪
1 2 3 4
1 2 3 47 5 6 5 238 6 10 9 33
x x x x⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎨ + + +⎪ 1 2 3 4
1 2 3 4
8 6 10 9 337 5 9 10 31
x x x xx x x x
⎨ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎩⎩
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
avacircnd soluţiile Se aplică termenilor liberi mici perturbaţii astfel icircncacirct
[ ]1 1 1 1Tx =p ţ
devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =
se obţin soluţiile noului sistem [ ]~ 92 126 45 11Tx = minus minus
Să considerăm sistemul de ecuaţii liniare şi sistemul perturbat
~ ~
~ A x bb b bδsdot =
= +~
b b bx x x
δ
δ
+
= +
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
( )1 1
A x x b b
A x b x A b x A b
δ δ
δ δ δ δ δ δminus minus
sdot + = +
= rArr = rArr le A x b x A b x A b
b A x b A x
δ δ δ δ δ δsdot = rArr = sdot rArr le sdot
= sdot rArr le sdot
1b x A A x bδ δminussdot le sdot sdot sdot
( )x b
K Aδ δ
le sdot( )x b
Numarul de conditionare al matricei 1( )K A A A minus= sdotNumarul de conditionare al matricei
care actioneaza ca un factor de amplificare a perturbarii solutiilordatorate variatiei termenilor liberi
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
O relaţie asemănătoare se obţine icircn cazul perturbării matricei coeficienţilor
( ) ( )A A x x bδ δ+ sdot + =1δ δ δ δ10A x A x x A A xδ δ δ δminussdot + sdot = rArr = minus sdot sdot
1x A A xδ δminusle sdot sdotx A A xδ δle
( )x A
K Aδ δ
le sdot( )K Ax A
le
Efectul perturbării coeficienţilor se regaseste p ţ gamplificat de K(A) ori in solutie
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
A xδ δsdotDacă icircn relaţiile anterioare nu se neglijează
termenul A xδ δsdotte e u
se obţine o majorare mai exactă de formase obţine o majorare mai exactă de forma
( ) AK A
δ( )K Ax A
Aδ
δ
sdotle
( )1Ax K A
Aδ
minus sdot
Dacă se consideră că numerele reale au mantisaDacă se consideră că numerele reale au mantisa reprezentată cu t cifre binare semnificative
2 2t tij ijA A A Aδ δminus minusle rArr le
( )12 2t tA A K Aδ minus minus minus ( )( )1
2 21 21 2
t
tt
A Ax K Ax K AA Aδ
minusminus minus
sdotle =
minusminus sdot
Se verifică relativ uşor următoarele proprietăţi ale numărului de condiţionare al proprietăţi ale numărului de condiţionare al unei matrici
K(A)ge1K(A)ge1K(A)=K(A-1)K(cA)=K(A)(c ) ( )Numărul de condiţionare depinde de norma
considerată
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
Pentru matricele cu număr de condiţionare mare (matrice rău condiţionate) amplificarea erorilor din datele iniţiale este mare erorilor din datele iniţiale este mare indiferent de cacirct de exact sunt efectuate calculele justificacircnd variaţia relativă mare a
icircsoluţiilor icircn raport cu variaţia termenilor liberi
11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus
A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9
= = =A A A
1 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9 matricea Hilbert matricea Wilson matricea Rutishauser
minus
Factorizarea Cholesky
Factorizarea CholeskyDacă o matrice pătrată A este simetrica si pozitiv definita ei i se poate aplica o factorizare speciala mai eficienta din punct de vedere numeric numita factorizare eficienta din punct de vedere numeric numita factorizare Cholesky Simetria inseamna satisfacerea egalității A=AT sau aij = jaji pentru toti indicii ij=1n O matrice A se numește pozitiv definita daca inegalitateaxTAxgt0 este satisfacuta pentru orice vector x iar x Axgt0 este satisfacuta pentru orice vector x iar anularea produsului matriceal are loc numai atunci cand x este identic cu vectorul nul P i t t d fi i ii iti t i i A j l Proprietatea definirii pozitive a matricei A joaca un rol esential in stabilitatea numerica a calculelor efectuate in cursul factorizarii Cholesky
Factorizarea CholeskyDaca cele doua proprietăți sunt satisfacute factorizarea
Cholesky descompune matricea A icircntr-un produs de doua matrice triunghiulare de tipul L U cu proprietateadoua matrice triunghiulare de tipul LmiddotU cu proprietatearemarcabilă L=UT
A L LTA=LmiddotLT
Pentru acest tip de factorizare se pot scrie (n2+n)2 ecuații independente care conțin tot atacirctea necunoscutep ț(elementele nenule din matricea L)
In consecință factorizarea Cholesky a unei matrice esteunică nefiind necesara precizarea a priori a valorilorunică nefiind necesara precizarea a priori a valorilorunor necunoscute
Factorizarea CholeskyPentru stabilirea relatiilor generale de calcul dupa care se
desfasoara factorizarea Cholesky expresia A=LmiddotLT se expliciteaza in functie de elementele matricelor A si Lexpliciteaza in functie de elementele matricelor A si L
In ipoteza determinarii prealabile a elementelor de peprimele j-1 coloane ale matricei L relația anterioară se explicitează pentru a evidenția elementul diagonal p p ț g
Factorizarea CholeskyCu particularizarea i = j se obține
Deoarece toti termenii λ ( m=1 j 1 ) au fost calculați Deoarece toti termenii λjm ( m=1j-1 ) au fost calculați icircn prealabil se poate determina elementul diagonal
d l l ă t l l t l d l jdupa care se calculează restul elementelor de pe coloana ja matricei L
Factorizarea CholeskyUltimele două relații stau la baza factorizarii matricei A dupa metodaCholesky Aplicarea lor repetata pentru toti indicii j=1n permitedeterminarea celor n coloane ale matricei L determinarea celor n coloane ale matricei L O particularitate a factorizării Cholesky se referă la aplicarea tehnicilorde pivotare In acest sens dacă matricea A satisface conditiile pentrua admite o factorizare Cholesky (este simetrica si pozitiv definita) ea a admite o factorizare Cholesky (este simetrica si pozitiv definita) ea va fi icircntotdeauna nesingulara Prin urmare riscul impartirii la un element nul in ultima relație nu exista si nici erorile de rotunjire nu pot afecta semnificativ rezultateleexista si nici erorile de rotunjire nu pot afecta semnificativ rezultatelecalculelor Prin urmare nu mai este necesara aplicarea pivotarii Mai mult decatatat aplicarea tehnicilor de pivotare nici nu este permisa deoarece atat aplicarea tehnicilor de pivotare nici nu este permisa deoarece
pivotarea partiala strica simetria matricei pivotarea completa pastreaza simetria dar conduce de regula la
d d d f pierderea proprietatii de definire pozitiva a matricei A In ambele cazuri sunt incalcate conditiile care asigura existentafactorizarii Cholesky
Rezolvarea sistemelor tridiagonale g(aij=0 |i-j|gt1)
Rezolvarea sistemelor tridiagonale g(aij=0 |i-j|gt1)
Inversarea matricelor triunghiulare
Metoda Gauss-JordanI i i l Inversarea unei matrice presupune rezolvarea a n
sisteme de ecuatii lineare Daca se noteaza X=A-1 pornind de la identitatea AX=In dezvoltata pe coloane
bse obtine
[ ] [ ]1 2 1 2A n nx x x e e esdot =[ ] [ ]1 2 1 2A A 1
n n
i i
x x x e e ex e i nsdot = =
Matricea inversa ar avea drept coloane solutiile sistemului avand ca termeni liberi coloanele matricei unitateunitate
Metoda este inutilizabila datorita complexitatii ei O(n4)
Metoda Gauss-JordanM t d G J d t d l t i ti Metoda Gauss-Jordan porneste de la matricea extinsa pe
care o aduce la forma diagonala
1n nB= A I scrisa sub forma B=A I Aminus⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Transformarea se efectueaza progresiv in fiecare pas se modifica o singura coloana din primele n ale matricei B
li
pjj
normalizareA
A = p=1n j=p2n
bull
pjpp
A p 1n j p2nA
reducerebull
ij ij ip pj
reducereA =A A A p=1n i=1n j=p2nbull
minus sdot
Exemplul 3Folosind metoda Gauss-Jordan să se rezolve sistemul
2 8 4 1x x x+ + =⎧ 1 2 3
1 2 3
2 8 4 12 10 6 1
x x xx x x
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪
1 2 38 2 1x x x⎪ + + =⎩
Metoda Gauss-JordanMatricele sistemului
⎡ ⎤ ⎡ ⎤2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanP i l bi ti t iti t l i (1 0 0) i i Primul obiectiv este aparitia vectorului (1 0 0) in prima
coloana Se imparte prima linie la 2 se scade din a doua linie impartita la randul ei cu 2 si din a treia linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 4 2 120 2 2 0A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
0 4 0 12⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanAl d il bi ti t iti t l i (0 1 0) i d Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia
0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia coloana Se imparte a treia linie la -4 se aduna de 2 ori la prima linie si se scade din a doua linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0 1 40 1 0 180 0 1 18
A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0 1 18⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanV t l b ti l tiVectorul b contine solutia
11
14
x =
218
x =
31x = minus3 8
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
In rezolvarea sistemelor de ecuaţii lineare anumite matrice (rău condiţionate) pot crea difi ltăţi icirc l ă i i i ţii l d t l dificultăţi icircn sensul că mici variaţii ale datelor pot produce mari variaţii icircn soluţii
Astfel dacă icircn sistemul de ecuaţiiAstfel dacă icircn sistemul de ecuaţii
1 2 3 410 7 8 7 32x x x xsdot + sdot + sdot + sdot =⎧⎪
1 2 3 4
1 2 3 47 5 6 5 238 6 10 9 33
x x x x⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎨ + + +⎪ 1 2 3 4
1 2 3 4
8 6 10 9 337 5 9 10 31
x x x xx x x x
⎨ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎩⎩
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
avacircnd soluţiile Se aplică termenilor liberi mici perturbaţii astfel icircncacirct
[ ]1 1 1 1Tx =p ţ
devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =
se obţin soluţiile noului sistem [ ]~ 92 126 45 11Tx = minus minus
Să considerăm sistemul de ecuaţii liniare şi sistemul perturbat
~ ~
~ A x bb b bδsdot =
= +~
b b bx x x
δ
δ
+
= +
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
( )1 1
A x x b b
A x b x A b x A b
δ δ
δ δ δ δ δ δminus minus
sdot + = +
= rArr = rArr le A x b x A b x A b
b A x b A x
δ δ δ δ δ δsdot = rArr = sdot rArr le sdot
= sdot rArr le sdot
1b x A A x bδ δminussdot le sdot sdot sdot
( )x b
K Aδ δ
le sdot( )x b
Numarul de conditionare al matricei 1( )K A A A minus= sdotNumarul de conditionare al matricei
care actioneaza ca un factor de amplificare a perturbarii solutiilordatorate variatiei termenilor liberi
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
O relaţie asemănătoare se obţine icircn cazul perturbării matricei coeficienţilor
( ) ( )A A x x bδ δ+ sdot + =1δ δ δ δ10A x A x x A A xδ δ δ δminussdot + sdot = rArr = minus sdot sdot
1x A A xδ δminusle sdot sdotx A A xδ δle
( )x A
K Aδ δ
le sdot( )K Ax A
le
Efectul perturbării coeficienţilor se regaseste p ţ gamplificat de K(A) ori in solutie
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
A xδ δsdotDacă icircn relaţiile anterioare nu se neglijează
termenul A xδ δsdotte e u
se obţine o majorare mai exactă de formase obţine o majorare mai exactă de forma
( ) AK A
δ( )K Ax A
Aδ
δ
sdotle
( )1Ax K A
Aδ
minus sdot
Dacă se consideră că numerele reale au mantisaDacă se consideră că numerele reale au mantisa reprezentată cu t cifre binare semnificative
2 2t tij ijA A A Aδ δminus minusle rArr le
( )12 2t tA A K Aδ minus minus minus ( )( )1
2 21 21 2
t
tt
A Ax K Ax K AA Aδ
minusminus minus
sdotle =
minusminus sdot
Se verifică relativ uşor următoarele proprietăţi ale numărului de condiţionare al proprietăţi ale numărului de condiţionare al unei matrici
K(A)ge1K(A)ge1K(A)=K(A-1)K(cA)=K(A)(c ) ( )Numărul de condiţionare depinde de norma
considerată
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
Pentru matricele cu număr de condiţionare mare (matrice rău condiţionate) amplificarea erorilor din datele iniţiale este mare erorilor din datele iniţiale este mare indiferent de cacirct de exact sunt efectuate calculele justificacircnd variaţia relativă mare a
icircsoluţiilor icircn raport cu variaţia termenilor liberi
11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus
A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9
= = =A A A
1 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9 matricea Hilbert matricea Wilson matricea Rutishauser
minus
Factorizarea CholeskyDacă o matrice pătrată A este simetrica si pozitiv definita ei i se poate aplica o factorizare speciala mai eficienta din punct de vedere numeric numita factorizare eficienta din punct de vedere numeric numita factorizare Cholesky Simetria inseamna satisfacerea egalității A=AT sau aij = jaji pentru toti indicii ij=1n O matrice A se numește pozitiv definita daca inegalitateaxTAxgt0 este satisfacuta pentru orice vector x iar x Axgt0 este satisfacuta pentru orice vector x iar anularea produsului matriceal are loc numai atunci cand x este identic cu vectorul nul P i t t d fi i ii iti t i i A j l Proprietatea definirii pozitive a matricei A joaca un rol esential in stabilitatea numerica a calculelor efectuate in cursul factorizarii Cholesky
Factorizarea CholeskyDaca cele doua proprietăți sunt satisfacute factorizarea
Cholesky descompune matricea A icircntr-un produs de doua matrice triunghiulare de tipul L U cu proprietateadoua matrice triunghiulare de tipul LmiddotU cu proprietatearemarcabilă L=UT
A L LTA=LmiddotLT
Pentru acest tip de factorizare se pot scrie (n2+n)2 ecuații independente care conțin tot atacirctea necunoscutep ț(elementele nenule din matricea L)
In consecință factorizarea Cholesky a unei matrice esteunică nefiind necesara precizarea a priori a valorilorunică nefiind necesara precizarea a priori a valorilorunor necunoscute
Factorizarea CholeskyPentru stabilirea relatiilor generale de calcul dupa care se
desfasoara factorizarea Cholesky expresia A=LmiddotLT se expliciteaza in functie de elementele matricelor A si Lexpliciteaza in functie de elementele matricelor A si L
In ipoteza determinarii prealabile a elementelor de peprimele j-1 coloane ale matricei L relația anterioară se explicitează pentru a evidenția elementul diagonal p p ț g
Factorizarea CholeskyCu particularizarea i = j se obține
Deoarece toti termenii λ ( m=1 j 1 ) au fost calculați Deoarece toti termenii λjm ( m=1j-1 ) au fost calculați icircn prealabil se poate determina elementul diagonal
d l l ă t l l t l d l jdupa care se calculează restul elementelor de pe coloana ja matricei L
Factorizarea CholeskyUltimele două relații stau la baza factorizarii matricei A dupa metodaCholesky Aplicarea lor repetata pentru toti indicii j=1n permitedeterminarea celor n coloane ale matricei L determinarea celor n coloane ale matricei L O particularitate a factorizării Cholesky se referă la aplicarea tehnicilorde pivotare In acest sens dacă matricea A satisface conditiile pentrua admite o factorizare Cholesky (este simetrica si pozitiv definita) ea a admite o factorizare Cholesky (este simetrica si pozitiv definita) ea va fi icircntotdeauna nesingulara Prin urmare riscul impartirii la un element nul in ultima relație nu exista si nici erorile de rotunjire nu pot afecta semnificativ rezultateleexista si nici erorile de rotunjire nu pot afecta semnificativ rezultatelecalculelor Prin urmare nu mai este necesara aplicarea pivotarii Mai mult decatatat aplicarea tehnicilor de pivotare nici nu este permisa deoarece atat aplicarea tehnicilor de pivotare nici nu este permisa deoarece
pivotarea partiala strica simetria matricei pivotarea completa pastreaza simetria dar conduce de regula la
d d d f pierderea proprietatii de definire pozitiva a matricei A In ambele cazuri sunt incalcate conditiile care asigura existentafactorizarii Cholesky
Rezolvarea sistemelor tridiagonale g(aij=0 |i-j|gt1)
Rezolvarea sistemelor tridiagonale g(aij=0 |i-j|gt1)
Inversarea matricelor triunghiulare
Metoda Gauss-JordanI i i l Inversarea unei matrice presupune rezolvarea a n
sisteme de ecuatii lineare Daca se noteaza X=A-1 pornind de la identitatea AX=In dezvoltata pe coloane
bse obtine
[ ] [ ]1 2 1 2A n nx x x e e esdot =[ ] [ ]1 2 1 2A A 1
n n
i i
x x x e e ex e i nsdot = =
Matricea inversa ar avea drept coloane solutiile sistemului avand ca termeni liberi coloanele matricei unitateunitate
Metoda este inutilizabila datorita complexitatii ei O(n4)
Metoda Gauss-JordanM t d G J d t d l t i ti Metoda Gauss-Jordan porneste de la matricea extinsa pe
care o aduce la forma diagonala
1n nB= A I scrisa sub forma B=A I Aminus⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Transformarea se efectueaza progresiv in fiecare pas se modifica o singura coloana din primele n ale matricei B
li
pjj
normalizareA
A = p=1n j=p2n
bull
pjpp
A p 1n j p2nA
reducerebull
ij ij ip pj
reducereA =A A A p=1n i=1n j=p2nbull
minus sdot
Exemplul 3Folosind metoda Gauss-Jordan să se rezolve sistemul
2 8 4 1x x x+ + =⎧ 1 2 3
1 2 3
2 8 4 12 10 6 1
x x xx x x
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪
1 2 38 2 1x x x⎪ + + =⎩
Metoda Gauss-JordanMatricele sistemului
⎡ ⎤ ⎡ ⎤2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanP i l bi ti t iti t l i (1 0 0) i i Primul obiectiv este aparitia vectorului (1 0 0) in prima
coloana Se imparte prima linie la 2 se scade din a doua linie impartita la randul ei cu 2 si din a treia linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 4 2 120 2 2 0A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
0 4 0 12⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanAl d il bi ti t iti t l i (0 1 0) i d Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia
0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia coloana Se imparte a treia linie la -4 se aduna de 2 ori la prima linie si se scade din a doua linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0 1 40 1 0 180 0 1 18
A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0 1 18⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanV t l b ti l tiVectorul b contine solutia
11
14
x =
218
x =
31x = minus3 8
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
In rezolvarea sistemelor de ecuaţii lineare anumite matrice (rău condiţionate) pot crea difi ltăţi icirc l ă i i i ţii l d t l dificultăţi icircn sensul că mici variaţii ale datelor pot produce mari variaţii icircn soluţii
Astfel dacă icircn sistemul de ecuaţiiAstfel dacă icircn sistemul de ecuaţii
1 2 3 410 7 8 7 32x x x xsdot + sdot + sdot + sdot =⎧⎪
1 2 3 4
1 2 3 47 5 6 5 238 6 10 9 33
x x x x⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎨ + + +⎪ 1 2 3 4
1 2 3 4
8 6 10 9 337 5 9 10 31
x x x xx x x x
⎨ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎩⎩
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
avacircnd soluţiile Se aplică termenilor liberi mici perturbaţii astfel icircncacirct
[ ]1 1 1 1Tx =p ţ
devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =
se obţin soluţiile noului sistem [ ]~ 92 126 45 11Tx = minus minus
Să considerăm sistemul de ecuaţii liniare şi sistemul perturbat
~ ~
~ A x bb b bδsdot =
= +~
b b bx x x
δ
δ
+
= +
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
( )1 1
A x x b b
A x b x A b x A b
δ δ
δ δ δ δ δ δminus minus
sdot + = +
= rArr = rArr le A x b x A b x A b
b A x b A x
δ δ δ δ δ δsdot = rArr = sdot rArr le sdot
= sdot rArr le sdot
1b x A A x bδ δminussdot le sdot sdot sdot
( )x b
K Aδ δ
le sdot( )x b
Numarul de conditionare al matricei 1( )K A A A minus= sdotNumarul de conditionare al matricei
care actioneaza ca un factor de amplificare a perturbarii solutiilordatorate variatiei termenilor liberi
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
O relaţie asemănătoare se obţine icircn cazul perturbării matricei coeficienţilor
( ) ( )A A x x bδ δ+ sdot + =1δ δ δ δ10A x A x x A A xδ δ δ δminussdot + sdot = rArr = minus sdot sdot
1x A A xδ δminusle sdot sdotx A A xδ δle
( )x A
K Aδ δ
le sdot( )K Ax A
le
Efectul perturbării coeficienţilor se regaseste p ţ gamplificat de K(A) ori in solutie
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
A xδ δsdotDacă icircn relaţiile anterioare nu se neglijează
termenul A xδ δsdotte e u
se obţine o majorare mai exactă de formase obţine o majorare mai exactă de forma
( ) AK A
δ( )K Ax A
Aδ
δ
sdotle
( )1Ax K A
Aδ
minus sdot
Dacă se consideră că numerele reale au mantisaDacă se consideră că numerele reale au mantisa reprezentată cu t cifre binare semnificative
2 2t tij ijA A A Aδ δminus minusle rArr le
( )12 2t tA A K Aδ minus minus minus ( )( )1
2 21 21 2
t
tt
A Ax K Ax K AA Aδ
minusminus minus
sdotle =
minusminus sdot
Se verifică relativ uşor următoarele proprietăţi ale numărului de condiţionare al proprietăţi ale numărului de condiţionare al unei matrici
K(A)ge1K(A)ge1K(A)=K(A-1)K(cA)=K(A)(c ) ( )Numărul de condiţionare depinde de norma
considerată
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
Pentru matricele cu număr de condiţionare mare (matrice rău condiţionate) amplificarea erorilor din datele iniţiale este mare erorilor din datele iniţiale este mare indiferent de cacirct de exact sunt efectuate calculele justificacircnd variaţia relativă mare a
icircsoluţiilor icircn raport cu variaţia termenilor liberi
11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus
A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9
= = =A A A
1 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9 matricea Hilbert matricea Wilson matricea Rutishauser
minus
Factorizarea CholeskyDaca cele doua proprietăți sunt satisfacute factorizarea
Cholesky descompune matricea A icircntr-un produs de doua matrice triunghiulare de tipul L U cu proprietateadoua matrice triunghiulare de tipul LmiddotU cu proprietatearemarcabilă L=UT
A L LTA=LmiddotLT
Pentru acest tip de factorizare se pot scrie (n2+n)2 ecuații independente care conțin tot atacirctea necunoscutep ț(elementele nenule din matricea L)
In consecință factorizarea Cholesky a unei matrice esteunică nefiind necesara precizarea a priori a valorilorunică nefiind necesara precizarea a priori a valorilorunor necunoscute
Factorizarea CholeskyPentru stabilirea relatiilor generale de calcul dupa care se
desfasoara factorizarea Cholesky expresia A=LmiddotLT se expliciteaza in functie de elementele matricelor A si Lexpliciteaza in functie de elementele matricelor A si L
In ipoteza determinarii prealabile a elementelor de peprimele j-1 coloane ale matricei L relația anterioară se explicitează pentru a evidenția elementul diagonal p p ț g
Factorizarea CholeskyCu particularizarea i = j se obține
Deoarece toti termenii λ ( m=1 j 1 ) au fost calculați Deoarece toti termenii λjm ( m=1j-1 ) au fost calculați icircn prealabil se poate determina elementul diagonal
d l l ă t l l t l d l jdupa care se calculează restul elementelor de pe coloana ja matricei L
Factorizarea CholeskyUltimele două relații stau la baza factorizarii matricei A dupa metodaCholesky Aplicarea lor repetata pentru toti indicii j=1n permitedeterminarea celor n coloane ale matricei L determinarea celor n coloane ale matricei L O particularitate a factorizării Cholesky se referă la aplicarea tehnicilorde pivotare In acest sens dacă matricea A satisface conditiile pentrua admite o factorizare Cholesky (este simetrica si pozitiv definita) ea a admite o factorizare Cholesky (este simetrica si pozitiv definita) ea va fi icircntotdeauna nesingulara Prin urmare riscul impartirii la un element nul in ultima relație nu exista si nici erorile de rotunjire nu pot afecta semnificativ rezultateleexista si nici erorile de rotunjire nu pot afecta semnificativ rezultatelecalculelor Prin urmare nu mai este necesara aplicarea pivotarii Mai mult decatatat aplicarea tehnicilor de pivotare nici nu este permisa deoarece atat aplicarea tehnicilor de pivotare nici nu este permisa deoarece
pivotarea partiala strica simetria matricei pivotarea completa pastreaza simetria dar conduce de regula la
d d d f pierderea proprietatii de definire pozitiva a matricei A In ambele cazuri sunt incalcate conditiile care asigura existentafactorizarii Cholesky
Rezolvarea sistemelor tridiagonale g(aij=0 |i-j|gt1)
Rezolvarea sistemelor tridiagonale g(aij=0 |i-j|gt1)
Inversarea matricelor triunghiulare
Metoda Gauss-JordanI i i l Inversarea unei matrice presupune rezolvarea a n
sisteme de ecuatii lineare Daca se noteaza X=A-1 pornind de la identitatea AX=In dezvoltata pe coloane
bse obtine
[ ] [ ]1 2 1 2A n nx x x e e esdot =[ ] [ ]1 2 1 2A A 1
n n
i i
x x x e e ex e i nsdot = =
Matricea inversa ar avea drept coloane solutiile sistemului avand ca termeni liberi coloanele matricei unitateunitate
Metoda este inutilizabila datorita complexitatii ei O(n4)
Metoda Gauss-JordanM t d G J d t d l t i ti Metoda Gauss-Jordan porneste de la matricea extinsa pe
care o aduce la forma diagonala
1n nB= A I scrisa sub forma B=A I Aminus⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Transformarea se efectueaza progresiv in fiecare pas se modifica o singura coloana din primele n ale matricei B
li
pjj
normalizareA
A = p=1n j=p2n
bull
pjpp
A p 1n j p2nA
reducerebull
ij ij ip pj
reducereA =A A A p=1n i=1n j=p2nbull
minus sdot
Exemplul 3Folosind metoda Gauss-Jordan să se rezolve sistemul
2 8 4 1x x x+ + =⎧ 1 2 3
1 2 3
2 8 4 12 10 6 1
x x xx x x
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪
1 2 38 2 1x x x⎪ + + =⎩
Metoda Gauss-JordanMatricele sistemului
⎡ ⎤ ⎡ ⎤2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanP i l bi ti t iti t l i (1 0 0) i i Primul obiectiv este aparitia vectorului (1 0 0) in prima
coloana Se imparte prima linie la 2 se scade din a doua linie impartita la randul ei cu 2 si din a treia linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 4 2 120 2 2 0A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
0 4 0 12⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanAl d il bi ti t iti t l i (0 1 0) i d Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia
0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia coloana Se imparte a treia linie la -4 se aduna de 2 ori la prima linie si se scade din a doua linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0 1 40 1 0 180 0 1 18
A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0 1 18⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanV t l b ti l tiVectorul b contine solutia
11
14
x =
218
x =
31x = minus3 8
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
In rezolvarea sistemelor de ecuaţii lineare anumite matrice (rău condiţionate) pot crea difi ltăţi icirc l ă i i i ţii l d t l dificultăţi icircn sensul că mici variaţii ale datelor pot produce mari variaţii icircn soluţii
Astfel dacă icircn sistemul de ecuaţiiAstfel dacă icircn sistemul de ecuaţii
1 2 3 410 7 8 7 32x x x xsdot + sdot + sdot + sdot =⎧⎪
1 2 3 4
1 2 3 47 5 6 5 238 6 10 9 33
x x x x⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎨ + + +⎪ 1 2 3 4
1 2 3 4
8 6 10 9 337 5 9 10 31
x x x xx x x x
⎨ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎩⎩
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
avacircnd soluţiile Se aplică termenilor liberi mici perturbaţii astfel icircncacirct
[ ]1 1 1 1Tx =p ţ
devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =
se obţin soluţiile noului sistem [ ]~ 92 126 45 11Tx = minus minus
Să considerăm sistemul de ecuaţii liniare şi sistemul perturbat
~ ~
~ A x bb b bδsdot =
= +~
b b bx x x
δ
δ
+
= +
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
( )1 1
A x x b b
A x b x A b x A b
δ δ
δ δ δ δ δ δminus minus
sdot + = +
= rArr = rArr le A x b x A b x A b
b A x b A x
δ δ δ δ δ δsdot = rArr = sdot rArr le sdot
= sdot rArr le sdot
1b x A A x bδ δminussdot le sdot sdot sdot
( )x b
K Aδ δ
le sdot( )x b
Numarul de conditionare al matricei 1( )K A A A minus= sdotNumarul de conditionare al matricei
care actioneaza ca un factor de amplificare a perturbarii solutiilordatorate variatiei termenilor liberi
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
O relaţie asemănătoare se obţine icircn cazul perturbării matricei coeficienţilor
( ) ( )A A x x bδ δ+ sdot + =1δ δ δ δ10A x A x x A A xδ δ δ δminussdot + sdot = rArr = minus sdot sdot
1x A A xδ δminusle sdot sdotx A A xδ δle
( )x A
K Aδ δ
le sdot( )K Ax A
le
Efectul perturbării coeficienţilor se regaseste p ţ gamplificat de K(A) ori in solutie
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
A xδ δsdotDacă icircn relaţiile anterioare nu se neglijează
termenul A xδ δsdotte e u
se obţine o majorare mai exactă de formase obţine o majorare mai exactă de forma
( ) AK A
δ( )K Ax A
Aδ
δ
sdotle
( )1Ax K A
Aδ
minus sdot
Dacă se consideră că numerele reale au mantisaDacă se consideră că numerele reale au mantisa reprezentată cu t cifre binare semnificative
2 2t tij ijA A A Aδ δminus minusle rArr le
( )12 2t tA A K Aδ minus minus minus ( )( )1
2 21 21 2
t
tt
A Ax K Ax K AA Aδ
minusminus minus
sdotle =
minusminus sdot
Se verifică relativ uşor următoarele proprietăţi ale numărului de condiţionare al proprietăţi ale numărului de condiţionare al unei matrici
K(A)ge1K(A)ge1K(A)=K(A-1)K(cA)=K(A)(c ) ( )Numărul de condiţionare depinde de norma
considerată
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
Pentru matricele cu număr de condiţionare mare (matrice rău condiţionate) amplificarea erorilor din datele iniţiale este mare erorilor din datele iniţiale este mare indiferent de cacirct de exact sunt efectuate calculele justificacircnd variaţia relativă mare a
icircsoluţiilor icircn raport cu variaţia termenilor liberi
11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus
A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9
= = =A A A
1 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9 matricea Hilbert matricea Wilson matricea Rutishauser
minus
Factorizarea CholeskyPentru stabilirea relatiilor generale de calcul dupa care se
desfasoara factorizarea Cholesky expresia A=LmiddotLT se expliciteaza in functie de elementele matricelor A si Lexpliciteaza in functie de elementele matricelor A si L
In ipoteza determinarii prealabile a elementelor de peprimele j-1 coloane ale matricei L relația anterioară se explicitează pentru a evidenția elementul diagonal p p ț g
Factorizarea CholeskyCu particularizarea i = j se obține
Deoarece toti termenii λ ( m=1 j 1 ) au fost calculați Deoarece toti termenii λjm ( m=1j-1 ) au fost calculați icircn prealabil se poate determina elementul diagonal
d l l ă t l l t l d l jdupa care se calculează restul elementelor de pe coloana ja matricei L
Factorizarea CholeskyUltimele două relații stau la baza factorizarii matricei A dupa metodaCholesky Aplicarea lor repetata pentru toti indicii j=1n permitedeterminarea celor n coloane ale matricei L determinarea celor n coloane ale matricei L O particularitate a factorizării Cholesky se referă la aplicarea tehnicilorde pivotare In acest sens dacă matricea A satisface conditiile pentrua admite o factorizare Cholesky (este simetrica si pozitiv definita) ea a admite o factorizare Cholesky (este simetrica si pozitiv definita) ea va fi icircntotdeauna nesingulara Prin urmare riscul impartirii la un element nul in ultima relație nu exista si nici erorile de rotunjire nu pot afecta semnificativ rezultateleexista si nici erorile de rotunjire nu pot afecta semnificativ rezultatelecalculelor Prin urmare nu mai este necesara aplicarea pivotarii Mai mult decatatat aplicarea tehnicilor de pivotare nici nu este permisa deoarece atat aplicarea tehnicilor de pivotare nici nu este permisa deoarece
pivotarea partiala strica simetria matricei pivotarea completa pastreaza simetria dar conduce de regula la
d d d f pierderea proprietatii de definire pozitiva a matricei A In ambele cazuri sunt incalcate conditiile care asigura existentafactorizarii Cholesky
Rezolvarea sistemelor tridiagonale g(aij=0 |i-j|gt1)
Rezolvarea sistemelor tridiagonale g(aij=0 |i-j|gt1)
Inversarea matricelor triunghiulare
Metoda Gauss-JordanI i i l Inversarea unei matrice presupune rezolvarea a n
sisteme de ecuatii lineare Daca se noteaza X=A-1 pornind de la identitatea AX=In dezvoltata pe coloane
bse obtine
[ ] [ ]1 2 1 2A n nx x x e e esdot =[ ] [ ]1 2 1 2A A 1
n n
i i
x x x e e ex e i nsdot = =
Matricea inversa ar avea drept coloane solutiile sistemului avand ca termeni liberi coloanele matricei unitateunitate
Metoda este inutilizabila datorita complexitatii ei O(n4)
Metoda Gauss-JordanM t d G J d t d l t i ti Metoda Gauss-Jordan porneste de la matricea extinsa pe
care o aduce la forma diagonala
1n nB= A I scrisa sub forma B=A I Aminus⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Transformarea se efectueaza progresiv in fiecare pas se modifica o singura coloana din primele n ale matricei B
li
pjj
normalizareA
A = p=1n j=p2n
bull
pjpp
A p 1n j p2nA
reducerebull
ij ij ip pj
reducereA =A A A p=1n i=1n j=p2nbull
minus sdot
Exemplul 3Folosind metoda Gauss-Jordan să se rezolve sistemul
2 8 4 1x x x+ + =⎧ 1 2 3
1 2 3
2 8 4 12 10 6 1
x x xx x x
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪
1 2 38 2 1x x x⎪ + + =⎩
Metoda Gauss-JordanMatricele sistemului
⎡ ⎤ ⎡ ⎤2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanP i l bi ti t iti t l i (1 0 0) i i Primul obiectiv este aparitia vectorului (1 0 0) in prima
coloana Se imparte prima linie la 2 se scade din a doua linie impartita la randul ei cu 2 si din a treia linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 4 2 120 2 2 0A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
0 4 0 12⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanAl d il bi ti t iti t l i (0 1 0) i d Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia
0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia coloana Se imparte a treia linie la -4 se aduna de 2 ori la prima linie si se scade din a doua linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0 1 40 1 0 180 0 1 18
A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0 1 18⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanV t l b ti l tiVectorul b contine solutia
11
14
x =
218
x =
31x = minus3 8
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
In rezolvarea sistemelor de ecuaţii lineare anumite matrice (rău condiţionate) pot crea difi ltăţi icirc l ă i i i ţii l d t l dificultăţi icircn sensul că mici variaţii ale datelor pot produce mari variaţii icircn soluţii
Astfel dacă icircn sistemul de ecuaţiiAstfel dacă icircn sistemul de ecuaţii
1 2 3 410 7 8 7 32x x x xsdot + sdot + sdot + sdot =⎧⎪
1 2 3 4
1 2 3 47 5 6 5 238 6 10 9 33
x x x x⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎨ + + +⎪ 1 2 3 4
1 2 3 4
8 6 10 9 337 5 9 10 31
x x x xx x x x
⎨ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎩⎩
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
avacircnd soluţiile Se aplică termenilor liberi mici perturbaţii astfel icircncacirct
[ ]1 1 1 1Tx =p ţ
devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =
se obţin soluţiile noului sistem [ ]~ 92 126 45 11Tx = minus minus
Să considerăm sistemul de ecuaţii liniare şi sistemul perturbat
~ ~
~ A x bb b bδsdot =
= +~
b b bx x x
δ
δ
+
= +
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
( )1 1
A x x b b
A x b x A b x A b
δ δ
δ δ δ δ δ δminus minus
sdot + = +
= rArr = rArr le A x b x A b x A b
b A x b A x
δ δ δ δ δ δsdot = rArr = sdot rArr le sdot
= sdot rArr le sdot
1b x A A x bδ δminussdot le sdot sdot sdot
( )x b
K Aδ δ
le sdot( )x b
Numarul de conditionare al matricei 1( )K A A A minus= sdotNumarul de conditionare al matricei
care actioneaza ca un factor de amplificare a perturbarii solutiilordatorate variatiei termenilor liberi
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
O relaţie asemănătoare se obţine icircn cazul perturbării matricei coeficienţilor
( ) ( )A A x x bδ δ+ sdot + =1δ δ δ δ10A x A x x A A xδ δ δ δminussdot + sdot = rArr = minus sdot sdot
1x A A xδ δminusle sdot sdotx A A xδ δle
( )x A
K Aδ δ
le sdot( )K Ax A
le
Efectul perturbării coeficienţilor se regaseste p ţ gamplificat de K(A) ori in solutie
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
A xδ δsdotDacă icircn relaţiile anterioare nu se neglijează
termenul A xδ δsdotte e u
se obţine o majorare mai exactă de formase obţine o majorare mai exactă de forma
( ) AK A
δ( )K Ax A
Aδ
δ
sdotle
( )1Ax K A
Aδ
minus sdot
Dacă se consideră că numerele reale au mantisaDacă se consideră că numerele reale au mantisa reprezentată cu t cifre binare semnificative
2 2t tij ijA A A Aδ δminus minusle rArr le
( )12 2t tA A K Aδ minus minus minus ( )( )1
2 21 21 2
t
tt
A Ax K Ax K AA Aδ
minusminus minus
sdotle =
minusminus sdot
Se verifică relativ uşor următoarele proprietăţi ale numărului de condiţionare al proprietăţi ale numărului de condiţionare al unei matrici
K(A)ge1K(A)ge1K(A)=K(A-1)K(cA)=K(A)(c ) ( )Numărul de condiţionare depinde de norma
considerată
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
Pentru matricele cu număr de condiţionare mare (matrice rău condiţionate) amplificarea erorilor din datele iniţiale este mare erorilor din datele iniţiale este mare indiferent de cacirct de exact sunt efectuate calculele justificacircnd variaţia relativă mare a
icircsoluţiilor icircn raport cu variaţia termenilor liberi
11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus
A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9
= = =A A A
1 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9 matricea Hilbert matricea Wilson matricea Rutishauser
minus
Factorizarea CholeskyCu particularizarea i = j se obține
Deoarece toti termenii λ ( m=1 j 1 ) au fost calculați Deoarece toti termenii λjm ( m=1j-1 ) au fost calculați icircn prealabil se poate determina elementul diagonal
d l l ă t l l t l d l jdupa care se calculează restul elementelor de pe coloana ja matricei L
Factorizarea CholeskyUltimele două relații stau la baza factorizarii matricei A dupa metodaCholesky Aplicarea lor repetata pentru toti indicii j=1n permitedeterminarea celor n coloane ale matricei L determinarea celor n coloane ale matricei L O particularitate a factorizării Cholesky se referă la aplicarea tehnicilorde pivotare In acest sens dacă matricea A satisface conditiile pentrua admite o factorizare Cholesky (este simetrica si pozitiv definita) ea a admite o factorizare Cholesky (este simetrica si pozitiv definita) ea va fi icircntotdeauna nesingulara Prin urmare riscul impartirii la un element nul in ultima relație nu exista si nici erorile de rotunjire nu pot afecta semnificativ rezultateleexista si nici erorile de rotunjire nu pot afecta semnificativ rezultatelecalculelor Prin urmare nu mai este necesara aplicarea pivotarii Mai mult decatatat aplicarea tehnicilor de pivotare nici nu este permisa deoarece atat aplicarea tehnicilor de pivotare nici nu este permisa deoarece
pivotarea partiala strica simetria matricei pivotarea completa pastreaza simetria dar conduce de regula la
d d d f pierderea proprietatii de definire pozitiva a matricei A In ambele cazuri sunt incalcate conditiile care asigura existentafactorizarii Cholesky
Rezolvarea sistemelor tridiagonale g(aij=0 |i-j|gt1)
Rezolvarea sistemelor tridiagonale g(aij=0 |i-j|gt1)
Inversarea matricelor triunghiulare
Metoda Gauss-JordanI i i l Inversarea unei matrice presupune rezolvarea a n
sisteme de ecuatii lineare Daca se noteaza X=A-1 pornind de la identitatea AX=In dezvoltata pe coloane
bse obtine
[ ] [ ]1 2 1 2A n nx x x e e esdot =[ ] [ ]1 2 1 2A A 1
n n
i i
x x x e e ex e i nsdot = =
Matricea inversa ar avea drept coloane solutiile sistemului avand ca termeni liberi coloanele matricei unitateunitate
Metoda este inutilizabila datorita complexitatii ei O(n4)
Metoda Gauss-JordanM t d G J d t d l t i ti Metoda Gauss-Jordan porneste de la matricea extinsa pe
care o aduce la forma diagonala
1n nB= A I scrisa sub forma B=A I Aminus⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Transformarea se efectueaza progresiv in fiecare pas se modifica o singura coloana din primele n ale matricei B
li
pjj
normalizareA
A = p=1n j=p2n
bull
pjpp
A p 1n j p2nA
reducerebull
ij ij ip pj
reducereA =A A A p=1n i=1n j=p2nbull
minus sdot
Exemplul 3Folosind metoda Gauss-Jordan să se rezolve sistemul
2 8 4 1x x x+ + =⎧ 1 2 3
1 2 3
2 8 4 12 10 6 1
x x xx x x
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪
1 2 38 2 1x x x⎪ + + =⎩
Metoda Gauss-JordanMatricele sistemului
⎡ ⎤ ⎡ ⎤2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanP i l bi ti t iti t l i (1 0 0) i i Primul obiectiv este aparitia vectorului (1 0 0) in prima
coloana Se imparte prima linie la 2 se scade din a doua linie impartita la randul ei cu 2 si din a treia linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 4 2 120 2 2 0A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
0 4 0 12⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanAl d il bi ti t iti t l i (0 1 0) i d Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia
0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia coloana Se imparte a treia linie la -4 se aduna de 2 ori la prima linie si se scade din a doua linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0 1 40 1 0 180 0 1 18
A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0 1 18⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanV t l b ti l tiVectorul b contine solutia
11
14
x =
218
x =
31x = minus3 8
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
In rezolvarea sistemelor de ecuaţii lineare anumite matrice (rău condiţionate) pot crea difi ltăţi icirc l ă i i i ţii l d t l dificultăţi icircn sensul că mici variaţii ale datelor pot produce mari variaţii icircn soluţii
Astfel dacă icircn sistemul de ecuaţiiAstfel dacă icircn sistemul de ecuaţii
1 2 3 410 7 8 7 32x x x xsdot + sdot + sdot + sdot =⎧⎪
1 2 3 4
1 2 3 47 5 6 5 238 6 10 9 33
x x x x⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎨ + + +⎪ 1 2 3 4
1 2 3 4
8 6 10 9 337 5 9 10 31
x x x xx x x x
⎨ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎩⎩
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
avacircnd soluţiile Se aplică termenilor liberi mici perturbaţii astfel icircncacirct
[ ]1 1 1 1Tx =p ţ
devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =
se obţin soluţiile noului sistem [ ]~ 92 126 45 11Tx = minus minus
Să considerăm sistemul de ecuaţii liniare şi sistemul perturbat
~ ~
~ A x bb b bδsdot =
= +~
b b bx x x
δ
δ
+
= +
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
( )1 1
A x x b b
A x b x A b x A b
δ δ
δ δ δ δ δ δminus minus
sdot + = +
= rArr = rArr le A x b x A b x A b
b A x b A x
δ δ δ δ δ δsdot = rArr = sdot rArr le sdot
= sdot rArr le sdot
1b x A A x bδ δminussdot le sdot sdot sdot
( )x b
K Aδ δ
le sdot( )x b
Numarul de conditionare al matricei 1( )K A A A minus= sdotNumarul de conditionare al matricei
care actioneaza ca un factor de amplificare a perturbarii solutiilordatorate variatiei termenilor liberi
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
O relaţie asemănătoare se obţine icircn cazul perturbării matricei coeficienţilor
( ) ( )A A x x bδ δ+ sdot + =1δ δ δ δ10A x A x x A A xδ δ δ δminussdot + sdot = rArr = minus sdot sdot
1x A A xδ δminusle sdot sdotx A A xδ δle
( )x A
K Aδ δ
le sdot( )K Ax A
le
Efectul perturbării coeficienţilor se regaseste p ţ gamplificat de K(A) ori in solutie
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
A xδ δsdotDacă icircn relaţiile anterioare nu se neglijează
termenul A xδ δsdotte e u
se obţine o majorare mai exactă de formase obţine o majorare mai exactă de forma
( ) AK A
δ( )K Ax A
Aδ
δ
sdotle
( )1Ax K A
Aδ
minus sdot
Dacă se consideră că numerele reale au mantisaDacă se consideră că numerele reale au mantisa reprezentată cu t cifre binare semnificative
2 2t tij ijA A A Aδ δminus minusle rArr le
( )12 2t tA A K Aδ minus minus minus ( )( )1
2 21 21 2
t
tt
A Ax K Ax K AA Aδ
minusminus minus
sdotle =
minusminus sdot
Se verifică relativ uşor următoarele proprietăţi ale numărului de condiţionare al proprietăţi ale numărului de condiţionare al unei matrici
K(A)ge1K(A)ge1K(A)=K(A-1)K(cA)=K(A)(c ) ( )Numărul de condiţionare depinde de norma
considerată
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
Pentru matricele cu număr de condiţionare mare (matrice rău condiţionate) amplificarea erorilor din datele iniţiale este mare erorilor din datele iniţiale este mare indiferent de cacirct de exact sunt efectuate calculele justificacircnd variaţia relativă mare a
icircsoluţiilor icircn raport cu variaţia termenilor liberi
11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus
A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9
= = =A A A
1 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9 matricea Hilbert matricea Wilson matricea Rutishauser
minus
Factorizarea CholeskyUltimele două relații stau la baza factorizarii matricei A dupa metodaCholesky Aplicarea lor repetata pentru toti indicii j=1n permitedeterminarea celor n coloane ale matricei L determinarea celor n coloane ale matricei L O particularitate a factorizării Cholesky se referă la aplicarea tehnicilorde pivotare In acest sens dacă matricea A satisface conditiile pentrua admite o factorizare Cholesky (este simetrica si pozitiv definita) ea a admite o factorizare Cholesky (este simetrica si pozitiv definita) ea va fi icircntotdeauna nesingulara Prin urmare riscul impartirii la un element nul in ultima relație nu exista si nici erorile de rotunjire nu pot afecta semnificativ rezultateleexista si nici erorile de rotunjire nu pot afecta semnificativ rezultatelecalculelor Prin urmare nu mai este necesara aplicarea pivotarii Mai mult decatatat aplicarea tehnicilor de pivotare nici nu este permisa deoarece atat aplicarea tehnicilor de pivotare nici nu este permisa deoarece
pivotarea partiala strica simetria matricei pivotarea completa pastreaza simetria dar conduce de regula la
d d d f pierderea proprietatii de definire pozitiva a matricei A In ambele cazuri sunt incalcate conditiile care asigura existentafactorizarii Cholesky
Rezolvarea sistemelor tridiagonale g(aij=0 |i-j|gt1)
Rezolvarea sistemelor tridiagonale g(aij=0 |i-j|gt1)
Inversarea matricelor triunghiulare
Metoda Gauss-JordanI i i l Inversarea unei matrice presupune rezolvarea a n
sisteme de ecuatii lineare Daca se noteaza X=A-1 pornind de la identitatea AX=In dezvoltata pe coloane
bse obtine
[ ] [ ]1 2 1 2A n nx x x e e esdot =[ ] [ ]1 2 1 2A A 1
n n
i i
x x x e e ex e i nsdot = =
Matricea inversa ar avea drept coloane solutiile sistemului avand ca termeni liberi coloanele matricei unitateunitate
Metoda este inutilizabila datorita complexitatii ei O(n4)
Metoda Gauss-JordanM t d G J d t d l t i ti Metoda Gauss-Jordan porneste de la matricea extinsa pe
care o aduce la forma diagonala
1n nB= A I scrisa sub forma B=A I Aminus⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Transformarea se efectueaza progresiv in fiecare pas se modifica o singura coloana din primele n ale matricei B
li
pjj
normalizareA
A = p=1n j=p2n
bull
pjpp
A p 1n j p2nA
reducerebull
ij ij ip pj
reducereA =A A A p=1n i=1n j=p2nbull
minus sdot
Exemplul 3Folosind metoda Gauss-Jordan să se rezolve sistemul
2 8 4 1x x x+ + =⎧ 1 2 3
1 2 3
2 8 4 12 10 6 1
x x xx x x
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪
1 2 38 2 1x x x⎪ + + =⎩
Metoda Gauss-JordanMatricele sistemului
⎡ ⎤ ⎡ ⎤2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanP i l bi ti t iti t l i (1 0 0) i i Primul obiectiv este aparitia vectorului (1 0 0) in prima
coloana Se imparte prima linie la 2 se scade din a doua linie impartita la randul ei cu 2 si din a treia linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 4 2 120 2 2 0A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
0 4 0 12⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanAl d il bi ti t iti t l i (0 1 0) i d Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia
0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia coloana Se imparte a treia linie la -4 se aduna de 2 ori la prima linie si se scade din a doua linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0 1 40 1 0 180 0 1 18
A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0 1 18⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanV t l b ti l tiVectorul b contine solutia
11
14
x =
218
x =
31x = minus3 8
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
In rezolvarea sistemelor de ecuaţii lineare anumite matrice (rău condiţionate) pot crea difi ltăţi icirc l ă i i i ţii l d t l dificultăţi icircn sensul că mici variaţii ale datelor pot produce mari variaţii icircn soluţii
Astfel dacă icircn sistemul de ecuaţiiAstfel dacă icircn sistemul de ecuaţii
1 2 3 410 7 8 7 32x x x xsdot + sdot + sdot + sdot =⎧⎪
1 2 3 4
1 2 3 47 5 6 5 238 6 10 9 33
x x x x⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎨ + + +⎪ 1 2 3 4
1 2 3 4
8 6 10 9 337 5 9 10 31
x x x xx x x x
⎨ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎩⎩
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
avacircnd soluţiile Se aplică termenilor liberi mici perturbaţii astfel icircncacirct
[ ]1 1 1 1Tx =p ţ
devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =
se obţin soluţiile noului sistem [ ]~ 92 126 45 11Tx = minus minus
Să considerăm sistemul de ecuaţii liniare şi sistemul perturbat
~ ~
~ A x bb b bδsdot =
= +~
b b bx x x
δ
δ
+
= +
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
( )1 1
A x x b b
A x b x A b x A b
δ δ
δ δ δ δ δ δminus minus
sdot + = +
= rArr = rArr le A x b x A b x A b
b A x b A x
δ δ δ δ δ δsdot = rArr = sdot rArr le sdot
= sdot rArr le sdot
1b x A A x bδ δminussdot le sdot sdot sdot
( )x b
K Aδ δ
le sdot( )x b
Numarul de conditionare al matricei 1( )K A A A minus= sdotNumarul de conditionare al matricei
care actioneaza ca un factor de amplificare a perturbarii solutiilordatorate variatiei termenilor liberi
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
O relaţie asemănătoare se obţine icircn cazul perturbării matricei coeficienţilor
( ) ( )A A x x bδ δ+ sdot + =1δ δ δ δ10A x A x x A A xδ δ δ δminussdot + sdot = rArr = minus sdot sdot
1x A A xδ δminusle sdot sdotx A A xδ δle
( )x A
K Aδ δ
le sdot( )K Ax A
le
Efectul perturbării coeficienţilor se regaseste p ţ gamplificat de K(A) ori in solutie
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
A xδ δsdotDacă icircn relaţiile anterioare nu se neglijează
termenul A xδ δsdotte e u
se obţine o majorare mai exactă de formase obţine o majorare mai exactă de forma
( ) AK A
δ( )K Ax A
Aδ
δ
sdotle
( )1Ax K A
Aδ
minus sdot
Dacă se consideră că numerele reale au mantisaDacă se consideră că numerele reale au mantisa reprezentată cu t cifre binare semnificative
2 2t tij ijA A A Aδ δminus minusle rArr le
( )12 2t tA A K Aδ minus minus minus ( )( )1
2 21 21 2
t
tt
A Ax K Ax K AA Aδ
minusminus minus
sdotle =
minusminus sdot
Se verifică relativ uşor următoarele proprietăţi ale numărului de condiţionare al proprietăţi ale numărului de condiţionare al unei matrici
K(A)ge1K(A)ge1K(A)=K(A-1)K(cA)=K(A)(c ) ( )Numărul de condiţionare depinde de norma
considerată
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
Pentru matricele cu număr de condiţionare mare (matrice rău condiţionate) amplificarea erorilor din datele iniţiale este mare erorilor din datele iniţiale este mare indiferent de cacirct de exact sunt efectuate calculele justificacircnd variaţia relativă mare a
icircsoluţiilor icircn raport cu variaţia termenilor liberi
11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus
A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9
= = =A A A
1 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9 matricea Hilbert matricea Wilson matricea Rutishauser
minus
Rezolvarea sistemelor tridiagonale g(aij=0 |i-j|gt1)
Rezolvarea sistemelor tridiagonale g(aij=0 |i-j|gt1)
Inversarea matricelor triunghiulare
Metoda Gauss-JordanI i i l Inversarea unei matrice presupune rezolvarea a n
sisteme de ecuatii lineare Daca se noteaza X=A-1 pornind de la identitatea AX=In dezvoltata pe coloane
bse obtine
[ ] [ ]1 2 1 2A n nx x x e e esdot =[ ] [ ]1 2 1 2A A 1
n n
i i
x x x e e ex e i nsdot = =
Matricea inversa ar avea drept coloane solutiile sistemului avand ca termeni liberi coloanele matricei unitateunitate
Metoda este inutilizabila datorita complexitatii ei O(n4)
Metoda Gauss-JordanM t d G J d t d l t i ti Metoda Gauss-Jordan porneste de la matricea extinsa pe
care o aduce la forma diagonala
1n nB= A I scrisa sub forma B=A I Aminus⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Transformarea se efectueaza progresiv in fiecare pas se modifica o singura coloana din primele n ale matricei B
li
pjj
normalizareA
A = p=1n j=p2n
bull
pjpp
A p 1n j p2nA
reducerebull
ij ij ip pj
reducereA =A A A p=1n i=1n j=p2nbull
minus sdot
Exemplul 3Folosind metoda Gauss-Jordan să se rezolve sistemul
2 8 4 1x x x+ + =⎧ 1 2 3
1 2 3
2 8 4 12 10 6 1
x x xx x x
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪
1 2 38 2 1x x x⎪ + + =⎩
Metoda Gauss-JordanMatricele sistemului
⎡ ⎤ ⎡ ⎤2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanP i l bi ti t iti t l i (1 0 0) i i Primul obiectiv este aparitia vectorului (1 0 0) in prima
coloana Se imparte prima linie la 2 se scade din a doua linie impartita la randul ei cu 2 si din a treia linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 4 2 120 2 2 0A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
0 4 0 12⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanAl d il bi ti t iti t l i (0 1 0) i d Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia
0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia coloana Se imparte a treia linie la -4 se aduna de 2 ori la prima linie si se scade din a doua linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0 1 40 1 0 180 0 1 18
A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0 1 18⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanV t l b ti l tiVectorul b contine solutia
11
14
x =
218
x =
31x = minus3 8
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
In rezolvarea sistemelor de ecuaţii lineare anumite matrice (rău condiţionate) pot crea difi ltăţi icirc l ă i i i ţii l d t l dificultăţi icircn sensul că mici variaţii ale datelor pot produce mari variaţii icircn soluţii
Astfel dacă icircn sistemul de ecuaţiiAstfel dacă icircn sistemul de ecuaţii
1 2 3 410 7 8 7 32x x x xsdot + sdot + sdot + sdot =⎧⎪
1 2 3 4
1 2 3 47 5 6 5 238 6 10 9 33
x x x x⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎨ + + +⎪ 1 2 3 4
1 2 3 4
8 6 10 9 337 5 9 10 31
x x x xx x x x
⎨ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎩⎩
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
avacircnd soluţiile Se aplică termenilor liberi mici perturbaţii astfel icircncacirct
[ ]1 1 1 1Tx =p ţ
devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =
se obţin soluţiile noului sistem [ ]~ 92 126 45 11Tx = minus minus
Să considerăm sistemul de ecuaţii liniare şi sistemul perturbat
~ ~
~ A x bb b bδsdot =
= +~
b b bx x x
δ
δ
+
= +
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
( )1 1
A x x b b
A x b x A b x A b
δ δ
δ δ δ δ δ δminus minus
sdot + = +
= rArr = rArr le A x b x A b x A b
b A x b A x
δ δ δ δ δ δsdot = rArr = sdot rArr le sdot
= sdot rArr le sdot
1b x A A x bδ δminussdot le sdot sdot sdot
( )x b
K Aδ δ
le sdot( )x b
Numarul de conditionare al matricei 1( )K A A A minus= sdotNumarul de conditionare al matricei
care actioneaza ca un factor de amplificare a perturbarii solutiilordatorate variatiei termenilor liberi
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
O relaţie asemănătoare se obţine icircn cazul perturbării matricei coeficienţilor
( ) ( )A A x x bδ δ+ sdot + =1δ δ δ δ10A x A x x A A xδ δ δ δminussdot + sdot = rArr = minus sdot sdot
1x A A xδ δminusle sdot sdotx A A xδ δle
( )x A
K Aδ δ
le sdot( )K Ax A
le
Efectul perturbării coeficienţilor se regaseste p ţ gamplificat de K(A) ori in solutie
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
A xδ δsdotDacă icircn relaţiile anterioare nu se neglijează
termenul A xδ δsdotte e u
se obţine o majorare mai exactă de formase obţine o majorare mai exactă de forma
( ) AK A
δ( )K Ax A
Aδ
δ
sdotle
( )1Ax K A
Aδ
minus sdot
Dacă se consideră că numerele reale au mantisaDacă se consideră că numerele reale au mantisa reprezentată cu t cifre binare semnificative
2 2t tij ijA A A Aδ δminus minusle rArr le
( )12 2t tA A K Aδ minus minus minus ( )( )1
2 21 21 2
t
tt
A Ax K Ax K AA Aδ
minusminus minus
sdotle =
minusminus sdot
Se verifică relativ uşor următoarele proprietăţi ale numărului de condiţionare al proprietăţi ale numărului de condiţionare al unei matrici
K(A)ge1K(A)ge1K(A)=K(A-1)K(cA)=K(A)(c ) ( )Numărul de condiţionare depinde de norma
considerată
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
Pentru matricele cu număr de condiţionare mare (matrice rău condiţionate) amplificarea erorilor din datele iniţiale este mare erorilor din datele iniţiale este mare indiferent de cacirct de exact sunt efectuate calculele justificacircnd variaţia relativă mare a
icircsoluţiilor icircn raport cu variaţia termenilor liberi
11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus
A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9
= = =A A A
1 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9 matricea Hilbert matricea Wilson matricea Rutishauser
minus
Rezolvarea sistemelor tridiagonale g(aij=0 |i-j|gt1)
Inversarea matricelor triunghiulare
Metoda Gauss-JordanI i i l Inversarea unei matrice presupune rezolvarea a n
sisteme de ecuatii lineare Daca se noteaza X=A-1 pornind de la identitatea AX=In dezvoltata pe coloane
bse obtine
[ ] [ ]1 2 1 2A n nx x x e e esdot =[ ] [ ]1 2 1 2A A 1
n n
i i
x x x e e ex e i nsdot = =
Matricea inversa ar avea drept coloane solutiile sistemului avand ca termeni liberi coloanele matricei unitateunitate
Metoda este inutilizabila datorita complexitatii ei O(n4)
Metoda Gauss-JordanM t d G J d t d l t i ti Metoda Gauss-Jordan porneste de la matricea extinsa pe
care o aduce la forma diagonala
1n nB= A I scrisa sub forma B=A I Aminus⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Transformarea se efectueaza progresiv in fiecare pas se modifica o singura coloana din primele n ale matricei B
li
pjj
normalizareA
A = p=1n j=p2n
bull
pjpp
A p 1n j p2nA
reducerebull
ij ij ip pj
reducereA =A A A p=1n i=1n j=p2nbull
minus sdot
Exemplul 3Folosind metoda Gauss-Jordan să se rezolve sistemul
2 8 4 1x x x+ + =⎧ 1 2 3
1 2 3
2 8 4 12 10 6 1
x x xx x x
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪
1 2 38 2 1x x x⎪ + + =⎩
Metoda Gauss-JordanMatricele sistemului
⎡ ⎤ ⎡ ⎤2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanP i l bi ti t iti t l i (1 0 0) i i Primul obiectiv este aparitia vectorului (1 0 0) in prima
coloana Se imparte prima linie la 2 se scade din a doua linie impartita la randul ei cu 2 si din a treia linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 4 2 120 2 2 0A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
0 4 0 12⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanAl d il bi ti t iti t l i (0 1 0) i d Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia
0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia coloana Se imparte a treia linie la -4 se aduna de 2 ori la prima linie si se scade din a doua linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0 1 40 1 0 180 0 1 18
A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0 1 18⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanV t l b ti l tiVectorul b contine solutia
11
14
x =
218
x =
31x = minus3 8
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
In rezolvarea sistemelor de ecuaţii lineare anumite matrice (rău condiţionate) pot crea difi ltăţi icirc l ă i i i ţii l d t l dificultăţi icircn sensul că mici variaţii ale datelor pot produce mari variaţii icircn soluţii
Astfel dacă icircn sistemul de ecuaţiiAstfel dacă icircn sistemul de ecuaţii
1 2 3 410 7 8 7 32x x x xsdot + sdot + sdot + sdot =⎧⎪
1 2 3 4
1 2 3 47 5 6 5 238 6 10 9 33
x x x x⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎨ + + +⎪ 1 2 3 4
1 2 3 4
8 6 10 9 337 5 9 10 31
x x x xx x x x
⎨ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎩⎩
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
avacircnd soluţiile Se aplică termenilor liberi mici perturbaţii astfel icircncacirct
[ ]1 1 1 1Tx =p ţ
devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =
se obţin soluţiile noului sistem [ ]~ 92 126 45 11Tx = minus minus
Să considerăm sistemul de ecuaţii liniare şi sistemul perturbat
~ ~
~ A x bb b bδsdot =
= +~
b b bx x x
δ
δ
+
= +
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
( )1 1
A x x b b
A x b x A b x A b
δ δ
δ δ δ δ δ δminus minus
sdot + = +
= rArr = rArr le A x b x A b x A b
b A x b A x
δ δ δ δ δ δsdot = rArr = sdot rArr le sdot
= sdot rArr le sdot
1b x A A x bδ δminussdot le sdot sdot sdot
( )x b
K Aδ δ
le sdot( )x b
Numarul de conditionare al matricei 1( )K A A A minus= sdotNumarul de conditionare al matricei
care actioneaza ca un factor de amplificare a perturbarii solutiilordatorate variatiei termenilor liberi
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
O relaţie asemănătoare se obţine icircn cazul perturbării matricei coeficienţilor
( ) ( )A A x x bδ δ+ sdot + =1δ δ δ δ10A x A x x A A xδ δ δ δminussdot + sdot = rArr = minus sdot sdot
1x A A xδ δminusle sdot sdotx A A xδ δle
( )x A
K Aδ δ
le sdot( )K Ax A
le
Efectul perturbării coeficienţilor se regaseste p ţ gamplificat de K(A) ori in solutie
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
A xδ δsdotDacă icircn relaţiile anterioare nu se neglijează
termenul A xδ δsdotte e u
se obţine o majorare mai exactă de formase obţine o majorare mai exactă de forma
( ) AK A
δ( )K Ax A
Aδ
δ
sdotle
( )1Ax K A
Aδ
minus sdot
Dacă se consideră că numerele reale au mantisaDacă se consideră că numerele reale au mantisa reprezentată cu t cifre binare semnificative
2 2t tij ijA A A Aδ δminus minusle rArr le
( )12 2t tA A K Aδ minus minus minus ( )( )1
2 21 21 2
t
tt
A Ax K Ax K AA Aδ
minusminus minus
sdotle =
minusminus sdot
Se verifică relativ uşor următoarele proprietăţi ale numărului de condiţionare al proprietăţi ale numărului de condiţionare al unei matrici
K(A)ge1K(A)ge1K(A)=K(A-1)K(cA)=K(A)(c ) ( )Numărul de condiţionare depinde de norma
considerată
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
Pentru matricele cu număr de condiţionare mare (matrice rău condiţionate) amplificarea erorilor din datele iniţiale este mare erorilor din datele iniţiale este mare indiferent de cacirct de exact sunt efectuate calculele justificacircnd variaţia relativă mare a
icircsoluţiilor icircn raport cu variaţia termenilor liberi
11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus
A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9
= = =A A A
1 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9 matricea Hilbert matricea Wilson matricea Rutishauser
minus
Inversarea matricelor triunghiulare
Metoda Gauss-JordanI i i l Inversarea unei matrice presupune rezolvarea a n
sisteme de ecuatii lineare Daca se noteaza X=A-1 pornind de la identitatea AX=In dezvoltata pe coloane
bse obtine
[ ] [ ]1 2 1 2A n nx x x e e esdot =[ ] [ ]1 2 1 2A A 1
n n
i i
x x x e e ex e i nsdot = =
Matricea inversa ar avea drept coloane solutiile sistemului avand ca termeni liberi coloanele matricei unitateunitate
Metoda este inutilizabila datorita complexitatii ei O(n4)
Metoda Gauss-JordanM t d G J d t d l t i ti Metoda Gauss-Jordan porneste de la matricea extinsa pe
care o aduce la forma diagonala
1n nB= A I scrisa sub forma B=A I Aminus⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Transformarea se efectueaza progresiv in fiecare pas se modifica o singura coloana din primele n ale matricei B
li
pjj
normalizareA
A = p=1n j=p2n
bull
pjpp
A p 1n j p2nA
reducerebull
ij ij ip pj
reducereA =A A A p=1n i=1n j=p2nbull
minus sdot
Exemplul 3Folosind metoda Gauss-Jordan să se rezolve sistemul
2 8 4 1x x x+ + =⎧ 1 2 3
1 2 3
2 8 4 12 10 6 1
x x xx x x
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪
1 2 38 2 1x x x⎪ + + =⎩
Metoda Gauss-JordanMatricele sistemului
⎡ ⎤ ⎡ ⎤2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanP i l bi ti t iti t l i (1 0 0) i i Primul obiectiv este aparitia vectorului (1 0 0) in prima
coloana Se imparte prima linie la 2 se scade din a doua linie impartita la randul ei cu 2 si din a treia linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 4 2 120 2 2 0A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
0 4 0 12⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanAl d il bi ti t iti t l i (0 1 0) i d Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia
0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia coloana Se imparte a treia linie la -4 se aduna de 2 ori la prima linie si se scade din a doua linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0 1 40 1 0 180 0 1 18
A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0 1 18⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanV t l b ti l tiVectorul b contine solutia
11
14
x =
218
x =
31x = minus3 8
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
In rezolvarea sistemelor de ecuaţii lineare anumite matrice (rău condiţionate) pot crea difi ltăţi icirc l ă i i i ţii l d t l dificultăţi icircn sensul că mici variaţii ale datelor pot produce mari variaţii icircn soluţii
Astfel dacă icircn sistemul de ecuaţiiAstfel dacă icircn sistemul de ecuaţii
1 2 3 410 7 8 7 32x x x xsdot + sdot + sdot + sdot =⎧⎪
1 2 3 4
1 2 3 47 5 6 5 238 6 10 9 33
x x x x⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎨ + + +⎪ 1 2 3 4
1 2 3 4
8 6 10 9 337 5 9 10 31
x x x xx x x x
⎨ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎩⎩
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
avacircnd soluţiile Se aplică termenilor liberi mici perturbaţii astfel icircncacirct
[ ]1 1 1 1Tx =p ţ
devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =
se obţin soluţiile noului sistem [ ]~ 92 126 45 11Tx = minus minus
Să considerăm sistemul de ecuaţii liniare şi sistemul perturbat
~ ~
~ A x bb b bδsdot =
= +~
b b bx x x
δ
δ
+
= +
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
( )1 1
A x x b b
A x b x A b x A b
δ δ
δ δ δ δ δ δminus minus
sdot + = +
= rArr = rArr le A x b x A b x A b
b A x b A x
δ δ δ δ δ δsdot = rArr = sdot rArr le sdot
= sdot rArr le sdot
1b x A A x bδ δminussdot le sdot sdot sdot
( )x b
K Aδ δ
le sdot( )x b
Numarul de conditionare al matricei 1( )K A A A minus= sdotNumarul de conditionare al matricei
care actioneaza ca un factor de amplificare a perturbarii solutiilordatorate variatiei termenilor liberi
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
O relaţie asemănătoare se obţine icircn cazul perturbării matricei coeficienţilor
( ) ( )A A x x bδ δ+ sdot + =1δ δ δ δ10A x A x x A A xδ δ δ δminussdot + sdot = rArr = minus sdot sdot
1x A A xδ δminusle sdot sdotx A A xδ δle
( )x A
K Aδ δ
le sdot( )K Ax A
le
Efectul perturbării coeficienţilor se regaseste p ţ gamplificat de K(A) ori in solutie
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
A xδ δsdotDacă icircn relaţiile anterioare nu se neglijează
termenul A xδ δsdotte e u
se obţine o majorare mai exactă de formase obţine o majorare mai exactă de forma
( ) AK A
δ( )K Ax A
Aδ
δ
sdotle
( )1Ax K A
Aδ
minus sdot
Dacă se consideră că numerele reale au mantisaDacă se consideră că numerele reale au mantisa reprezentată cu t cifre binare semnificative
2 2t tij ijA A A Aδ δminus minusle rArr le
( )12 2t tA A K Aδ minus minus minus ( )( )1
2 21 21 2
t
tt
A Ax K Ax K AA Aδ
minusminus minus
sdotle =
minusminus sdot
Se verifică relativ uşor următoarele proprietăţi ale numărului de condiţionare al proprietăţi ale numărului de condiţionare al unei matrici
K(A)ge1K(A)ge1K(A)=K(A-1)K(cA)=K(A)(c ) ( )Numărul de condiţionare depinde de norma
considerată
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
Pentru matricele cu număr de condiţionare mare (matrice rău condiţionate) amplificarea erorilor din datele iniţiale este mare erorilor din datele iniţiale este mare indiferent de cacirct de exact sunt efectuate calculele justificacircnd variaţia relativă mare a
icircsoluţiilor icircn raport cu variaţia termenilor liberi
11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus
A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9
= = =A A A
1 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9 matricea Hilbert matricea Wilson matricea Rutishauser
minus
Metoda Gauss-JordanI i i l Inversarea unei matrice presupune rezolvarea a n
sisteme de ecuatii lineare Daca se noteaza X=A-1 pornind de la identitatea AX=In dezvoltata pe coloane
bse obtine
[ ] [ ]1 2 1 2A n nx x x e e esdot =[ ] [ ]1 2 1 2A A 1
n n
i i
x x x e e ex e i nsdot = =
Matricea inversa ar avea drept coloane solutiile sistemului avand ca termeni liberi coloanele matricei unitateunitate
Metoda este inutilizabila datorita complexitatii ei O(n4)
Metoda Gauss-JordanM t d G J d t d l t i ti Metoda Gauss-Jordan porneste de la matricea extinsa pe
care o aduce la forma diagonala
1n nB= A I scrisa sub forma B=A I Aminus⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Transformarea se efectueaza progresiv in fiecare pas se modifica o singura coloana din primele n ale matricei B
li
pjj
normalizareA
A = p=1n j=p2n
bull
pjpp
A p 1n j p2nA
reducerebull
ij ij ip pj
reducereA =A A A p=1n i=1n j=p2nbull
minus sdot
Exemplul 3Folosind metoda Gauss-Jordan să se rezolve sistemul
2 8 4 1x x x+ + =⎧ 1 2 3
1 2 3
2 8 4 12 10 6 1
x x xx x x
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪
1 2 38 2 1x x x⎪ + + =⎩
Metoda Gauss-JordanMatricele sistemului
⎡ ⎤ ⎡ ⎤2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanP i l bi ti t iti t l i (1 0 0) i i Primul obiectiv este aparitia vectorului (1 0 0) in prima
coloana Se imparte prima linie la 2 se scade din a doua linie impartita la randul ei cu 2 si din a treia linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 4 2 120 2 2 0A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
0 4 0 12⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanAl d il bi ti t iti t l i (0 1 0) i d Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia
0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia coloana Se imparte a treia linie la -4 se aduna de 2 ori la prima linie si se scade din a doua linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0 1 40 1 0 180 0 1 18
A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0 1 18⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanV t l b ti l tiVectorul b contine solutia
11
14
x =
218
x =
31x = minus3 8
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
In rezolvarea sistemelor de ecuaţii lineare anumite matrice (rău condiţionate) pot crea difi ltăţi icirc l ă i i i ţii l d t l dificultăţi icircn sensul că mici variaţii ale datelor pot produce mari variaţii icircn soluţii
Astfel dacă icircn sistemul de ecuaţiiAstfel dacă icircn sistemul de ecuaţii
1 2 3 410 7 8 7 32x x x xsdot + sdot + sdot + sdot =⎧⎪
1 2 3 4
1 2 3 47 5 6 5 238 6 10 9 33
x x x x⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎨ + + +⎪ 1 2 3 4
1 2 3 4
8 6 10 9 337 5 9 10 31
x x x xx x x x
⎨ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎩⎩
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
avacircnd soluţiile Se aplică termenilor liberi mici perturbaţii astfel icircncacirct
[ ]1 1 1 1Tx =p ţ
devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =
se obţin soluţiile noului sistem [ ]~ 92 126 45 11Tx = minus minus
Să considerăm sistemul de ecuaţii liniare şi sistemul perturbat
~ ~
~ A x bb b bδsdot =
= +~
b b bx x x
δ
δ
+
= +
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
( )1 1
A x x b b
A x b x A b x A b
δ δ
δ δ δ δ δ δminus minus
sdot + = +
= rArr = rArr le A x b x A b x A b
b A x b A x
δ δ δ δ δ δsdot = rArr = sdot rArr le sdot
= sdot rArr le sdot
1b x A A x bδ δminussdot le sdot sdot sdot
( )x b
K Aδ δ
le sdot( )x b
Numarul de conditionare al matricei 1( )K A A A minus= sdotNumarul de conditionare al matricei
care actioneaza ca un factor de amplificare a perturbarii solutiilordatorate variatiei termenilor liberi
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
O relaţie asemănătoare se obţine icircn cazul perturbării matricei coeficienţilor
( ) ( )A A x x bδ δ+ sdot + =1δ δ δ δ10A x A x x A A xδ δ δ δminussdot + sdot = rArr = minus sdot sdot
1x A A xδ δminusle sdot sdotx A A xδ δle
( )x A
K Aδ δ
le sdot( )K Ax A
le
Efectul perturbării coeficienţilor se regaseste p ţ gamplificat de K(A) ori in solutie
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
A xδ δsdotDacă icircn relaţiile anterioare nu se neglijează
termenul A xδ δsdotte e u
se obţine o majorare mai exactă de formase obţine o majorare mai exactă de forma
( ) AK A
δ( )K Ax A
Aδ
δ
sdotle
( )1Ax K A
Aδ
minus sdot
Dacă se consideră că numerele reale au mantisaDacă se consideră că numerele reale au mantisa reprezentată cu t cifre binare semnificative
2 2t tij ijA A A Aδ δminus minusle rArr le
( )12 2t tA A K Aδ minus minus minus ( )( )1
2 21 21 2
t
tt
A Ax K Ax K AA Aδ
minusminus minus
sdotle =
minusminus sdot
Se verifică relativ uşor următoarele proprietăţi ale numărului de condiţionare al proprietăţi ale numărului de condiţionare al unei matrici
K(A)ge1K(A)ge1K(A)=K(A-1)K(cA)=K(A)(c ) ( )Numărul de condiţionare depinde de norma
considerată
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
Pentru matricele cu număr de condiţionare mare (matrice rău condiţionate) amplificarea erorilor din datele iniţiale este mare erorilor din datele iniţiale este mare indiferent de cacirct de exact sunt efectuate calculele justificacircnd variaţia relativă mare a
icircsoluţiilor icircn raport cu variaţia termenilor liberi
11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus
A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9
= = =A A A
1 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9 matricea Hilbert matricea Wilson matricea Rutishauser
minus
Metoda Gauss-JordanM t d G J d t d l t i ti Metoda Gauss-Jordan porneste de la matricea extinsa pe
care o aduce la forma diagonala
1n nB= A I scrisa sub forma B=A I Aminus⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Transformarea se efectueaza progresiv in fiecare pas se modifica o singura coloana din primele n ale matricei B
li
pjj
normalizareA
A = p=1n j=p2n
bull
pjpp
A p 1n j p2nA
reducerebull
ij ij ip pj
reducereA =A A A p=1n i=1n j=p2nbull
minus sdot
Exemplul 3Folosind metoda Gauss-Jordan să se rezolve sistemul
2 8 4 1x x x+ + =⎧ 1 2 3
1 2 3
2 8 4 12 10 6 1
x x xx x x
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪
1 2 38 2 1x x x⎪ + + =⎩
Metoda Gauss-JordanMatricele sistemului
⎡ ⎤ ⎡ ⎤2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanP i l bi ti t iti t l i (1 0 0) i i Primul obiectiv este aparitia vectorului (1 0 0) in prima
coloana Se imparte prima linie la 2 se scade din a doua linie impartita la randul ei cu 2 si din a treia linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 4 2 120 2 2 0A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
0 4 0 12⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanAl d il bi ti t iti t l i (0 1 0) i d Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia
0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia coloana Se imparte a treia linie la -4 se aduna de 2 ori la prima linie si se scade din a doua linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0 1 40 1 0 180 0 1 18
A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0 1 18⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanV t l b ti l tiVectorul b contine solutia
11
14
x =
218
x =
31x = minus3 8
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
In rezolvarea sistemelor de ecuaţii lineare anumite matrice (rău condiţionate) pot crea difi ltăţi icirc l ă i i i ţii l d t l dificultăţi icircn sensul că mici variaţii ale datelor pot produce mari variaţii icircn soluţii
Astfel dacă icircn sistemul de ecuaţiiAstfel dacă icircn sistemul de ecuaţii
1 2 3 410 7 8 7 32x x x xsdot + sdot + sdot + sdot =⎧⎪
1 2 3 4
1 2 3 47 5 6 5 238 6 10 9 33
x x x x⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎨ + + +⎪ 1 2 3 4
1 2 3 4
8 6 10 9 337 5 9 10 31
x x x xx x x x
⎨ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎩⎩
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
avacircnd soluţiile Se aplică termenilor liberi mici perturbaţii astfel icircncacirct
[ ]1 1 1 1Tx =p ţ
devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =
se obţin soluţiile noului sistem [ ]~ 92 126 45 11Tx = minus minus
Să considerăm sistemul de ecuaţii liniare şi sistemul perturbat
~ ~
~ A x bb b bδsdot =
= +~
b b bx x x
δ
δ
+
= +
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
( )1 1
A x x b b
A x b x A b x A b
δ δ
δ δ δ δ δ δminus minus
sdot + = +
= rArr = rArr le A x b x A b x A b
b A x b A x
δ δ δ δ δ δsdot = rArr = sdot rArr le sdot
= sdot rArr le sdot
1b x A A x bδ δminussdot le sdot sdot sdot
( )x b
K Aδ δ
le sdot( )x b
Numarul de conditionare al matricei 1( )K A A A minus= sdotNumarul de conditionare al matricei
care actioneaza ca un factor de amplificare a perturbarii solutiilordatorate variatiei termenilor liberi
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
O relaţie asemănătoare se obţine icircn cazul perturbării matricei coeficienţilor
( ) ( )A A x x bδ δ+ sdot + =1δ δ δ δ10A x A x x A A xδ δ δ δminussdot + sdot = rArr = minus sdot sdot
1x A A xδ δminusle sdot sdotx A A xδ δle
( )x A
K Aδ δ
le sdot( )K Ax A
le
Efectul perturbării coeficienţilor se regaseste p ţ gamplificat de K(A) ori in solutie
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
A xδ δsdotDacă icircn relaţiile anterioare nu se neglijează
termenul A xδ δsdotte e u
se obţine o majorare mai exactă de formase obţine o majorare mai exactă de forma
( ) AK A
δ( )K Ax A
Aδ
δ
sdotle
( )1Ax K A
Aδ
minus sdot
Dacă se consideră că numerele reale au mantisaDacă se consideră că numerele reale au mantisa reprezentată cu t cifre binare semnificative
2 2t tij ijA A A Aδ δminus minusle rArr le
( )12 2t tA A K Aδ minus minus minus ( )( )1
2 21 21 2
t
tt
A Ax K Ax K AA Aδ
minusminus minus
sdotle =
minusminus sdot
Se verifică relativ uşor următoarele proprietăţi ale numărului de condiţionare al proprietăţi ale numărului de condiţionare al unei matrici
K(A)ge1K(A)ge1K(A)=K(A-1)K(cA)=K(A)(c ) ( )Numărul de condiţionare depinde de norma
considerată
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
Pentru matricele cu număr de condiţionare mare (matrice rău condiţionate) amplificarea erorilor din datele iniţiale este mare erorilor din datele iniţiale este mare indiferent de cacirct de exact sunt efectuate calculele justificacircnd variaţia relativă mare a
icircsoluţiilor icircn raport cu variaţia termenilor liberi
11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus
A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9
= = =A A A
1 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9 matricea Hilbert matricea Wilson matricea Rutishauser
minus
Exemplul 3Folosind metoda Gauss-Jordan să se rezolve sistemul
2 8 4 1x x x+ + =⎧ 1 2 3
1 2 3
2 8 4 12 10 6 1
x x xx x x
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪
1 2 38 2 1x x x⎪ + + =⎩
Metoda Gauss-JordanMatricele sistemului
⎡ ⎤ ⎡ ⎤2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanP i l bi ti t iti t l i (1 0 0) i i Primul obiectiv este aparitia vectorului (1 0 0) in prima
coloana Se imparte prima linie la 2 se scade din a doua linie impartita la randul ei cu 2 si din a treia linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 4 2 120 2 2 0A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
0 4 0 12⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanAl d il bi ti t iti t l i (0 1 0) i d Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia
0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia coloana Se imparte a treia linie la -4 se aduna de 2 ori la prima linie si se scade din a doua linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0 1 40 1 0 180 0 1 18
A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0 1 18⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanV t l b ti l tiVectorul b contine solutia
11
14
x =
218
x =
31x = minus3 8
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
In rezolvarea sistemelor de ecuaţii lineare anumite matrice (rău condiţionate) pot crea difi ltăţi icirc l ă i i i ţii l d t l dificultăţi icircn sensul că mici variaţii ale datelor pot produce mari variaţii icircn soluţii
Astfel dacă icircn sistemul de ecuaţiiAstfel dacă icircn sistemul de ecuaţii
1 2 3 410 7 8 7 32x x x xsdot + sdot + sdot + sdot =⎧⎪
1 2 3 4
1 2 3 47 5 6 5 238 6 10 9 33
x x x x⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎨ + + +⎪ 1 2 3 4
1 2 3 4
8 6 10 9 337 5 9 10 31
x x x xx x x x
⎨ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎩⎩
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
avacircnd soluţiile Se aplică termenilor liberi mici perturbaţii astfel icircncacirct
[ ]1 1 1 1Tx =p ţ
devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =
se obţin soluţiile noului sistem [ ]~ 92 126 45 11Tx = minus minus
Să considerăm sistemul de ecuaţii liniare şi sistemul perturbat
~ ~
~ A x bb b bδsdot =
= +~
b b bx x x
δ
δ
+
= +
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
( )1 1
A x x b b
A x b x A b x A b
δ δ
δ δ δ δ δ δminus minus
sdot + = +
= rArr = rArr le A x b x A b x A b
b A x b A x
δ δ δ δ δ δsdot = rArr = sdot rArr le sdot
= sdot rArr le sdot
1b x A A x bδ δminussdot le sdot sdot sdot
( )x b
K Aδ δ
le sdot( )x b
Numarul de conditionare al matricei 1( )K A A A minus= sdotNumarul de conditionare al matricei
care actioneaza ca un factor de amplificare a perturbarii solutiilordatorate variatiei termenilor liberi
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
O relaţie asemănătoare se obţine icircn cazul perturbării matricei coeficienţilor
( ) ( )A A x x bδ δ+ sdot + =1δ δ δ δ10A x A x x A A xδ δ δ δminussdot + sdot = rArr = minus sdot sdot
1x A A xδ δminusle sdot sdotx A A xδ δle
( )x A
K Aδ δ
le sdot( )K Ax A
le
Efectul perturbării coeficienţilor se regaseste p ţ gamplificat de K(A) ori in solutie
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
A xδ δsdotDacă icircn relaţiile anterioare nu se neglijează
termenul A xδ δsdotte e u
se obţine o majorare mai exactă de formase obţine o majorare mai exactă de forma
( ) AK A
δ( )K Ax A
Aδ
δ
sdotle
( )1Ax K A
Aδ
minus sdot
Dacă se consideră că numerele reale au mantisaDacă se consideră că numerele reale au mantisa reprezentată cu t cifre binare semnificative
2 2t tij ijA A A Aδ δminus minusle rArr le
( )12 2t tA A K Aδ minus minus minus ( )( )1
2 21 21 2
t
tt
A Ax K Ax K AA Aδ
minusminus minus
sdotle =
minusminus sdot
Se verifică relativ uşor următoarele proprietăţi ale numărului de condiţionare al proprietăţi ale numărului de condiţionare al unei matrici
K(A)ge1K(A)ge1K(A)=K(A-1)K(cA)=K(A)(c ) ( )Numărul de condiţionare depinde de norma
considerată
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
Pentru matricele cu număr de condiţionare mare (matrice rău condiţionate) amplificarea erorilor din datele iniţiale este mare erorilor din datele iniţiale este mare indiferent de cacirct de exact sunt efectuate calculele justificacircnd variaţia relativă mare a
icircsoluţiilor icircn raport cu variaţia termenilor liberi
11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus
A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9
= = =A A A
1 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9 matricea Hilbert matricea Wilson matricea Rutishauser
minus
Metoda Gauss-JordanMatricele sistemului
⎡ ⎤ ⎡ ⎤2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanP i l bi ti t iti t l i (1 0 0) i i Primul obiectiv este aparitia vectorului (1 0 0) in prima
coloana Se imparte prima linie la 2 se scade din a doua linie impartita la randul ei cu 2 si din a treia linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 4 2 120 2 2 0A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
0 4 0 12⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanAl d il bi ti t iti t l i (0 1 0) i d Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia
0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia coloana Se imparte a treia linie la -4 se aduna de 2 ori la prima linie si se scade din a doua linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0 1 40 1 0 180 0 1 18
A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0 1 18⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanV t l b ti l tiVectorul b contine solutia
11
14
x =
218
x =
31x = minus3 8
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
In rezolvarea sistemelor de ecuaţii lineare anumite matrice (rău condiţionate) pot crea difi ltăţi icirc l ă i i i ţii l d t l dificultăţi icircn sensul că mici variaţii ale datelor pot produce mari variaţii icircn soluţii
Astfel dacă icircn sistemul de ecuaţiiAstfel dacă icircn sistemul de ecuaţii
1 2 3 410 7 8 7 32x x x xsdot + sdot + sdot + sdot =⎧⎪
1 2 3 4
1 2 3 47 5 6 5 238 6 10 9 33
x x x x⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎨ + + +⎪ 1 2 3 4
1 2 3 4
8 6 10 9 337 5 9 10 31
x x x xx x x x
⎨ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎩⎩
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
avacircnd soluţiile Se aplică termenilor liberi mici perturbaţii astfel icircncacirct
[ ]1 1 1 1Tx =p ţ
devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =
se obţin soluţiile noului sistem [ ]~ 92 126 45 11Tx = minus minus
Să considerăm sistemul de ecuaţii liniare şi sistemul perturbat
~ ~
~ A x bb b bδsdot =
= +~
b b bx x x
δ
δ
+
= +
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
( )1 1
A x x b b
A x b x A b x A b
δ δ
δ δ δ δ δ δminus minus
sdot + = +
= rArr = rArr le A x b x A b x A b
b A x b A x
δ δ δ δ δ δsdot = rArr = sdot rArr le sdot
= sdot rArr le sdot
1b x A A x bδ δminussdot le sdot sdot sdot
( )x b
K Aδ δ
le sdot( )x b
Numarul de conditionare al matricei 1( )K A A A minus= sdotNumarul de conditionare al matricei
care actioneaza ca un factor de amplificare a perturbarii solutiilordatorate variatiei termenilor liberi
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
O relaţie asemănătoare se obţine icircn cazul perturbării matricei coeficienţilor
( ) ( )A A x x bδ δ+ sdot + =1δ δ δ δ10A x A x x A A xδ δ δ δminussdot + sdot = rArr = minus sdot sdot
1x A A xδ δminusle sdot sdotx A A xδ δle
( )x A
K Aδ δ
le sdot( )K Ax A
le
Efectul perturbării coeficienţilor se regaseste p ţ gamplificat de K(A) ori in solutie
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
A xδ δsdotDacă icircn relaţiile anterioare nu se neglijează
termenul A xδ δsdotte e u
se obţine o majorare mai exactă de formase obţine o majorare mai exactă de forma
( ) AK A
δ( )K Ax A
Aδ
δ
sdotle
( )1Ax K A
Aδ
minus sdot
Dacă se consideră că numerele reale au mantisaDacă se consideră că numerele reale au mantisa reprezentată cu t cifre binare semnificative
2 2t tij ijA A A Aδ δminus minusle rArr le
( )12 2t tA A K Aδ minus minus minus ( )( )1
2 21 21 2
t
tt
A Ax K Ax K AA Aδ
minusminus minus
sdotle =
minusminus sdot
Se verifică relativ uşor următoarele proprietăţi ale numărului de condiţionare al proprietăţi ale numărului de condiţionare al unei matrici
K(A)ge1K(A)ge1K(A)=K(A-1)K(cA)=K(A)(c ) ( )Numărul de condiţionare depinde de norma
considerată
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
Pentru matricele cu număr de condiţionare mare (matrice rău condiţionate) amplificarea erorilor din datele iniţiale este mare erorilor din datele iniţiale este mare indiferent de cacirct de exact sunt efectuate calculele justificacircnd variaţia relativă mare a
icircsoluţiilor icircn raport cu variaţia termenilor liberi
11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus
A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9
= = =A A A
1 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9 matricea Hilbert matricea Wilson matricea Rutishauser
minus
Metoda Gauss-JordanP i l bi ti t iti t l i (1 0 0) i i Primul obiectiv este aparitia vectorului (1 0 0) in prima
coloana Se imparte prima linie la 2 se scade din a doua linie impartita la randul ei cu 2 si din a treia linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 4 2 120 2 2 0A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
2 8 4 12 10 6 1A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
0 4 0 12⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 8 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanAl d il bi ti t iti t l i (0 1 0) i d Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia
0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia coloana Se imparte a treia linie la -4 se aduna de 2 ori la prima linie si se scade din a doua linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0 1 40 1 0 180 0 1 18
A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0 1 18⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanV t l b ti l tiVectorul b contine solutia
11
14
x =
218
x =
31x = minus3 8
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
In rezolvarea sistemelor de ecuaţii lineare anumite matrice (rău condiţionate) pot crea difi ltăţi icirc l ă i i i ţii l d t l dificultăţi icircn sensul că mici variaţii ale datelor pot produce mari variaţii icircn soluţii
Astfel dacă icircn sistemul de ecuaţiiAstfel dacă icircn sistemul de ecuaţii
1 2 3 410 7 8 7 32x x x xsdot + sdot + sdot + sdot =⎧⎪
1 2 3 4
1 2 3 47 5 6 5 238 6 10 9 33
x x x x⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎨ + + +⎪ 1 2 3 4
1 2 3 4
8 6 10 9 337 5 9 10 31
x x x xx x x x
⎨ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎩⎩
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
avacircnd soluţiile Se aplică termenilor liberi mici perturbaţii astfel icircncacirct
[ ]1 1 1 1Tx =p ţ
devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =
se obţin soluţiile noului sistem [ ]~ 92 126 45 11Tx = minus minus
Să considerăm sistemul de ecuaţii liniare şi sistemul perturbat
~ ~
~ A x bb b bδsdot =
= +~
b b bx x x
δ
δ
+
= +
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
( )1 1
A x x b b
A x b x A b x A b
δ δ
δ δ δ δ δ δminus minus
sdot + = +
= rArr = rArr le A x b x A b x A b
b A x b A x
δ δ δ δ δ δsdot = rArr = sdot rArr le sdot
= sdot rArr le sdot
1b x A A x bδ δminussdot le sdot sdot sdot
( )x b
K Aδ δ
le sdot( )x b
Numarul de conditionare al matricei 1( )K A A A minus= sdotNumarul de conditionare al matricei
care actioneaza ca un factor de amplificare a perturbarii solutiilordatorate variatiei termenilor liberi
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
O relaţie asemănătoare se obţine icircn cazul perturbării matricei coeficienţilor
( ) ( )A A x x bδ δ+ sdot + =1δ δ δ δ10A x A x x A A xδ δ δ δminussdot + sdot = rArr = minus sdot sdot
1x A A xδ δminusle sdot sdotx A A xδ δle
( )x A
K Aδ δ
le sdot( )K Ax A
le
Efectul perturbării coeficienţilor se regaseste p ţ gamplificat de K(A) ori in solutie
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
A xδ δsdotDacă icircn relaţiile anterioare nu se neglijează
termenul A xδ δsdotte e u
se obţine o majorare mai exactă de formase obţine o majorare mai exactă de forma
( ) AK A
δ( )K Ax A
Aδ
δ
sdotle
( )1Ax K A
Aδ
minus sdot
Dacă se consideră că numerele reale au mantisaDacă se consideră că numerele reale au mantisa reprezentată cu t cifre binare semnificative
2 2t tij ijA A A Aδ δminus minusle rArr le
( )12 2t tA A K Aδ minus minus minus ( )( )1
2 21 21 2
t
tt
A Ax K Ax K AA Aδ
minusminus minus
sdotle =
minusminus sdot
Se verifică relativ uşor următoarele proprietăţi ale numărului de condiţionare al proprietăţi ale numărului de condiţionare al unei matrici
K(A)ge1K(A)ge1K(A)=K(A-1)K(cA)=K(A)(c ) ( )Numărul de condiţionare depinde de norma
considerată
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
Pentru matricele cu număr de condiţionare mare (matrice rău condiţionate) amplificarea erorilor din datele iniţiale este mare erorilor din datele iniţiale este mare indiferent de cacirct de exact sunt efectuate calculele justificacircnd variaţia relativă mare a
icircsoluţiilor icircn raport cu variaţia termenilor liberi
11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus
A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9
= = =A A A
1 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9 matricea Hilbert matricea Wilson matricea Rutishauser
minus
Metoda Gauss-JordanAl d il bi ti t iti t l i (0 1 0) i d Al doilea obiectiv este aparitia vectorului (0 1 0) in a doua
coloana Se imparte a doua linie la 2 se scade de 4 ori din prima linie si din a treia linie
1 0 2 1 20 1 1 0A b
minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia
0 0 4 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al treilea obiectiv este aparitia vectorului (0 0 1) in a treia coloana Se imparte a treia linie la -4 se aduna de 2 ori la prima linie si se scade din a doua linie
⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0 1 40 1 0 180 0 1 18
A b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0 1 18⎢ ⎥ ⎢ ⎥minus⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Metoda Gauss-JordanV t l b ti l tiVectorul b contine solutia
11
14
x =
218
x =
31x = minus3 8
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
In rezolvarea sistemelor de ecuaţii lineare anumite matrice (rău condiţionate) pot crea difi ltăţi icirc l ă i i i ţii l d t l dificultăţi icircn sensul că mici variaţii ale datelor pot produce mari variaţii icircn soluţii
Astfel dacă icircn sistemul de ecuaţiiAstfel dacă icircn sistemul de ecuaţii
1 2 3 410 7 8 7 32x x x xsdot + sdot + sdot + sdot =⎧⎪
1 2 3 4
1 2 3 47 5 6 5 238 6 10 9 33
x x x x⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎨ + + +⎪ 1 2 3 4
1 2 3 4
8 6 10 9 337 5 9 10 31
x x x xx x x x
⎨ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎩⎩
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
avacircnd soluţiile Se aplică termenilor liberi mici perturbaţii astfel icircncacirct
[ ]1 1 1 1Tx =p ţ
devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =
se obţin soluţiile noului sistem [ ]~ 92 126 45 11Tx = minus minus
Să considerăm sistemul de ecuaţii liniare şi sistemul perturbat
~ ~
~ A x bb b bδsdot =
= +~
b b bx x x
δ
δ
+
= +
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
( )1 1
A x x b b
A x b x A b x A b
δ δ
δ δ δ δ δ δminus minus
sdot + = +
= rArr = rArr le A x b x A b x A b
b A x b A x
δ δ δ δ δ δsdot = rArr = sdot rArr le sdot
= sdot rArr le sdot
1b x A A x bδ δminussdot le sdot sdot sdot
( )x b
K Aδ δ
le sdot( )x b
Numarul de conditionare al matricei 1( )K A A A minus= sdotNumarul de conditionare al matricei
care actioneaza ca un factor de amplificare a perturbarii solutiilordatorate variatiei termenilor liberi
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
O relaţie asemănătoare se obţine icircn cazul perturbării matricei coeficienţilor
( ) ( )A A x x bδ δ+ sdot + =1δ δ δ δ10A x A x x A A xδ δ δ δminussdot + sdot = rArr = minus sdot sdot
1x A A xδ δminusle sdot sdotx A A xδ δle
( )x A
K Aδ δ
le sdot( )K Ax A
le
Efectul perturbării coeficienţilor se regaseste p ţ gamplificat de K(A) ori in solutie
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
A xδ δsdotDacă icircn relaţiile anterioare nu se neglijează
termenul A xδ δsdotte e u
se obţine o majorare mai exactă de formase obţine o majorare mai exactă de forma
( ) AK A
δ( )K Ax A
Aδ
δ
sdotle
( )1Ax K A
Aδ
minus sdot
Dacă se consideră că numerele reale au mantisaDacă se consideră că numerele reale au mantisa reprezentată cu t cifre binare semnificative
2 2t tij ijA A A Aδ δminus minusle rArr le
( )12 2t tA A K Aδ minus minus minus ( )( )1
2 21 21 2
t
tt
A Ax K Ax K AA Aδ
minusminus minus
sdotle =
minusminus sdot
Se verifică relativ uşor următoarele proprietăţi ale numărului de condiţionare al proprietăţi ale numărului de condiţionare al unei matrici
K(A)ge1K(A)ge1K(A)=K(A-1)K(cA)=K(A)(c ) ( )Numărul de condiţionare depinde de norma
considerată
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
Pentru matricele cu număr de condiţionare mare (matrice rău condiţionate) amplificarea erorilor din datele iniţiale este mare erorilor din datele iniţiale este mare indiferent de cacirct de exact sunt efectuate calculele justificacircnd variaţia relativă mare a
icircsoluţiilor icircn raport cu variaţia termenilor liberi
11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus
A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9
= = =A A A
1 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9 matricea Hilbert matricea Wilson matricea Rutishauser
minus
Metoda Gauss-JordanV t l b ti l tiVectorul b contine solutia
11
14
x =
218
x =
31x = minus3 8
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
In rezolvarea sistemelor de ecuaţii lineare anumite matrice (rău condiţionate) pot crea difi ltăţi icirc l ă i i i ţii l d t l dificultăţi icircn sensul că mici variaţii ale datelor pot produce mari variaţii icircn soluţii
Astfel dacă icircn sistemul de ecuaţiiAstfel dacă icircn sistemul de ecuaţii
1 2 3 410 7 8 7 32x x x xsdot + sdot + sdot + sdot =⎧⎪
1 2 3 4
1 2 3 47 5 6 5 238 6 10 9 33
x x x x⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎨ + + +⎪ 1 2 3 4
1 2 3 4
8 6 10 9 337 5 9 10 31
x x x xx x x x
⎨ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎩⎩
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
avacircnd soluţiile Se aplică termenilor liberi mici perturbaţii astfel icircncacirct
[ ]1 1 1 1Tx =p ţ
devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =
se obţin soluţiile noului sistem [ ]~ 92 126 45 11Tx = minus minus
Să considerăm sistemul de ecuaţii liniare şi sistemul perturbat
~ ~
~ A x bb b bδsdot =
= +~
b b bx x x
δ
δ
+
= +
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
( )1 1
A x x b b
A x b x A b x A b
δ δ
δ δ δ δ δ δminus minus
sdot + = +
= rArr = rArr le A x b x A b x A b
b A x b A x
δ δ δ δ δ δsdot = rArr = sdot rArr le sdot
= sdot rArr le sdot
1b x A A x bδ δminussdot le sdot sdot sdot
( )x b
K Aδ δ
le sdot( )x b
Numarul de conditionare al matricei 1( )K A A A minus= sdotNumarul de conditionare al matricei
care actioneaza ca un factor de amplificare a perturbarii solutiilordatorate variatiei termenilor liberi
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
O relaţie asemănătoare se obţine icircn cazul perturbării matricei coeficienţilor
( ) ( )A A x x bδ δ+ sdot + =1δ δ δ δ10A x A x x A A xδ δ δ δminussdot + sdot = rArr = minus sdot sdot
1x A A xδ δminusle sdot sdotx A A xδ δle
( )x A
K Aδ δ
le sdot( )K Ax A
le
Efectul perturbării coeficienţilor se regaseste p ţ gamplificat de K(A) ori in solutie
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
A xδ δsdotDacă icircn relaţiile anterioare nu se neglijează
termenul A xδ δsdotte e u
se obţine o majorare mai exactă de formase obţine o majorare mai exactă de forma
( ) AK A
δ( )K Ax A
Aδ
δ
sdotle
( )1Ax K A
Aδ
minus sdot
Dacă se consideră că numerele reale au mantisaDacă se consideră că numerele reale au mantisa reprezentată cu t cifre binare semnificative
2 2t tij ijA A A Aδ δminus minusle rArr le
( )12 2t tA A K Aδ minus minus minus ( )( )1
2 21 21 2
t
tt
A Ax K Ax K AA Aδ
minusminus minus
sdotle =
minusminus sdot
Se verifică relativ uşor următoarele proprietăţi ale numărului de condiţionare al proprietăţi ale numărului de condiţionare al unei matrici
K(A)ge1K(A)ge1K(A)=K(A-1)K(cA)=K(A)(c ) ( )Numărul de condiţionare depinde de norma
considerată
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
Pentru matricele cu număr de condiţionare mare (matrice rău condiţionate) amplificarea erorilor din datele iniţiale este mare erorilor din datele iniţiale este mare indiferent de cacirct de exact sunt efectuate calculele justificacircnd variaţia relativă mare a
icircsoluţiilor icircn raport cu variaţia termenilor liberi
11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus
A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9
= = =A A A
1 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9 matricea Hilbert matricea Wilson matricea Rutishauser
minus
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
In rezolvarea sistemelor de ecuaţii lineare anumite matrice (rău condiţionate) pot crea difi ltăţi icirc l ă i i i ţii l d t l dificultăţi icircn sensul că mici variaţii ale datelor pot produce mari variaţii icircn soluţii
Astfel dacă icircn sistemul de ecuaţiiAstfel dacă icircn sistemul de ecuaţii
1 2 3 410 7 8 7 32x x x xsdot + sdot + sdot + sdot =⎧⎪
1 2 3 4
1 2 3 47 5 6 5 238 6 10 9 33
x x x x⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎨ + + +⎪ 1 2 3 4
1 2 3 4
8 6 10 9 337 5 9 10 31
x x x xx x x x
⎨ sdot + sdot + sdot + sdot =⎪⎪ sdot + sdot + sdot + sdot =⎩⎩
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
avacircnd soluţiile Se aplică termenilor liberi mici perturbaţii astfel icircncacirct
[ ]1 1 1 1Tx =p ţ
devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =
se obţin soluţiile noului sistem [ ]~ 92 126 45 11Tx = minus minus
Să considerăm sistemul de ecuaţii liniare şi sistemul perturbat
~ ~
~ A x bb b bδsdot =
= +~
b b bx x x
δ
δ
+
= +
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
( )1 1
A x x b b
A x b x A b x A b
δ δ
δ δ δ δ δ δminus minus
sdot + = +
= rArr = rArr le A x b x A b x A b
b A x b A x
δ δ δ δ δ δsdot = rArr = sdot rArr le sdot
= sdot rArr le sdot
1b x A A x bδ δminussdot le sdot sdot sdot
( )x b
K Aδ δ
le sdot( )x b
Numarul de conditionare al matricei 1( )K A A A minus= sdotNumarul de conditionare al matricei
care actioneaza ca un factor de amplificare a perturbarii solutiilordatorate variatiei termenilor liberi
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
O relaţie asemănătoare se obţine icircn cazul perturbării matricei coeficienţilor
( ) ( )A A x x bδ δ+ sdot + =1δ δ δ δ10A x A x x A A xδ δ δ δminussdot + sdot = rArr = minus sdot sdot
1x A A xδ δminusle sdot sdotx A A xδ δle
( )x A
K Aδ δ
le sdot( )K Ax A
le
Efectul perturbării coeficienţilor se regaseste p ţ gamplificat de K(A) ori in solutie
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
A xδ δsdotDacă icircn relaţiile anterioare nu se neglijează
termenul A xδ δsdotte e u
se obţine o majorare mai exactă de formase obţine o majorare mai exactă de forma
( ) AK A
δ( )K Ax A
Aδ
δ
sdotle
( )1Ax K A
Aδ
minus sdot
Dacă se consideră că numerele reale au mantisaDacă se consideră că numerele reale au mantisa reprezentată cu t cifre binare semnificative
2 2t tij ijA A A Aδ δminus minusle rArr le
( )12 2t tA A K Aδ minus minus minus ( )( )1
2 21 21 2
t
tt
A Ax K Ax K AA Aδ
minusminus minus
sdotle =
minusminus sdot
Se verifică relativ uşor următoarele proprietăţi ale numărului de condiţionare al proprietăţi ale numărului de condiţionare al unei matrici
K(A)ge1K(A)ge1K(A)=K(A-1)K(cA)=K(A)(c ) ( )Numărul de condiţionare depinde de norma
considerată
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
Pentru matricele cu număr de condiţionare mare (matrice rău condiţionate) amplificarea erorilor din datele iniţiale este mare erorilor din datele iniţiale este mare indiferent de cacirct de exact sunt efectuate calculele justificacircnd variaţia relativă mare a
icircsoluţiilor icircn raport cu variaţia termenilor liberi
11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus
A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9
= = =A A A
1 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9 matricea Hilbert matricea Wilson matricea Rutishauser
minus
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
avacircnd soluţiile Se aplică termenilor liberi mici perturbaţii astfel icircncacirct
[ ]1 1 1 1Tx =p ţ
devin [ ]~ 321 229 331 309Tb =
se obţin soluţiile noului sistem [ ]~ 92 126 45 11Tx = minus minus
Să considerăm sistemul de ecuaţii liniare şi sistemul perturbat
~ ~
~ A x bb b bδsdot =
= +~
b b bx x x
δ
δ
+
= +
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
( )1 1
A x x b b
A x b x A b x A b
δ δ
δ δ δ δ δ δminus minus
sdot + = +
= rArr = rArr le A x b x A b x A b
b A x b A x
δ δ δ δ δ δsdot = rArr = sdot rArr le sdot
= sdot rArr le sdot
1b x A A x bδ δminussdot le sdot sdot sdot
( )x b
K Aδ δ
le sdot( )x b
Numarul de conditionare al matricei 1( )K A A A minus= sdotNumarul de conditionare al matricei
care actioneaza ca un factor de amplificare a perturbarii solutiilordatorate variatiei termenilor liberi
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
O relaţie asemănătoare se obţine icircn cazul perturbării matricei coeficienţilor
( ) ( )A A x x bδ δ+ sdot + =1δ δ δ δ10A x A x x A A xδ δ δ δminussdot + sdot = rArr = minus sdot sdot
1x A A xδ δminusle sdot sdotx A A xδ δle
( )x A
K Aδ δ
le sdot( )K Ax A
le
Efectul perturbării coeficienţilor se regaseste p ţ gamplificat de K(A) ori in solutie
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
A xδ δsdotDacă icircn relaţiile anterioare nu se neglijează
termenul A xδ δsdotte e u
se obţine o majorare mai exactă de formase obţine o majorare mai exactă de forma
( ) AK A
δ( )K Ax A
Aδ
δ
sdotle
( )1Ax K A
Aδ
minus sdot
Dacă se consideră că numerele reale au mantisaDacă se consideră că numerele reale au mantisa reprezentată cu t cifre binare semnificative
2 2t tij ijA A A Aδ δminus minusle rArr le
( )12 2t tA A K Aδ minus minus minus ( )( )1
2 21 21 2
t
tt
A Ax K Ax K AA Aδ
minusminus minus
sdotle =
minusminus sdot
Se verifică relativ uşor următoarele proprietăţi ale numărului de condiţionare al proprietăţi ale numărului de condiţionare al unei matrici
K(A)ge1K(A)ge1K(A)=K(A-1)K(cA)=K(A)(c ) ( )Numărul de condiţionare depinde de norma
considerată
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
Pentru matricele cu număr de condiţionare mare (matrice rău condiţionate) amplificarea erorilor din datele iniţiale este mare erorilor din datele iniţiale este mare indiferent de cacirct de exact sunt efectuate calculele justificacircnd variaţia relativă mare a
icircsoluţiilor icircn raport cu variaţia termenilor liberi
11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus
A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9
= = =A A A
1 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9 matricea Hilbert matricea Wilson matricea Rutishauser
minus
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
( )1 1
A x x b b
A x b x A b x A b
δ δ
δ δ δ δ δ δminus minus
sdot + = +
= rArr = rArr le A x b x A b x A b
b A x b A x
δ δ δ δ δ δsdot = rArr = sdot rArr le sdot
= sdot rArr le sdot
1b x A A x bδ δminussdot le sdot sdot sdot
( )x b
K Aδ δ
le sdot( )x b
Numarul de conditionare al matricei 1( )K A A A minus= sdotNumarul de conditionare al matricei
care actioneaza ca un factor de amplificare a perturbarii solutiilordatorate variatiei termenilor liberi
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
O relaţie asemănătoare se obţine icircn cazul perturbării matricei coeficienţilor
( ) ( )A A x x bδ δ+ sdot + =1δ δ δ δ10A x A x x A A xδ δ δ δminussdot + sdot = rArr = minus sdot sdot
1x A A xδ δminusle sdot sdotx A A xδ δle
( )x A
K Aδ δ
le sdot( )K Ax A
le
Efectul perturbării coeficienţilor se regaseste p ţ gamplificat de K(A) ori in solutie
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
A xδ δsdotDacă icircn relaţiile anterioare nu se neglijează
termenul A xδ δsdotte e u
se obţine o majorare mai exactă de formase obţine o majorare mai exactă de forma
( ) AK A
δ( )K Ax A
Aδ
δ
sdotle
( )1Ax K A
Aδ
minus sdot
Dacă se consideră că numerele reale au mantisaDacă se consideră că numerele reale au mantisa reprezentată cu t cifre binare semnificative
2 2t tij ijA A A Aδ δminus minusle rArr le
( )12 2t tA A K Aδ minus minus minus ( )( )1
2 21 21 2
t
tt
A Ax K Ax K AA Aδ
minusminus minus
sdotle =
minusminus sdot
Se verifică relativ uşor următoarele proprietăţi ale numărului de condiţionare al proprietăţi ale numărului de condiţionare al unei matrici
K(A)ge1K(A)ge1K(A)=K(A-1)K(cA)=K(A)(c ) ( )Numărul de condiţionare depinde de norma
considerată
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
Pentru matricele cu număr de condiţionare mare (matrice rău condiţionate) amplificarea erorilor din datele iniţiale este mare erorilor din datele iniţiale este mare indiferent de cacirct de exact sunt efectuate calculele justificacircnd variaţia relativă mare a
icircsoluţiilor icircn raport cu variaţia termenilor liberi
11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus
A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9
= = =A A A
1 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9 matricea Hilbert matricea Wilson matricea Rutishauser
minus
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
O relaţie asemănătoare se obţine icircn cazul perturbării matricei coeficienţilor
( ) ( )A A x x bδ δ+ sdot + =1δ δ δ δ10A x A x x A A xδ δ δ δminussdot + sdot = rArr = minus sdot sdot
1x A A xδ δminusle sdot sdotx A A xδ δle
( )x A
K Aδ δ
le sdot( )K Ax A
le
Efectul perturbării coeficienţilor se regaseste p ţ gamplificat de K(A) ori in solutie
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
A xδ δsdotDacă icircn relaţiile anterioare nu se neglijează
termenul A xδ δsdotte e u
se obţine o majorare mai exactă de formase obţine o majorare mai exactă de forma
( ) AK A
δ( )K Ax A
Aδ
δ
sdotle
( )1Ax K A
Aδ
minus sdot
Dacă se consideră că numerele reale au mantisaDacă se consideră că numerele reale au mantisa reprezentată cu t cifre binare semnificative
2 2t tij ijA A A Aδ δminus minusle rArr le
( )12 2t tA A K Aδ minus minus minus ( )( )1
2 21 21 2
t
tt
A Ax K Ax K AA Aδ
minusminus minus
sdotle =
minusminus sdot
Se verifică relativ uşor următoarele proprietăţi ale numărului de condiţionare al proprietăţi ale numărului de condiţionare al unei matrici
K(A)ge1K(A)ge1K(A)=K(A-1)K(cA)=K(A)(c ) ( )Numărul de condiţionare depinde de norma
considerată
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
Pentru matricele cu număr de condiţionare mare (matrice rău condiţionate) amplificarea erorilor din datele iniţiale este mare erorilor din datele iniţiale este mare indiferent de cacirct de exact sunt efectuate calculele justificacircnd variaţia relativă mare a
icircsoluţiilor icircn raport cu variaţia termenilor liberi
11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus
A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9
= = =A A A
1 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9 matricea Hilbert matricea Wilson matricea Rutishauser
minus
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
A xδ δsdotDacă icircn relaţiile anterioare nu se neglijează
termenul A xδ δsdotte e u
se obţine o majorare mai exactă de formase obţine o majorare mai exactă de forma
( ) AK A
δ( )K Ax A
Aδ
δ
sdotle
( )1Ax K A
Aδ
minus sdot
Dacă se consideră că numerele reale au mantisaDacă se consideră că numerele reale au mantisa reprezentată cu t cifre binare semnificative
2 2t tij ijA A A Aδ δminus minusle rArr le
( )12 2t tA A K Aδ minus minus minus ( )( )1
2 21 21 2
t
tt
A Ax K Ax K AA Aδ
minusminus minus
sdotle =
minusminus sdot
Se verifică relativ uşor următoarele proprietăţi ale numărului de condiţionare al proprietăţi ale numărului de condiţionare al unei matrici
K(A)ge1K(A)ge1K(A)=K(A-1)K(cA)=K(A)(c ) ( )Numărul de condiţionare depinde de norma
considerată
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
Pentru matricele cu număr de condiţionare mare (matrice rău condiţionate) amplificarea erorilor din datele iniţiale este mare erorilor din datele iniţiale este mare indiferent de cacirct de exact sunt efectuate calculele justificacircnd variaţia relativă mare a
icircsoluţiilor icircn raport cu variaţia termenilor liberi
11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus
A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9
= = =A A A
1 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9 matricea Hilbert matricea Wilson matricea Rutishauser
minus
Dacă se consideră că numerele reale au mantisaDacă se consideră că numerele reale au mantisa reprezentată cu t cifre binare semnificative
2 2t tij ijA A A Aδ δminus minusle rArr le
( )12 2t tA A K Aδ minus minus minus ( )( )1
2 21 21 2
t
tt
A Ax K Ax K AA Aδ
minusminus minus
sdotle =
minusminus sdot
Se verifică relativ uşor următoarele proprietăţi ale numărului de condiţionare al proprietăţi ale numărului de condiţionare al unei matrici
K(A)ge1K(A)ge1K(A)=K(A-1)K(cA)=K(A)(c ) ( )Numărul de condiţionare depinde de norma
considerată
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
Pentru matricele cu număr de condiţionare mare (matrice rău condiţionate) amplificarea erorilor din datele iniţiale este mare erorilor din datele iniţiale este mare indiferent de cacirct de exact sunt efectuate calculele justificacircnd variaţia relativă mare a
icircsoluţiilor icircn raport cu variaţia termenilor liberi
11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus
A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9
= = =A A A
1 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9 matricea Hilbert matricea Wilson matricea Rutishauser
minus
Propagarea erorilor in rezolvarea p gsistemelor de ecuatii lineare
Pentru matricele cu număr de condiţionare mare (matrice rău condiţionate) amplificarea erorilor din datele iniţiale este mare erorilor din datele iniţiale este mare indiferent de cacirct de exact sunt efectuate calculele justificacircnd variaţia relativă mare a
icircsoluţiilor icircn raport cu variaţia termenilor liberi
11 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 011 1 2 13 1 4 5 7 6 5 10 1 4 01 2 13 1 4 15 7 10 8 7 1 10 5 1minus
A A A13 1 4 15 16 6 8 10 9 4 5 10 71 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9
= = =A A A
1 4 15 16 17 5 7 9 10 0 1 7 9 matricea Hilbert matricea Wilson matricea Rutishauser
minus