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1
第12章 微分と全微分
dxxfdyxfy )()( ′==
),( yxfz =
dyyzdx
xzdyfdxfdz yx ∂
∂+
∂∂
=+=
221121 ),( dxfdxfdyxxfy +==全微分
2
全微分
3
全微分と接平面
)0,0(),(),( == yxyxfz
dyfdxfdz yx )0,0()0,0( +=
は直交と )1),0,0(),0,0(( ),,( −yx ffdzdydx
)1),0,0(),0,0(( ),,(
−yx ffdzdydx
法線ベクトル
の表す平面の
4
偏微分可能性と全微分可能性
|}||,min{|),( yxyxfz ==
0),0(,0)0,( == yfxf
0)0,0(,0)0,0( == yx ff
(0,0)で偏微分可能
5
(0,0)で全微分不可能
|}||,min{|),(
yxyxfz
==
6
連続微分可能性
f(x1,x2)の各偏導関数f1(x1,x2) , f2(x1,x2)が連続⇔ f(x1,x2)は連続微分可能(C1級)
f(x1,x2)は連続微分可能⇒ f(x1,x2)は全微分可能
7
高次(n回)連続微分可能性
f(x1,x2)の各2次偏導関数f11 , f12 , f21 , f22が連続⇔ f(x1,x2)は2回連続微分可能(C2級)
f(x1,x2)は2回連続微分可能⇒ f12 =f21
f(x1,x2)のすべてのn次偏導関数が連続⇔ f(x1,x2)はn回連続微分可能(Cn級)
f(x1,x2)はn回連続微分可能⇒ n次以下の偏導関数は偏微分の順序に無関係
Youngの定理
8
2変数関数の合成関数の微分
)()(),( tyytxxyxfz ===
の関数ttFtytxfz )())(),(( ==
dtdyf
dtdxf
dtdztF yx +==′ )(
dtdy
yf
dtdx
xf
∂∂
+∂∂
=チェインルール
9
2要素投入生産関数
),( LKFQ =
資本投入量K生産量Q労働投入量L
LKQ ⋅= 2
10
限界生産力
KLKFLKFMP KK ∂
∂==
),(),(資本の限界生産力 MPK
労働の限界生産力 MPL
LLKFLKFMP LL ∂
∂==
),(),(
のときLKQ ⋅= 2
LKMP
KLMP LK == ,
11
コブ・ダグラス型生産関数
コブ・ダグラス型生産関数
βα LAKLKF =),( 0,, >βαA
資本の限界生産力βαα LAKLKFK
1),( −=労働の限界生産力
1),( −= βαβ LAKLKFL
12
CES型生産関数
CES型生産関数ρθθ βα )(),( LKALKF += 0,,,, >ρθβαA
資本の限界生産力
11)(),( −−+= θρθθ βααθρ KLKALKFK
労働の限界生産力11)(),( −−+= θρθθ βαβθρ LLKALKFL
13
問題演習
限界生産力逓減の法則が成り立つ条件を求めよ。
βα LAKLKF =),(コブ・ダグラス型生産関数
0,, >βαA
資本の限界生産力の資本についての偏導関数
βααα LAKLKFKK2)1(),( −−=
0)1(0),( <−⇔< ααLKFKK
10 <<⇔ α
14
問題演習CES型生産関数
ρθθ βα )(),( LKALKF += 0,,,, >ρθβαA
資本の限界生産力の資本についての偏導関数
))1()1(()(
),(22 θθθρθθ θβθραβααθρ LKKLKA
LKFKK
−+−+
=−−
どのようなK,Lについても
0),( <LKFKK
)1,1( )1,1( <≤≤<⇔ θθρθθρ または
15
規模に関する収穫法則
F(K,L)が規模に関して
1),(),( >∀>⇔ λλλλ LKFLKF収穫逓増
収穫一定
収穫逓減
1),(),( >∀=⇔ λλλλ LKFLKF1),(),( >∀<⇔ λλλλ LKFLKF
16
同次関数
関数y=f(x1,x2)がn次同次関数),(0),(),( 212121 xxxxfxxf n ∀>∀=⇔ λλλλ
のときLKLKFQ ⋅== 2),(
),(22),( LKFLKLKLKF λλλλλλ =⋅=⋅=
1次同次関数
17
規模に関する収穫法則と同次生産関数
収穫逓増⇔> 1n
Q=F(K,L)がn次同次関数であり、n>1であれば1),(),(),( >∀>= λλλλλ LKFLKFLKF n
収穫一定⇔= 1n収穫逓減⇔< 1n
18
規模に関する収穫法則とコブ・ダグラス型生産関数
コブ・ダグラス型生産関数
βα LAKLKF =),( 0,, >βαA
),()()(),( LKFLKALKF βαβα λλλλλ +==
収穫逓増⇔>+ 1βα収穫一定⇔=+ 1βα収穫逓減⇔<+ 1βα
次同次)( βα +
19
規模に関する収穫法則とCES型生産関数
CES型生産関数ρθθ βα )(),( LKALKF += 0,,,, >ρθβαA
ρθθ λβλαλλ ))()((),( LKALKF +=ρθθθρρθθθθ βαλβλαλ )()( LKALKA +=+=
次同次θρ
収穫逓増⇔> 1θρ収穫一定⇔= 1θρ収穫逓減⇔< 1θρ
),( LKFθρλ=
20
CES生産関数の特殊例① のとき
線形の生産関数
② として のとき
コブ=ダグラス型生産関数
1== ρθ
ρθ 1= 0→θ
LAKALKF βα +=),(
βα LAKLKF =),(
bLaK +=
21
③ として のとき
レオンチェフ型生産関数
−∞→θ
},min{ ),( LKALKF =
ρθ 1=
22
補論 レオンチェフ型生産関数
>=<
=
=
LKL
LKK
LKK
LK aLaKifaLaLaKifaKaLaKifaK
aL
aKQ
,min
微分可能でない
QLa
QKa
aL
aKQ LK
LK
==== ,
資本投入量を一定K0にしたときの生産関数は?
23
Q
KaK0
000 K
aaL
K
L= L
24
L
Q0<Q1
aL/aK
Q=Q1
L0 Q=Q0
0 KK0
25
x2
y=f(x1,x2)
等量曲線
y0
y
x1
26
x2
y0<y1
dy=f1(x10,x2
0)dx1+f2(x10,x2
0)dx2
x10
x20
y=y1
y=y0
0 x1
27
x2
y=f(x10,x2)
x10
y
x1
28
yy=f(x1
1,x2)
0 x2
x10<x1
1
y=f(x10,x2)
29
y
x2
y=f(x1,x20)
x20
x1
30
y x20<x2
1
y=f(x1,x21)
0 x1
y=f(x1,x20)
y=f1(x10,x2
0)
x10