河川工学第７回

流砂と河床変動２

中間まとめ試験

７月12日 10:20～11:50

D31

試験範囲：6月１４日分まで

河床変動とは？①

漢字の特徴（表意文字、表語文字）

河川内の砂礫（土砂）が移動し、

時間的に河床高が変動する現象

河床が変動すること

なぜ河床変動は発生するのか？

02/32

河床変動とは？②03/32

流れる砂の量は流れの速さにほぼ比例

流れの速さ 多く動く

流水から受ける力により河床の砂礫（土砂）が移動するから

なぜ河床変動は発生するのか？①

少し動く

流れる砂の量

移動限界

河床変動とは？③04/32

場所ごとに土砂の移動量が異なるから

なぜ河床変動は発生するのか？②

その場所から出ていく砂 その場所に入る砂

その場所から出ていく砂 その場所に入る砂

浸食

堆積

遅い流れ 速い流れ

遅い流れ速い流れ

＞

＜

河床変動の規模①08/32

河川の河床変動のスケールと支配因子

大規模河床変動

中規模河床変動

小規模河床変動

に分類できる

河床変動の規模②09/32

大規模河床変動

空間スケール：河道縦断形状時間スケール：年単位

基本的に流下方向の流れに強く関連

河床変動の規模③10/32

中規模河床変動

空間スケール：川幅スケール時間スケール：数洪水

①

②

③

河川構造物によって局所的な流れが発生する場所（橋脚周辺や堰下流部など）

河道形状（平面・横断形状）によって局所的な流れが発生する場所（弯曲部など）

中規模河床形態（砂州）によって局所的な流れが発生する場所

河床変動の規模④11/32

中規模河床変動河川構造物によって局所的な流れが発生する場所（橋脚周辺や堰下流部など）

①

橋脚周辺の河床変動* 砂防堰堤下流の河床変動

*http://www.geocities.jp/fukadasoft/bridges/tonegawa/index3.html

② 河道形状（平面・横断形状）によって局所的な流れが発生する場所（弯曲部など）

河床変動の規模⑤12/32

中規模河床変動

③ 中規模道河床形態（砂州）によって局所的な流れが発生する場所

河床変動の規模⑥13/32

中規模河床変動

*http://www.cgr.mlit.go.jp/izumokasen/

河床変動の規模⑦14/32

小規模河床変動（河床波）

空間スケール：水深や粒径時間スケール：１洪水内

動画：斐伊川の河床波を見てみよう*http://www.kasen.net/pref/23aichi/aiduma/ishigase/d000911/

**http://www.eng.hokudai.ac.jp/labo/kasen/researchJ.html

実験水路における河床波* 実河川の河床波**

河床変動の伝わり方①18/23

常流

常流と射流で河床変動は違う！

流れ

たとえば、河床に凸部があったとすると…

射流

下流に伝わる 上流に伝わる

まずは動画を見てみよう！

河床変動の伝わり方②19/23

常流と射流における河床波

砂堆：水面形状と河床形状は逆位相

水面形状と河床形状は同位相反砂堆：

常流

射流

河床変動の伝わり方③20/23

常流での砂の移動（砂堆）

流れ

河床波の前面では渦が発生している

斜面上を上ってきた砂粒は、河床波の前面に落ちる（堆積する）

河床波は下流側に移動しているように見える

河床変動の伝わり方④21/23

射流での砂の移動（反砂堆）

流れ

基本的に流れはどこも同じ

砂粒は、上り斜面だと転がりにくく、下り斜面だと転がりやすい（重力の影響）

河床波は上流側に移動しているように見える

流砂に関する基本的事項①20/32

掃流力（河床せん断力） 摩擦速度

無次元掃流力 無次元限界掃流力

今から出てくる専門用語

0 *u

* c*

河床変動を知る上で重要な用語を知ろう！

流砂に関する基本的事項②21/32

掃流力(河床せん断力)：τ0

流れによって河川の潤辺に働く単位面積当たりの力（せん断力）

この力は河床の砂礫を下流に押し流そうとするので掃流力と呼ばれる

0

等流状態での τ0 を考えてみよう

流砂に関する基本的事項③22/32

等流状態の流れ

河床勾配 ib

長さ L の区間を考える

L 区間の水塊の体積 Vt は… Vt = A × L

L区間の水塊の重量 W は…

W = ρ × g × Vt = ρ × g × A × L

流水断面積 A

潤辺 S

L

Wx

W Sib

T A

x

掃流力 τ0 を考える

流砂に関する基本的事項④23/32

掃流力 τ0 を考えるL

Wx

W Sib

T A

x

L区間の水塊の重量 W

W = ρgAL

L区間の水塊の斜面方向の重量 Wx は…

Wx = W × ib = ρgAL × ib

L区間の潤辺 S にかかる全せん断力 T は…

T = τ0 × S × L

等流状態ではWxとTが釣り合っている！

流砂に関する基本的事項⑤24/32

掃流力 τ0 を考える

等流状態ではWxとTが釣り合っている！

L

Wx

W Sib

T A

x

ρgALib = τ0SL

Wx = T

biS

Ag 0

河床勾配 ibの代わりにエネルギー勾配 ie を用いて…

不等流の場合

ee ghigRi 0

bgRi

（広幅）

流砂に関する基本的事項⑥25/32

摩擦速度 u* を考える

掃流力 τ0 を流速の次元で次のように定義したものを摩擦速度 u* という

eee ghigRi

gRiu

0*

掃流力 τ0 は摩擦速度 u* を用いて…2

*0 u と表すこともできる

（広幅）

流砂に関する基本的事項⑦26/32

無次元掃流力 τ* を考える

河床変動・流砂を考えるうえで極めて重要な無次元量

摩擦速度u*を無次元表示したもの

sgd

u2

**

s：砂粒の水中比重（= ρ/ρs – 1）

ρs：砂粒の密度（≒2650 kg/m3）

d：砂粒の粒径

このτ*がある限界のτ*よりも大きくなると土砂が移動を開始する

流砂に関する基本的事項⑧27/32

τ*がある限界のτ*よりも大きくなると土砂が移動を開始する

ある限界のτ*を無次元限界掃流力 τ*c

無次元掃流力 τ*

流れる砂の量

ある限界のτ*

sgd

u cc

2

**

u*c：限界摩擦速度

u*cが分かればτ*cを求められる！

流砂に関する基本的事項⑨28/32

d ≧ 0.303 cm：

0.118 ≦ d ≦ 0.303 cm：

0.0565 ≦ d ≦ 0.118 cm：

0.0065 ≦ d ≦ 0.0565 cm：

d ≦ 0.0065 cm：

2

*cu = 80.9d

= 134.6d31/22

= 55.0d

= 8.41d11/22

= 226d

u*c（限界摩擦速度）をどのように求めるか？

岩垣の式から求める！（cm-sec単位）

岩垣雄一：限界掃流力の流体力学的研究，土木学会論文集，第41号，pp.1-21，1956．

※単位に気を付けよう！重力加速度g=980cm/s2を使用

dが既知 u*cが分かる τ*cが分かる！

流砂に関する基本的事項⑩29/32

河床砂が動くか動かないかを考える

等流状態を仮定，広幅を仮定

河床勾配 ib

川幅 B

ある流量 Q に対して…

等流水深：

河床砂の粒径 d

マニングの粗度係数 n

既知の条件

B

n，d

Q

ib5

3

0

biB

nQh

流砂に関する基本的事項⑪30/32

河床砂が動くか動かないかを考える

粒径 d が分かっているので…

無次元限界掃流力：

判定τ* ＞ τ*c：τ* ≦ τ*c：

摩擦速度：

無次元掃流力：

bighu 0*

sgd

u2

**

等流水深 h0 わかると…

限界摩擦速度： cu*（岩垣式）

sgd

u cc

2

**

河床砂は動く

河床砂は動かない

演習：問題32/32

B

n，d

Q

ib

川幅B = 200 m、河床勾配ib = 1/500、マニングの粗度係数n = 0.03の広幅な河川に、流量Q = 1000

m3/sの流れが等流状態で流れている。河床砂の粒径はd = 5 mmであった。このとき、河床砂は動くでしょうか？

5

3

0

biB

nQh

bighu 0*

sgd

u2

**

cu*（岩垣式）

sgd

u cc

2

**

流砂の連続式①10/23

0

1

1

Bq

xBt

zB

t：時間、x：流下方向軸、z：河床高、λ：河床の空隙率(= 0.04)、B：川幅、qB：単位幅掃流砂量（芦田・

道上式とか）

流砂の連続式を考えてみよう！

水平基準面 xz

λ

QB = qB×B

流砂の連続式②11/23

基準面 x

z1 λ

①断面 ②断面

z2Δx

QB1 QB2

２つの断面①と②で、Δt 時間での土砂の出入

り（収支）を考える

①断面の掃流砂量はQB1 (= qB1×B)

②断面の掃流砂量はQB2 (= qB2×B)

Δt 時間の間に、Δx の範囲で、河床高が Δz上昇したと考える

Δz

流砂の連続式③12/23

基準面 x

z1 λ

①断面 ②断面

z2Δx

QB1 QB2

Δz

Δt 時間の間に①断面を通過した土砂量

QB1×Δt

Δt 時間でΔx の範囲に堆積した空隙を除いた土砂量

tQtQ BB 21

QB2×Δt

Δt 時間で河床高がΔz上昇した

堆積 tQB 1 tQB 2

Δt 時間の間に②断面を通過した土砂量

＞

・・・(１)

流砂の連続式④13/23

基準面 x

z1 λ

①断面 ②断面

z2Δx

QB1 QB2

Δz

Δx × Δz × B

Δt 時間の間に堆積した土砂量

ただし、この量は空隙を含んだ量

QB1 や QB2 は空隙を含んでいない

Δt 時間で堆積した正味の土砂量

Δz

z

1z

Δx Δx

1Bzx

・・・(２)

流砂の連続式⑤14/23

Δt 時間でΔx の範囲に堆積した空隙を除いた土砂量

tQtQ BB 21 ・・・(１)

Δt 時間で堆積した正味の土砂量

1Bzx ・・・(２)

(１)と(２)の量が等しい！

tQtQBzx BB 211

x

QQ

Bt

z BB

21

1

1

変形

流砂の連続式⑥15/23

x

QQ

Bt

z BB

21

1

1

0

1

1 12

x

QQ

Bt

z BB

0

1

1

x

Q

Bt

z B

0

1

1

x

Q

Bt

z B

01

1

x

Bq

Bt

z B

右辺を左辺に移行

②断面と①断面との差はΔで表現 たとえば、

Δx = x2 − x1

Δを小さく

して極限にQB = qB×B だから

流砂の連続式：一様粒径の掃流砂のみ

流砂の連続式⑦16/23

01

1

x

Bq

Bt

z B

流砂の連続式：

おさらい

02

1342

222

RA

Qn

A

Q

dx

d

gdx

dH

掃流砂量式：

不等流の基礎式：

323

1117 sgdu

uq cc

eB

たとえば

芦田・道上式

これらの式を使って河床変動を計算する

河床変動を予測するためには①02/24

流水から受ける力により河床の砂礫（土砂）が移動するから

なぜ河床変動は発生するのか？

流水から受ける力（掃流力）を求める必要がある

河床の砂礫の大きさ（粒度分布）などは事前に調査しておく必要がある

03/24

流れを予測しなければ河床変動は予測できない

流れの予測モデルに大きく影響される

掃流力を求める

流れがきちんと予測できていなければ河床変動も精度よく予測できない

河床変動を予測するためには②

04/24

河床変動を予測するためには③

流れ場の計算

河床変動の計算

河床変動計算の仕組み

河川の形状（勾配、川幅、粗度係数、粒径など）が分かっている

流量が与えられる

τ*，qb

などを計算

新たな河床形状

実際には流量も時々刻々変化する

05/24

河床変動を予測するためには④

流れ場の計算

河床変動の計算

τ*などを計算

新たな河床形状

河床変動計算の仕組み

02

1342

222

RA

Qn

A

Q

dx

d

gdx

dH

0

1

1

Bq

xBt

zb

これまで勉強した内容から…

流れ場の計算：

河床変動の計算：

内 容06/24

河床変動を予測するためには～河床変動の計算方法～

流れと河床変動の数値シミュレーションモデル

河床変動計算の問題点

x

y

z

07/24

数値シミュレーションモデル①

河床変動モデルは２種類

x

z１次元河床変動モデル

２次元河床変動モデル

流下方向（x方向）のみの河床高の変動を予測する

平面的な（x方向，y方向）河床高の変動を予測する

流下方向（x方向）の流れが分かればよい

平面的な（x方向，y方向）流れが必要

08/24

数値シミュレーションモデル②

流下方向（x方向）の流れ：u

横断方向（y方向）の流れ：v

鉛直方向（z方向）の流れ：w

・３次元モデル（u, v, w, pを全て解く）

・準３次元モデル（u, v, wを解く）

・平面２次元モデル（u, vの水深平均値を解く）

・準２次元モデル（uの水深平均値を解く）

・１次元モデル（uの断面平均値を解く）

u

v

w

x

z

yflow

0

u

v

w

x

z

yflow

0

流れのモデルは基本的に３種類

09/24

数値シミュレーションモデル③

河床変動モデル 流れの計算モデル

１次元河床変動モデル１次元モデル

準２次元モデル

２次元河床変動モデル

平面２次元モデル

準３次元モデル

３次元モデル

整理すると…

x

h

z

u

10/24

数値シミュレーションモデル④１次元河床変動モデル ＋ １次元モデル

長距離・長期間の計算が可能（数十km、年）

弯曲部などの平面的な河床変動は計算できない

長所

短所

基礎方程式等が容易に理解しやすい

断面平均流速 u

計算で求まる諸量

流水断面積(水深) A, h

流下方向の河床高 zb

河川流下方向のみにメッシュを切る

準２次元：１次元モデルを河川横断方向に並べる

x

, h1

z

u1

u2

u3

, h2

, h3

11/24

数値シミュレーションモデル⑤１次元モデルによる１次元河床変動(１)

河川狭窄部の１次元河床変動計算

Flow

25m 25m25m

400m200m上流 下流中央

平坦な河床に流量3,000 m3/sの一定流量を流した場合

一様粒径2mm

12/24

数値シミュレーションモデル⑥１次元モデルによる１次元河床変動(２)

河床変動前後の水面形に注目！

13/24

数値シミュレーションモデル⑦１次元モデルによる１次元河床変動(３)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

狭窄部下流

狭窄部中央

狭窄部上流

河床低下量

(m)

時間 (hr)

各ポイントにおける河床低下量の時間変化

平面的な河床の変動状況までは分からない

14/24

数値シミュレーションモデル⑧２次元河床変動モデル＋２次元モデル

x

y

z

u

v

比較的長距離・長期間の計算が可能（十数km）

構造物周辺の局所洗掘現象は再現が困難

河川弯曲部の河床変動はある程度再現可能

平面的な流況・河床変動が計算可能

長所

短所

水深平均流速 u, v

計算で求まる諸量

各地点の水深 h

各地点の河床高 zb

河川縦断・横断方向にメッシュを切る

15/24

数値シミュレーションモデル⑨２次元モデルによる２次元河床変動(１)

兵庫県

矢田川流域

矢田川

60000 40002000

弁天岩(淵)

N

S

EW

流路延長：約38km

流域面積：約277km2

入江ダム

水位局香住

m

弁天岩

椎ヶ淵弁天淵

1976年

大野井堰

砂州の形成

2012年

弁天淵の消失

井堰の有無による２次元河床変動計算

16/24

数値シミュレーションモデル⑩２次元モデルによる２次元河床変動(１)

井堰を撤去井堰を考慮

17/24

数値シミュレーションモデル⑪２次元モデルによる２次元河床変動(１)

V (m/s)

弁天岩

椎ヶ淵

大野井堰

V (m/s)

弁天岩

椎ヶ淵

河床変動後の流れ

井堰を撤去井堰を考慮

平面的な流れ・河床変動を把握できる

18/24

数値シミュレーションモデル⑫２次元河床変動モデル＋３次元モデル

x

y

z

u

vw

p

構造物周辺の詳細な流れまで再現可能

計算時間・計算容量が膨大になる

長距離・長期間の計算は困難（数百m程度まで）

局所的な河床変動（局所洗掘現象）が再現可能

平面的な河床変動計算が可能

長所

短所

ある点の流速 u, v, w

計算で求まる諸量

各地点の水深 h

各地点の河床高 zb

縦断・横断・鉛直方向にメッシュを切る

ある点の圧力 p

19/24

数値シミュレーションモデル⑬３次元モデルによる２次元河床変動(１)

越流型水制周辺の局所洗掘

-40-20

020

4060

80100

010

2030

40

-10

-5

0

5

-1

0

1

2

-2

-2

-3

-1

0

0

-10 -5 -1

-3-5

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

z (cm)

zb (cm)

水路勾配 I 1/2,500

水制高 (cm) 5

水制長 (cm) 10

水制幅 (cm) 1.5

一定流量 Q (l/s) 14.5

下流端水深 ht (cm) 10.0

河床砂の粒径 d (cm) 0.075

マニングの粗度係数 n 0.014

平衡状態における河床形状(実験)

実験条件

水制

20/24

数値シミュレーションモデル⑭３次元モデルによる２次元河床変動(２)

水制

21/24

数値シミュレーションモデル⑮３次元モデルによる２次元河床変動(３)

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-15

-10

-5

0

5

10

15

x (cm)

z(c

m)

50 cm/s

0 200-200

40

0

Flow

水制

Unit : cm

A A

A A

縦断方向の流れの様子

22/24

数値シミュレーションモデル⑯３次元モデルによる２次元河床変動(４)

010203040 y (cm)

20 cm/s

010203040 y (cm)

20 cm/s

010203040 y (cm)

20 cm/s

200-200

40

0

Flow

Unit : cm

A B C

A B C

-15

-10

10

-5

5

0

15z (cm)

A B C

３次元的な流れ・平面的な河床変動が分かる

横断方向の流れの様子

B = 200m ib = 1/500 n = 0.03 Q = 1,000 m3/s d = 5 mm s = 1.65

53

53

0

5001200

100003.0

biBnQh 2.07 m

h0 u*

500107.28.90 bighu 0.20 m/s

u* τ*

005.08.965.120.0 22

*

sgdu 0.49

u*c d = 5 mm = 0.5 cm

5.09.809.80 du c 6.36 cm/s = 0.064 m/s

u*c τ*c

005.08.965.1064.0 22

*

sgdu c

c 0.05

τ* (= 0.49) > τ*c (= 0.05)

τ*c 0.05

B = 200m ib = 1/500 n = 0.03 Q = 1,000 m3/s d = 5 mm s = 1.65

u* = 0.20 m/s u*c = 0.064 m/sτ* = 0.49 τ*c = 0.05

323

* 1117 sgduuq cc

eB

τ*e τ*

323

* 1117 sgduuq cc

B

323

005.08.965.120.0064.01

49.005.0149.017

31006.5 m2/s

)()( 2*

2*

3* nf

uuF

sguq

cB

025.0025.0

)40(623.0623.0

)( 5.3 nn

nnf 42

*2*

2*

2*

811)(

uuuuF

cc

f (n) n = 0.03 623.0)(nf

)( 2*

2*

cuuF

0.1

20.0064.081

181

1)( 4

2

242*

2*

2*

2*

uuuuF

cc

43

2*

2*

3* 1008.3623.00.1

8.965.120.0)()( nf

uuF

sguq

cB m2/s