第８章 １変数関数の最適化問題

独立変数（選択する経済変数）は１つ

制約条件は閉区間[a0,b0]最大化問題または最小化問題の内点解

最適化のための１階条件

f ’(a)>0 ⇒ aから微少に増えるとf (x)増加f ’(a)<0 ⇒ aから微少に増えるとf (x)減少f ’(a)=0 ⇒ x=aでのf (x)の接線の傾きゼロ

↓

x=x*が最大化（最小化）問題の内点解⇒ f ’(x*)=0最大化（最小化）問題の１階条件

y=f(x)

a1 a2 a3 a4

凹関数と最大値

微分可能な凹関数y=f(x)x=aでのf (x)の接線の傾きf ’(a)

方程式 ))(()( axafafy −′+=

xaxafafxf ∀−′+≤ ))(()()(xafxfaf ∀≤⇒=′ )()(0)(

x=aで f (x) が最大，最大値 f (a)

凹関数のグラフと接線

a x2x1

f(a)f(x2)

f(x1)

f(a)+(x1-a)f ’(a)

f(a)+(x2-a)f ’(a)f(x)

凹関数のグラフと最大値

f(a)

f(x)

a

凸関数と最小値

微分可能な凸関数y=f(x)x=aでのf (x)の接線の傾きf ’(a)

方程式 ))(()( axafafy −′+=

xaxafafxf ∀−′+≥ ))(()()(xafxfaf ∀≥⇒=′ )()(0)(

x=aでf (x)が最小，最小値f (a)

凸関数のグラフと接線

f(a)

f(x2)

f(a)+(x1-a)f ’(a)

f(a)+(x2-a)f ’(a)

f(x1)

f(x)

x1 a x2

凸関数のグラフと最小値

f(x)

f(a)

a

２次導関数

関数 y=f ’(x)が x=a で微分可能なときy=f (x)は ２階（２次）微分可能

(f ’(a))’= f ’ ’(a) ２階（２次）微分係数

axax dxxfd

dxydaf

==

′′2

2

2

2 )()(

２次導関数 (f ’(x))’= f ’ ’(x) n次導関数

凹関数・凸関数となる条件

f ’(x)≦0⇒接線の傾きは負⇒y=f(x)は単調減小２次導関数 f ’ ’(x)≦0 (すべてのx)⇒ 関数y=f ’(x)は単調減少⇒接線の傾きは減少する

⇒凹関数

⇒ f ’ (a) =0なるaでf (x)が最大

凹関数・凸関数となる条件

２次導関数 f ’ ’(x)≦0 (すべてのx)⇒ 凹関数

⇒ f ’ (a) =0なるaでf (x)が最大２次導関数 f ’ ’(x)≧0 (すべてのx)⇒ 凸関数

⇒ f ’ (a) =0なるaでf (x)が最小

凹関数・凸関数となる条件

２次導関数 f ’ ’(x)<0 (すべてのx)⇒ 狭義凹関数

⇒ f ’ (a) =0なるaは存在すれば一意(f (x)最大)２次導関数 f ’ ’(x)>0 (すべてのx)⇒ 狭義凸関数

⇒ f ’ (a) =0なるaは存在すれば一意(f (x)最小)

練習問題

以下の関数の凹凸を判定せよ。

baxxf +=′ 2)(cbxaxxf ++= 2)()1(

axf 2)( =′′

のとき凹のとき凸、 00 <> aaaxexf =)()2(axaexf =′ )( axeaxf 2)( =′′

より凸かつ 002 >> axea

練習問題

以下の関数の凹凸を判定せよ。

2)(xaxf −=′

xaxf =)()3(

3

2)(xaxf =′′

のとき凹のとき凸、 00 <⋅>⋅ xaxa

xaxf log)()4( =xaxf =′ )(

2)(xaxf −=′′

のとき凸のとき凹、より、 0002 <>≥ aax

極大と極小

近傍で最大 → 極大

近傍で最小 → 極小

関数 y=f (x)が x=x0 で極大

⇒開区間(a,b)が存在して(a,b)においてf (x0)最大⇒f (x0) 極大値関数 y=f (x)が x=x0 で極小

⇒開区間(a,b)が存在して(a,b)においてf (x0)最小⇒f (x0) 極小値

最大と極大（最小と極小）

極大値を比べて最大のもの⇒最大値

極小値を比べて最小のもの⇒最小値

関数のグラフと増減

f(b)f(a)関数 f(x)

極小極大関数の増減

＋0ー0＋微分係数 f ’(x)

・・・b・・・a・・・独立変数 x

0)( <′′ af 0)( >′′ bf

関数の増減y=f(x)

a b

極大・極小のための１階条件

f ’(a)>0 ⇒ aから微少に増えるとf (x)増加f ’(a)<0 ⇒ aから微少に増えるとf (x)減少f ’(a)=0 ⇒ x=aでのf (x)の接線の傾きゼロ

↓

x=x*で極大（極小）⇒ f ’(x*)=0極大（極小）の１階条件

極大・極小の判定条件

２次導関数 f ’ ’(a)≦0⇒ f ’ (a) =0なるaでf (x)が極大

２次導関数 f ’ ’(b)≧0⇒ f ’ (b) =0なるbでf (x)が極小

経済学における限界概念

限界生産力

労働投入量 生産量

生産関数

労働投入量を１単位追加したときの生産量の増加分

)(lfq =l q

llllll ∆′≅−∆+=∆=∆ )()()()( ffffq限界生産力（物）)(l

lfq ′≅

∆∆

経済学における限界概念

限界生産力逓減

減少限界生産力 )(lf ′0)( <′′ lf

狭義）凹関数　　()(xf

lll dfdf )()( ′=全微分による分析

全微分

練習問題以下の生産関数f(x)の限界生産力を求めよ。また，限界生産力は逓減するか判定せよ。

さらに全微分を計算せよ。

ll

21)( =′f

ll =)()1( f

　逓減04

1)( 3 <−=′′l

lf

ll

l ddf2

1)( =

練習問題8-1以下の生産関数f(x)の限界生産力を求めよ。また，限界生産力は逓減するか判定せよ。

さらに全微分を計算せよ。

)0()1log()()2( >+= aaf ll

1)(

+=′l

laf 逓減0

)1()( 2 <+

−=′′l

laf

ll

l dadf1

)(+

=

練習問題8-2以下の生産関数f(x)の限界生産力を求めよ。また，限界生産力は逓減するか判定せよ。

さらに全微分を計算せよ。

ll aef −−=1)()3(alaef −=′ )(l 逓減0)( 2 <−=′′ − ll aeaf

ll ldaedf a−=)(

経済学における限界概念

限界費用

費用関数

生産物を１単位を追加生産するときの費用の増加分

)(qCC =

qCqCMC∆∆

≅′= )(限界費用

経済学における限界概念

限界生産力逓減の法則

f’(l)が減少関数 → f’’(l)<0 （狭義凹関数）

限界費用逓増の法則

C’(q)が増加関数 → C’’(q)>0 （狭義凸関数）

利潤最大化問題の解法

総収入R(q) 総費用C(q)利潤関数π(q)=R(q)－C(q)

MCMRqCqRq −=′−′=′ )()()(π

CMRMqCqRq ′−′=′′−′′=′′ )()()(π

MCMRq =⇔=′ 0)(πCMRMq ′<′⇔<′′ 0)(π利潤最大化

限界収入逓減 限界費用逓増のときは常に成立

利潤最大化問題の例

労働を唯一の生産要素として投入し，ある財（１財）を生産する企業の利潤最大化問題

企業はプライス・テイカーとして行動

労働投入量 生産量 （変数）

賃金率 生産物価格 （定数）

生産関数

l q

w p

)(lfq =

利潤 → 最大化lwpq −=π

利潤最大化問題

解決のステップ

ステップ１ 最小必要労働投入量を求める

ステップ２ 最小必要総費用を求める

ステップ３ 利潤を最大にする生産量を求める

生産関数の仮定

q=f(l)は２階微分可能で，f(0)=0f’(l)>0 狭義単調増加f’’(l)<0 狭義凹関数

ステップ１：効率的生産

最小労働投入量関数を求める

)()(1 qhqf == −l

関数h(q)は狭義凸関数 h’’(q)>0

)0()(: 2 ≥=== qqqhq ll ならば例

0202

1,02

13 >=′′<−<′′>=′ lll

qq

ステップ２：費用最小化

総費用関数を求める

)()( qhwqC ⋅=

関数h(q)は狭義凸関数 C’’(q)=wh’’(q)>0

)0()(: 2 ≥== qwqqCq ならば例 l

02)(2)()( >=′′=′= wqCwqqCqMC

ステップ３：利潤最大化

利潤関数を求め，１階条件を用いる。

)()( qhwpqqCpq ⋅−=−=π

利潤関数πは狭義凹関数π’’=－C’’(q)<0

のとき利潤最大0)( =′⋅−=′ qhwpπ

)0(: 2 ≥−== qwqpqq πならば例 l

022

02 <−=′′==−=′ wwpqwqp ππ より

費用関数の導出

)()( 1 qfqh −=最小労働投入量

)()( qwhqTVC =総可変費用関数

総費用関数

TFCqwhTFCqTVCqTCC

+=+==

)()()(

いろいろな平均費用

平均総費用 ATC, AC平均可変費用 AVC平均固定費用 AFC

qqTCqATC )()( =

qqTVCqAVC )()( =

qqTFCqAFC )()( =

)()()( qAFCqAVCqATC +=

平均可変費用と限界費用の関係

)()(0)( qAVCqMCqCAV >⇔>′

)()(0)( qAVCqMCqCAV =⇔=′

)()(0)( qAVCqMCqCAV <⇔<′

平均総費用と限界費用の関係

)()(0)( qATCqMCqCAT >⇔>′

)()(0)( qATCqMCqCAT =⇔=′

)()(0)( qATCqMCqCAT <⇔<′

A

B

D

E

C(q)C

c0

0 q2 qq0 q1

AFC

AVC

MC ATC

0 q0 q1 q2 q

短期利潤の最大化

max Π(q)=pq-C(q)追加的1単位の生産の増加によって収入は価格pの大きさだけ増加する．一方，費用はその1単位の生産増加に要する限界費用MCの分だけ増大する．両者がバランスしたところが利潤最大となる．

p=MC (価格=限界費用)限界費用が逓増的 MC’>0

q**q* q

R=pqC(q)C,RΠ

c0

0

-c0

π(q)

短期供給曲線

価格=限界費用，限界費用逓増→ 最適供給量 → 供給曲線

MC逓増 → MC曲線の右上がり部分価格p3のとき供給量q3．q3’では利潤極小価格p4のとき供給量q4．赤字は固定費より少ない

価格p5のとき供給量q5が候補，赤字は固定費より多いの

で供給しない

供給曲線は操業停止点より上のMC曲線

p

AVC

ATCMC

A

B A: 損益分岐点B: 操業停止点

p3

p2

p4

p1

p5

0 q0 q q1 q2 qq4

q3’ 35 q

平均総費用関数の形状

2)()(q

TFCqCAVqCAT −′=′

32)()(q

TFCqCAVqCAT +′′=′′

相加平均・相乗平均の関係

任意の正の数x,yについて

xyyx≥

+2

ただし等号はx=yのときに限る

yxyxxyyx 2)()(2)( 22 −+=−+

0)( 2 ≥−= yx

平均総費用の最小値

)()()( qAFCqAVCqATC +=

)()(2 qAFCqAVC ⋅≥

等号はAVC(q)=AFC(q)のときに限る

AVC(q)=AFC(q)のときに平均総費用最小