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第8講:確率変数(連続の場合)
平成 16年 12月 1日
連続分布� �
• 連続型確率変数 continuous random variable: X の取り得る値が連続的な範囲の全体
• 確率密度関数 probability density function: 次の性質を満たす関数 f(x):
P (a ≤ X ≤ b) =∫ ba
f(x) dx
ただし、−∞ ≤ a < b ≤ ∞• 分布関数 (cumulative) distribution function:
F (x) = P (X ≤ x) =∫ x−∞ f(y) dy
� �
1
密度・分布関数の性質� �
• 密度関数の性質:1. f(x) ≥ 02.
∫∞−∞ f(x) dx = 1
• 分布関数の性質:1. F (x) は単調増加2. F (x) は右連続3. F (−∞) = 0, F (∞) = 1
• 密度関数と分布関数の関係:
f(x) =d
dxF (x)
� �
2
期待値と分散� �
密度関数 f(x) をもつ確率変数 X に対し
• 期待値 (平均) expectation:
E(X) =∫ ∞−∞ xf(x) dx
• 分散 variance:
V (X) =∫ ∞−∞[x − E(X)]
2f(x) dx
• r次のモーメント (積率) moment:
E(X r) =∫ ∞−∞ x
r f(x) dx
• モーメント母関数 moment generating function:
MX(t) = E(etX) =
∫ ∞−∞ e
txf(x) dx
� �
3
一様分布 uniform distribution� �
確率変数 X が区間 [a, b]の中で全ての点を同じ確からしさで取る。
• 密度関数f(x) =
1
b − a I[a, b](x)ただし、IA は定義関数で
IA(x) ≡⎧⎪⎨⎪⎩
1 if x ∈ A0 if x �∈ A
• 分布関数
F (x) =
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
0 if x < ax−ab−a if a ≤ x ≤ b1 if x > b
� �
4
一様分布 つづき� �
• 期待値: E(X) = (a + b)/2∫ ∞−∞ xf(x) dx =
1
b − a∫ ba
x dx
=1
b − a{1
2x2
}ba
=a + b
2
• 分散: V (X) = (b − a)2/12
V (X) =∫ ∞−∞[x − E(X)]
2f(x) dx
=∫ ba
(x − a + b2
)21
b − a dx
=1
b − a{1
3(x − a + b
2)3
}ba
=(b − a)2
12� �
5
正規分布 normal distribution� �
µ を実数、σ を正数とする
• 密度関数f(x) =
1√2πσ
e−(x−µ)2
2σ2
• 記号: X ∼ N(µ, σ2)• 標準正規分布 standard normal distribution: N(0, 1)
f(x) =1√2π
e−x2
2
次の恒等式に注意 ∫ ∞−∞ e
−x22 dx =
√2π
� �
6
正規分布 (つづき)� �
正規分布 N(µ, σ2) の平均と分散:
• 期待値: E(X) = µ• 分散: V (X) = σ2
平均についての証明:
E(X) =∫ ∞−∞ xf(x) dx
=∫ ∞−∞ x
1√2πσ
e−(x−µ)2
2σ2 dx
=∫ ∞−∞[(x − µ) + µ]
1√2πσ
e−(x−µ)2
2σ2 dx
= µ∫ ∞−∞
1√2πσ
e−(x−µ)2
2σ2 dx +∫ ∞−∞(x − µ)
1√2πσ
e−(x−µ)2
2σ2 dx
y=x−µ= µ +
1√2πσ
∫ ∞−∞ y e
− y22σ2 dy
= µ� �
7
正規分布の積率母関数� �
X ∼ N(µ, σ2) のとき、MX(t) = exp{µt + σ
2t2
2
}
証明
E(eXt) =∫ ∞−∞ e
xtf(x) dx
=∫ ∞−∞ e
xt 1√2πσ
e−(x−µ)2
2σ2 dx
=∫ ∞−∞
1√2πσ
e−(x−µ)2
2σ2+xt dx
=∫ ∞−∞
1√2πσ
exp
⎧⎨⎩−
[x − (µ + σ2t)]22σ2
+ µt +σ2t2
2
⎫⎬⎭ dx
= exp
⎧⎨⎩µt +
σ2t2
2
⎫⎬⎭
∫ ∞−∞
1√2πσ
exp
⎧⎨⎩−
[x − (µ + σ2t)]22σ2
⎫⎬⎭ dx
= exp
⎧⎨⎩µt +
σ2t2
2
⎫⎬⎭
� �
8
正規分布 (つづき)� �
-6 -4 -2 0 2 4 6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
s=2
s=1
s=0.5
� �
9
ガンマ分布 gamma distribution� �
• 正の値を取る確率変数で、次の密度関数をもつ
f(x) =λα
Γ(α)xα−1e−λx I[0,∞)(x)
ただし、α, λ > 0で, Γ(α) はガンマ関数
Γ(α) =∫ ∞0
xα−1e−x dx
• 記号: X ∼ Ga(α, λ)• 平均: E(X) = α/λ• 分散: V (X) = α/λ2
ガンマ関数の性質:
Γ(1) = 1 , Γ(1
2) =
√π
Γ(z + 1) = zΓ(z) , Γ(n) = n! (n : 自然数)� �
10
ガンマ分布 (つづき)� �
f(x) が密度関数であるための証明
∫ ∞−∞ f(x) dx =
∫ ∞0
λα
Γ(α)xα−1e−λx dx
y=λx=
λα
Γ(α)
∫ ∞0
(y
λ)α−1e−y (
1
λdy)
=λα
Γ(α)
∫ ∞0
λ−αyα−1e−y dy
= 1� �
11
ガンマ分布(つづき)� �
λ = 1 のとき
0 2 4 6 8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
a=3
a=2
a=1
� �
12
指数分布 exponential distribution� �
• ガンマ分布 Ga(1, λ)で、密度関数:
f(x) = λe−λxI[0,∞)(x)
• 平均: E(X) = 1/λ• 分散: V (X) = 1/λ2
� �
13
指数分布(つづき)� �
0 2 4 6 8
0
1
2
3
4
5
l=1ê5
l=1ê3
l=1
� �
14
ベータ分布 beta distribution� �
• (0, 1)上の値を取り、密度関数:
f(x) =1
B(α, β)xα−1(1 − x)β−1 I(0, 1)(x)
ただし、B(α, β) はベータ関数で
B(α, β) =∫ 10
xα−1(1 − x)β−1 dx
• 記号: X ∼ Be(α, β)• 平均: E(X) = α/(α + β)• 分散: V (X) = αβ/ {(α + β)2(α + β + 1)}
ベータ関数とガンマ関数の関係
B(α, β) =Γ(α)Γ(β)
Γ(α + β)� �
15
ベータ分布 (つづき)� �
α = 2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
b=8
b=5
b=2
� �
16
ベータ分布 (つづき)� �
β = 2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
1
2
3
a=9
a=6
a=3
� �
17
ワイブル分布 Weibull distribution� �
• 正の値を取り、密度関数:
f(x) =b
abxb−1e−(
xa)
b
I(0,∞)(x)
• 平均: E(X) = aΓ(1 + 1b)
• 分散: V (X) = a2{[
Γ(2 + 1b) − Γ(1 + 1b )]2}
ワイブル分布は
• 寿命• 成長曲線
などの解析によく使われる。� �
18
ワイブル分布 (つづき)� �
a = 2
0 2 4 6 8 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
b=8
b=5
b=2
� �
19
ワイブル分布 (つづき)� �
b = 2
0 2 4 6 8 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
a=5
a=3
a=1
� �
20
対数正規分布 log-normal distribution� �
• 正の値を取り、密度関数:
f(x) =1√
2πσxexp
⎧⎨⎩−
(log x − µ)22σ2
⎫⎬⎭ I(0,∞)(x)
• 記号: X ∼ LN(µ, σ2)• 平均: E(X) = eµ+σ2/2
• 分散: V (X) = e2µ+2σ2 − e2µ+σ2
定理 正規分布と対数正規分布の関係
log X ∼ N(µ, σ2) =⇒ X ∼ LN(µ, σ2)� �
21
対数正規分布 (つづき)� �
σ = 1
0 5 10 15 20 25 30
0
0.05
0.1
0.15
0.2
m=3
m=2
m=1
� �
22
対数正規分布 (つづき)� �
µ = 2
0 5 10 15 20 25 300
0.05
0.1
0.15
0.2
s=3
s=2
s=1
� �
23