Bài 1 Cho day sô đươc xac đinh bơi :

.

Đăt

Tinh

Lời giải: Ta c ó :

Vây la day tăng

Măt khac nêu day bi chăn trên thi nó se có giơi han

Gia sư

Điêu nay không thê xay ra vi

Vây

Ta có

Do đó

Vây

Bài 2 Tim giơi han của day vơi

Bài giảiTa có:

Vây .

Bài 3

Cho dãy số xác định như sau :

Tìm

Đáp án Ta có :

Xét ham sô :  ;

Ta có :

Vây : thi

Gọi a la nghiệm của :

Ta có :

Theo đinh li La-grăng :

Do

Ma

Vây :

Bài 4. Cho day sô ( ) xac đinh bơi:

Tìm

Giải

Chứng minh bằng quy nap ta đươc:

Xét ham sô

Vơi x>0, ta có:

Theo bất đẳng thức Côsi:

(do x>0)

Xét ham sô vơi x>0 nghich biên trên va g(2)=0

Do đó phương trinh g(x)=0 có nghiệm duy nhất x=2 trênhay phương trinh có nghiệm duy nhất x=2 trênTheo gia thiêt:

Theo đinh li Lagrăng: ham sô liên tục trên va có đao ham trong

Nên sao cho:

Từ (1), (2):

Bài 5 : Cho day sô vơi

Đăt . Hay tinh

Giải:

Ta có:

Bài 6 Cho day sô (un) xac đinh bơi

Chứng minh rằng day sô (un) có giơi han hữu han va tim giơi han của day sô.Giải

Đăt

Ham sô f(x) tăng trên [0;1] va

. Bằng qui nap, chứng minh đươc

Măt khac

Bằng qui nap, chứng minh đươc day (un) giam.Day sô giam va bi chăn dươi bơi 0 nên có giơi han hữu han.

Gọi l la giơi han của day sô, do day sô bi chăn dươi bơi 0, bi chăn trên bơi

nên (*)

Chuyên qua giơi han khi n tiên tơi + trong biêu thức truy hồi ta đươc:

Kêt hơp vơi (*) suy ra l = 0.

Bài 7 HSG Quảng Bình

Cho day sô . Đăt . Tim

Đáp số: 2010Bài 8

Cho day sô nguyên dương thỏa man điêu kiện

Tinh .

- - - - - - - - - - - - -

Giải Ta có day la một day tăng thực sự,

Thât vây: nêu tồn tai sô tự nhiên k sao cho thi do gia thiêt ta thu

đươc (do ) va cứ như thê ta đươc một day sô nguyên dương giam

thực sự, điêu nay không thê xay ra vi day la day vô han.

Do nên theo phương phap quy nap ta có ngay .

Suy ra:

Đăt thi

Vây (theo nguyên li kẹp)

Bài 9 Xét day trong đó la nghiệm dương duy nhất của phương trinh:

Day sô : = .

Chứng minh rằng: có giơi han. Tim .

Giải Chứng minh đươc:

1 < = (*)

Từ gia thiêt la nghiệm dương duy nhất của phương trinh:

, .

Từ đó, chứng minh đươc: . (**)

Vây từ (*) va (**) .

Vi

va

.

Bài 10 HSG Long An

Cho a>2 va day sô ( vơi va vơi a) Chứng minh : , vơi b)Chứng minh day sô( )có giơi han va tim giơi han đó.

Ta CM đúng

GS đúng vơi

Vây câu a đươc CM

(*)Từ câu a va (*) có giơi han la

. B ai 11 HSGVinh Phúc Cho day sô xac đinh bơi

Chứng minh rằng .

Lời Giai: Ta có Áp dụng BĐT (*)liên tiêp ta đươc

Từ

.

Lai cóVây

Bai 12 HSG Nguyên Du _Đăc Lăc

Cho day sô xac đinh bơi , thuộc N*

Tinh Lời Giải:1) Đăt . Từ công thức truy hồi

Ta chứng minh theo qui nap (*)+ (*)đúng khi

+ Gia sư . Vây theo qui nap ta có

2) Ta có

B ai 13 HSGTinh Yên BaiCho day sô thực xac đinh bơi:

, vơi mọi n = 1,2,3,…Chứng minh rằng day có giơi han hữu han. Tinh giơi han của day . B ài 14. Ch ọn Đ T ĐAI HOC VINHCho day sô xac đinh bơi

Tim

B ai 15 HSGBinh Phươc

Cho trươc góc . Day sô đươc xac đinh bơi .Tim

Từ công thức nhân 3, ta có

Từ đó suy ra

__________________B ai 16 HSG Sai GonCho day sô vơi vơi a) Cho . Chứng minh có giơi han hữu han va tim giơi han đó b) Cho , chứng minh: . a)Xét ham sô nên đồng biên. Từ suy ra la day giamTa chứng minh theo qui napCó ; gsư .Vây giam va bi chăn dươi bơi nên có giơi han.Gia sư .Vây

b) Vơi nên la day tăng.

Gia sư bi chăn trên thi Xét PT trên ta thấy VN. Vây va không bi chăn trên nên B ài 17 HSG Ha Nội Vong 2

Nguyên văn bơi nguyenvandung_cl

Cho phương trình . a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nguyện dương duy nhất.b) Ứng với mỗi giá trị của phương trình có nghiệm . Tìm .

Lời Giải:Đăt

Ta có

liên tục trên va nên PT có nghiệm trên .

Kêt hơp vơi nghich biên trên nên PT có nghiệm duy nhấtb) Theo đinh li Lagrang thi có sô sao cho

ma nên

vi B ai 18 HSG HA TINH

Nguyên văn bơi Thiên Bồng Nguyên Soái

Bài 3. Dãy số (xn) thỏa mãn điều kiện:

Chứng minh rằng: là một cấp số cộng.

Lời giải: Đăt , khi đó ta có va

. Ở đây ta se chứng minh . Thât vây, ta có:

, nên hay .

Ma nên . Từ đây suy ra .

Vây ta có điêu phai chứng minh.

B ai 19 HSG Khanh Hoa

Cho day sô biêt rằng: Chứng minh rằng day có giơi han va tim .

Em lam thê nay:

Bằng quy nap ta đc: vơi mọi Giơi han hữu nêu có của day la nghiệm pt: Vi nên nêu tồn tai thi hoăc

Ta có:

+ Vơi tăngTa lai có:

bi chăn trên nên có giơi han, giơi han đó phai la (vi la day tăng, ko thê tụ vê 0)

+ Vơi + Vơi giam ma bi chăn dươi nên có giơi hangiơi han nay chăc la , nhưng em chưa nghxi ra cach loai TH la 0suy nghi thêm rồi e se post tip B ai 20.

Nguyên văn bơi nguyenvandung_cl Cho dãy số { } với ; ; .

Chứng minh rằng , ta có là số chính phương.

Bai nay kha la quen thuộc. Năm trươc trường Phan Bội Châu NGhệ an đa sư dụng một lần, hinh như đa xuất hiện trên THTT

Lời giải: Ta có:

Suy ra :

Hay __________________C2 : Ta có:

:::

Từ hệ thức trên thay rồi cộng lần lươt cac đẳng thức lai ta đươc

B ài 21 Cho day sô thỏa man

Chứng minh rằng la sô chinh phương vơi mọi Đăt thi , . Đên đây rồi đa đươc đpcm chưa nhi?B ai 22Trich dẫn:

Nguyên văn bơi Thiên Bồng Nguyên Soái Chứng minh tồn tại và tìm giới hạn dãy sau:

Ta chứng minh vơi mọi

Dê thấy

Gia sư điêu cần chứng minh đúng đên Khi đó ta có

B ai 23 HSG ha nội

Nguyên văn bơi can_hang2007

Cho dãy với Chứng minh rằng

Lời Giải: Ta có

Đăt

Bai toan trơ thanh thỏa Chứng minh:Có . Tương tự cho BĐT nữa va nhân theo vê ta có đpcm.(do cac khac nhâu nên không có đẳng thức).

Lấy ta đươc BT trên B ai 24 HSG Hưng Yên

Cho phương trình: với nguyên dương. Chứng minh rằng phương trình đã cho có duy nhất 1 nghiệm thực với mỗi nguyên dương cho trước. Gọi nghiệm đó là . Tìm .

Lời giải: Xét ham , có , do đó PT đa cho có nghiệm (*)

Măt khac có 2 nghiệm va đổi dấu từ dương sang âm rồi lai sang dương khi qua 2 nghiệm nay , vi thê

, đồng thời

(**)Từ cac điêu (*) va (**) nói lên rằng PT đa cho có nghiệm duy nhất

Cũng bơi li do la nghiệm phương trinh cho nên hệ qua la

Từ đó va (***) cho ta đi tơi

Ấy vây lai có . Thanh thư Vơi mỗi sô nguyên dương , ta xét ham sô , có

Do la điêm cực đai va

nên PT có nghiệm duy nhất(do PT bâc lẻ).Vi .Lai có ( do

) ( do đồng biên trên Vây la day giam va bi chăn dươi bơi [tex]1 nên có giơi han.

Đăt , ta chứng minh bằng phan chứng.Gia sư Vơi đủ lơn chẳng han thi

(mâu thuẫn vơi )Vây Một lời giải khác: Phương trinh trên đươc viêt lai như sau: , nên phương trinh trên có nghiệm duy nhất trong .Suy ra . Hay Con một LG khac như sau:+ Trươc tiên chứng minh

+Do

ma B ai 25 Chuyên Bên Tre

Tìm công thức tổng quát của dãy số sau:.

Đăt

Đăt

Ta chứng minh qui nap theo (*)+ thi (*)đúng

+ Gia sư

Vây CTTQ B ài 26 HSG SP Hà nôiDãy thỏa mãn:

Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Có:

Ta chứng minh vơi thi Mệnh đê đúng vơi n=5,6

Gia sư mệnh đê đúng vơi . Ta cần chứng minh:

Có:

Ta chứng minh:

( đúng vơi )

Vây ( ) , day sô hội tụ vê 0B ài 27

2. (Đê chọn đội tuyên ĐHSP HN) Cho day xac đinh bơi

a) Tim giơi han day

b) Chứng minh

Giai :

Ta có : , vơi

Nhân xét :

* . Kêt hơp vơi .Suy ra

* va dung Cauchy cho (3-x)(1-x) ta có : ,vơi

Xét ptr : ,

Ta có :

Binh luân : bai 2,9 đêu có chung dang đêu có thê dung đinh lý Lagrange

B ai 28 . (Trường THPT chuyên Phan Chu Trinh, Đa Nẵng) Cho day sô nguyên dương thỏa man: , vơi mọi

. Tinh gia tri của .

Ý tương : sư dụng tinh sô nguyên đê tim ra

Ta thấy la hai ươc liên tiêp của nên:

TH1: suy ra , kêt hơp vơi (*) ta có :

TH2: kêt hơp vơi (*) ta có : .Ta thấy la ươc chinh phương của 12

Nên

Bai 28. (Đê chọn đội tuyên tinh Ha Tinh) Day sô (xn) thỏa man điêu kiện:

Chứng minh rằng: (xn) la một cấp sô cộng.Giai :Ta se cm :

Đăt .Ta thấy : (*)

Ta se có : khi n nên

Do vây : Mỗi n cô đinh trươc khi m tiên vê vô cực

Khi đó , ơ (*) ta cho qua giơi han theo m thi .Do vây .Suy ra đpcm* Binh luân :Chúng ta se tim lời giai bằng chinh kêt luân của bai toan .Vi (xn) la CSC nên ta nghi đên việc tim công sai dTa có :

Thay vao BDT đê ta có :

Do vây : .Nên ta cần phai cm :

Bai 28. (Đê chọn đội tuyên tinh Ha Tinh) Cho day , vơi ,

, vơi mọi n 0.

Chứng minh rằng day (xn) có giơi han va tim giơi han đó.Giai :Vơi , ta se có :

Ta có : , vơi

Nhân xét :

*

*

Do vây :

TH1: thi va >0 (qui nap dần)

Se có tăng va chăn trên bơi 1

Nên tồn tai >0 va la nghiệm dương ptr x=f(x) , nên

TH 2: tương tự giam va chăn dươi bơi 1

Nên tồn tai va la nghiệm ptr x=f(x) , nên

Do vây

Bai 29. (Chọn đội tuyên 11, trường THPT chuyên Lương Văn Tụy, Ninh Binh)

Cho day sô : x1 > 0, vơi mọi n = 1, 2, 3, …. Chứng minh day sô có giơi han. Tinh giơi han đó. Giai :Từ điêu kiện x1 > 0 ta se có :

Khi đó :

Ta có : , vơi

Ta có : f’(x)=

Áp dụng đinh lý Lagrange ta có

Nên

Trich:

Nguyên văn bơi danghieu_dhsp

Bài 3: { }thỏa mãn:

CMR: Dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Lời giai cho bai 3:Có:

Ta chứng minh vơi thi Mệnh đê đúng vơi n=5,6

Gia sư mệnh đê đúng vơi . Ta cần chứng minh: Có: Ta chứng minh: ( đúng vơi )

Vây ( ) , day sô hội tụ vê 0   ______