GiỚI THIỆU VỀ CÁC PHẦN TỬ

Phạm Huy Hoàng

Phần tử một chiều – đại lượng vật lý quan tâmthay đổi dọc theo một tọa độ: truyền nhiệt dọctheo thanh, dòng chảy dọc theo kênh dẫn, kếtcấu dàn các thanh,...

1. PHẦN TỬ MỘT CHIỀU

Phạm Huy Hoàng

A. Phần tử một chiều tuyến tính

1. PHẦN TỬ MỘT CHIỀU

L

xxN

uxNuuL

x

L

uuu

L

uubua

L

==

+=+=−+=

−==⇒

=+=→===→=

+=

)(2;L

x-1(x)1N

2)(21(x)1N21)uL

x-(1x12

1u(x)

12;12ubLau(L)x

1uau(0)0x

bxau(x)

Phạm Huy Hoàng

Phần tử một chiều tuyến tính

1. PHẦN TỬ MỘT CHIỀU

L

x

L

xxN

uxNu

uL

x

L

x

L

uux

L

uuu

L

uubx

L

uuua

xx

xx

1)(2;L

x-

L1x

1(x)1N

2)(21(x)1N

2)1(1)uL

x-

L1x

(1x121

121u(x)

12;112

12u2bxa)2u(2x

1u1bxa)1u(1x

bxau(x)

−=+=

+=

−++=−+−−=

−=−−=⇒

=+=→==+=→=

+=

Phạm Huy Hoàng

Phần tử một chiều tuyến tính – Phần tử tham chiếu

1. PHẦN TỬ MỘT CHIỀU

2

1)(2;

2

-1)(1N

2)(21)(1N)u(

ξξξξ

ξξξ+==

+=

N

uNu

Phạm Huy Hoàng

Phần tử một chiều tuyến tính – Biến đổi hình học

1. PHẦN TỬ MỘT CHIỀU

1122

122

−−=

++=

L

x

L

x

xLL

x

ξ

ξ

2

1

L1x-x

)1()1(

)1(

12x1x-x

+=⇒

−−+−−=

−ξ

ξx

Phạm Huy Hoàng

Phần tử một chiều tuyến tính – Biến đổi hình học

1. PHẦN TỬ MỘT CHIỀU

Ldx

djJacobianInverse

L

d

dxJJacobian

2;

2==== ξ

ξ

)1)((2)1)((1

2)(21)(1

2)(21)(1

++−=+=+=

xNxN

xNxN

xNxNx

ξξξξξ

Phạm Huy Hoàng

Phần tử một chiều tuyến tính – Nội suy đại lượng vật lý

1. PHẦN TỬ MỘT CHIỀU

)1)((2)1)((1

2)(21)(1

2)(21)(1

++−=+=+=

xNxN

xNxN

xNxNx

ξξξξξ

22

112

12)(21)(1)(

2)1(1)11(2)(21)(1)(

uuuNuNu

uL

x

L

xu

L

x

L

xuxNuxNxu

ξξξξξ ++−=+=

−++−=+=

Phạm Huy Hoàng

Biến dạng và ứng suất trên thanh chịu kéo nén

1. PHẦN TỬ MỘT CHIỀU

L

uuEE

L

uuu

Lu

Lu

dx

dNu

dx

dN

dx

du

12

122

11

12

21

1

−==

−=+−=+==

εσ

εBiến dạng

Ứng suất

Phạm Huy Hoàng

Vector tải nút tương đương

1. PHẦN TỬ MỘT CHIỀU

∫+=

∫+=

2

1

)(2)().(22

2

1

)(1)().(11

x

xdxxNxqPPxNF

x

xdxxNxqPPxNF

Quy đổi tảivề các nút

Tải tập trungTải phân bố

Phạm Huy Hoàng

Phần tử một chiều bậc hai: 3 node, 3dof (1dof/node)

1. PHẦN TỬ MỘT CHIỀU

)23)(13(

)2)(1()(3

)32)(12(

)3)(1()(2;

)31)(21(

)3)(2()(1

3u23c3ba)3u(

3)(32)(21)(1u(x)2u22c2ba)2u(

1u21c1ba)1u(

xxxx

xxxxxN

xxxx

xxxxxN

xxxx

xxxxxN

xxx

uxNuxNuxNxxx

xxx

−−−−=

−−−−=

−−−−=

=++=

++=⇒=++=

=++=

2cxbxau(x) ++=

Phạm Huy Hoàng

Phần tử một chiều bậc hai: Phần tử tham chiếu

1. PHẦN TỬ MỘT CHIỀU

2

)1()(3

1

)1)(1()(2

2

)1()(1

3)(32)(21)(1)u(

ξξξ

ξξξ

ξξξ

ξξξξ

+=

−−+=

−=

++=

N

N

N

uNuNuN

Phạm Huy Hoàng

Phần tử một chiều bậc hai: Biến đổi hình học

1. PHẦN TỬ MỘT CHIỀU

)1)((30).(2)1)((1

3)(32)(21)(1

3)(32)(21)(1

+++−=++=++=

xNxNxN

xNxNxN

xNxNxNx

ξξξξξξξ

32

122212

12xxx

xJJacobian

++−−=

∂∂= ξξξξ

Phạm Huy Hoàng

Nội suy đại lượng vật lý

1. PHẦN TỬ MỘT CHIỀU

)(1)(3

3

1)(

3

1)(

xNxNi

ixiN

iixiNx

−=

∑=

=

∑=

=

ξξ

ξ

iui

iNuiui

xiNxu ∑=

=∑=

=3

1)()(

3

1)()( ξξ

Phạm Huy Hoàng

Vector tải nút tương đương

1. PHẦN TỬ MỘT CHIỀU

∫+=b

adxxiNxqPPxiNiF )()().(

Quy đổi tảivề nút i

Tải tập trungTải phân bố

Phạm Huy Hoàng

Phần tử tứ giác tuyến tính: 4 nodes

1. PHẦN TỬ HAI CHIỀU

∑=

=⇒

−+−=−=

−== 4

1),(),(

4321;14

;12;1

iiuyxiNyxu

ab

uuuuD

b

uuC

a

uuBuA

CbAu

DabCbBaAu

BaAu

Au

+=+++=

+==

+++=

4

3

2

1

DxyCyBxAu

Phạm Huy Hoàng

Phần tử tứ giác tuyến tính: 4 nodes

1. PHẦN TỬ HAI CHIỀU

ab

xayyxN

ab

xyyxN

ab

ybxyxN

ab

ybxayxN

)(),(4;),(3

;)(

),(2;))((

),(1

−==

−=−−=

∑=

=4

1),(),(

iiuyxiNyxu

∑=

=4

1),(),(

iivyxiNyxv

Phạm Huy Hoàng

Phần tử tứ giác tuyến tính: 4 nodes

1. PHẦN TỬ HAI CHIỀU

)0(

)0(.

)0(

)(),(4;

)0(

)0(.

)0(

)0(),(3

;)0(

)(.

)0(

)0(),(2;

)0(

)(.

)0(

)(),(1

:'

−−

−−=

−−

−−=

−−

−−=

−−

−−=

b

y

a

axyxN

b

y

a

xyxN

b

by

a

xyxN

b

by

a

axyxN

rulesLagrange

∑=

=4

1),(),(

iiuyxiNyxu

∑=

=4

1),(),(

iivyxiNyxv

Phạm Huy Hoàng

Phần tử tứ giác tuyến tính:

1. PHẦN TỬ HAI CHIỀU

ab

yyxx

yyxx

yyxxyxN

ab

yyxx

yyxx

yyxxyxN

ab

yyxx

yyxx

yyxxyxN

ab

yyxx

yyxx

yyxxyxN

)1)(2(

)12)(21(

)1)(2(),(4

;)1)(1(

)12)(12(

)1)(1(),(3

;)2)(1(

)21)(12(

)2)(1(),(2

;)2)(2(

)21)(21(

)2)(2(),(1

−−−=−−

−−=

−−=−−

−−=

−−−=−−

−−=

−−=−−

−−=

∑=

=4

1),(),(

iiuyxiNyxu

∑=

=4

1),(),(

iivyxiNyxv

Phạm Huy Hoàng

Phần tử tứ giác tuyến tính: Phần tử tham chiếu

1. PHẦN TỬ HAI CHIỀU

4

)1)(1(

)]1(1][1)1[(

)]1()[1(),(4

;4

)1)(1(

)]1(1)][1(1[

)]1()][1([),(3

;4

)1)(1(

]1)1)][(1(1[

)1)](1([),(2

;4

)1)(1(

]1)1][(1)1[(

)1)(1(),(1

ηξηξηξ

ηξηξηξ

ηξηξηξ

ηξηξηξ

+−=−−−−

−−−=

++=−−−−−−−−=

−+=−−−−

−−−=

−−=−−−−

−−=

N

N

N

N

Phạm Huy Hoàng

Phần tử tứ giác tuyến tính: Phần tử tứ giác cong

1. PHẦN TỬ HAI CHIỀU

αθθθ

αθθθ

αθθ

θθθθθ

αθθ

θθθθθ

R

rrrN

R

rrrN

R

rr

rr

rrrN

R

rr

rr

rrrN

)1)(2(),(4

;)1)(1(

),(3

;)2)(1(

)21)(12(

)2)(1(),(2

;)2)(2(

)21)(21(

)2)(2(),(1

−−−=

−−=

−−−=−−

−−=

−−=−−

−−=

Phạm Huy Hoàng

Biến đổi hình học

1. PHẦN TỬ HAI CHIỀU

),(4),(3),(2),(1

4

1),('

);,(4),(3),(2),(1

4

1),('

4

1),(

;4

1),(

yxNyxNyxNyxNi

iyxiNM

yxNyxNyxNyxNi

iyxiNM

iiyiNMy

iixiNMx

++−−=

∑=

=

−++−=

∑=

=

∑=

=

∑=

=

ηη

ξξ

ηξ

ηξ

Phạm Huy Hoàng

Biến đổi hình học

1. PHẦN TỬ HAI CHIỀU

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

∑= ∂

∂∑= ∂

∂

∑= ∂

∂∑= ∂

∂

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

yy

xxj

JacobianInversei

iyiN

iixiN

iiyiN

iixiN

yx

yx

J

Jacobian

ηξ

ηξ

ηη

ξξ

ηη

ξξ

:

4

1

4

1

4

1

4

1

:

Phạm Huy Hoàng

Biến đổi hình học

1. PHẦN TỬ HAI CHIỀU

∫∫=∫∫ ηξηξηξ ddJyxfdxdyyxf )det()],(),,([),(

Miền thực

, biến x, y

Miền tham chiếu

, biến ηξ ,

Phạm Huy Hoàng

Nội suy đại lượng vật lý

1. PHẦN TỬ HAI CHIỀU

∑=

=

∑=

=

4

1),(),(

4

1),(),(

iiuyxiNyxu

iiuiNu ηξηξ

Thực

Tham chi ếu

Phạm Huy Hoàng

Vector tải nút tương đương

1. PHẦN TỬ HAI CHIỀU

MTMX

NPTPX

N

eSdxdyyxpTNiF ][][),(][ ++∫=

r

Miền chịu tải phân bố

Tải tập trung

Phạm Huy Hoàng

Phần tử tam giác 3 nút: 3 nodes

1. PHẦN TỬ HAI CHIỀU

( ) ( )

( )

( )b

y

b

yyxN

a

x

a

xyxN

b

y

a

x

ab

yxyx

b

y

a

x

b

y

a

xyxN

1,3

1,2

1132111,1

−=

−=

−−−=−−++=

Phạm Huy Hoàng

Phần tử tam giác 3 nút: phần tử tham chiếu

1. PHẦN TỬ HAI CHIỀU

( )( )( ) ηηξ

ξηξηξηξ

==

−−=

,3

,2

1,1

N

N

N

Phạm Huy Hoàng

Phần tử tam giác 3 nút: tọa độ diện tích

1. PHẦN TỬ HAI CHIỀU

=

331221111

det2

1

yx

yx

yx

A

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )A

xxyyyxyxyxyxN

A

xxyyyxyxyxyxN

A

xxyyyxyxyxyxN

212211221,3

231133113,2

223322332,1

−+−+−=

−+−+−=

−+−+−=

Phạm Huy Hoàng

Phần tử tam giác 3 nút: tọa độ diện tích

1. PHẦN TỬ HAI CHIỀU

A

yicxibiaiN

2

++=

12321312213

31213231132

23132123321

33x122x111x1

det2

1

xxcyybyxyxa

xxcyybyxyxa

xxcyybyxyxa

y

y

y

A

−=−=−=−=−=−=−=−=−=

=

Phạm Huy Hoàng

Phần tử tam giác 3 nút: Biến đổi hình học

1. PHẦN TỬ HAI CHIỀU

13;02;01

03;12;01

3

1),(;

3

1),(

3

1),(;

3

1),(

======

∑=

=∑=

=

∑=

=∑=

=

ηηηξξξ

ηηξξ

ηξηξ

iiyxiN

iiyxiN

iiyiNy

iixiNx

M thuộc ph ần tử thực

M’ thu ộc ph ần tử tham chi ếu

Phạm Huy Hoàng

Phần tử tam giác 3 nút: Biến đổi hình học

1. PHẦN TỬ HAI CHIỀU

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

∑= ∂

∂∑= ∂

∂

∑= ∂

∂∑= ∂

∂

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

yy

xxj

JacobianInversei

iyiN

iixiN

iiyiN

iixiN

yx

yx

J

Jacobian

ηξ

ηξ

ηη

ξξ

ηη

ξξ

:

3

1

3

1

3

1

3

1

:

Phạm Huy Hoàng

Phần tử tam giác 3 nút: Nội suy đại lượng vật lý

1. PHẦN TỬ HAI CHIỀU

∑=

=

∑=

=

3

1),(),(

3

1),(),(

iiuyxiNyxu

iiuiNu ηξηξ

Thực

Tham chi ếu

Phạm Huy Hoàng

Vector tải nút tương đương

1. PHẦN TỬ HAI CHIỀU

MTMX

NPTPX

N

eSdxdyyxqTNiF ][][),(][ ++∫=

r