El càlcul mentalSant Jaume, febrer 2009

M. Luisa Girondo marialuisa.girondo@urv.cat

Què entenem per càlcul mental?

Capacitat per donar un resultat de càlcul sense utilitzar algorismes escrits que operen xifra a xifra.

Aquests resultats poden ser exactes o aproximats segons els nombres i operacions en joc.

Perquè és necessari el càlcul mental ?

•Per ajudar a construir el “sentit numèric”

•Per validar raonaments quantitatius exposats per altres.

•Per validar de manera ràpida el càlcul electrònic.

•Perquè el càlcul xifra a xifra cada vegada es fa servir menys!

Quan parlem de càlcul mental ens referim a càlcul numèric (sens context) o a càlcul en context (problemetes de càlcul mental) ?

A tots dos !•Càlcul numèric . Ex. a) 42 :3 b) 15x15 c) 35x14•Càlcul en context.(càlcul relacional més numèric)

Ex. a) Per cada dos alumnes hi ha tres carpetes. Quantes carpetes hi ha per als 24 alumnes? b)Si de 17 € t’has gastat 7,50, quant et queda?

Per ajudar a l’aprenentatge del càlcul mental, caldria:

-Plantejar l’aprenentatge del càlcul prioritzant el CM ( vol dir donar-li més importància a aquest que als algorismes !).En totes les ocasions quantitatives de l’aula intentar calcular mentalment.Llibres de text i tradició no ens ajuden!-Fer una bona gradació de dificultats, treballar primer els càlcul fàcils i aprendre a “partir” o descompondre els números per desfer dificultats. -Cada curs una mica de memorització i molta deducció.-Exigir la memorització de càlculs bàsics i control de zeros.

- Cal que l’alumne “comprengui” el que fa.Implica doncs un plantejament comprensiu del treball matemàtic, no un plantejament mecanicista. Necessari per “assolir competència”

-Cal mostrar(visualitzar),verbalitzar,practicar (de manera escrita o visual), apropiar-se de... diverses estratègies de càlcul.

-Cal un treball continuat al llarg de la PrimàriaNivells clau: 2n,3r i 4tAl finalitzar 4t s’ha de dominar el càlcul amb naturals.Del 0 al 100 sempre CM !Cicle Sup,. Decimals, fraccions i millorar càlcul de divisió!

Altres principis

Un bon domini de càlcul mental en la majoria des alumnes ( no només els especialment dotats) s’assolirà com a conseqüència d’un bon treball de l’àrea matemàtica.

No és qüestió de practicar una sessió setmanal... De manera separada de la marxa normal de la classe !

Si els algorismes es presenten des d’un bon domini de càlcul mental, no presenten cap dificultat!

El càlcul bàsic. TipologiaCàlcul pensat ( o reflexiu)

34 + 17 34+20 -3 51

15x6 60+30 90

350-70 300-20 280

78 : 6 60:6 i 18 : 6 = 13Càlcul aproximat (estimació)236+478 500+200 700

67 x8 < 70x8 = 560

AutomatitzatNombres fàcils o importants

7+6 13- 625x4 100:45x4 3x612+12 17+3

Calculadora

Algorismes tradicionals

C M

Estratègies SUMASumes binàries a)Canviar l’ordre dels sumands 2+7 7+2

( propietat commutativa) b)Descompondre el segon sumand 37 + 18-----37+(10+8) ------- 37+10+3+5 (segons interessi per passar per nombres coneguts) c)Descompondre els dos sumands 46+17--------(40+10)+(6+7) ( en general segons l’ordre de magnitud) d)Utilitzar nombres importants i compensar 27 + 48----------27+50-2 Sumes de diversos sumands e)Agrupar com convingui30 +18+70+22-------- 30+70 + 18+22 ----140 ( propietat associativa) 

Estratègies de càlcul mental

1) Sumes descomposant els dos sumands segons valor de posició

3 7

+4 5

70

12 82Derivada de:

•El treball amb “cartronets” de valor de posició

•La pràctica comprensiva de l’algorisme

Necessita

•Agilitat en sumar desenes i desenes amb nombres de dues xifres.

3 0 02 0

5

Estratègies de càlcul amb nombres naturals

2) Sumes descomposant un sumand , “salts a la recta”

47 + 36 47 57 67 77 80 83

Derivada de

• Treball amb la recta numèrica

• Treball en el quadre numèric

Necessita

1. Agilitat en aplicar la commutativitat

2. Visualització de la recta

3. Fer salts “llargs” per acortar les etapes

Estratègies de càlcul mental

3) Arrodonir i compensar ( Transformar a nombres coneguts i desfer la transformació)

66 + 53 70+53 123 - 4 119

70+50 120 -1 119

18 +19 15+20 +3-1 37

Derivada de

• Fer molta pràctica d’estimació ( arrodonir a nombres fàcils per donar resultats aproximats)

Estratègies RESTAa)Descompondre el subtrahend 63-16------

63-10-6--------63-10-3-3 ( idea de resta com a “treure”)

b)Cercar el complement 26 +..........= 50 (relació inversa suma-resta) c)Transformar en resta equivalent 146 – 67 = (146+3) – (67+3) = 149-70 (idea de resta com a diferència! ) d)Nombres importants i compensar 68 -27------- 68-30+3

( cal tenir àgils càlculs amb nombres importants!) 

Estratègies de càlcul

5. Resta amb descomp de minuhend i subt.

4 6 30 + 16

- 2 7 20 + 7

10 + 9 = 19

Pas previ a l’algorisme americà

Cal saber fer la descomposició adequada

Sembla que necessita suport escrit

Estratègies de càlcul

6.Restar descomposant el subtrahend ,compteig descendent

84 – 26 84 – 20 64

-4

60 -2 58

Idea de treure’n

Salts a la línia numèrica

Estratègies de càlcul

7.Resta: cercar el complement. Comptar en sentit ascendent

93-56 ?

56+4 60 + 30 90 +3 93….30+4+3

37

56 + 40 96 - 3 93 ….. 40 -3

37

Estratègies de càlcul

8.Transformar

7 5…….. 7 8

- 3 7 +3 4 0 ...

3 8

Cal treballar aquesta propietat de la restaFàcil amb la idea de “diferència”

estratègies per MULTIPLICAR a)Fer ús de les estratègies derivades de l’aprenentatge “comprensiu” de les taules x4 ------ x2 x2 x5 -----x10 : 2 x3------ x2+ número ................ i de les regles dels zeros finals 30x60 = 1800 b)Descompondre un dels factors 34 x12------ 340+ 34x2

c)Descompondre els dos factors 24x63 ------20x60+20x3+4x60+4x3

d)Nombres importants i compensar 36x18-----36x20-36x2-----720-72

e)Estratègies específiques x5 ( fer la meitat i afegir un zero);x4 (fer el doble del doble); x50 (fer la meitat i afegir dos zeros);x25......

Estratègies de càlcul

Productes

345x6

300 x6 = 1800

40 x6 = 240

5 x 6 = 30

2 070

Prepara o es deriva de la tècnica algorísmica

Càlcul mental

Tècnica específica per a productes

Quadrats de nombres de dues xifres acabats en cinc

3 5 x3 5 = 30x40 + 25

1200 + 25

1225

3x4

Estratègies per DIVIDIR 

a)Temptejar el quocient fent multiplicacions mentals (relació inversa producte-divisió) 82: 7 -------------- 7x10=70 ........ 77 ..... quocient 11 i 5 de residu b)Descompondre el dividend en múltiples del divisor  3 3 : 7 28:7 = 4 5:7= 0R5 ............ 4 R5  Idem nombres de tres xifres i divisor d’una xifra 357: 8320:8 = 40 37:8 = 4R5 Finalment quocient 44 i residu 5

Estratègies de càlcul

Divisions

357 : 8

320 : 8 = 40

37 :8 = 4 R 5

44 R 5

Divisions

634 : 26

260 : 26 = 10 260 : 26 = 10

520 :26 = 20

114 :26 = 4 R 10

24 R 10

Bon domini en trobar múltiples del divisor

Decisions a prendre com a Centre o com a cicle:

• La prioritat o no del càlcul mental. Fins a quin punt ?• Quina seqüència càlcul mecanitzat-càlcul pensat?• Quins materials utilitzaren per a modelitzar els primers

càlculs?• Quines formes de representació farem servir per ajudar

a efectuar les descomposicions o en general les estratègies de càlcul?

• Quan i com treballar els algorismes. (Esperar als nombres de tres xifres?)

• Com integrarem el treball de càlcul en la resta del treball de matemàtiques?

• Cal dedicar setmanalment un temps específic?

En síntesis, s’aconsella

•Fer una gradacció-programació pròpia de l’escola i/o cicle

•Treballar profundament amb nombres “baixos” fins al 100, fins al 1000....

•Fer aproximacions de decimals i de nombres grans.

•Preparar bateries pròpies que portin el treball quinzenal a nivell mental a més del repàs per consolidar.

Com puc preparar una bateria de CM ?A partir de 2n es poden fer de 10 preguntes.

Pregunta oral i resposta escrita per part de l’alumne. Fer un full estandarditzat de respostes.

Preguntes:

1. De numeració Ex. Escriu el nº que és tres més que 999

2. De càlcul. Ex. a)6+7=.... 60+70 =.... 16070=....

b)2x8 4x8 4x80

3. Problemetes. Ex De les 36 pomes de la capsa la meitat estaven picades, quantes pomes estaven sanes?

4. Mesures: Quants paquets d’un quart de Quilo necessito comprar si volem un Kg i mig?

Relació amb als conceptes treballats aquella quinzena o repàs per consolidar.

Gràcies i molts èxits !