Calcolo della risposta di un sistema lineare viscoso a … · può essere ottenuta utilizzando le tecniche sviluppate per l’analisi dei sistemi a un grado di libertà. In generale,

Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 1

Calcolo della risposta di un sistema lineare viscoso a più gradi di libertà con il metodo dell’Analisi Modale

Lezione 1/2


Disaccoppiamento delle equazioni del moto 1/4

Le proprietà di ortogonalità dei modi naturali di vibrazione possono essere utilizzate per disaccoppiare le equazioni del moto di un sistema lineare viscoso a N gradi di libertà

Sostituendo le seguenti relazioni

si ottengono le equazioni del moto in termini di coordinate generalizzate

cioè

M!!u t( ) +C !u t( ) +Ku t( ) = p t( )

u = !q !u = ! !q !!u = !!!q

M!!!q t( ) +C! !q t( ) +K!q t( ) = p t( )

Moltiplicando a sinistra tutti i termini per ΦT si ha

!TM!!!q t( ) +!TC! !q t( ) +!TK!q t( ) = !Tp t( )

M!!q t( ) + C !q t( ) + Kq t( ) = P t( )

in cui le matrici di rigidezza modale e di massa modale sono diagonali per le proprietà di ortogonalità dei modi rispetto alla matrice di massa e alla matrice di rigidezza.


Disaccoppiamento delle equazioni del moto 2/4

…

è il vettore di carico modale, mentre

Inoltre M!!q t( ) + C !q t( ) + Kq t( ) = P t( )

è la matrice di smorzamento modale, che risulta diagonale se si assume che i modi naturali di vibrazione sono ortogonali anche rispetto alla matrice di smorzamento C

P t( ) = !Tp t( ) =

"11p1(t)+"21p2 (t)+!+"N1pN (t)"12 p1(t)+"22 p2 (t)+!+"N 2 pN (t)""1N p1(t)+"2N p2 (t)+!+"NN pN (t)

#

$

%%%%%

&

'

(((((

C = !TC!

C = !TC! =!

Cn

!

"

#

$$$

%

&

'''


Disaccoppiamento delle equazioni del moto 3/4 …

Da un punto di vista fisico ciò si verifica quando i meccanismi di dissipazione sono distribuiti uniformemente lungo tutto il sistema. Per esempio, nel caso degli edifici multipiano ciò accade quando i materiali utilizzati e la tipologia degli elementi resistenti sono simili lungo tutta l’altezza. Pertanto, la trasformazione da coordinate geometriche a coordinate generalizzate consente di disaccoppiare le equazioni del moto, che assumono la forma

C = !TC! =!

Cn

!

"

#

$$$

%

&

'''

Mn!!qn t( ) +Cn !qn t( ) + Knqn t( ) = Pn (t) n = 1, 2, ..., N

La generica equazione del moto disaccoppiata ha la stessa struttura matematica di quella di un sistema lineare viscoso a un grado di libertà. Dividendo tutti i termini per la massa modale generalizzata Mn, si può scrivere

!!qn t( ) +

Cn

Mn

!qn t( ) +Kn

Mn

qn t( ) =Pn (t)Mn

n = 1, 2, ..., N


Disaccoppiamento delle equazioni del moto 4/4 …

Si osserva che è più conveniente e fisicamente ragionevole definire lo smorzamento di un sistema lineare a N gradi di libertà attraverso i rapporti di smorzamento modali, piuttosto che valutare i coefficienti della matrice di smorzamento C. I rapporti di smorzamento modali, infatti, possono essere determinati sperimentalmente e stimati con precisione adeguata. In definitiva, il metodo dell’analisi modale consente di trasformare il sistema delle N equazioni differenziali del moto accoppiate in termini di coordinate geometriche, in un sistema di N equazioni differenziali disaccoppiate in termini di coordinate modali, di più facile risoluzione.

!!qn t( ) +

Cn

Mn

!qn t( ) +Kn

Mn

qn t( ) =Pn (t)Mn

n = 1, 2, ..., N

Ricordando che

e definendo il rapporto di smorzamento modale

!n =Cn

2Mn"n

!n2 =

Kn

Mn

si può scrivere

!!qn t( ) + 2!n"n !qn t( ) +"n

2qn t( ) =Pn (t)Mn

n = 1, 2, ..., N


Analisi modale 1/3 La soluzione delle equazioni

!!qn t( ) + 2!n"n !qn t( ) +"n

2qn t( ) =Pn (t)Mn

n = 1, 2, ..., N

può essere ottenuta utilizzando le tecniche sviluppate per l’analisi dei sistemi a un grado di libertà. In generale, se il carico modale generalizzato Pn(t) varia con legge arbitraria e se le condizioni iniziali sono di quiete, la generica coordinata generalizzata qn(t) può essere ricavata mediante l’integrale di convoluzione

qn t( ) = Pn !( )hn t "!( )d!0

t

# =

=1

Mn$Dn

Pn !( )sin $Dn t "!( )%& '(e")n$n t"!( ) d!

0

t

#

in cui ωDn è la n-sima frequenza di vibrazione smorzata

!Dn =!n 1"#n2


Analisi modale 2/3 Se le condizioni iniziali non sono di quiete, è necessario aggiungere alla risposta calcolata con l’integrale di convoluzione, dovuta all’azione del carico modale, anche la risposta in vibrazioni libere, data dalla relazione

Infine, avendo calcolato la risposta per ogni coordinata modale qn(t), la risposta in termini di coordinate geometriche può essere ottenuta mediante la relazione

che in forma esplicita si scrive

qn t( ) = qn 0( )cos!Dnt +

!qn 0( ) + "n!nqn 0( )!Dn

sin!Dnt#

$%&

'(e)"n!nt

in cui

qn 0( ) = !nTMu(0)Mn

!qn 0( ) = !nTM !u(0)Mn

u(t) = u1(t)+ u2 (t)+ ...+ uN (t) = !1q1(t)+ !2q2 (t)+ ...+ !NqN (t)

u = uii=1

N

! = qi"ii=1

N

!


Analisi modale 3/3 …

Questa relazione mostra che la risposta in termini di coordinate geometriche si ottiene sovrapponendo gli spostamenti relativi ai singoli contributi modali. Per questa ragione tale procedimento prende il nome di metodo di sovrapposizione degli spostamenti modali o, più semplicemente, di analisi modale. Il metodo è basato sul principio di sovrapposizione degli effetti e può quindi essere applicato solo nel caso di sistemi lineari. Inoltre, affinché sia possibile disaccoppiare le equazioni del moto, i modi naturali di vibrazione devono anche essere ortogonali rispetto alla matrice di smorzamento. Per molti tipi di carichi, i contributi modali sono relativamente maggiori per i primi modi e tendono a diminuire per i modi più alti. In genere, la sommatoria converge rapidamente e, pertanto, non è necessario includere tutti i contributi modali.

u(t) = u1(t)+ u2 (t)+ ...+ uN (t) = !1q1(t)+ !2q2 (t)+ ...+ !NqN (t)


Calcolo delle sollecitazioni 1/2

La storia nel tempo del vettore degli spostamenti può essere considerata come la misura base della risposta complessiva di un sistema sollecitato da un carico dinamico. Altri parametri della risposta, come le sollecitazioni interne nei singoli elementi strutturali, possono essere calcolati a partire dagli spostamenti. In precedenza, sono stati presentati due procedimenti per il calcolo delle sollecitazioni interne in un istante di tempo prefissato, il primo basato sulla valutazione delle forze nodali e il secondo sull’applicazione delle forze statiche equivalenti. Nell’ambito dell’analisi modale è utile, in entrambi i casi, separare i contributi dei singoli modi. Secondo il primo procedimento, il contributo dell’n-esimo modo, rn(t), a una forza nodale r(t), è determinato dal vettore degli spostamenti modali un(t) attraverso la matrice di rigidezza dell’elemento. Considerando il contributo di tutti i modi, la forza nodale risulta

r(t) = rn (t)n=1

N

!

In accordo al secondo procedimento, le sollecitazioni interne possono essere calcolate applicando alla struttura il vettore delle forze statiche equivalenti, dato dalla relazione

fS t( ) = Ku t( ) = K!q t( ) =M!!2q t( )


Calcolo delle sollecitazioni 2/2

…

Si nota che le ampiezze dei contributi modali sono date dal prodotto della relativa coordinata generalizzata per il quadrato della corrispondente frequenza naturale, il cui valore cresce con l’indice del modo. Per tale ragione il contributo dei modi alti risulta più significativo per la definizione delle forze elastiche di quanto lo sia per la valutazione degli spostamenti. Di conseguenza, per raggiungere lo stesso grado di accuratezza nella definizione delle forze elastiche equivalenti, è necessario includere un numero maggiore di termini rispetto a quello considerato per il calcolo degli spostamenti.

fS t( ) = Ku t( ) = K!q t( ) =M!!2q t( )

che, in forma esplicita, si scrive

fS t( ) = fS1 t( ) + fS2 t( ) + ...+ fSN t( ) =M!1"12q1 t( ) +M!2"2

2q2 t( ) + ...+M!N"N2 qN t( )


Lo smorzamento nei sistemi a molti gradi di libertà 1/2 Come è già stato osservato in precedenza, non è possibile determinare i coefficienti della matrice di smorzamento dalle dimensioni degli elementi strutturali e dalle proprietà di smorzamento dei materiali impiegati. Per questa ragione lo smorzamento è in genere specificato attraverso i valori numerici dei rapporti di smorzamento modali. Nella tabella seguente, che è basata su una serie di dati sperimentali riguardanti diverse tipologie strutturali, sono riportati alcuni valori raccomandati per i rapporti di smorzamento modali.

Livello di sforzo Tipologia strutturale Rapporto di smorzamento (%)

Condizioni di esercizio

Acciaio con giunti saldati 2 - 3 Cemento armato precompresso 2 - 3 Cemento armato 3 - 5 Acciaio con giunti bullonati 5 - 7

Condizioni oltre il limite elastico

Acciaio con giunti saldati 5 - 7 Cemento armato precompresso 5 - 7 Cemento armato 7 -10 Acciaio con giunti bullonati 10 - 15


Lo smorzamento nei sistemi a molti gradi di libertà 2/2

Se il sistema non è lineare, l’analisi modale non può essere applicata e lo smorzamento deve essere necessariamente espresso attraverso una matrice. Questa è la situazione che si verifica durante un terremoto di forte intensità, perché la risposta può superare anche di molto il limite elastico. In questo caso la matrice di rigidezza varia nel tempo e le equazioni del moto devono essere integrate direttamente.

La matrice di smorzamento può essere determinata a partire dai rapporti di smorzamento modali. Questi ultimi possono essere stimati sulla base di dati sperimentali ottenuti su strutture simili sollecitate entro il limite elastico. È opportuno, infatti, che lo smorzamento viscoso sia assunto costante durante il moto, anche se la risposta supera il limite elastico.

L’ulteriore dissipazione di energia dovuta all’insorgere delle plasticizzazioni e del danno nella struttura potrà essere implicitamente messa in conto attraverso le proprietà isteretiche del materiale.

Nel seguito sarà presentato un semplice metodo, dovuto a Lord Rayleigh, per costruire una matrice di smorzamento viscoso a partire dai rapporti di smorzamento modali.


La matrice di smorzamento alla Rayleigh 1/9

Si considerino le seguenti matrici di smorzamento proporzionali alla matrice di massa e alla matrice di rigidezza C = a0M C = a1K

dove le costanti a0 e a1 hanno le dimensioni di sec−1 e sec rispettivamente, e che corrispondono ai seguenti modelli fisici

a1k1

m1

m2

m3

k3

k2

k1

a1k2

a1k3

m1

m2

m3

k3

k2

k1

a0m3

a0m2

a0m1

(a) (b)La matrice di smorzamento proporzionale alla rigidezza può essere interpretata come un modello di dissipazione di energia associato agli spostamenti di interpiano. La matrice di smorzamento proporzionale alla massa esprime, invece, la dissipazione di energia dovuta all’attrito con l’aria.



Se si assume che la matrice di smorzamento possa essere espressa attraverso la relazione

per la proprietà di ortogonalità dei modi rispetto alla matrice di massa si ha

C = a0M

che, dividendo per Mn, assume la forma

Si nota che l’n-esimo rapporto di smorzamento modale è inversamente proporzionale alla corrispondente frequenza ωn. La costante a0 può essere determinata fissando il valore di ξ per un modo specifico, per esempio per l’i-esimo, cioè

Cn = a0Mn

!n =a021"n

a0 =Cn

Mn

=Cn

2Mn!n

2!n = 2"n!n

da cui si ottiene

a0 = 2!i" i


La matrice di smorzamento alla Rayleigh 3/9 …

Avendo determinato il valore della costante a0, i rapporti di smorzamento modali per gli altri modi, riportati qualitativamente in figura, possono essere determinati attraverso la relazione

a0 = 2!i" i

Dalla figura, si nota che i rapporti di smorzamento modale diminuiscono al crescere della frequenza. I primi modi risultano, quindi, più smorzati di quelli alti e ciò è in contrasto con l’evidenza sperimentale.

!n

"1 "n

!1

!2!3

"2 "3

!n =a021"n



Se si assume che la matrice di smorzamento possa essere espressa attraverso la relazione

per la proprietà di ortogonalità dei modi rispetto alla matrice di rigidezza si ha

che, dividendo per Mn, assume la forma

Si nota che l’n-esimo rapporto di smorzamento modale è direttamente proporzionale alla corrispondente frequenza ωn. La costante a1 può essere determinata fissando il valore di ξ per un modo specifico, per esempio per l’i-esimo, cioè

Cn = a1Kn = a1!n2Mn

!n =a12"n

a1 =Cn

!n2Mn

=Cn

2Mn!n

2!n

= 2"n1!n

da cui si ottiene

a1 =2!i" i

C = a1K



Avendo determinato il valore della costante a1, i rapporti di smorzamento modali per gli altri modi, riportati qualitativamente in figura, possono essere determinati attraverso la relazione

Dalla figura, si nota che i rapporti di smorzamento modale crescono linearmente al crescere della frequenza. I primi modi risultano, quindi, meno smorzati di quelli alti.

a1 =2!i" i

!n =a12"n

!n

"n"1

!1

!2

!3

"2 "3


La matrice di smorzamento alla Rayleigh 6/9 Tuttavia, nessuna delle due matrici di smorzamento

è adeguata per l’analisi dinamica di sistemi strutturali comuni. Per entrambe, infatti, la variazione dei rapporti di smorzamento modali con le frequenze naturali non è coerente con i risultati sperimentali, che indicano approssimativamente lo stesso valore di ξ per diversi modi naturali di vibrazione. Una matrice di smorzamento coerente con i dati sperimentali, rispetto a cui i modi naturali di vibrazione sono ortogonali, può essere ottenuta attraverso la formulazione dovuta a Lord Rayleigh(1), in cui la matrice di smorzamento si ottiene attraverso una combinazione lineare delle matrici di massa e di rigidezza, cioè

(1) Theory of Sound, Vol. 1, Dover Publications, New York, 1945

C = a0M C = a1K

C = a0M + a1K

Per il generico modo si può quindi scrivere

Cn = a0Mn + a1Kn

da cui, dividendo per Mn, si ottiene

2!n"n = a0 + a1"n2



2!n"n = a0 + a1"n2

Le costanti a0 e a1 possono essere determinate fissando i rapporti di smorzamento ξi e ξj per l’i-esimo ed il j-esimo modo. Si ha

2!i" i = a0 + a1" i2

2! j" j = a0 + a1" j2

#$%

&%

che in forma matriciale si scrive

1 ! i2

1 ! j2

"

#

$$

%

&

''

a0a1

"

#$$

%

&''= 2

(i! i

( j! j

"

#

$$

%

&

''

Risolvendo il sistema si ottiene

a0 =2! i! j "i! j #" j! i( )

! j2 #! i

2( )a1 =

2 !i" i #! j" j( )" j2 #" i

2( )


La matrice di smorzamento alla Rayleigh 8/9 Se si assume che entrambi i modi considerati hanno lo stesso rapporto di smorzamento, cioè ξi = ξj = ξ, il che è ragionevole con riferimento ai dati sperimentali, le relazioni precedenti si semplificano e assumono la forma

a0 =2! i! j

! i +! j

" a1 =2

! i +! j

"

Calcolati i valori di a0 e a1, i rapporti di smorzamento modali per tutti i modi si ottengono dalla relazione

!n =a021"n

+a12"n

!n

"i "j "n

!i = !j = !



!n =a021"n

+a12"n

!n

"i "j "n

!i = !j = !

Nell’applicare questo procedimento ai casi pratici, i modi i e j per cui si specifica ξ devono essere scelti in maniera che tutti i modi che forniscono un contributo significativo alla risposta dinamica abbiano valori ragionevoli dei loro rapporti di smorzamento. Per esempio, se si assume che cinque modi devono essere inclusi nell’analisi della risposta dinamica e che il loro rapporto di smorzamento debba essere circa uguale per tutti, ξ dovrebbe essere specificato per il primo e per il quarto modo. L’andamento riportato in figura, infatti, suggerisce che il secondo e il terzo modo avranno un rapporto di smorzamento un po’ più piccolo, mentre il quinto un po’ più grande. Tutti gli altri modi saranno maggiormente smorzati e le corrispondenti risposte modali saranno sempre più ininfluenti.

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