Calcolo vettoriale e cinematica del punto materiale

La cinematica descrive il moto dei corpi nel tempo e nello spazio, senza tener conto delle dimensioni dell’oggetto e delle cause che producono il moto; il corpo è descritto come un punto materialesenza dimensioni proprie

Esempi in cui l’aspetto cinematico del moto è preponderante sono il moto nello spazio di un aereo, un treno, o un’automobile, o la traiettoria compiuta da un proiettile

Le grandezze fondamentali della cinematica sono:✓ posizione e spostamento✓ velocità✓ accelerazione

Queste grandezze, come molte altre grandezze fisiche, sono vettori

Grandezze scalari e vettoriali

In Fisica tutte le grandezze si suddividono in quantità scalari, vettoriali (o ancora più complesse, ovvero matrici)

A = B

A e B debbono essere sempre grandezze omogenee:scalare = scalare oppure vettore = vettore

✓ grandezze scalari: grandezze esprimibili mediante un singolo numero; temperatura, massa, lunghezza sono grandezze fisiche scalari✓ grandezze vettoriali: grandezze che richiedono più di un singolo numero per essere completamente definite; esempi sono la posizione nello spazio, lo spostamento, la velocità, l’accelerazione, la forza

Come conseguenza di questa classificazione in ogni legge fisica del tipo:

Grandezze scalari e vettoriali Esempio: se vogliamo informare qualcuno su quanti siamo alti,

basta dire: “sono alto 180 cm”, non serve aggiungere altro, poiché l’altezza è una grandezza scalare. Se invece vogliamo informarlo sulla nostra posizione nello spazio un numero potrebbe non essere sufficiente, poiché la posizione è un VETTORE

Di quanti numeri (o COMPONENTI) è composto un vettore ? Dipende dalla dimensione dello spazio in cui si muove il punto

Un vettore è sempre definito rispetto ad un sistema di riferimento specifico, ovvero un sistema di assi cartesiani

x

y

z

x

y

x

una dimensione 3 dimensioni2 dimensioni

Rappresentazione matematica del vettore in termini di componenti cartesiane

In 3 dimensioni un sistema di riferimento è rappresentato da tre assi ortogonali x, y, z

Un vettore può essere decomposto in componenti usando un sistema di riferimento, detto anche riferimento Cartesiano (dal grande matematico francese René Descartés)

In 2 dimensioni un sistema di riferimento è rappresentato da due assi x e y ortogonali che si incrociano in un punto detto origine

La Haye en Touraine 1569

vx, vy, vz, si dicono componenti o coordinate cartesiane del vettore

v , x yv v

x

y

z

vv y

vx

vz

x

y

v

v y

v , , x y zv v v

vx

Rappresentazione grafica del vettore

Graficamente un vettore si indica mediante una freccia. Il vettore è definito da 3 proprietà:

✓ lunghezza o modulo ✓ direzione ovvero la retta su cui il vettore giace✓ verso indicato dalla punta della freccia

La freccetta sopra il simbolo v indica che si tratta di un vettore e non di uno scalare

A volte nelle formule invece della freccetta si usa indicare il vettore scrivendo il simbolo in grassetto: in tal caso v indica il vettore, mentre v indica il suo modulo

Somma dei vettori: metodo matematico

zzz

yyy

xxx

GFS

GFS

GFS

Siano dati 2 vettori F = (Fx, Fy, Fz) e G = (Gx, Gy, Gz). Calcolariamo il vettore somma dei due vettori; chiamiamolo S = (Sx, Sy, Sz)

,,G zzyyxx GFGFGFFS

La somma di F e G è un vettore S le cui componenti sono la somma delle componenti corrispondenti di F e G

F

4

2G

2

4

6

6

S

ESERCIZIO in 2D: dati F e G, calcolare il vettore somma S

F = (4, 2); G = (2, 3)

S = (6, 5)1

3

5

01 3 5

Somma dei vettori: metodo grafico

Metodo punta-coda: si trasla G nello spazio in modo che l’origine di G coincida con la punta di F; il vettore somma S connette l’origine di F con la punta di G

Metodo del parallelogramma: dati due vettori F e G connessi in un punto, si disegna un parallelogramma di lati F e G; il vettore S è dato dall’asse diagonale del parallelogramma, ovvero dal segmento che parte dal punto in comune e termina nel vertice opposto

F

G

S

F

G S

F

G

S

F

G

S

F

GS

F

G

S

Differenza di vettori

F

xF

yF G

xG

yGD

Graficamente, il vettore differenza D è dato dall’asse diagonale che connette le punte di F e G; per verificare che ciò è vero, basta considerare il fatto che:

G ,x x y yD F F G F G

Applichiamo il metodo punta-coda per sommare G + D: si vede immediatamente che G + D = F

G DF

F = (4, 2) G = (2, 3) D = (2, -1)

La differenza di F e G è un vettore D le cui componenti sono la differenza delle componenti corrispondenti di F e Gesempio numerico:

Modulo del vettore

222

zyx FFFF

38.5299164342 222 F

Ad esempio, nel caso in figura si ha Fx = 2, Fy = 4, Fz = 3 ; il modulo è dato da:

F

6

3Nel caso bidimensionale a fianco F = (6,3)

7.645936 F

x

y

z

F

2

4

3

Il modulo di un vettore è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle componenti lungo gli assi.

Calcolo vettoriale e cinematica del punto materiale

Le grandezze fondamentali della cinematica sono:✓ posizione e spostamento✓ velocità✓ accelerazione

Queste grandezze sono vettori, dunque sempre definiti rispetto a un sistema di riferimento

Dal punto vista cinematico tutti i sistemi di riferimento sono ugualmente validi. Esempio: una persona siede in un treno ed una è ferma sul binario; se il sistema di riferimento è solidale col binario, la persona sul treno si muove; ma se il sistema di riferimento è solidale col treno, è la persona ferma sulla banchina a muoversi !!

Vettore spostamento

La posizione è definita da un vettore. Il vettore spostamento è la differenza di due vettori posizione; il vettore spostamento è particolarmente utile in cinematica poiché a differenza del vettore posizione, è indipendente dall’origine del riferimento. Se cambia l’origine i vettori posizione cambiano ma non lo spostamento.

Velocità in 1 dimensioneSi consideri un moto unidimensionale, nel quale un punto P è in posizione x = 0 all’istante iniziale t = 0, e raggiunge x =5 m all’istante t = 2 s

35 102.5 2.5 3600 9

2

m m Km Kmv

s s h h

✓ In un intervallo di tempo Dt =2 s il corpo ha effettuato uno

spostamento Dx =5 m✓ Il segno positivo dello spostamento dice che è stato realizzato nel verso concorde alla freccia. La direzione è quella della retta✓ Definiamo velocità all’istante t=0 il rapporto tra lo spazio percorso ed il tempo impiegato

( )x m0 5

P P2t sD

xv

t

DD

nel S.I. la velocità si misura in metri al secondo (m/s)

Moto rettilineo uniforme in 2DEsempio: costruire la traiettoria dei punti P relativi alla seguente tabella oraria del moto:

0

50

10

0

15

0

2

00

0P

1P

2P

3P

( )x m

( )y m

0 50 100 150

è un moto rettilineo uniforme: rettilineo poiché percorre una linea retta; uniforme perché ogni secondo, P percorre un segmento di uguale lunghezza, ovvero lo spostamento di P è lo stesso ad ogni istante; in questo caso la velocità di P è costante

t(s) x(m) y(m)

0 0 50

1 50 100

2 100 150

3 150 200

Moto rettilineo uniforme in 2DIn 2D la velocità è un vettore a 2 componenti:vx: rapporto tra spostamento Dx ed intervallo di tempo Dtvy: rapporto tra spostamento Dy ed intervallo di tempo Dt

la velocità è costante nel tempo: MOTO RETTILINEO UNIFORME

, ,x y

x yv v v

t t

D D

D D Nel moto descritto dalla tabella oraria precedente sia ha che ad ogni istante è sempre Dx = 50 m, Dy = 50 m, per cui:

0

50

1

00

1

50

20

0

0P

1P

2P

3P

x

y

0 50 100 15050 ,50

m mv

s s

Se P fosse un’automobile, che velocità segnerebbe il tachimetro ? Il tachimetro misura il MODULO v della velocità:

2 250 50 70 70 3.6 252m m Km Km

vs s h h

Traiettoria e legge oraria del motoConsideriamo un piano (x,y) ed un moto bidimensionale. Il punto Pindica ad esempio la posizione della nostra automobile sulla mappa. Indichiamo con P1, P2, P3,… PN i punti della traiettoria percorsa dall’auto agli istanti t1, t2, t3, … tN. L’insieme dei punti dello spazio occupati nel tempo da P è detto traiettoria

Per conoscere completamente la traiettoria di P ad ogni istante t devo conoscere l’evoluzione nel tempo delle sue componenti Px, Py, ovvero devo conoscere la legge oraria del moto

Concetto di FUNZIONE: il moto del punto P nel piano si esprime mediante un vettore posizione che è funzione del tempo:

( ) ( ), ( ) x yP t P t P t

che significa ?

Velocità in 3 dimensioniIn 3 dimensioni la velocità si esprime come un vettore con 3 componenti cartesiane:

, ,x y z

vt t t

D D D

D D D

Si noti che velocità e spostamento hanno stessa direzione e stesso verso

, ,s x y zD D D D

sv

t

DD

Se scriviamo il vettore spostamento in 3D come:

Possiamo riscrivere la velocità come rapporto tra vettore spostamento ed intervallo di tempo:

Esercizio: velocità dell’aereoData la tabella oraria seguente, calcolare le componenti cartesiane ed il modulo della velocità dell’aereo

xv

yv

zv

x

y

zt(s) X(m) Y(m) Z(m)

10 100 100 100

15 600 600 200

500100 100 3.6 360

5x

x m m Km Kmv

t s s h h

D D

100 360y x

m Kmv v

s h

10020 72

5z

z m m Kmv

t s s h

D D

h

Kmvvv xxp

51022

h

Kmvvvv zyx 514222

pv

v

3.6m Km

s h

Velocità della luce nel vuoto

La luce nel vuoto viaggia ad una velocità costante (si indica con c)

t

xc

D

D

c

xt

DD

6

5

150 10500

3 10

Km st s s

Km

D

s

m

s

Kmc 8103300000 velocità della luce:

Kmx 610150Ddistanza Terra-Sole:

Esercizio: calcolare il tempo impiegato dalla luce ad arrivare sulla Terra partendo dal Sole. E’ un problema inverso in 1 D: conosco la velocità e la distanza percorsa e voglio calcolare il tempo impiegato

Il tempo impiegato dalla luce:

ATTENZIONE: questo passaggio algebrico è corretto solo se la velocità è costante nel tempo

Velocità della luce nel vuoto

t

xc

D

D tcx DD

Kmss

Kmx 95 101.13600103 D

Esercizio: calcolare la distanza percorsa dalla luce in 1 ora

In un’ora la luce percorre un miliardo di Km ! Plutone, il pianeta più esterno del Sistema Solare, dista circa 6 miliardi di Km, dunque la luce che parte dal Sole impiega circa 6 ore per raggiungerlo

ATTENZIONE: questo passaggio algebrico è corretto solo se la velocità è costante nel tempo

Velocità del suono

Un fulmine colpisce il suolo; da lontano mi

accorgo che il rumore arriva alcuni secondi dopo il lampo

h

Km

h

Km

s

Km

t

Lv 1200

3

3600

3

1

il suono viaggia nello spazio molto più lentamente della luce. Ipotizzando che la luce si propaghi istantaneamente, calcoliamo la velocità del suono: ci poniamo a distanza L=1 Km dal punto in cui cade il fulmine, e misuriamo il tempo t tra la vista del fulmine ed il suono: aspetteremo circa 3 secondi:

I moderni caccia militari superano abbondantemente la velocità del suono (infatti si dicono supersonici); quando ciò accade producono un rumore spaventoso, udibile a centinaia di Km di distanza (si dice che abbattono il muro del suono)

Velocità del suono la velocità del suono è una costante universale ? NO !! Se

ripetiamo la misura in condizioni di temperatura ed altitudine differente scopriremo che la velocità di propagazione cambia sensibilmente

✓ Nell'aria a T= 0 °C vs = 1 191 km/h

✓ Nell’aria a T= 20 °C vs = 1 238 km/h✓ Nell’acqua a T= 20 °C vs è circa 4 volte maggiore che in aria!!

Al contrario della luce, il suono non è un’entità fisica a sé stante, ma una proprietà del mezzo in cui si propaga, e dipende dalla densità e dalla temperatura del mezzo. Il suono è un’onda di pressione longitudinale, che si propaga attraverso il moto degli atomi e delle molecole che compongono il mezzo di propagazione

EsercizioLa maestra parla alla classe; la distanza tra cattedra ed ultimi banchi è di 10 m; in classe c’è una temperatura di 20 °C; la velocità del suono in aria è di vs = 1 238 km/h. Quanto tempo impiega la voce della maestra a raggiungere l’ultimo banco ?

Problema inverso: conosco la velocità e lo spazio percorso, devo calcolare il tempo

10 10 3600 10 3.60.03

1238 1000 12381238

m m st s s

Km m

h

s

sv

Lt

t

Lv

La voce della maestra impiega circa 3 centesimi di secondo per raggiungere il fondo della classe

Velocità uniforme e istantaneaLa velocità si dice uniforme se è costante in modulo, direzione e verso; in tal caso essa si calcola come:

Consideriamo la traiettoria del punto P in figura: la direzione della velocità cambia istante per istante; anche se in modulo la velocità rimanesse costante, il moto NON sarebbe comunque uniforme.

Se calcolassimo la velocità dividendo lo spostamento Ds tra punto iniziale e punto

finale della traiettoria per il tempo Dtfaremmo un errore grossolano … quando la velocità non è costante dobbiamo ricorrere

al concetto di velocità istantanea

t

sv

D

D

tvs DD

Se la velocità è uniforme, si ottiene lo spostamento nel tempo mediante la formula inversa:

s

D

x

yP

Velocità istantaneaPer calcolare la velocità istantanea, decomponiamo la traiettoria in piccolissimi segmenti dS, percorsi dal punto P in un piccolissimo intervallo di tempo dt; durante quell’intervallino la velocità si può considerare costante in modulo, direzione e verso. La velocità istantanea si può ancora definire come il rapporto tra spostamento e tempo impiegato, ma nel limite di piccolissimi intervalli di tempo.

In generale la velocità istantanea (chiamiamola velocità) varia istante per istante in modulo, direzione e verso; dunque la esprimiamo come un vettore dipendente dal tempo v(t)

In ogni punto della traiettoria i vettori v e ds hanno sempre stessa direzione e verso; dunque la velocità è sempre tangenziale (ovvero diretta tangenzialmente) alla traiettoria in ogni suo punto

x

y

dt

sdtv

)(

sd

Velocità media del tragitto

Se misuriamo N volte la velocità durante il percorso, il valor medio è la somma dei valori misurati diviso il numero di misure

N

tvtvtvtvv

...)()()()( 4321

)( 4tv

)( 1tv

)( 3tv

)( 2tv

x

y

In generale la velocità cambia continuamente in modulo e direzione lungo un percorso; si dice velocità media, indicata con <v>, il valor medio del modulo della velocità calcolato istante per istante durante il tragitto

)( 1tv

)( 3tv

)( 2tv

)( 4tvNel caso del moto rettilineo uniforme, la

velocità media coincide con la velocità istantanea in un istante qualsiasi

)()()()( 4321 tvtvtvtvv

Accelerazione

si misura in:

t

va

D

D

2s

m

Esercizio in 1 dimensione: data la legge oraria di un treno in fase di partenza, si calcoli la velocità e l’accelerazione in funzione del tempo

t(s) X(m)

0 0

5 20

10 100

15 200

20 400

25 600

v(m/s) v(Km/h)

0 0

4 14.4

16 57.6

20 72

40 144

40 144

a(m/s2)

0

0.8

2.4

0.8

4

0

Se la velocità cambia in modulo, direzione, o verso significa che il moto è accelerato; si definisce accelerazione (si indica con a) il rapporto tra la variazione di velocità ed il tempo

Accelerazione

)( 1tv

)( 3tv

)( 2tv

)( 4tv

0Dv

Moto rettilineo uniforme: ad ogni istante di tempo la velocità è uniforme, per cui la variazione della velocità è sempre nulla

0a

Moto uniformemente accelerato: ad ogni istante l’accelerazione è uniforme, ovvero costante in modulo, direzione e verso

Accelerazione variabile: velocità e accelerazione variano liberamente nel tempo, e si calcolano nel limite di spostamento infinitesimo in un determinato istante di tempo

dt

tvdta

)()(

costanteD

D

t

va

tav DDSe a è costante

si ha che:

Moto parabolico Il moto parabolico è un moto uniformemente accelerato. Esempio: un cannone posto ad un’altezza h dal livello del mare spara palle di ferro con velocità vx parallela al suolo; il proiettile è sottoposto all’azione della forza di gravità che imprime un’accelerazione uniforme in direzione verticale rivolta verso il basso, uguale in modulo all’accelerazione di gravità g

La velocità orizzontale resta uguale a vx lungo tutto il tragitto, mentre la velocità verticale orientata verso il basso vy aumenta secondo la legge: vy = gt

La traiettoria percorsa dall’oggetto è la parabola blu in figura

tgvy

gay h

xv

Moto circolare uniforme Nel moto circolare uniforme la velocità è costante in modulo e tangente alla traiettoria circolare in ogni punto. Poiché la direzione della velocità cambia da punto a punto, la velocità non è costante, e dunque il moto è accelerato In ogni punto della traiettoria l’accelerazione è sempre diretta verso il centro del cerchio, e per questo è detta centripeta (ac). Se vè il modulo della velocità ed r il raggio del cerchio, si può dimostrare che l’accelerazione centripeta in modulo è data dalla formula:

Il moto circolare uniforme ha enorme importanza poiché ricorre in molti fenomeni naturali ed applicazioni tecnologiche.Approssimativamente, il moto dei corpi celesti attorno al proprio centro di gravità può considerarsi circolare uniforme.

r

vac

2

v

r

ca