Embed Size (px)
Citation preview
Continguts 1
Calcul 1 2010/11
1. Continuıtat i lımits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Derivacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Optimitzacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3. Integracio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4. Series numeriques, aproximacio de funcions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Calcul 1 (GETI/GEQ/GEM) 2010-11
Continuıtat i lımits 3
1. Continuıtat i lımits
1 . Trobeu el domini de les funcions seguents:
(a) f(x) = ln(ln x) (b) g(x) =x + 3
x2 + 7x + 12(c) h(x) =
√x2 + 7x + 12
(d) i(x) =tan x
tan2 2x(e) j(x) =
√
|x − 2| − |x − 1|
2 . Dibuixeu la grafica de f i identifiqueu els valors de c per als quals existeix el lımit lımx→c
f(x),
en els casos seguents
(a) f(x) =
x2, x ≤ 28 − 2x, 2 < x < 44, x ≥ 4
(b) f(x) =
sin x, x < 01 − cos x, 0 ≤ x ≤ πcos x, x > π
3 . La grafica de f(x) =1
x − 1es mostra a la figura. Trobeu un δ tal que si 0 < |x−2| < δ , llavors
|f(x) − 1| < 0.01
-
6y
x
2.01.51.00.5
1 2 3 4
f
*
1.01
1.00
0.99
201101
2 19999
4 . La grafica de f(x) = x2−1 es mostra a la figura. Trobeu un δ tal que si 0 < |x−2| < δ , llavors|f(x) − 3| < 0.2
-
3
y
x
f
2.0
1.0
1 2 3 4
64
y=3.2
y=3
y=2.8
1
5 . En els exercicis seguents utilitzeu la definicio ε − δ de lımit per demostrar que el lımit es eldonat.
(a) lımx→4
√x = 2 (b) lım
x→−5|x − 5| = 10 (c) lım
x→−3(x2 + 3x) = 0
4 Calcul 1 (GETI/GEQ/GEM) 2010-11
6 . Tenim una rosca, la circumferencia interna de la qual es de 6 cm.
(a) Quin es el radi de la rosca?
(b) Si la circumferencia interna de la rosca pot variar entre 5.5 i 6.5 cm, quan pot variar el seuradi?
(c) Utilitzeu la definicio ε − δ de lımit per descriure aquesta situacio. Identifiqueu ε i δ .
7 . En els exercicis seguents trobeu el lımit, si existeix
(a) lımx→0
x
|x| (b) lımx→0
x
x2 − x(c) lım
x→−3
x2 + x − 6
x2 − 9
(d) lımx→4
√x + 5 − 3
x − 4(e) lım
x→0
√2 + x −
√2
x(f) lım
x→0
[1/(x + 4)] − (1/4)
x
(g) lım∆x→0
(x + ∆x)3 − x3
∆x(h) lım
x→0sin
1
x(i) lım
x→0
sin x
5x
(j) lımx→0
3(1 − cos x)
x(k) lım
θ→0
cos θ tan θ
θ(l) lım
x→0
sin2 x
x
(m) lımx→0
tan2 x
x(n) lım
x→π/2
cos x
cot x(o) lım
x→π/4
1 − tan x
sin x − cos x
(p) lımx→0
sin 2x
sin 3x(q) lım
x→0x cos x (r) lım
x→0x sin
1
x
(s) lımx→0
(sin x)E(x)
8 . En els exercicis seguents trobeu els valors de x (si existeix algun) en els quals f no sigui contınua.Quines discontinuıtats son evitables?
(a) f(x) =1
4 − x2(b) f(x) =
x − 6
x2 − 36
(c) f(x) =|x + 7|x + 7
(d) f(x) =
{
−2x + 3 , x < 1x2 , x ≥ 1
(e) f(x) =
{
tanπx
4, |x| < 1
x , |x| ≥ 1(f) f(x) =
{
cosecπx
6, |x − 3| ≤ 2
2 , |x − 3| > 2
(g) f(x) = 5 − E(x)
9 . En els casos seguents trobeu la constant a , tal que la funcio sigui contınua en tota la recta real
(a) g(x) =
4 sin x
x, x < 0
a − 2x , x ≥ 0(b) g(x) =
x2 − a2
x − a, x 6= a
8 , x = a
Continuıtat i lımits 5
10 . En els casos seguents analitzeu la continuıtat de la funcio composta h(x) = f(g(x))
(a) f(x) =1√x
, g(x) = x − 1 (b) f(x) = sin x , g(x) = x2
11 . En els casos seguents utilitzeu el teorema del valor mig per estimar el zero amb una precissio dedues xifres decimals en l’interval [0, 1].
(a) f(x) = x3 + x − 1 (b) g(t) = 2 cos t − 3t (c) h(θ) = 1 + θ − 3 tan θ
12 . Deja vu. Un dissabte a les 8:00 del matı, un home comenca a pujar corrent el vessant d’unamuntanya cap al campament de cap de setmana. El diumenge a les 8:00 del matı baixa corrent lamuntanya. Triga 20 minuts en pujar i nomes 10 en baixar. En un cert punt del camı de baixada,l’home s’adona que va passar pel mateix punt a la mateixa hora el dia anterior. Demostreu quel’home no va errat. (Suggeriment: Considereu que s(t) i r(t) son les funcions de posicio depujada i baixada, i apliqueu el teorema del valor mig a la funcio f(t) = s(t) − r(t).)
13 . Volum. Utilitzeu el teorema del valor mig per demostrar que entre totes les esferes, els radisde les quals pertanyen a l’interval [5, 8], n’hi ha una de volum de 1500 cc.
14 . La funcio signe es defineix com sgn(x) =
−1 , x < 00 , x = 01 , x > 0
. Construıu la grafica de sgn(x) i
calculeu els lımits seguents (en cas que sigui possible)
(a) lımx→0−
sgn(x) (b) lımx→0+
sgn(x) (c) lımx→0
sgn(x)
15 . El.laboracio de models. Un nedador creua una piscina d’amplada b nedant en lınia recta desdel punt (0, 0) fins el punt (2b, b)
(2b, b)66
?-
b
y
x(0, 0)
(a) Sigui f una funcio definida com la coordenada y del punt sobre el costat mes llarg de lapiscina que es troba mes a prop del nedador en qualsevol moment del seu trajecte. Trobeula funcio f i construıu la seva grafica. Es tracta d’una funcio contınua? Raoneu la resposta.
(b) Sigui g la distancia mınima entre el nedador i el costat mes llarg de la piscina. Trobeu lafuncio g i construıu la grafica. Es tracta d’una funcio contınua? Raoneu la resposta.
6 Calcul 1 (GETI/GEQ/GEM) 2010-11
16 . En els casos seguents trobeu les asımptotes verticals (si n’hi ha) de la funcio
(a) f(x) =x2
x2 − 4(b) g(t) =
t − 1
t2 + 1(c) h(t) =
t2 − 2t
t4 − 16
(d) f(x) = secπx (e) g(θ) =tan θ
θ
17 . En els casos seguents determineu si la funcio te una asımptota vertical o una discontinuıtatevitable en x = −1
(a) f(x) =x2 − 1
x + 1(b) f(x) =
sin(x + 1)
x + 1
18 . En els casos seguents calculeu el lımit
(a) lımx→0−
(
1 +1
x
)
(b) lımx→0−
(
x2 − 1
x
)
(c) lımx→π
√x
cosec x
(d) lımx→0
x + 2
cot x(e) lım
x→(1/2)x sec πx (f) lım
x→1
3√
x − 1√x − 1
(g) lımx→0
√1 + x + x2 − 1
x(h) lım
x→0(1 + 3 tan2 x)cot
2 x (i) lımx→0
√
x2+p2−p√
x2+q2−q, p i q>0
(j) lımx→a
m√
x − m√
a
x − a, a > 0
19 . Ritme o velocitat de canvi. Un cotxe de policia esta estacionat a 50m d’un gran magatzem
θ
?
6
50m
� -x
6
La llum giratoria de la part superior de l’automobil gira a un ritme o velocitat de 1/2 revolu-cio per segon. El ritme o velocitat al qual es desplaca el feix de llum al llarg de la paret esr = 50π sec2 θm/s .
(a) Calculeu el ritme o velocitat r quan θ es π/6.
(b) Idem quan θ es π/3.
(c) Trobeu el lımit de r quan θ → (π/2)− .
Derivacio 7
2. Derivacio
1 . En els casos seguents determineu el domini de definicio, calculeu les derivades laterals en x = 1(si existeixen), i digueu si la funcio es derivable en aquest punt.
(a) f(x) =√
1 − x2 (b) f(x) =
{
(x − 1)3, x ≤ 1(x − 1)2, x > 1
2 . En els casos seguents trobeu la derivada de la funcio
(a) y = cos√
sin(tan πx) (b) g(x) =
(
x + 5
x2 + 2
)2
(c) y = sin 3√
x + 3√
sinx
(d) g(x) = (2 + (x2 + 1)4)3 (e) f(x) =
√
2 +√
2 +√
x (f) g(θ) = sec
(
1
2θ
)
tan
(
1
2θ
)
3 . Trobeu la segona derivada de la funcions seguents
(a) f(x) =4
(x + 2)3(b) f(x) = sec2 πx
4 . En els casos seguents trobeu les derivades de la funcio f per a n = 1, 2, 3 i 4. Utilitzeu elsresultats per elaborar, sense demostrar, una regla general per a f (n)(x) en termes de n .
(a) f(x) =1
x(b) f(x) = x sin x (c) f(x) = xn
5 . Siguin f(x) =
x sin1
x, x 6= 0
0, x = 0i g(x) =
x2 sin1
x, x 6= 0
0, x = 0
(a) Demostreu que f es contınua, pero no derivable en x = 0.
(b) Demostreu que g es derivable en 0 i calculeu g′(0).
6 . Demostreu que les grafiques de y = x i y = 1/x tenen rectes tangents perpendiculars entre sien el seu punt d’interseccio.
7 . Llencem un projectil cap a dalt des de la superfıcie terrestre amb una velocitat inicial de 120m/s. Quina es la seva velocitat al cap de 5 segons? I al cap de 10?
8 . El desplacament de la seva posicio d’equilibri per a un objecte en moviment harmonic situat
a l’extrem d’una molla es y =1
3cos 12t − 1
4sin 12t , on y es mesura en metres i t en segons.
Determineu la posicio i la velocitat de l’objecte quan t = π/8 s .
9 . Una boia oscil.la amb moviment harmonic simple donat per y = A cos ωt , mentre que les onesla copegen. La boia es mou verticalment, des del punt mes baix fins el mes alt, un total de 1metre? Cada 10 segons torna al punt de maxima alcada.
8 Calcul 1 (GETI/GEQ/GEM) 2010-11
(a) Escriviu una equacio que expliqui el moviment d’aquesta boia si esta en la maxima alcadaquan t = 0.
(b) Calculeu la velocitat de la boia en funcio de t .
10 . Sigui f(x) = sin βx , on β es una constant.
(a) Calculeu les quatre primeres derivades de la funcio.
(b) Verifiqueu que la funcio i la segona derivada satisfan l’equacio f ′′(x) + β2f(x) = 0.
(c) Utilitzeu els resultats de l’apartat (a) per desenvolupar formules generals per a les derivadesd’ordre parell i senar f (2k)(x) y f (2k−1)(x).
11 . Sigui u una funcio derivable de x . Considereu que |u| =√
u2 per demostrar qued
dx(|u|) = u′
u
|u| ,u 6= 0, i feu servir el resultat per trobar la derivada de les funcions
(a) h(x) = |x| cos x (b) f(x) = |x2 − 9|
12 . Demostreu que la derivada d’una funcio senar es parella. Es a dir, si f(−x) = −f(x), llavorsf ′(−x) = f ′(x).
13 . Sigui f una funcio derivable de perıode p .
(a) La funcio f ′ , es periodica?
(b) Considerant la funcio g(x) = f(2x), la funcio g′(x), es periodica?
14 . Considereu la parabola x = y2 . Trobeu el nombre de rectes normals a la parabola des dels puntsseguents:
(a) (1/2, 0). (b) (1, 1).
Per a quin valor de (x0, 0) existeixen dues rectes normals perpendiculars entre si?
15 . (*) (a) Considerem la funcio
f(x) =
1
xne−1/x2
, x 6= 0,
0, x = 0.
Proveu que es derivable a l’origen i que f ′(0) = 0.
(b) Considerem la funcio
g(x) =
{
e−1/x2, x 6= 0,
0, x = 0.
Proveu que g admet derivades de tots els ordres a l’origen i que g(n)(0) = 0.
16 . (*) Considerem la funcio f definida per a x 6= 0 segons
f(x) =xn
(ex − 1)p,
on n, p son enters tals que n − p ≥ 2, p > 0.
(a) Calculeu el lımit d’f a l’origen i proveu que es pot escollir un valor de f(0) de forma que fsigui derivable en 0.
(b) En aquest cas, es pot calcular f ′′(0)?
Derivacio 9
17 . Calculeu la derivada de la funcio f(x) = arctanx + c
1 − cx, x ∈ R , i deduıu que f(x) = arctan x +
arctan c .
18 . Sigui f(x) = x2 sin(1/x), per a x 6= 0, f(0) = 0, i h, k funcions tals que h(0) = 3 ih′(x) = sin2(sin(x + 1)); i k(0) = 0 i k′(x) = f(x + 1) Calculeu les derivades seguents:
(1) (f ◦ h)′(0).
(2) (k ◦ f)′(0).
(3) α′(x2), on α(x) = h(x2).
19 . Siguin f i g dues funcions derivables en R .
(a) Suposem que f ′(x) > g′(x), per a tot x , i que f(a) = g(a). Proveu que se satisfa:
f(x) > g(x), si x > a, i f(x) < g(x), si x < a.
(b) Trobeu un exemple que mostri que la conclusio no seria correcta sense la hipotesi f(a) =g(a).
20 . (*) Una partıcula recorre una distancia unitat en una unitat de temps i comenca i acaba ambvelocitat 0. Proveu que en algun moment te acceleracio ≥ 4.
21 . Sigui f una funcio dues vegades derivable en un interval I tal que f ′′(x) > 0. Proveu que pera tot a, b ∈ I , es te
f(a + b
2) ≤ f(a) + f(b)
2.
22 . Utilitzant el teorema del valor mig, reiteradament, proveu que
tan x > x +x3
3, 0 < x < π/2.
23 . Sigui g(x) una funcio 2 cops derivable en R tal que g′′(x) es contınua en R , g(0) = g′(0) = 0i g′′(0) = 17. Definim
f(x) =
g(x)
x, x 6= 0,
0, x = 0;
trobeu f ′(0).
24 . Considerem tres funcions f , g , h que satisfan f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), per a tot x , i sigui atal que f(a) = g(a) = h(a) i f ′(a) = h′(a). Proveu que g tambe es derivable en a i quef ′(a) = g′(a) = h′(a).
25 . En els casos seguents useu la derivada per determinar si la funcio te una funcio inversa.
(a) f(x) = cos3x
2(b) f(x) = ln(x − 3)
26 . Representeu esquematicament les seguents funcions i indiqueu en quins intervals [a, b] son in-jectives
(a) f(x) = x3 − 3x2 . (b) f(x) =x + 1
x2 + 1.
10 Calcul 1 (GETI/GEQ/GEM) 2010-11
27 . (a) Trobeu la funcio inversa de f(x) = 3√
x − 1.
(b) Feu un estudi de la grafica de f(x) i de f−1(x) i representeu-les.
28 . En els casos seguents trobeu dy/dx mitjancant la derivada implıcita
(a) x3 − 3x2y + 2xy2 = 12 (b) (sin πx + cos πy)2 = 2 (c) y = sin xy
29 . Calculeu el pendent de la recta tangent en el punt (4, 2) de la lemniscata
3(x2 + y2)2 = 100(x2 − y2)
30 . En els casos seguents calculeu dy/dx de manera implıcita i trobeu el major interval amb la forma−a < y < a o 0 < y < a tal que y sigui una funcio derivable de x . Expresseu dy/dx enfuncio de x
(a) tan y = x (b) cos y = x
31 . En els casos seguents trobeu d2y/dx2 en termes de x i y .
(a) x2y2 − 2x = 3 (b) y2 = x3
32 . En els casos seguents, descriviu el tipus de forma indeterminada (si n’hi ha) que s’obte persubstitucio directa, i avalueu el lımit usant la regla de l’Hopital, si cal.
(a) lımx→∞
x ln x (b) lımx→0+
x1/x (c) lımx→0+
(ex + x)2/x
(d) lımx→∞
x1/x (e) lımx→4+
[3(x − 4)]x−4 (f) lımx→1+
(ln x)x−1
(g) lımx→0+
[
cos
(
π
2− x
)]x
(h) lımx→2+
(
1
x2 − 4−
√x − 1
x2 − 4
)
(i) lımx→1+
(
3
lnx− 2
x − 1
)
(j) lımx→0
√25 − x2 − 5
x(k) lım
x→0
ex − (1 − x)
x(l) lım
x→1
lnx2
x2 − 1
(m) lımx→1
xa − 1
xb − 1[a, b 6= 0] (n) lım
x→0
sin ax
sin bx[a, b 6= 0] (o) lım
x→1
arctan x − (π/4)
x − 1
(p) lımx→∞
cos x
x(q) lım
x→1
ln x
sin πx(r) lım
x→0
arctan x
sin x
33 . Calculeu el lımit lım x→∞
(x + a)x+a − xx
xx ln x, en funcio d’a .
34 . Historia del calcul. L’any 1696 el llibre de text de calcul de l’Hopital, va il.lustrar la seva
regla amb la funcio f(x) =
√2a3x − x4 − a
3√
a2x
a − 4√
ax3quan x tendeix a a , a > 0. Trobeu aquest
lımit.
Derivacio 11
35 . Trobeu els extrems absoluts de
(a) y = 3x2/3 − 2x , x ∈ [−1, 1]. (b) y = 3 − |t − 3| , x ∈ [−1, 5].
(c) y = tan
(
πx
8
)
, x ∈ [0, 2]
36 . Useu el teorema del valor intermig i el teorema de Rolle per demostrar que les equacions seguentstenen exactament una solucio real
(a) x5 + x3 + x + 1 = 0. (b) 3x + 1 − sin x = 0.
37 . La tos obliga a que la traquea (tub de vent) es constrenyi, la qual cosa afecta la velocitat v del’aire que passa a traves d’aquest conducte. La velocitat de l’aire quan es tus es v = k(R− r)r2 ,0 ≤ r < R , on k es una constant, R es el radi normal de la traquea i r es el radi quan es tus.Quin radi produira la maxima velocitat de l’aire?
38 . La potencia electrica P en watts en un circuıt de corrent directa amb dues resistencies R1 i
R2 connectades en paral.lel es P =vR1R2
(R1 + R2)2, on v es el voltatge. Si v i R1 es mantenen
constants, quina resistencia R2 produeix la potencia maxima?
39 . Feu un estudi complet de la grafica de les funcions seguents
(a) y =x + 1
x2 − 4(b) y =
x3
√x2 − 4
(c) y = sin
(
x
x − 2
)
, x > 3 (d) y =x√
x2 − 4
(e) y =
√9x2 − 2
2x + 1(f) y = 2 − 3
x2
(g) y =x + 1
x2 + x + 1(h) y = x exp(x2 + 1)
(i) y = (x + 1) ln |x + 1| (j) y = xx, x > 0
(k) y = x cotan x, −2π < x < 2π (l) y = 3√
2ax2 − x3
12 Calcul 1 (GETI/GEQ/GEM) 2010-11
Optimitzacio
1 . Trobeu dos numeros positius que satisfacin que el producte es 185 i la suma es mınima.
2 . Determineu el punt sobre la grafica de la funcio f(x) = x2 que estigui mes proper al punt(2, 1/2).
3 . Una pagina rectangular contindra 30cm2 d’area impresa. Els marges de cada costat son d’1cm .Trobeu les dimensions de la pagina de manera que es faci servir la menor quantitat de paper.
4 . En un dia determinat, el ritme o tasa de flux F (vehicles per hora) en una autopista congestion-
ada es F =v
22 + 0.02v2, on v es la velocitat del transit en Km/h Quina velocitat maximitzara
el ritme o tasa de flux en l’autopista?
5 . Un ramader te 400 m de tancat amb els quals delimita dos corrals rectangulars adjacents. Quinesdimensions han d’utilitzar-se de manera que l’area delimitada sigui un maxim?
6 . Una finestra Norman es construeix adossant un semicercle a la part superior d’una finestra rect-angular ordinaria. Trobeu les dimensions d’una finestra Normam d’area maxima si el perımetretotal es de 16 metres.
7 . Un rectangle esta tallat pels eixos x i y , i la grafica de y = (6 − x)/2.
1
2
3
4
1 2 3 4 5 6
(x, y)
Quina longitud i amplada ha de tenir el rectangle de manera que la seva area sigui un maxim?
8 . Dues fabriques es troben en les coordenades (−x, 0) i (x, 0) amb subministrament electric ubicaten (0, h)
6
-
y
x(−x, 0) (x, 0)
y
(0, h)
Determineu y de manera tal que la longitud total de la lınea de transmissio electrica des delsubministrament electric fins a les fabriques sigui un mınim.
9 . Una font lluminosa es troba sobre el centre d’una taula circular de 4 m de diametre. Trobeul’alcada h de la font lluminosa de manera tal que la il.luminacio I en el perımetre de la taulasigui maxima si I = k(sin α)/s2 , on s es l’alcada obliqua, α es l’angle que forma el llum quanincideix sobre la taula, i k es una constant.
10 . Un home es troba en una barca a 2 Km del punt mes proper a la costa. Es dirigeix al punt Qque es troba a 3 Km per la costa i a 1 Km terra endins. L’home pot remar a 2 Km per hora i
Derivacio 13
caminar a 4 Km per hora . Cap a quin punt sobre la costa ha de remar per arribar al punt Qen el menor temps possible?
11 . La utilitat (guany/benefici) P (en milers d’Euros) per a una companyia que gasta una quantitat
s (en milers d’Euros) en publicitat es P = − 1
10s3 + 6s2 + 400.
(a) Trobeu la quantitat de diners que la companyia ha de gastar en publicitat per produir unbenefici maxim (maxim rendiment).
(b) El punt de disminucio de rendiments es aquell en que la tasa de creixement de la funciod’utilitat (de rendiment) comenca a baixar. Determineu-lo.
14 Calcul 1 (GETI/GEQ/GEM) 2010-11
Integracio 15
3. Integracio
Calculeu les primitives seguents utilitzant el metode que s’indica en cada exercici.
1 . Primitives immediates.
(a)
∫
x + 6√x
dx, (b)
∫
cos x
sin2 xdx, (c)
∫
(x2 + 1)(x2 − 2)3√
x2dx,
(d)
∫
(a + bx3)2dx, (e)
∫
(cos2 θ − sin θ)dθ.
2 . Canvi de variables.
(a)
∫
x√x2 + 1
dx, (b)
∫
1 + x
1 +√
xdx, (c)
∫
ln 2x
x ln 4xdx
(d)
∫
x3√
3 − 4x2dx, (e)
∫
sec 2x tan 2xdx, (f)
∫
x −√
arctan x
1 + x2dx
(g)
∫
ax + b
a2x2 + b2dx, (h)
∫
ex
ex − 1dx, (i)
∫
cos√
x√x
dx
(j)
∫
a2x − 1√ax
dx, (k)
∫ 3√
1 + ln x
xdx (l)
∫
√2 + x2 −
√2 − x2
√4 − x4
dx.
3 . Per parts.
(a)
∫
x3exdx, (b)
∫
x ln xdx, (c)
∫
x√
x − 5dx
(d)
∫
x2 cos xdx, (e)
∫
arctan xdx, (f)
∫
e2x sin xdx
(g)
∫
x sin2 xdx.
4 . Utilitzeu la integracio per parts per provar les formules seguents:
∫
xn sinxdx = −xn cos x + n
∫
xn−1 cos xdx,∫
xn cos xdx = xn sin x − n
∫
xn−1 sin xdx,
∫
xn ln xdx =xn+1
(n + 1)2(−1 + (n + 1) ln x) + C,
∫
xneaxdx =xax
a− n
a
∫
xn−1eaxdx,
∫
eax sin bxdx =eax(a sin bx − b cos bx)
a2 + b2+ C,
∫
eax cos bxdx =eax(a cos bx + b sin bx)
a2 + b2+ C,
i apliqueu-les per calcular les primitives∫
x5 ln xdx,
∫
x3e2xdx.
16 Calcul 1 (GETI/GEQ/GEM) 2010-11
5 . Trigonometriques.
(a)
∫
sin 2x cos xdx, (b)
∫
cos5 x√sinx
dx, (c)
∫
sin3 xdx.
Proveu la formula
(e)
∫
cosp x sinq xdx = −cosp+1 x sinq−1 x
p + q+
q − 1
p + q
∫
cosp x sinq−2 xdx.
6 . Funcions racionals.
(a)
∫
5x
x2 − 10x + 25dx, (b)
∫
1
x2 − 25dx, (c)
∫
x + 1
(x2 + 4x + 5)2dx,
(d)
∫
x
(a + bx)2dx, (e)
∫
1
x2(a + bx)dx, (f)
∫
x3 + x + 1
x(x2 + 1)dx
(g)
∫
1
x3(x3 + 1)dx.
7 . Substitucions trigonometriques.
(a)
∫
√
4 − x2dx, (b)
∫
1√x2 − 25
dx, (c)
∫
1
x2√
16 − x2dx,
(d)
∫
√1 − x2
x4dx, (e)
∫
e2x√
1 + e2xdx, (f)
∫
(x + 1)√
x2 + 2x + 2dx
(g)
∫
√x2 + 1
xdx.
8 . Miscel · lania.
(a)
∫
1√x2 + x + 1
dx, (b)
∫
√
4 + tan2 xdx, (c)
∫
3 − 4x
(1 − 2√
x)2dx,
(d)
∫
x2 ln√
1 − xdx, (e)
∫
1
(sin x + cos x)2dx, (f)
∫
1
x4 − 2x2 + 1dx
(g)
∫
1
2 + 3 cos2 xdx, (h)
∫
1√2x + 1 − (2x + 1)1/4
dx, (i)
∫
arcsin(2x − 1)√x − x2
dx
(j)
∫
x arctan x√1 + x2
dx, (k)
∫
x3
x2 + 2x + 1/2dx.
9 . Considereu la funcio
f(x) =
{
4, x < 4,x, x ≥ 4.
Useu formules geometriques per a calcular la integral
∫ 8
0f(x)dx.
Integracio 17
10 . Algunes formules de sumes:
(a) 1 + 2 + . . . + n =n(n + 1)
2.
(b) Calcul de la suma de quadrats: observeu que
(k + 1)3 − k3 = 3k2 + 3k + 1.
Considereu les igualtats
23 − 13 = 3 · 12 + 3 · 1 + 1
33 − 23 = 3 · 22 + 3 · 2 + 1
. . . . . .
(n + 1)3 − n3 = 3 · n2 + 3 · n + 1
i deduıu una formula per
12 + 22 + . . . + n2.
(c) Utilitzeu el mateix metode per calcular
13 + 23 + . . . + n3.
11 . Trobeu el lımit de s(n) quan n → ∞ en els casos seguents:
(a) s(n) =81
n4
(
n2(n + 1)2
4
)
, (b) s(n) =64
n3
(
n(n + 1)(2n + 1
6
)
.
12 . Useu les formules de l’exercici 10 per calcular els lımits de les sumes de Riemann
(a) lım n→∞
n∑
i=1
3i
n2, (b) lım n→∞
n∑
i=1
1
n3(i − 1)2, (c) lım n→∞
n∑
i=1
(
2i
n
)(
2
n
)
.
13 . Utilitzeu particions regulars per calcular la integral seguent usant sumes de Riemann:
(a)
∫ 4
−14x2dx.
14 . Proveu que∫ a
0x3dx =
a4
4
utilitzant particions en n subintervals iguals i usant les formules del problema anterior.
18 Calcul 1 (GETI/GEQ/GEM) 2010-11
15 . Indiqueu si la funcio de la figura es integrable.
1
1 218
14
12
f
16 . El teorema del valor mig assegura que si f(x) es una funcio contınua, aleshores hi ha un c talque
∫ b
af(x)dx = f(c)(b − a).
Determineu el valor de c per a les integrals seguents
(a)
∫ 3
0x3dx, (b)
∫ 2
0(x − 2
√x)dx.
17 . Trobeu el valor mig de la funcio corresponent en l’interval indicat:
(a) f(x) = 9 − x2, [−3, 3], (b) f(x) = sinx, [0, π],
(c) f(x) =4(x2 + 1)
x2, [1, 3].
18 . Calculeu les derivades de les funcions seguents:
(a) F (x) =
∫ x3
asin tdt.
(b) F (x) =
∫ x
15
(∫ y
8
1
1 + t2 + sin t2dt
)
dy.
(c) F (x) = sin
(∫ x
0sin
(∫ y
0sin3 tdt
)
dy
)
.
19 . Donada una funcio f(x) definim
F (x) =
∫ x
0f(t)dt.
Determineu els punts per als quals F ′(x) = f(x) en els casos seguents:
(a) f(x) =
{
0, x ≤ 0,x, x ≥ 0.
(b) f(x) =
{
1, x = 1/n,0, altrament.
Integracio 19
20 . Calculeu (f−1)′(0) per a les funcions:
(a) f(x) =
∫ x
0(1 + sin(sin t))dt .
(b) f(x) =
∫ x
1sin(sin t)dt .
21 . Trobeu una formula per a la derivada de la funcio
F (x) =
∫ g(x)
f(x)h(t)dt,
i apliqueu-la per derivar la funcio∫ 4x3
x2−1
cos(t + 1)dt.
22 . Calculeu la recta tangent a la grafica de la funcio
F (x) =
∫ x
0ln2(t + e)dt
en el punt d’abscisa x = 0.
23 . Considereu la funcio F (x) definida per a x ≥ 0 per
F (x) =
∫ x
0e−t2dt.
(a) Proveu que se satisfa la desigualtat
∫ x
1e−t2dt ≤
∫ x
1e−tdt
x ≥ 1 i apliqueu-la per a deduir que existeix el lımit lım x→∞F (x).
(b) Estudieu la seva derivabilitat i analitzeu la seva grafica.
24 . Sigui f(x) la funcio definida a l’interval [0, 3] per
f(x) =
{
x + 1, 0 ≤ x ≤ 2,x2 + x + 1, 2 < x ≤ 3.
Trobeu una funcio F (x) tal que F ′(x) = f(x), x 6= 2 i
∫ 3
0F (x)dx = 6.
25 . Caluleu l’area de la figura limitada per una el· lipse de semieixos a, b .
20 Calcul 1 (GETI/GEQ/GEM) 2010-11
26 . Calculeu larea de la interseccio del cercle limitat per x2 +y2 = 4 i la regio limitada per l’el· lipse
1
16x2 + y2 = 1.
27 . Trobeu l’area delimitada per les funcions seguents:
(a) y = x2 − 1, y = −x + 2, x = 0, x = 1.
(b) f(x) = −x4 + 4x + 1, g(x) = x + 1.
(c) f(x) = 2 sin x, g(x) = tan x, −π
3≤ x ≤ π
3.
(d) f(x) = 3x, g(x) = 2x + 1.
28 . Trobeu el volum del solid generat per la regio acotada per les grafiques de les equacions quangirem al voltant de la recta donada:
(a) y =√
x, y = 0, x = 3; recta: x = 3.
(b) y = x2, y = 4x − x2 ; recta: eix x .
(c) y = cos 2x, y = 0, x = 0, x =π
4; recta: eix x .
29 . Considereu la meitat superior de l’el · lipse
9x2 + 25y2 = 225, y ≥ 0.
Calculeu el volum generat al girar al voltant de l’eix x (pilota de rugby) i al girar al voltant del’eix y (cupula el · lıptica).
30 . Generem un solid fent girar la regio limitada per y = x2/2 i y = 2 al voltant de l’eix y . Taladremun forat centrat en l’eix de revolucio de manera que es perd una quarta part del volum. Trobeuel diametre del forat.
31 . Calculeu el volum tancat per un pneumatic de radi 5, si el radi de la seccio transversal es 2.
32 . Un cable electric penja entre dues torres que estan a 200 metres de distancia. El cable pren laforma d’una catenaria d’equacio
y = 75(ex/150 + e−x/150) = 150 coshx
150.
Trobeu la longitud de l’arc del cable entre les dues torres.
33 . Trobeu la longitud de l’astroide
x2/3 + y2/3 = 1.
Integracio 21
34 . Un graner te 100 metres de llarg i 40 d’ample. El sostre te la forma d’una catenaria invertida(centrada)
y = 31 − 10(ex/20 + e−x/20).
40
100�
*
� -
Calculeu l’area de la teulada.
35 . Un modul espaial pesa 15 tones metriques en la superfıcie de la terra. Calculeu el treball necessariper propulsar-lo a una alcada de 800 milles sobre la terra, (no tingueu en compte la resistenciade l’aire ni el pes del combustible).
36 . Una comporta d’una presa vertical te forma de trapezi: 8 mts a la part superior, 6 mts a lainferior i una alcada de 5 mts. Quina es la forca del fluid sobre la comporta quan la part superioresta 4 mts per sota de la superfıcie de l’aigua?
37 . Analitzeu si les seguents integrals impropies son convergents i, en aquest cas, calculeu el seuvalor.
(a)
∫
∞
1
4
x2 + 1dx, (b)
∫
∞
0e−x cos xdx,
(c)
∫ 8
0
13√
8 − xdx, (d)
∫ π/2
0tan θdθ.
38 . Considereu la integral impropia
In =
∫
∞
0
x2n−1
(x2 + 1)n+3dx.
(a) Raoneu que es convergent per a tot n ≥ 1.
(b) Proveu que la formula recurrent
In =
(
n − 1
n + 2
)
In−1.
(c) Avalueu les integrals∫
∞
0
x
(x2 + 1)4dx,
∫
∞
0
x3
(x2 + 1)5dx.
39 . Utilitzeu les funcions d’Euler per calcular les integrals impropies seguents:
(a)
∫
∞
3
dx
x3 3√
x − 3, (b)
∫ 5
2
(x − 2)3√5 − x
dx
22 Calcul 1 (GETI/GEQ/GEM) 2010-11
Series numeriques, aproximacio de funcions 23
4. Series numeriques, aproximacio de funcions
1 . Utilitzeu induccio per provar que 13 + 23 + . . . + n3 = (1 + 2 + . . . + n)2 , n ≥ 1.
2 . Proveu per induccio respecte d’n que nk + (n− 1)k + . . . + 2k + 1k ≤ nk+1 , per a k ≥ 0 i n ≥ 1.
3 . Proveu per induccio que
(1 + x)(1 + x2)(1 + x4) · · · (1 + x2n
) =1 − x2n+1
1 − x,
per a n ≥ 1 i x 6= 1.
4 . Proveu per induccio que 1 · 5 + 2 · 52 + . . . + n · 5n =5 + (4n − 1)5n+1
16, per a n ≥ 1.
5 . En les successions (a) i (b), escriviu els 5 primers termes, i en les successions (c) i (d) doneu unaformula pel terme general.
(a) a1 = 3, an+1 =
(
n + 1
2
)
an (b) a1 = 6, an+1 =1
3a2
n
(c) 2, 5, 8, 11, . . . (d) 1,−3
2,9
4,−27
8, . . .
6 . Determineu el lımit, cas d’existir, de les successions seguents:
(a) an =2n√
n2 + 1(b) an = cos
2
n(c) an =
np
en, p > 0
(d) an =1 · 3 · 5 · . . . · (2n − 1)
(2n)n(e) an =
ln n3
2n(f) an =
cos πn
n2
7 . Calculeu
lım n→∞
n√
e + . . . + n√
en
n.
8 . Siguin a0 > b0 > 0. Considerem
a1 =a0 + b0
2, mitja aritmetica,
b1 =√
a0b0, mitja geometrica,
i definim les successions
an =an−1 + bn−1
2, bn =
√
an−1bn−1.
(a) Utilitzeu induccio per provar que an > an+1 > bn+1 > bn .
(b) Raoneu que ambdues successions son convergents i proveu que tenen el mateix lımit.
24 Calcul 1 (GETI/GEQ/GEM) 2010-11
9 . Estudieu la convergencia de les series seguents
(a)∞∑
n=1
2n + 1
2n+1(b)
∞∑
n=2
n
ln n(c)
∞∑
n=1
arctan n
n2 + 1
(d)∞∑
n=2
1
n(lnn)p(e)
∞∑
n=1
(−1)n+1n2
(n + 1)2(f)
∞∑
n=0
cos πn
n2
(g)∞∑
n=1
n!
n3n(h)
∞∑
n=0
(−1)n24n
(2n + 1)!(i)
∞∑
n=2
(−1)n
(ln n)n
(j)∞∑
n=1
(
1
n− 1
n2
)n
(k)∞∑
n=1
3n−1
n!(l)
∞∑
n=1
an, on a1 = 1, an+1 =sin n + 1√
nan
10 . Doneu una cota superior de l’error en les avaluacions seguents:
(a) cos(0.3) ≈ 1 − (0.3)2
2!+
(0.3)4
4!.
(b) e ≈ 1 + 1 +1
2!+
1
3!+
1
4!+
1
5!.
11 . Sigui f(x) = ln(x + 1). Aproximeu el valor de f(0.5) amb un error menor de 10−4 .
12 . Proveu que si una funcio es senar (respectivament parell), aleshores el seu polinomi de Maclaurinde grau n nomes conte potencies senars (respectivament parells) de x .
13 . Trobeu l’interval de convergencia de les series:
(a)∞∑
n=0
(
x
4
)n
(b)∞∑
n=0
(2n)!
(
x
3
)n
(c)∞∑
n=1
(x − 3)n−1
3n
(d)∞∑
n=0
(−1)nx2n
n!(e)
∞∑
n=1
n!xn
(2n)!(f)
∞∑
n=1
2 · 3 · . . . · (n + 1)xn
n!
(g)∞∑
n=1
n!(x − c)n
(2n − 1)!!(h)
∞∑
n=0
(−1)n+1(n + 1)xn (i)∞∑
n=1
x3n
n
14 . Proveu que la funcio representada per la serie de potencies corresponent satisfa l’equacio difer-encial que l’acompanya:
(a)∞∑
n=0
(−1)nx2n+1
(2n + 1)!, y′′ + y = 0.
(b)∞∑
n=0
x2n
2nn!, y′′ − xy′ − y = 0.
15 . Trobeu una serie de potencies per a cadascuna de les funcions seguents centrada en el punt ques’especifica:
(a) f(x) =5
2x − 3, c = −3.
(b) f(x) =4x
x2 + 2x − 3, c = 0.
Series numeriques, aproximacio de funcions 25
(c) f(x) =x(1 + x)
(1 − x)2, x = 0.
(d) f(x) =1√
4 + x2, x = 0.
(e) f(x) = 4√
1 + x, x = 0.
16 . Trobeu la serie de Maclaurin per a cadascuna de les funcions:
(a) f(x) = ln(1 + x) (b) f(x) = cos x3/2 (c) f(x) = cos2 x
(d) f(x) = e−3x (e) f(x) = sinhx (f) f(x) =
sinx
x, x 6= 0
1, x = 0
17 . Utilitzeu una serie de potencies per aproximar el valor de la integral amb un error menor de10−4 .
(a)
∫ 1
0e−x3
dx (b)
∫ 1
0
sin x
xdx (c)
∫ 0.2
0
√
1 + x2dx.
18 . Sigui α = arctan(1/5). Trobeu tan(4α − π/4) i deduıu que
π
4= 4arctan
1
5− arctan
1
239.
Utilitzeu aquesta igualtat per aproximar el valor de π amb un error menor que 10−4 .
19 . Considerem una funcio creixent f : [1,∞[−→ R .
(a) Proveu que f(1) + . . . + f(n − 1) <
∫ n
1f(x)dx < f(2) + . . . + f(n).
(b) Sigui f(x) = ln x , proveu les desigualtats
nn
en−1< n! <
(n + 1)n+1
en<
nn+1
en−1.
(c) Deduıu que
lım n→∞
n√
n!
n=
1
e.
20 . Utilitzeu desenvolupaments en serie per calcular els lımits a l’origen de les funcions seguents
(a) f(x) =1 − cos(1 − cos x)
x4, (b) f(x) =
sin3 x − sin x3
ln(1 + x5),
(c) f(x) =(x + sin x)2 + sin3 x
sinx2 + tan2 x arctan x.
