Calcul dans le noyau et allocation des ressources

L'INSEE / GENESADRES

Calcul dans le noyau et allocation des ressourcesAuthor(s): Claude HenrySource: Cahiers du Séminaire d'Économétrie, No. 13 (1971), pp. 21-37Published by: L'INSEE / GENES on behalf of ADRESStable URL: http://www.jstor.org/stable/20075446 .

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CALCUL DANS LE NOYAU

ET ALLOCATION DES RESSOURCES

par

Claude HENRY

Charg? de recherche au Centre national de la recherche scientifique

Le m?moire pr?sent? par M. Claude Henry constitue un apport tr?s original aux tra

vaux sur les coalitions susceptibles d'?tre r?alis?es dans le cadre d'une ?conomie d'?changes ;

il se r?f?re en premier lieu au concept de "jeu balanc?", notamment invoqu? par H. E. Scarf :

"le jeu est dit balanc? si et seulement si, quelles que soient T et {uji

= 1 ,...,?},

cette imputation est aussi possible pour l'ensemble des n joueurs. Nous allons montrer

que, sous certaines conditions, une ?conomie d'?changes est un jeu balanc? ; il sera

alors possible de lui appliquer le th?or?me de Scarf, selon lequel tout jeu balanc?

poss?de un noyau non vide".

Cette r?f?rence lui permet de pr?ciser les conditions auxquelles se trouve subordonn?e

l'application du th?or?me :

"D?s qu'une ?conomie d'?changes constitue un jeu balanc?, elle poss?de donc un

noyau non vide. C'est notamment le cas lorsque les ensembles des consommations

possibles des n joueurs sont ferm?s et convexes et que leurs pr?f?rences sont exprim?es

par des fonctions d'utilit? quasi-concaves" ;

Consid?rant alors un "jeu discret" dans lequel, selon Scarf, "pour toute coalition C,

l'ensemble Vc des imputations possibles pour C a une fronti?re en marches d'escalier",

l'auteur en d?gage certaines cons?quences :

" ? tout jeu discret et balanc? poss?de un noyau non vide" ;

" - tout jeu balanc? est la limite d'une suite de jeux discrets et balanc?s".

M. Claude Henry fait ?galement ?tat de l'emploi d'un algorithme con?u par Scarf

en vue de proc?der au calcul d'une imputation appartenant au noyau d'un jeu discret.

Se fondant sur les r?sultats ainsi obtenus, l'auteur traite dans une partie essentielle

de son ?tude le cas des "pr?f?rences non convexes et bien indivisibles".

Une annexe est r?serv?e en dernier lieu au cas d'une ?conomie comprenant deux biens

et un nombre quelconque de consommateurs ayant tous, m?me ensemble de consomma

tions possibles, m?me fonction d'utilit? et m?me vecteur de ressources initiales ; il s'arr?te

en particulier aux cas de deux, puis trois consommateurs.

R.R.



22

I. - INTRODUCTION

En 1954, K.J. Arrow et G. Debreu [1] d?montr?rent leur c?l?bre th?or?me sur l'existence

d'un ?quilibre concurrentiel. Vers la m?me ?poque, encore que tout-?-fait ind?pendamment, D.B. Gillies [13], travaillant dans le cadre de la th?orie des jeux ? n joueurs, d?finit le concept de noyau ("core" en anglais). L'appartenance au noyau apparaissait comme un bon crit?re

de stabilit? pour une imputation ; aussi s'effor?a-t-on bient?t de l'introduire dans le cadre d?fini

par Arrow et Debreu ; par exemple, on ?tablit rapidement que, moyennant des hypoth?ses tr?s

peu restrictives, tout ?quilibre concurrentiel d'une ?conomie d'?changes appartient au noyau de cette ?conomie ; c'?tait retrouver, en la g?n?ralisant, la d?marche suivie par F.Y. Edgeworth

[3] pr?s d'un si?cle plus t?t (voir par exemple M. Shubik [14]).

Cependant, et bien que le noyau d'une ?conomie d'?changes ne se r?duise g?n?ralement

pas, et de loin, ? l'ensemble des ?quilibres concurrentiels, on ne disposait, jusqu'en 1967, d'aucun

outil math?matique pour l'?tudier directement, c'est-?-dire sans faire le d?tour par le concept

d'?quilibre concurrentiel ; on ?tait m?me incapable d'?tablir directement qu'il n'est pas vide, a fortiori d'en calculer un ?l?ment. L'outil qui faisait d?faut, H.E. Scarf [9] l'a fourni en ?tudiant

les jeux balanc?s. Il ?tablit que le noyau d'un jeu balanc? ? n joueurs n'est jamais vide. Il utilise

et d?veloppe ? cet effet le concept de famille balanc?e de coalitions, introduit par O. Bondareva

[2], B. Peleg [7] et L.S. Shapley [10] ; comme nous le montrons dans la deuxi?me partie du

pr?sent article, sa d?monstration est constructive, en ce sens qu'elle fournit un algorithme per mettant le calcul approch?

- l'approximation ?tant aussi serr?e qu'on le d?sire - d'un ?l?ment

du noyau.

D?s qu'une ?conomie d'?changes constitue un jeu balanc?, elle poss?de donc un noyau non vide. C'est notamment le cas lorsque les ensembles des consommations possibles des n

joueurs sont ferm?s et convexes et que leurs pr?f?rences sont exprim?es par des fonctions d'utilit?

quasi-concaves ; il convient de souligner que, m?me dans ce cas, il ne serait g?n?ralement pas

possible de d?montrer indirectement, ? partir de l'existence d'un ?quilibre concurrentiel, que le noyau de l'?conomie n'est pas vide ; en effet, tous les th?or?mes d'existence d'un ?quilibre concurrentiel, connus ? ce jour, reposent sur des hypoth?ses sensiblement plus restrictives

(J. Quirk et R. Saposnik [8] en donnent une revue tr?s compl?te ? la page 99 de leur livre).

Lorsque l'ensemble des consommations possibles d'un joueur n'est pas convexe, a fortiori

lorsqu'il n'est pas connexe (c'est, par* exemple, ce qui arrive quand apparaissent des biens in

divisibles), ou encore lorsque la fonction d'utilit? d'un joueur n'est pas quasi-concave, alors le noyau de l'?conomie peut ?tre vide. On trouvera en annexe un contre-exemple illustrant cette situation.

Il est n?anmoins possible de d?montrer que, dans une ?conomie d'?changes soumise aux

hypoth?ses que nous explicitons dans la troisi?me partie, il existe au moins une allocation v?ri fiant les trois conditions suivantes :

1) elle attribue ? chaque consommateur un ?l?ment de son ensemble des consommations

possibles ;

2) elle n'est bloqu?e par aucune coalition ;

3) pour chaque bien, divisible ou indivisible, pr?sent dans l'?conomie, la diff?rence ?ven tuelle entre la quantit? moyenne allou?e et la quantit? moyenne disponible de ce bien est un



23

infiniment petit en \\n,n ?tant le nombre de joueurs. Pour arriver ? ce r?sultat, nous rempla?ons l'?conomie initiale par une ?conomie auxiliaire qui soit un jeu balanc?, et ? laquelle nous puissions donc appliquer le th?or?me de Scarf.

L.S. Shapley et M. Shubik [12] ont d?j?, dans un article paru en 1966, introduit un concept de "quasi-core" ; mais ce concept n'est adapt? qu'? des jeux ? utilit? transf?rable, et les th?or?mes

d'existence qu'ils d?montrent postulent tous l'identit? de tous les joueurs, aux ressources initiales

pr?s.

IL - ECONOMIES D'ECHANGES COMME JEUX BALANCES

Dans le cadre d'un jeu ? n joueurs, consid?rons une famille r ={Cfc \k = 1 , . . . , r) de

coalitions ; T est une famille balanc?e de coalitions si et seulement si, ? chacune de celles-ci, soit Ck, il est possible de faire correspondre un nombre r?el non n?gatif ?k de telle mani?re

que, pour tout joueur i participant au jeu, on ait

? **(') ?* = ! fc=l

o? gk d?signe la fonction qui fait correspondre 1 ? chacun des joueurs appartenant ? Ck et 0

? tout autre joueur.

D?finissons maintenant le concept de jeu balanc?. Soient T une famille balanc?e de coali

tions dans le cadre d'un jeu ? n joueurs, et {ut\i = 1 ,. . . ,n} une imputation possiblei1) pour

chaque coalition appartenant ? T ; le jeu est dit balanc? si et seulement si, quelles que soient

T et {5) \i = 1 ,...,n] , cette imputation est aussi possible pour l'ensemble des n joueurs. Nous allons montrer que, sous certaines conditions, une ?conomie d'?changes est un jeu balanc? ;

il sera alors possible de lui appliquer le th?or?me de Scarf, selon lequel tout jeu balanc? poss?de un noyau non vide.

Th?or?me 1. - Soit une ?conomie d'?changes E dans laquelle m biens sont disponbiles et o?

chaque consommateur /, i G {1 , . . . , n}, a

? pour ensemble des consommations possibles, un sous-ensemble X,, ferm? et convexe,

de Rm ; ?

pour fonction d'utilit?, une fonction u{ : X(-+R, partout d?finie et quasi-concave sur X, ;

? pour ressources initiales un vecteur co/E Xi, avec co, > 0 ; dans ces conditions, E est

un jeu balanc?.

D?monstration. - Soient

? r = {Ck\k

= 1 ,. .. , r} une famille balanc?e de coalitions dont chacune est un sous

ensemble de l'ensemble des n consommateurs pr?sents dans l'?conomie E ;

? {5)1/= \,...,n) une imputation possible pour chaque coalition Ck appartenant ?

f ; ceci signifie que

(1) Nous reprenons ici la terminologie utilis?e par E. Malinvaud [6], page 129.



24

\/kG{\ ,...,r}, V/eC?, 3xf EX, tel que

ut (xf) > ui et

il s'agit de montrer que (?i I / = 1 ,...,?} est possible pour l'ensemble des n consommateurs, c'est-?-dire que

V/G{1 ,...,*}, 3x, G X, tel que

n, (x, ) > ?i et

n n

I */ < 2 ?*/ 7=1 /

= 1

V/G{1 ,...,*},

d?finissons

*=i

o? gfc d?signe la fonction qui fait correspondre 1 ? chacun des consommateurs appartenant ? Ck et 0 ? tout autre consommateur ; l'allocation {x( \i = 1 ,. .. , n) rend l'imputation

{5, | / = 1 ,.. ., n}

possible pour l'ensemble de tous les consommateurs, car elle v?rifie les conditions suivantes :

1) V/G?1 ,...,?}, xt G X, ;

cela r?sulte imm?diatement de ce que Xt est convexe et la famille T balanc?e ;

2) V/?{1 ,...,"}, ui(xi)>?i ;

en effet, de ce que ut est quasi-concave sur X, et la famille F balanc?e, il r?sulte que

3fc G {1 ,. .. , / } tel que ut (xt) > ut (xf) > ?{ ;

3) ? x, < t "/ ;

en effet, de ce que la famille T est balanc?e et l'imputation {5, |i = 1 , .. . , n} possible pour chaque coalition Ck appartenant ? T, il r?sulte que

n n r

*=i /=i



25

/ = 1 *=1

/eCfc

< ? s* 1 ?, - * = 1

/eCfc

= t ** f **</) "y = *=i /=i

/=i *=i

- 2?/ /=!

Q.E.D.

Th?or?me 2 (Scarf). - Tout jeu balanc? poss?de un noyau non vide.

Corollaire. ? Toute ?conomie d'?changes v?rifiant les hypoth?ses du th?or?me 1 poss?de un

noyau non vide.

Si ce n'est pas le lieu ici de reproduire la d?monstration du th?or?me de Scarf, que le lecteur

int?ress? trouvera dans H.E. Scarf [9], peut-?tre, n?anmoins, n'est-il pas inutile, en ?gard ? son

originalit?, d'en d?crire la structure.

Scarf consid?re d'abord un jeu, que nous pouvons qualifier de discret, dans lequel, pour toute coalition C, l'ensemble Vc des imputations possibles pour C a une fronti?re "en marches

d'escalier". La figure 1 repr?sente un ensemble de ce type pour une coalition de deux joueurs C ={/,, i2) ; les points a =

(u,ifC1, w,2>Ci)> b s

(*VC2 > "/2,C2>

et c - ^i1,c3>ut2,c3^90mmtts

des "marches d'escalier", suffisent ? caract?riser Vc. De mani?re g?n?rale, le jeu lui-m?me est

Figure 1



26

enti?rement caract?ris? par la connaissance, pour toute coalition C ={ix ,.. . , ip)

C {1 , . . . , n } ,

avec p > 1, des sommets des "marches d'escalier" de l'ensemble Vc ; nous noterons ces som

mets (w, >c, ,. . . , ut cl),. . . ,

(uiltCq ,.-.,", tCq), q

= <7(C) en d?signant le nombre, et d?

pendant donc de C. Au sommet (ut Cl ,... ,ut cl) faisons correspondre une colonne ? n lignes,

l'?l?ment de la ieme ligne ?tant uiC{ si / appartient ? C, une constante positive m dans le cas

contraire ; faisons de m?me pour toute coalition et pour tout sommet de l'ensemble des impu tations possibles pour cette coalition ; nous obtenons ainsi une matrice B, ? n lignes, et dont le

nombre de colonnes est ?gal ? 2 ?(C), o? la somme est ?tendue ? toutes les coalitions ; m est c

choisi sup?rieur ? tout autre ?l?ment de B. La matrice B caract?rise enti?rement le jeu consid?r?.

On montre successivement que :

- tout jeu discret et balanc? poss?de un noyau non vide ; - tout jeu balanc? est la limite d'une suite de jeux discrets et balanc?s.

La d?monstration que donne Scarf du premier point est constructive, c'est-?-dire qu'elle fournit un algorithme permettant le calcul rigoureux de l'?l?ment du noyau dont elle ?tablit l'existence ; aussi Scarf est-il ensuite en mesure d'effectuer le calcul approch? -l'approximation ?tant aussi serr?e qu'on le d?sire- d'un ?l?ment du noyau d'un jeu balanc? quelconque.

Revenons ? un jeu discret et balanc? pour d?finir une matrice A dont les colonnes soient en correspondance biunivoque avec celles de la matrice B : ? tout ?l?ment de B ?gal ? m on

fait correspondre 0, ? tout autre 1 ; toute colonne de A correspondant ? une coalition C est donc constitu?e des n valeurs que prend, sur l'ensemble {1 ,...,?}, la fonction gc qui applique sur 1 chaque joueur appartenant ? C, et sur 0 tout autre. D?finissons aussi ce que l'on entend

par base ordinale de B : n colonnes de B, d'indices jx ,...,/? (chacun de ces indices sp?cifiant simultan?ment une coalition C et un sommet de Vc), constituent une base ordinale de B si et seulement si, pour toute colonne / de B, il existe une ligne / telle que ut > u? ?, sachant que

??, =

min{K#f/ii uith ,...,uifin).

Lemme. - Si une base ordinale de B, constitu?e des colonnes jx ,...,/?, est simultan?ment une base r?alisable de A (au sens de la programmation lin?aire), alors l'imputation

{ ?i | / = 1 ,.. . , n}

appartient au noyau du jeu, sachant que, V/ G {1 ,. . . , n}, t?t = min {u{ , , ut , ,... ,u, , }. ? *''l '?'2 l,in

D?monstration. - Pour toute colonne / de B, il existe une ligne / telle que u{ > uu? ; on en d?duit que l'imputation {5) |/ = 1 ,. .. , n} n'est bloqu?e par aucune coalition. D'autre part, le choix de

"? ? V/ G {1 ,.. . , n}, comme min {uit?

, u? f ,.. . , u( f } assure que l'imputation

{5, | / = 1 ,. . . , n}

est possible pour chacune des coalitions Cx,...,Cr repr?sent?es dans l'ensemble d'indices

{/i ? ? /?} D?signons par T la famille de ces coalitions : T = (Ck \k = 1 ,..., r} ; comme le

jeu est balanc?, il nous suffit de montrer que T est une famille balanc?e de coalitions pour ?tre assur? que {5, | /= 1 ,...,?} est possible pour l'ensemble des n joueurs.



27

Que T soit une famille balanc?e r?sulte de ce que les colonnes jx ,. . . , jn constituent une

base r?alisable de A, c'est-?-dire qu'il existe une matrice-colonne x, ayant autant de lignes que A a de colonnes, telle que

1) tout ?l?ment de x est positif ou nul, les seuls ?l?ments non nuls ?tant situ?s sur les

lignes A,...,/,,;

2) Ajc = e, o? e est une matrice-colonne constitu?e de n ?l?ments ?gaux ? 1. L'?quation Ax = e peut encore s'?crire :

r s(k)

V/G{1 ,. . . ,?}, 2 2 Skd)xkt =

1, fc=l f=l

en d?signant par s(k) le nombre des sommets (rep?r?s par l'indice /) de Vc repr?sent?s dans

l'ensemble d'indices {jx ,. . . , /?} . En posant, \/k G {1 ,. .. r},

s(k)

dk =

2 xkt t-i

on voit imm?diatement que T est une famille balanc?e de coalitions. Q.E.D.

Comme l'algorithme que propose Scarf permet pr?cis?ment de d?terminer n colonnes

J\ ? > in ? clui constituent ? la fois une base ordinale de B et r?alisable de A, il devient possible de calculer rigoureusement une imputation (Ui \i = 1 ,. .. , n} appartenant au noyau du jeu discret.

III. - PREFERENCES NON CONVEXES ET BIENS INDIVISIBLES

Soit une ?conomie d'?changes En dans laquelle m biens sont disponibles ; ces biens peu vent ?tre, indiff?remment, divisibles ou indivisibles ; n consommateurs participent aux ?changes, avec n > 1. Soit, V/ G {1 ,..., h}, co, > 0 le vecteur des ressources initiales du consomma teur /. D?signons respectivement par X, et u{ l'ensemble des consommations possibles et la fonction d'utilit? du consommateur /. Nous ferons, sur chaque consommateur/, les hypoth?ses suivantes :

Hypoth?se 1. - X, est ferm?

Hypoth?se 2. - X( contient co.

Hypoth?se 3. - ui est partout d?finie et continue sur X,

Hypoth?se 4 (saturation) : il existe un sous-ensemble born? S, de X? tel que

V>; G Xt, 3x G S, tel que j * K

\ ( ut (x) > ut (y)

Remarque. -

L'hypoth?se 4 n'est pas rendue plus restrictive si l'on impose ? S, d'?tre ferm?.



28

Nous d?finissons le d-noyau de l'?conomie E? comme l'ensemble des allocations

{x,|/= 1 ,.. .

,?}

v?rifiant les trois conditions suivantes :

1 ) pour tout consommateur / G {1 ,...,?}, xt appartient ? l'ensemble X( des consom

mations possibles pour / ;

2) {xt | i = l ,. .. , n) n'est bloqu?e par aucune coalition CC{1,...,?}; n

3) pour tout bien h G {1 , .. . , m}, la quantit? allou?e 2 xm n'exc?de pas la quantit?

disponible de plus de d :

?=l i=l

o? d est un nombre r?el non n?gatif.

Nous nous proposons (Th?or?me 1) d'exhiber un nombre r?el non n?gatif dn tel, notam

ment, que, \fd>dn, le ?f-noyau de l'?conomie En ne soit pas vide. A cet effet, nous substi

tuerons ? l'?conomie En une ?conomie En comportant, elle aussi, m biens et n consommateurs ;

mais, dans En chaque consommateur i a un ensemble des consommations possibles S/ convexe

et compact et, pour fonction d'utilit?, une fonction U/ partout d?finie et quasi-concave sur

S,. En vertu du th?or?me de Scarf, En poss?de donc un noyau non vide ; il suffira par cons?

quent de montrer qu'il est possible, ? partir d'un ?l?ment du noyau de E^, de construire un ?l?ment du dn -noyau de En.

Nous consid?rons enfin une suite d'?conomies analogues ? En, comportant un nombre n croissant de consommateurs et embo?t?es les unes dans les autres :

E2CE3C...CEnCE? + 1 C...

Sur cette suite, nous ferons l'hypoth?se suivante :

Hypoth?se 5. - Il existe un sous-ensemble born? S de Rm tel que,

Vn>2,Vi G{1 ,...,n}, S,C S.

L'hypoth?se 5 s'interpr?te de la mani?re suivante : de chaque bien, il existe une quantit?, qui peut ?tre tr?s grands, au-del? de laquelle aucun consommateur ne d?sire accro?tre la consom mation qu'il fait de ce bien.

Nous montrerons alors (Th?or?me 2) que, si l'hypoth?se 5 est satisfaite, on a :

lim -^- = 0 ; ?- ?> n

en d'autres termes, ? tout nombre e strictement positif, aussi petit soit-il, on peut faire corres

pondre un entier positif n0 tel que, \/n > n0, il existe une allocation {xjn)\i = 1 ,.. ., n)

v?rifiant les trois conditions suivantes :



29

1) pour tout consommateur i G {{,..., n}, xjw) appartient ? l'ensemble X/ des con

sommations possibles pour / ;

2) {x\n) | / = 1 ,. . ., n} n'est bloqu?e par aucune coalition C C {1 ,... , n} ;

3) pour tout bien A G {1 ,. . ., m} , l'exc?s de la quantit? moyenne allou?e ?

2 xu?> i ? n '=>

sur la quantit? moyenne disponible ?

2 ^m es* inf?rieur ? e, et peut donc ?tre couvert par n i=i

des mesures de stockage dont l'ampleur ne soit pas disproportionn?e ? la taille de l'?conomie.

Soient,

V/G{1 ,...,n},

Sf le plus petit convexe ferm? contenant S, ;

Vx G S,, ?, (x) = {y G S, | ut (y) > u{ (x)} ;

Vx G S/, ?y (x) le plus petit convexe ferm? contenant ?, (x) ;

Vz G %, D, (z) = {x G S, \z G ?J(x)}

(sur la figure 2, o? m = 2 et ut(x) =

(xx)2 + (x2)2, D,(z) est la zone hachur?e).

On d?montre (voir C. Henry [4]) que, V/ G {1 ,...,?}, Vz G S?, D,(z) est non vide et

ferm? ; puisque uf est continue sur X?D S{, nous pouvons donc d?finir, Vz G S,,

U,(z) = max u((x) ;

*cD,(z)

U, appara?t comme une fonction quasi-concave sur S,.

Th?or?me 1. - Si les hypoth?ses 1 ? 4 sont satisfaites, il existe au moins une allocation

{x<n)|/ = 1 ,...,*}

telle que

1) V/G{1 ,...,?}, x,(n)GX/;

2) {x*n) | / = 1 ,.. ., n) n'est bloqu?e par aucune coalition C C {1 ,..., n} ;

3) VA G {1,..., m}, 2*?}< 2 "in + dn avec /= i /= i

?n = m. max d(S?),

ie{l,...,n}

o? d(St) est la longueur du diam?tre de Sr

D?monstration. ? Soit {y, |/ = 1 ,.. . , n} un ?l?ment du noyau de En, dont nous savons, en

vertu du th?or?me de Scarf, qu'il n'est pas vide ; il en r?sulte que



30

figure 2

2 "/ =

2 y t /=1 i=\

V/ G {1 ,...,?}, choisissons dans D, (yt) un point x, tel que

U, (yt) =

ut(xt) ;

en vertu de la d?finition de D^y,), on a

>/, G ?, (x,) (voir figure 3). n

Il en r?sulte que 2 w/ appartient au plus petit convexe ferm? contenant la somme vectorielle /=i

des ensembles compacts ^t(xt) ; par cons?quent, en vertu d'un th?or?me d? ? J.H. Folkman, n S. Karlin et L.S. Shapley [5] [11], ? co, peut s'?crire

/=i

2 "/ = 2 */

/=1 /=1

avec, pour tout consommateur /,



31

zi e 6i (**) >

et, pour au moins n -

m parmi les n consommateurs /,

z, G ?, (x,).

Supposons que les consommateurs / pour lesquels zt ^?^x^) soient au nombre de nQ<m ; nous pouvons, sans resteindre la g?n?ralit? du raisonnement, supposer qu'ils correspondent aux ?l?ments de l'ensemble {1 ,.. . , n0 }.

V/ G {n0 + 1 ,. .. , n }, nous avons

ui(zi)>ui(xi) =

UjO^) ;

soit alors x*n) = z{.

Il peut par contre arriver, lorsque / G {1 ,. . . , n0), que

w/(z/)<wi(x/) =

UjO^) ;

d?signons alors par x*n) un point de S, tel que

? ui(x?')>ui(xi)

= Vi(yi),

An) (n) et que \x)n) -

zt\ soit minimum (voir figure 3) ; n?cessairement Ix,. -

z{ \ < d(St).

Figure 3



32

L'allocation {x^ | / = 1 ,. . . , ?} ainsi d?finie v?rifie bien les trois conditions

1) ViS{l ,...,?} ,xj"> GS, CX,;

2) VC={/, ,...,jp}C{\,...,n}

V; E C, x, ?

Xy

et V <X/I ,...,*yp

Il existe / G C tel que Uyity) >

Uyty), puisque {.y, |/ = 1 ,. . . , n) appartient au noyau de En et que, en vertu de l'hypoth?se 4, on ne diminue pas la g?n?ralit? du raisonnement en supposant que,

V/ G C, x, G

S, ; mais

donc k, (x?n))

> U, (y? ) et U, (x;) > u, (x;)

uJ(xf))>uJ(xi).

3) V h G {1 ,. . . , m} , on a

2 (*?? -

"?> =

2 <*?? -

^)+ 21* -

?,*> =

(=i /=i /=i

?=i ?=i

"o

<2^/(S/)<dn- Q-ED / = 1

Th?or?me 2. - Soit une suite d'?conomies d'?changes E2 C E3 C . .. C En C En+1 C . .. , com

portant chacune m biens et v?rifiant chacune les hypoth?ses 1 ? 4, telles que les n premiers consommateurs de En+X soient les n consommateurs de Ert ; si cette suite v?rifie l'hypoth?se 5,

d alors lim ? = 0.

?- + ~ n

Cela r?sulte imm?diatement de ce que, en vertu du th?or?me 1 et de l'hypoth?se 5,

dm ?m ? =? max d(S:)<?d(S). n n

ie|i,...,n} n

ANNEXE

Nous consid?rons ici une ?conomie d'?changes E(n) comportant deux biens seulement. Les n consommateurs qui participent ? cette ?conomie sont identiques.



33

1 v/T

Figure Al - Courbe d'indiff?rence d'?quation ut(x) = 2

Figure A2



34

Tous ont donc :

1) m?me ensemble des consommations possibles :

V/ G {1 , . . . , n}, X, ={x G R2 |0 <||x|| < 10} ;

2) m?me fonction d'utilit? :

V/G{1 ,...,?},VxGX/,w/(x) =

(x1)2 +(x2)2,

? laquelle correspondent des courbes d'indiff?rence homoth?tiques ? la courbe repr?sent?e par la figure Al ;

3) m?me vecteur de ressources initiales :

V/G{1 ,...,?}, co, =

(1,1).

Apr?s avoir ?tudi? le cas n = 2, nous montrerons que, pour n =

3, le noyau de E(3) est vide.

Pour n = 2, l'ensemble des optimum de Pareto de E(2) appara?t, sur le diagramme d'Edgeworth

repr?sent? par la figure A2, comme la r?union des quatre c?t?s du carr? des allocations r?alisables.

Quant au noyau, il est la r?union des quatre segments [(\/2,0), (2,0)], [(2,0), (2,2 ?

y/T)],

[(0,y/l), (0, 2)] et [(0, 2), (2 -^2, 2)] (en utilisant le syst?me d'axes issus de 0X).

Le diagramme d'Edgeworth repr?sent? par la figure A2 fait aussi appara?tre, entre les valeurs

u1 et u2 prises, en un optimum de Pareto, par les fonctions d'utilit? respectives des deux consom

mateurs, les relations :

u2>ul =>w2 = (2 -y/u1)2 + 4 = 8 + u1 -

4y/ul ,

Ul >U2=?Ul =(2 -y/?2)2 + 4 = 8+M2- 4y/?2

Consid?rons maintenant, pour n = 3, une allocation r?alisable

{(xj.xj), (x\,x\), (x\,x\)} ,

correspondant ? des valeurs u1, u2 et u3 des fonctions d'utilit? respectives des trois consommateurs.

Supposons que cette allocation appartienne au noyau de E(3) ; nous allons montrer que cette

hypoth?se conduit toujours ? une conclusion absurde.

De ce que l'allocation consid?r?e appartient au noyau de E(3), il r?sulte que l'un au moins

des six nombres x},

/ = 1, 2, 3 et /

= 1, 2, est nul ; nous ne diminuons en rien la g?n?ralit? du

raisonnement en posant x\ = 0.

De ce que l'allocation consid?r?e appartient au noyau de E(3), il r?sulte aussi que l'allo cation {(x}, x\), (x2, x2)} est un optimum de Pareto pour toute ?conomie dans laquelle il s'agi rait de r?partir le vecteur de ressources totales (3, 3

? x2) entre les deux premiers consomma

teurs. Le diagramme d'Edgeworth correspondant, repr?sent? par la figure A3, fait appara?tre l'ensemble des optimums de Pareto d'une telle ?conomie comme la r?union des quatre segments

[(3-?,0),(3,0)],[(3,0),(3,3-x3)],

[(0, 0), (0, 3 - x3)] et [(0, 3 -

x3), (d, 3 - x3)]

(en utilisant le syst?me d'axes issus de 0^,

w 9-(3-x3)2 ^9-(3-y^)2^ , avec d =-? >- > 1 . 6 6



x2

35

Figure A3 '

Mais, en vertu des r?sultats obtenus au terme de l'?tude du cas n = 2, nous devons aussi

avoir

u1 > 2 et u2 > 2 , ainsi que :

max {u1, u2} > 4 ;

il nous suffit donc, lorsque 3 ? x3 > y/1 (cas repr?sent? par la figure A3), de consid?rer les

quatre segments [(2, 0), (3, 0)], [(3, 0), (3, 3 - x3 - y/1)], [(0, y/1), (0, 3 -

x3)] et

[(0,3-xl),(\, 3-xl)]C).

Comme, en outre, nous ne diminuons en rien la g?n?ralit? du raisonnement en posant u2 > u1, nous aurons seulement ? consid?rer les deux derniers de ces quatre serments. Distinguons deux

cas :

(1) Lorsque 3 - x\ <\fl, il n'y a m?me plus que deux segments ? consid?rer.



36

1 -u3>ul :

de ce que u3 > 8 + u1 - 4 y/?l, il r?sulte que

w3> 4,

donc

*f >2, donc

x?< 1 .

Mais, d'autre part, w1 > 2, c'est-?-dire

(xf )2 -f (x?)2 > 2 , donc

x] > 1, ce qui est en contradiction avec xf > 2 .

2 - u1 > u3 :

de ce que u1 > 8 + u3 - 4^/?73, il r?sulte que

(xf)2 + (x|)2 >S + (x|)2 -

4x23, donc

(x?)2 -h (3 -xf)2 > 8 + (xf)2 -

4x|, donc

*! < j (*r> +

2 ;

mais

xf< 1, donc

x| < 1, ce qui est en contradiction avec xf > y/1.

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Documents

Calcul dans le noyau et allocation des ressources