Calcul différentiel et intégral appliqué aux techniques, A. Ross �

09Auto-évaluation

Intégrale définie

Répondre dans les espaces libres en utilisant les notations appropriées.1.Legraphiqueci-dessousreprésenteunepartiedela

courbe de la fonction définie par f(x)=x2/4.

f (x)

x22

32

42

52

62

4

1

2

3

a)Endivisantenquatresous-intervallesetenrepré-sentantvotredémarchesurlegraphique,donnerune estimation par défaut et une estimation enexcèsde l’aire sous la courbede cette fonctiondansl’intervalle[1;3].

b)Donnerunintervalledevaleursàl’intérieurduquelseretrouvelavaleurdel’airesouslacourbedansl’intervalle[1;3].

1. a)La courbe est croissante vers le haut dans cetintervalle.Pourobteniruneestimationpardéfaut,onconsidèrel’imageàlafrontièredegauchedessous-intervallescommehauteurdesrectanglesetlabasedeceux-ciest1/2.Onobtientunesommedeproduitsdontonpeutallégerl’écritureenmet-tantenévidence1/2,lalargeurdesintervalles,et1/4, lequotientdansx2/4.L’estimationdel’aireestalors:

A= 14×

12

22

2

+32

2

+42

2

+52

2

=18

44+

94+

164+

254

=132

4+9+16+25( )= 5432

.

Puisquelacourbeestcroissanteverslehautdans

cetintervalle.Onconsidèrel’imageàlafrontièrededroitedessous-intervallescommehauteurdesrectanglespourobteniruneestimationparexcès.L’estimationdel’aireestalors:

A= 14×

12

32

2

+42

2

+52

2

+62

2

=18

94+

164+

254+

364

=132

9+16+25+36( )= 8632

.

b)L’airesous lacourbeestplusgrandeque54/32etpluspetiteque86/32,c’est-à-dire:

5432

<A< 8632

.

Solutions

� Auto-évaluation 09 - solutions

2.Legraphiqueci-dessousreprésenteunepartiedelacourbe de la fonction définie par f(x)=x2/4.

f (x)

x4

1

2

3

44

64

84

104

124

54

74

94

114

a)Endivisantenhuitsous-intervallesetenrepré-sentantvotredémarchesurlegraphique,donnerune estimation par défaut et une estimation enexcèsde l’aire sous la courbede cette fonctiondansl’intervalle[1;3].

b)Donnerunintervalledevaleursàl’intérieurduquelseretrouvelavaleurdel’airesouslacourbedansl’intervalle[1;3].

c)Comparerl’intervalleobtenuenbavecceluidunuméro1.

d)Commentfaudrait-ilprocéderpourl’aireexactesouslacourbe?

2. a)La courbe est croissante vers le haut dans cetintervalle.Pourobteniruneestimationpardéfaut,onconsidèrel’imageàlafrontièredegauchedessous-intervallescommehauteurdesrectanglesetlabasedeceux-ciest1/4.Onobtientunesommedeproduitsdontonpeutallégerl’écritureenmet-tantenévidence1/4,lalargeurdesintervalles,et1/4, lequotientdansx2/4.L’estimationdel’aireestalors:

A= 14×

14

44

2

+54

2

+64

2

+...+ 114

2

=1

161616

+2516

+3616

+...+12116

=1

25616+25+36+...+121( )= 492

256=

12364

.

Puisquelacourbeestcroissanteverslehautdans

cetintervalle.Onconsidèrel’imageàlafrontièrededroitedessous-intervallescommehauteurdesrectanglespourobteniruneestimationparexcès.L’estimationdel’aireestalors:

A= 14×

14

54

2

+64

2

+...+ 114

2

+124

2

=1

162516

+3616

+...+12116

+14416

=1

25625+36+...+121+144( )= 620

256=

15564

.

b)L’airesouslacourbeestplusgrandeque123/64etpluspetiteque155/6,soit:

12364

<A<15564

.

c)Aunuméro1,onaobtenu:

5432

<A< 8632

ou 10864

<A<17265

.

Encombinantaveclesrésultatsde2b,ona:

10864

<12364

<A<15564

<17265

.

Enexprimantennotationdécimale,ona: 1,6875<1,921875<A<2,421875<2,6875. d)En augmentant le nombre de sous-intervalles,

onaugmentelaprécisiondel’estimationetpourtrouverlavaleurexactedel’aire,ilfautprendrela limite lorsque le nombre de sous-intervallestend vers l’infini ou la limite lorsque la largeur dessous-intervallestendverszéro.

Calcul différentiel et intégral appliqué aux techniques, A. Ross �

3. a)Ondivisel’intervalle[0;3[ennsous-intervallesceux-cisontdoncdelargeur3/n.

b)Pour parvenir à la frontière droite du ie sous-intervalle, il faut parcourir i fois la largeur3/n.Lafrontièredroitedecesous-intervalleestdonc3i/n.

c)Lahauteurduierectangleestl’imagedelafron-tière droite par la fonction f. En calculant cetteimage,onobtient:

f 3i

n

= 9 −

3in

2

= 9 −9i2

n2 .

L’airedutriangleestleproduitdesahauteurparsabase,cequidonne:

A = 9 −9i2

n2

×

3n=

9n2 − 9i2

n2

×

3n

=27n3 (n2 − i2 ).

d)Lasommedesairesest:

At =27n3 (n2 − i2 )

i=1

n

∑ =27n3 (n2 − i2 )

i=1

n

∑

=27n3 n2 − i2

i=1

n

∑i=1

n

∑

=

27n3 n3 − i2

i=1

n

∑

=27n3 n3 −

n(n + 1)(2n + 1)6

= 27 −9n(n + 1)(2n + 1)

2n3 .

e) En évaluant la limite à l’infini, on obtient :

At = limn→∞

27 −9n(n + 1)(2n + 1)

2n3

= 27 − limn→∞

9n(n + 1)(2n + 1)2n3

= 27 − limn→∞

n3

n39(1+ 1 n)(2 + 1 n)

2

= 27 − limn→∞

9(1+ 1 n)(2 + 1 n)2

= 27 − limn→∞

9(1+ 0)(2 + 0)2

= 27 − 9 = 18.

f)La limite de la somme de Riemann est l’airesous lacourbede lafonction f(x)=9–x2dansl’intervalle [0; 3]. On appelle aussi cette limitel’intégrale définie de la fonction sur cet intervalle, soit:

At = (9 − x2 )dx0

3∫ .

3.Le graphique ci-dessous représente la partie de lacourbede lacourbe f(x)=9–x2dans l’intervalle[0;3].

f (x)

x3nn

9

8

7

6

5

4

3

2

1

3(i–1)n

3in

3n

3n

6n

9n

f 3in( )

a)Déterminerlalargeurdessous-intervallesconsti-tuantunepartitiondel’intervalle[0;3]ennsous-intervalles.

b)Déterminerlafrontièrededroiteduieintervalleetcalculersonimage.

c)Déterminerl’aireduierectangle.

d)Écrirelasommedesairesdesrectanglesetsim-plifier.

e)Évaluerlalimitelorsquen tend vers l’infini. f)Que représente la limite de cette somme de

Riemann?

� Auto-évaluation 09 - solutions

4. Le graphique suivant représente la fonction définie par:

f (x)= x− 2 x , dansl’intervalle[0;9].

f (x)

x

3

2

1

–1 (1; –1)

(4; 0)

(9; 3)

91 2 3 4 5 6 7 8A

g = 8/3

Ag = 43/6

a)Décrire la procédure pour calculer l’aire algé-briquesouscettecourbedansl’intervalle[0;9].Appliquercetteprocédureenayant recoursà labanque d’intégrales définies ci-haut.

b)Décrirelaprocédurepourcalculerl’airegéomé-triquesouscettecourbedans l’intervalle [0;4].Appliquercetteprocédureenayant recoursà labanque d’intégrales définies ci-haut.

c)Décrirelaprocédurepourcalculerl’airegéomé-triquesouscettecourbedans l’intervalle [0;9].Appliquercetteprocédureenayant recoursà labanque d’intégrales définies ci-haut.

4. a)L’airealgébriquesous lacourbeestdonnéeparl’intégrale définie sur l’intervalle [0; 9]. En ap-pliquant les propriétés de l’intégrale définie, on obtient:

x− 2 x( )0

9∫ dx = x

0

9∫ dx− 2 x

0

9∫ dx.

Enutilisantlesintégralesdelabanque,ontrouvepourd=9:

x− 2 x( )0

9∫ dx = x

0

9∫ dx− 2 x

0

9∫ dx

=92

2− 2× 2× 9 9

3

=812−

1083

=92

.

b)Puisquelacourbeestsousl’axedesxpartoutdansl’intervalle[0;4],l’airegéométriqueestlavaleurabsolue de l’aire algébrique dans cet intervalle.L’airealgébriqueest:

x− 2 x( )0

4∫ dx = x

0

4∫ dx− 2 x

0

4∫ dx

=42

2− 2× 2× 4 4

3

= 8− 323=−83

.

L’airegéométriquesouslacourbedansl’intervalle[0;4]estdoncAg,[0;4]=|–8/3|=8/3u2.

c)L’airegéométriquesouslacourbedansl’intervalle[0;9]estlasommedel’airegéométriquedanslesintervalles [0; 4] et [4; 9]. Dans l’intervalle [4;9],l’airegéométriqueestégaleàl’airealgébriquepuisque la courbe est au-dessus de l’axe des xpartoutdanscet intervalle.Par lespropriétésdel’intégrale définie, on a :

f (x)

4

9∫ dx = f (x)

0

9∫ dx− f (x)

0

4∫ dx.

Lesrésultatsobtenusenaetbpermettentd’écri-re:

f (x)

4

9∫ dx = 9

2−

−83

=

436

.

L’airegéométriquesouslacourbedansl’intervalle[0;9]estalors:

Ag,[0;9]=|–8/3|=8/3unitésd’aire.

Ag , [0;9 ] = Ag , [0;4 ] + Ag , [ 4;9 ] =

83+

436=

596

u2.

BANQUE D’INTÉGRALES DÉFINIES

1dx0

d∫ = d, xdx

0

d∫ =

d2

2, x2 dx

0

d∫ =

d 3

3, x3 dx

0

d∫ =

d 4

4, x dx

0

d∫ =

2d d3

, ex dx0

d∫ = ed , e− x dx

0

d∫ =

ed −1ed

.

Calcul différentiel et intégral appliqué aux techniques, A. Ross �

5. a) (2+ 4e− x0

6∫ )dx = 2 1

0

6∫ dx+ 4 e− x dx

0

6∫

= 2× 6+ 4× e6 −1e6

≈15,99 u2 .

b) e− x2

4∫ dx = e− x

0

4∫ dx− e− x

0

2∫ dx

=e4 −1e4

−

e2 −1e2

=e4 −1e4 −

e2

e2 ×e2 −1e2

=e4 −1− e4 + e2

e4 =e2 −1e4 .

6. a)Lapositionestcroissantesur[0;1]et[4;5].Elleestdécroissantesur[1;4].

b)La variation de position durant la première se-condeestdonnéepar:

(t 3 − 5t 2 + 4t0

1∫ )dt = t 3

0

1∫ dt − 5 t 2

0

1∫ dt + 4 t

0

1∫ dt

=14− 5× 1

3+ 4× 1

2=

712

m.

Lemobiles’estéloignéde7/12m,ilestdoncà12+7/12m=151/12mdupointderéférence.

c)Lavariationdepositiondurantlesquatrepremièressecondesestdonnéepar:

(t 3 − 5t 2 + 4t0

4∫ )dt = t 3

0

4∫ dt − 5 t 2

0

4∫ dt + 4 t

0

4∫ dt

=2564

− 5× 643+ 4×16

2

=−32

3 m.

Lemobileestalorsà12–32/3m=4/3m. d)Lavariationdepositiondurantlescinqpremières

secondesestdonnéepar:

(t 3 − 5t 2 + 4t0

5∫ )dt = t 3

0

5∫ dt − 5 t 2

0

5∫ dt + 4 t

0

5∫ dt

=6254

− 5×1253

+ 4× 252

=−2512

m.

Lemobileestalorsà12–25/12m=119/12m. e)Durant l’intervalle [0; 1], la distance parcourue

est7/12m.

5.En utilisant la banque d’intégrales ci-haut et lespropriétésdel’intégrale,calculerlesintégralessui-vantes:

a) (2+ 4e− x0

6∫ )dx

b) e− x2

4∫ dx

6.La vitesse d’un mobile en fonction du temps estdonnéepar:

v(t)=t3–5t2–4tm/s dontlareprésentationgraphiquesurl’intervalle[0;5]

est:

v(t)

t

20

15

10

5

–5

Inter

valle

de c

roiss

ance

de la p

ositi

on

Inter

valle

de c

roiss

ance

de la p

ositi

on

Inter

valle

de d

écro

issan

ce

de la p

ositi

on

21 3 4 5

a)Surquelsintervalleslapositionest-ellecroissante?Décroissante?

b)Si la position initiale du mobile est à 12 m dupointderéférence,àquelledistanceest-ildecepointà1s?

c)À quelle distance du point de référence est-il à4s?

d)Àquelledistancedupointde référenceest-il à9s?

e)Quelle est la distance totale parcourue par lemobile?

� Auto-évaluation 09 - solutions

Durantl’intervalle[1;4],lechangementdeposi-tionest:

v(t)1

4∫ dt = v(t)

0

4∫ dt − v(t)

0

1∫ dt

=−32

3−

712

=−12812

.

Le mobile a donc parcouru une distance de128/12mdurantcetintervalledetemps.

Durantl’intervalle[4;5],lechangementdeposi-tionest:

v(t)4

5∫ dt = v(t)

0

5∫ dt − v(t)

0

4∫ dt

=−2512

−−32

3=

10312

.

Le mobile a donc parcouru une distance de103/12mdurantcetintervalledetemps.

Autotal,lemobileaparcouru:

7

12+

12812

+10312

=23812

m.

7. a)Enposant 6− 2 x = 0 etenrésolvant,onobtientx=9.Lacourbecoupel’axedesxaupoint(9;0),on cherche donc l’intégrale définie sur l’intervalle [0; 9]. En utilisant les intégrales définies de la banque,onobtient:

6− 2 x0

9∫ dx = 6 1dx− 2 x

0

9∫0

9∫ dx

= 6× 9− 2× 2× 9 93

= 54− 36 =18.

L’aireestde18unitéscarrées.

b)Ladérivéedelafonctionest: f'(x)=3x2–18x+24. Elle s’annule à x = 2 et à x = 4. L’intervalle

d’intégration est donc [2; 4]. Par les propriétésde l’intégrale définie, on a :

f (x)

2

4∫ dx = f (x)

0

4∫ dx− f (x)

0

2∫ dx.

Or,

f (x)

0

4∫ dx = 64 et f (x)

0

2∫ dx = 28.

L’airecherchéeestdoncde36unitéscarrées.

7.Calculerl’airesouslacourbedesfonctionssuivantesdansl’intervalleindiqué.

a)L’airedélimitéeparlesaxesetlacourbede:

f (x)= 6− 2 x

f(x)

x(9; 0)

(0; 6)

b)L’airesouslacourbeentrelemaximumrelatifetleminimumrelatifdelafonction:

f(x)=x3–9x2+24x.

f(x)

x

(2; 20)

(4; 16)