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Page 1 Calcul en fatigue des structures métalliques
1. Introduction
1.1 Historique de la fatigue
1.2 Endommagement par fatigue
1.3 Rappel des charges
2. Types de dimensionnement
2.1 Concept SAFE-LIFE
2.2 Concept FAIL-SAFE
3. Concept de tolérance au dommage (TAD) :
3.1 Diagramme de propagation : structure à un seul chemin d’efforts (SAFE LIFE)
3.2 Diagramme de propagation : structure FAIL-SAFE à chemins d’efforts multiples
3.3 Capacité de résistance d’une structure TAD
4 Représentation de la fatigue
4.1 Définitions
4.2 Différents types de sollicitation
4.3 Principaux paramètres influant sur la fatigue
5. Courbes d’endurance
5.1 Courbes de Wöhler
5.2 Les différents domaines d’endurance
5.3 Approche locale
5.4 Modélisation simplifiée des courbes de Wöhler
Dimensionnement en fatigue - initiation en fatigue - courbes d’endurance
Page 2 Calcul en fatigue des structures métalliques
6. La phase de propagation
6.1 Identification de la phase de propagation
6.2 Transition amorçage / propagation
6.3 Phase de propagation stable
7. Propagation des fissures en fatigue
7.1 Introduction
7.2 Lois de propagation
7.3 Propagation sous spectre complexe, phénomène de retard
8. Calcul du nombre de cycles de propagation d’une fissure
8.1 Introduction
8.2 Principe de calcul de la durée de propagation
8.3 Exemple d’application
9. Programme d’inspection sur les structures métalliques aéronautiques
9.1 Concept général de tolérance aux dommages
9.2 Différents types d’inspection
9.3 Programme de maintenance
10. Rappels de la mécanique linéaire de la rupture
10.1 Objectifs de la mécanique de la rupture
10.2 Facteur d'intensité de contrainte
10.3 Influence de l’épaisseur sur la valeur critique du facteur d ’intensité de contrainte
Propagation d’une fissure en fatigue - courbe R
Page 3 Calcul en fatigue des structures métalliques
11. Courbe R
11.1 Concept de courbe R
11.2 Utilisation des courbes R
12. Calcul sous spectre
12.1 Définitions
12.2 Exemples
12.3 Le ‘Rainflow’ : méthode de décomposition du spectre
12.4 Application du ‘Rainflow’
13. Endommagement par fatigue
13.1 Définition
13.2 Evolution
13.3 Paramètres physiques assimilables au dommage
14. Cumul linéaire du dommage (règle de Miner)
14.1 Définition
14.2 Exemple
14.3 Application
14.4 Solution proposée
15. Cumul non linéaire du dommage
15.1 Exemple
15.2 Solution proposée
Résistance résiduelle d’une structure fissurée - Cumul du dommage en fatigue
Cumul du
dommage en
fatigue
Page 4 1. Introduction
1.1 Historique de la fatigue
Dates importantes :
Avant les années 40 : Le phénomène de fatigue des matériaux métalliques n ’est pas pris en compte dans la
conception des structures aéronautiques. Celle-ci ne repose que sur l ’expérience acquise.
Les nombreux accidents dus à la fatigue des matériaux ont fait évoluer la recherche et la réglementation :
1954 COMET1 : rupture en fatigue du fuselage pressurisé (mise en service : 1952)
1977 B707 : crique sur le longeron arrière de l ’empennage
1977 B737 : Décompression explosive suite à une rupture structurale du fuselage.
Connaissances sur la fatigue :
1854 Braithwite : « Fatigue des métaux »
1858 Wöhler : « Limite d ’endurance »
1920 Griffith : Père de la mécanique de la rupture :
1945 Miner : Fatigue cumulative
1960 Paris : Loi de propagation : da/dN
Conséquences :
1978 : Introduction de la Tolérance aux dommages dans la réglementation des avions civils.
AK
Page 5 1.2 Endommagement par fatigue
Lorsqu’une structure métallique est soumise à des sollicitations mécaniques répétées, la matière la constituant se
dégrade :
- rupture de liaisons atomiques,
- puis glissements du réseau cristallin en raison de dislocations coin ou vis.
Dislocation coin : Dislocation vis :
1 - Plastification locale de certains grains du matériau : phase d’apparition des micro-fissures.
2 - Création de micro-fissures : phase de nucléation des micro-fissures.
3 - Réunion des micro-fissures puis formation d ’une fissure macroscopique : phase de coalescence
des micro-fissures.
4 - Au-delà d ’une taille critique, la fissure se propage dans un plan perpendiculaire à la direction de la
contrainte principale maximale de traction : phase de propagation.
Page 6
Objectif d’un calcul de fatigue :
Obtention d’une durée de vie (nombre de cycles à rupture) correspondant à l’ensemble des 4 phases.
Les trois premières phases correspondent à la l’initiation.
La dernière phase correspond à la phase de propagation.
Initiation et propagation d’un dommage en fatigue :
Page 7
Objectif d’un calcul de mécanique de la rupture :
Détermination de la vitesse de propagation d’une fissure de taille supérieure à 0.1 mm environ.
Importance relative : amorçage / propagation :
D NR
Na / NR 0 50 100
NR D
Page 8 1.3 Rappel des charges
L’ensemble des structures doit être justifié en fonction des 2 types de cas de charge suivants :
1. Cas statique :
- Pression cabine ‘seule’ :
La pression de justification correspond à 2 fois la pression du clapet de surpression.Dans ce cas, aucune
autre charge n’est appliquée.
- Charge mécanique + Pression cabine :
Les valeurs de justification correspondent aux Charges Extrêmes. La charge extrême de pression cabine
correspond à 1.5 fois la valeur du clapet de surpression.
La Charge Limite correspond à un taux d’occurrence de 1 au cours de la vie de l ’avion (1 fois / 50000 hdv).
La Charge Extrême correspond à 1.5 fois CL et un taux d’occurrence de 1/109 hdv.
2. Cas de fatigue :
- Les charges appliquées correspondent aux charges réelles obtenues en vol stabilisé à n = 1g + des sollicitations
réellement rencontrées à chaque vol (rafales).
La contrainte de référence correspond à la contrainte maximale appliquée pendant un vol.
La contrainte équivalente correspond à une charge appliquée une fois par vol et correspondant à un
endommagement équivalent à l’ensemble des contraintes réelles de vol.
Page 9 Exemple : mission type pour un intrados de voilure :
t
roulement vol atterrissage roulement
1 vol
max
min
N 1
Vie avion
éq
N 1
La contrainte équivalente est fonction de la charge à n = 1 et du type de spectre :
- pour un intrados de voilure ou d ’un caisson de voilure, on a :
- pour un cas de pression cabine, on a :
21
néq
1
néq
Page 10 Détermination de la contrainte équivalente admissible :
Cette contrainte dépend :
- du type de matériau (aluminium, titane, acier ...)
- de la géométrie (trou de fixation, trou de visite, congé …)
- des paramètres métallurgiques (traitement thermique, chimique, …)
- des paramètres de montage (expansion, interférence)
- du type de sollicitation mécanique (flexion, effort transféré par une fixation, …)
De nombreux essais sont nécessaires pour quantifier l ’influence de tous ces paramètres.
Ordres de grandeur :
Aluminium de type 2024 utilisé pour un intrados de voilure,
Cas de ressource à 2.5 g (CL) et rafale 10ft/s (équivalent à une perturbation d’environ 0.2 g)
Les niveaux de charges et les contraintes sont environ :
Charge Extrême : Contrainte admissible : 280 Mpa
Charge Limite : 2.5 g Contrainte admissible : 187 Mpa
Charge équivalente : Contrainte admissible : 112 Mpa
Charge n = 1 + 10 ft/s : Contrainte admissible : 67 Mpa
Charge n = 1g : Contrainte admissible : 56 Mpa
Cette charge correspond à une masse avion moyenne et donc inférieure à MTOW.
Pour MTOW, la charge de fatigue n = 1g serait alors environ : Contrainte admissible : 74 Mpa
Page 11 2. Types de dimensionnement
2.1 Concept SAFE-LIFE :
Elément dimensionné pour une ‘durée de vie sûre’
- La durée de vie démontrée pour le concept Safe-Life est de 5 vies avion
Dimensionnement utilisé pour des structures à chemin de passage des efforts unique
- exemple : ferrure de mât réacteur, atterrisseurs
Page 12
2.2 Concept FAIL-SAFE :
La rupture partielle d’un élément n’entraîne pas de conséquence catastrophique et permet une
tenue statique à kCL
Dimensionnement utilisé pour des structures :
- à chemin de passage des efforts multiples (2 ou plus)
ou
- comportant des arrêts de crique
ou
- en attente (ne fonctionnant pas en temps normal).
Page 13
Passage des efforts à chemins multiples :
Chape Plusieurs éléments chargés différemment
Deux éléments également chargés
Page 14
Structures avec arrêts de criques :
Jonctions de fuselage
avec arrêt de crique en titane
Longeron AR de voilure
Réf. Cadre
Lisse
Lisse
Éclissage longitudinal
Arrêt de crique
intégré (7075)
Arrêt de crique
rapporté (TA6V)
Page 15
3. Concept de tolérance au dommage (TAD) :
Défauts d ’origine :
- accidentelle
- environnement
- fatigue
Repérage à temps
pour tenue > CL
et
réparation pour une
tenue à CE
Diagramme de
propagation
Inspections
périodiques
Page 16
3.1 Diagramme de propagation : structure à un seul chemin d’efforts (SAFE LIFE)
ad
a
Dimension du défaut
Valeur sûre de
crique détectable Taille critique
à CL
Structure non TAD
Structure TAD
Taille critique
à CL
N0 Nc
NI Calcul de I : 2
0NcN
I
Nvols
I : intervalle d ’inspection
Page 17
3.2 Diagramme de propagation : structure FAIL-SAFE à chemins d’efforts multiples
ad
a
Dimension du défaut
Valeur sûre de
crique détectable
Taille critique
à CL
Taille critique
à CL
N0 Nc
NI Calcul de I : 2
0NcN
I
N1
Taille critique
à CL
Nvols
Elément 1 Elément 2 ou 3
I : intervalle d ’inspection
Page 18
3.3 Capacité de résistance d’une structure TAD
CE
Capacité de
la structure
Défaut détectable en
CND (1 à 2 mm)
Calcul de I si CND
Réparation après détection
Temps en service
CL
Défaut détectable en C.
visuel (10 à 20 mm)
Calcul de I si C. visuel
Charges normales en service
I : intervalle d ’inspection
Page 19 4 Représentation de la fatigue
4.1 Définitions :
Caractéristique de fatigue couples [ , NR]
Contrainte admissible = f ( durée de vie )
Contraintes d ’essai : max amplitude maxi
m amplitude moyenne
a composante alternative
Chargement sinusoidal :
} essais diagrammes
max
m
min
a t
max
min
R
tam sin
Page 20
4.2 Différents types de sollicitation :
Alternée symétrique : m = 0 R = -1
Alternée dissymétrique : - a < m < a
-1 < R < 0
Répétée : m = ± a R = 0
Ondulée | m | > a 0 < R < 1
t
t
t
t
Page 21 4.3 Principaux paramètres influant sur la fatigue
4.3.1 Paramètres d’ordre métallurgique
Taille des grains :
En général, les structures à grains fins présentent une meilleure tenue en fatigue.
Orientation du fibrage par rapport à la direction des efforts :
Le sens long (orientation général des grains) confère au matériau des caractéristiques meilleures, en statique et
en fatigue, par rapport au sens travers.
Taux d’écrouissage :
L’écrouissage provenant des opérations de formage consolide le matériau (augmentation de la limite élastique)
et améliore donc la tenue en fatigue.
Traitement thermique :
Adoucissement du matériau Amélioration de la tenue en fatigue
Durcissement du matériau Détérioration de la tenue en fatigue
Santé métallurgique :
Les défauts métallurgiques (inclusions, précipités, lacunes …) peuvent être à l ’origine d ’un endommagement
par fatigue.
Page 22
4.3.2 Paramètres d’ordre mécanique et géométrique
Nature du chargement (dans le cas d’un spectre monotone) :
- Forme du signal : un signal de type ‘carré’ est plus pénalisant qu ’un signal de type sinusoïdal.
- Le rapport R : à contrainte maximale constante, une augmentation du rapport R entraîne une
augmentation de la durée de vie.
- La contrainte moyenne : à amplitude constante, une augmentation de la contrainte moyenne entraîne
une diminution de la durée de vie.
- La flexion : Le niveau de flexion locale peut nettement diminuer la durée de vie d’une pièce
(éclissage de lisse de fuselage).
- Fréquence : La fréquence n ’a une influence sur la fatigue que dans les cas suivants :
- échauffement (en cas de fréquence élevée),
- conditions corrosives,
- fluage du matériau.
Pour un spectre complexe (chargements variables) :
- Surcharges : la répartition périodique de surcharges peut retarder la propagation de fissures.
- L’ordre d ’apparition des cycles : le chargement 1 est plus pénalisant
que le chargement 2.
Chargement 1 Chargement 2
Page 23
Accident de forme : entailles, trou, rayon de raccordement ...
Augmentation locale du niveau de contrainte
Coefficient de surcontrainte élastique Kt : rapport entre la contrainte locale maximale et la contrainte à
l ’infini.
Plus le Kt est élevé, plus la durée de vie est faible.
x
max
netteSnettK max
Coefficient de sensibilité à l ’entaille : q
avec : et :
q = 0 Kf = 1 Matériau pas sensible à l’entaille
q = 1 Kf = Kt Pas d’adaptation Matériau très sensible à l’entaille
entailléeéprouvetteD
lisseéprouvetteD
fK
bruttK
max
1
1
tK
fK
q
Page 24
Effet d’échelle :
A même niveau de contrainte, plus les dimensions d ’une pièce croissent, plus sa résistance à la fatigue
diminue. (La probabilité d ’avoir des défauts métallurgiques augmente avec la taille de la pièce).
Usinage :
Les fissures de fatigue apparaissent en général en surface du matériau, d ’où nécessité de prendre en compte :
- la rugosité : une faible rugosité (diminution des surcontraintes) améliore la tenue en fatigue
- les contraintes résiduelles : des contraintes résiduelles de traction accélèrent l ’endommagement en fatigue
en se superposant aux contraintes mécaniques de traction.
4.3.3 Paramètres d ’ordre technologique
L ’obtention, lors de la mise en œuvre, de contrainte résiduelle de compression en surface permet d ’améliorer
la tenue en fatigue. (Ces contraintes sont équilibrées par des contraintes de traction en profondeur).
Les procédés utilisés sont les suivants :
- shot penning : bombardement de la surface par des micro-billes,
- expansion des alésages : avant montage d’une fixation, expansion du trou à l’aide d’un brunissoir,
- interférence : les fixations sont montées avec un je négatif.
4.3.4 Environnement
Un milieu corrosif ou à haute température diminue les performances en fatigue d ’un matériau.
Page 25 5. Courbes d’endurance
5.1 Courbes de Wöhler
- Elles permettent de quantifier la tenue en fatigue d’un matériau,
- Elles correspondent à un chargement périodique monotone d’amplitude constante,
- Les éprouvettes testées présentent différents accidents de forme (Kt),
- Les essais réalisés sont uni axiaux.
- la dispersion est importante et augmente avec le nombre de cycles à rupture.
Page 26
Des essais de fatigue peuvent être réalisés sur des éléments de structures plus complexes : axes, chapes, soudures
ou assemblages de tôles …
Pour les assemblages, plusieurs paramètres sont à considérer :
- type de fixations,
- jeux fonctionnels,
- pas des fixations,
- épaisseur des tôles,
- transferts de charge.
Remarque : Pour des durées de vie importantes (>105 cycles), plus de 90% du nombre de cycles à rupture
correspondent à la phase d’initiation. Pour des durées de vie supérieures à 106 cycles, la phase de propagation
devient négligeable.
Page 27
5.2 Les différents domaines d’endurance
- Fatigue oligocyclique : les contraintes sont de l’ordre de la limite élastique du matériau.
Faible nombre de cycles à rupture : inférieur à 104
- Domaine d’endurance limitée : domaine de travail des structures dont les masses sont optimisées (cas de la
plupart des structures aéronautiques)
Nombre de cycles à rupture compris entre 104 et 106
- Domaine d’endurance illimitée : les contraintes sont inférieures à la limite d ’endurance du matériau.
Nombre de cycles à rupture supérieur à 106 (de 107 à 108 dans la pratique).
Page 28
5.3 Approche locale
But : exprimer la durée de vie en fonction des paramètres locaux : contrainte et déformation au droit de
l ’accident de forme.
Principe :
Neuber : relation contrainte et déformation locale en fonction du coefficient de surcontraite.
Avec : Kt : coefficient de surcontrainte
: contrainte locale
e : déformation locale
S : contrainte brute (hors zone d ’influence de l ’accident de forme)
e : déformation brute (hors zone d ’influence de l ’accident de forme)
Ramberg et Osgood : loi de comportement du matériau
Basquin : relation entre durée de vie de l’éprouvette et déformation élastique
Avec : ’f et b : paramètres du matériau
Manson et coffin : relation entre durée de vie de l’éprouvette et déformation plastique
Avec : ’f et c : paramètres du matériau
SetKe
2
bNE
fe 2
'
2
e
D
cNf
p2'
2
e
D
Page 30
5.4 Modélisation simplifiée des courbes de Wöhler
Les courbes de Wöhler pour différents rapports R, dans un diagramme log-log, forment un réseau de droites
parallèles pour des durées de vie comprises entre 104 et 106 cycles.
La connaissance d ’un point étalon permet donc le calcul en fatigue.
Ce point est en général choisi à - 105 cycles objectif moyen de durée de vie
- R = 0.1 représentatif des chargements avion
évite de descendre en compression ou à charge nulle
Page 31 6. La phase de propagation
6.1 Identification de la phase de propagation
L'endommagement d'une pièce métallique sous un chargement cyclique peut se résumer en 3 phases :
une période d’ “ amorçage ” ou d’ “ initiation ” d’une fissure
une période de "propagation" stable de cette fissure
une propagation brutale de la fissure conduisant à la rupture statique de la pièce.
Nombre
de cycles
Longueur de
crique a
Initiation Propagation
Rupturestatique
formation d'une
micro-fissurea
progression
de la fissure
Page 32 6.2 Transition amorçage / propagation
Etant donnée la difficulté de mesure de la phase d'amorçage d'une fissure, la définition de celle-ci ne peut
être que conventionnelle.
Elle est souvent liée à la méthode d'inspection mise en œuvre pour la détecter; en général, dans la littérature,
elle correspond à une fissure d'environ 0,5 mm de longueur.
6.3 Phase de propagation stable
La suite de ce chapitre traite de la phase de propagation stable des fissures en fatigue. Elle présente :
- les rappels de mécanique de la rupture nécessaire à l’étude de l’évolution des fissures,
- les différentes lois de propagation et paramètres influents sur la propagation,
- l’application au calcul de la durée de vie d’une structure,
- les règles de justification d’une structure aéronautique en tolérance aux dommages.
Page 33 7. Propagation des fissures de fatigue
7.1 Introduction
L’expérience montre que la propagation d’une fissure en fatigue se produit lorsque la variation DK du
facteur d’intensité de contrainte au cours d’un cycle de chargement est supérieure à une certaine valeur DKs
appelée seuil de propagation (correspondant à ).
Cette propagation est limitée par la rupture brutale de la pièce lorsque le facteur d’intensité de contrainte
atteint sur un cycle une valeur supérieure à Kc.
Entre ces deux extrêmes, il existe un domaine de propagation qui peut être caractérisé par une relation
linéaire entre le logarithme de la vitesse de propagation et le logarithme de l’amplitude de la variation du
facteur d’intensité de contrainte.
cyclemmdNda
/810
Page 34 7.2 Lois de propagation
La courbe reliant le logarithme de la vitesse de propagation et le logarithme de l’amplitude de la variation du
facteur d’intensité de contrainte présente une partie linéaire.
DK (échelle log)
da
dN (échelle log)
DKs
Région II
Propagation lente
Région III
Propagation
rapide
Région I
Propagation
très lente
KIc
Rupture
Brutale
Page 35
Paris et Erdogan ont proposé une modélisation de la courbe de propagation ne retenant que cette partie
linéaire, et qui s’exprime par :
mKCdNda
D .
DK=Kmax-Kmin sur un cycle
- C et m sont des constantes dépendant du matériau, déterminées expérimentalement.
La relation de Paris et Erdogan n’est utilisable directement que si elle a été déterminée pour un chargement
identique à celui de la structure considérée.
En effet, pour un matériau donné et pour un même DK, la vitesse de propagation est influencée par le
chargement (rapport R=Kmin/Kmax) et par les contraintes résiduelles qui peuvent exister en front de
fissure.
Page 36
Influence du rapport R=Kmin/Kmax
Le rapport R=Kmin/Kmax a une influence prépondérante sur la vitesse de propagation. Globalement, la
vitesse de propagation augmente si le rapport R augmente.
DK (échelle log)
da
dN (échelle log)
R=0
R=0,4R=0,8
Différentes relations ont été proposées dans la littérature pour tenir compte de l’influence du ratio R.
Certains auteurs ont intégré dans la formulation les valeurs de DKs et/ou de Kc, afin de rendre compte
respectivement des zones de propagation très lente et très rapide.
Page 37
Quelques exemples de ces formulations sont donnés ci-dessous :
Forman, Kearney et Engle :
Erdogan et Ratwani : avec :
KcR
K
mKC
dNda
.11
.
D
D
KKc
KsKm
CdNda
DDD
1.1.
RR
11
Page 38
Influence des contraintes résiduelles :
Phénomène de fermeture de fissure
Pour un matériau sollicité avec différentes valeurs de rapport R, on constate que l’on peut obtenir une seule
courbe de propagation si l’on ne considère plus l’amplitude totale de variation du facteur d’intensité de
contrainte DK mais une partie seulement de cette amplitude, notée DKeff et appelée amplitude efficace du
facteur d’intensité de contrainte.
DK (échelle log)
da
dN (échelle log)
R=0
R=0,4
R=0,8
DKeff (échelle log)
da
dN (échelle log)
R=0
R=0,4
R=0,8
Page 39
En réalité, le fond de fissure peut rester fermé malgré l’application d’une contrainte de traction, et ce jusqu’à
ce que cette contrainte dépasse une certaine valeur appelée contrainte d’ouverture.
En effet :
- lorsque la fissure grandit à l’occasion de la partie montante d’un cycle de chargement, une zone
plastique en traction se produit au voisinage du fond de fissure. Le reste du matériau demeure
élastiquement contraint en traction.
- quand le chargement diminue lors de la partie descendante du cycle, le matériau de la zone élastique, en
reprenant sa forme initiale, agit comme une pince sur la zone demeurée plastique.
Le matériau est alors comprimé dans cette zone et la fissure se referme partiellement.
Lors des cycles suivants, il faut que le chargement appliqué soit plus important que ces contraintes résiduelles
pour pouvoir à nouveau ouvrir la fissure et la faire propager.
Seule une partie du cycle a donc un effet sur l’endommagement, c’est la partie efficace qui correspond à
DKeff = Kmax - Kouv = U. DK
Elber a proposé une relation reliant U au rapport de chargement R : U = a + b.R soit :
KRbaKeff DD ..
où a et b sont des constantes dépendant du matériau (pour les alliages d’aluminium, la relation d’Elber avec
a=0,4 et b=0,5 est généralement bien vérifiée).
Page 40 7.3 Propagation sous spectre complexe, phénomène de retard
Le phénomène de fermeture de fissure explique qu’une surcharge (qui crée une zone plastique en front de
fissure) provoque le ralentissement ou le blocage de la propagation : c’est le phénomène de retard.
N
a
Chargement
N
L’influence de ce phénomène est d’autant plus importante si ces surcharges sont espacées, ce qui signifie que
l’avancée de fissure est fortement dépendante de l’histoire du chargement.
Les modèles de propagation sous chargement complexe prennent en compte ces phénomènes de retard en
considérant une contrainte d’ouverture tenant compte de l’histoire du chargement.
Page 41 8. Calcul du nombre de cycles de propagation d’une fissure
8.1 Introduction
La durée de vie d’une structure est estimée en calculant le nombre de cycles à l’amorçage et le nombre de
cycles de propagation.
Ce chapitre ne traite que l’estimation du nombre de cycles de propagation d’une fissure après son amorçage.
8.2 Principe de calcul de la durée de propagation
Le calcul de la durée de propagation d’une fissure nécessite de connaître l’expression du facteur d’intensité
de contrainte en fonction de la taille de fissure.
Selon la géométrie de la pièce et du défaut, il est possible d’établir cette relation de manière analytique pour
les configurations simples, ou par éléments finis pour des configurations plus complexes.
Le nombre de cycles de propagation pour passer d’une taille de fissure a0 à une taille af est alors obtenu par
intégration de la loi de propagation :
Si : désigne la loi de propagation, on écrit : mKgdN
daD
D
fa
ada
maKg
fa
ada
da
dNfaaN
0
.1
0
.),0(
Page 42
8.3 Exemple d’utilisation
Considérons un défaut traversant de longueur 2a dans une plaque infinie.
2a
Dans ce cas la facteur d’intensité de contrainte s’écrit :
La loi de propagation (établie dans les conditions de chargement de la pièce considérée) s’écrit :
Calculer le nombre de cycles de propagation sous un spectre monotone (D désignant la variation de
contrainte par cycle) pour que la fissure passe d’une taille a0 à une taille af.
aaK ..)(
mKCdNda
D .
Page 43
Solution proposée :
On écrit : Avec :
On obtient donc :
Soit :
D
fa
adam
aKCfaaN
0
..
1),
0( aaK ..)( DD
D
D
f
a
a
fa
adam
a
mmC
damamCf
aaN
0 0
.
2.2..
1.
...
1),
0(
D
0 21
21
.
2...2
1
1),
0( a
m
fam
mmC
mf
aaN
Page 44 9. Programme d’inspection sur les structures métalliques aéronautiques
9.1 Concept général de tolérance aux dommages
Le principe général d’une justification en tolérance aux dommages d’une structure métallique aéronautique
est de démontrer qu’une fissure de fatigue sera détectée avant qu’elle n’atteigne une taille critique pour
l’intégralité de la structure.
- Cette taille est considérée comme étant la taille critique (au sens d’une rupture statique gouvernée par le
facteur d’intensité de contrainte Kc) à Charge Limite, c’est à dire pour une charge susceptible de survenir
une fois dans la vie de l’avion.
Une justification en tolérance aux dommages implique donc la définition d’un programme d’inspection
permettant de s’assurer du niveau de sécurité de la structure.
9.2 Différents types d’inspection
Walk around :Inspection de l’avion depuis le sol, pour détecter des dommages évidents
Inspection générale visuelle : Inspection depuis le sol, de différentes zones identifiées
Inspection visuelle détaillée : Examen visuel rapproché de certaines zones identifiées. Cet examen peut
nécessiter l’utilisation de miroirs, de lampes, et le démontage de certaines pièces.
Inspection spéciale : Examen de zones localisées par des techniques de contrôle non destructif telles que
les rayons X, les ultrasons, le ressuage, etc.
Page 45
Chaque méthode d’inspection peut être caractérisée, au terme d’études statistiques, par une courbe de
probabilité de détection :
Taille de défaut
Probabilité de
détection
100%
95%
adet
On définit adet comme la taille de fissure correspondant à une probabilité de détection de 95%.
Pour la définition des programmes d’inspection, on considère alors conservativement que l’inspection est
caractérisée de façon binaire :
- Si la taille de fissure est inférieure à adet, la fissure n’est pas détectable
- Si la taille de fissure est supérieure à adet, la fissure est détectable sûrement.
Page 46
9.3 Programme de maintenance
Un programme de maintenance doit être fourni aux compagnies aériennes. Il doit mentionner les techniques
de contrôle ainsi que les dates ou les fréquences d’inspection.
Deux grandeurs sont définies pour établir un programme d’inspection :
- le seuil de première inspection
- l’intervalle d’inspection entre deux inspections successives après le seuil.
Ces valeurs de seuil et d’intervalle d’inspection sont définies pour chaque pièce conçue en tolérance aux
dommages. Elles sont déterminées en considérant des coefficients de sécurité visant à prendre en compte les
différentes dispersions inhérentes à l’estimation de la durée de vie de la structure.
Si Ni désigne le nombre de cycles à l’initiation moyen
Np désigne le nombre de cycles de propagation moyen
Ndet désigne le nombre de cycles nécessaire pour qu’une fissure devienne détectable
Alors : Le seuil d’inspection est pris égal à :
L’intervalle d’inspection est pris égal à :
Les coefficients de sécurité K1 et K2 sont compris respectivement entre 2 et 5 pour K1 et 2 et 3 pour K2,
selon la connaissance de la structure et la validation ou non par essais des méthodes de calcul.
1KNpNi
2det
KNNp
Page 47 10. Rappels de la mécanique linéaire de la rupture
10.1 Objectifs de la mécanique de la rupture
Objectif :
prendre en compte la présence de défauts dans le matériau (défauts de fabrication ou défauts créés en
service, comme une fissure de fatigue).
La mécanique de la rupture permet :
- de déterminer les champs de contraintes et de déformations au voisinage d’un défaut,
- de déterminer la capacité de résistance du matériau à l’extension des défauts existants.
10.2 Facteur d’intensité de contrainte
En élasticité, les champs de contraintes et de déformations au voisinage d’un défaut sont caractérisés par le
facteur d’intensité de contrainte K.
Le facteur d’intensité de contrainte dépend de la géométrie du défaut et de la nature des sollicitations.
On distingue trois modes de rupture notés I,II et III :
Page 48
On distingue trois modes de rupture notés I,II et III :
Mode I
Ouverture
Mode II
Cisaillement
longitudinal
Mode III
Cisaillement
transversal
Pour chacun des modes de sollicitation, le facteur d’intensité de contrainte K dépend du niveau de
contrainte, de la longueur de fissure et de la géométrie globale de la pièce :
- a désigne la longueur de fissure
- Y(a) appelée fonction de forme, est une fonction de a qui dépend de la géométrie
- désigne le niveau de contrainte
aaYK .).(.
Page 49
Sous un chargement de fatigue, lorsque la fissure avance dans le matériau, le facteur d’intensité de contrainte
K = f(a,S) augmente.
La rupture finale (instabilité) se produit lorsque le facteur d ’intensité de contrainte atteint une valeur critique
Kc.
10.3 Influence de l’épaisseur sur la valeur critique du facteur d’intensité de contrainte
1er cas : plaque de forte épaisseur
Etat de déformation plane (déformation nulle dans le sens de l ’épaisseur)
Plan de rupture orthogonal à la direction de la sollicitation
La rupture se produit lorsque le facteur d ’intensité de contrainte K atteint une valeur critique,
caractéristique du matériau : K1c correspondant à la ténacité.
2ème cas : plaque de faible épaisseur
Etat de contrainte plane (aucune déformation n ’empêche la déformation dans le sens de l ’épaisseur)
La rupture est oblique et a lieu par glissement et arrachement.
Lors d ’un chargement croissant, la fissure initiale se propage pour une valeur de K proche de K1c mais
s ’arrête rapidement. La propagation de la fissure est alors stable jusqu ’à une valeur de K égale à une valeur
critique Kc dépendant de l ’épaisseur de la plaque.
Page 50
11. Courbe R
11.1 Concept de courbe R
Dans le cas des tôles minces, l’instabilité est plus difficile à définir et le Kc dépend de l ’épaisseur de plaque.
Les courbes R permettent de définir le facteur d ’intensité de contrainte critique Kc lorsque l ’état de
contraintes planes devient prédominant (cas des tôles minces). Les valeurs de ténacité ne sont alors plus
utilisable.
Obtention d ’une courbe R :
- essais par incrément de charge
Suite d’état d’équilibre avec propagation stable de la fissure,
Rupture lorsque l’avancée de fissure devient instable.
Longueur de fissure corrigée
Facteur d’intensité de contrainte
a0 : longueur de fissure initiale
A chaque longueur de fissure est associé un
facteur d’intensité de contrainte
Page 51
Prise en compte de la plasticité en front de fissure :
Propriétés de la courbe R :
- Elle est indépendante de la longueur de fissure a0 ,
- Elle est indépendante du type d’éprouvette,
- Elle dépend de l’épaisseur et du matériau.
2
21
eRK
physiquea
corrigéea
Page 52
11.2 Utilisation des courbes R :
11.2.1 Définition de la charge à rupture pour une structure fissurée donnée dont
on connaît les courbes K = S.f(a)
On augmente la contrainte S
jusqu’à obtenir la tangence des
courbes KR et S.f(a)
Evolution, pour la contrainte
S1, du facteur d’intensité de
contrainte en fonction de la
longueur de fissure
Domaine de non propagation
Courbe : propagation de la fissure
Une augmentation de la contrainte de S1 à S2 , entraîne une augmentation du facteur d’intensité de contrainte et donc une
propagation de la fissure. Cette propagation est stable : du point 1 vers le point 2.
A partir de la contrainte S3 toute augmentation de la contrainte (par exemple à S4) entraîne une augmentation du facteur
d’intensité de contrainte à une valeur supérieur à l’admissible de la courbe R et provoque ainsi une propagation instable et
donc la rupture.
1
2
3
S4.f(a)
Page 53
Utilisation des courbes R :
11.2.2 Définition de la longueur critique de fissure (juste avant la rupture brutale de la
pièce) pour un niveau de contrainte donné.
La courbe R étant indépendante de a0,
il suffit de la translater jusqu’à
tangence des courbes KR et S.f(a)
Pour la contrainte S, cette courbe R correspond à la limite : toute augmentation de la contrainte à une
valeur supérieure à S entraîne une propagation instable et donc la rupture.
La valeur acritique issue de cette courbe R correspond donc à la valeur maximale de fissure admissible pour
le niveau de contrainte donné S.
Page 54
Cumul du dommage en fatigue
Expérimentation :
Sollicitation à
amplitude constante
Spectre complexe :
avec des niveaux de
charge prépondérants
pour l’endommagement
Diagramme S / N Capacité de résistance
d’une pièce en service
Théorie du
dommage cumulatif
Réalité :
Spectre complexe avec
des niveaux de
chargement variables
Méthode du
Rainflow
Page 55 12. Calcul sous spectre
12.1 Définitions :
Un spectre est une succession de ‘pics’ de contrainte. Il correspond à une zone précise de l’avion et à ne
mission donnée (en générale un vol).
Les calculs de fatigue sous chargement variable se font à partir des données établies sous chargement
d ’amplitude constante (fatigue monotone).
12.2 Exemples :
Spectre de contrainte pour un intrados de voilure
Page 57
12.3 Le ‘Rainflow’ : méthode de décomposition du spectre :
But :
Permettre de faire ressortir d’un spectre les cycles prépondérants pour l’endommagement.
Le terme ‘Rainflow’ provient de la méthode de décomposition qui s’apparente au parcours d’une goutte d ’eau
sur un toit en pente.
Propriété : Le nombre total de cycles du spectre est inchangé par le ‘Rainflow’.
12.4 Application du ‘Rainflow ’ :
Le ‘Rainflow’ nécessite 4 étapes :
1. Sélection du pic de contrainte le plus élevé du spectre.
2. Le spectre est organisé en plaçant ce cycle au pic le plus élevé élevé en première position. Les cycles situés
à gauche de celui-ci sont reportés en fin de spectre.
3. L’écoulement d’un liquide sur la ‘pente’ gauche du cycle en ‘tournant’ le spectre d ’un quart de tour vers la
droite. Cette écoulement s’arrête lorsqu’une surface déjà mouillée est rencontrée ou lorsque la fin du spectre
est atteinte.
4. Le pic de contrainte le plus élevé parmi les autres pics non traités est alors sélectionné. Le même traitement
est alors effectué.
Page 58 Exemple :
1. Sélection du pic de contrainte le plus élevé du spectre.
2. Le spectre est organisé en plaçant ce cycle au pic le plus
élevé en première position. Les cycles situés à gauche de
celui-ci sont reportés en fin de spectre.
3. L ’écoulement d’un liquide sur la ‘pente’ gauche du cycle en
‘tournant’ le spectre d ’un quart de tour vers la droite. Cette
écoulement s’arrête lorsqu’une surface déjà mouillée est
rencontrée ou lorsque la fin du spectre est atteinte.
4. Le pic de contrainte le plus élevé parmi les autres pics non
traités est alors sélectionné. Le même traitement est alors effectué.
Page 59
13.1 Définition :
• pièce neuve N = 1 Dommage : D = 0
• pièce à rupture N = NR Dommage : D = 1
13.2 Evolution :
13.3 Paramètres physiques assimilables au dommage :
• Augmentation de la longueur de fissure : D = 0 : Fissure L0 D = 1 : Fissure Lc
• Baisse de la résistance statique résiduelle : D = 0 : résistance = R D = 1 : résistance = a
• Baisse du module d’Young : D = 0 : Module E D = 1 : Module E’
Nombre de cycles
Dommage
a0 : longueur de fissure initiale
Evolution non linéaire
de l’endommagement
Evolution linéaire de
l ’endommagement
NR D = 0
D = 1
13. Endommagement en fatigue
Page 60 14. Cumul linéaire du dommage (règle de Miner)
14.1 Définition :
L’endommagement est défini par :
Fatigue monotone :
avec :
n : nombre de cycles d ’amplitude a
N : nombre de cycles à rupture sous a
Fatigue complexe :
La rupture apparaît lorsque :
14.2 Exemple :
Considérons une pièce soumise à :
n1 cycles au niveau de contrainte 1 puis soumise à des cycles de niveau 2
Quelle est la durée de vie restante n2 à ce niveau de contrainte 2 ?
Nn
D
k
iN
in
D1
k
iN
in
D1
1
Page 61
Données :
Nombre de cycles à rupture au niveau de contrainte 1 : N1
Nombre de cycles à rupture au niveau de contrainte 2 : N2
Résolution :
Le dommage total s ’exprime par :
La rupture se produisant pour D = 1, on a :
Règle générale :
La vie résiduelle au niveau k s ’écrit :
2
2
1
1
N
n
N
nD
1
1122 N
nNn
1
11
k
iN
in
kN
kn
Page 62 14.3 Application :
Considérons une pièce avion soumise à chaque vol au cycle suivant :
Quelle est la durée de vie de cette pièce en nombre de vols ?
Quelle est la contrainte alternée équivalente à un spectre de vol (avec a = 70 Mpa) ?
-20
0
20
40
60
100
120
1 vol
Matériau : alu 2024
Kt = 3.3
Contrainte (MPa)
temps
80
Page 64
14.4 Solution proposée :
Application de la méthode du Rainflow :
-20
0
20
40
60
100
120
1 vol
Contrainte (MPa)
temps
80
1 2 3 4 5
7
6
Page 65
Décomposition du cycle de vol :
1. Contrainte moyenne : m = 50 MPa 1/2 amplitude de contrainte : a = 70 Mpa
2. Contrainte moyenne : m = 70 MPa 1/2 amplitude de contrainte : a = 50 Mpa
3.4.5 3 cycles : Contrainte moyenne : m = 80 MPa 1/2 amplitude de contrainte : a = 40 Mpa
6. Contrainte moyenne : m = 65 MPa 1/2 amplitude de contrainte : a = 45 Mpa
7. Contrainte moyenne : m = 10 MPa 1/2 amplitude de contrainte : a = 30 Mpa
Nombre de cycles à rupture pour ces cycles monotones :
Cycle 1 : N1 = 150000 d’où un endommagement pour un cycle : D1 = 6.67.10-6
Cycle 2 : N2 = 350000 d’où un endommagement pour un cycle : D2 = 2.86.10-6
Cycles 3,4,5 : N3 = 700000 d’où un endommagement pour 3 cycles : D3 = 4.29.10-6
Cycle 6 : N4 = 700000 d’où un endommagement pour un cycle : D4 = 1.43.10-6
Cycle 7 : N5 = 107 d’où un endommagement pour un cycle : D5 = 10-7
Le cumul linéaire donne l ’endommagement pour un cycle : D = 1.54.10-5
Soit un nombre de vols égal à 65150 (pour avoir un endommagement de 1).
La contrainte alternée équivalente est environ : m = 100 Mpa et a = 70 Mpa
Page 66 15. Cumul non linéaire du dommage
15.1 Exemple :
On réalise des essais de fatigue sur des éprouvettes d ’un matériau métallique :
- A une contrainte alternée de 1000 Mpa, la rupture se produit après 103 cycles.
- A une contrainte alternée de 600 Mpa, la rupture se produit après 106 cycles.
On souhaite tracer, pour chacun de ces chargements, la loi d ’endommagement D = f(n/N). Pour cela, on détermine
l’évolution des caractéristiques élastiques du matériau (module d’Young) hypothèse : ) :
(Mpa)
Essais à 1000 MPa
0 e
100
200
300
400
2.10-3
875 cycles
750 cycles
500 cycles
intact
(Mpa)
Essais à 600 MPa
0 e
100
200
300
400
2.10-3
875.103 cycles
750.103 cycles
500.103 cycles intact
Problème :
1) Tracer les évolutions de la loi d’endommagement pour chaque chargement. Montrer qu’elles peuvent être
représentées par D = f(n/N) pour le chargement le plus élevé et D = f(n/N)4 pour le chargement le plus faible.
2) Le matériau effectue 500 cycles à 1000 Mpa. Combien pourra-t-il en effectuer ensuite avant rupture à 600 Mpa ?
intact
endommagé1
E
E
D
Page 67
15.2 Solution proposée :
1) La variable d ’endommagement utilisée est :
Le module d ’Young pour un matériau intact est : E = 2.105 Mpa
Pour 1000 Mpa : pour 500 cycles : E’ = 105 Mpa soit : D = 0,5
pour 750 cycles : E’ = 5.104 Mpa soit : D = 0,75
pour 875 cycles : E’ = 2,5.104 Mpa soit : D = 0,875
Soit : D = f(n/N)
Pour 600 Mpa : pour 500.103 cycles : E’ = 1,875.105 Mpa soit : D = 0,0625
pour 750 .103 cycles : E’ = 1,375.105 Mpa soit : D = 0,3125
pour 875 .103 cycles : E’ = 8,3.104 Mpa soit : D = 0,585
Soit : D = f(n/N)4
Les lois d ’endommagement en fatigue pour ces deux niveaux de contrainte appliqués sont donc les suivantes :
n / N
Dommage
(a) = 600 MPa
1 D = 0
D = 1
0
(a) = 1000 MPa
intact
endommagé1
E
E
D
Page 68
Solution proposée:
2) L’endommagement correspondant à 500 cycles à 1000 MPa est :
D = 0,5
Le nombre de cycles n à 600 Mpa correspondant à cet endommagement est donné par :
Soit : n = 840900 cycles
L’éprouvette, cyclée à 600 Mpa, peut donc subir encore 159100 cycles avant la rupture en fatigue.
4
6102
1
n
Page 69
Les documents suivants ont été utilisés pour l’élaboration de ce cours :
- réf.. 1 : Université Paul Sabatier - Cours de fatigue et mécanique de la rupture des structures aéronautiques
en alliage léger - D. Duprat.
- réf. 2 : Ecole centrale de Nantes : Théorie de l’endommagement des matériaux - B. Lamy