1.Notiuni introductive 1.1. Relatii, functii Produsul cartezian a doua multimi nevide X si Y este multimea: YX × = { Xxyx ∈),( si }Yy ∈ .

exemplu: R× R = R2 (planul). produsul cartezian a n multimi nevide nXX ,...1 este multimea

1 1... {( ,..., ) | , 1 }n n i iX X x x x X i n× × = ∈ ≤ ≤

exemplu: Spatiul n- dimensional R × ...× R = Rn Considerand doua multimi nevide X si Y numim relatie binara de la X la Y o parte R a produsului cartezian YX × . Daca (x, y)∈R, vom nota xR y, (x in relatie cu y). exemplu: relatia de apartenenta: pentru X multime nevida si P(X) multimea partilor sale definim relatia R⊂ X ×P(X), prin: x∈ X si A∈ P(X): xR A daca x este un element al mu ltimii A. Vom nota x∈ A daca xR A.

O relatie binara R definita pe X (multime nevida), ce are proprietatile:

1. reflexivitate : ∀ x ∈ X, xR x 2. antisimetrie: ∀ x, y ∈ X, xR y si yR x implica x = y 3. tranzitivitate: ∀ x, y, z ∈ X, xR y si yR z implica xR z

se numeste relatie de ordine partiala. exemple: 1. Relatia de incluziune R ⊂ P(X) × P(X) data de: A, B∈P(X), A R B daca: BxAx ∈⇒∈∀ , notata A ⊂ B este o relatie de ordine partiala; 2. Relatia R 1 ⊂ N* × N* data de x R 1 y ⇔ x ≤ y; 3. Relatia R 2 ⊂ N* × N* data de x R 2 y ⇔ x divide y. Dupa cum se vede din ultimele doua exemple, putem defini pe aceeasi multime doua relatii de ordine

distincte.

O relatie de ordine este totala daca verifica conditia: ∀ x, y ∈ X avem fie xR y , fie yR x. R 1 din exemplul 2 este o relatie de ordine totala. O multime M se numeste ordonata daca pe M este definita o relatie de ordine partiala, notata “ ≤ “. Fie (M, ≤ ) o multime ordonata si P ⊂ M o submultime fixata. Se numeste majorant al lui P orice element x∈ M, cu proprietatea: z ≤ x, ∀ z ∈ P. Spunem ca P are un un cel mai mare element daca exista un majorant al lui P ce apartine lui P; acesta se noteaza max P si, daca exista, atunci este unic. Analog definim notiunile de minorant, respectiv cel mai mic element al lui P, notat min P. Daca P admite majoranti ( respectiv minoranti) vom spune ca P este marginita superior (respectiv inferior), o multime marginita superior si inferior numindu-se multime marginita. exemplu: Fie E o multime data si M = P(E) ordonata prin relatia de incluziune; consideram P = { F1, F2 } ⊂ M. Majorantii lui P sunt submultimile lui E ce contin F1∪F2, cel mai mic majorant fiind F1 ∪ F2, iar minorantii lui P sunt submultimile lui E incluse in F1 ∩ F2, cel mai mare minorant fiind F1 ∩ F2. Fie (M, ≤ ) si P ⊂ M. Vom spune ca P are margine superioara daca P are majoranti si multimea majorantilor lui P are cel mai mic element, notat sup P (marginea superioara a lui P). P are margine inferioara daca are minoranti si multimea minorantilor are cel mai mare element notat inf P (marginea inferioara a lui P). Un concept deosebit de important in matematica il constituie conceptul de functie, notiune introdusa de Leibniz. Definitia clasica este cunoscuta din liceu: a defini o functie (aplicatie) de la

multimea A la multimea B inseamna a asocia oricarui element x∈ A un element unic din B, notat f(x) (valoarea functiei f in punctul x ); se scrie f : A → B sau x a f(x). Reamintim ca multimea A se numeste domeniu de definitie al functiei f, iar B domeniul de valori al lui f.. Exista o alta definitie a functiei, echivalenta cu cea prezentata anterior: relatia binara F de la A la B, cu proprietatea : Ax ∈∀ By ∈∃! astfel incat (x, y)∈F se numeste relatie functionala de la A

la B. Intr-adevar, cele doua definitii sunt echivalente. Astfel, considerand f data de prima definitie, vom considera relatia functionala F ={(x, f(x)); x∈ A } (graficul lui f). Reciproc, considerand relatia functionala F, vom defini aplicatia f : A → B, astfel: asociem fiecarui element x din A acel y unic din B cu proprietatea ca (x, y)∈F. In continuare, sa reamintim cateva notiuni importante. Doua functii f: A → B si g: A1 → B1 sunt egale (si scriem f = g ) daca: A = A1, B = B1 si avem: f(x) = g(x), ∀ x∈ A. Considerand f: A → B1 si g: B → C cu B1 ⊂ B, putem defini functia compusa g o f : A → C, prin (g o f)(x) = g (f (x)). Merita retinuta afirmatia urmatoare: compunerea functiilor este asociativa, adica fiind date functiile

f g h

A B C D→ → → avem: )()( fghfgh oooo = .

Fie A o multime si A1 ⊂ A. Definim aplicatia de incluziune i: A1 → A, prin

i(x) = x, ∀ x∈ A1. Avand functia f : A → B, restrictia lui f la A1 notata 1Af , se defineste prin

1Af = fo i : A1 → B. Daca A ⊂ A2 atunci orice functie h : A2 → B cu proprietatea h2A = f se numeste

prelungirea lui f la A.2. Fie f : A → B. Atunci oricare ar fi submultimea A1 ⊂ A, submultimea lui B, notata: f(A1) = { y ∈ B; ∃ x∈ A1 astfel incat y = f (x) } se numeste imaginea directa a lui A1 prin f . exemple. 1. Fie f : R→ R definita prin f(x) = x2 - 6x + 8, A1 = (0, 4 ). Atunci: f(A1) = [-1, 8 ).

2. Fie f :R→ [-1, 1], f (x) = sin x, A1 = (-2

π, π ). Atunci: f(A1) = (-1, 1].

Fie f : A → B. Oricare ar fi submultimea B1⊂ B, vom defini imaginea inversa (imaginea reciproca, preimaginea) a lui B1 prin f, ca fiind submultimea lui A: f -1(B1) = { x∈A ; f(x) ∈B1 }. exemple. 1. Fie f : (0, ∞ )→ R, f(x) = ln x si B1 = [0, 1]; avem: f -1(B1) = [1, e];

2. Pentru g : R→ [-1, 1], g(x) = sin x si B1 = [-1,0] , avem: g -1(B1) = UZk∈

[(2k-1)π , 2k π ].

Functia f : A → B se numeste surjectiva daca BAf =)( , ceea ce inseamna ca pentru oricare y ∈ B

exista x∈ A, astfel incat y = f (x). exemplu: Fie A si B doua multimi nevide. Atunci functiile pr1: A × B → A, pr1(x, y) = x si pr2: A × B → B, pr2(x, y) = y se numesc prima (respectiv a doua ) proiectie a multimii A × B si sunt functii surjective. O functie f : A → B este injectiva daca : ∀ x1, x2 ∈ A, cu x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f (x2). In aplicatii, pentru a arata ca f : A → B este injectiva verificam daca x1, x2 ∈ A arbitrari alesi au

proprietatea: f(x1) = f (x2) implica x1 = x2, conform echivalentei logice ( )p q⇒ ( )q p⇔ ⇒

exemplu: Considerand f : A → B o functie oarecare, functia h : A → A × B, data de h (x) = (x, f (x)) este injectiva. Functia f : A → B este bijectiva (bijectie) daca este simultan injectiva si surjectiva (se spune ca f stabileste o corespondenta biunivoca de la A la B). exemple: 1. Fie A o multime nevida si B ={b}; definim functia bijectiva: f: A → A × B, prin f (x) = (x, b); 2. Alegand A si B doua multimi nevide, functia h : A × B → B × A, definita prin h (x, y) = (y, x) este bijectiva.

Daca functia f este bijectiva, atunci putem defini inversa f1−

a lui f, ca fiind functia f1−

: B → A, y a x, x fiind unicul element din A, astfel incat y = f (x). Pentru orice multime A putem considera aplicatia identica 1A: A → A definita prin 1A(x) = x, ∀ x∈ A, aplicatie ce este bijectiva. Multimile A si B se numesc cardinal echivalente (echipotente) daca exista o bijectie f : A → B. Prin definitie, fiecarei multimi A i se atasaza simbolul card A si avem card A = card B daca multimile A si B sunt cardinal echivalente. Pe multimea cardinalelor vom defini o relatie de ordine, astfel: card A ≤ card B ⇔ ∃ B’ ⊂ B astfel incat card A = card B’. O multime A se numeste finita, daca verifica proprietatea: ∃ n ∈ N, astfel incat card A = card {1,2,…, n}, caz in care card A = n O multime A este numarabila daca este cardinal echivalenta cu N si notam card A = 0ℵ ( alef zero).

O multime A este cel mult numarabila, daca este finita sau numarabila, deci card A ≤ 0ℵ .

Sa nu confundam un sir cu o multime numarabila, sirul fiind o aplicatie definita pe N, in timp ce o multime numarabila este o multime echipotenta cu N. Merita retinut faptul ca o submultime infinita a lui N, este numarabila. Astfel: - multimea numerelor prime este numarabila; - ∈kk ,2{ N}, adica multimea numerelor pare si respectiv ∈+ kk ,12{ N},

multimea numerelor impare sunt numarabile. Sa retinem urmatoarele doua rezultate: Propozitia 1.1.1. Produsul cartezian a doua multimi numarabile este o multime numarabila. Propozitia 1.1.2. Reuniunea numarabila de multimi numarabile este multime numarabila. Prezentam consecintele imediate a celor doua propozitii prezentate:

§ Multimea Z este numarabila deoarece considerand Z = {n N∈U -n, n}, avem

card Z = 0ℵ .

§ Multimea Q este numarabila, deoarece N*× Z fiind numarabila, construim functia surjectiva f : N * × Z → Q, data de f (n, m) =

m

n si avem card Q ≤ 0ℵ .

Cum N ⊂ Q, rezulta card Q = 0ℵ . Probleme 1. In mod natural, putem construi o functie f: R × R2 → R2 × R, prin: )),,(()),(,( zyxzyxf = .

Demonstrati ca este o bijectie. Construiti bijectia g: R2 × R → R3 . 2. Completati urmatorul enunt: „Fie functia f : A → B si By ∈0 . Atunci:

1. ecuatia 0)( yxf = are cel mult o solutie daca f este ...

2. ecuatia 0)( yxf = are cel putin o solutie daca f este ...

3. ecuatia 0)( yxf = are solutie unica daca f este ...

R. Justificare: se observa ca multimea solutiilor ecuatiei 0)( yxf = este 10({ })f y− .

3. Fie f : A → B si g : B → C , doua functii oarecare. Daca:

1. g o f este injectiva, atunci f este injectiva; 2. g o f este surjectiva, atunci g este surjectiva.

4. Fie f : ),0( ∞ → R, f (x) =x

xln. Determinati f ((1,∞ )).

R. Vom stabili tabelul de variatie al functiei, bazandu-ne pe cunostintele din liceu. Pentru aceasta vom

parcurge etapele clasice, prezentate mai jos. Calculam 2

ln1)(

x

xxf

−=′ si

0

lim ( )x

f x→

=−∞ , lim ( )x

f x→+∞

= 01

1

lim =+∞→

xx

(am aplicat regula lui l’Hospital in cazul ∞∞

). Tabelul cautat

este urmatorul:

x 0 1 e + ∞ )( xf ′ + + + + + 0- - - -

)(xf - ∞ & 0 &

e1

( ( ( 0

Se observa ca f ((1, ∞ )) = 1

(0, ]e

.

5. a) Fie f : ),0( ∞ → R, f (x) =x

xln. Determinati f ((0,∞ )).

b) Fie f : R → R, f (x) = x 4 - 4x2 + 3. Determinati f ((-1, 3)). 6. a) Fie f : R → R, 2( ) ln( 1)f x x= + . Determinati f - 1 ((0,1]).

b) Fie f : R → [-1, 1], f(x) = sin x. Determinati f - 1 ((0,1

2]).

1.2. Multimea numerelor reale Prezentam, in continuare, axiomatic, multimea numerelor reale numind sistem de numere reale orice multime R, cu proprietatile urmatoare: (R1) R este corp comutativ fata de operatiile „+” si „ • ” (R2) Relatia de ordine totala „ ≤ ” definita pe R este compatibila cu operatiile „+” si „ • ”, adica: Ø daca x ≤ y in R, avem x+ z ≤ y+ z, ∀ z ∈ R, Ø daca 0 ≤ x si 0 ≤ y in R, avem 0 x y≤ • .

(R3) Orice submultime a lui R, marginita superior, admite margine superioara (axioma Cantor-Dedekind). Consecintele axiomei marginii superioare (Propozitiile 1.2.1 si 1.2.2, pe care le prezentam in continuare) sunt deosebit de importante in analiza matematica pe axa reala. Propozitia 1.2.1 . ( principiul lui Arhimede) Pentru orice numar real pozitiv x si pentru orice numar real a, exista un numar intreg n, unic, astfel incat: (n -1) x ≤ a < n x. Luand x = 1, obtinem urmatorul rezultat: ∀ a ∈ R, ∃! n∈Z, astfel incat: n ≤ a < n + 1. Putem defini partea intreaga a lui a, notata [a] ca fiind cel mai mare numar intreg, mai mic sau egal cu a. Vom defini atunci partea fractionara a lui a, ca fiind : {a} = a - [a]. Principiul lui Arhimede este folosit in demonstrarea unor rezultate semnificative, ca: • Orice interval deschis (a, b) ⊂ R contine cel putin un numar rational. • O caracterizare pentru sup A si inf A, in cazul unei multimi A ⊂ R, marginita:

o p = sup A ⇔ ∀ a ∈ A, a ≤ p si ∀ε > 0, ∃ a ε ∈ A, astfel incat p - ε ≤ aε

o q = inf A ⇔ ∀ a ∈ A, q ≤ a si ∀ε > 0, ∃ a ε ∈ A, astfel incat a ε ≤ q +ε.

Propozitia 1.2.2. (principiul lui Cantor sau lema intervalelor inchise, incluse) Fie un sir de intervale inchise, descrescator (I0 ⊃ I1 ⊃ … ⊃ I n ⊃ …). Atunci n

n N

I∈I ≠φ .

Se poate demonstra ca, daca lungimea intervalelor converge la zero, atunci intersectia se reduce la un singur punct. Pentru un sir de intervale deschise sau semi-deschise, nu are loc un rezultat similar. De exemplu,

I n = (0, n

1], n ∈ N*. Avem: I n ⊃ I n+1 , dar n

n N

I∈I =φ .

Demonstratia urmatoarei propozitii se bazeaza pe principiul lui Cantor: Propozitia I.2.3. Intervalul [- 1, 1] nu este o multime numarabila. Sa amintim aici ca multimea A este de puterea continuului (se scrie card A = cℵ ) daca A este

echipotenta cu R. Se demonstreaza ca avem card [-1, 1] = card (-1, 1).

Construind bijectia f : R → (- 1, 1), f (x) = x

x

+1, deducem ca [-1, 1] este de puterea continuului.

Probleme 1. i) Daca 0 ≤ a si ∀ ε > 0 avem a < ε , atunci a = 0.

ii) Daca a, b ∈R si ∀ ε > 0 avem a < b + ε , atunci a b≤ 2. O functie f : A → R, se zice marginita superior ( inferior) daca f(A) ⊂ R este marginita superior ( inferior). In aceste conditii, sup f(A) (respectiv inf f (A)) se numeste marginea superioara (inferioara) a lui f si se noteaza: sup f (A) =

Ax∈sup f (x), inf f (A) =

Ax∈inf f (x). Sa se arate ca daca f si g : A → R sunt

marginite ( adica marginite inferior si superior), atunci (f + g) este marginita, si:

Ax∈inf f (x) +

Ax∈inf g (x) ≤

Ax∈inf (f + g) (x) ≤

Ax∈sup (f + g) (x) ≤

Ax∈sup f (x) +

Ax∈sup g (x).