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7/26/2019 Calcular la longitud de arco+problemAS
1/3
1. Calcular la longitud de arco de la parbola defnida por y= 4x , desde
x=0, hasta x=1.Solucin:Pasareos de !ariable "x# a !ariable "y#
y= 4x y2=(4x )
2
y2=4xx=
y2
4dx=
2ydy
4 dx=
y
2dy
dxdy
=y2
( dxdy
)2
=y2
4
Si :x=0y=4 (0) =0
Si :x= 1 y = 4 (1) = $
Entonces :L= 0
2
1+y
2
4 dy
0
2
4+y2
4 dy =0
2
4+y2
2 dy=
1
20
2
4+y2
dy
4+y2
y+1
2 y4+y
2+1
2(4) ln||
1
220
L=
4+y2
y+1
4y 4+y
2+l n||
20
L=
%sareos la &orula respecto al e'e (
) = c
d
1+(dx
dy)2
dy
7/26/2019 Calcular la longitud de arco+problemAS
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L=
1
4(2)4+4 *
4+42+
l n||1
4(0)4+0
2 +
4+02
0+l n||
L=1
2 8 *ln |2+8| +0+ln |2| =222 + ln|2+22| +
ln$= 2 *ln$-1* 2 -+ln$
L= 2 * ln$*ln1* 2 -+ln$=2 +ln(1+ 2 ))
u
$. allar la longitud del arco de la cur!a defnida por y2=4xx2 ,
coprendido entre los dos puntos de en /u corta al e'e .
Solucin :y2=4xx2 y
2=[x24x ] y 2=[ (x2 )24]
(y0)2 * (x2)2=4Circunferencia Centro en $, 0- y radio r=$
) = 0
4
1+(
2
x )
2
4xx2 dx= 0
4
4xx
2
+4
4x+x
2
4xx2 dx 0
4
4
4xx2 dx
20
4
1
[ (x2 )2
4 ] )= $
0
4
1
4(x2)2 dx =
4
0|x2=2 sen| /2
/2 dx=2cosdL=4
/2
/2cosd
44 sen2
= 2
/
2
/2cosd
2
1sen
2
) = $ /2
/ 2cosd
cos = $ /2
/2
d = $ |/2/2 = $
2+
2=2
u
3. allar la longitud de arco de la cur!a y=lnx desde x= 3 hasta x=
8
y2=4xx2
$ydy= 2+$x-dx
dy
dx =2 (2x )
2y =
(2x)
7/26/2019 Calcular la longitud de arco+problemAS
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Solucin:
Pasaos al e'e ( si y=lnx ey
=x
dy
dx=
1
x x=
dx
dy x
2=(dx
dy)2
e2y=(
dx
dy)2
ln8ln3
|y = lnx|83
L=ln3
ln8
1+e2y
dy
l n8ln3|1+e
2y=t2|32
2e2ydy=2tdte2y dy=tdtdy=
tdt
(t21)
e2y= t
21
L=ln3
ln8
1+e2y
dy= 2
3
t2
tdt
(t21) =2
3
t2
dt
(t21) =
1+ 1
t21
()dt=2
3
dt+2
3
dt
t21
2
3
L= t|3
2 *1
2ln
|
t1t+1
||
3
2 = 3+$*
ln1
2ln
1
3
1
24 = 1*ln
1
2
1
3
= 1*ln
3
2 -u