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Calculo
Octubre 2010
c© Dpto. de Matematicas – UDC
La integral indefinida
Sean I ⊂ R un intervalo abierto y f : I −→ IR
DefinicionDiremos que F es primitiva de f en I si
F′(x) = f (x) , ∀x ∈ I
TeoremaSi F y G son dos primitivas de una misma funcion f en un intervalo I,entonces,
∃k ∈ IR tal que F(x) = G(x)+ k , ∀x ∈ I
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La integral indefinida
DefinicionDada una funcion f : I −→ IR, llamaremos integral indefinida de f alconjunto de todas sus primitivas, y escribiremos:∫
f (x)dx ={
F/
F′(x) = f (x), ∀x ∈ I}
I En consecuencia, si conocemos una primitiva F de f , conocemos todas:∫f (x)dx = {F+ k, ∀k ∈ IR}
Propiedad (linealidad de la integral)
I
∫[f (x)+g(x)] dx =
∫f (x)dx+
∫g(x)dx
I
∫α f (x)dx = α
∫f (x)dx, ∀α ∈ IR
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Integrales inmediatas
∫f (x)mf ′(x)dx =
1m+1
f (x)m+1 +C, m 6=−1∫ f ′(x)f (x)
dx = ln |f (x)|+C
∫ef (x) f ′(x)dx = ef (x)+C ∫
af (x) f ′(x)dx =af (x)
lna+C, a > 0, a 6= 1
∫[sin f (x)] f ′(x)dx =−cos f (x)+C∫
[cos f (x)] f ′(x)dx = sin f (x)+C
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Integrales inmediatas
∫ f ′(x)1+ f 2(x)
dx = arctan f (x)+C ∫ f ′(x)√1− f 2(x)
dx = arcsin f (x)+C
∫ f ′(x)sin2 f (x)
dx =−cot f (x)+C ∫ f ′(x)cos2 f (x)
dx = tan f (x)+C
∫[tan f (x)] f ′(x)dx =− ln |cos f (x)|+C∫
[cot f (x)] f ′(x)dx = ln |sin f (x)|+C
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Integracion por partes
∫u(x)v′(x)dx = (uv)(x)−
∫v(x)u′(x)dx
o bien, ∫udv = uv−
∫vdu
Es conveniente cuando el integrando es un producto de:I polinomio y exponencialI polinomio y seno o cosenoI exponencial y seno o coseno
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Integracion por cambio de variable
Sean:f : [a,b]−→ IR integrable,ϕ : [α,β ]−→ IR inyectiva, con derivada continua y tal que:
ϕ ([α,β ])⊂ [a,b]
Entonces ∫f (x)dx =
∫f [ϕ(t)]ϕ ′(t)dt
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Sumas de RiemannSea un intervalo [a,b]⊂ IR y f : [a,b]−→ IR una funcion acotada.
DefinicionLlamamos particion P de [a,b] a un conjunto de puntos {x0,x1, . . . ,xn} queverifica:
a = x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ . . .≤ xn−1 ≤ xn = b
DefinicionDada una particion P, definimos
Mi = supxi−1≤x≤xi
f (x) mi = ınfxi−1≤x≤xi
f (x)
DefinicionLlamamos suma superior de Riemann y suma inferior de Riemann de lafuncion f relativas a la particion P a:
U(P, f ) =n
∑i=1
Mi(xi− xi−1) L(P, f ) =n
∑i=1
mi(xi− xi−1)
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Integral de Riemann
DefinicionDada una funcion f acotada, diremos que es integrable en [a,b] en el sentidode Riemann si y solo si:
∀ε > 0, ∃P particion de [a,b] tal que U(P, f )−L(P, f )< ε.
Escribiremos f ∈R[a,b].
Interpretacion graficaDada una funcion positiva en un intervalo [a,b], su integral de Riemannrepresenta el area encerrada por la curva y = f (x) y el eje y = 0, entre lasabscisas x = a y x = b
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Teorema (de integrabilidad)
I Toda funcion continua en [a,b] es integrable en dicho intervalo
=⇒ Toda funcion derivable es continua, y por lo tanto integrableI Toda funcion monotona y acotada en [a,b] es integrable en dicho
intervaloI Toda funcion acotada en [a,b] que presenta en dicho intervalo un
numero finito de puntos de discontinuidad, es integrable en [a,b]I Sea f una funcion integrable en [a,b] en el sentido de Riemann, y tal
que:m≤ f (x)≤M, ∀x ∈ [a,b]
Si g es continua en [m,M], entonces la funcion compuesta (g◦ f ) esintegrable en [a,b]
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PropiedadSean f ,g ∈R[a,b]
I (f ±g) ∈R[a,b] y (cf ) ∈R[a,b], ∀c ∈ IR, y se cumple:∫ b
a(f ±g)dx =
∫ b
af dx±
∫ b
agdx
∫ b
acf dx = c
∫ b
af dx
I Si f (x)≤ g(x) en [a,b], entonces∫ b
af dx≤
∫ b
agdx
I Si a < c < b, entonces f ∈R[a,c] y f ∈R[c,b], y se verifica:∫ b
af dx =
∫ c
af dx+
∫ b
cf dx
I Si |f (x)| ≤M, ∀x ∈ [a,b], entonces∫ b
af dx≤M(b−a)
I fg ∈R[a,b]
I |f | ∈R[a,b], y se cumple:∣∣∣∣∫ b
af dx∣∣∣∣≤ ∫ b
a|f |dx
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Teorema (fundamental del calculo)Sea f ∈R[a,b]. Para a≤ x≤ b, llamemos:
F(x) =∫ x
af (t)dt.
Entonces, F ∈ C [a,b]. Ademas, si f es continua en [a,b], F entonces esderivable en [a,b], y F ′(x) = f (x), ∀x ∈ [a,b].
Tambien puede enunciarse de la siguiente manera:Si f : I −→ IR es continua en I, entonces tiene primitivas en I; una
de ellas es la integral definida F dada por:
F(x) =∫ x
af (t)dt
donde a ∈ I es cualquiera.
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Regla de BarrowSi f ∈R[a,b] y existe una funcion F derivable en [a,b] tal que F ′ = f ,entonces: ∫ b
af (x)dx = F(x)
∣∣∣∣ba= F(b)−F(a)
Teorema (Integracion por partes)Si F y G son dos funciones derivables en [a,b], y se tiene:{
F ′ = fG ′ = g
en [a,b]
siendo f y g integrables en [a,b], entonces,∫ b
aF(x)g(x)dx = F(b)G(b)−F(a)G(a)−
∫ b
af (x)G(x)dx
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TeoremaSea la funcion F dada por la integral definida:
F(x) =∫ b(x)
a(x)f (t)dt
La derivada de F con respecto a x viene dada por:
F ′(x) = f (b(x))b′(x)− f (a(x))a′(x)
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Integracion numerica
La integral de una funcion no se calcula de forma exacta cuando
I solo conocemos sus valores en un numero finito de puntos
I su primitiva no se expresa en terminos de funciones elementales
ejemplos: f (x) = sinxx ; f (x) = e−x2
I su primitiva es muy costosa de calcular o de evaluarejemplo: f (x) = 1
(x−8)√
x2−4x−7
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Integracion numerica. Formulas simples
I Formula del rectangulo:∫ b
af (x)dx ≈ (b−a) f (x0) , x0 ∈ [a,b];
en particular, si x0 =a+b
2 , se conoce como formula del punto medio oformula de Poncelet
I Formula del trapecio:∫ b
af (x)dx ≈ b−a
2(f (a)+ f (b)
)I Formula de Simpson:∫ b
af (x)dx ≈ b−a
6
(f (a)+4 f (
a+b2
)+ f (b))
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Integracion numerica. Formulas compuestas
1. Dividimos el intervalo de integracion en subintervalos mas pequenos
xi = a+ ih (i = 0,1, . . . ,n) con h =b−a
n
2. Aproximamos la integral mediante una formula simple en cadasubintervalo ∫ b
af (x)dx =
n−1
∑i=0
∫ xi+1
xi
f (x)dx
I Formula del punto medio compuesta:
∫ b
af (x)dx ≈ h
n−1
∑i=0
f (xi + xi+1
2)
I Formula del trapecio compuesta:
∫ b
af (x)dx ≈ h
2
(f (x0)+2
n−1
∑i=1
f (xi)+ f (xn))
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Integracion impropia
DefinicionLa integral
∫ b
af (x)dx se denomina impropia si cumple al menos una de las
condiciones siguientes:I el intervalo (a,b) no es acotado
I f no esta acotada en (a,b)
Clasificamos las integrales impropias en 3 tipos.
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Integrales impropias de primera especieSea f : (−∞,b]−→ IR integrable en [m,b], ∀m≤ b. Definimos:∫ b
−∞
f (x)dx = lımm→−∞
∫ b
mf (x)dx
si existe el lımite, en cuyo caso la integral se denomina convergente.
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Integrales impropias de primera especieDe igual forma se define:∫ +∞
af (x)dx = lım
M→+∞
∫ M
af (x)dx
Tambien definimos∫ +∞
−∞
f (x)dx =∫ a
−∞
f (x)dx+∫ +∞
af (x)dx
si ambas integrales convergen, en cuyo caso la definicion no depende dea ∈ IR
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Integrales impropias de segunda especie
Consideramos la funcion f : [a,b]−→ IR no acotada en uno de los extremosdel intervalo, por ejemplo en a. Si f es integrable en [t,b] para todo t tal quea≤ t ≤ b, entonces definimos:∫ b
af (x)dx = lım
t→a+
∫ b
tf (x)dx
si existe el lımite, en cuyo caso la integral se denomina convergente.
Si la funcion pierde el caracter acotado en un punto c ∈ (a,b), definimos:∫ b
af (x)dx =
∫ c
af (x)dx+
∫ b
cf (x)dx
donde las dos ultimas integrales se han descrito anteriormente.
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Integrales impropias de segunda especie
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Integrales impropias de tercera especie
Corresponden a un intervalo no acotado y una funcion no acotada en unnumero finito de puntos del intervalo.
EjemploLa integral ∫
∞
0
1x
dx
se reduce a los casos anteriores de la siguiente forma:∫∞
0
1x
dx =∫ 1
0
1x
dx︸ ︷︷ ︸2a especie
+∫
∞
1
1x
dx︸ ︷︷ ︸1a especie
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Area de superficies planas
Sean las funciones f ,g : [a,b]−→ IR integrables. Entonces el area A limitadapor los grafos de ambas, las rectas x = a y x = b viene dada por:
A =∫ b
a|f (x)−g(x)| dx
Caso particular: g(x) = 0, luego A =∫ b
a|f (x)| dx
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Longitud de un arco de curva
Sea f ∈ C 1([a,b], IR). La longitud ` del grafo de f que une los puntos(a, f (a)) y (b, f (b)) es:
`=∫ b
a
√1+ f ′(x)2 dx
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Volumen de un solidoSupongamos un solido que, al ser cortado por un plano perpendicular al ejeOX, para cada x ∈ [a,b] produce una seccion de area A(x).El volumen de dicho cuerpo comprendido entre x = a y x = b es:
V =∫ b
aA(x)dx
I De igual forma, se obtendrıa el volumen del cuerpo a partir de las areasde las secciones producidas por planos perpendiculares al eje OY en elintervalo [a,b].
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Volumen de un solido
Caso particular: volumen de revolucion. Si giramos el grafo def : [a,b]−→ IR alrededor del eje OX, se construye una figura cuyo volumenes:
V = π
∫ b
af (x)2 dx
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Superficie lateral de revolucion
El area lateral del solido construido al girar el grafo de f : [a,b]−→ IRalrededor del eje OX, donde f es una funcion de clase C 1, se calculamediante:
AL = 2π
∫ b
af (x)
√1+ f ′(x)2 dx
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