CALCULO DIFERENCIAL
Introduccin al clculo diferencial
Introduccin Definicin de derivadaInterpretacin
geomtricaDiferenciabildad y continuidadPropiedades de la derivacin
de funcionesDerivada de una funcin compuesta y Regla de la
cadenaDiferenciacin implcitaRapideces de variacin
relacionadasDerivadas sucesivasLa derivada como intensidad de
variacin relativaMximos y mnimosAplicaciones de mximos de
mnimosTeorema de Rolle y Teorema del valor medioPrueba de la
primera derivadaConcavidad y puntos de inflexinPrueba de la segunda
derivadaTrazo de la grfica de una funcinMtodo de NewtonProblemas de
aplicacin de clculo diferencialMiscelneas de ejercicios clculo
diferencial
Introduccin
Cuando surgen cuestiones concernientes a la razn entre dos
cantidades variables, entramos en los dominios del Clculo
Diferencial. Son por tanto objeto de estudio del clculo diferencial
temas como la velocidad (razn entre la distancia recorrida y el
tiempo empleado en recorrerla) de una partcula en un momento
determinado, la pendiente (razn entre la diferencia de las
ordenadas y las abscisas de dos puntos en el plano cartesiano) de
la recta tangente a una grfica en un punto dado de sta, etc.
Incrementos:cuando una cantidad variable pasa de un valor
inicial a otro valor, se dice que ha tenido unincremento. Para
calcular este incremento basta con hallar la diferencia entre el
valor final y el inicial. Para denotar esta diferencia se utiliza
el smbolox, que se leee "deltax". El incremento puede ser positivo
o negativo, dependiendo de si la variable aumenta o disminuye al
pasar de un valor a otro. Por ejemplo, si el valor inicial de una
variablex,x1, es igual a 3, y el valor finalx2es igual a 7, el
incrementox=x2-x1= 7-3 = 4: la variable se ha incrementado
positivamente en 4 unidades. En cambio, si el valor inicial es 7 y
el valor final 3,x=x2-x1= 3-7 =-4: la variable ha tenido un
incremento negativo (decremento) de 4 unidades.
Derivada de una funcin:Sea funa funcin definida en todo nmero de
algn intervaloI, la derivada defes aquella funcin, denotada porf',
tal que su valor en cualquier nmeroxdeI, est dado por:
Se dice que una funcin es diferenciable o derivable cuando es
posible hallar su derivada.
Ejercicios resueltosEn los ejercicios1a12halle la derivada de la
funcin dada aplicando ladefinicin de derivada
S o l u c i o n e s
Interpretacin geomtrica
Geomtricamente la derivada de una funcin fen un punto
determinado se interpreta como el valor de la pendiente de la recta
tangente a la grfica defen dicho punto.
Ejercicios resueltosEn los ejercicios1a3, encuentre la pendiente
de la recta tangente a la grfica en el punto (x1, y1). Elabore una
tabla de valores dex, y, men el intervalo [a, b], e incluya en ella
todos los puntos donde la grfica tiene una pendiente horizontal.
Trace la grfica y muestre un segmento de la tangente en cada uno de
los puntos localizados.En los ejercicios4a6, determine la pendiente
de la tangente a la grfica de la funcin fen el punto (x1, f(x1)).
Elabore una tabla de valores dex, f(x)ymen diversos puntos de la
grfica e incluya en dicha tabla todos los puntos donde la grfica
tiene un tangente horizontal. Trace la grfica de la funcin.En los
ejercicios7a11, obtenga las ecuaciones de las rectas tangente y
normal de la curva en el punto indicado. Trace una grfica de la
curva junto con la tangente y la normal.
S o l u c i o n e s
xym
-306
-254
-182
090
18-2
25-4
30-6
xym
14-4
21-2
300
412
544
xym
-2-712
-103
010
123
2912
xym
-50343210-0.167-0.25-0.5No existe
xym
012348-1-4-19-12-60612
xym
01234-220-2290-309
Solucin:
Diferenciabilidad y continuidad
As como existen lmites unilaterales tambin podemos hablar de
derivadas unilaterales. A continuacin se dan las definiciones de
derivadas por la derecha y por la izquierda de una funcin en un
punto determinado.
La continuidad de una funcin en un nmero no implica que la
funcin sea derivable en dicho nmero; por ejemplo, la funcin valor
absoluto es continua en 0 pero no es diferenciable en cero.
Veamos:
En uno de los ejercicios (el nmero6) resueltos que van a
continuacin se mostrar otro tipo de funciones que son continuas en
algn nmero pero que no son diferenciables en el punto. Lo
particular de dichas funciones es que tienen una recta vertical en
dicho punto.
Resumidamente, podemos decir que una funcin no es diferenciable
en un punto determinado por alguna de las tres razones
siguientes:1.La funcin es discontinua en el punto2.La funcin es
continua en el punto, pero por la grfica defno se puede trazar una
recta tangente que pase por el punto (como en la grfica de la
funcin valor absoluto en 0)3.La funcin es continua en el punto, y
la grfica tiene una recta tangente vertical que pasa por el
punto.
Ejercicios resueltosEn los ejeercicios1a7, haga lo siguiente:
(a) trace la grfica de la funcin; (b) determine si fes continua en
el punto dado; (c) calcule las derivadas por la derecha y por la
izquierda, si existen; (d) determine si fes diferenciable en el
punto dado
S o l u c i o n e s
Solucin:
Solucin:
Solucin:
Solucin:
Solucin:
Solucin:
Solucin:
Propiedades de la diferenciacin de funciones
Hallar la derivada de una funcin aplicando ladefinicin de
derivadaes un proceso largo y la mayor de las veces bastante
tedioso. Afortunadamente existen varias propiedades en la derivacin
de funciones que los matemticos han descubierto y establecido como
teoremas. Algunos de estos teoremas son generales, aplicables a
cualquier funcin, y otros slo se aplican a funciones particulares.
A continuacin se enuncian algunos de los teoremas ms importantes
(se nombran enumerndolos consecutivamente para facilitar una futura
referencia a ellos):Nota:se supone, obviamente, que las funciones a
las que hacen referencia los teoremas son diferenciables, esto es,
que tienen derivada.
Teorema D1:
En palabras:"laderivada de una constante por una funcines igual
a la constante multiplicada por la derivada de la funcin".
Teorema D2:
En palabras:"laderivada de la suma de un nmero finito, n, de
funciones(trminos), positivas o negativas, es igual a la suma de
las derivadas de cada funcin y con su respectivo signo".
Teorema D3:
En palabras:"laderivada del producto de dos funcioneses igual a
la primera funcin por la derivada de la segunda ms la segunda
funcin por la derivada de la primera".
Teorema D4:
En palabras:"laderivada del cociente de dos funcioneses igual a
una fraccin cuyo denominador es el cuadrado de la funcin del
dividendo y cuyo numerador es la diferencia entre la funcin del
dividendo por la derivada de la funcin del divisor y la funcin del
divisor por la derivda de la funcin del dividendo".
Teorema D5:
En palabras:"para hallar laderivada de la funcin potenciase
multiplica la funcin por un coeficiente igual al exponente y el
exponente se disminuye en la unidad".
Teorema D6:
En palabras:"laderivada de la funcin constantees cero".
Teorema D7:
En palabras:"laderivada de la funcin identidades uno".
Derivadas de las funciones trigonomtricas
Teorema D8:
Teorema D9:
Teorema D10:
Teorema D11:
Teorema D12:
Teorema D13:
Teorema D14:
Ejercicios resueltosEn los ejercicios1a12halle la derivada de la
funcin dada aplicando los teoremasTD1aTD14:
S o l u c i o n e s
Derivada de una funcin compuesta y regla de la cadena
La gran mayora de las funciones que se estudian en clculo estn
construidas por una composicin de funciones, de aqu la importancia
de conocer un mtodo sencillo para diferenciar dichas funciones; el
mtodo utilizado para hallar la derivada de una funcin compuesta se
conoce como "Regla de la cadena".
Regla de la cadena:
Ejemplo ilustrativo1:
Muchas veces sucede que hay que aplicar la regla de la cadena ms
de una vez para derivar una funcin compuesta dada.Ejemplo
ilustartivo2:
Ejercicios resueltosEn los siguientes ejercicios obtenga la
derivada de la funcin que se indica aplicando la regla de la
cadena:
S o l u c i o n e s
Derivacin implcita
Se dice que una funcin est definida explcitamente cuando se da
de la forma y = f (x); esto es cuando se da ydespejada en trminos
dex.En cambio, si en una ecuacin, como por ejemplo, 2yx= cos3y,
existe una funcin tal que y=f(x), se dice queyes una funcin que est
definida implcitamente por la ecuacin. Una ecuacin enxeypuede
definir a ms de una funcin implcita.
En muchas ocasiones no se puede resolver explcitamente una
funcin dada en forma implcita.
Es posible hallar la derivada de una funcin expresada
implcitamente, sin necesidad de transformarla en su equivalente
explcita.
Ejercicios resueltos En los siguientes ejercicios, halledy/dxpor
medio del proceso de diferenciacin implcita
S o l u c i o n e s
Rapideces de variacin relacionadas
E n u n c i a d o s En los ejercicios1a4,xe yson funciones de
una tercera variablet.
S o l u c i o n e s
Para calcular la distancia horizontal,x, de la cometa, respecto
al nio, cuando la longitud de la cuerda es de 50 pies, vamos a
utilizar el recproco del Teorema de Pitgoras:
De acuerdo con el Teorema de Pitgoras, se tiene:
Derivadas de orden superior
Sea funa funcin diferenciable, entonces se dice quef' es
laprimera derivadadef; puede suceder que esta nueva funcin sea a su
vez derivable, en este caso a la derivada de laprimera derivadase
le denominasegunda derivadade la funcin primitivaf.Del mismo modo,
la derivada de lasegunda derivadase llamatercera derivadadef,y as
sucesivamente hasta laensima derivada.
Aceleracin instantnea:
Ejercicios resueltosEn los ejercicios1a5, obtenga la primera y
la segunda derivadas de las funciones.
S o l u c i o n e s
Intensidad de variacin relativa
Ejercicios resueltos En los ejercicios1a3, una partcula se
desplaza a lo largo de una recta horizontal de acuerdo con la
ecuacin indicada dondescentmetros representa la distancia de la
partcula desde un punto O a lostsegundos. Determine la velocidad
instantneav(t) cm/s a lostsegundos; y luego calculev(t1) para el
valor particular det1indicado. En los ejercicios4y5, una partcula
se desplaza a lo largo de una recta horizontal de acuerdo con la
ecuacin indicada, dondescentmetros es la distancia dirigida de la
partcula desde un punto O a lostsegundos. El sentido positivo es a
la derecha. Determine los intervalos de tiempo cuando la partcula
se desplaza a la derecha y cuando lo hace a la izquierda. Tambin
determine cundo la partcula cambia de sentido. Muestre el
comportamiento de la partcula con una figura.
S o l u c i o n e s
tsv
-5-136
-42415
-3310
-226-9
-115-12
04-9
1-10
2615
33136
tsv
-9-0.1-0.009
-3-0.170
-1-0.10.08
000.1
10.10.08
30.170
90.1-0.009
6.Solucin:
Mximos y mnimos
El hecho de que la interpretacin geomtrica de la derivada esla
pendiente de la recta tangente a la grfica de una funcin en un
punto determinadoes muy til para el trazado de las grficas de
funciones. Por ejemplo, cuando la derivada es cero para un valor
dado dex(variable independiente) la tangente que pasa por dicho
punto tiene pendiente cero y, por ende, es paralela al ejex.
Tambin, se pueden establecer los intervalos en los que la grfica
est sobre o debajo de la tangente...
Valor mximo relativo:
En la figura de la derecha (fig.1) se puede observar un ejemplo
de una funcin que tiene un valor mximo relativo enc. Dicho valor
esdy ocurre en c.El valor mximo relativo de f en (a,b) es
d.(fig.1)
Valor mnimo relativo:
En la figura de la derecha (fig.2) se puede observar un ejemplo
de una funcin que tiene un valor mnimo relativo enc. Dicho valor
esdy ocurre en c.El valor mnimo relativo de f en (a,b) es
d.(fig.2)
Si una funcin tiene un valor mximo relativo o un valor mnimo
relativo enc, se dice entonces que la funcin tiene unextremo
relativoenc.
El teorema anterior establece que la recta tangente a la grfica
de la fen el punto en donde ocurre un extremo relativo es paralela
al ejex.
Si fes diferenciable, los nicos posibles valores dexpara los
cuales ftiene un extremo relativo son aquellos en los que f' (x) =
0. No obstante, ocurre con muchas funciones que a pesar de que f'
(x) = 0, no hay un extremo relativo all. En la fig.3 se puede
apreciar un ejemplo de esta situacin.
Tambin puede suceder que alguna funcin ftenga un extremo
relativo en un nmero dado y sinembargo no ser diferenciable en
dicho nmero. La fig.4 ilustra este hecho.
Por ltimo, para ciertas funcionesf(c) existe y f'(c) no existe y
sinembargo no hay un extremo relativo enc. En la fig.5 se muestra
la grfica de una funcin donde ocurre esta situacin.
Conclusin:si una funcin fest definida en un nmeroc, una condicin
necesaria para que ftenga un extremo relativo ences que f'(x) = 0 o
f'(c) no exista; pero esta condicin no es suficiente.
(fig.3)(fig.4)(fig.5)
(fig.6)
En la fig.6 se muestra la grfica de una funcin en donde el valor
mnimo absoluto ocurre ena, el valor mximo absoluto ocurre enb.
Enela funcin tiene un valor mximo relativo, y endun valor mnimo
relativo.
Cuando una funcin tiene un valor mximo o un valor mnimo absoluto
en un intervalo, se dice que la funcin tiene un extremo absoluto en
el intervalo.
Una funcin dada puede tener o no tener un extremo absoluto en un
intervalo.
En la (fig.7) se puede observar que la funcin tiene un valor
mximo absoluto enc(tambin es un valor mximo relativo), pero no
tiene un valor mnimo absoluto. (fig.7)
Procedimiento para determinar los extremos absolutos de una
funcin en el intervalo cerrado [a,b]1.Se obtienen los nmeros
crticos de la funcin en (a,b), y se calculan los valores
correspondientes defpara dichos nmeros.2.Se hallan f(a) y f(b)3.El
mayor de los valores encontrados en los pasos1y2es el valor mximo
absoluto, y el menor es el valor mnimo absoluto.
Ejercicios resueltosEn los ejercicios1a3, obtenga los nmeros
crticos de la funcin dada. En los ejercicios4a10halle los extremos
absolutos de la funcin en el intervalo que se da, y calcule los
valores def(x) en los cuales ocurren los extremos absolutos. Trace
la grfica de la funcin en el intervalo.
S o l u c i o n e s
Aplicacin de mximos y mnimos
fig.1
Teorema de Rolle y Teorema del Valor medio
Teorema de Rolle:Si fes una funcin en la que se cumple:(i) fes
continua en el intervalo cerrado [a,b](ii) fes diferenciable en el
intervalo abierto (a,b)(iii) f(a) = 0 y f(b) = 0Entonces, existe un
nmerocque pertenece a (a,b) tal quef'(c) = 0
El Teorema de Rolle se atribuye al matemtico francs Michel Rolle
(1652-1719).
En la figura de la derecha se ilustra la interpretacin geomtrica
del Teorema de Rolle. Como se puede observar se cumplen las tres
condiciones que requiere el Teorema: fes continua en [a,b] e
integrable en (a,b), y f(a) =f(b) = 0. Tambin se puede observar el
punto (cuya abscisa esc) donde la recta tangente a la grfica defes
paralela al ejex, es decir donde se cumple que f'(c) = 0.
El Teorema de Rolle es susceptible de una modificacin en su
enunciado que no altera para nada la conclusin del mismo. Esta se
refiere al punto (iii) f(a) = f(b): basta con que el valor de la
funcin sea el mismo parax=ay x=by no necesariamente sean iguales a
cero. En la figura de la izquierda se ilustra este hecho.
Teorema del Valor medio:Si fes una funcin en la que se cumple
que:(i) fes continua en el intervalo cerrado [a,b](ii) fes
diferenciable en el intervalo abierto (a,b)Entonces, existe un
nmerocque pertenece a (a,b) tal que
A la izquierda se observa una ilustracin de la interpretacin
geomtrica del Teorema del Valor medio.El teorema afirma que si la
funcin es continua en [a,b] y diferenciable en (a,b), existe un
puntocen la curva, entre A y B, donde la recta tangente es paralela
a la recta que pasa por A y B. Esto es,
Ejercicios resueltosEn los ejercicios1a3, verifique que las
condiciones (i), (ii) y (iii) de la hiptesis del Teorema de Rolle
se cumplen para la funcin indicada en el intervalo dado. Luego
halle un valor adecuado paracque satisfaga la conclusin del teorema
de Rolle.En los ejercicios4a9, compruebe que la hiptesis del
Teorema del Valor medio se cumple para la funcin dada en el
intervalo indicado. Luego halle un valor adecuado paracque cumpla
la conclusin del Teorema del valor medio.En los ejercicios10a12,
(a) trace la grfica de la funcin dada en el intervalo indicado; (b)
compruebe las tres condiciones de la hiptesis del teorema de Rolle
y determine cules se cumplen y cules, de haberlas, no se cumplen;
(c) si las tres condiciones se cumplen, determine un punto por el
cual pase una recta tangente horizantal.En los ejercicios13y14,
calcule un valor decque satisfaga la conclusin del teorema del
valor medio, trace la grfica de la funcin y la recta que pasa por
los puntos (a,f(a)) y (b,f(b)).
S o l u c i o n e s
(a)
(a)
Prueba de la primera derivada
Funciones crecientes y decrecientes
.
Una funcin que siempre es creciente o decreciente en un
intervalo, se dice que esmontonaen ese intervalo.
En la figura de la izquierda se esboza la interpretacin
geomtrica del teorema: "Prueba de la primera derivada".En la parte
izquierda de la figura se tiene un valor mximo relativo enc, y se
observa quef'(x)>0 parax
