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Calculo
3. Ecuaciones diferenciales
Mayo, 2009
Clasificacion de las ecuaciones diferenciales
1. Ecuaciones diferenciales ordinarias1.a Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
I Nociones generales
I Ecuaciones diferenciales separablesI Ecuaciones diferenciales homogeneasI Ecuaciones diferenciales exactasI Ecuaciones diferenciales linealesI Otros tipos: de Bernoulli, de Riccati, ...
1.b Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superiorI Ecuaciones diferenciales lineales
Ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantesEcuaciones diferenciales lineales de coeficientes variables
I Ecuaciones diferenciales no lineales
2. Ecuaciones en derivadas parciales
Ejemplo de aplicacion: trayectorias ortogonales
(x+1)2 +2(x+1)(y−3)− (y−3)2 = C =⇒ y′ =−x+ y−2x− y+4
y′ =x− y+4x+ y−2
=⇒ (x+1)2−2(x+1)(y−3)− (y−3)2 = C
E. D. de variables separadas
La ecuacion diferencial
y′ = f (x,y)⇐⇒ dydx
= f (x,y)
es de variables separadas si
f (x,y) =g(x)h(y)
.
Para resolverla integraremos separadamente las variables:
dydx
=g(x)h(y)
=⇒ h(y)dy = g(x)dx =⇒∫
h(y)dy =∫
g(x)dx+C
Nota: La constante de integracion se calcula imponiendo la condiciony(x0) = y0 del problema de valor inicial
E. D. homogeneas
La ecuacion y′ = f (x,y) es homogenea si la funcion f verfica:
f (λx,λy) = f (x,y) .
En este caso hacemos el cambio de variable:
u =yx.
Asıy = ux =⇒ y′ = u′x+u,
y, al sustituir, obtenemos una e. d. de variables separables:
u′x+u = f (x,ux) = f (1,u) .
E. D. exactasLa ecuacion g(x,y)dx+h(x,y)dy = 0 es exacta si existe una funcion φ ,llamada funcion potencial, tal que:
∂φ
∂x= g(x,y) ,
∂φ
∂y= h(x,y) .
En este caso, la solucion general es:
φ(x,y) = C
Propiedad: Si g y h son funciones de clase C 1, la ecuacion diferencial esexacta si y solo si:
∂g∂y
=∂h∂x
.
El calculo de la funcion φ se realiza en dos pasos:
(1)∂φ
∂x= g(x,y) =⇒ φ(x,y) =
∫g(x,y)dx+p(y) ,
(2) Como∂φ
∂y= h(x,y) =⇒ ∂
∂y
∫g(x,y)dx+p′(y) = h(x,y). Entonces:
p(y) =∫ [
h(x,y)− ∂
∂y
∫g(x,y)dx
]dy.
E. D. lineales
Una ecuacion diferencial lineal tiene la forma
y′+p(x)y = q(x)
Si multiplicamos ambos miembros de la ecuacion por el factor integrante:
µ(x) = e
∫p(x)dx
tenemos una ecuacion, equivalente a la original, del tipo exacta. En efecto,
e∫
p(x)dxy′+ e∫
p(x)dxp(x)y = e∫
p(x)dxq(x)ddx
[e∫
p(x)dxy]
= e∫
p(x)dxq(x)
e∫
p(x)dxy =∫
e∫
p(x)dxq(x)dx+C =⇒ y = e−∫
p(x)dx[
C +∫
q(x)e∫
p(x)dx dx]
E. D. lineales de orden n con coeficientes constantes
Son de la forma:
anyn) +an−1yn−1) + ...+a1y′+a0y = f (t) (1)
donde los coeficientes ai son constantes.
La e.d. homegenea asociada es:
anyn) +an−1yn−1) + ...+a1y′+a0y = 0 (2)
La solucion general de (1) es:
y(t) = yh(t)+ yp(t) ,
donde:
I yh es la solucion general de la e.d. homogenea (2),I yp es una solucion particular de la ecuacion completa (1).
E. D. lineales de orden n con coeficientes constantesPara resolver la ecuacion homogenea (2):
anyn) +an−1yn−1) + ...+a1y′+a0y = 0 ,
buscamos soluciones del tipo eλ t, donde λ es raız de la denominadaecuacion caracterıstica:
p(λ ) = anλn +an−1λ
n−1 + ...+a1λ +a0 = 0 .
Cada raız aporta a la solucion un termino yk(t), de forma queyh(t) = C1y1(t)+C2y2(t)+ . . .; ası,
I si λk es una raız real y simple de la ecuacion caracterıstica, yk(t) = eλk t
I si λk = αk +βki es una raız compleja y simple de la ecuacion caracterıstica,entonces tambien sera raız de la misma ecuacion su conjugada (αk−βki); a estepar de raıces le corresponde el par de soluciones:
eαk t cos(βkt) y eαk t sin(βkt)
I si λk es una raız de multiplicidad m, su aportacion a la solucion general es:
(Ck +Ck+1t +Ck+2t2 + . . .Ck+m−1tm−1)eλk t (si es real)
eαk t[(Ck + . . .+Ck+m−1tm−1)cos(βkt)+(Ck + . . .+ Ck+m−1tm−1)sin(βkt)
](si es compleja)
E. D. lineales de orden n con coeficientes constantesPara encontrar una solucion particular de la ecuacion (1) utilizaremos elmetodo de los coeficientes indeterminados; ası, buscaremos una solucionyp parecida a la funcion segundo miembro f :
1. Si f es un polinomio, f (t) = amtm + ...+a1t +a0, entonces
yp(t) = ts(Cmtm + ...+C1t +C0) ,
donde s es el numero de veces que λ = 0 es raız de la ecuacioncaracterıstica
2. Si f es el producto de una funcion exponencial por un polinomio,f (t) = eat(amtm + ...+a1t +a0), entonces,
yp(t) = tseat(Cmtm + ...+C1t +C0) ,
donde s es el numero de veces que a es raız real de la ecuacioncaracterıstica
3. Si f es producto de una exponencial, una funcion trigonometrica y unpolinomio, f (t) = eαt sin(β t)(amtm + ...+a1t +a0), entonces
yp(t)= tseαt [(Bmtm + ...+B1t +B0)cos(β t)+(Cmtm + ...+C1t +C0)sen(β t)] ,
donde s es el numero de veces que (α±β i) es raız de la ecuacioncaracterıstica.
Metodo de los coeficientes indeterminados (I)
Segundo miembro f (x)
eαxsinβx
ocosβx
Pm(x)
Buscamos: α ±β i α = 0
Solucion particular yp(x)
Si no es raız: eαx Acosβx+Bsinβx Pm(x)
Si es raız: xseαx xs(Acosβx+Bsinβx) xsPm(x)
Metodo de los coeficientes indeterminados (II)
Segundo miembro f (x)eαx sinβx
oeαx cosβx
eαxPm(x)Pm(x)sinβx
oPm(x)cosβx
Buscamos: α±β i α ±β i
Solucion particular yp(x)
Si no es raız: eαx(Acosβx+Bsinβx) eαxPm(x)Pm(x)cosβx++ Qm(x)sinβx
Si es raız: xseαx(Acosβx+Bsinβx) xseαxPm(x)xsPm(x)cosβx++xsQm(x)sinβx
y′′+ω2y = 0 ω = 2 y(0) =−3 y′(0) = 0
y(t) = yh(t) = C1 cos2t +C2 sin2t =−3cos2t
y′′+4y = sin t y(0) =−3 y′(0) = 0
y(t) = yh(t)+ yp(t) =−3cos2t− 16
sin2t +13
sin t
y′′+4y = sin2t y(0) =−3 y′(0) = 0
y(t) = yh(t)+ yp(t) =−3cos2t +18
sin2t− 14
t cos2t
y′′+2kωy′+ω2y = 0 ω = 2, k = 0,04 y(0) =−3 y′(0) = 0
y(t) = yh(t) = e−kωt[C1 cosω
√1− k2t +C2 sinω
√1− k2t
]
y′′+2kωy′+ω2y = sin t ω = 2, k = 0,08 y(0) =−3 y′(0) = 0
y(t) = e−kωt[C1 cosω
√1− k2t +C2 sinω
√1− k2t
]+
+1
(ω2−1)+4k2ω2
[(ω2−1)sin t−2kω cos t
]
y′′+2kωy′+ω2y = e−t
ω = 2, k = 0,04 y(0) =−3 y′(0) = 0
y(t) = e−kωt[C1 cosω
√1− k2t +C2 sinω
√1− k2t
]+
1ω2−2kω +1
e−t
y′′+2kωy′+ω2y = 0 ω = 2, k = 1 y(0) =−3 y′(0) = 0
y(t) = yh(t) =−3e−2t(1+2t)
y′′+2kωy′+ω2y = sin t ω = 2, k = 1 y(0) =−3 y′(0) = 0
y(t) = (C1 +C2t)e−kωt +1
(ω2−1)2 +4k2ω2
[(ω2−1)sin t−2kω cos t
]
y′′+4y′+4y = e−2t y(0) =−3 y′(0) = 0
y(t) = (−3−6t)e−2t +12
e−2t
y′′+2kωy′+ω2y = 0 ω = 2, k = 1,05 y(0) =−3 y′(0) = 0
y(t) = yh(t) = C1e(−kω+ω
√k2−1)t +C2e(−kω−ω
√k2−1)t
y′′+2kωy′+ω2y = 5sin t ω = 2, k = 1,05 y(0) =−3 y′(0) = 0
y(t) = yh(t)+ yp(t) = yh(t)+5
(ω2−1)2 +4k2ω2
[−2kω cos t +(ω2−1)sin t
]