CALCULO CON GEOMETRIA ANALITICA.pdf

CALCULO CON GEOMETRIA ANA,LITICA

CALCULO CON GEOMETRIA ANALlTlCA

JOHN B. FRALEIGH University of Rhode Island

Versión en español de

Gonzalo Prada Centro de Investigación y Desarrollo

Empresa Nacional de Telecomunicaciones de Colombia

con la colaboración de

Miguel Lara Aparicio Instituto de Matemáticas

Universidad Nacional Autónoma de México

FONDO EDUCATIVO INTERAMERICANO MEXICO BOGOTA CARACAS SANTIAGO SAN JUAN

Version en español de la obra titulada Calculus with ,4ndyíic <L;eomerry, .,'. : , .A? B. Fraleigh, publicada originalmente en inglés por Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Read- ing, Massachusetts, E.U.A. Copyright @ 1980.

Esta edición en español es la única autorizada.

6 1984por Fondo Educativo Interamericano, S.A. Wilmington, Delaware, U.S.A.

e] 1986 por Sistemas Técnicos de Edición, S.A. de C.V. San Marcos 102, Tlalpan, 14000. México, D.F.

Reservados todos los derechos. Ni todo el libro ni parte de e1 pueden ser reproducidos, archivados o transmitidos en forma alguna o mediante algún sistema electrónico, mecánico de fotorreproducción, memoria o cualquier otro, sin permiso por escrito del editor. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial, registro número 1311. Impreso en Méxicn Drinted in Mexico. ISBN 968-50-0127-8 CDEFGHIJ-"89876

PREFACIQ

Este texto se ha escrito para los cursos regulares de cálculo que deben tomar los estudiantes universitarios de Ciencias Físicas y Sociales. Tales cursos por lo general tienen una duración de tres semestres o de cuatro trimestres. Se espera que los estudiantes tengan buenos conocimientos del álgebra y de la geometría que se estudia en la secundaria.

La sucesión de cursos de cálculo contiene conocimientos matemáticos muy importantes, aplicables inmediatamente después de completar cada curso. Muy pocos cursos de matemáticas presentan tanta materia nueva con tanta rapidez: esto implica un verdadero desafío para el instructor. Rara vez se dispone de tiempo para abarcar completamente los temas y supervisar la ejercitación en clase. Por tanto, los estudiantes deben acudir al texto tanto para afianzar las ideas como para hacer ejercicios.

Leer Matemáticas es un arte diferente al de leer novelas. Los estudiantes requieren práctica para leer matemáticas y los instructores deben intentar lograr que sus discípulos se acostumbren a hacerlo. ¿Por qué digo esto? Por la sencilla razón de que la práctica me ha hecho ver que frecuentemente se evalúa a los estudiantes de cálculo por su conocimiento de temas estudiados exclusivamente en clases. Esta costumbre suele hacer pensar a los estudiantes que el estudio independiente, personal, de un libro de matemáticas es prácticamente imposible. Nada está más alejado de la realidad.

En este libro, he procurado presentar el cáiculo en la forma más clara e intuitiva posible. Evité recurrir a explicaciones confusas y omiti la demostración de teoremas difíciles. He hecho hincapié en el desarrollo de un sentido intuitivo, aunque preciso de la materia, y en la adquisición de una verdadera competencia por parte del estudiante. Estas características, y las que mencionaré más adelante, ilustran mis esfuerzos por aceptar el desafío de preparar un libro claro y coherente y facilitar al lector un texto que, pienso, puede serle útil de verdad.

En contraste con otras obras que dedican muchas páginas a preliminares, la mía introduce la derivada muy pronto. Esto lo hago porque estoy convencido que hay tanto cálculo por aprender que mientras más pronto se entre en materia, más beneficiado se verá el estudiante.

El resumen que se encuentra al finalizar cada lecci6n identifica y recoge las

ideas y fórmulas más importantes. A mi modo de ver, esto hac 5 que el texto sea excepcionalmente fácil de usar para estudio y repaso.

Mencioné anteriormente la necesidad de estudio independiente de u11 libro de matemáticas. Para impulsar esto, que creo posible, acostumbro asignar a mis clases por lo menos tres lecciones de lectura personal, resolución de problemas y evaluación. Así, y con este f in en mente, he agregado al libro varias secciones que pueden estudiarse sin seguir la secuencia en que aparecen y, por tanto, son ideales para la lectura independiente. Recomiendo las siguientes:

Primer semestre:

Sección 1.5. Gráficas de funciones monomiales y cuadráticas. Secci6n 5.2. El método de Newton (incluye el teorema del valor intermedio). Sección 6.5. Métodos numéricos de integración.

Segundo semestre:

Sección 8.6. Funciones hiperbólicas. Sección 9.4. Integración de funciones racionales de sen x y cos x. Sección 12.2. Definiciones sintéticas de las secciones cónicas.

Tercer semestre:

Sección 14.2. Superficies cuadráticas. Sección 16.6. Derivación de funciones implícitas (varias variables). Sección 17.2. Multiplicadores de Lagrange.

Si se asignan estas lecciones como lecturas independientes, el instructor dispondrá de más tiempo para asegurar la comprensión de conceptos básicos.

En lugar de la acostumbrada miscelánea de problemas al finalizar cada capí- tulo, he incluido dos conjuntos de ejercicios de repaso seguidos de un grupo de ejercicios más difíciles. Los ejercicios de repaso permiten al estudiante comprobar de manera sencilla su comprensión del material básico y determinar en qué áreas requieren intensificar el estudio.

Además, propongo procedimientos para resolver, paso a paso, algunos tipos de problemas que, por lo general, causan dificultades al estudiante, tales como los de variaciones relacionadas y los de máximos y minimos.

El cálculo de funciones trigonométricas aparece en la porción del texto que debe estudiarse en el primer sernestrc, poco después de la regla de la cadena. Una irltroducción temprana a este tema ayuda a los estudiante5 a entender y recordar la regla de la cadena. Se suministran dos lecciones de 7-epaso sobre fu~ciones tri- gonométricas para quienes lo necesiten.

Creo que el empleo de métodos numéricos da una comprensión concreta y una mejor apreciación de las nociones del cálculo. Por dicha razón, esta obra hace más hincapié en los métodos numéricos que muchas otras. Hay ejercicios opcionales

PREFACIO vii

para resolver con calculadora, orientados a ilustrar tanto los conceptos del cálculo como a enfatizar las técnicas numéricas.

Algunos instructores, entre los que me incluyo, somos mezquinos con el tiempo dedicado a las secciones cónicas, debido a la cantidad de materia que debe de estudiarse en cálculo en un tiempo que siempre resulta escaso. El material del ca- pítulo 12 se organizó de modo tal que sólo requiere ur,a lección sobre secciones cónicas (en trazado de gráficas) para cubrir el resto del material del texto no se- ñalado con asteriscos. Se incluyen todos los temas usuales sobre secciones cónicas para los instructores que deseen cubrirlos.

El primer semestre de la secuencia de cálculo presenta técnicas e ideas pode- rosas para resolver problemas que los estudiantes no podían solucionar antes. Este primer semestre es el más interesante de la secuencia y, sin duda, es uno de los más importantes de las matemáticas de pregrado. En el segundo semestre se avanza a menudo más despacio, para permitir la utilización de las ideas del primer semestre con más funciones y sistemas de coordenadas diferentes y el desarrollo de técnicas de integración. Me gusta tener al menos un tema principal en el segundo semestre; por esta razón, he incluido las series en la mitad del texto. El primer capítulo sobre series (Cap. 10) es excepcional, pues capacita a los estudiantes para determinar de una ojeada la convergencia o divergencia de las series, como lo haría un mate- mático; es decir, sobre la base de criterios rigurosos que no siempre se escriben. Por supuesto, el tema de las series puede aplazarse hasta el final de la secuencia, si así lo prefiere el instructor.

He incluido en el libro gráficas de computador, pero cada una de ellas aparece sólo acompañando una ilustración de algún artista. El papel y el lápiz son aún las herramientas básicas para estudiar matemáticas. Es importante que los estudiantes desarrollen habilidad en el trazado de gráficas para fortalecer su intuición geo- métrica. Una gráfica generada por computador, con su miríada de curvas precisas, es ordinariamente imposible de reproducir por parte de los estudiantes. La sana pedagogía requiere que se incluyan bocetos hechos por artistas, que los estudiantes pueden emular. Yo elaboré las gráficas de computador y los programas en el Cen- tro de Cómputo de la Universidad de Rhode Island, cuyo personal me prestó mucha ayuda.

Estoy en deuda con los revisores del manuscrito por sus valiosas sugerencias. Algunos lo leyeron con sumo cuidado en dos etapas de su redacción. Entre ellos están James E. Arnold, Jr. (Universidad de Wisconsin en Milwaukee), Ross A. Beaumont (Universidad de Washington), Arthur T. Copeland (Universidad de New Hampshire), William R . Fuller (Universidad de Purdue), Kendell Hyde (Weber State College) y Joan H. McCarter (Universidad del Estado de Arizona).

Agradezco especialmente a Steve Quigley, editor de matemáticas, y a Lynn Loomis, consultor editorial de Addison Wesley, por sus consejos, estímulos, tiempo y paciencia en el desarrollo de todo el proyecto.

Kingston, R. I. J.B.F.

lndice

1. Funciones y gráficas, 1

1.1. Coordenadas y distancia, 1 1.2. Círculos y pendiente de una recta, 7 1.3. Ecuacion de una recta, 12 1.4. Funciones y sus gráficas, 15 1.5. Grlificas de funciones monomiales y cuadráticas, 22

2. La derivada, 29

2.1. Pendiente de una gráfica, 30 2.2. Límites, 36 2.3. La derivada; derivación de funciones polinómicas, 44 2.4. Más sobre límites y continuidad, 51

*2.5. Aplicaciones a las grlificas de funciones racionales, 59

3. Derivación y diferenciales, 69

3.1. Derivación de productos y cocientes, 69 3.2. La diferencial, 73 3.3. La regla de la cadena, 80 3.4. Derivadas de orden superior y movimiento, 85 3.5. Derivación implícita, 93

4. Las funciones trigonométricas, 100

4.1. Repaso de trigonometría I : Evaluación e identidades, 100 4.2. Repaso de trigonometría 11: Gráficas de funciones trigonométricas, 105 4.3. Derivación de funciones trigonométricas, 108

5. Aplicaciones de la derivada, 116

5.1. Problemas sobre variaciones relacionadas, 116 5.2. Método de Newton, 119 5.3. Valores máximos y mínimos en [a, b] , 125 5.4. El teorema del valor medio, 129

X CALCULO CON GEOMETRíA ANALíTICA

5.5. Signos de las derivadas y trazado de curvas, 132 5.6. Problemas sobre miximos y mínimos. 140 5.7. El cilculo en la economía y los negocios, 146 5.8. Antiderivadas, 151

6. La integral, 158

6.1. La integral definida, 15 8 6.2. El teorema fundamental del crilculo, 170 6.3. Integracih y ecuaciones diferenciales, 177 6.4. Utilización de las tablas de integration, 183 6.5. Métodos numéricos de integración, 186

7. Aplicaciones de la integral, 196

7.1. Area y valor promedio, 197 7.2. Volúmenes de revolución: Método de discos, 203 7.3. Volúmenes de revolución: Mélodo de la corteza, 209 7.4. Longitud de arco, 213 7.5. Area de una superficie de revolución. 219 7.6. Distancia, 222 7.7. Trabajo y presión hidrostática, 225 7.8. Masa y momentos, 228 7.9. Centro de masa, centroide, teorema de P a p p ~ s , 233

8. Otras funciones elementales, 239

8.1. La función In x, 239 8.2. La función P.', 246 8.3. Otras bases y derivación logaritmica, 254 8.4. Aplicaciones al crecimiento y al decaimiento, 257 8.5. Inversa de las funciones trigonométricas, 263 8.6. Funciones hiperbólicas, 269

9. Técnicas de integración, 279

9.1. Integración por partes, 280 9.2. Integración de funciones racionales por fracciones parciales, 285 9.3. Sustitución, 294 9.4. Integración de funciones racionales de sen x y cos x, 298 9.5. Integración de potencias de funciones trigonométricas, 301 9.6. Sustitución trigonométrica, 307 9.7. Integrales impropias, 3 1 I

10. Series infinitas de constantes, 319

10.1. Sucesiones, 3 19 10.2. Series, 323

INDICE GENERAL XI

10.3. t0.4. 10.5.

Criterios de comparación, 330 Criterios de la integral y de la razón, 336 Series de términos positivos y negativos. Convergencia absoluta, 346

11. Series de potencias, 354 11.1. Series de potencias, 354 11.2. Fórmula de Taylor, 360 11.3. Series de Taylor; representación de una función, 369 11.4. Formas indeterminadas, 379 11.5. Series binomiales. Cómputos, 388

12. Curvas planas, 400 12.1. Trazado de secciones cónicas, 400 12.2. Definiciones sintéticas de las secciones cónicas, 407 12.3. Clasificación de curvas de segundo grado, 415 12.4. El porqué del estudio de las secciones cónicas, 424 12.5. Repaso de las curvas paramktricas, 429 12.6. Curvatura, 435

13. Coordenadas polares, 444 13.1. El sistema de coordenadas polares, 444 13.2. Trazado de curvas en coordenadas polares, 450 13.3. Area en coordenadas polares, 455 13.4. El ángulo $ y la longitud de arco, 458

14. Geometría del espacio y vectores, 464 14.1. Coordenadas en el espacio, 464 14.2. Superficies cuadráticas, 470 14.3. Vectcres y álgebra vectorial, 476 14.4. Producto escalar de vectores, 484 14.5. Producto vectorial y productos triples, 491 14.6. Rectas, 499 14.7. Planos, 506

15. Análisis vectorial de curvas, 516 15.1. Vectores v2locidad y aceleración, 516 15.2. Componentes normal y tangencia] de la aceleración, 523 15.3. Andisis vectorial en coordenadas polares y leyes de Kepler, 528 15.4. Vectores normales y curvatura para curvas en el espacio, 536

16. Cálculo diferencial de funciones de varias variables, 545 16.1. Derivadas parciales, 545 16.2. Planos tangentes y aproximaciones, 552 16.3. La derivada y la diferencial, 556 16.4. Reglas de la cadena, 562

XI1 CÁLCULO CON GEOMETRíA ANALíTICA

16.5. La derivada direccional y el gradiente, 567 16.6. Derivación de funciones implícitas, 572

17. Aplicaciones de las derivadas parciales, 580

17.1. Miximos y mínimos, 580 17.2. Multiplicadores de Lagrange, 584 17.3. Diferenciales exactas, 590 17.4. Integrales de línea, 596 17.5. Integracih de campos vectoriales a lo largo de curvas, 602

18. Integrales múltiples, 612

18.1. Integrales sobre u n rectángulo, 612 18.2. Integrales sobre una región, 624 15.3. Integracih múltiple en coordenadas polares y cilíndricas, 634 18.4. Integración en coordenadas esféricas, 639 18.5. Momentos y centros de masa. 644 18.6. Area de u n a superficie. 052

19. Divergencia, los teoremas de Green y de Stokes, 660

19. I . Modelos físicos del teorema de Green y del teorema de la divergencia, 660 19.2. El teorema de Green y sus aplicaciones, 671 19.3. Teorema de Stokes. 681

20. Ecuaciones diferenciales, 692

20.1. 20.2. 20.3. 20.4. 20.5. 20.6. 20.7. 20.8.

Introduccih, 692 Separaci6n de variables y ecuaciones homogéneas. 697 Ecuaciones exactas, 703 Ecuaciones lineales de primer orden, 710 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes conqhntes. 7 14 Caso no homogéneo; aplicaciones, 721 Soluciones por medio de series: El caso lineal homop;rleo. 731 Soluciones por medio de series: El caso no homogénw. 737

Apéndices, 743

1. Programas en lenguaje BASIC, 744

2. Breve resumen de álgebra y geometría, 749

3. Tablas de funciones, 753

4. Breve tabla de integrales, 757

Respuestas a los problemas impares, 767

Indice de materias, 873

CALCULO CON GEOMETRIA ANALlTlCA

1 Funciones y gráficas

1.1. COORDENADAS Y DISTANCIA

Un número real es el que puede escribirse como un decimal que no tiene fin, positivo, negativo o cero. Por ejemplo, 3 = 3.000000 ..., -5 = -0.666666..., y 7t = 3.141592 ... son numeros reales.

1.1.1. Coordenadas en la recta nurnkrica

Es muy útil considerar los números reales como si fueran puntos de la rectu numérica. Tomemos una línea recta que se extiende indefinidamente en ambas direcciones. Por medio de los números reales se puede construir con esa recta una regla de longitud infinita (ver fig. 1.1). Para determinar la escala se escoge un punto que se designa con O y a la derecha de éste se designa otro punto con 1. Cualquier número real positivo r corresponde al punto que dista r unidades a la derecha de O, mientras que un número negativo -S corresponde a un punto que dista S unidades a la izquierda de O. La flecha en la recta numérica indica la dirección positiva. La notación r < S (que se lee ( ( r es menor que S))) significa, para todos los números reales r y S, que r está a la izquierda de S en la recta numérica. Por ejemplo,

etcétera. La notación r ,< S se lee w es menor o igual a SN. La x a la derecha de la flecha en la fig. 1.1 indica que x puede ser cualquier

número real en la recta numérica. En este contexto, se dice que x es una variable real y la recta numérica recibe el nombre de eje x.

Figura 1.1

2 CALCULO CON GEOMETRíA ANALÍTICA

Ejemplo 1. Los puntos x de la recta numérica que satisfacen la relación O d x < 2 se indican con la línea gruesa y los puntos grandes en la fig. 1.2. Tanto O como 2 satisfacen la relación. / /

- - - -2 - 1 O 1 2 Figura 1.2

t-" - 7

-i -1 O 1 2 Figura 1.3

Ejemplo 2. Los puntos que satisfacen - 1 < x < 1 se indican con la línea gruesa y el punto grande 1 en la fig. 1.3. Ahora - 1 no satisface la relación mientras que 1 sí la satisface. / /

La colección de puntos .Y que satisfacen una relación de forma u < x < h es muy importante en el cálculo. Este conjunto de puntos es el intervalo cerrado [a, b). El adjetivo ((cerrado)) indica que ambos extremos, a y b, se consideran parte del intervalo; es decir, las puertas están cerradas por dichos puntos en ambos extremos del intervalo.

La distancia del punto r al punto O es el valor absoluto del número r, y se denota por Ir l. Por ejemplo,

151 = 1-51 5,

puesto que tanto 5 como -5 distan cinco unidades de O. En consecuencia,

Ir1 = r para cualquier número positivo r,

mientras que

1 "SI = S para cualquier número negativo "s.

Es claro que 101 = O. Considérese ahora la distancia entre dos puntos cualesquiera de la recta numérica.

Conviene utilizar notación con subindices, como x , y x2, para designar números en el eje x, aunque no se especifique cuáles son sus valores. La distancia entre los puntos x1 y x2 que se ilustra en la fig. 1.4 es claramente .Y. - xl. Es Picil convencerse de que dados dos puntos S , y x 2 , tales que x1 6 x2, la distancia entre ellos es x2 - xl.

Figura 1.4 Figura 15

Ejemplo 3. La distancia entre "-2 y 3 es 3 - ( - 2) = 5, como se indica en la fig. 1.5. 1~

FUNCIONES Y GRÁFICAS 3

Ahora, la distancia entre dos puntos cualesquiera x1 y x2 es x1 - x2 o x2 - xlr la que sea no negativa. Desde luego, esta magnitud no negativa es \x2 - XI].

Distancia en [u línea

Por tanto, la distancia entre 3 y - 2 es I( - 2 ) - 31 = 1-51 = 5. Otra manera de expresar esta diferencia no negativa es Jm', donde el radical proporciona siempre la raíz cuadrada no negatica del número. Más adelante, en esta misma sección, se verá que la expresión en forma de raíz cuadrada conduce en forma natural a la fórmula para la distancia entre dos puntos del plano.

Ejemplo 4. Para hallar la distancia entre - 2 y 3, se tiene que

4 3 - (-2))2 = @ = v53 = 5; y también,

4 - 2 ) - 3 ) 2 = m = m = 5. (1

En el ejercicio 4 se pide demostrar que ( a + b)/2 está a la misma distancia de u que de h, de manera que (a + b)/2 es el punto rrtedio de [a, h ] .

Además de conocer la distancia entre x I y .x2, a menudo se requiere saber si x1 está a la izquierda o a la derecha de x2. La variación x2 - x1 del valor de x en el eje x en la dirección de x, a x2 (en ese orden) es positiva si x1 < x2 y negativa S1 x2 < XI.

Notación delta

Más adelante, en el cálculo será necesario que Ax (se lee d e l f a x))) represente una variación positiva o negativa en el valor de x. Es conveniente acostumbrarse desde ahora a la notación delta. Geométricamente, Ax = x2 - x1 puede considerarse como la longitud con signo del segmento dirigido de x l a x2.

1.1.2. Coordenadas en el plano

Coloquemos dos copias de la recta numérica (con la misma escala) en un plano, de tal modo que queden perpendiculares entre si y se intersequen en el punto O de cada una (ver fig. 1.6). Cada punto del plano lo asociamos con un par ordenado de números ( x l , y l ) como sigue: el primer número x1 indica la posición izquierda- derecha del punto, según la localización de x1 en la recta numérica horizontal. De manera aniloga, el segundo número y , indica la posición abajo-arriba del punto, según la localización de y1 en la recta numérica vertical (ver fig. 1.6). Recíprocamente, a cualquier par ordenado de números, tal como (2, - I), le corresponde un punto Único del plano.

Las líneas continuas de la fig. 1.6 son los ejes coordenados. En particular, el eje horizontal es el eje de las x y el vertical es el eje de las y, según la

4 CALCULO CON G E O M E T R ~ A ANALíTICA

designación de las flechas. Dado el punto (x l , y l ) , el número x1 es la abscisa del punto, en tanto que J, es la ordenada. Los ejes coordenados dividen naturalmente el plano en cuatro porciones o cuadrantes, dc acuerdo con los signos de las coordenadas de los puntos. Se acostumbra numerar los cuadrantes como se indica en la fig. 1.7. El punto (O, O) es el origen. L a introducción de coordenadas permite utilizar los nurneros y su aritmética como instrumentos de estudio de la geometría. La ycornetriu unmliticu es el estudio de la geometría por medio de coordenadas. También es muy importante el hecho de que la referencia a sistemas de coordenadas facilita dibujar figuras geométricas que permiten visualizar el trabajo numérico.

Plano euchdiano Figura 1.6 Figura 1.7

\

I +

Figura 1.8

Ejemplo 5. La regi6n del plano que consta de los puntos (.x, y ) que satisfacen la relación x < I se ilustra en la fig. 1.8. I j

Ejemplo 6. La regi6n del plano que consta de los puntos (x,y) tales que ambas relaciones - 2 < x < 1 y 1 < y < 2 se satisfacen, se ilustra en la fig. 1.9. ) I

Finalmente, para encontrar la distancia entre dos puntos (.yl, J , ~ ) y (xz, J * ~ ) en el plano, se procede como sigue: en la fig. 1 .lo, sean Ax = x 2 - x 1 y AJ. = y2 - J ' I .

de modo que lA.x/ y 1AJ-i son los catetos del trihngulo rectkngulo de la figura.


La distancia entre (x1, yl) y (x2, y 2 ) es la longitud d de la hipotenusa del triángulo; entonces, según el teorema de Pitágoras,

d 2 = [Ax\2 + 1'

3 1

-31 Figura 1.9 Figura 1.10 0 1 I - - .X XI x2

* A

Distancia en el plano

Puesto que los términos de (1) están elevados al cuadrado, no se necesitan los símbolos de valor absoluto; por tanto, d' = (Ax)' + (Ay)2 y

d = J ( A x ) ~ + (Ay)* = J(x, - XI)' + (y2 - ~ 1 ) ~ . (2)

Ejemplo 7. La distancia entre (2, - 3) y ( - 1, 1) es

J(-1 - 2)' + (1 - ( - 3 ) ) Z = J g G 7 = J9+16 = 4% = 5. (1 La disponibilidad de calculadoras electrónicas baratas (los modelos estilo

((regla de cálculon con memoria) facilita el cómputo de (2). Al finalizar el siguiente grupo de ejercicios se encuentran algunos que han de resolverse con la ayuda de calculadora.

RESUMEN

1. El intervalo cerrado [a, b] consta de todos los puntos x tales que a < x < b.

2. La distancia entre x1 y x2 en la recta numérica es Ix2 - xl( = Jm. 3. La longitud con signo del segmento dirigido de x1 a x2 es Ax = x2 - x, =

(número de llegada) - (número de partida).

4. El punto medio de [a, b] es (a + b)/2.

5. La distancia entre (xl, y l ) y (x~, y z ) en el plano es

4 x 2 - x1)2 + (Y2 - Y d 2 .

6 CALCULO CON GEOMETRíA ANAL~TICA

EJERCICIOS

1. Localizar en la recta numkrica. como en la fig. 1.2 y la fig. 1.3, todos los puntos .u (si existen) que satisfacen las relaciones dadas. a) 2 6 x 6 3 b) .Y < O c j x 2 = 4 d) S2 < 4 e ) x2 6 4 1) S < . u < - I

2. f-lallar la distancia entre los puntos dados en la recta numkrica. a) 2 y S bj - 1 ~ 4 C) - 3 ~ -6

3. Hallar la distancia entre los puntos dados en la recta numcrica. a) - 3 y 12

"

b) -:y - I 5

c j ,/? y -2v'2 d) \>'Z 4 T

4. Demostrar que. para cualesquiera u y h de la recta numt'rica. la distancia entre (o + h)/2 y N es igual :I la distancia entre I n + h)!2 y h.

5. Hallar el punto medio de cada ~ m o de los intervalos siguientes. a) [ - l . 11 b) [- 1.41 C) [ - 6 , -31

6. Hallar la longitud ( 'on siyno A.x de los segmentos dirigidos. a) de 2 a S b) de 3 a -- 7 c) d e - 8 a - 1 4 d) de 10a 2

8. Proceder como en el ejercicio 7. ai x ,< y

b) .Y == - J'

c) y = 2 s d ) 2x 3 J.

9. Hallar las coordenadas del punto indicado. a ) El punto tal que el eje .Y biseca

perpendicularmt nte al segmento de recta que une ( 2 , - 1) con dicho punto.

b) El punto tal c'ue el eje y biseca perpendicularmente al segmento de recta que une ( - 3.2) con dicho punto.

c) El punto tal que el segmento de recta que lo une con ( - I , 3) tiene al origen como punto medio.

d ) El punto tal que cl segmento que Io une con ( 2 , - 3 ) tiene a (2. I J como punto medio.

10. Hallar ladistancia entre los puntos dados.

a) (-2,s) y (1, 1) b) ( 2 . -3) y ( - 3 , s ) c) (2v,7, - 3) y ( - .,.2,2) di (2\.3, S J 7 ) y ( " 1, -3,2,:7)

11. Para llegar a !a casi de Eduardo desde el ccntro de la ciudbd b e recorren 2 km hacia el este por la Calle 37 y luego 5 km haLia el norte por la Avenida 101. Supo- niendo que en la ciudad la superficie de la Tierra es casi plana, hallar la distancia en línea recta desde el centro de la ciudad a la casa de Eduardo.

7. Localizar en el plano los puntos (.x-, J) 12. relacibn con el c:jercic,o 1 1 , suponer que satisfacen las relaciones indicadas. como en los ejemplos 5 y 6.

que se recorren 6 k m hacia el oeste por la Calle 37 y luego 4 k m hacia el sur por la

a) x = l Avenida 43 para llegar a la casa de Luis b) - 1 < , ~ < 2 desde el centro de l a ciudad. Hallar la c j .Y = " 1 y - 2 < )' < 3 distancia en línea rscta desde la casa de d) x - ) ' ) . - 1 < x < I Eduardo a la de LLis.

-


Para resolver con calculadora

13. Hallar el punto medio de [ - 243, SP]. 16. Hallar la distancia entre ( - 3.7,4.23) y

14. Hallar la longitud con signo del segmento (8.61,7.819).

dirigido de 22$ a n3. 17. Hallar la distancia entre (n, -$) y 15. Hallar la distancia entre (2, -3) y (4, 1). ( 8 P , -*).

1.2. CIRCULOS Y PENDIENTE DE UNA RECTA

1.2.1. Círculos

El circulo con centro (h, k ) y radio r consta de todos los puntos (x, y) cuya distancia a ( h , k ) es r . La aplicación de la fórmula de la distancia de (x, y ) a (11, k ) indica que el círculo consta de todos los puntos (x, y) tales que

Elevando al cuadrado ambos miembros de (1) se obtiene la expresión equivalente

(x - h)’ + ( y - k)’ = r 2 . (2)

La ec. (2) se conoce como ecuación del círculo.

Ejemplo 1. La ecuación del círculo con centro en ( -2 ,4 ) y radio 5 es (X - ( - 2 ) ) 2 + ( y - 4)2 = 25 O (X + 2)* + (y - 4)2 = 25. 1 1 Ejemplo 2. La ecuación (x + 3)’ + (y + 4)’ = 18 describe u n círculo con centro en ( - 3, -4) y radio J18 = 3$. 1 1

Toda ecuación de la forma ax2 + ay’ + hx + cy = r l que se satisface para por lo menos un punto (xl,yL), es la ecuación de un círculo. No obstante, la ecuación general puede no tener lugar geométrico en el plano real. Por ejemplo, x2 + yz = - 10 no tiene lugar geométrico real, puesto que la suma de dos cuadrados no puede ser negativa. Es instructivo reducir ecuaciones de este tipo de la forma (2) con el fin de hallar el centro y el radio del circulo.

Ejemplo 3. Demostrar que 3xz + 3yz + 6x - 12y = 60 describe un círculo.

SOLUCI6N. Dividimos la expresión por 3, coeficiente común de x’ e y 2 , para obtener

x2 + y 2 + 2x - 4y = 20.

8 CALCULO CON GEOMETRíA ANALíTICA

Cornplctur e l cuarlrado

Se utiliza ahora la técnica algebraica de completar el cuadrado para reducir la ecuación a la forma (2) como sigue:

(x' + 2x) + (y2 - 4y) = 20,

(x + 1)' + (y - 2)' = 20 + l 2 + (-2)?, (x + 1)2 + (y - 2)? = 2s.

Por tanto, la ecuación dada describe un círculo con centro en ( - 1,2) y radio 5. I / Sean Ax = x - h y Ay = J! - li, entonces (2) se reduce a

(AX)' + (Ay)' = r'. ( 3 )

La interpretación geométrica de (3) requiere un nuevo eje Ax y un nuevo eje Ay con el punto (h , k ) como nuevo origen, como se muestra en la fig. 1.1 1. Recuérdese que A.x es la distancia dirigida entre 11 y x y A?! es la distancia dirigida entre k e y .

Truslación de ejes

De esta manera, (3) es precisamente la ecuación del círculo con respecto a los nuevos ejes. Este esquema se conoce como rru.slac,ih de L ~ C J S a (h . k ) y es de frecuente utilización. La ecuación Y' + J.' = r' describe un círculo con centro en el origen del sistema x, J' de coordenadas y radio r , mientras que la ecuación

+ (Ay)' = r 2 describe un círculo cuyo centro es el origen del sistema de coordenadas Ax, Ay, y cuyo radio es r .

1.2.2. Pendiente de una recta

La pendiente m de una recta es el número de unidades que la recta asciende ( o desciende) verticalmente por unidad de variación horizontal de izquierda a derecha. Como ilustración, si una recta asciende 3 unidades por cada paso unitario de avance hacia la derecha, como en la fig. 1.12(a), la pendiente de la recta es 3.


Si una recta desciende 2 unidades por unidad de avance hacia la derecha, como en la fig. 1.12(b), la pendiente de dicha recta es -2. Una recta horizontal que ni asciende ni desciende tiene pendiente igual a O. Una recta vertical asciende directamente sobre un punto, así que es imposible medir cuánto asciende por unidad de variación horizontal; en consecuencia, se dice que la pendiente de una recta vertical no está definida.

I

3

I h 2 m = -2

Ejemplo 4. Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2,4) y (5, 16).

SOLUCION. Avanzando de (2,4) a (5,16), se tiene Ax = 5 - 2 = 3 y Ay = 16 - 4 = 12. Puesto que la recta asciende AJJ = 12 unidades mientras se desplaza Ax = 3 unidades hacia la derecha, y puesto que la recta asciende a un ritmo uniforme, la tasa de ascenso por unidad de variación hacia la derecha es AylAx = y = 4. / /

Según se ilustra en el ejemplo 4, la pendiente m de la recta que pasa por los puntos (x1, .yl) y (XZ, y2 ) si x1 < x2, se puede hallar calculando Ax y Ay al ir desde (x1, y,) hasta (x2, y2), y luego tomando el cociente; así

Se supone que la recta no es vertical, así que x1 # x2. Si se tiene x2 < xl , entonces, para avanzar de izquierda a derecha, el desplazamiento se lleva a cabo de (x2, y2) a (xl , yl) , y así se obtiene

AY Y1 - Y 2 Y2 - Y1 m = - = - - " (5) AX x1 - x2 x2 - X , '

esencialmente la misma fórmula (4). En resumen, la pendiente m de una recta no vertical que pasa por dos puntos viene dada por

Ay Diferencia de ordenadas Ax Diferencia de abscisas

m = - - =

10 CALCULO CON GEOMETR~A ANAL~TICA

Ejemplo 5. La recta que pasa por (7,5) y ( - 2,8) tiene la pendiente

A y 8 - 5 3 1 AX -2 - 7 -9 3 ‘ m = - = ” - - - - - - - I I

Dos rectas son paralelas precisamente cuando ascienden (o descienden) ai mismo ritmo, es decir, cuando sus pendientes son iguales. Supongamos ahora que las dos rectas son perpendiculares entre sí. Sea m l la pendiente de una de las rectas y m2 la pendiente de la otra. Una traslación de ejes permite suponer que las dos rectas dadas se cortan en el origen. De esta manera (1, mi) y (1, m 2 ) son puntos de dichas rectas, según se ilustra en la fig. 1.13. Las rectas son perpendiculares si y sólo si el triángulo rectángulo cuyos vértices son (O, O), (1, m l ) y (1, mz) satisface el teorema de Pitágoras d 2 = r z + S, .

Según la fórmula de la distancia se tiene

r2 = (I - O), + ( m , - O)’ = 1 + m12, s 2 = (1 - O ) 2 + (m, - O)2 = 1 + m2’, d 2 = (1 - 1), + ( m , - m,)’ = (m2 - m,)’.

y la relación pitagórica se convierte en

(m, - m,)’ = (1 + m I 2 ) + (1 + m,’) o

m22 - 2m,m2 + m,‘ = 2 + m,’ + m,’. Por tanto

-2m,m, = 2 :

m l m z = -1 o m2

Figura 1.13

Ejemplo 6. Hallar la pendiente de una recta perpendicular a la recta que pasa por los puntos (6, - 5) y (8, 3).


SOLUCION. La pendiente de la recta dada es

Ay 3 - (-5) 8 AX 8 - 6 2 “ - = - = 4;

por tanto, la pendiente de una recta perpendicular a la anterior es -4. I ( 1

RESUMEN

1. E1 círculo con centro en ( h , k ) y radio r tiene la ecuación

(x - h)* + (y - k)2 = r2.

2. Para hallar el centro (h , k ) y el radio r de un círculo ax2 + ay2 + bx + cy = d , hap que completar el cuadrado para los términos de x y los términos de y.

3. La pendiente de una recta certical no está definida. Si x I # x2, entonces la pendiente de la recta que pasa por (x,, y l ) y (x2, y2) uiene dada por

m=-=”----- AY Y2 - Y1

AX x2 - X,

4. Las rectas cuyas pendientes son m1 y m 2 son:

paralelas s i y sólo si m l = m 2 ; perpendiculares si y sólo si m lm2 = - 1, o m2 = - l /m , .

EJERCICIOS

1. Hallar la ecuación del círculo con el centro y el radio dados. a) centro (O, O), radio 5 b) centro ( - 1,2), radio 3 c) centro (3,4), radio @

2. Hallar el centro y el radio del círculo dado. a) (x - 2)2 + (y - 3)’ = 36 b) (x + 3)’ + y2 = 49 c) (x + 1)’ 4- (y + 4)’ = 50

3. Hallar el centro y el radio del círculo dado

a) x’ + y’ - 4x + 6 y = 3 b) x’ t y’ + 8x = 9 C) 4x’ + 4yz - 12x - 24y = -S

4. Hallar la ecuación del círculo tangente a los ejes coordenados con radio 4 y centro en el segundo cuadrante.

5. Hallar la ecuación del círculo cuyo diá- metro es la recta que tiene como extremos los puntos (- 1,2) y (5, -6).

6. Hallar la ecuación del círculo que pasa por el punto (5,4) y cuyo centro es (2, - 3).

12 CALCULO CON GEOMETR~A ANALíTICA

7. Hallar la pendiente de la recta que en cada caso pasa por los puntos dados, si la recta no es vertical.

a) ( - 3,4) Y b) (5, -2) y (-6, - 3 ) c) (3,5) Y (3>8) d) (0,O) Y (5,4) e) ( - 7,4) Y (9,4)

8. Hallar b tal que la pendiente de la recta que pasa por (2, - 3) y (5, b) sea -2.

9. Hallar a tal que la pendiente de la recta que pasa por (a, - 5) y (3,6) sea 1.

10. Hallar la pendiente de una recta perpendicular a la recta que pasa por ( - 3 . 2) y (4, 1).

11. Hallar b tal que la recta por (8,4) y (4, -2) sea paralela a la que pasa por (-42)Y a b ) .

12. Demostrar que la recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralela al tercer lado.

[Sugerencia. Colocar los vértices del trián- gulo en los puntos (O. O), (a, O) y (b, c).]

13. El agua se congela a O 'C y 32 "F e hierve a 100 "C y 212 "F. Si se representan gráficamente en un plano puntos (C, F) , donde F es la temperatura en grados Fahrenheit que corresponde a una temperatura de C grados centígrados, se obtiene una recta. Hallar la pendiente de esta recta. ¿,Cuál es el significado de la pendiente en este caso?

14. La compañía de vivienda prefabricada Vivalavida tenía en 1960 un precio de lista de $30 O 0 0 para su modelo de rancho super de lujo. El precio se aumentó de manera constante cada año, de manera que en 1980 se situó en $90000. Hallar la pendiente del segmento que pasa por los puntos ( A , F ) en el plano, donde A es cualquier año entre 1960 y 1980 y P es el precio del modelo de rancho en dicho año. ¿,Cuál es el significado de la pendiente en la situación dada?


15. Hallar el centro y el radio del círculo 16. Hallar la pendiente de la recta que pasa dado. por los puntos indicados. a) (x - n)2 + (y - &)' = 2.736 a) (2.367, n) y (&8.9) b) X' + y* + 3.1576~ - 1.2354~ =

3.33867 b) ( x 2 . m) y (12.378, vm)

c) ,fix2 + $J.* - n3x + c) ($ + J j , 71 - J19.3) ( E 2 + 3.4)y = $7 y (,h + 1.45, - p)

1.3. ECUACION DE UNA RECTA

Sea m la pendiente de una recta dada que pasa por el punto (x1, yl), como se ilustra en la fig. 1.14. Se trata de hallar una condición algebraica para que un punto (x, y) pertenezca a tal recta. Si la pendiente de la recta que une (x l , y , ) y (x,y) es también m, entonces ésta es paralela a la recta dada, ya que ambas tienen la misma pendiente. Pero puesto que las dos pasan por el punto (xl, yl), deben coincidir. Por tanto, una condición para que (x, y ) pertenezca a la recta dada es

" Y - Y l v m (1) x - x,


v 4

01 I x; .X Figura 1.14

O y - y1 = m ( x - xl). (2)

La ec. (2) recibe el nombre de forma punto-pendiente de la ecuación de la recta.

Ejemplo 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (2 , - 3) y cuya pendiente es 7.

SOLUCION. La ecuación es y - ( - 3) = 7(x - 2) o y + 3 = 7(x - 2). La expresión simplificada de esta ecuación es p = 7x - 17. El punto (3,4) pertenece a la recta, puesto que 4 = 7 . 3 - 17. 1 1

Como se indica en el ejemplo 1, la ecuación escrita en la forma punto- pendiente ( 2 ) puede representarse también como

y = mx + b, (3) donde b = y , - m x l . La constante b de (3) tiene una interpretación interesante. Sea x = O en (3); entonces y = b; por tanto, el punto (O, b) satisface la ecuación y pertenece a la recta. Este punto (O, b) está en el eje y, y b es la intersección con y de la recta. Por esta razón (3) recibe el nombre de ,formu pendiente- intersección de la ecuación de la recta. Si la recta corta el eje x en (a, O), entonces a es la intersección con x de la recta.

Ejemplo 2. Hallar las intersecciones de la recta del ejemplo 1.

SOLUCION. La ecuación es y = 7x - 17, de modo que - 17 es la intersección con y. Para hallar la intersección con x, se parte de y = O para obtener 7x - 17 = O, así que x = El punto (y, O) pertenece a la recta, luego es la inter- sección con x.

La pendiente de la recta vertical que pasa por (a,O) en la fig. 1.15 no está definida, así que la ecuación de dicha recta no puede expresarse en ninguna

1 7

v i

A 01 i a

.X Figura 1.15


de las formas (2) o (3). Pero con toda seguridad, una condición para que ( x , y ) pertenezca a la recta es que x = a. Por supuesto, y = b es la recta horizontal que pasa por (O, b), como se muestra en la figura. En cualquier sistema de coordenadas es importante saber qué lugar geométrico se obtiene cuando se asignan valores constantes a las variables del sistema. Ya se ha visto que en u n sistema de coordenadas rectangulares x , y, x = a es una recta vertical y y = h es una horizontal.

Siempre que se desea hallar la ecuación de una recta, el problema se reduce a hallar un punto que pertenezca a la recta y la pendiente de la recta, para aplicar luego la ec. (2).

Ejemplo 3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por ( - 5, -3) y (6, 1).

SOLUCION. Este problema se resuelve como sigue:

PUNTO: (X l , y , ) (-5, -3)

PENDIENTE: m = [I - (-3)]/[6 - (-5)] = A E C U A C I ~ N : y + 3 = ;(x + 5)

Esta ecuación puede representarse de manera más simple como l l y + 33 = 4~ + 20 ó 4.x - 114’ = 13. / /

Se observa, finalmente, que toda ecuación de la forma ax + hJ! + c = O, donde a # O ó b # O, es la ecuación de una recta. Si b = O, la ecuación se reduce a x = -c/u, que es una recta vertical. Si b # O, la ecuación se expresa como y = -(a/b)x - c/b, una recta cuya pendiente es m = -a/h y cuya intersección con y es -c jb .

RESUMEN

1. La ecuación de una recta r3ertical es x = a. 2. La ecuación de una recta horizontal es y = b

3. Para hallar la ecuación de una recta se halla un punto ( X I , y l ) en la recta y la pendiente m de la recta. Entonces la ecuación es

y - y ] = m(x - x,).

4. La pendiente de la recta J! = mx + b es m y b es la intersección con y .

EJERCICIOS

1. Hallar la ecuación de las rectas indicadas. b) Pasa por (2,5) y ( - 3,5) c) Pasa p o r (4, -5) y (-1, 1)

a) Pasa por ( - 1,4) con pendiente 5 d) Pasa por ( -3 ,4 ) y ( -3 , - I )


2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Hallar la pendiente, la intersección con x y la intersección con y de las rectas indicadas. a) x - y = 7 b) y = 1 1 c) x = 4 d) 7x - 1 3 ~ = 8

Hallar la ecuaci6n de la recta que pasa por ( -2, 1) y es paralela a la recta 2.x + 3y = 7.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por (3, -4) y es perpendicular a la recta 4x - 7y = 11.

$on perpendiculares las rectas 3x + 43’ = 8 y 4~ + 3; = 14? ¿,Por qué?

¿!Son perpendiculares las rectas 7x + 8y = 10 y 8x - 7y = - 14? lPor qué‘!

Hallar la ecuación de la bisectriz perpendicular al segmento de recta que une los puntos ( - 1,5) y (3, 11).

Hallar el punto de intersección de las rectas 2x + 33’ = 7 y 3x + 43’ = 8.

9. Hallar la distancia del punto ( - 2, 1) a la recta 3x + 44’ = 8.

IO. Demostrar quelas bisectrices perpendiculares a los lados de un triángulo se cortan en un punto. [Sugerencia. Sea el triángulo con vértices ( - a , O), (a , O ) y (b, c).]

11. Hallar la ecuación del circulo que pasa por los puntos (1, S ) , (2,4) y (-2,6).

12. Con referencia al ejercicio I 3 de la sección anterior, hallar la relación lineal que liga la temperatura medida en grados F con la temperatura medida en grados C.

13. Una tormenta de nieve comenzó a las 3:OO A.M. y concluyó a las 11:OO A.M.

Si había 13 cm de nieve acumulada en el suelo al inicio de la tormenta y la nieve se acumula a la razón constante de 4 cm por hora, hallar la profundidad d en cen- tímetros para un tiempo t tal que 3 < t d 11.

1.4. FUNCIONES Y SUS GRAFICAS

1.4.1. Funciones

El Brea encerrada por un círculo cs una ,funcicin del radio del círculo y esto significa que el área depende del radio y varía con éste. Si se da un valor numérico al radio, se puede determinar el área encerrada por el círculo. Por ejemplo, si el radio mide 3 unidades, el área ser6 de 9n unidades cuadradas. De manera aniloga, el área de una región rectangular es función de la longitud y de la anchura del rectángulo; es decir, el área depende de esas magnitudes y varía con ellas. Si un rectángulo tiene 5 unidades de longitud y 3 unidades de anchura, el rectángulo encierra una región que tiene un área de 15 unidades cuadradas.

El estudio de la dependencia y las variaciones de una magnitud Q con respecto a otras magnitudes, es una de las mayores preocupaciones de la ciencia. Resulta de gran utilidad tener una regla para especificar el valor numérico de Q para todos los valores posibles de las demás magnitudes. Desde un punto de vista intuitivo, una,funcidn es una regla.

En los siguientes capítulos el interés se centrará principalmente en los casos en que el valor de un número y depende del valor de algún número dado x, de modo que y sea una funcibn de x. Esto se expresa a menudo como y = f ( x )


y f se considera corno la función. Por abuso del lenguaje se hablará de , f (x) como la función, pero, en sentido estricto, .f es la función y f ( x ) es el calor de la funcidr7 f en x. Si se habla de varias funciones simultáneamente, se utilizarán letras diferentes. Las letras más comúnmente utilizadas para denotar funciones s0n.f; Y Y h.

Como ejemplo, tal vez J* =,/'(x) = ,"i, así que

Nótese que f (O) no está definido para esta función ,L puesto que sólo se permiten valores reales, y = x; - 1 no es un número real. El conjunto de los valores de x posibles es el dominio de la función; y x, que puede asumir como valor cualquier número del dominio, es la variable independiente. De manera análoga, y es la variable dependiente; su valor depende del valor de la variable s. El conjunto de los valores de J. obtenidos para cada valor asumido por x en el dominio se denomina rango de la función.

Si y = f ( x ) , entonces ,f asigna a cada x que pertenezca al dominio solarnerltr un calor de y. Este es un requisito muy importante. Se mencionó la función ,f dada por J! = f ( x ) = Jn, y se dijo - que ,f(.5) = fl = d q = 2. Puede parecer extraño no haberse referido a v"4 = k2. Como se desea que vlx - 1 defina una funcidn, siempre que aparezca el signo d- se interpretará como la raíz cuadrada no neyatica. Si se desea la raíz cuadrada negativa, se utilizará - dr-.

Cuando una función j s e define por medio de una fórmula y no se especifica el dominio de la variable independiente, se considera que el dominio consta de todos los valores de x que resultan de la fórmula y que son número reales. Específicamente, no se permitell lu rlicisicin por cero, ni las raíces cuarlrarlus (raíces cuartos o m general r a k e s pares) d c . ntin~rros negutiz.os.

Ejemplo 1. Hallar el dominio de la funciónfdada por la fórmula y = f'(x) = Jx. S O L U C I ~ N . El dominio consta de todo x tal que x - 1 3 O, o sea, tal que x 2 1. El rango d e f consta de todo y tal que y 3 O. / I Ejemplo 2. AI principio de esta sección se dijo que el irea A de un círculo es función del radio r . Describir dicha función.

S O L U C I ~ N . Sean y la función, r la variable independiente y A la variable dependiente. Entonces,

I---

La restricción r 3 O en el dominio quiere decir que no puede darse un círculo con radio negativo. No obstante, puede hallarse nr2 para valores negativos de r .


En esta ocasión el origen de la restricción impuesta proviene de consideraciones geométricas sobre la función. 1 1 Ejemplo 3. Hallar el dominio de y = f ( x ) = (x2 - l)/(x2 - 9).

SOLUCI6N. Nótese que f(2) = 3/( -5) y f(5) = = +, pero f ( 3 ) no está definida puesto que no se permite dividir por cero. El dominio de la función consta de todo x # & 3. / / Ejemplo 4. AI principio de esta sección se dijo que el área A de una región rectangular es una función de su longitud L y de su anchura w. Si y es tal función, suele escribirse

A = g(!, w) = L . w para 2 O, w 2 O.

Ahora hay dos variables independientes, / y u'. Las restricciones de dominio L 3 O y M: 3 O también se requieren dado el origen geométrico de la función. Ni la longitud ni la anchura de un rectángulo pueden ser negativas. 1 1

El modelo intuitivo favorito del concepto de función en textos elementales es la ((caja negra)), la cual se ilustra en la fig. 1.16. Se introduce un valor de la variable independiente x y sale de la caja un valor de la variable independiente y. Una calculadora tipo regla de cálculo es un ejemplo de ((caja negra)) (o de otro color). Por ejemplo, si se introduce un valor de x y se acciona el mando correspondiente a sen x para ((realizar la función)), el valor y , donde y = f(x) = sen x, aparece en la pantalla con una precisión de aproximadamente ocho cifras decimales.

1.4.2. Gráficas

Dada una funciónfde una variable, es posible hallar los puntos (x, y ) del plano para los cuales se cumple y = f (x ) . Dichos puntos conforman la gráfica de la función.

Ejemplo 5. Sea y = f ( x ) = 2x - 4. La gráfica de esta función es el lugar geométrico de la ecuación y = 2x - 4, que es la recta cuya pendiente es 2 y cuya intersección con y es -4, que se ilustra en la fig. 1.17. / /

i x

I


Ejemplo 6. La gráfica de la función s = q( t ) = t 2 se muestra en la fig. 1.18. Aquí se utilizan otras letras para representar las variables y la función. i i

\

t

Los ejemplos 5 y 6 ilustran que la grifica de una función dada por una expresih algebraica como J. = , f ' ( r ) es el lugar geométrico de los puntos que satisfacen dicha expresión. El segundo pirrafo de esta secci6n establece que una función es una especie de ((reglan. Pero, i,qué es una ((reglan'? Una ((regla>) es, tal vez, una ((ley)). ¿,Y qué es una ((ley))'? Se puede continuar buscando sinónimos hasta llegar a la conclusión de que algiln término deberh dejarce indefinido. Los matemhticos han reconocido que por lo menos u n término t l d w dejarse indefinido, y se han puesto de acuerdo en que ((conjunto)) debía ser uno de tales términos indefinidos. Por tanto, si un matemitico afirma que una función es cierto tipo de conjunto, tiene el derecho profesional de abstcnersc de responder si se le pregunta qut; es u n conjunto. Es posible hallar el valor j' = / ( .Y ) de una función, para cualquier punto .Y, del dominio si se conoce el punto (.Y,.J.,) de la grhfica. Así, el conjunto de todos los puntos de la gr8ficn de una funci6n puede servir de ((reglan para hallar SLI valor. L a colección de tales puntos puede considerarse como un conjunto. Incluimos ahora una definici6n moderna dcl concepto de funci6n real de una variable real. pero debe evitarse cualquier confusi6n que pueda surgir de dicha definición. Por tanto, es mejor seguir considerando una función como una regla que puede formularse por medio de alguna expresión matemitica. ~~~~~ ~ ~ ~~~~~ ~~~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ .. .. ~. ~ ~~ ~ ~~ ~~~ ~~~

Definición 1.1. Una función real de una variable real es un conjunto de pares ordenados ( S , J.) de números reales tales que si dos pares cualesquiera son diferentes, sus primeras coordenadas son diferentes.

~~~~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~~ ~

El requisito de la definición de qué pares diferentes deben tener coordenadas Y

diferentes ya se ilustró en la consideración de 4' =.f'(.x) = ,,/x - I como función. Si f (5) = 2 y no t-2, entonces ( 5 , 2 ) es uno de los pares de la función, pero (5, - 2 ) no lo es. La curva de la fig. 1.19 no es la grifica de una función y = g(x). puesto que tres puntos diferentes tienen la misma coordenada x, es decir a.

I . A - *x Figura 1.19 01 1 il

Una manera de dibujar la grhfica = /'(.Y) es elaborar una tabla de corrcs- pondencia entre los valores de Y e J.. marcar los puntos y trazar una curva que los una. La computación de los valores J. puede resultar tediosa y requerir l a ayuda de una calculadora. Los ejercicios para resolver con calculadora de esta seccibn se refieren a tablas de valores y a prhficos. Fhcilmente sc pueden obtener tablas para muchas funciones importantes por medio de computadores. El listado 1 . I muestra una tabla de valores .Y y valores y para la función polin6mica.fdada por

.1' = , f ( x ) = x 3 + 10.Y' t 8.Y 50,

en la que se utilizan 97 valores de .Y distribuidos en espacios iguales entre sí en el intervalo [ - 10, 31. Estos resultados se obtuvieron por medio del programa VALOKESXY escrito en el lenguaje BASIC y exhibido en el apéndice 1 . 1 . Es posible hallar tablas de otras funciones si se cambian las declaraciones 150 y 170 del programa VALORESXY.

Dibujar la grifica a partir de una tabla cs también molesto. Es posible obtener una gráfica aceptable en alguna terminal del computador. El listado 1.2 exhibe la

V A L O R E S X Y

V A L O R x -10 - 9 . 5 -9

-8

-7 - 7 . 5

- 6 . 5 -6 -5.5 - 5 - 4 . 5 - 4 - 3 . 5 - 3 - 2 . 5 - 2 - 1 . 5 -1 - . 5

- a . 5

O

1 . 5

1 . 5

2 . 5 3

V A L O R Y -133 - 8 0 . 8 i 5 -41 -9,625

30 625 13

41 45.875 46 a2.125 35 2 5 . 3 7 5 1 4 l . 625

-1 1 - 2 3 . 1 2 5 -34

-49 - 5 1 . 6 2 5 -50 - 4 3 . 3 7 5 -31 -12.121,

1 4 4 8 . 1 2 5

- 4 2 . 8 7 5

91 Listado 1.1. = ,x3 i- 10.u' + 8.x - 50

I ’ A

1.5.1. Funciones monomiales

Y

Figura 1.21. A la izquicrda. grhfica gcncra- da por computador. A l a dcrccha. grhfica dibujada por artista.

3 v

i

Figura 1.22 Figura 1.23

4; = m i / i

Figura I .24

Sea ,U: un sistema de coordenadas cuyo origen es (/I, k ) . Entonces, la recta J, = m4 es una aproximación adecuada de la grifica en las proximidades de (h, k). Ahora bien, la ecuación = m.? se convierte en - k = t n ( x - h) 6 1' = k + nz(s - I?), que es la ecuación de la recta tangente a la gráfica referida al sistema de coordenudas x, !:. Hallar la recta tangente a la grifica de una función constituye el problema central del cilculo diferencial, como se veri en los capítulos siguientes.

Finalmente, si la gráfica de .f' tiene una tangente horizontal de pendiente m = O en (a, h), tal como se ilustra en la fig. 1.24, puede surgir la pregunta de cuán ccachataba)) es la gráfica en (u , h). Es decir, i,es tan ccachatadan como lo sería un múltiplo de x4 en (QO), o 10 es solamente como un múltiplo de x*? Más adelante se verá que para muchas funciones importantes, es posible medir cuán ccachatadan es la gráfica en un punto dado si se hallan valores de c y n tales que y = cS" exprese la mejor aproximación a la grifica, como función monomial. -~

1.5.2. Funciones cuadráticas

Una función de la forma,f'(x) = u x 2 + hx + c, donde u # O, recibe el nodbre de función cuadrática. Las gráficas de tales funciones se denominan parúbolas. La ecuación y = ax2 + hx + c puede escribirse en la forma = dX2, donde d es una constante, si se completa el cuadrado y se lleva a cabo una traslación a un sistema de ejes coordenados X, T. Es decir. la gráfica de una función cuadrática es simplemente una traslación de la gráfica de una función monomial cuadrática. Lo anterior se aclara con el ejemplo siguiente.

Ejemplo 1. Trazar la gráfica de la función y = , f (x) = - 2x2 - 6x - 2.

Trazar la yrcijca de una Junción cuadrútica S O L U C I ~ N . Se divide por -2, coeficiente de .x2, y se completa el cuadrado para obtener

+"= x + " 2 4 v ( ;)z+ 1.

FUNCIONES Y GKAFICAS 27

11. X ' - 4~ + 3 12. "X' - 6~ + 5 LES posible hallar alguna grifica lineal 13. 2x2 - 4~ + 6 14. -3x2+ 6~ - 12 que sirva de aproximación adecuada a

, f(x) en una distancia corta a ctrnhns lados 15. Trazar la griifica de f' para f(x) = 1x1. de x = O?

Ejercicios de repaso del capitula 1

Ejercicios de repaso 1.1

1. ;I) Hallar la longitud del segmento d l -

rigido As de - 2 a 5. b) Localmar en el plano todos los pun-

tos (1 . !.) que satisfacen .Y > _(. +- i .

2. a) Hallar l a distancia entre (2 . - 1 ) y ( - 4. 7).

b) Hallar el punto medio del segmento de recta quc :me los puntos ( ~~ 1. 3) y (3. 9j.

S. a ) Hallar la ecuacicin de la recta que pasa por ( - ~ 4 ,2 ) y ( - 4.5).

b) Hallar la ecuaci6n de la recta que pasa por ( - 1.2) y es p;~~alcla a la recta Y - 34. = 7.

6. al Hallar las intcrsccciones con .Y e de

b! Hallar- el punto tie inlerscccihn cic las la rccta 3.u f 4 ~ . = 12.

rectas .u - 3). ~=: 7 y 2 s 5) . = 4.

3. a ) Hal lar la ecuacicin del circulo con 7. Sca ccntro ( 2 , - I ) y que pasa por (4, 0 ) .

tos (.u. y) tales que x 2 - 5 x . h ) Loca!izar en el plano todos los pun- f(x) = - x2 - 3x -t 2

(.u -- I ) ' + (1 + 1)? S 4 a) Hallar el dominio de j : b) Hallar f ( -- 2) .

4. a) H a h la pcndiente de la recta que 8. Trazar 1agrii"ica de la funcicin.f(s) = I >'.u2. pasa por ( - I . 4) y (3,7). 9. Tra7ar la grkfica de la funci6n .?-(-u t 4)'. b) Hallar la pendiente de la recta perpendicular a la recta que pasa por 10. Trazar la grifica de la funcihn 2x2 + (4, - 2 ) y ( - 5 , -3). 8.Y - h.


1. a) Localizar en la recta numérica todos ( - 2.4) y (4,6) como extremos tic1

b ) Hallar el punto medio del intervalo bj Hallar el centro y el radio del círculo los puntos I tales que /.Y - I / < 2. dikmetro.

[-5.3.2.11. .xz + y' - 6.u + 8~ = I I .

2. a) Hallar la distancia de (-6, 3) a ( - 1, -4).

b) Localizar en el plano todos los puntos (x.1.j tales que x < y y tamhikt1

4. Hallar c tal que la recta que pasa por ( - 1 , c ) y (4, - 6) sea perpendicular a la línea que pasa por ( - 2 , 3 ) y (4,7).

x 3 I . S. a) Hallar la ecuacihn de la recta que 3. a) Mallar la ecuación del círculo con pasa por ( - I . 4) y ( 3 , 5 ) .

28 CALCULO CON GEOMETRíA A>ALfTICA

Hallar la ecuación de la rcct:l \ ,u t i - cal que pasa por (3. " 7 ) .

Hallar la ecuacihn de la recta que pasa por ( - 1 . 3) y c u ~ a intersecci6n 8. 2011 L ' es 5. Hallar l a ecuaci6n de la r e c ~ a que pasa por (2 .4) y es paralela a l a recta q u e pasa por ( o , 5 ) y (7. - - ? I ) . 9.

Problemas rn6s difíciles 1

Demostrar que si dos círculos

Y

S.

6.

7.

8.

9.

I o.

se intcrsecan en OS puntos, l a ecuaci6n de I n recta que pasa por los puntos de inter-sección es

( U d - ( / l ) Y + ( / J 2 ~- / J , ) I ' ( 2 -- < ' I .

Hallal- la ciistancla dcl punto (--( '.4) a la recta

5 Y - 12). = 2.

Resolter la desigualdad u2 t 4u < I para .Y.

Hallar la ecuacitin del menor círculo tangente a los dos ejes de coordenadas y que pasa por e1 punto ( - 3,6).

Hallar ladistmcia minima entre las rectas

Y - 21. = 15 y X - = " 3 .

Hallar la tiistancta minima entre los círculos

- I y l \ . L - -.u -I t 3.I' = 139

Y .x2 + + 4s - 61. = 3.

Si / ( u ) = ( 2 u - 7)/(.u + 3), hallar una funcicin $1 tal que q(.f(.x)) = .Y para todo S

en el dominio de 1.

La derivada

Durante los seis primeros grados de la escuela primaria se aprende el manejo de la aritmética de los números reales. En los años siguientes de la secundaria se aprende a resolver problemas de la aritmética convencional. Aunque se conocen algunos procedimientos complicados como el de llevar una S a lo largo de los cálculos en representación de alguna cantidad desconocida, las operaciones aritmkti- cas son los instrumentos bhsicos de resolución de problemas. La aritmktica no dejara de usarse en este curso, pero se aprenderá una herramienta nueva y muy poderosa:

El aprendizaje del manejo de esta nueva herramienta requiere menos tiempo que el aprendizaje de la aritmética. AI cabo de cuatro semanas el estudiante serh un experto en el d c u l o de ciertos limites muy importantes llamados derivadas.

La importancia del cálculo estriba en su utilidad en el estudio de situaciones dinámicas, donde las magnitudes cambian, en contraposición a las situaciones estAticas, donde las magnitudes permanecen constantes. Como ejemplo. imaginemos un automcivil que viaja a la velocidad constante de 30 km/h. Al cabo de cuatro horas habrit recorrido 30 . 4 = 120 km. Puesto que la velocidad fue constante, no hubo dificultad en hallar la distancia aplicando aritmktica simple. Pero supongamos que la velocidad no es siempre l a misma. Por ejemplo, para el tiempo t horas fue de 30,h km,'h, es decir. que al cabo de la primera hora la velocidad fue de 30 km/h, a l cabo de cuatro horas fue de 60 km,%, etc. Entonces no es tan fácil hallar ía distancia recorrida al cabo de cuatro horas. Al finalizar el curso el estudiante sabrá resolver este tipo de problemas.

En este capítulo se aprenderá a resolver el problema inverso: al cabo de t horas el automóvil ha recorrido 15t ' km y se desea obtener una fórmula para hallar la velocidad en el tiempo t. Si se conoce la posición instantánea del automóvil, puede determinarse su velocidad.

LA DERIVADA 31

Kuzdn dr cambio

Si J =.]'(.x) y / u grúficu de ,f' tiene utzu recta tangente en x = xl, entonces lu ruzdn di. crrcirrlietlto irzstunrdneo dc J cot1 rcsprcro u .x ciene duda por la pendientc~ dc I N rcctu rongente en x i .

Algunas grkficas tienen rupturas o puntos donde no existe la tangente, pero si una gr&fica tiene tangente en x = x I , es posible hallar la pendiente mtan de dicha tangente. Aparentemente, éste es un problema dificil. Una primera uprosirnucidn sería l a pendiente de la recta secante tal como se muestra en la fig. 2.2, y cuya pendiente es mser = A y i h . ~ . .Esta recta pasa por los puntos (.y1, j ' ( .x , ) ) y ( . y l + Ax. ,/.(.Y, + A x ) ) . Por aplicacibn de la fórmula para la pendiente de una recta que pasa por dos puntos dados se tiene que

Ejemplo 1. Sean f(.xj = x ' y .y1 = 2 y A x = 0.01. La aproximación (1 ) a la pendiente de la recta tangente en (2, 12) es

[ ( 2 . ( ~ ) ~ + 2(2.01j] - p 3 + 2.21 0.01 *se= = -__

- 12.140601 - 12 0.140601 - - " - 0.01 0.01

= 14.060 l .

En la sección 2.3 se veri que el valor de la pendiente nltal, es 14; por tanto, 14.0601 es una aproximación aceptable. Es conveniente tener a mano una calculadora para computar q e C al valor de m t a n . ~:

Mientras menor sea el valor de A x (Ax = O no se permite), mayor ser2 la proximidad de n~, , , de la ec. ( 1 ) al valor de t)ltan. Esto se indica en la fig. 2.3.

y se lee, C C C ~ l i~nirc~ tlc 30r I + 1 i . At c w n d o At r i e n d e (1 O r s igual 11 30r El valor r,.uocto de m t a n es entonces .?Or. 4 se ha116 al calcular el límitc cuando Al 4 O. El paso crucial en el ci~!culo del límite cuando Ar + O fue la cancelación legitima de! factor diferente de cero At del denominador de (2) con el factor del numerador. ( E l símbolo At + O significa que At se hace muy pequeño pero p t ~ m ~ ~ ~ w ~ ~ r l i l c ~ r c n r c de two.) Es dificil predecir a quk número se aproxima un cociente cuando tanto el numerador como el denominador se aproximan a ccro. La cancclacibn de A( resolvi6 la dificultad. Para concluir el problema del autom6- vil. la \elocidad dc éste en el tiempo t l es ? O r , (unidades de distancia):(unidades de tiempo). Puesto que t I puede ser cualquier tiempo. se obtiene la funci6n de Lelocidad 3Or.

Si S(: hrice un resumen de lo anterior en la notacibn x. J., se ha llegado a concluir que

SOLXCION. Se usa la ec. (3) con f(x) = 4x - 3 2 . Entonces

f (x l + AX) - f(xl) m t a n == lírn

Ax-(] AX

4(xI + A X ) - 3 ( ~ , + AX)’ - ( 4 ~ ~ - 3 ~ 1 ~ ) = lim

A X - O Ax 4 ~ , + AX) - 3xI’ -- 6xI(Ax) - A AX)' - 4x1 + 3x1’

== lím A x - 4 1 Ax

AX) - 6 x l i A x ) - .?(AX)* = l í r n

A X ” 0 Ax Ax[4 - 6 ~ , - AX)]

= lim A Y -1) Ax

= lírn 14 - 6x, - A AX)] = 4 - 6x1. 11 AX”Il

Ejemplo 3. Hallar J H ~ ~ ~ si /‘(x) = l i ( 3 s ) para .Y = .xl # O.

SOI.lJCI¿)N. La ec. (3) se convierte en

3xI - 3xI - AX) 3(x, + Ax)(3x,)

= lim AX-0 Ax

-3(Ax) = lim

A . x - ( ~ (Ax)[3(x, + Ax)(3x,)]

2.1.2. Otra aproximación numérica a la pendiente de una gráfica

Al referirse a la fig. 2.4 se nota que la cuerda de s 1 - A.x a S , + A x se aproxima m$s a ser paralela a la recta tangente que a la secante. Sea m,,,,da la pendiente de la cuerda. En la figura se aprecia que n ~ , , ~ , ~ , ~ es una aproximación m$s adecuada a m t a n que msec para el mismo valor de Ax. Puesto quc la cucrda pasa por los puntos

LA DERIVADA 35

mcuerda

,44491386934 4466552771.

.4470738849

.4471786597

.4472048610 ,447211411.9 + 4472130496 ,4472134590 ,4472135614 ,4472135870 ,4472135934 ,4472135950 ,4472135954 ,44721,35955 ,4472135955 ,4472135955 . 4473135955 ,44721 35955 ,4472135955

44'7?1,35955

Listado 2.1. f(x) = ,/m para x, = 2

RESUMEN

1. La pendiente q a n de la recta tangente a la grájica y = f(x), donde x = x1 es la razón instantánea de crecimiento de y con respecto a x cuando x = xl.

2. Si S = f ( t ) expresa la distancia S recorrida en el tiempo t , entonces mtan, donde t = t l es la celocidad en el tiempo t l .

3. La pendiente de la secante de la gráfica entre x l y (x1 + Ax) es

4. La pendiente de la tangente a la grafica en x1 es

5. La pendiente de la cuerda de la graficu entre x1 - Ax y .x1 + Ax es

36 C A L C U L O CON G E O M E T K ~ A ANALíTICA

- 9. / ( S ) = \ x . Y , == 4. [Suqmwiu. Si se

mu~tiplican el numerador y el denomi- nadar de ( , , ¿ I - ,, h) , 'Ar por (,,S + L, b). se obtiene ( u -- /+[A.x(, (1 + hj].]

IO. Si .S es la dlstancia recorrida y r es el tiempo. entonces A,! AI sc interpreta como la w l o c w l t r d p r o r m d i o sobre el intervalo AI. Suponer un n ~ ó v i l que se des- piara de manera que despuks de trans- curridas r horas ha recorrido S = / ( I ) = 31' + 2r km para / 3 O.

a ) Hallar la velocidad promedio del objeto durante el intervalo de dos horas desde r = 3 hasta r = 5.

bl Hallar la belocidad promedio del objeto durante el intervalo de una hora entre r = 3 4 / = 4.

c ) Hallar l a velocidad pronledio del objeto durante el intervalo de media hora entre I = 3 4 r = 7 2.

d ) . A partir del resultado anterior. estimar la velocidad del móvil para el tiempo t 3.

- -

11. Referirse al e.jercic1o IO para hallar. a partir de la expresión para IN^^^ como límite. la velocidad exacta para r = 3.

12. sen x en .xl = O (Usar radianes) 13. Y ? t ? Y - 3 en . y I = 2. 14. 3' en .Y, = 2. 15. Y' en y I = 1.5.

7"

2.2.1. La noción de lím, ~ ,; /'(.Y)

Sea q a n Ia pendiente de la recta tangente a la grifica de 1' en .Y = X I . Según la seccibn anterior,

f (x, + ax , - f(x,) m t ' , , , = lim -

A , ~ + l l Ax

LA DERIVADA 37

La función

contiene únicamente la posible Ax, puesto que x1 es una constante como - I 6 2 ó n. Pero h(Ax) no está definida para Ax = O. Uno de los propósitos principales de los límites es describir el comportamiento de una función en la vecindad de un punto donde la función no está definida. En el estudio sobre los límites se usará x en lugar de Ax, y se tratará sobre lím, ~ .f'(x).

Ejemplo 1. Hallar x 2 - 4

x-2 x - 2 lim - .

Se trata de verificar si (x2 - 4)/(x - 2) se aproxima a algún valor L cuando x se aproxima a 2.

SOLUC~ON. Nótese que (x2 - 4)/(x - 2) no está definida para x = 2. Para todo x # 2,

x * - 4 (x - 2)(x + 2) "

x - 2 x - 2 - = x + 2 ;

entonces lím - = lím (x + 2) = 4, x-2 x - 2 x-2

x 2 - 4

puesto que, si x se aproxima a 2, entonces x + 2 se aproxima a 4. ( 1 Si Iím, ~ ,, f(x) = L, ésta se puede verificar calculandof(x) para x ((arbitrarios))

cada vez más próximos a x l , pero sin que lleguen a ser iguales a xl. Los valoresf(x) se acercan así a L. Esto se ilustra en los listados 2.2 y 2.3. Los valores que se dan en las tablas se obtuvieron por computador. Este escogió un valor x tal

Listado 2.2. , f(x) = __-~ x2 - 4

x - 2

38 CALCULO CON GEOMETRíA ANALITICA

Listado 2.3. ,f(.u) = sen Y

x f i x ) .9640244436 ,9934829860

.9997103415

.9999047725

.9999550333

.9999923023

.9999999952

.9999991797

.9999999050

.9999999612

.9999999945 9999999999

i .00000000(10

i 0000C100000 .9999999999

i.OO00000000 I . 0000090000

i . 00000000013 i , m [ m m ( ; o

1.ooonoooooo

que x1 - < x < x1 + i e imprimióf'(.x). Escogió desputs S tal que .x1 - a < N < -x1 + 4 e imprimió , f (x) , de nuevo otro x tal que .x1 - < S < .x1 + i, etc., hasta completar 20 valores de .Y. El listado 2.2 es para , f ' (x ) = (.u2 - 4)/( .~ -- 2) cuando x -+ 2. como en el ejemplo I . Los valores impresos se aproximan a 4. El listado 2.3 muestra datos para f(x) = (sen x)'.u cuando x --$ O. Según el listado 2.3, parece que lím,,,, (sen x ) / s = 1 . El programa LIMITES. que arrojó dichos resultados, se encuentra en el apéndice 1.

Intuitivamente, lim, ~, .f(.u) I= L quiere decir quef'(x) puede aproximarse a L cuanto se desee si x se aproxima suficientemente a .y1 pero se mantiene diferente de xl. Esta es una afirmación un tanto vaga, porque. i,qUé significa se uproxirna? Se puede pensar que f'(x) se aproxima a L si L - 0.1 < /'(.x) < L + 0,1, pero también puede tenerse L - 0.00001 < . f i x ) < L + 0.00001. Por tanto. sólo puede decirse que lím, ~ ';I f ( . ~ ) = L cuando se tiene consenso general al respecto. Por tanto, si se pide tener L - t: < f (x j < L + c dado u n c > 0, ya sea 0.1 6 0.00001, debe asegurarse de que .Y estri en la vecindad, quizás a una distancia de 0.05 ó 0.003 de x 1 pero no es igual a si, Es decir. debe ser posible hallar un d > 0 tal que L - I: < /(N) < L + c si Y, - (5 < N < .u1 + 5 pero x # .xI. Mientras menor sea G , menor sera ( 5 . 1-0 anterior puede escribirse como definición formal de lím, J(x) = L. [Desde luego. para referirse a lím, ~ I I f ( x ) es necesario que el dominio de f contenga puntos .x # N, arbitrariamente próximos a . x l . Sería absurdo hablar del lím, ~ - 3 y! .~. La primera parte de la definición hace claridad al respecto.]

r-

Definicibn 2.1. Si se suponc que el dominio def'contiene puntos x arbitrariamente próximos, pero diferentes de ,uI. entonces lím, -,~, , f ( x ) = L, siempre que para todo c < O exista 6 # O tal que I, - F < .f(.xj < L + I: para cualquier .Y # x1 del dominio def'tal que x1 - 6 < .x < x 1 + 6.

LA DERIVADA 39

El requisito L - E < f ( x ) < L + E puede expresarse I f ( x ) - LI < E, en tanto que las dos condiciones x1 - 6 < x < x1 + 6 pero x # x1 puede representarse con la condición única O < /x - x, / < 6. La caracterización E , 6 es muy importante en el trabajo teórico en matemática. Se introduce en este curso para familiarizar a los estudiantes que la encuentren en cursos posteriores. Vista una segunda vez, parecerá más fácil. En este texto se hará muy poco trabajo en relación con E, S .

Ejemplo 2. Usar la caracterización E , 6 para demostrar que lím, (2x - 2) = 4. Posiblemente esto es verdadero; si x se aproxima a 3, entonces f(x) = 2x - 2 se aproxima a 6 - 2 = 4.

SOLUCION. Dado E > O, es necesario asegurarse de que

4 - E < f(x) < 4 + c.

Márquese 4 - c y 4 + c en el eje y (ver fig. 2.5), puesto que es ahí donde se señalan los valores def(x). Ahora se requiere hallar CF > O y marcar 3 - 6 y 3 + S en el eje x, de modo que (2) se cumpla si 3 - 6 < x < 3 + 6, x # 3. Puesto que la gráfica de f(x) = 2x - 2 es una recta cuya pendiente es 2, un cambio de una unidad en el eje x produce un cambio de dos unidades en f(x) en el eje y. Entonces, un cambio de c en el eje y es producido por un cambio de sólo 4 2 en el eje x, o sea. que puede hacerse 6 = 42. El argumento anterior es de indole geométrica.

Y

i

-+ \

Figura 2 5

Encontrar 6 > O , dado E > O

Se puede llegar al mismo resultado de manera algebraica, como sigue. Se tiene

4 - & < 2 x - 2 < 4 + & ,

6 - ~ < 2 ~ < 6 + ~ que puede espresarse

O E 3 - - < x < 3 + - . 2 2

1:

En consecuencia, 6 = ~ / 2 es suficiente. Un 6 menor también sería vilido. 1 1

40 CÁLCULO CON GEOMETRíA ANALíTICA

Ejemplo 3. Demostrar que limx+ (5 - 7x) = -2, utilizando la caracteriza- ción E, 6.

S O L U C I ~ N . Sea E > O; es necesario que se cumpla

- 2 - E < (5 - 7x) < -2 + E .

Esto es cierto si y sólo si

-7 - E < -7x < -7 + E ,

o si y sólo si

I + - > x > l - E

7 - E

7

AsÍ, puede hacerse 6 = EII, puesto que si x esta dentro de el'7 de 1 , entonces 5 - lx está dentro de c de - 2. 1 1 Ejemplo 4. Demostrar que lim,,o l.xl/x no c ~ . x i s t c ~ , utilizando la caracteriza- ción E , 6.

sol,ucl6N. Para todo 6 > O,

"1 si - 6 < x < O . X

Ahora, 1 y - 1 esthn a dos unidades de distancia, en tanto que para cualquier posible límite L, los números 1, - c y L + E distan 2c unidades. En consecuencia, si E < 1, es imposible tener

L - E < - < L + E para todo -6 < x < 6, x Z 0 ,

para cualquier valor de L y 6 > O. Luego, dado c = i, no existe t j > 0 tal que

L - E < - < L + E para - 6 < x < 6 , x f O .

cualquiera que sea el valor de L. Esto contradice la definición 2.1, que afirma que para rodo E > O, particularmente para c = $, tal 6 > O debe existir. I j

1x1 X

1x1 X

2.2.2. Cálculo de límites

El teorema siguiente se aplica con frecuencia, a veces sin darse cuenta, al cálculo de limites.

LA DERIVADA 41

Teorema 2.1. Si lím, -,, f (x) = L y lím, g(x) = M , y s i los dominios d e f y g contienen puntos comunes arbitrariamente prdximos a x I pero difi?rentes de xl, entonces

l írn ( f(xj + g ( x j ) = L + M , ( 3 ) X'X,

]ím ( f(x) g(xj j = L . M , x-x,

Como ilustración, sif(x) se aproxima a 2 y g(x) se aproxima a 5 cuando x se aproxima a x1 = - 1, entoncesf(x) + g(x) se aproxima a 2 + 5 = 7, yf(x) . y(x) se aproxima a 2 . 5 = 10, y f(x)/g(x) se aproxima a 4 cuando x se aproxima a - 1. El teorema 2.1 es intuitivamente evidente. Se pueden hallar demostraciones basadas en la caracterización E, h en cualquier texto de cálculo avanzado y en algunos de nivel elemental.

Sigue una muestra de lo que puede hacerse utilizando (3) , (4) y (5). Seguramente que lím, - x = xl, el ejercicio 1 pide una demostración basada en la caracteri- zación E, 6. Ahora bien, segun (4),

lim x * x = x, . x l , Iím x' = Iím x 2 * x = x 1 2 . x1 = x I 3 , etc. x-x , x-x, x-x,

Según (3),

Aplicación del teorema sobre límites

También, si f ( x ) = 3 para todo x, entonces, con toda seguridad lím, - f(x) = 3 (ver ejercicio 2). Aplicando (4)

]ím 3 . x' = k t 2 . x-x,

Demostraciones análogas llevan a concluir que si / ( x ) es un polinomio, entonces lím, - ,, f ( x ) =f(xl) . Según ( 9 , si g(x) es un polinomio y g(xl) # O, entonces lím, ~ ,, f (x) /g(x) = f(xl)/g(xl). (Los cocientes de polinomios se denominan funciones racionales.) Así, calcular el límite de una función racional cuando x -+ x1 es equivalente a hallar el valor de la función en x] , siempre y cuando x1 no haga que el denominador sea cero. El caso verdaderamente ccpeligroson para las funciones racionalesf(x)/g(x) se presenta cuando y(xl) = O, según se ilustra en el ejemplo 1. Cuando un denominador se aproxima a cero en la vecindad de algún punto, debe acudirse a algún ardid algebraico, como la cancelación de algún factor común en el numerador y el denominador, para hallar el límite en tal punto.

Ejemplo 5. Sea x * - 9 (x - 3)(x + 3) x i - 3 6

x-3 x 2 - 4x + 3 x 4 3 (x - 3)(x - 1) x 4 3 x - 1 2 lím = lím = lim- = - = 3. I\


Ejemplo 6. El límite x + S

lím - x-4 x - 4

no existe, puesto que el numerador se aproxima a 9 mientras que el denominador se aproxima a O. Entonces la magnitud del cociente aumenta de manera incon- mensurable en valor absoluto cuando .Y se aproxima a 4 (aumento positivo si I > 4 y negativo si x < 4). En símbolos,

Y - . $ x - 4 lírn - = m. Ix +

Uso de co para describir limites

Esto no quiere decir que \m (léase ccinfinito))) sea el límite, sino que el límite no existe en razón de que la magnitud del cociente es muy grande cuando x se aproxima a 4. El propósito de hallar límites e s rlescrihir r l comportamiento de ut7a .función en la vecindad de un punto y esto se ilustrcl muy claramente en (6) . / /

Existen otras relaciones evidentes análogas a (3), (4) y ( 5 ) , tales como

si lírn f(x) = L > O, T"X,

entonces

El caso ((peligroso)) se presenta sólo cuando un denominador se aproxima a cero. La ec. (1) muestra que tal caso se presenta siempre que se trate de hallar mtan como un límite. Aquí vienen más ejemplos.

Ejemplo 7. Se tiene

La segunda expresión se vuelve infinita posiricamente cuando x se aproxima a 3, mientras que la última se vuelve infinita negativamente cuando x se aproxima a 2. / I

RESUMEN

1. Los límites se aplican al estudio del comportamiento de una.función en ICI vecindad de un punto x1 en el cual puede no estar definida.

2. lím, - ~, f (x) = L quiere decir que para cualquier E > O dado, existe un 6 > O tal que si O < /x - xl( < 6 entonces I f ( x ) - LI < E .

L A DERIVADA 43

3. Si lím.y+~y, f ( x ) = L y lím, ~ x , g(x) = M , entonces

lím (f(x) + g(x)) = L + M, lim (f(x). g(x)) = L . M, x-x I x-x,

4. Los límites cuando x -+ x1 de las ,funciones que se consideran pueden calcularse hallando el valor de la función para x = x1 siempre y cuando el denominador no sea cero en xl. Si u n denominador es cero en X I , hay que tratar de cancelar jactores comunes del numerador y el denominador.

5 . Los símbolos co y - co se utilizan cuando es necesario con cierras expresiones de limites pura describir el comportamiento de una ,función en la crcindad de un punto.

EJERCICIOS

En los ejercicios I , 2 y 3, dado E > O, hallar 11. lírn ____ 12. lím"-- en tPrminos de E qué magnitud de 6 debe utilizarse en la caracterizacidn E , 6 para establecer el limite.

( u - 1)2 2(s - I ) t < - I u - 1 , - 1 (S - 1)'

X I + x t 2 + t 13. lirn -

= - - I x - 1 14. lírn -

, a l t + 1

1. limx4x, x = x,

2. lím, c' = c, donde c en lim, - x , c. es la función constantef'definida para toda x porf'(.x) = c

3. l imx--z(14 - 5x) = 29

4. ¿,Tienesentidoconsiderar limx,z 4-9'? ¿,Por q u e ?

x.( + x ? + 2 t ' + t' + 2 5. lirn

1: -.o 6. Iím--- X , - o t 7 + 1

7. lirn ~ 8. lim- x J + 2x2 s 3 - 2s2 1-0 x z + x < I O sJ + 3,s'

15. lírn x " 4

Y".? x z ~ x - 2

4 + At 17. lirn - A,"C 2

18. lim [(2 t Ax)' - 4)

16. lirn (2 + A x ) 1, *ll

1, . < I

19. lim (2 + AX)' - 4

A , -11 Ax

20. lírn - [1/(3 + At)] - 21. lirn ~

lAx I Al -11 A t - I ) AX

22. Sea,funa funci6n dcfinida por

44 CALCULO CON GEOMETRfA ANALíTICA

Para resolver con calculadora Suponer que f ( x l ) no está definida. Si f (xI + x 2 + 2 h x - 6 x - 6 x 0.01) y f ( x l - 0.003) tienen nproximadamen- 23. lím 24. Jim -- te e l mismo odor L , es posible que lím, f ( x ) x L. (Los ntímeros 0.01 y -0.003 25. lím pueden reemplazarse por otros de signos con- x-3 x z - 9 X 4 1

trarios. valores absolutos diferentes y próximos cos x - 1 a cero). Utilizar esta técnica para calcular 27. ‘’m aproximadamente el límite indicado, si, existe. Utilizar radianes para todas las funciones tri- 29. (senx)~~(n-zxb sen x’ gonométricas.

x - J T x 2 - 2 X “ 3 27 - x3

26. Jim (1 + x)’” sen(x - 3)

28. lím (1 + x-O x2 - -n

30. lím x-ni2 COS’ X - 1

2.3. LA DERIVADA; DERIVACION DE FUNCIONES POLINOMICAS

Con referencia a la fig. 2.6, sea f una función definida en x1 y en la vecindad (ambos lados de x l , es decir, de x1 - h a x1 + h para algún h > O. El cambio Ay enf(x) cuando x cambia de x1 a x1 + Ax esf(x, + Ax) - f (x l ) . En la sección 2.1 se vio que msec = Ay/Ax y mtan = ]ímAx ~o (AylAx). A continuación se encuentran dos definiciones que suministran la terminología usual del cálculo para msec y mtan.

Y

t A \ 7 , / i V I + l.\¡ ~ fh l l

h , I - 4 ! 1

! I * - ” .\ o , I \ I .\ , L A.1 Figura 2.6

2.3.1. La derivada de una función

Definición 2.2. El cociente diferencial es

y es la razón promedio de cambio de f ( x ) con respecto a x entre x1 y x1 + Ax.

Definición 2.3. La derivada de ,f en x es

si este limite exlste, y es la razón instantánea de cambio de , f (x) con respecto a x en x l . Si ,f’(xl) existe, entonces .f es derivable en xl. Una función es derivable en todos los puntos x1 de su dominio.

LA DERIVADA 45

La función f ’ en la notación f ’ ( x l ) es la funcibn derivada, y f ’ ( x ) es la derivada de f en cualquier punto x donde exista la derivada. La derivada f’(x) se representa a menudo como dyldx.

La notación dyldx

Esta notación, que resulta muy apropiada para recordar ciertas fórmulas, se debe a Leibniz, y debe leerse ((la derivada de y con respecto a x)). Por ahora se considera dyjdx como un solo símbolo y no como un cociente. (La interpretación como cociente se encuentra en el capítulo siguiente.) Se recuerda que f’(xl) es la pendiente mtan de la recta tangente a la gráfica y = f ( x ) en x = xl. También se interpreta como la razón instantánea de crecimiento de y comparada con x para x = xl. La notación dy/dx sugiere esta razón de cambio de y con respecto a x. Las aplicaciones más importantes del cálculo diferencial giran alrededor de la interpretación de dyldx como razón de cambio.

El cálculo de f ‘ ( x l ) a partir de (2) es exactamente el de mtan dado en la sección 2.1. Vienen ahora dos ejemplos más para ilustrar el cálculo de

en cualquier punto x.

Ejemplo 1. Si y = ,f(x) = l/(x - l), hallar dyldx.

SOLUCION.

1 1

X - 1 - ( X + A X - 1)

= lírn (X + AX - l ) ( x - 1) Ax-O A x

= lím -AX Ax-dIAX(X + A X - I)(x - 1)

Ejemplo 2. Si g(x) = ,/S, hallar g’(xj.

SOLUCION.

g ( x + AX) - g ( x ) x + h x + 3 - G g’(x) = lím Ax-O A x Ax-O A x

46 CÁLCULO CON GEOMETRíA ANAL~TICA

JX+ax+3-JFG J x + A x + 3 + J x + 3 = lim

Ax-O Ax J x + A x + ~ + & G T (X + AX + 3) - (X + 3 )

= lím Ax AAI Ax(Jx + Ax + 3 + -3) A X ( J X + Ax + 3 + -3) = lím

1 1 = lim , -" -

Ax-OJx + h x + 3 + d x + 3 2'" / I En u n momento se aprenderá a hallar la derivada de un polinomio en un

punto cualquiera. En la sección 2.1 se vio que para valores pequeños de Ax, la aproximación

f (x , + AX) - f ( x l - AX) 2 * ax f'(XI) % mcurrda - - .

( z se lee ccrrpru.uim~rdavnr~~~~~ igual))) es mis adecuada que la obtenida por el cociente diferencial (1) para el mismo valor de A.Y. La aproximación (3) se utiliza con u n computador o una calculadora para hallar u n valor aproximado de la derivada de una función en un punto dado. En el apéndice 1 se encuentra e1 programa DERIVE, que utiliza (3) con una sucesión de valores de A.u desde l, i, ;, ..., 1.30 ,

hasta que las aproximaciones (3) se estabilizan en seis cifras significativas. El listado 2.4 muestra los datos que se obtienen al calcular la derivada de (x2 - 4.u)/(x + 6) en x , = 3. Obsérvese la rapidez con la cual las aproximaciones se estabilizan en seis cifras significativas; la derivada es aproximadamentc 0.259259. El listado 2.5 muestra los datos que se obtienen para / '(x) = sen .Y en .y1 = O. Aparentemente, el valor de la derivada es I cuando se toman seis cifras significativas. Esta es una manera fácil de aproximar la derivada de una función en un punto dado.

Listado 2.4. f ( x ) = en Y , = 3 .xz - 4.Y

x + 6 Listado 2.5. {'(x) = sen .Y en I , = (1

2.3.2. Derivación de polinomios

En esta subsección se presentan las primeras fórmulas de las varias que pueden usarse para computar exat'ramente las derivadas de muchas funciones. El proceso de hallar una derivada se conoce como drriracidn. En el cálculo es tan importante

LA DERIVADA 47

dominar las técnicas de derivación como lo es dominar las operaciones aritméticas en la matemática conocida hasta ahora. No obstante, la derivación se aprende más rápido que la aritmética.

Seaf(x) = c, una constante, para todo x. Entonces, para cualquier xl,

f h + Ax) - f h ) C - C " O f'(x,) = lím Ax-O

= lim - - lím - = O. Ax AX-o AX AX-OAX

En notación d,

Sea f(x) = x", donde n es un entero positivo. Para computar f ' ( x ) se utiliza el desarrollo del binomio (x1 + Ax)", aprendido en álgebra. El teorema del binomio da la fórmula para (a + b)" en términos de los productos,

a", a n - l b , an-2b2, a n - 3 b 3 , .. ., ab"-', b"; es decir,

La aplicación de esta fórmula para a = x1 y h = Ax, da como resultado

f'(x,) = lírn (X' + AX)" - xl" Ax-O Ax

[xl" + nx;-lAx + ( n ( n - 1)/2)x;-'(Ax)'+ - + (Ax)"] - xln = lírn

Ax-O Ax

= lírn [nx;" + (n(n - 1)/2)xp-'Ax + . . + (AX)'"'] = nx;". Ax-O

Como x l puede ser cualquier punto, esto demuestra que

Sea u = f ( x ) y u = g(x), así que u + c' = f (x) + g(x). Sean f ' (xl) y g'(xl) las respectivas derivadas en x l . Un cambio Ax en x produce un cambio Au en u y un cambio Au en u. El cambio total en u + u es Au + Ac. Si se aplica el teorema 2.1 de la sección 2.2 para el límite de una suma,

lirn Cambio en (u + u) Au + Av

= l i r n Ax-O Ax Ax-O A X

A U Av du dv = lírn - + lim - = -+- .

AX-O AX A ~ - O AX dx dx


Es decir,

d(u + v) du dv

dx - " + -

dx dx

para cualquier punto donde existan las derivadas de u y 1:.

Como resultado final antes de derivar cualquier polinomio, sea u = f (x) y considérese la función c . f ( x ) donde c es una constante. Un cambio Ax en x produce un cambio Au en u y, por tanto, un cambio c . Au en c . f(x). Por aplicación del teorema 2.1 de la sección 2.2, para el límite de un producto, se tiene que en cualquier punto x donde , f ' ( x ) existe,

lím Cambio en c . f ( x ) = lím - c . A u = ( l í m c ) ( l í m f i ) = c . - du

Ax+, Ax Ax+O A X AX-, AX-OAX dx ' así

d(c * U) du dx dx " - C.".

Las ecs. (6) y (7) son de gran importancia puesto que son válidas para funciones derivables cualesquiera u = f ( x ) y L' = g(x) y deben aprenderse de memoria, tal como se darrin en el resumen, independientemente de cualesquiera letras u y u. Deben enunciarse como teorema.

Teorema 2.2. Si u =,f(x) y z' = y(x) S O H funciones dericahles en x, tambiin lo son u + L' = f ( x ) + g(x) y c . u = c . ,f(x) pura cualquier constante c. Además,

d(u + u) du du d(c * U ) du

dx dx = - + -

dx dx dx Y -= C"

Ejemplo 3. Aplicar (6), (7) y después ( 3 ,

d(4x3 - 7x2) d(4x3) d(-7x2) d(x3) d (x2) - +--"-=4- + (-7)-

= 4 * 3x2 + ( -7) (2~) = 12x2 - 1 4 ~

dx dx dx dx dx --

para todo x. 1 1 El ejemplo 3 puede generalizarse a mris de dos sumandos de manera obvia

para suministrar una fórmula apropiada para la derivada de un polinomio, es decir

d(a,x" + * . . + a2x2 + a,x + a,) - - na,x"" + . + 2a,x + a , . dx

Ejemplo 4. Sif(x) = 4x3 - 17x2 + 3x - 2, entoncesf'(x) = 12x2 - 34x + 3. 1 1 Ya se puede hallar la derivada (calcular el límite del cociente diferencial) de

cualquier polinomio. Es mucho más fácil que aprender a sumar.

LA DERIVADA 49

2.3.3. Aplicaciones

Los ejemplos siguientes ilustran aplicaciones de las derivadas a las pendientes de las rectas tangentes y a las razones instantáneas de cambio. Nótese la facilidad con que se resuelven los problemas de los dos ejemplos después de sólo tres lecciones de cálculo. Estos problemas hubieran representado una tarea ingente tan solo una semana antes.

Ejemplo 5. Hallar la ecuación de la recta tangente a la grafica de y =f'(x) = 3x4 - 2x2 + 3x - 7 para x = 1.

SOLUCI~N. PUNTO: (1,f '(l)) = (1, -3). PENDIENTE: j ' ( 1) = ( 12x3 - 4x + 3)1,= = 12 - 4 + 3 = 1 l. La notación I x = I

significa cthullar el ralor para x = 1)). E C U A C I ~ N : y + 3 = 1 l(x - 1) o y = 1 Ix - 14. 1 1 Ejemplo 6. Si la distancia s recorrida por un móvil viene dada por s = t2 + 2t, hallar la velocidad para el tiempo t = 3.

S O I . U C I ~ N . La velocidad del móvil cuando t = 3 es

Velocidad = - = (2t + 2 ) ( , = 3 = 6 + 2 = 8 (unidades de distancia)/(unidad de 2 tiempo). 1 1

RESUMEN

1. La deriuada

2. S i , f ' ( x l ) existe, entonces

f'(x1) = f(xl + Ax) - f(x1 - AX)

2 AX para Ax pequeños.

3. Si y = f '(x), entonces f '(x) tambidn se representa por dyldx, la derivada de y con respecto a x.

4. L a deriuada de una,función constante ES cero; en símbolos

d (c> dx " - o.

5. La derivada de una suma es la suma de las derivadas; en símbolos, d(u + u ) du dv

dx =-+".

dx dx


6. La derivada de una función multiplicada por una constante es igual a la constante por la dericada de la función; en símbolos,

d(c * u ) dU " - c .-

dx dx '

d(x") d X

7. __ = nx"-' para cualquier entero positivo n.

8. Velocidad = 1: = ds/dt, donde S es la posición del móvil en el tiempo t .

EJERCICIOS

En los ejercicios I a 6, hallar f '(u) aplicando 22. a) Calcular d ( l / . x ) / d x suponiendo que la definicidn de la ec. (2). la fórmula para d(x")/dx en (5) se

1. f(x) = x 2 - 3x 2. f(x) = 4x2 + 7 cumple para n = - 1.

b) Verificar la respuesta de a) calculan- 1

2x + 3

do el límite del cociente diferencial apropiado. 3. f(x) = - 4. f(x) = l/J;

5. f(x) = X/(X + 1) 6. f (x) = J ~ x - 1 "

En los ejercicios 7 u 19, I d u r la deru:atla de /u fitncidrl tlariu.

7. 3x - 2 8. 8 ~ ' - 7x2 + 4 23. a) Calcular d(,,G)/tlu suponiendo que la

9. 2x7 + 4x2 - 3 fórmula para d(.u")/rlx en (5) se cumple

10. 15x3 - 4x" + 2 x 2 + 5 para n = 4.

b) Verificar si la respuesta de a ) es x2 - ?x + 4 x3 - 3x2 + 2 correcta calculando el límite del co-

11. - 12. 2 4 ciente diferencial apropiado.

13. (?x)' - ( 2 ~ ) ~ 14. (X' - 2 ) ( ~ + 1) d dx

c) sallar - (34; - 2x2). 15. (X' + 2 ~ ) ' 16. X ( ~ X + 2 ) ( 3 ~ -- 2)

17. (2x)'(3x + 5)

18. 8 ~ ' - 3 ( ~ + 1)* + 2

19. ~ _ _ _ _ x(x - l )(x + 1)

3

d) Hallar - (&x - A). d

dx

24. Un móvil se desplaza de tal manera que después de horas ha recorrido S = f ( r ) = 4r3 + 3r' + r km para t 3 O.

20. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y = .u4 - 3x2 - 3x. donde .u = 2.

a ) Hallar la velocidad del móvil como función del tiempo r para r 2 O.

b) La aceleracidn de un móvil es la razón de cambio de su velocidad

21. Hallar la ecuación de la recta normal con respecto al tiempo. Hallar la (perpendicular a la recta tangente) a la aceleración del móvil como función curva y = ?.x3 - 3x2, donde x = 2. de r para t 3 O.

LA DEKIVADA 51

25.

26.

27.

28.

Si la longitud de la arista de un cubo derivable para x1 = O. Es decir. demos- crece a razón de 1 cm/seg, hallar la trar quef’(0) no existe. razón (instantánea) de crecimiento del volumen cuando a) la arista mide 2 cm 29. Demostrar que sif’(xl) existe, entonces

de longitud, b) la arista mide 5 cm de longitud. lim

Repetir el ejercicio 25, suponiendo que la arista del cubo crece a razón de 4 cm/seg. [Sugerencia. Utilizar el hecho siguiente: (Utilizar el ejercicio 25 y el sentido comiln.) f (x l + AX) - f (X , - AX)

f (x I + AX) - f(xl - Ax) ”

Ar-tl 2 . AX - f ‘bl) .

Si se arroja un guijarro en un tanque 2 . AX grande para líquidos, seobserva el desplazamiento hacia la periferia de una onda en forma de anillo circular cuyo radio crece a razbn constante de 8 cmlseg. 1 f (x l + (-Ax)) - f(xl)

- 1 f(x, + AX) - f(x1) + - - . 2 Ax

+ Hallar el área del disco encerrado 2 -AX por la onda 2 seg después de que el guijarro haya tocado el líquido. y el teorema 2.1 de la sección 2.2.1

~~

Hallar la razón (instantánea) de crecimiento del disco encerrado por la onda 2 seg después de que el guijarro haya tocado el líquido. (Ver ejercicios 25 y 26.)

DO. Vale la pena observar que límbx - o [ . / (xl +Ax)-,f(xI -Ax)]/(2.Ax) puede existir aunque,f”(x,) no exista. Dar un ejemplo de alguna función /’(.u) y un punto x , donde esto se cumpla. [Suycrmckl. Con-

Sea .f(x) = 1x1. Demostrar que f no es siderar el ejercicio 28.1


Aplicar la aproximación (3) del texto para hallar 32. [(x + 7)/(x‘ + S)]”’ en x I = 2.374 la dericada de la función dada en el punto 33. x x en = 2,36 indicado. Utilizur radianes para todas las funciones trigonorn&ricas, y escoger AX nrhirra- 34. sen (tan x ) en x i = - I .3 riammte. 35. ( senxr”’ en x, = rr/4

31. sen2x en xI = O 36. (xz - 3 ~ ) ~ ‘ en x, = 4

2.4. MAS SOBRE LIMITES Y CONTINUIDAD

Sea .[(x) una función definida para toda x en un trayecto, así sea corto, a l a derecha de x I , es decir, para x I < x < x I + h, donde /I > O. Es posible que los valores f ( x ) se aproximen a L cuando x se aproxima a x 1 por la derecha; en simbolos, lím, ~ x , + f ( x ) = L. En términos de la caracterización e , 6, esto significa que para todo F > O existe 6 > O tal que si x1 < x < x1 + 6, entonces I f (x) - LI < E.

mientras que lím f(x) = lím (2 - x) = 1.

x - + I t x- I-

Por supuesto, el valor real,/'( 1 ) = 1 no desempeña ningún papel en el chlculo de los límites cuando .x se aproxima a 1. Nótese que lím, /'(x) no existe porque f ( x ) no se aproxima a un valor Linico cuando .x se aproxima a t . I (

Sea , / ' ( S ) una funci6n definida para ,xI - h < .x < .y1 + /I para algún h > O. Es posible inferir por el ejemplo 3 que lim, , I f ( x ) existe si y sólo si lím, 'i,- j ' ( . x ) y lím, ,, , / ' ( S ) existen y son iguales. Estas ideas pueden aplicarse para mostrar clue f ( x ) = I r 1 no es derivable en -xL = O. El cociente diferencial es

f (0 + AX) - f(0) - jAxj - [ O / - [ A X [ Ax

- - Ax Ax .

-

(x( 110 c.s tlcrirrlhle on O

Ahora

Por tanto. límby +o(iA.x!,,'Ax), el límite del cociente diferencial dc,f(x) = (.x1 en cero no existe, así que ,/"(O) no existe. Esta función, 1x1, constituye tal vez el ejemplo miis sencillo de función no derivable.

2.4.2. Límites en el infinito

En ocasiones es deseable conocer el comportamiento de ,/'(x) para valores muy grandes de x. El problema se plantea naturalmente discutiendo el comportamiento de ,/'(x) c u a n d o x tiende a E ) ) . El aserto lím, sc f ( x ) = L. significa que f(x) se aproximari a L tanto como se quiera si se toma un valor de .x del dominio de .f; que sea suficientemente grande.

~ _ _ . ~~~~~ -~~~

Definición 2.6. Sea,f'(.x) una función definida para todos los valores suficientemente grandes de x . Entonces, lím, ~ ?. f(x) = L si para todo I: > O existe un K > O tal que si .Y > K , entonces !f'(x) - L . ! < E .

Definición 2.7. Scaf'(.x) una función definida para todos los valores suficientemente pequenos de x . Entonces lím, ,f'(x) = L si para todo c > O existe una K > O tal que si x < - K . entonces I,f'(x) - L ! < c.

Ejemplo 4. Es evidente que límx-. ,, ( 1 ; ~ ) = O. / I

Ejemplo 5. Hallat

so12('c1i>%. La técnica consiste en dividir cada término tanto del numerador como del denominador por x elevada a la mayor potencia que aparezca. Para el caso ser6 .x2. y así se obtiene

= l i m 2 " (3/x)

x - b ~ x (2/x) + (4/x2) - (7/x') - - - x ,

puesto que el numerador se aproxima a 2, mientras que el denominador tiende a O y es negati\;o para .Y negativos de \alar ahsoluto r n ~ ~ y grande.

Un momento de reflexión revela que el ardid de dividir el numerador y el denominador por .Y elevada a la mayor potencia que aparezca reduce el problema a tener en cuenta el término de grado mayor del numerador y el término de grado mayor del denominador. Estos monomios de grado mayor prerlombzan sobre los demis cn las proximidades de - x e T . Por tanto, el límite del ejemplo 5 puede calcularse asi

lím x-m 3x2 + 2 x-" 3x2 X" 3 3 '

2x" - 3x 2x' 2 2 = ljm - = ljln - = -

y el límite del ejemplo 6 puede calcularse así

Los grados relativos del numerador y del denominador determinan el compor- tanliento de una funcibn racional en M_ y - x . como se describirh en el resumen.

LA D E R I V A D A 55

2.4.3. Continuidad

En términos muy generales, una función es continua en un x1 de su dominio si la gráfica no presenta rupturas en x = *x1. La función de la fig. 2.7 no es continua en 1, y la función de la fig. 2.8 no es continua en 2. La idea de no presentar rupturas en la grifica en x = x1 se expresa mejor en términos de límites. Si no hay rupturas, límx4.xl f ( x ) debe existir y ser igual a,f(x,) . Para la función de la fig. 2.7, lím, I f ( x ) no existe. Para la función de la fig. 2.8, lím, - f ( x ) = 1.25, pero f(2) = 2.5. Esta noción de continuidad debe formalizarse por medio de una definición más rigurosa.

Y

Definición 2.8. Una función , fes continua en .x l del dominio si l imy ~ z 1 f ( x ) existe y es f ( x l ) . Si f'es continua en todos los puntos de su dominio, entonces f es una función continua*.

El valor f ( x l ) no desempeña ningún papel en la noción de lím, ~ ,, f'(x), pero tiene mucha importancia respecto a la continuidad de ,f' en x,. Para la caracterización E , 6 de la continuidad en x = x, es posible utilizar la caracterización de lím, ~I f (x) reemplazando a L por.f '(s,).

Definición alterna 2.8. Una función f es continua en x1 de un dominio, si para todo E > O existe S > O tal que si /x - x l j < h', entonces (f(x) - , f ( x , ) l < L.

~ ~ "" ~~~

Ejemplo 7. Examinar si

I 10 para x = - 3 , es continua en x = - 3.

* Una función es discontinua en un punto x, de su dorninro si no es continua en dicho punto. Es posible encontrar autores que digan que l/x es discontinua en x , = O, o que ~ ' i es discontinua en .x1 = - 3. Es preferible no considerar l a continuidad en ningún punto fuera del dominio.

~ ~~

(x - 3)(x + 3) x-” 3 lím f(x) = lím

Y-”; S + 3 = “6.

Pero , f( - 3) = 10. Puesto que lím, - 3 . f ( x ) # f ( - 3), la función no es continua en - 3. En consecuencia, la función no es continua. ya quc -3 esta en su dominio. ‘ 1 Ejemplo 8. Examinar si

f ( x ) -= x ” + 2 para I >’ 1. SS - 1 para x 5 1,

es continua en x = 1.

S O L L : C ‘ I ~ N . Se time

Por tanto, lím, ~ j ’ ( . ~ ) no existe, así que,/ no es continua para Y = I . Como 1 est6 en el dominio de j ; la funci6n no es continua. ~

Ejemplo 9. Examinar si

1 5 para x = 3,

es continua en x = 3.

SOI.L’CIO\. Se tiene

(x - 3)(x + 2 ) x +3 lím f(x) = lím = 5 = f(3).

x-13 x - 3

En consecuencia,j’es continua para x = 3. En el teorema 2.3 se demostrará quef’es también continua en cualquier otio punto y, por tanto. es una función continua. 1~

Puesto que la continuidad se define en términos de límites, el teorema 2.1 (sección 2.2) que se refiere a límites de sumas, productos y cocientes de funciones, tiene como consecuencia inmediata el teorema 2.3.

Teorema 2.3. Lrrs sumus, los productos y l o s coc‘ientos de ,funciones continuas son funciones continuas. (Los cocientes no se dc<finen cuundo los denominadores son cero.)

La función 1x1 es continua para x = O, pero no es derivable en dicho punto. Sin embargo, la derivabilidad implica la continuidad.

L A DERIVADA 57

Teorema 2.4. Si f es derimble en x = xl, entoncc’s es confinuu en X = X I .

El teorema 2.4 se puede demostrar fácilmente a partir de la definición de derivada. Si f ’ ( x l ) existe, entonces

Ax-cl A x

Derivable quiere decir continua

Si se sustituye x = x I + A x , es decir, A r = .Y - .Y,. Entonces A x --$ O es equivalente a x + x y ( 1 ) se expresa

< - x , x - x ,

Puesto que el denominador de (2) tiende a O cuando S + .x1, cl límite existiri sólo si lim, ~ x, ( f ( x ) -f‘(xl)) = O también, es decir. si lím, ~ ~, f(x) =,f(xl). Entonces f’ es continua para x = x l .

RESUMEN

Si el grado del numerudor es tnenor que r l grado del drtzominador, entonces los limites en cc J’ - a son umbos iguales u wro. S i el numerudor y el denominador son del mismo yruclo, entonces los limites en m y -m son en umbos casos c l cociente de los co<ficientc>.s d e l os términos de mús alto grado. Si el yrudo del numerador es muyor que el ~lrarlo rlel denominador, entonces cuando x ”-t a o x + - m, lu,JunciÓn tiende u xi o - cx: segun los signos del numerador J’ rlel denuminrrrlor.

3. Una .funcidn f ( x ) es continuu en .x1 de su dominio, si lím, ,f(.x) rxiste y es , f (x l ) . Una función cs cmt inuu c u m l o es continuu en t o d o s l o s puntos 0 ~ 1 dominio.

4. LUS sumas, los productos y los cocientes de .funciones continuus son tamhikn funciones continuas. (Los cocientes no estdn &finidos cuando l o s drnominatlorrs se hacen cero.)

5. Una función derivable es continua.

22.

23.

24.

25.

20. Iím (x -- V,Y' + 1) , -'

21. Dibujar la gráfica de una función ,f que satisfaga cada una de las condiciones siguientes. a) Que sea continua en todos los pun-

tos excepto en 2, y lim, ~, ? j ' ( . x ) = 3. b) Quesea continua en todos los puntos

excepto en 2, y que lím,-.z / ' (Y ) no est6 definida.

C) Que sea discontinua en - 1 con h - . - , ,f(.u) = 1. pero continua en el resto del dominio con l ím,~+ fix) "l - -.

;,Es continua la funclhn / definida como

;,Por que'?

;,Es continua la funclón f definida como

I R para S = 2.

;,Por qui-?

Una pelota de goma que cae desde una altura h rebota hasta una altura h /2 . Se puede demostrar que si se deja caer la pelota desde una altura de h metros y se deja rebotar libremente, la distancia total recorrida cuando llega al suelo por n-ésima vez es

Hallar la distancia total recorrida por la pelota antes de que se detenga si se deja caer desde una altura de 16 m.

Si se supone que el diámetro de la Tierra es de 4000 millas. la aceleración gravitacional en la superficie es de 32 piesiseg' y no se tiene en cuenta la resistencia del aire, es posible demostrar que la velocidad inicial I' con que debe dispararse un cohete desde la superficie de la Tierra para que alcance una altura de S millas viene dada por la fórmula

Utilizar esta fórmula para hallar la velocidad inicial con que un cohete debe dispararse para escapar l a atracción gravitacional de la Tierra.

LA DERIVADA 59


Decidir si el límite existe y estimar su valor 1 -lix2

hallando el valor de lafuncidn en por lo menos 27* )Ly$ (G) 28' x-ni l i m ('Os

dos puntos próximos al límite (valores de may- nitudes absolutas muy grandes si x + m o 2 -

x -+ - E) . Usar medidas en radianrs para las 29* lim + :) funciones triyonomitricas.

26. lim x' 31. lírn (I + :) X" m 30. lim (1 + i)'

11-01

7.1

x-o+ X"

*2.5. APLICACIONES A LAS GRAFICAS DE FUNCIONES RACIONALES

2.5.1. Gráficas de polinomios

Las gráficas de polinomios de primero y segundo grado se estudiaron en el capítulo anterior. Considérese ahora el polinomio

f(x) = a,x" + a,-lxn-l + * * * + a,x + a,,

donde n 2 1 y U, # O. Se sabe que f es continua; por tanto, la gráfica de f' es una curva sin rupturas situada bien sea encima, debajo o cortando el eje x.

Como para x # O

f(x) = .+, + 52 X + . . . +F + 3). X , a1

entonces el monomio u,x" domina el resto de los términos si la magnitud de x es grande en valor absoluto. Entonces, 1ímx+= f ' ( x ) es co o - m, y lo mismo aplica a límx+ - m f ( x ) . Más exactamente, si n es par, entonces

lim f(x) = lím f(x) = 00 si a, > O,

X-= X+" -00 si a, < O. I Si n es impar, entonces

00 si a, > O, I --o0 si a, > O, lím f(x) = lírn f(x) = x-= -00 si a, < O, y *"m 00 si a, < O.

Estos límites indican si la ((gráfica comienza a l a izquierda en la parte superior o en la inferior)) y si ((concluye en la parte superior derecha o en la inferior)).

S i f ( - x) = f(x), que es el caso si todos los términos monomios son de grado par,

* Esta sección puede omitirse sin perder continuidad.

60 CÁLCULO C O N GEOMETKiA ANALíTICA

entonces la grifica de J' es simétrica con respecto al eje y . Si .f( - x ) = - f ( x ) (todos los términos son monomios de grado impar), la gráfica es simétrica con respecto al origen.

A menos que sea posible encontrar algunos factores lineales del polinomio, no es mucho más lo que se puede hacer por el momento para trazar la gráfica de la función, excepto marcar un número de puntos en la grlifica y dibujar una curva continua entre ellos, teniendo en cuenta los límites para x y - co y las simetrías Fosibles. En el capitulo 5 se estudiarán aplicaciones del chlculo diferencial al trazado de grlificas.

Si el polinomio tiene un factor lineal de la forma x - LI. entonces la gráfica corta el eje x en u, y LI o (u , O) es 'una intersección de la gráfica con el eje x. Si, ademhs (.x - es un factor del polinomio, mientras que (.Y - no lo es, entonces

donde 3 1 , y donde y es u n polinomio y y (u ) # O. Es conveniente estudiar el signo (positivo o negativo) def'(.u) en una vecindad de u. Puesto que q ( ( 1 ) # 0 y y es continua, existe una vecindad pequeña de 11 para la cual <!(x) y y(a) tienen el mismo signo. El signo de (x - 11)"' para x # O es positivo siempre que m sea par, negativo si x u y m es impar. Luego, si m es par, el signo de j ' ( -u) en .Y # u en una vecindad pequeña de a es el mismo que el de ( / (u) , y el eje .Y es tangente a la grhfica en (1, es decir, la gritfica no cruza el eje x en la vecindad de (1. N o obstante, si m es impar, el signo de f(.x) cambia en (1. es decir, la gráfica cruza el eje x en LI.

Ejemplo 1. Esbozar la grlifica del polinomio

( x - I)'(x i- 2 ) = x 3 - 3x + 2

SOLLICION. Se trata de un polinomio cúbico cuyo término dominante es -u3 para .u muy grande. La grlifica ((comienza en la esquina inferior izquierda)) y ((termina en la superior derecha)). La funcicin n o es simétrica con respecto al eje ~3 o al origen. lnterseca el eje x en ( -2, O) y ( I , O). En ( - 2, O) la interseccibn corresponde al factor ( x + 2) de grado i r n p ~ y la gráfica cruza el eje .u; en ( I , O) la intersección corresponde al factor (.Y - 1)' de grado pur y el eje Y es tangente a la gráfica en dicho punto. Se pueden hallar fAcilmente los valores,f( - 1 ) = 4, ((O) = 2 y,f(2) = 4. y la grlifica tiene una apariencia aproximada a la que se muestra en la fig. 2.9. Posteriormente, la aplicación del cálculo ayudará a comprobar que ( - 1,4) es un ((punto alton de la grrifica, como se ve en la fig. 2.9. 1~

Para comprobar la exactitud de una gráfica es conveniente hallar los puntos de intersección que tenga con una recta dada. Por ejemplo, considérese la gráfica de J = (x - I)'(x + 2), que se muestra en la fig. 2.9. La ecuación de una recta no vertical es de la forma

LA DERIVADA 61

y si se resuelve esta ecuación simultáneamente con y = (x - l )*(x + 2), se llega a una ecuación cúbica en x con tres soluciones por Io menos, que corresponden a los puntos donde la recta interseca la gráfica. De este modo, cualquier recta

Y

no vertical debe cortar la gráfica en tres puntos por lo menos, como puede verse fácilmente para el caso de la gráfica que se muestra en la fig. 2.9. Es posible que haya rectas no verticales que no corten la gráfica en tres puntos; algunas de las soluciones de la ecuación cúbica pueden ser números complejos. Ya que las raíces complejas de un polinomio con coeficientes reales ocurren siempre en pares conjugados, es posible darse cuenta de que cuulquier recta no vertical ha de intersecar la gráfica de la fig. 2.9 en uno o en tres puntos. (Una recta tangente interseca la gráfica en ((puntos coincidentes)), que corresponden a raíces múltiples de la ecuacibn en x.) Se pueden dar argumentos análogos para polinomios de mayor grado.

2.5.2. Gráficas de funciones racionales

Se consideran ahora las grlificas de funciones racionalesfque no son polinomios sino cocientes de polinomios. Se supone que el polinomio del numerador no tiene factores comunes con el polinomio del denominador. (Tales factores se pueden cancelar. La función resultante es la misma original, excepto que ésta no está definida por ningún punto en donde algún factor común se haga cero.) Se presenta una tecnica para esbozar la gráfica de una función racionalfde una variable. Se ilustrará a medida que se desarrolle el trabajo con la función fdada por

y = f(x) = - x - 2 x2 - 1 ’

62 CALCULO CON GEOMETRiA ANALíTICA

Es necesario referirse a la fig. 2.10 durante este estudio. I

1. Investíguense las simetrias que puedan existir. En este caso no hay simetrias ni respecto al eje y ni respecto al origen.

2. Hhllense las intersecciones con ios ejes x e $1; es decir, los puntos donde la gráfica encuentra o cruza el eje x o e! eje y. Las intersecciones con el eje x ocurren cuando el numerador se hace O. es decir. y = O: esto sucede en (2, 0 1 para el caso que se considera. Las intersecciones con el eje y ocurren cuando S = O, o sea. para (O. 2 ) en este ejemplo. Estos puntos se marcan en el sistema de coordenadas.

LA D E R I V A D A 63

3. Un valor a de x que haga cero el denominador es un número que no está en el dominio de f y corresponde a un factor x - a en el denominador. Nótese que debe tenerse límx+a If(x)l = CG, ya que se presume que el numerador es diferente de cero en a ; si no fuera así, se podría cancelar el factor común x - a. La recta vertical cuya ecuación es x = a es una asíntota vertical, y la gráfica se desplazará, acercándose a la asintota hacia arriba o hacia abajo pero sir1 llegar jamcis a cruzarla. En la figura las asíntotas verticales se trazan con líneas punteadas. En este ejemplo hay dos asintotas verticales, cuyas ecuaciones son x = 1 y x = - 1. Un análisis análogo al que se hizo para los polinomios en la subsección anterior muestra que si (x - u)" es un factor del denominador y ( x - u)"" no lo es, entonces el signo de f ( x ) no cambia en ninguno de los lados de la asintota x = a si m es par, pero cambia si m es impar. En el ejemplo que se considera, tanto (x - 1) como (x + 1) son de grado impar, así que habrá cambios de signo al pasar de un lado a otro de las asíntotas.

4. Hállense 1imx+= , f (x) y ]ímx+ - f(x) para observar el comportamiento de la gráfica a la izquierda y a la derecha, lejos del eje y. Ambos límites serán finitos e iguales para funciones racionales con numeradores cuyo grado no exceda el grado de sus denominadores. Por ejemplo, se tiene

lim f(x) = lim f(x) = O, X"J0 X"

y la recta cuya ecuación es y = O (el eje x) es una asíntota horizontal. Se traza la asintota horizontal si la hay (con una línea punteada si no coincide con algún eje).

5. Trácese la gráfica de izquierda a derecha ( o viceversa, pero de manera sistemática). Para el caso considerado (ver fig. 2.10), se tiene que cuando x tiende a -a, el valor de f(x) es negativo y cercano a O. La gráfica cruza el eje x en (2, O); por tanto, debe prolongarse hacia uhujo siguiendo la asíntota vertical x = - 1. El denominador cambia de signo en - 1 (ya que x + 1 es un factor de grado impar), así que la gráfica viene de la parte superior a la derecha de la asíntota x = - 1 , cruza el eje y en el punto (O, 2) y regresa hacia urriha siguiendo el lado izquierdo de la asíntota vertical .Y = 1, pues únicamente puede cruzar el eje x en (2, O). El denominador cambia de signo en x = 1 , así que la gráfica viene de abajo a la derecha de la asintota x = 1, cruza el eje x en (2, O), ya que el numerador cambia de signo en x = 2, y regresa hacia abajo para seguir el eje x como asíntota horizontal.

En la discusión anterior (5) se dijo que la curva de la fig. 2.10 debe desplazarse hacia abajo siguiendo la asíntota x = - 1, puesto que arranca debajo del eje x a la izquierda, y no tiene intersección con dicho eje sino en (2, O). Este argumento depende del hecho de que una curva continua no puede pasar de un lado a otro del eje x sin cortarlo en un punto de intersección. Lo anterior es verdadero para la gráfica de una función continua.

Es posible comprobar la gráfica de la fig. 2.10 si se cuentan los puntos de intersección de la curva y = (x - 2)/(x2 - 1) con la recta

J' = mx + b.

-1 I

I

RESUMEN

EJERClClOS

1. Trazar la gráfica de cada uno de los polinomios siguientes. a) (xz - l )(x + 2) b) x' - 3x + 2 C) (X' - 4 ) ( ~ - 1)2 d) x 3 - X'

e) x' - x4 f) x - x 7

2. Nótese que la grkfica de x' - x + 1 es la de x3 - x desplazada hacia arriba una unidad. Trazar l a gráfica de Y' - S ,

y desplazarla hacia arriba una unidad para obtcner la de x 3 - x + 1.

3. Aplicar la idea desarrollada en el ejcrci- cio 2 para trazar la gráfica de cada

5. Hallar las asintotas verticalcs para cada una de las funciones racionales dadas 1; y para cada asíntota determinar si / (x) cambia o no de signo cuando pasa de un lado a l otro de la asíntota.

6. Dibujar la grhfica de cada una de las funclones racionales dadas.

uno de los polinomios siguientes. 1 1 a) xd i- I b) x 3 - 4~ + 2 a ) -

x - 1 b) 7

X -

c ) -X' + X' - 1 d) x 4 - 4 ~ " - 2 1 2x c) ~ d) - x 2 - I X 4. Hallar las intersecciones con el eie x de la

gráfica de cada una de las funciones racionales siguientes, y determinar si la gráfica cruzu el eje .x en cada intersecci6n.

7. Dibujar la gráfica de cada una de las funciones racionales siguientes.

X 4 x .. a) 7- b) -__

x - I (x - l)? X 2

a) X b) ~

x + l x + l

x(x - I)' (3x - 4)(x + 2)' (% - I ) ? (x - l ) ( x + 2) c, 3x + 2 2 x - 1 c, (x + 2)(x - 3 ) x'(x + 1 )

d)

66 C Á L C U L O CON G E O M E T R ~ A ANALíTICA

8. Sea f’una función. Si existen rr y h. donde a # O. tales que

I í m [ f (x) - í ax t h ) ] = 0, x . <

entonces la recta cuya ecuaci6n es J. = OY + h es una asíntota oblicua de la grá- fica dt. 1. Demostrar que si el grado del polinomio del numerador dc una función racional f es una unidad mayor quc el grado del denominador, entonces la gr i - fica de f tiene una asíntota oblicua. [Slcqrwncia. Utilizando división larga de polinomios sc concluye que existen LI y h.

9.

donde (I # O, tales que f ( x ) = (ax + h) + q(xL donde g es una función racional e! grado de cuyo denominador es mayor que el del numerador.]

Aplicar la idea desarrollada en el ejercicio 8 para hallar la asíntota oblicua de la gráfica de cada una de las siguientes funciones racionales y dibujar la gráfica.

x ’ - 1 a) __ h) -__

( x - 11’ x .x

.~ x 1

c) 7” Y - 4

Ejercicios de repaso del capítulo 2 Ejercicios de repaso 2.1

1. Seaf(x) = 1 / x . Estimar la pendiente mtan de la grifica donde Y = I . buscando: a) La pendiente m,,, de la secante que

pasa por los puntos donde Y : I y donde Y = I + l.

b) La pendiente de la cuerda que pasa por los puntos donde u = l - : y r = l i f .

2. Hallar el limite y utilizar las notaciones x 4 -x. cuando sea necesario.

ti) lím x : + 2 x + 1

1 f I x? .- 2x

3. a ) Definir la derivada /‘(.u:) de / ’ en el punto donde Y = x , .

b) Utilizar la definición de la derivada, n o las fórmulas de derlvacibn. para hallar f ‘ ( x ) si / ( .Y ) = .uz - 3.u.

Hallar la ecuación de la recta tangente a = .u3 - 3.2 + 2. donde x = I ,

Si la posición S de u n móvil sobre una línea en el tiempo t es S = t 2 - I r 3), hallar la velocidad cuando = 7.

Hallar e! límite y utilizar las notaciones ;c y - x cuando sea necesario.

i j lím x ? - 3xL

, . I 2x - 3xJ X‘I + 1OOx”

ii) lím -- \ . - 1 4 - x

Sea

1- 6 si x = -3

¿,Es ,f’ una f u n c i h continua’? Si lo e:;. explicar por qué. y si no lo es. explicar por que no.

*6. Dibujar la gráfica

x ? - 9

LA DERIVADA 67


1. Hallar el límite y utilizar las notaciones m y - m cuando sea necesario.

a) lim lql b) lírn

c) l í r n 7 X' - 27

x - 5 - x - 2s d) lírn ~

x - ? x* + 9

x2 - 3x + 2 x -n x-2 x 2 - 4

\ x - S\

2. Sea.f(x) derivable y tal que

f(1.99) = 7.48, f(2) = 7.51,

f(2.01) = 7.534.

Hallar las mejores aproximaciones posibles para a) f'(1.99), b) f'(2), c) f'(2.01).

3. Aplicar la definición de la derivada, no las fórmulas de derivación, para hallar ,f'(x) S i S ( X ) = l/(2x + 1).

4. a) Hallar la ecuación de la recta normal (perpendicular) a y = 4.x' - 3x + 2 en el punto ( - I , 9).

h) Sea S la posición de un móvil en una línea en el tiempo r , tal que S = I 3 + 2t .

i) Hallar la velocidad promedio del móvil entre el tiempo I = I y t = 3.

i i ) Hallar la velocidad del móvil en el tiempo r = 2.

5. Hallar el límite y utilizar las notaciones m y - m cuando sea necesario.

7 - sx2 a) l í rn ~

x-= x ? + 3x

b) l í r n 1 4 ~ ' - 7 ~ '

x- 8x3 + 4x

6. Sea

i x 2 - 4 x - s

f (x) = x - S si x > 5,

I 2 x - 4 si x 5 s. a) Hallar lím, ~ - /'(x). b) Hallar lím,,s+ f(x). c) ¿,Es/'continua en x = 5 ? ¿Por qué? d) ¿Es f una función continua? i,Por

qué?

*7. Dibujar la grifica 3.x2;(x2 - 2 s - 3).

Problemas más difíciles 2

M á s adelanre se wrd que existe una función continua sen x tal que

sen x lím- = 1 r-O x

Utilizar esta informucidn pura culculur los h i - res en los ejercicios 1 u 10, si existen.

1. lírn - sen Ax sen Ax

2. lírn __ Ax-O Ax A x - 0 JAxl

3. l írn - sen 2x sen 2x 4. l írn -

x-+n X x-() sen 3x

1 5. lírn sen- 6. lírn (x sen:)

X" x x -m

11. Es dificil para los estudiantes entender la definición e, 6 de límite. La dificultad es de tipo lógico. En la definición aparecen el cuanttficador unirersd (para todo) y el cuuntlficudor existencid (existe), pues- to que la definición establece que pura todo E > O, existe 8 > O... Este ejercicio se refiere al problema lógico. a) Negar la proposición

Para todo c > O existe 6 > O.

Es decir, escribir una proposición que sea sinónima de ésta: ((No es cierto que para todo I : > O existe A > O)),

pero sin decir: ((No es cierto que...)). Negar la proposicibn

Pard todo capullo existe una flor.

Estudiar la respuesta de la parte a ) en relación con la respuesta de la parte b), y decir si es correcta. Describir qué debe hacerse para demostrar que Iímx+" /(u) # ('.

12. Ses J' una función. Clasificar cada una de las siguientes c(definicionesn del límite de f en (I como correcta o incorrecta. Si es incorrecta, corregirla.

El límite de / en ( I es c si para todo I: > O existe IS > O tal que l./(.x) - c/ < I:. siempre que / x - (11 < d .

El límite & f e n u es c ' si para algún c Oexisteci > O tal que / f(.u)-cI < I:. siempre que O < l . u - ~ ~ l < h .

El límite de j ' en u es c . si para todo t: > O existe (3 > O tal que O < / Y - u / < (5 implique 1 f ( u ) - ( , I El límite de J' en u es (' si existen números positivos 6: y (5 tales que O < / Y - N / < (5 implique j /(.Y) - < c. E1 limite de f en u es c ' si para 15 > 0 se tiene que O < /.Y - (1) < d implica / / ' ( S ) - c.1 < I:. El limite de ,/ en u es (~ si 1 f (.u) - c j puede hacerse menor que cualquier E > O restringiendo x a elementos diferentes de u en algún intervalo pequeño [u - b , u + 61. El límite def' en a es c si para todo entero positivo II existe 6 > O tal que

< 1:.

l f (x) - cl < - 1 n

siempre que 0 < / S - u / < 6. 13. Dar una demostración, utilizando 6, h de

lo siguiente: si lim, f(x) = L y

límx+o q ( s ) = M . entonces límx+,(,f(.x) + gb)) = L + M .

14. Seaf(.x) = 3.u'" - ?x8 + 5s' - 21x3 + 3.u' - 7. Hallar

15. Clasificar cada una de las siguientes crdefi- niciones)) como correcta o incorrecta, y, si es incorrecta, corregirla. a ) Una función f es continua en a si

para todo E > O existe 6 > O tal que /x - a / < (5 implica /f(.u) -- u/ < E.

b) t i n a función j ' es continua en u si para todo t > O existe 6 > O tal que /.f'(x) - c .1 < c, siempre que O < /x

c) Una función ,/ es continua en u si para todo t: > O existe 6 > O tal que ! /'(.u) - f (u) I < E , siempre que J Y -

d) SeaJ'una función. El límite de / en a

es - cc si para algún 7 existe ci > O tal queJ(x) < 7 , siempre que O < / Y

e) Sea ,/' una función. El límite de f' cuando Y tiendc a u por la izquierda es - JI si para todo 7 existe (3 > O tal que /(x) < 7 , siempre que u -

fl Una función 1' es continua si para todo u en su dominio y para todo entero positivo n existe u n entero positivo m tal que 1 / ( x ) - . f (u) / I , n , siempre que / Y - N / < I / m .

- a / < (S.

u/ < (3.

- (11 < 0 .

o < Y G U.

16. Dar un ejemplo de dos funciones que e s t h definidas para todo Y. que ninguna sea continua en Y = 2. pero cuya suma sea continua en .Y = 2.

17. Repetir el ejercicio 16 para el procluc,to de dos funciones en vez de la suma.

18. Dar un ejemplo de una función definida para todos los números rcales .Y pero que no es continua en ningún punto.

3 Derivación y diferenciales

El proceso de hallar f'(x) a partir de f ( x ) se conoce como deriuación. Una cualidad del cálculo es que tiene fórmulas que facilitan la derivación, por lo menos para las funciones de más frecuente uso. Ya se ha visto cuán fácil es hallar la derivada de un polinomio. La sección 3.1 brinda fórmulas fáciles para hallar las derivadas de un producto f(x). y(x) y un cociente ,f(x)/g(x) en términos de las derivadas .f"(.x) y g'(x). La regla de la cadena de la sección 3.3 com- pletará la lista de fórmulas generales de derivación.

3.1. D E R I V A C I O N D E PRODUCTOS Y COCIENTES

Sean ,f' y y derivables en x = xl, y tales que f'(xl) y y'(x,) existan. Si u = . f ( x ) y u = g(x), entonces un cambio Ax de x1 a x1 + Ax produce cambios Au en u y Ac en c. El cambio en u . c es entonces ( u + Au) . ( c + Ac) - u . c. Por tanto, el cociente diferencial para.f(x) . y(x) es

Cambio en u . t' (u + Au) . (U + A v ) - U . U - - AX AX

- - u ~ + u - A v + v * A u + A u . A v - u v

- u . A v + v * A u + A u - A v Ax

- Ax

Av Au Au AX

+ v .- + - - . A V . Ax Ax

= U" (1)

Para hallar la derivada de uc', se busca el límite de (1 ) cuando A x + O. Nótese que límbx+o Ac = O, porque c = y(x) es una función continua en x = xl , puesto que g'(xl) existe (teorema 2.4). Si se toman límites,

Cambio en uu - Av Au Au lím AX-o A X

- lím u ~ - + v ~ - + - - . A v Ax-O [ Ax Ax Ax 1

dv du du dv du = U" + u . - + - " ~ ~ ~ . - + $ . - dx dx dx dx dx '

70 CALCULO CON GEOMETRíA A N A L ~ T I C A

Esto muestra que d ( u . U ) dv d u

dx + v . - -

d x d X "

" U"

para cualquier punto donde tl&tl\- 1, d r : d y existen

- d v = (x2 + x)--"- d(x' - 7x2 + 3x) d(X2 + x) dx d x

+ (x3 - 7x' +- 3X)"" d X

= (X ' t x ) ( 3 x i - 1 4 ~ + 3 ) + ( X ' - 7 ~ ' + 3 ~ ) ( 2 ~ + I )

L o anterior puede simplificarse algebraicamcnte. pero tal simplificscibn es una pérdida de tiempo si l o que $e desea es el \alar de l a de r i \mh en un punto dado. Por ejemplo.

í3!

DERIVACION Y DIFERENCIALES 71

Esto demuestra que

para cualquier punto donde duldx y L1t.ld.x existan y t. # O.

Ejemplo 2. Si y = ( x2 + l)/(x3 - 2x), entonces, si u = .x2 + 1 Y = x 3 - 2.x,

dy - (x3 - 2x)(d(x2 + l ) / dx ) - (X' + l )(d(x' - 2x)/dx) "

dx (x' - 2 x y

- (X' - 2 ~ ) ( 2 ~ ) - (X' + 1)(3x2 - 2) -x4 - 5x2 + 2 - " -

(x' - 2x)' (x' - 2x1' ' I1 Se sabe que la fórmula

dX

es válida si n es un entero positivo. También es vhlida si n es un entero negativo, puesto que - n es positivo y si se aplica (4) y ( 5 ) ,

d(x") - d ( l / x " ) X"' . (d( l ) /dx) -- 1 . (d(x " ) /dx) " -

dx dx -

(x ' I ) '

más fácil que por aplicación

El teorema siguiente y el

Teorema 3.1. Si u = ,/'(,x) Ut ' = f ' ( x )g (s ) , y


Corolario. SCJ tiene que d(x")/d.u = 11 . .xn- ' para cualquier entero n.

Es mejor aprender las fórmulas de derivación del teorema 3.1 con palabras que con letras, tales como u y r. En el resumen se ofrece la enunciación verbal. Se dice ((arriba)) para el ((numerador)) y ((abajo)) para el adenominador)) al enunciar la regla del cociente, en razón de que tales adverbios son más fáciles y sugestivos. Se sugiere aprender de memoria dichas fórmulas por medio de repetición prolongada de los enunciados.

RESUMEN

I . La dericada de un producto de dos ,f¿rc'tores es igual u1 primero por la derirurla del segundo, mús el segundo por 1u derivada del primm). En símbolos,

d(uv) dv du dx dX

+ V . " . dx

" - u .-

EJERCICIOS

Hallar las dericadas de las funciones dudas en 2 1 los ejercicios 1 u 20. N o es necesario simpl$car X X lus respuestas.

7. 4x' - 7 8. 5x + 7 -a

9. (x' - 1)(xZ + x + 2) I. 3x2 + 1 7 ~ - 5 2. 20x4 - ;xz + 18

x2 - 7 x3 - 2x' + 4x 10. ( 3 ~ ' - 8x)(x3 - 7 ~ ' ) 3. -

3 4.

4 3 2

11. (x' + l)[(x - l)(x3 + 3)]

5. - 6. 7 X x 12. [(X' - 5 ~ ) ( 2 ~ + 3)](8 - 4 ~ ' )

D E R I V A C I ~ N Y DIFERENCIALES 73

4x’ - 3 8x’ + 2x2 + x 13. ___

X 14.

X’

15. - x’ - 2 x + 3

17. (x’ + 9)(x - 3)

xz + 2

18. (x3 + 3x)(8x - 6)

x? - 3x -

19. (2x t 3)(x2 - 4) ( X - 1)(4x2 + 5)

16. 4x1 - 3x2

2x - 3

20. (8x - 6)(3x’ - 2xj

(2x + 1Nx3 + 7 7

E n el capitulo siguiente se demostrará que existen ,funciones sen x y cos x tulcs que

d (sen x) d(cos x) ___ - dx

- COSX y ___ - ”sen x. -

dx

Existe tambiin unu,función tan x que se define tan x = (sen .s)/(cos x). Dado lo anterior y las formulas de esta sección, dijivenciar las funciones de los ejercicios 21 a 30.

21. xkenx) 22. ~ ” ( C O S X ) 23. (senx)’

24. senx cos x 25. tan x 26. - sen x cos x

X 7 27. - x4

28. __ sen x cos x

29. -- sen x x’ - 3x’

30. ____ xz - 4x cos x

En los ejercicios 31 u 34, hallar las ecuaciones de In recta tunyente y normal a la grúfica de 1u.funciÓn dada en el punto indicado.

31. 3x2 - 2xen(2,8) 32. l / x en(1, 1)

33. __ 2x t 3 x - 1 en (O, -3)

(x’ - 3)(x + 2) (x t 1)

34. _____ en (O, -6)

3.2. LA DIFERENCIAL

3.2.1. Aproximación de una función de un punto

Una aplicación del cálculo diferencial es la aproximación de,f(x) para x = x1 + Ax si Ax es lo suficientemente pequeña y los valores .f’(xl) y .f’(xl) se pueden computar con facilidad. Dada la posibilidad actual de conseguir calculadoras de bolsillo a precios razonables, es fricil hallar con gran precisión (ocho cifras significativas) valores de cualesquiera de las funciones de más frecuente utilización en un punto cualquiera. Por tanto, esta aplicación no es tan importante ahora como lo fue años atrlis, pero todavía es úti l por la visión que da de la diferencial, que es el tema de esta sección.

Por supuesto que . f (xl + Ax) =.f(-ul) + Ay, como se muestra en la fig. 3.1. Como aproximación a f ( x 1 + A x ) se toma la distancia hasta la rectu tangente, según se ilustra en la fig. 3.1, en vez de la distancia hasta la gráfica propiamente dicha. La siguiente aproximación se obtiene de la figura

f(x, + AX) f(x,) + AY,,,, (1) donde Aytan es el cambio de elevación de la recta tangente de x I a x i + Ax. Puesto que la pendiente de la recta tangente es


Y

f

Figura 3.1

se tiene Ah,“ = f ’bA - Ax. (2)

A partir de (1) y (2), f (x , + AX) f(x,) + f ’ ( x , ) . AX. (3)

Ejemplo 1. Aplicar ( 3 ) para hallar el valor aproximado de f(2.05) si , f (x) = x3/(1 + .xz).

SOLUCION. Sea x1 = 2 y A x = 0.05. Es fácil calcularf(2) yf”(2):

8 f(2) = - = 1.6;

5

A partir de (3) se obtiene

f ( 2 + 0.05) = f(2) + f’(2) * (0.05) = 1.6 i (1.12)(0.05) = 1.6 + 0.0560 = 1.6560

El resultado obtenido con una calculadora de bolsillo esf(2.05) = 8.615125/5.2025 = 1.6559587; por tanto, el error para el cálculo hecho a mano es de única- mente 0.0000413. 11

3.2.2. La diferencial de f en x

En esta subsección se justifica finalmente el hecho de que la notación de Leibniz dy/dx pueda considerarse como un cociente.

Definición 3.1. Sea y = f ( x ) derivable en xl. La diferencial de f en x1 es la función de la variable única dx dada por

DERIVACI6N Y DIFERENCIALES 75

En (4), la variable independiente es dx, mientras que dy es la variable dependiente. Sifes derivable en todos los puntos de su dominio, entonces la diferencial dy o d f de y = f ( x ) es

dy = f ’ ( x ) dx, (5)

que asocia cada punto x con la diferencial de fen dicho punto.

Ejemplo 2. Si y = f ( x ) = x 3 - 3x2, entonces la diferencial es dy = ( 3 x 2 - 6 x ) d x . I / La diferencial de f en x 1 es una función lined de la variable dx, puesto

que f ’ ( x l ) en (4) es un número, tal vez 3 ó -7 . En un sistema de coordenadas dx, dy , la ecuación d y = 3 . d x es la de una recta que pasa por el origen, así como y = 3x es la ecuación de una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas x , y . Al comparar (4) con (2) se observa que si se interpreta dx como un incremento en x l , es decir, si dx = Ax, entonces d y asume el valor Ay,,,.

Como puede observarse en la fig. 3.2, si dx y d y se consideran como las nuevas variables correspondientes a la traslación de los ejes a ( x 1 , f ( x , ) ) , entonces (4) es precisamente la ecuación de la recta tangente a la gráfica con respecto al nuevo sistema de coordenadas.

Y

‘t I 1 - A

01 1 + x

x1 Figura 3.2

Fórmula de aproximación

En notación diferencial, la fórmula aproximada (3) se convierte en

f(xl + dx) = f ( q ) + f’(x,) dx. (6)

La aproximación que utiliza (6) se conoce como aproximación por diferenciales y debe considerarse como la mejor aproximación lineal af(x) en la vecindad de x ] . El siguiente es otro ejemplo de aproximación en el que se utiliza la notación diferencial.

Ejemplo 3. Dos estudiantes que trabajan juntos en un curso de fisica tienen que medir experimentalmente una magnitud r, para luego determinar el valor de otra magnitud W por medio de la fórmula

w = f ( r ) = - 4 + r3 1 + r ’

76 CALCULO CON GEOMETR~A ANALiTICA

Se sabe que el valor correcto de W es 4.931. A causa de un desperfecto en los instrumentos se obtuvo el valor r = 2.56, que al aplicar la fórmula dio W = 5.836. Los estudiantes, temiendo que este valor no sea lo suficientemente aproximado para obtener una buena calificación, aplican la diferencial

d W = f‘(r) dr,

donde r = 2.56 y dW = 4.931 - 5.836 = -0.905, para hallar la cantidad ( i r con la que deben ajustar la lectura de r en el informe del experimento.

S O L U C I ~ N . Puesto que

(1 + r ) ( 3 r 2 ) - (4 + r’)(l) (1 + r)2 f ‘ ( r ) = 9

AI sustituir los valores

f’(2.56) = 69.992 - 20.777

12.674

Entonces

= 3.883.

-0.233.

Los estudiantes sumarlin d r = -0.133 al valor experimental r = 7.56 y ajustarlin el dato leído como 2.56 - 0.233 = 2.327. En la calculadora obtienen,f’(2.327) z 4.99. que es una aproximacibn suficiente al valor esperado W = 4.931. I /

3.2.3. La magnitud de /AJ - d J . 1 Es posible demostrar que si.f”(.x) # O, entonces la aproximación til‘ = de AJ, en .x, + A.Y es satisfactoria para valores pequeños de A.Y, en el sentido de que si A x es l o suficientemente pequeño. el error ~ A J , - J j .1 en la aproximacibn ha de ser a lo sumo el 10 I:;, de A!,. Si el valor de A.Y se hace aún miis pequeño, es posible reducir el error hasta u n 1 ”,) de A),. E n efecto, el error puede hacerse u n porcentaje tan pequeño de A!. como se desee escogiendo A s lo suficientemente pequeño. Para ver esto, sea

si Ax = O.

Puesto que límAx - o ( A y j A x ) = j ” ( .x , ) , se concluye que límAy ~o c = O. A partir de ( 7 ) se obtiene

- A X A y = f’(x,) -t E

DERIVACIóN Y DIFERENCIALES 77

O

Ay = f'(x,). A x T E Ax donde lím E = O. Ax-O

Si dx = Ax tal que dy = f ' ( x 1 ) dx = f ' ( x l ) A x , entonces

Ay - dy = E . AX, así

AY - dY A x = E" - E

AY Ay AylAx' Si f '(x1 j # O , entonces

lím AX-o AY

= lim - ~ x - 0 AylAx

AY - dY E

Esto demuestra que el error lAy - d y / será una porción de Ay tan pequeña como se quiera si se escoge Ax lo suficientemente pequeño.

La relación (8) será de utilidad en la sección siguiente, y es tan importante que merece ser enunciada como teorema.

Teorema 3.2. Sea y = f ( x ) derivable en .x = xl, y sea AJ = f ( x l + Ax) - f ( x 1 j . Entonces existe una función E de Ax rkfinida para Ax pequeño, tal que

Ay = f'(x,) 9 Ax + E Ax donde lím E = O.

Ejemplo 4. El teorema 3.2 se ilustra para y =f(x) = 3x2 + 2x hallando la función E de Ax y demostrando directamente que límA, ~o E = O.

S O L U C I ~ N . Se trabaja con un punto general x en vez de xl. Del teorema se desprende que

Ax-O

Ay - f ' ( x ) AX E =

A x Ahora

Ay = f (x + AX) - f ( x ) = [3(x + AX)' + 2(x + AX)] - [3x2 + 2x1 = 3x2 + ~ x ( A x ) + AX)' + 2~ + A AX) - 3 ~ ' - 2~ = 6x(Ax) + 3(Ax)* + A AX)

Y

f'(x) AX = (6x + 2) Ax = 6x(Ax) + A AX).


En consecuencia,

Así Ay - f'(x) AX = A AX)'

Naturalmente, lim,,,,, E = límax40 3(Ax) = O. / I

RESUMEN

1. Si y = f(x), entonces la diferencial dy es dl' = f ' ( x ) dx.

2. S i f ' ( x l ) existe y es diferente de cero, la uproximarión f(xl + dx) f ' ( . x , ) + f '(x1) d.u es suficiente para calores pequeños de dx.

3 . Sif ' (x l ) existe, enlonces Ay = ,f'(xl)Ax + c . Ax, donde ]ímA, ,, I: = O.

EJERCICIOS

En los ejercicios I a S, hallar la dferenc.ia1 de la ,función darla.

1. y = f(x) = x + l

2. S = g ( t ) = t 3 - 2t2 + 4t

3. A = f ( r ) = m' 4. y = f(x) = (x2 + 1)(xL - x + 2)

t Z + 1 5. x = h ( t ) = -

t' - 1

6. (0.999)"'

8. f(1.98) si f (x) = ~

x 7 + 4x

2x - 1

9. Dado que la derivada de & es 1/(2v;x), calcular aproximadamente ,1101. [Puede pensarse que dx = 1 es demasiado grande para una buena aproximación, pero la grifica de ,,G cambia tan lentamente en x = 100 que la recta tangente coincide con ella por un buen trecho.]

7

10. Si f ( x ) = x4 - 3x2, entonces , f ( 2 ) = 4. Utilizar diferenciales para hallar el valor aproximado de Y tal que /'(.x) = 3.98.

t I. Si ~ ' ( x ) = x3 / (x - 2), e~~tonces ,f'(4) = 32. Utilizar diferenciales para hallar el valor aproximado de Y tal que /'(x) = 31.8.

12. Calcular aproximadamente el cambio de volumen de un silo cilindrico de 20 m de altura si el radio aumenta de 3 m a 3.4 m.

13. Suponer que la Tierra es una esfera de 4000 millas de radio, y suponer una cuerda atada alrededor del Ecuador de la Tierra. Se corta la cuerda, y se agregan seis pies adicionales de cuerda. a) Si el círculo de cuerda así alargado

se levanta a una altura uniforme sobre el Ecuador, alrededor de la Tierra, calcular a qué altura aproximada estará la cuerda sobre la superficie de la Tierra.

b) Analizar la exactitud del resultado de la parte a).

14. Una pelota tiene un radio de 4 m y el volumen de otra pelota es 1 m3 mayor que el volumen de la primera. Calcular


15.

aproximadamente la diferencia en las Breas de las superficies de las dos pelotas. (El volumen V y el área de la superficie A de una pelota de radio r están dados por v = ( $ ) m 3 y A = 47ir2, respectivamente.) Se inscribe un rectángulo en un semi- círculo de S m de radio. Calcular el incremento en el área del rectángulo si la longitud de la base (sobre el diámetro) se incrementa de 6 m a 6 im. [Suye- r c w m Sean A el área y x la longitud de la base. A’ se expresa como una función de x y 4 , 4 ’ = 2A . dA.1

Algunas wcc~.s l o s científicos se interesan en el porcentajede error on la medicidn de magnitudes numt;riccls. Q. Si el error en el ctílculo dc Q cs h. rntoncrs 6.1 porcentaje de error 4 s

IyAl. L o s ejjurcicios 16 u 19 se refieren al cúlculo crproximntlo del porcentuje de error utilizando dIfiwnciales.

16. Para una función derivable 1; sea Q = f’(xl) # O. Suponer que Q se calcula (midiendo .x2)) y calculando después . f ’ ( ~ I 1 = Q. a) Si se comete un error pequeño A.x

al medir .xlr mostrar que el porcentaje de error aproximado resultante en el valor calculado para Q es IlO0f”(.u,)As~f’(u1)1.

b) Si se comete un error pequeño de k por ciento de .xl al medir x,, mostrar que el porcentaje de error aproximado resultante en el valor calculado de Q es

Ikxlf’(xl)lf(xl)I.

17. El radio de una esfera es de 2 m más o menos 0.04 m. Calcular aproximadamente el porcentaje de error máximo en el cálculo del volumen de la esfera a partir de dicha medida del radio. (VoIomen de la esfera I/ = ($)zr3.)

18. Un lado de un triángulo equilátero mide 8 m con un error máximo de 3 por ciento. Calcular aproximadamente el porcentaje de error máximo al calcular el área del triángulo a partir de la longitud del lado medido.

19. Si se desea calcular el área de un círculo con un error máximo del 1 por ciento midiendo su radio, estimar el porcentaje permisible de error que puede cometerse al medir el radio.

20. Un avión que vuela de noche sobre el océano se dirige directamente hacia un punto A de la costa, donde se ha insta- lado un faro de luz muy fuerte. La visi- bilidad es excelente y el avión vuela de modo que los ojos del piloto están a 264 pies sobre el nivel del océano. Si se supone que el radio de la Tierra es de 4000 millas, estimar la distancia del faro al avión cuando la luz se hace visible al piloto, por medio de diferenciales. [Sugerencia. Si x es la distancia del faro al piloto e y es la distancia de los ojos del piloto al centro de la Tierra, entonces

x* = y * - (4000)2. (Dibujar la figura.)

Se espera que un intento por estimar x = ; ~ ~ ! ? ( 4 o o 0 ) 2 utilizando una diferencial para y en las vecindades de 4000 se preste a dificultades. Lo más aconsejable es calcular y’ utilizando una diferencial, restar (4OOO)’. y finalmente sacar la raíz cuadrada, tal vez utilizando otra diferencial (ver ejercicio 9) si el número no es u n cuadrado perfecto.]

21. Seaf(x) = .Y’ - 2x. Hallar I: como fun- ción de Ax y demostrar directamente que

lím E = O. AX+(,

(Ver ejemplo 4.)

22. Repetir el ejercicio 21 para la función

.f(x) = 11x2.

80 CALCULO CON GEOMETR~A ANALÍTICA

Ejercicios para resolver con calculadora

23. Si f'(x) = xx, entonces f(2) = 4. Utilizar dianes, .f(2n) = 2n. lltilizar diferenciales diferenciales para hallar el valor aproxi- para hallar el valor aproximado de Y mado de x tal quef(x) = 4.15. tal que f i x ) = 6.3. ( n % 3.1415927.)

24. Si f ( x ) = xcos ', entonces, utilizando ra-

3.3. LA REGLA DE LA CADENA

Considérese el problema siguiente.

3.3.1. Fórmula de la regla de la cadena

Evidentemente, Pepe corre 2 . 3 = 6 veces mis ripido que Juan. Recukrdesc que una interpretación de tIy/rlx es la de ruzcin de c,urnhio t l r J. con rc~.sl;ecto U .y.

Si se abusa de la notación de Leibniz, la respuesta al problema relativo a Pepe, María y Juan puede expresarse por

Para dar un paso hacia matemitica m i s rigurosa, se suponc J. = /'(-x) y x = <I ( ( ) , de modo que y aparece como una función compuesta de I , es decir,

Func,ionr.s cornpurstus

Esta función compuesta se define para todo f en el dominio de g tal que g(t) esté en el dominio de f . * .

Sea .x = q ( t ) derivable en t l y sea J = , / ( - Y ) derivable en .x1 = q ( r l ) . La analogía entre el enunciado siguiente y el problema anterior debe ser evidente.

* La notación / g se utiliza a heces para la función compuesta. así que ( I g)( Y J : /(;I( Y))

DERIVACIóN Y DIFERENCIALES 8 1

Fórmula de Ea regla de la cadena

Una vez más, es claro que y debe crecer 2 . 3 = 6 veces más rápido que t en tl. Esto se expresa con la notación de Leibniz

d y d y d x d t d x d t ' " "._

No se pretende haber demostrado (l), que es la regla de la cadena. Más adelante se estudiará un argumento más riguroso. No obstante, el tener una buena intuición del concepto implica un gran avance en su comprensión total.

La regla de la cadena ilustra las ventajas de la notación de Leibniz para recordar fórmulas. Se puede recordar (1) suponiendo que ccdx arriba y abajo se cancelan)), pero se insiste en que lo anterior no debe considerarse como demos- tración formal.

Ejemplo 1. Sean y = x' - x y x = t 3 . Hallar dy/dt para t = 2.

SOLUCION. Claramente t = 2 da x = 2 3 = 8 e y =: 8' - 8 = 56. Si se aplica la regla de la cadena, se tiene

- dY - dY d x dt d x d t

- _. - - - ( 2 ~ - 1)(3t2).

Cuando t = 2 y x = 8, se obtiene

dy I = (15) (12) = 180. dt f = 2

Como alternativa, el problema puede resolverse expresando y directamente como función de f y derivando, sin aplicar la regla de la cadena. A partir de y = x' - x y x = t 3 se obtiene y = t h - t 3 . Luego dy/dt = 6t5 - 3t2, así rly/dt(,=, =

6 . 32 - 3 . 4 = 192 - 12 = 180. 1 1 Ejemplo 2. Si la longitud de la arista de un cubo crece a razón de 4 cm/seg, hallar la razón de cambio del volumen por segundo cuando la longitud de la arista es de 2 cm.

SOLUCION. Si la longitud de una arista es x, entonces V = x3. Se pide hallar la razón de cambio de V con respecto u1 tiempo, o sea, dV1dt. Ahora

d V d V d x d x d t d x d t d t " ".-= (3x2) -

según la regla de la cadena. Se sabe que dxldt = 4 cm/seg. Luego, para x = 2 se tiene

d V dt " -- 12 4 = 48 cm3/seg. 1 1

Ejemplo 3. Hallar la derivada de la función (4x3 + 7 ~ ' ) ' ~ .


S O L ~ C I O N . Es posible elevar el polinomio 4.x3 + 7x2 a la décima potencia y obtener una nueva expresión, pero esto requiere mucho trabajo. Sea y = (4x3 + 7 ~ ' ) ' ' y sea u = 4u3 + 7x2. Entonces J~ = u'', por la regla de la cadena en (1)

" - -..- dy d' __ - l O ~ " ( 1 2 ~ ~ + 14x1 =-. lO(4x' + 7x2)'(12x2 + 1 4 ~ ) . dx du dx

Y el problema queda resuelto.

Por ahora se cuenta con una explicación intuitiva de la regla de la cadena ( l ) , basada en las razones de cambio. Un argumento más riguroso se logrará por la aplicación del teorema 3.2 de la última sección. Sea y =,f ' (x) derivable en .x1 y x = u([) en t donde g ( t l ) = .x1. Entonces, un incremento At de r genera un incremento correspondiente Ax en x = y(t), y a su turno Ax genera un incremento AJ, en !' = f'(x). Por aplicacicin del teorema 3.2. se sabe que

Ay = f'(x,) * Ax + E Ax donde lím E = O. (2) A X - O

Dividendo (2) por At

AY Ax Ax - = f'(x,) * t + E - A t A t '

Ahora bien, .Y = q ( r ) es continua en t I , puesto que 61 es derivable en dicho punto, así que cuando Al tiende a cero, A.Y también tiende a cero y, en consecuencia, c tiende a cero. Por tanto, a partir de ( 3 ) se obtiene

dy -.- dy dx dt dx dt'

DERIVACl6N Y DIFERENCIALES 83

3.3.2. Derivada de una función elevada a una potencia

Se sabe que si n es cualquier entero, entonces

Si u su vez es una función de x, entonces al aplicar la regla de la cadena (4) se obtiene

d(u") - d(u") du du __ - - . - = . - dx ' dx dl: dx (6)

La fórmula (6) se usa con mucha frecuencia; por tanto, conviene memorizarla.

Ejemplo 4. Si y = (x3 - 2 ~ ) ~ , entonces, si se hace u = x 3 - 2x en (6),

En el resumen se ofrece u n enunciado verbal de la fórmula (6), que debe agregarse a la lista de fórmulas que deben aprenderse de memoria por su uso reiterado.

La fórmula (6) puede hacerse extensiva a exponentes racionales ply, donde p y q son enteros y q # O. Por aplicación de (6 ) para exponentes enteros, se tiene

Y

Puesto que (up!4)4 = u p , a partir de (7) y (8) se obtiene

Finalmente, se obtiene

La fórmula (9) es precisamente el resultado que se obtendri al sustituir n = p / q en (6).

21. y := J 2 x + 1 - __ (4xL - 3x1'

2 1 + S 33.

v.xz + 4 22. y = ___

3x - 8 (2x3 + 34.

3.4. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR 1' R.1OVIMIENTO

Si J. = /( .Y) es una función derivablc, entonces ,/"(.u) es una funcibn de x, la funcidrz derivada .f',cuya derivada también se puede hallar. La notaci6n correspondiente sera

3.4.1. Derivadas de orden superior

La notación de Leibniz d 2 y ~ r l z 2 se lee c c s c y l r n d u d c v i c d r 1 rlc J' con wspccto LI m . TambiGn puede hallarse la derivada de ,/"'(.Y), que será la tercera derivada de j ' ( .x). La tabla 3.1 es un resumen de las diversas notaciones dadas para las derivadas.

Ejemplo 1. Si J? == x4 - 3.u3 + 7s' - 11.u + 5 , entonces,

- dy =4x' - 9x2 + 14x - 11, " d2Y - 12x2 - 18x + 14 dx d x Z

d 'y dx-'

d4y - 24, dx4

d'y d"y " - 2 4 ~ - 18, " " dX? - O' dx" = 0. I 1


TABLA 3.1. Notaciones para derivadas de y = f(x)

Derivada Notación / ' Notación y' Notación de Leibniz Notación D

n-ésima f ' " ' ( x ) y ( " ' d " yldx "f

3.4.2. Movimientos en la recta y en el plano

E¡ signo (ir It1 trlocitiud Se ha visto que si S es la posición de un móvil que se desplaza en línea recta en el tiempo r , entonces dsídt es la velocidad c del móvil en el tiempo t . Si rls/rlr > O, entonces un incremento positivo pequeño At de t genera un incremento positivo As en S; por tanto, el móvil se desplaza en la dirección positiva S ,

mientras que si dsldt < O, el incremento As es negativo y, por tanto, el móvil se desplaza en la dirección negativa s .

Puesto que ris,'rlt = t, se tiene d's - dv d t 2 d t

- razór, de cambio de la velocidad con respecto al tiempo.

El signo d e Ir1 acelet-ución

Esta derivada (ltS:dr de la velocidad es la aceleración del móvil. Si dcjd t > O, entonces un incremento positivo pequeño Ar de c genera un incremento positivo A t en r , de modo que la velocidad aumenta, mientras que si dclrlt < O, el incremento ArT es negativo y la velocidad disminuye. La magnitud de la velocidad (sin tener en cuenta el signo) se llama rapidez, o sea que

rapider = /(. l . Por ejemplo, si t / .s /dt < O, entonces el m6vil se desplaza en la dirección negativa s. Si también d2.s /d t ' > O, entonces la velocidad aumenta, tal vez de -2.1 m/seg a - 1.9 m/seg si I aumenta en una cantidad pequeña At de manera que la rapidez disn~inuye de 2.1 m;seg a 1.Y m/seg. El móvil se desplaza cada vez mlts despacio en la direccibn negativa s. ya que la aceleración es positiva en la direccibn positiva s .

Ejemplo 2. Sea .S la posicibn de un mhvil en una linea recta. para el tiempo t 3 O dada por

1

DERlVAClON Y DIFERENCIALES 87

Hallar la velocidad y la aceleración cuando t = 3.

SOLUCION. Se tiene S = 4 - ( t + I)" , así

Así

La velocidad positiva indica que el móvil se desplaza en la dirección positiva S

cuando t = 3, y la aceleración negativa, con signo contrario al de la velocidad, indica que el m6vil se mueve mris despacio en t = 3; es decir, que su rapidez disminuye.

Ecuaciones paramétricas Considérese ahora un móvil que se desplaza en el plano x, y , y tal vez en la dirección de las flechas de la curva que se muestra en la fig. 3 .3 . La curva no tiene que ser la gráfica de una función. La coordenada x de la posición del móvil en el tiempo t viene dada por alguna función x = h(t) , mientras que la coordenada y de la posición es y = k(t) . Las ecuaciones

x = h ( t ) .

Y = k( t ) ,

son ecuaciones pcrrurndricas de la curva. y t es el parhmetro tiempo. La ecuación x = h(t) describe el movimiento de la proyeccicin de x sobre el eje x. Esta proyección permanece exactamente debajo (o encima) del móvil. De manera anriloga, ~3 = k ( t ) da el movimiento de la proJwcicin J' sobre el eje J., y esta proyección permanece directamente opuesta al móvil. Entonces tlx/dt y d2r/dtZ son, respectivamente, la velocidad y la aceleración de la proyección o las. cotnponrntrs en x de la celocidud J' la acrlrracicin del móvil. En forma aniloga, ~ l ~ ~ , ~ d t y r12y/dt2 son / u s c.omponrntc~s en y de l u rdocaidud y la ucclrracidn.

Figura 3.3

88 CALCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA

Si x = h( t ) e y = k ( t ) son funcianes derivables de t , y si una S rción de la curva desde el tiempo t - h hasta el tiempo t + h para alguna h > O es la grifica de una función derivab!e de S, entonces se obtiene por aplicación de la regla de la cadena

dy dx dt d x d t ' dy - __

Pendiente tw ,forma purumitricu

Por tanto, donde dsldt # O, la pendiente de la curva viene dada por

Una vez mAs. la notación conveniente de Lcibni7 facilita recordar la fhrmula.

En todo instante t , el móvil se desplaza en la direcci6n tangente a la curva. Es decir, si se pudiese abandonar el movimiento curvilineo en un instante dado y seguir con la misma dirección y la misma rapidez, entonces el móvil se desplazaria siguiendo una recta tangente a la curva. Ahora, s i el móvil se desplaza a lo largo de la recta tangente 4 mutltirtzr Irr rtllocillud que tenía en el instante t , entonces en una unidad de tiempo recorrer5 una distancia ltls'rltl en la dirección .Y y una distancia Idl. t i l / en la dirección J..

Vrlocidarl CI: j o r m u purumc;rric,u

Como se muestra en la fig. 3.4, el desplazamiento a l o largo de la hipotenusa, tangente a la curva, en una unidad de tiempo vendría dado por (d.x/tlt)' + (ri~,/&F-. Por tanto, la velocidad del móvil en el tiempo r es

,-~ -~~~ ~

Velocidad = dm), /"_________d

~clr idrl Figura 3.4

Ejemplo 3. La posición de un mó\il en el plano en el tiempo t viene dada por

x = r 3 - 3t,

y = 2t2 + It. Para aclarar la discusión se tiene que, en cualquier instante t ,

componente x de la velocidad = - = 3t2 - 3 . d x

dt


cornponenee y de la velocidad = -- := 4t + 7 , dY dt

componente x de la aceleración = - = 6t , d2x dt2

componente y de la aceleración = 7 = 4, d2Y dt2

Velocidad = @/dt)' + (dy/dt)' = a3t2 - 3)' + (4t + 7)2,

dy dyldt 4t + 7 Pendiente de la curva = - = - = -__ dx dxldt 3t' - 3 ' / I

Ejemplo 4. Hallar la ecuación de la recta normal a la curva cuyas ecuaciones paramttricas son

x = t2 + 1, y = 2t3 - 6t,

en el punto donde t = 2.

S O L U C I ~ N . Para hallar la ecuación de una recta se necesita conocer un punto sobre la recta y la pendiente.

PUNTO: Cuando t = 2, entonces x = 5 e y = 4, así el punto es (5,4). PENDIENTE: La pendiente de la recta tangente es

d y 1 - dYidt I - 6t2 - 6 I - 18 9 dx ,=2 dxldt r = 2 2t , = 2 4 2 '

- -

Por tanto, la pendiente de la recta normal es -;. ECUAC'I6N: y - 4 = -$(X - 5) 0 91' + 2x = 46. 11

RESUMEN

1 . Si y =f'(x), entonces lu segunda devituda de y con respecto u x es

d2y - d(dyldx)

dx2 dx " = f"(x) = y" = D'f,

J' lu n-ksirnu drricarlu de y con respecto a x es

EJERCICIOS

9. Si la posicth .S de UII cuerpo en un eje S

viene dada por S = 3t3 - 7r, en un tiempo t. hallar la velocidad y la aceleracldn del c u e r p cuando t = 1.

10. Si la posicibn S en el eje S de u n cuerpo en el tiempo t viene dada por

2 o S = 10"

t 2 + 1 para t 2 O

a) Ilcmostrar que, para todo tiempo t 2 O. el cuerpo se ha desplaLado menos de 20 unidades de distancia a partir del tiempo t = O.

función de t . b) Hallar la velocidad del cuerpo conlo

c ) Interpretar físicamente el hecho de que l a velocidad es positiva para todo t > O.

11. U n cuerpo se lanza hacia arriba desde la superficie de la Ticrra en cl tiempo r = O. Suponer que la altura .\ alcanlada en metros luego de I segundos es .S =

~ 16r' + 48r. a) Hallar la velocidad del cuerpo en

el tiempo t . b) Hallar la aceleraci6n del cuerpo en

el tiempo l .

c ) Hallar la \elocidad inicial r o con que el cuerpo fue lanzado hacia arriba.

d ) ;,En cuhnto tiempo llega el cuerpo a la altura mixima? [ S ~ q t w w i ~ ~ . ;,Cual es la velocidad cuando se alcanza la altura mhxima'?]

e) Hallar la altura maxima alcanzada por el cuerpo.

0 Según la interpretación física del problema, ;,en qué intervalo es válida la ecuación S = - 16t' + 481?

12. Sea .x = h(r) la posición en el tiempo

D E K I V A C I ~ N Y DIFERENCIALES 91

de un móvil sobre el eje .Y (la dirección positiva hacia la derecha, como de costumbre). Llene los espacios en blanco con la palabra adecuada:

derecha, izquierda, creciente, decreciente.

Si t / . d r / r > O, entonces el móvil se desplaza hacia la ~.~ ~~~~~ cuando r crece. Si d 2 . y / d r 2 < O. entonces la velocidad es ~ . ~~~ . . .- cuando r crece. si d 2 . ~ , ’ ( / t 2 < O y t / r d r O. enlonces la rapidez del m h v i l es ~~ ~-~~ ~~~

cuando I crece. si rP.u..’t/r2 < 0 y hidr < O, entonces la velocidad del móvil es ~ ~ ~ ~ ~

y el móvil se desplaza a la ~~~

cuanto r crece. Si r / * u / d t 2 > 0 y r / v i t / r < O, entonces la velocidad del móvil es - - ~ ~~~~ .

y el móvil se desplaza a la cuando r crece. si d2x / r [ t2 > 0 y I / Y ; d r > O. entonces la velocidad del móvil es ~~ ~ ~~

y el móvil se desplaza a la _ _ ~ ~ _ cuando r crece.

E n l o s rjc,rcicios 13 ¡I 15, hu / /m / o ~ ~ h ‘ i d r ¿ t /

d r / nlciril y / a pendirrrro r l r lu ( ‘UI’LYJ en o / fiempo indicurlo prrrtr r / morirnicwro pctramt;rric,o dar lo .

13. x = t3, y = t2 en el tiempo r 14. x = Ut’ ’ , y = ( t + l ) / ( r - 1) en t = 2 15. x = fix, y = ( t z - l).> en t = 1

16. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva x = r 2 - 3r. y = J r en el punto donde r = 4.

17. Hallar I s ecuación de la recta normal a la curva u = ( t 2 - 3 ) ’ , y=(r2+3) / ( r -1) , donde r := 2.

18. Sean .Y == e = t 3 , Hallar dy/dx y d‘~.;t/u’ en términos de f . [SugrrrncYct.

d2y - d(dy/dx) [d(dy/dx)l/dt 1 dx ’ dx dxjdt .

19. Sea Y=/’, y = t 3 - 2 r 2 + 5 . Hallar t /y/dx y d2y/t/x2 cuando r = I . (Ver sugerencia del ejercicio anterior.)

Aproximación numérica def”(x!) y,f“‘(.y1)

En la sección 3 del capítulo 2 se vio que f ’ (x1) puede aproximarse numérica- mente utilizando

para Ax pequeño. Ahora se darhn fórmulas para la aproximación numérica , f “ ( x l ) y .f””(xl). Se escoge primero un A x pequeño y se calcula:

Es posible demostrar que

f"(x,) = " - - y , - 1 6 y 2 " 3 o y , + 16y, - y s

12(AX)? Y

x I - 7, . AX. x i - AX. X , . x 1 + AX, Y X I + 2 . Ax.

I " ( X I ) = - Y 2 + Ya 2 ' Ax

con esta notaci6n. Puede mostrarse que ksta es. efecti\amcnte, la derivada para Y = s 1 del polinomio de scgunclo grado quc pasa por los puntos dontie .Y = S I - A.Y. .YI y .Y, + A.Y.

Ejemplo S. Aplicar (5) como A.Y = 1 para aproximar f " ( 3 ) s i /'(.Y) = 1 , .Y. Por supuesto, A.Y = 1 es grande. pero facilita l o s cilculos para este ejemplo q u e se resuelve sin calculadora.

SOL^ (10%. Sean s l = 3 y A\- = 1. asi

X I - 2 . A x = 1. X I - Ax = 2. X , -+ 2 . AX = 5 ,

y ) = 1. Y 2 = 1, Y 3 = :. Y? = ;> y 5 = :.

La aproximación ( 5 ) se convierte en

f"(3) -1 + 16. ; - 3 0 . i + 16.4 - 4 -1 + 8 - 10 + 4 - 0.2

12(1)2 - -

12

- " 2 0.067. 12

Claramente, si = .Y l . entonces J ' = - I . .Y - ' e J.'' = 2.+. a s í f " ( 3 ) = 2 j3 = 2/27 2 0.074. El error cometido al aproximar fue 0.007.

I I E R I V A C I ~ N Y DIFERENCIALES 93


indicado, trtilizancio las uproximac'ionrs ( 5 ) J (6). Esccyrr A.x lihrrmmte. 22. f(s) = .xx para I = 1.5

20. /(x) = v' i ( -~3 + ?.x2) para Y = I . 23. f ( x ) = xSCn para x = 2 (radianes).

3.5. DERIVACION IMPLlClTA

La gráfica de una función ,f continua de una variable puede considerarse como una curva en el plano. La curva tiene una recta tangente en todos los puntos donde f'es derivable.

Es apenas natural considerar el círculo x2 + y* == 25 de la fig. 3.5 como una curva plana, pero esta curva no es la gráfica de ninguna función, ya que puntos distintos en el círculo pueden tener la misma coordenada x . Por ejemplo, tanto (3,4) como (3, -4) son puntos del círculo. No obstante, si la atención se restringe a una parte pequeña del círculo que contiene (3,4) y se extiende por una tangente corta a ambos lados de (3,4), la curva de trazo grueso de la fig. 3.5 será la gráfica de una función. En realidad, será parte de la gráfica de la función dada por y = f ( x ) = Jm. Se puede, si así se desea, hallar la derivada f'(3) de tal función, es decir, la pendiente de la recta tangente al círculo en el punto (3,4). Claramente, se tiene

1 "x -3 3 f ' ( x ) = - (25 - x ~ ) " ' ~ ( - ~ x ) = ___ asi f'(3) = = - -.

2 4/25 - x2' 416 4

Función implícita

El círculo de la fig. 3.5 es un ejemplo del tema de esta sección. Sea una curva plana dada por una ecuación en x, p. Puede que la curva no sea la gráfica de una

Figura 3.5

función, pero una porción de la curva que se extiende a ambos lados de un punto (xs, y ' ) puede ser la gráfica de una función, tal como se ilustra en la fig. 3.6. Para este caso, la ecuación en x, y define y implícitamente como una función de x en la vecindad de (xs ,yl) . Por otra parte, una ecuación y = . f ( x ) define


en tanto quc

Sin embargo. si se supone que I ' es t i definida implícitamente como una función derivable de x en la vecindad de un punto (s. J,) de la curva, se puede aplicar la regla de la cadena para hallar d>./t/x sin despe.jar J.. Esta tkcnica FZ conoce como tlcuirucicin implr'cittr y se ilustra mejor con UT: ejemplo.

Ejemplo I . Hallar ri~,;t/s si J,' + 3y2 - 2s' =- -4.

S O L U < T ~ . \ ~ . Si se considera y como funcihn de .Y y se aplica la regl,: d r f a cadc:n;+, se tiene

Drrimción implícita

Si se derivan ambos miembros de y' i- 3y2 - 2x2 = 4 ((con respecto a x)), se obtiene

5 y 4 - dY + 6 y - dY -- 4~ = O. dx dx


Se despeja dyldx para obtener

- dy - - 4x dx 5y4 + 6y'

Esta fórmula da dy/dx para todo punto (x, y ) de la curva donde el denominador 5y4 + 6y no sea cero. Por ejemplo, se ve fácilmente que (2, 1) satisface y' + 3y2 - 2x2 = 4 y, por tanto, está en la curva. Entonces

8 I1

Ejemplo 2. Si x3 + 2x2y3 + 3y4 = 6, entonces, por derivación implícita se obtiene

3 2 + 3y2- + 4xy3 + 12y3 - = o. dY dY dx dx

Por tanto,

(6x2y2 + 12y3)- = dx dy -(3x2 + 4xy3)

Y " dY 3x2 + 4xy3 "

dx 6x2y2 + 12y3' II

Ejemplo 3. Resolver el problema del círculo utilizando derivación implícita, es decir, hallar la pendiente de la recta tangente a x* + y 2 = 25 en (3,4).

S O L U C I ~ N . Derivando x2 + y 2 = 25 implícitamente,

2x + 2y- = o, dY dx

así

dy - 2 ~ X 3

dx 2y Y " - Y II

Como se ilustró en los ejemplos anteriores, cuando se halla dy/dx por derivación implícita de una ecuaci6n en x, y, se obtiene un cociente. El denominador puede volverse cero en ciertos puntos (x, ) S ) de la curva. Puede demostrarse que s i esta anomalía no ocurre en (x, y ) y la curva se comporta ctbien)}, entonces y se define implícitamente como una función de x en la vecindad de (x, y) y dJt/dx se halla por derivación implícita.

Ejemplo 4. Curcas ortoyonales. Demostrar que la curva y - x2 = O es ortogonal a la curva x2 + 2 y 2 = 3 en el punto de intersección (1, 1). (Las curvas son ortogonales cuando sus rectas tangentes son perpendiculares.)

DERIVACIdN Y DIFERENCIALES 97

EJERCICIOS

En los ejercicios I a 3, hallar dy/dx paru 12. 3x2y3 + 4xy2 = 6 + 6; (1, 1) x = xI cuundo y se define implícitamente como una función de x en la vecindad de (x,, y,) por medio de a ) despejar y explícitamente como 14. Si .x2 - y 2 = ’7, hallar J2y/dxL en el una ,función de x J’ derivar y b ) derivar im- punto (4, 3). plicitamente.

13. 4xy4 = 2xzy3 - y ’ / 3 - 5; ( -1 , l )

15. Hallar las ecuaciones de las rectas tangen-

1. X’ + y’ = 25 y ( x l , y ] ) = (-3,4)

2. X - y’ = 3 y ( X , , y i ) = (7,2)

tes y normal a la curva 1.’ = x 3 - 2x2y+ I en el punto (2, 1).

16. Hallar la ecuación de la recta tangente a 3. y2 - 2xy + 3x2 = 1 y (x,, y ] ) = la curva J“ - 3x2 = 1 en el punto ( -- I , 2).

(0, - 1) 17. Demostrar que las curvas 2x2 + y 2 = 24 En los ejercicios 4 a 13 hallar dyid.x en el e 1.’ = 8.x son ortogonales en el punto punto dudo por rleriwción implícita. de intersección (2,4).

4. X * - y2 = 16; (5, -3) 18. Demostrar que para valores cualesquiera de c # O y k , las curvas x 2 + 2 y 2 = c

5. x3 + y3 = ’7; (--l,2) e y = k.x2 son ortogonales en todos los

6. xy = 12; (2,6) puntos de intersección.

7. XY’ = 12; (3 , -2) 19. Demostrar que para todos los valores

8. xyZ - 3xZy + 4 = O ; (-1. 1) y2 - x’ = c y xy = k son ortogonales en de c y de k diferentes de cero, las curvas

todos los puntos de interseccibn. 9. 2xzy2 - 3xy + 1 = o: (1.1)

10. (3x + 2y)”*(x - y) = 8; (4,2)

11. d x + y(x - 2y)2 = 2 ; ( 3 . 1 ) tangentes verticales.

20. Hallar todos los puntos de la curva x 2 y - .xyz = 16, donde la curva tiene

7-

Ejercicios de repaso del capítulo 3


1. Hallar c/J.;¿l.y si J’ = ( x 2 - 3x)[4.x3 .- 2.x 7. Hallar r l ~ ~ d x y cl’y;t/.~’ S I = (Is” - 7.x)’. + 1’7). N o es necesario simplificar la No es necesario simplificar la respuesta. respucsta. 8. La posici6n (u, J,) de un mhvil en el plano

2. Hallar r/~!t/.x si J. = (Xx’ - 2x)1(4u3 + 3). en cl tiempo t viene dada por las ecuacio-

3. Hallar d ~ , si J. = 3u’ - hx + 7. nes paramétricas

4. Calcular (2.05)7 aproximadamente u t i l i - zando diferenciales.

x = 3t2 - 2t,

v = 1’ + 2.

5. Sea x = 3.2 - 6s y sea Y = q ( r ) una funci6n derivable, tal que y(14) = - 2 y g’(14) = 8. Hallar ¿/) , , t /r cuando r = 14.

a ) Hallar la componente .Y de 121 veloci-

b) Hallar la componente de la acele- dad para t = I .

6. Hallar d ~ . l r l x si y = v i x 2 - I7.u. ración para t = 1 .


__ c) Hallar la velocidad del mhvil para son Y = 31' - 1Or , j . = t r + 1 cuando

t = 1. I = 3. 9. Hallar las ecuaciones de la recta tangente

a la curva cuyas ecuaciones paramétricas IO. Hallar t /~ , ; t /s si .x2), - 4s' = 17.


I .

2.

3.

4.

S.

6.

7.

Dado que existe una función In .x tal que d(ln x)idu = l / z , hallar dx si = (u' + 3)(ln x).

Hallar dy!dx si

?' = ( x + 4)l(u' - 17).

El Brea .4 de un círculo de radio I' viene dada por A = n r 2 . Un círculo de radio I tiene un Brea n 2 3.14. Utilizar diferenciales para calcular aproximadamente el radio de u n circulo dc Brea 3.

Sea (/.x = Ax. Dibujar la grifica de una funcihn derivable en .xl y anotar en la grifica el significado geomi-!rico de a ) AJ- b) (/J. ct IAI- - (/y/ para Y = x I .

Hallar (1.x si

y = 1/Yx7 - 3x + 2. r r " Sea r = ~ x - - 3.x 1 x = ( t + 2 ) ( t -- 1 ) .

Hallar r/j.:t/t cuando t = 2.

Hallar t l " ~ , d x ' si = I 3x I 4. r-"" ~-

8. La posición (s.),) en el tiempo r de un móvil en el plano viene dada por las ecuaciones paramktrlcas

x = 41' - ; f ? i- 21 - 4,

y = t 7 - 9t'.

a) Hallar todos los tiempos I cuando l a direccihn del mokimiento del mhv i l es vertical.

b) Hallar todos los tiempos I cuando la direccicin del movimiento del m h i l es horizontal.

c) Hallar la velocidad del m b v i l cuando I = 4.

9. Hallar la ecuacihn de la recta normal a la curva cuyas ecuaciones param2tricas so 11


4. Generalizar el resultado del ejercicio 3. S. Hallar las ecuaciones de las rectas que

pasan por (3, IO) J son tangentes a 121

gr-hfica Lic./ ( X ) = (.x2 2 ) + 4.

6. Sea f derivable en .Y = u. a ) Hallar '4. B y C tales que cl polinomio

(paribola) p(u) = A.x2 + Bx + C pase por tres puntos de la grifica = t (x) cuyas coordenadas .x son (1 - AI. (I


y a + Ax. (Para Ax pequeño, la función cuadrática p(x) se aproxima af (x) en la vecindad de Q.)

b) Calcular $(a) para Ax) de la parte (a). ¿Qué expresión se obtiene?

7. Sean f y g funciones derivables de x, y sea y =f(x)/g(x). Deducir la fórmula para la derivada del cociente f(x)/g(x) utilizando hnicamente derivación implí- cita y la regla de derivación de preductos.

8. En el siguiente capitulo se verá que existen funciones sen x y cos x tales que

d (sen x ) d(cos x ) ”

dx - y dx = -sen x.

Hallar las derivadas de las siguientes funciones.

a) sen 2x b) cos 4x” c) sen (cos x) d) cos (sen 3x)

9.

LO.

La regla de la cadena postula que bajo ciertas condiciones.

Hallar una fórmula semejante para

d(f(g(h(t)))) 1 dt 1=11

para funciones convenientesf, g y h.

Seanfy g funciones derivables que satisfacen

g’(a) f O, d a ) = b,

Y f(g(x)) = x.

Demostrar quef’(6) = l/g‘(u).

4 Las funciones trigonométricas

El lector puede tener conocimientos sobre medidas en radianes, las seis funciones trigonomktricas fundamentales y sus grhficas y las identidades trigonométricas bhsicas, en cuyo caso puede omitir las dos primeras secciones de este capitulo.

4.1. REPASO DE TRIGONOMETRIA I : EVALUACION E IDENTIDADES

4.1.1. Las seis funciones

En la fig. 4.1 se muestra el círculo u 2 + 1'' = 1. Es importante advertir que el radio del círculo es 1. El valor de las funciones sen .Y y cos .Y puede hallarse como sigue. Si Y 3 O, y con punto de partida ( I . O) del círculo se desplaza en tlirrtririv conrrrrrirr (1 l a dr Ius n l ~ l r z c c i 1 l t r . s del rr lo j a lo largo del círculo hasta que se haya recorrido una distancia .Y en el arco. AI detenerse en algún punto (u, r ) en el circulo. según se muestra en la fig. 4.1, se tendril

Las ecs. ( I ) son también vdidas si .Y > O. excepto que la distancia I s 1 se recorre CII Icr r l i r c w i c i n (/c. l t r s n ~ a n c c i l l r l s d e l w/oj alrededor del círculo desde ( I , O) hasta el punto (u . 1.).

Figura 4.1

LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 101

Ejemplo 1. Si x = O, el punto de partida es (1, O), así que u = 1 y u = O, sen O = O y cos O = 1. Por otra parte, si x = -nj2? el desplazamiento es en el sentido de las manecillas del reloj, la cuarta parte del trayecto alrededor del círculo (ya que la circunferencia del círculo es 27r) y se llega a (u, u) = (O, - 1). Luego, sen ( - 4 2 ) = - 1 y cos ( - nj2) = O. / I Medida en radianes

La longitud del arco x que se muestra en la fig. 4.1 es la nledidu en rudiunes del ángulo central O, que también aparece en la figura. La medida en radianes del ángulo central 0 de un círculo es

longitud del arco interceptado Medida en radianes de 9 = _ _ _ _ - ~ _ _ _ _ _ ~ ~ - '

radio

Puesto que en este caso el radio es 1, la medida en radianes de 6 viene dada por la longitud x del arco. Por ejemplo, un ángulo de 360' mide 271 radianes, puesto que la longitud total del círculo es 2n. Se ve fiicilmente que

Medida en radianes de O = ~ (medida en grados de O), ( 1;0) porque 180" corresponden a 71 radianes.

del triángulo rectángulo que se muestra y A partir de la fig. 4.2 se ve que si O < O < 90", entonces O es u n 6ngulo agudo

L' longitud del cateto opuesto 1 longitud de la hipotenusa

sen6 = c = - =

mientras que

u longitud del cateto adyacente C O S O =: u = ~

= _ _ _ ~ _ _ " _ _ _ . 1 longitud de la hipotenusa

I


Estas definiciones pudieron aprenderse en el bachillerato. La ventaja de las definiciones (1) es que puede hallarse fácilmente sen x si x > 90". Por ejemplo, sen ( 3 ~ / 2 ) = sen (270") = - 1. puesto que la longitud del arco de 3 ~ / 2 corresponde al punto (O, - 1 ) del círculo.

Por lo estudiado en geometría, deben recordarse las longitudes de los lados de los triángulos rectángulos que se muestran en la fig. 4.3.

Ejemplo 2. Hallar sen (-Zn;3) y cos ( -2nij) .

sor,ucIólu. Ya que - 2n/3 radianes corresponden a - 120' = "90- - 30", por la fig. 4.4 y el triángulo izquierdo de la fig. 4.3, se observa que

- 7

Figura 4.3

I , \ 7

1

Figura 4.4

-- j. l l

Ejemplo 3. Observando la Fig. 3.4 sc L C que

277 4 1 2 - i 277 1 1 tan (-7) = -~ = v(3, cot \") = "- - r- ,

-- 112 3 tan (--2rr/3) v'3

* L.as funciones t r~gonomét r~cas se d c n o m ~ n a n a b w e s funciones circulares


Al final del texto se incluye una tabla de valores de las funciones trigonométricas de ángulos medidos en grados enteros de O" a 90". Las columnas de la tabla correspondientes a sen x y cos x dan las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo de hipotenusa 1 y que tiene el ángulo dado. Estos datos pueden utilizarse para hallar las funciones de otros ángulos de la misma manera que se usaron los triángulos de la fig. 4.3 en los ejemplos 2 y 3. Una calculadora científica)) de bolsillo permite hallar con rapidez las funciones trigonométricas.

4.1.2. Identidades

Con referencia a las ecs. ( 1 ) y a .la fig. 4.1, se tiene que sen x = u y cos x = u, y u2 + u' = 1. Por tanto,

sen2 x + cos2 x = 1.

[Nótese que sen2 x quiere decir (sen x)'.] Esta es la identidad trigonométrica fundamental. Hay muchas otras, algunas de las cuales se pueden obtener fácilmente. Por ejemplo, si se dividen ambos miembros de sen2 x + cos2 x = 1 por cos2 x, entonces

sen'x cos2x 1 cos2x coszx COS'X -+-=-

O

tan'x + 1 = sec'x.

No se tiene el propósito de suministrar muchos ejercicios sobre identidades. En el resumen se hace una lista de las que se utilizarán más frecuentemente en este texto, y en los ejercicios se pedirá la deducción de algunas de ellas.

RESUMEN

1. Con rejirencia a la f i g . 4.5, se tiene

sen x = u,

cos x = u,

I'

t

- I


2. Alyunus identidades:

sen% + cos'x = 1, (3) tan% + '1 = sec2x, 1 + c o t 5 = csc2x ;

sen(x + y) = senx cos y + cos xseny,

cos(x + y) = cosxcosy - senxseny ;

sen 2x = 2 senx cos x, (8) cos 2x = cos2x - sen2x,

sen(-x) = -sen x, (10) cos (-x) = cos x,

sen x + - = cos x, ( 3 sen(x + T ) = -sen x, (14) COS (X + T ) = -COS X,

sen(x + 2n7r) = sen x, (16) cos(x + 2nn) = cosx,

sen- 2 X = * JT, 1 - cos x (18) COS- = * X c- 1 + cos x

2

Ley dr los senos: - - sene, sen O2 sen O3

a1 a2 a3 , "- "

LO! de los cosmos: a,' = al2 + a22 - 2a,a2 cos e3.

U, Figura 4.6

EJERCICIOS

a 3 a 1. sen-

5 a 3

2. cos- 3. tan- 2 6 15. sen( -5) 16. tan - 17. tan - 5 a 3 a

4 2

4 18. cot 5 a 19. sec - 20. csc - 2357 4. sen- 4a S. sec- 6. tan- 9 a

5 a 3 a 3 4 4 6

7. cos- 8. cot (-F) 9. tan a 7 a 21. Si -n;2 < O < ni2 y sen O= - 113, hallar 6 cos o.


22. Si n/2 < 0 < 3n/2 y tan O=4, hallar sec O.

23. Si O < O < n y cos O = - 115, hallar cot O .

24. Si n < O < 2n y sec 0=3 , hallar tan B.

25. Si ni2 < O < 3x12 y sen O = 1/4, hallar cot B.

26. Si O < 0 < n y cos O = 113, hallar sen 20.

27. Si - n/2 < 0 < ni2 y sen O = - 2,'3, hallar sen 20.

28. Si O < O < 4 2 y tan O= 3, hallar cos 20.

29. Si O < O < 7c/2 y sec O=4, hallar cos 20.

30. Si0 < O < 4 2 y cos O = 1/3, hallar sen 30

31. Con referencia a la fig. 4.1, sea ( u , r) el extremo final del arco correspondiente a x.

a) cuál es el extremo final del arco

b) Utilizar el resultado en a) para veri- correspondiente a - x ?

ficar las relaciones (IO) y ( I 1 ).

32. Con referencia a la fig. 4.1, sea (u. c) el extremo final del arco correspondiente a x. a) iCuál es el extremo final del arco

b) Utilizar el resultado de a) para veri- correspondiente a x + n/2?

ficar las relaciones ( 12) y (1 3).

33. Con referencia a la fig. 4.1, sea ( u , c) el extremo final del arco correspondiente a x.

a) ;,Cuál es el extremo final del arco correspondiente a x - n/2?

b) Utilizar el resultado de a ) para deducir relaciones análogas a ( I 2) y ( 13).

36. tan x + - = -cot x 3 37. sen x - - = -cos x ( 3 38. cos x - - = senx ( 3 39. sec x - - = csc x i 9) 40. COS(X - y ) = cosxcosy +senxseny

41. cos 2x = 2 cos'x - 1 = 1 - 2sen2x

42. t an(x + y) = tan x + tan y 1 - tan x tan y

43. Considerar un triángulo con lados de 5 y I unidades y suponer que el ángulo entre esos dos lados es n/3. Hallar la longitud del otro lado del triángulo. [Sugerencia. Aplicar la ley de los cosenos.]

4.2. REPASO DE TRIGONOMETRIA 11: GRAFiCAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Fácilmente puede verificarse que la gráfica de y = sen x es la que se muestra en la fig. 4.7. Nótese que las intersecciones con el eje x son múltiplos de n.

v

y = sen .Y Figura 4.7


Dada la identidad cos x = sen (x + n/2), la gráfica de cos x se obtiene por traslación de la gráfica de sen S una distancia de 71/2 hacia la izquierda. La gráfica de cos x aparece en la fig. 4.8.

v

I y = cos .I Figura 4.8

4.2.1. Gráficas de las seis funciones

La altura de la gráfica de tan .Y es igual a (sen .x)/(cos x), si cos .Y # 0 para todos sus puntos. La gráfica de tan .Y, que se ilustra en la fig. 4.9, se obtiene a partir de las gráficas de sen x y cos x. Para obtener la grifica de cot x = l/(tan x) de la fig. 4.10. se utilizan los recíprocos de las alturas de tan x. Las figs. 4.1 1 y 4.12 muestran las gráficas de sec S = l/(cos x) y csc x = I/(sen x),

t I I

Y = t a n v



4.2.2. La gráfica de y = a . sen (b(x - c))

Para dibujar la gráfica de y = a . sen(b(x - c)) es necesario estudiar primero el efecto que las constantes individuales a, b y c tendrán sobre la gráfica.

La altura de la gráfica de sen x oscila entre - 1 y 1, es decir, su urnplirud es 1. Obviamente, la gráfica de a(sen x) oscilará entre “u y a, es decir, tendrá amplitud lal. La constante a controla la amplitud de la gráfica.

Amplitud y periodo

La gráfica de sen x se repite cada 2n unidades en el eje x. Se dice que tiene un período de 2n. La gráfica de sen bx se repetirá al cambiar bx en 2a, lo cual sucede al incrementarse x en 12n/bl. Luego, sen bx tiene período de 12n/bl, y b controla el período de la gráfica.

Fase

Finalmente se considera la gráfica de sen (x - c). Ya se ha visto que la sustitución X = x - L‘, = y - O equivale a trasladar los ejes al punto (c, O). De este modo, la gráfica de sen (x - c) es la gráfica de sen .y trasladada c unidades a la derecha. Nótese que sen (x - c) es cero cuando x = c y no cuando x = O. El número L‘ es el ángulo de fase.

Ejemplo 1. Dibujar la,gráfica de y = 3 sen (2x + n).

SOLUCI6N. Se escribe primero:

y = 3sen(2x + T)

= 3sen2(x - (-:)). La amplitud de la gráfica es 3, el período 2 4 2 = x y el ángulo de fase -a/2. La gráfica se muestra en la fig. 4.13. La curva y = sen S se desplaza una distancia 4 2 a la izquierda, la altura de la oscilación es tres veces más alta (amplitud 3 en vez de 1) y oscila dos veces más rápido (período a en vez de 2n). I /

I y = 3 sen (2x + T) Figura 4.13


El efecto de a, h y L' en la gráfica de y = a . cos (b (x - c)) es exactamente el mismo que para la gráfica de a . sen (b(x - e)). En general, la multiplicación de cualquiera de las seis funciones por u y la sustitución de x por h(x - c) tiene resultados análogos.

RESUMEN

1. Lcrs g r u f k u s de l a s seis funciones trigonor?lPtric.LIs se muestran en lus ,figs. 4.7 u 4.12.

2. En la yr&u de J = u . sen (h(x - e) ) , la amplitud la1 controlu lu altura de lu oscilacicin. el periodo (distunciu .Y por cada repeticicin) es /2rt/hl y c es el dnglrlo de fuse.

EJERCICIOS

5. -2 sen(, - 5) 6. -3 cos (x + T )

7. 3 sen(4x + a) 8. 5 cos (i - :) 15. sen'x 16. 4 coszx

17. sen x + 2 cos x. [Sugrruncia. Dibujar sen x y 2 cos x en los mismos ejes y sumar sus alturas.]

9. sen (: - T ) -2 cos (2x + 5T) 18. 2 sen 2x - cos ( ~ 1 2 ) . [Suyerrncia. Proce- der como en el ejercicio 17.1

4.3. DERIVACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Ahora que se sabe un poco de cálculo, se pueden hallar las derivadas de las nuevas funciones que se estudian. En el cómputo de la derivada de sen x se encontrará

4.3.1. lím (sen x) = 1 x-o

lím - sen x cos x - 1 lírn x-o x y x-o x


Nótese que la función (sen x)/x no está definida en O, y que

x-bo lim (senx) = lím x = O.

x"t0

La fig. 4.14 muestra una vez más parte del círculo u2 + Y * = 1. La longitud del arco trazado con línea gruesa muestra valores positivos de x. La altura del

U A

Figura 4.14

triángulo menor de la figura es sen x. Puesto que el triángulo mayor y el menor son semejantes, si d es la altitud del triángulo mayor, se tiene

d 1 senx cos x -="-

entonces r l = tan x. Se ve claramente que el área del triángulo menor de la fig. 4.14 es menor que el área del sector circular cuya longitud de arco es x, que a su turno es menor que el área del triángulo mayor. El área del sector circular es la fracción x/2n del área R . l 2 = R del círculo total, y así

senx cos x x tan x <--*Ir<- 2 273. 2 .

Si se multiplica (1) por 2/(sen x), se obtiene

X 1 senx cos x

cosx<-<- .

Se ve fácilmente que (2) es válida para x < O en la vecindad de O ; esto resulta de las relaciones

sen(-x) = -senx y cos (-x) = cos x.

Por la definición de coseno y la gráfica de la fig. 4.8 se tiene que

lím (cos x) = 1, x-o


luego

Pero en (2) se ve que x/(sen x) está ((atrapado)) entre cos x y l/(cos x), y ambos tienden a 1 cuando x tiende a cero, así que se tiene

X

x-+o sen x lím- = 1.

Claramente, entonces sen x 1 1

x -o[xl(senx)] 1 lím - = lírn - - - = 1.

Volviendo a límx-O (cos x - l);.~, en la vecindad de cero,

cos x - 1 cos x - 1 cos x + 1 - - ____I. -sen2x X

- - X cos x + I x(c0s x 3- 1)

- senx senx - -__.

x cos x + 1 Puesto que límx+o (sen x ) / x = 1, se tiene

Estos límites son tan importantes que se resumen en un teorema.

Teorema 4.1. Para 1usfuncione.s sen x J cos x,

sen x lím-- = 1 cos x - 1 x - 4 1 x lím = o.

x 4 1 x

Ejemplo 1. Hallar lím,-+O (sen j.u)/.u.

SOLUCI6N. Utilizando (3), se tiene

En los ejercicios se suministra mis práctica en la aplicación de los limites de (3).

4.3.2. La derivada de sen .Y

Se regresa a la definición de derivada

LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 11 1

para hallar la derivada def(x) = sen x. Se escribe el cociente diferencial y se aplican algunas relaciones entre las funciones trigonométricas para obtener

f(xl + Ax) - f(x,) sen(x, + Ax) - senx, - Ax

-

Ax - senx, cos Ax + cos x, senAx - senx, -

Ax

- - cos x1 senAx + (senx,)(cos Ax - 1) Ax

sen Ax COS AX - 1 = cos x, - -k senx,

Ax Ax

Por tanto, si se aplican los límites (3)

f" =

- - Luego

(cos x,)(l) + (senx,)(O) = cos xl.

d (sen x) dx " - cos x.

Por la regla de la cadena

d(senu) d(senu) du du dx

= (cos u ) - du dx dx

"

si u es una función derivable de x.

Ejemplo 2. La derivada de y = sen (x3) es

d b 3 ) 9 = cos (x3). - = 3x2 cos x3. 1) dx dx

La raztin pura la medida en radianes

Ahora puede apreciarse por qué la medida de ángulos en radianes es la más conveniente en el cálculo. Sea x la medida en radianes y t la medida en grados de un ángulo. Entonces

x =- t 7T

180 Y

d(senx) d(senx) dx d t dx dt " ".-=

112 CALCULO CON GEOMETRfA ANALfTICA

En otras palabras, la utilización de medidas en grados conlleva la molestia del factor rc/180 en las fórmulas de derivación de las funciones trigonométricas.

4.3.3. Derivadas de las demás funciones trigonométricas

Puesto que cos x = sen (x + (rc/2)), se tiene

d(cos x) d(sen(x + 42) ) "

dx -

dx = cos (x + ;).

Pero cos (x + (7~12)) = -sen x, luego

d (cos x) dx " - -senx.

Utilizando la regla de la cadena,

d (cos u) du du dx " - (-senu) - .

La fórmula d(cos x)/dx = -sen x puede también obtenerse por derivación implícita de la identidad sen2 x + cos2 x = 1 :

2 senx cos x + 2 COS X- = O. d (cos x)

dx d (cos x) -2 sen x cos x "-=

dx 2 cos x - - -senx.

Las otras cuatro funciones trigonométricas son cocientes que se relacionan solamente con sen x y cos x, de modo que sus derivadas pueden hallarse por aplicación de la regla para derivación de cocientes. Por ejemplo,

d(tan x) d[(senx)/(cos x)] (cos x)(cos x) - (senx)(-senx) "

dx -

dx - cos'x + sen'x 1

- - cos2x

-

- COS'X cos2x

- - - = sec2x.

De manera anidoga, se halla que

d (cot x) dx

d (sec x) dx

" - -csczx,

" - sec x tan x,

d(csc x) dx " - -csc x cot x.


Se obtienen fórmulas anhlogas a (4) y (5) por aplicación de la regla de la cadena. Estas fórmulas se incluyen en el resumen y se recomienda memorizarlas. Nbtese que si se saben las derivadas de las tres funciones sen x, tan x, sec x, entonces la derivada cada una de las cofunciones correspondientes cos x, cot x, csc x se halla cambiando cada función por su cofunción e invirtiendo el signo.

Ejemplo 3. Hallar dy/dx si y = x3 tan 2x.

SOLUCION. Se tiene que

” dy - x3 d(tan 2x) + (tan 2x) - d (x3) = x3(sec22x)(2) + (tan 2x)(3x2) dx dx dx

= 2x3(sec22x) + 3x2(tan 2x). 1 )

RESUMEN

1. Limites:

sen x lirn - = 1, lím = o. cos x - 1

2. Fórmulas de dericución:

d(sen u) du d(cos u) du dx dx

- (-senu)--, dx

- = (cos u ) -, dx

”

d(tan u ) du d(cot u) du ___- - (sec‘u) - , dx

”

dx ” (-csc’u) -

dx dx ’ d(sec u) du d(csc u) du

dX dx n x ” - (sec u tan u ) -, ___ -- - (“CSC u cot u ) -,

dx

EJERCICIOS

En los ejercicios I a 10, hallar el límite indicado, si existe.

1. lím ~

sen x sen 21 2. lím-

x - * o 1x1 1-0 t

3. lim cos u

u-nn ( d 2 ) - u 4. Iim (x csc’x)

x-o

7. lim- cos 2x

x-0 cos 3x 8. lím-

sen 21 t--ro sen 3t

9. lim, sen (, - IO. ~ i r n cos2x - 1

1 - 1-0 x2

En los ejercicios I I a 30, hallar lu derivada de la funcidn dada. No es necesurio simplijirar.

11. x c o s x 12. x ‘ tanx

114 CÁLCULO CON GEOMETR~A ANALÍTICA

13. (x2 + 3x) sec x 14. csc x

X 31. x cos y + y senx = -; ; ( 5 7 4

15. sen'x 16. sen2x 32. (senx)(cos y ) = -;

17. sec'x 18. sen x tan x 33. scn(xy) + 3 y = 4;

X x 2 " 2x 19. ( 5 . I) 20. __I

34. tan xy = 1;

35. sec x -t tan y = 1; (O, O)

; ( 3

6 1)

cot x csc x

21. y = sen2x 22. y = sec (3x -t 1)

23. y = cos'(2 - 3x) 24. y = cot'x

25. y = sen'x cos'x 26. y = tan x sec 2x 36. csc (y') + sen ( y ) + y = 3; (1, 1)

27. y = Jcot2x + csc'x

28. y = J 8 x 2 + cos2x

29. y = sen(tan 3x)

30. y = csc (x + cos x').

37. Hallar la ecuacicin de la recta tangente a 1' = sen Y cuando .Y = d 4 .

38. Hallar la ecuacibn de la recta normal a 1' = tan x cuando x = 3n,/4.

39. Calcular sen 31 aproxinladamente utilizando una diferencial.



1. Hallar: a ) tan n b) coh 6.. 6. Hailar el límite indicado, si existe

2. Si O < 0 < x y sec I I = -5. hallar son O.

3. LJtili7ar la identidad sen ( x - 1') = qen Y - a) lim - b) lim

sen x sen(x2 -- 9) , ~ f 0 +- 4x , A 7 x - 3

cos \ ' - cos Y sen para calculal- sen 1 S 7. Hallar d x . 4. Hallar la amplitud y el periodo y dibujar

la grifica de J. = 3 sen (?.Y - x). a) y = sen'2x b) y = X ' csc x i

5. Hallar el período de /sen 3x1. 8. Hallar dr, 'dx si ,y2 cos J' + .v3 = - 3


1. Hallar:

1 l7r 6

a) sen- b) cot ( - S T ) 4

2. Si ~~2 < O < 3n,7 y tan 0 = 213, hallar sen O.

3. Si los lados de un triingulo miden 2. 4 y 5 unidades de longitud. respec-

LAS FlJNClONES TRIGONOMÉTRICAS 115

tivamente, hallar cos O si O es el Bngulo opuesto al lado de longitud 5. b) lim (2x + 4) .sen ~

r -11 (x: 1)

4. Hallar el periodo y la amplitud de - ;cos (x!3). 7. Hallar dF/dx.

5. Dibujar la grifica de J' = 3 sec (x/?). sen2x

6. Hallar el límite indicado, si existe a) y == tan (xz + 1) b) y =

a) lírn ____ X-r' x2 +- 4x

sen2x 8. Hallar la ecuación de la recta tangentc a 1, = 2 cos (X - ( ~ 1 2 ) ) en cl origen.


En los rjrvcicios I N 6. hallm el h i r e , s i e x i s ~ r . 4. ]ím -~ t a n x - 1 x 4 4 x - 4 4

[Suyerenciir. En ocasio-

la definición de una derivada.] 1 nes es posible reconocer un limite como

1. lírn x sen - x-= X

2. Iím x'sen - 1

x ". 0- X

3. lím-- cos 2x - 1

x-O x

5. lírn -- 2sen.x - 1

x - m ~ fjx -

sen (sen x) 6. l í r n

*-o x

Aplicaciones de la derivada

5.1. PKOBL,EbIAS SOBRE 'L'ARIACIONES REIACIONADAS

Kccuirdese que l a derivada ti!- ti.y da la ru t in instantánea de cambio o variacicin de y con respecto a Y . La notacihn d e Leibniz es muy ittil para tener presente en todo momento quk raz6n de cambio se estudia. Por ejemplo. si se arroja 1111

guijarro en un p070 tranquilo, se propaga una onda circular cuyo centro es el punto donde el fui-jarro entrh a 1 agua. El problema que se estudia puede ser

dr

tl t d A -- = razGn dc incremento del t i w n [>or nida dad de incrtmento del r i c m p o ,

" - - ralhn cit. incremento tlcl rtrdio por unidad de irlcremento del f iwzpo .

de incremento del rrrdio,

por unidad de incremento del

APLICACIONES DE LA DERIVADA I 17

PASO 3. Hallar una expresión que relacione Q, I' y s . Es posiblc que sca necesario dibujar una figura o aplicar alguna fórmula geométrica.

PASO 4. Derivar la relación del paso 3 (la derivacibn implícita es muy frccuentc) para obtener relaciones entre dQ ' X I , d r j d f y ds!.r/t.

PASO 5. Sustituir los valores de r, S y Q y de rlr,dt y r/.s!dt correspondientes al instante para el que se desea hallar dQ,!rlt, y calcular r/Q:dt.

Los ejemplos siguientes ilustr-an los pasos dcl procedimiento que se acaba de describir.

Ejemplo 1. Si el radio I' de un disco circular crece a razbn de 3 ctniseg, hallar l a rnzcin de crecimiento del Brea cuando I' = 4 cm.

SOLLKW>N. Sea .A el Area y I' el radio.

PASO l . Hallar d)I:'(/t cuando I' = 4 cm. PASO 2. Dado dr!dt = 3 cmiseg. PASO 3. . A = nr2.

PASO 5 . Cuando I' = 4 y tit = 3. ( / ,A , t / r = ?n . 4 . 3 = 24n cm',scg.

Ejemplo 2. lJn barco ,.I pasa frente a una bo!,a ;I l as 9:00,4.nl. 1 contini~a navegando hacia el norte a raz6n de 12 nudos por- hora. U n barco W que naLcga a 18 nudos por h o r a p a s a por la misma boya cuando va rumbo a l cstc a las 1O:OO A M. del mismo día. Hallar la raz6n de crecimiento de la distancia cntre los dos barcos ;I las 1 I :O0 A . M . de esc día.

SOI.LKW)N. Se dibuja una figura y se asignan letras a las variables. conlo se

muestra en la fig. 5.1.

PASO 1 . Hallar d . s / t / / para f = I I :O0 A . ' L I .

PASO 2. D d o s d ~ , ' [ / [ = I 2 mph y I / ( = 18 mph. PASO 3. .S2 = .Yz 4- J.^. PASO 4. h ( d s t / f ) = 2 . ~ ( d s l r / f ) + 2j,(t/j. I / ( ) .

PASO 4. d&dt = ?x/' ' ¿/Yj ¿/t.

PASO S . A las 1 I : O 0 A.M.. X = 24. j' = 18, (1.Y [ i t = 12. tlj'!tlf = I8 y

S = m = V'(24)Z 4- (18)' = 30. "_

Figura 5.1

Se colocan estos valores en la ecuación dei paso 4.

así

RESUMEN

1. Hallar la raL6n de crecimiento del irca de un triitngtllo equilitero cuando el lado mide IOcm, si la longitud de cada lado crece a raz6n de 2 cm;min.

2. [Jna partlcuia cuqa trayectoria comicnra en el origen se desplaza en el plano siguiendo !a curw J' = \,'.<. Si l a coordenada .Y dc la partícula crece a raz6n tzniforme de 16 unidades,seg, hallar la razón de crecimiento de la coordenada y 9 seg después de iniciado el movimiento en el origen.

3. Una escalcra de 18 M esti reclinada contra u n a pared vertical. SI ei pie de Is cscaler:i sc aleja de la pared a raz6n Lwxtante dc ? m sep. hall:lr la rarhn de po~qut: se deslim I n escalera por la pared cuando el pie esta a 8 m de aquella.

4. Un barco mrpa del puerto de Nueva York a saztjn de 30miseg. Se acerca a 1200 m de la estatua de la Libertad zn cicrto tiempo to . Hallar la razón de crecimiento de la di:.tancia del barco a la estatua, 2.5 se9 m i s tarde. (El barco

se desplaza en línea recta durante estos 25 se&.)

5. Jaime mide 6 pies de estatura y camina de noche en línea recta hacia un farol a r a z h de 5 pies,'seg. Si el farol esta a 20 pies sobre el piso, hallar la razón de porqué la sombra de Jaime se reduce cuando esta a 30 pies del farol.

6. Un globo esférico se infla de modo que su volumen aumenta a razón constante de 8 nl3) min. Hallar la razón de crecimiento del radio cuando kste mide 3 m.

7. En un cono invertido de 3cm de radio y 1 0 c m de altura se vierte agua a ra- z0n de 3 cm' seg. Hallar la ra76n de por- qui e! nivel del agua se eleva cuando l a profundidad del agua sobre el vkrtice es de 5 cm. (Si el volumen del cono es r/, el radio r y la altura h. entonces V = (:)..%.)

8. Susana hala un bote hacia el muelle por medio de un cable atado a una argolla en l a proa del bote. Si la argolla esta

11. El ingulo del vtrtice opuesto a l a base cuando cl Angulo del vkrtice es de 90' .

5.2. METODO DE NEW'TQN


/ I I

- Figura 5.2

Ejemplo 1. En el ejercicio 3 se pide hallar una soluci6n aproximada de .x3 + x - 1 = O. Seaf(x) = x 3 + x - 1. Entonces f’(0) = - 1 y f ’ ( 1 ) = 1, de modo que por el teorema del valor intermedio, la ecuación x 3 + x - 1 = O tiene una solución en el intervalo O < x < 1. / /

Se supone que se halló una solución aproximada a l de la ecuación f ( x ) = O. Obsérvese la gráfica de la fig. 5.3(a). La recta tangente a la gráfica de f en el punto (u1 , , f ( u l ) ) interseca el eje x en un punto a2 que es una aproximación mejor a la soluci6n que u l . Si se repite esta construcción a partir de a2, es posible hallar una aproximación aún mejor u3, etc.

Refiriéndose a la fig. 5.3(b), es posible hallar una fórmula para la aproximación siguiente ui+ si se conoce la aproximación ui. La recta tangente a 1’ = f ’ (x) en x = ai pasa por el punto (ui, f ( u i ) ) y su pendiente es f ’ ( a i ) . Su ecuación es, por tanto,

APLICACIONES DE LA DERIVADA 121

Para hallar el punto ui+ donde la recta cruza el eje x, se hace y = O en (1) y se despeja x :

-f(ai> = f’(ai)(x - ai)

Fórmula de recursión

Así se llega a la relación de recursión

Ejemplo 2. Utilizar el método de Newton para aproximar f i por media de una solución aproximada def(x) = x* - 2 = O.

SOLUCION. Se tienef’(.x) = 2x. La fórmula de recursión (2) queda

a: - 2 a i+ ,=% - - 2 a,

La tabla siguiente muestra aproximaciones sucesivas a partir de a l = 2. Los valores se hallan fácilmente utilizando una calculadora de bolsillo.

1 2 2 -: = 1.5

2 1.5 0.25 3

1.5 - ~ = 1.416666

3 1.416666 1.416666 - ~- 1.414215 0.0069425 2.833332

4 1.414215 1.414215- ~- 0.000004 2.828430 = 1.414214

5 1.414214

Con sólo cuatro iteraciones se logró una precisión de por lo menos seis cifras significativas. j /

El método de Newton no es siempre congruente. Por ejemplo, al escoger a l como se muestra en la fig. 5.4, las iteraciones sucesivas tienden a co y no a la solución de f(x) = O. T a m b i h es posible que las iteraciones oscilen sin llegar a la convergencia.

El método de Newton equivale realmente a aproximaciones repetidas mediante diferenciales en x = lti. Se recuerda que

dy = f '(a,) dx.

Si se reemplaza d ~ . = - . f ( n i ) , que es el cambio que se pretende hacer en para que,f'ís) sea cero. entonces

I Figura 5.4

En el aphdice 1 aparece el programa de computador NEWTON para hallar soluciones de J(x) = O por el método de Newton. El listado 5.1 muestra ¡as soluciones de .y3 + 1O.x' -t 8.y -- 50 = O. El punto de partida fue u1 = -- 8, que se obtulo como aproximación del listado 1.3 de la grkfica de 1' = .x3 + 10.x' + 8 x -- 50. que aparece et1 la sección 1.4. El programa fue corrido en otras dos pasadas con u : = - S y i t i = 2. respectivamente, para hallar las otras soluciones indicada:, p'; ' , I ~:; i~ca del listado 1.2. El computador st' program6 para que imprinliese aproximaciones sucesivas para poder observar la rapidez d z la convergencia del nletodo y la exactitud de ocho cifras significativas de la respuesta. Esta es una manera eficiente de hallar los ceros de una funci6n derivable.

. -.

PIEWTON

4 P K O Y l M A C I O N ! N I C ! P L ? - E

APROX it:AC!rjh X F (): i

- < -8. 35OuOOOOOitOO - i . 757874998EtOC

-8.314584542Et00 -2.105420137E-06

-8.314584499E+OO -2.486899575E-i4

14

-8.314959884EtOO -1.843551389:-O2

-F,.314584499E+OO -3.i974423ilE-14

El M € T O D O DE NEW;llV CIIWVERGE P LiWA 50LIICION E N 1 ~ -8.314584449Et00

APLICACIONES DE L A DERIVADA 123

I- u n

NlWTON

APROXIMA! I O N INICIAL?-S

APROYlt4ACION X F ( X )

- 5 35 - 2 . 9 4 1 1 1 6 4 7 O E t O O - 1 . 2 4 6 6 9 2 4 5 0 € + 0 1 - 3 . 4 0 2 4 2 0 3 7 4 E + 0 0 1 . 6 9 6 4 7 6 3 5 1 E - 0 1 - 3 . 4 3 5 7 1 4 3 0 6 E + O O - 1 . 4 4 1 5 8 1 5 3 4 E - 0 5

- 3 . 4 3 5 7 ! 4 8 7 6 E + 0 0 - 7 . 1 0 5 4 2 7 3 5 8 E - 1 5 - 3 . a 3 5 7 1 4 8 7 6 E + 0 0 - 1 . 0 6 5 8 1 4 1 0 4 E - 1 3

it METODO DE NEWTON C O N V E R G E A UNA S3LUCION E N X = - 3 . 4 3 5 7 1 4 8 7 6 E + 0 0

t un

N! WTON

AI’ROYII1ACION I N I C I A L ? ?

APKOX IMAC I O N X F ( X \

2 1 . 7 6 6 6 6 6 6 6 7 E t 0 0 8 . 5 8 4 0 7 4 1 0 5 E - 0 1 1. 7 3 0 3 7 7 0 7 1 E + O O 4 . 0 5 5 5 4 ’ 1 2 9 E - 0 3 1 . 7 5 0 2 9 9 3 7 7 E + 0 0 9 . 2 0 6 1 8 7 1 0 2 : - O 8 1 . 7 5 0 2 9 9 3 7 5 E + 0 0 - 1 . 0 6 5 8 1 4 1 0 4 E - 1 4

14

EL METODO DL NEWTON CONVERGE A UNA SOLUCION EN X = 1 . 7 5 0 2 9 9 3 2 5 E i 0 0 Listado 5.1

RESUMEN

1. (Teorema del culor intermedio de Wrierstrtrss). Si ,f es continua para todo p m t o de [a, h) J’ si f ( a ) y f ( h ) tienen signos optmtos, entonces ,f(x) = O l ime unu solucibn donde a < x < b.

2. (Método de Newton para resolcer f(x) = O ) . Se decide primero sohrr una

solución uproximadu a l de f (x) = O J’ slespuls se determinun las uproxinzuciones sucesicas a2 , a3, u4, ..., de unu solution uplicundo lu formula de recursión

EJERCICIOS

1. Calcular aproximadamente v6 utilizan- 3. Utilizar el método de Newton para hallar do el método de Newton para resolver una solución aproximada de x 3 + .Y - f ( x ) = x’ - 3 =: O, a partir de a , = 2 y 1 = O a partir de u , = 1 y determi- determinando u3. nando a3.

2. Repetir el ejercicio 1, pero a partir de 4. Utilizar el métodode Newton para calcu- a l = 1. lar con error < 0.001 ; es decir, hasta

quc la diferencia entre aproximaciones una s o l u c i h de Y ' -~ .Y + 16 = O con sucesivas sea menor que 0.0005. error < 0.001. (Ver tljercicio 4. Es con-

S. Cltilizar el método de Newton para hallar venicnte tener calculadora.)


6. lltilizar cl mCtodo de Newton para calcu- 9. Utilizar el mktodo de Newton para calcular aproximadamente \;l7, una soluci6n lar aproximadamentc una solución de de Y' - 17 = O. 11 partir de u 1 = 4. Y' - S = O, a partir de u I = 2. [Su,qercn-

"

7. Utilizar el método de Newton para calcular aproximadamente ;7:25, una solución de x' - 25 = O, a partir de u, = 3.

ciu. Las derivadas que se necesitan se puedcn calcular uti l~rando la aproxi- maci6n

8. Utilizar el método de Newton para calcular aproxirnadamentc una solucl6n de

t ( a + A x ) -- f(u ~ A x ) f'jLi 1 " 2 ' Ax

Y - 2 sen Y = O, a partir de u, = 1. para A.Y pequcilos.]

1 o.

11.

12.

Demostrar el corolario siguiente del teorema S . 1.

Si ,/'(x) es continun parm .Y en [U, h] y s i L es un número mrre f ( a ) j' ,f(h). entonces , f ( c ) = L para algún número c ta l que u < c < b.

Esta es la manera usual de enunciar el teorema del valor intermedio. Una fun- ción continua en un intervalo [ N , h] asume todos los valores 1, entre .f.(.) Y f (h).

Alicia medía SO cm al nacer y creció hasta llegar a medir 1.65 m. Aplicar el teorema del valor intermedio (ver ejercicio 10) para explicar que en algún momento de la vida de Alicia su estatura fue de 1 m exactamente.

Citar tres aplicaciones más del teorema

una solución real. [Suqerrwiu . ('onsi- derar límxA - f ( x ) y I h x + .. j ' ( ~ x ) , y luego aplicar el teorema del valor intcr- medio en un intervalo [-C, C] suficientemente grande.]

14. Un conductor que corre en una pista ovalada cruza la meta al final de la tercera vuelta cuando va exactamente a 96 km,'h. AI final de la cuarta vuelta vuelve a cruzar la meta a 96 km/h. Utilizar el teorema 5.1 para demostrar que durante la cuarta vuelta hubo dos puntos diametralmente opuestos en la pista donde el automóvil corría con velocida- des iguales (no necesariamente 96 kmlh). [Sugerencia. Sea S la longitud de la pista ovalada. Para O < x < S/2, sea

j'(.x) = (velocidad en x) -

donde x es la distancia recorrida después de cruzar la meta durante la cuarta vuelta.]

15. IJtilizar el teorema del valor intermedio (ver ejercicio 10) para demostrar que el 4 de agosto, en algim punto sobre el meridiano 3 7 ' de la Tierra. hubo exactamente 10 horas de luz solar. Se define luz solar para indicar quk parte del Sol st: encuentra sobre el horizonte. (Un meridiano va desde el Polo Norte hasta el Polo Sur y se numera de acuerdo con los grados de longitud, que se miden a partir del meridiano O' que pasa por Greenwich. Inglaterra.)

16. Una mesa cuadrada de cuatro patas de igual longitud se balancea diagonalmente cuando se coloca en un piso desnivelado. Demostrar, utilizando el teorema S . I , que si se rota la mesa menos de un cuarto de vuelta, las cuatro patas tocarán el piso y la mesa no se moverá más. [Suge- rcncicl. Numerar las patas de 1 a 4, en dirección contraria a la de las manecillas del reloj. Sea /'(O) igual a la suma de las distancias de las patas primera y tercera al piso, menos la suma de las distancias de las patas segunda y cuarta al piso, cuando la mesa ha rotado en dirección contraria a la de las manecillas del reloj un ángulo f l tal que O < 11 6 x / 2 . ]

5.3. VALORES MAXIMOS Y MlNlMOS EN [tr , h]

Definición 5.1. Dada f ( x ) que está definida para todo x en [a, h], si existe un punto .XI en [LZ, h] ta l que f (x l ) 2 f(s) para todo .Y en [u, b]. entonces M = f(xl) es el valor máximo asumido por f(s) en [a, h]. De manera análoga, si ,f(s2) < f ( x )

f ( x ) en [u, h ] . para todo X en [a, h] , entonces nz =,f(x2) es el valor mínimo asumido por

Ejemplo 1. El valor máximo asumido por f(.) = X' + 1 en [ -3, 21 es IO, el que se alcanza en .x = -3. El valor mínimo es 1, que ocurre en O. Ver fig. 5.5. I /

l ~ : : = , r -4 - 3 - 2 - 1 o1 I 2 3 4

Figura 5.5

126 CÁLCULO CON GEOMETRíA ANAL.ÍTICA


Y =

I I I

i \ , I y =

Figura 5.7

Definición 5.2. Sif(x3) es un máximo def(x) para todo x en [x3 - Ax, x3 + Ax] para Ax > O suficientemente pequeño, entonces f(x3) es un máximo relativo o máximo local de .f(x). De manera análoga, f(x4) en la fig. 5.7 es un mínimo relativo o mínimo local def(x).

Intuitivamente, (x3, f(x3)) es un punto local alto y (x4, f(x4)) un punto local bajo de la gráfica de la fig. 5.7(a). El argumento que sigue a la ec. (1) establece el teorema siguiente.

Teorema 5.3. Si f es deriuable en x1 y f(xl) es un máximo local ( o mínimo local) de f (x ) , entoncesf’(xl) = O.

No es necesario que la derivada exista para todo punto donde la función presente un máximo local o un mínimo local. La fig. 5.7(b) muestra la gráfica de y = f (x) = .?I3, que tiene un mínimo local en el origen. Pero

de modo que .f ’(x) no existe en el origen donde x = O. El conocer todos los puntos dondef’(x) existe y es igual a cero no garantiza que se han hallado todos los puntos posibles donde podría localizarse un máximo local o un mínimo local.

La argumentación indica que si f ( x ) es continua en [a , b ] y derivable en a < x < h, entonces el valor mhximo M y el valor mínimo m que f ( x ) asume en [a, h] se puede hallar como sigue:

Hallar valores extremos en un intercalo

PASO 1. Hallar todos los puntos en [a , h] donde , f ’ (x ) = O. Por lo regular, hay sólo un numero finito de tales puntos.


PASO 2. Hallar el valor de .f'(x) para todo x resultante del paso 1, y hallar los valores d e f ( a ) yf'(h). El mayor valor hallado es el mitximo M y el menor el mínimo m.

Ejemplo 3. Hallar los valores mhximos y mínimos que asumef(r) = 3u" -t- 4x3 - 12s' + 5 en [ - i, 21.

S01,~'clÓx. PASO 1. Se tiene. por derivacihn,

0 4 1 están en [ - h , 21. PASO 2. Hallando los valores, se tiene

f ( 0 ) = S, f(1) = o, f(-l) 2 = = 16, f(2) = 37.

Por tanto, O es el valor mínimo que se asume para x = 1 y 37 es el valor máximo que se asume para ,x = 2.

RESUMEN

1 6. ___

x z - 1 en [-3, -21

7. x z - x + I

x 2 + 1 en

a) [--3, -21 b) [-2, O] 4 [O, 23 d) [-2.21

8. sen .Y en los intervalos

c) [ 37T 3?r

9. sen x + cos .x en los intervalos.

10. J? sen x - cos x en los intervalos

5. x' + 4x - 3 en a) [o.;] b) ro, TI

a) [-S, -31 b) [-4, -11 c) [-4.01

-

I I . Seafun polinomio de grado par n tal que el coeficiente a, de .x" sea positivo. De- mostrar que /(.x) asume un valor rninimo para todos los números reales x. [ S U ~ J - rcmt,icc. Considerar lim, . ~ f ( u ) y

~ I /'(.x) y aplicar el teorema 5.2 para u n intervalo grande [-c. C.].]

12. 3x2 f 6x - 4

13. 3 ~ ' - 8 ~ ' + 2

14. x4 - 2 ~ ' + 7

15. 3x4 - 4 ~ " - 12x2 + S 16. X' - 6 x 4 - 8


5.4. EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO

El teorema del valor medio es uno de los instrumentos teóricos mis importantes del cálculo. Se analizara primero un caso especial más fácil, conocido como teorema de Rolle, que servirá como lema para el resultado principal.

Teorema 5.4 (Teorema de Rolle) . Si .f'(x) es rmt inuu en [u , h] ~9 t lrriauhlv en u < x <: h y si, ademús, l ( u ) =f(h) , entonces Pxistr c. dontip CI < c < h. t u l qur f ' ( c ) = o. Dernostrac.icin. La fig. 5.8 ilustra el teorema de Rolle. Se sabe, en vista de la sección anterior, que f(x) asume un valor máximo M y un valor mínimo m en [u, b] . Si .f' es una función constante en [a, h] tal que f ( x ) = f(a) = f (h) para

todo x en [ a , h] , entonces, claramente, f"(c) = O para todo c, tal que a < c < h. Si f no es constante en [u, b] , entonces, puesto que !(a) = f(h), f ( x ) debe asumir un valor máximo o un valor mínimo en el punto c donde a < c < b. Se& el teorema 5.3 de la última sección, se sabe que f ' ( c ) = O, y esto concluye la demostración del teorema de Roile.

-. 1%

4 Figura 58

I ?

Tcorema de Rolle Figura 5.9 Teorema del valor medio

El teorema del valor medio puede considerarse como una generalización del teorema de Rolle, como se ilustra en la fig. 5.9. Ambos teoremas postulan que para .f continua en [u, h] y derivable en u < x < h, existe por lo menos una c tal que u < c < h y tal que la recta tangente a la grifica de .f sea paralela a la recta que conectz. l o s puntos (u . ~ ( c I ) ) y (h , , f(h)). La pendiente de esta línea es

Por tanto" la forma que adopta l a conclusibn del teorema del valor medio es

f '(c) = fOAfO o f ( b ) - f ( a ) = (h - u)f '(c) b - a

para algún c donde CI < c < h. En la fig. 5.9 se ven dos puntos, c 1 y c, con tales características. Teorema 5.5 ( Teorcnlu de1 calor nledio). S m ,{(.x) continua en [u. b] y derirohlr, en a < .Y < h. Entonces existe C' ( h d e (I < c < h tal que

f ( b ) - f ( ~ ) = ( b - a)f'(c). (1)

Dcmoslrucidn. Este resultado puede obtenerse a partir del teorema de Rolle. Sea y una funci6n con dominio [u, h] y cuyo valor en x se indica en la fig. 5.10. Según la fig. 5.10 se ve claramente que y debe definirse por


Teorema del valor medio Figura 5.10

Puesto que f es continua en [a, b] y derivable para a < x < b, se ve que g también lo es, y g(a) = g(b) = O, así que se aplica el teorema de Rolle. Luego, para algún c tal que a < c < b, se tiene g’(c) = O. Ahora

así que

Y f (b) - f(a) = ( b - a>f‘(c). O

Ejemplo 1. Ilustrar el teorema del valor medio conf(x) = x2 en el intervalo [O, 31.

SOLUCION. Debe encontrarse c tal que

f(3) - f ( 0 ) = f.3 - O)f‘(c),

o tal que 9 = 3 . f ’ ( c ) . Ahora f ‘ ( x ) = 2.x y 9 = 3 . 2c cuando c = 312. Nótese que según lo postula el teorema del valor medio, es posible hallar un valor de c que satisface O < c < 3. / I

RESUMEN

1. (Teorema de Rolle). Si f (x) es continua en [a, b] y derivable en a < x < h, y sif(a) = , f (b) , entonces existe algún número c donde a < c < b tal que f ’ ( c ) = O.

2. (Teorema del valor medio). Si f ( x ) es continua en [a, h] y rleritlahle en u < x < 6, entonces existe un número c donde a < c < b tal que


EJERCICIOS

1.

2.

3.

4.

5.

Verificar quef (x) = x’ + x + 4 satisface la hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [ -3, 21, y hallar el número e que se describe en el teorema.

Repetir el ejercicio 1 para f ( x ) = x3 - 6x2 + 5x + 3 en el intervalo [l, 51. Generalizar el teorema de Rolle para mostrar que sifes una función derivable yf (x) es cero en r puntos distintos de un intervalo [a, b], entonces f ’ ( x ) es cero por lo menos en r - 1 puntos distintos de [a, h].

Aplicar el teorema de Rolle para demostrar que si .f es una función derivable y /’(x) # O para a < x < h, entonces . f (x) es cero por lo menos para un valor de x en [a, b].

Ilustrar el ejercicio 4 demostrando que

f(x) x3 - 3~ - 18 = O por lo menos para un valor de Y

en 12, 43.

a) Dar la interpretación de

[f(b) - f(a)I/(b - a).

como razón de cambio. b) Dar la interpretación de f ‘(c) como

razón de cambio. c) Enunciar el teorema del valor medio

en términos de razón de cambio.

12. Una carretera de 10 km de largo que conecta las poblaciones A y B, tiene un límite de velocidad de 60 km/h. El señor Pérez fue arrestado por violar los límites de velocidad y admitió haber viajado de A a B en ocho minutos. El juez le impuso una multa de $150 más $20 por cada kmih de velocidad en exceso del límite. Aplicar el teorema del valor medio para demostrar que el juez tenía razón al imponer una multa de $450 al señor Pérez. [Sugerencia. Aplicar el ejercicio anterior.]

13. Sea la función cuadritica f dada por

En los ejercicios 6 a I O , ilustrur el teorema del l d o r medio pura la ,función dada en el intercalo dado, como se hizo en el ejemplo I , hallando un calor de c según se especifica en el enunciado del teorema.

f ( x ) = ,.x2 + bx + c. Demostrar que el punto entre x1 y x2 donde la tangente a la gráfica de / es paralela a la cuerda que une ( x l r f(xl)) y (x2, /(x2)) esta en la mitad del trayecto entre x1 y x2. ¿Qué ejemplo del texto ilustra este hecho?

6. 3x - 4 sobre [1,4] 7. .yi sobre [ - 1.21

8. Y - ’~ sobrc [ I , 3)

9. . x 1 ’ sobre [Y, 161

10. J I - x sobre [-3,0] ,. ~~~

14. Se pueden utilizar cotas constantes en , f ’ (x ) para dar cotas lineales en,f(x) por aplicación del teorema del valor medio. Si f satisface la hipótesis del teorema del valor medio en [a, b ] , y si m < f’(c) < M si a < c c: h, demostrar que

11. Sea f una función que satisface la hipó- f ( l 1 ) + m ( u - u ) < f ( x ) < f (a) + !tl(.Y -- a )

tesis del teorema del valor medio en [a, h]. para todo x en [a, h].

5.5. SIGNOS DE LAS DERIVADAS Y TRAZADO DE CURVAS Es geométr icamente ev idente que l a gritfica d e ~3 = ,/‘(.Y) es ascendente donde ,/“(.x) > O y descendente donde . f ’ ( .~ ) < O. Esto puede demostrarse apl icando e l teorema del valor medio. Se comienza con una definicibn.


5.5.1. El signo de la primera derivada

Definición 5.3. Sean , f ( x ) y g(x) funciones definidas para x en [u, b]. Si ,f(xl) < f’(x2) siempre que x1 < x2 en [a, h] , entonces /’(x) es creciente en [a, h]. De manera análoga, si g(.ul) > 9(.u2) siempre que x1 < x2, en [a, h], entonces g(x) es decreciente en [a, h].

Sea .f”(.u) > O para todo x en [a, b ] . Sean x1 y x? puntos del intervalo [a, h] con x1 < .x2. Según el teorema del valor medio

donde x, < c < ,u2. En particular, ( 1 ) demuestra que , f ( x 2 ) - ,f(.ul) > O; por tanto, ,#(.xl) < .f(.u2). Entonces, , f ( x ) es creciente en [ a , h] .

De manera anliloga, si #’(x) < O para todo .Y en [a, h], entonces , f (x) es decreciente en [a, h] , porque si x, < .x2 en [u, b], un argumento semejante demos- traría quef’(xl) > f ( x 2 ) . Ahora se sabe que en aquellos puntos donde #’(.Y) = O son candidatos para puntos altos y bajos de la grifica. Esto se resume con un teorema.

Teorema 5.6. Sea f(.u) continuu en [a , h] y dericablr en (I < x < h. Si f ’ ( x ) > O en u < .Y < h, entonws f ( x ) es creciente en [ u , h]. S i , f ‘ (x) < O en N < .Y < b, entonces ,#(.u) es rlecwciente en [u, h].

Ejemplo 1. Sea , f ( .~ ) = .u3 - 3x2 + 2. Hallar los puntos donde .f’(x) es creciente, decreciente y tiene extremos locales.

SOLUCION. Se tiene #’(x) = 3s’ - 6.u = 3x(x - 2); entonces #’(x) = O, de modo que x = O ó S = 2. Los puntos O y 2 separan el eje x en tres secciones, y en cada una de ellas ,f’(.u) tendrh consistentemente el mismo signo. En la fig. 5.1 1 se muestra el signo de .f’(x) en cada una de tales secciones del eje s. Por ejemplo, si S < O, entonces 3,u < O y x - 2 < O, de modo que , f ’ ( x ) = 3x(x - 2) > O. Se puede ver entonces que .#(x) es creciente para x < O 6 x > 2, y es decreciente para O < S < 2.

,/‘‘(.Y) > o PLY) 4: o f ’ (x) > o

o I 2

Figura 5.11

Se debe tener un mliximo local en (O, 2), donde x = O, puesto que f(x) crece por la izquierda para alcanzar el valor .#(O), y comienza a decrecer por la derecha. Análogamente, hay un mínimo local en (2, -2), donde x = 2, puesto que f(s) decrece por la izquierda hasta x = 2 y luego crece por la derecha. L a grlifica y = ,f(s) se muestra en la fig. 5.12. 1 1

134 CALCrJLO CON GEOMETRíA ANALÍTICA

Ejemplo 2. Si f ( s ) = .u3, entonces , f ' ( s ) = 3.u'. Por tanto: +"'(.Y) 3 O para todo ,Y y ,/'(.Y) siempre serB creciente. Desde luego, , { ' ( .Y ) = O en .Y = O. pero (O, O) no es ni un mhximo ni u n mínimo, puesto que j ( u ) crece hasta (O. O) por la izquierda 4 continua su crecimiento a la derecha de (O. 01. La gráfica de J. = .u3 se muestra en la fig. 5.13.

Estos resultados relacionados con la primera derlvada se resumen al final de esta secci6n bajo el t i t u l o de Proyitdudt)..; dc / u prirnrru ticrirudu.

55.2. El signo de la segunda derivada

Puesto yue

C o / t t ~ L ~ r k / d p l t r ~ r o \ tic i v / T c Y i ( j n

En esta situacicin se dice que la curva cs cóncava hacia arriba. Si , f ' (x ) < O. la pendiente dccrece, la recta tangente gira c w la Jirrccicin tlr ltra munerdlus d c 7 l rclqj cuando .Y crece. y la curva es cóncava hacia abajo. Este caso se ilustra en la fig. 15. I 2 para .Y < 1.

En los puntos d<>,ndc f " ' ( s ) = 0 la concavidad cambia de sentido. de cincava

hacia arriba a cóncava hacia abajo o viceversa. Tales puntos donde cambia el sentido de la concavidad se denominan puntos de inflexión.

Ejemplo 3. Estudiar la concavidad y los puntos de inflexión de la curva y = .u3 3x2 + 2 del ejemplo 1.

SOLUCION. Se tiene quef’(.u) = 3s’ - 6.u y j”’(.x) = 6x - 6. Entonces. . f ” ’ ( r ) = O. donde 6.x - 6 r= O, o donde .Y = 1. Puesto que 6.u -~ 6 < O si .Y < 1. la curva es cóncava hacia abajo si x < 1. La curva es cóncava hacia arriba si .u > 1, puesto que , f ” (x) = 6r - 6 > O en dicho punto. Puesto que la concavidad cambia cuando .Y pasa por I . el punto (1. O) es un punto de inflexión. como se indica en la fig. 5.12. 1 1 Ejemplo 4. Si .f’(x) = S‘, entonces , f ” ( u ) = 4.u3 y ,f”(.x) = 1 2 . ~ ~ . Ahora, f”(0) = O, pero (O, O) no es un punto de inflexión, puesto que .f”’(.u) > O a ambos lados de x = O. Ehtonces, (O, O) es un mínimo local, ya que f ‘ (O) = O y , f ” ( x ) = 4x3 es < O si x < 0 y > O s ¡ S > O . 1 1

Se menciona, finalmente, que s i , f ’ (xl) = O y , / ” ( z , ) > O, entonces J. =f(.x) tiene una tangente horizontal donde .u = Y , pero es cbncava hacia arriba en dicho punto; por tanto. J’ = f ( x ) tiene un mínimo en .Y = .Y, . Si,f ‘( .Y2) = O pero.f”(r,) < O, entonceS la curva tiene una tangenle horizontal pero es cóncava hacia abajo, asi que la curva tiene un miximo en .u = .uz. Así, si , f ’ ( c ~ ) = O pero , f ” ’ (u) # O, el signs de , f ” (u) puede utilizarse para determinar si hay un mBximo local o u n mínimo local en x = u. La información anterior respecto a la segunda derivada sc resume en un teorema,

Puntos críticos

Se ha demostrado la importancia de hallar lugares donde f”(.u) = O. Dichos puntos, junto con aquellos donde ,J”’(.Y) no existe, s e denominan puntos críticos

136 CÁI.<‘IJLO <‘ON G F O M E T R ~ A ANALíTICA

de la curva. El método de Newton puede aplicarse para hallar los puntos donde .f”(x) = O, utilizando la relación de recursión.

y los puntos donde .f’“(s) = O pueden encontrarse utilizando l a relaciócde recursih.

Las derivadasf’(ui)f’’(ui) y.f’” ’(ni) pueden hallarse numéricamente en un computador, es decir. que se puede escribir un programa de computador para hallar los puntos críticos de la grlifica de una función.

Finalmente, se presentan dos ejemplos para ilustrar la aplicación de la primera y de la segunda derivadas en el trazado de curvas. El resumen de la sección debe leerse antes de estudiar estos ejemplos. El resumen suministra de una sola vez toda la información que se ha desarrollado paso a paso en esta sección.

Ejemplo 6. Localizar los máximos y mínimos locales y los puntos de inflexión de y = f ( x ) = x + sen .Y.

SOLUCI~V . Por derivación se obtiene

f‘(x) = 1 t cos x y ?’(X) = -sen x.

Ahora, 1 + cos x = O donde cos x = - 1, lo que tiene lugar cuando x = (2n + 1)n para todo entero n. Pero .f’(x) = 1 + cos x no pueden cambiar de signo cuando x crece al pasar por estos puntos, ya que 1 + cos .Y 3 O para todo x . Así, la función x + sen x crece para todo x. No hay máximos ni mínimos locales.

En cuanto a la segunda derivada, ,f”(x) = -sen x es cero en x = n7-r para todos los enteros n, que incluyen aquellos puntos donde , f ‘ (x) es cero. En todos esos puntos j”(x) = -sen x cambia de signo cuando .x crece. Entonces, x = nn corresponde a un punto de inflexión para todos los enteros n . Si n es impar. entonces , f ‘ ( x ) = O, y existe una recta tangente horizontal en el punto de inflexión. La curva es cóncava hacia arriba si -sen x > O, lo que ocurre cuando (2n - 1)n < x < 2nn para todo entero n. La curva es cóncava hacia abajo para 2nn < x < (2n + 1)n. La fig. 5.14 muestra la curva. I [ Ejemplo 7. Estudiar la gráfica de

y hallar todos los máximos y mínimos locales y los puntos de inflexión.

SOLUCION. Derivando, f‘(x) = x.? - 4x2 + 4x y Y(.) = 3x2 - xx - t 4

= x(x’ - 4x + 4) = (3x - 2)(x - 2) . = x(x - 2)’


Y

Así,f’(x) = O cuando x = O ó x = 2. Puesto que la raíz x = O proviene del factor lineal simple x, se ve que f’(x) cambia de signo, de negativo a positivo, puesto que (x - 2)’ > O, cuando x crece al pasar por O. Por otra parte, f”(0) = 4 > O, así que la gráfica es cóncava hacia arriba en x = O. Esto demuestra de dos maneras que f ( x ) tiene un mínimo local en x = O, que corresponde a (O, - 1) en la gráfica.

Aunquef’(2) = O, la derivadaf’(xj nu cambia de signo cuando x crece al pasar por 2, puesto que el factor (x - 2)2 tiene un exponente pur. En realidad, f” (2) es también cero, y f “ ( x ) cambia de signo en x = 2 debido a que el factor (x - 2)’ está elevado a una potencia impar, así que (2, f’(2)) = (2, f ) es un punto de inflexión. Otro punto de inflexión tiene lugar en x = 3, que corresponde al factor (3x - 2)’ elevado a una potencia impar enf”(x).

Finalmente,puesto que (x - 2)’ 2 O para todo x, se ve quef”(x) = x(x - 2)2 > O si x > O y f ’ ( x ) < O si x < O. Por tanto, f ( x ) es creciente si x > O y decreciente si x < O. Un estudio análogo del signo de f”(xj establece la concavidad que se describe a continuación. La grhfica se ha dibujado en la fig. 5.15. En resumen:

2

Y

(a) Figura dibujada por artista 1 (b) Figura generada por computador Figura 5.15


f ( x ) es creciente para _Y > O ; .f(x) es decreciente para M < 9; ,f(x) tiene un mínimo local en (O, - 1); .f(x) tiene puntos de inflexión en (2. 3 ) y (3 . - f i 1 ) :

fcx) es cóncava hacia arriba si x > 2 6 .Y < 5: /'(x) es c6ncava hacia abajo para 3 < S < 2.

1 2 3-

2

RESUMEN

PROPIEDADES DE LA PRIMERA DERIVADA

APLICACIONE:~ DE LA DERIVADA 139

EJERCICIOS

1. Hallar h tal queel polinomio x* + bx - 7 tenga un minimo local en 4.

2. Considerar el polinomio a s 2 + 4x + 13.

a) Hallar el valor de a tal que el polinomio tenga un máximo local o un minimo local en l . ¿Será un máximo o será un mínimo?

b) Hallar el valor de u tal que el polinomio tenga un máximo local o un mí- nimo local en - 1. ¿Qué será, un máximo o un mínimo?

3. Considerar el polinomio f dado por u s 2 -t hx + 24. a) Hallar la razón b/a siftiene un mini-

mo local en 2. b) Hallar a y b si f tiene un mínimo

local en 2 y f(2) = 12. c) 2,Puede determinarse u y h tal que

,f tenga un máximo local en 2 y ,f(2) = 12?

4. Suponer que f es dos veces derivable y que f” es continua. Determinar cuáles de los enunciados siguientes son verdade- ros y cuáles falsos.

Si .f tiene un máximo local en .yo,

entoncesf(xo) = O. Si f tiene un máximo local en .so,

entonces f’”(xo) < O. Sif”(.so) < O, entoncesftiene un má- ximo local en s o .

SiJ’(xo) = O yf”(xo) < O, entoncesf tiene un máximo local en .xo. Si f’(xo) > O, entonces f es creciente en la vecindad de xg.

Sif”(xo) = O, entoncesfno puede ser creciente en la vecindad de xo. Si,ftiene un punto de inflexión en .xo, entoncesy’(xo) = O. Si f”(xo) = O, entonces f debe tener un punto de inflexión en xo. SiStiene un mínimo local en xo, entonces la recta tangente en la gráfica de f e n (xo, f (xo)) es horizontal. Siftiene un punto de inflexión en so,

entonces es posible que la recta tan-

gente a la grifica de f e n (SO, f(x0))

sea horizontal.

5. Dibujar la gráfica de una función f que sea dos veces derivable y tal quef(1) = 3, f(4) = 1, que tenga un minimo local en 1 y que tenga un máximo local en 4 derivable.

6. ¿Es posible que una función dos veces derivable f satisfaga las condiciones del ejercicio S y no tenga ni máximos ni mínimos locales en I < x < 4?

7. Dibujar l a gráfica de una función dos vecesderivableftal quef(0) = 3,f(0) = O, /.”(O) < O,f(2) = 2,f’(2) = - lJ”(2) = o, f(4) = I , f’(4) = o yf”(4) > o.

8. Dibujar la gráfica de una función dos Yeces derivable f tal que , f ” (x) < O para

f ” ( x ) > O para x > 1 y f ( 3 ) = 4. .y O para x > 2, f‘”(x) > O para x > 2, f”(2) = O, j ” ( .x) < Oparax < 2,f”(x) > Oparax < 2.

IO. Explicar si es posible o no que para una función dos veces derivable , f , se pueda tener /’(O) = OJ’(0) = 1, /’“(x) > O para Y i o y f(1) = 1.

11. a) Dibujar la gráfica de la función b) Explicar, en términos de concavidad,

si es razonable esperar que la gráfica de tenga un punto de inflexión en (O, O).

en O‘?

En los ejercicios I2 a 21,

a) Drterminar ddnde crece la funcidn. b) Determinar dónde decrece la ,función. c) Hallar rodos los maximos locales. d) Hallar todos los minimos locales. e) Hullar todos los puntos de inflexidn de la

f) Dibujar la gráfica utilizando la informa-

c) ¿,Existe la segunda derivada de

qráfica.

cidn obtenida en las partes a)-e).


12. 4 - x2 13. X ’ - 6~ + 4

1 14. -

x + l 3x - 4

X 3 X L 16. - + x 2 + X - 6 17. - 3 x - 1

18. x4 - 4~ + 1 19. x5 - 5~ + 1

20. x + 2 sen x 21. x - 2 cos x

En los ejercicios 22 a 25, dibujar la curca con las ecuaciones dadas. [Sugerencia. Considerar que las ecuaciones dan x como funciones y de y, y aplicar la teoria de esta sección wando .SK

intercambian x e y.]

22. x = y= - 2y + 2 23. X = y3 - 3y2

1 24. X = ___ y 4 + 1

26. Hallar una función f tal que f’(2) = f”(2) = O y tal que f crezca en 2 con f(2) = 3.

27. Hallar una función f tal que f’(2) = f”(2) = O y tal ,f tenga un máximo local de - 1 7 en 2.

28. Si .f”(x) = g(x) (x - a), donde g(a) # O y 9 es continua en a, demostrar que ,f tiene un mínimo local en a si g(a) > O y un máximo local en a si g(a) < O.

29. Sif”(s) = g(.u). (x- - u)2 , donde g(a) # O y y es continua en u, demostrar que J crece en la vecindad de u si y(a) > O y decrece en la vecindad de a si g(a) < O.


Hallar los mdximos y mínimos relaticos y los segunda y tercera d e r i d u s ( w r los ejercicios puntos de inflexión para cada una de las fun- de la sección 3 . 4 . ) . ciones siguientes. E s posible aplicur el método 30. x 3 - 3x’ + x - 5 de Newton y luego utilizar derivación algehraica 31. - 2x3 - x 2 + x o las fórmuhs para aproximar la primera, 32. 2‘ - 5 x

5.6. PROBLEMAS SOBRE MAXIMOS Y MINIMOS

En muchas ocasiones es necesario maximizar o minimizar alguna cantidad. Por ejemplo, un fabricante desea maximizar sus ganancias. Un constructor puede necesitar minimizar sus materiales. Tales problemas son de gran importancia práctica. Se pueden resolver con la ayuda del cálculo diferencial aplicando las ideas que se desarrollaron en la sección precedente.

Para hallar máximos y mínimos locales de una función5 se procede como sigue. Hallar todos los puntos x tales que f ’ ( x ) = O. En estos puntos se hallarán los máximos y los mínimos locales d e 5 Investigar si la derivada def’cambia de signo o utilizar el criterio de la segunda derivada en cada uno de estos puntos, para determinar si corresponden a un máximo o a un mínimo locales o a ninguno de los dos. Examinar luego el comportamiento defen la vecindad de puntos que no están dentro de un intervalo para el cual f sea derivable, si tales puntos existen.

A continuación se sugiere un procedimiento paso a paso que se puede aplicar cuando se trate de problemas sobre máximos y mínimos.


Procedimiento sugerido

PASO 1. Decidir lo que se ha de maximizar o minimizar. (No se puede lograr nada significativo antes de establecer los objetivos.) PASO 2. Expresar la cantidad que se ha de maximizar o minimizar como funciónf de alguna otra cantidad. (Tal vez sea necesario dibujar alguna figura o utilizar procedimientos algebraicos para lograr ésto.) PASO 3. Hallar todos los puntos x donde f ' ( x ) = O. PASO 4. Decidir si el máximo o el mínimo buscado tiene lugar en alguno de los puntos hallados en el paso 3. Con frecuencia se ve claramente que existe un máximo o un mínimo dada la naturaleza del problema, y si en el paso 3 se ha encontrado solamente un valor, ésta será la respuesta. Si se ha encontrado más de un valor, o si hay puntos en el dominio def'que no están dentro del intervalo de derivabilidad def; es necesario examinar el asunto más profundamente.

Ejemplo 1. Hallar dos números cuya suma sea 6 y cuyo producto sea tan grande como sea posible.

SOLC'C~ON. PASO 1. Es necesario maximizar el producto P de dos números.

PASO 2 . Si los dos números son x e y, entonces P = xy. Puesto que x + y = 6, se tiene que y = 6 - x; por tanto, P = x(6 - x) = 6x - x2.

PASO 3. Se tiene

Luego dP/dx = O cuando 6 - 2x = O, o cuando x = 3.

PASO 4. Puesto que d 2 P / d x 2 = -2 < O, se ve que P tiene un máximo en x = 3. Por tanto, el mayor valor de P ocurre cuando x = 3 e y = 3, es decir, x y = 9. I /

Ejemplo 2. Un fabricante de comida para perros desea empacar su producto en latas metálicas cilíndricas, cada una de las cuales ha de contener cierto volumen (;o de comida. Hallar la razón de la altura de la lata al radio para que la cantidad de metal utilizada sea mínima, suponiendo que los extremos y los lados de la lata se fabrican con metal del mismo espesor.

S O L , U C I ~ N . PASO 1. El fabricante desea minimizar el área S de la superficie de la lata.

PASO 2. La superficie de la lata consta de dos discos circulares en los extremos y el lado cilíndrico. Si el radio de la lata es r y la altura es h, los discos del fondo y la tapa tienen cada uno un área de m * , y el área del cilindro será 271rh (ver fig. 5.16). Entonces

S = 2 m 2 i- 21rrh.

142 CALCtiLO CON GEOMETRíA ANALíTICA

"" ".

Figura 5.16

Es necesario hallar /I en tkrminos de r para expresar S como una funci6n de la magnitud v. A partir de r o / n r 2 . Entonces

El ejemplo 2 ilustra la importancia practica de problemas de valores extremos. Para que una lata cilíndrica de volumen tal tznga el Srea de superficie mínimo debe tenerse 11 = 27, es decir, la altura debe ser igual al diimetro. Puede \ m e que pocas de


las latas cilíndricas se encuentran en las alacenas de los supermercados representan un modelo económico de empaque, si se supone que los extremos y los lados son de metales igualmente costosos. Las latas de atún por lo general son demasiado cortas, y las de bebidas enlatadas son demasiado altas.

RESUMEN

1. Para resolver problemas de máximos se puede seguir el procedimiento de cuatro pasos establecido antes del ejemplo l .

EJERCICIOS

1. Hallar el área máxima de un rectángulo cuyo perímetro es de 20 m.

2. Generalizar el ejercicio 1 para demostrar que el rectángulo de área máxima con perímetro fijo es el cuadrado.

3. H d a r dos números positivos x e y tales que x + y = 6 y "y2 sea máximo.

4. Hallar un número positivo x tal que la suma de dicho número con su recíproco sea mínimo.

5. Hallar dos números positivos cuyo producto sea 36 y tales que la suma de cuyos cubos sea un mínimo.

6. Hallar el punto de la parábola y = x* cuya distancia al punto (6,3) sea míni- ma.

7. Se va a construir una caja de cartón sin tapa y cuyo volumen es de 108 cm3. Hallar el área mínima de cartdn que se necesita sin considerar el desperdicio en la construcción.

8. Se va a fabricar una caja abierta con 96cm3 de volumen y fondo cuadrado reforzado. Si el material para el fondo cuesta tres veces más por cm2 que el material para los lados, hallar las dimensiones de la caja de costo mínimo. (No se considera el desperdicio en la fabricación.)

9. Un granjero tiene 1000 m de malla para cercar tres lados de un potrero rectangular; el cuarto lado está limitado por un río recto. Hallar las dimensiones del potrero de área máxima que el granjero puede cercar.

10. Un granjero tiene 1200 m de malla para encerrar un potrero doble con dos regiones rectangulares de áreas iguales, como se muestra en la fig. 5.17. Hallar el área máxima que el granjero puede encerrar. (No se considera el desperdicio en la construcción ni la necesidad de abrir puertas.)

Figura 5.17

11. Se desea construir una canal abierta de sección rectangular a partir de una Irimi- na de aluminio de 8 cm de anchura, doblando hacia arriba los lados de la lámina. Hallar las dimensiones de la seccidn de la canal, de manera que ésta tenga la capacidad máxima.


12. Hallar las dimensiones del rectingulo de área mixima que puede inscribirse en un semiCrculo de radio u. [Sugerencia. La solución del problema se facilita si se maximiza el cuadrado del área. Obvia- mente, el rectángulo de área máxima es el que tiene el cuadrado de su 6rea tam- bién máximo.]

13. Hallar el volumen del cilindro circular recto más grande que puede inscribirse en un cono circular recto de radio (I y altura h.

14. Hallar la altura del cono circular recto de volumen máximo que puede inscribirse en una esfera de radio LI.

15. Hallar el i rea del triángulo isosceles mayor que puede inscribirse en un círcu- lo de radio u.

16. Un cartel rectangular de cartón debe contener 216cm’ de texto impreso con márgenes de 2 cm a los lados y de 3 cm en las partes superior e inferior. Hallar las dimensiones del cartel que utilice la merlor cantidad de cartón posible.

17. Un avión sufrió un accidente en el desierto a 15 km en linea recta del punto m i s cercano A. Un camión de rescate partió por carretera de un punto que dista 30 km de A. Si el camión viaja a 23 km,/h en carretera y a 40 km/h en línea r a t a en el desierto, i a qué distancia de A debe abandonar la carretera para llegar al sitio del accidente en el mínimo de tiempo?

18. Se construye una ventana con vidrio transparente de forma rectangular re- montado por un semicírculo de vidrio de color. El perímetro total de la ventana es de 36 m. a) Hallar la razón de la altura a la

anchura del rectángulo para maximizar el área del vidrio transparente en la porción rectangular.

b) Si el vidrio transparente deja pasar dos veces más luz que el vidrio de color, hallar la razón de la altura a

19.

20.

21.

22.

23.

la anchura del rectángulo para dejar pasar la máxima cantidad de luz. Si el vidrio de color cuesta cuatro veces más que el vidrio transparente, y la ventana debe tener por lo menos 4 m de ancho, hallar el ancho de la ventana que contenga el costo mínimo.

resistencia de una viga de sección rectangular es proporcional a la anchura y al cuadrado de la profundidad. Hallar las dimensiones de la viga rectangular más resistente que pueda cortarse a partir de una pieza de madera circular cuyo radio es de 9 m.

El barco A navega hacia el norte y pasa frente a una boya a las 9:OO A.M.. El barco B, que navega dos veces más ripido con rumbo este. pasa frente a la misma boya a las 1 1 : o A.M. del mismo día. LA qué hora seri mínima la distancia entre los dos barcos‘?

Se construye un silo de forma cilíndrica coronado por un hemisferio. Si el material de construcción del hemisferio es dos veces más caro por m2 que el material de construcción del cilindro, hallar la razón de la altura al radio del silo para obtener la estructura más econó- mica dado el volumen. (No considerar el desperdicio en la construcción.)

Se va a construir una caja abierta a partir de una pieza rectangular de car- tón, cortando cuadrados iguales en las esquinas y volteando hacia arriba las aletas resultantes. Hallar el tamaño de las esquinas cuadradas que deben recor- tarse de una lámina de cartón de longitud a y de anchura b para obtener la caja de volumen máximo.

El siguiente es un modelo económico simple para la producción de un artículo perecedero que debe venderse el mismo día de producción para evitar pérdidas debidas al deterioro.

El productor tiene costos operacio-


nales básicos de u pesos diarios. Cada artículo que se produce tiene un costo de b pesos por insumos y mano de obra. Además, si el fabricante produce x artí- culos por día, existe un costo diario de ex2 pesos, que resulta por condiciones de la eficiencia que disminuye a medida que se van produciendo los artículos. (El valor de c generalmente es muy peque- ño; por tanto, cx2 es de magnitud des- preciable a menos que x aumente en forma considerable.) Si se produjese solamente un artículo por día, podría venderse el mismo día por A pesos (el precio de demanda inicial). No obstante, el precio de venta de cada artículo producido en un día dado cae B pesos por cada artículo que se produzca en ese día. (El número B refleja el grado de satura- ción del mercado por artículo y por lo general es muy pequeño.) a) Hallar una expresión algebraica que

dé la ganancia diaria si el fabricante produce x artículos por día.

b) Hallar, en términos de u, b, c, A y B, el número x de artículos que el fabricante debe producir diariamente para que la ganancia de cada día sea máxima.

24. Suponer que en el modelo económico del ejercicio 23, el gobierno ha estableci- d o un impuesto de t pesos por artículo manufacturado. a) Determinar el número x de articu-

los que el fabricante debe producir diariamente para que su ganancia diaria sea máxima. [Sugerencia. No es necesario aplicar el cálculo si se ha resuelto el ejercicio 23. Conside- rar solamente cómo cambian los impuestos los costos de produc- ción.]

b) Hallar, en términos de a, h, c, A y B, el valor de t que hard máximo el ingreso del gobierno, suponiendo que la ganancia del fabricante es miixima como en la parte a).

25. Una malla de u m de altura se instala a

26.

27.

28.

b m de distancia del costado de una casa. Hallar la longitud de la escalera más corta que alcance la pared de la casa desde el suelo, por fuera de la malla, y que pase por encima de ésta.

La altura sesgada de un cono circular recto es de 10 cm. Hallar el ángulo del vértice O (ver fig. 5.18) para que el cono tenga volumen máximo.

Figura 5.18

Una estatua de 12 m de altura está colocada sobre un pedestal de 41 m de altura. LA qué distancia de la base del pedestal, en el suelo horizontal, debe colocarse un observador para que el ángulo B de su visual a la punta superior de la estatua sea máximo si el ojo del observador está a 5 m de altura sobre el suelo? [Sugerencia El valor máximo de 0 tiene lugar cuando tan 0 es un máximo.]

Según el principio de óptica de Fermat, la luz sigue la trayectoria cuyo tiempo de desplazamiento es mínimo. Si la luz viaja con velocidad u, en el medio 1 y velocidad u2 en el medio 2, y si la frontera entre los dos medios forma un plano, según se muestra en la fig. 5.19, demostrar que, según el principio de Fermat, la luz que se desplaza de A a B en la fig. 5.19 cruza la frontera entre los dos medios en el punto P tal que

sen 8 , v 1 sen e2 u , "_ -

(Esta es la ley de rejraccidn o ley de Snell.)

146 C.4LC'ULO CON GEOMETRíA ANALITIC.4

Figura 5.19

5 7 . EL CALCULO EN I A ECONOMIA Y LOS NEGOCIOS

En muchas universidades, los estudiantes de economía que aspiren a realizar estudios dc postgrado. deben tomar muchos cursos de los ofrecidos en el departamento de matemáticas, que incluyen tres semestres de cálculo. El cálculo es un instrumento importante en el estudio de la teoría económica.

Se tratara ahora acerca de una situación económica muy simplificada. Se supone que una compañia fabrica cierto producto en una situación ideal donde no existe competencia. Esto brinda a la compañía un control razonable sobre su propio destino. También se supone que el costo de producción de un artículo, el ingreso que se recibe como producto de su venta, y la ganancia que se logra, son funciones del número .Y de unidades del producto qtle se fabrica por unidad de tiempo (un mes. o u n año. etc.). Esta es una suposicicin importante. Significa que las decisiones respecto a promoción, transporte al mercado. etc.. son funciones de este número .Y de unidades producidas.

En muchas situaciones de tipo econdmico, el interés se centra en valores rntrros de una variable s. Ante todo, una compañía de construcción. por ejemplo, no va a construir 31.347 casas. Mientras que algunas de las funciones. como el costo. se definen solamente para valores entero? de S , se supondrli que existen funciones derivables C(s) definidas en todo el interkalo y que dan los costos para todos los valores enteros de .Y en el intervalo. Teniendo esto presente, sea

('(.Y) = costo de producir .Y unidades por unidad de tiempo,

R(.u) = ingreso que st' pcrcibe si se producen S unidades,

P i x ) = R ( x ) - C ( i) .=- ganancia cuando se producen Y unidades.

LOS economistas se interesan en los costo.s cmryintlles, los ingresos maryinulrs y / L I S yuncrr~ius ~ ~ z ~ r g i r z ~ l e s cuando se producen .Y unidades. En un curso de economía

APLICACIONES DE LA D E R I V A D A 147

de nivel elemental que no aplique el cálculo, el costo marginal en x se define como el costo de producir una unidad adicional en el período de tiempo, así que

C(x + 1) - C(x) Costo marginal = C(x)+ 1) - C(x) = __

1

Observando (1) puede verse que el costo marginal en x es C'(x), aproximadamente, puesto que (1) da la aproximación

C ' ( X ) == C(X + AX) - C(X)

Ax -

donde Ax = 1. En un curso de nivel superior, el adjetivo rnurginul significa, por lo general, una derivada.

Definici6n 5.4. El costo marginal es dC/dx, el ingreso marginal es d R / d x , y la ganancia marginal es dP/dx.

Ejemplo 1. Una compañía fabrica una calculadora popular de bolsillo. Su función de costo anual en pesos es

C(x> = 90 O00 + 500x + 0.01x2,

donde x se da en centenares de calculadoras producidas cada año. Los $90000 representan el desembolso anual de capital para la planta, seguros y gastos fijos de la misma indole. El coeficiente $500 puede representar el costo, no incluido en los gastos fijos, de producir 100 calculadoras cuando la producción es baja. El término 0 . 0 1 ~ ~ entra en juego solamente cuando x es grande, y representa problemas originados por el almacenamiento de inventarios excesivos y el aumento del costo de algunos materiales que pueden escasear al aumentar la producción de calculadoras. Se supone que la función de ingreso es dada por

R ( x ~ = 1 0 0 0 ~ - 0 . 0 5 ~ ~ .

En esta expresión lOOOx aparece porque las primeras calculadoras producidas se venden a razón de $10 cada una. El término - 0 . 0 5 ~ ~ aparece porque, si x es grande, puede ocurrir una saturación del mercado tal que caigan los precios. Hallar la ganancia marginal y averiguar cuántas calculadoras debe fabricar la compaiíía para que la ganancia sea máxima.

SOLUC'ION. Se tiene

P(x ) = R ( x ) - C(X) = (1000~ - 0 . 0 5 ~ ~ ) - (90 000 +- 5 0 0 ~ + 0.01~') = -90 O00 + 5 0 0 ~ - 0 . 0 6 ~ ~ .

Entonces d P dx

Ganancia marginal = - = 500 - 0.12~.

Entonces

así

Y

Puesto que lím.,-+<l+ C(x)/x = lim, , , C(s~;.x = x. cxiste un mínimo en alguna parte, y el resultado obtenido debe ser el mínimo bnscado. Este costo promedio mínimo se obtiene cuando se producen 300 000 calculadoras por año. El costo mínimo promedio es C'(3000)/'3000 = $560 por cada centenar de calculadoras, o sea: $5.60 por calculadora. ~,

Finalmente. se darl'ln dos ejemplos que ilustran l a s aplicaciones del cr-iiculo cr1 problem,as de negocios.

Ejemplo D. Ln cstablecimiento dedicado a la venta dc Ljccesorios para automhviles vende 9000 llantas por año. Cada llanta no vendida y almacenada tiene ( 'os fos cwrrierrfr.5 de $50 por año (almacenamiento. seguros. etc.). Cada pedido cuesta 625 por llanta en el lote. m i s $10 por el procesamiento del pedido. Hallar la frecuencia anual de pedidos del establecimiento y el tamaiio del pedido para minimizar la suma de los C~O.Sf0.S rir, itlr.cHrur.io.

SOLXCI~)N. Sea S el tamaño de cada u n o de los pedidas, es dccir, el nilmero de llantas que se pide cada vez. Entonces

Y

Entonces

Se ve ficil:nente que C(x) = O cuando x2 = 360 i>iici, c ' ', .-: .* ii,d .:)O0 = 600 llantas. Puesto que C"(x) = 1 8 0 0 0 0 ~ - ~ > O, se tiene un minimo.' Por tanto, las llantas deben pedirse en Zotes de 600 y debe haber 9O00/600 I= 15 pedidos por año. 1 1

~ ~ ~ r n ~ ~ ~ 4. U n pescador tiene derechos exclusitos sobre un trecho de bancos de almejas. SI en los bancos las condiciones son tales que una población de p barriles de almejas esle afio daría una pohiaci0n def(p) = %,I: - $p' barriles el próximo año, ;,cuántos hsrriles debe sacar anualmente el pescador para obtener la máxima cosecha

~ ~.~

tras ¿!60?

SBLI;CION, El pescador puede sacar h(p) = f ( p ) - p barriles de almejas durante el año sin agotar ia población original de p barriles. Se desea maximizar h(p) . Ahora bien,

h ( p ) = f ( p j - p = ( S O P - :pz, - p = 49p - y .

h ' ( p ) = 49 - ;p Entonces

y h'(p) = O cuando p = 98. Puesto que h"(p) = - 4 < O, se tiene un máximo. Por tanto, el pescador debe en primer lugar ajustar l a población de almejas a 98 barriles, permitiendo que se multipliquen o extrayendo la población que haya de exceso. Entonces podri cosechar

h(98) = 50(98) - :(98)' = 2499 barriles cada año. es decir, 48 barriles por semana, aproximadamente, año tras año. ) I

RESUMEN

1. Si C( S ) es el costo, R ( x ) rl ingreso j- P ( s ) = R ( x ) -- í ( x ) IN gnnunciu de producir x unirlades de un protlurro p o r unilluti t le tienzpo, entonces el costo nzarcjinnl es d/C!'d.u, el ingreso rnuryind es dR/dx, y l u yanuncia nwryinul es dP,ldx.

2 . El costo promedio es C(x)/s. EI ingreso promedio 1 1 la yunanciu promedio se definen 1e muneru undlogu.

3. Puru que r l costo promedio seu minimo, debe tenerse

Costo marginal = Costo promedio.

EJERCICIOS

l . Hallar las siguientes respuestas en rela- a ) El costo marginal. ci6n con la compañía manufacturera de b) El ingreso marginal. calculadoras que se describe en el ejcm- c) La ganancia marginal. plo I , cuando se producen ZOO0 undadcs. d ) La panuncia promedio.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Hallar cuantas medidas debe producir la compañía manufacturera de calculadoras descrita en el ejemplo 1. para obtener la ganacia promedio máxima, y cuál es el valor de esta ganancia promedio. Una pequeña compañía fabrica estufas de leña. Su costo C(x) e ingreso R(.Y) cuando se fabrican S estufas por año vienen dados por

C(X) = 10 O00 -t 1 5 0 ~ + 0.03x2, R(x) = 250x - 0.02~'. a) Hallar la ganancia marginal cuando

x = 100. b) ¿Cuantas estufas debe producir la

compañía para obtener ganancia má- xima? ;Cuál es la ganancia mixima?

Para la compañía del ejercicio 3, hallar el costo minimo promedio y la ganancia maxima promedio. Demostrar que para cualquier valor x > O, donde la ganancia promedio alcanza un máximo (o un mínimo) mayor que cero, la ganancia marginal debe ser igual a la ganancia promedio. Argumentar de manera intuitiva, sin utilizar el cilculo, que el coste promedio ser6 mínimo para x > O si es igual al costo marginal.

El ahorro de una familia es una función S(I) de sus ingresos 1; y el consumo de la familia es una función C(1). La propen- sidn rnarginnl al ahorro es dSi(11, y la propensión marginal al consumo es dCldl. Demostrar que si todo el ingreso se utiliza para ahorro o consumo, entonces

La propensión marginal al consumo = 1 - (propensión marginal al ahorro).

b) Describir los impuestos promedio miximos y minimos por unidad dc ingreso. s i cxisten.

9. Una tienda de electrodomkslicos vende 200 refrigeradoras cada Ztñcj. Sus costos corrientes son tie $10 .muaIc..s por cada refrigeradora no vendid;r :ll!n:!ccnada. E-! costo de registro de cada pcdido es de $5 por refrigeradora mhs $10 dc costos ad- ministrativos del pedido. i ,C ' l i hn tas veces al año debe la tienda formular pedidos y cui1 debe ser el tamaño de cada pedido. para minimizar el costo de inventario'!

IO. Una población de P conejos sikestrcs en una granja da origen a u n a poblacihn de

f(P) = 6 P - (1112)~'

al año siguiente si se permite que su crecimiento sea libre.

a ) ¿,Qué poblacibn permaneceri constante, año tras año, si se permite que el crecimiento sea libre?

b) i,CuBI es la cantidad sostenible mixima que puede capturarse año tras año? ¿,Cub1 es el tamaño de la po- blaci6n correspondiente?

5.8. ANTIDERIVADAS

5.8.1. Antiderivación

Se ha dedicado bastante tiempo a la derivación, es decir. a h a i l ~ r , f ' ( x j si se conoce f ' (x) . L a nntirlerivucidn, que consiste en hallar .f'(x) si se conoce ,f"(x), es de igual importancia. Se dice quef'(x) es una antiderivada def"(x). A continua cid^^ se da una


indicación de la importancia de ta! computación. Se ha visto q :e si se conoce la posición S de un móvil en una linea en el tiempo f, entonces risldy = c es la velocidad, y d2.s/dt2 = a es la aceleración en el tiempo t. Pero, en la práctica. frecuentemente se conocen la posición y la velocidad en el instante inicial r = C. mientras que la aceleración se conoce para todo tiempo t 3 O. Esto se debe a que frecuentemente se aplica una fuerza controlada I.' para producir el movimiento, controlsndo el empuje de algún motor. Según la segunda ley del movimiento de Newton, F = mu, donde m es la masa del móvil. Entonces, si se conoce la fuerza F. se conocer& la aceleración u = F;nz. La antiderivación de la aceleración da r i la velocidad y la posición del móvil se hallarli por la antiderivación de la velocidad. Ahora se pide obtener una fórmula muy conocida para hallar la altura de un cuerpo que cae libremente en el vacío. sajeto solamente a la aceleración de la gravedad, en el ejercicio 18.

Por cambio de notación, J ' (x) representar5 la función conocida y F(x) la antiderivada que se desea hallar, de modo que

F ' ( x ) = f(x).

Ejemplo 1. Ficilmente se ve por derivación que x3/3 es una antiderivada de x2. Sin embargo, (x3/3) + 2 también es una antiderivada de x' y, en general, si k es una constante, entonces (x3,/3) + k es una antiderivada de x'. / /

U t ~ u constante urhitruriu

Como se ilustra en el ejemplo 1, si F ' ( x ) es una antiderivada de .f(.x), entonces F(x) + C también es una antiderivada para cualquier constante C. En este contexto, C es una constante urhitruria. Puede aplicarse el teorerna del valor medio para demostrar que todas las antiderivadas de f ( . x ) son de la forma F(x) + C y que no hay otras. Esto se demuestra en dos pasos.

Se demuestra en primer lugar que si F es derivable en [u, h] y F'(x) = O para todo x en [u , b], entonces F(x) = F(u) para todo .x en [u, h]. Si se aplica el teorema del valor medio a [a, x] para todo x tal que u < x d h, entonces

donde N < c < x. De este modo, F ( x ) - F(u) = O, así que F(x) = F(u) y F ( x ) es constante en [u, b] .

Respecto al segundo paso, se har5 referencia al caso general donde F'(x) = f(x) para todo x en [u, b] . Sea G'(x) =f( .x) para todo x en [u, b]. Entonces,

Según el último pirrafo, G(x) - F ( x ) = G(u) - F(uL Si C = G(u) - F(u), entonces G(x) = F(x) + C. El resultado anterior se resume en el teorema 5.8.

Teorema 5.8. Si F ' ( x ) = f ( x ) , entonces todus lus unticierirudas de .f'(x) son de la j¿Irrna F ( x ) + C pcrrcr al~qlunu cnnstantr C.

Ejemplo 2. En el ejemplo 1 sc ve que la forma general de la antiderivada de .xz es ( s 3 1 3 ) + c. / / Ejemplo 3. Ficilmente sc p:\cde verificar por derivación que para tz + - 1. l a forma general de la antiderivada de .yn es (.Y'' - ' ; ( t ~ + 1 ) ) + C. I (

Seanj 'y y funciones con igual dominio. Si I; es una antiderivada de fy G es una antiderivada de entonces la vcrificacibn de que F.' + G es una antiderivada de f ' + y c , F es una antitlerimda de c./; cs t r i v i a l . Solamcnte cs necesario derivar t; + G para obtener

y derivar cF para obtener

Ejemplo 4. En vista del ejemplo 3 y de los comentarios anteriores, se ve que la forma general de la antiderivada de u n polinomio es

u,x" + . . . +a,x + a,,

es

un($) +. . . +a,- X * + a,,x + C. 2

Por ejemplo, la forma general de la antiderivada de 3s' + 4.x + 7 es

3 - + 4 - + 7 x + C = x ' + 2 x 2 + 7 x + C . ) I (3 (3 Ejemplo 5. Es posible verificar por derivación que la forma general de la antiderivada de sen ux es ( - I/a) cos ax + C. De manera aniloga, la forma general de la antiderivada de cos ux es (1,íu) sen UT + C. / /

5.8.2. Ecuaciones diferenciales

LJna ecuación que contiene la derivada de una función ((incógnita)) que se debe despejar, es una ecuación diferencial. El problema de hallar una antiderivada de una funciónfeyuivale a hallar una solución de una ecuación diferencial. Es decir, hallar una antiderivada de f' es hallar una función F que sea solución de la ecuación diferencial

F = f.


Se desea hallar una función y = F(s) que sea. en la notación de Leibniz, solución de la ecuación diferencial

Si j'tiene una antiderivada, es decir. si la ecuación diferencial d ~ j / t l s = j (x) tiene una solucicin, entonces la antiderivada general defes la solución general de esta ecuación diferencial.

Conviene caracterizar geométricamente la solución general F ( s ) + C de la ecuación diferencial dy ldx =f(.x). Si G(x) = F ( s ) + k, entonces la grrifica de G es simplemenie la grrifica de I; trasladada lkl unidades hacia ccarriba)) si k > O, o 1X.l unidades hacia trabajo)) si h < O. Entonces, el conjunto de funciones F ( s ) + C se representa geométricamente como una colección de grdicas con la propiedad de que una cualquiera de ellas es ctcongruente,) con cualquier otra, y puede transfor,marse en la otra por medio de traslaciones hacia arriba o hacia abajo.

Ejemplo 6. La fig. 5.20 muestra algunas de las gráficas de la soluciones de la ecuación diferencial

dY " - x. dx

- .\- h

Figura 5.20. A la izquierda, gráfica dibujada a mano. A la derecha, gráfica dibujada por computador.

Todas estas funciones son antiderivadas def'(x) = x, y son de la forma ( ~ ' 1 2 ) + C. Para las antiderivadas F y G def; cl hecho de que F ' ( x , ) = G'(s,,) = .f'(xo) para todo .xo significa que las grLificas de F y G tienen igual pendiente (es decir, son rectas paralelas tangentes) en .xo, como se ilustra en la fig. 5.20. I /

APLICACIONES DE L A DERIVADA 155

Si f está definida en x, y existe una solución F de dyldx = f ( x ) , entonces para cualquier y, es posible encontrar C tal que la solución G(x) = F ( x ) + C satisfaga la condición inicial expresada por

G(xJ = YO.

En otras palabras, si se desea tener

YO = G(xo) = F(xo) + se toma C = y, - F(x,) .

Ejemplo 7. Hallar la solución G(x) de dy/dx = x tal que G( l ) = 3.

S O L U C I ~ N . Sea G(x) = (x2/2) + C. Se requiere que

3 = G ( l ) = (1*/2) + C.

Entonces C = 3 - (i) = 3. De esta manera, G(x) = (x2/2) + (3). 1 1

RESUMEN

1. Si F'(x) = f ( x ) , entonces F ( x ) + C es la untiderivada general de f ( x ) , donde C es una constante arbitraria.

2. LLI antideriuada general de x" es (x" + ' ) / (n + 1) si n # - 1.

3. La antiderioada de una suma es la suma de las antiderivadas, y la untiderivada de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada por la untiderivada de la función.

EJERCICIOS

En los ejercicios 1 a 12, hallar la antiderivada En los ejercicios 13 u 17, hallar la solución general de las funciones dudas. y = F(x) de la ecuación dijerencial que satisjace

1. 2 2. x" - 3x + 2 la condición inicial dada.

3. 8x3 - 2xz + 4 4. x]/* 13. - = 8, F(2) = -3 dY dx

5. x-2/3 6. 4x + XI" dY

dY

dY 11. cos 3x 12. 5 sen 8x dx

14. - = 3xZ + 2, F(0) = 1

7. (x" + 1)" 8. JF-1 dx

15. - = x + sen x, F(0) = 3 1 9. - &Ti 10. sen x dx

16. - = 3 COS 2x, F

156 CALCULO CON GEOMETRíA ANALlTlCA

dY r- 17. - = X -- Jx, F(1) = T seg’. Entonces, si S es la altura del

dx cuerpo sobre la superficie de la Tierra, en el tiempo t , se tiene que d2s/dt2 = -32. Suponer que para el tiempo r = 0 la velocidad inicial del cuerpo es r0 y su posicicin inicial S,,.

18. (Caiciu iihrr t ~ n c l rucio.) Suponer q u e un cuerpo cercano a la superficie de la Tierra está sujeto únicanlente a la fuerza de gravedad; es decir, no se tiene en a ) Hallar la velocidad 11 = ds/dt del cuenta la resistencia del aire. Se sabe que cuerpo como función de t. la aceleración del cuerpo se dirige hacia b) Hallar la posición S del cuerpo como abajo y tiene una magnitud q = 32 pies, funci6n de t.


1. si la altura de un cono circular recto S. Hallar la solución de la ecuacihn diferen- permanece constante a 10 m, mientras cia1 dy:rlw = 3x2 - 4.Y + 5 que satisfaga que el volumen crece a la raz6n fija l a condicibn inicial y = - 2 cuando Y = 1. de 8 m3;min. hallar la razbn de crecimiento del radio cuando éste mide 3 m. (El volumen V de un cono, el radio de cuya base es I‘ y cuya altura es h, vlene dado por I’ = i?cr2h.)

6 . Dibujar la grhfica de = .y3 - 3.y’ + 2, hallar e identificar todos los miximos y mínimos locales y todos los puntos de intlexihn.

7. U n cono circular recto tiene una altura sesgada constantede 12 m. Hallar el radio de la base que dé el cono de volumen máximo. (El volumen I’ de u n cono. de basecon radio r y altura h, es k’ = -:nr2h.)

2. Se desea hallar una soluci6n de !(.Y) = x y 3 - .iu + 1 . Puesto que / ‘ ( I ) = -- 1 y j ’ ( 2 ) = 3, existe una solucihn entre 1 y 2. Utilizar el método de Newton para hallar dos aproximaciones sucesivas. si se comienza con 2 como primera aproxima- 8. IJna compañia tiene las siguientes funcihn 3 la solucihn. ciones de costos e ingresos

3. Hallar los valores mhximos y mínimos que asume x 3 - 3.c + I en el intervalo C ( X ) = 5 O00 + 1 soox + O.O2x’,

[O, 31. R(x) 7 2 000.r -- 0.5”.

4. Sea j ’una función derivable para todo x. a) Hallar la ganancia marginal cuando Si . f ( l ) = - 2 y , f ’ (x ) 3 2 para .Y en Y = 10000. [ I , 61, aplicar el teorema del valor medio b) Hallar la ganancia promedio cuando para demostrar que,/(h) 3 8. .Y = 1 o 000.


1. Si las longitudes de dos lados de un 2. Aplicar el método de Newton para cal- triángulo permanecen constantes en 10 cular aproximadamente G/%. a partir y 15 m, respectivamente, mientras q u e el de 3 como primera aproximacihn y ha- hngulo 0 entre ellos crece a razhn de 1 :lo llando la aproximaci6n siguiente. radianimin, hallar la razón de crecimien- to del tercer lado cuando O = ?c 3. 3. Hallar los valores mhximos y mínimos

APLICAC‘IONES DE LA DERIVADA 157

que asume la función .x4 - 8x2 + 4 en el intervalo [ - I, 31.

Si f ‘ ( x ) existe para todo S y f(4) = 12 7 . mientras quef(x) < - 3 parax en [ - 1,4], aplicar el teorema del valor medio para hallar el menor valor posible paraf( - 1 ).

Un móvil que se desplaza sobre un eje S

tiene una aceleración a = 6t - 8 en el tiempo t. Si para t = 1 el móvil esti en el punto S = 4 y tiene una velocidad 1’ := -3, hallar la posición S como funcibn del tiempo.

Dibujar la grifica de y = 2x2 - .x4 + 6, hallar e identificar todos los miximos

8.

y mínimos relativos y todos los puntos de inflexión. tJn rectángulo cuya base está en el eje x tiene sus vértices en la parabola y = 16 - x* para -4 5 x I 4. Hallar el hrea mkxima que pueda tener el rectingulo. llna compañia que fabrica S unidades de cierto producto por año tiene una función de costos C(x) = 10000 + 500x + 0.05~’ pesos. y un ingreso marginal de M R ( x ) = 900 -. 0.041 pesos por año, Hallar la ganancia si se fabrican 100 unidades por año.

Problemas más dificiles S

1.

2.

3.

4.

5.

Un granjero tiene IO00 m de malla que desea utilizar para cercar un terreno cuadrado y otro rectangular. Cada uno de estos terrenos ha de tener un área de por lo menos 10000 m’. iQué tamaños debe cercar para maximizar el área total? (Utilizar una calculadora.)

Demostrar que si f es una función dos veces derivable en u < x < h y f(s) asume el mismo valor en tres puntos distintos de [a, h] , entonces f”(c‘) = O para algún c donde a < c < h.

Enunciar una generalización del resultado del ejercicio 2.

Suponer que.fes derivable en O d x < 10 y f(2) = 17, mientras que l.f’(x)i < 3 para O < x < 10.

a) ¿Cui1 es el valor máximo posible de f(x) para cualquier S en [O, lo]?

b) ¿Cuál es el valor mínimo posible de f ( x ) para cualquier x en [O, lo]?

Marina está en la orilla de un lago circular de a km de radio, y desea cruzarlo hasta el punto directamente opuesto. Puede remar en un bote que se desplaza a 4 km/h, o puede trotar por la orilla de la playa a 8 km/h, o puede remar hasta algún punto y trotar el resto del

trayecto. ¿Qué debe hacer para llegar al otro lado en el menor tiempo posible‘?

La ciudad A está situada a 2 km de la orilla de un río que corre en línea recta. La ciudad B esta situada a 3 km de la misma orilla y en un punto 15 km río abajo. Las dos ciudades acuerdan construir una estación de bombeo para suministro de agua en la orilla del río. ¿,A qué distancia río abajo del punto de la orilla mi s próximo a la ciudad A deben construir la estación para que la longitud total de las tuberías de conducción del agua a las dos ciudades sea mínima‘? (Resolver este problema aplicando primero el cálculo, y luegoctdesplazando laciu- dad .4 a través del río)) y aplicando geo- metría. ¿Qué conclusiones se obtienen?) Resolver la ecuación x’ = sen x. (Utilizar una calculadora.) Dar un ejemplo de una función f y un número a , tal que si se intenta resolver f(x) = O por el método de Newton, con aproximación inicial a l , se obtenga una oscilación entre dos valores distintos. Construir un ejemplo como el del ejercicio 8, pero donde la oscilación sea entre valores positivos y negativos de magnitudes crecientes.

La integral

La importancia práctica tanto del cilculo integral como del diferencial se basa en las posibilidades que ofrecen para resolver situaciones en las que las cantidades varian continuamente. En realidad, el cálculo diferencial y el integral están estrechamente ligados, como se demuestra en este capítulo. Newton (1642-1727) y Leibniz (1646- 1716) desarrollaron el clilculc inregral en la forma que hoy se conoce. Sin embargo, Arquímedes (287?-212 a.c.) utilizó los principios subyacentes al nilcleo del tema en sus trabajos relativos a la determinacidn de ireas de ciertos tipos de regiones en el plano. En razón de este trabajo, que se adelantó 2000 años a su época, debe reconocerse a Arquímedes como uno de los nxis grandes matemáticos de la historia. Newton y Leibniz aparecieron en escena cuando le k g Ó ai cálcub la época natural para su nacimiento y desarrollo, como puede verse en los resuitados que ambos lograron simultinea pero independientemente en el mismo campo. Newton y Lelbmz tenían a su disposicihn la geometría analítica de Ferrnat (1601-1665) y Descartcs (1596-1650), pero Arquímedes no la tuvo.

. .

6.1. LA INTEGRAL DEFINIDA

En este capítulo se considerarkn surnas de cantidades rcpresmi ,t!as por letras provistas de subindices, tales como

a , + uz + . . + u,,.

6.1.1. Notación de sumatoria

LA INTEGRAL 159

empieza Csta. El valor sobre es el límite superior de la suma, que indica dónde termina. La letra i es el índice de la sumatoria. La letra que se seleccione como índice de la sumatoria no tiene importancia; por lo común, se utilizan las letras i, j y k . Entonces

Una suma típica de común ocurrencia en este capítulo es

La utilización de la notación de sumatoria se entenderá mejor con el estudio de algunos ejemplos. Al formar la suma, se reemplaza sucesivamente el índice de la sumatoria por todos los enteros desde el límite inferior al superior y se suman las cantidades resultantes.

Ejemplo 1. Se tiene

2 3

ai = a, + a,, ai = a, + a2 + a3, i = l i = l

Y

ai = a4 + a5 + a6 + a,. 11 i =4

Ejemplo 2. Se tiene 3

i 2 = l2 + 2’ + 3’ = 14, i = l

4

c ( j - 1 ) = ( 2 - 1 ) + ( 3 - 1 ) + ( 4 - 1 ) = 1 + 2 + 3 = 6 , i=2

Y 2

( k 2 + 1) = (O2 + 1) + (1’ + 1) + (2’ + 1) = 1 + 2 + 5 = 8. I / k =O

Ejemplo 3. Se tiene

n c (ai + bi) = (a, + b , ) + * * * + (a, + b,) i = l

= (a, + - * * + a,) + ( b , + - - + b,)

i = l i = l

6.1.2. Sumas de Riemann

Longitud de ¡;I base Ax = h - 1I

f l

I ' A

2

Figura 6.2

1

Figura 6.3

LA INTEGRAL 161

(Ver fig. 6.3). Sea Y'" la sumu de las Breas de estos rectingulos, entonces

Sumus de Riernunrz

Esta suma :4 es una S I I I I I L I dc Ricvnurul" de orden I I para j ' en [u , h] . Obviamente, la suma de Riemann J/i (2) no solamenle depende dcl v:dor de 11

sino también de la funciónj; del intervalo [o.h] , y de la selección de puntos . y I , ..., S,, en los I I subintervalos en que se dividió [ u , h ] . Sin embargo, una notación que reflejase todas estas dependencias sería muy incómoda: por tanto, se usarh simplemente ,</,:. Ejemplo 4. CaIc~lIar .4;(2l) apl-osirnadamente compulando .'/;. con los puntos . Y , , . Y ~ , . Y ~ ~ y ,yJ.. puntos medios del primero, segundo. tcrcero y c:larto intervalo, respectivamente.

S O L ~ K T ~ N . Esta s,iturtción se ilustra en la fig. 6.4. Se tiene

x, == 1 4, x2 = 4, x3 = 4, S' xq = 2, 3 5

mientras

b - a 2 - 0 1 n 4 2'

- -

--",x 3 Figura 6.4

~ _ _ * Debe su nombre a l maternitico alemin Bernhartl Riemann (1826-1866).


La aproximación ?Y4 para Ai(x2) dada por (2) es entonces

T ( B 1 1 + 6 + 3 + %) = +(%) = y = 2 . . 625

Más adelante se verá que el valor exacto de A i ( x 2 ) es 4 ; por tanto, esta aproximación es adecuada. j j

Es importante observar que la suma .Y’: en ( 2 ) puede formarse aunquef(x) sea negativa para algún x en [u, h ] ; la interpretación geométrica de :4 para tal función apareceri mis adelante en esta sección.

Existen muchas maneras naturales de escoger los puntos x i en (2). Una de ellas consiste en seleccionar x, de modo quef’(x,) sea el culor mciximo M i def(x) para x en el i-ésimo subintervalo ti.. < x < (ver fig. 6.5). Esto da una suma de Riemann que seguramente ser6 >, A:(f) . Otra forma consiste en escoger xi tal quef(xi) sea el calor minin1o m i def(x) en el i-ésimo subintervalo, lo que da una suma de Riemann que es d AXf’) (ver fig. 6.6).

Sumus superiores e infi.riort.s

A continuación se resumen la notacicin, la terminología y las relaciones:

S,, = Suma superior de Riemann = __ b - ’( f M,). n t = 1

S,, = Suma inferior de Riemann = -

:fn = Suma de Riemann = - ( 2 f ( x , ) ) . b - a n , = I

(4)


Ejemplo 5. Hallar la suma superior S2 y la suma inferior s2 para aproximar &(x2).

LA INTEGRAL 163

SOLUCION. Sean n = 2, y

b - U 1 - 0 1 n 2 2'

"-="-=-

Se ve claramente por la gráfica de f en la fig. 6.7(a) que

m , = O y m2 = +,

mientras que M = L 1 4 Y M2 = 1,

como se muestra en la fig. 6.7(b). Por tanto,

s2 = ($)(O + $) 5 A;(x2) 5 ($)(+ + 1) = S2, entonces

I AA(x2) 5 2.

Naturalmente, estas cotas de Ah(xz) son muy imperfectas. 1 1

J' Y A A

x - 0 3 1 0 4 1

.X

(a) La suma inferior s2 (b) La suma superior S, Figura 6.7

El cálculo aproximado de &(x2) del ejemplo 5 puede mejorarse si se elige un valor mayor de n.

Ejemplo 6. Calcular &(x2) hallando s4 y S,.

SOLUCION. Como se indica en la fig. 6.8(a) se tiene

como se indica en la fig. 6.8(b). Desde luego,

b - U 1 - 0 1 -= -=- n 4 4'


Por tanto,

S, = (:)(O + + 4 + &) 5 A:(x2) 5 (+)(A + + & + 1) = S,

Los resultados aritméticos dan

Este resultado es mejor que el del ejemplo 5, que dio & 6 &(x2) 6 g. Se puede calcular Ah(x2) aproximadamente sacando el promedio entre & y @ que

da g. Mis adelante se mostrará que el valor exacto de es De este modo, 9 es una aproximación adecuada. 1 1

1: r

+X

Y t

Figura 6.8

(a) La suma inferior s4 (b) La suma superior S,

6.1.3. La integral definida

La precisión de las cotas S, y S, para At(f’) puede medirse por S, - S,. Geométrica- mente, S, - S, corresponde a la suma de las áreas de los rectángulos pequeños que aparecen sombreados en la fig. 6.9. (La fig. 6.9(a) ilustra el casof(x) 2 O para todo Y en [a, b] , y la fig. 6.9(b) ilustra el caso dondef(x) es negativa para algunos x en [a, b]. Sea h, la altura del mayor de los recthgulos pequeños; es decir, h, es el máximo de M i - mi. Si los rectangulos sombreados se colocan en fila, puede verse que la suma de sus ireas es menor que h,(b - a), tal como se muestra en la fig. 6.9,

Sif’es una función continua, entoncesf’(x) se aproxima af’(xo) cuando x se aproxima suficientemente a x,; por tanto, es razonable esperar que cuando n crece (de modo que las dimensiones horizontales de los rectángulos pequeños sombreados de la fig. 6.9 se reducen considerablemente), las dimensiones verticales también se reducen. Es decir, se espera que h, se aproxime a cero para valores suficientemente grandes de n, así que

n-m lím h, = O.

L A INTEGRAL 165

b - a

h n

+X

b - a

I I I I I I I I I I I I

I n = 5

(a) S, - S, paraJ(x) siempre positiva (b) S. - S, para ,f(x) algunas veces negativa Figura 6.9

En vista de la ec. (8), lím,,+= h, = O implica que S, - S, tiende a cero para valores suficientemente grandes de n. Según la ec. (6), para f(x) 3 O, tanto S, como S, se aproximan a A,b(f) a medida que n crece; es decir, lo anterior puede sustentarse con el siguiente teorema.

Teorema 6.1. Si f es continua en [a, b] , entonces

n-m n-m "-m lím S, = lím Y, = lím S,,.

Definici6n 6.1. El límite común de todas las sumas de Riemann en (9) es la integral definida de f sobre [a, b] , que se escribe 1; f(x) dx, así que

r h

La notación j tf(x) dx, debida a Leibniz, puede interpretarse como sigue. Se considera el signo integral j como una S alargada que quiere decir ((suma)). Si se considera dx = Ax, un incremento en x, entoncesf(x) dx es el Brea del rectángulo que se muestra en la fig. 6.10. Así, la notación para la integral sugiere las sumas de (3), (4) Y (5).

Significado geométrico de 1; f(x)dx para algunos valores negativos de f(x)

En la mayoría de las figuras se ha dibujado la gráfica defpara el caso en quef(x) 3 O, para x en [a,b]. Si f(x) < O para x en el i-ésimo subintervalo de [a, b] , entonces tanto mi como Mi son negativas, y las contribuciones [(b - u)/n]mi a S, y [(b - a) /n]Mi a S,

166 CALCULO CON G E O M E T R ~ A ANALÍTICA

A

Figura 6.10

1 i Contribución

Figura 6.11

son negativas. Es evidente que para una funciónfdondeJ’(s) asume valores que son a veces positivos y a veces negativos, l”,(x) ds puede interpretarse geométricamente como el área total dada por las porciones de la gr6fica sobre el eje .S, menos el área total dada por las porciones de la grlifica bajo el eje .S (ver fig. 6.1 I ) .

Ejemplo 7. Aplicar geometría para hallar ( x - 2 ) d u . La fig. 6.12 muestra la gráfica = .S --’ 2. Puesto que el triángulo pequeño sombreado esti debajo del eje .Y y el grande encima,

r ( .~ -- 2)ti.v = (Area del tridnguln grande) - (;irea del pequeño) J ,

La noción intuitiva de tirrr1 se ha aplicado libremente para motivar el desarrollo de la integral definida. Después de enunciar el teorema 6.1 y dar la definición 6.1, el área bajo la grifica de una funcicin continua positivafsobre [u. b] puede considerarse tiejlfinida por f ( x ) d r .

“6.1.4. Cálculo de integrales mediante límites de sumas

Las fórmulas

1-1

* Esta subsecci6n puede omitirse sin pérdida de continuidad

LA INTEGRAL 167

Y "

i* = n ( n + 1)(2n + 1) i = l 6

pueden demostrarse fácilmente por inducción matemática. Estas fórmulas pueden utilizarse para el cálculo de integrales definidas de polinomios lineales y cuadráticos, como se muestra más adelante en los ejemplos 8 y 9. En la sección siguiente se hallará un método que facilitará el cálculo de las integrales; por tanto, estos ejemplos son simples ilustraciones de la definición 6.1 y tienen poco significado práctico.

Ejemplo 8. Hallar la integral I i (5x - 3) dx por aplicación de ( 1 1).

SOLUCION. Se efectúa la partición de [O, 41 en n subintervalos de igual longitud 4jn. Si se toma x i como el extremo derecho del i-ésimo subintervalo, entonces

. 4 4 i n n xi = 1 " = - .

Entonces

Y n = - C ( S . - - 3 4 " 4i " 4 - 30 " - i 3 ] n i = = l n - n [-n (, =, '1 4 20 n(n + 1) - 40(n + 1) I 'O("Z+ ') -;[y. 2 - 3 n

= - 12 = - 12. n

Por tanto,

Ejemplo 9. Aplicar (1 1) y (12) para hallar I: (x' + 2x) dx.

SOLUCION. Efectuar la partición de [2,4] en n subintervalos de igual longitud 2/n, y tomar xi como el extremo derecho del i-ésimo subintervalo. Entonces

Y

= 2 [8n + - - 12 n(n + 1) 4 n(n + 1)(2n + 1) n n 2 +2' 6 1

= 1 6 + 12n(n + 1) + 4n(n + 1)(2n + 1)

n2 3 n 3

168 CALCULO CON GEOMETRÍA A N A L ~ T I C A

Si se toma el límite cuando n + m, se tiene

RESUMEN

1. Pura escribir en forma extendidu y culculur una suma escrita simbólicurnente utilizando notación de sumutoria que comienzu con

sustituir sucesivumente el índice de lu sumutoriu i por todos los enteros desde el límite inferior 1 hasta el límite superior n, y sumar las cuntidudes resulruntes. Por ejemplo,

5 i .3 = 1' + 2 3 + 3' + 4' + 5'

1 - 1

Sea f continuu en [u, b] , y seu [u, b] un intervalo dividido en 11 suhinterculos d e longitudes iguales. Sea M i el calor máximo y mi el mínimo de f ( x ) sobre el i-ésimo subintervulo, y sea x i un punto cualquiera del i-ésimo suhinterrulo.

2 . S, = ~

b - U ( M , + M , + . . . + M,) = - - a (i Mi) n n , = I

3. S, = _____ 6 - a (m , + m2 + . . . + m,) = - '-'(f m,)

n n , = I

6 . J f(x) dx = l í r n S,, = lím S,, = lím Y,, n -*S n -= n -7 a

7 . Pura .f'(x) 3 O, S, < (Area bajo y = f ( x ) y sobre [u, b ] ) < S,.

EJERCICIOS

1. Desarrollar y efectuar cada una de las 4 6

siguientes sumas. c) a23 d) (azk +- b:) c = l k = 4

1

I =o

LA INTEGRAL 169

2. Calcular cada una de las siguientes sumas.

7 ‘l

a) ( i + 1)’ b) 2’ 1 =o 1=2

c) ( 2 i - 1)’ d) (2k . 3 k - 1 ) i = l k = l d

e) ((-1)’ . /’I j=1

3. Expresar cada una de las siguientes SU-

mas en notación desumatoria. (Son posibles muchas respuestas.)

a) a l b , + a2b2 + a3b3 b) a,b, + a2b , + a3b4 c) a , + a2’ + a,’ + a: d) alz + a; + a$ e) alb2’ + a 2 b 2 + a3b6’ f ) alb) + a$ + a3 4

4. Demostrar, como en el ejemplo 3, que x:= 1 (c. ai) = L{&, ai).

5. Demostrar, como en el ejemplo 3, que

6. Calcular l: x’ dx aproximadamente por aplicación de la suma de Riemann Y,, donde xi es el punto medio del i-ésimo intervalo.

7. Calcular J: ( l /x) dx aproximadamente por aplicación de la suma de Riemann X4, donde xi es el punto medio del i-Csimo intervalo.

8. Calcular S‘, x* dx aproximadamente por aplicación de la suma de Riemann ,Y2, donde xi es el punto medio del i-ésimo intervalo.

9. Hallar la suma superior S, y la inferior S , para x2 a partir de O hasta 2. (El valor real de ji x’ d x es 3.)

10. Hallar la suma superior S, y la inferior S, para x, a partir de O hasta 2.

11. Calcular J: (1 /x) dx aproximadamente

hallando la suma superior S4 y la inferior s4.

12. Hallar el valor exacto de 4 dx, donde 4 es la función constante usual.

13. Seaj(-u) = I - x ; considerar el intervalo

a ) Dibujar la gráfica de ,f’ en este intervalo.

b) Hallar S2 para este intervalo. (Nó- tese que f ( x ) asume ocasionalmente valores negativos para x en [O, 21.

c) Hallar s2 para este intervalo. d) ¿A qué valor común se aproxima S,

[O , 21.

y S, cuando n crece? 14. a) Hallar la suma superior S4 y la

inferior s4 para x 3 a partir de - 1 hasta 1.

b) Observando la gráfica de x3, i,a qué número común se aproximan S, y s. cuando n crece?

15. Calcular sen x dx, aproximadamente, hallando la suma superior S4 y la inferior s,.

En los ejercicios 16 a 21, dibujar una regidn cuya área sea dada por In integral. Determinar el ualor de la integral hallando el úrea de [u regicin.

16. [,’ x dx 17. I1’(2x + 3) dx

18. 1’ (x + 1)dx 19. 1’ J9- x’ddx

20. [ : J W dx

21. (3 + m) dx

En los ejercicios 22 a 31, hullar el valor exucto de la integral valiéndose de argumentos geomé- tricos y del hecho (que se verú mús adelante) de que

1;senxdx = 2.

- I - 3

22. sen x dx 23. senx dx


24. /oT’’ cos x dx 25. I cos x dx

26. (x3 - 3x) dx 27. [:COS x dx

28. [:“sen x dx 29. jsenxj dx

30. lcos x / dx 31. 1-1 12x1 dx

~ “ i 2

277

32. Dibujar la gráfica de la funci6nf’sobre el intervalo [0,2], de modo que S, esté más próxima a J$ f(x) dx que el promedio entre S2 y s2. (Esto demuestra que l a técnica de promedios utilizada en el ejemplo 6 a veces no da buenos resultados.)

33. Dibujar la gráfica de la función f sobre el intervalo [0,6] para el cual S, > S,. (Esto demuestra que mientras S, se aproxima a Jtf(x) d x cuando n crece, no es necesario tener S,, I < S”.)

En los ejercicios 34 a 37, ucilizar las f6nnulct.s (1 1) J’ (12) y la definicidn 6.1 para hallar 6 4

palor de I u s integrales dejnidas.

*34. l ) ’ ( x - 2) d x

*35. 112 (4x’ + S) dx

*36. 6‘(7 ~- 2x) dx

*37. 12‘ (x’ - 4x + 2) dx


Utilizar /a cdculutloru part1 hulkzr. el c ~ ~ l o r aproximado de la integral duda con J#i pura el 39. 11’ 2”nx dx donde = lo calor indicado de n, cionde xi es el punto medio del i-Jsitno suhinterrulo.

40. [’COS x’dx con n = 16 JO

6.2. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

En esta sección se supone que J’(x) y g(x) son continuas en [a, b] .

6.2.1. Propiedades de la integral

El teorema fundamental del cálculo expone las relaciones entre la derivada y la integral. Antes de seguir adelante con el teorema fundamental, se demostrarán tres propiedades de la integral que se dieron en las ecs. (I) , (2) y (3 ) . Las propiedades (1) y (2) son análogas a las de la derivada. Cuando se enuncian en palabras, la analogía es evidente. Los términos ctderivadan o ctintegraln pueden intercambiarse como sigue:

dericada dericadas de una suma es la suma de l a s integrales

LA INTEGRAL 171

derivada

integral La { } del producto de una constante por una función es el producto de la

constante por la de la función. derivada

integral

Teorema 6.2. L a s siguientes son tres propiedades de la integral definida

jab c f ( x ) dx = c - f(x) dx para cualquier constante c, I” (2)

lab f(x) dx = [ f(x) dx + 1; f(x) dx para cualquier h en [a, b]. (3)

Las propiedades anteriores resultan evidentes si se considera la interpretación en términos de áreas. La fig. 6.13 ilustra (3); es claro que el área bajo f ( x ) de a a b es igual al área de a a h más el área de h a b. Si se hace referencia a las sumas de Riemann -%U?,(f), %(Y) Y + Y) para f (x) , g(x) Y su suma, entonces

o l a - x Figura 6.13 h

Por tanto,


Esto establece (1). La propiedad ( 2 ) se establece de manera análoga. Se establece otra propiedad si se nota que si b = a, entonces

jau f(x) dx = O.

Es preciso que f ( x ) = f ( x ) dx + f ( x ) d x se cumpla aunque h no esté entre a y h. (Evidentemente, se requiere que a , b y h pertenezcan a algún intervalo dondef(.x) es continua.) Entonces, si b = a , se tiene que

que conduce a

jhu f(x) dx = -I,” f (x) dx.

La definición de l : f ( x ) d x si b > a se motiva a partir de (5) y viene dada por

jbu f(x) dx = -r f(x) dx.

AI final de esta sección se apreciará la conveniencia de la definición (6).

6.2.2. El teorema fundamental

Ya se ha establecido la definición de la integral definida j : f ( x ) d x y se ha adquirido práctica en su cálculo aproximado. Más adelante se verán las aplicaciones importantes de la integral definida y, por tanto, es necesario tener un método fácil para el cálculo de l : f ( x ) d x . Resulta que el valor exacto de la integral puede hallarse si se puede averiguar una antiderivada F ( x ) def(x). Las relaciones que ligan las antiderivadas con las áreas constituyen un hecho sorprendente. Las reglas de cálculo se enunciarán e ilustrarán antes de establecer el porqué de su funcionamiento.

Teorema 6.3 (Teorema fundamental, segunda parte). Sea f continua en [ a , b] y sea F‘(x) = f ( x ) . Entonces

jub f(x) dx = F ( b ) - F(a) .

Ejemplo 1. Hallar el valor exacto de j h x’ dx , que ya se calculó aproximadamente varias veces en la sección 6.1.

SOLUCION. Una antiderivada de la función x 2 es F(x) = x3 /3 . Luego, según (7).

I,’ x 2 dx = F(l) - F(O) = 4 - = f.

L A INTEGRAL 173

Después de todo el trabajo realizado para obtener una buena aproximación de esta integral definida en la sección 6.1, es de apreciar la elegancia y la belleza de este sencillo cálculo. 1 1

Habitualmente se denota F ( h ) - F(a) por medio de F(x)]:. El límite superior de integración es b y a es el limite inferior. Por ejemplo, el cálculo de x* dx generalmente se llevará a cabo como sigue:

Cálculo de una integral

Ejemplo 2. Hallar el área bajo un ((arco)) de la curva y = senx.

S O L U C I ~ N . Nótese que -cos x es una antiderivada de sen x. El área viene dada por

I: la sen x dx = "cos x = -COS T - (-COS O)

= -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2. 11 Ejemplo 3. Dibujar la región delimitada por la gráfica del polinomio 1 - x2 y el eje x y hallar el área respectiva.

S O L U C I ~ N . Se ve claramente que la función 1 - x2 tiene un máximo en x = O y valores decrecientes a medida que .x se aleja de O. La gráfica cruza el eje x cuando 1 - .x2 = O, es decir, cuando x = k 1. En la gráfica que aparece en la fig. 6.14 se ha sombreado la región cuya irea se desea hallar. Es evidente que el área deseada es

Y

j L (1 - x2) dx unidades cuadradas, y

Ahora se demostrará por qué la antiderivación permite hallar el área bajo la grafica de una función f(x). Lo importante es considerar la función integral


F' ( t ) = lím F ( t + At) - F ( t )

At-O At

Con referencia a la fig. 6.16, se ve que I tar

m . A t 5 Ir f(x) dx 5 M + At,

donde m es el valor mínimo 4 24 el miximo de ,/'(u) en [ r . t + A t ]

' Figura 6.15

Por tanto,

i Y

Figura 6.16 1 c 2x1

tn 5 - J*

At 5 M.

Ahora ¡ímA, " to = límA, - o M = . f ( t ) puesto quef'es continua. Se combinan (9) y (1 1) para obtener

[ t + A c f ( ~ ) dx

Con esto se concluye la demostración de que F'( t ) =J'( t ) , que es un resultado de mucha importancia.

LA INTEGRAL 175

Teorema 6.4. (Teorema fundamental, primera parte). S i f es continua en [a , b ] y F(t) = S:, f(x)dx, entonces F es derivable y F'(t) = f ( t ) . Es decir,

Ejemplo 4. Según el teorema 6.4,

ya que se puede hacer f ( x ) = ,,/m y F ( t ) = & f ( x ) d x en el teorema. Si se aplican las propiedades de la integral y el teorema 6.4, se encontrará que

dt ([p3sen'xdx ) - - - d", ( - l3 sen'xdx ) = -$([3sen2xdx) = -sen2t. 11

A continuación se explica (7) como medio de calcular Sf:f(x)dx. Puesto que F(t ) = .lb f (x) dx,

Pero F ( a ) = S; f ( x ) dx = O, así que (13) puede escribirse como

labf(.) dx = F ( b ) - F(a) .

Ahora, el teorema 6.3 afirma que (14) es vilida para cualquier antiderivada F ( x ) de f ( x ) y no solamente para la función integral F . Sea G(x) una antiderivada cualquiera tal que G'(x) = ,f(x). Puesto que F ( x ) y G(x) tienen la misma derivadaf(x), se obtiene F(x) = G(x) + C para alguna constante C, y

[ f ( x ) dx = F ( b ) - F(a) = [ G ( b ) + C ] - [G(a) + C] = G(b) - G(a) .

Luego, para calcular Sf: f ( x ) dx se halla cualquier antiderivada de f ( x ) y se resta su valor en a de su valor en b, tal como se establece en (7).

Si se intercambian a y b en (7), se tiene

que constituye otra razón para justificar la definición en (6).


RESUMEN

Sean f(x) y g(x) continuas en [a , b] .

1. I” ( fb) + gb)) dx = I,” f(x) dx + [ g(x) dx

2. [ c . f(x) dx = c . f(x) dx para cualquier constante c.

3 . J,” f(x) dx = I” f(x) dx + jhb f(x) dx para cuulquier h en [a , b].

4. Iba f(x) dx = -I,” f(x) dx.

5. (Teorema fundamental del cálculo.)

I“

b) Si F’(x) = f(x), entonces f(x> dx = F ( b ) - F ( a ) . I” EJERCICIOS

1. Enunciar la primera parte del teorema fundamental del cálculo sin referirse al texto.

2. Enunciar la segunda parte del teorema fundamental del cálculo sin referirse al texto.

En los ejercicios 3 a 32, aplicar el teorema fundamental, las propiedades de la integral definida, la geometría y el hecho de que

InT sen’x dx = - 2

para hallar los ualores de las integrales &finidus.

7T

3. j o l x ’ d x 4. i’, x‘ dx

( X ’ + 3x - 1) dx 6 . L d x

7. lon sen x dx 4 cos x dx

lo2

9. loT” (sen x + 2 cos x) dx

Ti2

10. IT/4 (sen x - cos x) dx

rr/4

11. 3 cos x dx 12. x z dx I-,,, 13. j ‘ 4 d x 14. l3 ’ (-4) dx

3

15. 1 L x 16. 1,‘ d m d x I

17 . 1, I v ’ i - x’dx

19. 1: (sen x + sen’s) tls

LA INTEGRAL 177

30* 1,l ( dx'

d 3 ( x 2 + 3~ - 1)

34. Dibujar la región delimitada por la curva y = 2x - xz y el eje x y hallar el área de la región.

35. Dibujar la región por la curva y = x4 - 16 y el eje x y hallar el Brea de la región.

En los ejercicios 36 a 46, aplicar las propiedades de la integral definida y el teorema 6.4 para hal[ar la función de t indicada.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

32. I: [ IT2 4 d t ] dx

33. Dihujar la región delimitada por la curva y = 9 - x' y el eje x y hallar el área de la región.

44.

45.

46.

6.3. INTEGRACION Y ECUACIONES DIFERENCIALES

El teorema fundamental suministra un método poderoso para el cálculo de j:f'(x) dx. La esencia del cálculo consiste en hallar una antiderivada F(x) de f(x).


6.3.1. La integral indefinida

Definicibn 6.2. La antiderivada general def(x) recibe también el nombre de integral indefinida de f(x) y se escribe

sin referencia a los límites de integración a y b, El cálculo de una antiderivada recibe el nombre de integracibn.

Ejemplo 1. La integral indefinida l(x3 + 2x2 + 1)dx viene dada por

donde C es una constante arbitraria. / / De acuerdo con la última sección, toda funciónj'que tiene una derivada en [ L J , ~ ]

tiene también una antiderivada en [a,b]. Es decir, si f' es derivable, entonces es continua, y según el teorema fundamental, F ( t ) = 1: f ( x ) dx es una antiderivada d e f para t en [u , b]. En la práctica es mucho más difícil calcular una antiderivada de una función que hallar su derivada. Esto se debe a que no existen fórmulas sencillas para manejar la integración de productos, cocientes o funciones compuestas, como las que hay para derivacibn. Se han preparado tablas de las integrales indefinidas de las funciones de más frecuente ocurrencia. En este texto se encuentra una breve tabla de este tipo. Dichas tablas son de mucha utilidad, pero no existe ninguna que contenga la integral de todas las funciones continuas que pueden encontrarse en la práctica. Se puede demostrar que una antiderivada de una c<juncicin elemrntuh (función que resulta de operaciones algebraicas en funciones racionales, trigonométricas, exponenciales y iogarítmicas) no es necesariamente una función elemental. Esto es lo contrario de lo que sucede en la derivación.

Más adelante se estudiarrin detalladamente las técnicas de integración. Con frecuencia se requiere mucho ingenio para la integración. que sólo llega a dominarse después de mucha prlictica.

Ahora comienza el aprendizaje de la integración. En esta sección se presentan algunas fórmulas que deben aprenderse de memoria, y cuya aplicación debe ser mis rápida que la búsqueda de la fórmula deseada en una tabla. Por ejemplo, nunca debe buscarse 5 x2 d x en una tabla. Estas fórmulas son las que resultan de la derivación de las funciones elementales básicas. Por ejemplo, si u es una función derivable de x, entonces

d(tan u ) du - (sec'u) . - dx dx "

o sea

/(sec'u). - dx = tan u + C. du

dx

LA INTEGRAL 179

Puesto que du = u’(x) dx = (du/dx) dx, la fórmula de integración anterior se escribe habitualmente en la forma

1 (sec’u) du = tan u + C.

Vienen ahora las fórmulas de integración correspondientes a las de derivación. En las fórmulas 4 a 10 se supone que u es una función derivable de x.

5. j s enudu = “cos u + C 6. 7 . 5 sec’u du = tan u + C 8. 9. Jsec u tan u du = sec u + C 1 o.

~.. ” . - ~ ~ ~ ~ ”” .. ~~~

La íórmula (3) es un caso especial de la fórmula (4), una de las que se utilizan con mayor frecuencia. El ejerqlo siguiente ilustra la aplicación de la fórmula (4).

Ejemplo 2. Hallar j 2 x J x ’ + 1 dx.

S O L U C I ~ N . Si u = x2 + 1, entonces du = 2xdx , y por la fórmula (4) se obtiene

Ejemplo 3. Hallar 5 3 x 2 sen x 3 dx.

soLucKm. Si u = x3, entonces du = 3x2 dx, y por la fórmula (5) se obtiene

I I 3x’senx’ dx = (senu) du = “cos u + C = “cos x” + C. 1 1

En la práctica no es usual escribir la sustitución u = g(x) en casos tan simples como los de los ejemplos 2 y 3, pero teniendo en cuenta que la sustitución es apropiada, se efectúa mentalmente y en un sólo paso el clilculo de la integral. Por ejemplo, se desea hallar f cos 2xdx . Sea u = 2x; entonces du = 2dx y

I I c o s 2 x d x = 4 . 2 ~ 0 ~ 2 x d x =

En virtud de la fórmula (6) se tiene que

I I cos 2x dx = 2 cos 2x dx = 4 sen 2x + C.

Por ejemplo. sc puede calcular 1 Y sen .Y’ (ir. puesto que puede ctarregl,irse la constantc deseada 3 , y aplicar la fbrmula (5) pero p o r el momento no es posiblr: calcular J’sen Y ’ dr . puesto que no hay manera de ((arreglar el factor variable 2.0) necesario para aplicar la f6rmula (5).

6.3.2. Ecuaciones diferenciales

U n a ecuacidn diferencial es la que contiene una dtrivada o diferencial. E n el capítulo 5 se resolvieron algunas ecuaciones diferrnciales dc la forma

LA INTEGRAL 181

No todas las ecuaciones diferenciales pueden representarse en esta forma, donde r l ! . , d z es una funci6n sólo de .Y. (Recuérdese que i a derivacicin implícita resulta con frecuencia en expresiones para d ! , , , r l s que contienen .Y e y.) Un ejemplo de tal tipo de ecuaciiun diferericial es

dy - x -- "

d x y

Sc~p/rur~icin OP r~~riihltJ .>

Esta ecuaci6n diferencial puede resolverse de la tnanera siguiente: se escriben todos los términos de la ecuacicin que involucren J. (incluyendo O!.) 3 la izquierda y todos l o s que involucren .x (incluyendo di) ;I l a derecha:

y . t l y = S ' da.

Puesto que l a s diferenciales t ly y .Y . t i s son iguales, debe tenerse

o

donde (', y Cz son constantes arbitrarias. Esta solución puede escribirse como

y ? + 2c, := ,Y2 + 2c,

- x? = 2c - , 2c,.

Puesto que 2c' , - 2CZ puede ser una constante cualquiera, se puede expresar como constante arbitraria simple C y se obtiene

o

- = c como solucjcin de la ecuación diferencial.

En esta técnica es muy importante tener la habilidad de escribir la ecuación diferencial de tal manera que todos los términos que tengan que ver con J estén agrupados en un miembro de la ecuaci6n y todos los que tengan que ver con .Y estén en el otro. Tales ecuaciones son de rLuiahks srpclruhlrs.

Ejemplo 6. Resolver

" Y ' 1 -1

= " c o s x + c. - = cos x + c, 1'

donde únicamente se utilizci una constante arbitraria ¿' y - - (.' w sustituyo por c en el último paso. I /

La ecuación dy " - x + y dX

m es de variables separables. E n el Último capítulo del texto se analiza la solución de otros tipos de ecuaciones diferenciales.

RESUMEN

LA INTEGRAL 183

EJERCICIOS

En los ejercicios I a 25, hallar la integral indicada sin recurrir a las tah/as.

1. [ ( x 3 + 4x21 dx

2. J (x + 5) dx

3. [ (x + 1)5 dx

4. 112s + 1)"dx

5. [x(x' + 2)' dx

6. I-- (3x2 X + ly dx

8. J"--dx 4x + 2

9. 1 xz(x' + 4)' dx

v'xz + x

10. J cos 3x dx

11. sen x cos x dx

12. j cos x sen'x dx

13. 5 sen 4x cos'4x dx

14. J x sec2x' dx

15. j csc 2x cot 2x dx

16. J tan x sec'x dx

17. J sec'2x tan 2x dx

18. j x(sec2x2)(tan3x2) dx

19. I- sen x

(1 + cosx)' dx

20. I secZ2x (4 + tan 2 ~ ) ~

dx

21. I-dx sec 1 4x

25. j csc'2x cot 2x dx

26. Un niufrago abandonado en una isla desierta construye una embarcación para escapar. En el proceso de la construc- ción necesita hallar j cos' x d u , pero no tiene tabla de integrales. a) Demostrar cómo puede hallar esta

integral. [Sugerencia. Considerar la fórmula del ({doble del ingulo)) para el coseno.]

b) ¿Es posible que el lector se encuen- tre en alguna ocasión en la situación del niufrago?

27. Otro niufrago tambiin en una isla desierta construye una embarcación mayor que la anterior (ver ejercicio 26). En consecuencia, necesita hallar j cos' x d.u. Aplicar el ejercicio 26(a) para mostrar cómo puede hallarse esta integral.

Rrsolcer las ecuaciones difiwnciu1t.s de l o s ejercicios 28 a 33.

29. - x x cos'y dv dx

d u

dx d r ~

d t

31. - = X ' V ' ' ~ -

32. - = (v' ju - 7)(1 cos I')

33. - dY = (sen'y)(cos'xx)(senx) dx

La integraciOn utilizardo tabiax es una tccnica m u > importante que dcbc practicarse. En el apéndice 4, se encuentra una tabla de integrales. En las fórmulas de la tabla se utiliza la cariable x, que es la más usual en la mayoría de las tablas. Para una fun- ci6n derivable u, en virtud de la regla de la cadena para la dericación y du = u'(x)dx, es evidente que las fórmulas son válidas si se sustituye x por u y d.u pdr du.

L A INTEGRAL 155

Ejemplo 3. La fórmula

dx JF+T 1 x ~ v : F F 2 ” I.____ = - + c,

a2x

junto con la regla de la cadena para la derivación, produce la fórmula

d u J a 2 + u’ ” - J u 2 ~ m

+ C a2u

para toda función derivable u. Luego. si u = tan .Y tal que d u = see’ x d x y si u’ = 3, se tiene que

J sec2x dx

(tan’xIt’3 + tan’x

Si se confronta un problema de integración de este tipo

sec’x dX.

como en el ejemplo anterior. es necesario entrenarse para detectar si el integrando contiene como factor alguna función que sea la derivada de alguna otra función u del integrando. En el caso presente. se detecta que sec’ x es un factor que es la derivada de u = t a n s . Esto sugiere que la integral puede escribirse en la forma

y, por tanto, la búsqueda en la tabla se encamina a encontrar una integral de la forma

para alguna constante c.

menudo requiere mucho ingenio, La habilidad para integrar, lo mismo que la habilidad para derivar, se desarrollan sólo a través del trabajo con centenares de ejemplos. Este proyecto se inicia con los ejercicios.

Aunque la tabla de integrales tenga la fórmula que se necesita, el descubrirla


RESUMEN

1. Todas INS fórmulas jf(.x)dx de las t d l a s deben considerarse como fórmulas S f ( u ) d u , donde u es una función dericable de x.

2. Cuando aparece una integral complicada que no puede hallarse con facilidad en una tabla, se investiga si algún factor del integrando puede considerarse como la drriradu de alguna otra porción u. Después .se transforma la integral u la forma f ( u ) du J se huscu S f (x) dx en la tabla. Ver el ejemplo 3 J la discusión que le sigue.

3x 1 dx 4. 1 x'Jx' - 9

- dx

n. -i

7 . senlxdx 8. 1 sen4x dx

9. [cos(% dx 10. j sen 2x cos 3x dx

11. l,nsen 2x sen 4x dx

12. sen4x c m 4x dx

13. J cos 2x cos 5x dx

14. Isen.'. cos'x dx 15. I dx 3

1 + cos x

16. X

dx 1 - cos x'

18. j x cos 4x dx

20. I xi cos x dx

22. tan'3x dx

24. 1 tan42x dx

26. 5 X ' C O S ~ X ' dx

r

17. I x sen 3x dx

19. I x ' sen2xdx

21. sec'4x dx

23. x cot'x' dx

25. I x sec4x' dx

27. J x (sen'x2)(cos x', dx

28. 1

x 3 m dx

29. j-"-;dx cos x

30. 5 sen'xt1.l -- sen'x

tan 3x dx

J4 sec 3x - sec23x

rSuyerenc,icc. Multiplicar el numerador y el denominador por sec 3.y.7

6.5. METODOS NUMERICOS DE INTEGHACION

Es posible que haya integrales indefinidas J.f '(x)dx imposibles de hallar, aun utilizando las tablas; entonces, el teorema fundamental no sirve en el cálculo de jtf(x)ds. Puede demostrarse, por ejemplo. que la integral

J4 - sen'x dx

LA INTEGRAL 187

no se puede expresar en términos de ((funciones elementales)) tales como polinomios, funciones trigonométricas, raíces, exponenciales y logaritmos. Los métodos numéri- cos para calcular una integral definida tal como

J4 - sen'x dx

son, por tanto, muy importantes. La disponibilidad de las calculadoras de bolsillo y los computadores facilita el cómputo de dichas integrales.

6.5.1. La regla del recthngulo

La utilización de las sumas de Riemann con 1% subdivisiones y puntos medios de los intervalos para los puntos xi, donde se calcula f ( x i ) , suministra un método de aproximar J: f'(x). L a integral se calcula entonces como una suma de Breas de rectángulos, como se indica en la fig. 6.17. Por razones evidentes, la aproximación mediante tales sumas de Riemann se denomina también regla del recthngulo.

Y A

Teorema 6.5 (Lo regla del rectángulo). Sea [a, b] un intervalo dividido en n subintervalos de igual longitud, y sea x i el punto medio del i-ésimo subintervalo. Entonces, para f continua en [a, b] ,

y la uproximación es muy buena para n suficientemente grande.

No es necesario dar ejemplos de la aplicación de la regla del recthngulo, puesto que ya se ha estudiado la sección 6.1 y se han resuelto algunos de los ejercicios.

6.5.2. La regla del trapecio

Se divide de nuevo el intervalo [a, b] en n subintervalos de longitudes iguales. Sean los extremos de los subintervalos

Figura 6.18 Figura 6. I 9

como en la fig. 6.1 S. Considérese la cuerda que une los puntos (.Y, .. , . J., ~ 1 y ( s i , ~ 1 ~ ) de l a curva J. =,f.( u), como se muestra en la fig. 6.19. Las regiones sombreadas de las figs. 6.18 y 6.19 son trapecios. Ahora bien, el Area de un trapecio es el producto de su altura por el promedio de la longitud de las bases, a s í que el i r ea del trapecio sombreado en la fig. 6.19 es

Puesto que el intervalo La. h ] ha sido dividido en I I subintervalos de i(quu/ longitud. se tlene que

b - a x, -4 I =- n

Si se suman las Lireas de los trapecios para i = 1. .... n , se obtiene

n

+ . . . + - n

Factorizando ( h - u),/2n se llega a la regla del trapecio.

Teorema 6.6 ( Rcglcr r l r l truprcio). Si ,f tl.\ U I I L I jirncitin continua rn [ a , h] , e n ~ o n w s

LA INTEGRAL 189

Ejemplo 1. Aplicar la regla del trapecio con IZ = 4 para calcular aproximadamente

soLr:c10~, Se tiene

x,, = 1, XI = ;, x2

Y o = 1, Y 1 = :> Y2

Luego

Con la regla del trapecio se obtiene

= 2, x3 = :, y xq = 3.

2 1 + 2 . - + 2 . - + 2 . - + - 3 2 5 3 '1

2 ( 4 3 5 3 I 1 8

l + - + l + - + -

1 5 + 2 0 + 1 5 + 1 2 + 5 15

1.12.

Puesto que la grifica de l!.u es cóncava hacia arriba en el intervalo [1,3], se ve claramente que la aproximacibn por cuerdas no es adecuada. El valor real con cuatrc cifras decimales es 1.0986. J j

6.53. Regla de Simpson (parabdica)

En la regla del rectingulo, las bases de los rectángulos de aproximación fueron rectas horizontalcs (funciones constantes y = u), cuyos puntos de intersección con la grilica eran i~nicos. En l a regla del trapecio, el lado superior de cualquier trapecio puede ser cualquier rccta (función lineal := (1.u + h) y existen generalmente dos puntos de intersección de la grifica con dichas rectas. Es posible hacer pasar una función cuadrática J = LIX' !- />.u + C ' por tres puntos de la grlifica. La gráfica de y = u x 2 + b.u + c es una purtibfJ/U.

Para aplicar la regla de Simpson (parabdica) se divide el intervalo [u, h] en un nzirncro p l r n de subintervalos de igual longitud y con extremos xi para i = O, 1, ..., 11.

Se utiliza la notación yi =/'(.yj) como en la regla del trapecio. Se aproxima la grdfica def'sobre los d o s primeros subintervalos por medio de una parábola que pasa por (xo, yo) , ( x l , y , ) y (xz, ~ 1 ~ ) ; sobre los dos subintervalos siguientes por una parlibola que pasa por ( .Y , , J , ) , (,u3,y3) y ( x 4 , y 4 ) ; y así sucesivamente (ver fig. 6.20). El clilculo aproximado de la integral J ; j ' ( x ) dx se lleva a cabo tomando las áreas bajo las pariibolas.


Figura 6.20

En el caso presente. donde .xl - ,yo = .x2 -- S ] , existe una fdrmula conveniente para el área bajo la parábola que pasa por ( s o : J , ~ ) , (.yl, y , ) y (.yz, . y r ) en términos de las alturas y o . y I y y r . Esta fcirmula perrnitird el cilculo de la integral sin hallar cxplicitamente las ecuaciones de las parabolas que aproxilnan la gráfica def: (Nótese que tampoco fue necesario hallar las ecuaciones de las aproximaciones lineales en la regla del trapecio.) Puede dcmostrarse que si J. = + b.x + c' es una parábola que pasa por los puntos ( S ( ] , y,,), (.x ,, y ( s L , J ,~ ) . donde Y, - Y(, = .x2 --- .x1 = h. entonces

Más adelante se demostrari la validez de (3). Cisramente, el número I r es (h - U ) / H en la aproximación de J;.f'(x)dx por medio de áreas bajo paribolas. Por tanto, la suma de las Breas bajo las parábolas cs

6 - a

3 n 5- ( ~ n - 2 + 4yrt-1 + Yn)

- (yo + 4 y , i- 2 y 2 + 4 y , + 2 y 4 + . . . 4 2Y""Z 4- 4yn"1 + yn) . "

b - a 3n

Esto nos da la regla parabólica.

para 11 sgfficientrmenre yrunde.

Ejemplo 2. Sea n = 4, como en el ejemplo l . Calcular ( I / x ) ds aproximadamente.

S O L ~ C I ~ ~ . Se tiene

X" = 1, x1 = ;, x2 = 2, xg = 5 2, x4 = 3

LA INTEGRAL 191

El resultado, según la regla de Simpson, será

3 - 1 ( ~ + 4 - 3 + 2 . - + 4 . - + - 2 1 2 1 - -

3 . 4 2 S 3 ) - ?2( 3

15 10 = 1.1.

La respuesta correcta es 1,0986 con cuatro cifras decimales. En comparación con el ejemplo 1, l a regla se Simpson da mayor exactitud para el mismo valor de n = 4. 1 1

Error en la regla de Simpsot1

Puede demostrarse que sif'"'(x) existe para u < x < h, entonces el error en el ~Blculo aproximado de J: f ( x ) dx, según la regla de Simpson, para un valor 11, viene dado por

donde a < c < h. Por ejemplo, el error en el cálculo aproximado de (1j.x) dx por la regla de Simpson, con II = 4 en el ejemplo 2, viene dado por

2' 24 1 = 0.0167.

- ax23 axZ3 b ~ , ~ "

3 2 2 + - f cxz - (-1 + - - cx,)

2 3

= - ax23 + ~ c x , .

\

+ t Figura 6.21

f'or otra partc.

11 y= x i - X() =I o - (-x2) = x*,

yo = f(x,,) = f ( - x 2 ) = axZ2 - h x , + c,

y , = f(x,) = f(0) = c.

yz = f(x2) = ax2' + bx, i- c.

Se establece (3) por comparaci6n entre (5) y (6). E11 el apkndice 1 aparece el programa para colnputador INTEGRALES, por

medio del cual se comparan l a s aproximaciones cie 1; f ( u) d.\ utilizando la regla del rectingulo. la del trapecio J l a de Simpson para I I = 1 0 . 50. 100 y 200. Los datos suministrados son para computar

.\a mencionada C O I ~ O ejemplo de integral difícil. E l listado 6.1 muestra que el balar de esta integral es 1.929752909. aproxlmadamente. Ndtese que 13s reglas del rectinpulo 4 cl trapecio proporcionan aproximadamente l a misma precisihn para 1111 L a l o r dado de ? I , perc la regla de Simpson cs Inis precisa. Esto era de esperarse dada la geometría de l a s aproximaciones. Y a que I n regia de Simpson n o e b m i s dificil de ejecutar que cualquiera de l a s otrah. ~ L I L I t i l i L a c i t i n es la m i s aconsejable de l a s tres. (Por supuesto. existen otros 1nktodos de aproxirnacihn.)

LA INTEGRAL 193

Listado 6.1

INTEGRALES

R SUBDIVISIONES RECTANGULAR TRAPEZOIDAL SIHPSON

10 1 . 9 2 9 8 5 7 4 5 0 E t 0 0 1 . 9 2 9 5 4 3 9 3 9 E t 0 0 1 . 9 2 9 7 5 3 5 1 4 € + 0 0

5 0 l . 9 2 9 7 5 7 0 8 5 E t 0 0 1 . 9 2 9 1 4 4 5 5 6 E t O O 1 . 9 2 9 7 5 ? 9 1 0 E t C O

100 1 . 9 2 9 7 5 3 9 5 3 E t 0 0 1 . 9 2 9 7 5 0 8 2 0 E t 0 0 1 . 9 2 9 7 5 2 9 0 9 E t 0 0

200 1 . 9 2 9 7 5 3 ! 7 0 E + 0 0 1 . 9 2 9 7 5 2 3 8 6 E t 0 0 1 . 9 2 9 7 5 2 9 0 9 F t 0 0

RESUMEN

Seu f' continuu en [a, h]. Seu [a,h] un interralo subdicidido en n suhinterculos de longitud igual a (b - aj*n.

(Reglu del rectúngulo.) Si x i es el punto medio del i-ésimo suhinteraalo, entonces pura n suficientemente grande,

(Reglu del trapecio.) si x. = a, xl, .y2, .... x , = b son los extremos de los suhintrrarr- los e yo =,f(x,), y1 =f(xl) , y2 =f(xz j ,...,yn =f(x,), entonces paru n sujicirnte- mente grande,

(Reylu de Simpson.) Si n es pur e ~ ~ , y , , y ~ , . . . , yn son como se describieron en / a reylu d d trapccio, entonces paru n sujicirntemenrr grande,

=-- b - a 3 n ( Y o + 4Y1 + 2Y, + 4Y3 + 2Y4 + . " ' + 2Y,4 + 4Y, - 1 + Y,l)-

EJERCICIOS

Ap[icur 1u reglu indicadu y el valor de n dudo ' 1 a) Regla del trapecio, n = 4. pura culculur uprosimudamerltc lu inteyrul. 1 x dx b) Regla de Simpson, 11 = 4.

.1 dx a) RC<!IU del rectkngulo, n = 3. (Utilizar una tabla para el

2.

[ .x b) Regla del trapecio, n = 3.


a ) Regla del rectingulo. 17 = 4. a) Regla del trapecio, 17 = 4. b) Regla de Simpson, II = 4. b) Regla de Smpson, tl = 4.

dx

4. 7r = dx (En el capitulo 8 se

mostrard que el valor de esta integral es a ) Regla del trapecio, t7 = 4. T. 1 b) Regla de Simpson. 11 = 4.


6. [ , ' ' d X x dx: regla del trapecio, dx : regla de Simpson. )I = 8.

I I = 1 0 . J'6 ~ - - cos'x

7. l:(I + x)^ dx; regla de Simpson. n = 12.


1. Hallar la suma superior S, para /(.x) = I , > ( Y + I ) sobre [Z.f,].

2. Aplicar la geometría para hallar

Ji ( 2 + .m) dx.

3. Halla1

7. Hallar a) 5 sen 2x cos 2x dx b) 5 sec3x tan x dx

8. Hallar la solucibn general de la ecuación diferencial dy;rls = xZv 'y .

Y. Aplicar la fórmula x d x 2(ax - 2 6 ) I-.= 3az v&+b i C

1: ~-7T dx.

para hallar

sen 4x

10. Aplicar la regla de Simpson con 17 = 4 para calcular aproximadamente

L4 INTEGRAL lY.5

3. Hallar

dt ( I -, "sen'x dx).

Problemas más difíciles

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Dibujar la g r i f i a de una función f en el intervalo [O, 61 para el cual s 3 < S ? .

(Esto demuestra que mientras S, se apro- xitna a jS ,/(.Y) t lx cuando n crece, no es necesario que S,+ > S".)

Demostrar que para toda funcicn continua f definida en [u,b] se tiene S,, 6 S,, pau todo n . (Comparar con el ejercicio 1.)

Dzlnostrar que $i,f'es continua y creciente cn [O, 11 cor: ,/(O) = O, entonces S,, - S" = .f ( 1 )<'tZ.

El ejercicio 3 puede generalizarse ficilmente para obtener una fórmula sencilla para S,, - S, en el caso de una función continua creciente en [N . b]. Hallar la fórmula para S,, - ,S,.

Dar una fórmula para S, - S, análoga a la que se encontró en el ejercicio 4, para el caso de una función continua decreciente en [u.b]. Dar un ejemplo de una función J con dominio [o, 13 t a l que S, = t y S, = O para todo entero positivo n. (Desde lue-

8.

9.

b) I > g x cot x dx

Hallar la solución de la ecuacitin diferencial dqidx = y'cos 2 . ~ tal que J. = -- 3 cuando x = x 4. Apiicar la fbrmula dc reducciGn

I c0s"ax d l

COS" 'ax sen ux

nu - "

para hallar j;'' cos42x dx

10. Aplicar la regla del trapecio con n = 4 para calcular aproximadamente

dx.

12. l írn 7 1 (k - 100)' 1 "

"" n k = 7

7 Aplicaciones de la integral

Se ha visto que sif(x) es continua y no negativa en [a, h] , el área de la región bajo la gráfica de , f ; entre a y b, como se muestra en la fig. 6.1. viene dada por la integral definida jSf(x)dx. Tanto el cálculo diferencial como el integral tienen aplicaciones importantes en situaciones donde hay cantidades que varían. Por ejemplo, el área de una región rectangular es el producto de la longitud de la base por la altura, y en el caso de un rectángulo estas cantidades permanecen constantes en toda la región. Sin embargo, si se considera la región sombreada de la fig. 6.1, la altura varía a medida que la curva se desplaza de izquierda a derecha. En este tipo de situaciones el cálculo juega un papel muy importante.

La integral definida es potencialmente útil para cualquier tipo de aplicación donde haya que computar productos, en el caso de cantidades que no varían. (Puesto que cualquier cantidad puede considerarse como el producto de sí misma por 1 , la situacibn que se considera es muy general.) Por ejemplo, si la longitud y la altura de una región plana no varía en la región, el área es el producto de estas dimensiones. A continuación se da una lista de cantidades que se pueden considerar como el producto de dos factores.

Volumen: el volumen I/ de un sólido con sección transversal de área constante A , y altura constante 11, es el producto Ah. Trabajo: si u n cuerpo se desplaza una distancia S por medio de una fuerza constante F que actúa en la dirección del movimiento, el trabajo W realizado para desplazar el cuerpo es el producto F s . Distcrncia: si un móvil se desplaza durante un tiempo t con velocidad constante I%, l a distancia S recorrida por el móvil es el producto r t .

L’elocidud: si un móvil se desplaza durante un tiempo t con una aceleración constante u, la velocidad 1‘ del móvil es el producto at.

Furrza: si la presión por unidad de superficie de una región plana de 6rea A es una constante p en toda la región, entonces la fuerza total F en la región debida a esta presión es el producto p A . Mornerrto: el momento M alrededor del eje de un cuerpo de masa m , la totalidad de cuyos puntos est6 a una distancia S constante (con signo) del eje, es el producto tris.

Momento de inercia: el momento de inercia I alrededor de un eje de un cuerpo de

APLICACIONES DE LA INTEGRAL 197

masa m, la totalidad de cuyos puntos está a una distancia constante S del eje, es el producto ms2.

Todos estos conceptos pueden manejarse con cálculo integral si los factores que aparecen en los productos varían continuamente. Este capítulo se ocupa de tales aplicaciones de la integral.

7.1. AREA Y VALOR PROMEDIO

En esta sección se muestra cómo hallar el área de una región plana de mayor generalidad que una bajo la grrifica de una función continua de a a h. Considérese, por ejemplo, la región sombreada de la fig. 7.1 colocada entre las gráficas de las funciones continuasfy g entre a y b. Es posible calcular aproximadamente el Brea de esta región utilizando rectángulos estrechos como el que se muestra en la fig. 7.1 con un sombreado más fuerte, y sumando las áreas de tales rectángulos en toda la región. El ancho de este rectángulo mide dx unidades, y su altura midef(x) - g(x) unidades, para x como aparece en la fig. 7.1. (Nótese que g(x) es negativa. La distancia entre las gráficas de f y g para cualquier punto x es siempref(x) - g(x), si la gráfica def está sobre la de g en x.) Por tanto, el área de este rectángulo es

Figura 7.1

Y f

Figura 7.2

7.1.1. El área de una regi6n plana

Se desea sumar las Breas de tales rectángulos y hallar el límite de la suma resultante cuando dx se hace más pequeña y el número de rectángulos crece. Ya se sabe que el límite de tal suma será jt ( f ( x ) - g(x)) dx.

Debe tenerse cuidado en la identificación de la función que debe integrarse, es decir, en la ccconstrucción de la integral)), cuando se trate de calcular el área de una región plana. El área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones continuasfy g entre a y b no es siempre i: (f(x) - g(x))dx. Si g(x) 6 f ( x ) para todo x en [a, b] , entonces la integral apropiada es en realidad J: ( f ( x ) - g(x))dx. Sin embargo, si f y g tienen gráficas como las que se muestran en la fig. 7.2, entonces

J.: - 2 x ) -- clx = 2 3 1


PASO 4. Las integrales apropiadas son

Y 1 j [2’3 - y ) - (-.;,I d y = ( 2 y - - + - y ” 2 1 y 2 4 3 11:

Y

Luego, el rirea total es (y) + ( 3 ) = 8 unidades cuadradas. Claramente, este clilculo no es tan sencillo como el del ejemplo 1. 1 1

7.1.2. El valor promedio de una función

Seaf’una función continua cuyo dominio contiene [u, h], y consideremos el tamaño def’(x) para x en [ a , b]. Ese tamaño puede variar considerablemente en el intervalo [a, h] , aunque f’ sea continua. Aquí se verá el desarrollo de la noción de tamufio promedio de f‘(s) en [u, b].

Una primera aproximación para hallar el promedio d e f ( s ) en [a, h] es por medio de la expresión (f(u) +J(h))/2. Después de una consideración preliminar se ve que tal enfoque debe rechazarse como definición del tamaño promedio de f ( . x ) en [a, h], puesto que( f(u) +f‘(h))/2 refleja en realidad el tamaño de .f‘(.x) en u y en b únicamente. Para f’ cuya grhfica se muestra en la fig. 7.5, este promedio (, f(a) t- f(b))/2 es igual a cero, aunque f’(x) > O para u < x < h.

Posiblemente, el paso que sigue en la búsqueda de la definición de un promedio paraf’(.u) en [ a , h] consiste en promediar el valor maxim0 M y el mínimo m entre todos losf‘(x)para x en [u, h], siempre y cuando dichos valores existan. Ya se sabe que M y nl existen sifes continua en [ u , h]. Se tiene que M = 6 y m = O para la funciónf’que aparece en la fig. 7.5; por tanto, el promedio es (M + m)/2 = 4 = 3, que parece ser un valor razonable para el promedio de,f(x) en [u, b]. Sin embargo, para la función cuya grlifica se muestra en la fig. 7.6, el promedio def(x) en [a, h] debe ser más próximo a M que a m, puesto queJ(x) permanece cercana a M en casi todo el intervalo [a, b].

Y V



Para afrontar una situación como la que aparece en la fig. 7.6, se considera el promedio de f(x) en [a, b] como la altura h que debe tener un rectángulo con base [a, b] para que su área sea igual a la de la región bajo la gráfica defen [u, b ] . Dicha región se muestra sombreada en la fig. 7.6, donde también se indica un rectángulo de igual área con altura h. El área del rectángulo es h(b - u), mientras que el área de la región sombreada es j:f(x)dx. Entonces, para que las áreas sean iguales, se debe tener

DefinicMn 7.1. Seafuna función continua en [a, b]. El valor promedio (o medio) de f(x) en [a ,b] es

Ejemplo 3. Hallar el valor promedio de x* en [0,2]

Entonces, el valor promedio es 1 x 4

2 - 0 3 3 " . - = - . 1 1

Si m y M son los valores mínimo y mriximo, respectivamente, paraf(x) en [u, b] , entonces se sabe que

S I = m(b - U ) 5 f ( x ) dx 5 M ( h - U ) = S,

Dividiendo por (h - u), se obtiene

lo que demuestra que el valor medio def(x) en [a, h] está entre m y M . Como se supone que,fes continua en [a, b], en virtud del teorema del valor medio se deduce que

para alguna c' donde u < c < h. La existencia de esta c se conoce como teorema del culor medio pura integrales. Como ilustración, en el ejemplo 3 se mostró que el valor medio de x2 en [O, 21 es +. Para obtener f ( c ) = c'* = ;, se debe tener c = +2/$. El valor c = 2 j f i pertenece al intervalo [ O , 21.



7.2. YOLUMENES DE REVOLUCION: METODO DE DISCOS

Una región en el plano gira de manera natural alrededor de una recta dada (eje) del plano. Es decir. todo punto P de la región en el plano describe una órbita circular yuc limita un disco que tiene el eje de revolucicin dado colno eje perpendicular a travCs del centro. La regibn tridimensional que consta de los puntos en taies órbitas es el , s c i [ i d o de rrzolzrcitir~ generado cuando la región del plano gira alredcdor del eje. En la fig. 7.7 se ilustran estas ideas. El volumen de tales sdlidos de revolución se puede hallar con frecuencia aplicando el clilculo integral.

Considirese el caso en que una regitin de un plano bajo la grifica de una función continua entre (I y h gira alrededor del eje s . En la fig. 7.8 se muestra sombreada una región como ésta. A otras regiones se les da u n tratamiento semejante.

Sea [ ( I , /,1 un inter\alo dividido en H hubintenalos de ~ g u a l longitud, como de costumbrc. Considirese la coniribucidn que hace la tira sombreadn intensamente de la fig. 7.8, al girar alrededor del eje Y, al s6lido de revolucibn. La tira corta un disco cuyo radio m2ximo es :Vi y cuyo radio mínimo es q . tal como se muestra en la fig. 7.9. El espesor del disco es

b - a " "

11 " dx.

El volumen del disco circular de radio r y espesor /I es evidentemente m 2 h . Puesto que el radio del disco que se considera varía de m i a M . , su volumen Vd,\co satisface

I


Y y = f ( X )

Y

Figura 7.8 Figura

Así, para el volumen I/ de todo el sólido de revolución, se cumple la relación

para todo n. Ahora bien, ambos extremos de la desigualdad (1) se aproximan a 1: ~ f ( x ) ~ dx cuando n -+ CIC: ; entonces el volumen V de revolución viene dado por

La notación j: n( f (x) ) 'dx es muy útil y sugestiva en esta situación. El radio del disco de la fig. 7.9 es aproximadamentef(x) para x en [ t i - ,,ti], como se muestra en la fig. 7.8, así que el área de una cara del disco es aproximadamente ~ f ( x ) ~ . Puesto que el espesor es dx, el volumen aproximado del disco es ~ f ( x ) ~ dx. Luego se suman todas estas contribuciones al volumen y se toma el límite cuando dx tiende a O por aplicación del operador integral 1:. La ec. (2) no debe memorizarse, sino que se debe deducir la integral correcta rrf (x)' dx

por medio de razonamientos geométricos. Se sugiere un procedimiento paso a paso que debe seguirse cuando se aplica el

método de discos al cálculo del volumen de un sólido de revolución. Los pasos son análogos al procedimiento descrito en la sección anterior para hallar el área de una región en el plano.

Procedimiento para hallar el uolumen (método de discos)

PASO 1. Dibujar en el plano la región que se hace girar, y hallar los puntos de intersección de las curvas que la encierran. PASO 2. Dibujar en el esquema un rectángulo estrecho prototipo, perpendicular al eje de revolución, es decir, perpendicular al eje x y con anchura dx. o perpendicular al eje y con altura dy.

APLICACIONES DE LA lNTEGRAL 205

PASO 3. Valiéndose del esquema, expresar el volumen dV del disco que el rectángulo corta al girar alrededor del eje dado. La fórmula para dV se da enteramente en términos de la variable (x o y ) que aparece en la diferencial (dx o dy) . PASO 4. Integrar dV entre los límites (x o y ) apropiados. (Geométricamente, esto equivale a sumar los volúmenes hallados en el paso 3 y a calcular el límite de la suma resultante.)

Ejemplo 1. La región encerrada por las curvas cuyas ecuaciones son y = x2, x = O y y = 1 gira alrededor del eje y. Hallar el volumen del sólido de revolución resultante.

SOI,UC:I~X. PASO 1. En la fig. 7.1qa) se muestra sombreada la región en el plano que va a girar. Si la región gira alrededor del eje y , el resultado es el sólido de revolución que se muestra en la fig. 7.10(b). PASO 2. En la fig,. 7.10(a) se muestra un rectángulo prototipo sombreado intensamente. Cuando el rectángulo gira alrededor del eje x, corta un disco circular delgado.

V

t

a) Región en el plano ~i~~~~ 7.10 b) Solido de revolución

PASO 3. El volumen de dicho disco es igual al producto del área de la cara circular por el espesor (o altura) del disco. Como se muestra en la fig. 7.10(a), el área de una cara es nx2 para el punto (x, y). Puesto que el espesor del disco es d y , el volumen será dV = nxz dy . El volumen nx2 d y debe expresarse enteramente en términos de y. Ahora bien, se tiene x2 = y para el punto (x, y ) de la fig. 7,10(a), así que el volumen del disco es dV = (zy)dy. PASO 4. La integral apropiada es

y23’ Ti C r y & = r- = - - o = - I1

2 0 2 2’

El eje de revolución no tiene que coincidir con ninguna de las fronteras de la región, como se ilustra en el ejemplo siguiente.

Ejemplo 2. Hallar el volumen generado cuando la región en el plano del ejemplo 1 gira alrededor de !a recta x = - 1.

.APLICACIONES DE LA I N T E G R A L 207

en la fig. 7.13(a) tiene un espesor ds, mientras que sus caras son triingulos isósceles, con lados de longitud J ’ . El drea de tales triihgulos es $/2, luego el volumcn aproximado de la rebanada es d V = (y2/2)dx. Puesto que J = .\/L/’ - .Y’, la rebanada tiene u n volumen de [(a’ - -y2), 21 h . Las voltímeres de las rebanadas se suman a medida q u e .Y varía de - u a N: por tanto, la integral apropiada es

t ~ -~~ ~ ~

1‘: f 2 i - ( u 2 - x2) nx = - u2.x - -

I a I

208 CÁLCULO CON GEOMETR~A ANALíTICA

En cualquier caso, dl/ se expresa enteramente en términos de la uariable ( x o y ) que aparece m la diferencial (dx o dy).

PASO 4. Integrar dl/ entre los límites ( x o y ) apropiados.

2. Se sugiere un procedimiento puso a paso que debe seguirse para hallar uolúmenes de sólidos con secciones transcersales cuyas úreus se conocen:

PASO 1. Dibujar una figura. Incluir un eje perpendicular u la seccidn transcersal de úrea conocida (por ejemplo, U I I eje x ) . PASO 2. Dibujur unu rebunudu perpendicular u dicho eje x. PASO 3. Expresar e1 úreu A ( x ) de [u curu de la rebanada transversal en términos de su posicirin x en el ejt. Y . El columen de lu rebanada entonces es

dV = A(x) dx,

como en lu fig. 7.14(c)

PASO 4. Integrar la expresidn dl/ entre los límites apropiados x .

d V -: A l . \ ) . d \ (c) Sección transversal de área conocida. Figura 7.14

EJERClClOS

1. Hallar el volumen del sólido generado al girar la región encerrada por las curvas cuyas ecuaciones son J’ = .xz e J’ = 1, alrededor de la recta cuya ecuación es y = 1, utilizando discos.

2. Hallar el volumen del sólido generado al girar la región del ejercicio 1 alrededor

de la recta cuya ecuación es x = 2, utilizando el método de discos.

3. Verificar la fórmula V = 1/3nrzh para el volumen del cono circular recto de altura h y base de radio r. [Sugerencia. Rotar la región encerrada por las rectas con ecuaciones y = (r,/h)x, y = O y x = h, alrededor del eje x.]


4.

5.

6.

7.

8.

9.

Verificar la fórmula v = 4 h r 3 para el volumen de una esfera de radio I’. [Slrgr- rmciu . Rotar el semidisco .xz + J.’ < r 2 , 1‘ 2 0, alrededor del eje .x.]

Hallar el volumen del sólido generado al girar la región encerrada por las grificas de l a s funciones .Y y .x2 alrededor del eje y.

Hallar el volumen del sólido generado cuando la región del plano encerrada POI las curvas cuyas ecuaciones son 1’ = Y ’ e y = 3 - 2.x pira alrededor del eje x.

Hallar el volumen del sólido generado cuando la región del plano encerrada por las grificas de J.x y .S’ gira alrededor del eje s .

Hallar el volumen del sólido generado cuando la región del plano encerrada por y = Y’ e y = 4 gira alrededor de la recta y = - 1.

Hallar el volumen del sólido generado cuando la región en el plano encerrada por y = senu e y = O para O < .x < r gira alrededor del eje .Y.

~

10. Hallar el volumen generado cuando la región encerrada por las curvas y = CSCI, I = r;4, S = 3n/4 e y = O gira alrededor del ejz x.

11. La base de un sólido es el disco -x2 + < u2. Un plano perpendicular al eje x corta el sólido en secciones planas en forma de triángulos equiliteros. Hallar el volumen del sólido.

12. La base de cierto sólido es un triingulo rectingulo isósceles, cuya hipotenusa tiene una longitud u. Toda sección plana del sólido cortada por un plano perpendicular a la hipotenusa es un cuadrado. Hallar el volumen del sólido.

13. Hallar el volumen del casquete de esfera de radio u cortado por un plano que pasa a h unidades del centro de la esfera, donde O < h < u.

14. La base de cierto sólido es la región del plano encerrada por Y = y’ y .Y = 4. Todas las secciones planas del sólido cortadas por un plano perpendicular al eje IC son triingulos rectingulos isósce- les cuyos ingulos rectos estin en la grifica de v, s. Hallar el volumen del sólido.

7.3. VOLUMENES DE REVOLUCION: METODO DE LA CORTEZA A continuación se expone otro método para hallar un volumen de revolución. Se supone que la región que aparece en la fig. 7.15 gira alrededor del eje y . La tira sombreada intensamente de la fig. 7.15 describe ahora una corteza cilíndrica como se muestra en la fig. 7.16. El problema consiste en hallar una integral apropiada para el volumen utilizando cortezas.

El volumen de tal corteza cilíndrica es aproximadamente igual al producto del irea de la superficie del cilindro y el espesor de la corteza (la pared del cilindro). A su turno, el area de la superficie es el producto del perímetro del círculo por la altura del cilindro. Para el punto (x. y ) que se muestra en la fig. 7.1 5, el perímetro es 2n.x y la altura es y. Luego, el volumen T/COrteLa de la corteza cilíndrica es aproximadamente dp’ = 271xyd.~. Puesto que y =f’(.~), se suman los volúmenes de las cortezas y se calcula el límite de la suma resultante, de manera que el volumen total del sólido de revolución sera

A -- .. .

APLICACIONES DE LA INTEGRAL 21 1

El procedimiento para hallar el volumen de la sección 7.2 requiere sólo ligeras modificaciones para adaptarse al cálculo de volúmenes de sólidos de revolución, por el método de la corteza. Dicho procedimiento se revisa en el resumen

Ejemplo 1. Repetir el ejemplo 1 de la sección 7.2, pero calcular el volumen utilizando rectángulos verticales estrechos, como se muestra en la fig. 7.17(a) (pasos 1 Y 2). SOI,UCION. PASO 3. Cuando el rectingulo sombreado intensamente de l a fig. 7.17(a) gira alrededor del eje )s. describe la corteza cilíndrica que se muestra en la fig. 7.17(b). El perímetro de la corteza e5 2ns y la altura es 1 - y, para el punto (x, y) que se muestra en la fig. 7.17(b). Entonces, el volumen de la corteza cilíndrica es 2 x 4 1 .- ,Y) ds, y debe expresarse enteramente en términos de S, puesto que los límites de integración pertenecen al eje .Y. Como en este caso y = .x2, el volumen de la corteza es

d V = 2 7 ~ ~ ( 1 - x') dx = (271.~ - 2 7 1 . ~ ~ ) dx.

PASO 4. Entonces la integral apropiada es

[ ) ' ( ? m - 271.~~) dx =

= ( T - 4 ) - o = T . 271. 257- 71. ( 1

dx i

/ Figura 7.17 (b)

Ejemplo 2. Hallar el volumen cuando la región encerrada por y = 4 e J = x' gira alrededor de la recta = - 1, utilizando el método de la corteza.

SoLlrclO~, PASOS 1, 2. El esquema se muestra en la fig. 7.18.

PASO 3. El volumen de la corteza es dV = 2nrh(dy). Los valores r y h deben expresarse en términos de y . En virtud de las coordenadas del punto (.x,y) que se

Figura 7.18

API.ICACIONES DE LA INTEGRAL 213

cuyas ecuaciones son y = .Y' e J. = I alrededor de la recta cuya ecaaclbn es y = !.

Hallar el volumen del sólido generado cuando la regicin del ejerciclo 1 gira alrededor de la recta cuya ~cuaci611 es -y == 2,

Hallar el bolumen del sblido generado al girar la regibn encerrada por las grificas de las funciones v y 2 alrededor del ejc y,

Hallar el volumcn de! sblido generado a l girar la regibn plana encerrada por l a \ curvas cuyas ecuacioncs son u = 1.' r: y = .Y - 2 alrededor dc la recta J. 2 -. '

Hallar el volumen del sólido generado a l girar la región plana encerrada por las grrificas de v,'x y ,x2 alrededor del eje .x.

Hallar el volumen del scilido genzrado al girar la q i b n plana encerrada por y =y scnr: c = O para O < Y < 71 alrededor del eje y.

.-

7.4. LONGI'I'lJD DE ARCO

7.2 1

1;igura 7.22

a

ll l , ! + l


Esta diferencial ds es la diferencial de longitud de arco, y (3) puede escribirse en la forma S = 1:ds. Se escribef“(x) = dy/dx para obtener las siguientes expresiones para ds :

d s = 9’1 t- (dyidx)’ dx = J(dx)’ + (dy)2 = w ’ T d ~ / d y ) ~ + 1 dy. (5)

Estas expresiones :;on muy fáciles de recordar. La forma ds = r- (dxI2 + ( d y ) 2 se considera como la longitud de un segmento corto de recta tangente a la curva, como se muestra en la fig. 7.23. Así se concluye el primer mitodo para hallar la longitud de arco.

ME‘TODO 2. Se particiona una vez mas [a. en I I subintervalos de longitudes iguales. La suma de las Iongitudes de las cuerdas que se muestran cn la fig. 7.24, donde la i-ésima cuerda une (ri.. , . f ( t i . y (li, ,f(ti)), constituye ahora la aproximacion a la longitud de la curva. Por otra parte, la longitud de la i-ésima cuerda es

“2, -,)’ + ( f ( t i ) - f c t , -,)y = (r, - t , - , ) 1 + J ( ti - t , - ,

Figura 7.24 Aproximación por cuerdas

La hipótesis en f permite aplicar el teorema del valor medio a dicha función en

para cualquier punto S , en [ t i . :, ti]. Seg6n (6), para la longitud de la cuerda se obtiene

h - a n

---*!‘1. (7)

que da lugar a la aproximación b - a

n S = “[dl + f’(X,)2 + J1 $- f’(XJ2 + . . . + 41 + f ’ (X, , )*] (8)

así

Por tanto. l a longitud de la curva es

7.4.2. Longitud de arco de una curva paramétrica

Se considera una curva con ecuaciones paramétricas

x 7 h i t ) . 2' -= k ( t )

donde /I ,([) y K ( l ) son funciones continuas de t . Por medio tic una manipulacitin formal de l a notación de Leibniz, a partir de (5) se llega ;i

Por tanto, es de esperar que la distancia total que se recorre en la curva desde el tiempo t = (1 hasta el tiempo t = h sea

APL.IC‘AC‘I0NES D E LA INTL<;RAL 217

Esta cs una manera de w ~ ~ d ~ w ( 9 ) y (10). pero no sc puede consitlcrar como una demostración.

Para demostrar (10). se particiona el intervalo [ t r , h ] en el eje I en 11 subintervalos de longitudes iguales, de modo que u = t,, < I I < . . . < I,, = h. Se aproxima la longitud de arco, sunlando l a s longitudes de l a s cuerdas de la curva, conlo en el método 2 explicado anteriormcnte. L,a i-ésima cuercfa une los puntos

(h(ti ~ I ) , k ( t , - , ) ) Y ( h k ) , k 0 , ) ) . La longitud de la cuerda es. por tanto,

J[h(ti) - h(t,,):]’ + [k( t i ) - k ( t , T- = ~ ~ J y q ~ - ~ h ”

t , - I, - 1 t , - ti I n ’

Según el teorema del valor medio, existen puntos c, y entre t , ~ I y t , tales que la última expresión puede escribirse

Jh‘(c,)‘ + k’(C,’)* . --. b - l l ri

L a longitud total de la curva desde t = o hasta t = h puede aproximarse por

Esta sumatoria es cclsi una suma de Riemann para la función \//i(t)’ + k’(t)’ sobre [ q b ] . Hay dificultades con los puntos ci y ci en el i-lsimo intervalo utilizado para hallar el valor de los dos sumandos bajo el radical. No obstante, el teorema de Bliss, mencionado en la última sección, postula también que tales tipos de sumatorias se aproximan a la integral de la funcih cuando n + ‘ x . Así se establece (10).

Ejemplo 2. Verificar la fórmula C = 2n~1 para la circunferencia de un circulo cuyo radio es LI.

S O L I ’ C I ~ N . Se toman las siguientes ecuaciones paramétricas para el círculo

~

x = u cos t, y = a sent para O r: t 5 2 7 ~ , Puesto que d . y / d f = --usen t y d!$;dt = ocos [, se ve por (10) que la longitud del círculo es

s = Iozm ~ - a sen t’) + (a cos t ) * dt

= Jc , ) dx + 1 dv

APLiCACIONES DE LA INTEGRAL 219

13. Hallar l a longitud aproximada de arco 14. Hallar el valor aproximado de t , > O de la curva x = 4t, y = sent desde t = O para que la longitud de la curva x = sen t , hasta r = 0.05. y = tan t desde f = O hasta f = f l sea 0.1.


7.5. AREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCION

Si el arco de una curva suave y =f'(s) para u < x < h, como se muestra en la fig. 7.25, gira alrededor del eje x, genera una superficie de r.el:olucicin como se indica en la figura. Si se toma u n pequeiio segmento de recta tangente de longitud ds en (x, y) y se hace girar alrededor del eje x. como se muestra en la fig. 7.25, la superficie del área generada por el segmento es aproximadamente la del cilindro de radiohl y altura ds, es decir, aproximadamente 27r /y/ ds. Puesto que J' =f(.x) y ds = r+ (f(x))' dx, se llega a la fórmula

S = 27~ 1ffx)I J'1 + ( f ' ( ~ ) ) ~ dx, I" (1) para el área de la superficie (ie recolución.

Y 1

f r

T- -+ .Y

Figura 7.25 I Figura

+ .\

7.26

El párrafo anterior muestra cuán fácil de recordar es la fórmula ( 1 ) . La fórmula se justifica según el argumento siguiente: se particiona el intervalo [u, b] en n subintervalos de longitudes iguales. Se consideran las cuerdas inscritas bajo la curva sobre los subintervalos como en el método 2 de la sección anterior. La ec. (7) de la sección anterior mostró que la longitud de la i-ésima cuerda inscrita bajo la curva puede escribirse

b - a -m n

para algún x i en el i-Csimo subintervalo. Se escogen ci y c: en el i-ésimo subintervalo. tales que

i , f ( c . J es el valor r rh imo de I j ' ( . ~ j sobre el subintervalo

Y i./'(cJ es el >alar m i r i i m o de i , / ' ( x ) i sobre el subintervalo.

Por tanto, el elemento de irea de la superficie generada a l girar la i-ésima cuerda satisface

2.rr lf(c,'ll- Jm 5 elenxnto de grea 5 2-ir i f ( c , ) l ~ - b - a h - a

n n Qfl + f ' ( X i y ,

Según e1 teorema de Bliss citado en la sección 7.3, tanto

como

se aproximan a la integral de ( 1 ) cuando 11 -+ x. Esto justifica (1). Si la curva viene dada en forma paramktrica .Y = h ( r ) , J. = k(t) para I,) < I < t , . y

si el conjunto de la curva se rccoi-re una vez para r en [lo. r l ] , entonces ( 1 ) adop:a la forma

Si se hace girar un arco alrededor de un eje distinto al eje .Y, las fhrrnulas ( 1 I y ( 2 ) se modifican de mancra evidente. ((Por in!egración se suman)) las contribuciones 2nr(d.s). donde ds es la longitud de un segmento de recta tangente a la curva y r es el radio del círculo alrededor del cual gira el segmento tangente.

L a fórmula general para el Area de una superficie de revolución es, entonces,

Area de la superficie = S = ?ir (radio de revolución)d.s, ( 3 1

donde J, y /z son limites apropiados y r l s es la diferencial de longitud de arco.

Ejemplo 1. Hallar el Area de la superficie generada al girar el arco de y = .yz desde (0,O) hasta ( I , 1) alrededor del eje J..

S0LC;CIÓN. Se tiene 1¡4'/1i.y = 2.x, entonces

ds = J 1 + 4x2 dx.

APLICACIONES DE L A INTEGRAL 221

El radio de revolucicin es x, como se indica en la fig. 7.27. Entonces (3) se escribe

Y

4

Figura 7.27

A = [:2rra sen tJ(-a sen t )z + ( a cos t)'dt

= 2aa2(-cos t ) = 27Fa2(1 - (-1)) = 4rra2. I ( I:: RESUMEN

1.

2.

3.

4.

5.

6.


7.6. DKSTANCIA

Si u11 mcivii se desplaza en m a recta con una velocidad constantr: t . entonces la distancia S recorrida después de transcurrir el tiempo r viene dada por cl produ<:to Iult. El signo del valor absoluto se utiliza puesto que 1' es negativa si el rn6vil se desplaza en la direccibn negativa de l a recta. Luego. 1 ~ 1 es la rupidcz del rnblil.

Ejemplo 1. Si la velocidad para el tiempo 1 seg de un mcivil qul: st3 desplaza e11 una recta es 21 + 1; m;scg, hallar la distancia rccorricia desde t = 2 seg hasta ~1 t i e n v t == 4 seg, aplicando el cklculo integral.

S O L U C I ~ ; ~ . Puesto que la distancia es igual al producto de la velocidad por el tiempo, si se supone que la velocidad es constante, se ve que transcurrido el tiempo 1,


la distancia recorrida durante el pequeño intervalo de tiempo siguiente dt seg es (2t + t 2 ) d t m. Se suman estas distancias cuando t varía entre 2 y 4 y se halla el límite de la suma resultante cuando dt + O. La integral apropiada es

(2r t t") dt = ( t z + = (16 + y) - i-1 + i) . ~ ,

92

Por tanto, el móvil recorre ?mm. 1 1 La velocidad de un móvil que se desplaza en el eje x se considera positiva si el

desplazamiento es hacia la derecha;^ negativa si es hacia la izquierda. Así, la integral de la velocidad L' de ti a t , dará la distancia total recorrida hacia la derecha, menos la distancia recorrida hacia la izquierda entre dichos tiempos. Puede que esta {(distancia resultante)) no de una idea cabal del desplazamiento del móvil; indica a qué distancia está el móvil en el instante t , de la posición que ocupaba en el instante 1,. Para hallar la verdadera distancia recorrida debe integrarse la rapidez IC'[. Entonces, si el móvil parte en el instante t , , se detiene en el instante t , y tiene una velocidad u( t ) para t , < t < t , , se tiene que

Distancia desde la partida hasta l a llegada = c( t ) r l t , i:' Distancia total recorrida = Iu(t)l dt.

* r'; f I

Ejemplo 2. La velocidad de un cuerpo que se desplaza en una recta es cos (zt/2) m/seg, en el instante r . El mbvil se desplaza con una velocidad de 1 m/seg en la dirección positiva, cuando t = O, mientras que cuando t = 2, se desplaza en la dirección negativa a la razón de 1 rn/seg. Hallar la distancia total recorrida desde el instante t = O hasta t = 2, y la distancia desde el punto de partida hasta el de llegada. SOLL'CION. Es necesario calcular

jo2 ICOS t ( dt.

Ahora bien, cos(nt/2) es positiva para O < I < 1 y negativa para 1 < t < 2. Por tanto, se tiene


7.7. TRABAJO Y PRESION MIDROSTATICA

7.7.1. Trabajo

Si un cuerpo se mueve una distancia ,S por accidn de una fuerza constante E' en la dirección del movimiento, entonces el producto F s es el trabajo W realizado para mover el cuerpo. Por ejemplo, si una fuerza constante de 20 kg empuja un cuerpo a lo largo de una recta y en la dirección de dicha recta, entonces el trabajo realizado por la fuerza sobre el cuerpo para trasladarlo de la posicicin S = O a la posición s = 10 es W = 20.10 =- 200 kg/m.

Si l a fuerza que actúa sobre el cuerpo no permanece constante, pero es una función continua F ( s ) de la posición S del cuerpo, entonces el trabajo realizado sobre un intervalo corto de longitud rls es aproximadamente F(s)d.s, para algún punto S en este intervalo. Si se suman todas las contribuciones al trabajo desde la posición inicial S: = II hasta la posicidn final S = h, se obtiene

Ejemplo 1. La fuerza E' que se requiere para estirar (o comprimir) un resorte es proporcional a la distancia .Y que se estira ( o comprime) a partir de su longitud natural. Es decir, E' = k x para alguna constante k, la constmte del rcwwte. Suponer un resorte tal que la fuerza necesaria para estirarlo 1 m a partir de su longitud natural es de 4 kg. Para este resorte, k = 4. Hallar el trabajo realizado cuando el resorte se estira 4 m a partir de su longitud natural.

S01,WiÓN. El trabajo se define como el producto de la fuerza por la distancia, si la fuerza permanece constante y actúa en la dirección del movimiento. De este modo, cuando el resorte se estira una pequeña distancia adicional tlx a una distancia x de su longitud natural, el trabajo realizado es aproximadamente F . ds = 4 x . ds. Se suman todas l as contribuciones pequeñas al trabajo desde x = 0 hasta x = 4, y se halla ci límite cle la suma resultante cuando cis tiende a 0. La integral apropiada es

[144xdx = 4- = - - x214 2 I) 64 2 0 = 32.

Entonces el trabajo reali7ado fue de 33kg,'m. / I

7.7.2. Presih hidrostática

Si la presicin por unidad cuadrada sobre una regicin plana de Area A es una constante 11 en toda la región, entonces el producto p,,l es igual a la fuerza total f.' debida a la accidn de la presión sobre toda la región. Si la presiqin no permanece constante en toda la región, la fuerza total se halla por integración dc p - d A , donde dA es el irea de u n pequeño sector de la regi6n sobre cl cuai l a presidn permanece ayJroxirnadaai..tilc constante.

226 CALCULO CON GEOILIETRIA ANALÍTICA

,¡

”f S

Figura 7.28


RESUMEN

1. Si la fuerza que actúa sobre un cuerpo en la direccicin de su mocimiento a lo largo de unu recta es la función F(s ) de la posición S del cuerpo, entonces e1 trahujo realizado por la fuerzu p a w mover el cuerpo tie la posición S = u (I la posicicin S = h es

W = [ F ( s ) ds.

2. Lcr prrsicin ejercirlu por el q u u N unu profirndirlurl S es rrpro.uirllr1tItrI?1Pnte (62.4)s Iblpie2. Si unu plrrnc.hrr wr t i c r r l se sumeroe en e l LIYULI (le rnotlo que su parte superior estk (I unu profifirnrlirlutl tr y I n inferior u u n l ~ profifirnditltrtl h, y si el riretr tle unu t i r u horizontal estrechu (le la planclzrr es rlA y estci situurlu ( I untr profilnrlirltul S,

entonrvs

Fuerzu total sobre la plancha = (62.4)s - dA. I." EJERCICIOS

Hallar el trabajo realizado para estirar el resorte del ejemplo 1 desde una longitud 2 m mayor que su longitud natural hasta una 6 m mayor que la misma longitud natural. Un resorte tiene una longitud natural de 2pies y se requiere una fuerza de lOlb para comprimirlo 2 pulg (para que quede con una longitud de 22 pulg). Hallar el trabajo realizado para estirar el resorte de una longitud de 26pulg a una de 30 pulg. Un tanque cilíndrico de 2 m de radio y 10 m de altura está lleno de agua. Se va a vaciar bombeando el agua desde el fondo del tanque, por medio de una man- guera que se derrama por la superficie del tanque. Hallar el trabajo realizado. Dos electrones que distan S unidades entre sí se repelen con una fuerza k, / s2 , donde k es alguna constante.

Si uno de los electrones est5 en el punto 2 del eje x, hallar el trabajo realizado por la fuerza para trasladar el otro electrón desde el punto 4 hasta el punto 8. SI un electrón está en el punto O del eje x y el otro esta en el punto 1,

hallar el trabajo realizado por las fuerzas para trasladar un tercer elec- trón desde el punto 2 hasta el pun- to 6.

Según la ley de gravitación de Newton, la fuerza de atracción de dos cuerpos de masas m, y tn, es G(mltt12/.s2), donde S es la distancia entre los cuerpos y G es la constante de gravitación. Si la distancia entre dos cuerpos de masas m, y m, es u, hallar el trabajo realizado para mover- los a una distancia dos veces mayor.

Un cuerpo de masa m se desplaza en la dirección positiva del eje I por acción de una fuerza F que actúa en la dirección positiva a lo largo del eje. (La magnitud de la fuerza puede variar con el tiempo t.) Si la velocidad del cuerpo es c, su energiu ciniticu es (1/2)mr:*. Demostrar que el trabajo realizado por la fuerza desde el instante t , hasta el instante t,, para t , < t,, es igual a la variación en la energía cinética del cuerpo en el intervalo dado. [Sugerenciu. Por la segunda ley del movimiento de Newton

dv dv dx dv

d t dx dt dx F = ma = m - = m-- = m--,


Se considera que tanto F como u son funciones de la posición x, del cuerpo en el tiempo t , y el trabajo se expresa

W = F ( x ) dx

como una integral que involucra u, aplicando la ley de Newton.]

7. Una presa vertical tiene la forma de un semicírculo de 36pies de radio, con el diámetro del círculo en el borde superior

de la presa. Hallar la fuerza sobre la presa cuando el nivel del agua alcanza el borde superior.

8. Un recipiente cilíndrico de 2 pies de diá- metro y 4pies de longitud está lleno de agua. Hallar la fuerza en uno de los extremos del recipiente cuando éste se coloca horizontalmente.

9. Hallar la fuerza en la pared cilíndrica del recipiente del ejercicio 8, si éste se coloca verticalmente.

7.8. MASA Y MOMENTOS

La masa de un cuerpo es la medida numérica de la cantidad de materia)) que contiene. El interés de esta sección radica en cuerpos que yacen en el plano, tales como una plancha delgada o un trozo de alambre.

7.8. l. Masa

La densidad p de una plancha plana en un punto (x, y) es la masa que tendría una pieza de área 1 si la plancha tuviera en todas partes la misma composición y el mismo espesor del punto ( x , y). Un trozo de alambre tiene densidad por unidad de longitud y no por unidad de área. En general, la densidad es una función p(x, y) de x e JI, pero en esta sección se considerarin solamente los casos en que es una función /)(.Y) de ,Y o pol ) de y únicamente. Los cuerpos en tres dimensiones y las funciones de densidad más generales se estudian en el capítulo 18.

Para hallar la masa total de una plancha cuya densidad es y(.x), se multiplica p ( s ) por el área d A de una tira oerticul estrecha de la plancha de anchura dx, y se integra la expresión resultante:

Mascr = m = p ' d A . I' La fórmula (1) también es válida para la densidad p ( ~ , ) * pero en este caso se considera una tira horizontul delgada de altura d!,.

Ejemplo 1. Una limina delgada cubre exactamente la región del plano encerrada por las curvas y = x 2 , .Y = 2 e J. = O. como se muestra en la fig. 7.29. Hallar la masa de la Iimina si la densidad en el punto ( . ~ , y ) es ,,/,Y.

,-


SOLUCION. La densidad es aproximadamente constante y tiene un valor 6 en toda la tira sombreada intensamente de la fig. 7.29. El área de la tira es aproximadamente x2 dx y su masa aproximada es, por tanto, (&)(x’ dx). Se suman estas masas cuando x varía de O a 2 y dx tiende a O. Por tanto, la masa total es

V

Figura 7.29

La masa total de un alambre de densidad p se halla integrando p . ds.

Ejemplo 2. Un alambre yace en la curva x = y 2 desde y = O hasta y = 2 y tiene una densidad k y para cada constante k. Entonces,

ds = J(d.x/dy)2 + 1 d y = J 4 y 2 + 1 dy,

m = I o 2 k y m dy = 8 8y(4yz + 1)lf2 d y

así

Io2 k 2 8 3

= - . - (4y2 + 1)”2

= - [17Ji7 - 11. k 12 I I

7.8.2. Momentos

Se designa un lado de un eje en el plano como el lado positivo y el otro lado como el negativo. Por ejemplo, los puntos a la derecha del eje vertical están en el lado positivo, como también lo están los situados más arriba del eje horizontal.


Primer momento

El primer momento (o simplemente el momento) respecto a uno de tales ejes de un punto de masa m es mr, donde r es la distancia positiva o negativa del punto al eje. Si el cuerpo es una plancha, se toma una tira estrecha de masa d m = p . d A paralela al eje y a una distancia provista de signo r del eje. Entonces

Primer momento = M = r - dm c para límites adecuados u y h. Si el cuerpo es un alambre, entonces dm = p. ds . Frecuentemente se consideran los momentos M , respecto al eje x y M, respecto al eje J.

Ejemplo 3. Hallar el momento M,, respecto del eje ~3 de la ldmina descrita en el ejemplo 1.

SOLUCION. Todos los puntos de la tira intensamente sombreada de la fig. 7.29 tienen aproximadamente la misma distancia x del eje y si dx es pequeña. Puesto que la masa de esta tira es aproximadamente (,,&)(x’ dx) = d x , el momento de esta tira respecto al eje y es aproximadamente (x)(x5” dx). Se suman los momentos de tales tiras cuando x varía de O a 2 y l i x tiende a O. Por tanto, el momento M, viene dado por

M , = l o 2 ( x ) ( x s / 2 ) dx = x7 / * dx = 3 x Y / 2 = 2’7’12 - I: 1: 9- O = y J z . / /

Mometlto de inerciu

El s r g ~ m l o motnet1tt~ ( o t n o r w n t o d e inercia) I de uno de estos planos respecto a un eje viene dado por

Segundo momento = I = dm, (3)

y. en general,

n-ésimo momento = r“ dm. f (4) El segundo momento I aparece en la fórmula

para la energía cinética de rotación alrededor de un eje de u n cuerpo cuyo momento de inercia es I y cuya velocidad angular de rotación es to. Si se desea duplicar la energía cinetica de un volante que gira con velocidad angular m. se modifica el volante de modo que la masa esté 4 2 veces rnds lejos del eje.

Ejemplo 4. Considérese nuevamente la lámina del ejemplo 1. Para hallar el momento de inercia I, de la Ihmina respecto al eje J’. se multiplica la masa (J~)(.u’ Ox)


= x5I2 dx de la tira de la fig. 7.29 por el cuadrado de la distancia al eje y y se suman las contribuciones cuando dx tiende a cero. Se llega a

1, = (x2)(x5” dx) = x9” dx = &x1’” lo2 1 1: = $211’2 - 0 = gJ2. 11 -

A veces no conviene considerar tiras horizontales para hallar M, o verticales para My Si la densidad p es constante, se considera que la masa está concentrada en el centro de la tira cuando se calculan momentos, como se ilustra en el ejemplo siguiente.

Ejemplo 5. Hallar el momento M , respecto al eje x de la plancha de densidad constante 3, que cubre la región encerrada por y = O e y = sen x para O d x < x, como se muestra en la fig. 7.30.

V

e la tira se concentra aquí

+ X Figura 7.30

SOLUCION, Se considera que la masa

dm = p . d A = 3senxdx

está concentrada en el punto medio de la tira, cuya distancia al eje x es y/2 = (sen x)/2. Por tanto, utilizando una tabla de integrales

M, = I, ~ ( 3 s e n x ) d x =

senx

RESUMEN

Si se tiene una densidad p , un urea d A y una distancia r (positiva o negativa) de un eje, entonces

1. Masa total =


2. Primer momento = r . p . dA . l 3 . Segundo momento ( d e inercia) = I = r 2 p . dA . l 4. n-ésimo momento = r"p. dA, donde a y b son los límites apropiados. l EJERCICIOS

1.

2.

3.

4.

5.

6.

La región triangular cuyos vértices son (O,O), (a,O) y (O, h) para a > O y h > O se cubre con una lámina de material cuya densidad en el punto (x, y ) es k y 2 . a) Hallar la masa de la lámina. b) Hallar el primer momento de la 1á-

mina respecto al eje x.

La densidad de una plancha que cubre un disco semicircular encerrado por el eje .Y e y = 1 - ,Y' es 2(y + 11, en un punto ( s . ~ ) . Hallar la masa de la plancha.

Se corta una plancha a partir de una lámina de metal delgada de densidad constante 3. Si la plancha cubre la re- gión del primer cuadrante encerrada por las curvas y = ,y2, y = 1 y .Y = O. hallar el primer momento de la plancha respecto al eje y. (Se supone que las unidades son compatibles y no importan las de la respuesta.)

Hallar el primer momento de la plancha del ejercicio 3, respecto al eje cuya ecua- ción es .Y = 2.

Hallar el momento de inercia de la plancha del ejercicio 3 respecto al eje s .

Se tiene una varilla delgada de longitud LI con densidad constante k (masa por unidad de longitud).

/-

a) Hallar el primer momento de la varilla respecto a un eje que pasa por uno de sus extremos y es perpendicular a la varilla.

b) Hallar el momento de inercia de la varilla respecto al eje que se describe en a).

7. Repetir el ejercicio 6 con una densidad de ks2, donde S es la distancia del eje de rotación a lo largo de la varilla.

8. Un alambre yace sobre y = x3 desde x = O hasta S = 2 . Su densidad p es constante = 5. Hallar el momento M , del alambre respecto al eje .Y.

9. Un alambre yace sobre x = J.^,^ desde y = 1 hasta y = 4 y tiene densidad Ay) = 3;'y. Expresar en forma de integral el primer momento My del alambre respecto al eje y.

IO. Hallar el momento de inercia de un disco plano de radio u y densidad constante k respecto al eje perpendicular al disco y que pasa por su centro. [Suge- rencia Sumar los momentos de inercia de (tarandelas)) circulares concéntricas por integración.]

11. Expresar en forma de integral el momento de inercia de una esfera de radio


a y densidad constante k (masa por 12. Demostrar que el primer momento de unidad de volumen), respecto al diáme- un cuerpo en el plano respecto a la recta tro de la esfera. [Sugerencia. Sumar los x = - a es M,, + ma, donde M , es el momentos de inercia de cortezas cilin- momento respecto al eje y. (Este es el dricas con el diámetro como eje.] {{teorema del eje paralelos.)

7.9. CENTRO DE MASA, CENTROIDE, TEOREMA DE PAPPUS

Se puede demostrar que para un cuerpo dado de masa m, existe un punto Único (no necesariamente en el cuerpo) en el cual se considera concentrada toda la masa del cuerpo para efectos del cálculo de primeros momentos respecto a cualquier eje. Este punto es el centro de masa (o centro de gravedad) del cuerpo. Si la distancia (provista de signo) del centro de masa de un cuerpo a un eje es S, entonces el primer momento del cuerpo respecto al eje es ms. [Se advierte que no existe cccentro de inercia)) para ningun cuerpo, de modo que toda la masa pueda considerarse concentrada para efectos del cómputo de momentos de inercia respecto a cualquier eje.]

Se define como centroide de una regi6n plana el punto donde estaría situado el centro de masa de una lámina delgada de material de densidad constante que cubriese la región. Sea (X, 7) el centro de masa de una lámina delgada que cubre una región plana como se muestra en la fig. 7.31, y sea m la masa de la lámina y M,., M , los momentos respecto a los ejes x e y, respectivamente. Entonces,

M, = mji,

puesto que la distancia (provista de signo) de (X, 7) al eje x es J. De manera análoga, M , = mX. Así

Puesto que se sabe cómo calcular m, M,. y M,, se puede calcular (X, 7)

Ejemplo 1. Calcular el centroide del semidisco encerrado por y = Ja’ - x2 y el eje x, como se muestra en la fig. 7.32.


SOLUCIBN. Se supone que el semidisco se ha cubierto con una lámina delgada de densidad p. Por simetría, ,Y = O. Para hallar y = M,/m, se necesita calcular M,, ya que se sabe que la masa m es el producto de la densidad constante p y el área, tal que

r a

2 m = p - .

Por simetría, para calcular M , es necesario hallar solamente el momento del cuarto de disco del primer cuadrante respecto al eje x y después multiplicarlo por 2. El momento respecto al eje x de la tira que se muestra en la fig. 7 .32 es aproximadamente ( y ) ( p x d y ) . Puesto que x = Jm se llega a

- - - p . 3 . 0 - ( " p . 2 . a 3 ) = 2 a 3 3 3P .

Así

Por tanto. el centroide del semidisco es ( 0 , 4 a / 3 ~ ) . / / I '

.T.

Lo siguiente se conoce como teorema de Pappus.

Teorema 7.1. (Pappus)

1. Si un arco plano de longitud L gira alrededor de un eje del pluno que no lo interseca, entonces el cireu de la superficie generada es el producto de la longitud L del arco y la circunferencia del círculo descrito por el cehtroide del arco.

2. Si una regicin del plano de area A gira alrededor de un eje en el plano yue no interseca la región, entonces el volumen del sólido generado es el producto del area A por la circunferencia del círculo descrito por el centroide de la región.

Evidentemente, estos teoremas postulan afirmaciones análogas para objetos en diferentes dimensiones. Con el fin de comprobar la segunda aseveración, considérese


la región que se muestra en la fig. 7.33, y supóngase que gira alrededor del eje y. Si 5e aplica el método de la corteza, el volumen generado es

donde d A es el área de la tira sombreada intensamente. Pero

(2)

y según (l), M , = 1//27~, así X = V(27rA) y

V = 27ri A, (3) que es la aseveración del teorema de Pappus.

Y Tira de área dA


Ejemplo 2. Si el segmento de recta que une (r, O) y (O, h) gira alrededor del eje y, genera la superficie de un cono (ver fig. 7.34). Sea

e = m la altura sesgada del cono. El centroide del segmento de recta queda en el punto (r/2, h/2), así, según el teorema de Pappus, el área de la superficie S del cono es

Ejemplo 3. Aplicar el teorema de Pappus para hallar el centroide del semidisco de la fig. 7.32, aplicando la fórmula V = 4/3na3.

SOLUCION. Se sabe que el área del semidisco es nu2/2. Si el centroide está en (O , j ) , entonces

v = gwa3 = 2=5 ..fTBa2 = P2a2j7.

Por tanto, y = (4u)/(3n), como resultó en el ejemplo 1. 11

236 CALCULO CON GEOMETRjA ANALíTICA

RESUMEN

l . El centro de nmsu (centroide) de un cuerpo pluno (región) es ( U , J.), donde

2. ( Teorema de Pappus). Si un cuerpo pluno gira ulrededor de un eje en el pluno del cuerpo sin que l o interseyue, entonces el oolumen (h -eu ) generado es igual u [ producto del brea (longitud) del cuerpo por la circunfirenciu del circulo descrito por el centroide del cuerpo.

EJERCICIOS

1. Dar un ejemplo de un cuerpo que no contenga su propio centro de masa.

2. Hallar por integración el centroide de la región triangular cuyos vértices son (O,O), (.,O), (O, h), donde u > O y h > O.

3. Hallar el centroide de la región encerra- d a por las curvas y = J.’ - x2 , x = u e 1’ = a, donde CI > O. [Sugerenciu. Aplicar la simetría.]

4. Hallar el centro de masa de una lámina de densidad 2 ~ , + 3 que cubre la región plana encerrada por las curvas y = ,xz e y = 4.

5. Hallar el centroide de la región encerrada por el arco de y = sen x, para O < x d n: y el eje x.

__ 6. Sea O < y Q J1 - x2 un semidisco cu-

bierto por una lámina de densidad constante p. Hallar el primer momento de la lamina respecto a la recta x + y = 4. [Sugerencia. Utilizar el centro de masa de la lámina del ejemplo l . ]

7. La porción de la cara de una presa vertical cubierta de agua es una región plana de área A pie2 cuyo centroide está a una profundidad de spies bajo la superficie del agua. Demostrar que la fuerza sobre la presa es (62.4)sAlb.

8. Un cuerpo plano de densidad constante

k cubre el cuadrado unitario con vertices (O,O), (1,0), (0,1) Y (1,1). a) Hallar el momento de inercia del

cuerpo respecto al eje y. b) Hallar el momento de inercia del

cuerpo respecto a la recta .x = -u. c) Hallar en el cuerpo un punto ( .xl ,yl)

tal que el momento de inercia del cuerpo respecto a cualquiera de los ejes x o y sea el producto de la masa por el cuadrado de la distancia de ( x I , y , ) al eje.

d) Hallar en el cuerpo un punto (xz, y’) tal que el momento de inercia del cuerpo respecto a cualquiera de las rectas Y = - u o y = - a sea el producto de la masa por el cuadrado de la distancia de (~yz,y2) a la recta.

e) Comparar las respuestas de c) y d) y comentar los resultados.

9. El radio de giro R de un cuerpo alrededor de un eje se define por

R = J G ,

de modo que 1 = mRZ. a) A partir de la respuesta k/3 del ejer-

cicio 8a), jcuál es el radio de giro alrededor del eje y de un cuerpo plano homogéneo que cubra el cuadrado unitario?


b) A partir de la respuesta

del ejercicio Sb), ¿cuál es el radio de giro alrededor de la recta x = - u de un cuerpo plano homogéneo que cubra el cuadrado unitario?

10. Aplicar el teorema de Pappus para hallar el volumen generado cuando el semidisco encerrado por y = J1 - x’ e y = O gira alrededor de la recta dada. (El centroide del disco se ha116 en el ejemplo 1.)

a) y = l b) y = - 1 c) y = 2 d) x = 2 e) x + y = 4

11. Un cuadrado de lado u gira alrededor de un eje que pasa por un vértice y es perpendicular a la diagonal del cuadrado en este vértice. Aplicar el teorema de Pappus para hallar el volumen generado.

12. Dado que el volumen de un cono circular recto de altura h y radio de base r es (+)nr2h, aplicar el teorema de Pappus para hallar el centroide de la región triangular con vértices (O, O), ( r . O) y (O, h ) para r > O y h > O.


1. Hallar el área de la región encerrada por ción generada cuando el arco y = x3/

las curvas y = ./2x e y = 4x2. J3 de x = O a x = 1 gira alrededor del - -

eje .x. 2. Hallar el volumen del sólido generado

cuando la encerrada por = 4 6. Hallar la distancia total recorrida por - .Y’ e y = O gira alrededor de la recta un móvil con velocidad c = sen m , que j’ = - I . se desplaza sobre un2 rect2 &si:: : = 1

hasta t = 4. 3. El trabajo realizado al estirar un resorte

un metro más de su longitud natural es 18 kg/m. Hallar el trabajo realizado al estirarlo 4 m mis de su longitud natural.

7. Una plancha delgada cubre la región encerrada por y = 1 - x’ e y = O y tlene una densidad y + 3 en el punto (x, y). Expresar como una integral el momento

4. Hallar la longitud de arco de la curva y de inercia de la plancha respecto al eje x .

8. Hallar el centroide de la región encerra- 5. Hallar el área de la superficie de revolu- da por las curvas y = +x’ e y = J2x.

= 2($ + x)31’ de x = O a x = y. -


1. Hallar el área dela regiónencerrada por 3. La cara de una presa tiene forma de

2. Hallar el volumen del sólido generado pies en el borde superior de la presa y cuando la región encerrada por y = x’ e lados iguales de 30 pies. Hallar la fuerza y = x + 2 gira alrededor de la recta x = total del agua sobre la presa cuando ésta

x = 4 - y* y x = 34’. triingulo isósceles cuya base mide 40

- 1. se halla llena de agua.


Hallar el valor de x tal que !a longitud de arco del círculo S = 5 cos t , y = 5 sent, medida en dirección contraria a la de las manecillas del reloj de ( 5 , O ) a ,. (x,y), sea de dos unidades.

Hallar el área de la superficie de revolu- ción generada cuando el arco de! círculo Y = 3 cost, J.' = 3 sen I desde r = O hasta t = 7ri'4 gira alrededor del eje y.

La velocidad de un móvil que se desplaza en una recta es I: = 4 - t'. Si el móvil

8.

parte en el instante f = O. ¿,cuánto tiempo habrá transcurrido si recorrió una distancia de 16 unidades?

Hallar el primer momento de un disco homogéneo semicircular de masa m encerrado por y = ~ ' 2 5 - Y' e % = O respecto al eje .Y.

Hallar el centro de masa de una plancha triangular delgada con vértices en (0,O). (3.4) y (O, 8) si la densidad de la plancha en (u. J.) es S i- I .


Expresar por di^ tie u n c t i ~ f q r d el volumen generado cuando la regi6n encerrada por y = .xz e y = 4 gira alrededor de la recta J' = .Y - 2. Aplicar el teorema de Pappus y hallar e! L a l o r de la integral.

Hallar el hrea de l a regibn dcl primcr- cuadrante encerrado por J. = Y'. r = ? + 9, S = O e = 25.

Expresar como una suma de integrales el volumen generado cuando la regitin del ejercicio 2 gira alrededor de la recta 3 r + 4y = - 12.

El agua fluye de una tubería en el tiempo t minutos, ;I raz6n de JO,/(r + I ) ' litros/min para I O. Hallar la cantidad de agua que sale de la tubería durante i a primera hora.

C'alcul;~I a p r o x i m ~ t ~ i a n ~ ~ n ~ c J(JOO 1000

~ ~ , ( 1 O00 + kl' ' 1

U n carpintero tiene un contrato para instalar 100 puertas en una urbanim- ción. La instalacitin de la primera puerta le toma una I ~ o r n . Utilizando la cupe- riencia clue adquiere continuamente. se da cuenta de que el tiempo necesario para instalar la r~-Csimn ~ puerta despues de la primera es 3, I I minutos menos de una hora. Calcular aproximadamente el tiempo que gasta para instalar las 100 puertas.

Un fabricante encuentra que un emplca- do reciin contratado puede sellar 40 4~ 2: 'I7 cajas durante la tI-Csima I1ora dc trabajo. excepto que. una vez se ha a l - canLado el nivel de 60 cajas por hora. cesa el crecimiento. Calcular el número aproximado de cajas que el empleado puedc sellar durante las prlmcras 1500 horas de trabajo.

Otras funciones elementales

8.1. LA FUNCION Inx

8.1.1. Un problema de integración

Si n es un entero, entonces

Hasta el momento no se ha encontrado una función que sea una antiderivada de la función l/x, pero es necesario hallar S(1lx)d.u.

Por supuesto, (l/x) dx existe, puesto que l /x es continua en [ I , 21. Además, el teorema fundamental del cálculo (teorema 6.4, sección 6.2) implica la existencia de una antiderivada de la función l/x para .u > O, es decir, F , donde

El valor F ( x ) es igual al área de la región sombreada de la fig. 8.1. (Si se escoge un número positivo diferente de 1 colno límite inferior del integral de (l), la función resultante difiere de F por una constante.) Entonces el teorema fundamental del cálculo permite hallar una antiderivada F de l / x , por lo menos, para x > O. Esta función F es muy importante. Más adelante se verá que F tiene las propiedades algebraicas formales de la función logaritmica estudiada en el bachillerato; por tanto, la notación ctlnn para F de la definición siguiente es apropiada.

~~ ~

Definición 8.1. La función In que se define por

In x = -- dt para x > O 6': es la función logaritmica (natural) y In u = ( l i t ) d t es el logaritmo (natural) de u para todo u > O.


+ t

' 1-3 Figura 8.1

A partir de las propiedades de la integral que se que

I n 1 = - d t = O I' : Y

In x es > O si x > 1 , < O si O < x < 1.

21 y = Inx Fx -2

- 3 f l Figura 8.2

trataron en el capítulo 6 se ve

En la fig. 8.2 se muestra la gráfica de In x. Más adelante se justificará plenamente esta gráfica. En el apéndice 3 , al final del texto, aparece una tabla con algunos valores para In x.

8.1.2. El cálculo de In x

A partir de la definición de In x (2) y del teorema fundamental del cálculo se ve que

d(ln x) 1 dx x

-= - para x > O.

Por la regla de la cadena, si u = y(x), donde y es una función derivable, entonces

d(1n u) 1 du dx u dx " - -.- para u > O.

Es conveniente memorizar la fórmula (6), que es de uso frecuente.

Ejemplo 1. Por aplicación de (6), se tiene

d(1n (2x + 1)) 1 d(2x + 1) 2 dx 2x + 1 dx 2x + 1 '

- ". - -- x > -4. I1

Ejemplo 2. Si se aplica (6) de nuevo, se obtiene

d (In (senx)) - 1 d(sen x) cos x dx sen x dx sen x

- cot x, sen x > O. I(

OTRAS FUNCIONES ELEMENTALES 241

La fórmula de integración siguiente se obtiene a partir de (6)

j t = In u + c para u > O.

Considérese j ( l / x )dx para x < O. Si u = -x, entonces u > O y du = - 1 dx. Luego

1;dx = 1 7 = = In u + C = In(-x) + C para x < O. -1 dx

Por tanto, j ( l / x ) dx = In ( - x) + C para x < O, así que, por la regla de la cadena

j - = ln (-u) + c para u < O. d u U

Las fórmulas (7) y (8) pueden sintetizarse en una sola, a saber

j- = In /u / + C. du u

La fórmula (9) es de mucha importancia y, por tanto, debe memorizarse.

Ejemplo 3. Hallar

= 1nI-11 - ln / -21

Ejemplo 4. Hallar X/(.* + 1) dx.

SOLUCION. Sea u = ,xz + 1, entonces du = 2xd.u. Arreglando la integral, se obtiene

X ' I 2x

1

2 x 2 + 1 2 d x = - - dx = -In ( x 2 + 11 + C.

Puesto que x 2 + 1 es siempre positivo, no se requiere aquí el signo del valor absoluto. I / Ejemplo 5. Hallar tan x dx.

SOLUCION. Se tiene que tan x = sen x/cos x; sea u = cosx, entonces du = -sen x dx. Luego, arreglando la integral

tan x d x = - dx 1 cos x

-sen x

cos x dx = -In /cos X I + C. / I


Finalmente, es posible integrar 1n.u. Se ve ficilmente que

d(x(ln x) -- x) 1 nx " - x - + + n x - 1 = Inx,

X Así,

I In x dx = x(ln x) - x + C.

Por tanto, según la regla de la cadena,

J (In u) du = u(ln u) - u + C, (11)

para una función derivable u. Es preciso investigar por qué se escogió x(ln S ) - .x como una posible antiderivada de 1n.x. Aunque se puede llegar al resultado x(1n.x) - .x experimentalmente, existe una técnica de integración llamada ((integración por partes)), que puede aplicarse para obtener x(ln .u) - x sin conjeturar. Hasta que no se aprenda la técnica de integración por partes, debe consultarse una tabla cuando se necesite la fórmula ( 1 1).

Ejemplo 6. Por la fórmula ( 1 I ) ,

/ x In (x2 + 1) dx = f (2x) In (xz + 1) LIx j = :[(x3 + 1) In (x2 + 1) - (x' + I)] -t C. ( 1

Muchas fórmulas de integración que se encuentran en las tablas involucran la funcicin logaritmica; dichas fórmulas pueden manejarse ahora.

8.1.3. Algunas propiedades de In .Y

Ahora se verá que la función In x satisface propiedades que relacionan la multiplica- ción con la adición. Esas relaciones hacen que In s sea una función verdaderamente importante.

Teorema 8.1. Por-tr todo LI > O J' h > O J. pc11'cc t o d o r ~ ~ í t w r o w c i o d Cfi-accit ir l ) I', sc tienc

In (ah) = In a + In h ; In (a/b) = In a - In b ;

In (a ' ) = r(ln a) .

El teorema 8.1 hace que el uso del nombre (dogaritmica)) de esta función parezca más razonable. Desde el bachillerato se conoce una función logaritmica que satisface (12), (13) y (14). Es interesante demostrar cómo se obtienen estas

OTRAS FUNCIONES E L E M E N T A L E S 143

propiedades de la definici6n dada en (2) de In .Y como una integral. Para demostrar (12) obsérvese que las funciones

f ( x i = In (ax) y a ( x ) = In u + In x

son idénticas. Se puede obtener (12) haciendo I = h.

L)( ,~JIo .s~I .L(I . q ~ c d o s f u / l c i o r w s s o t 1 iyuolt>s

A continuación se describe u n método para demostrar q11e dos funciones derivables .\(.Y) y !/(.Y) s o n l a misma función.

.\. Demostrar que f ' = q'. 13. Dmmtrar q u e , /(c.) = q ( c ) en u 1 1 punto dado c del dominio de las L'unciones.

Por (A ) se concluye que ( f - g)' = f' - gr = o,

fcx) - g(x) E k

para alguna constante k y todo .u en ul dominio de las funciones. Puesto yuej(c) = g(c) en (B). se obtiene

O = f(c) - g(c) = k ,

por tanto, sc tiene

por tanto. k = O y j ( x ) = $](x) para todo .Y en el dominio de las funciones.

= I n (I + In S para .Y > O. Entonces Esla tCcnica se aplica para demostrar (12), (13) y (14). Seaf[x) = In u x y sea q(x)

por tanto,f"(s) = y'(.u) y se satisface l a condici6n (A). Para la condición que

(B), se tiene

f i l l = In a y g(1) = In a + In 1 = In a,

ya que por (3) se sabe que I n 1 = O. Por tanto, , / ( S ) = y(.u) para to& particular, f (h ) = g(h); es decir

In ( a b ) = In a + In b.

D .Y > O ; en

y así se establece (12).

= r(ln x)) para .Y > O. Entonces Como paso siguiente, es conveniente establecer (14). Sea h(x) = l n ( . ~ ' ) y (k (x)

Así , !1,(2 tiende a 7. cuando II tiende a x. Así. para valores grandes 2" de .x. se observa que i n z es también grande, de modo que ¡íIn,.+, In.\- = 7 . .

Por (13 ) y (15).

54. Resolver 1n.Y = Y - 2.

55. Kesolver ( I n S)' - 4ln .Y - 8 = O.

8.2. LA FUNCIBN P"


Si J =!(.Y), la grifica de,/'también define a x como una funcihn de y, siempre y cuando no haya rectas horizontales de la forma y = L' que intersequen la grBfica en más de un punto. Por ejemplo, la funcidn y =,/(.Y) = .yz de la fig. 8.3)(a) no define a s como función de y ; en realidad, son dos funciones naturales S = y y .Y = -\;y, las que vienen dadas por esta gr6fica. Por otra parte. 1. = x3, que se muestra en la fig. X.3(b) define a .Y como funcicin de y, es decir, .x = <,'J..

Si y =,/(.Y) define a S también como funcion de !'. se denomina inversa da,/ 'y se denota por .Y =,f"'(y). Desde luego, eldominio dcJ- ' es el rango de,/; y el rango de f - ' es el dominio dej: Ademis, puesto que y =,/(.Y) y .Y =,f"'(y). si se sustituye una de las relaciones en la otra se tiene

r f

-

y = fcl ' ( y ) ) y x = f '(f[x)).

.~ ,' -

+ .\

1

i s + 2 ) y = x - 1. ( y - 1)s =_ -2v - 1,

2Y + 1 y - 1

x =--.

Por tanto, '()S) = - ( 2 ~ , + l ) j ( ~ , - I ) . Como se requería,/" '(.Y). se puede escribir ,f. ' ( S ) = -(2s + l ) / ( . ~ - I ) . L a grifica de y =,("(.Y) se muestra en la fig. 8.4(b). Nótese que puede obtenerse de la grifica de la fig. 8.4(a) si se refleja cn la recta de 45 en y = x . L a reflexión intercambia los ejes S e J. que es lo quc sucede en la realidad cuando se construye una función inversa. I /

OTRAS FlJNCIONES ELEMENTALES 249

8.2.2. La funci6n exponencia!

Se ve ficilmente que s i =,/(.Y) es creciente ( o decreciente) para todo .Y de su dominio. entonces la grifica define .Y como una función de J. ya que una r c c h horizontal no puede cruzar dos veces una grifica creciente. La funcicin E ; I . Y cs creciente para .Y =. O. puesto que d(ln r ) i d s = l ;r > O. (Ver fig. 8.5.) P o r unto.. J'

= In x define .x como una funci6n de y. la función inversa de In .Y. Esta funci6n sc denotar6 por exp (1,) en lugar de In ~ (1.) por el momento. Es la j i r n c i c i t l c ~ . x p : w c i u / .

i'

? i t

Figura 8.5

En la últirna seccicin se demostrci que lím-,-+, In .x = 3: y lim, ~ í ~ + In .Y = - Y-. Ya que In .Y es continua, se deduce, por el teorema del valor medio, que su rango incluye cualquier número real 1'. En consecuencia, existe un número real Único c' tal que I n P = 1. Este número c es uno de los mis importantes en matemiticas y su valor cornput, 'L d o es

exp r = e' í2\

8.2.3. Propiedades de c.'

O T R A S FUNCIONES ELEMENTALES 251

Las leyes usuales de exponentes son vlilidas para la función e' , es decir

Para comprobar ( 7 ) y ( X ) se toma el logaritmo natural de cada miembro de la ecuacihn; In S es una funcicin creciente. así que In S , = In .Y] implica .Y, = .y2. Asi,

In (e" e") = In ( e " ) + In ( e b ) = a + b, mientras quc

In (e"fh) = a + b

también. Por tanto, (J". o" = L~'"+'. De manera anriloga

In 7 = In (e") - In ( e h ) = a - b, t a )

Y In ( e a "') = a - b,

lo cual establecc (8). Finalmente, según la definición (6).

- eah. ( e a ) b = e b ( l n r * ) - - eha -

8.2.4. El cálculo de e'

Puesto que In .Y es derivable J' su derivada 1 CY es siempre diferente de cero. el teorema 8.2 demuestra que la funcicin exponencial es derivable. Si J = (1". entonces .Y = In y. La derivacicin implícita de .Y = 1111. con respecto a S produce

1 dY y dx '

1 E - . - "

así

Se ha demostrado que

De este modo, Irrjtlrzcicirl e.upo/wncin/ Y" (JS i trcurimt> hqjo drricrrcirin. Esta es u n a de las razones de l a extrema importancia de la función exponencial. Si I I es una funci6n derivable de S , entonces, sepein la regla de la cadena.

1e"dlr =; eu + C 112)

ptrra una funcibn derivable L!. TambiC-n debe menrorizarse la fhrmula (12).

Ejemplo 4. Hallar 1 se,^ d x .

~0t.tlc10;c. Tomando 11 = .x2 se tiene 1111 = 2rd.x. y un ligero replanteamiento de la integral conduce a su inmediata solucih:

I I xexz dx =- $ ex' 2x dx = ;ex' + C. 11 Finalmente. se menciona q~ue la fhrmula conocida

d(U') d u " - - r . u p - - l . - dx d x

es wílida para todo número real Y. Se tiene

d x 1 1

dy f'tx) dy idx " "" I s i ?(x) # O.

C3TRAS FUNCIONES ELEMENTALES 253

EJERCICIOS

5. In (S) 7. e"" '+In 3, 8. e'" 3"n

11. 12. In (In e )

19. esecx

21. el lX

26. [y2 (e" - e-x) dx

27. ["-- e" dx 1 + e'

1 En los ejercicios 13 u 22, htrllar ltr (ieri- 29. Dibujar la grifica de e -'. d i r de /u firncirin dadu. 30. Hallar todos los valores de 171 tales que

13. J = elnr sea una soluci6n de la ecuación

14. xex diferencial

15. e*' sen x 16. e x t e-'

17. e"(ln 2x1 d'y dy "

dx2 dx 5- +(,y = o.


31. Resolver e2x + 7e" - 3 = O. [Suqm>n- 32. Resolver e3x - 9u2" + 10 = 0. cia. Sustituir w = c" . ] 33. Resolver e('"' + 3e" - 10 = O.

8.3.1. Otras bases


log, (a,") = b,(log, a,). (9)

Sij'Cx) y y(.y) son funciones, es natural definir la funciónj'(s)Y'"' para todo S tal que f(x) > O por

f(x)%(x) = e ( l n f i x ) ) . r r f x )

Las derivadas dc las funciones que se presentan en esta subsección se encuentran ficilmente puesto que se definen en términos de ia Función exponencial. En efecto, a menos que se tenga muy buena memoria, se sugiere expresar tales funciones en términos de la base e cuando se deriva o integra, en lugar de memorizar las fórmulas quc aparecen mris adelante. Es decir. cada vez se repite la deducción de la fórmula. Como ilustración,

d(a") d(e('""'") d((ln a)x) " - - - e ( l n n ) x .

dx dx dx

= (a")(ln a) = (In a)(uA). Esto da la fórmula

Ejemplo 1. Se tiene

d(2") d(e'L"2)*) "

dx dx - = (In 2)e('"2'x = (In 2)2". 11

Ejemplo 2. Se tiene

Ejemplo 3. Se cambia a base P y se arregla l a integral,

Se aplica la regla de la cadena para obtener la f6rmula

1 d ( a " ) du 4. log, .x = -(In x) S. - = (In a)a" . -

dx dx

6. f nudu = ~ au + c 7. - ~ . _ . _ In a dx In a u dx

In a

1 d(log, u ) - 1 1 du

Puesto que c = j ' ( r ) , se escribe f,3) en I s forma j ' = ( - c,'m) . , j ; que es de nuevo de la forma (1 ) con k = - - c , / n ~ . 1 ;

Ejemplo 3. Bajo condiciones ctidealcs)), es decir, sin hacinamientos. depredadorcs o enfermedades, la rardn de crecimiento de una poblaci6n (gente o bacterias) us proporcional a su tamaño. Esto significa que si Q =- f .( [) es el tamafio de la poblacidn en el tiempo (" entonces

dQ " -- ." cQ, di

(41

8.4.2. Soluci6n de la ecuación 11). (1; -= k ) ,


Es decir. según ( 5 )

- = A ( e k ' ) k = k ( A e k ' ) = ky. dY dt

Se demuestra ahora que las funciones A p k ' son las únicas soluciones de la ecuacidn diferencial (1 ) . A partir de d y ; d t = icy se separan las variables y se resuelve la ccuxicin m ' :

Ahora bien. kc'' es cualquier constante diferente de O. Se comprueba que = O es una solucibn de tlJ,,dr = k\,. Esta solución 'se perdi6 ai dividir por 1, para formar la segunda linea de la solucidn. Por tanto, s i n es cualquier constante, la solución se escribe como

y = A e . kt

lo que '<e deseaba demostrar. Ahora se sabe qile cada una de las funciones , f ' ( r ) para las situaciones físicas

descritas cn los ejemplos 1 a 3 debe ser una de l a s funciones Ark'> donde y k son constantes. Ncitese que para , j ( r ) = Ach'. se tiene ,f (O) = A . De este modo, .4 tiene la interprctación física de ser la c w ~ t i d u d inicitli cuando el tiempo t = O. Las dos constantes A y k se determinan si se conoce el valor de,/'([) en dos tiempos diferentes I , y I,. El signo de k determina si,/([) es creciente (k > O) o decreciente (k < O) cuando el tiempo I crece; esto se muestra en las figs. 8.7 y 8.8.

~ Figura 8.7 Figura 8.8

8.4.3. Aplicaciones

El estudio anterior se ilustra cen algunas aplicaciones especificas.

Ejemplo 4. Demostrar que el tiempo t,: requerido para el decaimiento de la mitad de una cantidad inicial de elemento radiactivo es independiente de la cantidad inicial de elemento presente. (Ahora I,, es la rid({ mcdicr d c l rlemento.)

S O I . ~ C I O ~ . Si una cantidad Q del elemento es t i presente en el tiempo i y si Qo es la cantidad inicial presente en el tiempo I = O. se sabe por el ejemplo 1 que dQ rlt = - c Q para alguna constante positiva c . En la seccicin X.4.2 se demuestra que


Ahora bien, si S es la distancia recorrida por el móvil desde el tiempo t = O, entonces

- - = 10oe-(1n 5 W 3 ds dt

-

para alguna constante C. Ahora bien, S = O cuando t = 0, así se tiene

300 300 o = - - - * l + c c = - In 5 - " Y 111.5.

En consecuencia, la distancia S como función de r , se da por

300 3 00 In 5 In 5

= - - . 5-t/3 +-. Cuando t tiende a x:, 5- lI3 tiende a O y S se aproxima a 300/(ln 5). Así, el móvil recorre una distancia total de 300/(ln 5) m a traves del medio. 1 1

Ejemplo 6. Los ahorros con interés compuesto continuamente aumentan a una tasa proporcional al monto de la cuenta de ahorros. Si Q(t) es el valor de la cuenta después de t años, y si el interés se compone continuamente al L' por ciento, entonces

dQ- c dt 100 " - - Q.

LCuBnto tiempo tarda en triplicarse una cuenta de ahorros si se compone continuamente al 5 por ciento?

SOLUCI~N. La ecuación diferencial se convierte en

- = - Q = - Q Q . dQ 5 1 dt 100 20

Por tanto, Q = QOei/2".

Cuando Q = 3Qo así la cantidad original Qo se ha triplicado, entonces

3 Q 0 = Qlle'/2", 3 ~ er/20

t I n 3 = - 20 '

t = 20(ln 3) = 21.97.

Entonces el dinero se triplica en menos de 22 años si se compone continuamente al 5 por ciento. 1 1

1.

2.

P.

4.

s.


7. Describir todas las soluciones de la ecuacion diferencial d 2 y f d r 2 = k ( d p d r ) , donde k es una constante. [Su~qewncic~. Sea 14 = tly!dt.]

8. Hallar. cuinto tarda una cuenta de ahorros en duplicar su may~ i tud a tin inte- rés del 51 por ciento compuesto conti- nuntnente.

9. Un matrimonio abrid una cuenta de ahorros con $10000 en 1970. Tienen planeado dejarla quieta hasta 1990. cuando l a retirarin junto con 21 interés devengado para pagar la cuota inicial de una casa nueva. Durante el periodo dc veinte alios,, los ahorros ganarin u n in- terés del 5 por ciento compuesto continuamente. ;,Cu;into dincro les pagurd ci banco c11 1990'1

10. Después de resolver el ejercicio 9 se des- cubrib que el matrimonio recibirá $27 182.82 en 1990. Durante el tiempo que el banco tuvo el dinero, lo prest6 continuamente para hipotecas y recibih un equimlente al 9 por ciento de interés cumpuest(, continuamente. Si el cos~o pronlcdm de nlitneiar la Invel-sih que

$200 anualcs. ;,cud scr;i la ganancia del hmco dcspubs dc pagal- al nlatrimonio cn 1990')

resu!C;l del dcp6sito de $loooa es J e

11. Reso!vc: e! e jcrc~cio 1 0 si el banco utiliza continuamer,te el dinero gcncrado por los $10000 del matrimonio para p r h t a - m ) * < de vehiculos a l 12 por clento de interb compuesto continuamcnte. Su- poner los mismo gastvs del ejercicio IO.

Ejercicios para resolver con calculadora

12. Scgtín el A h r t w q w , C l ~ o d ~ c t i tie 1971. I a pobldci6n mundial en dicho año era aproximadamente de 3 692 O00 O00 y crecía a una tasa anual de alrededor del 1 . 9 por ciento. Se supone que la tasa de crcc;lmienlo de la poblacidn es proporcional a l a misma y continiia creciendo a la tasa anual del 1.9 por ciento. Si la superficie de la Tierra es una esfera de 4000 millas de radio, calcular aproximadamente el año en que habri una persona por metro cuadrado de ;írea de la

13. Respecto al ejercicio 12. suponcr clue es posible que viva gente en ci espacio ccr- cano I la Tierra. no mis alld de la Luna. ('alcular aproximadamente el año en que hnbri una persona por cada :res >ardas cúbicas de tal espacio. suponicn- do que la distancia a la Luna es de 250000 millas.

8.5. INVERSA D E LAS FLJNCIOKES TRIGONOMETRICAS

Las grhficas de las seis funciones tr igonomktricas se mues t ran en la fig. 8.9. Ninguna de estas funciones t iene una inversa ya que , para cada g r i f ica , una rec ta hor izonta l J

= L' puede c rumr la en mi s de un pun to . Po r e j emplo , si - I < c' < 1, n o existe una .Y

tínicw tal que sen Y = c. Considerar las seis funciones , f L , ...,,f,,, cuyas gr i l icas son las porciones intensa-

men te marcadas de las gr i f icas de l a s seis funciones tr igonométricas de la fig. 8.9. Cada una de es tas nuevas funciones t iene el mismo r ango que la función tr igonomé- t r ica correspondiente . y cada nueva función t iene una inversa . Por a b u s o de lenguaje,


(c) y = t a n .Y

8.9

las inversas d e j , , ..., j , se denominan funciones trigonométricas inversas, así quef; es la i ~ ~ ~ w x r rld S C I I O , j i ' es la inrersa dr l C O . W I ~ , etc. La irlrrrsa c i d s e w se denota generalmente por sen I !S, o por arcsen y. Se utilizan notaciones analogas para las otras cinco inversas de las funciones trigonométricas. Se usara la primera notación dada, y SL' dchc rc~c~orrlar ylrc 01 (( - 1 )) e t 1 sen ~ I no CIS 1/11 rrporwrltr.

Ejemplo 1. Se tiene


Valores principales

Los valores que asumen las funciones trigonométricas inversas se conocen como valores principales de la función inversa.

La derivada defi de la fig. 8.9 es igual a la derivada de sen x en todos los puntos del dominio. En consecuencia, la derivada dx/dy de S = sen" y se halla por deriva- ción implícita de y = sen x respecto a y:

y = senx,

1 = (cos x) - , dX dY

dx 1 dy cos x ' "- -

si cos x # O. Puesto que -n/2 < x < 4 2 , se tiene cosx 3 O, así

cos x = -x = m. Así se obtiene

d(sen"y) 1

dY JI - Y* - - - para -1 < y < 1.

Como es habitual utilizar ,Y para la variable independiente en el estudio de las funciones, (1) se escribe así

d(señ'x) - 1 - dX

para -1 < x < 1.

De ahora en adelante no se dará explícitamente el dominio de la derivada de una función trigonométrica inversa, como (( - 1 < x < 1)) en la ec. (2). Según el teorema 8.2, la derivada existirá en todos los puntos del dominio donde el denominador que aparece no se convierta en cero.

A partir de la ec. (2) se obtiene, por la regla de la cadena,

d(sen"u) - 1 du

dx Ji-TFz -

para una función derivable u.

Ejemplo 2. Si y = sen- 2x, entonces

Las gráficas de las funciones trigonomktricas inversas se muestran en la fig. 8.10 como funciones de la variable independiente x. Es imposible escoger {cramas)) de las gráficas de secante y cosecante con el fin de que las funciones inversas se vuelvan continuas. Las ramas para sec" x y csc" x se escogen de tal manera que las

I

i

I '

A

d -i

(e) y = sec-" x ( f ) 1' = csc 1 x

Figura 8.10


Funci6n

setl- x

cos-lx

tan^ 'x

COtf 'X

sec"x

csc - ' x

Todo S 7T 7r 1

2 I __--- 1 + XI'

Todo S

Figura 8.1 1

Se da una lista de las fórmulas que se obtuvieron a partir de las de la fig. 8.1 1 por aplicación de la regla de la cadena. Estas fórmulas son importantes para hallar valores de algunas integrales definidas. En efecto, esta es la razón principal para el estudio del cAlculo de las funciones trigonométricas inversas.

Fórmulas de derijacicin

d(sen"u) 1 d u " -

dx -

J1 - U* dx " . - (4)

d(tan " u ) 1 d u d x

- -. " ." (6) I + 14' d X


Fórmulas de integración

du

UJU" - 1 - = sec"u + C (12)

Ejemplo 3. Se tiene

Ejemplo 4. Por aplicación de la fórmula 11 con u = 2x, se encuentra que

2 1 2

dx = -tan" 2x

= d tan" 6 - itan" O = tan" 6.

Si se desea una aproximación decimal para tan - 6, utilizar una tabla para hallar que tan" 6 Z 1.41. 1 1

Ejemplo 5. Utilizar una tabla para hallar que

- J3 7 r J 3 T - - + 2 - = - + - . 11 2 6 2 3

RESUMEN

I . En lu jig. 8.1 1 se du un resumell de las seis ,funciones trigonometricus incersas.

2. En Ius em. (4) u (12) se du ut1 resumer1 de lusjormulus de dericución e integrución.

1. sen"I 2. cos-l(s) 5. s.+) 6. d3

7. COt"1 8. sec"1

9. CsC"("1) 10. cos-l(-l)

12. Csc-'(Z)

En los ejercicios 13 a 23, hallar la derivada de la funcibn dada.

13. sen"(2x) 14. cos"(xz)

15. tan"(&) 16. x sec"x

17. ac"(!) 18. (sen"x)(cos"x)

19. ( t an"2~)~ 20. sec-'(xz + 1) 1

tan x 21. -1 22. J z z x

23. (x + sen"3x)'

E n los ejercicios 24 a 28, hallar la integral sin utilizar tablas.

24* r-: ¡x? dx

1

28. I 3 x m dx

En los ejercicios 29 a 36, hallar la integrul dejinida utilizundo tablas si es necesario.


29.

31.

33.

35.

37.

38.

39.

40. 41.

42.

Deducir la fórmula para d(cos" x)/dx. Deducir la fórmula para d(tan" x)/dx.

Deducir la fórmula para d(cot " x)/dx. Deducir la fórmula para d(sec" x)/dx. Deducir la fórmula para d(csc" x)/dx. En la definición de sec- x, algunos ma- temáticos prefieren escoger las ramas de la gráfica de la secante, de modo que el rango (conjunto de valores principales) de sec" x sea O d y < 4 2 o 4 2 < y < n. La relación sec" x = cos-' (l/x) es válida bajo esta definición. a) Dar un ejemplo para mostrar que la

relación sec" x = cos"(I/x) no es vilida para la definición de sec ' x del texto (fig. 8.11).

b) Demostrar que si sec" x se define para que tenga el rango descrito en este ejercicio, entonces la fórmula para la derivada de la inversa de la secante que se dio en la tabla de la fig. 8.11 cambia a

d(sec"x) 1 dx -m' -

8.6. FUNCIONES HIPERBOLICAS

Las funciones hiperbólicas se definen en términos de funciones exponenciales, y sus inversas se expresan en términos de funciones logarítmicas. (No es sorprendente, puesto que la inversa de la función exponencial es la función logaritmica.) Esta sección da un breve resumen de las funciones hiperbólicas.

..........

... ................ "" ...... . . . . . . . . . . . .


cosh .Y tienden a la gráfica de exi2 para valores grandes de .Y. Las gráficas de las seis funciones hiperbólicas aparecen en la fig. 8.13.

A partir de las grlificas se ve que las funciones hiperbólicas no son funciones periódicas de una variable real. En cursos posteriores de análisis compleo se verá que

/ "I -11 I

(a) y = senh x (b) y = cosh .Y

? Y

i

_____ .+"" -+x -1 ! O I

- I +

Figura 8.13 (e) y = sech x (f) y = csch X


tienen períodos imaginarios; el período de senh x es 2ni. Una apreciación plena de las relaciones entre las funciones trigonométricas y las hiperbólicas se logra después de estudiar éstas en cursos de anrilisis complejo.

Por observación de las gráficas se nota que senh x, tanh x, coth x y csch x conducen a una x única para todo y, de modo que las funciones hiperbólicas inversas senh" y, tanh." y, coth" y y csch- y existen. Como cosh x y sech x no satisfacen esta condición, también se abusa del lenguaje como en el caso de las funciones trigono- métricas, y se escogen las ramas de las gráficas que se indican con curvas oscuras en la fig. 8.13(b) y (e) para definir las funciones cosh" ' y y sech y.

8.6.2. El cálculo de las funciones hiperbólicas

Las funciones hiperbólicas y s u s inversas se utilizaran en el texto principalmente para suministrar algunas fórmulas de integración adicionales. No obstante, las funciones hiperbólicas ocurren naturalmente en las ciencias físicas. Por ejemplo, un cable flexible que cuelga suspendido entre dos soportes es una ctcurva catenaria)), la cual es la gráfica del coseno hiperbdico si se escogen escala y ejes apropiados.

Volviendo al clilculo de estas funciones. se tiene que

dX

/ - = cosh x.

De manera aniloga, se halla que

d (cosh x) dx

= senh x.

Las derivadas de las cuatro funciones hiperbólicas restantes se hallan aplicando la relación (1) como fue el caso para las funciones trigonométricas correspondientes. Por ejemplo,

d(tanh x ) - d (senh x ) dx dx cosh x

cosh x cosh x - senh x senh x cosh2x

" -

- -

= sech'x.


En la parte izquierda de la tabla de la fig. 8.14 aparecen las derivadas de las funciones hiperbólicas. Existen paralelos entre estas fórmulas de derivación y las de las derivadas de las funciones trigonométricas, con excepción de algunas diferencias ocasiona- les de signo.

Las derivadas de las funciones hiperbólicas inversas se hallan a partir de las derivadas de las funciones hiperbólicas, por aplicación de la relación (1). Por ejemplo, si y = .f'(x) = senh x, entonces S = senh- y y ds/dy se obtiene por derivación implícita de y = senh S con respecto a y:

y = senhx,

dx 1 1 1 "

dY coshx JTTGZx - J l i y z .

- -

Se cambia la notación para que x sea la variable independiente y se obtiene

d (senh- x) - 1 - dx

- J m '

De manera análoga se hallan las derivadas de las demás funciones hiperbólicas inversas que aparecen en la parte derecha de la tabla de la fig. 8.14. Desde luego, estas fórmulas de derivación pueden combinarse con la regla de la cadena en la forma habitual.

Función Derivada Función Derivada

senh x cosh x se&"x 1 ___

m 1

cosh x - , x > l COSh-IX senh x J x z - 1

tanh x sech'x I I

f

coth x -CSCh2x 1

1 - x 2 ' c0th"x - 1x1 > 1

sech x sech"x -sech x tanh x -1

O < X < l X V G - 2 '

I

csch x - n c h x coth x 1 csch"x 1 -1 I x I C + ?

.".-I I " Figura 8.14

1 ' 112 - 1 "" "--.- dx " -.

2 J (x/2)J1 - (X/2)*


Puesto que las funciones hiperbólicas se expresan en términos de funciones exponenciales, es razonable esperar que las funciones hiperbólicas inversa se expre- sen en términos de funciones logarítmicas, como lo indica la forma alterna de (4) que se dedujo en (7). La demostración de este hecho se deja para los ejercicios (ver ejercicios 60 a 65). Las fórmulas de integración que resultan de las otras formas alternas se encuentran en el resumen.

RESUMEN

EJERCICIOS


64. Seguir el proctx miento del ejercicio 60 65. Seguir el procedimiento del ejercicio 60 para hallar ' ~ c a fórmula logaritmica pa- para hallar una fórmula logaritmica para sech .- ' .>-. ra csch " x.



l . a) Dar la definición de Inx como una b) Simplificar 2'Og4'

integral. bj Dibujar la gráfica de In(x!2). 6. Si los ahorros se componen continua-

mente a un interés del 5 por ciento, 2. a) Hallar dyjdv si y = In(x' + 1). jcuinto tiempo tardan en duplicarse?

b) Hallar j [sen x/( 1 + cos x)] d.x.

bj Hallar el valor de j,1"2e3xd,x, sim-

7. a) Hallar el valor de sen- ' ( - 1/2]. b) Hallar el valor de tan" (-J3). 3. a) Hallar dq'jdx si y = etan '.

plificando la respuesta tanto como 8. a) ~ ~ l l a ~ dJ.ltlx si = sen-' (J.). sea posible. b) Hallar el valor de j :2[ I/( 1 + .x2)] r l x .

4. a ) Derivar Z J r i 4 . b) Derivar x'", x > O. 9. a) Dar la definición de senh .Y en térmi-

nos de la función exponencial. S. a ) Despejar x si (2")(3"' I ) = 4-". b) Derivar sech3 2.x


¿Cómo se define el número r? Dibujar la grifica de e"".

Hallar dy/ds si y = In(tan x). Hallar j' [.x2,Í(4 + .x"] dx.

all lar dJj/d.y si y = eSen ' Hallar (sec2 3x)et"" 3u dx.

Derivar IO." I .

Dericur (cos ',

7.

tiempo I = O y SOm,iseg en el tiempo I = 10, hallar: a) La velocidad del móvil como fun-

b) La distancia recorrida como fun- ción de I .

cicin de t.

Hallar el valor de: a) cos - ' ( I /2). b) sec ~~ ( - 2).

5. a) Despejar S si In x - 2(ln -u3) = I n IO. b) Simplificar 25 'Og5 '. 8. a) Hallar dy/dx si y = tan ~ I 4.x.

b) H a l i a r e l v a l o r d e f'..!;,, 6. La Única fuerza sobre un móvil que se (U-) dx.

desplaza en una recta es una fuerza de resistencia proporcional a su velocidad. 9. a) Dibujar la gráfica de y =cosh (x + I ) . Si la velocidad es de 100m,/seg en el b) Derivar ~ 0 t h ~ (2x + I).

Problemas mis difíciles 8

Técnicas de integración

En las secciones 6.3 y 6.4 se adquirió algo de práctica en integración. Conviene ahora repasar las fórmulas de integración dadas en los capítulos 6 y 8, que aquí se presentan de nuevo. Se omiten las relacionadas con funciones hiperbólicas y sus inversas.

Seguramente el método de integración más importante es la utilización de una tabla de integrales. El uso adecuado de la tabla es tan importante que se incluyó una sección sobre este tema cuando se presentó el concepto de integral en el capítulo 6.

du dU 5. -- sen"u + C - tan"u + C

d U 7 . -- sec ' u + C X. sen u du = "cos u + C J 9. 1 cos u d u = senu + c 10. jsec 'u du-tan u + c

12. j s e c 14 tan udu =sec u +C

13. J csc u cot u du = -csc u t c 14. j sec u nu = In lsec u + tan u / t c

IS. 1 csc u du = -In ~cs s u + cot u1 + c 16. I e " d u = e'' + C

En l a actualidad se desarrollan pt-ogramas de computador para all lar formalmente d e r i ~ a d a s e integrales definidas c indefinidas. 1. para llevar ;I c;ibo muchas otras tareas de cilculo. Es posible que tales programas scan accesibles en un futuro cercano y reemplacen el uso de las tablas como la manera m i x eficwnte y confiable de hallar una integral indefinida.

Es preclso aprender ;I r r l / r ~ . ~ / o r t r ~ t ~ r algunas integrales que 110 aparecen en las tablas. en otras que sí aparecen. En l as tres primeras sccciones este capitulo se encuentran tres de tales mltodos: integraci6n por partes. dcscomposici6n en fracciones parciales ticnicas de sustituci6n. E n las secciones 9.4. 9.5 9.6 se describen InCtodos para integrar muciux de Ius funciones de uso mis frecxllte. sin utilizacicin de las tablas. L a s funciones de que tratan l a s secciones 9.5 y 9.0 especialmente se integran mtis r ipidamente 4 con menor riesgo de error utilizandc> tablas. Si el tiempo apremia. tal vez se prefiera omitir estas secciones. Sin etnbargt\. se continila el desarrollo de las ctestrezas en l a s técnicas generales que se presentaron en l a s secciones 9, I , 9.2 y 9.3, especialmente la tkcnica de sustitucibn

Recuérdese que si no es posible integrar una funci¿in para haliar una integral d c ~ f i / l i d a , es fiicil aplicar la regla de Sitnpson en esta lpoca de ca1cuiador:~s y computadores. N o es exagcrsdo recalcar l a importancia de este eleganlr ini;lsdo num6rico de solucicin

3.1. INTEGRACIOK POR PARTES

Se sabe que si ,/ ( Y ) es continua en u n intervalo antiderivada. es decir. [:(.Y) = f ; . / ' ( r ) t i .Y. Toda tanto, toda función derivable tiene una integral no toda funcicin continua cs deri\able.

Aunque toda funcicin derivable tiene una

que contiene (l. entonces,] tiene una funcicin derivable es continua; por indefinida. Dcsde luego, se sabe que

integra¡ indefinida. el problema de

o, en notación diferencial

A partir de (2) se obtiene

Como jd (uv) = uv, se obtiene

que es la fórmula de integracidn por purtes.

9.1.2. La tCcnica

La fórmula u . dc = uu - u. du de ~ntegración por partes se aplica cuando se presenta el problema de integrar un producto de dos funciones y se conoce, por lo menos, la antiderivada de una de ellas. Si lu integración del producto de 1u deri~:crrlu (10 unu de las funciones por la antidericada d e la otra resulta m i s ,fiicil que (4 prohlenla original, la integracidn por partes resulta wntujosu.

Como ejemplo, hallar la integral j(.y sen S) dx. El problema consiste en la integra- ción del producto de las funciones x y sen x. Por aplicación de la fórmula (4), el problema se reduce a hallar la integral de la derivada de una de esas funciones multiplicada por la antiderivada de la otra; es decir, hallar

J 1(-cos x) dx o Ig) (cos x) dx.

La segunda de estas integrales de (5) es mis complejP que el problema original pero 13 primera es mis simple. Entonces se aplica la ec. (4) con u = S y dr = sen . y r l x . (La sustitución alterna u = sen S y d r = xds conduce a la segunda integral de (5 ) . ) Cuando se aplica la ec. (4) se acostumbra escribir la sustitución con la disposición que se muestra en la fig. 9.1.

u = x .. dv = sen x dx d u := dx "- = "cos x Figura 9.1

La fórmula (4) expresa:

La integral del producto de las funcionrs de luf i lu superior es igucd u1 producto (IC l c r s funciones situadas en los extremos de la diugonul punteada, menos I r r integrul del producto de iris ,funciones de la f i l u itferior.

TÉCNICAS DE INTEGRACIóN 283

y por (7) se obtiene

[ e x senxdx = -e* cos x + 1 e'senx ~- [ e"senxdx1 J L J

= ( e x sen x -- e x cos x) - ex sen x dx. 1' Si se resuelve la ec. (8) despejando cJ.'sen.xds. entonces se obtiene

! ex sen x dx = $(ex senx ~ e" cos x).

y el problema queda resuelto. / / Ejemplo 3. La integracibn por partcs es una tCunica bisica para hallar fórmulas de reducción. Por ejemplo. deducir la fOrmula de reduccicín

I I1 ""1 n 1

sen"x dx = --sen" ~ ' x cos x + __ sen" 2x dx para n 2 2

SOLL;CION. Se dispone

u = sen"^ ' x dv = sen x dx

d u = (n-1)sen" 'xcosxdx u = -cosx

q ~ ~ e da origen a

I I sen"x dx = -sen'* "x cos x - ( n - I)(sen"- 2x)(-cos2x) dx. (9)

Por (9) y la identidad -cos2 .Y = senZ S - 1 , se obtiene

5 sen"x dx = -sen" - ' x cos x - / ( n -. l)(sen" 'x)(sen2x - 1) dx

- - -.sen" ~ ' x cos x - ( n - 1) sen"x dx + ( n - 1) sen" 2x dx. ( 1 O) I Por (10) se obtiene

n sen'lx dx = -sen" ' x cos x + ( n - 1) I de donde resulta la fórmula de reducción para j'sen"stls luego de dividir por n. 1 1

Toda función puede considerarse como el producto de sí misma por 1 . Entonces, para J , / ( x ) d x se ensaya la sustitución

u = f(x, dv = 1 dx

d u = ?(x) dx u = x.

Ejemplo 4. Hallar J' I n x ds aplicando l a integracih por partcs.

sot.17cró%. La disposici6n

44 .= In x dc = 1 dx

i . x í * In x dx = x In x - S . - dx

=-- x se11"x + i' -2x( 1 - x') " 2 dx 2

RESUMEN


9.2. INTEGRACIOK DE FUNCIONES RACIONALES POR FRACCIONES PARCIALES

En la mayoria de las tablas no se encuentran fórmulas para X h - 2

dx


y tampoco es necesario buscarlas en las tablas. Así, quedan solamente las fórmulas (3) y (5), que se consultan cuando es necesario.

9.2.2. Descomposición de una función racional en fracciones parciales

Ahora se indica el procedimiento para representar cualquier función racional como la suma de u n polinomio y términos como los que aparecen en los integrandos de las fórmulas ( I ) a (6). Sea una función racional de la forma

f (x ) g b )

para poiinomios .f. y u, )'ASO 1. Si el polinomioj'(x) del numerador es de grado mayor o igual al grado del polinomio del denominador y(.y), se lleva a cabo la división de polinomios y se escribe

donde el grado del polinomio r(s) es menor que el de y(.). Puesto que el polinomio (!(.Y) es fricil de integrar, el problema se ha reducido esencialmente de la integracih de ,f'(x)/y(.xj a la integración r(x),'g(xJ.

Ejemplo 1. Se ilustra con la función racional

x? - 2.

Así

f(x) - Xh - 2 x 2 - 2 g(x) x 4 + x2 x' + x _ _ ~ - -= x ? - 1 + "2. I /

PASO 2. Se descompone el polinomio q ( z ) en u n producto de factores (posiblemente repetidos) lineales y de segundo grado pero irreducibles, de modo que éstos no puedan descomponerse en productos de factores lineales reales. H a ) . 1411 teorcwa dc dlyehro q l w d ~ ~ m 4 ~ w ~ 1 la r.Yi.sterlcitr t l c tai,jiic.lori-at.icirl. En resumen, se demuestra que

si ( i es Lln;i raíz de y(s) = O, entonces .Y ~ I I es factor de y ( r ) . Se demuestra que si $!(.y)

cs u n polinomio de grado 1 1 , entonces <!(.Y) = O tiene I I (posiblemente repetidas) raíces complejas que producen una factorizacicin de (!(.Y) en factores lineales con coeficientes complejos. Ahora bien. el polinomio $/(.Y) tiene coeficientes rcales y se demuestra qLle si (I f h i es una raíz de y ( r ) = O con h 7 O, entonces el nilmero complejo conjugado U

~ I,! tarnbikn c s u n a raíz. Pero entonces (!(.Y) tienc un factor

( x - ( a + hi)). (x - (a - hi)) = x' - 2ax + ( a 2 + b2) ,

que es 1111 polinomio de segundo grado con coeficientes reales.

Ejemplo 2. Para la funci6n racional que st' obtuvo p01- div1sicin en el ejemplo 1:

r ( x ) x' - 2 x 2 - 2 g(x) x 4 + x' x ' ( x2 + 1)'

- "" -

El Factor lineal .Y de y(.y) tiene multiplicidad 2, y el factor cuadritico irreducible y? + 1 tiene multiplicidad 1.

i';\so 3. Existe un teorema de dlgebra (cuya dernostraci6n se omite) que postula que r ( . ~ ) ' < q ( . ~ ) se escribe como una sunla de cdracciones parcialeo), que resultan de los factores de q . y ) como sigue.

Un factor lineal + h de <!(.Y) de multiplicidad 1 origina un término simple

A ax t h

para alguna constante A. mientras que un factor lineal con multiplicidad 1 1 , como ( a s

+ 17)". origina una suma de términos

An + 4 - I + . . . +- A , ( a x + b)" ( a x + , ) , - I ax + b

para constantes A , , , A,, ..,, A

u n tkrmino simple Un factor cuadriiico irreducible 11.y' + h.\ + (~ de ()(.Y) de multiplicidad 1 origina

A x + B a x 2 + bx + c

para constantes .4 y B, mientras que un factor cuadrdtico irreducible de multiplicidad 11. como (</.y2 + h.\ + c)", origina una suma de términos

A,x + B, A,..,x + Bn-l A , x + B , - + - (ax' + bx + c)" ( a x 2 + hx + c)""' a x 2 + bx + c'

+. . .+ (13)

Como se describe en el artículo siguiente. l a función racional Y(.Y) /~( .Y) es l a zuma de las , j r . t r c c i o r l c ~ . \ p w c i u / e . s que resultan de los \arios factores irreducibles de <](.Y).

Ejemplo 3. Para la función racional que se ob!uvo en el ejemplo 2. se debe tener

r ( x ) - x' - 2 X' - 2 A, A , BX + C g ( x ) x 4 + x 2 x 2 ( x 2 + 1) x 2 x x 2 + 1 __ - .__I - - =-+-+--"-- (14)

TÉCNICAS DE INTFGRACION 289

para algunas constantes A, , A , , B y C. En el artículo siguiente se cnseiia a calcular estas constantes. / I

9.2.3. Cómputo de la descomposicidn en fracciones parciales

L a s constantes de los numeradores de una descomposición en fracciones parciales corno (14) se hallan computando la suma de éstas e igualando los coeficientes de las potencias de .\- en el numerador resultante con los coeficientes de las potencias correspondientes de .Y en el numerador r ( .~ ) . Estc proceso conduce a un sistema de ccuaciones lineales simultineas en que las ccincógnitas)) son las constantes. La técnica se ilustra mejor con un ejemplo.

Ejemplo 4. Se continila l a descomposicicín del ejemplo 3. Si se suma. se requiere que

” A , A , B x + C Az(x’ + 1) + A , x ( x L + 1 ) + (Bx + C)x’ x 2

+-+ - - - x X 2 + l

-

x2(x2 + 1)

Entonces se determinan l a s constantes A ? , A , , B y C’, de modo que se cumpla la ccuaciOn del numerador.

A2(x ’ + 1) + A , x ( x ’ + 1) -t (Bx + C)x2 = X’ - 2 (16)

El micmbro iquierdo de (16) es (formalmente) de grado 3. Si se igualan los coeficien- les de .l..’ en (6), debe tenerse

A , + B = O. (17)

Si se iguaian los coeficientes de .Y‘. resulta

A 2 + C = I , (18)

Si sc igualan l o s coeficientes de s. entonces

A I = O, (19)

y. finalmente. se igualan los coeficientes de los tirminos constantes para tener

A , =- ”3 I . (20) Dcl sistema de cuatro ccuaciones (17) a (?O)> se obtiene

A , = O, A2 = -2, B = O, C = 3 ,

para llegar a la dcscomposicicin en fracciones parciales

x 2 - 2 - “ 2 o ox + 3 x‘ + X 7 x 2 ( x ’ + 1 ) x’ x x ? + 1

= - + - + - ~~ 7 ” -

2 3 X 2 x2 + 1 ’

- - ““t-

9.2.4 Procedimiento general > qjemp!os

TCCNICAS DE INTEGRACIóN 291

PASO 2. Se descompone el denominador en factores lineales y cuadráticos irreducibles. PASO 3. Se obtiene la descomposición de la función racional en fracciones parciales. PASO 4. Se integran los sumandos de la descomposición resultante de la función racional original. aplicando las fórmulas (1) a (6) u otras que puedan utilizarse.

Debe mencionarse que la ejecucicin del procedimiento puede interrumpirse en el paso 2. Mientras que la teoría algebraica asevera que el polinomio g(x) se descompone en factores lineales y cuadriticos irreducibles, la hlisqueda de tal descomposición puede resultar una tarea muy ardua. Esta es la única dificultad porque los demlis pasos son de indole meclinica.

En cuanto al paso 4, debe anotarse que en caso de que g(s) tenga un factor cuadritico (IS' + b s + c, no puede esperarse que el numerador de una fracción parcial que tenga en el denominador una potencia de este factor sea precisamente 2a.u + h. para aplicar directamente las fórmulas (4) o (6). Es necesario arreglar la integral y aplicar tambikn las fórmulas (3) y (5). Como ilustración,

4x - 5 4 6~ + 4 - (46/4)

3x2 + 4x + 2 6 3x'+ 4x + 2 - - _ .

- 2 6 x + 4 23 1 - . "- - - . - 3 3 x 2 + 4 x + 2 3 3 x 2 + 4 x + 2 '

y las fórmulas (4) y (3) se utilizan para integrar las dos funciones racionales obtenidas. Se concluye con dos ilustraciones de toda la técnica.

Ejemplo 6. Hallar

I 13 - 7~

(x + 2)(x - 1)3 dx.

SOI,UC:I¿)N. Puesto que el grado del numerador es menor que el del denominador, no se necesita la división del paso 1 y se descompone el denominador en factores como en el paso 2. Para la descomposición en fracciones parciales (paso 3), se escribe

1 3 - 7x A 8 3 B , Bl

(x + 2)(x - 1)? x + 2 (x - I)' (x - 1)' x - 1 - " +-"--- +-+p.

La ecuación del numerador es

292 C A L C U L O CON G E O M E T R í A ANALíTICA

Si se hace .Y = 1 resulta 3B, = 6, as í

B, = 2.

B , y B , se hallan a partir de dos ecuaciones que las contengan y que se plantean igualando coeficientes. Las ecuaciones m i s ficiles de plantear son las correspondientes a los tkrminos de m i s alto grado y a los términos constantes. Si se calcula el coeficiente de x' (que contiene B,). se obtiene

A + B , = O

así

B , = -A = 1.

Si se calculan los tkrminos constantes, se tiene

-A + 2B3 - 2B2 + 2B, = 13,

así

2B2 = -A + 2B3 + 2 B 1 - 13 = 1 + 4 + 2 - 13 = "6,

Y

Luego B2 = -3.

c 13 - 7~ 2 -3 1 dx =

(x + 2)(x - 1)' x + 2 (x - 1)' (x - 1)2 x - 1 + ____- +"--- + ----)dx

Ejemplo 7. Hallar

3x4 + 2x' + 8x2 + x + 2 I X S f 2 X 3 + X dx.

s o ~ ~ ~ ~ ó n . La división es innecesaria y la descomposición del denominador en factores produce

x' t 2x' + x = x(x2 + 1)2.

Para ]a descomposici6n en fracciones parciales. se tiene

3x' + 2x' + 8x2 + x i- 2 A B,x + C, + B 1 x + C , = - + x5 + 2x3 + x x (x2 + x' + 1

La ecuación del numerador es

A(x ' + 1)' + (B2x -t C2)x + (B,x + C,)(X' + X )

= 3x4 + 2x7 + 8x' + x -+ 2. (23)

TBCNICAS DE INTEGRACIdN 293

Si se hace x = O, se obtiene A = 2.

Si se igualan los coeficientes de x4, resulta A + €3, = 3, así

B 1 - - 3 - A = 3 - 2 = 1 .

Si se igualan los coeficientes de x3, resulta c, = 2.

Si se igualan los coeficientes de x2, resulta 2'4 + B , + B , = 8, así

B 2 = 8 - 2 A - B l = 8 - 4 - 1 = 3 .

Finalmente, si se igualan los coeficientes de x, resulta C , + C , = 1, así que

C 2 = 1 - C 1 = 1 - 2 = - 1 . Se tiene entonces

3x4 + 2x' + 8x2 + x + 2 2 3 x - 1 x + 2

x (x2 + 1)* x + 1 I x(x2 + 1)* dx = j(- + + --)dx. (24)

Aplicando las fórmulas (6), (5) y (3), se obtiene

I dx - i (x2 + 1 ) 2 dx

3x - 1 1

(x2 + 1)2 dx = -

- 3 -1 2 x 2(1) 1 -

1 (4)(x2 + 1)2 + -I-dx) 1(4) X' + 1

-3 X 1 - - - 2(x2 + 1) 2(x2 + 1)2 2

- - tan-"x + C.

También se halla que

1

2 = - In Ix2 + 11 + 2 tan ' x + C.

Entonces (24), (25) y (26) producen

dx 3x4 + 2x7 + 8x2 + x + 2 I x(x' + 1)2

3 X 1 = 2 In 1x1 -

2(x2 + 1) 2(x2 + 1)* 2 - - - tan"x

+ -In lx2 + 11 + 2 tan ' x + C 1 2

1 = -In /xh + x4( - 3 - + - t a n ~ ' x + C. 11 X 3

2 2(x2 + 1) 2(x2 + 1)2 2


RESUMEN

9. j- x: - 3

í X - 2)(X + 1)' " dx

x? + 2# dx

12. j" x % i- 2x2 + 3x + 1

x 4 + 2x2 + 1 - dx

13. (--- --X.' + ~ O X ' - - 19.~ + 22

( x - 1I2(x2 + 3 ) - dx

14. 5 5x' - X L + 4x -- 12

x 4 - 4x' dx

3x" + 9x" - 4x" -t 7x' + 3 dx

9.3. SUSIITUCION

En el capítulo 6 se presentó la tCcnica de sustitución que se ilustra en el ejemplo siguiente. Ejemplo 1. Para hallar I.x(.? + 3)'d.u, se observa que x d . ~ es la diferencial de .x2

El éxito de esta técnica depende de la identificacicin de 1111 factor del integrando que sirva como u para alguna expresion I I que aparezca en la integral; entonces 11' . (/.Y = du. Si se expresa ,f(x) como (](u) u' y si (/(Ir) = (;(I[) + C, entonces

= - + c. 11 x 2

En el tipo de sustitución que se ilustró en el ejemplo 2. se hizo .x = ~ ( I I ) . de modo que c i s = h'(u)tlu. Entonces se escribe


Si x = h(u) tiene una inversa, tal que u = h" (x ) , entonces (1) se convierte en G(h" ( x ) ) + C. De nuevo,

= f (h (u ) ) = f b ) , así G(u) = G(h" ( x ) ) es en realidad una antiderivada def(x). Se ve que la validez de este proceso de sustitución es una consecuencia de la regla de la cadena para la derivación.

Advertencia

Como se mencionó en el ejemplo 2, un error común cuando se sustituye x = h(u) es reemplazar dx por du, en vez de reemplazarlo por h'(u) du. N o se debe olvidar hallar dx y escoger solamente sustituciones x = h(u) que tengan derivadas continuas e inversas.

Ejemplo 3. Hallar

I esen I x dx.

SOLUCION. Esta integral parece imposible, pero se simplifica por medio de la sustitución

u = sen"' x.

Entonces x = sen u y d x = cos 11 du. La integral queda

I I esen x dx = eu cos u du.

Una tabla (o integración por partes) da origen a

I e u 2

e" COS u d u = - (cos u + sen u ) + C.

Puesto que u = sen" x , se halla que

senu = x y cosu = J FGG = m. Se tiene, entonces,

esen I x

esen dx = __ x

2 ( x + 41 - x 2 ) + c. 11

Una sustitucibn algebraica x = h(x) es aquella donde h(u) es una función que sólo involucra operaciones aritméticas y raíces (por ejemplo, se excluyen las funciones trigonométricas.)

TÉCNICAS D E I N T E G R A C I ó N 297

Ejemplo 4. Utilizar una sustitución algebraica para hallar la integral

1.'- dx.

S O L , U C ~ ~ N . Para eliminar el radical, se hace u' = 4 - x2. Por derivación implícita resulta 2u(du) = -2x(dx), así

x d x = -udu.

Se tiene entonces

I x ' J 4 - x2 dx = x2J4 - x2(xdx) = (4 - u*)(u)(-udu) I - I

Puesto que u = 4- .y2, se obtiene ~.

La aplicación del método de fracciones parciales da origen a

1 u * + 1 U' - u4 + u2 - 1 + -) du

= 6(; - - 7 u s u'

S 3 + - - u + tan"u

Puesto que u = se obtiene

No debe pensarse que todas las integrales con radicales conducen a una sustitu- ción algebraica. Obsérvese el ejemplo siguiente.

Ejemplo 6. Para la integral jx4J=dx es natural ensayar la sustitución u' = 9 - x2, así que 2u du = 2xdx o xdx = - u d u . Entonces

1 x . m dx = x3- x d x = I

298 CALCULO CON G E O M E T R ~ A ANAL~TICA

y la integral se convierte en

El radical no se eiimin6 y la integral resultante es tan difícil como la original. En la secci6n 6 se verB cómo se halla esta integral.

EJERCICIOS

2. X x - 3

3. I -J=-====-== dx J 1 -1- x ? 4 - x

9. J-x- J 3 dx

11. dx

7

13. dx

15. ]x3(x2 + 1)3'2dx

17. I"-- x 217

1 + dx

9.4. INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES DE s e n s Y cosx

En la sección 9.2 se describió cómo se lleva a cabo (por lo menos en teoría) la integración de cualquier función racional. En este artículo se demuestra cómo reducir la integración de cualquier expresicin racional (cociente de polinomios) en sens y


cos x a la integración de una función racional por sustitución. Puesto que tan x, cot x, secx y cscx se pueden representar como expresiones racionales de senx y cosx, la técnica suministrar5 un método de integrar cualquier expresión racional de funciones trigonométricas.

Se sustituye x = 2 tan"f, ( 1 )

de modo que

t = tan - ,

que es un descubrimiento ingenioso. Por aplicación de las identidades de las funciones trigonométricas, se obtiene

X

2 (2)

x x X senx = 2sen-cos- = 2tan-cos2- = 2

x tan ( 4 2 ) 2 2 2 2 sec2 (x/2)

tan (x/2) 2t 1 + tan2 (x/2) 1 + t 2

= 2 - "

Análogamente,

X 2 2 2 sec2 (x/2) 1 + tan2 (x/2)

cosx = 2cos2- - 1 = - I = - - 1

"- - 2 1 1 + t 2

- 1 - t 2

1 + t 2 . "

Finalmente, I

dx = 2- 1 + f 2 dt.

Se agrupan estas fórmulas para tener

2t sen x = - 1 + t 2 '

1 - t 2 1 + t 2 '

2

cos x = -

dx = - 1 + t 2 dt.

Evidentemente se utilizan las fcirmulas ( 3 ) para transformar la integración de una expresicin racional de sen Y y cos .Y en la integración de una funcicin racional de r .

La sustitución (3) no debe aplicarse indiscrinlinadamente con cualquier integral


de una expresión racional de sen x y cos x. Es mejor buscar primero un método más breve o consultar la tabla de integrales. Lo anterior se ilustra con ejemplos.

Ejemplo 1. La integral indefinida

J 1 - cos x

1 + cos x dx

se halla por aplicación de (3) pero es más fácil utilizar el recurso

J 1 - cos x dx = J (1 - cos x)’ dx = J(1 - ~ 0 s ~ ) ’

1 + cos x (1 + cos x ) ( l - cos x) 1 - cos2 x dx

= J 1 - 2 COS X + cos2 X

sen2 x dx

= l(csc2 x - 2 csc x cot x + cot2 x) dx

= 1 (csc2 x - 2 csc x cot x + csc2 x - 1) dx

= I (2csc2 x - 2cscxco t x - 1) dx

= -2 cot x + 2 csc x - x + c. 11 Ejemplo 2. Utilizando una tabla como la de este texto para hallar la integral

1 J + cos x dx

se ve fácilmente que

1 I 2 + cos x

Ejemplo 3. Hallar la integral 1

3senx + 4 c o s x dx.

SOLUCION. Esta integral no se encuentra en la tabla del texto. Si se aplica el cambio de variable de la transformación (3), se tiene

J 1 dx = I 1 .- dt

3senx + 4cos X 3[2t/(1 + t’)] + 4[(1 - t2) / ( 1 + ?*)I 1 + t2

dt

(2r + l)(r - 2)


Puesto que t = tan(x/2) por la ec. (2), finalmente resulta

RESUMEN

1. Una función racional de senx y cosx se integra por aplicación de la sustitución

Se utiliza el método de las fracciones parciales para integrar lufunción racional de t re.yu/tante, J! después tie la integrucicin se sustituye t = tan ( .~/2) .

2. Debe buscarse un método más fácil antes de realizar la sustitucion dada.

EJERCICIOS

1. Hallar j sec x d.x = I( l/cos x ) dx, utili- dX dX zando el método que se describe en esta 6. I sen x + cos x sección.

2. Hallar j csc x dx = j (l/sen x ) dx, utilizando el método que se describe en esta '. I 1 - sen x dx 8. Ivi?a,\. dx

1 + cos x

sección. sen x

9. I s e n x + cosx En los ejercicios siguientes hallar por cualquier mktodo, incluso la utilizacidn de las tablas del texto, /us integrales inde$nidas indicadas. 10. I--- cosy - senx

dx sen x

dx

9.5. INTECRACION DE POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Todas las integrales de que trata esta sección se hallan fácilmente y con riesgos mínimos de error, utilizando tablas de integrales. Esta sección puede omitirse si el tiempo es escaso. El sentido de esta sección se aprecia en los ejercicios 26 y 27 de la sección 6.3.


9.51. Integración de potencias impares de sen .u y cos x

Una integral de la forma

sen"'x COS"X dx

donde m o 11 son enteros positivos impares se halla por el procedimiento siguiente. Si 111 es impar, se misla)) u n factor sen S y se reducen todos los denxis factores de sen2 x a I -- cosz .Y. Se obtiene así una integral de l;i forma

donde,f'(cos .u) es u n polinomio en cos s. Esta integral puede hallarse ficilmente. Si II

es impar, se sigue u n procedimiento anilogo: se traislan u n factor cos .u y se reducen todos los demis factores cos' .x a I - sen' .u.

Ejemplo 1. Se tiene

J

9.5.2. Integración de potencias pares de se111 y cos.^

Una integral de la forma

sen"'x cos"x dx

donde tanto I)I corno I I son enteros pares no negativos, es mis difícil de hallar sin tablas que cuando I H o I I son impares. Ahora se utiliza la relación sen' .Y + COS' x = 1. 11 otras relaciones trigonometricas, para expresar el integrando como una suma de potencias pares de scilo sen .u o de s6lo C O S Y . y después se aplican las relaciones

TÉCNICAS DE I N T E G K A C I ~ N 303

repetidamente. hasta obtener potencias de primer grado de funciones coseno. La tCcnica se ilustra mejor con ejemplos.

Ejemplo 3.

SoLuClóN.

lsen'x dx

1 - "

Hallar f sen4 S [/.Y.

Se aplica ( I ) repetidamente para tener

= i@en'x)'dx = 1 dx 1 " cos 2x '

I( 1 - 2 cos 2x + cos22x) dx = - 1 - 2 cos 2x + - I¡ ) dx 1 + cos 4x

2 4 4 1 3 1 1 8 S 4 1 2

= - c ( 3 - 4 COS 2x + C O S ~ X ) dx = - x - -sen7-x + -sen4x t- C. 11

Ejemplo 4. Hallar


9.5.4. Integración de potencias de tan S y cot x y potencias pares de secx y cscx

Se utilizan las identidades

I + tan’x = sec’x o tan’x = sec’x - 1 ( 7 )

1 + COt2X = csc2x o cotZx = csc’x - 1. (8 1 Y

Para integrar potencias de tan .Y o una potencia par de sec S , se utiliza (7) y el hecho de que (!(tan S) = sec’ x d.^.

Ejemplo 6. Para integrar una potencia par de sec S , se ctaisla)) un factor sec’ x para que sirva en (!u y se reducen todas las demds potencias de sec’x a potencias de 14

= tans. Como ilustración,

[sec’x dx = [( 1 + tan’x)*sec*x dx J

Ejemplo 7. Para

J tan’x dx

J

= I( 1 + 2 tan’x + tan4x) sec’x dx

= Isec’x dx + 2 tanlx sec’x dx + tan‘x sec’x dx

= tan x + 2 . ” + __ + C. I ( c c

tan’x tan’x 3 5

ilustrar la integración de una potencia de t an r , se tiene

= ctan’x (sec’x - 1 ) dx = tan’x sec’xdx - tm’xdx c - ~ - j tan x (seclx - 1) dx

tan‘x 3

-

- - - tan x sec’x dx + tan x dx 3 c

- tan‘x tan’x + 1 sen x __-__ -

3 2 ~ dx cos x

- - __ tan‘x - tan’x -

4 2 In jcos x / + C. / /

Evidentemente las potencias de cot .Y y las potencias de csc .Y se integran de manera andoga por aplicación de (8) y ()(cot .Y) = -ccsc’ S (Is.

9.5.5. Fórmulas de reducci6n para potencias de tan .Y, cot .Y, sec .Y y cscs

Es difícil integrar sin tablas las po!encias impares de sec .Y csc .Y. Se logran utilizando integración por partes. Es conveniente experimentar con J sec3 .Y (1s en e1 ejercicio 20.


Naturalmente, la mejor manera de integrar una potencia de tan x, cot x, sec x o csc x es consultar una tabla y hacer uso repetido de la fórmula de reducción adecuada.

tan"" ' ax a(n - 1) tannax dx = - [tan""axdx, n # 1

cot"ax dx = - - 1 cotnP2ax dx, n # 1 cot"" ax a ( n - 1)

secnax dx = ___ + - 1 secn-2ax dx, n # 1 (1 1)

+ __ [csc"-*axdx, n # 1. (12)

secn-2ax tan ax n - 2 a(n - 1) n - 1

cscn"2ax cot ax n - 2 a ( n - 1) n - 1 cscnax dx = -

Esto reduciría el problema a la integración de una función de primer grado (o a la integración de una constante). Luego se aplican

I tan x dx = -In (cos X I + C (13)

cot x dx = In (senx I + C

I sec x dx = In /sec x + tan x / + C

csc x dx = -In lcsc x + cot X I + C (1 6)

que ya han sido estudiadas. Se pide deducir las fórmulas de reducción (9) a (12) en los ejercicios, por aplicacibn de (7), (8) e integración por partes.

Ejemplo 8. Utilizando ( 1 l), se tiene sec'2x tan 2x

2(4) sec' 2x dx =

sec32x tan 2x 3 sec 2x tan 2x ~ - + -L.

3 2 ( 2 ) 2 '1 J 8 + - sec2xdx

- sec9.x tan 2x 3 ti 16

+ ~ scc 2x tan 2x

+ In /sec 2x + tan 2x1 + C. ( 1

Finalmente, se reitera que debe investigarse si existe una manera fácil de hallar una integral antes de lanzarse ciegamente en búsqueda de una ((regla)). Por ejemplo,

l . tan x sec'x dx == ~ . ~

sen x 1 cos x cos'x I I


se halla también con la sustitución t = tan(xí2).

OUUUUUUUUUULJUUUUCH!

se halla también aplicando (9) y (13).

GRKRRRKRRRRRRRRRRR!

3. Puesto quc d(tan x ) = set' .Y dx. naturalmente tan .Y secZ x dr = (tan’ x);,? + C.

YUUUUUMMMMMMMMMMMM!

RESUMEN

EJERCICIOS

tricaa conocidas.


6.

8.

10.

12.

14.

16.

18.

29.

30.

J J

25. La fórmula de l a ec. (9) de csta sección.

26. La fcirmula de la cc. ( I O ) de esta sección. i- 17. j - t l x CY )S t- sen 3.w

scn .\ COS'RX I (/.X

I t an I x cix 19. 1" 27. La fbrtnula de la cc. ( 1 I ) de esta sección.

COSI'X 28. La fcirmula de la cc. (12) de esta sección.

cos" U Y (1.Y = ~ ~~- cos" ' u s sen u . ~

cos" ( r . s t / ~ . [ N o t r c . Es la mejor manera de 1111 12

integrar potencias de cos x.]

9.6. SUSTITUCION TRIGONOMETRICA

Las relaciones u' - a'sen't = o'cos't,

11' + u'tan't = a 2 s e c 2 t .

(I' sec2t - = a'tan't

9.6.1. Integrales que contienen Jr,' f .Y' y J 7 T 7 Son útiles algunas veces para eliminar los radicales de las integrales que contienen ~ u 2 - x-, 7 ,,! ' 2 (1 + x 2 o \l'iT-"2. La integral resultante incluye funciones trigono- métricas y frecuentemente es fricil de integrar, o se encuentra en una tabla, o (como último recurso) se integra por la sustitución t = tan(s/2). Se ilustra con ejemplos.

- ..__

~~~- ~~~

Ejemplo 1. Hallar

I x 3 J 3 - X' dx

que no está en la pequeña tabla de este libro.

De .Y = 2 sent, se obtiene

para que resulte de la integral

Cuando se hace una suslitución tal como .Y =: 2 sen t y se integra después, como en el ejemylo 1 , se obtiene la respuesta en términos de las funciones trigonométricas de t y n o como función de .Y. El triingulo que se muestra en la fig. 9.2(a) ayuda a expresar las funciones trigonométricas de t en tirminos de .Y. Si S = 2 sen r, entonces sen 1 = xi2, así que el lado opuesto al ángulo r se denota con x y la hipotenusa con 2 . El tercer lado se halla por aplicación del teorenla de Pitigoras. El triángulo para la sustitución .Y = tan t , que se utiliza en el ejemplo siguiente, se muestra en la fig. 9.2(b).

Ejemplo 2. Hallar I x2+’l + X’ dx. ”-

= [tan’tscc’tdr = (sec’t - 1)sec3tdt J


Se aplica una fórmula de reduccicin de la tabla de potencias de la secante para obtener

y la integral se convierte en

I sec’t tan t (sec’t - sec’t) dt = - -

4 4 1 sec3t dt

- - 4 4

+ f. 5 sec t d r ) 2

sec’t tan t 1 1 4 8 8

- - -- - sec t tan t - - ln Jsec t + tan $ 1 + C.

De x = tant, se obtiene sect = d-7 = J 1 + x2. Así, se tiene “-

x ( l + x 2 y 2 x 2 J 1 + x2 dx = ~ - xd’l + x’ - -1n 14’1 + x’ + x / + C. / I 1 - 1 ” -

4 S S

Ejemplo 3. Hallar ,,/;1“.2dx sin utilizar las tablas.

S O L U C I ~ N . Sea x = asen t tal que cix = acos tdf, entonces

9.6.2. Integrales que contienen dux2 + h.u + e, donde u f O

Si se completa el cuadrado, la integral de una expresión que contenga J..“+ bx + c se maneja con el mltodo del articulo anterior. Esto se ilustra con dos ejemplos.

_ _ _ _ _ _ ~

Ejemplo 4. Hallar J x 2 - 2xdx. S O L U C I ~ N . Se tiene

j Jx2 - 2x dx = 4 x - 1)’ - 1 dx. !

Si .I - I = sec t . entonces (¡.Y = sect t an I d t , asi

TÉCNICAS DE INTEGRACION 31 1

Entonces dX d 3 cos I &cos t

d i = - d t J" &cos t S - ( x - 2Y 5 - Ssen'r

= J" 1 . ( I t = t + c =sen"--- + C. I / x - 2

JS

RESUMEN

EJERCICIOS

17. I-"----- x z 3 x + 2x - 2 + 2 d x

9.7. INTEGRALES IMPROPIAS

312 C Á L C ~ J L O C O N GEOMETR~A ANALíTICA

9.7.1. Tipos de integrales impropias

Tales integrales son irzte~qralrs impropias. Sif'(x) 3 O, la primera integral es un intento de hallar el Area bajo la gráfica ((desde N hasta x)). como se nuestra en la fig. 9.3. La segunda integral es un intento de hallar el 6rea de la región sombre:& en la fig. 9.4.

!'

3.

+r

Figura 9.3

Figura 9.4 4 .Y

Si.f'(.u) es continua para todo x > u, entonces j:.f'(x)ds para 17 > u tiene sentido y naturalmente

w

f(x) dx = h-m lim If(.) dx.

1n~eyr.ales con1:eryente.Y J? dicergentes

Si el limite existe, entonces la integral converge, mientras que diverge si el límite no es un número finito.

Ejemplo 1. La integral impropia (1;~~)d.u converge a 1 , puesto que

1

= O + 1 = 1. (( h-m x

Quien no es futuro matemático (y, ocasionalmente. también los estudiantes de matemática) tienen la tendencia a computar S; ( l p 2 ) ds como

en lugar de escribir los limites como en el ejemplo 1. Aunque esta forma abreviada raramente causa dificultades, se escribirán siempre los límites en el texto. porque las integrales impropias se definen como límites.

Ejemplo 2. La integral impropia S; (1,'xjd-Y diverge, porque

De nuevo, la integral converge o diverge de acuerdo con la existencia o no existencia de u n límite finito.

Ejemplo 3. La integral SA diverge, porque

dx = lírn 1,'' dx = lírn -In 11 - x1 I8 - I I!-- 1 - 1 ::

= lírn -In 11 - h / + In 1 = m. I / A- I

Ejemplo 4. La integral (l/J'l - s)d.u converge a 2, porque ~~~

Desde luego, si ,f'(s) es continua para LI < .Y < h pero límx-u+ /,{'(.Y)/ = a, se escribe

pero se requiere que ambas integrales en el miembro de la derecha sean convergentes.

Ejemplo 5. Hallar x dx/(l -t- . x 2 ) .

S O L U C I ~ N . Se tiene

= ]ím (O - tan"h) + Iim (tan"h - O> h+-m h +m


Finalmente, si f ( x ) es continua para u d x d h excepto en un punto c donde a < c -= h y si límx+c I.f(x)l = 00, entonces

l a " f (x ) dx = [ f ( x ) dx i ["f(x) dx = h-c- lím [ f ( x ) d x + h.-+c lím e l , ' f (x) dx.

En otras palabras, si se considera x, - x, y los puntos dondef'(r) se vuelve infinita como ((puntos anómalos)), entonces una integral impropia que comprende varios puntos anómalos, se define como la suma de las integrales impropias que se obtienen al partir el intervalo de integración en trozos, cada uno de los cuales contiene sólo u n punto anómalo en uno de sus extremos. c'udu unu de l u s integrules indiriduules dehe ser soncergente pura que toda /u integral ser1 contwyente.

Adcertenciu

Ejemplo 6. Puesto que j; (l/x) dx e f! ( l /x) d x no son convergentes, tampoco lo es (I/x) dx. El cálculo siguiente se encuentra a veces en trabajos de estudiantes

pero es

9.7.2. Convergencia de j: (1;xP)dx e (l/xP)dx y un criterio de comparación

Las ideas de esta subsección suministran un anticipo de los temas del capítulo siguiente sobre series infinitas. En el capítulo siguiente se apreciar6 la utilidad del teorema 9.1. La demostración del teorema es un asunto de cómputo que se deja para los ejercicios (ver ejercicios 24 y 2.5).

Teorema 9.1. 1. Pa ra a > O, /a integral impropia Jz ( l / s P ) dx converge ,si p > I y direrge s i p , 1.

Los ejemplos anteriores 1 y 2 ilustran el primer enunciado, y los ejemplos 3 y 4 el segundo.

Algunas veces interesa conocer sólo si una integral converge o diverge en lugar de SU valor si converge. Entonces es útil un criterio de comparucidn. Suponer que O < g(x) < f(x) para x 2 a. Entonces seguramente

para todo h 2 a. Ahora bien, lim,,,, J!:g(.x) d.u es un número finito o tiende a x-, puesto que g(x) O. [Esto parece evidente y se demuestra en cursos más avanzad0s.j Lo mismo es válido para l ! f ( x ) d x . Si en (5) se toma el límite cuando h + x, se ve que si j: f ( x ) dx converge, entonces S," g(x) dx también converge, porque si Jp f ' ( r ) (1s permanece finita, entonces 12 g(x)dx que es menor, también permanece finita. De manera análoga, si g(x) dx es divergente, también lo es 1; f(x) ds. Se enuncia el

TECNICAS DE INTEGRACldN 315

siguiente criterio de comparación no solamente para inLegrales en cc sino también para integrales con ((puntos anómalos)) finitos.

Teorema 9.2 (Criterio de compurucidn). Sean f ( x ) y g(x) .funciones continuas pura x 2 a y sea O < g(x) < f(x) para x 2 u. Si SF f(x) dx converge, entonces 1: g(x) tumhién converge, mientrus que si S," g(x) dx diverge, entonces S," f (x) dx también diverge. Si m se reemplazu por h y x > LI se reempluzu por CI < x < b, los resultados son vcilidos.

Ejemplo 7. La integral

converge para lsenxl 1

I- X 2 x 2 '

e S';. ( l /xz) dx converge según el teorema 9.1. 1 1

Ejemplo 8. Puesto que S: [l/(x - 1)3] dx diverge según el teorema 9.1 y x + 17 1 >"- para 1 < x S 3 , (x - 1)3 ( x - 1)'

El teorema 9.2 demuestra que 1: [(x + 17)/(x - 1)3] d.v también diverge. 1 1

RESUMEN

3 . Si lím,,b- lf'(x)l = S, entonces f ( x )c l x = lírn,,+-

4. Si lím,,,, I f(x) l = z, entonces f(x)dx =

O

5. si,, f ( x ) dx = 1- ~~ f ( x ) dx + 6. Si l imx+c~f(x)/ = m y u < c < h, entonces


7. ( l /sP)dx donde a > O concerge si p > 1 y diverge si p < 1.

8. [l/(.x - a)"] dx e 1: [l /(h - x)"] dx converge si p < 1 y diverge .si p 3 1.

9. Si O < g(x) d f (x) J- una integral impropia dc f(.x) converge, entonces la integral impropia de g(x), con los mismos lírnites, conrerye. Si una integro1 impropio de g(x) dicerge, entonces l a mismu irztegral impropia de ,f(.x) diverge.

(1

EJERCICIOS

En los ejercicios I a 16, determinor si l a integral inlpropia converge o dicerge, y hullar su odor si conoerge.

2. I, J x d x

" 1

dx

13. e x cos x dx 14. e x sen x dx a I"=

15. 1p tan x dx 16. JUn"4cos x cot x dx

En los ejercicios 17 n 23, decidir si la integral converge o diverge. No es necesario calcular su ualor si conoerye.

m /cos x / dx

24. Demostrar que S'; (1,íxP) dx converge si p > 1 y diverge si p < 1.

25. Demostrar que

[l/(x - a)'] dx y J! [ l / ( b - x)'] dx

converge si p < 1 y diverge si p 2 1.

26. Considerar la región bajo la grifica de l / x sobre la semirrecta x b 1. a) ¿Tiene la región un área finita'? b) Demostrar que el sólido no acotado

que se obtiene cuando la región gira alrededor del eje x tiene volumen finito y calcular el volumen.

c) [,Tiene el sólido de volumen finito descrito en b) una superficie de área finita?

27. Considerar la región bajo la gráfica de l/Jx en el intervalo semiabierto O < X < 1 .

a) ¿,Tiene la región un área finita? b) Demostrar que el sólido no acotado

que se obtiene cuando la región gira alrededor del eje y tiene volumen finito y calcular este volumen.

c ) ¿Tiene el sólido de volumen finito descrito en b) una superficie de área finita?

TÉCNICAS DE INTEGRACl6N 317


En los problemus 1 u 11, hullur lu inteyrd dudu si11 consultar lus tublas. 11. 1d-d.

gente.

3. 2x.5f ;x4! 15 dx 4’ 1 m dx 13. Determinar la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impro-

5. J m dx 6. J’sen x + cos x dx pias. Dar razones para las respuestas.

X

x I IR 1

7. sen’2x dx 8. j cos’x sen’x dx

9. J secJ3x tan’3x dx IO. J cot’2x dx c) / * E d x 1 x * - 4

Problemas de repaso 9.2

En los problemus 1 u 1 I , hallar lu integral ciudu sin consultur las tuh1rr.s. 10. 1 cot”x dx

X L 1 J4 - X^’ 11. -

1. I x I n x d x 2. / e x sen2x dx 12. ~ ~ l l ~ ~ _____ ds si es convergente.

8x2 + 3x - 7 3. !jXz - 12.2 + x - 3

dx 13. Determinar la convergencia o la divergencia de las siguientes intcgrales impropias. Dar razones parit las respuestas. dx 5. j (x - 1)”* - 7

3 - (x - 1)”4 dX

sen x ‘ 1 dx 7 . ! cos’xsen’x dx

6. j sen x - cos .x dx

8. cos‘2x dx dx 1 + x ’


1. Seaf”’(x) continua para todo s. Demos- [Sugerenciu. Demostrar que J; f ’ ( r ) & trar que = j ’ ( x ) - f (O). Integrar después S;y(t)dt

por partes, haciendo u =Y(r), dc = dl y r = t - X.]

f ( x ) = f(0) + f ’ ( 0 ) ~ + f”(t)(x - t ) dt. I‘


2. Concluir el ejercicio 1 para demostrar que si ,f”‘(x) es continua para todo x, entonces

3. Sea J’(-Y) una función continua para .x 3 O. Demostrar quc si lím, - , f(sl existe e 1;; j ’ ( z ) d u converge, entonces Km, . , f ( ~ ) = O.

4. Sea g(x) continua para x > CI y sea c # O. Demostrar que {d (/(.x) L/\- converge si y sólo si i: c . <?(u) dz converge.

S. Seaf’ix) continua para todo s . Se define el valor principal de Cauchy de si , , f ( r ) t l- i

como CI !ímh - , ih-,) 1 (x) [{x, si ci límite existe.

a) Dar un ejemplo de una función continuaf tal que el valor principal de Cauchy de f ( x ) rl.x exista, pero I f ( x ) ri.u sea divergente.

b) Demostrar que si 15% , f (x) dx converge. entonces el valor principal de Cauchy de si , f(x)d.x existe y es [’T , f ( r ) h .

6. Dar L I ~ ejemplo de una función continua f tal que / ( - x ) >, O para .Y 3 O y que

f ( x ) sea convergente pero que Ii1nA.-, ,/‘(.Y) no exista. [Sugerenciu. Ha- cer que l a grifica de ,f tenga ((puntas)) vcrticaies cada vez ntás estrechas de a l - tura unitaria cuando x -+ a y hacer /‘(.Y) 7: O entre las puntas. ]

7. Dar un ejemplo dc una funciónf continua y no acotada (se suponen valores arbitrariamente grandes) que satisfaga las otras condiciones del ejercicio anterior.

10 Series infinitas de constantes

10.1. SUCESIONES

No todas las funciones son polinomios. El cLilculo de los polinomios, incluso la integración, es muy ficil de manejar. Sin embargo. se encuentran muchas funciones que no son polinomios. Por ejemplo, la función sen .Y no es un polinomio, puesto que sus valores están siempre entre - 1 y 1, mientras que todos los polinomios no constantes son funciones no acotadas.

10.1.1. Motivación para las series y las sucesiones

En el capítulo siguiente se verá que muchas funciones elementales como sen x, aunque no son polinomios, se consideran como ((funciones polinómicas infinitas)), es decir, polinomios con un número infinito de términos. Se verh que

x 3 x 5 x 7

3 ! S! 7 ! 9! 11! senx == x " +"" + + . . *

[Recuérdese que

l ! = 1, 2! = 2 . 1 = 2, 3! = 3 . 2 . 1 = 6, y. en general,

n ! = n(n - l ) ( n - 2) * . 3 ' 2 * l.]

Entonces, al sustituir x por .x2, se obtiene x6 x10 x14

senx2 = x 2 - - + - - - + _. - - + . . . 3 ! S! 7 ! 9! l l !

Se demuestra que no es posible hallar sen .Y' tis como una combinación de funciones elementales. Sin embargo, puede utilizarse (2) para integrar sen x' como un trpolinomio infinito)).

Si se aplica (1) para calcular sen 1 (el seno de un radián) se reemplaza x por 1 y se lleva a cabo la suma infinita

1 1 1 1 1 3 ! 5! 7 ! 9 ! ll!

1 " + " - + " - + . . .

para hallar la respuesta. Esto conduce al estudio dc sumas infinitas tales como (3), que se denominan series infinitus. Por supuesto, esta idea esta incorporada en l a notación usual de los números; por ejemplo,

Ejemplo 1. Hallar la ((suma)) de la serie infinita de constantes

Es claro que los números en la sucesión (5) tienden a 2 a medida que se avanza. Esto sugiere que 2 es la ((suma)) de la serie infinita (4).

Por el ejemplo 1 parece natural definir la suma de una serie infinita de números a partir de la sucesicin que se obtiene por agregación paulatina de términos de la serie. En la seccibn 10.1.2 se estudian las sucesiones y sus límites. Estas ideas serin aplicadas al estudiar las series en la sección 10.2.

10.1.2. Sucesiones

En (5) se dio un ejemplo de sucesibn. Como una primera aproximación, puede pensarse que una sucesibn es una hilera de números sin fin, separados por comas, simbólicamente,

a , , a,, a?, . . . , a,, . . . (6)

donde cada es un número real. L a sucesión en (6) se escribe también (a,) para abreviar. Puesto que una sucesión tiene un término por cada entero positivo, también se considera que es una función (I, de valores reales cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos. Se tiene entonces para la sucesibn (6)

SERIES INFINITAS DE CONSTANTES 321

Ejemplo 2. Se considera (5) como una sucesión 4 donde

Es importante poder hallar el límite de una sucesión cuando éste existe. A simple vista, el límite de {a,} es c si los términos a, se aproximan a c tanto como se quiera, escogiendo a n suficientemente grande. Esta es una proposición muy general, análoga a la que se utilizó en la presentación de límx+o f ( x ) = c. La de- finición más precisa que viene a continuación es muy parecida a la del límite de una función.

Definición 10.2. El límite de una sucesión {a,} es c si para todo c > O existe un entero N tal que la, - cI < E si n > N . Se escribe dím,+,x, {a,} = c)) o alím,+x a, = Ci), y se dice que la sucesión converge a c. Se dice que una sucesión diverge si no tiene límite.

La demostración de que una sucesión no puede converger a dos valores diferentes se deja para los ejercicios (ver ejercicio 19).

Ejemplo 3. Para la sucesión

en (5) se tiene

Así

entonces, dado E > O, si se escribe N tal que (1/2)" < E, entonces

1 la, - 21 = 2"' < E

para n > N . Por tanto, la sucesión converge a 2. / / Una sucesión {a,} se describe, frecuentemente, por medio de una fórmula en

términos de n para el m-ésimo término)) a, de la sucesión. Por ejemplo, en la sucesión vista en el ejemplo 3 a, = (2' - 1)/2"- I , o sea que se trata de la sucesión

En el ejemplo 3 se demuestra que

322 CALCULO CON G E O M E T R ~ A ANALiTlCiZ

Ejemplo 4. Se Lime 1

lím -- = O: ,, - ~ + -c n

es decir, la sucesibn 1. +. 3. +, ...: 1in. ... converge a O. / / Ejemplo 5. La sucesicin

1, -1, 1. -1, 1, -1, . . . , ( _ l ) * t * l diverge, puesto que sus términos no se aproximan a n i n g h número a medida que se continila agregando tkrminos. tina demostraci6n c, AT de este hecho se deja para los ejercicios (ver cjcrcicio 33). ~

Como en el caso de las funciones, se tienen las nociones de lím,,+= a, = ,m y límn+L a,, = - m. En los ejercicios 1 y 2 se pide enunciar esas definiciones para sucesiones. Se hace hincapié en que una sucesi6n concrrye si y solamente si tiene un límite finiro. Una sucesicin que no converge a tln límite finito direrye.

Ejemplo 6. Se tiene

11-7

Así, la sucesicin in ’ : divcrge H x > la sucesicin { ( - - I ’ + 2)),(n + 1) ) diverge a “CX’. 1 ,

Ejemplo 7. La sucesicin [ ( -- 1)” . n ) no tiene limite ‘Y- n i limite - (x, puesto que para n par, los terminos tienden a x. mientras que para n impar. los términos tienden a - , a . Esta sucesión diverge. :~


4. 1,o,;,o,;,o,;.o , . . . 19. Demostrar que la sucesión {a,) no con-

verge a dos límites diferentes.

20. Dar una demostración E, N de que la 5 . ! 2 Z 4 2, 3 7 4 , 5 , . . . 6. (5) sucesión 1, 1, I , ..., 1, ... converge.

9. { -- ) 10. (5) 11. (( - ;y) J T > z7 77

21. Dar una demostración c, N de que la SU- cesión 1, -4. j, -4, f , -&, ... converge.

22. Dar una demostración t: , N de que la SU-

2r1 - & 3 n 2 - 2 n

3 n cesión

Jn + 100 1 1 1 1 - ’ . . ’ J n + 1 7 . . .

converge. 12. 1,~,1,-3,1,4,1,-S,l.6 , . . . 23. Dar una demostración E:, N de que la

13. { e “ ) sucesith 1, -1, 1, -1, 1, . . ., (-l)””, . . . converge.

17. {sent} 18. {e”.”} 24. Dar una demostracih c, N de que la su-

cesión 1, 2. 3, 4, ..., n. ... diverge.


25. Se demuestra que ( I + I/n)” = e. En los ejerc,icios 26 a 28, h U / h e/ /inlifc de /¿I

Hallar el menor entero N tal que sucesicin, s i euistc..

para los siguientes valores de E. 26. { (1 -- $ ) } 27. ((1 + a) 0.1 b) 0.01

[(I + - e / < E

c) 0.001 d) 0.0001 28. { n ( ~ - 1))

10.2. SERIES

10.2.1. La suma de una serie

Es matemiticamente impreciso definir una sucesibn de constantes como una hilera de números sin fin

a , , a2, . . ‘ , a n > . . . ( 1 )

separados por comas, aunque ésta sea una manera de considerar las sucesiones para efectos inmediatos. En la sección 10.1 se definió sucesión como funcibn.

324 CALCLJLO CON GEOMETRíA ANALfTICA

Igualmente, es impreciso definir una serie infinita de constantes como una hilera de números sin fin

a , + a, + . . . + a, + . . . con el signo mils intercalado, aunque posiblemente esta consideración sea válida para el trabajo inmediato. En la sección 10.1.1 se vio que si se trata de hallar la ((suma)) de l a serie (2) , se llega a la consideración del límite de la sucesión

t 2)

S,, S?. . . . , S,, . . . , ( 3 )

donde s1 = ( I , , s 2 = a l + u? y, en general, S, = a l + ... + a,. Desde el punto de vista matemlitico, es preciso definir la serie (2) como la sucesión ( 3 ) : la noción de sucesi6n se ha fundamentado en la noción de función.

Definición 10.3. Sea a l , a2 , ..., a,, ... una sucesión y sea S, = a l + + a, para todos los enteros positivos n. La serie infinita

a

a, = a, t a2 f . . . + a, -I- '

es la sucesión { S , ) . El número a, es el n-ésimo término de la serie x,*: a,, y S, es la n-ésima suma parcial de la serie.

n-1

Definición 10.31. Si x,"= a, es una serie, entonces la suma de la serie es el límite de la sucesión (S,) de sumas parciales si el límite existe. Si límn+KJ S, es un número finito c, entonces la serie x,^=, a, converge a c. Si S, es m, -M. o es indefinida, entonces la serie diverge.

Ejemplo 1. La sucesión de sumas parciales de la serie

es

que converge a O, de modo que la suma de la serie es O. La serie

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + - . . diverge porque la sucesión de sumas parciales es

1, o, 1, o, 1, o, . . . y esta sucesión diverge. / ;

10.2.2. Series geométricas y armónicas

Por razones que se evidcnciarhn en la sección siguiente, es necesario construir un ccarsenaln de series cuya convergencia o divergencia se conozca. Las que se estudian en este artículo contribuyen a tal arsenal.


La serie 1 1 1 1 2 3 4 n

1 + - + - + - + . . . + - + . , .

se denomina serie armónica. A continuación se demuestra que esta serie es divergente. Haciendo una cierta agrupación de términos por medio de paréntesis, la serie se puede escribir como

( l j + ( $ j + ( + + + ) + ( + + . * . + ~ ) + ( i $ + * - * + ~ ) + " . (5)

La suma de los términos de cada paréntesis en (5) es 3 f ; por ejemplo, 1 + 1 + 1 + 1 > 1 + 1 + 1 + 1 - 1 5 6 7 8 8 8 8 8 - 2 .

Esto muestra que para la serie armónica, se tiene

S2" 2 1 +- in . y entonces es claro que la serie diverge a OO.

Considérese ahora la serie

La serie (6) es la serie geométrica con término inicial a y razón r, la cual es muy importante. Se tiene

S,, = a + ar + . + arn".

y, en consecuencia,

rs,, = a r + . . + ar"" + ar".

Substrayendo se obtiene

S, - rs,, = a - ar", de modo que si r # 1,

a - ar" a ar" s n = - - - - - 1 - r I - r I - r '

-

Así

El valor del límite de (7) depende de la magnitud de r. Se tiene

r" si -1 < r < 1, lim ___ - - si r > 1, m-= 1 - r

indefinido si r < -1. Si r = 1, entonces la serie (6) se reduce a

1 " - " " ." x - - r 1 "! " 2,

resultado previslo cn la seccicin I O. I , i . ,

Al conc!uir esta seccibn, debt. mencionarse que las series armitnica y geométrica son importantes por s i mismas. adernis de serlo por su contribuci6n a la provisihn de series cuyas divergencias o convergencias se conocen. En los ejercicios 35 a ?O se mucstra que las series geom6:ricas cstin estrechamente ligadas a aspectos relacionados con la rcpresenracihn de los nitmeros en forma decimal.

10.2.3. Algebra de sucesiones y series

M a y maneras naturales de ctsurnar)) dos sucesiones o dos series y de ccmultiplicar por una constante)) una sucesi6n o una seric.


Es importante observar que si S, es la n-ésima suma parcial de ,&. L I , y t , es la n-ésima suma parcial de h,, entonces la n-ésima suma parcial de E;, (o, + h,) es S, + l,, en tanto que Ia n-ésima suma parcial de (CYI , ) es cs,.

En todo este capítulo el inter& principal radica en determinar si las sucesiones ( y las series) convergen o divergen. Después de las definiciones anteriores, surge la pregunta de si la sucesión quc se obtiene por adici6n de dos sucesiones convergentes es convergente, y si la que se obtiene al multiplicar una sucesi6n convergente por una constante es tambikn convcrgente. La misma pregunta surge en relación con las series. Las respuestas a estas interrogantes se encuentran en el siguiente teorema y sus corolarios; estas respuestas son realmente evidentes.

Teorema 10.2. Si /(I succ~siciu :.S,) c'owerqc' ( I S J. ILI swesitin { ( , , I c.017rergp LI t . ~ t ~ t o m ~ s Ir1 .s~rc.c.sicit~ { s , ~ + t,) c . o r l r ~ c r ~ q r ( I S + l , Itr s l r c c s i c i r l f cs,) r'oncor<qe 11 c.5

/?("'" l o d o c. .

I3eI?lo,sr~L/c,itin. Sea t : > O. Hallar [In entero N , tal que ( s , ~ - S / < ~2 para II > N ,, y haIIar un entero IV? tai que 1 1 , - t / < r : '2 para H > N ~ . Sea N el lnhximc de h', y Y,. Entoncex para II > N se tiene simult5ncamente

Sumando sc obtiene

"E < (S, , + t , , ) - ( S + t ) < E o I (S,! -t t , , ) - ( Y -t t ) ( < E

para > N . Por tanto. la sucesicin I s , + in; converge a S + 1.

Si c. .tr O, se halla N 3 tal que Si = O, entonces {cs,) es la sucesibn O, O, O, ... que converge a O = O s.

para n > Nj. Entonces, para II > N 3 se tiene

Si se multiplica por c, se obtiene para c . <: O y para c > O,

- E < cs,, - cs < E :

de modo que ~cs, - (,.SI < t: para II > N 3 . Asi. l a sucesi6n ( c ~ s , ~ converge a ('.s. u Corolario 1. Si )';= ( 1 , concrrye ¿I r/c." h, cmrrryc' ¿I b, ~ r ~ t o ~ z c ~ ~ . s x;-- (u, + h,) cwwercgr L/ 11 + h x;= I (can) c 'onwrye (I ('u paro totlo c.

Denzostrucidn. La demostración es inmediata a partir del teorema precedente y de observar que si {S,,) es la sucesión de sumas parciales de xi= a, y ir,) es la sucesibn de sumas parciales de )';= I h,, entonces (S, + 1.1 es la sucesión de sumas parciales de x,"= (a, + b,) y (cs,} es la sucesión de Sumas parciales de En"= 1 (can). O


Corolario 2. si c."= a, dicerge, entonces para todc c # 0 la serie c."= (ca,) tanzhiin dicerye.

Demostración. Si (ca,) converge, entonces, según el corolario 1, la serie

también converge, lo que contradice la hipótesis. O Ejemplo 3. La serie ( l i2n) diverge, porque es la serie armónica multiplicada por ;. / / Ejemplo 4. La serie

converge, puesto que las dos series geométricas convergen. En efecto,

" 1 1 C p- converge a ___ - - 2 n = l 1 - 1/2

Y

así

" 1 1 3 1 3- converge a ___ - - -

n = l 1 - 1/3 2 '

" 1 2 n = l c (F.3")

converge a 2 + (-2)(3/2) = 2 - 3 = -1. I /

RESUMEN

1. L a serie

se asocia con la sucesión de sumas parciales {S,}, donde

s i = a,, s2 = al + a2, s3 = a, + a2 + a3, . . .

La serie converge a la suma c si lím,+ x S, = c: y la serie diaerge si (S,} es urm sucesión diuergente.


2.

3.

4.

Dos sucesiones (series) pueden suniarse término a término, y cada una puede multiplicarse por una constante. Si cada una de las dos sucesiones (series) converge, entonces la suma converge a la suma de los limites. Un múltiplo constante de una sucesión conceryente (serie) conuerge al mismo múltiplo del límite de la sucesión original ( ser ie ) .

La serie armónica x,"= l / n dicerge.

LU serie geométricu C."=o ( m " ) converge a a / ( l - r ) si Ir1 < 1, y dicerye si Ir/ 3 1 y a # o.

EJERCICIOS

1. Considerarla serie 1 + O - 1 + O + 1 + O - 1 + O... Hallar las sumas parciales indicadas.

a) s1 b) sz c) S3

4 s4 e) S8

f) S15 $9 S122

2. Hallar las cuatro primeras sumas parciales de la serie armónica c."=, ( l / n ) .

3. Hallar los cinco primeros términos al, ..., a5 de la serie cuya sucesión de sumas parciales {sn} = $, +, i, i, & ...

En los ejercicios 4 a 14, determinar si la serie converge o diverge y hallar la suma de la serie si converge.

" 1 6. E -

n = l 2" - -1 ,,=, 2n

n + l 10. -

8. c - n=l n

" 4 12. -

n=l(-2)" m

14. x e-2n n =O

9. 2 (-1y n = l

11. - n=1(10)"

" 1

" 3

13. 1 - n + 1

15.

16.

17.

18.

Se deja caer una pelota desde una altura de 3Om. Cada vez que toca el suelo, rebota a 4 de la altura del salto anterior. Hallar la distancia total que recorrió la pelota si se deja rebotar indefinidamente.

Dar un ejemplo de dos sucesiones divergentes cuya suma sea convergente.

Dar un ejemplo de dos series divergentes cuya suma sea convergente.

Si c.'= I a. converge y c.". h. diverge, ¿qué puede decirse respecto a la convergencia o divergencia de 1;; I (a. + h.)?

En los ejercicios 19 a 24, hallar la suma de las series dadas.

19. n=o (:+S) 20. ( 7 ~ - 4 ~

- 2" + 3" m 3"" - 7 .5 "

n =o

21. 1 ___ 22. 1 "=O 4" "=O 10"

m 8" + 9" 2" 23. x ___ 24. -

=

m = ] 10" n=l 32n+1

La representación de un número real corno un dec imal sin f in ) ) está estrechamente ligada a la nocion de serie infinita. Los ejercicios 25 a 30 explican esta relación.

25. Considerar la serie infinita 1 + " + " + & + "

10 1 0 0 l o 0 0 10000 + * . . a) Expresar la suma de la serie como

330 CALCULO C O N GEOMETRíA ANALíTICA

26.

21.

28.

un dec imal sin fin)). [Sugerenciu. Referirse a! s i q n i f i c m k ) de la notación decimal.]

b) Expresar la suma de la serie obtenida a partir del decimal hallado en a) como un ~ r i r n w o rrrcwrrcrl (es decir. como u n cocientc p , q de dos enteroa p y q. donde (1 f 0).

c) Ewprzsar la suma de la serie como un número racional observando que la serie obtenida al suprimir e1 prnner termino es geométrica. Aplicar tam- bién el teorema 10.1.

Valikndose del ejercicio anterlor como ejemplo, demostrar que todo número real (((decimal sin fin))) es la sunla de una serie infinita de números racionales cuyos denominadores son potencias de 10.

Demostrar que el nimero real 0.27222 2 . .

es un número racional, hallando una serie geométrica cuya suma sea el decinml. y luego aplicando el teorema i O . l para hallar la suma de la serie.

a j Demostrar q u e el número rea l

0.12121212 ... es la suma de una serie geométrica cuya razón es r = 1:100.

b) Utilizar a) y el teorema 10.1 para expresar el número 0.121212 ... como un cociente de enteros.

29. Utilizar las ideas ilustradas en los dos ejercicios anteriores para demostrar que cualquier dec imal sin fin)) que se reproduce en un patrón repetitivo. tal como

273.14653653653653653 ...

representa un número rscional.

30. Demostrar el reciproco del ejercicio anterior. Es decir. demostrar que la repre- sentación decimal de cualquier número racional se reproduce en un patrbn r e p titlvo, conio se ilustr6 en dicho ejercicio. [Su~~0~+7c~ iu . Se hace de cuenta que S(:

redujo un número raciorlal a forma decimal por medio de la división. Se argumenta que alyim ccresiduov de l a divisihn debe repetirse a la larga y que los crcocien- tes)) asi obtenidos deben sucederse siguiendo algún patron repetitivo.]

10.3. CRITERIOS DE COMPARACION

10.3.1. Inserción o eliminación de terminos en una serie

La insercibn o eliminaciim de un número finito de términos de una serie no afecta su convergencia o divergencia, aunque si la serie converge, su suma puede afectarse. En particular, se supone que si los primeros términos de una serie no se ajustan al patrcin presente en el resto de la serie, entonces pueden despreciarse para efectos del estudio de la convergencia o divergencia de la serie. Después de un ejemplo se establece esta propiedad de las series como un teorema, y se deja su demostracibn, que es fhcil, como ejercicio.

Ejemplo 1. La serie geomktrica

converge a 2. La serie


que se obtiene de ( 1 ) ai insertar tres términos adicionales al comienzo tambiin converge, y evidentemente debe converger a

(T - 3 + 17) + 2 = T + 16. 11

Teorema 10.3. S u p o n w clue CLIIIN unu rlc ius dos serics xil u, y h, contiene t o d o s l o s 1L;rnzino.y tlr IN o t ru con r.uccpc,icin de un númrro finito de &tos rn el mismo orrlcm Es decir, suponrr yur e.uisten N J. k tules yue h, = pcwa t o d o n > N . E n ! o n w s umh(I.s series c m w r y r n o amhus tlirwyen.

La condicion del teorema anterior de que los términos comunes de las dos series estén ccen el mismo orden)) es muy importante. Mris adelante se demostrari que la serie

converge y es posible demostrar que se puede hallar una serie rliwrgentc que contenga prccisunw1rr los m i s ~ n o s ttrminos en orden diferente.

10.3.2. Si lím,- , u, # O, entonces a, diverge

El siguiente teorema es muy importante, y a menudo se aplica erróneamente. Muestra cuando una serie diverge, pero jamás puede utilizarse para demostrar la convergencia.

Teorema 10.4. Si l a serir u , concerge, rntonces lím,.+ ~ a, =I O. Dr nlodo equil:a/ente, s i ]ím,- ~ u, f O, entonces e;=, u, diverge.

Demostrucidn. Supóngase que u, converge a c, y sea c > O. Entonces existe un entero positivo N tal que para todo n > N , la n-Csima suma parcial S, satisface

Particularmente, si n > N + 1, se tiene

Puesto que S,- y S, están ambas dentro de una distancia 4 2 de c, la distancia entre ellas debe ser a lo sumo c ; es decir,

1 % - S,-11 < E

para n > N + 1. Pero

S,, - s , - ~ = (al + . + + a,,) - (a, + . . 3 + 4-J = a,,

así que 1a,1 < E para n > N + 1. Luego, Iím,,+= a, = O. [I1


Ejemplo 2. Por el teorema 10.4 se sabe que la serie

diverge, puesto que n2 1

lím n-+m5nZ + l o o n 5

= - # o. )I

No hay que confundir la afirmación del teorema 10.4 con la recíproca: ((Si Iínl,,-, u, = O, entonces a, converge)). La ufirmución recíproca no es verdadera; por ejemplo, la serie armónica x."= ( l / n ) tiene la propiedad de que l í rn , - , ( l / n ) = O, pero la serie armónica diverge. Es importante observar que el teorema 10.4 da únicamente la condicidn necesuriu (pero no suficiente) para que una serie x:= 11, sea convergente. Esto significa que el teorema no puede utilizarse para demostrar la convergencia de una serie. En ocasiones puede aplicarse para mostrar la divergencia, como en el ejemplo 2.

10.3.3. U n criterio de comparación para series de términos no negativos

Durante el desarrollo de este capitulo se presentarin algunos ((criterios)) para la convergencia o la divergencia de una serie de constantes. La mayoría de estos criterios dependen de la compurucicin de la serie con otra cuya convergencia o divergencia se conozcan. (Esta es la razón de la importancia de construir un ((arsenal)) de series cuya convergencia o divergencia se conozcan.) Los criterios de comparación para series con términos no negativos se deducen ficilmente de la siguiente propiedad fundamental de los números reales. Esta propiedad se demuestra en cursos mis avanzados. donde se ((construyen)) los números reales.

Propiedad fundamental de los números reales. Sea (S,) una sucesión de números tales que S,+ 3 S, para n = 1, 2, 3, _.. (Tal sucesión es monótona creciente.) Entonces, {S,) converge a algún c o lím,,,, S,, = x. _ _ ~ ~ "_ ". ." - ________ "

La propiedad fundamental postula que la única manera de divergencia de una sucesión monótona creciente {S,) es la divergencia a co. Obsérvese que si

u, es una serie de términos no negatit!os, entonces la sucesión {S,} de sumas parciales es monótona creciente.

Teorema 10.5 (Criterio de compurucicin 1). Seun u, y x:=, b, series de términos no negativos tales que a, < b, para n = 1 , 2 , 3 , ... Si x,"= b, converge, entonces xi=, uy tumbikn converge, mientrus que si x:"= u, diverge, entonces b,, también diverge.

Demostrucicin. Sea S, la n-ésima suma parcial de x:= u,, y sea t , la n-ésima


suma parcial de b,. Si se supone que x;=, b, converge a c, entonces lÍm,+x r , = c. Por a, < h,, se ve que

S, 5 t ,

para n = 1,2,3, ... Puesto que limn+= r , = c y S, d t,. se ve que S, = m es imposible; entonces, por la propiedad fundamental, la sucesión {S,) también debe ser convergente.

Si se supone que x,"= a, diverge, entonces { S , ) es monótona creciente y divergente, y, según la propiedad fundamental, debe tenerse lim,-+, S, = m. Puesto que t , 2 S,, evidentemente

lím t, = m, It"

de modo que x;= h, tambien diverge. O El teorema 10.5 se sintetiza a veces expresando que, para una serie de términos no

negativos, una serie que sea ((menor)) que una de convergencia conocida también debe ser convergente, mientras que una serie ((mayor)) que una de divergencia conocida, también debe ser divergente. Si una serie es ((menor)) que una de divergencia conocida, puede ser convergente o divergente, dependiendo de cuán ((menor)) sea. De manera análoga, una serie ((mayor)) que una convergente conocida es convergente o divergente, dependiendo de cuán ccmayorn sea. Es importante tener presente que el criterio de comparación funciona únicamente en la dirección establecida.

Ejemplo 3. Se sabe que la serie

converge. Por tanto, la serie ((menor))

1 1 1 1 1 - + - + - + - f . . . + . . . 2 3 5 9 + 2,-1 + 1

1 1 1 1 1 - + - + - + - f . . . + . . . 2 3 5 9 + 2,-1 + 1

converge, seglin el criterio de comparación. 1 1 Ejemplo 4. Se sabe que la serie armónica

diverge. Por tanto, la serie ((mayor))

1 1 1 1 1 + - + - + - + . . . +"+... J Z A h &i

también diverge. 11 Puesto que un número finito de términos puede insertarse o extraerse en una

334 CALCULO CON GEOMETRíA ANAL.1TlC.A

serie sin afectar su convergencia o divergencia (teorema 10.3), es posible debilitar la hipbtesis del criterio de cornpal-acih 1 y requerir solamente que u,> /I,, para todos, excepto un nilmero finito de en:u~-os positivos i7

10.3.4. Otro tipo de comparaci6n

diverge para

o


SOLUCION. Para n grande, el n-ésimo término de la serie es del orden de magnitud 2n3/7n4 o 2/7n. Más precisamente

(2n3 - 3n2)/(7n4 + loon' + 7) 14n4 - 21n3 lím = lím

217 n 14n4 + 200n3 + 14 = 1

n -a;

Así, según el criterio de comparación 2, la serie diverge puesto que

es 3 veces la serie armónica y, por tanto, es divergente. / / Un criterio de comparación preciso para todo n en el sentido del criterio de

comparación 1 resultaria algo confuso para las series del ejemplo 5, pero el criterio de comparación 2 se aplicó fácilmente. Se recalca la importancia dedesarrollar habilidad para decidir la convergencia o divergencia de algunas series por simple inspección, y el criterio de comparación 2 es uno de los instrumcntos mis importantes para este propósito.

Se da un ejemplo más de la aplicación de ese teorema en la determinación de la convergencia.

Ejemplo 6. La serie

i 2 n 2 + 4 ,L 7 1 (n' + n)2"

se comporta como (2/?n), que converge, ya que es la serie geometrica con razón l!2. Entonces ambas series son convergentes. :~

RESUMEN

l . Lrr concergenciu o dirergenciu dc unu serir ( o sucesión j no cambia por insercidn. estrucción. o alteración de un nún~ero finito de thrrrrinos.


EJERCICIOS

En los ejercicios 1 a 3, determinar si las series dadas concerqen o dicer(len, y s i convergen, hallar l a sunla respectiva.

1 , v1 i - + . . . donde n 2 5 I

2. l + - + - - i - - + - - + - + - + - + 1 1 1 1 1 2 3 2 4 X 16 32 32 32

. . . +" - - -+. . . n - 5 32

donde n 2 h

9. \ ~"

5 1

,, ! I1 + 2" L

23. " I

25. Considerar la serie n - 1

a) Calcular las primeras cuatro sumas parciales de la serie.

b) Hallar una fórmula para la n-ésima suma parcial de la serie. (Se conoce como ((serie telescdpica)). Averiguar por qué.)

c) Demostrar que la serie converge y hallar la suma.

26. Considerar la serie

a) Demostrar que la serie puede considerarse como telescópica (ver ejercicio 25) y hallar la n-ésima suma parcial S,. [Sugerencia. Aplicar una propiedad de la función ln.] 11 y- ' I1

,k, 311' t- n 2 b) Demostrar que la serie diverge.

i s e n I 27. Dar un ejemplo para demostrar que si no se requiere que los términos de la serie 13.

,1 I !I I 5 )' - sean no negativos, es posible que a, < b,

14. -5- ---__ " t.'n

,,", I I + 17

-*- 3" + 9" para n = 1,2,3, ... y C."= b, converge 15. 1

,/ I 10" mientras que En"= a, diverge.

10.4. CRITERIOS DE LA INTEGRAL Y DE LA RAZON

Obsérvese que los criterios que se d a n en esta sección dependen del cri terio de comparac ión , que es el cr i ter io de mayor general idad de los ya considerados.


10.4.1. El criterio de la integral

En la sección 9.7 se estudió la convergencia de integrales impropias de la forma f ? f(x) dx. El criterio de la integral enseña que se puede demostrar la convergencia de ciertas series si se demuestra la convergencia de una integral de esa forma.

Teorema 10.7 ( E l criterio de la integral). Sea x,"= a, una serie de términos no negativos. Sea f una función continua paro x > 1 tal que

a) f ( n ) = a, para n = 1,2,3, ... b) f es monótona decreciente pura x 3 1 ; es rlecir,f(xi) 3 .f(xj) si xi < xj para x 3 1.

Entonces E,"= a, c-onoerge si y sólo si 1; f ( x ) dx converge. Demostración. La demostración se hace fácilmente a partir del trabajo anterior y de la fig. 10.1. Sea S, la n-ésima suma parcial de la serie x,"= a,. Ahora j! f ( x ) dx es el área de la región bajo la gráfica de f sobre [l, n ] . Si se aproxima f! f(x) dx por las sumas superiores e inferiores dadas por los rectángulos cuyas bases son de longitud unitaria en la fig. 10.1, se obtiene

a2 + . . . + a, I f ( x ) dx I U , + a2 + . * * + a,. I' (1)

(a) Aproximación por las sumas superiores (b) Aproximación por las sumas inferiores

Figura 10.1

Obsérvese que (1) depende de quefes monótona decreciente para x 3 1. A partir de (1) se obtiene

Puesto quef(x) 3 O para x 3 1, la sucesión {f'; f ( x ) dx} es obviamente monótona decreciente. Por tanto, si j y f(x) dx converge, entonces por la propiedad fundamental (sección 10.3), la sucesión {SI f(x) dx} debe ser convergente. A partir de (2), y por aplicación del criterio de comparación, se halla que la sucesión {S, - a l > converge. Pero como la sucesión {S,} converge, según el teorema 10.2 (sección 10.2), entonces la serie C."= a, converge.


Por otra parte. si IS,) converge. entonces I a sucesi6n {S; /'(.x) h j debe ser convergentc según (21, en virtud del criterlo tie comparaci6n. Puesto que F ( t ) = ([, f(s) t l z es una funcibn monótona creciente de t , es obvio que $[ fr) t ls también debe ser convergente. U

Debe considerarse el criterio de la integral como una aserción de que para x;-, o,, y / 'tal como se describieron. el comportamiento de l a serie)) es andogo a l de 1; f ( s ) ds, en I o que atañe a l a convergencia y la divergencia.

Ejemplo 1. El criterio de l a integral suministra otra demostracibn de la divergencia de la seriearmhnica )-;=-, ( 1 , ' ~ ) . El teorema demuestra que la serie se comporta como limlr+ ~ 1; ( 1 ;S ) :/s. Sin embargo.

linl 1'' dx = lim (In x ) = lim (In - in 1) = lím (in 11) = x. I t + - x I , -.= 11: I,~-*I A- - 1

Como la integral diverge, la serie también diverge. ~i

IJn tipo de series que se manejan con el criterio de la integral son de tal importancia que ameritan tratamiento formal en un corolario.

Corolario ( S e r i e s p ) . S ~ L I 11 U ~ I t l [ i m j r o r w / c.ua/quirra. L L I .wri t , x;1 ( 1 111')

c~1nrer~qle .si p > 1 d i r r rqe si p < l .

Demostracibn. Si p > 1. entonces se define una funci6n ,f' tal que /'(.Y) = 1 .Y".

Entonces f e s una función continua que satisface las condiciones del criterio de la integral y el comportamiento de l a serie x;= 11 '17p) es snhlogo al comportamiento de $ / ( 1, x p ) (/s. de donde

Puesto que se supone que p > 1. se ve que p -- i > O. luego 1

Así que la integral, y por tanto la serie? convergen si p > I .

con la serie armbnica. 0 Si p < 1, entonces w" < 11, así l / (d ' ) ( l i n ) y la serie diverge por comparacicin

El resultado anterior es particularmente útil cuando se combina con el criterio de comparación (2) (seccih 10.3), como ahora se ilustra.

Ejemplo 2. Por el criterio de comparación 2, la serie = n + 2 0

" - 1 c n + 20n + 1


se comporta como x;=, ( l / n 2 ) . que es una ((serie p)) con p = 2 y es, por tanto, convergente. / I

10.4.2. Estimación de la suma de una serie de términos monótonos decrecientes, por medio de una integral

La demostración del criterio de la integral suministra en realidad mhs información de la que se indica al enunciar el criterio, porque (2) da una aproximación muy útil de la suma parcial S, de una serie, siempre y cuando se halle una función f q u e satispdga las hipótesis del criterio. Particularmente, según (7) , se obtiene

J,"f(x) dx 5 s, 5 (I,"f(x) dx) + a,. ( 3 )

La aplicación de (3) se ilustra por medio de ejemplos.

Ejemplo 3. Según (3) con ,/'(u) = 1:s se ve que para la suma parcial S, de la serie armónica 1 + ( f ) + (4) + ..., se tiene

Puesto que S; ( I / S ) (/.u = I n II - In I = In I I , se tiene

In n 5 S,, 5 (In n ) + 1,

o, por cambio de notación,

k t

I n k 5 1 - 5 (Ink) + 1. I( - I

,,- 1 n

Ejemplo 4. Se sabe que ( l / n 2 ) converge. A partir de (3) se obtiene

luego E,'= ( l /n2 ) converge a un número en [ I , 21. / I Los ejercicios 42 y 43 muestran cómo se puede apiicar una integral para estimar


la suma de cualquier serie convergente de términos monótono-decrecientes no negativos con la precisión que se desee.

10.4.3. El criterio de la razón

Recutrdese que si a, converge, entonces lím,+, N, = O. El criterio de la razón estudia la rapidez a la cual decrecen los términos a, cuando n crece, y se basa en una comparacih de la serie x;.- I a, con una serie geométrica apropiada. El de- crecimiento (geométrico) del término LI, al término siguiente u,+ l en l u, se mide por la 1-ozh o,,+ l/un.

Teorema 10.8 ( E l criterio de l u rcccin). Sea x:- u , unu serie de férminos positicos. Si Iím,+ , (un i ,,a,) existo y es I' .= 1, entonces C.'= , u, conrer-gr. Si I' > I , tIirrl-gqe. (Si I' = 1, st' rzecositu n2Ci.s informcrcidn pul-u deternlinur Iu conceryrncia o ciiwrgenciu tlr I N s o l - i r . )

Dcnzostl-uc,itin. Suponer que lím,-, (U,+ l/un) = I' < 1. Hallar 0 =. O tal que

r < r + S < l .

Por ejemplo, sea ii = (1 -- r)/2. Puesto que l ímn+, (a,+ ]/CI,) = 1', existe un entero N tal que

a n + , r - S < - < r + S an

para n > N. Si se multiplica por u,,. se halla que

un-¡ < (r + 6)an (4) para t z > N . Por aplicación repetida de la relación (4), a partir de 17 = N + 1 se obtiene

a N t 2 < (r + 6 ) a N + I >

aN+3 < (I + 6)aN+2 < ( r + 6)2aN+1

aNt4 < ( r + S ) U ~ + ~ < ( r + 6)3~N.+1, etc.

Entonces cada uno de los términos de la serie

a N + l + aN+2 + a N + 3 + . * . + a N + k + ' ' * (5)

es menor o igual al término correspondiente de la serie

aN+I -t. a,,, ( r + 6) + a N + , ( r + + - . . + u N t l ( r + 8Ik" + * (6)

Pero (6) es una serie geométrica cuya razón es I' + O < 1 y, por tanto, converge. Seglin el criterio de comparación, se ve que (5) converge. Puesto que (5) es xir N, cuando se ha extraído un nljmero finito de términos. el teorema 10.3 (sección 10.3) demuestra que c:= a, también converge.


Ahora, se supone que r > 1. Luego, para todo n suficientemente grande,

es decir,

para todo n suficientemente grande. Esto significa que después de un lapso, los términos de xil 1 (I, crecen. Entonces, limn- I u, = 0 es imposible, así que según el teorema 10.4 (sección 10.3) la serie cR/= u, seri divergente. 0

Vale u n comentario respecto a la observacibn entre paréntesis en el enunciado del criterio de la razón. Para la serie I ( 1 , ~ ~ ) se tiene

y para la serie x;= ( l / n ) también se tiene

En ambos casos la raz6rz litnirr r existe y es 1 , pero según el criterio de las series p, 1;- ( 1 ! ' n 2 ) converge, mientras que la serie armhnica In/= ( I / n ) diverge. Esto ilustra que para una serie cuya razón límite r = 1, se debe obtener mis informaci6n antes de decidir la convergencia o divergencia de la serie.

El criterio de la razón es útil especialmente cuando se estudian series cuyo n-ésimo término u, viene dado por una fórmula que contiene una constante elevada a la )&sima potencia (por ejemplo 3'7, o que contiene un factor n ! donde

t l ! ( n ) ( ) t - 1 ) . . . (3)(2)(1).

Vale la pena mencionar que para cualquier constante c > 1, la exponencial cn crece mils rápidamente cuando n + m que un polinomio en t1 de grado cualquiera s. Esto es verdadero en el sentido estricto de que

lím 7 = x I,4x n

para todo s. Es ficil cerciorarse de que esto es verdadero si se toma un logaritmo y se muestra que ]ím,+, In (cn/ns) = m. También vale la pena mencionar que n ! crece más ripidamente que c", de nuevo en el sentido estricto de que

) I

I1 ! lím = x . ,>+x C

Se escribe n ! n 1 1 - 1 t 1 - 2 r 3 2 1 c n c c C C c c c - _-.-.- . . . - . . . _ . _ . - -

donde r es el mayor entero tal quc r < 3 , . Entonces

P - 1

Puesto que I' existe y es O < 1. se ve que la serie converge. Obsérvese la utilización de la relación (n + I ) ! = i n + l )n! . que vale la pena

recordar. Este ejemplo ilustra que n ! crece con n mucho m i s riipido que 2", y q w xir (2"ln!) converge. Debe desarrollarse cierta intuición p r a el estudio del

comportamiento de series como éstas. Obsérvese que el numerador 2" del n-ésimo ii'rrnino de la serie contribuye con el 2 de¡ numerador de la tmz0n. La n ! de1 ticnominador contribuye con el 1 1 t I del denominado:. de la raz¿>n antes de tornar 6 1 límite. i~

Ejemplo 6. Determinar la convergencia o divergencia de la serie

\- T. n" L - - I , 3"

SOLUCION. Se sabe que 3" crece m l i s rhpidamente que 17" para valorc~ Trandes de n, y se quiere saber si 3" crece con la suficiente rapidez para dominar completamente :I n2' y hacer que la serie se comporte cGmo una serie geométrica cuya razón sen i-.

Se halla que


Luego r existe y es + < 1, así que la serie sí converge. Este ejemplo demuestra que si n es suficientemente grande, 3" domina a n z s hasta

tal punto que x,"= (nZ5//3") converge y, en realidad, se ctcomporta)) como una serie geométrica cuya razón es +. El ejemplo también ilustra que una ((parte polin6mica)) de una fórmula que da el n-ésimo término u, de una serie contribuye exactamente con el faclor 1 a la raz6n límite y, por tanto, n o tiene significado en el criterio de la razón. (Obsérvese la contribución = 1 de nL5 en los ci~lculos anteriores.) El 3" del denominador de la serie contribuyó con el 3 del denominador de la razón. J j Ejemplo 7. La serie c. I t !

diverge porque n ! domina tanto a t1 'O0 como a 5" para valores grandes de 11 y el rt-ésirno termino u, se vuelve muy grande cuando 12 se aproxima a infinito. Si se calcula la raztjn límite I', los ejemplos precedenlcs indican que se hallari r = [ ( n + I ) / Y j = cs. ji Ejemplo 8. Considerar la convergencia o divergencia de la serie

-< ( l o o } " ' + 3) Y- -~ . . i

I, I ! SOLUCION. Aqui ( u 3 + 1) contribuye con un factor de I a la razbn limite cn el criterio de la raz6n y la n ! domina ;I 100" hasta tal punto que la serie converge. si se calcula la razón límite I', los ejemplos anteriores muestran que se ha l la r i Y = límn-., x [100/(n + l)] = O. 1;

Ejemplo Y. La serie 1 . 7 " . I

)- " "- ,, ~ , 3': id

converge porque 2"+' y 3" dominan d . De este modo, la serie se comporta como

que converge como un múltiplo de una serie geométrica cuya razdn es +. La razcin limite de la serie original 1;:- ( n 5 . 2" "/3") es

7 7 r .= lim - =: E ?' / I

n - z 3 .. Para una serie cuyo n-ésimo término u, viene dado por una fórmula que contiene

polinomins, exponenciales y factoriales, cs posible que el matemhtico decida si la serie converge o no al examinar cuáles componentes dominan)) y cuhn rhpido el n-ésimo término tiende a O. Rara vez se escriben los criterios que se dan en los teoremas y es preciso adquirir habilidad en esta técnica. En los ejercicios se suministra la práctica.


RESUMEN

EJERCICIOS


7. Obsérvese que 1/11' Q I,/n(ln n) Q l / n para n 3 2, y (l/n') converge mientras que ( l /n ) diverge. Aplicar el criterio de la integral para demostrar que (I,'n(ln 11)) diverge, y memorizar este criterio con otras series de divergencia ya conocidas.

8. Aplicar el criterio de la integral para demostrar la convergencia de la serie xi- (I/n(In n ) ' ) .

Aunqcw ltr cmcrrgenc,icc o tliveryenc~ia de c d a . s t ~ i c dt' l o s c;jercicio.s Y 11 15 drhe tlecidirse p o r siemple inspeccicin. ccplicctr el criterio de Icc rozrin parr1 detcwninnr .si l r r serie converge o no.

I, I L

12. ~

( n + l)! = 1 100" + l o

( n + S)! 15. c n ' . n !

r, I

16. Es evidente que 11" > n ! para valores grandes de 11. Investigar si n" domina suficientemente / I ! para que C.'= n ! ; n n

sea convergente. a ) Demostrar que si 11 es par, entonces

[Sqerencio . Cuando se haya avanzado la ccmitad del camino de n!n, los factores de n! serin menores que ni23

b) Demostrar que si nesimpar,entonces n!/n" Q (+)(n-l"' = ( l /JZ)n". [Su- .qerenc,icc. Después de d legar a ( n - 1)/2n en n ! , la razón de los factores restantes de n ! a n es menor que (n - 1)/2n. ]

21.

23.

25.

27.

29.

31. f n - l

22.

24.

26.

28.

30.

32.

"- ( n + 3)! - ( n + l)! - 35- Al - 2" . ( n + 2)!

36. - ( n + 3)! - (11 + I ) !

"1 ( n + 4)!

39. c o m n! "-, 3

41. Aplicar ( 3 ) para estimar c.'= (l/n)3'2, como se ilustra en el ejemplo 4.


42. Sea f una fwcidn continua monótona decreciente para x 2 1, y sea u, /'(,I).

litilizar un diagrama semejante al de la fig. 10.1 para demostrar que para enteros I' y S, donde r < s. se tiene

[Nótese la semejanza de (7) con ( 3 ) del texto.]

43. Sea 1.'~ (1, una serie convergente de tkrminos n o negativos. donde ( I , = / ' ( n ) para una funci6n continua moncitona dccre- ciente] par<l Y 2 !. 4plicar ( 7 ) del cjerci-

cio anterior para demostrar que 21 procedimiento siguiente es válido para estimar la s u ~ n a d e la serie con exactitud L: > o.

Sea dado c > O. Hallar un entero I'

tal que t i , < c. Entonces la suma de la serie difiere de

u , + a2 + . . . + u, , + [=f(.x) dx

por, '1 l o sumo. t : .

44. Aplicar el ejercicio 43 para estimar la suma de la serie ck= , ( I / u 2 ) con exactitud 0. 1.


y la sucesión .s2,s4,.sh,.s8, ..., es monótona creciente. porque según (b) los tirrminos entre paréntesis son no negativos, ya que

s2, = a, + (a, + a3) + . . . + (a2n-2 -t a2,-,) + a2" (1)

y según (b), los téminos entre paréntesis en ( 1 ) son no positivos, y como

S 2 n 5 a , .

Así, s 2 . .S+ .Y(,, S,. ... es una sucesión rnoncitona creciente con cota superior y, por tanto, convcrge a un número c., según la propiedad fundamental (sección 10.3.3).

Se postula que c." Ir,, converge a c . Sea i: > O. Hallar N tal que 1 u , 1 < ):I2 para 17 > N y también I s Z n , - c , ~ < li.2 para 2 r ~ > N . Esto es posible por (c) y el phrrafo anterior. Si 11 es par y n > N. entonces /S, - c.1 < < c segiln se escoja N . Si !I es impar y 11 > A'. entonces

así

< O, se tiene

S,, = % + I - a,+,,

is,, - C J == l(Snil - c ) - a,+,/ 5 /S ,+, - c / + \ % + ] I 5 7 + - = E E €

2

por la eleccibn de N . Así (S , ! con\wge a c: por tanto, , (I,, converge y tiene ruma c. 0

Ejemplo 2. La .wr ie c l r w h n i c r r ~1ltrr.nadrr

1"+" ' .+" '+ . 2 3 4 5 ,

satislace todas las condiciones del criterio de las series alternadas y, por tanto, converge. ~

Para una serie alternada 1;- , 11, que satisface las condiciones del teorema 10.5, y tiene u, > O, se tiene

S , = a,.

S, = a, + (a2 + ad,

S, = a , + (az + a,) +- (a, + a,),

S , = S, + (a , + a,).


y la sucesión sl. s 3 , ss . S , . ... es monbtona decreciente, puesto que según (b) todos los términos entre paréntesis son n o positivos. Puesto que S ? , .y4. .y6, s 8 , ... es monótona creciente como se deduce de la demostracih del teorema. se ve que la sucesión ( S , )

de sumas parciales debe converger a de la manera oscilatoria que se indica en la fig. 10.2. Según dicha figura, es evidente que el error en la aproximación S, de la suma de la serie es menor que lo,+ I I. Este hecho es a menudo muy útil.

Se hace hincapié en que ( , L u / ~ I t m de ltrs tres condiciones del criterio de las series alternadas deben cumplirse antes de concluir que la serie es convergente. Se deja para los ejerclcios la construcción de ejemplos para demostrar que si una de esas tres condiciones no se cumple, puede hallarse una serie que satisfaga las otras dos pero que sea divergente. (Ver ejercicios 1, 2 y 3.)

10.5.2. Convergencia absoluta

Sea xi= L/ , una serie de términos positivos y negativos. La serie I N , , contiene solamente términos no negativos; es posible aplicar algunos de los criterios que se desarrollaron en las secciones anteriores a Xir. !o,,! para establecer su convergencia o divergencia. El teorema siguiente demuestra que si xiz1 10,1 converge, entonces (I, también converge. Es importante observar que si

Iu,I diverge, entonces 1;. (I, puede ser divergente o convergente. Esto se ilustra con el siguiente teorema.

Teorema 10.10 ( Critc~io t i c /ir [ , o r ~ 1 ~ c ~ / . ( ~ l ~ ~ 7 [ , j ~ / a h s o l u t t r 1. Secl o, um .sclrir i t?/ ini( t / . Si ci, It / , , U U I W I ~ P , cv7tor1c~'s c;~ (1, c~orlrr~r.(qr.

Denmrrtlcitin. Se define una nueva serie u,, a l reemplazar los términos negativos de (/,, por ceros, y una nueva serie 1;- L., al reemplazar los términos positivos por cero en un. Es decir, se tiene

Obsérvese que I / , = e;=.! ( u n + r , ) . Supbngase que xi: lo,/ converge. Ahora bien. I u, es una serie de términos

no negativos y 1 1 , ,< l ( r , I , así 1;- u,, converge según un criterio de compal-acibn. De manera aniloga, ( - r,,) es una serie de tt'rminos no negatikos y - r n < l ( / " I . así 1;: ( - I . , ) converge también según un criterio de comparacibn. Entoncks. se halla que la serie ( - I ) 1;- ( - r , , ) = I', converge y. por tanto. la serie

converge. Esto es l o que se desea demostrar. 0


Ejemplo 3. La serie

1 1 1 1 1 1 1 1 1+""+-+""+"+ "" + . . .

con dos términos positivos, seguidos de un término negativo, no satisface el criterio de las series alternadas. Sin embargo, la serie es convergente, puesto que la serie correspondiente de valores absolutos es x:= ( l /n2 ) , cuya convergencia se conoce. / I

De nuevo se hace hincapié en que el criterio de convergencia absoluta no indica nada acerca del comportamiento de x,"= a, si IzL la,l diverge. Como ilustración, la serie 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... y la serie correspondiente 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... de valores absolutos divergen, puesto que los n-ésimos términos no se acercan a cero. Sin embargo, la serie armónica alternada

2 2 32 42 5 2 62 7 2 8'2 92

1 - L + L - L + L - l + . . . .

converge (según el criterio de la serie alternada), nlientras que la serie de calores absolutos correspondientes es IN serie armónica

2 3 4 5 6

l + L + L + L + ! + ' + . . .

que diverge. A continuación se describe la terminología que se utiliza en este contexto.

2 3 4 5 6

Definición 10.7. Una serie x."= a, converge absolutamente (o es absolutamente convergente) si la serie x,"= la,l converge. Si En*= a, converge y I u , ~ diverge, entonces x,"= a, converge condicionalmente (o es condicionalmente convergente).

Ejemplo 4. Toda serie convergente de términos no negativos es absolutamente convergente, puesto que es idéntica a la serie correspondiente de valores absolutos. / / Ejemplo 5. La serie c."= ( - I)'(I,'n!) es absolutamente convergente, puesto que x,"= ( l / n ! ) converge. La serie armónica alternada cnJ= ( - 1)"( I/n) es condicionalmente convergente, puesto que, aunque converge, la serie de valores absolutos X,"= ( l / n ) diverge. 1 1

RESUMEN

1. Una serie alternadu es la que contiene terrninos positicos y negatiros alternadamente.

2. Criterio de las series alternadas: Sea x,"= a, una serie tal que

a) La serie es ulternada. b) lan+ I < Ian[ pura todo n.


!


d) Si El= l(lnl diverge, entonces x:=, a, f) Toda serie alternada convergente es es condicionalmente convergente. condicionalmente convergente.

c) Toda serie alternada converge.


23. Hallar la suma de la seriexl= (- l)"(l/n3) 25. Hallar la suma de la serie c.*= I (l/n') con con error menor que 0.001. error a lo sumo igual a 0.001. (Ver ejer-

24. Hallar la suma de la serie (- I)"(l/nz) cicio 43 de la sección 10.4.) con error menor que 0.001,


Definir qué significa a, = c.

Hallar el límite de la sucesión dada si converge o si tiene como límites x o - m,

Hallar la suma de la serie

si la serie converge.

E x p r e s a r e l d e c i m a l r e p e t i t i v o 4.731313131 ... como una fracción.

En los problemas 5 y 6 , clusijicar /us series como convergentes o tlivergentes y justificar las rc'spuestas.

7. Aplicar el criterio de la integral para establecer la convergencia o divergencia de

" 1

, 4 F z . 8. Escribir el criterio de la razón para esta-

blecer la convergencia o divergencia de

n - I

En los problemas 9 a I O , clasificar /as series cotno ubsolutumente convergenres, condicionul- mente converyentes o dicergentes y justificur la respuestu.

9. a

, , = I n -3'L


1. Dar una demostración E , N de la conver- 2. Hallar el límite de la sucesión dada si gencia de la sucesión {(n - I)/n}. converge o tiene como límites cc) o - m.


a) ( & S } 3 n - 7

3. Una pelota tiene la propiedad de que cuando cae rebota de la altura del salto anterior. Hallar la altura desde la cual debe botarse la pelota para que reco- rra una distancia total de 60 m.

4. Si es posible, hallar r tal que la suma de la serie

3 - 31 + 3rZ - 3r7 + . . . t ( -I )"3r" + . . . sea l.

En los proh/ema.s 5 J' 6 , clasificar las series c'omo conwyenres o tiir:cvyrntes J' ,justificur Ius

respuestas.

6. a)

7. Aplicar el criterio de la integral para establecer la convergencia o la divergencia de

n 2 + sen n b) c-- I

n = l n4 + 3n = cos'n

n z + 1 '

8. Escribir el criterio de la razón para establecer la convergencia o divergencia de

m n ! ,, C" -, 100"

Problemas más dificiles 10

1. Una sucesión (t,) es monótona decreciente si t,+ < t, para n = 1, 2, 3, _.. Su- poner la propiedad fundamental de los números reales postulada en el texto para demostrar que una sucesión monó- tona decreciente {t,) converge a un nú- mero tl o lím".+ x t. = - cc.

2. Demostrar el teorema 10.3. [Sugerencia. Sea S, la n-ésima suma parcial de C;= u., y r. sea la n-ésima suma parcial de x;= h,. Deducir que existen un entero N y un número c tales que t. = s , + ~ + c para n > N y demostrar que si {S"} converge a a, entonces {t.) converge a a + c.]

3. Generalizar el teorema 10.6 como sigue: Sean c."= a. y E= h, series de términos no negativos con a,, # O para valores suficientemente grandes de n. Demostrar que si existen constantes m > O y M > O

tales que m < h,/a. < M para todos los valores suficientemente grandes de n, entonces ambas series convergen o ambas divergen.

4. Una sucesión {S"} es una sucesidn de Cauchy si para todo E > O existe un entero N tal que

IS" - .S",] < I: siempre que n > N y m > N se cumplan. Demostrar que toda sucesión convergente {<S"} es una sucesión de Cauchy. (La recíproca es también verdadera pero más dificil de demostrar.)

Dadas dos series se dice que una es un reordenamiento de la otra si las dos contienen exac- ramente los mismos términos, pero no necesariamente en el mismo orden. Los ejercicios restantes se relacionun con este concepto. Se demuestra que la reordenación de una serie absoluta-


ntente concergente no altera su convergencia 5. Converge a 17. o divergencia, o su suma si es concergente. Sin embargo, sea c."; a. una serie tal que 6. Converge a -50.

a,, = O y tal que la serie C."= u, de términos no negativos ( y ceros) y la serie C."=, v, de términos no positivos (y ceros), 8. Diverge a - co. que se definen en la demostración del teorema 10.10, sean ambas divergentes. Describir In 9. Diverge y tiene Sumas parciales que ere- construcción de un reordenanliento de X,"= an cen alternadamente a > 15 y decrecen que tenga el comportamiento dado. a < -6.

7. Diverge a co.

11 de potencias

11.1. SERIES DE POTENCIAS

11.1.1. La función representada por una serie de potencias

Las series de potencirrs estin entre las nxis importantes: la mayor parte del trabajo se harB con dichas series, Las series de potencias son precisamente los ((polinomios infinitos)), mencionados al comienzo del capítulo 10. Se ver;, por ejemplo, que

para todo valor de x. Se veri también que

para todo x tal que O < x < 2. L a serie para sen .Y cs de potencias de S == (x - O), la serie para l/x es de potencias de ( x - 1).

Es conveniente cambiar ligeramente la terminología y considerar el término constante a, de (1) como el t4rmino O de l a srrie. y a,(s - .x,)" como el tc'rnliuo n. Con esta convención, el u-ésimo término de una serie de potencias se convierte en el término con exponente n.

Para todo valor de x. la serie de potencias (1 ) se convierte en una serie

SERIES DE POTENCIAS 355

de constantes que pueden o no converger. La suma de una de tales series convergentes de constantes varía generalmente con el valor de x y es una función de x. Esta función es la,función suma de la serie. El conjunto de todos los valores de x para los cuales la serie de potencias converge, es el dominio de !a juncibn suma que la serie dej!fine; el valor de la función en cada punto es la suma de la serie para dicho valor de x.

La serie de potencias (1) se considera como un intento de describir localmente una función, en la vecindad de .uo; por traslación de coordenadas con A x = x - xo, la serie se vuelve c."=o a, (Ax)". L a serie (1) converge para x = xo, puesto que en x. se vuelve

a, + a , . o + a,.O + * - . + a, - 0 + s . . ,

que converge a ao. Es posible que éste sea el Único punto para el cual la serie converge, como se muestra en el ejemplo siguiente, pero tales series carecen de importancia.

Ejemplo 1. La serie n!x" converge sólo para x = O, puesto que el criterio de la raz6n muestra que para a # O, la serie c."=o n!u" diverge. / /

11.1.2. El radio de convergencia de una serie de potencias

El siguiente teorema demuestra que la región de convergencia de una serie de potencias de .uo tiene como centro a xo. El teorema se enuncia y se demuestra para el caso donde x. = O, es decir, para una serie a,x". Ver el comentario que sigue a la demostración del teorema.

Teorema 11.1. Si una serie de potencias c."=o u,x" converge para x = c # O, entonces concerge clhsohtcrrnente para todo .Y tu[ que 1x1 < IcI. Si la serie diverge en x = O, entonces la serie tiirerye paru todo .Y tal que 1x1 > I d / . Denlostrucidn. Supóngase que a,cn converge y sea Ihl < Icl. Puesto que c."=o a,c" converge. se tiene que ]ímn.. )I q,cn = O: particularmente, la,c"l < 1 o

para n suficientemente grande. Se obtiene entonces

para n Suficientemente grande. Recuérdese que se supone 1hlc.l < 1. Así, la serie I I J , , ~ ~ ~ es menor, término a termino, que la serie geometrica convergente Ih;cl" para n suficientemente grande; por tanto, ~ ~ = = o la,,h"/ converge según

el criterio de comparación. Así se demuestra que cAr=o a,x" converge absolutamente para todo s tal que 1x1 < lcl.

356 Cc(LCUL0 CON GEOMETRíA ANALíTICA

I A aserci6n relativa a la divergencia es, en realidad, la contrapositiva de 13

proposición que se demostró para la convergencia. Supóngase que C;-o diverge, y sea 1/11 > It//. La convergencia de ci=~o u n h n implicaría l a convergencia de ~ / , e l ~ , según la primera parte de l a demostración. Pero esto contradice la hipcitesis, así que onhn también diverge.

El teorema se enunci6 y se demostr6 para una serie de potencias de .yo = O. Inmediatamente se desprende del teorema que si Edro u,(A.~)n converge para A x = c , entonces l a serie converge para IA.YI < 1 ~ ~ 1 . Si se escribe A.Y = S - .xo como de costumbre, se ve que si la serie cito ( I , (.Y - .xo)" converge para .Y = .xo + c., es decir, para A.Y = c. entonces conxrge para todo .Y tal que /.Y - .xo/ < 1c.I.

El corolario siguiente merece especial atencibn dada su importancia. Una demostracihn rigurosa depende de una propiedad bisica de los números reales que no se da aquí.

a ) ILL/ serie l'otlrrtye t'll .Yo SO/I/t?lf'llfe.

b) Ll1 s r r i c ~ conwtye purr/ t odo .Y.

c) Existe I' t a l que / u srrie conrcvyc pur(/ !.Y - .xo/ < I., c s e/ccrr, perro .YO - I' < .x < x 0

+ r , J' r/irer<gc> ptrra / S - .Yo/ > I'.

El número I' que aparece en el caso (c) del corolario es el radio de convergencia de la serie. Es natural decir que el radio de convergencia es igual a O para el caso (a ) , e K, para el caso (b).

Para el caso (c), el comportamiento de la serie en los extremos del intervalo .xo - I' < S < .yo + I' depende de cada caso individual; algunas series convergen en ambos extremos, otras divergen en ambos extremos. y algunas convergen en un extremo y divergen en el otro.

Ejemplo 2. La serie o S" cs la sct-ir yeom;fric~ll, y según l o s resultados del capítulo 10. converge a 1/(1 - .Y) para /.xi < 1. El radio de convergencia de la serie es 1. La serie diverge para Y = 1 y .Y = - I , puesto que el n-ésimo término no se aproxima a O cuando t? 4 T en dichos puntos. ~j

El radio de convergencia de muchas series de potencias se calcula utilizando el criterio de la razón. La técnica se ilustra mejor con ejemplos. Según el teorema 1 l . 1, si una serie de potencias converge para .x - .xo = c, converge absolutamente para /.Y - Y o / < Icl; por tanto, se calcula el límite del valor absoluto de la raz6n.

Ejemplo 3. Hallar el radio de convergencia de la serie


SOLUCIÓU. El valor absoluto de la razón del (11 + 1)-ésimo al n-ésimo término es

El límite cuando I I tiende a es

Así, la serie converge para I - Y ~ < 1 o para 1 . ~ 1 < 2. Por tanto, el radio de convergencia es igual a 2 y la serie converge por lo menos para - 2 < x < 2.

Para ver qué sucede en el extremo 2 del intervalo -2 < S < 2, se examina la serie

r .

Esta es la serie armónica, que es divergente. En el extremo - 2 se obtiene la serie

que es la serie armónica alternada, convergente. Así, la serie converge para - 2 < x < 2. Este es el intervalo de convergencia de la serie. 1 1

El ejemplo 3 ilustra el procedimiento habitual para hallar el radio y el intervalo de convergencia de una serie de potencias cuando existe el límite de la razón. Las dos series de constantes que corresponden a los extremos del intervalo deben examinarse separadamente. Se hace hincapié en que el criterio de la razón nunca determina el c,onlportamiento en los extremos del interculo tie concergencia, puesto que el límite de la razón es 1 en tales extremos.

Se da un ejemplo para una serie de potencias en un punto x. # O.

Ejemplo 4. Determinar el intervalo de convergencia de la serie

que es una serie de potencias para x. = 3.

S O L U C I ~ N . Se obtiene para la razón

358 CALCULO CON GEOMETRíA ANALiTiCA

Se tiene

Esta serie conwrge. Se obtiene la misma serie en 3 + de modo que la serie converge en ambos extremos y el intervalo de con\urgencia es

8-

~~

j 3 ~ \ 5 . j i \ 51.

("on u n POLO de ?rhctica es posihlc dar el intervalo de convergencia dc l a serie del ejemplo 4 sin necesidad de c;:lcular la raz6n. El u-ésimo ti-rminn es

y la 11' es desprcciable en comparacih con las potencias n-ésimas; un polinomio en I I

contribuye siempre con un factor de 1 en el limite de una raz6n. Así, la serie serA convergente para /.Y - 312 < S o para [.Y - 31 < \/x. La t1' del denominador h a r i converger la serie en los extremos. Los ejercicios brindan la oportunidad de practicar tales argumentos (ver ejercicios 9 a 17).


3 . El radio de conceryencim r de unu serie de potencias se halla u menudo así:

i) Se establece el valor absoluto de la razón del (n + l)-ésinlo término dividirlo

ii) Se culcula el línzite de la razón cuando n "+ m. iii) El limite resultante se hace < 1. iv) Se resuelre la rlesiguuldad resultuntr para [x - xoI, para obtener una

expresión (le la,formtr \.Y - x 0 ) < r . El radio de conwryencia es, entonces, r .

4. Puru rleterminar el interralo de conrwgencia de una serie de potencias de x0 des- pués de determinar el radio r de conrercqencia, se hacen las sustituciones x = x. - r y x = x. + r pura obtener dos series de conituntes. Se establece IN. concergenciu de tales series para tlcterrl~inur curiles de los extrernos x0 - r , x. + r deben incluirse con /x - x,,( < r para obtener el intervalo de convergencia. N o debe aplicurse el criterio de la razdn pura ius series de los extremos, puesto que l u ruzdn límite sienlpre serri 1.

por el n-ésimo término.

13.

25.

16.

= ( x + 4)"'l

,, ~I n ' . 3" "" 14.

c ,, I V G

(-2)"(x + 3)""

2 ?(x - 2)*"

n -o n !


11.2. FORMULA DE TAYLOR

11.2.1. El polinornio de Taylor de grado II

Seaf'(r) una funci6n definida en una vecindad de x,, es decir, en S, -- !I < .y < .y, + /I

para algún h > O, y sup6ngase q t ~ e f""'(\-0j existe. Es necesario hallar el polinomio g(x) = a,, + al(x - x,)) + a2(x - x,J2 + . . . + a,,(x - x,,)"

de grado )I en X,, que es la mejor aproximación de ,/'(.Y) en l a vecindad de .yn.

Se requiere que q ( r o ) =.f'(.uoj y que </'(.yo) = f"(u,). para que las funciones tengan igual pendiente en S,. También se requiere que q " ( s 0 ) =,/"(.yo). para que las razones de cambio de las pendientes sean las mismas; entonces las grificas se curvarhn o se doblarin a la misma razón en .yo. T a m b i h es razonable requerir que <](-Y) tenga en lo posible los mismos valores que /'(,y) para las derivadas en .yo.

Para que esto sea verdadero, se determinan los coeficientes (1,. (1 (12. ..., u,. Fhcilmente se halla que

g(x) = a0 + U,(X - xg) + a*(x - X,)' + . . 1 + a,(x - xO)'',

g'(x) = a , + 2a,(x - X(,) + 3a,(x - x,,y + . . . + na,(x - X,)",

~ " ( x ) = 2a, + 3 * 2a,(x - x,,) + . . . + n ( n - I)a,(x - x,)"-',

g'"'(x) = n ( n - l ) ( n - 2 ) . . . 3 . 2 . 1 . a, = n!a,. Entonces

g y X J = n!a,. Se igualan con las derivadas correspondientes de / ( x ) en .xo para obtener

f(xo) = a(), f'(xo) = a , , f"(xo) = 2a,, f"'(xg) = 3!a,, . . . , f'"'(x,) = n!a,,

lo que conduce a

a, = f(x,>, a , = f'b"),

1 a2 = 5 f"(x,),


Definición 11.2. El polinomio

es el n-ésimo polinomio de Taylor para f(s) en xo. [Se define .f’“’(.~) = , f ’ (-u) y O ! = 1 para incluir el término constantef(x,) en la suma formal.]

En la definición anterior, se habla del ccn-ésimo polinomio de Taylor)) en lugar del ccpolinomio de Taylor de grado n ~ , ya que es posible tenerf‘”’(xo) = O tal que el grado de T,(x) es < n. Estos polinomios se llaman así en honor del matemático inglés Brook Taylor (1685-1731).

Naturalmente, el polinomio TJx) depende tanto d e f y x, como de n, pero una notación más precisa tal como d0T,,f(x)n sería demasiado complicada.

Ejemplo 1. Hallar el polinomio de Taylor T7(x) para la función sen x en x. = O.

SOLUCION. Se calcula sen (O) y las derivadas de orden < 7 de sen x en x0 = O. Paraf’(x) = sen x, se obtienef(0) = sen O = O, mientras que

f’(0) = cos o = 1, f”(0) = -sen0 = O, f”’(0) = “cos O = -1 , f’”(0) = sen0 = o.

En este punto se observa que f ” ( x ) ={(x) = sen x, y las derivadas comienzan a repetirse. Entonces, las derivadas de sen .x en O, a partir de la primera, son

1 , 0 , - 1 , 0 , 1 , 0 , - 1 , 0 , 1 , 0 , - 1 , 0 , . . . prolongándose tanto como se desee. séptimo polinomio de Taylor es

O 2!

T,(x) = O + 1 * x + - x2 + - x3 x5 x7 -x“+“-

3 ! 5! 7! .

Puesto que x. = O, se tiene x - x. = x, y el

-1 O 1 O -x3 + - x 4 + - x 5 + -x6 + -x7

-1 3 ! 4! 5 ! 6! 7 !

II Ejemplo 2. Hallar el polinomio de Taylor Ts(x) para la función cos x en x. = 71.

SOLUCI6N. Como en el ejemplo 1, se encuentra fácilmente que cos 71 = - 1 y que las derivadas de cos x en 71, a partir de la primera, son

0 , 1 , 0 , - 1 , 0 , 1 , 0 , - 1 , 0 , 1 , 0 , - 1 , . . .


prolongindose tanto como se desee. Se eliminan íos términos de coeficientes O, y se obtiene el polinomio

T,(x) = -1 + (x - 7 r )2 (x - 7r)4 (x - 7rP (x - 7ry

2! 4! 6! 8! - + ____ -

' / I Ejemplo 3. Hallar el quinto polinomio de Taylor TS(x) en .yo = O para f; donde /'(.Y) = 1 ! ( I - x) = ( 1 - .x)- 1.

SOLL'CION. Se hallan las derivadas

f'(x) = (1 - x)-2,

f"(x) = 2(1 - x)-:*,

f"'(X) = 3 . 2(1 - X)-" = 3!(1 - f " ( ~ ) = 4!(1 - X)-',

f"(x) = 5!(1 - X)-', etc.

Así, las derivadas def en O, si se comienza desde la primera derivada, son

l ! , 2!, 3 ! , 4i, 5!, 6!, 7 ! , 8!, . . . prolongándose tanto como se desee. Puesto queJ'(0) = 1, se obtiene

2! 3! 4! 5! 2! 3! 4! 5!

T,(x) = 1 + x + - x2 + - x3 + - x" + - x5

= 1 + x + x 2 + x3 + x" + x'

como el quinto polinomio de Taylor. 1 1

11.2.2. Teorema de Taylor

Sean,f'(x) y .yo como se describieron en el último artículo, de modo que se puede considerar el polinomio de Taylor T , ( x ) . Se espera tener

para x próximos a xo. Es interesante considerar la exactitud de esta aproximación. Se espera que el error E,(x) dado por

sea pequeño si x está próximo a .yo. El teorema siguiente suministra información sobre la magnitud de E,(x), razón por la cual es de gran importancia.

Teorema 11.2 (Teorema de T a y l o r ) . S e a f ( x ) una función definida para x. - h < S < .yo + h y seu &(x) =,f(.u) - &(x). Si las dericcrdus de orden < n + 1 existen


en todo e1 intercalo, entonces, pura todo x del intercalo existe un número ( 8 que depende de x que está entre x J' x0 (para x # xo) tal que

La demostración del teorema de Taylor se difiere hasta el final de esta sección. El teorema es muy f k i l de recordar. Para ,f; x y xo, como se han descrito, se tiene

Obsérvese que &(x) es precisamente lo que se obtendria para al término ((siguiente)) de grado n + 1 en el polinomio de Taylor x, ](.x), exc'epto que la rlericuda,f("+" se culcula en ulgún de coordenadas.

donde O < Ihl < La magnitud

I' entre x. y .Y y no en xo. Obsérvese también que por traslación E,(.Y) se convierte en

\Ax\ si Ax # O. del error en la aproximación def(x) por T , ( x ) se mide por IEn(x)l.

Hay dos razones por las cuales se espera que IE,(x)l sea pequeño para valores grandes de n y para valores de x próximos a xo. En prirrzr lugar, si el valor de n es grande, entonces el número (n + l ) ! del denominador de &(x) es grande, lo que hace que lE,(x)l sea pequeño. En segundo lugar, si la distancia de x a x. es menor que 1, es decir, si [x - xoI < 1, entonces Ix - xOlnC1 se hace pequeño cuando n se hace grande. El Único obstáculo que puede surgir es que / f ("+')(c)] se vuelva demasiado grande y predomine sobre la magnitud pequeña de ) x - x 0 l n + ' / ( n = I)! para valores grandes de n. Sin embargo, esta anomalía no ocurre en muchas funciones. Por ejemplo, s i f (x) = sen x, entoncesf'"+" es siempre una función seno o coseno, de modo que I f ( " + "(c)l < 1 para todo n y todos los números c.

Se ilustran algunas aplicaciones del teorema de Taylor. Por lo general el interés se centra en obtener una cota B para la magnitud de &(x), es decir, se trata de encontrar un número B > O tal que

Ejemplo 4. Utilizar una diferencial para calcular m aproximadamente y hallar una cota para el error.

S O L U C I ~ N . Sean ,/'(x) = X I " , x. = 100 y dx = 1. La aproximación utilizando una diferencial es simplemente


Puesto quef'(x) = (1/2).x- 1:2, se obtiene

" 1 1 1 Tl(lO1) = J l O O + - . -. 1 = 10 + - = 10.05

2 o 2 6

como aproximación para F 1 . Ahora bien,f"(x) = ( - 1 / 4 ) . ~ - ~ ~ * , así que por (2) con II = 1,

para algún c tal que 100 < c' < 101. Pero para tal (', los mayores valores de 1 , ~ " " deben ocurrir donde c3'2 tiene los valores más pequeños, es decir, para c. muy próximo a 100; por tanto

1 1 1 "

c31z 1 0 0 7 ' 2 1 ooo . <""- -

Asi IE,(101)1 < A . == 1 0.000125

Por tanto, la aproximación 10.05 para $Ó¡ tiene exactitud de por lo menos tres lugares decimales. 11

El ejemplo anterior ilustra el ccproc.eclinliento ripico)) para hallar una cota en .&(x). Como no se conoce u n ralor exacto de (~ , se intenta hallar el nlciuinlo ~wlor posible que I , f ( " + "(c)l puede tener para cualquier del i n t e r t d o de .xo a x. Si es dificil hallar el valor mhximo exacto de l j ' (n+')(c)l , entonces se halla la mejor cota fácilmente computable para / , f ( "+ ')(c)/. El ejemplo siguiente ilustra la técnica una vez más.

Ejemplo 5. Supóngase que se utiliza el polinomio de Taylor T7(x) para j ' ( . ~ ) = sen x en x. = O, que se halló en el ejemplo 1 para estimar sen 2 = sen (71190). Sin necesidad de calcular la aproximacibn de sen 2 - , hallese una cota para el error.

SOLUCION. El error es E,(n/90). Puesto que ,f(*)(.u) = sen S , es necesario estimar lsen CI para O < c < 71/90. Para tal c', se tiene

senc < sen-, I r

9 o pero naturalmente no se conoce el valor de sen (x/90); que es el que se trata de hallar. No obstante, sen ( ~ / 9 0 ) < sen (n/6) = i, así que [sen C I < t. Si se utiliza la aproximación n/90 < &, se tiene según (2), con n = 7,

Así el error es muy pequeño.


La cota mejora si se observa que T'(x) = &(x) para sen x en 0. Así, E ~ ( x ) = E ~ ( x ) , pero como la fórmula (2) para E,(x) es diferente, hay posibilidad de obtener una cota mejor. La 9." derivada de sen x es cos x y /cos cI < 1 ; por tanto,

Ejemplo 6. Supóngase que se desea aproximar sen 46" aplicando el polinomio de Taylor &(x) para.f'(x) = sen x en x. = 71/4. Hallar el valor de n tal que el error en la aproximación sea menor que 0.00001.

S O L U C I ~ N . Se necesita que lEn(467c/180)1 < 0.00001. Puesto que todas las derivadas de sen x son n & sen x o f c o s x, se tiene I f ' " ' ')(c)/ < 1 para todos n y c. Como x - x. = q'180, se tiene, según (2)

Puesto que (7c/180) < (liso), seguramente se tiene

Se ensayan algunos valores de n y se concluye que para n = 2, se obtiene

1 1 1 lEzE)l < (3!)(53)(103) (6)(125)(1000) 100000 - <- -

= 0.00001.

Luego, para conseguir la exactitud deseada se utiliza n = 2. I / El ejemplo anterior indica cómo se construyen las tablas de las funciones

trigonométricas. Igualmente, en lugar de ocupar espacio en la memoria de un computador electrónico para almacenar tablas de funciones trigonométricas, el fabricante construye un programa en el computador para estimar los valores de dichas funciones a medida que se necesiten, como se llevó a cabo en los ejemplos 5 y 6.

11.2.3. Demostración del teorema de Taylor

Demosrrución. El teorema es evidente para x = xo. Sea x # xo, donde x. - h < x < x. + h ; se considera que x permanece fijo durante toda la demostración; en particular, x se trata como constante en cualquier derivación. Sea

f'"" (n + l)! . . -___ n ! (x - X 4 (x - X(Jn+l


Si se hace

entonces se ve que A se escogib de tal manera que F(.u,) = O. Obsérvese que F(.Y) = O también. Por aplicacih del teorema de Rolle a F ( r ) . se deduce que F ( c ) = O para algún c entre .xo y .Y. Ahora bien.

En esta expresi6n para F'(r) se cancelan muchos términos; en efecto, el primer término de todos los parhtesis cuadrados se cancela con el último del paréntesis cuadrado precedente. Después de todas las cancelaciones, queda solamente

luego

Si se iguala esta expresibn para A con la definición original de A. se tiene


Se despejaf'(.v) para obtener

que es lo que postula el teorema de Taylor.

RESUMEN

EJERCICIOS


4. T2(-x) para tan x en x,, = O

S. T&) para I1.x en x. = 1

6. T,(x) para ,,).x en ,xo = 4.

7. a ) Hallar el polinomio de Taylor T7(s)

b) Comparar la respuesta de a) con el

7

para sen 2.x en Y,, = O.

ejemplo 1. ¿,?u6 se observa?

8. a ) Hallar el polinomio de Taylor &(.x)

b) Comparar la respuesta de a ) con el

c) Averiguar el polinomio de Taylor

para sen x' en .xo = O.

ejemplo 1, como en el ejercicio 7b).

T,~(.Y) para sen Y' en .xo = O.

9. a) Hallar el polinomio de Taylor 7;(x) en yo = O, para ] / ( I - u').

b) Comparar la respuesta de a) con el ejemplo 3. ;,Qué se observa?

IO. a) Hallar la forma del polinomio de Taylor T'(2 + A x ) para .x2 en x. = 2, en traslación de coordenadas.

b) Se traslada el sistema de coordenadas a .xo = 2 tal que x = 2 + A s . Expre- sar el polinomio x' = (2 + Ax)' como un polinomio en Ax. Comparar esta respuesta con la respuesta de a).

11. [Las parres a) y b) de este ejercicio suministran un método para hallar T2(x) para f ( x ) = .x2 + 3x + 5 en x. = 1 Sin derivación.] a) Sustituir x por 1 + Ax en el polino-

mio x* + 3x + 5 y desarrollar el polinomio resultante en potencias de Ax para obtener la forma de T,(1 + Ax) en .xo = 1, en traslación de coordenadas.

b) Sustituir Ax por x - 1 en el polinomio T2(1 + Ax) que se hall6 en a).

c) Hallar T20(x) para .x2 + 3x + 5 en x0 = 1.

12. Demostrar que si f es un polinomio de grado r, entonces T,,(x) = T,(x) en cualquier punto x. para r1 2 r.

13. Sean 1' y g funciones con derivadas de orden < 11 en O. y sea !](x) = .f(c.x). De- mostrar que si T',(.x) es el n-ésimo polinomio de Taylor para f en O. entonces 7.(c.x) es el n-ésimo polinomio de Taylor para g en O.

14. Sean .f y funciones con derivadas de órdenes < n en .xo. Demostrar que el n-ésimo polinomio de Taylor para f + c) en x es la suma de los polinomios de Taylor para,f y $1 en SO.

15. a) Estimar (2.98)' utilizando una di-

b) Hallar una cota para cl error en la ferencial.

estimación anterior.

16. a) Estimar 3% utilizando una dife-

b) Hallar una cota para el error de la rencial.

estimación anterior.

17. a) Estimar el cambio de volumen de un silo cilíndrico de 20 pies de altura si el radio crece de 3 pies a 3 pies 1 pulg, utilizando una diferencial.

b) Hallar una cota para el error de la estimacibn anterior.

18. Hallar una cota para el error cometido al estimar cos 3" por T&) en x. = O, si : a) Se halla una cota para E8(n/60). b) Se halla una cota para E9(n/60).

;Por qué puede utilizarse E9(x/60) como una cota para el error' en TS(n/60)?

19. a) Estimar tan 2" utilizando el polinomio de Taylor T2(x) en x. = O.

b) Hallar una cota para el error en la estimación anterior.

20. a) Estimar + (0.96)' utilizando dos polinomios de Taylor de grado 2.

b) Hallar una cota para el error de la estimación anterior.


11.3. SERIES DE TAYLOR; REPRESENTACION DE UNA FUNCION

El teorema de Taylor sugiere que para una función que posee derivadas de todo orden en una vecindad de .xo se considera la serie

11.3.1. Series de Taylor

Esta es la serie de Taylor de !(x) en xo. [Si .xo = O, la serie se denomina serie de Maclaurin de .f'(x).]

Cuando se habla de ((la serie de Taylor de .f' en .xo)), se entiende que f tiene derivadas de todo orden en alguna vecindad de xo. La serie de Taylor de una función f e n x. representa precisamente ,f' en xo; es decir, converge a !(xo) en .xo. Por desgracia, no siempre es cierto que la serie de Taylor represente a f en toda la vecindad. En casos extremos, la serie puede representar .f únicamente en el punto xo. Puede demostrarse que la función j 'que se define por

para x # O, para x = O,

posee derivadas de todo orden en todo lugar; puede demostrarse, en particular, que f'"'(0) = O para todo n. La serie de Taylor de ,f en x. = 0 es, por tanto,

o + o x t ox2 t ox' + . . . + Ox" + * . . . que sólo representaf en O.

Una condición necesaria y suficiente para que la serie de Taylor de ,f' en x. represente f en un punto .x1 # x. se obtiene ficilmente del teorema de Taylor.

Teorema 11.3. Supdnguse quqftiene dericadas de todo orden en ,xo - h < .x < x. + h. La serie dc Tccylor de f en .xo representu ,f en x,, donde x. - h < x, < .xo + h si y sólo s i límn+z E,,(.xl) = O, donrle

es el tt'rmino del error erl el trorenza de Taylor.

Demostrac;ón. Para la serie de Taylor, la n-ésima suma parcial S,, en x = x1 viene dada por

Por el teorema de Taylor, se tiene


Ejemplo 1. Todas las derivadas de la funcibn L' son de nuevo t ~ ' . y la serie de Taylor de CJ' en .Yo = O es >I,' o ( . Y n , ' t I ! ) . Puesto que e' es acotada por eh en todo intervalo -/I < .Y < h. cl corolario muestra que la serie converge :I ('* para todo .Y:

es decir.

para todo x. Esta serie para t>". de frecuente ocurrencia, se debe memorizar. ~

Ejemplo 2. Las derivadas de seno y coseno son de nuevo funciones seno y coseno. cuya cota es 1 en todas partes. L a serie de Taylor para estas funciones en cualquier .Yo. l a s representa. por tanto. cn cualquier otro lugar. A I calcular la serie de Taylor en .yo =y O, ficilmente se vc que

para todo x. Estas series tambikn se deben memorizar. : '

11 3.2. Derivación e integración de series de potencias

Se regresa a l estudio de las fLlnciones. que se representan por series de potencias de .yo en una vecindad de .Y(). Estas func:ioncs s o n m u y importantes y se dice que son analíticas en .xo. Una funci6n es aualítica si l o es en todo punto de su dorninio.


Ejemplo 3. Los ejemplos I y 2 muestran que las funciones e". sen x y cos X son analíticas en S,, = O. Por argumentos análogos se demuestra que las funciones son analíticas en todo punto. 1~

Se puede demostrar que si ,f es analítica en .yo y se representa por una serie de potencias en todo .xo - I' < .S < s o + r. entonces j ' e s analítica para todo punto de .YO -- r < .Y < S O + I'. Así, puesto que las series de Taylor para r " , sen .Y y cos S en .yc = O representan estas funciones para todo Y , se ve de nuevo que estas trcs funciones son analíticas para todo punto.

El chlculo de las funciones analíticas (trpolinomios infinitos))) se parece mucho al cilculo de las funciones polinómicas. Si j ' es analítica en xo, entonces .f tiene derivadas de todo orden en .yo, y estas derivadas pueden computarse en so por derivaci6n de la serie que representa ,f; tal como se derivaría un polinomio. Las antiderivadas se ha!lan de manera análoga. El teorema siguiente formaliza lo anterior.

Teorema 11.4. Secr,f'lrr~u fkncidn unoliticu en s o se(^ o u,(s - .xo)n la rrpresecn- tucich ~ l c , f ' r ~ l s o - I' < .S < .to + r. Etltonc.csf'tierw dt~rircrdus de torln orden on totlrl PSIU rcc:intltrd, y las derir(rc1a.s en cuulquier .Y tie Icr rrc~intlarl se l l ~ ~ l l a n por cleritut,icin (Ir lo ~seric) t h l i n o (1 tkrmitw. Por c.jernplo.

d o r ~ t l c C' c's 1111~ cmlsttrrrtr urhi t~.~~riu.

Ejemplo 3. Se puede comprobar k i lmentc que la seric (1) para e" no cambia al derivarla, y la serie ( 2 ) para sen .Y se conlicrtc en la serie (3) para cos S despuks dc la derivación.

Ejemplo S. La funcibn 1 í ( I - .Y) es analítica en O, ya que la serie geométrica x,'= o .Y" converge a 1 I ( 1 - .Y) en - 1 < .Y < I . Luego,

1

es analítica en O, y por derivación se obtiene


Puesto que 1/( 1 - x) dx = -In 11 - x1 + C, por integración de la serie geomé- trica resulta que

xn+l -In(1 - x ) = k + 1 __ + 1

para alguna constante k y - 1 < x < 1. Si se hace x = O, se halla que k = In (1) = O, así que

(4)

para - 1 < .x < 1. 1 1

11.3.3. Unicidad de la representación en series de potencias

Un hecho importante es que sij'es analítica en xo, entonces existe sblo una serie de potencias en .xo para representar a f e n todos los puntos de una vecindad de xo. Esta es la serie de Taylor, puesto que los coeficientes de una serie de potencias que representa a la funcibn se determinan por medio de las derivadas de la funci6n y resultan ser precisamente los coeficientes de la serie de Taylor, según se indica en la sección 11.2.1.

Utilizando esta unicidad se halla la serie de Taylor para muchas funcionesf'sin necesidad de derivarla para determinar los coeficientes. Se ilustra con ejemplos.

Ejemplo 6. Se sabe que

para todo x. Si se reemplaza x' por x

para todo x. Por tanto, la serie (5) debe ser la serie de Taylor para sen x' en .xo = O. Si se intenta hallar la serie de Taylor por derivación repetitiva de sen x' se apreciará la facilidad con que se obtuvo (5). / / Ejemplo 7. La serie (4) debe ser la serie de Taylor en x. = O para la función In (1 - x). / I Ejemplo 8. Se sabe que


para - 1 < x < 1. Reemplazando -x2 por x,

” 1

1 + x 2 - 1 - x2 + x4 - x6 + . . . + ( - 1 ) n p + . . .

para - 1 < x -= 1. Si se integra (7), se halla que

x 3 x s x 7 3 5 7 2 n + 1

x 2n + 1

= k + X - - + - - - + . . . + (-1)”- + . . .

para alguna constante k. Si se hace x = O, se ve que k = O , así que

x3 x s x’ X 2 n + l tan-’x = x - - + - - - + . . . + (-1)” ~ + . . , 3 5 7 2 n + 1

para - 1 < x < 1. Esta serie (8) es la serie de Taylor para tan-’ x en x. = O. Si se intentase hallar la serie (8) por derivación repetitiva de tan” x, se apreciaría la facilidad con que se obtuvo (8). 11

Las series del ejemplo 8 ilustran una situación muy interesante y quizás inesperada que puede ocurrir. La serie (6) converge solamente para - 1 < x < 1, pero no es sorprendente ya que representa la función 1/(1 - x) que tcexplota)) en x = 1. La función 1/(1 + x2) tiene derivadas de todo orden en todas partes, y se demuestra que es analítica en todo punto xo. Sin embargo, su serie de Taylor (7) en x. = O sólo converge a 1/(1 + x2) para - 1 < x < 1 . Para apreciar completamente el porqué de este fenómeno, se debe estudiar análisis complejo. La función 1/(1 + x2) ((explotan en x = i y x = - i , y en análisis complejo se ve que la distancia de x. = O a los números i y - i es 1. Es por esta razon que el radio de convergencia de la serie de Taylor para 1/(1 + x2) en x. = O es solamente 1.

11.3.4. Multiplicación y división de series de potencias

Dos series de potencias en x. que representen funcionesf’y y en x. - I’ < x < x. + r se multiplican y dividen como ccpolinomios infinitos)), para producir series de potencias que representen las funcionesfg y fly en la vecindad de xo, con la restricción evidente de que g(xo) # O. Esto se enuncia como un teorema que no se demuestra. Las funciones f y g se aproximan en todo punto de x. - r < x < x. + r tanto como se quiera por sumas polinómicas parciales de la serie, así que el teorema parece razonable.

Teorema 11.5. Supdngase que las series (x - ,xo)” y b,(x - xJ‘ comergen a funciones f y g, respectiaamente, en x0 - r < x < x0 + r . Entonces la serir producto (denominada producto de Cauchy)

En el ejemplo 10 se ilustra una de tales divisiones.

Ejemplo 9. Hallar los primeros ti'rminos de la serie de Taylor para ex sen .x en .xo = O, por aplicacih de la multiplicaciim de series.

SOLUCION. Puesto que

se obtiene

para todo Y. ~

Ejemplo 10. Hallar la serie de Taylor para ( 1 + .u'))i(l - x) en -xo = O de dos maneras.


SOLUCI~N. La división de series produce

1 + x + 2x' + 2x' + 1 - x j l 3- x z

1 - x

2 x 2 2.s2 - 2 x 7

2x' __.__-

2 x 3 - 2x4

2x" etc.

Se obtiene, entonces,

para -- 1 < .Y < 1. Corno alternativa, se podría multiplicar la serie geométrica 1 + I + S' + . . . + X" + .. . para l / ( l - u) por 1 + .x2. El cómputo es

1 + x + x* + x-3 + . I . + 4- X n + l + . . . X 1 + x:

1 + x + 2 x ' + 2 x ' + " . + 2x" + 2 x " " + . y sc ohtiene el mismo resultado, como era de esperarse por unicidad. Si se intenta haliar la serie de Taylor para (1 + x2)/(1 - x) en x. = O por derivación repetitiva, se apreciara la facilidad del método que se acaba de utilizar.

RESUMEN

1. S i f ( x ) tiene r l r r i d u s de todo ortien en xo, entonces

es lu serie de Taylor d e f ( x ) en xo. [Aqui O! = 1 yf'"(x) =f(-u).]


2.

3.

4.

5.

6.

La serie de Taylor d e f ( x ) en x. representaf(x) en xI si y sólo si lím,,- I E,,(xl) = O. Esta condición es siempre cúlida si todas las derivadas entre x. y x1 tienen como cota la misma constante B.

Una función es analítica en x. si se representa por alguna serie de potencias en alguna vecindad de .xo. Es analítica cuando lo es en todo punto de su dominio.

Si J(x) se representa por una serie de potencias en un intervalo abierto, entonces f ' ( x ) se representa por la derirwda término a término de tal serie de potencias, e sf(.) dx por la untiderivada término a tc'rmino de tal serie de potencias mús una constante arbitraria.

La única serie (le potencias en x. que representa f (x) en una cecindad (le x. es la serie de Taylor de ,f (x).

Las series en x. que representun f.(.-) 4' g(x) en una vecindad común de .xo se multiplican (como polinomios infinitos) pura obtener las series que representan f(x)y(x) en tal v e h d a d , y se diciden s i .y(x0) # O para representar , f (x) /g(s) en alguna cecindad de .xo.

EJERCICIOS

1. Marcar verdadero o falso en cada uno 2. ;Es la función 45 analítica en .yo = O ? los siguientes casos. Si .f' tiene derivadas de todo orden en todos los puntos de alguna vecindad de xo, entonces f es anaiitica en xo. Sifes analítica en xo, entonces,ftiene derivadas de todo orden en todos los puntos de alguna vecindad de .yo.

S i j y y son analíticas en xo, entonces ,f + y es analítica en .xo. Todas las series de potencias representan funciones analíticas en todo punto (con la excepción posible de los extremos) del intervalo de convergencia de la serie. Existe a lo sumo una serie de potencias en x. que representa una función dada ,f en xo. Existe a lo sumo una serie de potencias en x. que representa una función dada f en todo punto de alguna vecindad de xo.

;,Por qué?

En los ejercicios 3 a 24 hallar todos los t iminos que sea posible de la serie de Taylor de la ,fitnción en el punto dado, utilizando el n~itotio mcis ,fútil J. conveniente.

3. x' + e x en x(, = O

4. 1 + x' - sen x en xrr = O

5. x senx en xg = O

6. cos x en x(, = T

7 . - 1 - x

en x(, = O X

8. e-x2 en x. = O

9. cos x3 en xg = O

10. en x. = O 2x + 3xz

1 + 4x


11. ex cos x en xn = O

12. e3' en x. = O

14. In (COS x) enxo = O

15. sec x en xn = O

16. In x en x(, = 2

17. - e x

1 - x enx,, = O

e x + e-x 18. ___ 2

en x. = O

19. ___ en x(, = O e x - e-x

2

20. J i en x. = 1

21. - en x(, = O 1 e'

22. - en x, = 1 x - 1 x3

23. sec x tan x en x(, = O

1 24. -

2 - x enx,, = O

25. a) Hallar los términos de la serie de Taylor de sen x cos x en x. = O, para n < 5, por multiplicación de series.

b) H a l l a r l a s e r i e d e T a y l o r d e sen x cos x. = O por aplicación de la identidad sen x cos x = (sen 2x)/2.

26. Hallar la serie de Taylor de l j x en x. = 2 por: a) Derivación repetitiva de l /x para

b) Aplicando la identidad hallar los coeficientes.

1 1 1 - = _ . x 2 1 - [ - (x - 21/21

y desarrollando en una serie geo- métrica.

27. Utilizar la técnica sugerida por el ejercicio 26b) para hallar la serie de Taylor de l/.u en x = - 1 ; hallar la identidad apropiada.

28. Hallar los términos de la serie de Taylor de tan x en x. = O, para n < 3, dividiendo la serie de sen x por la serie de cos x.

29. a) Obtener el desarrollo en serie

In(1 t x) = x --+---"+ x* x3 x4 2 3 4

X n

n . . . f (-IT+' - + . . .

para - 1 < x < 1 . [Sugerencia Utili- zar (4) o integrar la serie geométrica para 1/(1 + x) = I/( 1 - (-x)).]

b) Demostrar que la serie en a) converge para x = 1.

c) Demostrar que la serie armónica alternada

1 - 1 + 1 - 1 + . . .

converge a In 2. [Sugerencia. Puesto que 1 es un extremo del intervalo de convergencia de la serie en a), el teorema 11.4 no puede aplicarse. De- be verificarse E,(l) para la función In (1 + x).]

2 3 4

30. Hallar para x. = O la serie que representa la función f definida por

f (x) = In (1 - t ) dt

para - 1 < x < 1.

31. Hallar el desarrollo en serie de la integral indefinida de ex* para x. = O.

32. Hallar en x. = O la serie que representa la función f definida por

f w = [[1m - t311 dt

para -1 < x < 1.

33. Hallar en x. = O la serie que representa la función f definida por J(x) = R +

cos t 2 dt para todo x.

378 CÁLCliLO CON GEOMETRíA ANALfTIC4

34. Hallar en so = O la serie que representa 38 I __ x + - __ - + - - . , . x 2 x1

la función fdefinida por 2! 3! 4! X - + (-1)"- + . . . n !

35. a) Procediendo de manera puramente formal, hallar la serie de Taylor de e i * y P ", donde i' 1- -- i . para

b) c(Deducirn a partir de a j 121 f h n u l a

c\ ctDeducir)) a partir de al la fcirmula e I * - - cos S -- ;(sen x)

d) A partir de b) y c), hallar fórmulas para cos .Y y sen S en tkrminos de la función exponencial compleja.

e) Comparar las fhrmulas para sen z y cos .Y que se encontraron en d ) con l as fórmulas para senh x 4 cosh Y en términos de las funciones zxponen- ciales.

Y o = o.

de Euler e-' = cos .Y + ;(sen .x!.

40. 1 - - + . _ - _ + . . . + - x xz x% (-1)" + ,

2 4 8 2 " x2 x ' x4

4 1 . 1 + x - - - - + - 2! 3! 4!

x 5 Xh x' S! 6! 7!

42. 1 - x 3 + Xh .- x y + - . . . +- (-l)nx3" + . . .

2 ! + 1 43. 1 -+ 21 + ~

x 2 + "_ 3! + 1 x3 t

2! 3 !

44. "1 + 2x - 3x2 -+ 4x1 - . . . + (-l)"+I(n + 1)x" +- . . .

[Su~/c~r twc~iu . Integrar las series.] 45. 2 + : : . 2 X + 4 . 3 X Z + 5 ' 4 X 7 + . ~ ~

+ ( n + 2)(n + 1)x" +- ' .

46 I - + I - . . . x' xu S ! 7!

+ ("1)" + . . . para n 2 3 XZn+'

(2n - l)!


48. Hallar el menor valor de n tal que los todas las derivadas de sen x en x = c ' se

términos de grado < n de la serie para reemplazan por 1 al acotar el error? sen .x en la vecindad de so = O puedan 49. Repetir el ejercicio 48 utilizando la serie utilizarse para hallar sen 1 con error me- de c X en la vecindad de x. = O para nor que 10 iC6mo su compara este estimar Jé, y responder a la segunda par- valor de n con el dado por el término te si todas las derivadas e' de ex se del error en !a F6rrnula de Taylor. si reemplazan por 2 al acotar el error.


11.4. FORMAS INDETERMINADAS

Observese que

(x - 1)* 2(x - 1) (x - 1y x-l (x - 114

lím ___ = O, lírn X”1 x - 1 = 2,

x-1 x - 1 Y lírn ~ = 00.

11.4.1. Tipos de formas indeterminadas

En cada uno de estos tres casos. la función cuyo límite se calcula no esti definida para .x = 1, y una sustitución formal de 1 en el numerador y en el denominador del cociente conduce a la expresión ((O,,% en cada caso. Esos ejemplos muestran que 010 puede definirse como O, 2 o cc con la misma justificación. Por esta razón no se busca definir ({O/O)); la expresión cO/On es un ejemplo de una ,fi,rnlu indeterminada. De manera aniloga, los límites

donde tanto el numerador como el denominador de cada uno tiende a m cuando x tiende a 2, muestran que ai's debe considerarse como una forma indeterminada. Las , f¿~rnm inde termina(h de cocientes son

Cocienles indeterminados

Obsérvese que O/& no es una forma indeterminada, ya que si f(x) = O y lím,,,y(x) = z7 entonces límx-+a f(x)/y(x) = O. 210 tampoco es una forma indeterminada porque si lím,+, f(x) = 2 y límx+a q(s) = O, entonces lím, +,, j’(.u)/y(x) siempre está indefinida, y el cociente ,f’(u)!y(s) se vuelve muy grande en valor absoluto cuando S tiende a u.

Productos indeterminados

En cuanto a productos, los límites

3 2 lírn (x - 1)- = 3 y ]ím (x - 1)’ (-) = O

x- l+ x - 1 x - l + x - 1

muestran que O WJ debe considerarse como una forma indeterminada. Las,fbrnlas indeterminadas de producto son

0.m. m . 0 .


A partir de 1

lím (- - - ) = o X - a t x - a x - a

Y

lím (2 - 1 + 2a - 2x 2(x - a) \I = lím = 2.

x - a + \x - a x - a 1 x-a+ x - a

se ve que cc - co debe considerarse como forma indeterminada. Las formas indeterminadas de sunias y diferencias son

(-m) + m, 03 - m.

Sumas y diferencias indeterminadas

Finalmente, hay formas indeterminadas exponenciales que resultan de expresiones de la forma límx+a f(x)y(x). Recuérdese que se ha definido la exponencial rs para todo S sólo si r > O; por tanto, se supone que f (x ) > O para x # a. Puesto que la función logaritmica es continua y es la inversa de la función exponencial, se ve que si límx+a In [f(x)dX'] = h, entonces limx+a f ( ~ ) g ' ~ ' = e". Ahora

entonces para que límx+a f ( ~ ) ~ ' ~ ' genere una forma exponencial indeterminada, el producto y(x) . In ( f ( .~ ) ) debe generar un producto indeterminado de alguna de las formas O . 00, co . O, O( - x) o ( - c c ) O en x = u. El producto g(x) . In ( f ( x ) ) da lugar a O . o(j en x = u si límx+a y(.u) = O y limx+a ln(f'(x)) = m, en cuyo caso límx+a f ( x ) = a3 también. De este modo, O . cc da lugar a la forma exponencial indeterminada m. De manera anhloga, la forma producto cc . O da paso a la forma exponencial 1 ', mientras que O( - a;) genera la forma O' y ( - m)O da lugar a 1 - ' . Así, las formas exponenciales indeterminadas son

oo, l", l", mo . Exponenciales indeterminados

11.4.2. Hallar límites de formas indeterminadas por métodos de serie

Un límite correspondiente a una forma indeterminada se halla por lo general transformando el problema a un límite que corresponda a la forma cociente indeterminada O/O. Por ejemplo, si límx+o f(x) = O y 1ímx+,, y(x) = c o , entonces

lím f(x). g(x) = lím - f (x) x - a x-a l l g (x ) '

y el segundo límite corresponde a la forma indeterminada O/O. Una forma no muy


ortodoxa matemáticamente pero mnemotécnicamente útil para recordar la conver- sión de un problema del tipo O . 00 en uno del tipo 0/0 consiste en escribir

6 6 o o ” 0 . m = - = - l / m O ’

De manera análoga, el esquema mnemotécnico

“m 1/m O” m l /=J o - = - = -

permite convertir un problema del tipo m/c0 en uno del tipo O/O. Por lo general se procura calcular límites correspondientes a sumas o diferencias indeterminadas tales como GO - cc con la técnica utilizada en (l), donde el problema de nuevo se redujo a uno del tipo O/O. En la sección 11.4.1 se vio que los límites con formas exponenciales indeterminadas pueden reducirse a límites con productos indeterminados, si se toman logaritmos. Ya se ha visto cómo convertir un problema de límites del tipo O . 00 en uno del tipo O/O. La atención se dirige entonces al problema del tipo O/O.

Seanfy y analíticas en a y, además,

lírn f(x) = lím g ( x ) = O.

Se desea hallar límx-,a f (x)/g(x). Se supone que nif(x) ni g(x) se hacen idénticamente nulas en ningún punto de una vecindad de a. Puesto que f y g son analíticos en a, se tiene, para x en alguna vecindad suficientemente pequeña de a,

x-a x-a

f ( x ) = a,(x - alr + a ,+ , (x - a)“’ + . 9 *

Y

donde a, y b, son los primeros coeficientes diferentes de cero de las series en a paraf y g, respectivamente. Entonces

f (x) a , (x - a)‘ + a ,+ , (x - a) ,+ ’ + - 3

x-a g(x) x-a b,(x - + b,+ , (x - a)”+’ + - lím - = lírn

1 + - ( x - ” ) + . * .

l + - ( X ” ) + * ”

a,+ 1 a,(x - ay a ,

bs+l bS

= lím

= lírn a,(x - a)r

*-a b,(X - a)s

Este resultado se enuncia como teorema.

382 CÁLCULO CON G E 0 M E T R . h A N A L L ' I ' I C A

Se considera que este teorenla indica que el primer término no nulo de la expansión en serles de funciones analíticas en t i p r c d o t ~ i r ~ a para x proximos a (I ,

Sc dan varios ejemplos para ijustrar esta técnica

Ejemplo l . Deducir por series el límite hlndamental

SOLUCION. Ahora bien, sen x es analítica en O ; en efecto,

para todo .Y. Segun el teorema

Ejemplo 2. Calcular

para todo .Y. Segiin el teorema.

lím cos x - 1 -x 212 = l í m -___

=--o X = lím - = O.

x 4 x x -0 2 " x

Ejemplo 3. Calcular

lím (cot x)(ln (1 - x)), X " f l +

que corresponde a la forma indeterminada x . O.


SOLUCION. Se convierte en un problema del tipo 010 por

lím (cot x ) ( h (1 - x)) = l írn In (1 - x) = l í m l n ( 1 - x) x-o+ x+o+ l/(cot x) x+o+ tan x .

E,n el ejemplo 5 (sección 11.3.2), se vio que

x2 x 3

2 3 In (1 - x) = -x - - - - -

para - 1 < x < 1, y la división de series demuestra que

t a n x = - = x + - + . . sen x x 3

cos x 3

para x suficientemente próxima a O. El teorema da paso a

Ejemplo 4. Para ilustrar un problema del tipo ( m -- E), se calcula

Si se utiliza el hecho de que 1ímx+ ,/'(.Y) = lím,...o+ / '(I/[) , es posible calcular un límite en 7: por los métodos de las series.

Ejemplo 5. Hallar el importante límite

que correspondz a la forma indeterminada 1 '

SOLUCION. Se ap!ica la relación 1írnx+ f ( s ) = lím,,o+ ,f( l/t). Si se toman logaritmos para manejar la forma eiponencial indeterminada, el cálculo se reduce a

En el ejemplo 5 (seccibn 11.3.3) se muestra que

para -. 1 < I < 1, así


Entonces el límite del logaritmo tiende a 1; por tanto,

Este límite debe memorizarse. / I 11.4.3. Regla de I'H6pital

El teorema siguiente demuestra que límx+a f (x) /g(x) se calcula a veces tomando el límite de los cocientes de las funciones derivadas, si se supone que límx+a f (x) /g(x) corresponde a la forma indeterminada O/O.

Teorema 11.7. (La regla de l'H8pital). Sean f y g funciones continuas de t con derirmdas en alguna cecindad a - r < t < a + r de a. Supdnguse, además, que f (a ) = g(a) = O y g ' ( r ) # O para t # a en dicha cecindad. Si límf+a , f '(t)/g'(t) existe, entonces límf+a , f( t) /g(t) existe y límt+a f ( t ) / g ( t ) = límt+o f'(t)/g'(t).

Demostracicin. Sea la curva cuyas ecuaciones paramétricas son

x = g(t), y = f ( t ) , para a - P < t < a + r.

La pendiente de la cuerda de (g(a), j(a)) a (g(t), f ( t ) ) es

Ahora bien, la pendiente de la

Se puede demostrar que la

curva en (g(r ) , f ( t ) ) es

- dy - dy/dt f '0) dx dxldt g'(t).

hipótesis g ' ( t ) # O para t # a garantiza que x = g(t)

"

para t desde a hasta algún to, define una función inversa derivable t = g - ' ( x ) para x desde g(a) = O hasta g(to). Entonces la función compuesta y =, f ' (g- ' (x ) ) desde x = O hasta x = g(to) es continua en [O, g(to)] y derivable dentro del intervalo. Esto quiere decir que el teorema del valor medio se aplica a la porción de la curva paramétrica x = g(t), y = f(t) correspondiente a un intervalo del parámetro desde a hasta un valor t. Por tanto, existe c entre u y t tal que la pendiente de la curva en (,q(c), j (c)) es igual a la pendiente de la cuerda que se halló anteriormente. Es decir,

Ahora se toma el límite en (2) cuando t + a. Puesto que c está entre t y u, debe tenerse c + a cuando t + a. Entonces

m > f ' ( c ) f ' ( t ) *-a g(t) c-a g'(c) 1-a g'(t) lírn - = lírn - = lím -

como se postuló en el teorema. O


El método de demostrar el teorema 11.7 llevó a conclusiones para funciones f y g de una variable t . Por supuesto, se utiliza para funciones de x, u, o cualquier otra variable; en los ejemplos siguientes se utiliza x como de costumbre.

Ejemplo 6. Hallar límx+o [(sen x)/x]. Según la regla de l’Hbpita1, se tiene

sen x cos x 1 x-o x *-o 1 1 lím - = lím - - - - = 1. ) I

En ocasiones líms-+u f ’ (x ) /g ‘ (x) vuelve a ser un problema del tipo O/O. Si se satisface la hipótesis de la regla de 1’Hbpital tanto por las funciones f y y como porf’ y g’, entonces

La regla de 1’Hbpital se aplica repetidamente hasta obtener un límite que no sea del tipo de las formas indeterminadas.

Ejemplo 7. El cálculo de lím,,o (x - sen x)/x3 ilustra la aplicacion repetitiva de la regla de 1’Hbpital. Se tiene

lím = lím = lím - x-o x3 x-o 3x2

x -senx 1 - cos x sen x cos x 1 = lím - - x-O 6x x-O 6 6 ’ = I I

Adoertencia

Se adcierte que Ea regla de 1‘HGpital no debe aplicarse para calcular líms+a f (x)/g(x) a menos que el cociente f(a)/g(a) sea una ,forma indeterminada. Como ilustración

x 2 o x-ocos X 1 lím - - - - = o,

y el siguiente cccálculo por la regla de 1’Hdpitaln es

INCORRECTO: lím - = lím - - X 2 2x 2 2 - lím- = - = -2.

x-0 COS x x+o X-o -cos x -1

Existen muchas variantes útiles de la regla de I’Hbpital. En particular, si límx+o f ( x ) = 00 y líms,u g(x) = co, entonces

bajo condiciones apropiadas de las funciones f y y. También se pueden calcular límites laterales de f ( x ) /g (x ) así como límites en m o - 00 aplicando el procedimiento de la regla de 1’Hbpital en condiciones apropiadas. Finalmente, si líms+u f’(x)/g’(x) = m, se demuestra que límx-+a f(x)/g(x) = m, también bajo condiciones apropiadas defy 9. Todas estas variantes se utilizarán con entera libertad y se denominarán ((regla de l’H6pitab.


RESUMEN

EJERCICIOS

En los qjercicios 1 u 10, htrllar el lin1itr por nrétodos tie series.

1. líln - e x - 1 senx - x

2. lím"---- 8. lírn (cot 2xz)(ln (1 - x'))

3. líln 9. lim ( I - -$) 4. l írn

I 4 1 x x-IJ ex ' -. 1 x - o

sen x' cot( I Ir I

x-*<I ex " 1 - x x -_ x[x2 - In (1 - x')] 1 I!X'

x ~ * < I x - sen x IO. x-11- ]ím (-) 1 - x

5. lírn In(1 - x)

6. lím senx - x En los ejercicios 1 I a 20, hallar 14 límite por la x - o t x 2 x-n x cos x - x regln de I'Hripital.


21. lírn 7 22. lim -- cos x In (sen x) x-o x *-o+ CSCX

23. lim"--- sen x In(1 - x)

24. l i r n x-(> e x - e-' ,-.u e" -

25. lírn sen x' In (cos x)

26. lirn ____ x ii, coszx - 1 x-0 sen'x

e 27. lím y 28. lirn

In (x' - 1) x+- e x - ] + In (3x2 + 3x - 6)

29. l írn (1 - x)[ln (In x)] x- I +

30. lim In (e' - 1) -

r-(IT In x

31. lírn (cos x ) l n x-(?7/Z)-

34. Iim (senx)"'""" x-tn/Z

38. lirn (sec x)co' 39. lím x3e1" 1 - 0 i T -o+

40. lirn (x - 1)"' x X - l i


41. Ejercicio I .

42. Ejercicio 2.

43. Ejercicio 9.

44. Ejercicio 15. ( ¡Muy instructivo!)

45. Ejercicio 23.

46. Ejercicio 37.

11.5. SERIES BINOMIALES. COMPUTOS

El teorema del binomio aprendido en bachillerato establece que para todos los nbmeros o y h y cualquier entero positivo n, se tiene


1 I .5. I . Las series binorniales

Se escribe ( 1 ) en la forma

( a + b)" = 2 (kn> a n " k b k , k = O

donde los cw$cienfe.s hinomitrlrs (1) se definen por

Si se hace (1 = I y h = S en ( 2 ) . se obtiene

La suma en (4) debe ser (por unicidad) la serie de Taylor para ( 1 + .Y)" en .yo = O. Esto se verifica directamente por derivaci6n y se halla fhcilmente que

Puesto que n es un entero positivo, ( 1 -t S)" es un polinomio de grado n. de modo que D k ( l + S)" = O para k > I?. Para n, entero positivo, se espera entonces (;) = O para k > n , lo que se ve Picilmente segiln (3); es decir

Obsérvese que si p es un entcro no negativo, ningún h :?o : G:i ncrrilerador de (i) es cero, aun si k > p . Esto lleva a considerar la serie como anliloga de la suma (4) para todo número real p.

.. ...~... ~ ~~~ . . . . . . .~ ~ ~ ~ ~ ~

Definición 11.3. Para todo p. I:n serie binomial para ( 1 YI;’ i‘s

p 1 p ~ I ) . . ip -- k t 1 ) k !

b + . . . (5 )

(Se usa k en lugar de /I como índice de sumatoria para no confundirlo con 17 de la ec. ( I 1.)

Es ficil comprobar q u e (5) es la serie de Taylor para ( 1 + .Y)” en s o = O ; simplemente se ve que

Es preciso h a I h r t.1 radio de convergencia de la serie binomial (5) y determinar si representa ( I t~ Y)” cn SIL in!crvalo de convergencia. Desde luego. si p es un entero no negativo. entonces la serie contiene solamente un nilmero finito de términos con coeficientes no nulos, tiene radio de convergencia x y representa ( I + .y)”

por (4). Ahora sc supone que p 110 cs u n entero no negativo y se halla la raz6n

Se obtiene

El radio de convergencia de la serie binomial cuando p no es un entero no negativo es, por tanto. 1 ; l a serie converge para I r i < 1 o para - 1 < -1- < I .

Para demostrar quc la serie ( 5 ) representa ( 1 + .Y)” para - 1 < .Y < 1, se intentaría demostrar quc l i m L - F , ’ k ( . ~ i ) = O para - 1 < .Y, < I , pero el siguiente :rrgumento es menos tedioso. Se cscribe


para - 1 < x < 1. Entonces .f’ es analítica en todo - 1 < x < 1 y se deriva término a término para obtener

Por aplicación de (6) y (7) se verifica ficilmente que

p . fb) = (1 + x ) * f‘(x) (ver el ejercicio 31). A partir de (8), se obtiene

o tomando las antiderivadas,

In If(x)l = p . In jt + x1 + C = In 11 + X(‘’ + C (1 0)

para - 1 < .Y < 1. A partir de la serie (6), se ve que f(0) = 1, así que si se escribe x = O en (lo), se obtiene

O = In 1 = I n ( 1 + O)” + C = In 1 + C = C.

Entonces C = O y In lJ(x)l = In 11 + xIp. Por lanto, l,f(x)l = 11 + x i p , así f(x) = 5 (1 + x)”. Sin embargo, f(0) = I , así el signo positivo es apropiado y

f(x) = (1 + X)P para -- 1 < .Y < 1, lo que se deseaba demostrar. El siguiente teorema resume los resultados anteriores.

Teorema 11.8. s i p no es un entero no negatiuo, entonces /u serie hinorniul ,E;= o (f)xk tiene radio de conrergencia 1 y representa ( I + x)P pura - 1 < x < I. Para un entero no negatiuo n, h serir binolniul (finita) ( : )xh cowerge para todo x u (1 + x)”.

Ejemplo 1. Se tiene

i (-1)”” (3)(5)(7) . . . ( 2 n - 3 )

2” . n ! X” + . . .

para n > 1 y para - 1 < x < 1. Si se hace x = -5 y se utilizan los términos de exponentes < 3, se obtiene la aproximación


Cuando x = i, se tiene una serie alternada con términos de mainitud decreciente, así que ei error en la aproximacibn es menor que el término siguien 'e S '2' Z 0.0024. El valor real de Jm con seis cifras decimales es 1.224745. ;~

Cuando se halla una aproximación decimal como la del ejemplo 1. pueden ocurrir dos tipos de error.e.s. Hay un error' ( l e truncatniento debido :I la aproxima- ción de las series por una suma parcial; este error puede reducirse si se toman más términos de la serie. También hay un error de redondeo que se "omete al tc)mar estimaciones decimales para los términos de la serie o para una suma parcial; por ejemplo, puede tomarse 0.333333 como una estimación para $. El error de redondeo se reduce si se toman mis cifras decimales. Cuando se usan estimaciones decimales para términos individuales de una suma, el error de redondm se acumula fácilmente hasta el punto de exceder el error de truncamiento.

11.5.2. Estimación de integrales

Considérese una serie de potencias c."=o U,(Y - .yo)" con radio de convergencia r > 0, y seaf la función que representan las series en su interlalo de convergencia. Dada su naturaleza de ccpolinomios infinitos)) en A s = .Y - .yo, se considera que las series describen f locullnente en la vecindad de .yo. Se espera que una suma parcial de la serie proporcione una buena aproximación a,j'siempre que se trabaje suficientemente cerca a so. Sin embargo, una suma parcial S, para 17 suficientemente grande puede ser una aproximación razonablemente buena para .f' en un intervalo moderadamente grande que contenga .xo. La exactitud de la aproximación en todo el intervalo se determina por el teorema de Taylor o por un examen de la serie.

Se desea calcular sf ./(.x) dx. Tal vez sea dificil hallar una función elemental que sea una antiderivada de aunque . / sea una función elemental conocida. Por ejemplo, se demuestra que ninguna antiderivada de e-'- es una función elemental. Se intenta calcular sf ./(x) dx tomando una serie de potencias 1;: o (!,(.Y -.yo)"

que sea convergente a f e n [a , h], y calculando en su lugar {I: n,(x - xo)"] (/.Y. La teoría de las series de potencias muestra que esta integral se calcula por integración término a término. Como otra alternativa. es posible utilizar una suma parcial S, de las series para estimar J en [ a , h] y estimar is f (s) 11.u por medio de S," s,(x)dx. En este caso es necesario obtener una cota para el error. Si f y y son funciones continuas definidas en [u , /I], se deduce ficilmente a partir de la definición de la integral definida que

(ver el ejercicio 32). En los ejemplos siguientes se ilustran tanto la estimación por integración de una serie. como la estimación por integración de una suma parcial.


Ejemplo 2. Estimar j: dx por integración de una serie.

SOLUCXÓN. Reemplazando x por - x 2 en la bien conocida serie para e*, se halla que

para todo .Y. As¡,

x 3 x s X 7 X " (- l)nX2n+l - x"+"- +"... + + . . . ) ] I

- ( 3 5 . 2 ! 7 .3 ! 9 * 4 ! ( 2 n + l ) n ! o

1 - - +"... + ("l)" + . . . ( 2 n + l )n !

La respuesta es la suma de una serie infinita de constantes y puede. a su vez, aproximarse por una suma parcial de la serie. Puesto que la serie es alternada con términos de magnitud decreciente, el error al aproximarla por medio de una suma parcial es menor que la magnitud del término siguiente. Entonces

con error menor que 1

1 1 . 5 ! = 0.0008. I (

Ejemplo 3. Se sabe que

Integrar una suma parcial de la serie binomial que representa (1 - para estimar .n/6 y después 7c = 6(n/6).

SOLUCION. Se tiene (1 - x2)"-1/2 = 1 + (-+)( - x2) + -~

(-A)( -3) (-X2)2

2 2

2 !


para - 1 < .Y < 1. Todos los coeficientes de la porci6n de la serie que se han encerrado entre paréntesis son ,< 1 y, por tanto, esta porción es, término a término, menor que la serie

x8 + X'O + . , . =I X * ( 1 + x2 + x4 + . . .).

Puesto que se integra en 0 d .x ,< $. se tiene

1 1 1 4 1 2' 1 - ($) 2' 3 192

- _ . _ _ - 1= - - -

Así, se tiene

cuyo error es a lo sunlo 6(0.00260) = 0.01560. Puesto que el valor de n con cinco cifras decimales es 3.14159. el error real en la estimacibn de n fue alrededor de 0.00041. La raz6n para obtener una cota tan imperfecta para el error es que se estim6 Ia serie 1:' + Y" + ' . . en todo [O, 9 por su mayor salor en .Y = +. ' 1

11.53. Otros cálculos

Las tablas de valores para las funciones trigonomktricas. logaritmicas exponenciales, que son tan conocidas, se elaboraron a partir tie series. En realidad, es mas eficiente para el computador electrbnico moderno de gran capacidad hallar esos valores calculando una suma parcial de una szrie aue ocupar espacio en la memoria para almacenar tablas. También se han utilizado l a s series para hallar importantes números. tales como n y e con muchas cifras decimales. Es interesante observar algunas ilustraciones.

La ec. (4) de la secci6n 11.3.2 muestra que


para - 1 < x < 1. Reemplazando S por - x , se obtiene

para - 1 < S < 1. Si se utiliza la identidad

In- = In ( 1 + x) - In (1 - x), l + x

1 - x

se halla que x 3 xs x 2 n - l

para - 1 < x < I . Si se hace = (1 + S)!(] - x). por la fig. 1 I . 1 se ve que a medida que x varía entre - 1 < S < 1, J toma todos los valores mayores que O. Entonces (11) se puede utilizar para computar tablas de la función In. A partir de y = ( 1 + x)/( 1 - S). se obtiene quc x = (J - 1 ) / ( ~ , + 1); luego, para hallar In J',

se sustituye el valor x = ( ) I - l)/(y + 1) en la serie (11). Puesto que la serie converge muy rkpidamente para valores de S próximos a O, donde J' es próximo a I , es posible calcular primero In 2 haciendo S = i, después In (*), In (4). etc. Una vez que se conoce In [(u + l);n] para tantos \alores de n como sea necesario, se puede hallar f;icilmente In 3 = In (*) + In 2, In 4 = In (4) + In 3 y, en general,

In (n + 1) = In - n + l + In n.

n

I

Y = l + x

- I - x

r = I

"X 1 2 3 4

"""""

Puesto que cualquier número I' es aproximable por un cociente n / m de enteros y In (nlrn) = In 11 - In m , es posible entonces estimar In r para cualquier I' > O.

Volviendo al cómputo de TI , la ec. (8) de la sección 11.3.3 muestra que

x3 x 5 x' x Z" + 1 tan-Ix = x - - + - - - + . . . + (-1)"- + * . . (12)

3 5 7 2n + 1

396 C Á I X U L O CON G E O M E T R ~ A ANALíTICA

para - 1 < .u < 1. Esta serie converge (por el criterio de las series alternadas) para x = 1, y es posible demostrar que la suma de la serie en x = 1 debe ser

lim tan"x = tan"1 = - . X-1 4

7T

Así, se obtiene la fórmula

Desde luego, n se obtiene multiplicando por 4. La serie (12) no converge muy rapidamente en .Y = 1. Si se utilizan identidades para funciones circulares, se puede demostrar que

la serie (12) converge muy rapidamente en x = 4 y x = **g. La relación (13) se utilizó para calcular n con 100000 cifras decimales. (Ver Wrench y Shanks: cdZálculo de n hasta 100 O00 decimales)), Mathernutics of' Cornputation, 16, núm. 77, enero de 1962, págs. 76-99.)

RESUMEN

1. Si p no es un entero no negutivo, entonces I n serie hinonzial ([).yk tiene 1 con10 radio de conceryencia y representrl (1 t x)P para - 1 < .Y < 1 . Para un entero n no neyatiw, la serie hinonlial ( d e longitud .finita) ~ ~ = O ( ; i l ) ~ k conuerge parn todo x (1 (1 + x)".

2. Las integrules 1: f ( x ) dx tales colno 1; 6" dx no es posible hallar de la ~naneru usuul, se aproximan tornando una expresio!l en serie p u r u f ' ( ~ ) y por integrncidn de dicha serie.

EJERCICIOS

7. ( y ) 8.

9. ('o") 10. (y)


11. (lf) 12. (Y) 13. i,CuáI es la serie de Taylor para (1 + x)'

en xa = O? Verificar que el coeficiente de x' en esta serie es en realidad el coeficiente binomial (I) como se definió en la sección 11.5.1.

En los ejercicios 14 a 19, hallar los cinco primeros términos de la serie hinonlial que representan la .función darla en una wcindad de O. Dar el radio de consergencia para cadu caso.

14. (1 + 15. (1 + x)-'

16. (1 - X)'" 17. (1 - X?)"'

18. (1 + i)2'3 19. (1 + 3 ~ ) " ~

20. Estimar @ hallando una suma parcial con x = $, de una serie binomial que represente ( I - x)"'¡* en una vecindad del origen.

En los ejercicios 21 a 24, indicur cdnm se esrinln la cantidad dada utilizando unu serie hinonliul apropiada. ( N o se necesitu cfectuar la estirnu- cicin.) Conlo ilustracicin, el ejercicio 20 n a ~ s t r a

21. m 22. JJ 23. % 24. f i En los ejercicios 25 a 30, estinlar /u integral por nlltot1o.s tie series y hallur unu cotu para el error. ( N o es necesario sinlpl$cur las re.spuestu.s o e.scrihirlas en ,fi)rma tiecinzd.)

25. [,I senx' dx 26. I, e' dx

27. [ , 'x 'cosx* dx 28. 1, (1 + x')"' dx

29. L:' e dx 30. 11,

I / z

I I2

1 -

J l h - X' dx

Su~qerencia. d'16 - x" = 4

31. Verificar la ec. (8) de la sección 11.5.1.

32. Utilizar la definición de jt.f(x) t tx para demostrar que si ,f y q son continuas en [a, h] y l , f ( ? c ) - g(x)l < c para todo x en [a, h] , entonces


33. Hallar la diferencia numérica absoluta entre la estimación de j: ex' utilizando la regla de Simpson con 11 = 20 y la integracibn de los primeros ocho térmi- nos no nulos de la serie para e'..

34. Repetir el ejercicio 33 para cos Y ' tlx

pero utilizando los primeros cinco tér- minos no nulos de la serie para cos .Y'.

35. Utilizando la relación (13) y los cinco primeros términos no nulos de la serie (12), hallar la estimación obtenida para x.

Ejercicios de repaso del capítulo 11 Ejercicios de repaso 11.1 1. Hallar el intervalo de convergcncia, inch- 2. Hallar una expresión para el n-ésimo

yendo los puntos extremos, de la serie término u.(x - xa)" de una serie de potencias cuyo intervalo de convergencia es - I d x < 3. (Son posibles muchas (x + 5)".

n - l respuestas.)


4. Aproximar In (1.04) utilizando el polino- rnlo de Taylor T3(s ) para In Y en .Y" = 1 y hallar una cota del error.

Ejercicios de repaso 1 I .2

Problemas más dificiles I 1


12 En las secciones 12.1 a 12.4 se estudian elipses, hipérbolas y pariibolas, junto con focos, directrices, excentricidades, vértices, ejes mayores y rotación de ejes. Algunos instructores creen que este material no es esencial en un curso de cidculo y pueden asignarlo como lectura adicional y dedicar el tiempo ahorrado a los capítldos siguientes. Estas secciones se escribieron con la mayor flexibilidad posible, de modo que se dediquen hasta cuatro lecciones para estudiarlas.

1 LECCION: Ver (micamente l a sección 12.1 sobre trazado con traslación de ejes. Esto es úti l para el trazado posterior de superficies cuadrhticas.

2 LECClONES: Ver la secci6n 12.1 y la sección 12.2 sobre definiciones sinteticas o la sección 12.3 sobre rotación de ejes.

3 LECCIONES: Ver las secciones 12.1, 12.2 y 12.3

4 LECCIONES: Todas las cuatro secciones.

La seccihn 12.4 sobre aplicaciones es apropiada como lectura adicional y se recomienda que se asigne como tal.

12.1. TRAZADO DE SECCIONES CONICAS

Considérense dos conos circulares rectos congruentes, colocados vértice a vértice en el espacio para conformar un cono doble. como se muestra en la fig. 12.1. Un plano puede intersecar este cono en tres clases de curvas. La fig. 12.l(a) muestra la clase de intersección de curva cerrada que es una c.1ip.w. La fig. lZ.l(b) muestra una intersección que resulta en una curva de extremos abiertos y en dos porciones que es una hipt;r.holtr. La curva abierta de una porción en la fig. 12. I(c) es una purbholrr. Las figuras identificadas con letras dobles corresponden a curvas dibujadas por computador.

En esta secci6n se trazan dichas curvas a partir de sus ecuaciones con respecto a ejes de coordenadas S e 1, que se escogieron cuidadosamente en el plano de intersección.

CURVAS PLANAS 401

(a) Sección elíptica

12.1.1. La elipse

La ecuación

(b) Sección hiperbolica

x' y' - + , = 1 a2 b

(c) Sección parabólica Figura 12.1

describe una elipse, que se muestra en la fig. 12.2. Si se hace x = O, se ve que la curva interseca el eje y en h y -h. Si se hace y = O, se ve que las intersecciones con el eje x son a y "a. Si a = h, la elipse se convierte en un circulo. Por traslación de ejes, se ve que

(x - h y (y - a2 b2

+ = 1

es una elipse con centro en (h , k ) y no en el origen.

Ejemplo 1. Trazar la curva 9x2 + 4y2 = 36.


Y

1


SOLUCIóN. Dividiendo por 36, se obtiene

x 2 y 2 - + - = 1 , 4 9

que es la elipse que se muestra en la fig. 12.3. Las intersecciones con Y son F vl'l = k 2, y las intersecciones con y son t/9 = 2 3. 1~ r

Ejemplo 2. Trazar la curva cuya ecuación es

x2 + 3 y 2 - 4~ + 6 y = -1.

S O L U C I ~ N . A 1 completar el cuadrado. se obtiene

(x' - 4x) i- 3(y' + 2 y ) = -1, (X - 2)2 + 3(y + 1)2 = 4 + 3 - 1 = 6,

(x - 2)' (y + 1)2 "

6 2

que es de la forma (2). Esta es la ecuacihn de una elipse con centro (2, - 1). como aparece en la fig. 12.4. :~

"-= 1,

Figura 12.4

CURVAS PLANAS 403

12.1.2. La hipérbola

La ecuación

describe una hipérbola, que se muestra en la fig. 12.5. Para trazar esta hipérbola se procede como sigue. Márquese f a en el eje x y k h en el eje y . Luego se dibuja el rectángulo que corta los ejes en dichos puntos y se dibujan y extienden las diagonales de ese recthngulo. La hipérbola tiene estas diagonales

b a

y = *-x

como asintoras. La hipérbola corta el eje x en f a , pero no cruza el eje y, puesto que si x = O, entonces (3) se reduce a y’ = - b 2 , que no tiene soluciones reales. Si se despeja y en (3), se obtiene

y = * b J ( x 2 / a 2 ) - 1

Y

lo que demuestra que las rectas y = f(h/a)x son realmente asintotas de la curva.

Si el signo negativo en (3) aparece con el término x2/u’ como en

las asintotas son todavía y = -t-(b/a)x, pero en este caso la hipérbola corta el eje y en h y no cruza el eje x, como se muestra en la fig. 12.6.

Ejemplo 3. La hipérbola y 2 x2 ”-= 4 9

1 se muestra en la fig. 12.7. 1 1


El recurso de completar de nuevo el cuadrado puede utilizarse para trazar una hipérbola cuyo centro no esté en (0, O).

Ejemplo 4. Trazar 9s2 - 31.' - 4s - 63, = 13.

soL~rc~óIv. AI completar el cuadrado, se obtiene

2(x2 - 2 ~ ) - 3(y' + 2y) = 13, 2(x - 1)' - 3(y + 1)' = 2 - 3 + 13 12,

(x - 1)' ( y + 1)' _ _ _ _ ~ 6 4

= 1,

que es una hipérbola cuyo centro est6 en ( 1 , - 1) y que cruza el eje .Y en kvS%, como se traz6 en la fig. 12.8. 1 ;


12.1.3. La parábola

son parábolas con vértices en el origen, como se muestra en la fig. 12.9. La magnitud del coeficiente del término al cuadrado controla la rapidez con que la parábola se

CURVAS PLANAS 405

((abre)). Si el vértice de y = 4x2 se trasladase a (h , k ) , la ecuación de la curva se convertiría en

y - k = 4 ( ~ - h)'.

Como se indicó en el capítulo 1, cualquier ecuación polinómica en x e y, que es cuadrática en una de las variables y lineal en la otra, se representa por medio de una parábola.

V Y Y

a) y = 4 2 c ) x = $y2

Figura 12.9

Ejemplo 5. Trazar

3 y + 4 2 + 8x = 5.

SOLUCION. Al completar el cuadrado, se obtiene

3 y + 4(x2 + 2x) = 5, 3 y + 4(x + 1)2 = 4 + 5 = 9,

3 y - 9 = -4(x + 1y, 3 ( y - 3 ) = -4(x + 1)2,

y - 3 = -$(x + 1 ) Z .

Esta es la parábola con vértice en ( - 1,3) que se muestra en la fig. 12.10. / /

d) X = -4y'

12.10


RESUMEN

(x - h)’ ( y - k)’ + = 1 a’ 0’

O

EJERCICIOS

En los ejercicios I t r 12 , trtrzar la c11rr11 darla.

1. x’ + 4y’ = 16 7. 2x‘ - 3y’ + 4x + 12y = o 2. x2 - 4y2 = 16 8. 4 ~ ’ - S X + 2 y 5

3. xz = -4y 9. x ? + y? - 4y = 9

4. x = 4y’ 10. 4x2 + y’ + hy = -5

5. 4x2 - 9y’ = -36 11. 3x2 - 4y’ - 6x - 8y = o 6. Sx’ + 2y’ = 50 12. ”x’ + 2y2 + 2x + 8 y = -1

CURVAS PLANAS 407

12.2. DEFINlCIONES SINTETICAS DE LAS SECCIONES CONICAS

Definición 12.1. Una parábola es el lugar geométrico del plano de todos los puntos equidistantes de una recta dada P (la directriz) y un punto fijo F , que no está sobre la recta (el foco). El punto I/ de la parábola más próximo a la directriz es el vértice.

12.2.1. La parábola

La fig. 12.11 muestra una parábola con foco F , directriz P y vértice V. Para describir analíticamente el lugar geométrico, se escogen ejes que pasen por el vértice, como se indica en la fig. 12.12, tales que las coordenadas del foco F sean ( p , O) y la directriz sea la recta x = - p . Si (x, y ) está sobre la parábola, entonces la definición establece que

J(x - p)’ + y2 = x + p .

Simplificando, se obtiene

(x - p)’ + y2 = (x + p y , x2 - 2 x p + p z + y 2 = x2 + 2 x p + p 2 ,

y 2 = 4px.

La ec. (1) es la forma usual de la ecuación de la parábola.

I Figura 12.1 1 Y

X “ P

Figura 12.12

Ejemplo 1. Hallar el foco y la directriz para y’ = lox.

SOLUCION. Aquí, 4p = 10; por tanto, p = 5/2. El foco de la parábola está en (5/2, O) y la directriz es la recta x = -5/2. No se dibuja un bosquejo, puesto que ya se enseñó a trazar una parábola en la sección 12.1. I /

Claramente, x’ = 4py es la parábola que se ((abre hacia arriba)) con foco (O, pj y directriz y = - p . De manera análoga, x2 = -4py es la parábola que se (cabre hacia abajo)) con foco (O, -pj y directriz y = p .

El trabajo d,e la sección 12.1 muestra que una ecuación en x e y que es cuadrática


en una variable y lineal en la otra tiene como lugar geométrico una parábola. Puede ser necesario completar un cuadrado y trasladar ejes para transformar la ecuación a la forma usual.

Ejemplo 2. Trazar .x2 + 4x + 3y = 2.

SOLUCI6N. Si se completa el cuadrado, se obtiene

(X + 2)' + 3 y = 2 + 4 = 6, (X + 2)' = -3y + 6,

(x + 2)2 = -3 (y - 2), x* = -4(3y.

Esta parábola tiene vértice en (-2, 2). Ahora bien, p = $. Con ejes X, j en (-2,2), la ecuación se convierte en X' = - 4 p j . El foco es en (x, y) = ( - 2, $), y la directriz es y = 9. La parábola se traza en la fig. 12.13. / /

12.2.2. L a elipse

Definición 12.2. Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano, la suma de cuyas distancias a dos puntos fijos F1 y F 2 (los focos) permanece constante, con valor 2a (mayor que la distancia entre los focos).

La fig. 12.14 muestra una elipse con focos F1 y F Z , la cual se dibuja como sigue: se toma un trozo de cuerda de un poco más de 2a unidades de longitud y se fija cerca de los extremos con tachuelas en F 1 y F 2 , de modo que la longitud de la cuerda entre las tachuelas sea exactamente 2a. Se utiliza un lápiz para mantener tensa la cuerda, como en la fig. 12.14, y se traza así la elipse.

v v 4 4

Figura 12.13

r f S = 2a Figura 12.14

CURVAS PLANAS 409

Para describir analíticamente una elipse, se escogen ejes tal como se muestra en la fig. 12.15, de modo que los focos sean (-c,O) y (c,O). Entonces, para (x, y ) en la elipse, se obtiene

J (x - c)” + y2 + J(x + c)’ + y2 = 2a,

J (x - c)’ + y2 = 2a - J(x + c)’ + y 2 ,

x 2 - 2cx + c2 + y2 = 4a2 - 4 a 4 x + c)2 + y2 + x2 + 2cx + c2 + yz,

aJ (x + C)Z + y2 = a2 + cx,

a”(x’ + 2cx + c2 + y2) = a4 + 2a2cx + c2x2,

(a2 - c”x’ + a 2 y 2 = u4 - a2c2 = a2(a2 - 2). (3)

A partir de la fig. 12.15 se ve claramente que debe tenerse a > c, como se estableció en la definicibn. Por tanto, se escribe

b2 = a’ - c2. (4)

4 Y

.X

La ec. (3) se simplifica para tener

b2x2 + a2y2 = a2b2,

x2 y2 - + + = l . a2 b

Figura I 2. I5

La ec. (5) es la forma usual de la ecuación de la elipse. El segmento de recta entre ( “ a , O ) y (a, O) de la fig. 12.15 es el eje mayor de la elipse, y el segmento entre (O, - b) y (O, b) es el eje menor.

Ejemplo 3. Hallar los focos y las longitudes de los ejes mayor y menor de la elipse

x 2 y 2 - + - = 1. 25 9

SOLUCION. Aquí a’ = 25 y b2 = 9. A partir de la ec. (4), se obtiene

c 2 = a2 - b2.


De este modo c2 = 25 - 9 = 16, luego c = 4. Los focos son ( - 4 , O) y (O, 4). La longitud del eje mayor es 2u = 10, mientras que la longitud del eje menor es 2h = 6. I / Ejemplo 4. Estudiar la elipse 9.u’ + 4y2 - 54x + 164’ = -61.

SOLUCION. Si se completa el cuadrado, se tiene

9(x2 - 6 ~ ) + 4(y2 + 4y) = -61,

9(x - 3)’ + 4(y i 2)’ = -61 + 81 + 16 = 36,

(x - 3)’ ( y + 2)’ 4

+-= 9

1,

x 2 Y’ - + - = 1, 4 9

donde se escogen ejes X, 7 trasladados a (x, y ) = (3, - 2). En esta ocasirin el eje mayor de la elipse es vertical. Cuando la ecuación se transforma en la forma usual, se toma como u2 el rnuynr de los dos numeros del denominador. (Esto no se hizo en la sección 12.1.) Entonces u’ = 9, h2 = 4 y L.’ = u 2 - h 2 = 5; por tanto, C. = 4’5. Los focos son, entonces, (3, - 2 - 4) y (3, - 2 + Jx). La longitud del eje mayor es 2u = 6, y la del eje menor es 2h = 4.

r-

r

12.2.3. La hipérbola

-

Definición 12.3. Una hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano la diferencia de cuyas distancias a dos puntos fijos F, y F2 (los focos) permanece constante, con valor 2u (que debe ser menor que la distancia entrc los focos).

La fig. 12.16 muestra una hipérbola cuyos focos son F1 y F 2 . Para determinar analíticamente el lugar geométrico, se escogen ejes de coordenadas como se indica en la fig. 12.17, tales que los focos estén en ( “ c , O) y (c, O). En esta ocasión, u < c, cuya

v

\ ‘\ S \ \

Y


CURVAS PLANAS 41 1

demostración se solicita a partir de la definición 12.3 del ejercicio 1. Para un punto (x, y) en la hipérbola, se tiene

I+ - c)’ + yz - J(x + c)’ + y21 = 2a. (7)

La simplificación de (7) es análoga a la de (2); hay una diferencia de signo que desaparece la segunda vez que los dos miembros de la ecuación se elevan al cuadrado. En el ejercicio 2 se solicita demostrar que se obtiene de nuevo la ec. (3). Ahora bien, c > a; por tanto, se escribe

y de ( 3 ) se obtiene

-b2x2 + a2y2 = a2(-b2) O

La ec. (9) es la forma usual de la ecuación de una hipérbola. El trazado de la hipérbola y en particular sus asintotas, se trataron en la sección 12.1.

Ejemplo 5. La hipérbola

x2 y 2 ”“

16 9 - 1

tiene como asintotas y = +(3/4)x. A partir de la ec. (8) se obtiene

c 2 = a2 + b’ (10)

de modo que c = ,/m = 5. Entonces, los focos de la hipérbola son ( - 5, O) Y ( 5 , O ) . I / Ejemplo 6. La hipérbola

tiene focos sobre el eje y. En este caso se considera que a’ es el número bajo la variable cuadrhtica que aparece con signo positico en la forma usual. (Esto no se hizo en la sección 12.1.) Entonces a’ = 25 y b2 = 144. Por la ec. (8),

c = & F T P = ~ = ~ = 1 3 .

Así, los focos son (O, - 13) y (O, 13). Las asintotas son y = +(5/12)x. (1


12.2.4. Excentricidad y directrices

Para la elipse y la hipérbola, cada foco tiene una recta asociada como directriz, lo mismo que en la parábola. La fig. 12.18 muestra los focos F1 y F2 con sus respectivas directrices asociadas e, y t2. Estas directrices son las rectas x = +a2/c.

Y Y

I 4

(a) Elipse (b) Hipérbola Figura 12.18

Se deja para el ejercicio 3 la demostracion del teorema siguiente.

Teorema 12.1. Si P es un punto en una elipse o una hipérbola, entonces

Distancia de P a un,foco C

Distancia de P a la directriz asociada a - " (1 1)

Definición 12.4. El número e = - C

n

se denomina excentricidad de la elipse o hipérbola. -

Ejemplo 7. Hallar la excentricidad y las directrices de la hipérbola

x2 y 2 "_ 16 9

= 1

SOLUCI6N. Se tiene a = 4 y c = 5, como en el ejemplo 5. Entonces, e = 514, y las directrices son las rectas x = & 16/5. 11

Ejemplo 8. Para la elipse

x2 y * - + - = 1 , 25 9

o = 5 y c = 4, así e = c/u = 415. Las directrices son las rectas x = rf: a 2 / c = rf: 2514. I / En virtud de (1 l), (12) y la definición 12.1, puede observarse que las tres

secciones cónicas se definen concisamente como sigue.

CURVAS PLANAS 413

Definición 12.5. Sean F un punto en el plano, f una recta que no contiene a F y e un número positivo cualquiera. El lugar geométrico de todos los puntos P en el plano tales que

Distancia de P a F Distancia de P a

= e

es

1. Una parábola si e = 1. 2. Una elipse si e < 1. 3. Una hipérbola si e > 1.

Ejemplo 9. Hallar la ecuación de la hipérbola con un foco en ( - I , 2), directriz asociada y = 1 y excentricidad 312.

SOLUCION. Se utiliza la definición 12.5 para observar que un punto ( x , y) está sobre la hipérbola si y sólo si

J(x + 1y + (y - 2y 3

IY - 11 2 ’ = -

Se eleva al cuadrado para obtener 9

(x f 1)’ + (y - 212 = 4 (y -

O

4x2 - 5y‘ + 8~ + 2y + 11 = O. 11 ~~~

RESUMEN

Una elipse es el lugar geométrico de los puntos en el plano tales que la suma de su distancia a dos puntos fijos (focos) permanece constante.

Una hipérbola es el lugar geomttrico de los puntos en el plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos f i jos (focos) permanece constante.

Sean F (foco) un punto f i j o y (directriz) una recta que no contiene a F en el plano. Para P, un punto del plano, sean IPFI la distancia entre P y F y lPDl In distancia entre P y f. La excentricidad e > O también viene dada. El luyc:. ;cométrico de todos los puntos P, tales que IPF(/(PD( = e es:

a) Una parábola si e = 1 b) Una elipse si e > 1. c) Una hipérbola si e > 1.

La tabla siguiente suministra otra información sobre las secciones cónicas.


~

Tipo de curva Formas usuales

"_ Foco Directriz

Parábola

Elipse u' es el número nluyor del denominador. e = &rb

y f = 4px. y - = -4px. x * = 4py. x ? = -+I

x 2 y 2 - + y = l h' a'

x = U2/C ,

x = -a'Ic, a' es el denominador del térmi- no con signo r m i s

c = da2 + b' - "~

Excentricidad

e = l

e = - < 1 a

c

p :"-> 1 a

c

EJERCICIOS

1. Según la definicihn 12.3. demostrar que ( I < t ' para una hipérbola. [ S u q c w w i L ~ .

Utilizar el hecho de que I n S L I I I I ~ de las longitudes tie d o s lados de u n triingulo es mayor que la longitud del tercero.]

2. Demostrar que l a ec. (7) del texto conduce de nuevo a la ec. ( 3 ) , cotno se afirmb en el mismo.

3. A partir de la ecuacihn de la elipse

-+"=I a* bZ x 2 y *

demostrar la validez de la ec. (1 I ) del texto. Es decir, demostrar el teorema 12.1. [Sugerenc,iu. Utilizar la ecuaciirn de la elipse y bZ = [I' - c , 2 , para expresar el

4, - + - = I 9 2s x 2 y 2 5 -""=I x z y 2

* 25 16 6. x * = 12y

7. xz + 2x + 2 y 2 - 8 y e 5 = o a. 3y2 + 12y - 4x2 + 3 = o 9. y 2 - 4x + 1 4 y + 57 = o

CURVAS PLANAS 415

IO. Hallar la intersección con el eje .Y de la recta tangente a la parábola y’ = 4px en el punto (xo, yo) de ésta.

11. Hallar el área de la región encerrada por una elipse cuyo eje mayor mide 2u de longitud y cuyo eje menor mide 2h.

12. Hallar el volumen generado por la rota- ción de la región del ejercicio 11 alrededor del eje mayor de la elipse.

13. Foco (O,O), directriz x = -2, e = 3

14. Foco (O, O), directriz y = 4, e = 1 2 .

15. Foco (O, O), directriz x = 3, e = 1.

16. Foco ( - I , 2), directriz x = 1, e = 2.

17. Foco (-2, 2), directriz y = 3, e = I .

18. Foco ( - 2,3), directriz x - y = 6, e = 3/2

19. Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, focos en (k 3, O) y excentricidad 1/2.

20. Xallar la ecuac ih de la elipse con centro en el origen, focos en (O, f 1) y directrices y = f 4 .

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, focos en (5-4, O ) y directrices x = f 2 .

Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, focos en (O, f 6 ) y excentricidad 2.

Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco en (3, O).

Hallar la ecuacion de la parabola con vértice en el origen y directriz y = 5.

Hallar la ecuación de la elipse con centro en ( - I , 2), un foco en ( - 1,4) y excentricidad 1/2.

Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en ( 1 , - 3 ) , un foco en (1,O) y una directriz en (1, - 2).

Hallar la ecuación de la parábola con vértice en (-5, 2) y foco en (-5, O).

Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco en (1, I).

La cuerda de una parábola que pasa por el foco y es paralela a la directriz se denomina ludo recto de la paritbola. De- mostrar que el lado recto de la parábola y2 = 4p.u tiene una longitud igual a 4p.

12.3. CLASIFICACION DE CURVAS DE SEGUNDO GRADO

En esta sección se clasificarán y dibujarán los varios tipos de curvas planas descritos por una ecuación de segundo grado de la forma

Ax’ + B x y + Cy2 + DX + Ey + F = O , ( 1) donde, por lo menos, uno de A , B o C es no nulo. Se verá que cada una de tales curvas se caracteriza por una elipse, una hipkrholu o una pnrdhokl.

12.3.1. Rotación de ejes

Si el coeficiente B de xy de la ec. (1) es O, entonces la curva se traza fácilmente completando los cuadrados en x e y y efectuando traslación de coordenadas;


Y 4

Y Y’

x‘ cos o Figura 12.20

esto se har i en la sección 12.3.2. En esta sección se demostrará que el término B x y puede cceliminarsen por votacirin de los ejes.

Se escoge un nuevo conjunto de ejes perpendiculares, un eje x’ y un eje y’ que pasan por el origen O del plano euclidiano. Sea 8 el ángulo que el eje .Y’ hace con el eje S , como se muestra en la fig. 12.19. Se toma en los ejes nuevos la misma escala que en los ejes originales. Cada punto del plano euclidiano tiene entonces dos tipos de coordenadas rectangulares, (x, y ) y (x‘, y’), como se muestra en la fig. 12.19. Es preciso obtener fórmulas para las coordenadas x, y de un punto en términos de las coordenadas -Y‘, y’ y viceversa. Las ecuaciones siguientes se obtienen fricilmente a partir de la fig. 12.20:

x = x’ cos e - y’ sen 0,

y = x’ sen e + y’ cos e. Se utilizan las ecs. (2) para obtener la ecuación de una curva que se expresa

con la ec. ( l) , en términos del sistema de cpordenadas .Y’, y’. Por sustitución, se tiene

A(x’ cos 8 - y’sen e)“ + B(x’ cos 8 - y’sen B)(x’sen 0 + y’ cos e) + C(x’sen e + y’cos e)* + ~ ( X ‘ C O S e - y ’ s e n ~ )

+ E(x’sen 8 + y’ cos e ) + F = O. (3)

Si se efectúan las multiplicaciones indicadas en ( 3 ) y se reducen términos semejantes, se obtiene una ecuaci6n de la forma

A’x‘’ + B’x’y’ + C’y’’ + D’x’ + E’y‘ + F’ = O, (4)

donde, en particular.

A ’ = A cos’8 + B s e n e c o s 8 + Csen’0, B’ = A(-2 sen 8 cos e ) + B(cos’ 8 - senZ e) + C(2 sen 8 cos 0 )

(5) = ( C - A)sen 28 + B cos 28,

C‘ = A sen’ 8 + B (-sene cos e) + C cos” 8.

CURVAS PLANAS 417

Se obtienen varios resultados interesantes de las relaciones (5). En particular, se ve que B' = O si y sólo si

(C - A)sen28 + B cos28 = O ,

o si y solamente si (suponiendo que B # O)

A - C co t20 = -

B .

La ec. (6) muestra que para rotar los ejes de modo que la forma x' , y' de la ec. (1) tenga cero como coeficiente de x'y' , el ángulo de rotación 6 debe ser tal que

28 = cot-'- A - C

B

Si B # O, existe exactamente un ángulo 8 tal que O < 0 < 71/2. Es fácil calcular directamente (ver ejercicios 2 y 3) y según las relaciones (5), que

es decir, estas cantidades son incariantes bajo rotación de los ejes.

En resumen :

Teorema 12.2. Si los ejes del plano euclidiano giran en un ángulo 6 como en la f ig . 12.1 9, entonces el coeficiente B de x'y' en la forma X I , y' de la ec. (l), es igual a cero si

A - C cot28 =-

B

Además, A + C y B 2 - 4AC permanecen invariantes: es decir A + C = A' f C' y B2 - 4AC = B 2 - 4A'C'.

Para utilizar la rotación de los ejes, es necesario hallar las ecs. (2). En primer lugar, se halla cot 28 = (A - C)/B. En ocasiones 28 y 0 son ángulos tales que sen 8 y cos 6 se conocen. Si éste no es el caso, hállese cos 28 a partir de cot 26 y luego aplíquense las relaciones,

sen 8 = c- 1 - cos28 y COS e = F. (7) Ejemplo 1. Eliminar el ((tirmino cruzado x y ~ de la ecuación x 2 - xy + y2 - 4x + 5 = O por rotación de los ejes.

SOLUCI6N. Aquí A = 1, B = - 1 y C = 1, de modo que

1-1 -1

cot28 = - = o.

418 CALCULO CON GEOMETRíA ANALfTICA

Por tanto, 28 = n/2 y 0 = 4 4 . Las ecuaciones de la transformación (2) son entonces

Por sustitución, se obtiene

1 1 1 2 2 2 -(x’ - y’)2 - -(x‘ - y’)(x’ + y’) + -(x’ + y’)2 - 2Jz(x’ - y’) + 5 = 0.

y ahora

-xf2 + - y12 - 2&x’ + 2Jzy‘ + 5 = o 1 3 2 2

0

X I 2 + 3y‘2 - 4Jzx’ + 4 A y ‘ + 10 = o como la ecuación xi, y‘ de la curva con O como coeficiente de x’y’.

12.3.2. La clasificación

En la sección 12.3.1 se muestra que en el estudio de la curva dada por la ec. (1) se supone (si es necesario, por rotación de los ejes) que la ecuación es de la forma

Ax2 + Cy2 + DX + E y + F = O (8)

donde A y C no son simultáneamente nulos.

CASO 1. Si A = O y D # O, entonces después de completar el cuadrado en los términos en y, se obtiene la ecuación de una parábola. Es decir, se obtiene

+ E); 2 c = -D(x + - (E2‘4C)). D

Si se traslada el sistema de coordenadas a .U, 4. en el punto

-E (E2/4C) - ’ D

la ec. (9) se escribe

que representa una parabola cuyo vértice esta en el origen trasladado y cuya abertura es paralela al eje x. Un análisis se lleva a cabo si C = O y E # O.

Si ‘4 y D son simultáneamente nulos, entonces la ec. (8) no tiene un lugar geométrico o éste es la recta paralela al eje x o el lugar geométrico son dos rectas paralelas. Si C y E son simultáneamente nulos, ocurren casos análogos.

CURVAS PLANAS 419

Es natural considerar que las rectas que ocurren de esta manera son parúholns degeneradas.

Ejemplo 2. Considerar la curva x’ + 2x + y - 3 = O. Se completa el cuadrado para obtener

(x + 1)2 = -(y - 4),

que es la ecuación de una parábola cuyo vértice esti en ( - 1, 4) y que se abre en la dirección negativa y, como se muestra en la fig. 12.21.

Y

(Y la

Figura 12.21

’t

Figura 12.22

El lugar geométrico del plano descrito por la ecuación y’ - 2y - X = - 4)(y + 2) = O consta de las rectas y = 4 e y = -2, como se muestra en fig. 12.22. No hay plano real para la ecuación .Y’ + 2x + 2 = O, puesto que al

completar el cuadrado se obtiene (.x + 1)’ = - 1 y el cuadrado de un número es no negativo. / I

CASO 2. Con referencia a la ec. (8), si A y C son ambas positivas o ambas negativas, no existe lugar geométrico, o el lugar geométrico es un punto aislado o es una elipse. Si se completan los cuadrados, se obtiene

( L)z ( 4A 4C D 2 E 2

A X + - + C y + - = - + + - F .

Si se traslada el sistema de coordenadas a ( - D/2A, - E/2C), la ec. (10) se escribe en la forma

A(%)’+ C(y)2 = G. (11)

Se puede considerar que A y C son ambas positivas, cambiando todos los signos si fuere necesario. Si G < O, no hay lugar geométrico. Si G- = O, el Único lugar geométrico es el origen trasladado (X, 7 ) = (O, O). Si G > O, entonces (11) es una elipse que se representa en la forma


Ejemplo 3. Clasificar la curva S’ + 4!s2 + 2.u - 244’ + 33 = O.

SQLUCION. Si se completa el cuadrado, se obtiene

(x + 1y + 4(y - 3)2 = 4

O

(x + 1)2 ( y - 3)’ 22 + -p” = 1.

Esta es la ecuación de una elipse con centro en ( - 1, 3), como se muestra en la fig. 12.23. ! i

$ 4 Y ? ’

CP.SO 3. Volviendo a la ec. (S), si A y C son de signos opuestos, entonces luego de completar los cuadrados, de trasladar el origen y de cambiar los nombres de las constantes, como en el caso 2, se simplifica la ecuación para tener

O

O

Las ecs. (13) y (14) corresponden a hipérbolas. La ec. (15) tiene como lugar geométrico las dos rectas = (b/a)x e y = -(h/a)T. Se considera que estas dos rectas conforman una hipérbola degenerada.

Ejemplo 4. Clasificar la curva

x 2 - 4y2 + 4~ + 24y - 48 = O.

SOLUCION. Si se completa el cuadrado, se obtiene

(X + 2)2 - 4(y - 3)’ = 16

CURVAS PLANAS 421

O

(x + 2y ( y - 3)2 42 2*

~ - _ _ _ _ = 1 .

Esta curva es la hipérbola trazada en la fig. 12.24. 1 1

I Figura 12.24

12.3.3. Clasificaci6n sin reducir a la forma usual

Se ha visto que si A o C son iguales a O, aunque no simultáneamente, en la ec. (S), se tiene una parábola, mientras que se tiene una elipse si A y C son del mismo signo y una hipérbola si son de signo contrario. Estos casos se separan fácilmente si se considera B2 - 4AC. Recuérdese que B2 - 4AC es invariante bajo rotación de los ejes (teorema 12.2). Si B = O, como en la ec. (8), tal que B2 - 4AC = -4AC, se ve que

si -4AC = O, entonces A o C = O; si -4AC < O, entonces A y C tienen el mismo signo; si -4AC > O, entonces A y C tienen signos opuestos.

De inmediato se obtiene

Teorema 12.3 (Cluslficación). La ecuacidn de segundo grado

AX* + Br*, + C y 2 + DX + E y + F = O

r-epresenta una (posiblemente imaginariu o degenerada)

i ) parcihola si B2 - 4AC == O, ii) elipse si B2 - 4AC < O,

iii) hipérbola si B2 - 4AC > O.

Ejemplo 5. Clasificar la ecuación.

3x2 + 4 x y + y 2 - 8~ + 7 y - 7 = O.

S O L U C I ~ N . Puesto que B 2 - 4AC = 42 - 4(3)(1) = 16 - 12 = 4 > O, se ve que la ecuación describe una hipérbola. I /

422 CALCULO CON GEOMETRiA ANAI~ITICA

12.3.4. Enfoque proyectivo de las secciones chicas

El plano euclidiano puede extenderse para formar el p l t rno p r o j w t i u j , y este plano proyectivo brinda un enfoque interesante de la distincibn entre una elipse, una hipkrbola y una paribola. Para formar el plano proyectivo se adjunta a! plano euclidiano una recta t , on c1 in f in i to . Se postula quc toda recta f en el plano euclidiano original interseca (, en exactamente u n punto, el p u n t o m e1 it$nito do ltr t . v c ~ r ~ / t . (Sc considera el punto en el infinito de una recta como el comiln 21 ambos trextrcn~os)) de la recta. Es decir, una recta en el plano proyectivo se \isualira como u11 cccírculo gjgantesco)). que aparece recto cuando se mira de cerca, pero que en rcalidad es t i cerrado cn el ctinfinito)).) Ademis, se postula que dos rectas paralelas cualesquiera del plano eucliciiano original tienen el mismo punto en cl infinito, así que no esistc la nocihn de ((rectas paralelas)) en un plano proyectivo. Sc ha tratado de ilustrar esta idea en la fig. 12.25, donde se muestran algunas rectas paralelas en el plano euclidiano que se encuentran en P sobre la recta / , , y otro con.junto de rectas paralelas en el plano euclidiano que se encuentran en Q sobre / , .

En la geometría proyectiva real. todas las secciones cónicas (curvas de segundo S F : ~ O ) parecen iguales. y la apariencia diferente en la parte euclidiana del plano se debe a la mancra cotno las c ~ ~ r v a s intersecan la recta c', , como se muestra en la fig. 12.26. La elipse n o interseca la recta en el infinito; queda totalmente dentro del plano cuclidiano original y un observador euclidiano la puede ver completamente La hipérbola esti cortada en dos partes por la recta en el infinito, y un observador euclidiano ve ilnicamente esas dos partes. La parabola es tangente a la recta en el infinito, y un observador euclidiano ve solamente una parte cuyas extremidades sc aproximan en forma paralela.

Figura 12.25 a ) t i n a elipse b) llna hiperbola c) Una p a r i b o h

Figura 12.26

RESUMEN

CURVAS PLANAS 423

A partir de Ax2 + Bxy + Cy2 + D X + E y + F = O, la rotación de los ejes en O tal que

a) Unu elipse si B2 - 4AC < O, b) Una hiperbola s i B 2 - 4AC > O, c) Una parábola si B’ - 4AC = O.

EJERCICIOS

1. Expresar .Y’ e y’ en términos de .Y e y para el caso de rotación de los ejes que se muestra en la fig. 12.19. [Sugerencia. Se pueden resolver las ecs. (2) para .Y‘ e y’, pero es mis fácil considerar una rotación en un ángulo -O.]

2. Demostrar que A + C es invariante bajo rotación, como se estableció en el teorema 12.2, utilizando las ecs. (5).

3. Demostrar que B 2 - 4AC es invariante bajo rotación, como se estableció en el teorema 12.2, utilizando las ecs. (5).

En los ejercicios 4 u 9, obtener una ecuación para el lugar geomktricc dado en un sistema de coordenadas x’, y’ que se confornzan por rotación de los ejes, de modo que el coeficiente de x’y’ sea O.

4. xy = - 3.

5. x2 - 3xy + y’ = 5.

7. x2 + J3xy + 2y2 - 4y = 18.

6. 2x2 + $xy + y2 - 2x = ?O.

8. x’ + xy = 10. [Sugerencia. Utilizar las ecs. (7).]

9. 5x2 + 3xy + y’ + x = 12. [Sugerencia. IJtilizar las ecs. (7).]

En los ejercicios 10 a 15, rlrilizar el teorema 12.3 para clas$car la cr~rca de In ecuacihn duda como elipse, hipkrhola o paráhola (posihle- rnente inla6qinaria.s o degenerurlas).

10. 2 ~ ’ - 3x4’ + p2 - 8x + 5y = 30.

11. x2 + 6 .x~ + Yyz - 2c + 14y = 10.

12. 4-y’ - 2xy - 3y2 + SS - 54’ = 17.

13. 8x2 + 6.~)’ + 24” - 5x = 25.

14. X’ - 2 . ~ ~ 1 + 4x - 5y = 6.

15. 2x2 - 3x1, + 2y2 - 8y =- 15.

16. ¿Puede pensarse en alguna ((aplicación)) para el invariante A + C que se da en el teorema 12.2?

En los ejercicios 17 a 19, rotar los ejes paru sinrpl$car la Pcuacicin, cnrnpletc~r los cuadrados y trazar la curm, mostrando los sistemas de coordenadas x, y ; x‘y ‘ ; X, y, es decir, hacer el trabajo completo.

17. x’ + 2xy + y’ - 2$x + 6$y = 6.

18. 2x2 + 4 ~ y - y’ - 1 2 s ~ = -6.

19. 3x2+4xy+3y2+2~2~-12$y=-2Y.


20. Para todo número real t , el punto (cos t. ¿Puede darse una razón de por qué sen 1) queda sobre el círculo x2 + y' = 1. el seno hiperbólico y el coseno hiper- Las funciones seno y coseno son firncionrs bólico se denominan c(funriones hiper- (~ir.c~ul(1r.e.S. hdlictm'?

12.4. EL PORQLJE DEL ESTUDIO DE LAS SECCIONES CONICAS

Es posible preguntarse por qué se clasifican todas las curvas planas de segundo grado. Después de todo, no hay esperanza de clasificar sucesivamente todas las curvas planas de tercer grado, después todas las de cuarto grado, etc. Evidentemente, las curvas planas de primer grado (las rectas) son importantes; son las gritficas de las funciones lineales y el cAlculo se refiere a aproximaciones que utilizan dichas funciones. La clasificación de las curvas de segundo grado es de elegancia clkica, pero ésta no es r a z h suficiente para incluirla en este texto. Sin embargo, las curvas planas de segundo grado poseen aplicaciones físicas importantes.

12.4.1. Orbitas en campos de fuerzas centrales

Considérese un m6vil sujeto solamente a una fuerza que lo atrae hacia un punto fijo único. (Se considera que el punto fijo es el c ~ n f v o del sistema y una atracción de este tipo constituye un ~ m p o t l c , f i * r vx rs centrLlles. Se demuestra, según las leyes de la mecinica newtoniana, que la órbita (trayectoria) sobre la cual el móvil se desplaza por causa del campo de fuerzas es una curva plana de segundo grado, es decir, es una elipse, una hipérbola o una parábola, cuyo foco es el centro del sistema del campo de fuerzas. Por ejemplo, si se desprecia la fuerza que otros cuerpos celestes distintos del Sol ejercen sobre la Tierra, se tiene un campo de fuerzas centrales cuyo centro es el Sol. La Tierra tiene una órbita elíptica alrededor del Sol, que ocupa uno de los focos de la elipse. Las órbitas de todos los planetas que giran alrededor del Sol son elipses en uno cie cuyos focos está el Sol. Igualmente, los satélites que se lanzan alrededor de la Tierra se desplazan en órbitas elípticas. Mientras menor sea la excentricidad de una elipse, mayor serB su aproximación a la forma circular, puesto que h2 = o' - c2 se convierte en (h/n)' = 1 - (c/o)' = 1 - e'. La tabla de la fig. 12.27 da las excentricidades de las órbitas de los planetas.

Las órbitas de los cometas alrededor del Sol son de dos clases. Algunos tienen brbitas elípticas ((estrechas)) con el Sol en uno de los focos comparativamente cercano a uno de los ((extremos)) de la elipse, como se ilustra en la fig. 12.28 (ver ejercicio 1). Uno de tales cometas es el de Halley, que tarda cerca de 75 o 76 años en desplazarse una vez alrededor de su órbita, y que fue visto por última vez, cuando pasó por este ctextremo)r de su órbita cerca al Sol, en 1910. Otro tipo de cometa es el que entra en nuestro sistema solar procedente del ((espacio exterior)), sufre la atracción solar de acuerdo con el principio del campo de fuerzas centrales,

CURVAS PLANAS 425

Planeta

Mercurio Venus Tierra Marte Júpiter Saturno Urano Neptuno Plut6n

Excentricidad

0.2056234 0.0067992 0.0167322 0.0933543 0.0484108 0.0557337 0.0471703 0.0085646 0.2485200

Período

87.967 días 224.701 días 365.256 dias

1.881 años 1 1.862 años 29.458 años 84.01 5 años

164.788 años 217.697 años

Distancia media del Sol*

36.0 67.3 93.0

141.7 483.9 887.1

1785.0 2797.0 3670.0

* Millones de millas. Figura 12.27

pero posee tal velocidad que luego de pasar por el Sol sigue su trayectoria y escapa de nuevo al espacio exterior. Tal tipo de cometa se desplaza en lrayectorias hiperbólicas o parabólicas, mientras recorre el sistema solar; ver fig. 12.29. (La trayectoria será una hipérbola con probabilidad 1, ya que para hacer una paribola el cometa tendría que entrar en el sistema solar precisamente de manera que alcanzase una órbita de excentricidad ~ X N C ~ W J W I I P 1.)

Figura 12.28

Figura 12.29

12.4.2. Aplicaciones a la dptica y la acústica

Las curvas planas de segundo grado poseen importantes aplicaciones a la reflexión de ondas de energía (por ejemplo, luz y sonido). Se sabe que cuando una de tales ondas encuentra un obstaculo reflector, las direcciones de la onda cuando encuentra el reflector y cuando se refleja conforman Lngulos iguales con la normal al reflector (ver fig. 12.30). Si el reflector es curvo, entonces la normal es la perpendicular a la recta (o plano) tangente al reflector (ver fig. 12.31).

Las secciones cónicas tienen propiedades geométricas especiales que originan aplicaciones importantes para estas situaciones fisicas. Estas propiedades se enuncian sin demostración. Las demostraciones no son difíciles y constituyen buenos ejercicios para el lector interesado.

426 CALCULO CON GEOMETRÍA ANALíTICA

Reflector

Normal

Recta tangente

Figura 12.30 / Figura 12.31

Figura 12.33

.x fz*x (x, Y )

Figura 12.34

Considérese el paraholoide formado al hacer rotar la parábola y’ = 4px alrededor del eje x. Si se platea el interior de este paraboloide para que refleje luz, entonces los rayos de una fuente de luz situada en el foco del paraboloide se

CURVAS PLANAS 427

reflejarán en dirección paralela al eje del paraboloide (ver fig. 12.35). Este principio se aplica en el reflector. Recíprocamente, la luz que proviene de una fuente distante del eje entra al paraboloide plateado en rayos paralelos y se refleja hacia el foco. Este principio se aplica en los telescopios, tales como el del Monte Palomar (California, Estados Unidos), cuyo espejo parabólico tiene 200 pulg de diámetro. Las grandes antenas que se utilizan en radioastronomía también se construyen en forma parabólica, y se utilizan reflectores parabólicos pequeños para emitir y recibir señales de radio y televisión en distancias cortas.

Un rlipsoide se forma por rotación de una elipse alrededor de su eje mayor. Si se platea el interior del elipsoide, entonces la luz que emana en todas direcciones de una fuente situada en uno de los focos se reflejará hacia el otro foco (ver fig. 12.36). La definición 12.2 de la sección 12.2 indica que la distancia recorrida desde un foco al otro, vía reflexión, es siempre la longitud 2a del eje mayor y es independiente del punto de reflexión. De este modo, el sonido emitido en todas direcciones por uno de los focos de un elipsoide será totalmente reflejado hacia el otro foco y llegará a este a l nlisrno tiempo. Este es el principio en que se basa la cámara de ((susurros)), cuyas paredes y techo conforman una porción de elipsoide. Un susurro en uno de los focos se escuchará claramente a una distancia grande en el otro foco.

Figura 12.3 2.36

12.4.3. Aplicaciones a la navegación

Durante la Primera Guerra Mundial se utilizó el siguiente sistema para localizar la artillería enemiga. Tres observadores cuyos relojes estaban sincronizados, se situaban en tres puntos de observación, A , B y C, cuyas coordenadas eran conocidas. Tales observadores en A , B y C anotaban con toda precisión el momento exacto en que se disparaba el cañón. Si se conoce la velocidad del sonido, se calcula la diferencia de las distancias entre A y B y el cañón. Por ejemplo, si el observador en A oye el sonido tres segundos antes que el observador en B, entonces el cañón debe estar aproximadamente 3300 pies más lejos de B que de A , puesto que el sonido se desplaza alrededor de 1100 pieslseg. Si se consideran A y B como focos, el cañón debe estar sobre una hipérbola cuyos focos son A y B y 2a = 3300. De manera análoga, si el observador en C escuchó el mismo disparo dos segundos antes que el observador en B, el cañón también está sobre una hipérbola cuyos focos son E y C, y donde 2a = 2200. La localización del cañón es, entonces, la intersección de las dos hipérbolas.


El mismo principio que se aplicó para localizar el cañón descrito se usa comúnmente en LORAN (siglas en inglés de Navegación de Largo Alcance). En este caso se utilizan las ondas de radio, que se desplazan a 186000 mi/seg, en vez de las ondas de sonido cuya velocidad es de sólo 1100 pies/seg. En consecuencia, las diferencias de tiempo se miden con suma exactitud, en microsegundos (millonésimas de segundo), utilizando equipos de medición muy sensibles. Una estación principal situada en A emite una señal patrón, y dos estaciones remotas, situadas en B y C, transmiten el mismo patrón pero con un retardo establecido que se mide en microsegundos. El equipo a bordo de un buque mide el tiempo de retardo en los patrones de señal que se reciben de A y B. Esto localiza al buque sobre una hipérbola cuyos focos son A y B. El retardo en las seiiales que se reciben de A y C suministra otra hiperbola, en cuya intersección con la anterior esti situado el buque. Si todos los equipos funcionan apropiadamente, un pescador puede determinar su posición dentro de unos 50 m si utiliza el LORAN.

RESUMEN

EJERCICIOS

1. Demostrar que si la magnitud del eje elíptica alrededor de la Tierra y con eje mayor de una elipse es muy grande en mayor de longitud 2a, se tiene comparación con la del eje menor, entonces los focos de la elipse están relativamente cerca de los ((extremos)).

2u = (diámetro de la Tierra) + (apogeo) + (perigeo).

2. Demostrar que el punto de una elipse más cercano al foco es el Punto del extre- 4. Demostrar las propiedades reflectivas de mo del eje mayor más cercano al foco. la hipérbola.

3. El apogeo de un terrestre es la 5. Demostrar las propiedades reflectivas de altura máxima que alcanza sobre la super- la parábola. ficie de la Tierra mientras se encuentra en órbita, y el perigeo es la altitud mínima 6. Se dice que una elipse y una hipérbola de la órbita. Aplicar el ejercicio 2 para son confocales si sus focos son comunes. demostrar que para un satélitc en hrbita Aplicar las propiedades reflectivas para

CURVAS PLANAS 429

demostrar sintéticamente que una elipse [Suyrrenc.irr. Demostrar que las normales es perpendicular a una hipérbola con- a las curvas son perpendiculares en todos focal en todos los puntos de interseccih. los puntos de intersección.]

12.5. REPASO DE LAS CURVAS PARAMETRICAS

En la sección 3.4.2 se estudiaron las ecuaciones paramétricas S = A ( [ ) , 1' = k( t ) , que se considera dan la localización de un móvil en una curva en el tiempo f. En esta sección se estudia 61 trazado de las curvas paramétricas y se repasan las fórmulas para las pendientes y longitudes de arco de tales curvas. Siempre se supone que h ( t ) y k ( f ) son funciones continuas. AI estudiar la pendiente dc una curva y la longitud del arco, se supone ademits que I?'([) y k'( t ) existen y son continuas; tales curvas son c u r r m sullres.

12.5.1. Trazado y parametrización

Las curvas que se expresan paramétricamente algunas veces se trazan eliminando el paritmetro t para obtener una (se espera que sea conocida) ecuación en .Y. y.

Ejemplo 1. Trazar la curva plana cuyas ecuaciones paramétricas son

x = cos t, y = sen t.

SOLUCIÓN. Si estas ecuaciones se elevan al cuadrado y se suman, se ve que todo punto (x,y) de la curva esti sobre el círculo x' + y2 = 1 que se muestra en la fig. 12.37. Es posible considerar que estas ecuaciones paramétricas recogen el eje t enrollitndolo una y otra vez en el círculo, con f = O localizado en ( 1 , O). 1 1

@ Figura 12.37 ) # # I '

-~ I

Atlrw-tmcirc

El ejemplo siguiente enseña las precauciones que deben tomarse al trazar una curva por eliminación del parámetro para obtener una ecuación en x, y . La naturaleza de las funciones x = h(t) e y = k ( t ) puede imponer restricciones en x e y que no son explícitas en la ecuación en x, y.

"_ "+ i I

" I .Y

I

- I ( " I . - 1 ) - I 1'

Figura 12.38


Ejemplo 2. Al eliminar t en las ecuaciones paramétricas

Y = sen t , y = sen I .

se obtiene y = x. Sin embargo, puesto que - 1 < sen t d 1 para todo valor de r , se ve que los puntos de la curva dados por dichas ecuaciones paramétricas esthn localizados sobre el segmento de recta y = .Y que une ( - 1. - 1) y (1, 1) como se muestra en la fig. 12.38. Un objeto cuya posici6n en el plano en el tiempo 1 esté dada por tales ecuaciones, se desplaza de ida y regreso a lo largo del segmento de recta.

A veces es posible parametrizar curvas dadas por ecuaciones en .Y e y en términos de algi~n parhmetro natural de la curva o que resulta de consideraciones físicas. Para lograr tal parametrizaci6n. a cada valor del parimctro debe corresponder un punto h i m en la curva. Los dos e.jemplos Figuientes ilustran esta idea.

Ejemplo 3. Parametrizar la paribolil = 1' utilizando como paritmetro la pendiente m de la parábola en todo punto.

so~uc ló~ . En cualquier punto (.Y, j,) de la parhbola. l a pendiente esth dada por 111 = = ?S, entonces .Y = /)I/?. y puesto que I' = .Y'. se obtiene la para- metrizaci6n

x = "m y = $?,2

2 ,

de la parhbola.

Ejemplo 4. Considerar la curva plana que un punto P de un circulo de radio ( I

traza cuando el círculo rueda ;t lo largo tiel eje .Y. Esta curva es una cicloide. Se supone que el punto P del círculo toca el eje I en los puntos O y +?nntr al rodar a lo largo del eje, como se muestra en la fig. 12.39.

Parametrizar esta cicloide en términos del hngulo O , a tririe.;. del cual rueda el círculo, a partir de 0 = O y con P en el origen. como se mueclr-. la fig. 11.39.

Y

i ?"!)!MGi 12.39

-- 2Tí i

~- 2z<r

S O L U C L ~ N . Se supone que 0 es positivo cuando el círculo rueda hacia la derecha. A partir de la fig. 12.39 se obtienen

x = a6 - a sen 8, y = a - a cos 6,

que son las ecuaciones paramétricas deseadas.

CURVAS PLANAS 431

La cicloide que se estudió en el ejemplo 4 tiene algunas propiedades físicas muy interesantes. Sea Q un punto dado en el cuarto cuadrante y supóngase que en (O, O) se ha colocado una gota de agua que se desliza (sin fricción a lo largo de una curva) desd? el origen (O, O) hasta Q, sujeta únicamente a la fuerza de gravedad ntg dirigida hacia abajo, como se muestra en la fig. 12.40. ¿Qué forma tendrá la curva para que la gota se deslice entre (O, O) y Q en el menor tiempo posible? (Este es el prnhlerm de la braquisrocronn; el nombre viene de dos palabras griegas que quieren decir el ((menor tiempo)).) Al empezar puede pensarse que la gota se desliza siguiendo el segmento de recta que une (O, O) y Q, pero después de un momento de reflexión es razonable pensar que la curva es más empinada al principio para dejar que la gota gane velocidad más rápidamente. Se demuestra que la curva ((suave)) (sin esquinas agudas) que corresponde al tiempo mínimo es una parte de un arco de una cicloide invertida,

x = a6 - a sen 6,

y = a cos 6 - a,

generada por un punto P que rueda rirhujo del eje .u; el punto de partida de P es el origen. La cicloide es entonces la solución del problema de la braquistocrona.

g Figura 12.40

Se demuestra que la cicloide invertida es también la solución del problema tuutocrdnico (que significa el ((mismo tiempo))), puesto que si se coloca una gota de agua en cualquier punto distinto al punto bajo del arco de una cicloide invertida, el tiempo que se requiere para que se deslice al punto más bajo del arco es independiente del punto donde se colocó la gota originalmente.

12.5.2. Repaso de la pendiente

Se supone que x = h(t) e y = k ( t ) tienen derivadas continuas. Según el trabajo previo, la pendiente de la curva paramétrica en un punto correspondiente a t l viene dada por

si dxjdt # O en r l . Ejemplo 5. Hallar las rectas tangentes y normal a la curva suave x = cos t , y = sen t en el punto ($/2, 1/2) correspondiente a t , = x/6.



dyj - dY/dt( - cos (rr16) &I2 dx f=.rrlh dxldt , - T,6 -sen(rrl6) -112

- - - " - --J5.

Así la ecuación x. y de la recta tangente es = --fix + 2 y la de la normal es Y = (l/$)x. I (

Si dultl t es cero y dyirlt es no nula para t = t l , entonces la curva tiene una tangente vertical en el punto correspondiente (.Y,,),,). Puede suceder que tanto ds/rlt como riyldt sean cero para t = t l . En este caso la pendiente es el límite del cociente (1) cuando t + t , si el límite existe.

Ejemplo 6. Si .Y = cos t e J. = t'. entonces

dy dyldt -sent dx dxldt 2t '

-

La pendiente de la curva cuando t = O viene dada por

-sent 1 sent 1 1 lím - 1-0 2t t-O 2 t

= ]ím" .- = ". 2 2

1 = 11

Si h(t) y k ( t ) tienen derivadas de orden suficientemente alto, entonces es muy sencillo (aunque tedioso) encontrar las derivadas de orden más alto r 1 2 y / d Y 2 , d3y;d.u3, etc. Por ejemplo,

- - ( d ~ l d t ) ~

Este resultado no se memoriza sino que se aplica la regla de la cadena como se indica en la primera línea de esta deducción cuando se necesite el resultado. Esto se ilustra con un ejemplo.

Ejemplo 7. Hallar d2y/dx2 la curva x = cos t, J' = sen t.

SOLUCION. Se tiene dy - dyldt - cos t dx dxldt -sent

- -cot t .

CURVAS PLANAS 433

Entonces

d2y d(dy/dx) dt

dx2 dt dx "

- .-

- d(-cot t) 1 - .- dt dxldt

- " CSC2t csc2 t = - = "CSC3t. II dxldt "sent

12.5.3. Repaso de la longitud de arco

Recuérdese que si x = h( t ) e y = k ( t ) tienen derivadas continuas, entonces la longitud del arco de la curva desde t = t , hasta t = t 2 viene dada por

[ v'(dx/dt)" + (dy/dt)' dt,

y (is = J m L / y / r i t ) 2 d t es la diferencial de lonyitud de arco. Se considera que ( is es la longitud de un pequeño segmento de la recta tangente a la curva, que corresponde a un cambio fix en S , como se muestra en la fig. 12.41.

01 1 .X

Figura 12.41

Ejemplo 8. Verificar la fórmula C = 2xa para la circunferencia del círculo cuyo radio es LI.

SOLUCION. Se toman como ecuaciones paramétricas del círculo

x = a cos t , y = a sen t, para O 5 t 5 2.n.

Puesto que dxlcit = a sen t y l i y jd t = a cos t , se ve según (2) que la longitud del círculo es

C = IOzw J(-a sen t)2 + (a cos t)'dt


RESUMEN

EJERCICIOS

largo del eje Y. Hallar las ecuaciones paramétricas de la curva dcscrita por un

s. .Y = F. I ' = I.\ para todo t . p m t o P del disco situado a una distancia

6. Y =- sc11 I. I' = cos 2r para o < I 2n. h del centro del disco, donde O < h ,< u. Suponer que el punto P esti en el inter-

7. Y = r - 3. ) = r' + 1 para todo r . valo [O, u] en cl eje J. cuando el disco

8. .Y = 3 cosh r , y = 2 senh 1 para todo I . toca el origen, y utilizar como parimetro el ingulo O a través del cual rueda el disco

9. .I- = t - 1, J. =- I n I para O < t <c x. a partir de su posicibn en el origen. (Esta curva es la t roc~) idu . Para h = u se obtiene la cicloide, mientras que si b = O IO. Y -= sen r , J. =: I -t sen' t para todo I .

19.

20.

21.

22.

23.

.Y := t L - .it. y = sen 7t para t = O.

Y -= senh r. J. = cosh 2 para t = O.

.Y := e', = In ( I + 1 ) para t = O.

.Y = t 3 - 3r' + 31 - 5. y = 4(r - para I = 1.

Hallar todos los puntos donde l a cu rha -1- = cos 2 , y = sen I tiene una tangente ver1ical.

24. .Y = t', J. = f 3 - 2r' + 5 para t = I

25. S = sen 3t, y = e' para = O.

26. .Y = In ( t + 3), J. = cos Zr para t = O.

21. .Y = t Z 3 y = j ( 2 + 1)3" desde t = O hasta ! =. 4.

28. .Y = t, y = In (cos r ) desde I = O hasta f = n 4 .

29. .Y = ( I cos.' r , J = a sen3 r desde f = O hasta / = n.2.

12.6. CURVATURA

12.6.1. ¿Qué es curvatura?

Es de interés conocer la razón por la cual una curva plana se dobla (o se ((curva))) a medida que un mbvil se desplaza siguiendo su trayectoria. Se intentar6 suministrar una medida nurnérica de la r a z h de curvatura en un punto de la c ~ ~ r v a ; este ni~rnero serA la C I ~ ~ I ' L I I U ~ ~ / do I r / c ' ~ / r r ( / en r l p 1 7 r o . Mientras mhs se dobla una curva en un punto, mayor serA SLI curvatura.

Ejemplo 1. Una línea recta no se dobla en ningún punto. Es conveniente considerar l a curvatura de una recta como cero en todo punto. ~

Ejempiio 2, La razcin de curvatura en un círculo es uniforme. Es preciso que l a curvatura de un círculo en un punto sea l a misma que en cualquier otro punto e igual a la curvatura en todo punto de cualquier otro círculo que tenga el mismo radio. Esto permite l a referencia a la c ~ r r u / t u r t / t l r u 1 1 circulo tlr rtdio (I. 1 1

Ejemplo 3. Mientras menor sea el radio de un círculo, mayor seri la cccurvaturm del círculo en cada punto. Se pretende que la curvatura de un círculo pequefio sea mayor que la de un círculo de radio m i s grande.

Considérese una curva suave que tiene en todo punto una recta tangente. Se escoge un punto ( so , )to) sobre la curva a partir del cual se mide un arco de longitud S a lo largo de la curva, de modo que ( so , corresponda a S = O, como se muestra en la fig. 12.42. Sea (p el Bngulo que aparece en la figura, medido a partir del eje .U positivo (x, y ) en la dirección del crecimiento de S a lo largo de la tangente. La razón por la cual la curva se dobla en (x, y ) se describe en términos de la razcin de giro de la tangente cuando hay un desplazamiento a lo

436 CALCULO CON GEOMETRíA ANALITIC'A

largo de la curva en (.Y,J,) y esto se mide a su vez por medio de la raz6n de crecimiento del Bngulo q5 en is, 1,). Se desea que la noci6n de curvatura sea intrínseca al conjunto de la curva y que no dependa de la razón por la cual se desplaza un m6vil a lo largo Se aquella. Entonces no es apropiado que la curvatura sea la r a z h d e cambio de 4 por unidad de cambio en tit.nlpo cuando hay un desplazamiento a lo largo de la curva. Es intuitivamente evidente que la noci6n de longitud de arco es intrínseca al conjunto de la curva, y la curvatura de la misma en un punto serii la raz6n de cambio de 4 por unidad de cambio en la longitud del arco a lo largo de la curva en dicho punto.

Figura 12.43

Ejemplo 5. Medir la longitud de arco en el círculo x2 + = u2 en dirección contraria a la Se las manecillas del reloj, comenzando con S = O en ( a , O) como se muestra en la fig. 12.44.

Según esta figura, se ve que en un punto (x, y ) del círculo que corresponde a un ángulo central 6, y, por tanto, a una longitud de arco S = u0, se tiene d, = 0 + n(nI2).

* Algunos textos definen la curvatura como la cantidad ci4jds acompañada de signo, pero aquí se d a una definición que especializa la noción de curvatura para curvas en el espacio, que se presentará en el capitulo 15. La interpretación del signo de d&ds se explica después.

CURVAS PLANAS 437

(El valor de n depende del cuadrante de O ; para O en el primer cuadrante como en la fig. 12.44, se tiene n = 1.) Por tanto,

T 1 2 a 2

~ $ = O t n - = - s + n - , T

así que

d4 1 K = d s = a . Así la curvatura de cualquier punto de un círculo de radio a es el recíproco 1/a del radio. / I

El ejemplo precedente sustenta la terminología siguiente. Si una curva tiene curvatura K # O en un punto, entonces el radio de curvatura en este punto es p = 1 / ~ .

12.6.2. Fórmula de la curvatura de y = f(x)

Supóngase que una curva es la gráfica y = f ( x ) de una funciónj'rlos wces derivable, y supóngase que la dirección de crecimiento de la longitud de arco medida a partir de (x,,, y o ) es la direccibn de crecimiento de .u, de modo que

S = m dt. (1)

Para el ángulo d, que aparece en la fig. 12.42 se tiene

tan 4 = f'(x)

en cualquier punto (x, y) de la gráfica. Así, en una vecindad de (x, y) ,

4 = b + tan"f'(x1 (2)

donde la constante b aparece puesto que q5 no puede caer en el rango de los valores principales de la inversa de la función tangente. Puesto quef'es una función de x, dos veces derivable, según (2) se ve que d, es una función derivable de x. Según (1) se ve que S es una función derivable de x; puede demostrarse que x aparece como una función derivable de S en una vecindad de un punto donde t isldx # O. Bajo dichas condiciones d, aparece como función derivable de S, y, según la regla de la cadena,

A partir de la ec. ( 2 )

Eljemplo 6. Hallar la curvatura y cl radio respectivo de l a paribola J. = .y2 en el origen. tomando la ciireccihn del crecimiento de I como la del crecimiento de s.

asi

El radio de curvatura es p = 1 = 1;2. , :

Sea una curva con radio de curvatura { I en un punto (.Y, J.). El círculo osculador de la curva en (.Y, j,) es el círculo de radio (I que pasa por (x. y) y cuya tangente es la misma de l a curva en (x. J,) y cuyo centrci est6 localizado en el lado c6ncavo de la curva. El centro de este círculo es el centro de curvatura de la curva en (x. J,).

Ejemplo 7. En el ejemplo 6 se ve que el centro de curvatura de la paribola \’ = .y2 en (O. O) es (O, I : ? ) y la ecuacih del círculo osculador es

12.6.3. Forma paramétrica de la fórmula de la curvatura

(lo)

- h ’ ( t ) k ” ( t ) - k’(l )h”(t) -

[(h’(tj)* + (k’(r))”]3/2

La f6rmula ( 1 I ) resulta menos complicada si se escribe

y se denotan las segundas derivadas con respecto a por .Y e j;. Se obtiene entonces la fórmula (1 2) que se da en el teorema siguiente.

Teorema 12.4. Scan h y k ,firnc.iones ( t o s reces rlericahles. LU cuwutu:'a de la c u r w puruntdtric~~ .Y = h(tj. = k( t ) S P d t r c m un punto que corresponde CI un calor t por

Ejemplo 8. Hallar la curvatura de la elipse .Y = 3 cos t , y = 4 sen t en el punto (3, O) correspondiente a r = O, tomando la dirección de crecimiento de s contraria a la de las manecillas del reloj para que coincida con la direccibn del crecimiento de t .

s o r , u c ~ Ó ~ . A partir de (12) se obtienc

= /( xi; - yx j i' -c ?2)3/2

- - ,12sen3t - (-12cos't); / ~ ~ s e n 2 f + ~ ~ c o s ' t ) " ' .

I

Para r = O que corresponde al punto (3 ; O), se obtiene

K " l d'yldx'

(1 + (dY/dX)'Y I

CURVAS PLANAS 441

4. El radio de curvatura p en un punto es igual a 1/Ic.

5. El círculo osculador a una curva en un punto es aquel con centro en el lado cdncavo de la curva, radio p = l/ti y tangente a Ea curva.

EJERCICIOS

En los ejercicios 1 a 10, hallar la curcutura ti en el punto indicado de lu curva que se expresa en ecuaciones rectangulares o en forma para- métrica.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. 9.

1 o. 11.

12.

13.

14.

y = sen x en (ni2, 1).

xy = 1 en (1, 1).

y = Inx en (1,O).

x2y + 2xy2 = 3 en (1, 1).

x2 y 2 -" - - 1 en (4, O). [Sugerencia. La 16 25 hipérbola define x como función de y en la vecindad de (4, O).]

x = 4 sen t , y = 5 cos t para t = O.

La cicloide x = a(0 - sen O), y = u(l - cos O ) para O = E.

x = e', y = t 2 para t = O.

x = JF* en (3, -4).

x = cosh t, y = sinh t para t = O.

Demostrar por medio de argumentos de razones de cambio que d$/ds es positiva en un punto de la curva si la curva se dobla hacia la izquierda al recorrerla en la dirección de crecimiento de S en el pun- to, y es negatica si la curva se dobla a la derecha.

Analizar la curvatura en el origen de las gráficas de los monomios ax" para enteros n 2 1.

ic'uál es la curvatura de la grifica de una función dos veces derivable en un punto de inflexión?

El círculo osculador de una curva dada en un punto (x, y) tiene la misma tangente

y el mismo radio de curvatura que la curva en (.x, y). a) Demostrar que la curva dada y el

circulo tienen la misma cur-datura ti

en (x, y). b) Argumentar a partir de a) que si tanto

la curva dada como el círculo son gráficas de funciones en una vecindad de (x, y), entonces ambas funciones poseen primeras y segundas derivadas comunes para dicho valor x.

15. Demostrar que las unicas funciones dos veces derivables cuyas grhficas tienen curvatura cero en todo punto, son aquellas cuyas gr' a f' Icas son rectas.

16. Hallar la ecuación del círculo osculador a la curva y = In S en (1 , O) .

17. Hallar la ecuac ih del circulo osculador a la hipérbola (x2/4) - (~'19) = I en el punto ( - 2, O).

18. Sea y =.f'(x) la grifica de una funcibn dos veces derivablej; cuya curvatura es no nula en un punto (&y). Demostrar quc las coordenadas ( Y , p ) del centro de curvatura de la grkfica en (-,y) vienen dadas por


1.1.

i .2.

1.3.

1.

2.

3 .


C U R V A S PLANAS 443

6. Parametrizar la curva J = e utilizan- 8. Hallar la curvatura de la curva y = sen x

do como parimetro la pendiente n1 de la en el punto donde I = n14. curva en todo pupto. 9. Hallar la curvatura de la curva .x = t'.

7. Hallar el punto (xo. yoj en la curva x = t, 1, = I " + 2r en el punto donde t = 1. = 4f3.' tal que la distancia del origen 10. Hallar la ecuación del círculo osculador . "

a ( u , , , ~ ~ ) medida alrededor de la curva de i a curva x = 2 cos 1. j' = 3 sen I en el sea 41. punto f = n.2.


1. Considerar elipses de la forma is', a') + (J"/h2) = 1, donde cl se mantiene constante y f l se aproxima a o.

a) i,A qué línlite tienden los lugares gecmétricos de tales elipses cuando h tiende a LL?

b) ;CuA es la posicihn límitc de los focos cuando h se aproxima a u?

c) ;,Cui1 es la posicihn límite de las directrices cuando h se aproxima a L I ?

d) ¿,Cuál es el valor límite de la excentricidad?

2. Resolver el ejercicio I si u --f x cuando h permanece constante en vez de h + (I.

3. Resolver el ejercicio 1 para las hipkrbolas ( .x l ' ; (?-(yL:h2) = 1 si ( J permanece constante y h + x,.

4. Resnlvcr el ejercicio 1 para las hipérbolas

(.Y2,'(J2)-(J2,'h2) = 1 si /I permanece constante y (1 + x,.

5. Resolver el ejercicio 1 para las hipérbolas (.u' u ' ) - ( J ~ , ' ~ ~ ) = 1 si u permanece constante y h --$ O.

6. Resolver el ejercicio 1 para las hipérbolas ( x 2 'trL)-(y'ih2)= 1 si h se mantiene constante > LI + O.

7. Sea f' una funci6n dos veces derivable. Demostrar que /x(.u)I < l,f"(.x)/. donde K(.Y) es la curvatura de la grifica en (.Y. /'(.Y)).

8. Sea /'(.Y) = 1 + x + (.Y./7)2 + " ' + ( u ?I)'' + .... Hallar l a curvatura de la grifica donde S = O.

9. Hallar la longitud de arco de la curva Y = cos' t , y = (I sen3 t para O < I < 2n 3.

[444]

13 Coordenadas polares

13.1. EL SISTEMA DE COORDENADAS POLARES

13.1.1. Coordenadas polares

Hasta el momento se han utilizado coordenadas cartesianas rectangulares para el trabajo en el plano. Existen sistemas de coordenadas diferentes que pueden relacionarse con los sistemas rectangulares. Selecci6nese cualquier punto O del plano euclidiano como p o l o del sistema de coordenadas y cualquier semirrccta con origen en O como eje palm. Por convención en el trazado de curvas el eje polar es la semirrecta horizontal que se extiende a la derecha. como se muestra en la fig. 13.1. Se escoge una escala en el eje polar, como se indica en la figura.

-7

Figura 13.1

Sea P cualquier punto del plano. Se hace girar el eje polar a traves de u n bngulo O tal que al finalizar la ro t ac ih pase por el punto P, como se indica en l a fig. 13.1. (Los valores positivos de O corresponden a la rotaci6n contraria a la de las manecillas del reloj.) El punto P queda situado en un nitmero I' en la escala del eje rotado, y el par ordenado de números ( r7 O ) constituye las coordenadas polares del punto P .

En un sistema de coordenadas cartesianas, a cada punto del plano le corresponde un par ordenado de números (S, tirzico. Una desventaja del sistema de coordenadas polares es que cada punto tiene u n número ir?firlito de pares de coordenadas polares. Como se indica en la fig. 13.2, si un punto P tiene coordenadas polares ( r , O). también tiene las coordenadas polares (I., 0 + 2nn) para todo entero t l . La fig. 13.3 muestra que el mismo punto P también tiene las coordenadas polares ( -Y. 0 + n +

COORDENADAS POLARES 445

2nn) para todo entero n. Todas las coordenadas polares de un punto (Y, O ) diferente de O son de la forma

(r , 8 + 2 n r ) o ( - r , e + T + 2n7r).

Nótese que las coordenadas del polo O son (O, O ) para todo número real O.

-2 p-’ Eje polar

Figura 13.3

Considérense simultáneamente un sistema de coordenadas cartesianas y uno de coordenadas polares en el plano. Por convención, el polo es el origen euclidiano (O, O) y el eje polar coincide con el eje x positivo. (Siempre se seguirá esta convención.) En la fig. 13.4 se ve que las coordenadas cartesianas x, y se expresan en términos de las coordenadas polares Y, O por las ecuaciones

x = r cos 8, y = r sen 8.

También se ve en la figura que

8 = tan- - , 1 Y X

siempre que se escoja O tal que - n/2 < O < n/2. Las ecs (1) y (2) se utilizan para pasar de un sistema de coordenadas al otro.

! ; b o ,

(x , y)

( r , Hi

Eje polar

Figura 13.4

Ejemplo 1. Según las ecs. (l), se ve que las coordenadas cartesianas del punto cuyas coordenadas polares son ( r , O ) = (2, nJ3) son

(x, y) = 2 cos -, 2 sen-) = (1, A). ( 3

7T 7T

3

Según las ecs. (2), las coordenadas polares (Y, 0) del punto cuyas coordenadas cartesianas son (x, y) = (- $, 1) vienen dadas por

y 2 = x2 + y’ = 4

4


SOLLCIÓN. Si r # O, la ecuación es equivalente a r‘ = ar sen O . Puesto que r = O si U = O en la ecuaciór! original, se ve que la nueva ecuación representa en realidad el lugar geométrico original exactamente. Según las ecs. (1) y (2) , la ecuación r 2 = (11‘ sen U tiene la forma cartesiana

o

x - + ( y - - ;)l = - “,i Se ve que el lugar geométrico es el círculo cuyo centro es el punto ( S , ) I ) = (O, u/2) y cuyo radio es LI;?, como se muestra en la fig. 13.7.

Figura 13.7

Ejemplo 3. Hallar en coordenadas polares la ecuación de la elipse cuya ecuación en coordenadas rectangulares es .Y’ + 3y2 = 10.

S O L U C I ~ N . Se aplican las ecs. (1) para obtener

r’cos O + 3(r2sen2t)) = 10, r2(cos28 + 3sen20) = I O ,

r’(1 + Zsen’O) = 1 O.

Así

10 1’ =

1 + 2 sen? 0 . “

* 13.1.2. Secciones cónicas en coordenadas polares

Se describen las ecuaciones de las secciones cónicas en coordenadas polares. Sea r la excentricidad de una sección cónica cuyo foco está en el polo O y cuya directriz es la recta S = -q que se muestra en la fig. 13.8. Si se usa la notación de la figura se tiene

FP = e(DP) .

* Omítase esta sección si no se estudió la sección 12.2.


Ahora bien,

FP = r Y

Figura 13.8

DP = q + ( F P ) cos 0 = q -t r cos 8.

Entonces la ecuación polar de la secci6n cónica es

r = e ( q + r cos H ) o

Según la ec. (3), se ve que toda ecuacih de la forma

donde c > O y r > O. tiene como lugar geométrico una sección cónica de excentricidad r y foco en el pole, porque haciendo q = </'e, se obtiene la ec. (3).

Ejemplo 4. La ecuación

tiene como lugar geométrico una parábola con foco en O y directriz en S = -4. La ecuación

4 2 . 2 r=-" - 1 - COS^ 1 - 2 ~ 0 ~ 8

tiene como lugar geométrico una hipérbola con foco en O y directriz correspondiente en x = -2. 1 1

RESUMEN

1. U n punto con coordenudus polures ( r , O ) tumhién tiene ( r , O + 2nn) y ( - r , H + n + 2nn) como coordenudus pollires puru todo entero n.


Las ecuaciones para transformar las coordenadas rectangulares x, y en coordenadas polares Y, 9 y viceversa son

x = r cos O, rz = x' + y', y = r sen 8, O = tan- -. , Y

X

La ecuación polar

r = C

1 - e cos 8 para c > O, e > O

tiene como lugar geomktrico una sección cónica de excentricidad e y foco en el polo. La directriz es la recta x = -4, donde q = c /e .

EJERCICIOS

En los ejercicios I a 8, hallar las coordenadas 15. Hallar la ecuación polar de la recta cuya cartesianas de los puntos con las coordenadas ecuación en coordenadas rectangulares polares dadas. es 2x + 3y = 5.

1. (4, d 4 ) 2. (o95d7) 16. Hallar la ecuación polar de la parkbola 3. (6, - d 2 ) 4. (3,51r/6) = 8x.

5. (-2, ~ / 4 ) 6- (-132d3) 17. Hallar la ecuación rectangular de la curva 7. (-4,37r) 8. ( - 2 , l l d 4 ) cuya ecuación polar es r = 2a cos O.

En los ejercicios 9 a 12, hallar las coordenadas polares de los puntos con las coordenadas cartesianas dadas.

9. (2 ,2) 10. ("1, &) 11. (-2, -3) 12. ( O , -5)

13. Demostrar que la distancia d en el plano entre los puntos cuyas coordenadas polares son ( r l , 0,) Y ( r 2 , U es

Jr,' - 2rlrz cos (e, e,) + r2'.

[Sugerencia. Aplicar la fórmula de la distancia en coordenadas cartesianas y las ecs. (l).]

*18. Hallar la ecuación polar de la parábola con foco en el polo y directriz x = -3.

*19. Hallar la excentricidad y la directriz de la sección cónica cuya ecuación polar es

5

2 - 3 COS e ' r =

"20. Hallar la longitud del eje mayor de la elipse cuya ecuación polar es

8 r =

1 2

1 - - COS e

14. Hallar la ecuación polar del círculo con *21. Hallar la longitud del eje menor de la centro en ( r , O ) = (3,n/4) y radio 5. elipse del ejercicio 20.

13.2. TRAZADO DE CURVAS EN COORDENADAS POLARES

13.2.1. Trazado de curvas

Ahora se tratar3 cl problema de trazar una c.urva Jada en forma polar sin tener que transformarla en forma cartesiana. El trabajo se restringiri a ecuaciones polares simples de la forma r = , / ' ( O ) . donde f(0) por i o general incluye funciones seno y coseno elevadas a In potencia uno. Se localizar8n puntos que correspondan a valores de r q u e sean miximos o mínimos iocales para hallar dbnde la curva se acerca mits y d h i c se aleja mis del origen. Esta ticnica se ilustra mejor por medio de ejemplos.

Ejemplo 1. Trazar la c m d i o i d ~ ~

SOLUCIOS. Puesto que 0 aparece en la ecuación s d o en la forma ((cos OD, se Iocalizan puntos (I', 0 ) trcada 90 )) a partir de U = O. Las ((rectas de 90% se marcan con guiones en la fig. 13.9. Evidentemente, la curva I' = u( 1 + cos O ) se repite después de que 0 haya recorrido 2n radianes.

Si se tiene 0 = 0, entonces I' = aí1 + cos O) = 2u, punto que se marca en eI eje polar. A medida que O crece hacia n/?, cos O decrece de I a O y r decrece de 2a a a. Esto permite dibujar la porcibn de la curva correspondiente al primer cuadrante, como se muestra en la fig. 13.9. Para establecer más exactamente la forma de la curva en el primer cuadrante. se localizan más puntos (r , O ) para unos cuantos valores adicionales de O , por ejemplo O = 7c/6,lrj4 y 4 3 . En el caso presente no se localizarán estos puntos y los dibujos aproximados serán suficiente. Nótese que r 2 O para todo O y a que cos 0 3 - 1 . Así, r se medir8 siempre a lo largo del eje polar posiriro.

Cardioide: P = a ( I + cos O ) Figura 13.9

Cuando O crece de n/2 a n, cos O decrece de O a - 1 ; por tanto, r decrece de a a O. Esto permite trazar la porción de la curva correspondiente al segundo cuadrante. De manera aniloga, se ve que I' crece de O a rr en el tercer cuadrante

COORDENADAS POLARES 45 1

y de a a 2a en el cuarto. El origen del nombre cardioide resulta claro por observación de la forma de la curva. Las flechas de la fig. 13.9 indican la dirección del crecimiento de 8 a lo largo de la curva. / / Ejemplo 2. Trazar la rosa de cuatro pdtulos

r = a sen 28.

S O L U C I ~ N . En primer lugar se localizan los puntos donde r adquiere valores máximos o mínimos o se convierte en O; esto ocurre cada 90" para 28, o cada 45" para O. La curva se traza entonces ((cada 45")) y se comienza dibujando las líneas punteadas de ((45°~) como en la fig. 13.10.

Cuando B crece de O a n/4, r crece de O a a ; así se obtiene el arco de curva identificado con el 1 en la fig. 13.10. Cuando I9 crece de 7114 a 7112, Y decrece de u a O y se obtiene el arco 2.

Ahora bien, cuando 8 crece de n/2 a 37114, se ve que r recorre los valores neguricos de O a --u y la curva se sitúa en la ((lengüeta opuesta diagonalmenten para formar el arco identificado con el 3 en la figura. Es posible comprobar que a medida que I9 crece hasta 271, se obtienen en sucesión los arcos numerados de 4 a 8 para cada incremento de 45 de 8. Las flechas de los arcos indican la direccicin de crecimiento de B. 1~

Rosa de cuatro pétalos: r = sen 20

Ejemplo 3. La curva con ecuación polar

r = O es una espiral doble. En esta ocasión la curva no se repite después de que 8 recorre 271 radianes, puesto que r crece sin cota cuando 0 crece. La espiral doble se muestra en la fig. 13.11. Nuevamente, las flechas indican la dirección del crecimiento de 8. / I Ejemplo 4. La curva

\ r = a(1 + 2 cos 8)

se dibujó en la fig. 13.12. Nótese que r = O cuando COS U = - 1/2 o cuando 8 = 2n/3 y 8 = 4n/3. Para estos valores de 8, r cambia de signo positivo a negativo


y de negativo a positivo, respectivamente; la curva pasa por el polo O y es tangente a los rayos O = 2x13 y B = 4x13. 1 1

-47r -371 i Espiral de Arquimedes: r = 0

(a) Figura dibujada

Y

I I

(b) Figura generada por computado1

Figura 13.1 1


f1 =

Figura 13.12

Caracol: r = n(1 + 2 cos W)

13.2.2. Intersecciones de curvas en coordenadas polares

El problema de hallar Intersecciones de curvas en coordenadas polares se complica más que en coorden:::las cartesianas, puesto que un punto puede tener muchas coordenadas polarer. Por ejemplo, el punto con coordenadas carlesianas (x,~) = (O, - 1) está sobrc la curva polar r = 3 + 2 sen 0, ya que el par de coordenadas polares (1,3n/2) satisface esta ecuación. El mismo punto también está sobre la curva polar r = cos 20, ya que el par de coordenadas polares ( - 1,n,/2) satisface esta ecuación. NBtese que el par de coordenadas polares ( - 1, n/2) no satisface la primera ecuación r = 3 + 2 sen 0. Entonces, si simplemente se resuelven simdtá- neamente r = 3 4- 2 sen O y r = cos 20 para r y O, no se ((encontrará)) el punto de intersección. En el ejemplo siguiente se ilustra el procedimiento para hallar la intersección de tales curvas.

Ejemplo 5. Hallar todos los puntos de interseccih de

r = 3 + 2 sen 8 y r = cos 28.

SOLUCIÓN. Se verifica primero si el polo O está sobre ambas curbas. Ahora bien, 3 + 2 sen O nunca alcanza el valor O, puesto que - 1 < sen (1 6 1; por fanto, el polo está fuera de la primera curva.

Ahora se trata de hallar coordenadas ( r , O) que satisfagan la primera ecuación, mientras que coordenadas ( r , 0 + 2nn) o ( - r , O + n + 2nn) satisfacen la segunda ecIl,ación; es decir, se hallan soluciones de

3 + 2 sen 8 = cos 2(8 + 2 n r )

3 + 2 sen 8 = -cos 2(8 + TI + 2n7r).

Según la ec. (l), se obtiene

3 + 2 sen 8 = cos (28 + 4n7r)

= cos 28 = 1 - 2 sen2 8.


que da paso a

sen2 6 +sen e + 1 = 0,

o, si se resuelve por la fórmula cuadrática,

-1 f $1-4 sen 0 = 2

que carece de soluciones reales. Al regresar a la ec. (2 ) , se obtiene

3 + 2 sen 8 = “cos (26 + 27r + 4n7r) = “cos 28

= 2sen2 6 - 1,

que da paso a

sen2 6 -sen e - 2 = 0

O

(sen6 - 2)(sen8 + 1) = O.

Puesto que sen 8 = 2 es imposible, quedan send = - 1 o H = 3n/2. Entonces el punto (1,3n/2) es la única interseccih de las curvas, que aparecen en la fig. 13.13. I /

Figura 13.13


RESUMEN

1. Para dibujar una curca polar r = . f ' ( O ) , se localizun aquellos puntos donde r atlyuiere máxinws o minirnos relutit'os o se ruelce cero. Por ejemplo, Y = 4 cos 30 (Irhe dihujarse a partir de U = O y con incrementos de 30" en U.

2. Purl1 llullar los puntos de interseccidn de dos curcas polares, se hallan (r, 8) que sutisfirgan la primera ecuacidn puru la cual ulgunos rlr los puntos (r, O + 2nn) o ( - r, U + n + 2nn) satisfircen la segunda ecuucicin. SLJ conlpruehu sepurcrclu- nwnte si el origen estu en a n ~ h o s curtws, es decir, si r purde ser c'ero.

EJERCICIOS

En l o s c.jerc.ic,ios I a 15, rruzur lu curru con /u

rc,uctc,itin poltrr tluclu.

1. r = u0 (Espiral de Arquímedes).

2. 1.0 = u (Espiral hiperbólicd).

3. r = u sen 30 (Rosa de tres pétalos).

4. r = 2a cos 11.

S. I' = 20 sen O.

6. r z = a2 cos 20 (Lemniscata de Bernoulli)

7. r' = u 2 sen 20.

8. r = a(l - cos M).

9. I' = uc? (Espiral logwitmica).

10. r = 3 csc 0 11. r = I + 2 sen 6 12. r = 3 + 2 cos 8 13. r = 2 + 3 cos 8

14. r = a sen - 15. r = a 8 2

16. Hallar todos los puntos de interseccibn de las curvas polares r = (I sen O y r =

u cos 0. 17. Hallar todos los puntos de interseccibn

de las curvas polares r = 11 y r 2 = Zu' sen 21).

18. Hallar todos los puntos de interseccibn de las curvas polares I' = u cos 20 y r = (f(1 + cos O).

13.3. AREA EN COORDENADAS POLARES

Hallar el área A de una región acotada por una curva polar r =.f'(o), donde .f es una función continua, y por dos rayos 0 = U, y 8 = 02, como se muestra en la fig. 13.14.

"_ .X 0 1 Figura 13.14


Según la fig. 13.14, el área de la zona más intensament: sombreada que corresponde al intervalo [U, 8 + de] es mayor que el área del sector circular de radio rmin y cuyo ángulo central es d B , donde rmin es el valor mínimo de f(U) en el intervalo [ O , 8 + 4 . Por otra parte, esta Area es menor que la del sector circular cuyo ángulo central es d8 y cuyo radio es rmax. Puesto que el área del sector con ángulo central ((0 y radio N es

d e 1 2 T - T u 2 = - a2d0,

2

según la figura 13.14 se obtiene

+(rmin)' 110 < área de la zona m i s intensamente sombreada < ~ ( Y ~ ~ ~ ) ~ do.

Puesto que I' =f '(H) es una funci6n continua, la teoría de la integral demuestra que el Brea A de toda la región sombreada de la figura 13.14 es

Ejemplo 1. Hallar el Brea total de las regiones acotadas por la lemniscata r 2 = u' cos 28, que se muestra en la fig. 13.15.

S O L U C I ~ N . Se halla primero el Area de la porción del primer cuadrante de la región y en seguida, por simetría, se multiplica por cuatro. Así se obtiene, según (I ) ,

4JOTi4k r2 d e = 41" - a' cos 28 de = 2 a 2 4 4 1

2

que es el área requerida. 1 1

Ejemplo 2. Hallar el área de la región situada dentro de la cardioide r = u(1 + cos U) pero por fuera del círculo Y = u, que aparece sombreada en la fig. 13.16.


Figura 13.16 Y

X X

(a) Figura dibujada (b) Figura generada por computador

SOLUCION. Se duplica el área de la porción del primer cuadrante de la región. El área de la zona más oscura con ángulo central do , que se muestra en la fig. 13.16, es aproximadamente

y se obtiene

como el área requerida. I /

RESUMEN

1. Para hallar el úrea de una región acotada por curcas polares:

PASO 1. Dibujar una figura. PASO 2. Dibujar rayos polares que correspondan a un pequeño incremento

d0 en O. PASO 3. Escribir una expresión para el area de la zona resultante. Una zona

en forma de cuña con cértice en el origen, úngulo central pequeño dd, y que se extienda hasta r = f ( 0 ) tiene un úrea aproximada d A = i r ’ dd = i f(6)’ dt?.

PASO 4. Integrar entre !os limites apropiados.


EJERCICIO§

1. Aplicar la integración en coordenadas polares para hallar el Area del circulo de radio o.

2. Hallar el Area de toda la repidn encerrada por la cardioide I’ = (I( 1 t sen 0).

3. Hallar el hrea de toda la región encerrada por l a cllrva polar r z = (2 sen X I .

4. Hallar el i r ea de la regihn encerrada por un pCtalo de la rosa de cuatro petalos I‘ = (1 cos 20.

5. Hallar el Area total de las regiones dentro de la rosa de cuatro pétalos r = 2a cos 2H pero por fuera del círculo I’ = (1.

6. Hallar el Area de la regiiin acotada por la porción de la espiral hiperbólica rO = 1, donde 4 2 d O d y por los rayos O = n 2 y O = r c .

7. Hallar el Area de la regibn común a los circulos I’ = 20 cos O y I’ = 2tr sen O.

13.4. EL ANGULO $ Y LA LONGITUD DE ARCO

13.4.1. El ángulo $ entre el radio vector y la tangente

Se trata de hallar la dirección de la recta tangente a una curva suave. La fig. 13.17 muestra que si se halla el Bngulo I) entre el radio vector y la tangente, es posible hallar el hngulo 41 entre la tangente y el eje .Y. según la geometría plana,

b , = O + $ . (1)

Se demostrari que si I‘ =,f(f l ) , dondefes una función derivable, entonces

Figura 13.17

Aproximadamente r(d0)

Aproximadamente LIT

”_ .t. ” ..Y Figura 13.18

si.f”(0) # O. En la fig. 13.18 se indica c6mo recordar la fórmula (2). En un punto (r, O ) de la curva se toma un incremento pequeño en r mientras 0 permanece constante, y luego un incremento pequeño en 0 mientras r permanece constante; esto produce el ((triángulo rectángulo diferencial)) con hipotenusa a lo largo de la tangente a la curva. (En realidad, uno de los catetos de este ((triángulo)) es un arco de círculo.)


Para valores pequeños de dO, las longitudes de los catetos del ((triángulo rectángulo)) son aproximadamente dr y r(d6), lo que sugiere de inmediato que

r ( d 6 ) r t a n $ = - = - dr dr ld8 *

Para una deducción cuidadosa de la ec. (2) , se observa en la ec. (1) que

tan (Ir = tan (4 - 6 ) = tan 4 - tan 8

1 + tan t4 tan e ’ Ahora bien, tan 4 = dy/dx , y por las ecuaciones paramétricas

X = r cos e = f ( e ) cos 8, y = r sen e = f(0) sene,

se obtiene d y d y l d e - r cos 8 + (dr lde) sen8 dx dx lde - r sen 8 + (dr ld8) cos 8

t a n 4 = - = - - (4)

Si se sustituye en (3) el valor que se halló para tan 4 en (4), y se escribe tan 4 = (sen O)/(cos O), se obtiene una expresión compleja que se reduce fácilmente a

tan $ = r cos28 + (dr/dO) sen8 cos 8 + rsen28 - (dr/dO) sen 8 cos 8

- r sen 8 cos 8 + (drldf3) cos28 + r sen 8 cos 8 + (dr /d6)sen28

- ” r drld8’

Ejemplo 1. Hallar el ángulo agudo fi que la cardioide r = a(1 + cos O) hace con el eje y en el punto (r , O) = (a, n/2).

SOLUCION. Según la fig. 13.19, el problema se reduce a hallar el ángulo $ porque el ángulo fi que se muestra en la figura viene dado por B = n - +.

Se tiene


Según la fig. 13.20, el Bngulo /j entre las curvas I’ =.fl(0) y I’ =,f2(l j) se halla como sigue

tan (3 = tan (& - $,) = tan I,!I~ - tan +bl 1 + tan $2 tan .

\ = f , C O ) Figura 13.20

”

,,,$AAximadarnente r (d8)

13.4.2. Longitud de arco en coordenadas polares

En la fig. 13.21 se sombrea nuevamente el ((trihgulo rectángulo diferencial)) que se mostró en la fig. 13.18. De este triingulo se obtiene la aproximación

ds = J ( d r ) 2 + (rdO)2 = J ( d r / d e ) 2 + r2 d e (5)

para la longitud del segmento de recta tangente a la curva. Para hallar la longitud de arco se suman las longitudes de los segmentos de rectas tangentes y, según (5), la longitud de arco de una curva polar suave r = f(6) entre (r l , 6,) y ( r 2 , 6,) viene dada por

Je

Para una deducción cuidadosa de (6), nótese que la curva polar r = f ( O ) se define paramétricamente por

X = r COS e = f(e) COS e, y = r sen 8 = f(0) sen 8,

y se aplica la fórmula paramétrica

ds = J(dx/dO)2 + (dy/dO)’ de.

para obtener

dx d e “ - -f@) sen e + ?(e) COS e,


y finalmente

ds = J(dxId0)’ + (dylde)’ de

= d(f(e))’(sen’O + cos’0) + (f’(0))’(sen20 + cos‘0) d0

= Jf((eV + ( ? ( m z de

= J r 2 + (dr/de)’ de.

Ejemplo 2. Hallar la longitud de la espiral r = O que se muestra en la fig. 13.1 1, desde 0 = O hasta 6 = 271.

SOLUCION. La longitud de arco

]I;dr’ + (drlde)’ dB

”

viene dada por la integral

= de

Ejemplo 3. Hallar el área de la superficie generada cuando la cardioide r = a( l + cos O ) que se muestra en la fig. 13.19 gira alrededor del eje x.

SOLUCION. El área de la superficie viene dada por

I ..27ry ds = I “27~(rsen e)Jr’ + (drld0)’ de Jo J o

= 1 1 2 m ( l + cos 8)(sene)du2(1 + cos e)’ + aZsen28d0

RESUMEN

1. Si r = f ( O ) es dericable y I) es el ángulo entre el radio vector y la tangente a la curca polar r = f (O) , entonces


EJERCICIOS

1. Hallar el 6ngulo a p d o quc l a cspir-al hiperbhlica Y O = LI forma con el eje I ' en el punto (Y. O) = ( 3 1 / n . 71 ' 2 ) .

2. Hallar el ingulo que la curva polar Y = Z + 3 sen O forma con cl ejc Y en el punto (Y, O) = ( 2 , O).

3. Hallar todos los puntos de I n cardioide I' = ( I ( I - cos O), donde l a rccta tangente es horizontal. [S~ulrrrnc~itr. Aplicar 1;t

ec. (4).]

4. Hallar todos los puntos de la cardioide I' = i l(I -- cos O), donde la recta tangente es vertical. [ S u q r w n c , i r r . Aplicar la ec. (4).]

S. Hallar el ingulo entre los circulos Y == 211 cos O y I' = Zrr sen O en el punto de interscccibn ( r . O ) = ( t 1 4 ' Z . n.4).

7

6. Hallar el 6npulo cntre el círculo Y = (I

y la rosa de cuatro pétalos I' = Zrr cos 20 en el punto de interscccibn ( r , O ) = (I/. ~ 8 6 ) .

7. Hallar l a longitud de la espiral parabó- lica I' = (10' desde 0 = O hasta O = Zn.

8.

9.

1 o.

11.

Hallar la longitud total de l a cardioide I' = i r( I sen O ) . [ S ~ r y ~ w r ~ c ~ i t r . Resolver l a integral multiplicando el integrando por , 'Z - 2 sen O ,/'? - 2 sen O.]

Expresar como una Integral l a longitud de la cur\~a polar Y = ( I cos0 2 desde O = O hasta 0 = n.

Expresar como una integral la longitud total de la rosa de tres pétalos I' = (I sen 30.

Hallar el Area de la superficie generada cuando cl círculo Y = 2a sen O gira alrededor del e,$ s .

Expresar conw una integral el Area de la superficie generada cuando el arco de ia espiral I' = O desde O = O hasta O = n gira alrededor del eje .:

Sea 1' una función <it>< .ecc\ deri\able. Demostrar que la curb:t:ttm h de i a curva r = f(0) en un punto ( r . O ) l i m e dada por l a f6rmula

(f(0))' + z(f'(6))' - f(6)f"(e) K

C(f(0))' + (f'(e))2~1"'


1. Hallar fodas las coordenadas polares 2. Hallar la ecuación de ia elipse 4.x' + para el punto ( -\,O, 1). 9y2 = 1, en coordenadas polares.


3. Hallar la ecuación de la curva polar 6. Hallar el Qrea de la región dentro de la r = sen 0 + cos O, en coordenadas rec- curva r = a(1 + i s e n O) y por fuera del tangulares. círculo r = a.

7. Hallar el ángulo entre r 2 = u2 sen 0 y 4. Trazar la curva cuya ecuación en coorde- = .,JZ en su punto de intersección

nadas polares es r = a(l + 2 sen O). del primer cuadrante.

5. Hallar todos los puntos de intersección 8. Hallar la longitud del arco de la espiral de r2 = a‘ sen 0 y r = u/$. r = e*’ desde 0 = O hasta 0 = 2n.


1. Hallar todas las coordenadas polares 5. Hallar todos los puntos de intersección para el punto (1, - 1). de r 2 = u’ cos 20 y r = u/,,&

2. Hallar la ecuación de la hipérbola 6. Hallar el área total dentro de la curva x2 - y’ + 4x = 9, en coordenadas po- r2 = u’ sen 20. lares. 7. Hallar el ángulo entre las cardioides

3. Hallar la ecuación de la curva polar r = u(l + cos O) y r = -u(l + cos O) en r 2 = 2 + sen 20, en coordenadas rectan- su punto de intersección en el semiplano gulares. superior.

4. Trazar la curva cuya ecuación en coorde- 8. Hallar la longitud de arco de la curva nadas polares es r = a sen 20. r = a cos2 (OJ2) desde 0 = O hasta 0 = nJ2.


1. La mosca A está situada en (x, y) = ( 1 , l), la mosca B en ( - 1, I), la mosca C en (- 1 , - 1) y la mosca D en (1, - 1). Todas las moscas trapan a la misma tasa de una unidad de distancia por unidad de tiempo. Todas comienzan a trepar en el mismo instante, y A siempre trepa hacia B, B hacia C, C hacia D y D hacia A.

a) Hallar el punto de encuentro de las

b) LQué distancia trepan antes de en- moscas.

contrarse?

c) Hallar las coordenadas polares de la ecuación de la trayectoria recorrida por la mosca A. Trazar la trayectoria. [Sugerencia. Hallar el ángulo 9 en un punto de la trayectoria y resolver la ecuación diferencial r = (tan 9) drJd0.1

d) Hallar la longitud de la trayectoria recorrida por la mosca 4.

e) ¿Qué problema fisiológico tendrá A cuando se desplaza en la trayectoria encontrada en c) en el tiempo encontrado en b)?

14 Geometría del espacio y vectores

14.1. COORDENADAS EN EL ESPACIO

Ya se sabe cómo describir la localización de un punto del plano utilizando un par ordenado (x,y) de número reales. La localización de un punto en el espacio se describe utilizando una terna ordenada (.Y, y, z) de números. Se establece un sistema rectangular (o cartesiano) de coordenadas, como sigue. Se escoge un punto cualquiera del espacio como origen, y se imaginan tres ejes de coordenadas, dos de los cuales son perpendiculares entre sí, que pasan por este punto. La fig. 14.1 muestra sólo la mitad de cada uno de estos ejes x, y y z , para mayor claridad. Es difícil dibujar el espacio tridimensional en un trozo de papel. El plano que contiene los ejes coordenados x e y es el plano coordenado x, y. Los planos coordenados x, z e y, z se definen de manera análoga.

\

Figura 14.1

14.1.1. Coordenadas rectangulares

Los tres planos coordenados dividen naturalmente el espacio en ocho partes u octuntes según que las coordenadas sean positivas o negativas. Simbólicamente,

(+, +, +). (+. +. -1. (+, -, +), (+, -. -), ( - , + , + ) , ( - ,+ , - ) . ( - , - , + I , ( - . - , - ) .

GEOMETR~A DEL ESPACIO Y VECTORES 465

La porción donde todas las coordenadas son positivas, es decir, la parte (+, + , +) se denomina primer octante. Los demás octantes no se enumeran.

En la fig. 14.2 se ve claramente que la distancia del origen al punto (x, y , z ) es Jw. Se considera ahora la distancia de (xl, y l , zl) al punto (xz, y2, x2). Se toman nuevos ejes Ax, Ay, Az en (xl,yl,zl). Estos ejes son traslaciones de los ejes originales al nuevo origen en ( x l , y l , z ~ ) , como se muestra en la fig. 14.3. Entonces

x2 = x1 + Ax, y2 = y1 + Ay, z2 = z1 + Az. Evidentemente, la distancia de (Ax, Ay, Az) al nuevo origen trasladado es

d = AX)' + (Ay)’ + (Az)’. 2

t Figura 14.2

Y

Por tanto, la distancia en términos de las coordenadas originales es

d = J(x~ - XI)’ + (y2 - ~ 1 ) ’ + (z, - z ~ ) ~ . (1)

Esta es una generalización fácjl de recordar de la fórmula para la distancia entre los

El lugar geométrico de todos los puntos (x, y, z ) situados a una distancia fija r de un punto (xI ,y lr z , ) es una esfera de radio r con centro en ( x I , y I , zl). Según la fórmula de la distancia, se ve que (x, y , z ) está en esta esfera si y sólo si

puntos (x,,~,) Y (x,,~,) en el plano.

J(x - xl)’ + (y - y,)’ + (z - zl)’ = r

O

466 CALCULO CON GEOMETRfA ANAL~TICA

La ec. ( 2 ) es la ecuación de una esfera. Si se completa el cuadrado se ve fácilmente que el lugar geométrico de cualquier ecuación

x’ + y’ + 2’ + ax + by + cz = d es una esfera, si la ecuación tiene un lugar geométrico real en el espacio.

Ejemplo 1. Hallar el centro y el radio de la esfera

x 2 + y’ -t z 2 - 6~ + 4y = -9

y luego dibujarla.

SoLuCIóN. Los pasos para completar el cuadrado son

(X* - 6 ~ ) + (y’ + 4y) + z 2 =-9

(x - 3)2 + ( y + 2)2 + (2 - O)’ = -9 + 9 + 4 = 4.

Por tanto, el centro de la esfera estri en (3, - 2, O), el radio es 2 , y aparece en la fig. 14.4. I I

t

Figura 14.4

4

Figura 14.5

14.1.2. Coordenadas cilíndricas

Los puntos en el espacio se localizan también si se especifican las coordenadas x, y de su posición utilizando coordenadas polares r-8 y especificando su altura por medio de la coordenada z. Las coordenadas del punto son entonces (r,O,z) así como también las coordenadas (x, y, z). Obviamente, las coordenadas r y 19 no son únicas, puesto que son las coordenadas polares usuales. La fig. 14.5 muestra tales coordenadas. Como se ve en la fig. 14.6, el lugar geométrico de r = a es un cilindro alrededor del eje z , puesto que el lugar geom6trico polar de r = a en el plano x, y es un círculo y no existe restricción en z. En consecuencia, (a , 6, z ) está sobre el lugar geométrico para todo 8 y todo z. Por esta razón, las coordenadas r , 8 , z se denominan coordenadas cilíndricas. Como ya se sabe transformar las coordenadas polares r, 6 en coordenadas

GEOMETRfA DEL ESPACIO Y VECTORES 467

rectangulares x, y en el plano, es posible pasar de coordenadas cilíndricas a rectangulares en el espacio. Es decir,

X = r cos O, r2 = x' + y',

y = r sen 8, e = tan"(y/x),

z = 2, 2 = z.

J Figura 14.6 X Figura 14.7

14.1.3. Coordenadas esféricas

Otro sistema de coordenadas del espacio que resulta muy útil es el de coordenadas esjZricas, donde las coordenadas de un punto son ( p , 4, O) , como se indica en la fig. 14.7.

La coordenada p es el segmento de recta del punto dado con el origen, 4 es el ángulo que forma este segmento de recta con el eje z y O es el mismo ángulo que aparece en las coordenadas cilíndricas. Nótese que el lugar geométrico de p = a es una esfera con centro en el origen y radio a, como se indica en l a fig. 14.8. Esta es la razón que justifica el término coordenadas esféricas)).

Puesto que p es la distancia del punto al origen, es evidente que

p2 = x2 + y2 + z2.

Figura 14.9


Es necesario expresar s . 1' y z en términos de coordenadas esféricas p. 4, O . Según la fig. 14.9. st: ve que

x = p sen 4 cos 8. y = p sen 4 sen O. z = p cos 4. Se permitirin valores de i) donde p 2 O y valores de d j tales que O d cf, < n.

RESUMEN

GEOMETRíA DEL ESPACIO Y VECTORES 469

EJERCICIOS

1. Localizar en el espacio todos los puntos (x,y,z) que satisfacen la ecuación dada.

a ) x = 2 b ) z = 3 C ) X = V

d) y ' = ~ e) x = y = z

2. Aunque no se han definido ni rectas ni planos en el espacio. aplicar la intuición geométrica para hallar el punto requerido. a) El punto tal que el segmento de rec-

ta que lo une con (-2.1, -4) es bi- secado por el plano s = O y es perpendicular al mismo.

b) El punto tal que el segmento - de recta que Io une con ( - 1, n, 4/21 tiene el origen como punto medio.

c) El punto tal que el segmento de recta que lo une con ( - 1; 4, - 3) tiene ( - 1,2 , - 3) como punto medio.

d) El punto del plano y = 2 más próxi- mo al punto ( - 1, - 5,2).

3. Sea ( - 1,2,1) el origen de un sistema de coordenadas Ax, Ay, Az. Expresar todos los puntos siguientes en términos de las nuevas coordenadas trasladadas.

a) (1, -2, 1) b) (-3.4, O)

8. Hallar ~ o d a s las coordenadas cilíndricas del punto ( 1 , 1 , 1 ) .

9. Trazar en el espacio el lugar geométrico de 0 = nj4 en coordenadas cilíndricas.

10. Trazar en el espacio el lugar geométrico de r = 2 en coordenadas cilíndricas.

11. Trazar en el espacio el lugar geométrico de .xz + y' = 9.

12. Trazar en el espacio el lugar geométrico de .x2 + z2 = 4.

13. Hallar coordenadas x, y, z para el punto con las coordenadas esfkricas siguientes. UtiliLar una figura en lugar de las ecuaciones de transformación.

a) (2, d 4 , - T I b) (O, 3 d 4 , d 6 ) c) (4, d 2 , d 3 )

14. Hallar coordenadas p. 4. f) para el pun- to con las siguientes coordenadas .x, y, z. Utilizar una figura para hallar las respuestas.

a ) (1. O, O) b) (O. O, -4) c) (1, 1 , l ) d) (-3, -4.5)

c) (5, -1,2) 15. Hallar ecuaoiones de transformación

4. Hallar la distancia entre los puntos para las coordenadas esféricas p. q5 y O en términos de las coordenadas rectan-

dados gulares .x, y y z. [Suyererlcia. Utilizar una

a) (-1,0,4) Y (1, 1.6) figura.] b) (2, -1.3) Y ( 0 , 1 ,7 ) 16. a) Expresar las coordenadas cilíndri-

cas r , 0 y z en términos de las coor-

tro es ( - 1,2,4) y que pasa por el punto b) Expresar las coordenadas esféricas 5. Hallar la ecuación de la esfera cuyo czn- denadas esféricas p. 4 y O.

(2, - 1,5). p , q'J y 0 en términos de las coorde- 6. Hallar la ecuación de la esfera que tiene nadas cilíndricas r, O y z.

los puntos ("1$2> 6j y (1,6,0) 'Omo ex- 17. Trazar en el espacio el lugar geométrico tremos de un diámetro. de q'J = x14 en coordenadas esféricas.

7. Hallar el centro Y el radio de la esfera 18. Hallar e[ volumen de ]a región descrita dada. en las coordenadas esféricas por 2 < p

a) x * + y' + z2 - 2x + 2y = O < 5 y O < q ' J < 7 1 / 2 . b) x' + Y 2 + z z - 6x - 4Y + 82 = -4 19. Describir en términos de las coordena-

14.2. SL'PERFICIES CUADRATICAS

UIIJ superficie cuadrritica en el espacio es el lugar geomdtrico de u n polinomin de grado dos en .Y, z. Como ayuda para trarar tales superficies. se examinan las curvas que resultan cuando las superficies intersecan planos paralelos a los coordenadas. Nótese que el lugar peomitrico en el espacio de .Y = S , , es un plano paralelc? a l plano coordenado y.:. De manera aniloga. J' = J.(, es u n plano paralelo a l plano coordenado s. -I y z = zcl es u11 plano paralelo al plano coordenadn .x. !'. Los mismos planos coordenados .Y = O, \' = il y r = O son especialmente útiles. Cualquiera de estos planos que corte una superficie cuadrritica conforma en la intersecci6n una eiipse. una hipkrbola o una parrlbola.

en el espacio interseca el plano .Y. J. en una elipse y sus elementos son paralelos al eje z . Este cilindro elíptico se muestra en la fig. 14.10. I ]

Ejemplo 2. El cilirdro puruhtilico z 2 = 4p!. se representa en la fig. 13. I 1 . / I Como en el caso de las curvas planas de segundo grado, el recurso de completar

los cuadrados y escoger un nuevo origen se usa con frecuencia en el trazado de superficies cuadráticas. Se supone quc esto ya no presenta. dificultades y en l o s ejemplos siguientes se empieza con ecuaciones en que no es necesario completar los cuadrados. Esos ejemplos exhiben algunos tipos de superficies cuadriticas.


Cilindro parabólico :' = 4pv

v

Y

ib) Figura generada (a) Figura dibujada por computador

Figura 14. I 1

Ejemplo 3. Considerar la superficie cuya ecuación es

X L y L zi - + + + - = l . a' b c2

Si u n plano S , , = x" para - u < .xo < CI corta esta superficie, se obtiene una elipse ( o un círculo si h = c). Esto es claro si se reemplaza S por x(, en la ecuación. Mientras m8s cercano esté .yo de - a o u, menor sera la sección elíptica que se obtiene. Se tienen resultados anilogos para u n plano y = J.,, si -h < yo < b y para u n plano 2 = zo si "c < ;,, < c. Esta superficie es un elipsoide y se representa en la fig. 14.12. 1 1

c

(a) Figura dibujada (b) Figura generada por computador

Ejemplo 4. La superficie cuya ecuaci6n es

x2 y2 z = - + - a2 b2


es un paraholoide elíptico si a + b y un paraboloide circular si a = b. El plano z = zo no interseca la superficie si zo < O, la interseca en un punto si zo = O, y en una elipse si zo > O. Los planos x = x, e y = y, intersecan la superficie en parábolas. Esta superficie se representa en la fig. 14.13. / I

A

Paraholoide elíptico : = -i ~,- + 2 ,.2

Figura 14.13

Ejemplo 5. La superficie cuya ecuación es

y 2 x' z = b z - a z

es un paraholoide hiperbdlico y se representa en la fig. 14.14. No es una superficie f k i l de representar para una persona sin disposición para el dibujo. El plano z = z, interseca hsuperficie en una hipérbola que se ((abre)) en la dirección y si zo > O, y en la dirección x si zo < O, mientras que el plano z = O interseca la superficie en la hipérbola degenerada que consta de dos rectas secantes. Un plano x = x. interseca la superficie en una parábola ((que se abre hacia arribar), mientras que u n plano y = y o

interseca la superficie en una parlibola ((que se abre hacia abajo)). / I

.> I

Paraboloide hiperbólico 1 2 ~ - Y- .x-

(1''

(a) Figura dibujada

Figura 14.14

(b) Figura generada por computador



es un cono elíptico (un cono circular si a = b). Si se hace z = zo, se obtiene una sección elíptica, mientras que los planos x = x. e y = yo dan paso a secciones hiperbólicas. La superficie se representa en la fig. 14.15. ( 1

i Figura 14.15 f

\'2 Cono elíptico 2 = + 3

(I- h

Figura 14.16


Z 2 x* y 2 - = 1 + 7 + - C2 a b2

es una hiprrboloide de dos hojas y se representa en la fig. 14.16. El análisis de las secciones generadas por planos paralelos a. los planos coordenados se deja como ejercicio (ver ejercicio 1). I / Ejemplo 8. La superficie cuya ecuación

z2 x2 y 2 I + - = - + - c2 a2 b2

es una hiperboloide de una hoja y se representa en la fig. 14.17. De nuevo, el análisis de las secciones planas se deja como ejercicio (ver ejercicio 2). 1 1

Se concluye con un ejemplo con números específicos en vez de a, b y c, en el cual se requiere completar cuadrados.


4

Figura 11.17

Ejemplo 9. Dibujar la superficic -- i 6x2 -t 4yy' - 2'- X y + 42 = 0

J Figura 14.18


En la fig. 14.18 se toman eje .Y, j Z en (O, 1, 2). Si se hace X = O, se ve que el plano y, Z

interseca la superficie en las rectas 2 = & 2 j . Si se hace j = O, se obtiene solamente el lugar geométrico (2, j7, 2) = (O, O, O). Si se hace Z = O, se obtienen las dos rectas i; = f 2.u en el plano x, y. Los planos y = c intersecan la superficie en secciones elípticas. La superficie es el cono elíptico doble que se muestra en la fig. 14.18. 1)

RESUMEN

2. Purajircilitur el truzudo de ius superficies cuudrúticas se determinun lus curcus de interseccicjn de las superficies con planos .x = .xo, y = yo o z = zo. Se comienza trazando las curcus respecticus en los plunos coordenudos, x = O, y = O y z = O. Ver ,figs. 14.10 a 14.17 para los tipos posibles de superficies.

EJERCICIOS

1. Describir las curvas de intersección del 8. y' - x2 - z 2 = o hiperboloide de dos hojas del ejemplo 7 con planos paralelos a los planos coor- 9. 3 6 ~ - 9 y 2 - 16i2 = O denados. X 2 y 2

x 2 Y ? z 2

x z v L 4 9 x 2 y 2

2. Describir las curvas de intersección del 4 9 hiperboloide de una hoja del ejemplo 8 con planos paralelos a los planos coor- 11. - - - - - + 4 = 0 denados. 4 25 9

10. " - + z 2 + 1 = o

Etz l o s tvwcicius 3 u 17, dihujur la suprrfi(k1 12. - f + - 3 = 0 cuudrriticu e11 el espucio clue t i m e Iu ecuucibn duda, 4' dtzr e i rtomhre dwcriptiw r'orrcspntl- 13. - - - + - 1 = o dietzte como et1 1rr.sfiy.s. 14.10 (1 14.17. 4 9

3. y 2 + i2 - 4 = o 14. 2 ~ ' + 3y2 i- 42' - 24 = 0

4. x z + 2x + y2 = o 15. x L - 4 y z + 162' = O

5. y " 2 - o

6. xz -- 1 = O

7. 4 x - y Z + 2 y + 3 = 0 17. X' - 4 y + Z * - 8 = O


14.3. VECTORES Y ALGEBRA VECTORIAL

Se comienza con consideraciones acerca de la notación. En este capítulo se hace referencia a la primera, segundu o terceru coordenadas de un punto. Esto sugiere el cambio de notación para las coordenadas, con el fin de dar un indice a cada posición. Con frecuencia se escribe

14.3.1. Notaci6n y terminología vectoriales

Cuando se trabaja con más coordenadas, las notaciones prolongadas como (u l , u2, u3) son tediosas de escribir y ocasionan problemas de impresión si en una sola fórmula aparecen varias de tales notaciones. A menudo se usarh una sola letra en negrilla a para denotar un punto como (u1 ,u2 ,u3) . El número de coordenadas se especificará explícitamente o aparecerá claro por el contexto. Por ejemplo, el punto del espacio a es (ul, u2, a3), el punto b del plano es (bl, b2), el punto del espacio x es (xl , x2, x3), etc. Para el trabajo escrito se sugiere utilizar ¿ícon una flecha sobre la letra en lugar de la letra en negrilla. Esta es notucidrr vectorial, y los puntos corresponden a vectores, como habrá de explicarse. Para el origen se utiliza el cero en negrilla; en el espacio, por ejemplo, O = (O, O, O).

Todo punto a del espacio (o del plano) da lugar a una muyrlitud numérica, la distancia J u f + u: + u: de O a a, y a una dirección, la de O a a. En la terminología de la mecánica clisica, se da el nombre de vector a cualquier cantidad con la cual sc han asociado una magnitud y una dirección. Utilizando esta terminología clásica, se considera que (u l , u2. a3) es un vector y también un punto del espacio. En terminolo- gía vectorial, O es el vector cero. Los vectores

I"""

i = ( L O ) y j = (O, 1)

son los vectores coordenados unitarios en el plano, mientras que

i = (1 , O, O), j = (O, 1 , O), Y k = (0, o, 1)

son los vectores coordenados unitarios en el espacio.

Se hace hincapié en que la definición matemática de wctor es idéntica a la de punto; en cudu caso se da una colección ordenada de números reales. Los no'mbres ((vector)) y ((punto)) indican interpretaciones geométricas diferentes para tal colec- ción. Si se pide a un matemhtico que represente grificamente el wctor (1,2) en el plano, dibujará la flecha que indica la longitud y la dirección que se muestra en la figura 14.19. Por otra parte, si se le pide la representación gráfica del pur~to (3, - 2). dibujari el punto negro que se muestra en la figura para indicar, precisamente, una posición.


t

Figura 14.19

Trrmirdogia cecrorial

En resumen, toda terna a = ( a l , u*, a3) es un punto en el espacio y también un vector. La longitud de un vector a se denota por la\, y es igual a Ju: + u: -t u:. El número cli es la i-ésima componente del vector. Cualquier vector de longitud 1 es un vector unitario; en particular, i = ( l . O, O), j = (O, 1, O), k = (O, O, 1) son los vectores coordenados unitarios en el espacio. El vector O = (O,O,O) es el vector cero. Se utiliza termíno- logia análoga para el vector (11 = (a l , a2) en el plano.

Ejemplo 1. Los vectores a = (O, 1) y b = (1/2, J3j2) son vectores unitarios en e! plano. 11

14.3.2. Algebra de vectores

Se tiene conciencia de la importancia de la noción de adición de números reales. La adición en la recta numérica se generaliza a la adición en el plano y en el espacio, muy importantes en el análisis. La adición en el espacio o en el plano se formula en el lenguaje de los vectores. Se seguiri la convención siguiente.

Definición 14.1. Sean a y b vectores en el espacio. La suma de a y b es el vector del espacio que se define por

a + b = (a , + b , , a , + b2,a3 + b3).

Una noción análoga de suma es válida para vectores en el plano. Nótese que la adición de vectores se define sólo para dos vectores con el mismo nrintero de componentes.

A

, Figura 14.2 1


Esc~~rl~rrrs

De nuevo se considera otra operacicin en rilgebra vectorial. Cuando se trabaja con vectores en el espacio ( o en el plano). a menudo se hace referencia a los números reales como escalares para distinguirlos de los vectores. Se define el producto de un escalar I’ y u n vector a = ( u l . cr2. u 3 ) en el espacio. como la segunda operación del ilgebra vectorial.

~ ~~ ~~ ~~~ ~ ~~ ~~ ~~ . ~~~~~~~~ ~~~ ~.

Definición 14.2. El producto ra del escalar r y el vector a es el vector

ra = ( m , , Tu2, ra3). ~~~~~~~~ ~~ . ~ ~~

De nuevo. la nocicin anriloga es vilida para el producto de un vector en el plano por un escalar v.

Ejemplo 3. En el espacio. 2(3. - 1.4) = (6. - 2. X). 1 1

Obsérvese que para todo vector a = ( u l . l r 2 . a 3 ) en el espacio. se tiene

a = (al , a2, a,)

= U I ( 1 , o, O ) + 4 0 , 1, O ) + a,(O, O, 1)

= a, i + a 2 j + a,k. De manera aniloga. en e1 plano

6 = ( b , . h,) = h , ( l , O) + h2(0 , 1) = h , i + h 2 j .

Las cxprcsiones i, j . k para vectores se utilizan frecuentemente. Esta notación se trtilizarri. siempre que no resulte muy complicada. para indicar dónde se hace referencia a l a ctinterpretacicín vectorial)) de l a terna ordenada o del par ordenado.

Según la definicicin 14.2. se ve inmediatamente que para todo número real I’ y para todo kector a = u l i i- oj i- ~r,k se tiene

Así. si se desea describir I’U en términos de longitud y direccidn, la ec. (1) indica que la longitud del producto va es Ir/ veces la longitud de a. En la fig. 14.22 se indlca que ra tiene la misma direccicin que a si r > O. y dirección opuesta si r < O.

C‘c.ctorc7.s puralelos

Obsérvese que los vectores no nulos a y b son paralelos si y sólo si b = ra para algún número real I’. Así, ra es un vector de longitud Irl. la( paralelo a a, con la misma direccibrz qur a si r > O, y con dirección opuestu si r < O.


t . - [ I r Figura 14.22

Ejemplo 4. Los vectores a = I - 3j y b = 2 i - 6 j en el plano son paralelos (tienen la misma dirección). puesto que 2i -- 6 j = 2(i - 3j). Sin embargo, c := 4i - 3j y d = 2i - 7 j IIO son paralelos. I / Ejemplo 5. Sea /a/ = 5. Entonces

13a/ = 131. / a / = 3 . 5 = 15,

y 3a tiene l a misma dirección que a. Sin embargo. -7a est& en dirección opuesta a a y

\ ~ -7a / = 1-71' jaj = 7 . 5 = 35. \ \ Ahora se define la r i i f i w r z c i a a - b de vectores a y b por

a - b = a t (-1)b;

ya se ha definido la adición de vectores y el producto ( - 1)b. Puesto que b + (a - b) = a, se ve que a - b es el vector que sumado a b produce a. En la fig. 14.23 se muestra una representación de a - b en coordenadas trasladadas, cuyo origen es la punta de b y que, por tanto, termina en (u1 ,u2) .

a - b (Trasladado)

( N ! , U ? )

/

a - b / /

En resumen, la adición y la sustracción de vectores y la multiplicación por un escalar son operaciones fáciles; simplemente se realizan los cómputos numéricos correspondientes para cada componente.


Se enumeran algunas leyes algebraicas vilidas para el álgebra de vectores. La demostración de estas leyes, que es muy sencilla, se deja para los ejercicios (ver ejercicio 12).

Teorema 14.1. Puru todo rector a, b y c e11 el espucio o en el plano, y puru todo escalar r y S, son rú1idu.s / u s leyes siguientrs.

a) ( u + b ) + c = u + ( b + c ) (usociuticidad de lu udicidn) b) u + b = b + u (conmututiuidad de lu udición) c) r(su) = (rs)u (usociuticidad de la rnultiplicucidn por escalares) d) ( r + s)u = ru + su ( ley distributiva por la derecha) e) r(u + b) = rn + rb ( l e y distributiva por lu izquierda)

14.3.3. Modelo físico para vectores

En el estudio del movimiento los físicos utilizan vectores para representarjuerzus. Supóngase, por ejemplo, que se empuja un objeto para moverlo. La direccibn y la intensidud del empuje influyen en el movimiento del objeto. Por tanto, la fuerza del empuje se representa convenientemente por un vector cuya direccibn es la del empuje, y cuya longitud representa la intensidad del mismo. Si se duplica la fuerza de empuje, el vector de ffierza duplica su longitud; esto corresponde a la multiplicación del vector fuerza por el escalar 2.

Supóngase que dos personas empujan u n objeto con fuerzas que corresponden a vectores a y b, como se muestra en la fig. 14.20. Se demuestra que el movimiento del objeto que resulta de las fuerzas combinadas es el mismo que resultaría si sólo una persona empujase con una fuerza que se expresa por un vector que es la diagonal del paralelogramo cuyos lados adyacentes son los vectores flechas u y b (ver fig. 14.20). Entonces, el cector firrrzu resultante es precisamente el vector u + b.

14.3.4. Vectores perpendiculares

Es muy importante saber cuindo dos direcciones son perpendiculares. Existe un criterio muy fácil para ésto en términos de vectores. Tres puntos cualesquiera del espacio que no estén en la misma recta, determinan un plano. La fig. 14.24 ilustra uno de tales planos determinado por los tres puntos (O, O, O), (ul , u2, u3) y (bl, b,, b3). Los vectores a y b de la fig. 14.24 son perpendiculares si y sólo si la relación pitagórica es válida, es decir, si y sólo si

Por la definición de la longitud de un vector, esto es válido cuando


Elevando al cuadrado los tlrminos de la derecha de ( 3 ) y reduciendo términos semejantes, se obtiene la condición

O = - -2a ,h , - 2a,hl - 2a,b3

0

a , h , + a,b2 + n th , = o.

Corzrlicidrl dc, perprndiculuridud

Los vectores del espacio a y b son perpendiculares si y sólo si

a , b , t a,b, + a,b, = O . (4)

Por supuesto, el resultado correspondiente con dos componentes es válido para vectores en el plano.

Ejemplo 6. Los vectores coordenados unitarios i = l i + O j y j = Oi + l j en el plano. son perpendiculares porque

1 * 0 + 0 . 1 = 0 .

Tambien, - i + 3j + 2k y 5i - j 3- 4k son perpendiculares en el espacio porque

-1 * S + 3 . (-1) + 2 . 4 = -5 - 3 -t x = o. j /

Ejemplo 7 . Segim la condicicin (4). el vector n u l o O es perpendicular ;I r o r h vector en el espacio. Por e s t a razón es conveniente considerx que 0 tiene r o r l u s l t r s r l i recciorw\, cn vez de r l i r l y l r r i t r dircwY(jrz. , i

RESUMEN


3. La multiplicación de un vector a por un escalar (número real) r viene dada por ra = 4q, a2, a3) = (yal , ra2, ra3) .

4. Dos vectores no nulos a y b son paralelos si existe un escalar r, tal que b = ra.

5 . Dos uectores a y b son perpendiculares si a lb l + a2h, + a3b3 = O.

6 . Los vectores coovdenados unitarios del espacio se representan

i = ( l , O , O ) , j = ( O , l , O ) , k = ( O , O , l ) , asi (al , a, ,a , ) = a , i + ad + a$. En el plano se utiliza i = (1,O) y j = (O, 1).

EJERCICIOS

1. Sean a = 2i - j y b = - 3i - 2j vectores en el plano. Dibujar, utilizando flechas, los vectores a, b, a + b, a - b y -(4/3)a.

2. Sean a = - i t- 3j - 2k, b = 4i - k y c = - 3i - j + 2k ventores en el espacio. Hallar

a) 30 b) -2c C) a + b d) 36 - 2~ e ) a + 2(b - 3 4 f) 3(0 - 26) g) 4(30 + 56)

3. Sean a = 3i - 2j + 2k y b = - i + 4j + k. Hallar

a) 141 b) la + bI C) (-201 d) lb - 301

4. Determinar si los siguientes pares de vectores son paralelos, perpendiculares o ni lo uno ni lo otro. Si dos vectores son paralelos, determinar si tienen la misma dirección o direcciones opuestas.

a) 3i - j y 4i + 12j en el plano. b) - 2i + 6j y 4i - 12j en el plano. c) 3i - j y 4i + 3j + 2k en el espacio. d) 2i - 3j + k y 8i + 2j - 10k en el

e) J% + JEj - J8k y 2i + 6j - 4k espacio. *

en el espacio.

5. Si es posible, determinar c tal que el

vector 2i + cj en el plano sea paralela al uector dado.

a) 4i + 6 j b) -5i + 3 j

c ) 3 i

d) 3 j

6. Si es posible, determinar c tal que el vector ci + 2j - k sea perpendicular al vector dado.

a) j - 4k

b) i -- 3k

c) -5 i + j + 2k

7. Hallar el vector unitario en el espacio paralelo a i - j + 3k y con la misma dirección.

8. Hallar dos vectores unitarios en el plano perpendiculares a 3i - 4j.

9. Hallar dos vectores unitarios en el espacio que no sean paralelos y que cada uno sea perpendicular a - 2 i + j + 2k.

10. Demostrar que (1, - 9 , (9, - 1 1 ) y (4, - I ) son vértices de un triángulo rectán- gulo en el plano.

11. Demostrar que (1, - 1,4), (3, -2,4), ( - 4 . 2 , 6 ) y ( - 2 , 1,6) son vértices de un paralelogramo en el espacio.

484 CALCULO C O N GEOMETRíA A N A L ~ T I C A

12. Demostrar que, para todo vector a b) u + b = C + u = u , i + u j + a,k, b = b,i f h j + h,k y c = c, i + c j t c,k. y todo escalar r y S, las relaciones siguientes son válidas.

a) ( u + b ) + c = u t ( b + c ) e ) r(u + b) = ru + rb

c) r (su) = ( r s h

d) ( r + s)u = ru + sa

14.4. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES

Sean u = u l i + u j + u,k y b = h , i + h j + h,k vectores no paralelos y no nulos en el espacio. Geométricamente u y b se consideran como flechas que salen del origen, como se muestra en la fig. 14.25. El vector u indica la dirección de una recta, denominada ((recta a lo largo de u)) que pasa por el origen en la fig. 14.25. Anrilogamente, el vector b indica la dirección de la recta a lo largo de b. Estas dos rectas que se intersecan en el espacio determinan un plano, como se indica en la fig. 14.26. Los puntos de este plano son precisamente aquellos x = (x1,.xz,x3) que se expresan en la forma x = tu + sb para algunos escalares t y s.

Recta a lo largo de b /

i l / 1 Recta a l o largo de a

-7”-

Figura 14.26 x 3

14.4.1. El producto escalar

En la fig. 14.27, se considera el plano de la fig. 14.26 como el plano de esta página. Es necesario hallar el ángulo 8 entre a y 6 como se muestra en la figura. Para hallar O se aplica la ley de los cosenos al tririrlgulo de la figura y se obtiene

d’ = la[* + lbI2 - 21~1 lb1 COS 8. (1)

Es fácil hallar d z , [al y lb( en términos de las componentes ui y hi de las vectores a y b; por tanto. puede utilizarse (1) para hallar cos 0 en términos de dichos componentes. Se tiene

d 2 = ( h , - U,)’ + (b2 - a2)’ + ( b , - U?)* ,

G E O M E T R ~ A DEL ESPACIO Y VECTORES 485

"-. Linea a lo largo de b

mientras que la12 = al2 + a 2 + a32

Y (bI2 = b12 + b22 + b32.

s i se sustituyen estos valores en la ec. (l), elevando al cuadrado los términos (bi - ail2 en d 2 , y reduciendo los términos semejantes at y bt en ambos miembros de la ecuación resultante, se obtiene

-2a1b, - 2a2b2 - 2a3b3 = -21~1 (bl cos O, (2) de modo que

El numerador en (3) es una expresión conocida; en la sección 14.3.4 se vio que los vectores a y b son perpendiculares si y sólo si alb l + a,b, + a,b3 = O. Nótese que esto es consistente con (3); los vectores son perpendiculares si y sólo si 8 = n/2 o O = 3n/2, de modo que cos 8 = O. El número a b + a,b, + a,b, que aparece en (3) es tan importante que recibe un nombre especlal, el producto escalar de u y b (o producto punto o producto interno). (El resultado de este producto de a y b es un escalar.) Según (3), se obtiene

l ?

albl + azbz + a,b, = (u( lb( cos O. (4)

Nótese que si a o b son O, de modo que 8 sea indefinido, entonces la1 o IbJ son cero, y la ec. (4) es formalmente vilida.

Definicidn 14.3. El producto escalar a . b de a y b es

u b = a lb l + a,b, + a3b3.

La ec. (4) muestra que a . b = 1 0 1 lb1 cos 8, donde 8 es el ángulo entre a y b. Obviamente, la misma deducción hubiera sido posible para vectores en el plano

con sólo dos componentes. La noción de producto escalar se define para dos vectores cualesquiera que tengan el mismo número de componentes. Ejemplo 1. Calcular a, b para los vectores

u = i - 4 j + 3 k y b = 6 i - 2 j - k .


Ejemplo 3. Hallar el i n g u l o O que la diagonal de 1111 cubo en el espacio hace con la arista del cubo.

s ~ l , c ~ < . ~ O \ . Se toma un cubo con un virtice en el origen y con aristas que coincidan con los ejes coordenados positivos, como se muestra en la fig. 14.28. Entonces i, j y k son vectores a lo largo de l a s aristas del cubo. mientras que el vector a Io largo de la diagonal es

d = i + j + k

Se tiene

14.4.2. Propiedades algebraicas del producto escalar

El teorema 14.2 que aparece mis adelante cnurnerit algunas de las propiedades del producto escalnr. Sc observa la convención usual de que una operacion algebraica escrita en notación multiplicativa se lleva a cabo antes que una expresada en notaci6n aditivn, en auscncia de paréntesis. Por ejemplo.

a - b + a - c =: ( a - b ) + ( u - c )


Las propiedades a), b), c) y d) se demuestran ficilmentc a partir dc l a fórmula (5) para a . b en términos de las componentes de a y de b. Como ilustración, se demuestra a) para vectores en el espacio. Se tiene

y esta suma de cuadrados es O si y sólo si cada = O, es decir, si y sólo si a = O . Las demostraciones de b), e) y d) se dejan para los ejercicios (ver ejercicios 14, 15 y 16).

Las propiedades e) y f) son realmente reformulaciones de definiciones previas en la notación del producto escalar. La longitud de u n vector a en el espacio se definió como a , + a i + a: = ,'ay. También se define que a y b son vectores perpendiculares si y sólo si a . b = a l b 1 + uzh , + a,b, = O. Recuérdese que el vector O se definió como perpendicular a todo vector.

Las propiedades del producto escalar son muy importantes, y dan origen a muchas consecuencias. Se da una ilustracicin geométrica.

Ejemplo 4. Demostrar que la suma de los cuadrados de las longitudes de las diagonales de un paralelogramo es ~gual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los lados. (Esta es la reIrrcih d c d I'crrtrlclogrirlllo.)

so~.r:cri>h. Se toma u n paralelogramo con u n vértice en el origen y vectores a y b como lados coterminales, como se muestra en la fig. 14.29. Las longitudes de las diagonales son entonces la + bj y la - bl. Si se aplica el teorema 14.2, se tiene

la + bI2 + /a - b/' = (a + b ) * (a + b ) + (a - h ) - (a -- b ) = a s a + 2 a . b i b - b + a - a - 2 a . b + b - b = 2(a 6 a) t 2(b - b) = 21~1' t 21bl',

lo que se deseaba demostrar. Puede suponerse que sólo se utilizd la propiedad e) del teorema 14.2, pero también se utilizaron las propiedades b), c) y d), como se pide demostrar en el ejercicio 17. 1 1


14.4.3. Proyección vectorial

Sean a y b vectores en el espacio con b 7 O . Entonces

1 1 - a Y - h /a/ lb1

son vectores unitarios en l as direcciones de a y b. respectivamente. De ahora en adelante tales vectores se representarin como

aunque no se haya dado una definición formal de la divisidn de un vector por un escalar.

En la fig. 14.30 se supone que el plano quc contiene a y b es el mismo de la pligina. y se muestra cl lingulo O entre a y b. También se ha identificado en la figura la pro~*cw~i&7 wcroricrl tlr a sohrc, b. Este vector tiene la direcciin dt. b si 0 es u n Lingulo agudo, y de - b si O es un lingulo obtuso. La longitud de esta proyecci6n Lectorial es la distancia del origen O al pie de la perpendicular a la recta a lo largo de b. dibujada desde la punta del vector a. Scgiln la figura. esta longitud es la; cos O. de modo que l a proyección kectorial resulta


S O L U C I ~ N . La proyección vectorial de a sobre b es

La componente de a a lo largo de b es

a - b 2 ” - - lb/ J ¡ i ’

I1 Si b es un vector unitario tal que lb1 = 1, entonces la proyección vectorial de a

sobre b adopta la forma mlis simple (a - b)b.

Ejemplo 6. Un físico desea hallar las componentes de un vector fuerza en las direcciones de las coordenadas. Para un vector fuerza F en el espacio y con direcciones dadas por i , j y k, las componentes de F a lo largo de i , j y k son

(F i), ( F - A , Y ( F -ki. 1 1

RESUMEN

a b = a , h , + u,h2 + a,b,.

El producto esculur de a y b se describe yeomc;tricumente por

a b = /al lb1 cos O,

donde tl es el unyulo entre a y b.

Las propiedades ulgebraicus del producto escalur se enutnerun en P I trovemu 14.2 d e /u seccicin 14.4.2.

LU proJvccidn cectoritrl de a sobre b, si b + O es el uector

EJERCICIOS

E n los ejercicios J u 14, hullur el dngulo erltrc 1. i + 4j y -8i + 2j. los cectores. 2. 3i + 2j - 2k y 4j + k

490 CÁLCULO CON GEOMETR~A ANAL~TICA

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

1 O.

a = k y b = i - k .

a = 3 i + 4 j y b = -i.

Hallar el ángulo BAC del triringulo cuyos vértices son A(O, 1,6), 4 2 . 3 , O) y C( - 1. 3,4).

Hallar el ángulo ABC del triángulo cuyos vértices son A(O, 1, 6), B(2, 3, O) y C( - 1, 3,4).

Hallar el ángulo entre la recta que pasa por ( - 1,2,4) y (3,4, O) y la que también pasa por ( - 1,2,4) y por (5 ,7 ,2) .

Hallar dos rectas en el plano que pasen por (1, -4) y que corten la recta y = -2x + 7 haciendo un ángulo de 45”.

Utilizar métodos vectoriales para demostrar que las diagonales de un rombo (paralelogramo con lados iguales) son perpendiculares. [Sugerencia Utilizar una figura como la fig. 14.29 y demostrar que (a + b) . (a - b) = O.]

Utilizar métodos vectoriales para demostrar que el punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es equidistante de los tres vértices. [Suge- renciu. Ver la fig. 14.31.1

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

Figura 14.31

Demostrar que

Demostrar que los vectores lolb + lbla y lalb - lbla son perpendiculares.

Demostrar que el vector

lalb + lbla la1 + lb/

biseca el ángulo entre a y b.

Demostrar que para a, b, c, la ecuación

Q . b = a ’ C ,

donde a # O, no implica b = c.

Aplicar la fórmula del producto escalar para demostrar que

a - b = b a a

para todo a y b en el espacio.

Utilizar la fórmula del producto escalar para demostrar que

a . ( b + C) = a * b + a * c

para todo a, b y c en el espacio.

Utilizar la fórmula del producto escalar para demostrar que (ru) .b = u ( rb) = r(a b) para todo a y b en el espacio y todo escalar r .

Decir dónde se utilizaron las propiedades de b), c) y d), dadas en el teorema 14.2, en la demostración de la relación del paralelogramo en el ejemplo 4.

En lob ejercicios 18 n 22, hullur la proyeccicin cecroriu/ del primer wctor sobre el segundo, y l o compownte del primer wctor u / o lurgo del segundo.

18. i + 3 j + 4k sobre j 19. j sobre i + 3 j + 4k 20. 2i - j sobre -21 + 3j 21. 3i + j - 2k sobre 4i + 2j + 7 k 22. a = - i +- j + 3k sobre b = 3i - 2 j + k 23. Sean u y b vectores con b # O, y sea c la

proyección vectorial de a sobre b. De- mostrar que a - c es perpendicular a b.


14.5. PRODUCTO VECTORIAL Y PRODUCTOS TRIPLES

14.5.1. Repaso de los determinantes de 2 x 2 y 3 x 3

Una matriz cuadrada es una disposición de números en forma de cuadrado. Por ejemplo,

es una matriz 2 x 2 (se lee {(dos por dos))), y

(; :) 3 -4 5

es una matriz 3 x 3. Toda matriz cuadrada está asociada con un número que se denomina determinante de la matriz. El determinante se denota por líneas verticales en vez de paréntesis grandes a los lados de la disposición. El determinante de una matriz 2 x 2 se define como

El determinante de una matriz 3 x 3 se define en términos de los determinantes de matrices 2 x 2, como sigue:

La fórmula (2) es fricil de recordar. Los coeficientes de los tres determinantes del miembro de la derecha de (2) son los elementos de la primera fila de la matriz original 3 x 3, con los signos más y menos alternados. El primer determinante en el miembro derecho de (2) es el determinante de la matriz 2 x 2 que se obtiene al eliminar la fila y la columna en la que el coeficiente a , aparece en la matriz 3 x 3. El segundo determinante se obtiene eliminando la fila y la columna en las que aparece a,,etc. Ejemplo 1. Se tiene 7 -2

14 31 = 7 . 3 - (-2)4 = 21 + 8 = 29.

Como ilustración para el caso 3 x 3,

2 3 5 2 6 -4 6 -4 2

-4 2 6 = 2

1 0 3 Io 3 k 3 1 1 3 1 + 5 1 1 01

= 2(6 - O) - 3(-12 - 6) + 5(0 -2)

= 12 + 54 - 10 = 56. 11


En el siguiente teorema se dan los únicos resultados que es necesario conocer para trabajar con determinantes.

Teorema 14.3. Si la segunda o lu rercerujla de una matriz 3 x 3 es igual u la primera, entonces el determinante de la matriz es cero. Si se intercumhian las filas segunda y tercera de una matriz 3 x 3, el determinante de la nuem matriz difiere del de la matriz original s d o por el signo.

Se pide demostrar el teorema 14.3 en los ejercicios 7 y S por medio de los cómputos

Y

= o,

14.5.2. El producto vectorial

Sean Q = u,i + a j t u,k y b = h , i t h j + h,k vectores en el espacio.

Definición 14.4. El producto vectorial u x b de Q y b es el vector que resulta al computar un determinante simbólico como sigue:

Este producto se denomina producto vectorial porque Q X b es un vector. También se conoce como producto cruz.

Ejemplo 2. Si a = 3t - 2j + k y b = -2i + 3j + 4k, entonces

a x b = i j k 3 - 2 1 =

-2 1 3 1 3 -2

-2 3 4 I 41i - 1-2 h + 1-2 3Ik

= -1li - 1 4 j + 5k. 1 )


Ejemplo 3. Se ve fácilmente que

i j k

O 1 0 i x i =

= \1 O 0 oJi-(o 1 0 o l j + l o O k 1 ) 1 O O

= O i + O j + k = k

y q u e j x k = i y k x i = j . 1 1

Las propiedades geométricas importantes de cualquier vector son su Ionyitud y su direccidn. En la fig. 14.32 se toma el plano determinado por las rectas a lo largo de a y b como el plano de esta página, y se sornbrea el paralelogramo, dos de cuyos lados son a y b. Se postula que la longitud la x bl es igual al área de este paralelogramo sombreado. Esto se verifica hallando el área. Con referencia a la fig. 14.32,

Area = (longitud de la base)(altura) = la1 . h = la) . 161 sen 8.

Figura 14.32

Por tanto,

(Area)’ = \al2 (5)’ sen28 = 1 ~ 1 ’ l6I2 (1 - COS'^) = )O(’ lb\’ - (It11 . (61 COS e)’ = ((11’ lb)’ - (a b)’ = (al2 + a; + a3’)(b1’ + b,’ + b,2) - (albl + azb, + a,b,)*.

Basta un poco de paciente manipulaciiin algebraica para concluir que lo anterior es equivalente a

(Area)’ = (a’b, - a3b2)’ + ( a , b , - a3b1)’ + (a1b2 - a2b1)*

- - i”: a f + i“; “:I’ + (a1 a’(‘ b b b b b , b2

Pero esto es el cuadrado de la longitud del producto vectorial a x b, así que (áreal2 = la x bI2 y área = la x bl. Esto demuestra que

la x 61 = (Area del paralelogramo) = (a(. 161 sen H. (4)


Longitud de a x b

Finalmente, se desea conocer la dirección de a x b. En primer lugar, se ve que u x b es perpendicular a u y b, y, por tanto, perpendicular al plano que contiene el paralelogramo sombreado en la fig. 14.32. Se necesita demostrar solamente que a ( a x b) = O y b * ( a x b) = O. Con referencia a la ec. (3), donde se define a x b, se tiene que

Pero esto es igual al determinante

a1 a2 a7

a , a2 a3

b , 6, b3

= 0,

que es nulo, puesto que la primera y la segunda fila son iguales (teorema 14.3). Así, a (a x b) = O y a es perpendicular a a x b. IJn argutnento andogo muestra que b .(a x 6) = O; en esta ocasión, la primera y la tercera fila del determinante son iguales.

Ahora se sabe que la longitud de a x 6 es la1 .lb¡ sen O, y su direcci6n es perpendicular al plano determinado por a y b. Hay dos vectores perpendiculares al plano con dicha longitud; el uno es el negativo del otro. Uno de ellos es a x b, y el otro es - ( a x b), del cual se dice que es igual a b X a. Ahora se ve por qué.

El determinante sirnbólico utilizado para hallar b x a es el que se utilizó para hallar a x b después de intercambiar las filas segunda y tercera. Según el teorema 14.3, se tiene que

b X a = - ( a x b) . (5)

Lo anterior se resume en el siguiente teorema.

Teorema 14.4. Lcl longitud del uestor a x b uiene duda por

\u x 61 = la/ . 161 sen e, donde 8 es el cinyulo entre a 4; b 1. satisfice O < O < x. LLI direccidr? Lie a x b es perpendicular a a y b en la direccidn en que apunta el pulgar de lu mano derecha cuando los dedos se curuun desde a hacia b en la dircccion del úngulo O . Estu nwnera de describir la dirección de a x b se conoce como trregla de la mano derrchan, y se ilustra en la f ig . 14.33.

La única parte del teorema que no se ha demostrado es la correspondiente a la ((regla de la mano derecha)). Esto no se demost rad Es fácil ilustrarla utilizando

i x j = k , j x k = i , y k x i = j ,

ya demostrado en el ejemplo 3.


Ejemplo 4. En el ejemplo 3 se vio que

i x j = k , j x k = i , y k x i = j .

Por tanto, según (5) j x i = - k , k x j = - i , e i x k = - j .

Se pueden recordar (6) y (7) escribiendo la secuencia

i, j , k , i , j , k .

El producto vectorial de dos vectores consecutivos en orden de izquierda a derecha es el siguiente a la derecha, mientras que el producto vectorial en orden de derecha a izquierda es el negativo del vector que sigue a la izquierda. 1 1

La ec. (5) muestra que el producto vectorial no es una operación conmutativa. Sin embargo, es cierto que

a x ( b + c ) = a x 6 + a x c (8)

Y (ka) X b = a X (kb) = k(a X 6 )

para todos los vectores a, b, c del espacio y para todo escalar k . Fácilmente se pueden demostrar (8) y (9) como ejercicios.

14.5.3. Productos triples

Se conocen dos maneras de hallar productos de vectores del espacio a y 6. Se puede hallar a . b que es un escalar, o a x 6 que es un vector. Es natural tratar de multiplicar tres vectores a, b y c del espacio. El producto a-(blc) no tiene sentido, porque a es un vector y b . c es un escalar. Sin embargo, a x (b x c) tiene significado, puesto que tanto a como b x c son vectores. Este producto a & ( b x c) es el tripie producto vectorial. Se calcula más fácilmente utilizando la fórmula


cuya deducción se pide en el ejercicio 24. En el ejercicio 29 se pide comprobar que

a menos que u, b y c se escojan cuidadosamente. Es decir, el triple producto vectorial no es asociativo. Ejemplo 5. Si u = 2i - 3 j + 4k mientras que b = 3 i - j - 2k y c = - 3 i - 5 j - k, Entonces

Q X ( b X E) = ( a - c ) b - ( ~ . b ) c = 5b + c = 12i - l O j - Ilk. ) I El producto a - (b x c) también tiene sentido, pero en este caso la respuesta es un

escalar. En consecuencia, u (b x c) es el triple producto escalar. Sean u, b y c como se muestran en la fig. 14.34. Los vectores son las aristas coterminales de una caja, que se muestra sombreada en la figura. Para tal caja se tiene

Volumen = (Area de la base)(altura).

Utilizando los vectores y ángulos que se muestran en la fig. 14.34, se ve que

Volumen = (área de la base)(ja)cos 4). Ahora bien, el área de la base es lb x cI, según el último artículo. Por tanto,

Volumen = lb x c(.lulcos+).

A b x c

Figura 14.34

Pero b x c es perpendicular a la base de la caja, y 4 es el ángulo entre b x c y a. Por tanto,

lb X cl . 14) COS 4 = Q - (b X e) .

Si se cambia el orden de b y c, se obtiene u - (c x b) = -u - (b x c), pero es obvio que la caja dada por a, c, b es la misma que la dada por a, b, c. Por tanto, se tiene la fórmula

Volumen = [Q (b X c)l. (1 1)


Hay una manera muy fácil de calcular Q ( b x c). Se forma la matriz que tiene los vectores Q, b y c como primera, segunda y tercera filas, respectivamente. Entonces, u - (b x c) es el determinante de esta matriz. Para ver por qué esto es verdadero, obsérvese que si Q = a, i + u J + a , k y d - d,i + d j + d , k , entonces a - d = d ,u , + d,a, + d,a, se encuentra reemplazando formalmente i , j y k por a,. a2 y a3, respectivamente, en la expresión para d . Si se hace esto para

i j k d = b x c = b, b2 b,

c1 c2 c3

para formar a d = a * ( b x c), se obtiene

Ejemplo 6. Hallar el volumen de la caja del espacio cuyos ejes coterminales son los v e c t o r e s a = i - 2 j + k , b = 2 i + 3 j - 2 k y c = - i + 3 j - 2 k .


1 -2 1 Q ( b X c) = = l(0) - (-2)(-6) + l(9) = -3. 2 3 -2

-1 3 -2 Por tanto,

Volumen = la * (b x c)l = 1-31 = 3. 11

RESUMEN

1. 1;; = a,b2 - a2b,

i

2. a x b = a , b ,

3. La longitud del producto vectorial Q x b es laJ. (bl sen 8, donde H es el ungulo entre Q y b. Esta longitud es igual al área del paralelogramo cuyos lados udyacentes son Q y b.


4. Lu dirección de a x b es perpendicular al plano de a y b y en la dirección dada p o r la reylu de la lnano dereclzu, que se ilustra en la j i g . 14.33.

5. Pura todo rector a, b, c en el espacio y todo escalur k ,

a x b = - b x a ,

a x ( b + c ) = a x b + a x c ,

(ka) X b = a X (kb) = k(a X b).

6. i x j = k, j x k = i, k X i = j, mientras j x i = -k, k X j = -i, i X k = - j.

7 . El triple producto escalur Q ( b x c ) y r l triplr producto rectorid a x ( b x c ) se culculan rnuj' jac,ilmente utiliz(mio

a1 a2 a3 U (b X C) = 6 , b, b3

e , c2 cq ?'

a x (b x c) = (a - c)b - (a b)c.

X. I(a b x c)i es el rolunlen dc lu cuju quc' t icnr a, b J. c c'onzo uri.s~u.s coterminu1e.s.


13. 14. 15.

16.

17.

18.

- i + 4 j y 2 i + 3 j - 5 i + 3 j y i + 7 j i + 3 j - S k Y 2 i + 4 j - k 2 i - j + k y i + 3 j - k

Hallar el área del triángulo cuyos vérti- ces en el plano son ( - 1 ~ 2) , (3. - 1) y (4,3). [Sugerencia. Tómense coordenadas trasladadas con nuevo origen ( - 1,2). Considérese el triángulo como la mitad de un paralelogramo.]

Hallar el área del paralelogramo del plano conformado por las rectas x - 2y

+ 34’= - 5 . = 3 , ~ - 2 y = 8 , 2 ~ + 3 3 : = - 1 y 2~

En los ejercicios 19 y 20, hallar a . (6 x c) y a x (b x c).

19. a = i + 2j - 3k, b = 4i - j + 2k,

c = 3 i + k

20. a = -¿ + j + 2k, b = i + k , c = 3 i - 2 j + 5k

En los ejercicios 21 y 22, hallur el tiolumetz de la caja yue tiene l o s uec~ores darlos como aristus coterminales.

21. -i + 4 j + 7 k . 3i - 2 j - k . y 4i + 2k

22. 2i + j - 4k, 3i - j + 2k, y i + 3 j - 1Ok

23. Hallar el volumen del tetraedro en el espacio con vértices en

( - 1 , 2 , 4 ) . ( 2 , -3,oi. ( -4 .2 . -1). Y (O. 3. -2).

24. Sean a = a l i + a j + a3k, b = h l i + h j + b3k y c = c l i + c2j + c3k. Veri- ficar que a x (b x c) = (a.c)b - (u*b)c. (Este problema requiere mucho trabajo algebraico.)

25. Utilizar las propiedades del producto vectorial para hallar una fórmula aniloga a la del ejercicio anterior para calcular (a x 6) x c.

26. Aplicar los resultados de los ejercicios 24 y 25 para expresar (a x b) X (c x d ) en cada una de las formas ha + kb y rc + sd para escalares h, k , r y s.

27. Demostrar que para vectores cualesquiera a, 6 en el espacio, se tiene a.(a X b) = O.

28. Demostrar que i x (i x k) = -k, mientras que (i x i) x k = O, para ilustrar que el producto vectorial no es asociati-

29. Considerar los triples productos vectoriales o x ( b x c) y (u x b) x c para vectores a, b y c en el espacio. a) Argumentar geométricamente que

a x (6 x c) es un vector en el plano que contiene 6 y c.

b) Argumentar geométricamente que (a x b) x c es un vector en el plano que contiene a y 6.

c) Utilizar a) y b) para demostrar que elproductovectorialnoesasociativo.

vo.

14.6. RECTAS

14.6.1. Ecuaciones paramétricas de una recta

Se acostumbra considerar que una recta está determinada por dos puntos. Aunque esto es perfectamente correcto, es muy útil considerar que una recta se determina por uno de sus puntos y por su dirección. Desde luego, la dirección de una recta puede especificarse en términos de un vector no nulo. La fig. 14.35 muestra una recta en el

500 ChLCULO CON G E O M E T R ~ A ANALíTICA

plano que pasa por el origen y cuya dirección es la del vector d = d,i + d j Es claro que para cualquier vector x = x,¡ + x z j a lo largo de esta recta, debe tenerse

( X I , x,) = t (d1 , d2)

para algún escalar t . (Se utilizan variables con subindices .x1 para x y .xz para y, con el fin de aclarar la estructura del análisis.) Recíprocamente, para todo número real t , el punto ( t d , , td,) está sobre la recta.

Si se pasa a una dimensión superior, sea (u , . u 2 . u 3 ) un punto del espacio, y sea d = d,i + d j + ri,k un vector 110 nulo. Se desea describir los puntos de la recta que pasa por ( u I , u 2 , u 3 ) y cuya dirección viene dada por d . Si se toma ( u I , u 2 , u 3 ) como origen trasladado, entonces, por la fig. 14.36 se ve que el punto trasladado (AxI,Ax2, Ax,) estará sobre la recta, si y sólo si

(Ax, , Ax2, Ax,) = td

para algún t. Esta ecuación vectorial puede descomponerse como sigue:

Ax, = t d , ,

Ax2 = td2,

Ax., = td,.

Recuérdese que si el punto trasladado (Axl, Ax2, A.r3) es el punto original (.xl, xz, x3), entonces A s i = x i - ui para i = 1 ,2 y 3. Las ecs. (1) toman, entonces, la forma

X , - U , = dlt ,

x2 - U , = d,t. (2)

Figura 14.36

El análisis anterior se resume en la siguiente definición.


Definicidn 14.5. Sea (a, ,u, ,a ,) un punto y sea d = d,i + d 2 j + d,k un vector. La recta que pasa por (a, ,a, , u,) y cuya dirección es d , es el conjunto de todos los puntos (x, y, z ) tales que para algún escalar t ,

x = u , + d , t ,

y = u2 + d2t , ( 3 )

2 = a, + d,t.

Las ecs. ( 3 ) son las ecuaciones paramétricas de la recta, y t es el parámetro.

Ejemplo 1. Las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por ( - 1, O, 2) y cuya dirección d = 2 i - 3j - k, son

x = -1 + 2t, y = - 3 , z = 2 - t.

Por ejemplo, si se escribe t = -2, se ve que (-5,6,4) pertenece a la recta. 1 1

En efecto, si una recta tiene dirección d, entonces también tiene dirección rd para cualquier escalar r diferente de cero.

Recuirdese que pura hullar las ecuaciones puramétricas de una rectu se deb(> localizar un punto sobre lu recta, su dirección y aplicar las rcs. (3).

Obviamente, para las ecuaciones paramétricas de una recta en el plano se utilizan (3) sin tener en cuenta la última ecuación.

Algunas veces es conveniente considerar que las ecuaciones paramétricas (3) proporcionan una regla para escoger todos los puntos t de una recta euclidiana (un eje t ; ver fig. 14.37) y colocarlos en el espacio. La totalidad del eje t , es decir, toda la recta euclidiana, se coloca con el origen O de la recta en (al, N,, a3). Mientras que las ecs. (3) no ((doblan)) la recta en este proceso, la ((dilatan)) si Id1 # 1, ya que el punto 1 se coloca en

una distancia /dl desde (a l , u2 ,u3 ) .

Los físicos acostumbran utilizar el parámetro t para representar el tiempo. Se considera entonces que las ecs. (3) proporcionan la localización de un móvil que se desplaza en una trayectoria recta en el espacio, en un tiempo t . Esta es la razón para referirse a (a, ,a, ,a ,) como el punto de la recta cuando t = O.

-" e - 4 - 3 -2 - 1 O 1 2 3 4

" e"- " t

Figura 14.37


14.6.2. El ángulo entre rectas que s t intersecan

Rectus purulellrs y ~ ~ , ~ . p r r ~ t i i c . ~ l ~ ~ r c ~

lJna cualidad de las ecuaciones pururwtr.iccl.s de una recta es que su dirección se halla ficilmente a partir de las ecuaciones. Naturalmente, dos rectas m n [ J i ! ~ t I k / U , S si tienen vectores direccionales paralelos. son prrper7dic.lritrr.c.a si se intersecan y tienen vectores de dirección perpendiculares. Por supuesto. dos rectas en el plano son para- Mas o se intersecan. pero esto no sucede necesariamente en el espacio.

~ ~ ~. . p ~ p ~ ~~ ~ ~ ~~ ~~ ~ . ~~~~ . . ~ ~ p ~ ~ ~ ~ ~ p ~ p ~ ~ . ~~ ~ ~ ~~~

Definición 14.6. El ángulo entre dos rectas que se intersecan es igual al hngulo entre sus vectores de dirección. ~. ~- ~. ~ ~~ . ~~ ~ ~~ ~ ~~~~ ~-~~ . ~~

Ejemplo 2. Hallar el iingulo entre las rectas

{ 4 x = 3 +4t . x = - 1 - 3 t,>

y = -2 + I, y = S + 12t. en el plano.

soLt:clOx. Estas rectas tienen como vectores de dirección d = 4i + j y d' = - 3 i + 12j. Ahora bien, d - d ' = -12 + 12 = O. así que los vectores. y. por tanto, las rectas, son perpendiculares. 1 1

Ejemplo 3. Hallar el ingulo agudo entre l a . rectas.

x = -2 4- 2t, x = -2 - t, y = 3 - 4t, y y = 3 + 2t, z -= -3 + 1 z = -4 + 3t,

que se intersecan en el punto ( - 2.3. - 4) en el espacio.

sor.lIc1óN. Los vectores de direcci6n para estas rectas son

d = 2 i - 4 j t k y d' = -¿ + 2 j + 3k. Ahora bien, d * d ' = - 2 - ,Y + 3 = - 7. Se cambia el vector de direcci6n de la primera recta a - d = - 2i + 4j - k para obtener u n producto escalar positivo que corresponda a un ingulo agudo O. Entonces

Por tanto.

O = cosp1($) = 65.91" I/ Si (ulr u*, u j ) y (bl , h,, h,) son dos puntos distintos, y si se toma (u,.u,, oj) como

origen trasladado, se ve que

d = b -- U = ( b , - a,) i + (b , -- a2) j + ( b , - a,)k


es el vector de dirección para la recta que une dichos puntos. Por tanto,

x = a , + ( b , - a&,

y = a, +- (b, - UJ t ,

2 = a3 + ( h , - a.&,

son las ecuaciones paramétricas de una recta que pasa por (a, , u,, a3) cuando t = O y (b, , h,, h,) cuando r = 1. Esto enseña cómo hallar las ecuaciones paramétricas de una recta dada por dos puntos. Naturalmente, las dos primeras ecuaciones en (4) se utilizan para rectas en el plano.

Ejemplo 4. Las ecuaciones paramétricas para la recta en el plano determinada por los puntos (2, - 1 ) y ( - 1 , O) son

x = 2 - 3t. y = -1 + t,

x = - 1 + 3t, y = - t . 1 ) o, de modo equivalente,

14.6.3. Segmentos de recta

Ahora se describen analíticamente los .srgrnrv~to.s de recta entre los puntos (al, a2, u,) y (h, ,hz,h,) en el espacio (o en el plano). Se toma, una vez más, ( a , , a2, [tt) como el origen trasladado, de modo que (b l , h,,h,) se transforma en (h , - a , , h, - u2,h, - u3), después de la traslación. El punto trasladado ( A x , Ay,Az) estará sobre el segmento de recta si y sólo si

(AX, Ay, Az) t (b -. a) = t ( h , - al, b, - a,, b3 - a,)

para algún t tul que O < t < 1, como se indica en la fig. 14.38. Puesto que Ax = .Y

- a , , etc., se ve que ( x , .y, z ) estará en este segmento de recta si y sólo si existe r , donde O < t < 1 , tal que

En particular, t = $ d a r i el punto medio entre ( u , , a,, u 3 ) y (b , , h,, h3). Lo anterior se resume en una definición.


Definición 14.7. Sean ( u , , ~ , , u,) y ( h l , h,, h3) dos puntos del espacio (o del plano). El segmento de recta que los une consta de todos los puntos (.x, J. z ) tales que, para algún valor de t , donde O < t < 1 ,

x = a , + ( b , - ul ) t ,

Y = a2 + (b2 - a,)t,

2 = a, + ( b , - u&.

El punto medio del segmento de recta es el punto

a , + h , u, + h, u3 + b3

Ejemplo 5. El punto medio del segmento de recta del espacio que une ( - ] ,3 ,2) y (3 , l . - 1) es (1,2,+). El punto (.u.!'?=) situado a f de la distancia entre ( - 1.3,2) y (3,1, - 1) se obtiene haciendo t = en las ecs. (6) para los puntos dados. Por ejemplo,

x = - 1 + -33 - (-l))=-1 + $ = $.

Se procede anilogamente para calc~lar J. y z, y el punto buscado es (&$1) . / /

RESUMEN

l . U m recto del plut~o o del espacio se rletertnirlu cot1 un ptrt~to sobre l a rectLI y ~ 1 1

rector d qucl le sea purulelo.

2. Si una rectu pasa p o r M H punto (u1, u,, u3) y su direccicin ciene dudu por el wetor 110

nulo d = d,i + d?j + d3k, entoncvs 1u.s ecuuciones puramétricus de la rectu son x = a , + d , t ,

y = a2 + d2t ,

z = u, + d,t.

Todos l o s rulores del purátnetro t ~ N I I todos los puntos de la rectu. 3. Lus ecuat'iones puratnktricus de la recta que pusu por (a, ,a, .u,) (h,, h2, h,) sor1

x = a , + ( b , - a l ) t ,

y = a2 + ( b , - u,)t,

2 = u, + ( h , - a,)t. Lcls dos primeras ecuuciones se uplicutl LI las rectus en el plano. L o s puntos que S P

obtienen u1 restringir t u/ i n t e r d o 0 < t < 1 corlfornlun e / seytnellto de rectu que une (u, , u2, u3 ) y (b , , h,, h,). El punto rnedio .se obtiene cuando t = t.

GEOMETR~A DEL ESPACIO Y VECTOKES 505

EJERCICIOS

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Dar las ecuaciones paramétricas para la recta en el plano que pasa por el punto (3, -2) con dirección d = - 8 i + 4j. Trazar la recta en la gráfica apropiada. Dar las ecuaciones paramétricas para la recta que pasa por ( - 1,3, O) con direc- ción d = - 2 i - j + 4k. Trazar la gráfica apropiada. Dar las ecuaciones paramétricas para la recta que pasa por (2, - 1 , O ) con direc- ción d = -i + 4k.

Sea la recta del plano con ecuaciones paramétricas x = - 3 + 4t, y = 2 - 3t.

a) Hallar el vector de dirección para la

b) Hallar el punto de la recta cuya

c) Hallar el punto de la recta cuya

recta.

coordenada x es 1.

coordenada y es S.

Hallar ecuaciones paramétricas para la recta del plano que pasa por (5, - 1 ) y es perpendicular a la recta cuyas ecuaciones paramétricas son x = 4 - 2t, y = 7 + t. Hallar ecuaciones paramétricas para las rectas que contienen cada uno de los siguientes pares de puntos. a) (-2,4) y (3, - 1) en el plano. b) (3, - 1,6) y (O, - 3, - 1) en el espacio. Hallar el ángulo agudo entre los siguientes pares de rectas secantes.

a) I x = 3 - 4 t

y = 2 + 3 t Y

x = 5 - t

y = 7 + 2 t en el plano

z = 3 + 5 t x = 2 - t

{ ; + 2 t en el espacio.

8.

9.

1 o.

11.

12.

13.

14.

15.

Hallar el ángulo agudo que la recta x = t , y = t , z = t en el espacio forma con los ejes coordenados.

Una recta del espacio pasa por el origen y forma ángulos de a, p, y y con los tres ejes coordenados positivos. Demostrar que cos'a + cos'fl+ cos2 7 = 1.

Hallar ecuaciones paramétricas para la recta del espacio que pasa por ( - 1,2,3) y es perpendicular a cada una de las rectas cuyas ecuaciones paramétricas son

x =-1 + 3t, x = -1.- t { m Y { y = 2 + 3 t ,

z = 3 - t , z = 3 + t .

Hallar el punto medio del segmento de recta que une los pares de puntos. a) (-2,4) y (3, - 1) en el plano. b) (3, - 1,6) y (O, - 3, - 1) en el espacio.

Hallar el punto del plano sobre el segmento de recta que une ( - 1,3) y (2,5) que está dos veces más próximo a ( - 1,3) que a (2,5).

Hallar el punto del espacio sobre el segmento de recta que une (- 2,1,3) y (O, -5,2) y que está a un cuarto de la distancia entre (-2, 1,3) y (O, -5,2).

Sean ( u l , u*, u3) y (b l , b,, b,) dos puntos cualesquiera en el espacio. Demostrar que el segmento de recta que los une consta de todos los puntos (xI ,x2 ,x3) , donde x i = ( 1 - t)ui + tbi para O < t < 1, i = 1,2,3.

Hallar los cosenos de los ángulos que el vector de dirección de la recta

x = a , + d , t ,

y = a, + d,t ,

z = a, + d,t


forma con los vectoreb i . j y k a lo largo de la recta y sc denotan generalmente de los ejes coordenados positi\os. Estos por cos Y. cos [I y co5 ;'. respectivamente. cosenos se denominan c o w ~ m tliwcrores (Ver ejercicio 9.)

Figura 14.39

-1 (I


Definición 14.8. Sea (a l ,u2 ,u3) un punto en el espacio y d = d,i + d j + d,k un vector no nulo. El plano que pasa por (u I . u2,u3) con vector de dirección d es el conjunto de todos los puntos (x, y , z ) que satisfacen

dl(x - a,) + d2(y - a,) + d,(z - a,) = O. (2)

Se hace hincapié en que la tlirecc?cin asociada con el plano de la fig. 14.40 es la dirección de un vector normal (perpendicular) al plano. Debe recordarse que:

a) Para hullar Ius ecuuciorles parumétricus de una rectu, es necesario encontrar un

b) Puru hullur la ecuacidn de u11 pluno, es necesurio encontrar un punto riel pluno y I I H

punto sobre l u rectu y un rector de direccicin (pr~ra le lo ) .

rector de direccirin (normal) del plano.

Ejemplo 1. Hallar una ecuación del plano en el espacio que pasa por ( - 1,2,1) y cuyo vector de dirección normal es d = i - 3j + 2k.

S O L L . C I ~ N . La ec. (2) da paso a

l(x - (-1)) 4- (-3)(y - 2) + 2 ( 2 - 1) = O, O

x - 3 y + 2z=-5 . I ( Desde luego, si d es un vector de dirección para el plano, entonces rd también es

Como en el ejemplo 1, la ec. (2) puede escribirse en la forma un vector de dirección para el mismo plano para todo r no nulo.

d,x $. d,y + d,z = c,

donde I' = d l ~ ~ l + d2cl2 + d.3c13 es u n n6mero real. Se demostrar$, ahora, que el l ugy geométrico de toda ecuación lineal de la forma d,.u + d 2 ~ . + d,z = L', donde no todos los d i son cero, es algún plano en el espacio. Se supone que d, # 0. Se escogen números cualesquiera a2 y a3 y se escribe

a, = c - d2a2 - d,a,

dl Entonces d , u 1 + d2a2 + d,a, = c. Ahora, para todos los puntos (x, y, z) tales que d l .x + d2y + d,: = c se obtienen las dos ecuaciones

d ,x + d2y + d,z = c,

d , a l + d,a, + d,a, = c.

Por sustracción. se obtiene

d,(x - a,) + d2(y - a,) + d3(z - a3) = O.

Entonces (.x,y, z) est6 en el plano que pasa por ( u l r u2, a 3 ) cuyo vector de dirección es d = d,i + d2 j + d,k .


Ejemplo 2. Regresando a dos dimensiones, el conjunto de todos los puntos (x, y) del plano tales que

ox + l y = o es una recta del plano. Esta recta contiene (0,O) y tiene como vector de dirección normal a d = Oi t- lJ =J. Esta recta es simplemente el eje x . Por supuesto, es claro que las soluciones de y = O son precisamente los puntos (a,O). 1 1

Ejemplo 3. Como en el ejemplo 2, se ve claramente que z = O es la ecuación del plano en el espacio que pasa por el origen y que contiene los ejes coordenados x e y, es decir, el plano coordenado x,y. ( 1

Se comprueba fácilmente que las definiciones siguientes coinciden con las ideas intuitivas de paralelismo y perpendicularidad.

Definición 14.9. Dos planos en el espacio son paralelos si sus correspondientes vectores de dirección son paralelos. Dos planos son perpendicu1ure.s entre sí si sus vectores de dirección son perpendiculares entre sí. El ángulo entre dos planos es el que forman sus vectores de dirección. Una recta y u n plano son perpendiculares entre sí si un vector de dirección de la recta es también un vector de dirección (normal) del plano.

14.7.2. Computaciones

Los ejemplos siguientes ilustran algunos de los muchos tipos de problemas que es posible resolver ahora. Recuérdese :

a) Para hullur las ecuuciones puramktricas de unu rectu, es necesurio conocer un

b) Pura hullur la ecuución de un pluno, es necesario conocer un punto del plano y un punto sobre la rectu y un cector de direccidn (puralelo) de la misma.

cector dt. dirección (normal) del mismo plano.

Ejemplo 4. Hallar las ecuaciones paramétricas para la recta del espacio que pasa por el punto (1,2, - 1 ) y es perpendicular al plano con ecuación

3x + 5 y - z = 6. S O L I K I ~ N . Se conoce un punto (1,2, - 1) sobre la recta y se necesita uno de sus vectores de dirección. Como la recta debe ser perpendicular al plano dado por 3.u + 5 y - z = 6, se ve que d = 3 i + 5j - k es uno de los vectores de dirección de la recta. Esta tiene entonces las ecuaciones paramétricas

x = 1 + 3 t , y = 2 + s t , 2 = - 1 - t . / I Ejemplo 5. Hallar todos los puntos de intersección en el espacio del plano cuya ecuación es

3x + S y - z = - 2


y la recta con ecuaciones paramétricas

X = - 3 + 2t, y = 4 + t, z = - 1 - 3t.

SOLUCION. Si (x, y, z ) esta tanto en la recta como en el plano, entonces, debe tenerse por sustitución

3(-3 + 2t) + 5(4 + t) - (-1 - 3t) = -2,

así

14t = -14 y t = -1

De este modo, el Único punto de intersección es ( - 5,3,2). 1 )

Ejemplo 6. Hallar el ángulo agudo O entre los planos x - 33' + z = 4 y 3x + 21 + 42 = 6.

SOLUCI~N. Los vectores de dirección para los planos son

d = i - 3 j i k y d 1 = 3 i + 2 j + 4 k .

Ahora d . d = 3 - 6 + 4 = 1, así

d a d COS e = -

Id1 . Id1

Por tanto,

= 86.79". 11 Ejemplo 7. Hallar la ecuación del plano en el espacio que contiene los puntos (1, - 1,1), (2,3, -4) y (O, 1, -2).

S O L U C I ~ N . Para hallar la ecuación de un plano se necesita conocer uno de sus vectores normales. Si se traslada el origen a (1, - 1, l), se ve que

( 2 , 3 , -4) - (1, -1, 1) = (1,4, -5)

Y

( O , 1, -2) - (1 , -1, 1) = (-1,2, -3)

son vectores en el plano requerido. Un vector normal al plano debe ser perpendicular

510 CÁLCULO CON GEOMETRíA rZNAL.ÍTICA

a los dos vectores anteriores: ta l vector e r i t su producto vectorial. El determinante simbólico

es la ecuacrtin requerida. j j


Ejemplo 8. Hallar la distancia entre el punto ( - 9,6,2) y el plano cuya euacion es 5x - 2 y + z = 2 .

sOLUCI6N. Lo anterior muestra que esta distancia es

1-45 - 12 + 2 - 21 - 1-57) - 57 -

d % + 4 + 1 I1

RESUMEN

1. U n plano se determina por un punto que estk contenido en éI y un vector normal (perpendicular).

2. El plano que pasa por (u l ,u2 ,a3) y que tiene u d l i + d j + d,k como vector de direccidn normal al plano, tiene como ecuacidn

dl(x - a , ) + d,(y - a2) + d,(z -- a,) = O. 3. La ecuación dlx + d,y + d,z = c, donde no todos l os di son cero, tiene como lugar

geométrico en el espacio al plano con d , i + d j + d,k como vector normal.

4. L a recta dlx + d,y = c en el plano tiene (1 d l i + rld como vector normal

5. L o s planos son paralelos s i sus vectores de direccidn son puralelos, y perpendiculu- res si esos vectores son perpendiculares. El Úngulo entre dos planos es el queforman sus vectores de direccicin.

6. La distuncia entre un punto (a,,a, ,a,) y el pluno es dlx + d,y + d,z = c es

Idla, + &a, + d,a, - c l r + T , F d T

De manera anúloga, la distuncia entre ( u l , a z ) y la recta d , x + d2y = c en el plano

EJERCICIOS 3. Hallar una ecuación del plano que pasa por (3, - 1,4) y es paralelo al plano con

1. Hallar la ecuación del plano que pasa ecuación 3x - 2y + 7z = 14. por el punto ( - I , 4,2) y que tiene el vector de dirección i - 2j + k. 4. Hallar una ecuación del plano que pasa

por ( - 1,4, - 3) y es perpendicular a la 2. Hallar una ecuación para el plano que recta con ecuaciones paramétricas

pasa por (1, - 3, O) y que tiene el vector de dirección j + 4k. x = 3 - 7 t , y = 4 + t , 2 = 2 t .

512 CALCULO CON C E O M E T R ~ A ANALíTICA

5.

6.

7.

8. X

9.

1 o.

11.

12.

13.

Hallar una ecuación del plano que pasa por el origen y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos ( - 1,3, O) y (2, - 4,3).

Hallar los ángulos entre los siguientes pares de rectas o planos. a) Y - 3 y = 7 y 2x + 4y = 1 en el

b) 3.x 2y = -7 y 6s + 43'= 2 en el

c) 3 ~ + 4 y - z = l y . x - 2 y = 3 e n e l

plano.

plano.

espacio.

= 17 en el espacio. d) 4x - 7~ + z = 3 y 3.x + 2.v + 22

Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta perpendicular al plano cuya ecua- ción es x - 2y + 4z = 3 y que pasa por el punto ( - 2, 1, O).

Hallar la intersección de la recta

= 5 + t, y = - 3 , z = -2 + 4t y el piano con ecuación

x - 3 y + 22 = -35.

Como en el ejemplo 7, hallar la ecuación del plano que contiene (1, O. I), ( - 1,2, O) Y (O,1,3). Hallar una ecuación del plano que pase por los puntos coordenados unitarios ( l ,O ,O) , (0,l.O) y (O,O*l) .

Hallar la ecuación del plano que pasa por (-1,4,2), (1,2> -1) y (3, -2,O). Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta formada por la intersección de los planos x - 3 y + z = 7 y 3x + 2y + z = - 1.

Hallar la ecuación del plano que pasa por ( - I , 4,2) y contiene las rectas x =

- 1 + 3 t , y = 4 + t , z = 2 - 2 t y x = - l + t , y = 4 , z = 2 + 7 t .

14. Demostrar que la ecuación de la recta en el plano que pasa por los dos puntos distintos (al , a,) y (b , , h 2 ) esta dada por I a l a2 1 I = O.

[Sugerencia. No se desarrolla el determinante, pero se argumenta que se obtiene una ecuación lineal en x e y que se satisface si (.*,y) = ( u l , a 2 ) o (.x,y)

X Y l

61 b, 1

= ( h l , bz).]

15. Aplicar el método sugerido en el ejercicio 14 para hallar la ecuación de la recta en el plano que pasa por ( l . - 4) y (2,3).

16. Hallar la distancia del punto ( - 1,3) a la recta cuya ecuación es 3x - 4y = 5.

17. Hallar la distancia del punto ( I , 3, - I ) al plano cuya ecuación es 2x + y + 2 = 4.

18. Hallar la distancia en el plano del punto (2, - 1) y la recta con ecuaciones para- métricas x = 3 - t , y = 2 + 4t. [Suge- rencia. Obtener la ecuación x , y de la recta eliminando t en las ecuaciones paramétricas.]

19. Hallar las ecuaciones paramétricas para la recta formada por la intersección de los dos planos S + y - 2z = 7 y 2.x - y - Z = -2.

20. Dar una deducción alterna para la f6r- mula de la distancia del punto (a , , u2, a3) al plano d,x + d,y + d 3 z = c, hallando el valor absoluto de la componente del vector de (al,u2,a3) al punto (x,y,z) en el plano a lo largo del vector normal d , i + d , j + d,k.

Ejercicios de repaso del capítulo 14 Ejercicios de repaso 14.1 b) Hallar la ecuación de la esfera que 1. a) Hallar la distancia entre ( - 1,2,4) y tiene a (1, - 3,5) y ( - 3,5,7) como

(3,8, - 2). extremos de un diámetro.


2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

a) Dibujar el lugar geométrico de la ecuación en coordenadas cilíndricas r = 4.

b) Hallar las coordenadas esféricas del punto (x, y , z) = (O, 1, - 1).

Dibujar la superficie

x 2 y z - + - = l + + ~ . 4 9

a) Hallar la longitud del vector 2i - 3j

b) Hallar c2 tal que los vectores i - c j + 3k y 4i + 2 j - 7k sean perpendiculares.

+ k.

Hallar el ángulo entre los vectores 2i - 3 j + k y - i + 2 j + 3 k .

Hallar la proyección vectorial de 2 i - 3 j + k

sobre 3i - 4k.

Hallar a x b si a = i + 2j - 3k y b = 4i - j + k .

Hallar el volumen de la caja en el espacio que tiene los vectores i - 3j + k , 2i - 3j + 2k, -3 i + 5j - 2k como aristas coterminales.

9.

1 o.

11.

12.

13.

14.

S i a = i - 2 j + k , b = - 2 i + 3 j - k y c = 4 i - 2j + 2k, calcular (a x b) x c.

Hallar las ecuaciones paramttricas de la recta que pasa por ( - 5,1,2) y ( 2 , - 1,7).

Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta perpendicular al plano x - 2 y + 3 2 = 8 y que pasa por el origen. Hallar la ecuación del plano que pasa por ( - 1,1,4) y es perpendicular a la recta x = 2 + t , y = 3 - 4t, z = -7 + 2t.

Hallar la distancia de ( - 1, I , 3) al plano 2x + I’ - 22 = 4.

Clasificar los planos dados como paralelos, perpendiculares, o ni paralelos ni perpendiculares.

a) x - 3 y + 42 = 7 , -3x + y + 22 = 11

b) 2x + y + 32 = 8, 4~ + 7 y - 5 ~ = - 3

C) - 4 ~ + 6 y - 122 = 7 , 2x - 3 y + 62 = 5

15. Hallar el punto de inters-ección de la recta s = 2 - t , y = 4 + t , z = 1 - 3 f con el plano x - 33’ + 4z = -1.


1. a)

b)

2. a)

b)

3. a) b)

Hallar c de manera que la distancia de (c, - 2 ,3 ) a (1,4, - 5) sea 15. Hallar el centro y el radio de la esfera x’ + y’ + z2 - 2 x + 42 = 4.

Hallarlas coordenadas cilíndricas de ”

(x, Y, 2) = (1, 4 3 , -2). Hallar las coordenadas rectangulares de (p , 4, O ) = ( 3 , 5 ~ / 6 , 3 n / 4 ) .

Dibujar la superficie z = y’ + 1. Dibujar la superficie

y14 = xz14 + 2’19.

4. Sean a = i - 2j + 3k, b = 4 i - j + 2k y

c = 2i - 3k. Hallar S tal que a + sb sea perpendicular a c.

Hallar el angulo entre los vectores i - 3 j + k y 2 i - j + 2 k .

Hallar la proyección vectorial de 3i - 4j + 2k sobre i - 2j + k .

Sean a y b vectores unitarios perpendiculares en el espacio. Simplificar cada una de las siguientes expresiones tanto como sea posible, con base en estos datos. a) (a x b) - a b) (a X 6) X a

c) a X (6 x b)


8.

9.

1 o.

11.

12.

Hallar el área del paralelogramo en el espacio cuyos lados adyacentes son i + 2j -- k y 2i - 3 j + 4k.

Hallar el volumen de la caja en el espacio con un vértice en ( - 1,3.4) y vértices adyacentes en (O, - 1.2). (3, - 1,4) y ( -1 ,2 , -1 ) .

Hallar todos los puntos de la recta x = 1 - 2t, y = 3 + 4t, z = 2 - t . cuya distancia a (1.6.3) sea ti 18.

Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por ( - 1, S, 2) y ( 3 , - 1,4).

Hallar la ecuación del plano que pasa

.~

por ( - 2 , $4) y es paralelo al plano 3x - 4y + l z = o.

13. Hallar la distancia entre ( - 2 , i ) y la recta .Y = 4 -t r, y = 2 .- 3r en el plano.

14. Hallar el punto de intersección de la recta Y = 4 + t , y = 3 - t , z = 2 + 3t, con el plano 2x + y + 3; = -3.

15. Hallar la ecuacion del plano que contiene las dos rectas

z = 3 - 44 x = 2 + t , y = "1 + 21,

Y X = 2 - 3t. ~ = - l + 41, z - 3 - t

que se intersecan en (2, - 1,3).


1.

2.

3.

4.

5.

6.

Hallar la distancia entre los planos Y - 2J 33 = IO ). 4x " 8 y + I22 = -7.

Hallar la (menor) distancia entre las rectas .Y = 1 - r. y = 2 + 3/, z = ~- 1

+ st.

Hallar la ecuación de un plano que contiene la intersección de la esfera con centro ( - 1,2.4) y radio 5 con la esfera con centro (1, - 1,3) y radio 3.

Hallar la menor distancia entre el punto ( - 1,4,8) y la recta .Y = 7 + r , y = 4-3t. I - -2 " 2t.

Hallar la menor distancia entre la recta x = 7 - 3t. y = - 5 + 4t, 2 = 6 + 2t. y la esfera ,Y? + J~ + 2 = 9.

Sea el paralelogramo del plano cuyos lados coterminales, que se inician en el origen, son Q = a , ¿ +- ad y b = b,i + h j como en la fig. 14.32. Demostrar que el irea de este paralelogramo es el valor absoluto del determinante

+ 2 t y . x = 4 + 2 t , 4 . = - - 3 + t , : = - 2

- "

7 . La consideración de a - b se motivó al hallar el coseno del ángulo entre dos vectores u y b. Como punto de vista alterno, suponer que se dejnici sin motivación

o * b = (a , i + a 2 j + a&) - ( b , i + b , j + b3k\ = a ,b , + a,bz + a$,. (1)

Las propiedades a)-d) del teorema 14.2 (sección 14.4) se demuestran ficilmente a partir de la definición (1). Se define luego el ángulo 0 entre los vectores u y b por

Pero debe saberse de antemano que

para que esta definición tenga significado. Esta desigualdad se conoce como desigualdad de Schwarz, y por lo genera; se escribe como

la - bl 5 llall llbll, ( 3 )

donde 1 1 ~ 1 1 es otra notación para )a( =


,/E, que se utiliza para evitar confundir la longitud de un vector con el valor absoluto de un escalar. Demostrar la desigualdad de Schwarz (31, aplicando únicamente (1) y las propiedades a)-d) del teorema 14.2. [Sugerencia. Utilizar el hecho de que (a - .ub)*(a - xb) > O para todos los valores Y según a) del teorema 14.2, y aplicar la fórmula cuadráti- ca.]

8. Como continuación del ejercicio 7, y a

partir de la desigualdad de Schwarz, demostrar la desigualdad del tricingdo

Ila + bll 5 11a11 + IlblI

para todos los vectores a y 6 en el espacio. [Si se dibuja una figura, se verá que esta desigualdad quiere decir que la longitud de un lado de un triángulo es menor que o igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados; de aquí su nombre.]

15 Análisis vectorial de curvas

15.1. VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACION

Sea x = h ( t ) e y = k(t) la representación paramétrica de una curva suave tal que 11' y k' existan y sean continuas. Se considera que estas ecuaciones paramétricas permiten hallar la posición de un móvil en un plano para el tiempo t . El vector

r = x i + y j = h(t)i + k ( t ) j (1)

es el vector de posición del móvil en el tiempo t. Esta posición r se ilustra en la fig. 15.1.

15.1.1. Vectores velocidad y de posición

La funciónfdescrita en la ec. (1) transforma una parte del eje t en el plano x, y, de modo que

(x, y ) = f ( t ) = ( h ( t ) , U t ) ) .

Tal función, cuyos valores son puntos (que se consideran también vectores) en un espacio de dimensión mayor que uno, se designa a menudo como función vectorial.

Un cambio At en t genera un cambio Ar en r , donde Ar es tal como se muestra en la fig. 15.2. El vector Ar se dirige a lo largo de la cuerda de la curva. Se entiende que la notación ArlAt quiere decir el escalar l/At por Ar. Entonces,

Ar Ax Ay "

At At At - -i + - j .

ANALISIS VECTORIAL DE CURVAS 517

Si se toma el límite cuando At + O, se define la derivada vectorial por

d r Ar d x d y d t C-*O At dt d t - = lim- = -i + - j i .

Nótese que dx/dt y dyldt existen, puesto que se supone que x = h(t) e y = k(t) son funciones derivables.

Estudiemos el vector drldt. Lo primero que debe conocerse respecto a un vector es su magnitud y su dirección. Según la ec. (2),

De acuerdo con la fórmula

para la longitud del arco, se obtiene

por tanto, por ( 3 ) se tiene que

Ahora bien, dsldt se interpreta físicamente como la razón instantánea de cambio de la longitud de arco por unidad de tiempo cuando el móvil se desplaza a lo largo de la curva; por tanto, ds/dt es la rapidez del cuerpo a lo largo de la curva. Volviendo a la dirección de drldt, la dirección límite de Ar cuando At + O es tangente a la curva. En consecuencia, la dirección de drldt es tangente a la curva en la dirección dada por el crecimiento de t. Esto puede observarse también por la ec. (2), puesto que la ((pendiente)) del vector (flecha) dr/dt es

dyld t - d y dxld t dx '

que es la pendiente de la tangente a la curva. Entonces, en cualquier momento, el vector dr/dt tiene la misma dirección del movimiento del cuerpo, y magnitud igual a la rapidez del mismo.

"-

DefinicMn 15.1. Si r = h(t)i + k(t) j es el vector de posición de un móvil que se desplaza sobre una curva suave, entonces

0 = - = h' ( t ) i + k ' ( t ) j d r d t


+ -1. Figura 15.3

Ejemplo 1. Si la posición de un móvil en el tiempo r sobre el círculo .Y’ + J’ = 1 viene dada por

r = (cos t ) i + (sen t ) j . entonces

u = - = (-sent)i + (cos t ) j . d r d t

Obsérvese que la rapidez del móvil es constante, es decir,

Velocidad = ju 1 = - = henz t + COS*? = 1. ) I 1:; I Ya que u es tangente a la curva X = h(t), J, = k ( t ) en la dirección que corresponde

al incremento de t , se ve que, para /u( # O,

1 r = - - u I - u l es un vector uniturio tangente a la curva en la dirección creciente de t . Puesto que 101 = ds/dt, se obtiene, de (7) .

d s dl

u = - f .

que es una descripción compacta del vector velocidad v como tangente a la curva y con magnitud dsldt.

Es posible hacer el mismo análisis para una curva suave en el espacio

x = h ( t ) , y = k ( t ) , 2 = g ( t ) ,

donde I z ( r ) , k ( t ) y g ( t ) tienen derivadas continuas. El vector de posición es

r = h( t ) i + k ( t ) j + g ( t ) k , (9)


y el vector velocidad es

d r d x d y d z u = - = - i + - j + - k d t d t d t d t ’

Puesto que la dirección de u se determina por la dirección límite de una cuerda de la curva que corresponde al vector Ar cuando At + O , se ve una vez más que u es tangente a la curva y apunta en la dirección dada por el crecimiento de t. Un cambio pequeño dt en t produce cambios aproximados dx en x, d)’ en y y dz en z ; por tanto, el cambio aproximado en la longitud del arco es:

d s = d ( d x ) 2 + (dy)’ + (dz)’ = d(dx/dt)’ + (dy/dt)’ + (dzidt)’ dt. (11)

(Se puede dar una demostración rigurosa de (1 l), similar a la dada para curvas planas descritas paramétricamente que fueron estudiadas en el capítulo 7.) Así, (1 1) da la diferencial de longitud de arco para una curva en el espacio; la longitud de arco como función de t medida desde un punto donde t = to, es:

J(dx/dt j ’ + ( d y / d t ) 2 + (dz/dt)’ dt . (12)

Una vez más, la rapidez es la longitud del vector velocidad, ya que

ds dt

I u I = J(dx/dt)’ + (dy/dt)’ + (dz /d t )* = - . (13)

El vector tangente unitario t se expresa otra vez por (7), y (8) sigue siendo válida.

Ejemplo 2. La curva en el espacio

x = a cos t , y = a sen t, z = t ,

está sobre el cilindro x’ + y’ = u’. Esta curva, denominada hdice, se representa en la fig. 15.4. Para esta hélice

r = (a cos t)i + ( U sen t ) j + tk, u = -(a sent)i + (a COS t ) j + k ,

d s - = Iul = da’ cos’t + a2sen2t + 1 = m. dr

Por tanto, la longitud de una ((vuelta)) de la hélice es


/” Figura 15.4

J

15.1.2. El vector aceleración

Como en el caso del vector velocidad, es preciso conocer la magnitud y la dirección del vector aceleración. A partir de la ec. (14) se obtiene

)al = J ( w ( ~ ) ) ~ + (k”(t))’ . (15)

El anlilisis de la dirección del vector aceleración a se deja para la siguiente sección. Depende de la rapidez y de la razón de cambio de rapidez del móvil y también de la curvatura de la trayectoria.

Ejemplo 3. Para un móvil que se traslada en el círculo unitario con vector de posición

se tiene

mientras que

r = (cos t ) i + (sent)j,

u = (-sent)i + (cos t ) j ,

a = (“cos t)i - (sent)j.


Se observa que u - a = s e n t c o s t - costsent = O.

Puesto que u es tangente al círculo, Q debe ser normal al mismo. En el ejercicio 2 se demuestra que siempre que \u1 permanece constante, como en el ejemplo donde IuI = 1, el vector aceleración Q tiene dirección normal a la curva. ( 1

Naturalmente, para una curva en el espacio

d 2 r d 2 x d 2 y d 2 z a = - = - j + - dt2 dt2 d t 2 ' dt2

'+-k.

Ejemplo 4. Para la hélice del ejemplo 2,

a = -(a cos t)i - (a sen t ) j ,

(a( = da2 cos2t + a2sen2t = u. )I Por tanto,

15.1.3. Derivacih de productos de vectores

Se ha demostrado en las secciones anteriores que la derivación de un vector se lleva a cabo mediante la derivación de sus componentes. Si a y b son funciones vectoriales derivables de t en el espacio, pueden darse los productos a. b y Q x b. Si se aplican las propiedades del producto interno u b, se ve que un cambio At en t produce un cambio

( a + A a ) - ( b + Ab) - a - b = a - b + a . Ab + A u - b + h a - Ab - a - b = a . A b + A a - b + A a - A b

en a * b. Así, la derivada d(a b) /dt es

que es la fórmula conocida para la derivación de un producto. De manera semejante,

d ( a x b) d b d a dt dt dt

= a x - + - x b .

Como el producto vectorial no es conmutativo, se debe tener en cuenta que mientras

d(a - b) d b d a " - a - - + b . -

d t d t dt '

522 CÁLCULO CON GEOMETRíA A N A L ~ T I C A

esta fórmula no es vilida para el producto vectorial si se escribe x en lugar de ., puesto que (daldt) x b = - b x (daldt). En los ejercicios se pide derivar algunos productos.

RESUMEN

Suponga que se tienen lus ecuaciones parumétricas x = h(t), y = k(t) de una curva plana, o x = h( t ) , y = k(t) , z = y ( t ) de unu curva en el espacio, donde todas las funciones de t son dos cectores dericables. 1. El rector de posición de la curuu es

r = h ( t ) i + k ( t ) j para una curva plana, r = h ( t % + k ( t ) j + g ( t ) k para una curva en el espacio.

2. El vector velocidad es

d r d x . d y d t dt dt V = - = - 1 + - j pura una curca plana,

d r d x d y d z U = - = - i + - j + - k para una curva en el espacio. d t d t d t d t

3. La longitud del oector velocidad es

dS 1 0 1 = - = R dt upidez a lo largo de la curoa.

4. La distancia recorrida a lo largo de una curua en el espacio desde t o hasta t es

5 . La dirección de v es tangente a la curva y apunta en la dirección correspondiente al crecimiento de t .

6. El [lector aceleración es

d2r d v d 2 x d 2 y . a = - = - = - d t2 d t d t2 i + dt2 J pura una curva plana.

a - ” ” i I d 2 Y . d 2 z d 2 r d v d 2 x d t2 d t dt2 dt2 ’ dt2 + - k para una curva en el espacio.

l . Para funciones vectoriales derivables a y b de t en el espacio,

d (a b) d b d a d ( a x b) d b d a Y dt d t d t

”

dt dt d t - a . - + - - b = a x - + - x b .


EJERCICIOS

1. Sea r(t) el vector de posición del origen al punto (x, y) = (h(t), k(t)) en una curva suave. Demostrar que si S es la longitud del arco medido a lo largo de la curva y definido como de costumbre, entonces dr/ds = t , donde t es el vector unitario tangente a la curva en la dirección creciente de t.

En el ejercicio 2, utilizar el hecho de que si un móvil se desplaza sujeto a un vectorjirerza F, entonces F = ma, donde a es el vector acelera- ción y m es la masa del móvil.

2. La trayectoria de un móvil que se desplaza sujeto a una fuerza es una curva ((dos veces derivable)). Demostrar que la fuerza es siempre perpendicular a la di- rección del movimiento si y sólo si la rapidez del móvil es constante. [Suge- rencia. La rapidez es constante si y sólo si u. u = Iu12 es constante. Derivar u - u como un producto de vectores.]

En los ejercicios 3 a 13, se da el vector de posición r en el tiempo t de un cuerpo que se mueve sobre una curva. Hallar en el tiempo to indicado:

a) El vector velocidad del cuerpo. b) La rapidez del cuerpo. c) El vector aceleración del cuerpo.

3. r = 2t i + (3r - 1) j en to = O 4. r = (3t + 1)i + t * j en to = 1 5. r = (sent) + (COS 2 t ) j en to = a

6. r = e ' i + t 2 j en t,, = O 7. r = (In t)i + (cosh ( t - 1) ) j en to = 1 8. r = (e' sen t ) i + (e' cos t ) j en t(, = O 9. r = (l/t)i + ( l / t * ) j en to = 1

10. r = (In (sent)) + (In (cos t ) ) j en to = a / 4 11. r = t2i + t ' j - ( t + 1)k en to = 2 12. r = e'i - (sent)j + (COS t)k en to = O

13. r = -i + - t + l t - 1 t t

j + t2k en tl, = 1

-

14. Hallar la longitud de la curva en el espacio x = 2t, y = t 2 , z = - t 2 , desde t = O hasta t = 2.

15. Hallar la longitud de la cúbica alabeada x = 3 t 2 , y = 2t3, z = 3 t , desde t = O hasta t = 4.

16. Sean a = t2i - (3t + 1) y b = (2t)i - t 3 j curvas en el plano. Ilustrar la ec. (17) del texto calculando d(a - b)/dt de dos maneras.

17. Sean a = 3ti - (4t + 1) + t2k y b = (t2 - 2)i + 5tj - 6tk curvas en el espacio. Ilustrar la ec. (18) del texto calculando d(a x b)/dt de dos maneras.

15.2. COMPONENTES NORMAL Y TANGENCIAL DE LA ACELERACION

Sea r = h(t)i + k(t)j el vector de posición de una curva plana y sean h(t) y k(t) funciones dos veces derivables. Es provechoso examinar las componentes del vector aceleración a en un punto (x, y) en la dirección tangente a la curva y en la dirección normal a la misma.

15.2.1. La direccidn del vector aceleracidn Sea $I el ángulo entre el eje dx positivo y el eje ds tangente positivo, en un punto (x, y) de una curva suave, como se muestra en la fig. 15.5. Según la figura, para el vector unitario t tangente a la curva en (x, y), se obtiene

t = (cos 4) i + (sen4)j. (1)


e- Figura 15.5

Así, t es una función derivable de 4, y

dr db, " - (- senb,)i + (cos 4 ) j ,

Por (1) y (2) se ve que t y d t / d 4 son perpendiculares puesto que

Además

dt = J(-sen+)' + COS* + = I.

Luego, d t / d 4 es un vector uniturio normal a [u curra. [Según (2) se ve ficilmente que d t / d $ se obtiene rotando t un ángulo de 90- en dirección contraria a la de las manecillas del reloj.] Se sigue que

también es normal a la curva. El vector uniturio norrnul n es el vector unitario con la dirección de dtlds, si dtlds # O. Si d t l d s = O, se tiene entonces n = dt fd4 . A partir de la definición de dtlds como

dr t(s + AS) - t(s) - = lim ds As-O As

se ve de inmediato que n apunta hacia el lado cóncuw de la curva si dtfds # O (ver fig. 15.6).

Por la ec. ( 3 ) y en virtud de que Idt/d$l = 1,

1$1 = 121 = K ,

así

dr ds " - Kn.


La ec. (4) se utiliza para definir la curvatura ti, y como tal se aplicará en el estudio de la geometría diferencial de las curvas del espacio. Por el momento es preferible la definición intuitiva ti = Id4/ds(.

Se ha descrito un sistema ortogonal de wetores unitarios t y n en cada punto de la curva. Estos vectores unitarios podrían ser considerados como vectores ((hacia adelante)) y ((hacia los lados)) por un insecto bidimensional que habitase en la curva; la curva podría parecer localmente ((recta)) a él. t y n se consideran como las coordenadas vectoriales unitarias locales de la curva para dicho insecto.

Ahora bien, se supone que la curva tiene una curvatura ti en (x, y) , de modo que el Bngulo 4 que aparece en la fig. 15.5 es una función derivable de la longitud de arco S

medida a lo largo de la curva en una vecindad de (x, y). Las reglas del producto y de la cadena son válidas para la derivación de productos tales como (ds/dt) t , y para funciones vectoriales tales como t ; esto puede comprobarse hallando las componentes. Si se aplican estas reglas y (4) para derivar

ds

dt u = "t

se obtendrá

du d2s dsdt d2s a = " = " t + "=-

dt dt2 dt dt dt2

d2s = - t +

d t 2

Así, si se descompone el vector aceleración en sus componentes normal y tangencial, de modo que

a = a,t + a,n,

entonces, se tendrá

(6)

Las relaciones (6) tienen una interesante interpretación física. Según la segunda ley del movimiento de Newton, el vector de fuerza F que se aplica a un cuerpo de masa m que se desplaza en una curva plana con aceleración a se expresa por F = ma. Según (6), la componente de la fuerza tangencial a la trayectoria del cuerpo controla la razón de cambio de la rapidez del cuerpo, ya que

d2s d(ds/dr)

dt2 dt ' ma, = m- = m-

Por otra parte, la componente de la fuerza normal a la dirección del movimiento del cuerpo controla la curvatura de la trayectoria en la que aquél se desplaza. Esto parece intuitivamente razonable. La fórmula para a, en (6) demuestra que cuando un


automóvil pasa por una curva sin peralte, la fuerza normal a la curva que ejerce la carretera en las ruedas debe ser proporcional al punto de la curvatura de la curva y el cuadrado de la velocidad del automóvil. Mientras mayor sea la curvatura, mayor será la fuerza requerida. Si se duplica la velocidad del automóvil, la fuerza normal a la curva que se requiere para que ctel automóvil no se salga de la carretera)) se cuadruplica. Si un automóvil toma muy rápido una curva muy acentuada sin peralte, entonces la fuerza disponible debida al rozamiento normal a las ruedas no será suficiente para que el automóvil tome la curva, y éste se saldrá de la carretera.

15.2.2. Cálculos

A continuación se resumen la terminología y las fórmulas que se desarrollaron en el estudio de la curva x = h( t ) , y = k ( t ) por métodos vectoriales. Se utilizará la notación del punto sobre una variable para indicar la derivada ctcon respecto a r ) ) , de modo que i = dxfdt, ;1 = d2x/dt2,etc. Entonces

r = vector de posición = x i + y j ,

u = vector velocidad = xi i- y j := Sr,

/u/ = velocidad = S = dx’ + y‘, ”

a, = S,

a, = K ( S ) ’ ,

La expresión final para la1 en (1 1) resulta de la relación (lo), por apiicación del teorema de Pitágoras y en virtud de que t y n son rectores uniruri0.s I,~,rnrndiculures.

La utilización de las relaciones ( 7 ) a (14) se ilustra por medio de un ejemplo.

Ejemplo 1. Suponer que la posición ( x , y ) de un cuerpo en el plano en el tiempo t está dada por

x = 1 + cos t - sen t , y = sen t + cos f .

Hallar la velocidad L:, la rapidez S, la aceleración a, las magnitudes (a,( y \u,( de las componentes normal y tangencia1 de la aceleración, y el radio de curvatura de la curva para cualquier tiempo t .

S O L U C I ~ N . El vector de posición en el tiempo t es

r = (1 + cos t -sen t ) i + (sent + cos t ) j .


u = (“sent - cos t ) i + (COS t - sen t ) j

Y a = (“cos t + sen t ) i + (-sent - cos t ) j .

Según (9), para la rapidez se obtiene

S = J(-sen t - cos t)’ + (cos t - sent)’ = J Z .

Por tanto, a, = S = o.

Según (1 1 ), y dado que a, = O,

J Q I = J(-cos t + sent)’ + (-sent - cos t)’ =&=m==. Así, a, = a. Por la formula (13), ahora se obtiene

KS’ = f i ,

así

4 3 1 2 J z ’

K = ” = -

y p = I /K = J?. En consecuencia, la curva es un círculo de radio $. 1 1

RESUMEN

Sean t y n los vectores unitarios tangente y normal a una curva plana dos veces derivable en un punto, son t apuntando en la dirección correspondiente al incremento de t , y n apuntando hacia el lado cóncavo de la curc‘u.

1. dtlds = m, donde K es la surz;atura de la curcu.

2. v = (ds /d t ) t .

3 . a = d2rldt2 = (d2s/dt2)t + K(ds/dt)2n,

por tanto, las componentes tangencia1 y normal de la useleración son

528 CÁLCULO CON GEOMETRíA ANALlTlCA

EJERCICIOS

1. La trayectoria de un cuerpo que se mueve en el plano sujeto a una fuerza es una curva dos veces derivabie. Demostrar que si la rapidez del cuerpo en el tiempo t = to es cero. entonces la fuerza sobre el cuerpo en el tiempo to tiene dirección tangente a la curva.

2. r = 2ti + (3t - 1) j en t,, = O

3. r = ( 3 t + 1)i + t'j en t,) = 1

4. r = (sent)¡ + (cos 2 t ) j en to = T

S. r = e ' i + t'j en t,, = O

6. r = (In t ) i + (cosh ( t - 1)) j en to = 1

7 . r = (e ' sen t)i + (e' cos t ) j en t,, = O

8. r = ( l / t ) i + ( l / t ' ) j en t,, = 1

9. r = (In ( s e n t ) ) i + (In (COS t ) ) j en to = ~ / 4

*15.3. ANALISIS VECTORIAL EN COORDENADAS POLARES Y LEYES DE KEPLER

Sea r =f(O) , dondef'es una función dos veces derivable, y considérese un cuerpo que se desplaza a lo largo de la curva r = f ( O ) . Se requiere expresar los vectores velocidad y aceleración del cuerpo en el tiempo t en términos del vector unitario u, dirigido del origen hacia afuera y perpendicular al vector unitario ug en la dirección del crecimiento O , como se muestra en la fig. 15.7.

*15.3.1. Velocidad y aceleración en coordenadas polares

Obsérvese que

u, = (cos 0)i + (sene)j, (1)

mientras que

ue = (-seno) + (cos 0 ) j . (2)

* Esta sección puede omitirse sin pérdida de continuidad. Es posible que algunos instructores solamente deseen cubrir la subsección sobre vectores en coordenadas polares.


Según (3) y (4), se obtiene inmediatamente

du, d e ” - (-sen 0)i -t (cos 0) j =

Y ” d u e - (“cos e>i + (-sene>i = --ur. (4) d e

Las fórmulas requeridas para el vector velocidad u y el vector aceleración (I se obtienen derivando el vector de posición

r = ru, (5)

con respecto a f. AI escribir las componentes se verifica fácilmente que la regla usual ((para derivación de productos)) es válida para derivar el producto de un escalar por un vector. Por aplicación de la regla de la cadena y ( 3 ) , se obtiene según (5)

d r d u d r d e d u d r d e d r = “ r r - + ” u = r ” - + - u - dt d t d t d t de d t - r”Ue d t d t

por tanto,

u = fu, + roue, (6)

donde un punto sobre una variable denota una derivada con respecto al tiempo. Derivando (6), por medio de la aplicación de las reglas de la cadena (3) y (4),

d v d u , . du, dt dt d t

u = - = ;- + iur + r e - + ( r e + fB)u,

d e d u . d e d u , d t de d t de

= f-2 + ru, + re-” + ( r e + fO)u,

= i&, + ?u, + r$ -u , ) + ( r e + iilu,,

lo que da lugar a

a = ( f - re2)u, + ( r i +2ri)u,. (7)

La ec. (7) es necesaria en el estudio de campos de fuerzas centrales. Las ilustraciones específicas de las ecs. (6) y (7) son de rutina, y se dejan como ejercicios.

15.3.2. Campos de fuerzas centrales y leyes de Kepler

En esta sección se trabajará en coordenadas polares y se demostrará la deducción de las leyes planetarias de Johannes Kepler (1571-1630) a partir de la ley de gravitación de Newton. Estas leyes son como sigue: Ley de Newton de gravitación universal. La fuerza de atracción F entre dos cuerpos de masas m y M .se expresa por

GmM d 2 ’

F = -


Se deducirán las leyes de Kepler á partir de la ley de Newton. Esto invierte el orden histórico. Newton dedujo su ley del inverso del cuadrado de las leyes de Kepler. Kepler, a su vez, formuló sus leyes basado en el análisis de las observaciones astronómicas de Tycho Brahe (1564-1607). Después de algunos ejercicios para ilustrar el tema del texto, viene una serie de ejercicios que constituyen un procedimiento detallado para la deducción de la ley del inverso del cuadrado de Newton a partir de las leyes de Kepler.

Considérese un cuerpo de masa M fijo en el polo O de un sistema de coordenadas polares, y examínese el movimiento de un cuerpo de masa m sujeto sólo a la fuerza de atracción gravitacional hacia el cuerpo en O, como lo especifica la ley de Newton. Aplicando la segunda ley del movimiento de Newton,

F = ma.

Puesto que la fuerza apunta completamente en la dirección -u, hacia O, se ve que según (7)

r e + 2i.é = O. (8)

Según (7) y la ley de gravitación universal de Newton, se obtiene

m MG m(r - ré2) = - ~

r 2

O

donde k = M G > 0 es una constante independiente de la masa m del cuerpo en movimiento.

Las leyes de Kepler se deducen de (8) y (9). La segunda ley de Kepler es la m i s fácil de deducir.


Deducción de la segunda ley de Kepler. Según (8) se ve que

Así

r 2 b = K

para alguna constante K . Ahora bien, el área A de la región barrida por el segmento de recta que une O y el cuerpo en movimiento desde el tiempo t = t , , donde U = O, hasta el tiempo t , se expresa por

A = gn"'ir'd6 =

Así

d A - d A d 6 1 , d o 1 . 1 - r - = - r 2 e = - K d t d e dt 2 dt 2 2 .

Según (1 l) ,

A = + K t + C.

por lo cual se ve inmediatamente que a intervalos iguales de tiempo corresponden incrementos iguales en A.

Deducción de la primera ley de Kepler. Según (lo),

Aplicando (9), se tiene entonces

La multiplicación de (13) por i da lugar a

Si (13) se integra con respecto a t y se multiplica por 2,

1 1 r2 r

i2 + K 2 - = 2 k - + C.

Sea p = l /r; entonces r = l /p y i = - d / p 2 . Entonces (15) puede escribirse como

P' + K 2 p 2 = 2 k p + C. P


De r2Yj = K en (10). se obtiene ( j /p2 = K . así

Según (16) y ( 17).

K2((iE)’ + p.) = 2 k p + C. d0

La derivación de (18) con respecto a U da lugar a

Si Lip,/dO = 0, entonces p = l / r = LI para alguna constante (I. así r = 1 (1 y la brbita del cuerpo es un circulo con centro O, lo que es t i de acuerdo con la primera ley de Kepler. Se supone que

- + p - i = o . d2P k d e 2 K

En la sección 20.6 se veri que la solución de la ecuación diferencial

que describe el movimiento del cuerpo esti dada por

k K p = A c o s 8 + B s e n O + ,

-~ A B k = dA2 + B.( cos 8 + LFTS LFTS sen 8 + - ) K’ ( 2 2 )

para algunas cmstantes A y B. Se halla u n ingulo 7 tal que

A B - - “OS y Y JA2+Bz =

Sea E = JA’ + B2. Según (22) y (23) se obtiene ,” .~

k K 2

p = -E COS (e - y ) + - .


Si es necesario escoger un nuevo eje polar, se puede suponer que y = O ; por tanto,

lo que da por resultado 1

( k / K 2 ) - E cos 8 r =

- K21 k -

1 - ( K ' E I k ) cos 8 '

Nótese que K 2 E / k > O. Escribiendo e = K Z E / k . finalmente se obtiene

r = e( l lE) 1 - e c o s e '

que es la ecuación de una sección cónica con foco en el polo O. En particular, si la órbita es una trayectoria cerrada (como las de los planetas del sistema solar), la órbita seri una elipse.

DeduccMn de la tercera ley de Kepler. El irea de la región encerrada por la elipse (x/a2) + (y2/¿?) = 1, cuyo eje mayor es 2a y cuyo eje menor es 2h, es nub, y se halla por integración. Si T es el período de la órbita del planetz, entonces ( 1 1 ) muestra el área barrida por el segmento de recta que une O con el planeta durante una revolución y que se expresa por

11, xdt d A = [ , ' ; K d f =

Luego, se tiene

? K T = nab.

En relación con la fig. 15.8, para la elipse r =. f ' (O) con foco en el polo y eje mayor de longitud 2a a lo largo del eje x, según se muestra, se ve que 2u = rlO=,, + rIIIEn. Según la ec. (26) ,

K 2 + K 2 2 kK2 2a = k - EK2 k + E K 2 k 2 - E2K4 '

- -

Figura 15.8

de modo que

que es la tercera ley de Kepler. ya que GM1'(47r2) es independiente de la masa 171 del planeta que gira en órbita alrededor del Sol de masa M.

RESUMEN

EJERCICIOS

*l. Si la posición de u n cuerpo en el plano halladas en forma vectorial en el ejerci- en el tiempo t esti dada por las coorde- cio I en términos de los vectores carte- nadas polares ( r , 1 ) ) = ( t 3 - 2 t , t - l). sianos unitarios i y j . hallar los vectores velocidad y acelera- ción del cuerpo en tCrminos de los vectores unitarios u, y u(, en el tiempo t = I .

'3. Cavendish halló en 1798 el valor de la constante gravitacional universal G. Ex- plicar cómo puede aplicarse la ec. (32)

*2. Expresar la velocidad y la aceleracibn para calcular la masa del Sol.


"4.

*S.

*6.

Con base en la ec. (32), deducir que se puede encontrar el período de un cuerpo en orbita elíptica en un campo de berm central, si se conoce la longitud del eje mayor de la elipse.

El opogro de un satélite de la Tierra es l a distancia mixima a la superficie de la Tierra y el pcrigeo es la minima. Utilizar la ec. (32) para demostrar que el periodo de un satélite se determina completamente si se conocen el apogeo y el pen- geo del satélite. [Sugerencia. Sean R el radio de la Tierra y 20 la longitud del eje mayor de la órbita elíptica. Hallar una relación entrc R , a, el apogeo y el peri- gee.]

;,Se espera que la razón ~ ' ; 7 ' ~ de \a ec. (32) sea la misma para la Tierra cuando gira alrededor del Sol que para la Luna si girase alrededor del planeta Júpi te r? FxpAicar.

*I I .

*12.

*13.

demuestra que se es t i en una situación de ((campo de fuerza central)).)

Sea la orbita del planeta una elipse

para B > O. (Esta es la primera ley de Kepler.) Demostrar que

Multiplicar el resultado del ejercicio 1 1 por r y utilizar el ejercicio X para demostrar que

€3; t 2Be sen0 = O.

Deducir por derivación del resultado del ejercicio 12 y aplicaciJn del ejercicio 8 que


"19. Deducir de los ejercicios 16 y 18 que la * fuerza en el ejercicio 15 se puede escribir

4 n 2 a 'm T'r? '

*20. Concluir, según el ejercicio 19 y la tercera ley de Kepler, que la fuerza de atrac- ción del Sol por unidad de masa plane- taria es independiente del planeta ((tuni- versal))), y depende sólo de la distancia del planeta al Sol.

'21. La razón cr3/T2 se mide astronómica- mente para varias situaciones ( u n planeta en órbita alrededor del Sol o un saté- lite en órbita alredor de un planeta) en el sistema solar. Demostrar que las indica- ciones astronómicas de que a',/' es proporcional a la masa en el centro del campo de fuerza central. junto con los ejercicios 19 y 20, conducen a la predic- ción de la ley de gravitación universal dc Newton.

"15.4. VECTORES NORMALES Y CURVATURA PARA CURVAS EN EL ESPACIO

Se supone que se trabala con curvas en el espacio, en cuya representación paramétri- ca todas las funciones poseen derivadas continuas de todo orden.

*15.4.1. La normal principal y la curvatura

Sea t el vector unitario tangente a una curva suave en el espacio en la dirección del crecimiento de t . El hecho de que la longitud de u es d s j d t y su dirección es tangente a la curva se resume por

ds v = - c .

dt

El vector unitario tangente t no tiene necesariamente una dirección constante, pero su longitud es constante, de modo que

t - t = 1. (2)

Considerando el vector t como una función del parimetro S dc longitud de arco y derivando ( 2 ) con respecto a S,

c." '+ "'t = 0, d t ds d s

de modo que 2 t - ( d t / d s ) = O y

dr d s

t . - = O.

* Esta seccicin puede omitirse sin pérdida de continuidad

ANÁLISIS VECTORIAL DE CURVAS 537

Luego, dtlds es perpendicular al vector unitario tangente t . Si dtlds # O, se considera n un vector unitario en la dirección de dtlds; entonces

d t ds " - Kn

para alguna constante positiva ti. El vector n es la normal principal a la curva en este punto, y por analogía con la ec. (4) de la sección 15.2.1, se considera que esta constante ti en la ec. (4) es la curvatura en este punto.

Para todo punto de la curva, los vectores perpendiculares t y n estdn en un plano que pasa por el punto; este es el plano osculador de la curva en el punto. Se demuestra que el plano osculador de la curva en todo punto es el plano que ((contiene mis aproximadamente)) la curva en una vecindad del punto. Nótese que el vector n apunta hacia la izquierda o la derecha cuando se mira a lo largo de t en el plano osculador, dependiendo de que la curva (que se considera (ten)) el plano osculador en la vecindad del punto) se tuerza hacia la izquierda o hacia la derecha, respectivamente.

Ejemplo 1. Considerar una vez más la hélice con vector de posición

r = (a cos t ) i + (a sen t ) j + tk. Entonces

t , = - = (-a sen t ) i + (a cos t ) j + k, d r dt

por tanto, ds dt - = d m .

Entonces, se ve que 1

'=m [-(a sen t)i + (a COS t ) j + k] Y

d t dr dz 1 ds d s d t a2 + 1 ""- - -- [-(a cos t ) i - (a sen t ) j ]

=- -U

a2 + 1 [(cos t)i + (sent)j].

Según (6), se obtiene

d t a

Y n = "(cos t)i - (sent)j.

El vector que aparece en (7) se dirige hacia el eje z, paralelo al plano x,y. 11


"154.2. El vector binormal y torsión

El rrctcw binomzul b en un punto de una curva en el espacio donde K # O se define por

b = t x n .

Por tanto,

lb( = / I / (nlsen90" = 1.

así. b es u n vector unitario perpendicular a t y a n. La sucesión

8 , n. b

de vectores es una terna derecha de vectores en todo punto de la curva en el espacio, y se considera como un sistema local de coordenadas en cada punto de la curva (ver fig. 15.9). Para un insecto que trepe la curva en direccibn del crecimiento de t , de manera que t apunte ((hacia adelante)) 4; n apunte hacia la <¿izquierda)), b apunta hacia (¿arriba)). Obviamente.

b - r x n , t - n x b . 1 n = b x r . !8)


Considerando t , n y b como funciones de la longitud de arco S, y derivando b = t x n con respecto a S, por aplicación de la regla del producto,

d b d(r x n> dn dr ds dS ds ds

- - r x - + - x n

dn dn ds ds

= r x - + ( ~ n ) x n = t x - . (9)

Derivando la ecuación n - n = 1, se obtiene, tal como en el caso de la ec. (3),

dn. - * n = O, ds

por tanto, n es perpendicular a dnlds. Según (S), se ve que db/ds es perpendicular a t y a dnlds, y entonces paralela a n. Así

d b ds " - --7n

para alguna constante (positiva o negativa) t. El vector b es el vector de dirección del plano osculador, así que dhids mide la rapidez de torsión del plano osculador por cambio unitario en la longitud de arco; por tanto, el número t se denomina torsitin de la curva en el punto. El signo menos se introduce en (10) para que la torsión positiva corresponda al vector b cuando gira hacia la derecha en la dirección de -- n (como un tornillo de rosca derecha) cuando hay desplazamiento en la curva en la dirección creciente de t .

Ejemplo 3. Para l a hélice de los ejemplos 1 y 2, se tiene

d b - d t d b 1 1 ds ds dt a' t 1 a' + 1 n. "" - - [(,cos r ) i + (sent)j] := -I__-

Así, la torsibn de la hélice es constante, independiente del punto de la curva, y se expresa por

*15.4.3. Fórmulas para computar K y T

La sucesibn de los ejercicios 18 a 21 conduce a las fórmulas

Para el caso de la hClice de las ejemplos anteriores, ti y T se encontraron fricilmente a


partir de sus definiciones, pero para ejemplos más complicados son preferibles las fbrmulas (1 1).

Ejemplo 4. Hallar la curvatura K y la torsión T para la curva cuyo vector de posición es

r = t2i - (3t + 1 ) j -t t'k

en el punto donde t = 1.

SOI,UCION. Ahora i = 2ti - 3 j + 3 t2k ,

r = 2i + 6 t k ,

Y = 6k.

Así en t = 1 ,

i = 2i - 3 j + 3k,

r = 2i + 6 k ,

r = 6k; ...

i j i x r = 1 ; -: 1 = -1% - 6 j + 6k,

l i X i ' / = 6 J 9 + 1 + 1 = 6 J l l ,

li( = 44 + 9 + 9 = m. Luego

Y

(i X r) 7 (-18)(0) + (-6)(0) + (6)(6) 7 =

- - li X ; I 2 3 6 . 1 1

36 1 3 6 . 1 1 1 1 '

- "" - I I

15.4.4. Las fórmulas de Frenet

De n = b x t se obtiene, después de derivar,

d n d t d b - = b x - + - x t . ds ds ds


Utilizando las ecs. (4), (8) y (lo), se obtiene

dn

ds " - b X (Kn) - (78) X t = K(b X n) - T(n X t) = -Kt + Tb. (13)

Las ecs. (4), (10) y (13) se conocen como clfórmulas de Frenet)). Escribámolas en un solo lugar.

Fórmulas de Frenet

dt dn db

ds ds ds " - ~ n , - - - -Kt + 76, - - - - m .

RESUMEN

1. Para una curca en el espacio con vector unitario tangente t , tal yue v = (ds /d t ) t , el vector normal principal (unitario) n y la curvatura K se dejinen por

dt

ds " - Kn.

2. El uector binormal (unitario) es b = t x n.

3. Lu torsión t de la curva se define por

4. La curvatura K y la torsión t tambiétl pueden hallarse a partir del vector de posicicin r aplicando

)i X r l (i x r) * 'i' 1; x r12 *

K = -

1i13 Y T =

5. Las fcirmulas de Frenet son

dt

ds " - Kn,

dn

ds " - -Kt -k Tb,

db

ds " - -m.


EJERCICIOS

x - 2t. y = t?, - - I ['. "17.

*2.

*3.

*3.

*S.

"h.

*7

*x.

9 .


*23. Demostrar que si la curvatura de una curva suave en el espacio es igual a cero en cada punto. entonces la curva es una línea recta.

'24. Demostrar que una curva en el espacio con torsión nula en cada punto está sobre un plano. [Sugerencia . Deducir que b es un vector constante. Demostrar que d(b.r)/ds = O, y concluir que b. (r ( t ) - r(t,)) = O, de modo que la curva quede en el plano que pasa por el punto donde t = t o con vector ortogonal b.]

*25. (Teorema fundamental). Demostrar que dos curvas en el espacio con igual curvatura y torsión para todo valor del pari-

metro S de longitud de arco son congruentes. [Sugerencia. Suponer que los vectores de posición de las curvas son r(s) Y ?S) Y que

r(O) = ;(O), t (o) = i ( o ) , n(O) = ~ ( o ) , Y b(0) = 6(0).

Se debe demostrar entonces que r(s) =¡(S). Sea w = t e r + n-E + b.b , y se demuestra que dwids = O y que w(0) = 3. para concluir que

t = i , n - E , y b = & para todos los valores de s. De t = t , se deduce que r = Y + c y, tomando S = O, que c = O , de modo que r(s) = ¡(.S).]



1. La posición de un cuerpo en una curva aceleración en términos de los vectores plana en el tiempo t se expresa paramé- unitarios u, y u0 cuando t = 4. tricamente por x = sen 2t, y = cost a) Dar el vector de posición r del cuer-

b) Hallar el vector velocidad u en el

c) Mallar la rapidez en el tiempo r

d) Hallar el vector aceleración del

po en el tiempo t .

tiempo t = x/4.

= ~ / 4 .

cuerpo en el tiempo r = n/4.

2. Para el cuerpo del primer problema, hallar: a) Las componentes normal y tangen-

cia1 de la aceleración en el tiempo t = n/4.

b) La curvatura de la trayectoria en el tiempo r = ~ / 4 .

*4. Enunciar las ieyes de Kepler.

*S. ¿Qué tipo de curva recorre un cuerpo que se mueve sujeto a un campo de fuerza central?

"6. Explicar cómo se define la curvatura de una curva en el espacio.

7. Considerar un cuerpo en el espacio cuya posición en el tiempo t viene dada por .Y

= t , y = 3 sen t , z = - 3 cos t .

a) Hallar el vector velocidad u en el

b) Hallar la rapidez en el tiempo t

c) Hallar la aceleracibn en el tiempo t

tiempo t = ni4.

= n/4.

*3. Si la posición de un cuerpo en el plano = 4 4 .

en el tiemPo dada en coordenadas *8. Para el cuerpo del problema 7, hallar: polares, se expresa por (r ,O) = ( J r , a) El vector unitario normal n en el Jz4), hallar los vectores velocidad y tiempo t = 4 4 .


b) El vector unitario binormal b en el a) La curvatura K de la curva en el

b) La torsión T de la curva en el tiempo tiempo t = 4 4 . tiempo t = 4 4 .

"9. Para el cuerpo del problema 7, hallar: r = n:4.


1. El vector de posición de un cuerpo en el nentes u, y u de la aceleración de un plano se expresa por cuerpo que se desplaza a lo largo de una

r = J2t+li + &j. curva en el plano.

*S. Enunciar la ley de la gravitación univer- a) Hallar el vector velocidad u en el sal de Newton.

b) ~ ~ l l ~ ~ la rapidez en el tiempo = 4, *6. Dos satélites A y B se desplazan en órbi- c) Hallar el vector aceleración a en el tas elípticas alrededor del mismo cuer-

PO. Si el eje mayor de la órbita de A es cuatro veces la longitud del eje mayor de

2. Un cuerpo se desplaza en el plano sujeto l a órbita de B. y si el período de A es 48

tiempo t = 4.

tiempo f = 4.

a una fuerza. Demostrar que si horas, hallar el período de B.

d2s/dt2 ~- K(ds/dt)* - I

para todo tiempo 2 , entonces la fuerza debe dirigirse a un ángulo de 45 con la dirección de movimiento del cuerpo.

3. Un cuerpo se desplaza en una trayectoria circular a 20m/seg. Se requiere una fuerza de 500 kg perpendicular a la trayectoria para mantener el cuerpo dentro de la misma. Si la fuerza máxima que la trayectoria ejerce contra el cuerpo en esta dirección perpendicular es de 4500 kg, p i n rápido puede desplazarse el cuerpo sin salirse de la trayectoria'?

*4. Dar la fórmula polar para las compo-

"7. Explicar cómo se define la torsión de una curva en el espacio.

*S. Considerar un cuerpo en el espacio cuya posición en el tiempo r viene dada por

x = t 3 , y = 2t, z = t2 .

a) Hallar el vector velocidad u para el

b) Hallar la rapidez en el tiempo t =

c) Hallar el vector aceleración a en el

tiempo t = - l .

- 1.

tiempo t = - 1.

*9. Para el cuerpo del problema 8, hallar la curvatura K y la torsión T en el tiempo t = - 1 .

Cálculo diferencial de I 6 funciones de varias variables

16.1. DERIVADAS PARCIALES

16.1.1. Gráficas de funciones de dos variables

Continuidud

Sea z =f(x, y) una función de dos variables independientes x e y, por ejemplo, z = f(x, y ) = x' - 3xp. Los puntos (x, y, z ) en el espacio que satisfacen z = f ( x , y) forman la gráfica de la función. Tal función es continua en el punto (xo, yo) de su dominio, si cambios suficientemente pequeños Ax en x y Ay en y producen cambios muy pequeños Az en z. Con más precisión, dado E > O, es posible hallar 6 > O, tal que (Azl < E siempre que AX)' + (Ay)* < 6. Entonces

AX)^ + (Ay)' es la distancia entre el punto cambiado (xo + Ax, yo + Ay) al

función es continua si lo es en todos los puntos de su dominio. De nuevo, todas las funciones elementales (racionales, trigonométricas, exponenciales y lo- garítmicas) son continuas.

No se tratará más sobre continuidad, pero se deja establecido que si una función es continua, entonces se considera que su gráfica es una superficie situada encima (o a veces debajo, segun sea el signo de z) de su dominio en el plano x, y. Una de tales superficies se ilustra en la fig. 16.1.

546 C'4LCL'LO CON GEOMETRíA ANALíTICA

Ejemplo 1. Puesto que x 2 + y* + z 2 = u2 es la ecuación de una esfera con centro en el origen y radio u, se ve que la gráfica de 2 = f ( s , y ) = d a z - x' - y' es el hemisferio superior. I / Ejemplo 2. Por supuesto, la grifica de 2 = f ( x , y) es un plano que pasa por el origen. Puesto que la ecuación del plano puede escribirse como 2.u - 3~ - z = O, se ve que el vector 3 - 3j - k es normal a dicho plano. Naturalmente, z = as + hy + (. tiene siempre como grBfica un plano en el espacio. ~i

16.1.2. Derivadas parciales

Si J, =,f'(x). entonces la derivada d y i d y denota la razón de cambio de y con respecto a x. En las funciones de una variable, sólo hay dos direcciones posibles para desplazarse a partir de un punto en el dominio: la dirección de x creciente o la de x decreciente. Si 1 =.f(x, y), es posible hallar algunas razones de cambio. En este caso hay muchas direcciones posibles de desplazamiento a partir de un punto (x,,, y o ) del dominio, y mis adelante se enseñará a hallar la razón de cambio de z en cada una de las posibles direcciones. En primer lugar se halla la razón de cambio en la dirección paralela al eje x 'que viene dada cuando .Y crece e y se mantiene constante. Es decir, se trata de hallar la razón de cambio en (xo, ~ 3 ~ ) en la dirección dada por el vector i en dicho punto. Supóngase que la gráfica de z =f'(x, y) es la superficie que se muestra en la fig. 16.2. L a porción de la superficie por encima de la recta y = yo en el piano x, y es una curva en la SU-

perficie, como puede verse en la fig. 16.2. La altura z aparece en tal curva sólo como una función y(x) de x, como se indica en la fig. 16.3. Naturalmente, esta función se halla escribiendo y = yo en z =j ' (x , y), es decir,

16.2 Figura 16.3

Dericudas purciules

Puesto que se tiene una función de una variable z = y(x), es fhcil hallar la razón de cambio g'(x) de z con respecto a x, que ahora se denota por i'zlc'x en

CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 547

vez de dzlrlx. Las ccrl redondas)) indican que z es una función de m8s de una variable. Se conoce i z / i x como la derivada parcial de I con respecto a s. El valor de esta derivada para x = .Yo (recuérdese que J' = se escribe

La funci6n I = h(y) = /'(.Yo, y) que en .Y". se utiliza para hallar la razón

se obtiene cuando .Y permanece constante de cambio /I,()>) de I = /'(.Y, y) en ( S , , ,

en la dirección dada por el vectorj en dicho punto. Las notaciones son

Desde luego, la derivada de y(.u) =,f(s, yo) se define por medio de límites. Los límites aparecen en la definición de las derivadas parciales de la manera siguiente. ." . ". ~ ~~~~~~ ~~~~ ~ ". __

Definición 16.1. Sea f(s, y) una funcibn definida en todas partes en el interior de algún círculo suficientemente pequeño con centro (.Yo, J,,,). Entonces

Y

si estos límites existen.

16.1.3. Cálculo de las derivadas parciales

Se considera que ,fX(.Yg, yo) es la derivada de la funcibn $1 dada por $](-Y) = j ' ( x , y,,) en .Yo, es decir, la función de una variable real .Y que se obtiene de ,f manteniendo

= J.0 y permitiendo que sólo .Y varíe. Esto quiere decir que las derivadas parciales se computan utilizando !as técnicas para hallar derivadas de funciones de una variable. Esto se ilustra con los siguientes ejemplos.

Ejemplo 3. Sea ,fe1 polinomio dado por /'(.Y, y) = .Y' -t 3.y~. + 2 ~ 3 ~ . Hallar

SOLUCION. Se considera que,f,(l, 2) es la derivada en x = 1 de la funci6n que se obtiene al escribir J- = 2 en el polinomio S' + 3x2' + 22''. Es decir,

g(x) = x' + 3x(2) + 2(23) = x2 + 6x + 16.


La derivada de .Y' + 6 . ~ + 16 es 2.u + 6, y el valor de 2s + 6 cuando .Y = 1 es 8. Luego

De manera anhloga, si se hace Y = 1, se encuentra que /,.(l. 2) es l a derivada de 1 -t 3). + 2 ~ . ~ , cuando J. = 2. Y a que

d ( l + 3 y +- 2 y ' ) = +

dY se obtiene

d f f , ( l ,2 ) = - ( l , 2 ) = 3 - i- 6 . 2 ' 27. / I

Ejemplo 4. El chlculo de las derivadas parciales del ejemplo 3 puede simplificarse teniendo en cuenta que ~ ; ( . Y . J , ) se halla para todo punto (x,y) por derivación de .Y' + 3.uy + 2y3 tcshlo con respecto a x)), considerando a J' como si fuera una constante. L a notación cti,fi¿?~n es una manera pritctica de indicar esta derivada cccon respecto a Y)). Así,

af - a ( 2 + 3xy + 2y3) ax ax " = 2x + 3y,

para ?(2y3)/?.x = O, puesto que y se ha considerado constante. De manera anhloga,

af a(x2 + ~ X Y + 2y3)

a y ay " - " - 3x + 6y'.

Por tanto,

1 + 6 . 2 ' = 27. I(

En la prhctica, las derivadas parciales se hallan por la técnica que se ilustró en el ejemplo 4. y para el caso la notación 2 es muy sugestiva; se deriva trcon respecto a x)) o (con respecto a p . Por ejemplo, para hallar c'.f/?x, se deriva ,f con respecto a x solamente, considerando a y como constante. En los ejercicios se suministra prictica.

16.1.4. Funciones de m i s variables

Si (.xo, yo, z o ) es un punto en el dominio de una función M' = . f (x, J., z), es posible hallar las derivadas parciales de w en las direcciones de i , j y k en (.xo,y0, zo). Para hallar la derivada en la dirección de i, se hacen y = yo y z = zo, permitiendo sólo que Y varíe. Es decir, se mantienen I e J constantes y se deriva únicamente con respecto a x para hallar


De manera análoga, es posible hallar ?w/?J y ?w/?z .

Ejemplo S. Hallar las tres derivadas parciales de \v = .Y sen yz.

S O L U C I ~ N . Se ve fácilmente que

aw aw a w ax a y - = sen yz, - - - xi! cos yz, - - az - xy cos yz. 11

Para funciones de dos o más variables, cuando un punto en el plano se representa por (xl , .x2) y en el espacio por (xl , .yz, ,y3), resulta conveniente utilizar la notación de subindices que se presentó en el capítulo 14. La notación vectorial x se utiliza para representar cualquiera de los dos puntos; la dimensión es clara de acuerdo con el contexto. Así, una función de tres variables se escribe

Por supuesto, es posible calcular todas las derivadas parciales

y ? y / i s i también se escribe ? f / ? s i o ,#;i(.~l, -yz, -xj).

16.15 Derivadas de orden superior

Sea z = f(s, y). Entonces i z /?x = j J x , y) es a su vez una función de dos variables, cuyas derivadas parciales con respecto a .Y o y pueden calcularse. Estas son deriradas de segundo orden de la función original ,/'(.Y, y). Las notaciones son

Obviamente, es posible hallar primero iz,'?y y luego las de segundo orden

Nótese que,/;, quiere decir (.fX),,, mientras quej;,, quiere decir ( . f i . )x

Igualdad de derivadas parciales mixtas

Existe un teorema donde se dice que si una función tiene segundas derivadas parciales continuas, entonces las derivadas parciales ccmixtas,) son iguales, es decir,

a2z a2z a y ax ax a y " "


Esta hipcitesis de continuidnd es rcilirla pura tallos I:,:; funciones elementales con que se trahajtr en el te-xto.

Naturalmente, es posible continuar obteniendo derivadas. Así, (:3f/(?~z ?.x quiere decir la tercera derivada parcial de . f ' ( s , J,). en primer lugar con respecto a x y después dos veces miis con respecto a y. Se tiene

a3 f a y a3f a$ax a y a x a y axay' " - " = - -

a2 z


junto con las dericadas parciales mixtas

EJERCICIOS

S. eXJy + 3x + 22. XYZ; a2flaz2 23. X*YZ; a’flaz ax

6.

9. (x’ + 2xy)(y3 + x’) 10. (xy)’(x’ - y’)’

x * + y2 x‘ + y

11. ___

12. sen xy

13. tan (x’ + y’) 14. exy cos x’

15. eXY’sec (x’y)

16. In (2x + 3y)

17. In (2x + y). cot y’

26. ___ ; a4fIax4 x3 + y

Y 3 + YZ

27. In [cos (2x + y - 3z)]; a-’f/az axz

28. Sea J(x, y) = senxq. 1)emostrar que -Y2 ’ /x, = L.2 ’ ,t;,,.

29. Demostrar que j i , =I;,., para la función dada ,f:

c ) In by’)

x3y2 + (x2!y3). 30. Verificar que fix, =,fiYx si f ( x , y ) =


16.2. PLANOS TANGENTES Y APROXIMACIONES

16.2.1. Planos tangentes

El significado geométrico de la derivada de una función J- = , f ( x ) de una variable es la pendiente de la recta tangente a la gráfica. El vector trasladado

dY dx

i +-j

que parte de un punto (.Y, y) en la curva es tangente a la curva. Las derivadas parciales de una función de dos variables z = ,f(.u, y) se relacionan

con el plano tangente a la gráfica. Puesto que C7zli.u da la rapidez de crecimiento de z con respecto a S cuando y se mantiene constante, el vector trasladado

i + - k az ax

que parte de un punto (s. y, 2 ) de la superficie es tangente a la superficie. Es decir, el vector es tangente a la curva que se obtiene en la superficiecuando J! se mantiene constante, como se muestra en la fig. 16.4. De manera anliloga,

también es tangente a la superficie.

Para hallar la ecuación de un plano tangente a la gráfica z =,f(x, y) en un punto (x, y, z ) de la superficie, se necesita hallar un vector normal al plano. Puesto que los vectores trasladados

i + - k az ax

Y j + - k

az ay


estin en el plano tangente, su producto vectorial

l i j k 1 0 - az

ax az

0 1 - ay

az ax "i -

es normal al plano en dicho punto. Se multiplica por - 1 y se recuerda que

(?z/?x)i + (?z/?y)j - k rs normnl a lu yraficn ( I P z = , f (x, y ) rn c-arllr punto de la nzisma.

vector normal a una (IrUficcr

Sea z = j'(.x, y ) = x' + 3xy + 2 ~ 9 ~ . Hallar la ecuación del plano tangente en (1,2, 23).


así que en (1,2,23), se tiene

Por tanto, S i + 27j - k es un vector normal al plano. La ecuación del plano es

8(x - 1) + 27(y - 2) - ( Z - 23) = O O SX + 27y - z = 39. 11 Naturalmente, también es posible hallar ecuaciones paramétricas de la recta

normal a una superficie si se conocen un punto y un vector paralelo a la recta, es decir, normal a la superficie.

Ejemplo 2. Las ecuaciones paramétricas de la recta normal a la superficie del ejemplo 1 en (1, 2, 23) son

x = 1 +st,

y = 2 + 27t,

z = 23 - t. 11

16.2.2. Aproximaciones

En el capítulo 3 se vio cómo aproximar f ( x o + Ax) cuando f ( x o ) es fácil de calcular y Ax = dx es pequeño. L a altura sobre .Y" + Ax de la recta tangente a la gráfica en (xo, f (xo)) se determinó geométricamente. Ahora se tienen planos

CALCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 555

Entonces, según (2),

f ( l .05,2.99) = f ( 1 + Ax, 3 + A y ) 27 + f,(l, 3) * (0.05) + f , ,( l , 3). (-0.01)

= 27 + 54(0.05) + 27(-0.01) = 27 + 2.70 - 0.27 = 29.43.

Finalmente, (1.05)2(2.99)3 = 29.4708161475, / / Para funciones de más variables son válidos resultados anhlogos. Por ejemplo,

si w = f(x, y, z), entonces la análoga de la aproximación (2) es

f(xo + AX, yo + AY, 2,) + Az) f(xo, yo, zo) + fx(xo , yo, zo) Ax + f, (x03 yo, zo) A Y + f z (x,), Y o , 20) AZ. (3)

Estas fórmulas se pueden escribir abreviadamente utilizando notación vectorial con variables con subindice. Por ejemplo, la aproximación en la vecindad de a = (u , , u 2 , u3) de

y = f(x) = f ( x , , x2, x,)

que corresponde a u n cambio Ax = ( A x , , Axz, Ax3) viene dada por

f(a + Ax) x f(a> + fx,(a) Ax, + fx,(a) Ax2 + fx,(a> Ax,, (4)

para un vector Ax cuya magnitud es suficientemente pequeña. La utilización de notación vectorial y variables con subíndice facilita la apreciacibn de la estructura de las fórmulas. Las que son como (4) son vlilidas para la aproximación de funciones de una o también de dos variables; todo depende del subíndice de la ccultima x)).

RESUMEN

1. U n vec'tor normal LI la superficie dada por z =,f'(x, y ) en cualquier punlo (x, y, z ) de lu superficie KS

az az ax a y "i +-j - k.

2. E n vista del arctor descrito, es posible hullur el pluno lunyenfe y la rectu nornlul u la yruficu de !u juncicin, yu que estos Iugures yeomktricos se determinan por un punto en lu yruficu y un vector perpendicular u éstu.

3. El vulor uproximudo de ,f(xo + Ax, yo + Ay) dudo por /u ulturrr del pluno tmnyente sobre (xo + Ax, y o + Ay) es

f(xo + AX, Y O + Ay) f(xo, yo) + f,(x,, y,) AX + f,(xo, yo) Ay puru Ax y Ay suficientemente pequeños.

EJERCICIOS

l .

2.

3.

4.

5.

Hallar la ecuación del plano tangente a la grifica del polinomio .x!' + 3y' en cl punto ( - 2, 3, 21).

Hallar la ecuaci6n del plano tangente a la grhfica de la función sen .x!' en el punto cuyas coordenadas son (1, n, 2. 1).

Hallar las ecuaciones paramétricas dc la recta normal a la grifica de .x3!, + .Y).'

en el punto ( I , - 1, O).

Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta normal a la grifica de In ( x ' 4- y2) en el punto (3,4, In 25).

Hallar la ecuación del plano tangente y las ecuaciones paramétricas de la recta normal a l a superficie .xj = s ? x 2 ~- 4u,.xj en el punto cuyas coordenadas son (-2, I , 12).

6.

7. 8. 9.

1 O.

11.

J(4.04)(0.95)

(2.01)(1.98)' + (2.01)'(1.98) (cos l")(tan 44")

<(1.97)> + (2.02)' + (1.05)'

Las dimensiones internas de una caja rectangular son 14 cm de anchura, 20 cm de longitud y 8 cm de altura. Estimar el volumen del material usado para construir l a caja si l o s lados y el fondo son de cm de espesor y la caja no tiene tapa.

El volumen de un silo cilíndrico con cúpula semiesfkrica es

V = rrr'h + : m 7 ,

donde /I es la altura y I' el radio del cilindro. Estimar el cambio de volumen de un silo de 6 pies de radio y 30 pies de altura si el radio se aumenta en 4 pulg y la altura decrece en 6 pulg.

16.3. LA DERIVADA Y LA DIFERENCIAL

16.3.1. La derivada

Si z = f(x, J,), entonces i,f;ic'x y ?f/?y da las razones de cambio de f ( x , y) en la dirección de las coordenadas. El vector

resume tales razones de cambio y se considera como la derivada de f ( x , y ) y se denota por f ' ( x , y).


Ejemplo 1. Si .f’(x, y) = .x2 - 3sy + J , ~ , entonces

f’(x, y) = (2x - 3y, -3x + 3y2). I ( Para mayor generalidad, ilustrar la notación con subindices, si y =.f‘(x) =

j ’ ( .ul , .y2, -y3), entonces

fyx) = (9 ay 3). ax,’ ax,’ ax,

La notación vectorial J? =.f’(x) evoca el cálculo de una sola variable de la primera parte del texto. Inmediatamente se introduce la notación ?y/dx (que se escribiría también ?y/?Z) par‘a esta derivada vectorial. Como en el caso de una sola variable, la notación es muy apropiada para recordar la regla de la cadena que se presenta en la sección siguiente. Debe tenerse cuidado de no interpretar ahora ?y/dx como un cociente de cantidades diferenciales. La notación ? ~ ) / d x es simplemente un simbolismo afortunado y útil para recordar fórmulas, pero no debe considerarse como cociente. Tal vez en alguna ocasión alguien le darri un sentido de cociente. ¿Quién sabe‘? Esta es una de las formas de desarrollo de la matemática.

Ejemplo 2. Hallarf’(x) = iy/dx en x = (1, - 1,2) para y = f(x) = x:x3 -- 2x:.ui.

S O L U C I ~ N . Ahora

Por tanto,

En consecuencia,

t‘(1, “1 ,2 ) = - = (4, -24,9) . I (

16.3.2. La diferencial Se recuerda del capitulo 3 que si y = j ’ ( x ) es una función derivable de una variable, la diferencial rly se expresa por

dy = f‘(x) dx (2) donde dx es una variable independiente. Si dx = Ax es un incremento en x ,

entonces 112’ = Aytan, que es el cambio en la altura y de la recta tangente que corresponde al cambio Ax en x. También, dy es una aproximación adecuada al cambio Ay en y, puesto que existe una función E , que depende de Ax, tal que

y = f ’ ( x ) * Ax + E . Ax cuando lím E = O . (3) Ax-O


La relación ( 3 ) se utilizó para demostrar la regla de la cadena para derivación. Ahora se aplican estas ideas a z = f(x, y). El análogo de Ayta, es

k a n = fX(% Y) Ax + f,(X, Y) AY, (4)

y así, por analogía, la diferencial d z se define como sigue:

Fuwión d+wrzciuhle

La expresión (5) se puede hallar si 1; y ,fr existen. Sin embargo, se han encontrado ejemplos que muestran que dz = A q a n puede no ser una buena aproximación a Az para valores pequeños ( / .S = A.Y y d ~ . = A l , si ,ft y /;. no son continuas. En consecuencia, se dice que una funcibn f(s. y) es diferenciable solamente si las derivadas parciales fx y f i . existen y son c.or1tiwuu.s. Esto se opone al caso de una función J' = ,f'(s) de una variable, donde la sola existencia de la derivada siempre garantiza que (1)' = Aylan es una aproximacibn adecuada a A!, para valores pequeños de d r = A.Y.

Ahora se desarrolla el anitlogo de (3). Suponer que .f., y 1;. existen y son continuas. Entonces

= f ( x + AX, Y + A Y > - f (x , y ) = [ f ( x + Ax, Y + AY) - f (x , Y + AY)] + [f(x, Y + AY) - f ix , y)]. (6)

[La relación (6) es el esquema conocido de restar y sumar.] Ahor.3 sc mantienen fijas .Y e y. y la funcicin c1 de las variables Ax y Ay se expresa por

l o para A X = O,

tal que

f ( x + AX, y + Ay) - f (x , y + Ay) = fX(x, y) * AX + E ] . AX. (7)

Después de aplicar el teorema del valor medio en g(x) = . f (x, y + AJJ) para y y Ay fijas, puede escribirse

c1 = .f;(c, y + AJ') - fx(x, J) cuando c está entre x y x + Ax.


Puesto que se supone que.f, es continua, se ve que

lím €1 = fx(x, y) - fx(x, y) = o. Ax,Ay-0

De manera análoga, si

(0 para Ay = O,

entonces

f ( x , Y + AY) - f(x, Y) = f Y k Y) * AY + € 2 . AY. (8)

Un argumento similar al que se utilizó para c1 muestra que límA,y,Ay ~ o c 2 = O. Si se sustituyen las expresiones entre paréntesis cuadrados en (6), por (7) y (8), se tiene

AZ = fX(x, y) * AX + f,,(~, y ) . Ay + €1 . AX + e2 . Ay (9)

donde lím = lím e2 = O.

Ax,Ay-0 Ax.Ay-4

La relación (9) es la análoga requerida de (3) para 2 = f ( s , y). Naturalmente, para más variables son válidas relaciones semejantes. Si se expresa (9) en notación diferencial, se asegura que cuando se utiliza la aproximación

f ( x + dx, Y + dy) = f(x, Y) + f X k Y) dx + f Y k Y) dy (10)

ésta será adecuada para dx y t ly suficientemente pequeñas, en el sentido de que el error

* dx -t e2 * dy es pequeño en comparación con la magnitud de d x y ([J,, puesto que c I -+ O y c2 -+ O cuando dx ”+ O y (/J? ”+ O.

La importancia de la relación (9) es tal que se enuncia como u n teorema.

S60 CALCULO CON GEOMETRíA ANALíTICA

Naturalmente, si w = f ( x , y, z ) , entonces se escribe

dw = fx(x, Y, 2 ) dx + f,(x, y, 2 ) dy + fi(x, Y, 2 ) dz.

Una vez m&, la notación vectorial con variables con subíndice hace que todo aparezca como en el caso de una sola variable. Si y =,/'(x) = ,/'(.xl, .x2. .x3), entonces

dy = fx,(x> dx t + fX,(x> dx, + fx,(x> (1 1) Recuérdese que

f'b) = (fx,(x), fx,(r>, fx,(x)>.

Sea dx el vector dx = (d .ul , r l s z , (/.y3); así ( 1 1 ) adopta la forma simple de un producto interno

dy = f'(x) - dx. (12)

Al utilizar notación vectorial con un producto interno, se mantiene la misma fórmula sencilla para la diferencial que en el caso de una función de una variable.

Ejemplo 3. Hallar d y si y = f(x) = f ( s l , .xz, x3) = .x: + . Y ~ L ~ ' ~ .

S O L U C I ~ N . Ahora bien, f'b) = (fX,> f*,? fx,)

= (2x1, ex-, x2ex3),

así

dy = f'(x) dx = (2x,, ex., x2ex1) - (dx,, dx,, dx,)

= 2x, dx, + ex% dx, + x2ex- dx,. 11 Sea y = , f ( x ) una función derivable de una variable. En el capítulo 3 se vio

que la aprnximaciónf(x + Ax) =: ,f(.x) + ,f"(x)A.x da paso, en notación diferencial, a

f(x + dx) = f(x) + f '(x) dx (13)

para dx suficientemente pequeña. Ahora bien, sea y = f ' ( x ) = f ( x l , .x2) una función derivable de dos variables. El teorema 16.1 demuestra que si ldxl es suficientemente pequeña, entonces

f(x + dx) = f(x) + f'(x) dx. (14) Esta vez dx = (dxl, dx2) y f'(x) = (ji,, j i2) . Por supuesto, es también válida para una función derivable y = f ( x ) = f (x l , x2, x3).

En síntesis, las fórmulas cwwcidas del ctílculo rlijerencial de una cnriablr son ldidus s i se utilizan curiuhles con subíndice, notución vectorial y productos internos.

Ejemplo 4. Sea y =,f(x) =,f(xl , x2, x3) = x: + x2eX3, como en el ejemplo 3. Utili- zar (14) para estimar ,f(3.9,6.05,0.2).

SOLUCION. Sea x = (4,6, O) y dx = ( -0.1,0.05,0.2). En el ejemplo 3 se demos- tró que f'(x) = (2x,, ex3, x,exl).


Por tanto,

f(3.9,6.05,0.2) " f(x) + f'(x) * dx = (16 + 6) + (8, 1,6) (-0.1,0.05,0.2)

= 22 + (-0.8 + 0.05 + 1.2) = 22 + 0.45 = 22.45. 1 )

RESUMEN

EJERCICIOS

En los ejercicios I u 6, hollar In dericadu 4. cectoriul f' J la dzfcrencia! de la,funcidn inriicrrda en un p m t o dado. 5. 1. f(x, y, z ) = x2 + 2yz en (4, -1,2) 6.

2. f(x, y) = (x3y2 + 2x2y) en (2,3) 7.

3. f(x, y, z) = In (xy) + e'' + sen (xz) en (2,4,p)

f(x, y) = x2 - 2y2 + tan (xy) + ( l / x j en (-2, O ) f(x) = 3xz + SL: x + In x en T

f(x, y) = 2x + x cos y + x sen y

Seaf'una función definida por,f(x, y, Z) = x!, + sen z . Utilizar una diferencial para estirnarf(0.98,2.03,0.05).

en ( 3 , ~ )

562 CALCULO CON G E O M E T R Í A ANALíTICA


Un razonamiento análogo demuestra que si w = f ( x , y, z ) y x = gl(t), y = g J t ) y z = g3(t), entonces

d w a w d x a w d y a w d z "" - +"+" d t ax dt a y d t az d t *

En notación con subindices, si y =,f(x) = f ( x l , x?, x,) y x 1 = y l ( f ) , x2 = g2(f), x3 = g,(t), entonces

d y - a y d x , a y dxZ a y d x "" +"+"> d t ax , d t ax, dt ax, dt '

Ejemplo 1. El volumen V de un cilindro circular recto de radio I' y altura h se expresa por I/ = nr2h. Si el volumen aumenta a razón de 72ncm3/min, mientras que la altura disminuye a razón de 4 cm/min, hallar la razón de aumento del radio cuando la altura es 3 cm y el radio es 6 cm.

SOLUCION. Se tiene d V av dr a V d h dt a r d t ah dt ' " - -."+ -.-

así dV dr d h - = 2 ~ r h - + m 2 ( z ) . d t d t

Se sabe que (lV/llt = 72n y tlhldt = -4. (El signo negativo ocurre porque h disminuye.) Se desea hallar (irldt cuando I' = 6 y h = 3.

Por sustitución

7 2 ~ ~ = 2 ~ ( 6 ) ( 3 ) - + ~ ( 6 ~ ) ( - 4 ) , dr dt

así

3 6 ~ - = 2 1 6 ~ . dr d t

Luego, dr id t = 216x136~ = 6cm/min. 1 1 Ahora bien, sean z =.f'(x, y ) y x = gl(s, t ) e y = g2(s, t) . Esta vez z aparece

como una función compuesta de dos variables, S y t , y el interes se centra en las derivadas parciales ?z/(?s y iiz,l?t. Pero (2) es aún válida y se procede a dividir por el incremento At y a tomar el límite cuando S permanece constante, para hallar &/?t. Es decir, se obtiene de (2)

az A Z ax ay ax = lim - = f,(x, y ) - 3- f,(x, y ) - + o . - + o . - at AI-O ~t at at at at

-

azax a z a y ax at ay at

-" - + --.


Así, las derivadas dq‘dt y t lyjdt en (1) se convierten en este caso en simples derivadas parciales.

Ejemplo 2. Considerar la situación en donde

w = f(x, y, z ) = xy2 + zex2

mientras que x = u, y = c - 1 y z = uc. Calcular ? w / i u en (O. 2) en dos maneras: expresando M’ directamente como una función de u y c. y utilizando la regla de la cadena.

SOLCJCI~N. Se expresa M’ directamente como una función de u y c.

w = f(u, zi - 1, U D )

Así aw au - = (u - 1)’ + 2u2ueu2 + ueu2.

Por tanto, !!I = t + O + 2 . e ” au (0.2)

= 1 + 2 = 3 . Para utilizar la regla de la cadena, nótese que cuando (U, c) = (O, 2),

(x, y, z) = (0,1,0>.

si w = xy2 + z&, entonces

aw aw ax aw ay aw d y au ax au ay au az au ” _ ._ - +- . -+ - . -

= (y’ + 2xzex2)(I) + (2xy)(O) + (ex2)(u>.

Así

= (1 + 0)(1) + o + (1)(2) = 1 + 2 = 3. 11

Tómese un caso con variables con subíndice. Suponer que y = . f (x ) = ,f(xl, x2, x3)

y x1 = g l ( f l , t 2 ) , x2 .= 9 2 ( t l , f 2 ) y -x3 93(t l , t 2 ) .

Entonces

ay=”+”+” ay ax, ay ax, ay ax, at, ax, at, ax, at, ax, at,

donde la última expresión es el producto interno de los vectores. Ahora vamos a


ceder de nuevo a la tentación de usar la notación vectorial al estilo de Leibniz,

La ec. ( 3 ) se convierte en

Una vez más aparece la fórmula conocida de la regla de la cadena pero usando notación vectorial, variables con subíndice y un producto interno. La aplicación de estas variables con subíndice aclara la estructura de estas fórmulas para funciones de más de una variable.

Ejemplo 3. Sea y = f (x) = x:x: y

x1 = t12 - 2t2 + t3 , x, = t l tZ - t3 . 2

entonces

Cuando ( t l , t2 , t 3 ) = ( - 1,1,2), entonces (x1, x2) = (1, -5), así

31 = ( - 2 5 0 , 7 5 ) . ( - 2 , l ) = 575. at, (-1,1,2)

Como ejemplo adicional

así

= ( - 2 5 0 , 7 5 ) ( 1 , -4) -550. (1

RESUMEN

1. Si z =f (x , y ) y x = g ( t ) , y = g ( t ) , entonces

dz az dx azdy - - --- dt ax dt ay dt

Regresando a las uariables con subindice, si y = f (x) = f (x,, x2, x,) y x = g(t) , entonces

dy="+"--+"~ a y dx , a y dx, a y dx, dt ax, dt ax, dt ax, dt

566 CÁLCULO CON GEOMETRíA A N A L ~ T K A

EJERCICIOS

I . Sean z := Y' + (1 /v2 ) , Y = t 2 e y = t + I .

a) Hallar x, J y z cuando f =- I . b) Hallar c/z'rltl,- ,. usando la regla de l a

cadena. c) Expresar -7 como funci6n de I por

sustitucih. d ) Hallar t / z , d t j , - ~ derivando la res-

puesta de la parte c). Comparar con la respuesta en b).

2. si z = .y2 " " , .ryA. Y = t 3 + 1 e 1' = I / ( , utilizar una regla de la cadena para hallar r/z/rlt cuando t = 1.

3. si IL' = Y sen (y:), .Y = ?t + 1, y = 3rL y z = (7r;2)t, utilizar una regla de la cadena para hallar c / w ! d t cuando t = - 1.

4. si 1L' = .Yz t J'Z, X = U¿', )' = GI - L'

z = 21r2r, utilizar la regla de la cadena para hallar ?w/?u cuando 14 = - 1 y L' = 2.

6. Si = 21, - 3 ~ . 11 = .yv, I ' = y$. y := 1 3 ,

e = 2 sen t . entonces hallar d r r d r l , = (,.

7. Si el radio de 1111 cilindro clrcular crece ;I, r x 6 n de 4 cn 'min . mientras que I x longitud crece a razón de X c d m i n . hallar la razón de cambio del volumen del cilindro cuando el radio es 10 cm y la longitud es S O cm.

8. La caída de potencial I : medida en volts. a travks de un conductor dc resistencia variable de R ohms es I R , cuando I, medida en amperes, es la corriente que paha por el conductor. La corriente crece 3 m a razOn constante de 2 amperes por segundo, mientras que la caída de potencial se mantiene constante disminuyendo la resistencia cuando la corriente aumenta. Hallar l a razbn de cambio de la resistencia cuando I = 5 amperes y R = 1000 ohms.

5. Si LL' = J': + sen y 2 y 3 - P", mientras que 9. El momento de inercia I alrededor de un y l = yl, ,yj, y 2 = In (x: + 1) e J ' ~ = x2 eje de un cuerpo de masa m y a una cos x3, aplicando la regla de la cadena distancia S del eje, se expresa por I = n 1 . s ' .

para hallar iw/i.x21(- ,. 2. 0). Hallar la razón de cambio del mornento


1 o.

I t .

12.

13.

de inercia alrededor del eje cuando S = 50. si la masa permanece constante mientras que la distancia S disminuye a razón de 3 unidades de longitud por unidad de tiempo.

Responder el ejercicio 9 si el cuerpo adquiere masa a razón de 2 unidades de masa por unidad de tiempo y tiene masa 20 cuando S = 50, mientras que los demBs datos permanecen iguales.

La presibn P en kg/m2 de cierto gas a temperatura T en un recipievte de volumen variable V m3 se expresa por P = 877K La temperatura aumenta a r a z h de S ,min. lnientras que el volumen del recipiente aumenta a ra76n de 2 m3,;min. Si, en un tiempo to, la temperatura fue de 20 y el volumen 10 m 3 , hallal- la r a z h de cambio de la presión S min mhs tarde.

Scptin l a ley de gravitacibn de Newton l a lucrra de atracclOn entrc dos cuerpos de masas m , y 1 1 1 , es < ; r t t , n i z , ,S?, donde ,y

es la distancia entrc l o s cuerpos y G es la constante uni\ersal de gravitacih. Hallar l a r a z h de cambio de la fuerza de atraccibn de dos cuerpos de masas constantes de (LO) ' y (IO! ' unidades. que estkn ;I una distancia tie (IO) ' unidades entre s i yqucseseparan a ralbn dc(IO)' unidades de distancia por unidad de tiempo. (Suponer que las unidadcs dadas son compatibles e ignorar el valor de G o el nombre de las unidades de la respuesta.)

Repetir el ejercicio 12 si el primer cuerpo gai1;L masa a rarbn de 30 unidades de masa por unidad dc tiempo y el segundo la pierde a razón de X 0 unidades de masa por unidad de tiempo, mientras que los otros tiatos permanecen constantes.

16.5. LA DERIVADA DIRECCIONAL Y EL GRADIENTE

Las derivadas parciales de z = .f(.x, J.) proporcionan las razones de cambio de z en las direcciones coordenadas positivas. Es posible hallar las razones de cambio de z en direcciones distintas a las de las coordenadas.


Sea a = (u , , u 2 ) un punto en el plano x, y en el dominio de .f'(.x, y). Hallar la razón instantánea de crecimiento de f(x, y) por unidad de cambio en una dirección dada por un vector unitario u = u l i + u 2 j en a, como se indica en la fig. 16.6. Se toma un eje S con origen en (ulr a2) en el plano, en la dirección de u, como se muestra en la figura. La curva en la superficie z =f'(x, y) situada directamente encima de este eje S es la gráfica de una función z = h(s). La razón de cambio de z con respecto a S en ( u , , az ) es la derivada h ' ( s ) = dzlds determinada para S = O. Esta derivada da la razón de cambio de z en la dirección del vector u en ( u , , n2) y se denomina derivada direccional d e f en ( a , , u 2 ) en la dirección indicada por u.

Para calcular r/z/rls se aplica una regla de la cadena porque z es una función de Y e ) S , dada por z =f(x, J.), y es fácil expresar x e y en términos de s. Recuérdese que u es un vector uniturio. En consecuencia, como se muestra en la fig. 16.6, para el punto (.Y, y) en el eje S, correspondiente a un valor S,

se tiene, en notación vectorial,

x i + y j = ( a l i + a,j) + su

= a,i + a2j + s(u, i + u J ) = (a, + u,s) i + (a2 + U ~ S ) ~ .

Figura 16.6

Por tanto, x = a , + u,s,

y = a2 + u2s.

Entonces la regla de la cadena demuestra que

Cuando S = O, se tiene


Si w = f ( x , y, z ) , entonces la derivada direccional de w en a = (u1, a2, a3 ) er. la dirección indicada por el vector unitario u = u l i + u z j + u& es, naturalmente,

Sea f,(a) la derivada direccional que se da en (2), es decir, la derivada def(x, y ) en a = (al, a2) en la dirección indicada por el vector unitario u = u l i + u2j. Así

Utilizando variables con subíndice, si y = f(x) = f(xl, x2, .x3), mientras que a = (al, u2, a3) y u = uli + u 2 j + U&, entonces

Ejemplo 1. Si f es derivable en a, entonces la derivada direccional J(a) en la dirección de u = i en u es simplemente ,fx(a), para u1 = 1 y u2 = O. De manera análoga, &(a) = .f,(a). / I

Es importante recordar que u es un vector unitario en la dirección de derivación.

Ejemplo 2. Seaf una función definida por

f(x, y) = x * + 3xy2

Hallar la derivada direccional def en (1, 2) en dirección hacia el origen.

S O L U C I ~ N . Un vector en la dirección de (1, 2) a (O, O) es - i + 2 j ; por tanto. un vector unitario en esta dirección es

1 2 u = -xi - j .

Resulta que

Y

En consecuencia, 1 2 38 fu(l, 2) = -- . 14 + (--)a 12 = J5 JS

Recuérdese que si z = f ( x , y), entonces la derivada f’(a) de f en a = ( a l , az ) es

f’(a) = cf, ( 4 , f, (a)).

570 CALCULO CON GEOMETRíA .ANALíTICA


EJERCICIOS

1.

2.

3.

4.

5.

f ( x , y) = x' -- 3.~4.~ en ( - 2, 1) hacia el origen.

f(u, y ) = sen- (x/!,) en (3, 5) hacia (4,4).

f ( x 1 , .y2, u,) = . x I . x ~ c " en ( I , 3, O) hacía (1, 3, - 1).

Sea,f(.u, y, :) = . x 2 ~ + tan S:. Halktr la dirección en el punto ( I . -- 2. 1 J para el cual ,f'(.u, y; z ) crece con mayor rapidez, y hallar su razón mhxima de crecimiento. ¿En qué dirección es mínima la razón de crecimiento de f(x, y, z) y cuál es la razón mínima?

Repetir el ejercicio 4 para la función f(u, y) = x' + x(ln 4') en el punto (x, y ) = (2, 1).

6.

7.

St!

Sea ,f derivable en a con un miximu local en a. ¿,Qué puede decirse respecto a las derivadas direccionales de.fen todas las direcciones en a?

Dar u n ejemplo para mostrar que es posible tener f(s. y) tal que ,fu(O, O) = O para todos los vectores unitarios u y, sin embargo, no tener ni mhximos ni mínimos locales para 1 en (O, O).

e l rector gradiente Vf(aj apunta en la direccicin de ltz runin mcíxirna de cambio de f (x) en a s i V"(a) # O. S i Vf(n) = f '(u) = O, entonces la ruzdn de crecimien/o tle .f(xj en todos las dirrc,ciones es cero en a. En los qjercicios H a 14, hullar la direccidn o direcciones t w las que un nzdr i l debe (1e.splazurse dc,sde el punto dudo para que f(xj obtenga mdximo crecimiento en una distancia corta. El texto no proporciona ins-


trucciones al respecto; cada caso debe pensarse 11. f(x, y) = X’ - y’ en (O, O) por separado.

12. f(x, y) = x 2 + 2xy + y’en (O, O) 8. f(x) = x’en O 9. f (x) = x 3 en O 13. f(x, y) = x3 - x’ + y’en (0 ,O)

10. f(x, y) = x’ + y’ en (O, O) 14. f(x, y, z ) = 5 en ( I , -2 ,7 )

16.6. DERIVACION DE FUNCIONES IMPLICITAS

En el capítulo 3 se estudió la derivaci6n de funciones implícitas de una sola variable, hallando d y / d x dada una ecuación de la forma G(.u, J,) = c. Esto se repasa con un ejemplo.

Ejemplo 1. Sea x 2 y 3 + 2xy2 - x3 = 3. Hallar d y l d x por derivación implícita.

SOLUCI6N. Se tiene

x 2 . 3y2- + 2xy3 + 2 x . 2 y - + 2y2 - 3x2 = o, dY dY d X dx

por tanto, dy - 3x2 - 2xy3

dx 3x2y2 f 4xy ” - 2 y 2 . 11

Una ecuación de la forma G(x, y, z) = c define a z implícitamente como una o más funciones de .Y e y. Por ejemplo, .x2 + y2 + z2 = 16 da lugar a las funciones

z = 416 - X’ - y2 Y z = - J16 - x2 - y’.

No se describirá exactamente cuando G(x, y, z ) = c origina tales funciones implíci- tamente definidas. Para las funciones usuales, el lugar geométrico de G(x, y, z ) = c es una superficie en el espacio, y una parte de tal superficie que contenga el punto (xo, yo, zo) se considera, a menudo, como la gráfica de una función z = f ( x , y ) tal que zo = f ( x o , yo). En este caso se utiliza derivación implícita para hallar c ‘zpx y i i z p y .

Ejemplo 2. Sea x’z + y z 3 - 2x1,’ = -9. Hallar ?Z/?X en el punto (1, - 2, 1) en la superficie.

S O L U C I ~ N . Derivar implícitamente con respecto a x, considerando a y como una constante para obtener

así az 2y2 - 2x2

ax x2 + 3yz2 ” -


Y 8 - 2 6 II

Existe una fórmula facil para evitar la técnica de la derivación implícita. Supóngase que G(x , y, z) = c define z = f ( x , y). Entonces las ecuaciones

w = G(x, Y, z), (1) x = x, y = y, z = f(x, y), (2)

definen M! como una función compuesta de dos variables x e y. Además,

w = G(x, Y, z) = G(x, y, f(x, y)) = c para todo x e y, puesto que z = ,f(x, y ) se escogió tal que G(x, y, z ) = c. Así, c?w/dx = O y ziw/iiy = O. Pero, según la regla de la cadena para la sucesión de funciones dadas por (1) y (2) ,

aw aGax aG ay aGaz aG aG aG az ax ax ax ay ax az ax ax

+"+"--".1+-.0+" ay az ax

" (3)

[Nótese que ('y/dx = O a partir de ( 2 ) , donde y se considera como función de x e y.] Ya que dw/c'x = O, se obtiene de (3)

aG aGaz ax az ax -+"-=o

así

La fórmula (4) para ?z/Jx es válida siempre que i iG/dz # O, y se demuestra que para una función regular G, ésta condición garantiza que G ( x , y , z) = c defina z implícitamente como función de x e y.

Ejemplo 3. Resolver el ejemplo 2 aplicando la fórmula (4).

SOLUCION. De

se obtiene G(x, y, Z) = X'Z + yz3 - 2xy2 = -9,

aG aG - = 2x2 - 2y2 y ax

- x2 + 3yz2, "

az así

az 2x2 - 2y2 2 y 2 - 2x2 ax x 2 + 3yz2 x2 + 3yz2 ' " - - - -

Ahora se calcula la derivada en (1, - 2, 1) como en el ejemplo 2, pero se elimina el errlbrollo de la derivación implícita. 1 1

Pero (7) es el vector pradiante VCJ. La superficie <;(.Y. A', r) = 1 , se denomina superficie de ni1cl de la funcicin (;(.Y. y, z), porque consta de todos los puntos ( Y , y. z) donde la funcihn tiene e l wiLei)) t ' . Resumiendo,


el cector yradiente de una función en un punto es perpendicular a la superficie de nivel de la función que pasa por dicho punto.

Desde luego, para una función G(x, y ) de solamente dos variables, C(x, y ) = c es una curva en el plano, denominada curva de nivel de G. Una vez más, el vector gradiente VG es perpendicular a la curva de nivel en todo punto. Esto se deduce inmediatamente del enunciado anterior si se considera el lugar geométrico de G(x, y ) = c en el espacio, que es un cilindro vertical que interseca el plano x, y en la curva G(x, y ) = c.

Ejemplo 4. La curva y = x’ - 1 es una curva de nivel en el plano de G(x, y ) = y - x2. Así, un vector perpendicular a la curva en (2,3) se expresa por VG(2,3). Se obtiene

así VG = - 2 x i + j y VG(2,3) = - 4 i + j . La curva y el vector se muestran en la fig. 16.7. / j

- I

Figura 16.7

Ejemplo 5. Hallar el plano tangente y la recta normal a la superficie x2yz + x2y3 + sen (x2z) = 8 en el punto ( - 1,2, O).

SOLUCION. Sea G(x, y , z) = x2yz + ,’y3 + sen (x’z). Se tiene

G ~ ( - I , ~ , o) = (2xyz + 2xy3 + 2xz cos ( x ~ ~ ~ ) ) l ~ - ~ , , , , , = -16,

G,,(-l, 2, O ) = (X’Z + 3 ~ ’ y ~ ) j ~ _ , , , , , = 12,

Gz(-l, 2, O) = (X ’Y + X ’ COS (x’z))l(-,,2,,, = 3.

Por tanto, el vector normal (7) es - 16i + 12j + 3k. La ecuación del plano tangente en ( - 1,2, O) es

1 6 ~ - 1 2 y - 32 = -40,

Las ecuaciones paramétricas de la recta normal son

X = -1 - 16t, y = 2 + 124 z = 3r. 11


RESUMEN

1. Si G(x, y, z ) = c define z = ,f(x, y ) , entonces ?z/?x y ?z/?y se pueden hallar utilizando derivacidn inzplicita o las formulas

az aG/ax az aGlay ax aG/az ay aG/az’ - = ” Y - ”

2. Si G(x) = G(xl, x2, xj) = c define xi como una,funcidn de las demús x, entonces c2xi/c3xj para i # j se halla por derioueión implícita o utilizundo la,fórmula

ax, aGlax, ax, aGlax, ‘ - - “ -

3 . Duda una superficie de nice1 G(.u, y, z ) = c, el rector gradiente

aG aG aG ax ay az

VG = “ i + - j + - k

es normal a la superficie en todos los puntos de kstu.

EJERCICIOS

En los ejercicios 1 u 8, hallar l a derivada requerida aplicando j¿órnmlas conlo las de las ecs. (4) J. (5).

1. dyidxlll, - I ) si x2y-xsen(ny)-y3=O.

2. d , ~ / d y l ( ~ . 2) si eXy - (3xyf 2 ~ ) ~ = - 63.

3. ?z/?.xI, ~ ,. 2. o) si x sen (yz) - 3x2z + ye‘= 2

4. ?.~3/?x21,1, -1. si x:-2x2xt:=3xlx:.

5. ? y / ? ~ / ( ~ . 3, si tan” (x+y)+In(xz+y) = n/4.

6. ?2x1/?2x3/(1,2,n) si sen(xlx3)- x:$ = -4.

7. (:X/?Zl(3, o. o) si sen-’ z+xZey2= 1 2 - x e ~ .

8. ? y / ? ~ l ( ~ . o. 2) si In (xy + 1)+3xz2 = 2 4 f tan (x - z).

En los ejercicios 9 a 12, aplicar derivación implícita para hallar la deriuada requerida.

9. dx/iiz((_ o, si cos (x2y)-yz3 + x 2 =O.

10. ~ X ~ / ? X ~ / , ~ . - 1 ) si x lx~-3x2x3+xIx~ = 3.

11. ? ~ / ? y l ~ - ~ . 2. o) si eX””-In(xz+I)=1.

12. ? X ~ / ? X , / ~ ~ . 2. o) si x ~ - 4 x l x ~ = 7 x 1 x 3 - 121:.

En los ejercicios 13 u 15, hallar la ecuación de la recta o el plano tangente y las ecuaciones paramétricas de la recta normal a la curva o superjicie dadas, en el punto indicado.

13. x3y--y2= -2 en (1, 1).

14. 3xeY+xy3=2+x en (1, O).

15. s e n ( ~ ~ y ) + ( 3 x + 2 z ) ~ = ~ e n ( - ~ , O , 1).

16. Demostrar que si G(x,y) tiene segundas derivadas parciales continuas, y si la curva G(x, y ) = c define y como una fun- ción dos veces derivable de x, entonces en un punto (x, y), donde G,(x, y ) # O, se tiene

_ = - d2y G;G,, - 2GxG,G,, + G;G,, dx2 GY3

17. Utilizar el resultado del ejercicio 16 para


calcular d2y/d~2) (o , 1) para y definida implícitamente como una función de x por x3 - 3xy2 + 4y3 = 4.

18. Demostrar que las curvas

5 x 4 y - 10x2y3 + = 4

x 5 - + 5xy4 = -4 Y

son ortogonales en todos los puntos de intersección.

19. Demostrar que las superficies x * - 2y2 + z 2 = o y xyz = 1

son ortogonales en todos los puntos de intersección. (Dos superficies son ortogonales en un punto de intersección si sus rectas normales en tal punto son ortogonales.)

20. Demostrar que las superficies

x + y * + 2 2 = 4 Y

12x - 3(In y) + z ” = 13

son ortogonales en todos los puntos de intersección.


1. Si w = f ( x , y , z ) = xz2 + y2exz, hallar Supóngase que cuando t = o, se obtiene

a) awlax b) d2wlax2 un vector x = b, y que

az at, a x -(o) = -4, - ( b ) = (3, O, c),

az

2. Hallar la ecuación del plano tangente Y a la superficie -(a) = ( -4,3,2). a x

X + Y at,

X - Y Hallar el valor de c. z =-

en el punto (2, 1, 3). 7. Hallar la derivada direccional de z =

3. Sea w = f ( x , y , z) = x2y - xy2z3. Hallar f ( x , y ) = x2y3 - 3yz en ( - 3,4) en la di- la derivada vectorial f’( 1, - 1,2). rección hacia el origen.

4. Utilizar una diferencial para estimar 8. Hallar la dirección de la razón máxima de crecimiento de f ( x , y, z) = y 2 sen xzz

(2.05)4 - (3.97)2 en el punto (O, 3, - l), y la magnitud de (1.08)’ ‘ la misma.

5. Sea z =f(x , y ) = ex mientras que x = 9. Sea y una función de x y z definida 2st e y = sz + t 3 . Utilizar la regla de la implícitamente por xzy - 3x2’ + y 3 = cadena para hallar az/6t en el punto - 13. Hallar 6y,@x en el punto (1, - 2,l).

10. Hallar las ecuaciones paramétricas de la 6. Sea z = f (x l , x2, x3), mientras que xI = recta normal a la superficie x2y -

1 .

(S, t ) = (1, - 1).

gl(tl, f2), x Z = g2(tl, t 2 ) y x 3 = g3(tl, fZ). 3xz2 + y 3 = - 13 en el punto (1, - 2,l).


1. Si y = x i sen x2x3 - xzx:, hallar:

CALCULO CON G E O M E T R ~ A ANALIT'ICA 578

2.

3.

4.

5.

6.

Hallar la ecuacibn de la recta normal a la superficie

* _- x ~- y

x + y

en el punto (2. l . 1).

Sea J. = ,f'(.xlr x2) = Y: + .x1 COS ZZ.

Hallar la derivada vectorial f ' ( I , 01.

Utiliz,ar tina diferencial para estimar (2.03)' COS ( - 0.05).

Sea z =.f(.x. y) mientras que x = gl(r)

mientras que e y = y z ( r ) . si Sl(1) = -3 y gAl ) = 4,

ciones derivables. Suponer yl( - 1. 2 ) = - 1 mientras que q 2 ( - 1, 2) = 2. Sea

S i f ( ~ l , t 2 ) = +lz(q l ( t l , t2).g2(~1, t 2 ) ) . hallar i;>(- 1, 2) .

7 . Hallar la derivada direccional de .x3y + (.x;),) en ( - 1, 1 ) en la dirección hacia (2, -3).

8. Hallar la dirección de la razón máxima de crecimiento de f ( r . ~ , ) = x'e"' en el punto (3. O), y luego hallar la magnitud de dicha razón de cambio.

9. Si .x es una funcion de J. y z, definida Implícitamente por J.' cos .x + . x 3 -

~ J . ' z = - 5. hallar ?.x/?" en (0, I , 2).

hallar f,( - 3. 4).

Sean x1 = gl ( r l , I>) y x2 = q 2 ( t l . r 2 ) fun- ei punto ( I , 1. - 1).

10. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie x3y + ~ , ~ z + z3x = - 1 en


1. Hallar el esquema apropiado de mumar y restar)) que podría utilizarse para demostrar el análogo de tres variables del teorema 16.1 para una función M: = f ( z , y, z). Es decir, dar el análogo de la ec. (6) de la sección 16.3 para 11' = f ( Y , y, z) .

Los rjer.c.ic.io.5 restuntes irztioduccw la repre- sentacicin de jitnc.ionc.7 dc. dos ruriahles por. rnerlio tlr series (le potewius.

2. Considerar el polinomio P(x, Y ) = ao,, + Ul,l(x. - X J

+ ac,r(y - Yo) + . ' . + a,,(x - x,,)'(y - y,,)'+ . . .

una función con derivadas parciales de todos los órdenes < 11, continuas en (.yo. yo). Hallar una fórmula para u i j si P(u, y) tiene las mismas derivadas parciales que .f'(.x, J') de todos los cirdenes < II en (.xo. yo); es decir, si

8' + 'f

El n-ésimo polinornio de Taylor T,(x, J.)

puru ,f(.x, J.) r n (xg, .vo) se drfine como

T,,(x Y )

+ a,,,(y - Y,,)" para todos los valores no negativos enteros i y j , donde i + j d n. Sea f ( x , y)

(x - XO)'(Y - Yo)' . 1 (1)


3, Hallar el polinomio de Taylor T3(x, y) para sen(x + y) en (O, O).

4. Explicar que la respuesta al ejercicio 3 es predecible en términos de la serie de Taylor para funciones de una variable.

5. Continuando con la idea del ejercicio 4, predecir el polinomio T4(x, y) para exy en (0,O). Verificar la respuesta calculando (1) con n = 4.

6. Hallar el polinomio de Taylor T4(x, y ) para exy en (O, 1).

Teorema de Taylor. Si f(x, y) fiene de- rioadas parciales continuas de todos los órdenes < ( n + 1) en algún disco con centro en (xo,yo), entonces para todo (x, y) # (xo, yo) en el disco, existe (cl, c2) que depende de (x e y, y esta entre (xo, yo) y (x, y) en el segnlento de recta que une estos puntos, tal que

K ( X , Y 1

donde E,(x, y ) =J'(x, y ) - T,(x,y).

7. Estimar (1.02)' In (0.97) utilizando una diferencial, y luego aplicar el teorema

de Taylor para hallar una cota para el error.

8. Utilizar el polinomio de Taylor T'(x, y) en (O, 1) para y 3 cos x para estimar (1 .03)3 cos (- 0.021, y hallar después una cota para el error.

9. Sea ,f una función de dos variables con derivadas parciales continuas de todo orden 6 n. Se introduce la notacion de operadores

Demostrar que el n-ésimo polinomio de Taylor para f en (xo, y o ) se expresa por

Aplicaciones 1 7 de las derivadas parciales

17.1. MAXIMOS Y MINIMOS

Sea z = f ' ( x , y ) y supóngase que f ( x , y ) d f ( x o , y o ) para todo (x, y ) en el interior de algún círculo suficientemente pequeño con centro en (xo, yo). Entonces f ( x , y ) tiene un máximo local o máximo relativo def(xo, yo) en el punto (xo, yo). Es evidente que si se invierte la desigualdad, de modo quef(x, y ) 3 f ( x o , yo) para todo (xo, yo ) , entoncesf(xo, yo) será un mínimo local o un mínimo relativo. Esta es una generali- zación natural de las mismas nociones para funciones de una variable; y aún más, las generalizaciones para funciones de tres variables son claras.

Naturalmente, es necesario hallar tales máximos y mínimos locales de z = f ( x , y) . Suponer que f;(x, y ) y ,h(x, y ) existen. Si .f(xo, yo) es un máximo local, entonces la función g(x) = f(x, yo) tiene un máximo local g(xo) en x. y, en consecuencia,

También se tendrá un máximo local en yo de h(y) = f ( x o , y), así

Un razonamiento análogo demuestra que las primeras derivadas parciales deben ser cero si f ( x o , yo) es un mínimo local y, efectivamente, los mismos resultados son válidos para funciones de más de dos variables.

Teorema 17.1. Si una función tiene derivadas parciales de primer orden, entonces estas derivadas serán cero en cualquier punto donde l a fitnción tenga un mciximo local o un mínirno loc.al.

En consecuencia, es posible hallar todos los candidatos para extremos locales de funciones derivables hallando aquellos puntos donde todas las derivadas parciales de primer orden sean simultáneamente cero.

Hasta el momento la situación es la misma que para funciones de una variable. De aquí en adelante la situación se complica para funciones de dos o más variables, como lo muestra el ejemplo siguiente.

Ejemplo 1. Sea ,f una función definida por , f (x, y ) = 1 - x' + y'. Entonces fx(O, O) = .fy(O, O) = O. Claramente,f'no tiene ni máximos ni mínimos locales en (O, O),

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES 581

porquef(0, O) = 1, perof(x,, O) < 1 yf(0, y l ) > 1 para x1 e y l no nulos y próximos a O. La gráfica def se muestra en la fig. 17.1. 11

Para una función de una variable con primera derivada igual a O en xo, el signo de una segunda derivada no nula en x. determina si la función tierie un mínimo local o un máximo local en xo. La situación no es tan simple para funciones de más de una variable, como se muestra en el ejemplo siguiente.

Ejemplo 2. Sea .f‘ una función definida por f(x,y) = x2 + 4xy + y2 . Entonces ,f,(O, O) =,f,(O, O) = O, y todas las derivadas parciales de orden dos son positivas en (O, O); es decir,

f,(O,O) = 2, fxy(O, O) = 4, f,, (O, 0 ) = 2. Sin embargo, ,f todavía no tiene mriximo local ni mínimo local en (O, O). Para ver esto, nótese que

f( t , mt) = (1 + 4 m + m2)t2

y que 1 + 4nz + HI’ asume valores de signos opuestos para m = 1 y In = - 1 . Así, en la recta x = t , y = t que corresponde a n1 = I , la función fasume valores positivos, mientras que en la recta x = t , y = - t que corresponde a m = - 1, la función asume valores negativos. Ya que f (O ,O) = O, se ve que f no tiene ni maximos ni mínimos locales en (O, O). )I

Se enuncia sin demostracibn un criterio de derivadas de segundo orden para máximos o mínimos locales de funciones de dos variables. La demostración puede encontrarse en cualquier texto de cálculo avanzado.

Teorema 17.2. Sea , f (x, y) unu ,función de dos cariahles con deriuudas parciales continuas de orden < 2 en alylin disco con centro (xo, yo), y supóngase que

fX(X ,h Y o ) = fy(X0, Yo) = O, nzientrus q1re no todus las dericadas parciales de segundo orden son reyo en (xo, yol. Sea

A = fx*(X,h Y o ) , B = fxy(XOr Yo), Y c = fyy(xo, Yo).

x,/ Figura 17.1

582 CALCULO CON GEOMETRíA ANALiTICA

Entonces la función f tiene un mciximo local o un miniwo lUcc7! en ( X O , yo) si AC - B2 > O. En este caso, la función tiene un mínimo local si .4 > O o C > O, y tiene un máximo local si '4 < O o C < O. Si AC - B 2 < O, entonces f no tiene ni máximos ni mínimos locales en (xo, yo) sino un punto de silla como el de la f ig. 17.1.

Con referencia al ejemplo 2, se ve que A = 2, B = 4 y C = 2; por tanto, AC x 8' = 4 - 16 = - 12 < G. En consecuencia,f(.x, y) = x' + 4xy + y' no tiene ni máximos ni mínimos locales en (O, O).

Se ilustra con dos ejemplos adicionales.

Ejemplo 3. Hallar todos los mínimos y máximos locales de la función f donde

f(x, y) = x* - 2xy + 2 y * - 2x + 2 y + 4.

SOLUCI~N. Se tiene

f x ( x , y ) = 2x - 2y - 2 y fy(x, y) = -2x + 4 y +- 2.

Para que las dos derivadas parciales sean cero, se debe tener

2x - 2 y - 2 = o, -2x + 4 y +- 2 = o.

Si se suman las dos ecuaciones, se tiene que

Entonces debe tenerse x = 1. Por tanto, (1, O) es el ímico candidato para un punto donde f'tenga máximo o mínimo locales. Al calcular las segundas derivadas parciales,

A = f xx ( l ,O) = 2, €3 = fx,( l ,0)=--2, C = f y y ( l , O ) = 4

Por tanto, AC -- B 2 = 8 - 4 = 4 > O. Ya que A > O, se sabe según el teorema 17.2 que,/ ' tiene un mínimo local d e f ( 1, O) = 3 en (1, O). I /

Ejemplo 4. Hallar todos los mhximos y mínimos locales de la función ,f donde

f(x, y) = x' - y J - 3xy + 4.

f,(X, y) = 3x2 - 3y y f,(X, y ) = -3y2 - 3x.

SoLucrÓN. Se tiene

Si se igualan a O estas derivadas. se obtiene y = x' de la primera J, x4 + .Y = O de la segunda. Ahora bien,

x 4 + x = x ( x 3 + 1) = x(x + l ) ( x ' - x + 1) = o

tiene solamente x = O y x = - 1 como soluciones reales.


RESUMEN

1. Si una .función tiene un máximo o un mínimo local en un punto donde las derivadas parciales de primer orden existen, entonces estas dericadas parciales de primer orden deben ser cero en dicho punto.

2. Sea f ( x , y ) una función de dos t~ariables con dericadas parciales continuas de orden d 2 en una vecindad de (xo, yo), y supóngase que

fx(xo, Yo) = f Y b " , Yo) = 0,

mientras que no todas las derivadas parciales de segundo orden son cero en (xo, yo). Sean

A = fxX(xo, yo), B = f * y ( x o , yo), Y c = fVY(XO? Yo).

Entonces, la función f '(x, y ) tiene un máximo o un nzínimo local en (xo, yo) si AC - B2 > O. En este caso, la Juncion tiene un mínimo local si A > O o C > O, y un máximo focal si A < O o C < O. Si AC - B2 < O, entonces f(.x, y ) no tiene ni máximo ni mínimo local en (xo , yo), sino un punto de silla d i .

EJERCICIOS

En los ejercicios I a 12, hallar todos los máxi- 6. X' + y' + 4xy - 2x + 6y mos y nzinimus locales de lu,func.ión. 7. ?X' + y' - 3xy + 6~ - 4y

1. sen xy

2. x2 + y z - 4

3. 4. x2 +- yz + 4x - 2y + 3 5. x2 - y2 + 2x + 8y - 7

S. In (S' + 2 x y + 2y2 - 2.r - 8y + 20). [Sugerencia. Utilizar el hecho de que In u es una función creciente de u.]

9. X' + 2y' - 3 ~ ' - 24y + 16 10. X' + y 3 + 3xy - 6 11. X4 + 2y2 + 32' - 2 X 2 + 4y - 122 + 3

S84 CALCULO CON GEOMETRíA ANAL~TICA

12. 2x2 - 2 y z + 4yz - 3 z 2 - x4 + 5 13. Considerar una función,f’de dos variables

que tiene derivadas parciales continuas de orden d 2 con ,fx(O, O) = f,(O, O) = O, y sean

A = fxx(O, O). B = f,,(O, O). Y c = f,,(O, O).

Suponer que A C - B 2 = O, donde A , B y C no son cero. a) Dar u ~ i ejemplo de tal funcion ,f con

un miximo local en (O, O). b) Dar un ejemplo de tal funciónf’con

un mínimo local en (O, O). c) Dar un ejemplo de tal tunción f’sin

máximo ni mínimo locales en (O, O).

d) ;Cui1 es el sigr’ificado de este ejercicio?

En los ejercicios 14 a 18, urilizur el sentido común para hallar un punto en el cual lafunción asuma su calor mdximo en el cuadrado donde - 1 < x < 1 y - 1 < .y < 1. Luego hallar un punto donde asuma su r~alor mínimo en este cuadrado.

14. x 2 + y‘

15. xy

16. y - 2~ 17. X’ + y 2 - XY

18. X’ - y’ + y

17.2. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

En ocasiones es necesario maximizar o minimizar una función f(x, y ) sujeta a una relación g(x, y ) = O. La relación g(x, y ) = O se denomina condición lateral o resrriccidn. Este problema se encontró en los problemas enunciados de máximos y mínimos del capítulo S.

Ejemplo 1. Describir un método para hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un semicírculo de radio a.

S O L U C I ~ N . Según la fig. 17.2, se ve que el problema consiste en maximizar , f (x, y ) = 2xy sujeto a la restricción x’ + y’ = a2. En el capítulo 5 este problema se habría resuelto utilizando la restricción para expresar el área como una función de una variable como sigue:

Area = 2xy,

x’ + y’ - a2 = O, así y = d‘a2 - x?-,

Area = 2 x m .

Después se halló la derivada de esta función de área, se igualó a cero, se resolvió la ecuación, etc. Este ejemplo se continúa más adelante. / /

Figura 17.2


Esta sección presenta un método alterno para hallar extremos sujetos a restricciones. Este método, la técnica de los multiplicadores de Lagrange, tiene tanto trabajo como el descrito en el ejemplo anterior. La restricción g(x, y) = O es una curva en el plano. Puesto que esta curva es una curva de nivel de g(x, y), se sabe que

es perpendicular a la curva en todos sus puntos. Regresando a la función f(x, y ) que se va a maximizar o minimizar, se sabe que

apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función f ( x , y ) en todos sus puntos. Además, si u es un vector unitario,

V f * u = Derivada direccional de f en la dirección u ( 3 )

Ahora bien, en un punto (x,,, y,,) en l a curva y(x, y ) = O, donde f ( x , y) tiene un extremo local cuando se considera solamente en la curca, la derivada direccional de f a lo largo de la curva debe ser cero. Es decir, Vf debe ser normal a la curva en tal punto. En consecuencia, Vf y Vg deben ser paralelos en dicho punto; por tanto, existe ;I tal que

V f = A(Vg). (4)

La ec. (4), con g(x, y ) = O, conduce a las tres condiciones

Es posible resolver las tres condiciones (5) en las tres incógnitas x, y y A. Las ecs. (5) son las condiciones del método de los multiplicadores de Lagrange. El método en sí no es más que un instrumento apropiado para obtener las condiciones (5). Sea

L(x, Y, A ) = f(x, Y ) - M x , Y). (6)

Las condiciones (5) son equivalentes a estas condiciones, en el mismo orden:

aL aL aL a y ah

"

ax - 0 , " - 0 , " - O.

La variable I se denomina multiplicador de Layrange. Un punto que satisface (7) es un candidato para un punto dondef(x, y ) tiene un

valor local máximo o mínimo, sujeto a g(x, y ) = O. Si se sabe que tal máximo o mínimo local existe, y si se hallan todas las soluciones de (7), el cálculo def (x , y) en esos puntos indica cuál es el extremo deseado.


Ejemplo 2. Continuar el ejemplo 1 y resolver el problema de maximizar la función . f (x9 y ) = 2xy sujeta a s2 + y* - a’ = 0.

SOLUCION. Primero se forma

L(x, y, A ) = 2xy - A(x2 + y’ - a2).

Luego se escribe aL ax ” - 2y - 2 x A = O,

Se sustituyen y = xi. y x = y2 en (lo), para obtener

-y2A2 - x‘A2 + a* = O, 0 -(x2 + y2)A2 + a* = O.

Según (lo), se sabe que

-a2A2 + a’ = O o a2(-A2 + 1) = O,

así A’ = 1 y h = * l

El valor 2 = - 1 daría y = --S, que es imposible para el problema geométrico. AsÍ, i, = 1 e J. = x . De (10) se obtiene

2 x 2 = a2 asÍ x = - a

%5 ’ -

y (x, J.) = (a;J2, uJJ2) es el mliximo deseado. Es decir, por geometría se sabe que el máximo existe y s610 se ha hallado un candidato para serlo. I i

Los multiplicadores de Lagrange se utilizan también para manejar situaciones con miis variables o más restricciones. Por ejemplo, para maximizar , f ( . ~ , y , z ) sujeta a y(s, J’, z ) = O. el gradiente

debe ser perpendicular a la superficie de nivel g(x, y, z ) = O y, en consecuencia, Vf‘debe ser paralela a Vg, así que, una vez mhs, V/ = A(Vg). Las cuatro condiciones


en x, y , z y A se expresan concisamente por

donde L(x, y , z, A) = f ( x , y, z ) - %g(x, y, z). En otro caso, suponer que se desea maximizar o minimizar f ( x , y , z ) sujeta a

las dos restricciones g(x, y, z ) = O y h(x, y, z ) = O. El lugar geométrico de las dos restricciones anteriores es la curva de intersección de las dos superficies de nivel. En un punto donde f ( x , y, z ) tiene un máximo o un mínimo, sujeto a estas restricciones, la derivada direccional a lo largo de dicha curva debe ser cero. En consecuencia, Vfdebe ser perpendicular a la curva. Puesto que Vg y V h son perpendiculares a la curva, Vf estará en el plano determinado por los vectores* Vg y Vh. En esta ocasión hay dos multiplicadores de Lagrange. Debe tenerse

Vf = A,(Vg) + A2(Vh)

para algunos A l y R 2 . Esto da lugar a

g + A l - + A 2 - , ag a h - - af - Al% + & a h , df E A,- + A 2 - , dg a h ax ax ax ay ay av az dz az

Y d x , Y, 2) = O, h(x , y, z> = O.

Estas cinco ecuaciones en cinco incógnitas, que se escriben

donde

L(x, Y, 2, A,, A21 = f ( x , Y, Z ) - A,g(x, Y, 2) - A2h(x, Y, 2).

Por supuesto, la resolución de esas ecuaciones puede resultar complicada. Se concluye con dos ejemplos adicionales.

Ejemplo 3. Utilizar los multiplicadores de Lagrange para hallar el punto del plano 2x - 2 y + z = 4 que esté más próximo al origen,

SOLUCION. Se desea minimizar Jx2 + y2 + z 2 sujeto a 2.x - 2y + z - 4 = O. Para facilitar el problema se minimiza el cuadrado de la distancia x’ + y 2 + zz sujeto a 2x - 2y + z - 4 = O.

Sea L(x, y, z , 1.) = .x2 + y 2 + z2 - i (2x - 2y + z - 4). Luego, las condiciones son

* Se espera que no sean paralelos


" aL - 2y + 2A = O, ay

aL - =-2x + 2y - z -t 4 = o. ah

Si se sustituyen los valores de 2x, 23, y 2 de las tres primeras condiciones en la cuarta condicion se obtiene

Por tanto, x = 8/9, y = -Si9 y z = 4!9, así (819, -- 8/9,4/9) es el punto requerido, y la distancia de dicho punto al origen es

Ejernplo4. Para ilustrar los multiplicadores de Lagrange cuando hay dos restricciones, hallar el punto en la recta de intersección de los planos x - y = I! y .Y - 2z = 4 m8s próximo al origen.

SOLUCIÓN. Ahora se desea minimizar .xz + y2 + z 2 sujeto a las condiciones laterales x - y - 2 = O y .Y - 2z - 4 = O. Se tiene

L(x, y, Z, A , , A2) = X * + y' + z 2 - A,(x - y - 2) - A ~ ( x - 22 - 4).

Las condiciones son

dL ay

aL - = 2 2 + 2h2 = o, az

- = 2y + A l = O,

aL ah2 " " x + 2 z + 4 = o .

La segunda y la tercera condiciones dan

A l = -2y y h2= -2,


por tanto, la primera condición se convierte en 2x + 2y + z = O. Se tiene entonces

2x + 2 y + 2 = o, "x + y = -2, "x + 22 = -4.

Las dos ultimas ecuaciones se escriben como y = x - 2 y z = ( x - 4)/2. Al sustituir estos valores en la primera ecuación se obtiene

2x + 2(x - 2) + __ = o x - 4 2

O

O

9 - ~ - 6 = 0 2

4 x = 3 .

En consecuencia, y = -5 y z = -4. El punto deseado es, por tanto, ($, -3, - 8 . 1 )

RESUMEN 1. Para maximizar o minimizar una función f (x, y ) sujeta a una restricción g(x, y) = O,

se construye L (x , y , A ) = f ( x , y ) - E.g(x, y). Los puntos ( x , y ) donde es posible que ocurran los extremos son tales que x , y yA satisfacen las tres condiciones

aL - = o, ax aL

= o, a y aL ah

-

" - o.

Para una función f ( x , y , z ) sujeta a una restricción g(x, y , z ) = O, se forma L(x, y , z , A ) = f ( x , y , z) - Ag(x, y , z ) y se resuelven las cuatro condiciones

aL aL aL aL - = o , " ax

-0 , " a y

-0 , " az

- O, etc. ah

2. Si existe más de una restricción, el número de multiplicadores de Lagran- ge A l , A,, etc., que se utilizan es igual al número de restricciones. Por ejemplo, f ( x , y , z ) sujeto a las restricciones g(x, y , z ) = O y h(x , y , z ) = O, se construye L(x , y , z , A l , A,) = f (x, y , z ) - Alg(x, y, z) - I2h(x, y , z ) . Entonces, las condiciones son


EJERCICIOS

Utilizur el n~érotlo tlr los n~ulfiplicutlorrs (le Lugrange purl7 re.solrrr los prohlen~us siguientes.

1. Maximizar x + y en el círculo

.xz + 1’2 = 4.

2. Maximizar xy en el circulo

.Y2 + 1’2 = 4.

3. Hallar el punto del plano 3 s - 3 y + 6 2 = 5 que esté mhs próximo al origen.

4. Una caja tiene una base cuadrada y :apa abierta. Hallar las dimensiones para la superficie de áre2 minima si el volumen es de 108 cm3.

5.

6.

7.

8.

9.

I o.

Hallar el volumen máximo posible de un cono circular recto inscrito en una esfera de radio u. Maximizar .xy2 sujeto a x + y = 6 si x e y son positivos. Hallar el punto del plano 4x - 83’ + 302 = 3. donde .x2 + 4y2 + 2z2 es mí- nimo. Hallar el punto en la curva de intersección de x * + z 2 = 4 y x - y = 8 que esté m i s zlejado del origen. Hallar el punto en la recta de intersección de los planos Y - y = 4 e y + 32 = 6 que esté m i s próximo a ( - 1,3,3).

Minimizar .Y* + y2 - 3z2 sujeto a x - y + ~ = 4 ~ 3 . ~ - . ~ = 6 .

17.3. DIFERENCIALES EXACTAS

En la sección 6.3 del capítulo 6 se aprendió a resolver algunas ecuaciones diferenciales por separación de variables. Por ejemplo, la ecuación rly/tldx = x2,’y2 se resuelve como sigue:

dY - x2 ”-

dx y’’

y’dy = x’dx,

Sin embargo, si se ensaya esta técnica para resolver la ecuación diferencial d~yitlx = -3x2y / ( x3 + 6y) , el problema se complica. Se tiene

d y -3x2y

d x x 3 + 6 y ’ - _ - -

(X’ + 6 y ) d y = -3x2y dx.

Las variables no pueden ((separarse)),. Sin embargo, si se escribe la ecuación en la forma

3x2y dx + (x3 + 6y) dy = 0,


y se hace F(x, y) = x3y + 3y2, se observa que

y la ecuación diferencial se convierte en

dF = O.

La solución de esta ecuación es

m , Y > = c

x3y f 3y2 = c, O

y así se ha resuelto la ecuación diferencial. El análisis anterior motiva la definición siguiente.

Definición 17.1. Una expresión diferencial

W x , Y ) dx + W , Y ) dy (1) se denomina diferencial exacta si existe una función F(x, y) tal que la diferencial (1) sea igual a d F .

Puesto que

se ve que para que (2) sea la misma diferencial que (l)? debe tenerse

Ahora bien, si M ( x , y ) y N(x , y ) tienen derivadas parciales continuas, de modo que F(x , y) tiene segundas derivadas parciales continuas, se deberá tener

Por ( 3 ) y (4) se ve que para que (1) sea una diferencial exacta, debe tenerse

aM - d 2 F d 2 F dN ay a yax a x a y ax

- "

Teorema 17.3. Si M ( x , y) y N ( x , y ) tienen derivadas parciales continuas, entonces la diferencial M ( x , y) dx + N(x, y ) dy es exacta sólo si

dM dN "- - ay ax '


Ejemplo 1. Investigar si la diferencial x2y dx + (x2 - y 2 ) dy es exacta.

SOLUCION. Aquí M ( x , y ) = x2y y N ( x , y ) = x' - y'. Ahora bien,

aM - d(x2y) - x 2 aN - a(x2 - y2)

a y dY "" "

y ax ax = 2x.

Así 8M/i?y if ?N/?x, de modo que (5) no se satisface. En consecuencia, la diferencial no es exacta. j /

Ejemplo 2. Investigar la diferencial (2xy + y') rlx + (x2 + 2xy) dy.

SOLUCION. Se tiene

aM a(2xy + y') aN a(x2 + 2xy) " - = 2x + 2y

y dx- ax - = 2x + 2y.

Así C " / C y = ?Nj( 'x; por tanto, (5) se satisface. En este caso, alguna experimentación indica que la diferencial es exacta; es decir, d F para F(x, y ) = x2y + xy2, luego

El ejemplo anterior sugiere que tal vez (5) es una condición no sólo necesaria sino también suficiente para que M(x, y) dx + N(u, y) ~ly sea exacta, por lo menos si M ( x , y) y N(x , y) poseen derivadas continuas. Esto no es siempre válido; pero es valido si el dominio en el plano donde ambas funciones M(x , y ) y N ( x , y) están definidas no tiene ((huecos)). Se demuestra que

X

x 2 + y 2 y dX" x2 + y 2 dY,

que satisface (S i , no es exacta en todo su dominio, que consta del plano menos el origen. (Ver el ejercicio final de este capítulo.) Aquí el origen es un ((hueco)) en el dominio.

No es importante preocuparse por hallar extensas regiones donde una diferencial que satisfaga a (5) sea exacta. Se demostrara que si M(.\., y ) dx + N ( x , y) riy esta definida en la vecindad de algún punto y M ( x , y ) y N ( x , y) son derivables en dicho punto, y además ?M/c?y = ? N / ? x , entonces la diferencial es exacta en dicha vecindad. La demostración indicara un procedimiento de cuatro pasos para hallar todas las funciones F(x, y) tales que M ( x , y ) dx + N ( x , y) riy = d F .

Puesto que debe tenerse ¿F/?x = M ( x , y), sea G(x, y) alguna antiderivada de M ( x , y) solamente con respecto a ,Y, considerando a y como una constante. (Esto es antiderivación parcial con respecto a x.) Ahora bien, una integral indefinida se define excepto una constante. Puesto que y permanece constante en esta integración con respecto a x, se ve que la antiderivada parcial más general de M ( x , y ) con respecto a x es de la forma G(x, y) + h(y) para una función arbitraria h(y) de y solamente.


PASO 1. Calcular

donde G(x, y ) es cualquier antiderivada de M ( x , y ) calculada con respecto a x solamente, considerando a y como una constante.

El problema consiste en determinar h(y) tal que LJF/LJy = N(x , y). Ahora bien, d F / ¿ J y = aG/LJy + h'(y), así ¿?Clay + h'(y) = N ( x , y ) , o

aG a y

h'(y) = N(x, y ) - -.

Si N ( x , y ) - ¿?G/dy es una función continua de y solamente, es posible igualarla a h'(y) e integrarla para hallar la función requerida h(y) = h'(y) dy . Ahora bien, (7 ) es una función de y solamente, siempre que

a aG a y

- ax (N(x, Y) - -) = o,

es decir, si aN a2G ax axay "" - o.

Pero si G(x, y ) tiene derivadas parciales de segundo orden continuas en toda la vecindad en cuestión, entonces

Bajo tales condiciones, (9) se satisface porque el miembro de la izquierda se convierte en

aN aM ax a y ' "-

que se supuso igual a cero.

PASO 2. Calcular dF/Jy = dG/dy + h'(y), igualarla a N ( x , y ) y despejar h'(y).

PASO 3. Integrar para hallar h(y) = h'(y) dy.

La respuesta final es:

PASO 4. F(x , y ) = G(x, y ) + h(y) + C.

Ejemplo 3. Ilustrar el procedimiento anterior para demostrar que

(2xy3 + 6x) dx + (3x2y2 + 4y3) dy

es una diferencial exacta dF y hallar la función F(x, y) .


SOLUCION. Obsérvese que

dM d(2xy3 + 6x) aN d(3x2y' +- 4y') = 6xy2, aY " - = 6xy2 -

dY y ax - -

ax

y efectivamente la diferencial es exacta. Entonces

PASO 1. F(x, y) = J~M(x, y)dx = J(2xy' + 6x)dx = x2y" -+ 3x2 + h(y).

PASO 7. aF/ay = 3x2y2 + h'(y), así

3x"2 + h'(y) = 3x'y' t 4y3, y h'(y) = 4 y 3 .

PASO 3 . h(y) = j4y ' dy = y 4 + C. PASO 4. F (X , y) = X 2 y 3 + 3 ~ ' -I- y' + c. 1 1

Para que una diferencial en tres variables

M ( x , y, 2) dx + N(x, y, 2) dy + P(x, y. z ) d z

sea exacta, las condiciones correspondientes son

aM aN aM aP aN aP " - .-

a y a x ' - - "- __ - " - (10)

Al utilizar la notación de variables con subíndice, si x = (xl, .x2, .xj), entonces az a x ' az ay

f l (x) dx, + fz(x) dx2 + f3(x) dx,

es exacta en todo punto de a!guna vecindad si

" - - para todo i y j. ax, ax,

De nuevo, la necesidad de estas relaciones surge de la igualdad de derivadas parciales mixtas de segundo orden. Viene ahora una ilustración del cálculo de F que corresponde a una diferencial exacta d F para tres variables.

Ejemplo 4. Considérese la diferencial

( y z 2 - 6x senz) dx + (xz2 - 3y'cos z ) dy + (2xyz - 3x2 cos z + y 3 senz) dz

que fhcilmente se comprueba que satisface (IO). Hallar F(x, y, z ) tal que la diferencial sea d F .

SOLUCIÓN. Ahora bien, según c?F/?.u = y z 2 - 6x sen z , se tiene

F(x, y, z ) = I (yz2 - 6 x sen z) dx

= xyz' -- 3x2sen z + h(y, 2).

APLI<'ACIONES D E LAS L)ERIVADAS PARCIALES 59.5

por. tanto, ah - = -3 y2 cos z ,

Y

- -~ - - y 3 c o s z -+ k ( z ) .

Se llega entonces a

F ( x , y, z ) = xyz' - 3x2sen z - y 3 cos z + k ( z ) .

Finalmente, P ( x , y, 2) = ?F/r'z = 2.x~'_- - 3s' cos _- + J ' ~ sen _- + k ( z ) da por resultado

2xyz --- 3x2 cos z + y'senz = 2xyz - 3 x L cos z t y 3 sen z t- k' (z ) ,

por tanto, k ' ( z ) = O y k ( z ) == C. Asi

F ( x , v. z ) = xyz2 -- 3x'sen z - y 3 cos z + C. / /

596 ~ ‘ Á L . C U L O CON GEOMETRíA ANALíTICA

EJERCICIOS

13. ___ d y i L dz para z > O 5. ( 3 ~ - 2V) dx + ( 2 ~ - 3 ~ ) dy y z + z z y z + z 2

6. cosydx + (1 - xseny)dy 14. (‘xyz ~~ 3y’ 4 2z’) dx + 7. 2xydx + (x’ - e ‘) dy (x’z - 6xy) dy + ( xzy + 8z + 6x2’) dz

8. y’dx + (i + 2xy) dy

17.4. INTEGRALES DE LINEA

Esta sección describe integrales sobre una curva suave en el plano. Tales integrales se denominan ((integrales de línea)). Las generalizaciones a integrales sobre una curva suave en el espacio son evidentes y se utilizarhn libremente sin anhlisis adicional.

Sea y una curva suave en el plano cuyas ecuaciones paramétricas son

x = h ( t ) , y = k ( t ) , para a I t 5 b, (1)

donde las funciones coordenadas h y k tienen derivadas continuas. El punto A en y donde t = u es el punto inicial de y , y el punto B donde t = h es el punto ternzinul. La fig. 17.3 muestra una curva y con punto inicial A y punto terminal R.

Y

H

+ .I

A l Figura 17.3

Supóngase que y ha sido particionada en segmentos pequeños que corresponden a cambios Ax en x y Ay en y. Unos de estos segmentos de longitud As se


muestra en la figura. Sea f(x, y ) una función continua cuyo dominio contiene a y, y sea (x, y ) un punto en un segmento pequeño de y de longitud As. Las integrales que nos interesan resultan de la suma, sobre una partición de y, de términos de la forma

f ( x , Y ) As @ f k Y ) Ax 0 f(x, Y ) AY,

y de la posterior toma de límites de las sumas cuando As --t O y, por tanto, Ax ”+ O y A y -.+ O. Las integrales se escriben:

f(x, y) ds, que resulta de los términos f(x, y ) As,

I, I,

f(x, y ) dx, que resulta de los términos f(x, y ) Ax,

f(x, y ) dy , que resulta de los términos f(x, y ) Ay.

Para evaluar tales integrales se utilizan las ecuaciones paramétricas

x = h ( t ) , y = k ( t ) , para a I t I b de y y se sustituye como sigue:

La expresión resultante se integra entre t = a y t = 6.

Puede demostrarse que el valor de las integrales S , f (x, y) ds, S, f ( x , y ) dx e S, f (x, y ) dy, utilizando ecuaciones paramétricas para describir y, depende sólo de la función continua f (x, y ) y la trayectoria y en el plano, desde el punto inicial A hasta el punto terminal B. Es decir, dos parametrizaciones diferentes que siguen la misma trayectoria desde A hasta B darán lugar a los mismos calores para las integrales.

Esta invarianza de la parametrización parece razonable según se presentaron estas integrales como límites de sumas de términosf(x, y) As, f ( x , y ) A x y f ( x , y ) Ay. Por ejemplo, el arco semicircular y de x’ + y’ = a’ desde (a, O) hasta (“a, O) se parametriza como

x = a cos t,

y = a sen t para O 5 t S T,


Finalmente, a menudo resulta úti l ignorar la condición de que y sea suave. (Recuérdese que una curva no es suave cuando tiene un pico.) Se considerará y como una curva que consta de un número finito de arcos suaves unidos, como se ilustra en la fig. 17.5. Tal curva es suare por. tr.cImos. Sea 'J una curva que consta de secciones suaves y l , y2 y y 3 , como se muestra en la figura. Es natural escribir 7' = + y 2 + y 3 . Se define

y las integrales con respecto a t l x y se definen de manera análoga.

Figura

1

17.5 I'

i

17.6

Ejemplo5. Hallarl;.,xy2 d x e J ; xy'clr.si ;' = + ;t,eslacurvasuaveportran~osque une A(0, O) y B(1. 1) como se muestra en la fig. 17.6.

S O L U C I ~ N . Aquí, y l es el segmento de recta entre (0,O) y (1, O ) y ;'2 es el segmento de recta vertical entre (1, O) y (1, 1).

Puesto que el valor de .uy2 en yl es cero para cada punto, se ve que

1 , xy2 dx = O.

Todos los segmentos cortos en y 2 corresponden a Ax = O, y así

1. xy2 dx = O.

En consecuencia,

I, xy2 dx = xy2 dx + I, xy2 dx = O + O = O.

Obsérvese que se descubrió que el valor de esta integral era igual a cero al considerarla en términos de las contribuciones a las sumas típicas. No hubo necesidad de parametrizar y l ni yz.

De regreso a S, xyz d y , un segmento pequeño de y1 corresponde a un cambio Ay = O; por tanto,

jy, xy2 dy = O.


Pero xy2 es no nula en la mayor parte de y 2 y Ay # O allí; por tanto, habrá términos no nulos que contribuyen a f y 2 xy' d y . Como parametrización de y2 se toma

x = l , y = t p a r a O s t s 1 .

Entonces d y = d t , y

así

xy2 dy = I, xy2 dy + xy2 dy = O + - = -. 11 1 1 Y 3 3

RESUMEN

En Eo que sigue y es una trayectoria en el plano dada por x = h(t), y = k( t ) para a < t 6 b, donde h(t) y k( t ) tienen derivadas continuas. También f(x, y ) es continua.

1. f, f ( x , y ) ds se calcula como J: f ( h ( t ) , k(t))J(dx/dt)2 + (dy/dt)2 dt.

2. f, f ( x , y) dx se calcula como f: f ( h ( t ) , k(t))(dx/dt) dt.

3. f, f ( x , y ) dy se calcula como f: f ( h ( t ) , k(t))(dy/dt) dt.

4. El valor que se tiene al calcular una integral de línea de una función continua a lo largo de una trayectoria de A a B es independiente de la parametrización suave utilizada para la trayectoria

5. La longitud de la curva y es S, ds.

6. La masa de un alaníbre que cuhre a y con función de densidad cr(x,y) es S, 4x9 Y ) ds.

7. La curvatura total de una curva y es f, IC ds.

8. Una integral de línea sobre una curva suave por tramos es la suma de las integrales sobre los tramos suaves.

EJERCICIOS

En los ejercicios 1 a 5, las curvas son Y

yldadaporx=t,y,=t2 yz dada por x = r t + l , y = 2 t + l p m o g r < l para O < t d 1

17.5. l . C'arnpos vectoriales

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARC'IALES 603

Ejemplo 1. La noción de campo vectorial en el plano se encontrb en el capitulo 16 al estudiar el gradiente V f de una funcicin derivable ,/' de dos variables. A todo punto (.Y. .y) del dominio de,fse asign6 el vector gradiente

Recuérdese que la d i r e c c h del vector gradiente en (..,y) es normal a la curva de nivel de .f que pasa por ( S , y), y el vcctor gradiente apunta en la d~rección de miiximo crecimiento de fs . y) en ( S , J.). ~

Ejemplo 2. Una carga eléctrica en el origen en el plano ejerce una fuerza de repulsión sobre una carga semejante en cualquier otro punto (I, 1'). La fuerza en (x, y) se representa por un vector cuya longitud es igual a la magnitud dc la fuerza y cuya direccihn es l a misma de Csta: es decir. aparthndosc del origen. El campo vectorial de estos vectores es el cwtnpo dc ,/zwr:us dr ¡ir c'crrytr para (.Y, J.) # (0,O). Este campo vectorial es continuo y sc debilita (los vectores sc acortan) a medida que aumenta la distancia al origen (ver fig. 17.7). 1~ Ejemplo 3. Si una regi6n ¿; del plano se cubre con un fluido (líquido o gas), es posible asociar con todo punto (.Y. y) en 6' y tiempo t el vector velocidad del flujo del fluido en ( S , y) en el tiempo t . Este vector tiene la dircccicin del Ilujo y su niagnirud es igual ;1 la rapidez del mismo. Este campo vectorial es el c ' r r r ~ l p o dc 1 r / o c , i r l u d r/el,flujo CII rl [iempo I . Si PI campo no caria con el tiempo, se dice que el flujo es de clstado c s r w i o t w r i o . ~~

1

4

17.5.2. Integral de un campo vectorial a lo largo de una curva

Sea F un campo vectorial continuo en una región G del plano. y sea

x = hit), y = k ( t ) . para a 5 t 5 b


una curva suave y situada en C. Recuérdese que el vector de posición de un punto en 7 en el tiempo t es

r = xi + y j = h( t ) i + k ( t ) j . (1)

El vector tangente uniturio (en la dirección del crecimiento de t ) a la curva en el tiempo t es

dr ldt dr ldt dr dx dy

Idrldtl dsldt ds ds ds - = -i + - j . [ = - - "" (2)

La componente del campo vectorial F tangente u lu cuwu en el punto ( x , v ) se expresa entonces por

La integral del campo vectorial F a lo largo de ;' es la integral con respecto a la longitud de arco de la componente tangencia1 (3). Esta integral es

Ahora bien, el vector

d r = dxi + d y j (5)

tiene dirección tangente a la curva y longitud ds = J ( ~ X ) ~ + (dy)2. Nótese que

F d r = (F,(x, y)i + F2(x, y ) j ) (dx i + dy j )

= F,(x, Y ) dx + F2(x , Y ) dy. (6)

Al comparar (4) y (6) se escribe la integral del campo vectorial F a lo largo de y como

F - d r .

En la práctica, (7) se calcula expresando tanto F como clr en términos del parAmetro t y rlt.

Truhujo

Si F es un campo de fuerzas, entonces la componente de F tangente a una curva suave y es la porción de la fuerza que actúa para mover un cuerpo a lo largo de y. El trabqjo realizado por este campo de fuerzas para mover un cuerpo a lo


largo de y es entonces la integral con respecto a la longitud de arco de esta componente, que como se ha visto es [, F * dr. Así

Trabajo = J7 F - d r .

Ejemplo 4. Hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas

~ ( x , y ) = x2i + y " j

al mover un cuerpo desde (O, O) hasta (1, 1) si la posición (x, y ) del cuerpo en el tiempo t se expresa por

x = t , y = t 2 para O 5 t 4 1. SOLUCION. En términos de t , se tiene

F(x, y ) = F(t, t") = t2i + t4j,

Y d r = dx i + d y j = (i + 2 t j ) dt.

Así

F - d r = Io'(tzi + t 4 j ) ( i + 2 t j ) dt

Ejemplo 5. Sea F el campo de velocidad de un flujo de estado estacionario en el plano, y supóngase que F está definida sobre una curva suave lisa y , cerrada, cuyos puntos inicial y terminal coinciden. Entonces #,, F dr es la integral con respecto a la longitud de arco de la componente tangencia1 de F , y se denomina circulación del flujo alrededor de y. El signo integral 4 se usa en lugar de para denotar una integral alrededor de una curva cerrada. / /

17.5.3. Diferenciales exactas y campos de fuerza conservativos

Si y es una curva suave que une A con B en el plano, y si M ( x , y ) dx + N(x, y ) dy es una diferencial exacta, entonces

depende solamente de A y B y es independiente de la curva suave y que se elija para .unir A con B. Corno verificación, sea y la curva dada p o r x = hft), y = k(r) para U < c < b, así (X, y) = (Yt), k(tj) . También sea G(x, y ) tal que dc = M(x, Y ) dx -t


De nuevo, si y 2 consta de la trayectoria recta de (1 , I ) a (2. I ) seguida de la trayectoria recta de (2, 1 ) a (2 , 3), entonces

Los rcsultados obtenidos son igualmente vilidos para integrales sobre curvas en el espacio. Las definiciones y las f¿'rmulas se extienden de manera evidente.

608 CALCULO CON G E O M E T R ~ A ANALÍTICA

y l o s c.an~pos wcrorialrs s o n

F(x, y) = . x2 i + y 2 j y G(u. y) = xy i - x2yj.

Hallar In integrul indicada

1.

3.

S.

6.

7.

8.

9.

1 o.

Sea F ( x , y) = ,xyi + .x’j y sea y el arco más corto de (3, O) a (O, 3) de un círculo con centro en el origen. Hallar 5 , F . dr.

Sea ~ ( x , y, z ) = (.x2 + z ) i + (x + yz)j + uzk y sea 7 = ;jl + y 2 + y 3 la trayectoria que consta de los tres segmentos de recta de (O,O,O) a ( l , O , O ) a (1, 1, 1) a (O, I , 2). Hallar j, F + dr.

Sea y la curva del espacio dada por .Y = 3t2, y = 2r3, z = 3t para O < t < I , y sea F(x, y, z ) = 3x’yz.

a) Calcular S, d F por integración. b) Calcular de nuevo la integral, apro-

vechando que d F es una diferencial exacta y utilizando el resultado de (4) del resumen.

Repetir el ejercicio 7(b) para la curva en el espacio y dada por x = sen f , y = cos t , z = t para O d t < n/4.

Hallar una función cuya diferencial sea x$ dx + .xzy d y y utilizar (4) del resumen para hallar j;. (.$ ds + x2y dy) para i: dada por x = 3 t2 , y = 2t3, donde O < t d l .

La posición de un cuerpo que se mueve en el plano es (cos t , sen 2r) en el tiempo r ,

11.

12.

13.

14.

y el cuerpo está sujeto al campo de fuerzas xi + y j . Hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas sobre el cuerpo desde el tiempo r = O hasta el tiempo r = 4 2 . La posición de un móvil en el espacio es (3rZ, 2t3, 3 t ) en el tiempo r , y el móvil esti sujeto al campo de fuerzas xi + z j + yk. Hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas sobre el cuerpo desde el tiempo t = 1 hasta el tiempo i = 2. El campo de valocidad de un flujo de estado estacionario en el plano es xi - y j . Hallar la circulación del flujo alrededor de la circunferencia x = cos t. y = sen r para O d t < 2n. El campo de velocidad de un flujo de estado estacionario en el plano es xyi - x j . Hallar la circulacihn del flujo alrededor de la elipse Y = 2 cos f . y = 3 sen t para o d r < 2n.

Sea F un campo vectorial continuo definido en toda una región G del plano. Demostrar que S, F(.x, y) . dr es independiente de la trayectoria que une los puntos extremos de y para todos los extremos elegidos y todas las trayectorias suaves y que los unen, si y sólo si la integral alrededor de cualquier trayectoria cerrada es cero. [Sugerencia. Demostrar que si y , se expresa por x = h(t), y = k ( t ) para u d 1 < h, y y2 se expresa por

ra a d r d h, entonces y 2 es y1 recorrida en sentido inverso; se dice que y2 = - 7 , . Demostrar entonces que S,, F - dr = -S7, F . dr y utilizarlo en la demostra- ción del resultado principal.]

x = h(h - ( t - a));f = k(h - ( t - U)) pd-


1. Hallar todos los máximos y mínimos 2. Aplicar los multiplicadores de Lagrange locales para la función para maximizar .Y + y’ sobre la elipse f(x, y ) = 2x2 - xy + y - y z - 7x + 3. .x2 + 4)J = 4.


Aplicar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar el punto de inter- sección de las esferas x2 + y’ + zz = 4 y (x - 2)’ + y’ + z 2 = 12 más próximo a (1, 1, O). Hallar también el punto más alejado de (1, 1, O).

M(x, y ) y N ( x , y ) tienen derivadas parciales continuas en una región sin ((huecos)). Establecer un criterio para que M ( x , y ) dx + N ( x , y ) dy sea una diferencial exacta.

Verificar si

6. Hallar la curvatura total de un circulo de radio a.

7. Hallar el valor de j, x ds si y es la curva plana dada por x = St, y = 3rz para O G r G l .

8. Considerar el campo de fuerzas en el espacio F(x, y, z) = x y i + (z/x)j + y’zk. Ha- llar el trabajo realizado por el campo para mover un cuerpo a lo largo de la curva x = r , y = r , z = r - 1, desde t = 1 hasta t = 2.

(y’e” + 3x’y ) dx + (2ye’ + x 3 + sen y ) d y 9. Sea y una curva suave de ( - 1,2) a (3,4).

¿Cuándo es 1, M ( x , y ) dx + N(x , y) d y in- es una diferencial exacta y, si lo es, dependiente de la elección de la trayec- hallar F(x, y ) tal que la diferencial sea d F . toria para unir esos puntos?


1. Hallar los máximos y mínimos relativos 6. Un alambre de densidad variable p ( x , y) de la función = 2x cubre la curva

f ( x , y ) = X Y - X’ - 2 y 2 + 3~ - 5 y - 6 . x = t’- 1, y = 3 t + 1

2. Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para maximizar x* + y + z 2 sobre la elipsoide x’ + y 2 + 4z2 = 4.

para 1 5 t 5 2. Expresar como una integral el momento del alambre alrededor del eje y.

7. Si y es la curva x = sen r , y = 2 cos t 3. Utilizar el método de los multiplicadores para O < t < n/4, y F(x, y ) es el campo

de Lagrange para hallar el punto en la vectorial xyi - (x/y) j , hallar j, F dr. línea de intersección de los planos 8. Obsérvese que

x - 2 y + z = 4 y 2 x + y - z = 8 F ( x , y ) = (X’ - 4 x y ) i + (y’ - 2 ~ ’ ) j

que esté más próximo al origen. es un campo de fuerzas conservativo. Hallar S, F dr donde y es cualquier cur-

(y’ + k x y ) d x + ( 3 x 2 + c x y ) d y 9. Si el campo de velocidad de un fluido es xyi + 2yj, hallar la circulación del mismo alrededor del círculo unitario x’

5. Hallar F(x, y ) tal que d F sea + y 2 = 1 en dirección contraria a la de las manecillas del reloj. [Sugerencia. Tomar la parametrización x = cos r , y = sen r

4. Hallar c y k tales que la diferencial va suave de ( - 1,l) a (1, -2).

sea exacta.

(2x sen y - 3x’y ) dx + (X’ COS y - x 3 + 4 ~ ’ ) d y . para O < t 2x.1

Problemas más dificiles 17 Los ejercicios 1 a 3 se diseñaron para aclarar rema 17.2 para maximos o mínimos locales mas el criterio AC - Bz > O dado en el reo- de f (x, y).

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES 61 1

todo (.x, y) # (O, O). (Esto ilustra que se B = A + n y F(x ,O) = A + n/2 la región no debe tener huecos para para Y > O. Entonces demostrar que que el criterio de exactitud dado es imposible definir !“(x, O) para x < O por las derivadas parciales garantice para que F sea por lo menos con- exactitud en toda la región.) [Suqe- tinua en el eje x negativo, por no rrncicr. Demostrar que debería tener- decir dcrivable.]

18 Integrales múltiples

18.1. INTEGRALES SOBRE U N RECTANGULO

18.1.1. L a integral como límite de sumas

Sea R una región rectangular en el plano donde (1 6 .x d h y c d y d d, como se ilustra en la fig. 18.1. Se particiona R en n 2 subrectángulos que no se trashpen, como sigue: se particiona [o, h] en n subintervalos de longitudes iguales con extremos

U = t , < t , < $ 9 . < t,, = b

y [c, Ir] en n subintervalos de longitudes iguales

c = S,, < s I < .*. < S, = d.

v i

.Sz y d ---

.S, ---

.S,, = <' I - - - Las n 2 subregiones rectangulares donde ti- < x ,< ri y s j - . d y < .yj para i = 1, ..., n y j = 1, ..., n tienen entonces áreas iguales y constituyen una partición de R en n2 subrectángulos que no se tras!apan. Los n 2 subrecthngulos se numeran en forma conveniente. Sea (xk, J'k) un punto en el k-ésimo subrectángulo de la partición (ver fig. 18.1).

Se demuestra que una función continua de dos variables asume un valor máximo y uno mínimo en toda región rectangular cerrada* contenida en el dominio de f. Sean nlk y M k los valores mínimos y máximo, respectivamente,

* Se dice que una regihn rectangular es cerrutla si incluye la frontera del rectingulo.

INTEGRALES MúLTIPLES 613

de f en el k-ésimo de los n2 subrectángulos en la partición de R . El área de cada subrectángulo de la partición es, por supuesto,

b - U d - c ( b - a)(d - C) __.” - , n n n 2

y para todo k se tiene

( b - a)(d - C ) ( b - a)(d - c) ( b - a)(d - C) r n k 5

n2 n2 f ( X k t Y k ) n2 M k . (1)

(La relación (1) es análoga a

b - a b - a b - a n n n

m. < - 1 - f b i ) 5 - Mi

para una función de una variable.) Si f ( x , y) es no negativa para (x, y ) en R, cada uno de los términos de (1) se considera geométricamente como el volumen de un prisma de sección transversal rectangular, como se indica en la fig. 18.2. El primer término es el volumen del prisma rectangular cuya base es el k-ésimo de los n2 subrectángulos y cuya altura es la mínima mk a la superficie z = f(x, y) sobre este k-ésimo subrectángulo, etc. Entonces

S, = ( b - a)(d - c) n 2

n2 ’ mk k = l

es la n-ésima suma inferior parafsobre R ,

S, = ( b -- u)(d - c) . 2 Mk

n2 k = l

es la n-ésima suma superior para f sobre R, y

es una n-ésima suma de Riemann para f sobre R. De (1) se ve que

S, I 9, 5 S, (2)

para todo n > O. Se debe señalar que la notación K!+ es de una simpleza que no se justifica; no refleja la función f, ni la región R, ni la elección de (xk , yk) como un punto en el k-ésimo subrectángulo de la partición.

Sea h, el máximo de las cantidades M , - mk para k = 1, ..., n 2 , y fácilmente se ve que

S, - S, 5 h, ‘ n2 ( b - a) (d - c)

= k ( b - a)(d - c). k - 1 n 2

INTEGRALES MúLTIPLES 6 15

Ejemplo 1. Estimar la integral de x' + sobre R. donde O < .Y < 4 y O < y < 4 calculando s 2 y S > .

S<>L[:CI<ZN, La partición de R para n = 2 se muestra en la fig. 18.4, la cual también indica una numeración para los rectingulos. Puesto que .x7 + yz es el cuadrado de la distancia de ( S , y) al origen. se ve que los puntos dondc f asume los

Figura 18.3


valores mínimos para el cAlculo de s 2 son como se indica en ( a l de la figura. Los puntos donde ,f asume valores miximos se muestran en (b). As]

S 2 = (4 - - O) [(O' + 02) + (22 + 02) + (O2 + 22) + (22 + 22)] 4

= 4[0 + 4 + 4 + 81 = 4 . 1 6 = 64.

Por otra parte,

S, = (4 - o)(4 - O) [(22 + z2) + (4' + z2) + (22 + 4*) + (4' + 4*)] 4

Así

6 4 5 j i ( x 2 + y 2 ) dxdy5.120.

Desde luego, estas estimaciones son realmente muy imperfectas. ' , La notación de Leibniz

se interpreta geornktricamente como sigue: se eligen ejes trasladados a uno de los vertices de uno de los recthngulos de la particihn, como se muestra en la fig. 18.5. El Brea del rectBngulo es entonces tlx li~,, como se indica en la figura. Esta Brea se multiplica por el valor de la funcihn en el punto (.Y, J.) del rectángulo. Entonces la integral suma estos productos y toma el limite de tales sumas cuando 1I.x y tly tienden a cero.

Finalmente, lo mismo que en el caso de la integral de una función de una variable, no es necesario particionar la región R en subrectángulos de áreas iguales

INTEGRALES M ~ L T I P L E S 617

para formar las sumas de Riemann; se puede formar una partición de la clase que se muestra en la fig. 18.6. En efecto. ni siquiera es necesario que la región se subdivida en partes rwarzyulavrs. Sin embargo, para asegurarse de que el límite de una sucesión de sumas de Riemann se aproxima efectivamente a la integral f(x, y ) tlx dy, es esencial que tiendan a cero no sólo las Breas de las subregiones en las particiones del rectángulo sino también la dimensicin transrrrsal múxima de las subregiones cuando n + m (ver figs. 18.6 y 18.7). Por ejemplo, una subdivisión de R en tiras verticales delgadas, como en la fig. 18.7, no es en general suficiente para aproximar SSR f(.w, y ) r l s (/J., aunque las Areas de las tiras tiendan a cero cuando n -+ cc. El tramo mAximo de cada tira es mayor que d - c, que no tiende a cero. (Ver ejercicio 3.)

V

4 Dimensión transversal maxima Y

Dimensión transversal mixima

Una subdivisión buena para las sumas de Riemann

Una subdivisión inadecuada para las sumas de Riemann


18.1.2. El caso de tres variables

Es fácil generalizar el trabajo del artículo anterior y construir la integral de una función continuaf'de tres variables x, y, z sobre una caja rectangular R en el espacio dada por:

a , 5 x I h,, a, 5 y cr b,, a3 9 z 5 h,.

Se particiona la caja en n3 subcajas por partición de los tres intervalos [ui, hi] en n subintervalos de longitudes iguales. El volumen de cada una de las subcajas es

Sea M k el valor máximo y mk el valor mínimo de , f ( x , y , z ) en la k-ésima subcaja (para alguna numeración conveniente), y sea (Xk, yk, z k ) 'un punto en la k-ésima subcaja. Entonces, sean

618 CÁLCULO CON GEOMETRIA ANALíTICA

y S,, = v,, ' h4L.

h i

Evidentemente,

S,, c- Y,,<&.

Ld integral jjj. {'(u, y. z ) d r d ) , d z se define como el límite común de S,, .% y S, cuando n "-t x.

18.1.3. Integrales iteradas

Seaj 'una función continua en una región rectangular u < x < h. c < J' 6 tl en el plano. La integral iterada 1; j ' ( . ~ , A ) ) d.u riy se define como sigue. Hallar una función F( Y. tal que

donde la integral interior se calcula con respecto a S únicamcnte considerando a j' como una constante, y la integral final se calcula con respecto a J'.

ejemplo Obviamente, el orden de los límites de las integrales tiene importancia; por

[."[f(x, y ) dx dy = - I;' 6" f ( x , y ) dx dy


Ejemplo 2. Calcular

lo1 l'xy2 dx dy.

SOLL;C¡ON. Se tiene

Ejemplo 3. Calcular la integral iterada

I' I , ' x y 2 dy dx,

que es la integral del ejemplo 2 en ((orden inverso)).


1,' [,'xy2 dy dx = l'(3-ll XY' v = ' dx = [(: -- O) dx =

- 9 1 4 - _ "

6 6 = T . / / Obsérvese que las integrales iteradas de los ejemplos 2 y 3 son iguales; el

orden de integracihn no tiene importancia. Esto es un ejemplo de un teorema general.

Teorema 18.2. Seu f (x, y) una funcidn continua pura (x, y ) en la región rectungulur R donde u ,< x < h y c < y 6 d. Entonces

No se suministrari una demostración rigurosa, pero se darin explicaciones analíticas y geomittricas sobre la validez de este teorema.

Explicación analítica. La numeración de los subrectángulos en una partición de R en n2 subrectángulos de igual área es arbitraria. En la fig. 18.8 se sugieren dos estilos diferentes de numeración. El primero, ((numeración horizontal)), indica que .V, se considera como una suma sobre n cintas horizontales, cada una de las cuales es, a su vez, una suma sobre n rectángulos. Es decir, si (xi,yj) es el punto medio del rectángulo en la i-ésima columna de la izquierda y la j-ésima fila desde la base, en un sistema de numeración horizontal como el de la fig. 18.8(a), entonces


O I I (I .x, .t2 h

(a) Numeraci6n horizontal n = 4 (b) Numeracicin vertical n = 4

Según el teorema fundamental del cálculo, la suma interior sobre i en la última expresión de (1 1) tiende a ,f'(s, y j ) dx cuando n + x. Parece razonable que la suma total tienda, por tanto, a if (j: f ( x , y) dx) rly cuando n "+ m. Un razonamiento análogo, a partir de la numeración vertical de la fig. 18.8(b), conduce a la integral iterada f:(i: f ( x , y) dy) (/x. Esto indica analíticamente que las integrales iteradas son iguales a SSR f (x , y) dr tly.

Explicación geométrica. La notación de Leibniz sugiere la siguiente interpretación de if [: , f ( .~, y) ds (/y. Si se forma 1; .f'(.u, ! s j ) (/.u, considerando a y j como constante, se obtiene el área de la región plana sombreada y vertical que aparece en la fig. 18.9, la cual está situada en el plano y = y j y bajo la superficie z = f ( x , y) entre .x = (I y x = h. Si se multiplica por rly, se obtiene el volumen de la tajada que se muestra en la fig. 18.10, y así la integral iterada

Figura 18.10

S

\


es la sumatoria de los volúmenes de las tajadas desde y = c hasta y = d cuando dy -+ O. Evidentemente, el resultado para f ( x , y ) 2 O es el volumen de la región tridimensional bajo la superficie z = f ( x , y ) y sobre el rectángulo R, que es precisamente la intepretación geométrica de f ( x , y ) dx dy . Consideraciones geométricas análogas llevan a la conclusión de que J: f : ’ f ’ ( x , y ) dy dx también debe ser igual a S I R f ( x , y ) dx dy. El dibujo de figuras como la 18.9 y la 18.10 se deja para los ejercicios (ver ejercicio 5).

Puesto que f(x, y ) dx dy y una notación correspondiente a una iotegral iterada contienen dos signos integrales, las integrales de funciones de dos variables se denominan integrales dobles. La iteración brinda una técnica para el cálculo de una integral doble así como el teorema fundamental del cálculo suministra otra para calcular integrales de funciones de una variable. En efecto, el cálculo de una integral doble se reduce al de dos integrales sucesivas de funciones de una variable.

Ejemplo 4. En el ejemplo 1 se estimó S S R (x’ + y’) dx dy para R dada por O < x < 4, O < y < 4, utilizando sumas superiores e inferiores con n = 2. Calcular el valor exacto utilizando una integral iterada.

S O L U C I ~ N . El valor de la integral viene dado por

= JO4 (y + 4yz) dy = (y y + e)] = - + - = -. 11 256 256 512 3 0 3 3 3

18.1.4. Integrales iteradas tridimensionales

Si f es una función de tres variables, continuas en una caja rectangular R tal que a l < x d bl, u2 < y < b2 y u3 d z < b3, entonces pueden formarse varias integrales iteradas diferentes, tales como

Y

Las integrales iteradas se calculan ctde adentro hacia afuera)). Cualquier orden de integración es posible; hay seis posibles órdenes en total (ver ejercicio 7). Si f es continua sobre R, entonces todas las integrales iteradas con ai como límites inferiores y bi como límites superiores son iguales entre sí e iguales a la integral múltiple JJSR f ( x , y, z) dx dy d.2.


RESUMEN

7 . jjR f(x, y ) dx dy == fi Y. y ) t f x dy = i; 1'' f(x. y i ti\ tlx

l . Dar un21 intel-pretaci6n geomi.tr.ica de jj. ,/'(.Y, 1 (/.Y tiy, donde 1 es una lilnci6n de dos variables, continua sobre una rc- gión rectangular R, pero que posibkmen- te asume valores positivos y negativos en R .

2. En CStii secciOn se ha tratado sólo un caso muy restringido de intzgrales mi:ltiples de

3.

funciones continuas. Indicar I;! rcstricciiic a que se hace referencia.

Sea R dada por u < . r -< h, < .Y < 1 i J'

seaf(.q J.) = J para ( Y , .C.) en R. Considerar la partici6n de R en n tiras verticales de Areas iguales conlo en la fip. 18.?. donde I7 = 6. a ) Calcular las sumas superiores .S, y l as


inferiores S, para dichas particiones de R.

b) ¿Es cierto que límn-, S, = limn_. I S . para estas particiones de R?

c) ¿Qué punto ilustra este ejercicio? 4. Demostrar que la def inición de

f ( x , y ) d x rty como se expresa por la ec. (9) del texto está bien riejnida; es decir, es independiente de la elección de (cantiderivada parcial)) F(x, y).

5. Dibujar figuras semejantes a las 18.9 y 18.10 para ilustrar geométricamente que 1; 1: . f (x, y) dl’ dx =: ~ J R f ( x , y) d.^ dy. donde R es el rectángulo u < x 6 h, C. 6 y < d y f e s continua sobre R.

6. En la sección 18.1.3 se definieron las integrales iteradas J: j; f ( x , y) dx riy e j:j: , f ( x , y ) d y d x sobre R, donde u 6 .Y < b, c < y < d para f continua en R. También se considera

[,‘ [fb, Y ) dx dy,

donde, una vez más, la integral se calcula de ((adentro hacia afuera)). Hacer una lista de todas las integrales iteradas d e f que resultan de R y comparar su valores. [Sugerencia. Hay ocho integra1es.J

7. Sea #una función continua de tres variables cuyo dominio contiene una caja rectangular a l < x < h,, u2 6 y < h2,

a) Demostrar que hay seis ((órdenes de integración)) posibles para una integral iterada,donde cada integral tiene alguna ui como límite inferior y hi como límite superior.

b) ¿Cuántas integrales iteradas pueden formarse parafsobre la caja si no se restringen las ai a límites inferiores, ni las hi a límites superiores‘? (Ver ejercicio 6.)

c) Comparar los valores de las integrales descritas en b).

03 < z 6 h3.

8. Sea R el rectángulo O < x 6 2, 1 < y < 5. Estimar j j ~ (x + y) dx d y por s 2 y S*.

9. Repetir el ejercicio 8 pero estimar SSK ( x + y) ds ciy utilizando .Y2 y los puntos medios de los subrectángulos.

10. Sea R dada por O 6 x < 2, O 6 y 6 4, 2 < z 6 4. Estimar j j j ~ x ’ yz dx d y d z utilizando .Y2 y los puntos medios de las regiones en las particiones.

11. Sea R dada por O < x 6 4, 1 < y 6 5, -4 < z 6 4. Estimar J j j ~ uy2z2 dx dy d z utilizando .Y2 y los puntos medios de las regiones en la partición.

12. Calcular la integral del ejercicio 8, utilizando una integral iterada.



En los ejercir.ios 15 a 24, calculur I o inrryrul itrrada dadu.

15. f /,((x + y’) dx dy

16. 1’ xzy dy dx

17- L 1I: x sen y dx dy

18. Ion 1; x sen y dy dx

19. Io2 [:x sen’y dy dx

20. le’ [In (xy) dx d y

22. 1: [*(x2 + yz) dz dx dy

23. j:, 1: i:xzev dx dy d z

24. [, 1, 1, xyz J2 - x’ - y 2 dx dy dz

2 1 1

624 C Á L C U L O CON GEOMETRíA ANALITICA

18.2. INTEGRALES SOBRE UNA REGION

18.2.1. Sumas de Riemann sobre regiones

Una región G en el plano es 11co~c1~/(1 si la contiene un rectángulo suficientemente grande en el plano. lntuitivamente, regiones acotadas son las que no se extienden al infinito en ninguna direccibn. Se considerarán regiones acotadas ((buenas)) como la de la fig. 18.1 1 , donde se tiene una idea natural de la ,frontera (curva que encierra) de la región y el intrrior de la misma. Una región es cerrarla si la frontera forma parte de la misma.

Es preciso integrar una función continua ,f' sobre una regibn acotada G del plano contenido en el dominio de f. El problema se restringe al importante caso donde la frontera de G es una curva suave de longitud finita. Sea R un recthngulo con lados paralelos a los ejes coordenados y que contiene G. Se divide R en 11' subrectingulos de hrea igual como en la seccicin 18.1. Esto forma una rejilla de rectángulos de igual magnitud superpuestos sobre la región plana G, como se ilustra en la fig. 18.12.

Ahora se consideran solamente aquellos rectingulos que estin totalmente dentro de la regi6n G. En la fig. 18.12 son los veinte sombreados ligeramente. En general, puede haber I' de tales recthngulos, que se numeran de 1 a r de manera conveniente. Se demuestra que si f'es continua en el k-ésimo recthngulo, entonces,f'asume un valor mhximo M k 4 uno mínimo m k en tal recthngulo. Utilizando sblo los I' recthngulos que quedan totalmente dentro de G, se define la S U M I i@rior S,, la SWHU superior S, y la sunzu (ir Rierwnn :4 paraf'(.v, J.) sobre G, como sigue: si cada recthngulo de la rejilla tiene hrea Ail y si (.yk, es cualquier punto en el k-t-simo 1-ectingulo interior, se escribe

Obsérvese que los rectángulos sombreados intensamente en la partición de R de la fig. 18.12, que contienen la frontera de G, no se consideran para nada en la

INTEGRALES MULTIPLES 625

formación de las sumas S,, .u7, y S,. Esto se permite por la siguiente razón. Se supuso que la frontera de G es de longitud finita, y puede demostrarse que la suma de las áreas de tales rectángulos que contienen la frontera tiende a cero cuando n + m. En consecuencia, no es necesario incluir sus contribuciones en S,, X o S,, dichas contribuciones tienden a cero cuando n + m, y en el párrafo siguiente se hará que n -+ m.

Para el k-ésimo rectángulo que esta dentro de G, se tiene

(Mk - mk) -+ O cuando n + m,

precisamente como en la sección 18.1. Si h, es el máximo de M k - mk sobre esos Y rectángulos, entonces

S,, - S, 5 h, (área de G)

En consecuencia, lím (St, - S,) = O.

Es razonable esperar que lím,+ S, exista y sea igual a lím,,+% ',,, como en la sección 18.1. Se demuestra que estos límites son independientes de la elección del rectángulo R que contiene a G.

,'X

Definición 18.2. cuya frontera es defsobre G es el

Sea f una función continua sobre una región acotada G del plano una curva suave de longitud finita. La integral 11~ f(x, y ) cix d y valor común

,L f(x, y) dx dy = lím S, = lím Y,, = lírn S,,, ,-m ,-m ,,-m

donde S,, .u?, y S, son como se describieron anteriormente.

Obviamente este análisis puede extenderse a integrales de funciones continuas de tres variables sobre regiones acotadas en el espacio, cuyas fronteras son superficies suaves de área finita. Solamente es necesario reemplazar la rejilla rectangular por una de cajas.

18.2.2. Integrales iteradas sobre regiones

Las integrales definidas en el artículo anterior por lo general se calculan utilizando una integral iterada, como en la sección 18.1. Considerar la región plana G que se muestra en la fig. 18.13, donde la porción ((inferior)) de la frontera es la curva y = h l ( x ) y la porción ((superior)) es la curva y = h2(x ) , donde hl y h2 son funciones continuas. Sifes continua en G, se forma la integral iterada


Cambio del orden de integracicin

PASO 1. HNC~P 1111 dibujo y sombrear la region del plano sobre la cual tiene lugar la integración. Dibujar un pequeño ctrectingulo diferencial)) de dimensiones ds por dy en la regi6n sombreada.

PASO 2. Convertir ia integral iterada dada en una con orden de integración invertido, ohsri-cantlo el dibujo y anotando los límites apropiados. Los límites del signo integral interior son funciones de l a bariable de integración restante, mientras que los del signo integral exterior permanecen siempre constantes.

Un procedimiento andogo se sigue para cambiar el orden de integración en una integral iterada triple.

Ejemplo 2. Invertir el orden de integración de la integral

considerada en el ejemplo 1.

sOLI;CION. PASO l. A partir de los límites de la integral interior, la primera integración con respecto a J. va de J. = S' a = 4 ; por tanto, se dibujan estas curvas en el plano. ver fig. 18.1 5(a). Como esta primera integración fue con respecto a y, se considera que y = .Y' e J. = 4 forman las fronteras inferior y superior de la región. Ahora bien, la integración final con respecto a .Y va solamente de .Y = O a x = 4. Por tanto, la región es la del primer cuadrante que se muestra sombreada en la fig. 18.15(a).

PASO 2. Para invertir el orden de integración se integra primero con respecto a .Y.

El rectángulo diferencial se prolonga por la izquierda (en dirección x negativa) hasta la recta x = O, y por la derecha (en dirección x positiva) hasta la curva y = x2. Puesto que tales límites interiores se expresan como funciones de y, se


escribe y = x2 como x = ,,fj; la raíz cuadrada positiva parece apropiada según la figura. Así la integral se convierte en

I:' x'y dx.

Esto corresponde a sumar las contribuciones a la integral sobre la tira horizontal que se muestra en la fig. 18.15(b). Ahora bien, las contribuciones de tales tiras se suman a partir de la parte inferior de la región, donde y = O, hasta la parte superior, donde y = 4, para llegar a

que es la integral requerida. Realizando los cAlculos se obtiene

Naturalmente, este es el misnlo valor obtenido en el ejemplo 1. ~~

Ejemplo 3. Convertir I,' J:: [: - ? X + ( 3 V / l )

xyz' d z dy dx

al orden I xyz2 dx d z dy.

SOLCXIÓN. PASO 1. Los límites interiores con respecto a z indican que la parte inferior de la región es el plano z = O, y la superior es el plano z = 3 - 3.u + (34'12) o 6.x - 34' + 22 = 6. Estos planos se representan en la fig. 18.16. Los restantes límites de integración demuestran que la región es el tetraedro sombreado de la figura.


PASO 2. En el nuevo orden, se integra primero en la dirección x, desde x = O hasta el plano 6x 34' + 22 = 6, donde x = 1 + ( y /2 ) - (z /3) . Así se comienza con

I,l+(Y/2)-(2/3)

xyz2 dx.

Los siguientes límites z se hallan a partir del triángulo posterior de la región, en el plano yz, cuya base es la recta z = O y cuya parte superior es la recta - 34' + 22 = 6, o z = 3 + (3y/2), que se obtiene al escribir x = O en 6x - 3 y + 22 = 6. Se ha llegado entonces a

J,"(3~/2)1,1+(~/2)-(2/3)

xyz2 dx dz.

Finalmente, los límites constantes y van desde el valor mínimo de -2 hasta el máximo de O, así que la integral requerida es j-1 jo3+(3y/2) ~ l l + ( y / 2 ) - ( z / 3 ~

xyz2 dx dz dy. 1 )

18.2.3. Areas y volúmenes por integración múltiple

Sea G una región del plano cerrada y acotada. Ceométricamente, es claro que para la función constante 1, la integral

da el área de la región. Generalmente la integral se calcula Utilizando una integral iterada. Se dan dos ejemplos.

Ejemplo 4. Resolver un problema de área de fácil solución por los métodos del capítulo 7, utilizando ((integrales dobles)). Hallar el área de la región plana del primer cuadrante del plano acotado por las curvas y = x 3 e y = $x. SOLUCI~N. La región se muestra en la fig. 18.17. Si se utiliza la notación de Leibniz, se considera dx dy = dy dx como el área de un pequeño rectángulo en la región y se suman las áreas de tales rectángulos sobre la región cuando dx -+ O y dy + O por medio de una integral. Las fronteras ctinferior)) y ctsuperiow de la región son las curvas y = x3 e y = &, respectivamente, así que la integral iterada es

\ '

?

" "-"+ i Figura 18.17

Observese que la integral j,!] (v. :Y -- Y') t l r que ocurrc cn medio dsl c9lculo anterior es la que sc hubiera utilizado para hallar el valor del 6rea en el capítulo 7.

Para calcular la integral itoracia en otro orden, es preciso hallar las fronteras ctizquierda)) y ((derecha)) de la regicin para obtener .Y = J.' y I .= 1 ' '. respectim- mente. La integral iterada en este orden es. por tanto,

Por supuesto, se obtiene la misma respuesta. I

A menudo cs dificil hallar ios limitcs de integr:lci6n apropiados al conformar una integral iterada. Obsérvese en particular que los IimitesjiJlalrs (en el signo integral izquierdo) son siempre constantes. !' que los demils límites pueden ser funciones de sólo aquellas variables con respecto a las cuales se realizarli nuis turrle la integraci6n.

E R R O R : i f ' i; d y ds. ~ ~ 3 j v x ' ' ~ z z ' y r ' d s d y d z .

Ejemplo 5. Hallar el volumen de la región del espacio cuya frontera superior es la superficie z = 1 - x' - J-', las fronteras laterales son los planos .Y = O. = O, x + J. = 1 y la inferior es el plano z = O. La región se muestra en la fig. 18.18.

SOLL~CION. Se suman los volilmenes de las pequeiias cajas rectangulares cuyas aristas son de longitud d,~, y t lz, respectivamente. Al intentar hallar la integral iterada en la dirección ,Y se encuentran problemas en los límites S , porque las cajas ctinferiores)) deben sumarse desde el plano .Y = O hacia el plano .Y = 1 - J. mientras que las cajas ((superiores)) deben sumarse desde x = O hacia la superficie X - J1"J.' - 2 , como se indica en la fig. 18.19. El mismo problema se presenta

INTEGRALES MúLTIPLES 63 1

/ Figura 18.18 ( a ) 1.a regicin del ejemplo 5. (bi Kepresentacihn tlibujatla por computador

x - - x - y2x ) ] I - v dy

(1

- 1 1 1 1 - 1 ""

2 3 4 1 2 6 + 4 - 3 + 1 8 1 = I - - I - " = - -

12 12 3'


?

,J Figura 18.19

Obsérvese que es posible empezar con la integral

l,’ [-’(I - x’ - y’) dx dy

que aparece en el cálculo, si se considera que la región queda bajo la superficie z = 1 - x’ - y 2 y sobre la región triangular acotada por los ejes coordenados y la recta x + y = 1, en el plano x, J’.

RESUMEN

1. Unu región pluna G acotarla es la que puede encerrarse en un rectúngulo. La región es cerruria si incluJe su frontera.

2. U n rectúngulo que contiene a G se particionu n 2 subrectángulos de tumuiios iguales como en lu sección 18.1. Lus sumas superiores, inferiores y de Riemann que se toman precisamente sobre los rectúngulos (le la partición que estún totalmente en el interior de G, tienden a un valor común , f (x, y) dx dy cuando n + m, para una función continua f (x, y ) sobre una región acotada G cuya frontera es una curva suave de longitud ,finita.

3. Se utilizan integrales iteradas para calcular una integral sobre una región. Ver una descripción de los límites en la sección 18.2.2.

4. Dibujar un esquema y guiarse a partir de éI para cambiar el orden de integración.

5. Para hallar el área de una región G se integra la ,función constante 1 sobre G.

6. Se puede llevar a cabo una integración análoga en el espacio.


EJERCICIOS

En los ejercicios 9 a 16, dibujar lu región de integrclción paru la integral iterariu duda y escribir despuis unu inteyrrtl ireruda igual ( u una suma igual (le integrules iteradus) ccinrirtiendo el orden>> dr la intrgracihn. ( N o se pide hallar la inteyrul.)

13. 1)' I: y cos x d y dx

17. Hallar los l ímites apropiados para SJS xyzZ ds (iy dz para que sea igual a la integral iterada

j' 1:; S,' ', * -

- x y z ? d z d y dx.

No evaluar la integral

18. Hallar los l ímites apropiados para SJS .Y sen y2 dy dz ( I r para que sea igual a la integral iterada

x sen y z dx d z d y

No evaluar la integral.

19. La región del plano acotada por las curvas y = O, y = 1 + x e y = Jr-x.

20. La región del plano acotada por las cur-

-

vas y = sen x, x = ni2 e y = x.

21. La región del plano acotada por y = In X,

y = l - s e y = l .

22. La región del espacio acotada por z = cosxpara - 4 2 <.Y 6 ~ / 2 , z = O , y = - 1 e y = 2 .

23. La región del espacio acotada por z == 4 - ,y2 - y* y z = x2 + 4'2 - 4.

z = 1 + x z + y * , L ' = l - x Z , y = o y 24. La región del espacio acotada por

z = o.

18.3. INTECRACION MULTIPLE EN COORDENADAS POLARES Y CILINDRICAS

Se consideran las coordenadas polares I', 0 en el plano. Recucrdese que la transfor- maci6n de coordenadas polares I., O en coordenadas rectangulares .Y, J.. se expresa pol-

.x = r cos 8, y = r s e n H.

cotno se indica en la fig. 18.20

18.3.1. Integrales dobles cn coordcnadas polares


Entonces

Elemento diferencial de Area = r (Ir (10,

y la integral def(x, y ) sobre G se convierte en

Se deja para cursos mis avanzados una deducción rigurosa de (3). La integral (3) ((suma sobre G esas Breas, multiplicadas por los valores de la función y toma el límite cuando 110 4 8 y dr “-t O)).

Ejemplo 1. Hallar el Area de la región G acotada por la cardioide r = 1 + cos 0 que se muestra en la fig. 18.22, integrando la función constante I sobre csta regi6n.

SOLLC1i)N. Por simetría, el irea requerida cs


18.3.2. Coordenadas cilíndricas

Recuérdese que las coordenadas cilíndricas r , 8. z en el espacio se forman tomando las coordenadas polares T, U en el plano S , y y la coordenada rectangular usual z , como se indica en la fig. 18.23. El lugar geométrico de la ecuación r = a es el cilindro que se muestra en la fig. 18.24; de aquí el nombre de ((coordenadas cilíndricas),.

t Figura 18.23

Figura 18.24

Sea h( r , O, z ) una función continua en coordenadas Cilíndricas definida en una región G del espacio; estudiar l a integral de h(r, U. z) sobre C. La integral es

que es la aniloga de la fbrmula (3) en coordenadas polares. Se considera r rlr (10 dz como un pequeño ((elemento de volumen)) en coordenadas cilíndricas, como se muestra en la fig. 18.25.

Figura 18.25


Puesto que x2 + y 2 = y', la transformación en coordenadas cilíndricas es especialmente útil cuando se integran expresiones cartesianas que contienen x' + y', o cuando se integra sobre regiones acotadas por superficies con ecuaciones sencillas en coordenadas cilíndricas. Si una integral contiene x2 + z 2 , se toman ((coordenadas cilíndricas r, O, y)), que corresponden a las coordenadas polares r, 8 en el plano x, z.

Ejemplo 2. Sea G la región acotada en la parte superior por z = 1 + x2 + y', en la parte inferior por z = O y lateralmente por x2 + y' = 4, como se indica en la fig. 18.26. Integrar ,fsobre G, dondef'(x, y, z ) = x - y + z2 .

SOLUCION. La integral x, y, z , es

cuyo valor no es fácil de hallar. Sin embargo, al cambiar a coordenadas cilíndricas, dicha integral se convierte en

{ , '+r2 ( r cos 8 - r sen 6 + z2)r d z d r dB

= [-k:[(cos e - sene)r*z + r - " I ] 3 l l r r z d r d e

= lo'*[,* [(cos 8 - sen O)(rz ) ( l + r2 ) + $ r ( l + r2 )3 ] d r d 0

136 624 624 15 24 12

= -(1 - 1 ) + " - 2 ~ = -n = 5 2 ~ .

Este cálculo es bastante dificil. / / En la mayoría de los casos, el orden dz, dr, de parece el más natural para la

integración en coordenadas cilíndricas. Sin embargo, son posibles otros órdenes.

638 CALCULO CON GEOMETRiA ANALfTICA

~NTEGRALES M ~ J L T I P L E S 639

[[fir cos O , r sen O, z ) . r dz dr dO

E.JERCICIOS

1. La regi6n en el interior de 13 cardioide 8. La región encerrada por el paraboloide r = (I( 1 + cos O) y en el exterior del círcu- z = 4 - ,Y’ - y’ y el plano z = O. lo I ’ = ( l . 9. La regibn encerrada por el paraboloide

2. La regicin en el interior de un lazo de la z = .Y’ + J.’, el plano z = O y el cilindro rosa de cuatro pktalos I’ = (I sen 211. .Y1 4- 1’’ = 2.u.

3. La regihn del primer cuadrante encerrada 10. La regi6n encerrada por la semiesfera por .Y‘ + y‘ = u’, y = 0 y .Y = (1:2. z = ,,/a2 - -u2 - J” y el plano z = h

4. La región en el interior del lazo mayor para O d h < (1.

y en el exterior del lazo menor del caracol 11. La región en el interior del cilindro r = 1 r ( 1 + 2 cos O ) . semicircular encerrado por x = d D

5. Hallar la integral de la funcicin polar h(r, O ) = r sen’ O, r 3 O, sobre el disco cerrado acotado por r = (1.

y Y = O, y acotado en los extremos por y = O y la semiesfera y = JET7T? [Sucgrrencia. Utilizar ((coordenadas cilín- dricas)) ( r , J, O ) . ]

6. Hallar la integral de la funcicin polar h(r , O) = cos O, r 2 O, sobre la regibn acotada por la cardioide r = a(1 + sen O ) .

12. Hallar la integral de la función en coordenadas cilíndricas h(r, O, z ) = rz cos2 O para r b O sobre la región en el espacio

7. La superficie de nivel coordenada Y = a acotada por r = rz, z = O y z = 4. es un cilindro en coordenadas cilíndricas (ver fig. 18.24). Describir las superficies de nivel coordenadas:

13. Hallar la integral de la función en coordenadas cilíndricas h(r, O, z ) = rz2 para I‘ b Osobre la regibn en el espacio acota-

a ) 0 = O ( ) ) da por el cono zz = x’ + y’ y el plano b) z = h z = 4.

18.4. INTEGRACION EN COORDENADAS ESFERICAS

Recuérdese el sistema de coordenadas esféricas, en el cual las coordenadas de un punto son ([I, 4, O), como se indica en l a fig. 18.27. La coordenada p es la

640 CÁLCULO CON CEOMETR~A ANALíTICA

longitud del segmento de recta que une el punto con el origen, q5 es el ángulo entre el eje z y este segmento de recta, y U es el mismo ángulo de las coordenadas cilíndricas. Obsérvese que el lugar geométrico de p = a es una esfera con centro en el origen y radio a, como se indica en la figura 18.28. Esta es la razón, de la expresión (coordenadas esféricas)).

r Figura 18.27 L Y

Puesto que p es la distancia del punto al origen, es claro que p 2 = x2 + y2 + 2 , (1)

y, en consecuencia, la transformación en coordenadas esféricas es útil en la integración triple de expresiones cartesianas que contengan .x2 + y 2 + z2, o en integrales de regiones acotadas parcialmente por superficies esféricas.

Se requiere expresar x, y y z en términos de las coordenadas esféricas p, q5, 8, de modo que se pueda expresar una integral JJJG f ( x , y , z) d x dy dz en términos de coordenadas esféricas. Según la fig. 18.29, se tiene que

x = psen 4 cos 8, y = psen4sen 8, (2)

z = p cos 4.

T I

Figura 18.29


Aumentando y disminuyendo p , 4 y % en cantidades dp, d4 y de, se generan los elementos diferenciales que se muestran en la fig. 18.29(b). El volumen de este elemento es aproximadamente (p sen 4 dO)(dp)(pd&), como aparece en la fig. 18.29(b). Por tanto,

Elemento diferencial de volumen = p2 sen 4 dp d 4 d%. (3)

La demostración rigurosa de que (3) es apropiada se deja para un curso de cálculo avanzado.

Se recuerda que 4 se restringe al intervalo O 6 4 6 n ; así que sen 4 2 O.

Ejemplo 1. Hallar el volumen de la bola acotada por la esfera x' + y' + zz = a', cuya ecuación en coordenadas esféricas es p = a.

S O L U C I ~ N . Se integra la función constante 1 sobre esta región, utilizando el elemen- to de volumen ( 3 ) y los límites en coordenadas esféricas. Se integra en el orden dp, d 4 , dB. Se considera la primera integración con respecto a p como la suma de los elementos de volumen que dan lugar a la escarpia que se muestra en la fig. 18.30(a). La integración siguiente con respecto a 4 suma los volúmenes de estas escarpias para dar el volumen de la cuña de la fig. 18.30(b), y la integración final con respecto a O de O a 271 suma los volúmenes de estas cuñas para dar el volumen total de la bola. Haciendo los cálculos, se tiene

[,2T[ IP(1)p2sen 4 dp d4 d e = cm[: ;sen ad^ p=o de

Ejemplo 2. Integrar la funcibn f (u. !s. z) = z sobre la semibola limitada en la parte superior por z = \/l- Y' - y en la parte inferior por -I = O. como se indica en la figura 18.31

sol.r'c'ri)\ . En coordenadas esltricas. z = 11 cos 4, según (2); por tanto, la integral expresada en coordenadas esl'kricas es

Esta integral cs menos fhcil de calcular.

Ejemplo 3. Aplicar la integracihn en coordenadas esféricas para deducir la formula I ' = ( 1 3)nu'h del volumen del cono circular recto de altura h y radio de la base ( l .

Figura 18.31


SOLUCI6N. El sólido limitado por n2z2 = h2 ( x* + y') y z = h es dicho cono, que se muestra en la fig. 18.32. El plano z = h se convierte en p cos 4 = h y la integral es

,r)2= jotan ' ( d h ) p 3 p = hjcos <b

-sen 4 3 p =o

= - (cos 4) -3sen 4 d 4 dB 3

tan ' I o I h J h.?

zrr h3 sec'+j"n l (a /h)

= I) 3 -2 (,

" .___ d8

t

RESUMEN


3 . Una integral SJS f ( x , y , z ) dx riy dz con limites apropiados .Y, y. z se expresu en coordenadas esféricas como

con limitrs apropiados en c,oorrienudas esféricas para la región escogida, tal que o 6 9 < 71.

EJERCICIOS

En l o s ejercicios 1 u 4 , hallur el columen de lu rcgitjn dada en 6.1 esprccio por integrackk triple en coordenadas e$éricas.

1. La región limitada por la semiesfera 2 = v/u2 - .Y’ - y2 y el plano z = h para O < h d u.

2. La región limitada por el cono z 2 = Y’ + y’ y la semiesfera z = 6 1 6 - .Y’ - y’.

3. La región limitada por la semiesfera y = ,~/4 - .Y’ - 2 y los pianos = Y

e y = J s ; .

La región entre los conos 2 = x’ + J J

y 32’ = x’ + y’ y bajo la semiesfera 2 = J2 - .Y‘ - y2.

Hallar la integral de la función en coordenadas esféricas h(p, 4, fl) = p2 sobre la bola limitada por la esfera x 2 + y! +

? , zL = u-.

Hallar la integral de la función en coordenadas esféricas h(p, 4, O ) = p 2 cos 4 sobre la región limitada por el cono z2 = .Y‘ + J,* y la semiesfera z = JT“’ -y*.

18.5. MOMENTOS Y CENTROS DE MASA

Los momentos y centroides que se presentaron en el capítulo 7, se refirieron sólo a los casos especiales que podían resolverse con una integral de una función de una variable. La presentación se mejora por medio de la aplicacicin de integrales múltiples.

18.5.1. Masa

Imagínese un cuerpo físico que ocupa una región G del espacio. La I J Z U S U m del cuerpo es una medida numérica de la cant idad de materia)) que contiene. En la proximidad de la superficie de la Tierra, el peso de un cuerpo es P J K ~ ,

donde g es la aceleracibn de la gravedad; una masa de un slug pesa alrededor de 32 libras.

La densidad (le musu del cuerpo es I n m m a por unidad de volumen. Si el cuerpo no es homogéneo, la densidad de masa puede variar como una función de posición dentro del cuerpo. Decir que la densidad de masa en un punto ( . U ~ , J ’ ~ , zo)


es a(x0, yo, zo), significa que si el cuerpo tiene en todas partes la misma composición que tiene en (xo, yo, zo), entonces la masa será

a ( x , , yo, zo> . (volumen de G).

Sea la densidad de masa a(x, y, z ) una función continua de (x, y , z) en C. Si (x, y, z) es un punto de una caja pequeña con aristas de longitudes dx, dy y dz, entonces la masa aproximada del material en esta caja es

a ( x , y , Z ) d x d y dz.

Si se suman todas estas pequeñas cantidades de masa con una integral cuando dx, dy y d z tienden a cero, se obtiene la masa del cuerpo

Naturalmente, en coordenadas cilíndricas y esféricas los elementos de volumen son r d z dr d e y p2 sen I#I d p d# d e , respectivamente.

Ejemplo 1. La densidad de masa de una bola de radio a es proporcional a la distancia al centro de la bola. Hallar la masa de la bola si la densidad de masa a una distancia de una unidad del centro es k .

S O L U C I ~ N . Si se toma como origen el centro de la bola, entonces la densidad de masa se expresa por kJx2 + y 2 + z2. Es natural utilizar coordenadas esféricas para integrar sobre una bola; en términos de coordenadas esféricas, la densidad de masa se expresa por

k J x ’ + y’ + z 2 = kp.

La masa es entonces

Cuando se trabaja con láminas planas de material de espesor constante y

646 CALCULO CON GEOMETRíA .AN4LiF~:'A

homogkneo en la dirección perpendicular a la l 5 m : ~ a . se :!u!iza c~on frecuencia la masa por unidad de t i r r n como densidad de masa.

Ejemplo 2. C!na IAmina plana de matcrial de espesor constante cubre la regi6n acotada por la cardioide I' = tr( 1 + sen f i ) que se muestra en l a fig. 18.33. La densidad de masa del Area de la Ihmina es proporcional d la distancia del eje J.. Hallar la masa del cue1-po.

S O t . t ; C l i > ~ . La densidad tie masa es entonces

a(w, y ! == k lx !

-= k / r cos 61,

donde k es una constante de proporcionalidad. La masa sc expresa por la integral

m = 2 j T " 1, k ( r cos 6)rdrdH < I í I t X I 1 O )

~ Tr, ?

COS o da

18.5.2. Primeros momentos

E 3 primer momento ( o simplcmentc el momento) alrededor de un eje en un plano dc una ((masa puntual)) en el plano. es el producto de la masa y el valor aigebraico

18.33


de la distancia (con signo) del eje. Si la masa puntual está en el espacio, se considera el primer momento alrededor del plano como el producto de la masa por el valor algebraico de la distancia al plano.

Considérese un cuerpo cuya masa no está concentrada en un punto (como ocurre comunmente). Se calcula el primer momento sumando los productos de las masas de trozos pequeños y los valores algebraicos de las distancias de los trozos al eje (o plano) y hallando el límite cuando los trozos se vuelven cada vez más pequeños. Obviamente, esto conduce a una integral. Para una lámina plana de material en el plano, M , y M , son los primeros momentos alrededor de los ejes x e y, respectivamente, mientras que M x y , M,, y M,, son los primeros momentos alrededor de los planos x, y, y , z y x, z, respectivamente, para un cuerpo en el espacio.

Se ilustra con dos ejemplos.

Ejemplo 3. Hallar los primeros momentos alrededor de los ejes x e y de una lámina plana de material que cubre la región acotada por la cardioide r = a( l + sen O ) de la fig. 18.33, si la densidad de masa del área es la constante k .

SOLUCION. Por simetría, el momento alrededor del eje y es igual a cero, ya que la masa de un trozo pequeño se multiplica por el valor algebraico de la distancia al eje; una contribución positiva de un trozo a la derecha del eje y se equilibra con la contribución negativa del trozo simétrico de la izquierda. Puesto que el valor algebraico de la distancia de un punto (x, y ) al eje x es y = r sen 8, se obtiene

M, = 21-,,2 [, (rsen 0)krdrdO

= 2klTiz 71 sen OdO

n i2 4 1 +sen 0 )

r3 u( I +sen O 1

-,I2 o

(sen0 + 3sen20 + 3sen30 +sen4@) dB.

Puesto que sen 6 = -sen (-6) y sen3 0 = -sen3 ( - O ) , las integrales sobre [ - n/2, n/2] son iguales a cero. L a integral se reduce a

(3sen' 0 +sen4 0) d0 3 mi2

3 -ni2

38 sen20 sen40 + - - - 3 8 4

4 16

648 CALCULO CON G E O M E T R ~ A ANALITIC.4

Ejemplo 4. Un sólido en el espacio está acotado por el c i h l r o .y2 + y2 = u 2

y los planos z = O y z = h. Si la densidad de masa a una altura z sobre el plano x, J’ es kz, hallar los primeros momentos del sólido alrededor de los planos coordenados.

S O L U C I ~ N . Por simetría se sabe que

M,, = MSL = o. Se utilizan coordenadas cilíndricas para obtener

271 (1

M,, = I, 1, l : ( z ) ( k z ) r d z d r d 6 = k [:TTl: ; l h r o dr d6

18.5.3. Segundos momentos

El segundo momento I (o momento de inercia) de una ccmasa puntual)) alrededor de un eje es el producto de la masa y el cudrntlo de la distancia al eje. El momento de inercia se utiliza para calcular la energía cinética de rotación que se expresa por la fórmula

E.C. = $ h 2 ,

donde o es la rapidez angular de la rotación. El cálculo de los momentos de inercia se realiza con frecuencia por medio de integración. Se ilustra con un ejemplo.

Ejemplo 5. Hallar el momento de inercia de una bola homogénea de radio LI y densidad de masa constante k alrededor de un diámetro.

soLuCr6N. Se toma como origen el centro de la bola y como eje z el diamétro alrededor de cual se calcula el momento de inercia. La distancia de un punto ( p , 4, O ) en coordenadas esféricas al eje z es p sen d, (ver fig. 18.29(a) en la sección 18.4.) Así

z = JozT J: J:(p sen 4)’kp’sen 4 dp dd, d0


85rka5 15 .

=- II

18.5.4. Centros de masa y centroides

Considerar una lámina plana de material en el plano. El centro de masa de la lámina es el punto en el que se considera concentrada toda la masa para efectos del cálculo de los primeros momentos alrededor de los ejes coordcnados (ver fig. 18.34). Entonces, si el centro de masa es (Y, y) y la masa del cuerpo es nz, se tendrá

M, = my y M, = m:.

A Y

l . o] I

+X

(a) Centro de masa de un cuerpo plano

Figura 18.34

1 - + y

O 1 I

(b) Centro de masa del mismo cuerpo en posición diferente

Luego x - = - MY - M,

m e Y = ". m De hecho

la localización (2) del centro de masa en relación con el cuerpo es independiente de la posición del cuerpo en el plano

(ver fig. 18.34). Se dan algunos ejercicios que indican la razón de esto al final de la sección (ver ejercicios 12 y 13). Así mismo,

el primer nzomento de un cuerpo alrededor de cualquier eje es el producto de su masa por el valor alyehraico de la distancia del centro de masa al eje.

Se advierte que, en general, no existe un punto en un cuerpo donde pueda considerarse concentrada la masa para el cálculo de momentos de inercia alrededor de cualquier eje (ver ejercicio 14).


Las coordenadas del centro de masa (S, F. 7) para un cuerpo en el espacio se expresan por

M , Z M , , 2 =-. j i =-." - "" Y 7 = - (3 )

U1 171 m

en analogía con (2). Si un cuerpo es homogéneo con densidad de masa constante, el centro de masa

se denomina centroide del cuerpo, 3 centroide de la región ocupada por el cuerpo. Para calcular el centro de masa se forman los cocientes de los primeros momentos

divididos por la masa. Ya se ha indicado ccimo calcular la masa y los primeros momentos.

Ejemplo 6. Considerar un sólido acotado por el cilindro .xz + y2 = a', y los planos 2 = O y I' = h. La densidad de masa del s6lido en el punto (.x,y, z ) es kz. Hallar el centro de masa del sólido.

SOLL~CION. En el ejemplo 4 se halló que M,, = M,, = O y ,Mr,, = k7w2h3/3. Falta calcular la masa. que se expresa por la integral

Luego

y así el centro de masa est6 en el punto (O, O, 2hi3). ~~

RESUMEN

donde la distanciu es del elernento rllferenciul de Golumen Lix d y rlz al plano.


El segundo momento o momento de inercia del cuerpo alrededor de un eje es

! J J G (distancia del eje)’ . ~ ( x , y , z ) dx dy dz,

donde la distancia es del elemento dijerencial de volumen dx d y d z al eje.

El centro de masa del cuerpo es ( u , y , z ) , donde ” _

Aquí M,, es el primer momento alrededor del plano y , z, etc.

EJERCICIOS

1. La densidad de masa del Brea de un cuerpo que cubre el cuadrado O 6 x d 1, 0 < y < 1 es xy’, en un punto (?(,y).

a) Hallar la masa del cuerpo. b) Hallar el centro de masa del cuerpo.

2. Considerar un cuerpo plano que cubre la región plana acotada por y = x’ y x = y 2 . La densidad de masa del árca del cuerpo es xy, en el punto (x, y). Hallar el centro de masa del cuerpo. [Sugerencia. Utilizar la simetría.]

3. Un cuerpo plano cubre el disco cerrado x’ + y2 < N del plano. La densidad de masa del área es proporcional a la distancia al centro del disco y la densidad de área es k , a una distancia de una unidad del centro. a) Hallar la masa del cuerpo. b) Hallar el primer momento del cuerpo

alrededor de la recta x = “a. c) Hallar el valor absoluto del primer

momento del cuerpo alrededor de la recta x + y = 2a.

d) Hallar el momento de inercia del cuerpo alrededor de un eje perpendicular al plano que pasa por el origen.

4. Hallar el centroide de la región plana

en el interior de la cardioide r = a(1 + cos O ) y en el exterior del círculo I’ = a.

5. La densidad de masa de un cono sólido acotado por x’ + y2 = z’ y el plano z = a es proporcional a la distancia al eje z, con una densidad de masa igual a k a una unidad de distancia del eje z.

Hallar la masa del sólido. Hallar el centro de masa del sólido. Hallar el valor absoluto del primcr momento del sólido alrededor del plano x = a. Hallar el valor absoluto del primer momento del sólido alrededor del plano z = “u. Hallar el momento de inercia del sólido alrededor del eje z.

6. Un sólido en el espacio está acotado por el cilindro y = a’ -. zz y los planos y = O, x = O y x = h. La densidad de masa del sólido es ky. en el punto (x, y, 2).

a) Hallar la masa del sólido. b) Hallar el centroide del sólido, c) Hallar el valor absoluto del primer

momento del sólido alrededor del plano x + y - 22 = 4.

7. Hallar el momento de inercia de una bola


sólida del espacio de radio a y densidad de masa constante k alrededor de una recta tangente a la bola.

8. Hallar el centroide de la región semies- férica del espacio limitada por z = Ja’ - x‘ - y’ y z = O.

9. Hallar el centroide de la región del espacio limitada por z = O, x’ + y2 = 4 y z = 1 + .Y’ + p .

10. Hallar el centroide de la región del espa- ciolimitadaporx = O y x = 4 - y’ - z?

11. Hallar el centroide de la región del espacio limitada en la parte superior por la semiesfera z = JU’ - x’ - y* y en la parte inferior por el cono z = J~X’ + y?

12. a) Demostrar que el primer momento de un cuerpo en el plano alrededor de la recta S = “a es M, + MU.

(Esto se conoce como teorema del eje parulelo.)

b) Se escoge un nuevo origen (11, k) en el plano, cuyo eje Y ’ es la recta y = k y cuyo eje y’ es la recta x = h. Demostrar, a partir de a), que se obtiene la misma localización para el centro de masa de un cuerpo en el plano, relativa al cuerpo, si se calculan las coordenadas del centro utilizando los ejes x e y o los ejes S ’ e ),’.

13. Enunciar el análogo del ejercicio 12(a) para el espacio.

14. Un cuerpo plano de densidad de masa constante k cubre el cuadrado unitario O < x < 1, O < y < 1 en el plano.

a) Hallar el momento de inercia del cuerpo alrededor del eje y.

b) Hallar el momento de inercia del cuerpo alrededor de la recta x = -u.

c) Hallar el punto (.xl,y1) del cuerpo, tal que el momento de inercia del mismo alrededor del eje x o del eje y sea el producto de la masa por el cuadrado de la distancia de (x1, yl) al eje.

d) Hallar un punto (xz. y’) en el cuerpo, tal que el momento de inercia del mismo alrededor de la recta x = -u o de la recta y = - n sea el producto de la masa por el cuadrado de la distancia de (x2, y2) a la recta.

e) Comparar las respuestas de c) y d) y comentar los resultados.

15. El radio de giro R de un cuerpo alrededor de un eje se define por

R = ./%, tal que I = mR2. a) Según la respuesta k/3 del ejercicio

14(a), ¿cuál es el radio de giro alrededor del eje y de un cuerpo plano homogéneo que cubre el cuadrado O < x < l, O < y < l ?

b) De acuerdo con la respuesta

- ( (a + 1)’ - a’) k 3

del ejercicio 14(b), jcuál es el radio de giro alrededor de la recta x = - u de un cuerpo plano homogéneo que cubre este cuadrado’?

18.6. AREA DE UNA SUPERFICIE

Sea z Sea G finita.

= f(x, y ) una función de dos variables con derivadas parciales continuas. una región cerrada acotada en el dominio de .f‘ con frontera de longitud La gráfica de f sobre G es entonces una superficie lisa en el espacio,

como se indica en la fig. 18.35. Hallar el área de esta superficie. La situación es análoga a hallar la longitud de una curva que está sobre un

intervalo [a, h] del eje x, como en la fig. 18.36. En tal caso, se aproximó

INTEGRALES M ÚLTIPLES 653

la longitud de arco sobre un elemento diferencial del intervalo por la longitud ds del segmento de recta tangente que está sobre el elemento diferencial de longitud dx. Para las superficies, se aproxima el área de la superficie sobre un elemento diferencial de G por la porción del plano tangente que está sobre el elemento diferencial de área dx dy.

d.r Figura 18.36

Como aparece en la fig. 18.37, los vectores que corren a lo largo de las aristas del paralelogramo que queda sobre el elemento diferencial de área dx dy son

( d x ) i + (2 d x ) k y ( d y ) j + (E d y ) k .

El área de este paralelogramo es la magnitud del producto vectorial de los vectores, que se obtiene por medio del cálculo

= - (2 dx dy) i - - dx dy j + (dx dy)k. (aa; )


La longitud del producto vectorial es el elemento diferencial OS del brea de la superficie; por tanto,

d s = d(gr + (:Y + 1 d x d y .

En consecuencia, se tiene

Area de la superficie = ji, J F ( : y + 1 dx dy.

Ejemplo 1. Hallar el Brea de la esfera .Y' + + zz = u'.

SOLUCION. Se halla el Area del hemisferio superior z = ,,h?-r,u2 - y?, y luego se duplica el resultado para obtener la respuesta final. Se halla que

Luego,

Este resultado sugiere un cambio a coordenadas cilíndricas, d ~ ) n d c

Así se forma la integral

Se destaca que el integrando es indefinido para r = u, así que se tiene una integral impropia en dos variables, que aún no ha sido estudiada. (Cieométrica- mente, esto sucede porque la superficie es perpendicular al plano .Y, y en I' = u,


de modo que ?z/c7x y dz/dy no están definidas allá.) En analogía estricta con las integrales impropias de una función de una variable, el cálculo es

= $.2 de = azo] = 2.iraz. 2T

O

Duplicando, se obtiene 4na2 como el área de la esfera. / / En ocasiones las superficies se expresan en la forma F(x, y , z) , en vez de

z = f ( x , y). Recuérdese que si F tiene derivadas parciales continuas y d F / d z no asume el valor cero en una vecindad de un punto, entonces la superficie define una función implícita z = f ( x , y) en una vecindad del punto, y, además,

az - d F @ x az aF/d Y ax aF/az dY aF/az ’ Y - - ”_ -

Entonces, se obtiene

- J (aF /ax )~+(aF /ay )2 + (aF/az)’ - l a m 2 1

( 2 )

Si la superficie se expresa en la forma F(x, y , z ) = O, se puede utilizar la última expresión en ( 2 ) como integrando para el área de una superficie. Como ilustración, con la esfera x’ + y* + zz - a’ = O del ejemplo 1 se hubiera podido calcular el integrando como

No son necesarias más ilustraciones de cálculo de áreas de superficies; simplemente se halla

o expresiones análogas si la superficie se proyecta en el plano x, z o en el plano y, 2, y después se evalúa la integral.


RESUMEN

l . El área de una superficie que constu de parte de la grufica z = , f (x, y ) es igual u la integral

que se ecalúa sobre lu región G en el plano x, y bajo la superficie.

3. El área de unu superficie que consta de parte del lugar geométrico F(x, y , z ) = c es igual a la integral

que se evalúa sobre lu regicin G en el plano x, y bajo la superficie.

3. El elemento diferencial de [irea de la superficie es

dS = dm dx dy para la grajficu de z = ,f (x, y)

EJERCICIOS

1. Hallar el área de la porción de la superficie z = $(,y3 ’ + y 3 ” ) sobre el rectángu- l o O Q u < l . O < y Q 2 .

2. Hallar el área de la superficie z = S’ + y’ en el interior del cilindro .x2 + y’ = a’.

3. Hallar el área de la porción de la superficie de la esfera x’ + y* + z’ = u’ situada en el interior del cono z = %/S’ + y’.

4. Hallar el área de la porción de la esfera s2 + y’ + z 2 = a’ en el interior del cilindro S’ + z2 = az.

5. Hallar el área de la porción de la superficie as = z2 - y’ que está en e] interior del cilindro y* + z2 = a’.

6. Hallar el área de la superficie del sólido acotado en la parte superior por z = 4 - S’ - J.’ y en la parte inferior por z = -4 + N? + J.2.


1. Hallar la suma superior .Sz y la inferior s2 f(s,y) = 2.x - 3y sobre el rectángulo que aproximan la integral de la funci6n l < . Y < 3 . - l < y < 3 .


2.

3.

4.

5.

6.

Calcular J? J;‘ (3xy2 - 2y) dx dy.

Expresar j? j / t 2 (x’ - 3xy) dy dx en la forma 1s (x2 - 3xy) dx dy , invirtiendo el orden de integración. No calcular ninguna integral.

Utilizando una integral iterada, calcular el área de la región en el plano acotada por y = x2 e y = x.

Expresar como una integral iterada el volumen de la región en el espacio limitada en la parte inferior por z = x’ + y’ y en la parte superior por el hemisferio z - 4 = JW No calcular la integral.

Hallar la integral de l a función polar

h(r, 8) = r cos O, r > O, sobre el círculo r = 2a cos B.

7. Utilizar integración triple en coordenadas cilíndricas para hallar el volumen del sólido acotado por los paraboloides z = x = + y 2 y Z = 8 - X 2 - y 2 .

8. Hallar la integral de la función en coordenadas esféricas h(p , 4, O) = p cos2 % sobre la bola O < p < a.

9. Hallar el momento de inercia sobre la bola sólida x‘ + y 2 + z 2 d a2 alrededor del eje z si su densidad de masa en (x, y , z ) se expresa por 1zI.

10. Hallar el área de la porción de la superfi- ciede la esfera x’ + y’ + z 2 = u’ situada sobre el plano z = b para O < h < u.


1.

2. 3.

4.

5.

Hallar la suma de Riemann ,Y2 utilizando los puntos medios de los subrectángulos que aproximan la integral de la función . f (x,y) = 3x - 2y sobre el rectángulo - l < x < 3 , 1 Q y Q 3 . Calcular JQ S! (2x4’ - 3y2) dy dx.

Expresar sg +,2xzz d z dx rly en la forma jssx’z dx dy rlz cambiando el orden de integración. No se halla el valor de las integrales. Utilizando una integral iterada, calcular el Brea de la región en el plano acotado por y = l/x y x + y = 5. Utilizando una integral iterada, calcular el volumen de la región en el espacio limitada en la parte inferior por z = O, lateralmente por x = O, y = O y x + y = 2, en la parte superior por z = x2 + y2.

6. Hallar el área de un lazo de la rosa r = cos 38, utilizando integración doble en coordenadas polares.

7. Hallar la integral de la función en coordenadas cilíndricas h(r, 8, z) = rz sen’ O, r > O. sobre l a región limitada en la parte superior por z = 4 + x‘ + y’, en la parte inferior por z = O y lateralmente por x= t y2 = 4.

8. Utilizar integración triple en coordenadas esféricaspara hallar el volumen del sólido limitado por el cono z2 = 3x’ + 3y2 y la semiesfera z = J16 - xz - y‘.

9. Hallar el centroide de la región en el espacio limitada por z = - I y z = 3 - x2 - y2 .

10. Hallar el área de la superficie z = 16 - x* - y’, situada sobre el plano z = 12.


1. Utilizar integración para hallar el ctvolu- men)) de la ((bola tetradimensional de

radio a)) que const: de todos los ccpuntow (x, y, z, w) tales que x’ + y’ + z2 + w2


8. Calcular

( x d s + x 2 y d y - x z d z ) I; ( y z d z + xzdy - z l d z ) ,

como en el ejemplo anterior, simplificando tanto como sea posible.

Los c.jrr.cic,ios rusfuntc~s indican que estu n w w n l l r l ~ i p / r c , r r c . i d n e s l i t ; / p o w c.arnhiar. r.crr.inh/es PII intcCgr(t1r.s rmilfip/t>s.

9. Recuérdese q u e para las coordenadas polares, .Y = I' cos fl e J = I' sen O . a) Calcular tlr y (/J. en términos de las

variables en coordenadas polares. b) Utilizar a) para calcular du A en

términos de las coordenadas polares, simplificando tanto como sea posible.

10. Recuérdese que, para las coordenadas esféricas, se tiene

x = psen4cosf3, y = psen+senO,

z = p cos$.

a) Calcular ds, dy y dz en términos de las coordenadas esféricas.

b) Calcular (/S A (/y A d z , aplicando a) en términos de las coordenadas esfé- ricas, simplificando tanto como sea posible.

11. Considerar jjG ( x - ~ , ) ~ ( 3 , x + 2 ~ ) ~ d r (/y, donde G es el paralelogramo acotado p o r x - ! . = l , u - y = 3 , 3 . x + 2 y = - l y 3 r + 2). = 2. Esta integral es dificil de calcular en coordenadas x, y. Los dos ultimos ejercicios dan la clave del procedimiento. Hacer el cambio de variables II = x .- J.. t' = 3.u + 2y. Despejar x e y en términos de II y 1' y calcular rlx y dy. Después calcular du d y = d.u A dy en tér- minos de d u y d r . Formar la nueva integral en términos de las coordenadas u, r.; asegurarse de que se han cambiado los límites con respecto a u. 1'. Hallar el valor de la integral.

19 Divergencia, los teoremas de Green y de Stokes

Este capítulo proporciona una introduccihn intuitiva de algunos de los teoremas fundamentales sobre integrales del ci~lculo vectorial. Los enunciados precisos y las demostraciones de los casos mils generales de estos teoremas no son propios de un primer curso de cilculo.

19.1. MODELOS FISICOS DEL TEOREMA DE GREEN Y DEI, TEOREMA DE LA DIVERGENCIA

Todos los teoremas que se estudiarh en este capítulo son de la misma naturaleza. Todos afirman que:

Lu inteyrrrl dc r r l q u r l a c~u~ t i r l r r t l sobre l a j r o r l t c r u t l r ol~q1117u rcyitin cs i < / 1 1 ( 1 / u l(r inteqral ((6’ untr c t r r l t i r l u r l r c ~ l t r c ~ i o r ~ r r t l t r sohre / u miswr regitirl ( 1 )

La discusión sobre el significado dc región y frontera puede prolongarse durante semanas. Este curso dc cilculo esti prbximo a finalizar y se dispone de unos pocos días para este tema. El desarrollo seri intuitivo y se espera que no conduzca a equivocaciones. A l o largo de esta seccihn, se supone que todas las funciones consideradas tienen derivadas parciales continuas; por tanto, se puede considerar integrales de estas derivadas parciales.

19.1.1. Una nueva visión del teorema fundamental del cálculo

El punto de partida consiste en una nueva consideración del teorema fundamental del cdculo en el teorema 19.1. Después se describe una ilustración física del teorema 19.1. Esta ilustración se generalizar6 para obtener el teorema de Green en la sección 19.1.2 y el de la divergencia en la sección 19.1.3.

Teorema 19.1 ( Teorenla fundunzenral del ~ ~ í l c u l o ) . Si !‘(x) tient. unu rlerirutla continuu ,f”(x) puru todo x en la reyicin unidinlensionul [N, h], entonces

f ( b ) - f (a) = I;.(.) dx.

DIVERGENCIA, LOS TEOREMAS DE GREEN Y DE STOKES 661

Cuando se enuncia de esta manera, el teorema fundamental es del tipo descrito en (1). Seguramente f ( x ) y f ' ( x ) son cantidades relacionadas)), y los extremos a y h se consideran como la frontera de la región unidimensional [a, h]. Por definición conveniente, se consideraf'(h) - f'(a) como la ((integral)) def(x) sobre esta frontera.

Flujo unidimensional

Para una ilustración fisica del teorema 19.1, considerar un gas que fluye a través de un cilindro largo con sección trunscersul de área 1 y que se extiende de u a h en el eje x, como se muestra en la fig. 19.1. En esta situación ideal, se supone que la velocidad y la densidad de masa del gas dependen solamente de la localización de x a lo largo del cilindro, y son independientes de cualquier otra situación dentro de una sección transversal del cilindro. Este es un modelo de,flujo unidimensional. Tanto la velocidad como la densidad de masa pueden variar con el tiempo, pero se establecerán en un instante en particular para considerar el cambio de la masa total de gas en el cilindro si fluyese como en el instante establecido.

La velocidad se representa por la función vectorial

V = u(x)i

y la densidad de masa por la función escalar [)(x). La función vectorial

F = p(x)u(x)i = f(x)i

se conoce como el rector flujo del fluido. Si éste no variase con el tiempo, entonces, puesto que el área de la sección transversal del cilindro es uno,J'(.u) sería una medida algebraica (con signo) de la masa de gas que pasaría por x por unidad de tiempo. Así, f ( h ) es la masa de gas que sale del extremo derecho del cilindro por unidad de tiempo, y,f(a) es la masa que entra por el extremo izquierdo por unidad de tiempo. En consecuencia,

f (b) - f(a) = { Disminución de la masa de gas en el cilindro por unidad de tiempo. ( 2)

Si se aplica el mismo razonamiento al elemento corto del cilindro entre x y x + Ax, como en la fig. 19.1, se demuestra que

f(x + AX) - f(x) = Disminución de la masa de gas en el elemento cilíndrico por unidad de tiempo.

Figura 19.1

19.1.2. Ilustración física del teorema de Green

V = ul(x, y ) i -t DJX. y ) j

no tiene componente k, tampoco depende de la posicibn O ,< : ,< 1 entre las placas. Se supone también que la densidad de m a s a /)(.Y, no depende de z . El vector flujo

F = ptx, y ) V = P ( x , y ) i + Qix, y ) j ,

donde P r , J.) = /)(.Y, j,)rl(.v. J.) y Q(r. is) = /)(x, J , ) ~ ~ ( . Y . J.). mide el flujo de masa de gas cn cada punto por unidad de tiempo. La dirección del vector flujo es la de la corriente. Para interpretar la magnitud de F, supóngase un cuadrado pequefio que se coloca perpendicular a F en un punto, con el vector flujo en el centro del cuadrado. Cierta masa de gas fluye a través de este cuadrado por unidad de tiempo.

DIVERGENCIA, LOS TEOREMAS DE GREEN Y IIE STOKES 663

1'

c



donde $ac denota la integral de línea alrededor de la frontera de G en la dirección dada por las flechas en la fig. 19.3. Pero

Por tanto, (4) se convierte en

Masa de gas que sale de la regi6n entre y' dy - y ) dxl = [las placas por unidad de tiempo. (5)

Se calcularh de otra manera la masa del gas que sale, es decir, se analizarán separadamente las contribuciones de P ( s , !,)i y Q(.u, y ) j al vector flujo F . El vector P(s,l.)i es la componente horizontal del vector flujo. La regi6n entre las dos placas sobre la tira de anchura r l ~ , que se muestra en la fig. 19.4 es un cilindro con seccibn transversal de irea ( d ~ , ) ( l ) = tly. Con referencia a (3) de la sección 19.1, donde se analizó el flujo a lo largo de un cilindro, y teniendo en cuenta únicamente la componente P(x, J,),

Masa de gas que sale por los extremos - (x, y ) dx = del cilindro por unidad de área de secci6n

[transversal. por unidad de tiempo.

Puesto que el Area de la secci6n transversal del cilindro es dl* (todavía las placas esthn separadas una unidad). se tiene

Masa de gas que sale por los extremos del cilindro por unidad de tiempo.

Por tanto.


Un cálculo análogo con una tira cilíndrica vertical de anchura dx y la componente Q(x, y ) j de F demuestra que

I Masa de gas que sale de la región entre

2 debida a Q(x, y ) j . aQ (x, y) dx dy = las placas por unidad de tiempo,

Así

placas por unidad de tiempo. Masa de gas que sale de la región entre las

(6)

Si se comparan (5) y (6), se tiene

que es de nuevo una relación de la forma (1). La ec. (7) se conoce como teorema de Green.

Teorema 19.2 (Teorema tie Green). Para una regibn plana apropiada G , y para .funciones P(x , y) y Q(x, y ) con tlericadas parciales continuas,

En la integral de linea, (:G se recorre en la dirección que mantiene G a la izquierda.

La ec. (8) se enuncia a menudo en forma vectorial, para reflejar el modelo físico que se utilizó como ilustración. Sea F = P(x , y ) i + Q(x, y ) j un vector flujo. Se presenta un operador simhdlico

donde V se lee ((nabla)),. En símbolos se tiene

- d P a Q ax ay ” +“.


Se obtuvo la misma respuesta al ilustrar el teorema de Green. Evitlentementc. la integral de irea fue rnucho m i s f2cil de calcular que l a integral dc linea en este caso. ~i

19.1.3. El teorenla de la divergencia

Figura 19.5


el vector flujo del fluido en (x, y, z ) de la región. Sea n un vector unitario normal a la superficie frontera y dirigido al exterior de ésta en un punto, y sea rlS una pequeña porción ((diferencial)) de superficie en tal punto. Entonces la masa del gas que sale de la región G por unidad de tiempo se expresa por

I L L F n) dS, (10)

razonando como en el artículo anterior.

La contribución de la componente z R(x, y, z)k de F a la masa que sale de G se calcula hallando la contribución del cilindro con sección transversal de Area d.u d J 3 .

que se muestra en la fig. 19.5, y sumando esas contribuciones sobre toda la región C. Evidentemente, se obtiene

razonando como en la sección 19.1.2. L a masa total de gas que sale de la región por unidad de tiempo es entonces

que también se escribe

donde ahora

En los ejercicios se pide ilustrar el teorema de la divergencia para una regibn en forma de caja cuyas caras son paralelas a los planos coordenados. Las ilustraciones para regiones con fronteras curvas más generales se dejan para después


del estudio de las integrales sobre tales superficie. Se aprovechó la oportunidad que brindaron los argumentos sobre el flujo de gas para presentar el teorema de la divergencia.

RESUMEN

4. (Teorema de k r riilwyencicr). Setr F = P(x, y, z)i + Q(.u, y, z ) j + R(x, y , z)k un crrrnpo lwtoritrl continucrnwnte tleriruble sobre una regicin upropiada C en el espacio y crryr~jiontera es la superficie ?G. Entonces

donde n es un l?ector unitario nortnal a c?G dirigido hacia el exterior de la ,fronteru, dS es un elemento difkrencial del &rea de la supetficie, y V es el operador simbólico

a a a V = - i + - j + - " . ax a y az

i*


13.

14.

Sea (; una regihn donde el teorema de Green es \idido. Si G esti en el dominio de /.(.x,y), hallar una integral dc línea alrededor de i.G igual a jj.(V . V f ) rlx dy.

Seguir los pasos indicados para ilustrar el teorema de la divergencia para el campo vectorial F=\-’_’i+.\--j+.\-!.’(-+ I)k y el cubo unitario G con un vkrtice en el origen y cl vkrtice opuesto diagonalmente en ( 1 , I , 1 ). a ) i ) Calcular ( F . n) ?IS sobre la

cara cuadrada de G en el plano coordenado .Y. J., donde z = O. Aquí

n = - k y dS = dxdy.

i i ) Calcular jS ( F . n) tiS sobrc l a

cara cuadrada de G en el plano z = 1. Aquí

n = k y dS = dxdy.

i i i ) Proceder como en i) y ii) para hallar las integrales SJ’ ( F . n) tlS sobre las caras cuadradas de G en los planos y -7 O e 1. = 1 .

iv ) Proceder como en i ) y I¡) para hallar las integrales j[ ( F . n) rlS sobre las caras cuadradas de G en los planos .x = O y .Y = I .

v) Sumar las seis respuestas hnlla- d a s de i ) a iv ) para obtener

b) Calcular {jj(, (V * F ) dz rly dl: la respuesta debe ser l a misma de v ) de la parte irl .

SS;(; ( F . n) dS.

19.2. EL ’I’EORE!MA DE GREEN Y SUS APLICACIONES

De nuevo se supone que se tiene la nocihn correcta de una region plana (; y s u frontera C G , trazada de tal forma que G queda siempre a la izquierda. Una región es trcw/trt l tr si toda ella esti situada en el interior de algiln cuadrado suficientemente grande, y es c ~ r r d u si se considera que la frontera es parte de la regihn.

19.2.1. Demostración del teorema de Green

Rcyiorws sinlpks

Se acostumbra demostrar primero el teorema de Green para un tipo especial de repibn G, y luego extenderlo a regiones mlis generales por descomposici6n en regiones de tipo especial. Se dice que una regiSn G es ~ i n ~ p l e si una recta paralela a uno de los ejes coordenados ( ‘ r ~ r z ~ r la frontera de G en dos puntos a lo sumo. (Se permite que tal línea c ~ ~ i n c a i t l u con la frontera por todo un intervalo.) Las regiones que se muestran en la fig. 19.6 son simples.

Se observari que el teorema de Green en la forma siguiente difiere muy poco en notacihn del teorema 19.2 de l a dtima sección. La sustitucih Q(s, J.) = - P ( s , y) y P ( x , J)) = Q(.u, J.) en el teorema 19.2 da lugar a (1) en el teorema 19.4. L a razón para el cambio de notación se veri más tarde en esta sección. Teorema 19.4 ( Teorenla tie Green pLrrLi regiones s imp/es ) . Scw G unll reyidn u o t u d a , simple 11 cerrudu rn el pluno con jrontera c‘G. S i P ( z , y) y Q ( x , y ) s o n firnciones c*ontinuat?wnte deriwhles tlgfinidus en G , entomvs

672 CÁLCULO CON G E O M E T R Í A ANALíTICA

I)c.rllo.sl,.trc.i~jI!. Como G es un:i rcgi6n simple. i G se separa en una curva ccsuperiorn y una ((inferior)), por medio de rectas c(laterales)), como en la fig. 19.7. Las curvas superior e inferior se parametrizan por el paritmetro S ; las ecuaciones paramitricas de dichas curvas son

como en la fig. 19.7, La integral { P(r, ) S ) r l z cn una porci6n de iG que consta de los segmentos de recta verticales es cero, puesto que .Y permanece constante. y así ((.Y = O en uno cualquiera de tales segmentos. En consecuencia, según l a fig. 19.7. se obtiene

k I ' P (2) P(x, y ) dx = P(x, u(x)) dx + P(x, v(x)) dx,

donde figura el signo integral I$, de derecha a izquierda. puesto que la curva superior se recorre de derecha a izquierda. De ( 7 )

y=-u(x)

[P(x, u(x)) - P(x, v(x,)] dx = -P(x, y ) I" I,=,,,, dx


Un razonamiento anilogo, que se solicita en el ejercicio 5, muestra que

que es lo postulado por el teorema. U

El resultado del teorema.19.14 se extiende naturalmente a regiones que puedan descomponerse en números finitos de regiones simples. Considerar. por ejemplo, la región de la fig. 19.8. Esta región G no es simple, pero puede descomponerse en las dos regiones simples G I y G 2 separadas por la curva y 3 de la figura. Se introduciri alguna notación algebraica conveniente. Si y 3 es la curva trazada en la dirección de la flecha en la fig. 19.8, - y 3 ser5 la curva trazada en la dirección opuesta. Por integrales de línea se sabe que

1 , ? i, (5) ( P d x + Q d y ) = - ( P d x + Q d y )

(ver capítulo 17, sección 17.5, ejercicio 14). Simbólicamente, se escribe ? G I = y1 + y 3 y i G , = ;'2 + y3 . En vista de (5), se tiene simbólicamente

donde el integrando P t i u + Q d y se omitió para abreviar. Cuando el teorema 19.4 se aplica a regiones simples G I y G 2 indica que

, X

Figura 19.8

Figura 19.9

SOLL;CIÓN. Sea el circulo interior trazado en la direcci6n de las manecillas del reloj y que se parametriza por

x = h , ( t ) = 2 cos t , y = k , ( t ) = -2sen t para0 I t 5 277,


y sea y 2 el círculo exterior trazado en la dirección contraria a la de las manecillas del reloj y que se parametriza por

X = h 2 ( f ) = 4 COS t, y = k2(t) = 4sen t para O S t S 2 7 . Entonces

J YI+YI 1. .L (xydx - x d y ) = (xydx - x d y ) + (xydx - x d y )

= IozT [8 cos tsen't + 4 coszt] dt

+ [-64 cos t sen2[ - 16 cos't] dt

= 5:T[-56 cos tsen't -- 12 cos't] dt

= [-56 sen3 - t - 12(f + 'y)]] 277

3 o

= -12 - = -127r" 27r 2

Por otra parte, utilizando coordenadas polares se obtiene

19.2.2. Independencia de la trayectoria

676 CALCULO CON GEOMETRíA ANAL.íTICA

Suponer c > O ; un argumento anhlogo es vhlido si c < O. Por la continuidad de ?Q,'?.Y - i P , ? ) . , existe algún disco circular pequeño D de radio I-: > O en el interior de C; con centro en (.yO. en todo punto del cual ( iQ/?u - i P / i ~ , ) > (.;/I. Sea ;' la curva cerrada que consta del círculo frontera de este disco, trazado en direcci6n contraria a la de las manecillas del reloj. Entonces

DIVERGENCIA. LOS TEOREMAS DE GREEN Y DE STOKES 677

así, por el teorema de Green,

que contradice la hipótesis de que una de tales integrales sobre toda curva cerrada es igual a cero. Luego la suposición que se hizo es falsa, y

ap( =S( 3Y (X0,YO) ax (X,,,Y,J

para todo (xo, yo) en G pero que no está en la frontera. Pero entonces r'P/?y = ?Q/?x en todos los puntos, incluidos los de la frontera, puesto que las derivadas parciales son continuas. 0

19.2.3. Aplicación a la circulación de un fluido

Sea F = P(x,y) i + Q(x, y)j el vector flujo de un fluido sobre una región G. Ya se ha visto una interpretación física del teorema de Green en términos de la divergencia del flujo, que mide la rapidez de salida de la masa en G. Esta interpreta- ción surge de integrar la componente normal hacia el exterior del vector flujo sobre la frontera de G.

La integral de la componente tangrncictl del vector flujo sobre la frontera mide la rotación o circulucidn del fluido alrededor de la frontera de C. Un vector unitario tangente es

dx dy

ds ds j ' t = -i -+ -

La circulación alrededor de ?G es

Según el teorema 19.4,

Circulación del fluido alrededor de ;G = f, ( F t) ds = f, ( P d x + Q dy)

(La notación del teorema 19.4 se cambió con respecto a la del teorema 19.2 precisamente para ilustrar esta aplicación del teorema de Green.) La cantidad escalar r"Q/c'x - c'P/c'y mide así la tendencia del fluido a rotar o orwoscurse en todo punto (x, y). Esto puede verse si se toma un disco muy pequeño con centro (x, y) como la región C. Por esta razón se escribe

aQ a~ ax ay

rot F = - --

678 CALCULO CON GEOMETRIA ANALITIC 4,

DIVERGENCIA. LOS TEOREMAS DE GREEN Y DE STOKES 6-79

EJERCICIOS

1. Sea G la región entre los dos cuadrados b) Detnostrar que con centro en el origen y lados de longitudes 2 y 4. Ilustrar el teorema de Green para P(.Y, y) = y’ y Q(.Y,J.) = -.y3; es [I; ( r o t E ) (/u t / y = [i, ( r o t F ) (/.Y (/,v. decir, para el campo vectorial F = ~ , ~ i - x 3 J . 4. Sea [; una regibn simple. cerr:rd;r y acota-

2. Sea F un campo vectorial en el plano. Suponer que l as integrales ( F . t ) I / . \ que se toman en sentido contrario al de las manecillas del reloj alrededor de los círculos .y2 + y’ -= I(H) y .Y’ + J,: = 25 son 35 y -24, respectivamente. Hallar SSG (rot F ) ds (/J., dnnde G es l a r e g i h entre los dos circulos.

3. Sean E y F dos campos kcctoriales en una región simple. cerrada y acotada, C;. Suponer que E = F e n todo punto de iC;.

5. Demostrar la ec. (4) que aparecc en la demostrnción del teorema de Green que se da en este texto.

a) Demostrar que 6. Sea C; una region plana que pwdc descomponerse en un nilmero rinito de 1-e-

giones simples. La frontera de l a regibn es una curva suave por tramos ;*. Aplicar

b'igura 19.10

9.

I o.

I I .

12.

13.

14.

1.5.

16.

17.

DIVERGENCIA. LOS TEOREMAS DE GREEN Y DE STOKES 681

en G, describir tod:rs las funciones potenciales de aE + hF.

18. Considerar el campo de fuerzas F = 2 r y i + x2j en el plano. a) Demostrar que el campo es conser-

b) Hallar una funci6n potencial para el campo.

c) Hallar la energia potencial u(.Y.!.)

del campo, tal que u(O, O ) x 5. d) Hallar el trabajo realizado por el

campo para lnoser un cuerpo del punto ( I , - 1) a l punto (2. 1).

vativo.

19. Sea F u n campo de fuerzas en el plano. La posicion de u n cuerpo en el plano en el tiempo t se expresa por .Y = / I l ( t ) , y = h z ( r ) para ( I < r < h. Sea A la posicibn cuando I = (I y B cuando r = /J.

Sea W ( A , B) el trabajo realizado por el campo para mover el cuerpo de ,4 a B para (I < t < h. Demostrar que

W(A, €3) = :ntlu(b)12 -

;mlu(a)l' = k ( b ) - k(L0 ,

donde k ( r ) = i m l r ( f ) l z es la em J ' m cin4ti- ('ti del cuerpo en el ticrnpo r . [Srr~qcrmcicr. Utilizar F ( t ) = rl~a(r) = rno'(r) y r/r.t/r = L.([) para expresar W(A. U) = ( F . dr) en términos de v.]

20. Siguiendo con el ejercicio demostrar que si F es el campo de fuerzas para una funcihn potencial 11. entonces u ( A ) + k ( A ) = t r ( H ) + k ( B ) ; p r tanto. la suma de las energías potencial y cinética permanece constante. (Obsirvese que es posible escribir u y k como funciones de posicio-

21.

nes en el plano puesto que F es un campo de fuerzas conservativo: por tanto, el trabajo del ejercicio 19 es independiente de I n trayectoria.) Por esta razón un campo de fuerzas como éste es ('/M-

srrruriro.

Una carga eléctrica positiva en el plano, en el origen, ejerce una fuerza de atracción sobre una carpa negativa unitaria en el plano que es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entrc l as cargas. La fuerza de atraccion sobre una carga unitaria negativa en ( I . 01 es de k unidades. a) Hallar el campo de fucrzas generado

por l a carga en el origen. b) Demostrar que cl campo de fuerzas

en a) es conservativo, hallando una función potencial; la funcihn es el porcnc,itr/ n c w f o n i t r n o .

c) Aplicando la respuesta de b), hallar el trabajo realizado por el campo para mover una carga unitaria negativa de (O. 2) a ( 2 , 3).

22. Sea II una Iinci6n potencial de u n campo de fuerzas conservativo F en el plano. Las curvas de nivel de u se denominan ( ' ~ ~ r r m cy1ripotcnc.itrIr.s. a ) ;,Qué relación geombtrica existe entre

el campo F y sus curvas equipotenciales'?

b) Si 7 , y ;'? son curvas equipotenciales, demostrar que el trabajo realizado por el campo F para mover un cuerpo desde un punto P , en 7 , hasta un punto P , en ; b 2 es independiente de l as selecciones de P I en y l y P z en y2.

19.3. TEOREMA DE STOKES

Recuérdese el teorema de la divergencia de la sección 19.1, el cual establece que si F = Pi + Qi + Rk es un campo vectorial continuamente derivable sobre una regi6n G del espacio cuya frontera es una superficie ?G, entonces


19.3.1. Integración sobre una superficie

Aquí n es el vector unitario normal it la superficie iG y dirigido hacia crfirrr~r. En l a sección 19.1 no se iIustr0 el teorema de la divergencia ( 1 ) . Es necesario explicar primero como integrar la componente normal de u n campo vectorial F =: Pi + QJ t R k sobre una superficie. Se puede calcular F n si se conoce n; se presume que se da F. Ahora bien. si la superficie se expresa en la forma z = , f ( .x. J.), u n vector normal es

af af ax ay - - i + - j - k ,

por tanto, I

Es mejor ver por medio de un dibujo cui11 es el signo adecuado para la normal hacia r/firer.cl. Segiln la secci6n 18.6, se sabe que

"______ d S c'(f,)2 + (f,,)' + 1 dx dy

es la diferencial de Area de la superficie.

/'(.Y, J', :) = c ~ . Entonces un vector no1~1a1 es , f l- i + /;.j + fik; por tanto. Por otra parte, se supone que la superficie i G se expresa en términos de

Ejemplo 1. ilustrar el teorema de la dikergencia ( 1 ) para el campo vectorial

F = x i + y j -t 2 z k

sobre la región G, que es el tetraedro con vértices (O, O. O). ( 1 , O, O), (O. 2 . 0 ) y (O. O, 1 ) de la fig. 19.1 I .


SOLUCION. La integral de volumen es

= 4(volumen del tetraedro) = 4.'. 1 . 1 = $

Ahora se regresa a la integral siic ( F * n) dS sobre los cuatro triángulos que conforman la superficie del tetraedro. Para el triángulo en el plano x, y , n = - k , z = O y d S = dx rly, de modo que la integral se convierte en

jol jO2-*' [(xi + y j ) (- k ) ] d y dx = Io1 ~oz-2' O dy dx = O.

De manera análoga, las integrales sobre los triingulos en los planos x, z e y , z son iguales a cero.

Ahora debe hallarse la ecuación del plano frontal de la región que está determinada por los puntos (1, O, O), (O, 2, O) y (O, O, 1). Un vector perpendicular al plano es

11: a = 2 i + j + 2 k ,

así que la ecuación del plano es

2x + y + 22 = 2 .

Para este triángulo frontal, según la ecuación 2x f y + 22 = 2 de su plano, se ve que

Y

por tanto, la integral queda

~ , ' ~ " ' [ $ x + ~ y + ~ ( 1 - - x - ~ ) ] ~ d y d x Y 3

= [62-2'(2-x-;)dydx

= 6' [ 2 ( 2 - 2x) - x(2 - 2x) - -(2 - 2 ~ ) ~ dx 1 4 1

= J, ( 3 - 4x + x') dx

= ( 3 x - 2 x 2 + q 1 = 3 - 2 + - = - 1 4 3 0 3 3 '

684 CÁLCULO C O N GEOMETRíA ANALíTICA

19.3.2. El rotacional de un campo vectorial

Sea F = Pi + Q j + Rk u n campo vectorial en el cspacio. El rotational de F es el r r c ' t o v definido por el determinante simb6lico

( i j k i

r o t F = V x F - - -- -- i ( 3 a i r ; idx a y d z ~ '

¡ P Q R '

Obsérvese que rot F es un r rc ' tor . La definici6n de rot F como una cantidad escalar en la seccibn anterior fue un recurso provisional al estudiar la rotacibn de u n flujo en el plano, y se explica miis adelante en el ejemplo 3.

Ejemplo 2. Si F = x~i + ~ . ' j t- ~.z'k, entonces

Se ve que lo que se design6 ro t F en in secci6n 19.2 para F = Pi + Qi era realmente la componente k de rot F , considerado conlo un vector en el espacio. '~

19.3.3. Teorema de Stokes

No se intentarA demostrar el teorema de Stokes. pero se enunciari someramente. Dicho teorema es la generalizacihn del teorema de Green a una superficie bidimensional G en el espacio. Por ejemplo. (; podría ser la superficie de l a fig. 19.12. (El teorema no es vAlido para algunas superficies ((de un solo lado)). que no se describirhn.) La fig. 19.12 también muestra u n vector n unitario normal a G en un punto, e indica por medio de flechas una direcci6n alreciedor de iG. Las direcciones de n y alrededor de i G siempre se relacionan de modo que cuando los dedos de la mano derecha señalen la direccibn alrededor de iG, el pulgar


J


apunte en la dirección de n (una regla de la mano derecha). Esto se ilustra en la fig. 19.12. Para vincular esto con G y i G dentro del teorema de Green en el plano, obsérvese que esto significa que cuando una persona camina a lo largo de ?G, con la cabeza dirigida hacia n, tendrri a la izquierda la región G.

Teorema 19.6 (Teorentu de Stokes). Si G es m u superfkir aprnpiurlu rn e l espucio y F = P i + Q j + Rk es un cumpo rectorial continuumente derivable, entonces

En otras palabras, la integral de la componente tangencia1 del campo vectorial alrededor de c?G es igual a la integral de la componente normal de rot F sobre la superficie G. Si F es el campo vectorial de un flujo, se interpreta que la circulación alrededor de i G es igual a l a integral de la componente normal del rotacional sobre G, que mide la rotación del fluido en cada punto, y la componente normal mide la porción de esta rotación que actúa tunyente a la superficie. Recuérdese que la dirección de un plano tungrnte a una superficie se especifica por una direccihn nnrnzul a la misma.

Ejemplo 4. Si G esti en el plano x, y, entonces n = k y dS = dx dy. Si R(x, J., z ) = O, así que F L- Pi + Qj, entonces, segun el ejemplo 3,

La ec. (4) se convierte en

Este es el teorema de Green, que es entonces un caso especial del de Stokes. I /

686 CALCULO CON GEOMETRÍA ANALíTICA

Ejemplo 5. Ilustrar el teorema de Stokes si la superficie G es la semiesfera z =

v’ @x - !tz de la fig. 19.13. 4 ”” -

F = y z i - x z j + 3k.

SOLUCION. Ahora bien.

1 n = - ( x i + y ] + z k )

U

y la fis. 19.14 muestra que pueden usarse coordenadas esfkricas, tomando

dS = (u sen # dB )(a d4) = a’ send, d# dB.

T’ambitn

En consecuencia,

= a(1 - 3 cos2 4) . Entonces

r r r 2.rr r rrI2

r 2% 1 n!2

- U d h

Figura 19.14


f=- i+- dx d y j + Ok ds ds

Puesto que ?G esti situada en el plano z = O. se ve que F = Oi + O j + 3k. Por tanto. F t = O, asj $ p ( F - t ) cis = O también, y esto ilustra el teorema de Stokes. j /

RESUMEN


8.

9.

I O.

1 I.

12.

13.

ficie cilíndrica .Y' + y 2 = (1' ent1.e z = O y z = h, n es l a componente normal hacia afuera y F = Y:¡ + (4 -t :'j + ycY.xk

( F - n ) ( I S , donde F = 4 z i + S y j - - . i z k , (; es la esfera x' + y' + z z = < / 2 . y n es l a componente normal hacia afuera.

{jc [ (V x F ) . nJ </S, donde (; es la por- ción de l a esfera .x2 + y' + ? = 16 / l u j o el plano 2 = 2. n es la componente nornlal hacia afuera y F = y:¡ + 3\:j + z'k.

Sea G una regibn tridimznsional donde se aplica el teorema de l a divergencia. Iltilizar el teorcrna para demostrr que

-t zk) * n] dS.

Sea F un campo vectorial continuamente derivable en una superficie G en el cspacio. a) Demostrar que si F es nornlal al vec-

tor unitario tangente t en todo punto de ?G, entonces SSc; [(rot F ) + n] OS = o.

b) Demostrar que si el vector rot F es tangente a G en todo punt(> de G, entonces Ipi, ( F . t ) r / s = O.

Utilizar el teorema de l a divergencia para la regihn o 2 < x ' + + z 2 6 h' para demostrar que el vector flujo del campo gracliente F de la funcihn potcn- cia! newtoniana ( x z + JJ + z2 ) ~' ' a travts de una esfera con centro en el origen es independiente del radio de la esfera.

Un campo vectorial F en una regidn del espacio es ir,ofrrciorzrr[ si rot F = O en toda la región. Demostrar que la circulacihn de un campo vectorial irrotacional alrededor de toda trayectoria cerrada suave por tramos, que sea la frontera de una superficie apropiada G situada dentro de la región, es igual a cero.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

Un campo vectorial F en una regicin del espacio es trlcomplesihlc si V . F = O en toda la regi6n. Demostrar que el vector flujo de un campo F incompresible a travCs de la frontera de toda bola en el interior de la regi6n es igual a cero.

a ) Demostrar que V (rot F ) = O para un campo vectorial en el espacio dos veces continuamente derivable.

b) Demostrar que V x ( V f ) = O para una funci6n de tres \ariables dos veces continuamente derivable.

A menudo se escribe V 0 ( V f ) como V2f. Demostrar que para una región G apropiada en el espacio se tiene

ljij (V'f) dx dy d z = (Vf n) d S

para una funcih f de tres val-iablcs dos veces continuamente derivable.

Inttntese demostrar. a partir del teorema de Stokes, que si G es una superficie q ~ t e es In frontera completa de una región tridimensional apropiada, entonces

I 1,;

Jicj [(V X F ) * n] d S = O

para todo campo vectorial continuamente derikable F .

Sea F un campo vectorial dos veces continuamente derivable, y sea G una región tridimensional en el espacio donde se aplica el teorema de l a divergencia. Demostrar que

I Id, [(rot F) - n] d S =

V * (rot F ) dx dy dz.

Utilizar los resultados de los dos Últimos ejercicios para demostrar que para F y G , tal como se describieron en el ejercicio 18,

jjIG V * (rot F ) dx dy d z = O.

DIVERGENCIA, LOS TEOREMAS DE GREEN Y D E STOKES 689

20. Según el ejercicio anterior y sin efec- torial F dos veces continuamente deriva- tuar cálculos, inténtese demostrar que ble. En el ejercicio 15(a) se pidió esta V (V x F ) = O, para todo campo vec- demostración por medio de cilculos.


1.

2.

3.

4.

Enunciar el teorema de Green.

Aplicar el teorema de Green para calcular

5, [ xy dx + (x’ + Y ’) dyl

donde 7 es la frontera de la región G acotada por y = Y ’ e y = 4.

Enunciar la forma vectorial del teorema de la divergencia y explicar su interpre- tación para el vector flujo F de un fluido.

Sea F el campo vectorial

F = x’i + y’; + z’k.

Aplicar el teorema de la divergencia para calcular SSic ( F - n) [/S, donde G es

la regibn acotada por z = x’ + y’ y z = 4.

5. Sea F = P i + Qi el vector flujo continuamente derivable de un fluido en el plano. Dar las condiciones para que F sea: a ) Irrotacional. b) Incompresible.

6. Sea F = xyz’i + 2yzj - u3k. a) Hallar rot F . b) Hallar la divergencia de F .

7. Sea F = 4 i + x z j - x y k . Aplicar el teorema de Stokes para hallar j j ~ [(rot F ) n] dS , donde G es la superficie x = y’ + zz para O < x < 9, mientras se escogen vectores n tales que sus componentes i sean positivas.


Enunciar una forma vectorial del teorema de Green.

Aplicar el teorema de Green para hallar la circulación del fluido con vector flujo

F = x i + 3xyj

alrededor de la frontera de la región plana acotada por

2 x = y y y = x - 2 .

Una bola de densidad de masa 1 tiene como frontera la superficie esférica cuya ecuación es

x’ + y ? + z 2 = a z .

Demostrar que el momento de inercia de la bola alrededor del eje z es igual a

donde n es la normal hacia el exterior de la esfera.

4. a) Dar la condición para que un campo de fuerzas F = Pi + Q j en el plano sea conservativo.

b) Demostrar que el campo de fuerzas F = y2i + 2xyj es conservativo, y hallar una función potencial u.

690 CALCULO CON GEOMETRIA ANALíTICA

c) Hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas en bi para mover un cuerpo de ( - I , 2 ) :\ ( 3 . - I ).

o


2. Demostrar que si IO = P dx A dq' A dz, entonces d o = O.

3. Observar que si w es de orden I', entonces do es de orden r + 1. Calcular dm, simplificando tanto como sea posible.

a) w = xydx - x'dy

b) w = xz dx A dy - yz' dx A dz

7"otlos los teormlus principales de u t e ~ ~ u p í ~ u l o se pueden euprmar en la j¿)rmd siguiente, como SP pide en los tjerc.ic.io.7 restmtes.

Teorema generalizado de Stokes. Si UI es una forntrr diferencirrl de orden r con coclficientes continuczmenr~dericrrhles P, Q, etc., J si G es unu regitjn adecucltla de dintensidn ( r + 1). enronces

P i x , y, z', dx A dy A dz

I e *

= -IG P ( x , y, z) dz A dy A dx.

etcétera.

4. Si G es una región unidimensional que consta de una curva que une el punto A con el punto B, entonces ?G es la expresion simbólica B - A . La integral de una función,f(una forma de orden O) sobre ?G se define como f ( B ) - í ( A ) . Demostrar que s i o = í ( x ) y G es el segmento de recta [a, h] de (1 2 h, entonces (1) se reduce al teorema fundamental del c8lculo.

5. Enunciar ( I ) para el caso especial w = f(x, J',z) y G es una curva y que une A = ((z,, a 2 , u 3 ) con B = (hl, h2, h,) en el espacio. (Ver el ejercicio anterior.)

6. Enunciar (1) para to = P(x, y) dx + Q(u, y) rly en el plano y G es una región plana. Simplificar el enunciado !anto como sea posible. ¿Que teorema conocido se obtiene?

7. Enunciar (1) para U J = P ds + Q ( 1 ~ + R ilz y G es una superficie en el espacio. Simplificar el enunciado tanto como sea posible. ¿Qui teorema se obtiene'?

8. a) Enunciar ( I ) para 01 = P rly A d z + Q tlz A rlx -t R r lu A i l ~ , simplificando tanto como sea posible.

b) Comprobar que el enunciado obtenido en a) es equivalente al teorema de la divergencia.

20 Ecuaciones diferenciales

20.1. INTRODUCCION

20.1.1. La noción de una ecuación diferencial

Una rcuncidn rliftrrnciclI es la que contiene derivadas ( o diferenciales) de una ((función inc6gnita))f: Resolver una ecuación diferencial es hallar todas las funciones incógnitas posiblesfpara las cuales se satisface la ecuación. Las primeras ecuaciones diferenciales se encontraron en el capitulo 5, como problemas de antiderivación. Por ejemplo, la .soluc,icin q~wrr t r l de l a ecuación

" dy - x2

d x

es 1 3

y = f(x) = - x 3 + c,

donde C es una constante arbitraria porque esta expresi6n incorpora totlus las soluciones de t iy lr l .~ = .y2. Esta ecuacibn es de orden 1, puesto que solamente las derivadas de orden 1 (es decir, las primeras derivadas) aparecen en la ecuación. El ovtlen de una ecuación es v si ésta incluye una derivada r.-ésima, tal como d ' ' ~ ~ / d ~ ~ , pero no de orden m8s alto. Así, la ecuación

" d2Y - x2

d x 2

es de segundo orden. Al resolver la ecuacibn se tiene

dy 1 - = - x 3 t c, d x 3

así 1 12

y = f (x) = - x4 + c,x + c2

es la solución general. Sin entrar en detalles, se espera que la solucibn general de una ecuación diferencial de orden n contendri n constantes arbitrarias.

ECUACIONES DIFERENCIALES 693

Una ecuación diferencial de orden 1 no tiene que ser de la forma riyldx = g(x). Recuérdese que se consideraron ecuaciones como

dY - = y2x dX

en el capítulo 6, y se resolvieron por separación de variables:

-1 -2 y = f(x) = (x2/2) + c x 2 + 2c

- -

Esta técnica se repasará en la sección 20.2.

20.1.2. Interpretación geométrica de la ecuación y' = F(x , y)

Sea F una función de dos variables. Considérese la ecuación diferencial y' = F(.Y, y). Si y = h(x) es una solución de esta ecuación, entonces para todo .x en el dominio de h debe tenerse

h'(x) = F(x, y) = F(x, h(x) ) .

Ahora bien, h'(.u) se interpreta geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de h en el punto (x, y ) = (x, h ( x ) ) . Así, si F es una función conocida, la ecuación y' = F(.x, y ) permite hallar pendientes de tangentes a soluciones en puntos (x, y) en el dominio de F . Si se traza un segmento de recta corto de pendiente 171 = F(x, y) en cada uno de tales puntos (x, y), se obtiene el cumpo tie direccicin de la ecuación y' = F ( x , y). Si se dibujan algunos de esos segmentos de recta en el campo de dirección, es posible obtener gráficamente alguna información acerca de las soluciones de la ecuación diferencial. Se ilustrará con dos ejemplos.

Ejemplo 1. Dibujar el campo de dirección de la ecuación diferencial y ' = -x/y.

SOLUC~ÓN. Un recurso útil para dibujar campos de dirección es hallar todos los puntos (x, y ) donde los segmentos del campo tienen una pendiente dada c. Para una ecuación y ' = F(x, y), el lugar geométrico de tales puntos es la curva

F ( x , Y) = c ,

Para funciones simples F , esta curva es fácil de dibujar. En el presente caso,

y la ecuación F(x, y ) = c adopta la forma "x -1

Y " - C, O y = "x donde y # O.

C

sc tiene

ECUACIONES DLFERENCIALES 695

Ejemplo 2. El campo de dirección de la ecuación diferencial y ‘ = .Y se dibujó e r la fig. 20.2. Esta vez los segmentos de pendientes iguales n 1 = c están sobre la recta vertical x = c. De nuevo se han estimado algunas gráficas de soluciones a partir del campo de direccicin: en esta ocasicin, las curvas de solucicin parecen parábolas. Naturalmente, es posible resolver J, ’ = x y se obtiene como solución general

++c,

que es efectivamente una coleccicin de paribolas. 1 )

20.1.2. Un teorema de existencia

Se enuncia sin demostración un teorema de existencia de soluc~oncs de una ecuacibn diferencial y ‘ = F(.Y, y). Es posible debilitar u n tanto las hipbtesis del teorema y mantener l a validez de la conclusih; sin embargo, cl enunciado es suficiente para nuestras nccesidades.

.~ ~ ” 2 I’

,,, == ~- 2 f ,, = 2

Figura 20.2

Teorema 20.1. Sea F una funcicin continuu de (10s cariuhles ctryo tlorninio contiene una cecindad (x - .uo)’ + ( y - yo)’ < r L de (xo, yo), doniie f.’, exisre y es conrinua. Entonces, existe un núnlero c > 0 y unafuncidn deriruhle h(.x) pura x0 - c < x < x. + c tal que y = h(x) seu una solucicin d e h ecuución difi.renciu1 y ’ = F ( s , y) y t u l que yo = h(xo). Además, h es la única de tules funciones con tlonlinio x. - c < .Y < x. + c.

El teorema 20.1 postula esencialmente la existencia de una solución (única) de y’ = F(x, y) que pasa por cualquier punto (x,,, yo) , siempre que F exista y sea


continua en alguna vecindad de (.yO, En la fig. 30.3 se ilustra grrificamente el teorema. También se ilustra con los campos de direccicin que se muestran en las figs. 20.1 y 20.3.

Para hallar l a solucihn J. = h ( r ) de una ecuaci6n diferencial y ' = F(.Y, J) tal que yo = h(?c0), se procura hallar primero la s o l u c Y r i n grnerrrl que. frecuentemente, se expresa en l a forma

G(x, Y ) = C, donde c' es una constante arbitraria. (Recuérdese que se espera que la solucicin general de una ecuacicin diferencial de primer orden contenga una constante arbitraria.) Entonces todas las soluciones particulares aparecen como curvas de nivel de la funci6n C; y la solucibn

y = h ( x ) tal que h ( x , , ) = y(,

viene dada por l a curva de nivel de G que pasa por (.yo, es decir,

G(x, Y ) G(xo, yo).

Así, la c w d i c , i t i n inic.iu1 = h(.ro) se utiliza para determinar el valor de la constante arbitraria en la solucicin general. l o que da l a s o l w i d n ptrrt ic~ular requerida que pasa por (.yo.

1 I

RESUMEN


3. Sea F una función continua de dos cariables cuyo dominio contiene una uecindud de (xo, y o ) en la cual F , existe y es continua. Entonces existe un número c > O y unu,función dericahle h ( x ) para x. - c < x < ,xo + c tal que y = h ( x ) es una solucicin de la ecuación rl$erenciul y ' = F(x, y ) y tal que yo = h(xo). Ademds, h es la h i m de tales.funciones con dominio x. - c < x < x,, + c.

EJERCICIOS

En los ejercicios I u 8, rlihujur el campo de rlirec- cicin d e la ecuacidn tlifirencial y estimar unas c~rrrntus curras de solucicin, como en lnsjiys. 20.1 y 20.2.

1. y' = y 2. y ' = -y

5. y ' = xy 6. y ' = x + y

7. y' = - X + Y

x - Y 8. y' = y'

9. (Este ejercicio demuestra que el número c. en el teorema de existencia (teorema 20.1) puede ser muy pequeño en comparación con el radio r de la vecindad de (xo, y,,) en donde F , existe y es continua.) Con- siderar l a ecuaci6n diferencial

y' = 1 + y' = F(x, y).

a) ¿Para q u e valores de I' es cierto que F y F , son continuas dentro de

la vecindad x' + y2 < r2 de (O , O)'? b) ¿,Cui1 es el máximo valor de c para

que exista una función derivable h(x) para - c < x i c que sea una solución de y ' = I + y2 con h(0) = O'? [ , % 4 p r f m ' i U . Resolver la ecuación y' = 1 + y 2 y examinar la solución que pasa por (O, O).]

10. a) Comprobar que

y = h,(x)=-x2/4

y = h , ( x ) = 1 - x

e

son soluciones de la ecuación diferencial

y' = "x + (x' .+ 4y)'"'

2

para x 3 2 y que 12,(2)=h2(2)= - 1. b) ¿Por qué el resultado de a) no con-

tradice el enunciado de unicidad del teorema 20.1 ?

___

20.2. SEPARACION DE VARIABLES Y ECUACIONES HOMOGENEAS

20.2.1. Ecuaciones con variables separables

Según el capítulo 6, recuérdese que si una ecuación diferencial y ' = F(x, y) se expresa en la forma

698 CÁLCULO CON GEOMETRI.4 ANALÍTIC4

entonces las variables pueden separarse y la ecuacicin se resuelve como sigue:

g(y! dy = f (x) dx,

Es decir. todoc los tkrtninos cn J. (incluyendo JJ-) se colocan en el miembro izquierdo de la ecuaci6n y todos los términos en x (incluyendo t k ) en el miembro derecho; así, las variables quedan ccseparadasi). La ecuación se resuelve hallando dos integrales indefinidas de una funci6n de una s o l a variable.

Ejemplo 1. Resolver

es la solucion general, que tambikn se expresa

2 y " .?(In rc)2 + 6C.

o, puesto q u e 6C se puede representar por cualquier constante arbitraria, se acepta la escritura

2y ' = 3 (In x)' + C.

'Tal formalidad con las constantes arbltrarias es convencional. ,,

20.2.2. Ecuaciones homogéneas

U n criterio para que éste sea el caso es

F ( k x , k y ) = F(x, y ) para todo k Z O,

ECUAClONES DIFERENCIALES 699

porque, de ser esto cierto, si se escribe k = l/x, se obtiene

Recíprocamente. si F ( s , y) = &/.x), entonces

F ( k x , k y ) = g ( k y / k x ) = g(y/x> = H x , Y ) .

Una función F ( s , y) como Csta se denomina ~ W J Z O ~ ~ ~ U de grndo O. (Si F ( k x , k y ) = k'F(x, J.), entonces F ( x , y ) es homogénea de grado T. )

Ejemplo 2. La ecuaci6n

x 2 + y 2 " d y - F(x, Y ) = 2x2 dx

no es del tipo de variables separadas, pero es homogénea, puesto que se escribe

d y x 2 - = "

Obsérvese que

(kx)' + (ky)' - k 2 x 2 + k 2 y 2 F ( k x , k y ) =

2(kx)* 2 k2x2 -

Si

dy = g(:), dx

entonces la sustitución y = cx da origen a una ecuación en c y x del tipo de variables separables. Porque entonces, si v = I'X,

Entonces la ec. (1) se convierte en

d v d v dx dx

v + x - = g(v ) o x- = g ( v ) - v

O dv dx " -

g ( v ) - v x ' y las variables se separan. L a ec. (2) se integra para hallar la relación en x y c, que es la solución; luego se reemplaza u por yix para hallar la solución en términos de x e y.

700 CALCULO CON G E O M E T R ~ A A N A L ~ T I C A

Ejemplo 3. Resolver la ec. del ejemplo (2)

dy x 2 + y* 1 dx 2x2 - "- - -

S O L U C I ~ N . La sustitución y = r s da origen a

dv 1 1

dx 2 2 v + x- = ""2,

así

Entonces, dv -

u2 - 2v + 1 2x ' dx 1 dx así ( V - = -.-

2 x "

Luego

I (v - 1)" 1 así ~- - - -In 1x1 + C. -1 2 Si se sustituye I' = y j s , se obtiene

"2X

Y "x

" - In 1x1 + C.

como la reIaci6n solución general. 1~

20.2.3. Aplicaciones a la geometría

Sea G una función de dos variables con derivadas parciales continuas. La relacicin G(.u, J.) = C para una constante arbitraria C da una,f¿militr de c ~ ~ ~ G L L ~ , una para cada valor de C. Otra familia de curvas H ( z , J.) = K es ortogonal a la primera familia (o consta de las trayectorias ortogonales de la primera familia) si cada curva de la primera familia es perpendicular a cada curva de la segunda familia en todos los puntos de intersección.

El problema de hallar una familia de curvas ortogonal a la familia dada G(x, 1 , ) = C es un problema de ecuaciones diferenciales que se resuelve, a menudo, por medio de las técnicas descritas en esta sección. Se ilustra con un ejemplo.

Ejemplo 4. Hallar la familia de trayectorias ortogonales a las curvas x' - y' = C. S O L U C I ~ N . Sea G(x,J.) = x2 - y 2 . La pendiente de una curva en x' - 1" = C en un punto ( x , y ) se expresa por

dy aGlax - 2x x -

dx dG/ay -2y y . -


La pendiente de una curva en la familia ortogonal en (x, y) es el negativo del recíproco -y/x. Así, la familia de curvas ortogonales consta de las soluciones de la ecuación diferencial

La solución de esta ecuación es

0

l n ( x ) + 1nIyl = K .

que puede escribirse en la forma

In lxyl = K .

Entonces, e'" kd = Ixyl = e"; por tanto, xy = fe". Ahora bien, cuando K asume todos los valores constantes, +e" asume todos los valores constantes excepto O. Un anilisis cuidadoso demuestra que las curvas x = O e y = O son también ortogonales a las curvas x' - y' = C ; cambiando de notación se obtiene la familia ortogonal

xy = K .

La fig. 20.4 muestra algunas de las curvas de las dos familias ortogonales. 1 1

Figura 20.4

702 CALCULO CON GEOMFTKÍA AN.4LíT'ICA

HESUMEN

1. - = xy dY 2

dx

3. - = x' + xzyz

4. - = sen x cos2y

dY dx

dY dx

2. - = e" tan p dY dx 6. - = y (In y)cos2x

dY dx

7 -=- dy x' + y'

- dx 2xy


9. x dy = (x + y) dx

10. x dy = (y + x sen(ylx)) dx

En los c2jercicios I 1 u 16, hallar la solucirjn parricxltrrtle l r r eccctrcidn rliferencird qrtc sc~tisj¿uce l o c.onrlic.icin inic,itrl rlutln.

11. y' = 1 + x, y(1)"

12. y' = x sen y, y(2) = -- 2

1.3. y' = -, y(2)= -3

14. y' = x'y + 2xy. y(2) = 1

rr

x

Y

1 + y z 15. y' = ___ 1 Y(1) = 5

XY

16. y' = y3e2x, y(0) = 2

20.3. EClJACIONES EXACTAS

20.3.1. Solución de una ecuación diferencial exacta Considerar la ecuación diferencial x' = F(.Y, y). Suponer

para ciertas funciones F1 y F 2 y suponer que es posible hallar una función G de dos variables con derivadas continuas tal que

(2 )

Entonces, una función y = h(x) que se define implícitamente por una curva de nivel de G serli una solucih de J, ' = F(x, y), puesto que la derivada de tal función h es

La solución general de y' = F(x , y) ser& por tanto, G(x, y ) = C. El problema de resolver y ' = F ( s , y ) se ha reducido a expresar F(x,y) en la

forma (1) y a la solución de dos ecuaciones rlzferenciales parciales (2). Es evidente que siempre es posible llegar a la forma ( I )- pues basta tomar

Fl = F y F2(x,y) = 1.

En efecto, (1) puede obtenerse normalmente de diferentes maneras; por ejemplo, si F ( x , y ) = x2/y2, entonces


así que nay muchas posibilidades para F 1 y La afirmación de que las ecuaciones diferenciales parciales (2) tienen una solución simultánea es equivalente a afirmar que

F , (x, Y 1 dx - &(x, Y dY (3)

es una diferencial exacta. Nótese que ( 3 ) puede obtenerse de

" dY Fib, Y > dx F2(x, Y) "

por medio de multiplicaciones algebraicas formales: es decir, de (4) se obtiene

FAX, Y dY = F, (x, Y) dx

O

Una vez más, la notación de Leibniz resulta muy conveniente. La expresión (5) se considera como una forma equivalente de la ec. (1 ) . Ahora se reemplaza c c F , ~ por ( ( M ) ) y c F 2 n por ( ( - -N) ) , de modo que de ahora en adelante se utilizará la notación usual en el tratamiento de las ecuaciones diferenciales exactas.

Definición 20.1. Una ecuación diferencial

M(x, y ) dx + N ( x , y) dy = O (6)

es exacta si M(.x, y ) (1.u + N(.x, y) dy es una diferencial exacta.

El estudio del capítulo 17 muestra que si M y N tienen derivadas parciales continuas en una región apropiada del plano, entonces la ecuación diferencial (6) es exacta si y sólo si

a M dN a y a x " - -

Si (7) se satisface y si G es una función de dos variables tal que

dG = M(x, y ) dx + N ( x , y ) dy,

entonces la solución general de la ecuación diferencial (6) es

G(x, y ) = C. (8)

La técnica utilizada para resolver una ecuación diferencial exacta M dx + N dy = O es precisamente la que se empleó para hallar una función G(x, y ) tal que dG = M ( x , y ) rlx + N ( x , y ) dy, descrita en la sección 17.3 del capítulo 17. Se ilustra con un ejemplo.


Ejemplo 1. Resolver 3x2y dx + (x3 - y’) dy = O.

S O L U C I ~ N . La ecuación diferencial

M d x + N d y = 3x2y dx + (X” - y’) dy = O

es exacta puesto que

Si se hace (?Gf?x = 3x2y, se halla que

G(x, y) = x3y + h ( y ) . Entonces

d G dY “ - x3 + h’(y) = x3 - y2.

En consecuencia,

h’(Y) = -y2 y h(y) = -. -Y3 3

Esto demuestra que

G(x, y) = x”y - - 3 Y 3

tiene como diferencial 3x2y dx + (x3 - y) dy , de modo que la solución general de la ecuación es

x y - - = C . 1 ) 3 Y 3 3

20.3.2. Factores integrantes

Escríbase la ecuación diferencial

y supóngase que la solución general de (1 1) es

G(x, y) = C. (12)

Según (12) se ve que en cualquier punto de una curva de solución y = h(x) se tiene

aGlax y’ = -___ aGlay .

706 CALCULO CON CEOMETRfA ANALíTIC.4

Así, se tiene

a w a x M(X. y ) _" - ___ aG/iiy' N(x, y ) '

"

De (13) sc obtiene

a G!ax -

M(.x, y ) N(x, y) - "_ - aG'ay - *(x, y ) ,

donde pí~x . J.) cs la raz6n comiln cn (14). De (14) se obtiene

Y

(lit,

Las ecs. ( 1 S) muestran que la ecuación

El anilisis anterior a esta definicibn muestra que si la ecuaci6n diferencial ( 1 1) tiene una soluci6n general Gp:. J.) = C, entonces tiene un factor integrante p(.y. J.).

El siguiente ejemplo muestra que los factores integrantes no son tinicos.

Ejemplo 2. La ecuacibn diferencial

3xy d x + x2 d y = o tiene a .Y corno factor integrante porque

x(3xy dx + x2 d y ) = 3x2y dx + x3 d y

= d(x"y).

Otro factor integrante es I/.X~J, porque

1 3 1 -(3xy dx + x' dy) = - dx -k - d y =r d ( 3 In 1x1 + In I y l ) . x 2 v X Y / I

En el ejercicio 15 se ve que, en general. es de esperarse que l a ec. ( 1 1 ) tenga un número infinito de factores integrantes.

En los ejercicios 16 y 17 se presenta una ecuación diferencial parcial que incluye M(.*-, 1,) y Nj.u, y) que una función ,u debe satisfacer para ser un factor


integrante de (1 1). Según esta ecuación diferencial, se caracterizan las ecuaciones diferenciales ( 1 1) que poseen ciertos tipos de factores integrantes, tales como los que son sólo funciones de x o sólo funciones de y . En los ejercicios 18 a 20 se suministran algunas resultados e ilustraciones al respecto. En el articulo siguiente se indica cómo hallar factores integrantes por ((inspección)).

20.3.3. Factores integrantes por inspección

Hay factores integrantes para ciertas ecuaciones diferenciales de la forma (1 1 ) que pueden hallarse por inspeccibn; lograrlo con eficiencia requiere buena dosis de prhctica. iJna técnica útil consiste en buscar expresiones tales como J (/.u + S (/J.

que son exactas o tienen factores integrantes evidentes; obsérvese que

d(xy) = y dx + xdy.

Así. l a presencia de J. dru + x t l ~ s sugiere una función de .YJ' colno [actor integrante. De manera anitlog, las diferenciales

sugieren la búsqueda de las expresiones J* t l s - .Y (/J. y x t iy - J' (/.Y. cuya presencia conduce a ensayar factores integrantes de la Ibrnla

respectivamente. Se ilustra con algunos ejemplos.

Ejemplo 3. Resolver !a ecuación diferencial

y dx + (x + x'y) dy = O.

sor.uc16ilu. La expresión J ~ Y + .Y (/J. contenida en csta ecuaci6n sugiere un [actor integrante que sea función de ,YJ~. Si se divide toda la ecuación por (.uy)', entonces el término :<'J. f l y se convierte en (l!~,) dy, que puede integrarse. Así, se toma l , l ( . ~ ~ > ) ' conlo factor integrante para obtener la ecuación

o

La integrac~bn de l a última ecuacibn da cotno resultado

como soluci6n general. 1~


Ejemplo 4. Resolver la ecuacibn diferencial

( X Y “ + y ) d x - X d y = O.

S O L U C I ~ N . La presencia de y d.u - x dy sugiere un factor integrante de la forma ( l /y2)f(x/J)) . Para cteliminaru el y4 del xy4 d x para la integración? se utiliza (1/y2)(x,’y)* como factor integrante y se obtiene

L ( 5 ) ’ x y 4 d x + ( y d x - x d y ) = O Y 2 Y

O

x ? d x + ( f ) l d ( ; ) = O.

Integrando esta última ecuación, se obtiene

como solución general. I /

RESUMEN

1. La ecuación diferencial M(x, J.) (1s + N(x, y) ( I l l = O es e.uuctu si y sólo si ?M/?y = i‘N/?x y M(x, y) 1’ N(x, J!) sutisfucen condiciones apropiadas. EII este caso, hallar G(x, y) tal que

d G = M(x, y ) d x + N ( x , y ) dy

corno se describió en l a sección 17.3 del capitulo 1 7 , y Icr solucicin de 10 ecuucidn dada es G(x,y) = C.

2. Si M ( x , y ) dx + N ( x , y ) dy = O tiene una solucidn G(x, y ) = C, entonces existe una ,función (factor integrante) p(x, y) tul que

P ( X , y ) M ( x , Y ) d x + P ( X , y ) N ( x , Y) d y = 0

es una ecuacicin exactu y puede resolcerse conlo en (1). Los ,factores integrantes se hallan N veces por inspeccidn; se intentu construir ecuaciones diferenciales ohcias tules como

Ver los ejemplos 3 y 4 del texto como ilustruciones.


EJERCICIOS

En los ejercicios 1 a 6, uertficar que la ecuación es exacta y hallar la solución general.

1. cos y d x + (1 -- x sen y ) dy = O

2. 2xy dx + (X’ - e?) dy = O

3. y’dx + (i + 2xy) dy = O

4. (y sec’xy) dx + (1 + x sec’xy) dy = O

5. (ev - y COS X Y ) dx + (XC’ - X COS X Y ) dy = O

6. (2xy’ - 3) dx + (3x2yZ + 4 y ) dy = O

En los ejercicios 7 a 14, hallar un ,factor integrante por inspección y resoluer la ecuación d@rencial.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

(xy’ + y ) dx + ( X - 3 ~ ’ ) dy = O

(x’y’+ y ’ ) dx + (2xy + x ) dy = O

(XY’ + y ) dx - ( X + y ) dy = O

(4 - y ) dx + (X + 3 ~ ‘ ) dy = O

(4 + y ) dx - ( X + 3 ~ ’ ) dy = O

+ y ) dx + (2x - e y ) dy = O

(1 + 2x’y’) dx + (xy’ + 3x3yz) dy = O

(x’Y‘ + 2xy) dx - (X’ + 3 ) dy = O

Sea M ( x , y ) rlx + N ( x , y ) dy = O una ecuación diferencial cuya solución general es G(x, y) = C, y sea p un factor integrante tal que dG = pM dx + p N dy. Demostrar que sif’es una función continua de una variable, entonces p(x, y ) x ,f’(G(x,y)) es un factor integrante. (Esto indica que la ecuación diferencial (11) puede tener un número infinito de factores integrantes.)

16. Demostrar que p es un factor integrante de una ecuación diferencial M dx + N d y = O, donde M y N son funciones continuamente derivables en una región apropiada, si y sólo si p es una solución de la ecuación diferencial parcial

N - - M - = ax a y

[Sugerencia. Aplicar la condición para que p M d x + p N dy sea exacta.]

17. Demostrar que la ecuación diferencial parcial del ejercicio 16 puede expresarse en la forma

N- .- M - = - - - a(ln ~ P I ) &In ~ P I ) aN ax ay ay ax .

18. Utilizar los ejercicios 16 y 17 para demostrar que si M y N son continuamente derivables en una región apropiada, entonces M dx + N d y = O tiene un factor integrante p que es una función de x solamente (es decir, ?p/í‘y = O) si y sólo si (IIN) . (?M/?y - i .N /?x) es una fun- ción de x solamente, por ejemplo f ‘(x), y el factor integrante p es entonces de la forma p(x) = K J ~ ‘ . ~ ’ ~ ~ .

19. Aplicar el resultado del ejercicio 18 a la solución de las ecuaciones diferenciales

a) (xy’ + x + y‘ + 1) dx + ( ~ x ’ Y - 3xy’ + 2xy - 3yz) dy = O

b) (XY - y ) dx

+ (X ’ + X COS y - X - COS y ) dy = O.

20. Enunciar un resultado análogo al del ejercicio 18 en caso de que M dx + N rly = O tenga un factor integrante que sea función de y solamente.

que resulta en

Según (X), se obtiene

Se ha demostrado parcialmente el teorema siguiente.

(lOtltl0

p ( x ) = e J p ( x ) d x .

Drnmtrac idn . En la ec. (9) se vio que la solución general es como se enuncia en el teorema y que dichas soluciones son vhlidas para todo x en la vecindad. Falta demostrar la existencia y unicidad de una solucibn particular que pase por el punto (xo. yo). Pero si se hace I = .yo e y = .)lo. en la forma de la solución general que se da en la ec. (lo), se obtiene la relaci6n

Ejemplo 1. En la sección X.4 del capítulo X se demostró que la solución general de la ecuacicin diferencial y ' = k y es J' = Arb", donde A es una constante arbitraria que controla y(0). Obtener este resultado aplicando el teorema.

S O L U C I ~ N . La ecuaci6n es y ' - ky = O, así que se tiene p(x) = - k y (/(x) = O. Entonces el factor integrante es

712 CÁLCULQ CON GEQMETRIA ANAL~TICA

Por tanto, la solución general es

- k r 1 y = p l e .Odx = - e - k x c' = Cekx.

Esto coincide con el resultado ya obtenido. j~

Ejemplo 2. Hallar la solución particular de la ecuación diferencial

y ' + 3xy = x,

que pasa por el punto (O, 4).

SOLUCIÓN. Aqui p ( r ) = 3.v y el factor integrante es

w(x) = e 1 3 x d x = e 3 x 2 / 2

Según el teorema 20.2, la solución general es

Haciendo y = 4 y x = O, se halla que

1

3 4=-+c.1,

así C = 1113 y la solución particular requerida es

El Único problema al utilizar el teorema 20.2 para resolver y ' + p(.v)y = y(x) es que la solucicin contiene dos integrales, es decir,

A veces es imposible hallar el valor de alguna de esas integrales en términos de funciones elementales, aunque p ( x ) y y(x) sean funciones elementales. Por ejemplo, si p ( x ) = "x y g(x) = 1, entonces, para .xo = 0 se tiene

El valor de la última integral no puede hallarse en términos de funciones elementales. Sin embargo, ya se ha visto cómo expresar esta integral como una serie infinita. (Esta integral es tan importante en teoría de probabilidades que epr2l'' d t se ha tabulado para muchos valores de x.) Hay muchos métodos numéricos para formar integrales; por tanto, la presencia de éstas en la solución general de la

ECUACIONES DLFERENCIALES 7 13

ecuación diferencial de primer orden no es un obstáculo serio en las aplicaciones prácticas.

RESUMEN

EJERCICIOS

En los ejercicios 1 a 8, halltr~. l o soltwión 8. y' + (sen x)y = 3 sen x genercrl de In ectracidn rlifirencitrl.

En los ejercicios Y u 12, hallnr lo solwión y = , f (x) de la ecuacidn tli/i.rencitrl que t ime 1. y' - xy = o

2. y' - 3y = 2 PI crrlor indicado pura y(x,). 3. y' + y = 3e"

4. y' + 2y = x + e-3x

5. y' + 2y = xe-zx + 3

6. xy' + y = 2x sen x; x > O. [Sugerencia

9. y' - 3y = x + 2, y@)= -1

10. xy' - y = x3, y(1) = S

11. (1 + x2)y' + y = 3, y(0) = 2

Reducir a la forma de la ec. (2) y 12. Y ' - (COS 2X)Y COS 2% Y ( d 2 ) = 3 dividir por x.] 13. Hallar la solución general de la ecuación

7. y' + (cot x)y = 3x + 1, o < x < 57 diferencial y ' - x y = x' aplicando el teo-


d i d t

L - t Ri = E ( t ) .

Sea io la corriente en el tiempo I = O y sea E ( í ) una funci6n continua del tiempo 1. Hallar una expresi6n pal.a i en el tiempo f . Demostrar que si E es constante, entonces para halores grandes de I se tiene I 2 E iR (por tanto. la ley de Ohm es aproximadamente cierta ciesp.lks de un tiempo largo). Describir la corriente despues de un período largo de tiempo si E decae exponencialmente. es decir. si E ( [ ) = Eor ~ donde

t.-(, ~- E(0l y k > ( l .

Describir el comportamlento de la corriente cuando t --t x si E se in- rerrumpe abrupumente en el tiempo

I o . de modo que E(r) = O para r > r t J .

16. Segiin la ley del enfriamiento de Newton, la r:lpideL de cambio de l a temperatura de un cuerpo en 1111 medio es proporcio- n a ¡ a 1 3 diferencia entre la temperatura del cuer-po y la del medio. a ) Si se considera que la temperatura

del medio permanece constante a 11

grados. y que la temperatura 7b del cuerpo en el tiempo r = O es m6s alta que la del medio, expresar la tempercttura 7' del cuerpo conlo una funcibn del tiempo I para I > O. {Sea -I, l a constante de proporcionalidad en l a ley de Newton.)

b) ;,C'uhl es l a temperatura aproximada del cuerpo cuandoí .+ x para k > O'!

17. Si es una constante diferente de O o 1. entonces l a ecuac ih

y ; + P ( X ) Y = ! dX)Y"

se denomina rc.utrc.idr1 t / e Bt,rnuu//i. (Cuan- do II = O y II = 1. la ecuacibn es lineal y se resuelve como se ha descrito en esta secci6n.) :I) Demostrar que la s u s t i t u c i b n

= 1.' permite reducir la solución de la ecuaclón de tkrnoulli a una ecuación diferencial lineal en 1'.

b) Utilizar el resultado de aj y el teorema 20.7 para resolver la ecuac ih diferencial

y ' ~~ 2xy = 5 x y l .

20.5. EClJACIONES LINEALES HOMOGENEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

Se enunciarh el teorema principal de existencia de las soluciones en una vecindad de .xo de una ecuación diferencial lineal de orden u, y luego se restringiri el anilisis al caso de la ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes. Se supone que el coeficiente de J,("' asume sólo valores no nulos en toda una vecindad de .xo, de modo que se puede dividir por este coeficiente y se puede considerar que la ecuación es de la forma

y'"' + p,(x)y'""' +. * * + p,_,(x)y' + p , ( x > y = g(x). (1)

ECUACIONES DIFERENCIALES 71 5

20.5.1. El teorema de existencia

Se enuncia sin demostración el teorema principal de existencia.

Teorema 20.3. Si p,(x) , ...,p,( s),y(r) s m continuas en ZI~N zlecindarl de .yo J' s i a o , (I,, ..., a,- son constantes c u o l t w p i c m , rntonccs eviste una solución linicu y = j ( x ) de lcr ec. (1) que es uilidn en torl tr lu wcinrltrd y goza rlr l u propirdrrd

Y(Xo> = h, Y'b") = a,, . . . , Y(n-l)(x,) = %-l.

En el caso que se considera en el resto de esta sección, donde las funciones coeficientes pl(x), ..., p,(x) son constantes, y donde g(s) = O, la ec. (1) asume la forma

y'"' + b,y'"-"+* - a + bn-ly' + b,y = O. (2)

La ec. (2) es una ecuación diferencial homogénea con coeficientes constantes. En esta sección se vera cbmo se obtiene la solución general de la ec. (2) en términos de funciones elementales por métodos algebraicos muy simples.

20.5.2. Polinomios en el operador D

Se puede escribir la ec. (2) en la forma

D"y + b,D"-ly + - * * + bn-lDy + b,y = O, ( 3 )

donde, naturalmente, D y = y', D'J' = p". etc. Si se procede de manera formal, es natural sacar y como factor común en el miembro izquierdo de la ec. (3) y escribirla en la forma

(D" + b,D""+. . .+b,*-,D -t b,)y = O (4)

o, abreviadamente,

P@)Y = 0, (5)

donde P ( D ) es el polinomio D" + hlD"" + . . . + h, - lD + h, en D. Se supone que el polinomio P(D) se factoriza (en el sentido de factorización

polinómica), de modo que P ( D ) = Q l ( D ) Q ; ( D ) para polinomios Ql(D) y Q z ( D ) en D. No es difícil demostrar que

P (D)Y = Q,(D)(Q,(P>Y>, (6)

donde y = , f ( x ) tiene derivadas de todos los órdenes < n. Se puede dar una demostración rigurosa de (6) utilizando inducción matemática; el cómputo de un caso especial para ilustrar el método bastará para demostrar su funcionamiento.

Ejemplo 1. Como polinomio, se tiene

0 2 - 3 0 + 2 = ( D - 1)(D - 2).


Por cómputo se halla que para una función dos veces derivable y =.f'(x), se tiene

( D - 1)((D - 2 ) y ) (D - 1)(Dy - 2 y ) - - D(Dy - 2 y ) - 1(Dy - 2 y )

= D2y - D(2y) - Dy + 2 y

= D2y - 2Dy- Dy + 2V

= D'y - 3Dy + 2 y

= (O2 - 3D + 2)y . I / El resultado en (6) puede extenderse ficilmente a m i s de dos factores.

Puesto que la multiplicación de polinomios es conmutativa (es decir, no depende del orden de los factores), a partir de (6) se ve de inmediato que

Q,(D)(Q,(D)Y) = Q,(D)(Q,(D)Y) (7) para polinomios Ql(D) y Q 2 ( D ) . La ec. (7) también puede extenderse a cualquier número de factores en cualquier orden.

20.5.3. Caso 1: P ( D ) se descompone en factores lineales distintos

Considérese una ecuación diferencial de la forma

P(D)Y = O,

donde P ( D ) es un producto de factores lineales distintos. En este caso se tiene

P ( D ) = (U - r,)(D - r , ) . * ( D - r n ) , (9 )

donde r i # vi para i # j . Tal ecuación se resuelve por medio de aplicaciones repetidas del teorema 20.2. La técnica se ilustra mejor con un ejemplo.

Ejemplo 2. Resolver la ecuación homogénea y" - 3 ~ s ' + 2 = O.

S O L U C I ~ N . La ecuación se escribe en la forma

(0' - 30 + 2 j y = ( D - I ) ( D -- 2)y = O. (10)

Si se hace u = ( D - ~)J I , entonces se tiene

( D - l ) u = O. (11)

La ec. (11) es lineal de primer orden en u, y según la sección 20.4 se tiene

Entonces se resuelve la ecuación

( D - 2)y = u = Clex,

ECUACIONES DIFERENCIALES 71 7

y se obtiene

1

= - C , e x + C2e2".

Si se escriben los factores lineales en orden inverso, de modo que la ec. (10) se convierte en

( D - 2)(D - l ) y = o

y se efectúa la sustitución ( D - 1)y = u, se obtiene primero la parte e Z x de la solución, es decir, r = Clezx. La ecuación ( D - 1)y = L' da origen, entonces, a la misma soluci6n y = CleZX + C2eX. 1 1

Es evidente que si D - r es un factor de P(D), entonces algunas soluciones de P(D)y = O vienen dadas por y = Cerx, puesto que

( D - r ) (Cerx> = rCe" - rCe'" = O.

El argumento del ejemplo 2 se extiende naturalmente para dar paso al siguiente teorema.

Teorema 20.4. Sea P ( D ) = (0 - r l ) ( D - r2) ... ( D - rn), donde ri # r j paro i # j . Entonces l a solución general de la ecuación (liferencia1 P(D)y = O es

y = C l e r l x + C,er2" + + Cnervcx.

Ejemplo 3. Resolver la ecuación diferencial

3y"' - 2y" - y ' = 0.

S O L U C I ~ N . La ecuación se escribe en la forma

(3D3 - 2D2 - D ) y = D(3D + 1)(D - l ) y = o.

Mientras que el teorema 20.4 se ocupa del caso en que el coeficiente de D" es 1, las soluciones de la ecuación diferencial permanecen invariables si todo se divide por 3. Se ve que los números ri en el teorema 20.4 se caracterizan como raíces del polinomio

P ( r ) = O, (12)

donde el coeficiente de D" puede o no ser igual a 1. El polinomio (12) es la ecuación característica o auxiliar de !a ecuación diferencial P(D)y = O. La ecuación característica para este ejemplo es

3r3 - 2r2 - r = r(3r + l ) ( r - 1 ) = O,

718 CALCULO CON GEOMETRíA ANALiTlC4

20.5.4. Caso 2: Factores lineales repetidos


y se ve que la solución general de la ecuación es

y = C , e n x + e-x(C,x + C,) = C , + e~-X(C2x + C,). I (

20.5.5. Caso 3: P ( D ) contiene factores cuadráticos

En un teorema de hlgebra se postula que todo polinomio con coeficientes reales sc descompone en un producto de factores lineales \i cuadrilticos con coeficientes reales. Es decir, S:: demuestra que un polinornio se descompone en un praluctc> de factores lineales si se permiten coeficientes complejos. (Este es el t c ' o i . r , J l l r , f ¿ r n r l a ~ , z u n t c r l t I r l ~ í L ~ ( ~ b m . ) Si D - ( u -1 h i ) es un factor, entonces es posible demostrar que D - (L I - h i ) lanrbitn es un factor y el producto D' - All) + ( a 2 + 11') es, por tanto, un factor cuadrittico de P ( D ) con coeficientes reales. Es necesario investigar l a contribución de tales factores cuadriiticos a la soluciOn general de P(U)y = O.

SI se procede formalmente con nilrneros complejos, es dc esperar que l a soluci6n general de

((0' - 2aD + (az + b2))y = ( D - (a + bij)(D - (a - b i ) ) ~ = O (14)

En el ejercicio 35 de la seccicin 11.3 se pide comprobar formalmente la fórmula de Euler

eix = cos x + i sen x.

Aplicando esta f6rmula y procediendo fol.malmentc seghn (15), se obtiene

y = eax[C,(cos bx + i sen DX) + C2(cos (-bx) + i sen (-bx))] = ea"[(C, + C,) cos bx t- (Cii - C,i)sen bx]. (16)

Se reemplaza la constante nrbitraria C1 + Cz por C, y C l i - C,i per C L para obtener

y = eUx(C, cos bx + C, sen b x ) . (1 7 )

Se supone que (17) es la soiiucihn general de (14). El anterior empleo de nilmeros complejos estk justificado y la suposición es, en efecto, correcta. Por computación directa puede comprobarse que

[O2 -- 2aD -t (a2 + b")](e""(C, cos bx + C,senbx)) = O

(ver ejercicio 1). L a experiencia anterior con factores lineales repetidos sugiere que

720 CALCULO C O N G E O M E T R ~ A ANALíTICA

un factor cuadrático repetido ( D L - 2aD + (u' + h2))' da lugar a una repetición de (17) con un factor adicional x en la solución general. Esto también puede verificarse.

Ahora es posible resolver cualquier ecuación diferencial lineal homogénea P(D)J~ = O con coeficientes constantes, siempre y cuando sea posible descomponer el polinomio P ( D ) en factores lineales y cuadráticos. Se concluye con dos ejemplos.


D ( D - 1)2(D + 2D + 4)y = o. S O L U C I ~ N . La ecuación característica es r(r - l)'(r' + 2r. + 4) = O, que posee una raíz r , = O, una raíz doble r z = 1 y raíces complejas - 1 f i$ que se obtienen al resolver r 2 + 2r + 4 = O por medio de la fórmula cuadrática. La solu- ción general de la ecuación es, por tanto,

y = C, + e X ( c 2 x + c,) + ePx(C, cos &x + C, sen A x ) . I ( Ejemplo 6. Resolver la ecuación diferencial (D' + 40' + 40')). = O.

S O L U C I ~ N . Se escribe la ecuación Característica

r6 + 4r4 + 4r2 = r2(r2 + 2)2 = O.

Aquí I . , = O, r2 = J2i y r 3 = -4''; son raíces dobles. La solución general de la ecuación diferencial es

y = ~ , x + c2 + ( c o s J z x ) ( ~ ~ x + c,) + (senJzx)(C,x + c,). 11

RESUMEN

P ( D ) y = O.


EJERCICIOS

1. Comprobar mediante cálculo directo que

[ D 2 - 2aD + ( a 2 + b')] (ear(C, cos bx + C2sen b x ) ) = O.

En los ejercicios 2 a 16, hallar la solución general de la ecuación diferencial dada.

2. y' + 3 y = o 3. 2 y ' + 4 y = o 4. y R + 4 y ' + 3 y = o 5. 4 y " + 1 2 y ' + 5 y = O 6. y" - 6 y ' + 9 y = O 7 . 4y'" + 4 y " + y' = o

9. y" + 3 y = o 8. y"' - 3 y " = O

10. y" + 2 y ' + 6 y = O

11. y"' - y = o 12. D ( D - 3)2(D2 + l ) y O 13. D2(D + 2)(D2 + 2 ) y = O 14. D3(D2 + 1)'y = O 15. ( D + l)2(D2 + D + 2 ) y = O 16. D2(D + 5 ) ( D 2 + 3 0 + 5)2y = O

17. Hallar la solución particular y =,[(x) de y" - 5y' + 6y = O tal que y(0) = 1 e y'(0) = -1.

18. Hallar la solución particular y =.f'(x) de y" + y = O tal que Y(rr/2) = 3 e yt(n/2) = -2.

19. Hallar la solución particular y =f ' (x) de y"' - Sy = O tal que y(0) = 2, y'(0) = O e ~ " ( 0 ) = 4.

20.6. CASO NO HOMOGENEO; APLICACIONES

20.6.1. La forma de la solución


La ec. (5) es lineal en u y se puede resolver aplicando el método de la sección 20.4. Así se reduce el problema a la solución de la ec. (4), que es una ecuación diferencial de orden n - 1. La repetici6n de este proceso n veces permite hallar y.

En realidad, el procedimiento que acaba de describirse da como resultado la solución general de la ecuación diferencial (3). Como es muy fhcil expresar la ((mayor parten de la solución general, es decir, la parte de la ec. (2) que contiene las constantes arbitrarias, al utilizar esta técnica es más eficiente hacer todas las constantes arbitrarias iguales a cero y obtener así una soluci6n particular de la ec. (3).


y" - 3y' + 2y = x + 1.

SOLUCION. La ecuación puede expresarse en la forma

( D - 1)(D - 2)y = x + 1. Sea ( D - 2)y = u ; hallar una solución particular de ( D - 1)u = Y + 1. Si se integra por partes o se utilizan tablas, y si se hacen cero todas las constantes de integración, se obtiene como solución particular

1 ePx(x + 1) dx = y ( - x e - " - 2e-")

e

= "x - 2.

Si se resuelve ( D - 2)y = u = --S - 2 por el mismo método, se obtiene como solución particular de la ecuación original

1 5 = " x + - 2 4

Por tanto, la solución general es 1 s 2 4 y = C , e x + C 2 e 2 x + - X + - . 11

20.6.3. El método de coeficientes indeterminados

En ocasiones una solución particular P(D)y = y(x) se determina por inspección. Las ecuaciones para las que ésto es válido incluyen aquellas en las que g(x) es un polinomio.

Ejemplo 2. Evidentemente, y = 3 es una solución particular de y" + 44'' + 43' = 12; simplemente se comprueba que y = 3 satisface la ecuación. Puesto que la ecuación característica es Y' + 4r + 4 = (r + 2)' = O, la solución general es

y = e-2* ( C I X + CJ + 3. I I


Ejemplo 3. Hallar por inspección una solución particular de l a ecuación 1," - 31.' + 21. = .Y + I , que se resolvió en el ejemplo 1.

S O L L T I ~ N . hallar^. = f ' ( . ~ ) tal que se obtenga Y + 1. luego de calcular 1.'' - 3)s' $- 1 ~ . Evidentemente, J. = .Y '? darA el valor apropiado de .Y: es decir, para = .Y/?, se tiene

y" - 3 y ' + 2 y = D2 (5 ) - 3+) + 2(;) = 0 - (S) + x.

Para obtcner la constante rcquerida 1 en V C I de - 3 1. se necesita sumar 21 . x 2 una constante que cuando se J ~ / p / i q w de como resultado 1 - ( 3 2 ) = 5 2, y a que la ccuacibn contiene 2j.. Así, la constantc buscada es 5 4 e 1, = (.Y 2 ) + ( 5 4) es una soluci6n particular como la obtenida en el ejemplo 1. ~

El rnctodo mlis sisternittico sugerido por el ejemplo 3 conduce a l método de los coeficientes indeterminados.

Ejemplo 4. Resolver la ecnacibn difer-cncial

y " -b 2 y ' - 3 y = 2~ - 17.

S O L U C I ~ N . Segitn el ejemplo 3, puede anticiparse que 1' = LI.Y + h es una soIuci6n para algitn L / y algitn h. Para 1, = ( I I + h. se tiene

y = ax + h. y' = a, y" = O

Multiplicando la primera ecuaci6n por -3, la segunda por 2, la illtima por 1 y sumando, segiln la ecuacicin diferencial original, se tiene

2x - 17=-3ax - 3b + 2a.

Si se igualan los coeficientes de .Y y los términos constantes, se obtiene

-3a = 2 y 2a - 36 = -17.

Entonces tl = - 3; 3 y h = 47/'9. Por tanto, una solucibn particular es

2 47 y = -"x + -

3 9

Fhcilmente se halla que la soluci6n general es

El rnétodo de l o s coqficientes indrtern~inutlos que se ilustra en el ejemplo 4 funciona bien cuando la funcihn <](Y) del miembro derecho de la ec. (1 ) y sus derivadas de todo orden contienen sumas de un número finito de funciones diferentes, con excepción de los factores constantes. Por ejemplo, un polinomio de grado IZ y sus derivadas de todo orden contienen sumas de múltiplos constantes del número finito de funciones 1, Y, ,x2, ..., .xn imicamente. Igualmente, las derivadas


de sen ux o cos ux son múltiplos constantes de esas mismas funciones trigonométricas. Las derivadas de la función exponencial eux contienen solamente múltiplos constantes de eax. Si g(x) contiene solamente sumas y productos de estas funciones, entonces el método de los coeficientes indeterminados es de gran utilidad. Si g(x) es una función de este tipo, y si ninguno de los sumandos de g(x) o de cualquiera de sus derivadas es una solución de la ecuación homogénea donde g(x) = O, entonces se ensaya como solución particular la suma de todos los sumandos de g(x) y las derivadas de todo orden de dichos sumandos, cuyos coeficientes a, h, c, etc., deben determinarse. Si u l y h sunzundo de (](x) o alyunu derilatlu de cualquier orden de un sumando es unu solución de I n ecuucicin honzoyénetr que corresponde u unu ruiz repetida S ceces de la rcuución cnracterísticq entonces dehe conzenzarse con unu solucicin particulur de ensuyo en l a cuul tul sunzczndo de g(x) se multiplique por x’ untes de culculur las rleriwdas. Este procedimiento aparentemente complicado es relativamente sencillo (aunque tedioso) en la prictica, y se entiende mejor con ejemplos adicionales.


y ” - 3y’ + 2y = 2 cos 4x.

S O L U C I ~ N . En este caso, cos 4x no es parte de la solución de la ecuación homogénea y” - 32’’ + 2 ~ ? = O; entonces se ensaya la solución particular

y = a cos 4x + b sen4x,

que es una suma con coeficientes a y h de cos 4 s y todos los diferentes tipos de derivadas de cos 4.x. Entonces se obtiene

y = a cos 4x + b sen 4x,

y’ = 4b cos 4x - 4a sen 4x,

y ” = -16a cos 4x - 16b sen 4x.

Multiplicando la primera ecuación por 2, la segunda por -3, la última por 1 y sumando, se tiene a partir de la ecuación diferencial original

2 cos 4x = (2a - 12b - 16a) cos 4x + (2b + 12a - 16b) sen 4x = (-14a - 12b) cos 4x + (12a - 146) sen 4x.

Por tanto, se debe tener

- 1 4 ~ - 126 = 2:

1 2 ~ - 14b = O,

cuyas soluciones son a = - 7/85 y b = -6185. La solución general es entonces

7 6 85 85 y = C,e” + C2e2”- -cos 4x - -sen4x. 11


Ejemplo 6. Resolver la ecuaci6n diferencial

y" - 2 y ' + y = e \ .

S o r . t ~ c i 6 N . En este caso, e' es parte de la soluci6n de la ecuación homogénea que corresponde a la raíz doble I' = 1 de la ecuaci6n característica I" - 2r + 1 = ( r - 1 ) l = O. Por tanto, se multiplica por .x2 y se empieza con Y ~ P * y sus derivadas; es decir, se toma como soluci6n particular de ensayo

y = m 2 e X -t hxe" + ce'.

Pero como e' y .ye* son soluciones de la ecuación homogénea, la contribución de las porciones h.xPS y UJ' seri O a l calcular J.'' - 2y' +- 1'. Entonces se toma J. = (r.y2ey como soIuci6n de cnsayo y se halla que

y = axl-ex

y ' == nx'c ' t 2axe',

y " := nx"cp ' + .laxex + 2ae'

Multiplicando la primera ecuaciim por 1, la segunda pot - 2 , la illtima por I y sumando segiln la ecuación diferencial original se obiicne

e x =: O(x2ex) + O(xe*) + 2ae" = 2 a e x ,

por tanto. 711 = 1 o (I = I ] ? . La soluci6n general es entonces

y = e'(C' ,x -t C,) + Axlex. I /

20.6.4. Aplicaciones

C'onsidkrese el movimiento de un cuerpo de masa m a lo largo de una línea recta que se toma como el eje s. Por la segunda ley del movimiento de Newton se tiene

d 'S F ( t ) = w-

dt' '

donde F ( t ) es la fuerza en el tiempo r que actúa sobre el cuerpo y esti dirigida a lo largo de la recta. Con frecuencia la derivada con respecto al tiempo t se denota con un punto sobre la variable en vez de la notación con primas. Así, .i = tl.s,'(lt,

Hay muchas situaciones físicas en las que la fuerza sobre un cuerpo tiene una componente bhsica g( t ) en el tiempo I , con componentes debidas a la velocidad y a la posici6n del cuerpo. Si estas componentes adicionales que se deben a la velocidad y a la posición son múltiplos constantes de la velocidad y la posición, entonces, según la ley de Newton, se tiene

= cl's/dt', etc.

ECIJACIONES DIFERENCIALES 727

para constantes kl y kL. La ecuación diferencial (6) es lineal con coeficientes constantes y se resuelve por los métodos presentados. Se ilustran varios casos particulares.

Ejemplo 7. (Coido !ihw cn rl w c i o ) Se considera un cuerpo que cae libremente cerca de la superficie de un planeta sin atmósfera y con aceleracihn de la gravedad igual a y , que permanece esencialmente constante cerca de l a superficie. El movimiento del cuerpo se rige por la ecuacihn diferencial

i -g, (7)

donde S se mide de la superficie del planeta hacia arriba. La solución general de la ec. (7) es

1 2 S = C,t + cz " gt2,

y las constantes C', y Cz se determinan si la posición s y la velocidad S del cuerpo se conocen en un tiempo particular lo. I /

Ejemplo 8. ( C ' i r í d i r l i h w e17 un w d i o ) Un cuerpo cae libremente a travls de un medio (atmikfera) cerca de la superficie de un planeta con aceleraci6n de la gravedad igual a en la proximidad de dicha superficic. Se supone que, debido a 1 medio, cxistr: una ruerza de retardo del movimiento del cucrpo que es proporcional a su velocidad. El movimiento del cuerpo se rige enlonces por I;\ ccuaciim diferencial

De nuevo, C', y Cz se determinan por la posicirjn S y la velocidad S en u n tiempo particular t o .

Derivando (9) se obtiene para la velocidad

Cuando r crece. el término - kC7tJ-k' resulta muy pequeño; entonces la r d o c ~ i t l a d termintrl del cuerpo es -cg!k. Obsérvese que el cuerpo tiende a esta velocidad de manera exponencia1 (rápidamente). j!

Ejemplo 9. { b"hrtrc,iones r1o irrllortiylrarltrs de un resorte) Considérese un cuerpo de masa m que cuelga de un resorte que se muestra en la posición natural de reposo para S = O, en el eje vertical S en la fig. 20.5. Si se estira (o comprime) el resorte a partir de su posición natural, entonces ejerce una fuerza restauradora


Figura 20.5

proporcional al desplazamiento del cuerpo, suponiendo que no se excede el límite elhstico del resorte. Si se induce en el cuerpo u n movimiento vertical y la fuerza de restauracibn es la ímica en el sistema, entonces cl movimiento del cuerpo satisface la ecuac ih diferencial

ms = -ks (10)

para una constante k > O del resorte. La ecuación característica para (10) es n w 2 + k = O, y se ve que la soluci6n general es

donde C , y C. se determinan por la posici6n y la velocidad del cuerpo en un tiempo particular lo.

Si se hace .4 = JC,” + C2’, entonces ( 1 1) se escribe

Puesto que(Cl/A)’ + (C, /A)’ = 1, existe 0 tal que0 < 0 < 2n y tal que sen O = C1/A y COS O = C2;’A. Así

L a ec. (12) muestra que el movimiento vibratorio es sinusoidal con amplitud A y Bngulo de fase U. Tal movimiento vibratorio sinusoidal no amortiguado se conoce como trnmcimiento arnzdnicn simpk)). 11 Ejemplo 10. ( Vibraciones unzortiyuaríus de un resorte) Suponer que el resorte de la fig. 20.5 tiene un mecanismo amortiguador adjunto que ejerce una fuerza opuesta


a la dirección del movimiento y proporcional a la velocidad del cuerpo. La ecuación diferencial se convierte en

ms = -ks - CS (13)

para k > O y c > O. El carácter de la solución general de esta ecuación ms'+ CS + kx = O depende de las magnitudes relativas de m , c y k , y de las condiciones iniciales. En los ejercicios se pide escribir la naturaleza de los movimientos particulares en el caso sohremnortiguado donde c2 > 4kn1, en el caso criticanzenfe rmortiguado donde c 2 = 4km, y en el caso .subanlortiyu(ulo donde c2 < 4km (ver ejercicios 17, 18 y 19). I /

RESUMEN

hnt/ej'(.Y) es una solucicin parlicrrlur de P ( D ) y = S(.%).

2. S iP(D) = ( D - r I ) (D - r 2 ) ... ( D - rn), entonces P ( D ) y = g(x) se resuelve haciendo 11 = ( D - r2) . . . ( D - rn)y, (IC nlodo que P(D)y = g(x) se convierta m (D - rl)u = y(s). Se despeja u J. se aplica de nuevo /a nzisnlu ticnicu a ( D - r2) ... ( D - rn)y = u, etc., pwlr hrzlhr ln solución genertrl.

3. El rnétorio de los cot?ficientes irdeterminarlos pnrrr hallar una solución particular ,{(x) de P(D)y = g(x) es n1uy m~1pl icado para describirlo en un resumen. V r r seccibn 20.6.3 y los ejemplos.

EJERCICIOS

En /os ejercicios 1 11 4, hullur / u sol~rción general de ltr ecuucidn rlif&ncial hdlundo unu solucidn particular por el dtorlo de reducción sucesica LE ecunciones de primer orden, como en el ejenz- plo 1 .

1. y" - 2y' - 3 y = 4x

2. y" - y = cos x

4. y'" - YN = x 2

3. y" + 2y ' + y = e"x

En los ejercicios 5 u 14, hallar l a solucitjn general de la ecuacidn diferencial por rnerlio del nz&odo de los coeficientes indeterminados.

5. y" - 3y' + 2 y = x - 3

6. y" + 4y' = x2

7. y" + 4 y = sen x

8. y" - 4y' - 5 y = x' +- 2e-" 9. y"' + 3y" = x + e3x

IO. y"' - y" = x' + ex.

11.

12.

13.

14.

I S.

16.

17.

18.

y" t 4y ' I 4 y = 2 % cos x

" - 4v == x sen 2x

la posición de reposo. Demostrar que la pesa cruza su posicihn original de reposo y luego regresa a SII posición inicial.

19. Con referencia a l ejercicio I ? , demostrar ahora quc si 2 < 4 h . entonces el movimiento de la pesa alrededor de su posicihn de reposo es osci1a:oria. pero su amplitud decrece exponencialmente hasta O cuando el tiempo aumenta.


es diferente de cero pero relativamente hombres que marchan al compks deben pequeño, la amplitud puede ser relativa- interrumpirlo al cruzar un puente, por el mente grande si k = J4ac - hfj2a. Este peligro de que la frecuencia de su comphs fenbmeno, conocido como wesonancim), sea igual a la frecuencia natural de vibra- puede ser muy destructor. Un grupo de c16n del puente.)

20.7. SOLUCIONES POR MEDIO DE SERIES: EL CASO LINEAL HOMOGENEO

20.7.1. La naturaleza de una solucion en serie

Considerar la ecuación diferencial

y ' = g(x!. (1 )

Si la función (1 de la ec. ( I ) es analítica en .yo, y si puede hallarse una serie de potencias en .Y - .yo que represente a q en una vecindad de s o , entonces es posible hallar la solucibn general de la ec. ( 1 ) en l a vecindad de .xo integrando la serie tkrmino a término. Puesto que algunas funciones elcmentalcs no tienen funciones elementales conm antiderivadas, las soluciones en serie de la ec. ( I ) son muy iltiles. Se considera que una soluci0n en serie de potencias de .Y .- yo

describe el comportamiento de J. para .Y prbximo a .yo.

Ejemplo 1. Se establecih que la antiderivnda de I:I función v" no es una funcibn elemental. Hal lar l a soluci6n en scrie de l a ecuaci¿in diferencial J.' = c " .

s o ~ r r < ~ Ó r \ ; . Si se escribe .x' diferencial se convierte en

en lugar de x en la serie para e", la ecuacibn

La serie converge a o" para todo x. lntegrando se obtiene la soluci6n general

para todo .Y. Ajustando la constante arbitraria C se halla u n a soluciiln particular que tenga un valor requerido en el origen. Por ejemplo, c' = O da una solucihn ,f; donde.f',(O) = O, mientras que C = -5 da una solucibn 12 donde />(O) = - 5 . 1 1

Ejemplo 2. Por el ejemplo 1 se ve que a partir de la ecuaciiln y' ' = Y" se obtiene, al integrar una vez

x 3 x 5 X7

3 5 * 2 ! 7 . 3 ! (2n + l )n!

X Z n + l

y ' = C , + x + - + - + - + . . * + + . . .


para todo x. Una nueva integración resulta en la solución general

x2 x 4 X6 X 8 y = c2+ c,x +-+-+-+-+ . - *

2 4 . 3 6 . 5 * 2 ! 8 * 7 * 3 !

+ x 2n +2

( 2 n + 2)(2n + l )n! + . . . .

3

para todo x . Si y =.f'(s), entonces C1 = ./"(O) y C2 = / ' (O) ; tanto el valor de una solucibn particular en O como el de su derivada en O se controlan por las dos constantes arbitrarias C2 y C1. ~1

Debe mencionarse que no toda ecuación diferencial tiene una solución general en forma de serie de potencias en .Y - .YO, aun en el caso de que tenga una solución general en una vecindad de s o . Por ejemplo, la ecuacibn diferencial J,' = y(s), donde

g b ) = para xZ0 , para x = O ,

tiene una solución genelal, es decir

Y = loX&) dx + c, que es vdida para todo s . (La funcibn g es continua en O.) Sin embargo, l a función g no es analítica en O, y, naturalmente, ninguna antiderivada puede ser analítica en O. Luego no hay solución en series de potencias para la ecuacibn J.' = $\(.Y) en s o = O.

20.7.2. Ecuaciones lineales homogéneas

La ecuacicin

y'n) + pl("'"-'' + . . . + Pn-l(x)Y' + pn(x>y = 0, ( 3 )

donde p l , ..., p n son funciones conocidas, es una ecuación diferencial homogénea de orden n con coeficientes pl(s) , ..., p,(x). Se enuncia sin demostración el teorema principal relativo a la existencia de soluciones analíticas y = ,/'(x) de la ec. ( 3 ) en una vecindad de un punto .yo. (Ver también el teorema 20.3 en la seccibn 20.5.) Puesto que la ec. (3 ) es de orden n, se espera que la solución general tenga 17

constantes arbitrarias, ajustables para controlar los valores

f(xo), f'(xo>, . . . 9 f'""'(x,>. Un recurso notacional conveniente es hacer

Y b o ) = f (xo) , Y" = f ' b o ) , . . . 3 y(n-l)(x,) = f b - 1 ) (xo).

Teorema 20.6. Seun los coefic~ienres pl(x), ..., p,(.u) (le lu ec. ( 3 ) unulíticos en .yo c o n expunsión en series de potencias en .Y - x. que los representun en una cecindutl .yo - r < .Y < s o + r. Entonces torlu solución de lu ec. (3 ) en tlichcr wcintlud es


analítica en .x0, y para constantes cualesquiera ao, ..., a,- existen constantes rinicas a,,, a,+ ... tales que la serie uk(x - represente una solución de la ec. (3 ) en esta cecindad. Ademús, s i se consideru ao, ..., a,- I como constantes arbitrarias, existen nfunciones y,(x), ..., y,,(x) tales que la solución general de la ec. ( 3 ) en esta recinriacl es

aoYl (x) + * . * + 4-IYn(X) . (4) En el artículo siguiente se presenta una técnica para hallar soluciones en series

de la ec. (3). En la sección 20.8 se presentan otra técnica y un estudio del caso no homogéneo (donde el miembro de la derecha de la ec. (3 ) es diferente de cero).

20.7.3. Solución de la ec. (3) por derivación

Sea y =,f(x) una solución de la ec. (3 ) en x. - I' < x < x. + r tal que

y(xo> = a,, Y ' b o ) = a,, . . . 3 Y'"'(X0) = 4 - 1 ,

para las constantes ao, ..., a,- I . Según el teorema 20.6, si los coeficientes pj (x) son analíticos en x. - r < .Y < .yo + r , entonces existen constantes a,, a,+ I r ... tales que

m

k=O

para .xo - r < x < s o + I'. Según el teorema de unicidad para los desarrollos en serie, el coeficiente ak de la serie debe ser el k-ésimo coeficiente de Taylor, así que

para k = O, 1, ... Se supone que los coeficientes p,(x), ..., p,(x) de la ec. (3 ) son funciones conocidas, analíticas en s o , y que ao, ..., u n - I son constantes conocidas. Es necesario hallar

a, = y'"'(x,)/fl!, a,,, = y'""'(xo)/(n + l)!, . . . Evidentemente, es suficiente hallar las derivadas J + ~ ) ( X ~ ) para i 3 n. Según (3). se obtiene

y'"' = -p,(x)y'"-L' - . . . - P,(X)Y> (6)

y se utiliza (6) para calcular $"'(xo), puesto que se conocen los valores en x0 de todas las funciones que aparecen en el miembro de la derecha de (6). Se efectúa la diferencia (6) para obtener

= + p;(x)y'""'] - . . . - [P,(X)Y' + P X X ) Y l . (7) Puesto que ya se calculó y'"'(xo), se conocen los valores en x. de todas las funciones que aparecen en el miembro derecho de (7) , de modo que se calcula y(n+l)(xo). AI derivar (7) se calcula J ( ~ + ~ ' ( X ~ ) , etc., y se halla la solución en series.

Si todos los p i ( x ) son funciones constantes tales que p i (x ) = O para i = 1, ..., n,



tcarbitrarias)). Calcular las derivadas posteriores de y en O utilizando dos columnas como en el ejemplo anterior.

Y(@ = a,

~ ‘ ( 0 ) = a,

y” = -y y”(@ =-a,

Y”’ = -Y1 yff1(0) =-a,

Y”== - Y ” y”(O) = a,, y v = -y”’ Y’(0) = u1

Y”’ =-yiv yvi(oj =-U,

Y”” = -YV = -a,


x2 x4 x6 2 xs x’ = “( 2! 4! 6!

I ” + ” _ . . .

= a, cos x + a, sen x,

para todo x. Obsérvese que la solucibn se ha expresado en la forma aoyI (x j+a l~~z(x ) descrita en el teorema 20.6, donde J.[(x) = cos x e = sen .x. 1 1

Se da un ejemplo para ilustrar el método de solución por derivación cuando no todas las funciones pi(x) son constantes.

Ejemplo 5. Hallar la solución general para .xo = O de la ecuación diferencial

y‘” x y = o S O L U C I ~ N . Sean y(O) = a. e ~ ’ ( 0 ) = a l . Se organizan los cálculos en dos columnas como en el ejemplo anterior.

Y(O) = a,

Y’(0) = a,

y” = xy y”(0) = o * Qg = O

y”’ = xy’ + y y’”(0) = u, yiv = xy)’ + y! + y! = xyrr + 2y’ y”(0) = 2 4 y” = XyNf + 3y“ y’(0) = o

= xyiv + 4y~t‘ Y’’(0) 4Uo


Y n ' . - - xy' + 5y'" y""(0) = 5(2a1) = loa,

= Xy(n-2) + ( n - 2)y (n-3 )

Aquí se halla que

(4)(7)(10) ( n - 2)a0 si n = 3m, ~'"'(0) = (2)(5)(8) * * ' ( n - 2)al

[O si n = 3rn + 1, si n = 3m + 2.


y = a, + a,x + ox2 + " x +-x + ox' + -x + ~

a0 3 2% 4 4a" 6 2 . 5 u 1 X 7 + . . .

3 ! 4! 6 ! 7 ! x3 4x6 4.7x" (4)(7)(10). * * ( 3 n - 2)

X3n + . . . = a o l + - + - + - + * * - ( 3 ! 6! 9 ! + ( 3 n ) !

2x4 2 . 5 ~ ' 2 . 5 - 8 ~ " ' = a , x + - + - ( 4!

+ 7 ! l o !

+ . . .

para todo .Y. Aquí se expresa una vez miis la solución en la forma L I ~ ~ ~ ~ ( . ~ ) + U ~ ~ ~ ( . Y )

descrita en el teorema 20.6. i j

m


expresión para y("+" derivando la ecuución para y'"', hallando su vulor en x. y dividiendo por ( n + l)! pura hallar u,+ 1 . Este proceso se continúa, derivando y hallando calores hasla el punto deseado para obtener tkrnlinos sucesicos de la solución en serie.

EJERCICIOS

1.

2.

Sea y = , f l u ) la solución de la ecuación uOyI(.x) + ... + a,- lyn(.x) descrita en el teore- diferencial y" - x2y ' + 2y = O, tal que ma 20.6 J' expresar' l a s junciones yi(x) en tPr- ~ ' (0) = 1 e ~ " ( 0 ) = -2. Hallar J'i"(0). minos de fitnciones elerncntules cuando sea

Sea J' =,f'(x) la solución de la ecuación diferencial y"'+(sens)y'-3(cosx)y=O, 3. Y ' + X Y = 0 ; X 0 = 0

posible.

20.8. SOLUCIONES POR MEDIO DE SERIES: EL CASO NO HOMOGENEO

Se considera una vez mBs la ecuación diferencial lineal homogénea

y'"' + p,("'""' + . . . + Pn-l(x>Y' + Pn(x)Y = 0, (1) cuyos coeficientes son analiticos en x. - r < x < x. + r. El método de los coeficientes indeterminados para resolver la ec. (1) consiste en sustituir y = o ak(x - en el miembro izquierdo y determinar las constantes anran+ ... en términos de uo, ..., u,- de modo que la expresión resultante sea, efectivamente, O. La técnica se aprecia mejor con un ejemplo. Sea x. = O. Se puede utilizar el mismo procedimien- to en cualquier punto .xo para obtener una serie en Ax = x - xo.

20.8.1. El método de los coeficientes indeterminados Ejemplo 1. Hallar la solución general en series de potencias para x. = O de la ecuación

y" - 2xy' + y = O. (2)

S O L U C I ~ N . Sea


O = (ao + 2a,) + (6a, - a,)x + . . . + [ ( n + 2)(n t l)aE+2 - (2n - l)a,]x" + . . -

La unicidad de las series di: potencias muestra que, para que las series obtenidas por adici6n representen la funcibn constante O, se debe tener

a,, + 2a2 = O, 6a, - a , = O, . . . , ( n + 2)(n + l )anc2 - (2n - l)a, = O, . . .

0

a2 = " a o a, = - a1 2 ' 6 '

_ . . . 2n - 1

ani2 = ( n + 2)(n + 1) an9 . . .

La relacihn

es una rehcicin recurrente que se utiliza para calcular todos los coeficientes en términos de ( lo y [ l l . Como solucion general se obtiene

y = a,, t a , x - - x + - a0 2 a1 2 3 . 2

= a,) + a ,x -"x + a, 2 a1 - + a x s 2! 3! 4! S!

7 . 3a0 9 . 5a, -- 6! 7 !

x +""...

1 3 - 9 . 5 x 9 + . . .

9 ! )


para todo x. Una vez más, la solución se expresó en la forma rr0yl(x) + u l y 2 ( x ) dada en el teorema 20.6 (sección 20.7). 1 )

20.8.2. El caso no homogéneo

La ecuación y(n, + pl(x)y'"-" + . . . + P,- lb)Y' + P,b>Y = g b ) (4)

para una función y no nula es una ecuación diferencial lineal de orden n, no homogénea, con coeficientes pl(x), ..., p, (x) . La ec. (4) difiere de la ec. homogénea (1) sólo en que el miembro derecho de aquélla no es O. Según el teorema 20.6 (sección 20.7), es cierto que si pl(x), . . . ,p,( S) y y(x) son analíticas en .yo con desarrollos en series de potencias en x - x g que las representan en alguna vecindad de ,xo, entonces todas las soluciones de la ec. (4) en tal vecindad son analíticas para xg, y si se tienen constantes arbitrarias u l , ..., u,- 1, existen constantes únicus u,, u,,+ 1, ... tales que la serie y = x;= o ak(x - xo)" representa una solución de la ec. (4) en esa vecindad. Fácilmente se ve, como en la sec- ción 20.6, que la solución de (4) es de la forma

y = [Solución de la ecuación homogénea donde y(x) = O] + ,f(.x),

donde j'(x) es una solución particular de (4). Tanto la técnica de solución por derivación descrita en la sección 20.7 como

la de los coeficientes indeterminados se utilizan para hallar soluciones en serie de la ec. (4). Se da una ilustración que utiliza el método de los coeficientes indeterminados.

Ejemplo 2. Hallar la solución general en series para x. = O de

y" - 2xy' + y = x, (5) que es anáioga a la ec. (2) del ejemplo 1, pero con x en lugar de O en el miembro derecho.

S O L U C I ~ N . Sea y = C."=o a.x" como en el ejemplo 1, y se efectúan exactamente los mismos cálculos, excepto que ahora al sumar para hallar y" - 2xy' + y debe tenerse

x = (ao + 2 4 + (6a, - al)x + + [ ( n " 2)(n f l )&+z - (2n - 1)aJX" + *

Esta vez se obtiene

0 = Qg + 2a2, 1 = 6a3 - a,, . . , , o = ( n + 2)(n + of.&+* - (2n - U&, . . .


así a 2 = -u0/2 y u j = (al + 1)/6, mientras que para n > 1 se tiene de nuevo la relación recurrente

2n - 1


a0 2 a, + 1 y = a , + a , x - " x +-

2 3 . 2

=a,+a,x"X a0 2 +-X3"X + a, + 1 3a0 5(a1 + 1) x 5 - . . . 2! 3! 4! 5!

5 1 3 - 9 . 5 5! 7! 9!

+ - x s +=x7 + x 9 + . . .

+ ( $ x 3 + s ? x s + - 5 9 - 5 x 7 + 1 3 * 9 * 5 x 9 + 7! 9!

para todo x. Obsérvese que esta es la solución que se encontró en el ejemplo 1 para la ecuación homogénea y" - 2xy' + y = O más la solución particular

1 5 9 . 5 1 3 . 9 . 5 y = -x3 + " X 5 + - 3!

x7 + 5! 7!

x 9 + . . . 9! It

RESUMEN

1. Unu solución en series de unu ecuación diferencial lineul en una recintltrtl de O se hallu efectuando la sustitución

y = akXk k =O

en 10 ecuación e igualando los cogficientes de las mismus potencius (le x en los dos miembros de la ecuación, ( Todos los coclficienres y ,funciones de IN ecuución SL' expresan primero en series de potencias paru x = O.) Se esperu obtener unu relución recurrente pura determinar u, en términos de los coeficientes unteviores de la serie.

2. Se puede obtener una solucibn en series urilizando lu tkcnicu de solución por dericución descrita en la últimu sección paru este cuso no homogéneo.


EJERCICIOS

En los ejercicios 1 a 4 , hallar, por el nlétodo de los coeficientes indeterminados, tantos térmi- nos conlo sea conceniente en la soltrcibn generrrl en series de la ecuación diferencial, en uno recin- dud del punto x. indicado. Expresar la respuesta en la fornla a o y I ( x ) + ... + a,- lyn(x) descritct en el teorema 20.6.

1. y” + xy’ + 2y = o; X” = o 2. y’’ - x*yll = O; X” = o 3. y“ + 2xy’ - xy = o; X(, = o 4. y” + 3(x - 1)y’ - 2y = o; X” = 1

En los ejercicios5 a JZ, utilizar cualquier n~étotlo pctra hallar tontos térnlinos como ser1 conceniente

de la solución general en series de l o ecuac+h d@encial en una vecindad de .xo.

S. y’’ = sen x’; x” = O

6. y” = x cos x*; x” = O

7. y” = x’ tan”x; x” = O

8. (X’ + 1 ) ~ ” + 2xy‘ - y = O; X,) = O

9. xy”’ - y” = O; X” = 1

10. y” - y = x’; X” = O

11. y” + y = sen x; x. = O

12. y” - xy’ + 2y = x2 + 2; X” = o


1. Dibujar el campo de dirección de la ecua- 6. Hallar la solución general de ( x + y’ ción diferencial + y j rly - y LlX = o.

y( = y - x, 7. Hallar la solución general de y‘ + y unas cuantas curvas solución. (sen x)y = sen x.

gonales de .x2 - y‘ = C. 2. Hallar la familia de trayectorias orto- 8. Hallar la solución general de y”’ -

3. Hallar la solución particular de ~ / ) ~ / c l . y = 6 ~ ” + 9 ~ ‘ = O.

x tan y tal que y = J4 cuando ,u = O. 9. Hallar la solución general de y ” - 4. Hallar la solución general de d~3/tl.u= 2y’ + ~y = e3x.

(.u + y)/x. IO. Hallar los primeros ocho términos de la S. Hallar la solución general de (x’ + y2 jdx solución en serie en la vecindad de

+ 2xycly = o. x. = O de y’’ - 2xy’ + y = O.


1. Enunciar el teorema de existencia para 2. Hallar la familia de trayectorias ortogo- las soluciones de una ecuación diferencial nales de y = 4x2 + C.

y’ = F(x, y) que pasen por un punto 3. Hallar la solución general de t/y/(/.u =

(XO, Yo). (4’ - X M Y + 4 .


4. Hallar la solución de 8.

(2x sen y) dx + (x'cos y) dy = O

tal que J. = ni2 cuando x = 3. 9. S. H a l l a r l a s o l u c i ó n g e n e r a l d e

( x + cos y) rly + (y + sen .x) (1s = O. 6. Hallar la solución general de y ' + IO.

(cot r ) y = x.

24'" = O. 7. Hallar la soluci6n general de !>'" -

Hallar la solucibn ge;~rral de

(D' - 3)(D' + 3 ) y = O.

Hallar la solución general de

y" - 3y' + 2y = senx.

Hallar los primeros cinco términos de la soluci6n en serie en l a vecindad de .X" = O de

y" - 2xy' + xy = 1 - senx.

Apéndices

1. Programas en lenguaje BASIC 2. Breve resumen de algebra y geornetria 3. Tablas de funciones 4. Breve tabla de integrales

C7441

1 Programas en lenguaje BASIC

LISTADO 1. Valores X Y

100 REM ESTE PROGRAMA IMPRIME UNA TABLA DE VALORES X E Y 110 REM PARA LA FUNCION DEFIN IDA EN L INEA 150 . SE TOMAN 120 REM N VALORES EQUIDISTANTE8 DE X EN EL INTERVALO !A, B1 1 x RFM ""

140 REM INGRESO DE DATOS 150 DEF F N F ( X ) = X * X * X + 1O*X*X + 8*X - 160 READ A,B,N 1 7 0 OATA - 1 0 , 3 , 2 7

50

190 REM IMPRESION DE LOS TITULOS 200 PRINT "VALOR X " , "VALOR Y " 2 1 0 REM 2 2 0 RE14 CALCULO E IMPRESION DE VALORES Y

240 FOR I 1 TO N - l

2 6 0 P R I N T X, F N F ( X ) 270 NEXT I 2 8 0 END

230 PRINT A , F N F ( A )

250 LET X = A + I * ( B - A ) / ( N - ~ )

LISTADO 2. GRAFICAR

100 REM HALLAR INSTRUCCIONES AL FINAL DEL PROGRAMA 110 GO TO 960 120 REM 130 REM 140 REM SE DA DIMENSION AL ARREGLO Y SE INGRESAN DATOS 150 D I M Y(:OO) 160 LET Z = 1 1 7 0 I F Z = 0 THEN 220 180 PRINT "NO SE INGRESO LA FUNCION POR GRAFICAR EN LINEA 160."

2 0 0 P R I N T "ANTES DE CORRER EL PROGRAMA. 190 PRINT "ESCRIBA 160 DEF F N F ( X ) = < tUNCION POR GRAFICAR>"

2 1 0 GO TO 1210 220 PRINT " INGRESAR EXTREMOS A,B DEL INTERVALO DE VALORES x . " 2 3 0 I N P U T A , B

2 5 0 I N P U T N 260 PRINT 270 PRINT 2 8 0 REM 290 REM

310 REM MAYOR ( L )

240 PRINT "INGRESAR EL NUMERO <= 100 DC PUNTOS POR GRAFICAR. "

3 0 0 REM S E CALCULA PRIMER VALOR DE Y; DAR VALOR I N I C I A L A MENOR ( 5 ) Y

3 2 0 L E T D = ( B - A ) / ( N - l )

160.'

PROGRAMAS EN LENGUAJE BASIC 745

3 3 0 L E T X = A 3 4 0 L E T I = 1 3 5 0 L E T Y = F N F ( X ) 360 L E T Y(1) = Y 370 L E T S, L = Y 3 8 0 REM 390 REM

410 LET r = I + 1 4 2 0 IF r > N THEN 5 3 0

4 0 0 REM SE CALCULAN OTROS VALORES DE Y , S, Y L

430 L E T X = X f D 4 4 0 L E T Y = F N F ( X ) 4 5 0 L E T Y ( 1 ) = Y 4 6 0 I F S <= Y THEN 4 8 0 4 7 0 L E T S = Y

490 L E T L = X 4 8 0 I F L >= Y THEN 5 0 0

500 GO TO 4 1 0 510 REM 520 REM 5 3 0 REM MANEJO CASO ESPECIAL FUNClON CONSTANTE 540 I F L - S <> 0 THEN 580 550 PRINT "FuNCION CONSTANTE DE VALOR " S ; "SOBRE TODO EL INTERVALO"

5 7 0 GO TO 1 2 1 0 5 6 0 P R I N T "NO SE TRAZO LA GRAFILA . "

5 8 0 REM 5 9 0 REM 600 REM SE IMPRIME INFORMAC!ON SOBRE L A ESCALA 610 P R I N T " E L MENOR VALOR DE Y ES "; S 6 2 0 P R I N T " E L MAYOR VALOR O E Y ES "; L 6 3 0 L E T Q = ( L - S ) / 5 C 6 4 0 P R I N T "UNA MARCA EN EL EJE-Y EQUIVALE A" ; Q; "UNIDADES" 650 PRINT 660 P R I N T 6 7 0 P R I N T " " , S , " "," '* ; L 680 I F S*L > 0 THEN 7 7 0 6 9 0 P R I N T " ", 700 FOR I = 1 TO 50

7 2 0 P R l N T "O" 7 3 0 GO TO 76rJ 7 4 0 P R I N T " " ; 750 NEXT I 7 6 0 P R I N T 770 PRINT "ESCALA Y " 7 8 0 P R I N T "t .. t.,..+....t,,..t....f....+....t....+....f....t" 800 PRINT "VALORES X " 790 P R I N T

810 REM 8 2 0 REM 830 REM GRAFICAR 840 FOR K = 1 TO N

860 PRINT A + (K-1)*D, 8 5 0 L E T P = ( Y ( K ) - S ) / Q

880 I F J > I N T ( P ) THEN 910 8 7 0 FOR J = O TO 5 0

890 900 GO TO !30

P R I N T "*" 910 9 2 0 NEXT J

PRINT ";

930 NEXT K 940 GO TO 1 2 1 0 9 5 0 REM 960 REM INSTRUCCIONES PARA USUARIOS DEL PROGRAMA 970 PRINT "DESEA INSTRUCCIONES? ESCRIBA SI O NO, ENTONCES RETORNE EL CARRO." 980 INPUT A$ 990 IF A$ = "SO" THEN 1 4 0 1000 P R I N T 1010 PRINT "ESTE PROGRAMA GRAFICA HASTA 100 PUNTOS"

7 1 0 IF ( S + ( I - l ) * Q ) * ( S + I * Q ) > O THEN 7 4 0


1 0 2 0 P R I N T 1030 P R I N T 1040 PRINT

1060 PR!NT 1 0 5 0 P R I k T

1 0 7 0 P R I N T 1080 P R I N T 1090 P R I N T 1100 P R I N T 1110 P R I N T 1 1 2 0 P R I N T 1 1 3 0 P R I N T 1 1 4 0 P R I N T 1 1 5 0 P R I N T 1160 P R I N T 1 1 7 0 P R I N T 1180 P R I N T 1190 P R I N T 1 2 0 0 P R I N T 1 2 1 0 END

"PARA VALORES EQUIOISTANTES DE X EN EL, , INTERVALO" " [ A , 81 DE VALORES X QUE UD. INDICARA.

"ESCRIBA WIDTH 90 Y REGRESE E L CARRO."

"ESCRIBA 160 OEF F N F ( X ) = <FUNCION POR GRAFICAR, Y " "REGRESE EL CARRO. ENTONCES CORRA EL PROGRAHA."

"DURANTE EL PROCESO, SE LE PEDIRAN LOS EXTREMOS A,B DEL INTERVALO", "DE VALORES DE X . INGRESE ESTOS VALORES, SEPARADOS POR "

"UNA COMA, Y REGRESE EL CARRO."

"DURANTE E L PROCESO, CUANDO SE LO PIDAN, INGRESE EL" "NUMERO DE PUNTOS QUE SE VAN A GRAFICAR, Y REGRESE EL CARRO."

"PARA SUPRIMIR LA INDICACION DE INSTRUCCIONES, ESCRIBA 110 ' "ANTES DE CORRER EL PROGRAMA, Y REGRESE EL CARRO."

"UD. ESTA EN CONDICIONES DE CORRER EL PROGRAMA."

LISTADO 3. SECUERD

100 REM ESTE PROGRAMA I M P R I M E 2 0 110 REM DE LAS SECANTES Y DE LAS 1 2 0 REM X = X1 E INCREMENTOS H =

VALORES DE L A S P X D I E N T E S CUERDAS DE UN GRAFICO PARA 1 / 2 , 1/4 , 1/8, . . . , 1/2**2O.

17n RFM "_ .- 140 REM SUMINISTRO DE DATOS 1 5 0 DEF FNF(X) = SQR(X*X + 16) 160 READ X 1 170 DATA 2 180 LET H = 0 .5 190 REM 200 REM CALCULO E IMPRESION DE LAS PENDIENTES 210 PRINT "INCREMENTO", "PEND. SEC.", "PEND. CUERO." 220 P R I N T 2 3 0 FOR I = 1 TO 20 2 4 0 L E T S = ( F N F ( X 1 + H ) - F N F ( X l ) ) / H

260 P R I N T U S I N G 2 9 0 , H,S,C 270 L E T H = H/2 2 8 0 NEXT I 290 : .####M#### 300 END

. # # X # # # # # # # . # # # # # X # # # #

250 LET C = ( F N F ( X 1 + H ) - F N F ( X 1 - H ) / ( 2 * H )

LISTADO 4. LIMITES

100 REM ESTE PROGRAMA IMPRIME UNA SUCESION DE VALORES DE L A 110 REM F U N C I O N F ( X ) PARA UN CONJUNTO ALEATORIO DE 20 VALORES 1 2 0 REM DE X PROXIMOS A X = C 130 REM INGRESO DE DATOS 140 DEF F N F ( X ) ~ = ( x * x - 4 ) / ( x - 2) 150 PRINT " INGRESAR VALOR C " 160 INPUT C 1 7 0 REM 180 REM CALCULAR E IMPRIMIR VALORES DE X Y DE F ( X )

200 LET R = RND 190 FOR 1 = 1 TO 20

2 1 0 L E T X = C + ( 2 * R - l ) * i l / Z ) * * I 220 PRINT USING 240, X , F N f ( X ) ' 230 NEXT I 2 4 0 : # . # # # # # # # # # # # . # # P # # d # # # # 250 END

PROGRAMAS EN LENGUAJE BASIC 747

LISTADO 5. DERIVE

1 O0 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 2 10 220 230 240 2 5 0 260 270 280 290 300 310 320 3 30 340 350 360 370 380

REM ESTE PROGRAMA ENCUENTRA LA DERIVADA DE F N F ( X ) REM EN EL PUNTO X = C CON S CIFRAS EXACTAS.

REM INGRESO DE DATOS DEF FNF(X) = ( X * X - 4 * X ) / ( X + 6 ) READ S

REM

DATA 6 PRINT "INGRESAR E L VALOR DE C" INPUT C

R FM . . REM HALLAR E IMPRIMIR APROXIMACIONES A L A DERIVADA REM FASTA LOGRAR S CIFRAS EXACTAS PRINT " INCREMENTO

FOR I = 1 TO 30 APROXIMACION"

. . .. LET X1 = c - ( 1 / 2 ) * * 1 L E T Y1 = F N F ( X 1 ) L E T X2 = C + (1/2)**I L E T Y2 = F N F ( X 2 )

PRINT USING 370, (1/2)**1, D

REM COMPROBAR LAS CIFRAS EXACTAS IF I = 1 THEN 340

LET D = ( Y 2 - Y l ) / ( X 2 - X 1 )

REM

IF ABS(D/L - 1 ) < . 5 * 1 0 * * ( - S ) THEN 380 IF ABS(D) < .5*10**(-S) THEN 380 L E T L = D NEXT I

END : #.####M#### # # # # . 4 # # # # # # t # t

LISTADO 6. NEWTON

100 REM CON ESTE PROGRAMA SE PERSIGUE HALLAR CEROS DE FUNCIONES 110 REM EMPLEANDO E L METODO DE NEWTON. PARTIENDO DE APROXIMACION 120 REM I N I C I A L A , E L COMPUTO SE LLEVA A S CJFRAS SIGNIFICATIVAS. 130 REM 140 REM INGRESO DE DATOS

160 READ S 170 DATA 8 180 PRINT "APROXItIACION INICIAL"; 190 INPUT A 200 PRINT

220 REM APLICACION DEL METODO DE NEWTON 210 REM

240 PRINT 230 PRINT "APROXIMACION X " , " F ( X ) "

250 P R I N T A , F N F ( A ) 2 6 0 FOR J = 1 TO 4 0 270 GOSUB 450 280 L E T 2 = A - F N F ( A ) / D 290 PRINT Z , F N F ( Z ) 300 IF A = O THEN 320

150 DEF FNF(X) X*X*X + lD*X*X + 8*X - 50

310 IF A B S ( 2 . A - 1) < .5*10**(-S) THEN 350 3 2 0 I F A B S ( Z ) < .5*10**(-S) THEN 350 330 LET A = Z 340 NEXT J

360 REM SE IMPRIMEN LOS RESULTADOS 350 REM

370 PRINT 3 8 0 I F J = 4 0 THEN 410

400 STOP 390 PRINT "EL METODO DE NEWTON CONVERGE A UNA SOLUCION EN X = " ; Z


4 1 0 P R I N T "NO SE LOGRO EXACTITUD" 4 2 0 STOP 4 3 0 REM 440 REM 4 5 0 REM SUBRUTINA PARA CALCULAR LA DERIVADA DE F N F ( X ) EN X = A 4 6 0 L E T H = 0 .5 4 7 0 FOR I = 1 TO 4 0 480 L E T O = (FNF(A+H)-FNF(A-H))/(?*H) 490 IF I = 1 THEN 5 1 0 500 IF ABS(O/L - 1 ) < l O * * ( - S - l ) THEN 5 5 0 5 1 0 IF A B S ( 0 ) < l O * * ( - S - l ) THEN 550 520 L E T L = D 5 3 0 L E T H = H / 2 5 4 0 NEXT I 5 5 0 RETURN 5 6 0 E N 0

LISTADO 7. INTEGRALES

100 REM ESTE PROGRAMA COMPARA LOS VALORES DE UNA INTEGRAL 110 REM OEFINIOA OBTENIDOS MEDIANTE REGLA RECTANGULAR, TRAPEZOIOAL Y SIMPSON 120 REM 1 3 0 REM IMPRIMIR TITULOS E INGRESAR DATOS 1 4 0 P R I N T " # SUBOIVISIONES", "RECTANGULAR", "TRAPEZOIOAL", "SIMPSON" 150 P R I N T 160 DEF FNF(X) = S Q R ( 4 - S I N ( X ) * S I N ( X ) ) 1 7 0 READ A,B 180 DATA 0 , l

200 DATA 10,50 ,100,200, -1 190 REA0 N

2 1 0 IF N = -1 THEN 4 3 0 REM

REM L E T L E T L E T L E T

REM SE HALLAN LAS SUMAS EXCEPTO EL ULTIMO TERMINO DE REM

T Y S 300 FOR I = 1 TO N - 1 3 1 0 L E T R = R + FNF(A + ( I + 1 / 2 ) * H ) 320 L E T T = T + 2*FNF(A + I * H ) 3 3 0 L E T C = 2 + 2*(I - 2 * I N T ( 1 / 2 ) ) 3 4 0 L E T S = S + C*FNF(A + I * H ) 3 5 0 NEXT I

3 7 0 REM SE AGREGAN LOS ULTIMOS TERMINOS DE L A S SUMAS Y SE IRPRIMEN RESPUESTAS 3 6 0 REM

380 LET T = T + F N F ( B ) 390 L E T S = S + F N F ( B ) 400 P R I N T N, H*R, ( H / Z ) * T , H / 3 * S 410 P R I N T 4 2 0 GO TO 190 4 3 0 E N 0

Breve resumen de álgebra y geometría

A. ALGEBRA

1. Desigualdades 3. Aritmética de los números racionales

Notucicin Lectlrrlr - + - = - a c a d + b c a c ac a < h a es menor que h b d bd ' b d bd' a > h u es mayor que h a < h

alb - ad II es menor o igual que h "-

c/d bc

-.- = -

u 2 I? N es mayor o igual que h

Leyes

(1 < (1 ( -a ) (b ) = a ( - b ) = - (ab) , Si LI < h y h < n, entonces LJ = h Si LI < h y h < c. entonces LI < c

4. Leyes de los signos

(-U)(-b) = ab

Si a < h, entonces LI + c < h + c Si a < h y c' < r l , entonces o + c < h + d 5. Leyes distributivas

Si u < h y > O, entonces (IC < he Si (I < h y c < O, entonces be < LJC

a ( b + c ) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc

6. Leyes de los exponentes

2. Valor absoluto ama" = a'"+", (ab)" = a'"b",

Nottrcicin Lecrurrr (a'")" = a'""

lul Valor absoluto de a am'n = d F = (di)'", a-" - - l/a",

Propiedades amla" = a'"""

la1 = ( a si a 2 0 7. Aritmética del cero -a si a < O

IuI 2 O, y I N [ = O si y sólo si a = O a * O = O a = O para todo número a

lab1 = lal. Ibl a + O = O + a = a para todo número u

la- hl =distancia de a a h en la recta numérica a' = 1 y O" = O si U > O

750 CALCULO CON GEOMETRfA ANALfTlCA

8. Aritmética del uno

1 . a = a . 1 = a para todo número N

- = a’ = a para todo número (I a

1 1” = 1 para todo entero II

9. Teorema del binomio

donde n es un entero positivo

10. Fórmula cuadrática

Sin # 0: entonces las soluciones de la ecuación cuadritica 0.x‘ + h.u + c = O se expresan por la fórmula

x = -b f Jb2 - ~ U C

2a

B. GEOMETRIA

En las fórmulas siguientes, sean

A = area S = altura sesgada C = circunferencia h = longitud de la base r = radio S = área de la superficie o área lateral h = altura V = volumen

1. Triingulo :

A = ibh

h

2. Triángulos semejantes:

_ = _ = - a’ b’ c‘ [\ a b c

b h’

3. Teorema de Pitágoras:

c 2 = a' + 6'

4. Paralelogramo:

A = bh

5. Trapecio :

A = $ ( b , + b,)h

BREVE RESUMEN DE ÁLGEBRA Y GEOMETRíA 751

6. Círculo:

A = m 2 , C = 23rr

7. Cilindro circular recto:

V = m2h, S = 2 m h


8. Cono circular recto:

V = :rrrZh, S = rrrs

9. Esfera:

3 Tablas de funciones

TABLA 1. Funciones trigonométricas naturales

Angulo T - Ra- dián __

0 84x3 O 820 0 . 838 O . 855 0 . 8 3 O 890 0908 O 925 0 . 942 O . 960

0.977 o !)!I5 1 .O12 1 .0:w 1.047 1 ,065 I 082 1.100 1.117 l . 134

1 152 1 . 1 6!) l . 187 1 ,204 1 222 I 239 l . 257 1.2'74 1 2!J2 1 :wJ

co- Seno seno

0.719 O 682 0 . i 3 1 O 095

O 656 O . 755 0 . 669 0 . 713

O . T(i6 0 613

0 777 0.029 0 588 0 , 79!)

O.tilli

0 574 0.819 O 588 0.809 0 602

0.8%) 0.559 0 . m!) 0 . 545 0 848 O . 530 0.857 0.515 0.866 O 500

0 . 8 i 5 0.485 0.883 0.469 0 891 0 454 0.899 0.438 0.906 0.123 0.914 0.407 0.921 0.391 o 927 0.875 O . 9.74 0 . 358 o. 940 0 . 342 O.91G O 326 0 !)51 O.:%on 0.!)56 0 2!)2 0.961 0.276 0.966 0 259

Tan- gente

1 . 036 1 .O72 1.111 l . 150 I . 1!)2 L 2:35 1 ,280 1 ,327 1 . X 6 l . 428 1 ,483 1 .510 I . (io0 I 6(i4 1 ,732 1.804 1.881 1 . !I63 2 050 2.145 2 216 2.356 2.475 2. 60.5 2.718 2. 901 3 078 :+.271 3 487 3 . 732

CALCULO CON GEOMETRfA ANALfTICA

Angulo Ra-

hado 0.541 31"

dian

32" 0.559 :330 O 576 340 O 593 35" O 611

36" O 628 37" 0.646 38" O 663 39" O 681 40' O 698 41' O 716 42' O 733 43" O.¡5O 44' O 768 45" O 785

Angulo Co-

dián Grado gente Seno Seno Ra- Tan-

O 515

1 :396 80" O ¡(M) O 819 O . 574 1 :$¡!I 79'' O 07.5 O 820 O 559 1 361 78" O 649 O X3!) 0.545 1.344 ¡To O 625 0.848 0.530 1 326 76' 0.601 0.857

O 588 O 8WJ O 727 81" 1 414 O 602 O i99

1 484 85" O 83!) O i6ti O 643 I 466 84' O 810 O T i 7 O 629 1 449 83" O T81 O 788 O ( i l t i 1 431 82" O T54

O.65G 0.755 O 86!) 86" 1 501 O Mi!) O 743 O WO 87" 1 518 O 682 O 791 O 933

1 5Tl '30" 1 o00 O TO7 O TO7 1 559 89" O !)66 O il!) O 695 1 536 88"

Seno O . 970 O 9 i 4 0 978 O 982 O . 98.5 O 988 O 900 o 9!)3 O 995 O 996 O . '998 o !I99 O S99 1 . o 0 0

1OOO

Co- gente seno Tan-

O 242 4 O11 O 225 4 332 O 208 O 1!11

4 705

5 671 O 174 5 145

O 1 (i 3 14 O 1:39 7 11.5 O 122 8 144 O 105 !) 514 O 087 11 43 O O70 14 30 0 052 19 O8 O O35 28 64 O O17 57.29 O O O O

TABLAS DE FUNCIONES 755

TABLA 2. Funciones exponenciales

X

0.00 O . 05 o. 10 O . 15 o . 20

0.25 0.30 0.35 0.40 0.45

0.50 O . 55 O . 60 O . 65 O . 70

0.75 0.80 0.85 o . 90 O . 95

1 .0 1.1 1.2 1 . 3 1 .4

1.5 1.6 1.7 1 .8 1 .9

2.0 2.1 2.2 2.3 2 . 4

e2

1 . O000 1.0513 1.1052 1. 1618 l . 2214

l . 2840 l . 3499 1.4191 1.4918 l . 5683

l . 6487 1 . i333 1.8221 1.9155 2.0138

2.1170 2.2255 2.3396 2.4596 2.5857

2.7183 3.0042 3.3201 3.6693 4.0552

4.4817 4.9530 5.4739 6.0496 6.6859

7.3891 8.1662 9.0250 9.9742

11.023

e "I

l . O000 O . 9512 O . 9048 O . 8607 0.8187

O . 7788 O . 7408 O . 7047 O . 6703 O . 6376

O . 6065 O . 5769 O . 5488 O . 5220 O . 4966

O . 4724 o. 4493 O . 4274 O . 4066 O . 3865

O . 3679 O . 3329 0.3012 O . 2725 O . 2466

O. 2231 o. 2019 O . 1827 O. 1653 O . 1496

O . ,1353 O . 1225 o. 1108 O . 1003 O . 0907

X

2.5 2.6 2.7 2.8 2 .9

3 . 0 3.1 3.2 3 . 3 3 .4

3 . 5 3.6 3 .7 3 .8 3 .9

4.0 4.1 4 . 2 4 . 3 4.4

4.5 4.6 4.7 4 . 8 4 .9

5 6 7 8 9

10

e l

12.162 13.464 14.880 16.445 18.174

20.086 22.198 24.533 27.113 29.964

33.115 36.598 40.447 44.701 49.402

54.598 60.340 66.686 73.700 81.451

90.017 99.484

109.95 121.51 134.29

148.41 403.43

1096.6 2981. o 8103.1

22026

O . 0821 O . 0743 O . 0672 O . 0608 O . 0550

O . 0498 O. 0450 O . 0408 O . 0369 O . 0334

O . 0302 O . 0273 O . 0247 o. 0224 o . 0202

0.0183 0.0166 O . 0150 0.0136 0.0123

0.0111 o. 0101 0.0091 O . 0082 O . 0074

O . 0067 O . O025 o . O009 O . 0003 o. O001

O . 00005


TABLA 3. Logaritmos naturales

0 2 0 3 O 4

O 5 0 6 0 7 O 8 0 . 9

I O 1 1 1 2 1 . 3 1.4

1 5 1 6 1.7 1 . 8 1.9

2 0 2 . 1 2 2 2 .3 2 ..4

2 5 2 6 2 . 7 2 . 8 2 . 9

3 0 3 1 3 2 3 .3 3 4

3 5 3 . 6 3 7 3 8 3 9

4 .0 4 1 4 2 4 3 4 4 -

-__

1og.n

7 6977 8 3906 8 7960 9 0837

9.3069 9 4892 9 6433 9 7769 9 X946

O o o o O O 0953 O 1823 O . 2621 O . 3365

O. 4055 O. 4700 O. 5306 o 5878 o 6419

O 6931 0.7419 O. 7885 o 8329 o 8755

0.9163 O. 9555 o 9933 1 .O296 1 .W47

I 0986 1 1314 l. I632 I . 1939 1 ,2238

1 2528 I . 2809 1 ,3083 1 3350 l. 3610

l. 3863 1 4110 1 43.51 1 4586 1 4816

-

~

n

4 . 5 4 6 4 7 4 8 4 9

5 0 5 1 5 2 5 .3 5 . 4

5 5 5 . 6 5 7 5.8 5 . 9

6 . 0 6 1 6 2 6 3 6 4

6 5 6 6 6 . 7 6 8 6 9

i o 7 . I 7 . 2 i . 3 7 . 4

7 . 5 7 . 6 7 . 7 7 .8 7 9

8 0 8 . 1 x 2 8 3

- -

8 4 8 . 5 8 6 8 7 8 8 8 . 9 -

1og.n

1.50.il 1 5261 1 5476 I ,5686 1 5892

1 6094 1 6292 I ,6487 1 6677 1 6864

1 ,7047 I -7228 1 ,7405 I 7579 l. 7750

1.7918 1 8083 I X245 1 .S405 1 ,8563

1 8718 1.8871 1 9021 1 SI69 1 9315

1 9459 1 9601 1 9741 I ,9879 2 0015

2 o149 2 0281 2.0412 2 o541 2.0669

2 o794 2.0919 2.1041 2 1163 2 1282

2 1401 2 1518 2 1633 2 1748 2 l8GI

n

9.0 9 1 9 2 9 3 9 4

9 5 9 6 9 7 9 8 9 .9

10 11 12 13 11

I5 16 17

19

20

30 25

35 40

45 50

60 55

65

i o

80 85 90

I 0 0 95

- -

In

” I D

__

10g.n

2 1972 2 2083 2 2192 2,2300 2 2407

2 2513 2.2618 2 2721 2 2821 2 2925

2 3026 2 3979 2 4x19 2 5649 2 6391

2 ¡O81 2.7726 2 X332 2 8904 2 9444

2 9957 3.2189 3.1012 3 5553 3 6889

3 X067 3 9120 4.0073 4.0943 4.1744

4 2485 4 3175 4 3820 4 4427 4.4998

4.5539 4,6052

* Restar 10 de estas entradas.

4 Breve tabla de integrales

Fórmulas básicas

Integrales de funciones algebraicas

4. j s ” d x = 11+1 ,u” + I + c, t l # - 1

s(ax + b)”dx = n + 2 n + l

+ C, n + -1, -2

10. S x(ux + b)-’ds = Inlax + bl + ~~ ] + c

11. J d x - 1 x

ax + b

x(ux + b) b l u x + b I - - In ~ + C

758 CALCULO CON GEOMETKf.4 ANALíTICA

BREVE TABLA DE INTEGRALES 759

21.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.



l x - a ~-

U J 2 a x - x2 + c

dx

Integrales que involucran funciones trigonométricas

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71.

72.

S 1

a sen ux ds = -pcos ax + C

S 1 cos ax dx = psen ux + C

U

S .Y sen2ax 2 4u

senZ ax dx = ~ - + C

S S S

x sen2ax cos'asdx = ~ + ~

2 4a + C

- sen" - 1 U.YC0SU.Y n - 1 sen" ux d.x =

nu + ~ J" sen"- * ax dx

I1

cos""uxsenux n - 1 COS" NX d.x = +-" S cos" - = U.Y dx

na n

(a) j sen ux cos bx dx = - - COS(C1 + b)x cos(a - b)s

2(a + b) 2(a + b) - + C, a' # b2

(b) 5 sen ax sen bx dx =

(c) cos ax cos hx dx = ~~ + 7 U' # b2

sen(a - b)x sen(u + b)x -

2 ( ~ - b) 2(a + b) 7 u2 # h2

sen(a - b)x sen(a + b)x

S S

2 ( ~ - b) 2(a + b)

sen ax cos ux dx = - ~

cos 2ax 4a

+ C

sen" + ax

( n + 1)u

dx = Isen (1x1 + C

sen" ax cos ax dx = + c, n # - 1

cos ax 1

U

cosnux sen ax dx = - + C , n f - 1 cos" + ax ( n + I)u

762 CALCULO CON GEOMETRíA ANALfTiCA

13.

14.

75

76.

77.

78.

19.

80.

81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.


88. tan ax dx = - - ~ l n Jcos ax( + C

89. S cot ax dx = -In Isen ax1 + c

1

a

1

93. cot"tr.x du = - - cot'" a x d x , n + I cot" - ax

a(n - 1) i'


Integrales que involucran exponenciales y funciones logarítmicas

108. I L'"'1i.x = -eu* + c 1

Integrales que involucran funciones hiperbólicas

119. 1 s e n h u x d x = - c o s h u x + C

120. 1 cosh u x dx = - senh a x + C

1

1


121. S senh'axdx = ~ - - + C

122. S cosh' ax dx = ~ + - + C

senh2ax x

4a 2

senh 2ax x 4a 2

123. S senh" ax dx = - S senh"-'axdx, n # O

124. S cosh" ax dx = ~~ + __ S cosP- 'axdx, n + O

senh"- ' ax cosh ax n - 1 nu n

cosh"" axsenhax n - I

nu

X 1 a a'

X 1

a a'

125. 5 xsenhaxdx = -coshux --senhax + C

126. xcoshaxdx = -senhax - -coshax + C

127. 5 Xn senhaxdx = -coshax - x " U U

128. j .x"coshuxd.u = -senhax - .x"

U

129. S tanh ax dx = -In (cosh ax) + C

130. 1 coth ax clx = -In lsenh ax1 + C

131. S tanh'axdx = ,x - - tanhax + C

1

1

U

1

U

132. [coth'uxdx = X - - co thas 1 + c

133. j tanh"axdx = - + tanh"-'axdx, n # 1 t anh" ax

(I1 - I)a 5 135. 1 sechaxdx = --sen"(tanhax) + C

1

136. j c s c h a x d x = -In 1 U

137. sech2 a x d x = -- t anhax + C 1

138. j c s c h ' a x d x = --cothax 1 + C


Respuestas a los problemas impares

CAPITULO 1

Sección I. 1

1. a) A " " - I o 1 2 3 4

b)

c) ---"e: = = = - +.u -3 - 2 - 1 o 1 2 3

dl

" - i' - I o I

- 3 -2 - 1 o 1 2 3 -P

e) "3 "2 - I o i z 3 f ) (No hay lugar geométrico)

" 2 - I o I 2

3. a) 8.5 b) 713 c) 3& d) rr -

5. a) O b) 1.5 C) -4.5 d) -5/12 e) -&/2

Y A

768 CÁLCULO CON GEOMETRíA AN.4LITICA

v 4

Sección I .2

1. a) x' + y 2 = 25 b) (x + 1)' + (y - 2)' = 9

c) (x " 3 y + (y + 4)* = 30

3. a ) Centro (2, -3) , radio 4 b) Centro (-4, O), radio 5

c) Centro (312, 3) , radio 9j>:'4

5. (X - 2)' + (y + 2)2 = 25

7. a) -3/5 b) 1/11 c> Indefinido d) 4/5 e) 0

9. -8

11. 13/2

13. Pendiente = 9:'5 = aumento de temperatura en grados Fahrenheit por grado de aumento en temperatura Celsius.

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS IMPARES 769

15. a) Centro (3.14159, 1.77245), radio 1.65409 b) Centro ( - 1.5788, 0.6177), radio 2.49256 c) Centro (10.96237, -4.69151), radio 12.27534

Sección 1.3

1. a) y - 4 = 5 ( x + 1 ) o y = 5 x + 9 b) y = 5

C) y + 5 = -%(X - 4) O 5y + 6~ = -1 d) X = -3 3. 2x + 3y = -1 5. No. La primera tiene pendiente -3j4 y la segunda -4/3 y (-3/4)(-4/3) = 1 # - 1. 7. 3y + 2 x = 26

9. 2

11. xz + yz + 4x - 2y = 20

13. d = 13 + f(t - 3) cm

Sección 1.4

1. v = x3, x > o 3. A = s2/47r, S > O 5. V = d3/3&, d > O

7. S = (64 ) t , t 2 o 9. a) 1 b) 112 c) -312

11. a) O b) Indefinido c) -1/2 d) 1/(1 + At), At # -1, O

13. a) u 5 -1 o u 2 1 b) t 2 2 perot # 4

c) x 2 4 d) - 3 < u < 3

i

15. a)


19. x ~ sen x' -+ !

0 . 0 I 0 . 0

0.25 ! 0.062246 0.2474

::::S ~ 0.5333

1 .S I 0.77807

1.0 ~ 0.84147

1.25 0.99997

1.75 0.07901 2.0 1 -0.7568

2.5 j -0.03318 2.75 0.95782

b

2.25 I -0,93933

3.0 1 0.41212


Sección 1.5

Y A

I

5.

A Y

Y A

Y

7.

11.

1 '


13.


1. a) 7

b) -

3. a) (x - 2)’ + ( y + 1)’ = 53

(.x - I)” + (y + 2)’ 5 4

5. a) x = - 4 b) x - 3y = -7 7. a) x # O , 5 b) 6/7

9.



1. a) - - - 2 - 1 o 1 2 3 = b) -1.6

3. a) (x - I ) ~ + (y - 5)2 = IO 5. a) 4y = x + 17 7. a) -5 S x I 5

b) 4

i

Y 4


1. a) -la1 5 a 5 la1 Sumando: -161 I. b I 161

b) Centro (3, -4), radio 6 b) x = 3

-(la1 + lbl) 5 a + b S + 161 así que la + b! 5 la1 + Ibl.

así que la - 61 2 la\ - 161. b) Desde (a), se tiene la1 = /(a - 6 ) + 61 I la - 61 + lbl,

3. Según el ejercicio 2,

-2(ala2 + 6162) 5 2 m . da,' + b2 .

Sumando uI2 + azz + 61' + bz2 a ambos lados, se obtiene

(a, - al), + (b* - b,)2 I (m + my. La relación requerida se sigue después de extraer las raices cuadradas.

5. 5 7. ~ ~ t - y ~ + 6 ~ - 6 y + 9 = 0 9. 8 - J Z


CAPITULO 2

Sección 2.1

1. m s e s = 8.01, q."er,& = 8

9. a 5. 8

13. 1.34163

Sección 2.2

l. S = €

13. O 17. 2 21. No existe

25. O. 166667 29. 1

Sección 2.3

1. 2x - 3 5. l l ( x t 1)2 9. 14x" + 8x

13. 3 2 4 ~ ~ -- 160~'

17. 3 6 ~ ' t 4Ox

21. X + 12y = 5 0

23. a) 1/29%

3. tH\cs = 0.31, = 0.01 7. o

11. 20 km 15. 3.582

3. 6 = €15

7. o

11. o

15. 413 19. 4 23. 2 27. -0.5

3. "2X + 3)2 7. 3

11. x - ; 15. 4x3 + 12x2 + 8x 19. x z - I


3 c) - - 4x

2J;

J J J i 2J; 2J;

d) ---

25. a) 12 cm3/seg b) 75 cm3/seg

27. a) 256ncm' b) 256n cm'jseg

= ;. f(Xl) + 1 * f(x,) = f'(x*)

31. 2 33. 14.1017

Sección 2.4

1. lim )'I = -m x 4 2 2 - x

5. -m

9. --m

13. -m

17. -m

Y

35. 0.74522

3. -m

7. --m

11. 312

15. o 19. m

Y

4 1 3 /=Ax)


8 J4000

J5280 23. No. lím,-.2f(x) = -8 f 8 25. __- = 6.9631 rni'ses

27. O 29. 7.38906 31.

Sección "2.5 Y

4

1. a)

Y

.t

Y


V A

4 = -2 -1-

v

i Y 4

Y

5. a) x = 1, cambio de signo b) .Y = O, cambio de signo ; x = - I , no hay cambio de signo

c) x = 3, no hay cambio de signo; x = - 1, cambio de signo


\

\

i i

9. a) y = x

y

c) y = x - 1



b) y z x - 2

b) -413


b) f'(x) = lím (X + AX)' - 3(x + AX) - (X' - 3 ~ ) Ax-O A x

= l í m X' + 2~ . AX + (AX)' - 3~ - 3 . AX - X' + 3~

AI--() Ax

= lim A x ( ~ x - 3 + A X )

A x -0 Ax = l i~n ( 2 ~ - 3 + AX) = 2~ - 3

A X 4

5. a) i) - 1/3 i j ) m

b) No, porque lim f(x) = lim (x + 3)(x - 3)

= -6 f f(-3). x--3 X"? x + 3

Ejercicios de repasn 2.2

1. a) m b) 1/4 c) - ] / lo d) O

5. a) O

b) 714

*7. -



1. 1 5. o 9. 1

3. 2 7 . 00

11. a) Para algunos E > O, no existe (5 > O. b) Para algunos capullos, no existe una flor. d ) Hallar un E > O tal que para todo 6 > O, exista un tal que O < \x,j - < (S

pero l . f ( . x , J - C I 2 c.

13. Dado E > O, hallar ii, > O tal que

L - - < f ( x ) < L + E E

2 2

M - ? < g ( x ) < M + - 2 2

E

si

O < [x - al < s2.

Sea 6 el mínimo de 0, y (S2, de modo que ambas desigualdades son vilidas si O < (x - u1 < 6 . Sumando las desigualdades,

L + M - E < ~ ( x ) + ~ ( x ) < L + M + E

si o < Jx - al < 6.

15. a) Incorrecta; reemplazar c(Jf(x) - u/)) por ccl.f(.u) -f(o)l)). b) Incorrecta; suprimir ctO O). c) Correcta. d) Incorrecta; reemplazar ctalgún)) por cctodo)). e ) Incorrecta; reemplazar (t < )) por ((<D. n Correcta

17. Sea

1 para x 2 2, O para x 2 2, O para x < 2, parax < 2.

Entoncesf(x)g(x) = O para todo .Y.


CAPITULO 3

Sección 3.1

1. 6x + 17

5. -3/x’

3. 2x13

7. 1 2 2 + (412)

9. (x2 - 1)(2x + 1) + ( x 2 + x + ?1)(2xj

11. ( X z + I ) [ ( ~ - 1 1 3 ~ ~ + (x3 + 3)1+ [(x - + 3)1(2~)

13. 4 + (3/xz) 15. [(x + 3)2x - (x2 -- 2 ) ] / ( ~ + 3)2

17. (X’ -C 2)((xZ + 9) + (X - 3 ) 2 ~ ) -- (X’ t 9 ) ( ~ -- 3j2x]/(x2 + 2)2

19 ( X - 1)(4x2 + 5 ) [ ( 2 ~ + 3)2x + ( X ’ - 4)2] - ( 2 ~ + 3)(x2 - 4)[(x - 1 ) 8 ~ + ( 4 ~ ’ + 5)]

( X - 1)2 (4~ ’ + 5)’

21. x cos x + sen x 23. 2 sen x cos x

25. (COS x)’ t- (senx)’

(cos X)* 27. --

3x’senx - xi cos x

(sen x)’ -

29. ---____ (x’ - 4x1 cos x - (2x - 4) senx

(x2 - 4x)’ ___

31. Recta tangente: J = 10.u - 12: recta normal: 10y + .Y = 82

33. Recta tangente: J. = - 5.u - 3; recta normal: 5y - .Y = - 15

Sección 3.2

3. dA = 2mdr

5. dx -- -4t

( t L - 1)2 dt 7. 0.00000975

9. 10.05 13. a) 3/n pies

11. 3.975

b) L a estimación es exacta, porque la circunferencia de la Tierra es una función lineal del radio.

15. 7 /24m2 17. 6% 19. 0.5% 21. E = Ax; lím,,,,,E = límAx+uAx = O 23. 2.022148


Sección 3.3

1.

5.

9.

13.

17.

19.

21.

a) 3 b) 3 8~ - 2 + 5 ~ ” ~ ix-l/3 + kX-4/5

+(X + 1)x-’/’ - J; (x + 1)2

3. (2x + l)-l/’ 7. -ix-3/’

11. x(x’ + 1)-

15. 12(3x + 2)’

9x2(x2 + 3x)2(x3 - 1)’ + 2(x3 - 1)3(x2 + 3x)(2x + 3) 16x(4x2 + 1)2 - 16x(8x2 - 2)(4x2 + 1)

(4x2 + 114 - 2 ( 2 ~ + 5)(4x2 - 3 ~ ) ( 8 ~ - 3) - 2(4x2 - 3 ~ ) ’

J2x + 1( (2x + 5)2

23. 2 cos2x 27. ;(x + senx)-”’(l + cos x)

31. 3y - X = 5 35. 8.6875

+ j4x2 - 3x)’ 2x + 5

(2x + 1)-llz

25. 3 sen’ x cos x

29. 4y + 3x = 25 33. 70.4875

Sección 3.4

1. y ’ = 5x4 - E x 3 , y“ = 20x3 - 36x2, y“’ = 60x’ - 72x 3. y’ = (l/&)(-;)~-”~, y” = (1/&)(3/4)~-~/’, y”‘ = (1/&)(-15/8)~”/~ 5. y‘ = x(x2+1)-1/2, y” = -x2(x2 + 1)-3/2 + + ~ ) - y

y”’ = 3x3(x2 + 1)-5/2 - 3x(x2 + 1)-3/2

7. y’ = (x + l)-’, y” = -2(x + 1)-3, y“‘ = 6(x + 1)-4 9. Velocidad 2; aceleración 18

11. a) c = -32f + 48 mjseg b) u = - 32 m/segz c) 48 m/seg d) t = 312 seg e) 36 m f) O < t < 3

13. Velocidad = l114-, pendiente = 2 / 3 t

15. Velocidad = I/J2, pendiente O

17. 3y - 8x = 13 19. -112, 3/4 21. 0.053233, 0.16606 23. -2.3404. -2.191


Sección 3.5

1. 5.

9.

13.

17.

19.

314 3. 1 - 114 7. 1/3

-1 11. 17/31

24/65 15. 5 y - 2x = 1, 2y + 5x = 12

La pendiente de la primera curva es - I y la de la segunda es 1. Las curvas son ortogonales. Sea (.yo, un punto de interseccihn. Puesto que tanto C' como k son no nulos, ni .yo ni J ' ~ son nulos en el punto de intersecci6n. Por derivaci6n implícita, la pendiente de y' - .y2 = en (.yo, y o ) es yo.iyo, mientras que la pendiente de .YY = k es - J . ~ / . Y ~ .

Las curvas son ortogonales


1. (X' - 3x)(12x2 - 2) + (4x3 - 2~ + 1 7 ) ( 2 ~ - 3 )

3. dy = ( 6 ~ - 6) dx 5. -144

7. y ' = 5(4x3 - 7 ~ ) ~ ( 1 2 ~ * - 7)

y" = 1 2 0 ~ ( 4 ~ ' - 7 ~ ) ~ + 20(12x2 - 7)'(4x7 - 7 ~ ) ~

9. 32y - X = 67


1. - + 2x In x

5. -;(X' - 3~ + 2)-"13(3x' - 3)

x' + 3

X

9. y = -1

3. 0.98

7. -"s?(3x + 4 ) y '


así que

CAPiTULO 4

Sección 4.1

1. &/2

5. -& 9. o

13. O 17. Indefinido 21. 2&/3 25. -a 29. -718

31. a) (u, -v)

3. -1/& 7. -2

11. 1 15. -1 19. fi 23. -1/& 27. -4&/9

33. a) (v, - = “u = -cosx; cos x - i z) = v = senx 2

1 1 35. sec(-x) = ___ = - = secx

cos (-x) cos x

- - -cosx

1 - 1 39. sec x - - = - ( l) cos [x - (n/2)] (cos x) cos (-7r/2) - (senx) sen(-n/2)

1 1 - - -- (cos x)(O) - (senx)(-1) senx

- = cscx

41. cos 2x = cos’ x - sen’ x = cos2 x - (1 - cos2 x) = 2 cos2 x - 1,

cos 2x = cos2 x - sen’ x = (1 - sen’x) -sen2 x = 1 - 2sen2 x

43. m


Sección 4.2

1. Amplitud 1, periodo 271

3. Amplitud 3. periodo 271 3

5. Amplitud 2. periodo Zn Y

A

2

.r

7. Amplitud 3, periodo ni2

Y

V = 3sen(4x +

X


9. Amplitud 5, periodo S K

11. a;

i

13. 2a;

= 3 sec x

"------)X


15. 7 r ;

17. 27r; V A

1, = sen x + 2 cos x

+ x

c Sección 4.3

1. No existe

5. 1 9. No existe

13. (x2 + 3x) sec x tan x + (2x + 3) sec x 17. 2 sec2 x tan x 21. 2cos2x 25. -2 sen3 x cos x + 2 sen x cos3 x

29. COS (tan 3x)] sec' 3x 33. o


1. a) - 1 6 b) -1/& 5. .n/3

3. 1

7. 1 11. -x senx + cos x 15. 2 sen x cos x 19. [cot x + x csc2 x]/cotZ x 23. 6cos(2x - 3)sen(2x - 3) 27. $(l + 2 COS' ~)""(-4 COS X CSC' X)

31. 1 35. 0

39. 180 + J3.n

3 60

3. ( J 3 - 1)/(2Jz)

7. a) 6senz 2x cos 2x b) -3x4 csc x3 cot x3 + 2x csc x3


1. a) -1/2 b) - l / a


3. -5/16

5.

7. a) 2x set' (xz + 1) b) [(x - 4)(2 senx cos x) - senzx]/[(x - 4)']


1. 1 5. &I6

CAPITULO 5

Sección 5.1

1. IO$ cm2/min 5. 15/7 pies/seg 9. 1 m2/min

13. - d3/60$ unidades3/seg

Sección 5.2

1. = 1.73214 5. -2.652 9. 2.12937

3. o

3. 12/&5 m/seg 7. 3 / 4 ~ cm/seg

11. a) 5$/2 m/min b) 25/2 m2/min

3. = 0.68605 7. 2.92402


11. Sea / ( r ) la estatura de Alicia r años despues de su nacimiento. Entonces ,f es una función continua. /'(O) = 50 y / ( t i ) = 165 para alpin r I > O. Luego. / ( t o ) = 100 para algún r o tal quc 0 < < r I . según el ejercicio I O .

13. Se puede escribic

Si o,, > O. entonces l í t n , , , f . \ ) = x y lím,+ , / ( Y ) = - K . Entonces existe C tal que f ( C ) O mientras l.(-(-) < 0. Según el teorema S.l,,f(xo) = O para algún .Yo tal que -c' < < C . Si u, < O, el rnismo argumento es vilido con cualquier cambio de signos.

IS. El nilmero de horas de luz diurna 2s una runcibn continuaf(s) de la distancia .> desde el Polo Norte ;I l o largo del meridiano 37 . Sea h la distancia del Polo Norte al Polo Sur, ;i l o largo de este meridiano. POI- astronomía elemental, f (O) = 24 mientras que / ( h ) =y 0. A s í . existe un punto en el mel-idiano distante .so desde el Polo Norte. tal que / ( s o ) = I C ) .

+++-) Xn" u1 xn a0 ' x # o.

Entonces Iim.,+, /(.Y) = lím, . . , /'(.y) = x. En consecuencia. existe Y > 0 tal que /(.Y) > f '(1) si / Y / r C.. Entonces, el valor mínimo que se asume en [ - c . , c ] , que existe seg6n el teorema 5.2. es también el valor mínimo asumido en todo el eje .Y.

13. -14 15. -27

17. MBximo -1.91134 en .Y = I + (J6!3); -

mínimo -4.08866 en x = 1 - ($):3

19. Mhximo 0.342427 en Y = -0.523598; mínimo -0.342427 en .Y = 0.523598


11. a ) Es l a r a z h de cambio promedio de /'(u) en [ q h ] . b) Es la r a z h de cambio instantánea de f (x ) en c. c ) Si ,f. es continua en [ir, h] y derivable en L/ < Y < h, entonces existe 1, donde

( I < I ' < /I, tal que la raz6n de cambio instantinea de,/'(s) en 1' es la misma que la razhn de cambio promedio def'(x) en [a. h] .

13. Ficilmente se calcula

Y

y(=) x + x = 2u(?) x + x f b = a(xz + X,) + b 2

también. El ejemplo 1 ilustra esto.

Sección 5.5

1. - 8

792

9.

CALCULO CON GEOMETRíA ANALíTICA

v

a) +S b) Sí C) NO

13. a) x 2 3 v c

b) x 5 3

c) Ninguna d) -S en x = 3 e ) Ninpuna

( 3 . - 5 )

15. a) x 5 -3 o x 1, 1 b) - 3 5 x 5 1

c) 5 en x = -3 d) -17/3 en x = 1 e) (-1, -U31

Y


x 5 0 o O I X <

Oenx =

4 enx =

Ninguna

x 2 2

1 6 l C X 5

O

2

i - y = s" - 5x + I

7r 21. a) -- + 2n7r 5 x 5 - + 2n7r para todo entero n 777 6 6

77r ll7r 6 6

b) - + 2n7r 5 x S __ + 2n7r para todo entero n

c) Donde x =

d) Donde x =

e) Donde x =:

( 7 d 6 ) + 2n7r (-~16) + 2n7r (d2) + n7r /

4 / / H


23.

4 t 1'

25.

Seccinn 5.7

1. a ) $540 unidad b) $800,unidad c) $260:unidad d j $335 unldad

3. 2 1 ) $90 estufa b) 1000 estufas para $40 000 de ganancia

S. Ganancia promedio PLY) Y. Derivar e igualar a cero:

x P ' ( x ) - P ( x ) X? "

" o,

nsi .UP'(\-) = P ( z ) y P'(.Y) = P(u)'.Y. Es decir. la ganancia marginal es igual a la Sanancia promedio en un extremo de la ganancia promedio.


7. La hip6tesis da S(1) + C(1) = 1. Entonces S'(1) + C ' ( [ ) = 1, así C'(1) = 1 - S'([).

9. 10 pedidos de 20 refrigeradores cada uno.

Seccion 5.8

1. 2x + c 5. 3x"? + C

13. 8~ - 19

E;jercicios de repaso 5.1

1. 3 1 1 0 ~ m min 5. y = x? - 2 2 + 5x - 6

7 . r = 4& unidades


1. 3 & / 2 f i m; min 5. S = t' - 4t2 t 2t + S 7. 2S6/3& unidades'

3. 2xJ - :x3 + 4x + c

7. - + - X X 3 t X + C x 5 2 S 3 1

3 11. -sen3x + C

15. -- - COS X + 4 X 2

2

3. Miximo 19 en .Y = 3: mínimo - 1 en .Y = I

3. M i x i m o 13 en Y = 3 ; mínimo - I2 cn .Y = 2

Problemas más difíciles S

1. Utilizar 400 m de malla para encerrar un cuadrado de 1 0 O00 mz y el resto para encerrar un circulo. Area total cercada: 38 648 m'.

3. Si f es 11 veces derivable para (I < Y < h y /'(x) asume el mismo valor en II + I puntos distintos en [o, b ] , entonces f ' " ' ( r , ) = O para algún c donde (I < c < h.

5. Trotar todo el trayecto

9. / ' ( Y ) = [I = 1 ; entonces (li+ = -?oi.


CAPITULO 6

Sección 6.1

1. a) a, + a, + a2 + a3 b) b: + 6,' + b 2 + b,* + b: c) a2 + a4 + a6 + ag d) a, + b,' + a,, + b,' + aI2 + b6Z e) c + c 2 + c3 + c4 + c5 f ) 25 + 2"~ + 2".

3 3 4

3. a) a,bi b) %b,+l C) qi i = l ,=1 i - 1

3 3 3

d) a,'+' e ) a,02? f ) a?' , = I i = l ,=1

5. (a, + bi)* = (a, + b,)' + . . . + (a, , + b,)' , = I

= alz + 2a,b1 + b12 + . . . + a,,' + 246, + b: = al2 + . ' . + a,,* + 2(a1b1 + . . . + a,,b,,) + b12 + . . . + b:

7. 1.575 9. S2 = 5, S2 = 1

11. S, = 0.76, S, = 0.63

13. a)

- I

17.


23. O

27. O 31. 2

i

12 + 4?r

35. 6213 39. 3.450386

25. 2 29. 4

S3 = 4 . 2 + 4 . 2 + 0 . 2 = 16 S 2 = 4 . 3 + 0 - 3 = 12

37. 3

Sección 6.2

1. Referirse al teorema 6.4 para comprobar la respuesta. 3. 114 5. 2013 7. 2 9. 3

11. 3Jz 13. -20 15. 312 17. -9~12 19. 2 + (?r/2) 21. ?r

23. ?r + (3m3/4) 25. ( 3 ~ * / 2 ) - 2?r 27. 8 29. I/&

31. 88/15


33.

\

c 35.

; 36

: 25615


Sección 6.4

1. 7 56 3. [ - 3 / m ] + c

5. - $ [ m i T j / x ] + c 7. i(7r - 2)

11. o 13. Assen7x + isen3x + C

9. COS’ 2x sen 2x + cos3 2x sen 2x + sen4x + $x + c

15. 3 tan- + C X

2 1 9 3

17. -sen3x - -cos3x + C X

19. (4 - y) cos 2x + -sen2x + C 21. tan 4x + c 1 x’ X

2 23. -;(cot X’ + x’) + C 27. Asen3x2 + C

Sección 6.5

1. a) 1.3524 b) 1.4583

5. a) ”-= 1.2828 b) -=1.2741 497r 737t 120 180

7. 33.0274


19 1. -

20 5. -2

9. ( 1 2 h - 20)

3


+sen- +sen- +sen- 37F 57t 8 8 77t1 8

3. 2sen2 2t + sen’ t

5. -5 7. a) -$csc3 3x + c

b) -2Jcscx + C 9. (8 + 3 ~ ) / 6 4

25. sec2 x’ tan x* + $ tan x2 + C 29. -[d4 - sen’ x/(4 sen x)] + C

3. a) 1.737 b) 1.7321

J 2 t + t2

2J7 3. ___

7. a) isen’ 2x + C b) f sec3 x + C



(Restar)

CAPITULO 7

Sección 7.1

32 1. -

3 4

5. - 1s 9

9. " 2

13. 4

17. 1,'x'dx +I -dx 45

16 7. -

3

11. 16/S

1 3. -

6

44 7. - 1s

64 11. -

3

15. 2r(-- l + m) dx

1 19. --

3

L

m 21. - 23. 21.9919


Sección 7.2

1. 16~115

7r 5. - 6 9. T2/2

13. (2a3 + b3 - 3a’b) 3

Sección 7.3

1. 16~115 5. 3 ~ 1 1 0

Sección 7.4

5. 169124

9. f m d x

13. d i 7 2 0 17. 4.6472

Sección 7.5

2 4 h + 4 15

5. 21r

9. - (293/2 - 133/2) 21r 3

7. 3 ~ 1 1 0

11. 4a3/&

3. 7r16 7. 27r2a2b

3. -(125 - 133’2) 1 6

7. 24

15. 124.1327

2531r 3. __ 20

7. T(373IZ - 1) 6

13. 1 2 4 2 - sen y)J1 + cos2 y dy 15. 37.7037

802 CÁLCULO CON GEOMETRíA A N A L ~ T I C A

Sección 7.6

1. a) i) -4 ii) 4 3. a) i) 516 ii) 516

c) i) 312 ii) 1 l / h 5. a) i) 4 / ~ ii) 4/37

c) i) O ii) gv5/n 7. a) 3 t b) 6

Sección 1.7

1. 64 m-kg 5. Gm,m2/2a 9. 9 9 8 . 4 ~ lbs

Sección 7.8

1. a) kab'll2 b) kah4/20 5. Ij

9. 3 y2&+(9y/4)dy 5,'

b) i j 512 ii) 1312 b) i) 213 ii) 1

9. a) 1 - cos f b) ( 3 ~ i- 2)/2

3. 1 2 4 8 0 ~ m-kg 7. 1 940 889.61bs

Sección 7.9

1.

3.

7.

9.

Una regi6n anular plana (un disco con un hueco)

Supongamos que la profundidad mlixima del agua de la presa sea h pies y seaf'(x) pies el ancho de la presa a la profundidad de x pies. Entonces la fuerza sobre la presa es

(62.4) $ ( x ) d s = 62.4 x/ (x) (1s IO. Ahora sf(s) ds es el momento de la región plana (de densidad 1) constituida por la elevación de la presa con respecto al eje formado por sudborde superior y. por tanto, es igual a S A . La fuerza es (62.4) S A lb.

a) 1/45 b) r J ( a + 1)' - a3 11. t/2Ta3 1

v 3


A 1. -

3 77T 5. ~

9 J 3

3. 144 kg-m

(y' + 3 y ' ) G d y



125 1. 6

5. 9ATr

3. 208 O00 lbs

20 7. - m

3Tr


704&~r 1. ( ~ r / h ) j - l (x’ - 2x + 8)(4 - x2) dx o 2 J i ~ r / ~ ~ & y + 2) dy; 7

(2x2 + 3~ + 62)(25 - X”) dx + ( 4 ~ ’ + 3~ + 30) dx

2 5 6 h 5. --

5

CAPITULO 8

Sección 8.1

1. Sí, es derivable. 5. 1.8 9. 3.3

13. (1/2x), x > O 2 2x 3

17. - - - 2x + 3 x 2 + 4 ’

x > ” 2

21. ~

1 - Inx ’ x3

, x > o

25. sec’ (In x)

X

29. -2 tan x - 6 cot 2x, sen 2x > O

33. 41n Isen3xl + C

37. In Jln XI + C

200 3

7. -h

3. y = x - 1

7. 2.5 11. 0.47 15. sec2 x/tan x, tan x > O

19. (In x)(cos x) + (senx)/x

4x + 8 9 2 23. ~ + -

x= + 4x 3x - 2 ’ x > -

3 1 1 x 2x + 3 ’

27. - + - x > o

31. i ln12x + 31 + C

35. - -1

x + l + C

39. In ltan XI + c 43. secx + C 41. - -1

9x + 3 i n 3 1 45. - - -

4 6


2 + A

J z + 1 51. 21n-

53. 1.6094868 con error igual :L 0.0000489 55. x = 0.231286, 236.0637

Sección 8.2

1. 2 5. "2 9. 16

13. 2e2"

17. - + ex (In 2x) e" X

- e I/x

21. -2 X

33. 0.4890435

Sección 8.3

1. 64

5. 9 9. 3sen~x[(~ cos x) (h 3 ) + 13

13. -sen(xx)[xx (lnx + l)]

3. o 7. 6

11. 9 15. e'' cos x + 2e2" sen x

19. eSecx sec x tan x

23. 4

27. In ( 1 + e") + C

31. -0.90356

3. S 7. 3 (In 2)23x

11. (senx)r[x cot x + In (senx)]

15. l/((ln 1O)x)

17. 2" . 3" . [(ln 2) + 2 (In 3)] 5''

7 X 19. - [2x (In 5) - (In 7)]

21. 7" . 8-"'. 100"[(ln 700) - 2x(In S)]

23. - - 3-x i- c In 3

-,sen x

25. + C In 2


27. Sea y = lo&- x . Entonces x = d . Por derivación implícita,

29. 0.687439

Sección 8.4

1. 1600 In (312)

In 2 Yr 2560 ft

3. ~

9 In (4/3)

5. a) La concentración de sal es (f( t ) / lOO) kg/(, en el tiempo 1. Como no se agrega sal y se extraen 4 f/min de salmuera, se tiene

que es una ecuación de la forma (1).

200 b) e k g

7. JI = A& + B, donde A y B pueden ser constantes cualesquiera 9. $27 182.82

13. Año 4029

Sección 8.5

1. n12

5. -51~16

9. -n/2

13. 21-

17. 1/[xJ(l/x)2 - 13 21. -1/[(1 + x2)(tan" x)']

25. fsen" 3x + C 29. n/6

33. (IT - 4&)/3

37. Sea y = cos" x. Entonces x = cos y y

dv 1 1

11. $79 047

3. -.rr/3

7. n/4

11. -lr

15. 1/[2J41 + x)]

19. B(tan" 2x)'/(1 + 4x2) 23. 2(x +sen" 3x)[1 + (3/-)] 27. n/6

31. (16713) - 4&

35. 1~/4

-1 -1 "

dx dxldy -sen y 41 - cos2 y m. -___ - -

(Es apropiado sustituir la cantidad posifiru dl - cos2 y para sen y puesto que O < y < x, así sen y 2 O.)


39. Sea J' = cot ~ ' Y. Entonces .Y = cot J y

Es apropiado sustituir la cantidad posirirtr ,/- para cot J. puesto que

-rr < y 5 -m12 o o < y 5 rrl2.

Sección 8.6

1 -senhx (cash x) cosh' x 11. D(sech x) = D = = --tanh x sech x.

13. Sea 1 ' = cosh- .Y; por tanto. .Y = cosh y. Entonces

dY 1 1 - 1 -I_ 1 - - ___ - _" dx dxldy senh y q'cosh? y - 1 m '

- - - - x > l

(Puesto que J' = coth- x 2 O, senh J' 2 O, así la raíz cuadrada positicu es apropiada.)

15. Sea y = coth ' x así x = coth y. Entonces

dy 1 -1 " 1 -1 1 _ = _ _ ____ ____ "- - - - - - - -

dx dxldy csch' y coth' 13 - 1 X' - 1 1 - X" 1x1 ' 1

17. Sea y = csch ' x así x = csch y. Entonces


Si x > O, entonces y = csch" x > O; por tanto, coth y > O y el signo nlds es apropiado. Si x < O, entonces y = csch" x < O; por tanto, coth y < O y el signo menos es apropiado. Estos dos casos estrin contemplados en la fórmula

-1 D(nch" x) =

( ~ X ~ d i - S j ~

19. 2x senh (x2) 21. - sech & tanh &

2J;

23. - csch (In x) coth (In x )

X 25. 2 senh3 x cosh x + 2 cosh' x senh x

2

27. m 31.

-2 X-

35. -3 ach ' 3x 1 - cot2 3x ' Jcot3x1 < 1

39. i cosh (3x + 2) + C

43. In (senhxl + C 47. f % J " G + c

51. - + 2senh" = - + 2 In 2

29. 2 s e c 2 x

e 2x

J i TF 33. ~ + exsenh" (ex)

37. In lsenhxl + C

41. 4 tanh 3x + C 45. $(In$) 49. -sech" (e") + C

53. J16 + x' - 4senh" + C = m - 4 In

55. - 9 - senh-l(?) + 1: I

sen x J9 + sen2 x

(sen x) 2 2

+ C

= -- - -In (senx + J9 + sen' x )+ c 9 2 2

57. 8 cosh" E) + $ -6 + C = c-6 + 8 In lex + -61 + C 2

59. cosh2 4x senh 4x 1

12 6 - + -senh4x + C

63. coth" x = In t4:) 2

61. msh" x = In (x + m)


-2 - 3 y = en-"


3. a) eta= sec’x b) f In 3 5. a) --

In 24 b) 3

7. a) -m16 b) -m13 9. a) senh x = ~

,x - e-x

2 b) -6 sech3 2x tanh 2x


1. a) Es el número Único e que satisface In = I .

I

9. a) l l , , , x b) - 6 ~ 0 t h ’ (2x + 1) CsCh2 (2x + 1) - 3 -2 - I 01 I 2 3 ’


1. x = O, I n 2

dx. Para esta integral,

1 1 1 1 1 1 S , - , = - + - + . . . + - y S,-, = 1 + - + - + . . . + -

2 3 n 2 3 n - 1’

5. 2111 a

7. si .Y es suficientemente grande, entonces e x es mayor que f ( x ) para cualquier polinomio particular


CAPITULO 9

Sección 9.1

1. cosx + xsenx + C 1 3

3. -- e-x3 + c

5 " _ P 1 ' 4 2

X' 7. -(In x) - - + C

X'

2 . 4 em

9. ___ a' + b2

(a cos bx + b sen bx) + C

11. x3ex - 3x'e" + 6xe" - 6e" + C

13. -$x3cosx3 + fsenx3 + C

15. x In (S + x2) - 2x + 2 tan" x + C

XZ S -

2 2 17. -sec"x - - Jx ' - S + C

19. Se toman u = x" y dc = eo" ([x.

21. Se toman u = sen"- ' ax y do = sen as cosrn ax dx

Sección 9.2

1. -In - S x - S 2 Ix+1l+c

3. - x 2 + In I(x + 2)(x - 2)31 + C 1 2 S X

4 7. - - l n I x l + - l n I x - 3 1 + - 1 n ( x + l ) + C

13 S 3 S2 4 -1 8 1 x - 2

3(x + 1)' 9(x + 1) 27 lx + 11 9. -~ +-In - + C

x - 2)' 1 + -ln (x' + 2) - - tan"(x/J2) + c 11. In ___ S

r x + 2 / 2 Jz

13. -- - 2111 Jx - SI + -In lx2 + 31 + - tan"(x/&) + C 3 1 7

x - 1 2 a 3 2 - x 3x 3 15. -- + -__ - ___ - -tan-' x + c x 2(x2 + 1)2 4x2 + 4 4


Sección 9.3

1. a) u = x do = (x + 1)”’ dx

du = dx o = ?( + 1)W 3 x

7. -cot x + csc x + In (senxl + In l a c x + cot X I + C

9. - - -In lcos x \ - -In lsec 2x + tan 2x1 + C x 1 1

2 4 4

1 x 1

4 2 4 11. - ln Jsec 2x + tan 2x1 + - + -In lcos 2x1 + C


Sección 9.5

1. Si se reemplaza n por - n en (5) y (6) se da paso a

sen (mx - nx j = sen mx cos nx - cos m sen nx (5')

Y

cos (mx - nx j = cos mx cos nx + s e n mx sen nx. (6')

Si se resta (6) de (6') da (2), y si se suma (6) a (6') da (4). Si se suman (5) y (5') da (3) .

3. -5 2x)3n + + (cos 2 x 1 ~ ' ~ + c 5. 2 6 e G - f(senx)"' + c

7. secx + cosx + C 9. x sen 12x 8 96

+ C

11. &x - &sen' 2x - & sen4x + c 13. tan x + 5 tan3 x + C

15. $ tan3 x + tan' x + C 17. tan2 3x + C

19. tan x + $ tan3 x + tan' x + C

21. tan6 2x - i tan4 2x + $tan' 2x + In Jcos x1 + c 23. -$ C S C ~ X + C

25. Itan" ax dx = tan"-' ax (sec' ax - 1) dx I = J tann-' ax sec' ax dx - tann-' ax dx J

tan"" ax a ( n - 1)

tan"-' ax dx

27. Isec" ax dx = I(sec"" ax)(l + tan' ax) dx

= jsec"' a x dx + set"' ax tan' ax dx. I u = tan ax du = ax tan ax dx

du = a sec2 ax dx 1 seen-* ax a n - 2

u =-.___

jsecn-2 ax tan2 ax dx = ~

1 a ( n - 2 )

sed-' ax tan ax - - jsecnaxdx. n - 2

set"-' ax dx + ___ 1

a ( n - 2 ) seen-' ax tan ax - - jsecnaxdx

n - 2

Despejando sec" ax dx se obtiene la fórmula.


29. u = senn- I ax du = sen ax dx 1 a

du = a ( n - l)sen"-' ax cos ax u = --cos ax

I senn ax dx = --sen"" ax cos ax + (n - 1) senn-' ax cos' ax dx 1

a 5 1 a

- - " senn" ax cos ax + (n - 1) ax(1 -sen2 ax) dx

1 - " - sen"" ax cos ax + ( n - 1) senn- ' ax dx a J

La fórmula se obtiene despejando sen" u:< r l z .

Secci6n 9.6

5. $(x' - 1)3'2 + $(x2 - 1y2 + c 7. -+c

1 , x + 1 4 J 5 J-2

15. --tan. -+ c

17. ;ln Ixz + 2x + 21 - S tan" (x + l j -t- C

Sección 9.7

1. 112

5. 1

9. 10/3

13. Diverge

17. Converge

21. Converge

3. TI2

7. 2&

11. 1

15. Diverge

19. Diverge

23. Converge


25. Para p # 1,

Si p < 1, se tiene 1 - p > O, así límh+n+ (h - tr)"" = 0 y la integral converge. Si p > 1, entonces 1 - p < O y límh-n+ (/I - u)"" = co y la integral diverge. Si p = 1, entonces

[l/(x - u ) ] - d s = límh,,+ In ( S - a(]: = In (h - (11 - límh,.+ In (h - u ( = m, así la integral diverge para p > 1. La demostracibn para s: [ 1/(h - x)"] dx es ankloga.

27. a) Sí b) V = 2 ~ x ( l / & ) d x = 4 ~ / 3 C) sí


1. --sen3x - -sen3x + -cos3x + C 3. -5In12x + 3) + 5In Ix - 51 + C X Z 2 2x 3 27 9

5. 6[+x7/6 - ix + fX5/6 - 1 213 + iX' /z - ix1/3 + x1/6 - ln l X I / 6 + 111 + c 4x 7. - t c o s 2 x + i c o s 2 2 x - ~ c o s s 2 x + C 9. $ t a n 3 3 x + & t a n 5 3 x + C

11. 2 + -sen-' (%) + c 8 2 3

13. a) Diverge. ds diverge, según el teorema 9.1.

b) Diverge, segiin el teorema 9.2. (u + 7)/(x' - I ) > li2.x para .Y grande y is; ( I ; . Y ) ~ . Y diverge, según el teorema 9.1.

J . 2 - X J2-x x2 - 4 - ( G ) 2 ( x + 2) S(, + 2 ) .

C) 1

" - - " -

Ahora

1 1 1 J 2 " r ( + 2 ) 4 J2-x

>-.- para 1 S x < 2.

1 1 Según el teorema 9.1, -

integral dada diverge; por tanto, la integral diverge. 4 lI2 JZ".

d2; diverge. Según el teorema 9.2, el negativo de la


X 2 1. -1nx - - + C

X 2

2 4 3. 2 In Ix - 31 + -tan" 2x + C 3 2

5. -$(X -- 1y4 - 3 ( ~ - 1) - ;(x - 113f4 - - 1)1'2 - 72(x - 1 y / 4

- 216111 I(x - l)'I4 - 31 + C 7. $sen3 x - &ens x + c 9. "fmt'x - ; m t 5 x + c


13. a ) Diverge, puesto que {;(I; .Y. ' )~/.Y diverge. segiln el teorema 9.1 b) En O < .Y < I , el integrando es menor que I , ' ( s - 1)' ' que converge. según el teore-

ma Y.I. En I < S < 4, es menor que 4;(2 - l ) ' ' j , que converge, segiln el teorema 9.1. Por tanto. converge, según el teorema 9.2.

I 1 1

1 + x3 (X + l)(x2 - X + 1) 6(x + 1) c) __ - - >- para .Y # - I pero en la vecindad de - l.

El teorema 9.1 demuestra quc

diverge para todo í: O. Por tanto. I:* integral dada dibcrge, segíln el teorema 9.2.


u J f ' ( t ) dv = 1 . dt du = f"(t) dt v = t - x ,

entonces sc obtiene

[ : f ' ( t ) d t = ( t - x)f'(t) 1: - [)'f"(t)(t - x ) dt

= O - ( -x) f ' (~) + J f"(t)(x - t ) dt. . x

11

Así./'(u) - / '(O) = f'(O).\- + /'([)(.x - r ) t/t, que da la fbrmula requerida

3. Se supone que l inl . ,~a, , / ' ( S ) = 11 > O. Entonces ,/(.Y) > (I;? para .x '> h para algún h. Así; Iímh+L f(s) dx > límh+ (u/2)dx = Iímh-, x (@)(/I - h) = x., así j$ f(.u)t/z diverge. Un argumento análogo demuestra que 1; f '(x)dx diverge si límI-7. f ( x ) = U < O. Se ha demostrado la contrapositiva equivalente del enunciado en el ejercicio.

S. a) Si , f (x) = S , entonces jh .h j(u) (/.Y = .Y (/.Y = O, así el valor principal de Cauchy de , f ( x ) (/.Y es cero, aunque j L , ,/ '(.Y) (/.Y diverge.

b) Si jr, ~ ( . Y ) ( / . Y converge, entonces 1; f(.u)t/r y j'!, . f ' ( s ) t l x converge, así límh+. (6 J(x) tix y Iím,,-, j!!h f ( x j c / u existen. Entonces j? II f ( x ) r/.u = ]ímh--, jh ,f(xj r i u + valor principal de Cauchy de j I , f (u) (/s. limb-, S! h f(S) (/.Y = limb+, jg ,f (.Y) (/.Y + J ? h /(.Y) (/.Y = limb+ , [h., f ( Y ) (/x, que es el

7. Sea,f '(r) = 0 para Y no en [H - 1/10'",n + I/lo2"] para todo entero n > O. La grrifica de f'sobre [ n - 1/102", n + 1/10"] consta del segmento de recta que une


y el segmento de recta que une

(n, IO") y (n + 1/102",0). El área interior del n-ésimo ccpicou es 10"(1/102") = 1/10". Así

f(x) dx = & + + + . . . = 0.1 + 0.01 + 0.001 + * * . = 0.1111. .

CAPITULO 10

Sección 10.1

I . Se tiene límn.+, u n = m si para todo número real y existe un entero N tal que a, > y siempre que n > N .

3. Converge 2 O 5. Converge a I

7. Converge a 2

11. Converge a O

9. Diverge a cx:

13. Diverge a ic

- dl > Id - c)/2 para todo 17 > NI

así para c = / d - (,I/?, no puede existir N2 tal que )(I, - (/I < E para n > N , . Luego ]ímn- , u, # d .

21. Sea dado I : > O y hallar un entero positivo N tal que (1:N) < E. Entonces se tiene

l a , - O l = " I":"" i I i I o = - < e

si n > N , así la sucesión converge a O.

23. Suponer que la sucesión tiene límite 1'. Entonces, si se toma c = $, existe un entero positivo N tal que /un - L./ < +para n > N . En particular,

l%+1 - CI < k Y la,+z - CI < ;, l o cual implica (ah. t, - UN + z I < 1. Sin embargo, I(/ ,% - UN + = 2, así la suposición de que la sucesión tiene un límite c es falsa.

25. a) 13 b) 135 c) 1359 d) 13593 27. 1.64872

816 C,4LCULO CON GEOMETRíA ANALlTfCA

Sección 10.2

1. a) 1 b) 1 c) O d) O e) 0 f ) O g) 1

3. a , = 112. a2 = - 116, a? = - 1/12, a4 = - 1/20, a, = 7 1/30 5. Converge a 7. Converge a 4 9. Diverge 11. Converge a 4

13. Diverge a ;r_ 15. 60 m 17. 1 + I + 1 + 1 + . . . y (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + . . . 19. 21. 6

23. 13 25. a) 1.333.. . b) $ c) $ 27. La serie es

y la suma de Ia serie es 4. 29. Sea r un número real representado por un decimal sin fin con un patrón repetitivo.

Multiplicando por una potencia conveniente 1 0 se puede suponer que el decimal que representa 10"'r se expresa por

10"r = a laz . . . a, . b,b2. . . b, b,b,. . . b, b,b, . . . b, . . . ,

donde cada uno de los (1; y hi es un entero de O a 9, de modo que el patrón repetitivo de 1O"r se inicia inmediatamente después del punto decimal. Entonces

así

que es un número racional. [ N o t a En esta argumentación, crlaz, ..., ( l q y hlhz, ..., b, son representaciones decimales de enteros, en lugar de productos de y o S números.]

Sección 10.3

1. Converge a ,13. 3. Converge a 2 + $ - J2. 5. Converge; se compara con x.."= , ( I D " ) .

7. Converge; se compara con xi=, (1,2").

9. Converge; se compara con x.."= ( I O " ) .

1 l. Diverge; ¡ímn-, (I, = f # 0.


13. Converge; se compara con c." (1:5").

1s. Converge; suma de dos series geométricas convergentes.

17. Diverge; se comporta como 1 ( 1 /?I).

19. Converge: se comporta como la serie geométricn cuya razcin es l/e2.

21. Diverge; o, no tiende a O cuando n -, c c . 23. Diverge; u, I para todo 11.

25. a) s1 = $, s2 = 5, s3 = :, sq =

b) S,, = 1 - ( l / (n + 1)) = n/(n + 1) c) lim,,-- ( n / ( n + 1)) = 1, así la serie converge a 1.

27. Sea -1 y b, 1/2".

Sección 10.4

1. Diverge 5. Converge

3. Diverge

- lim In (In x)]' = lim In (In t ) - In (In 2 ) = 00 2 1"

9. Converge 11. Diverge 13. Converge 15. Converge 17. Converge 19. Diverge 21. Diverge 23. Diverge 25. Converge 27. Converge 29. Diverge 31. Diverge 33. Converge 35. Converge 37. Converge 39. Converge 41. La suma de la serie est6 en 12, 31. 43. Se toma el límite de (7) cuando S + ic y se tiene

Desde

se tiene el resultado requerido.


Sección 10.5

1 . 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + . . . 3. 1 + + + ; + ; + ; + . * .

S. Condicionalmente convergente 7. Absolutamente convergente

9. Divergente 11. Condicionalmente convergente

13. Divergente 15. Divergente

17. Absolutamente convergentc 19. Absolutamente convergente

21. a ) Puesto que ( I , = u n + I.", esto se deduce del corolario I del teorema 10.2 (sección 10.2). b) Si. por ejemplo. x;=, u n converge, entonces la convergencia de 1 LI, implica la

convergencia de 1." I (un - u.) = L', segim el corolario 1 del teorema 10.2 (seccibn 10.2).

c) S e a Z = , a , = 1 - ; + : - i + i - . + . . . . 5 6

23. -0.9011 25. 1.6444


1. Ver definicibn 10.2 de la seccibn 10.1 3. 38

S. a ) Diverge: lím, + , ( I , = I # O b) Diverge; se comporta como c." (lin) por criterio de comparación 2.

7. Las hipbtesis del teorema se satisfacen

j m "& dx = 1; (-x + -) dx = lím (-ln 1x1 + In Ix - 11 1 1 > x - x x - 1 h-co 1:

Converge 9. 21) Condicionalmente converge. Satisface el criterio de las series alternadas pero diverge

absolutamente. (Se comporta como 1;- I (I,,h).) b) Converge absolutamente según el criterio de la integral.


I . Nbtese que(n - ] ) I n = 1 - ( l l n ) . Sea t: > O. Hallar N tal que 11.N < t : . Entonces si n > N , se tiene ( I , ' n ) < c, así I ( I / n ) l = 111 - ( U n ) ] - 11 < x. Así { ( n - I ) / r z i converge a I .

3. 30 m.

S. a) Converge: el criterio de la raz6n da una razón de < 1. b) Converge; la suma de series peomerricas convergentes con razones de 3,'5 y 4:5.


7. Las hiphtesis se satistacen

Diverge.

9. a ) Condicionalmente converge. Satisface el criterio de las series alternadas. pero diverge

b) Converge absolutamente según el criterio de comparacihn I , porque los términos son absolutamente segim el criterio de la integral.

a Io sumo 1 , I + l.

Problemas más difíciles I O

I .

3.

S.

7.

9.

Si S, = -1,. entonces is,) es moniltona creciente. S e g h l a propiedad fundamental, limn-*, .sn = x,. de modo que I h , , + , - = l imn+, I,, = - x, o lim, . , S, = c ' . tal que limn , , t, = - C . = t i .

Segiln 111 < 11, ( I , N , para algun entero N . Ahora bien, 1,;- m , , e 1;- Mrr, converge s i y shlo si x;- (1, converge. De inmediato se deduce por el criterio de comparacibn que x;= 11, e x;=, h, convergen o divergen simultineamente.

Escoger términos 1 1 , po.si~ic.o.s ( # Oj de 2.': I u,, en orden, hasta obtener una suma parcial =. 17. Después escoger términos ncgnlilvs ( # O ) c, en orden, hasta que la suma parcial quede < 17. Entonces escoger términos posiricos subsiguientes u,, en orden, hasta que la suma parcial vuelva a ser > 17. y después términos negativos subsiguientes 1 3 , hasta que la sum;t pnrcial quede < 17. etc.

Escoger términos posiriros [I, ( # O ) en orden, hasta que la suma parcial quede > 1. Después cscoger el primer término m y r r i r o I,, (#O) . Escoger luego términos p o s i r i ~ ~ ~ s hasta que la suma parcial quede >2, y luego el siguiente término negutico 11".

Escoger luego términos posiriros u,, hasta que la suma parcial quede > 3, y escoger después el siguiente término negrrtiro, etc.

Escoger grupos dc términos posiriros ( # O ) sucesivos u, y grupos de términos negcrticos (#o) sucesivos L', alternadamente, de modo que bas sumas parciales, una vez escogidos los grupos, queden sucesivamente 3 15, < - 6, 3 15, < -6, etc.

CAPITULO 1 1

Sección 1 1.1

1. r = l ; - l s x < l 5. r = 1; -1 ~x S 1

3. r = l ; - i < x S l 7. r = 5 ; - S s x < S


n = O n =O

(x + 3)" n . 2"

n=l

Sección 1 1.2

xz x4 x6 x8 X ' O

2! 4! 6! 8! lo! 1

5. - (x - 1) + - 1)' - (x - 113 + (x - 114 - (X - 115 + (X - u 6

8 x 3 3 2 x 5 1 2 8 ~ ' 7. a) 2x--++--- 3! S ! 7!

b) El polinomio se puede obtener reemplazando .Y por 2.x en la respuesta del ejemplo 1

9. a) 1 + x' b) El polinomio es la porcicin de grado < 2 del polinomio obtenido reemplazando .Y

por Y ' en la respuesta del ejemplo 3. c) 1 + x' + x4 + x6 + xs

c) 9 + S(X - 1) + (x - 1)2 11. a) 9 + 5Ax + (Ax)' b) 9 + 5(x - 1) + (X - 1)'

13. Según la regla de la cadena, y'"'(xo) = c'"f'"'(.xu0) para m < n ; por tanto, el coeficiente de .Y'" en el polinomio de Taylor para (1 es cm veces el coeficiente de X"' en el polinomio de Taylor 7J . x ) para f Pero esta multiplicación por cm también se logra formando 7Jc.~).

15. a) 26.46 b) 0.0036

17. a) 107r ft3 b) -ft3 S T 36


Sección I 1.3

I. F V V V F V

x4 3! (2n + l)! 5. x2 - - + . . . + (-1)" X2n+2 + para n r 1

7. X + X 2 + X ~ + . ' . + X n + L + ~ * *

13. 1 - 2x + 3x2 - . . . + (-l)"(n + 1)x" + . . . 15. 1 + - + - + . * . x2 5x4

2! 4! 5 8 2 3

17. ~ + ~ x + - x ~ + - x ~ + - . .

x3 xs 19. X + " + - + . . . +

3! 5! (2n + l)! X2n+l

+ . . ,

23. X + - + . . 5x3 6

2 2 3 15

25. a) x - - x x 3 + - x s + ~ ~ ~

27. l / x = -1/[l - (X + l)]; -1 - (X + 1) - (X + 1)' - . . - (x + 1)" - . . . 29. a) Reemplazar x por -.Y en Id ec. (4). b) El criterio de las series alternadas se satisface.

así límn4, E,,(l) = O. Según (a) se deduce que la serie armónica alternada converge a In 2.

x3 x s x7 XZn+l

3 5 . 2 ! 7 . 3 ! (2n + l)n! 31. c + x + - + - + - + . - . + + .

" 5 -9 ..4"+l 33. T + x -z + (-1y rl +"... .&

5 - 2 ! 9.4! (4n -4- 1)(2n)! +. . .

x L x x x c X h X n

2 ! 3! 4! 5 ! 6! n !

3 4

e LA. 1 ~. ix - " + i" .L ~ ~ [- - " + . . . + (-1)" -- -t

b) y c) Esto es e l d e n t e scghn ;L) 4 las series ( 2 ) y (3) para sen .Y 4 cos A .

d) cosx = (e'" + e " ) / 2 ; scnx = (e'" -- e ~ " ) / 2 i e) Son rguales excepto por i n presencio de i en algunos 1ug:rres.

37. 2 x + (1/(1 + x) ! 39. 3 x + cos x

45. 2/(1 -- x)'

47. [1/(1 + 2 x 7 1 + 2x' ~~ 1 = 3x"/(1 + 2x')

41. sen x + cos x 43. (e" -- 1) + [1/(1 .- x)]

49. 1 1 = 7 : el ttrmino del error da tamhién I I = 7

Sección I I .4

1. 1

5. --2

9. 1

13. O

17. o 21.

25. -1

29. O

33. * 37. e'

41. 1.0000

45. 0 . 5

3. 2

7. o 11. o 15. O

19. -1

23.

27. x

31. O

35. x

39. m

43. 0.000

Sección 1 1.5

1. 6 3. 8

5. 1 7. :t 9. 1 11. 2i

13. 1 + Ox + Oxz + . . . + Ox" + . . . ; (E) = 1 para k = O y O para k > O IS. 1 - 2x + 3x2 - 4 x 3 + 5x4 - . . . ; r = 1 17. 1 - i x 2 - i x 4 - Ax" - S x a - . . . . , r = l

19. 1 i- 5x + 5x2 - ;x3 + ;x4 - . . ; r = f 21. Hallar la suma parcial de (1 - S)' ' con x = 1

23. Hallar l a suma parcial de (1 - x) ~ " 3 con Y = $. 3 '


1 1 1 1 1 con error < ---- 3 7 . 3 ! 1 1 4 ! 1 5 . 7 ! 1Y.9 !

25.

1 1 1 1 1 1 27 - - _- + -- - -__ + S 4 8 . 2 ! 1 2 . 4 ! 16 .6 ! 2 0 . 8 !

con error < __ 2 4 . 10!

31. Si se verifican los coeficientes de Y', solamente es necesario demoslrar que

P C ) = [ ( k + 1)L?1)1 + [k(E)].

Se tiene

33. Serie 1.462650; regla de Simpson 1.462654: diferencia 0.000004.

35. 3.14159268


1. -8 5 x < -2

3. - A 1 + +- ;) - + ?) - - ;y + z(x - ?"y J3 T ' 2 1 4'3 2 2

5. a ) Una funci6n es analítica si puede representarse por una serie de potencias en una vecindad de cualquier punto de su dominio.

b) X + X ~ + X ~ + X ' + ~ . . + X ~ ~ ~ ~ + . . .

7. 6 9. 1 + i X 2 - Qx4 + 1. 6 5

1hX - m x


3. -+ - ;) + ;(x - 3 3

824 CALCULO CON GEOMETRíA ANALITlCA

x7 x9 xl' XZntS 5 x 5 " + " - + . . . + (-1)"- + . . .

2 3 4 n + l 1

7. " 2

x xz 5 4 32 128

9. l + - + - + - x x "

Problemas más dificiles I 1

1. l le 3. m 5. 112 7. O

CAPITULO 12

Sección 12.1

1.

Y A

l -4

4 ,

1 2 3 4 o 3.

Y

9. 413


9.

11. “c

“-7x

t , 4 ’

X

= I

Sección 12.2

1. Sea P un punlo en la hipérbola a una distancia d l de F1 y a una distancia d 2 de F 2 . Suponer d l > d 2 . Entonces d l - d z = 2a. Las longitudes de los lados del triángulo con vértices P, F1 y F 2 son, respectivamente, dl , d 2 y 2c. Por la sugerencia del ejercicio se sabe que dl < d2 + 2c. Por tanto, dl - d 2 < 2c, así 2a < 2c y a < c.

826 CALCULO CON GE,OMETRlA A N A L ~ T I C A

5. Focos ( * ~ 4 I . O 1

Directrices x = &2S/f i


9. Foco (3, -7) Directriz x = 1

23. y ? = 12x

13. xx' " y ? + 36x = -36 17. S' + 4x + 2 y = 1

27. ( X i- 5)'- - -8 (y - 2 ) 29. La recta .Y = p interseca 1,' = 4pu en (O, 2p) y (O, -2p) . La distancia cntre estos puntos

L'S 411.

Secci6n 12.3

1. x ' = x cos 0 + y sen O, y ' = "x sen 8 -t y cos 0

3. Si se utilizan la ec. (5) y las identidades trigonométricas. se obtiene B" - 4A'C' = ( C - A)'sen* 2 8 + 2(C' - A ) B sen 28 cos 20 + B' cos' 20 - 4A7 cos2 0 sen' 0 + 4AR sen 8 cos' 0 - 4AC cos4 0 - 4AB sen3 0 cos O + 4B2sen2 8 cos' H - 4RC sen O cos' 0 ~ 4AC sen4 0 + 4CB sen3 H cos O - 3C2sen20 coszO = H 2 - 4AC.

5. X'* - 5y'* = " I O 7 . 5x" + y" - 4&x' - 4 y ' = 36

9. 1 1x'2 + y'? + "X' - _ _ y ' h 2 f i f i

= 24 11. Parábola

13. Elipse 15. Elipse


17. Rotar a través de O = 45 ’. Entonces

(x’ + 1)’ = -4(y’ - 1) 2 2 = -47

y

19. Rotar a través de P = 45 . Entonces

(x’ - 1)’ ( y ’ - 7)* 5 25

+- = 1

- + “ = I 2‘ Y’ 5 25


Sección 12.4

1. Para la elipse, se tiene que ( 8 = ,,¡m = Q!-. Se desprende que si h/a está muy próximo a cero, entonces c/u = 1.

3. Como en el ejercicio 2, se demuestra que el punto de una elipse más lejano de un foco dado es el punto más alejado en el eje mayor. El resultado se deduce inmediatamente del hecho de que el centro de la Tierra está en el foco de la elipse.

5. Sea la parabola y' = 4px. La pendiente de la normal a la parábola en (x, y) es - ~ 1 / 2 p . La pendiente de la recta de ( p , O) a (x, y) es J/(S - p ) . La tangente del ángulo entre las rectas cuyas pendientes son )vl y n 1 2 es (nil - n12)/(l + n111)12) según la fórmula para tan (O, - 0'). Refiriéndose a la figura, se ve que

luego 3 == /l.

Y A

I \ y' = 4 p x

Y A

I 3 " a - r - I I I y = P n t

.x

v

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS IMPARES X31

13. x = In m. y = m para O < m < m

17. x = a0 - b sen O, y = a - b cos O 19. -: 21. 1 23. (1, O) 25. 4 27. 24

29. 3ai2

Sección 12.6

1. 1 3. 112v5

5. 4/25 7. 1/4a 9. 115

11. Si (/(/>;(/.S es positiva, entonces (t, crece cuando S crece. y el crecimiento de (i, corresponde ;I una I-otacihn en direccih contraria a la de las manecillas del reloj de la recta kmgenle; por tanto, l a curva se dobln hacia la izquierda. Si t / ( j , t / . s es negativa, entonces (I, decrece cuando ,S crece. y la curva se dobla hacia l a derecha.

13. Cero 15. Si l a curva lura es cero en todo punto. entonces. segun la I3rrnula (7) del texto, se tiene

d 2 > . , ' t / u ' = O en Lodo punto. De esta ecuacicin diferencial se deduce que y = A Y + B para alglln¿ls const:1ntcs .A y R.

17. (x + y)> + y' = ",' 19. a) El centro del círculo.

b) El circulo con centro en el punto.


1.1

.


1.3

?'

T


v

1. 3xZ - y 2 + 1 4 ~ + 4y = 9

3. a) Hipérbola b) Parábola c) Elipse

7. j;G2 + cos2 t dt

9. 6 & / 1 0 ~ / ~

1.1

v i

1.3

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS IMPARES

1. 9x2 + 8yz + 1 8 ~ - 14y = -14 Y

3. e = +; - 112 = + 3

7. (15, lorn) 9. 2/293'2

-4


1. a) Un círculo de radio u con centro en (O, O) b) Coinciden en (O, O). c) Se alejan hacia el infinito.

d) O. 3. a) Las rectas .Y = +N.

b) Se alejan hacia el infinito. c) El eje J"

d) OO. 5. a) Las semirrectas en el eje .Y donde [.Y/ > U.

b) (*a, O) c) x = *a

d) 1 7. Puesto que 1 + f"(s)' 2 1, se tiene

9. 15a/8

CAPITULO 13

Sección 13.1

1. i2A, 2Jz) 5. ( 4 5 , -&)

833

r- . ~ ""

13. d = J(x, - X,)* + (V, - y,')' := q' (r , cos 8, -- r , cos 0,)' + (r,sen e2 - r l sene,)' = Jr lL + rz' - 2r,r,(cos el cos e2 + sen 8, sen e,) = v rl + r, 2r,r2 cos (e, - O,)

TT"7- ____

15. 2r cos 0 + 3r scn 8 = 5

19. e = 312; x = -313

Sección 13.2

1.

17. (x - a')-? + y' = a'

21. 32/43

I r- = 2 0 sen H


I' = (It'"

9. -

13.

I

836 CALCULO CON GEOMETRIA ANAL~TICA

Sección 13.3

l. T U 2

5. -t A ) 3. a’

Sección 13.4

13. Si un punto sobre una variable denota derivacih con respecto a un parámetro, entonces

x = -f(6) sen 6 + f’(6) COS 6 x = -f(6) cos 6 - 2f’(6) sen 6 + f”(6) cos 8

y = f(6) cos e + f’(6) sen H

y = -f(H) sen 6 + 2f‘(6) cos e -t Y(@) sen 8.

Sustituyendo estas expresiones en l a fhrmula para ti y simplificando se obtiene el resultado requerido.


1. [2, (5a/6) + 2nn], 1-2. ( l l d 6 ) + 2 n a l

3. x 2 + y 2 = x + y



1. [-A, (3~14) + 2 n ~ ] , [A, ( 7 ~ 1 4 ) + 2 n ~ ] 3. (x2 + y2)2 = 2(x2 + y') + 2xy, (x, y) # (O, O) 5. (al&, d6), (a/&, 5~161, ( a l a , 7~161, (al&, 1 1 ~ / 6 ) 7. 4 2


1. 4 (0, O) b) 2 unidades de tiempo c) r = a e m i 4 e - ' , O 2 ~ / 4 d) 2 unidades e) Se marea

CAPITULO 14

Sección 14.1 Z

I T

i

3

A


t

J 19. El plano : = O 21. p = 5

Sección 14.2

1. Un plano 2 = zo intcrseca la superficie en una elipse si zo > c. Los planos .Y = .xo

e j' = ~ 1 0 intersecan la superficie en hiperbolns.

Cilindro circular recto

d

Cilindro parabólico

7 .

11.

Hiperboloide de una hoja


13.

Paraboloide hiperbólico

Cono elíptico Paraboloide circular

Sección 14.3

3. a) f i b) J1'5 e) 2 J i 5 d) 15 5. a) 3 b) -2 e) O d) Imposible


7. -(i - j + 3k) 1 Jii

9. (l/&)(i + 2 j ) y ( l /&)( i + k ) . (Son posibles muchas mis respuestas.) 11. (3 , -2.4) - (1, -1,4) = (2 , - 1 , O ) (-2, 1,6) - ( -4 ,2,6) .

T’amhih (3, -2,4) - (-2, 1 ,6) = ( S , -3 , -2) = (1, -1,4) - ( -4 ,2,6) .

Sección 14.4

1. T / 2 3. 3n14

5. cos- ’ __ -33 1 S&

7 7. cos

J65 9. Se& la fig. 14.29, basta demostrar que si la1 = jbl, entonces (a + b) (a - b) = O.

Pero ( a + b ) . ( a - b ) = a . a + b . a - a . b - b . b = a . a - - b . b = ( a l ’ - Ib12 = O.

11. [ ( a lb + (bl al 1) [la1 b - lb( a] = /al2 b b - la1 Ibl b . a + lb( la1 a b - jbj2 a . a

= /U[* b b - lb(’ U * a = la(* lb /2 - lb12 /U( ’ = O.

13. Sean a = i , b = 2 i - j , y c = 2 i + 7 j . Entonces a b = a c = 2, pero b # c.

15. Seana = a , i + a,j + a,k, b = b, i + b,j + b,k, y c = c , i + cz j + c,k.

Entonces

a * (b + E ) = Cali + a,j + a , k ] * [ (b , + c , ) i + (b , + c 2 ) j + (b , -+ c , )k]

= + c,) + adb, + c2) + adb, + c,) = (a,b, + a,b2 + a3b3) + (a , c , + azc2 + a+,)

= a * b t - a . c .

17. ( a + b ) * ( a + b ) = a . a + a - b + b . a + b . b [por(c)] = a . a + a - b + a * b + b . b [por(b)] = a . a + 2 ( a - b ) + b . b

(a - b ) - (a - b) = a a + a * ( -b) + ( -b) a + ( -b ) (-a) = a - a - ( a - b ) - ( b a a ) + ( b e b ) = a - a - ( a - b ) - ( a - b ) + ( b - b ) = a . a - 2 ( a . b ) + ( b - b )

3 19. - (i + 3 j + 4k), --

26 m 3

21. o, o

= a - b - a - b =O


Sección 14.5

1. -1s 5. 61

3. 15

= a,a,c, - a,a3c2 - ala2c3 + a2a3cl + ala3cz - aza,cl

= o

= ala3h, - a,a,b, - aza,b, + a,a,b, + a,a,b, - alalb2

= o 9. -6i + 3 j + 5 k 11. o

13. 11 15. J?% 17. 1912 19. -6, 12i + 4 k 21. 20 23. 7113

25. (a X b) X c = (U * c )b -- ( b * c ) a 27. La matriz resultante tiene las dos primeras filas iguales; por tanto, su detcrminante es igual

29. a) El vector a x b(b x c) es perpendicular al vector b x c, que a su vez es perpendicular a cero.

a l plano que contiene b y c. Así. a x (6 X c) esti contenido en este plano. b) El argumento es semcjante al de a). c) Segun a ) y b), los productos iguales a x (b X c) y (a x b) x c s e r h paralclos a b.

Un bosquejo rhpido nlucstra que a x (b X c) no es, en general, paralelo a b.

Sección 14.6

1. x = 3 - 8t, y = -2 + 4 t

t

Sección 14.7

1. x - 2 y + z = -7

9. x + y = l 5. 3 X - 7V f 32 0

13. 7~ + 2311 - z = 83 17. O

Problemas más difíciles 14.1

1. a) 2 J z z

b) (X + 1)' + (y -- 1)' + ( 2 - 6)2 = 21

4

3.

.Y ,.?

3. 31 - 2y + 7 2 = 39 7 . x = - 2 + t , y = 1 - 2 t , 2 - 4 t

11. 7x + 4 y + 2 2 = 13 15. - 7 ~ + y + 11 = O 19. X = -9 + t, y 16 - 3t, z = "t

Hiperboloide de una hoja


5. COS-' (-5/14)

9. -4 i - 2 j + 6k 13. 11/3

7. -i - 1 3 j - 9k 11. X = r, y = -24 z = 3r

15. (g , B, id 37 50 31


1. a) 1 rt 5& b) Centro ( l , O , -21, radio 3

Cilindro parabblico Paraboloide elíptico

5. cos-' (7 /3Jl l ) 7. a) O b) b c) O 9. S2

11. x = -1 + 4r, y = 5 - 6r, z = 2 + 2t

13. 19/&0 15. 14x + 13y -t 10.7 = 45


1. 47/4v'%

5. 6

3. 2x - 3 y - z = 3

7. El teorema 14.2 aplicado a (u - xb) . (u - xb) 2 O da lugar a (b - b)x2 - 2(0 b)x + u - u 3 O para todo x. Así, la ecuación (b b)x2 - 2(u - b)x + (u . u) = O no tiene dos raíces reales diferentes. Luego, según la fórmula cuadrática,

( - 2 ( ~ b))' - 4(b * b)(U U) 5 O,

4(a b)* I 4(u * u)(b b) , (u - b)' I (U - a)(b b).


CAPITULO 15

Sección 15.1

1. Según la regla de cadena y la cc. ( X ) .

dr dt dr dt

ds ds dt ds ds dt - -” - - “1) = “el) = t. -

3. a) 2i + 3 j b) f i 3 c) O i + 0 j = O

5. a) - i b) 1 c) - ~ 4 j

7. a) i b) 1 c) -i + j 9. a) - i - 2 j b) & c) 2i + 6 j

11. a) 4i + 12j - k b) A67 c) 2 i f 12j 13. a) -i + j + 2k b) d% c) 2i - 2 j + 2k 15. 140

17. a x b = ( -s t3 + 24t’ + 6t)i + (t4 t 16t’)j + (4t’ + 16t2 - 8t - 2)k, da ~ x b = (-10t2 + 24t) i + (2t’ 4 14t) j + (4t2 + 1 S t - 8)k . dt

a X - = ( - S t 2 + 24t + 6)i + (21’ -t 1 8 t ) j + (st2 + 17t)k, db

dt

d ( a X b)

d t = (--15t2 + 481 + 6) i + (4t3 i- 32t) j + (12t’ + 32r - 8)k

da db = . - x b + a x - dt dt

Sección 15.3

1. v = y - u , ; a = 7 y + 2 u , 3. La razbn tr’lT’ se calcula para un pianeta por medio de observacihn astronhmica.

Según la ec. (32), se tiene M = (47~‘’G)(rr~/7‘~) , que puede utilizarse para calcular la masa M del Sol.

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS lMPARES 847

5. Utilizando la notación de la sugerencia, se tiene

2~ = apogeo + perigeo + 2R;

a s í , si se conocen el apogeo y el perigeo, se conoce 2a. Segim la ec. (32) se tiene

donde M es la masa de la Tierra. 7. Si [I es el irea barrida en una unidad de tiempo, entonces, según la segunda ley de

9. Derivando r’6 = 2/1 con respecto a I, se tiene r’ij +- 2ri-i) = O, así I ’ ( I ’ ~ + 2i-O) = O, Kepler, se tiene A ( [ ) = [It, así d A / t l t = p.

que da lugar a rd + 2i.d = O.

rUe sen H = O. 11. La derivación de r(1 - e cos U ) = B con respecto a t , da lugar a t(l - e cos O) +

13. La derivación del resultado del ejercicio 12 con respecto a I da lugar a

?B + (26e COS e)i’ = O, así. por el ejercicio 8 se tiene

.. - ( 2 ~ e cos 018 cos oI(r’8) r = - -

B rZB

- -(20e cos @)(a@) 46’ e cos 8 - - -___ - -

r2B rz B ’

Puesto que I’ = I?;( 1 - 1, cos O), se tiene

1 1 e cos 0 r B B ’ - - - ~ _ _ _ -

así

e cos 0 1 1 B r B

-

Entonces se tiene ,. 4P2 1 r = - - - -

r2 i r A). 15. Según el ejercicio 10 se tiene:

F = ma = m ( ? - &’)u,.

Puesto que u, esti dirigido hacia el exterior del Sol, el ejercicio 14 (con el signo negativo) da lugar a

B r2 rz ’

y la fuerza se dirige hacia el Sol.


17. Según dA,tir = 11, se tiene A = /Ir + C. así se barren /I' unidades de hrea por unidad de tiempo. Por tanto, en T unidades de tiempo se barren /I'T unidades de hrea; el drea de la elipse es entonces /IT

19. Se tiene

Ahora, según el ejercicio 16. se tiene

Eníonces 4mrn?'a'bz IF( = -___ .._-

~- 4mrn'a' T 2 t 2 ( b 7 / a ) T'r' '

-

21. Si u3:'T' = K M donde M es la masa en el centro del campo de fuerza central y K es una constante, entonces el ejercicio 19 da camo resultado

Esto da la ley de gravitacicin universal de Newton, donde C; = 4n2K

Sección 15.4

1. K 0, 7 = 0 3. h

1 1 1 5. = -"(i + t j - tk) , n = ---____ i t j - k ) . b = -(j + k ) f i t 2 t 2 + 4t' ( -2r Jz


23. La fórmula de Frenet dtlds = tin da lugar a dt ids = O si ti = O. Pero entonces t es constante, así t = c,i + c z j + c3k. Así drjrls = c l i + c 2 j + c3kr así en términos del parimetro S se obtiene r = (cls + dl)¡ + (c2s + d 2 ) j + ( ~ 3 . 5 + d3)k, y las ecuaciones paramétricas del lugar geomtttrico son x = cIs + d l , y = c2s + (I2, z = c3s + d3 y es una recta.

25. Siguiendo la sugerencia, se tiene

dw d i dt -- dñ dn d6 db - ds ds ds ds ds ds ds - = t . - + - . ~ + n . - + - . ~ + b . - + - . b

= t (Kñ) + K l l i + n . ( -U? + 76) + (“Kt f 7 b ) . 6 + b ’ (-?7i) + (-731) 6 = o.

Así M’ es una constante, y puesto que t , n y b son iguales a sus respectivas homólogas con barras en O, se tiene w(0) = 1 + 1 + 1 = 3. Ya que t , < n, n, b, 6, son vectores unitarios, se tiene t . T < 1 y t . t = 1 si y sólo si t = t , con resultados anilogos vi!idos para n y n, y para b y b . Así, M’ = 3 implica t = t, n = ii y b = 6 para todos los valores del p a r h e t r o s. De t = i se tiene dr/r/s = d ~ l t / . s , de modo que r(s) = T(s) + c y de r(0) = ¡(O), se tiene c = O. Así r(s) = ?(S), así las curvas son iguales en términos del parkmetro de longitud de arco.


1. a) r = (sen2t)i + (cos t ) j b) u = (-l/&)j c) 1/& d) -4i - (l/&)j 3. u = 1 +;&; (I = -lo 4% 32% + i%% 5. Una elipse. paribola o hipérbola (posiblemente degeneradas) con foco en el centro del

7. a) i + (3/&)i + (3/&)k b) f i c) (-3/&)j + (3/&)k 9. a) 3/10 b) 1/10

campo de fuerzas, es decir, una curva plana de segundo grado


1. a) $i + ij b) 5/12 c) -& - 3. 60 m/seg. 5. Ver comienzo de la sección 15.3.2. 7. La torsión T es el (mico escalar tal que dbjds = -m 9. u = 14/17J1;7; 7 = 6/49

CAPITULO 16

Sección 16.1

1. fx = 3, f, = 4 3. fx = 2x, j ; = 23’


e x/, - xe XIY 5. fi = -, f, = -

Y Y 2 6x 9x’

Y Y 7. fx = y2 + ”5, f, = 2xy - “i-

9. fx = (x’ + 2xy)(2x) + (y’ + x2)(2x + 2y),

f, = (x’ + 2xy)(3y2) + (y3 + x2)(2x) 2xy - 2xy’ 2 Y ( X Z + y) - (x2 + y’)

(x’ + Y)’ 11. fx = (x‘ + y)’ 1 f, =

13. fx = 2x sec’ (x’ + y2), f, = 2y secZ(x’ + y’) 15. fx = 2xyexy2 sec (x’y) tan (x’y) + y’exyz sec (x’y)

f, = x2exy’sec (x‘y) tan (x’y) + 2xyexy‘ sec (x’y)

17. f x ~

2 cot y’ cot y‘ 2 x + y ’ 2 x + y

f, = -2y In (2x + y) csc‘ y’ + - 19. fx = 3y sec3 x tan x + y’, f, = sec3 x + 2xy

21. fx = ____ Y’ 2XY f, = __- 1 + x2y4 ’ 1 + x2y4

23. 2xy 25. yeyz

27. 24sec’ (2x + y - 32) tan (2x + y - 32)

Sección 16.2

1. 3~ + 16y - z = 2 1 3. x = 1 +2n, y = -1 + t, z = t

5. 8x, - 28x2 + xg = -32; X, = -2 + 8t, X’ = 1 - 28t, x3 = 12 + t 7. 23.6 9. 3.01

1 I . Aumentado en 1 2 6 d pies3.

Sección 16.3

1. (8,4, -2); 8dx + 4dy - 2dz

3. (i + a, a + ne4”, 4e4“ + 2); (i + a) dx + (a + ~ e “ “ ) dy + (4e4“ + 2) dz

5. 6 a + -- ; (6a -+ :) dx

7. 2.04

1 a

9. € 1 = AX - 2 . Ay; E? = -Ay 11. 264.25


Sección 16.4

1. a) x = 1, y = 2, z = 514 b) 1514

c) i = t4 + ( t + 1 ) ~ 2 d) 1514

3. 2 5. o 7. 4 8 0 0 ~ cm3/min. 9. -3OOn1 unidadespidad de tiempo.

11. li5 kg/m2/min. 13. -17.00XG 15. bc(dw/dx) = ac(dw/dy) = ab(dw/dz) 17. Se tiene

y el resultado requerido resulta inmediatamente.

19. Se tiene

23. Si , /(x) = j ’ ( . ~ , % .y2. s 3 ) es derivable y .f‘(rx) = rhf(x), entonces

Sección 16.5

1. -3yJs 3. -9

5. Razon maxima de 2,’ en la direcci6n de 2 i + j . Raz6n mínima de -- 2 4 3 en la direccion de - 2 i - j .

7. Sea ,/‘(x, y ) = .x2 - J.’. Entonces ,f”(O. O) (O, O) y todas las derivadas direccionales

Y. i 11. i y - i

f ’ ( 0 , O) . u en (O, O) son, por tanto, cero.

13. j y -j

Sección 16.6

1. 2 / ( n - 2)

5. o 3. o 7. -117


9. 2 11. 0 13. Recta tangente: 3 1 + Sy = - 2 ; recta normal: .Y = 1 + 3r, y = 1 - 5t.

15. Plano tangente: 14x + J' + 1Oz = -3; recta normal: .Y = - 1 + 14t, y = t , z = 1 + 10t.

17. - 1 8

19. En un punto ( x , ~ , z ) de intersección, un vector normal a la primera superficie es 2si - 4yj + 2zk, mientras que un vector perpendicular a la segunda superficie es yz i + xz j + uyk. Estos vectores son perpendiculares.


1. a) z2 + y2zexz b) y2z2exz c) 2yze" 3. (-10,17, -12) 5. 12 7. - ? y 9. A


1. a) x1x3 cos x2x3 - 2x2x1' b) x2cos x2x3 3. (1,O) 5. 10 7. y 9. f

Problemas mas dificiles 16

1. f(x +- AX, y + Ay, z + Az) - f(x, y, Z)

= [f(x + AX, y + Ay, z + Az) - f(x, y + Ay, z + Az)] + [fb, Y + AY, z + Az) - f(x, Y, 2 + Az)I + ff(x, Y, z + Az) - f(x, Y. 217

3. (x + y) - [(x + yl3/3!1 5. 1 + xy + fxZyZ 7. -0.03 con error < 0.0037. 9. El teorema del binomio del Blgebra enuncia que

(U + b)" = (;)n'b"', i = l

donde


Así el coeficiente de (x - xo)h(y - yo)’ en la expresión dada para T,(.u, y ) es

1 h + k ah+kf ___ ( h + k ) ! ( h ) ~ ~ ~ x , , , ~

1 h + k 1 ( h + k ) ! 1

Puesto que

-( ( h + k ) ! h ) = ( h + k ) ! h ! k ! h ! k ! ’ ~ . ~ - ~ -

el resultado se sigue inmediatamente.

CAPITULO 17

Sección 17.1

l.

3.

5.

7. 9.

11.

13.

15.

17.

Mkximos locales de 1 siempre que uy = (7712) + 2nn; mínimo local de - 1 siempre que .uy = (3rr,i2) = 2nn.

No hay miximo local; mínimo local de 1 en (O, O).

No hay miximo local; no hay mínimo local.

No hay rnkximo local; mínimo local de -4 en (O. 2).

Miximo local de 48 en (O, -2); mínimo local de -20 en (2, 2).

No hay mkximo local; mínimo local de - 12 en (1, - 1, 2) y ( - 1, - 1,2).

a) -x2 - y4 b) x’ + .v4 c) x’ + y3

d) Si AC - B 2 = O se necesita un examen mis detenido de .f para determinar su comportamiento en (so, yoJ.

Se alcanza el mkximo en (1, 1) y en ( - 1, 1); se alcanza el mínimo en (1, -1) y (-1, 1).

Se alcanza el miximo en (1, - 1 ) y (- 1, 1); se alcanza el mínimo en (O, O). [Según x’ + y’ - xy = (+X - y)’ + :x”.]

Sección 17.2

1. 2/&

S. --=a3 32 81

9. (g,$,$) 7. (”-) 6 -3 15

116’116’116

Sección 17.3

5. -;

9. 28

13. 8

Sección 17.5

1. : 5. 9

9. 18 13. - - h

3. 4 7 . 162

11.


1. Miximo relativo de - 2 en ( 1 . - I )

136 -12 -20 35 ' 35

5. x'sen y - x3y t - y3 + C 4

3

- 2 - 2 J z 7. In ( J 2 + 1) + ---

3


9. o

7. a)

b)

demuéstrese que f ; ( .~ . J.) tiene l a forma descada para 1. # O. Puesto que limy - 0 + tan ~ ' (l!~.) + .4 = (ni?) + ,4 y tan- ( I \') + B = -(n;'?) i- B. se ve quc debe tenerse ( ~ ' 2 ) + A = -(x 2) t B. asi H = 4 + x. Se define F(.Y,J) = A + ( ~ ~ ' 2 ) para y = O, Y O, para tener F'(.Y, ),) continuar en (x, O) para .Y > O. Pero entonces

rr 3 , lím F(- I , y ) = A ~ - mientras que lím F(.-l, y ) = A t 1 . y - 4 w 2 , -11 I

pur tanto, es imposible definir F(x.0) para .Y < O para que F ( x , y ) sea continua


CAPITULO 18

Sección 18. 1

1. La integral ,f(.y, y) (/.x es igual al volumen de la rcgibn sobre R y bajo la superficie z = ,f'(x. y ) , donde f (x . y) 2 O, menos el volumen de la región bajo R y sobre la superficie dondef(x, y) < O.

3. a ) S,, = d ( h - a)(d - c ) ; S,, = c ( h - a)(d - c ) b) No c) El alcance mhximo de las celdas en una partici6n de R debe ser pequeño para

asegurar que una suma de Riemann para,/ sea prhxima a J.[. /'(.y, j,) t l r r l . ~ . 5.

7. a) La primera integracihn se lleva a cabo con respecto a una cualquiera de las tres variables, la siguiente con respecto a cualquiera de las dos variables restantes, y la ultima con respecto a la variable que queda, lo que muestra 3 . -1 . 1 = 3 ! = 6 ihienes de integracibn.

b) 2'3! = 48. c) La mitad tiene el valor J. /(.Y, y) [/u y la otra mitad el valor -SSR /'(l.. y ) (!.Y (/J..

9. 32 13. 128

17. ~ ' 1 4

11. 10,240

15. 48

19. T

Sección 18.2

1. ?r 5. A

9. j', 1;=4xydydx

3. :, 7. 4T

x'y dx dy


21. e -

19.

23. 1 6 ~

Sección 18.3

1. 2a' + - a2rr 4

5. ~

rra 3

7. a) Un plano que contiene el eje z . b) Un plano perpendicular al eje 2.

11. - (64 - 2 4 h ) rr

3

Sección 18.4

I. - 3a2b + b31 3

3rr 9. -

2

320rr 3

13. ~

3. - 4rr 9

Sección 18.5

1. a) d b) (3, i) 2 2 2 h

3. a) - kra3 b) - kra4 c) __ krra4 d) -kmas 2 3 3 3 5

5. a) - krra4

b) ( O , O , ! a) c) - dl - krra 3krra' krra6

6 6 10 e) 15 7. ___

28krra' 15 9. (O,O,$)

1:jercicios c i c repaso 18.1

7. 1hTr 9. 7Ta"ih

1. - x

5. L., == I


7. f 9. a) dx = cos H dr - r sen H dB,

dy = senOdr + r cos 6dO b ) r d r A dB

11. 2541125

C.4 PITULO I9

Sección 19.1

1. 4n unidades de masa; unidades de tiempo 3. Ambas inlegales iguales a - 4 S. .4mbas integralcs iguales a 7. - 9 6 ~ unidades de masa'tlnidades tictnpo

(Las placas estin sep;lrad;~s pot. r m unidades.) 9. 2nah

11. Segíln el teorema de Green

A $ (x dy ~ y dxj = 1 . dx dy = Area de C. 2 a<;

860 CÁLCULO CON GEOMETRiA ANALíTICA

7. Sea H la región sombreada intensamente de la fig. 19.10 entre y1 y yz. Considérese H como una región con frontera y 2 + ;13 - y l - y 3 que se descompone en un número finito de subregiones simples. Según el teorema de Green, y ya que rot F = 0, se tiene

0 = llH (rot F ) dx dy = (F 1) ds L*+.y3-y,-y3 = i2 ( F . r ) d s + l y , ( F . t ) d s - i , ( F * t ) d s - L 3 ( F . t ) d s

= i2 (F t ) ds - I, (F - t ) ds.

si las segundas derivadas parciales son continuas.

11. -2 13. a) 4x b) 2

15. Si el campo de fuerzas F ( s , y) = P(.x, y)i + Q(s, ~ ) j = ai + h j , entonces iQ ; i z = ?Pi?!. = 0, así rot F = iQ/i.x - i P i i y = O. El trabajo es independiente de la trayectoria que une A con B ; si A = ( . y l . y1 ) y B = (.y2,.r2), entonces el trabajo es tr(.x2 - . x l ) + h(y2 - y l ) .

19. W(A, B) = (F dr) = Jabmu'(t) - ($) dt = m [ [ u ' ( t ) u] dt. f Ahora

Así

21. a) - kx kY - k k k (xZ + y2)3/2 - + y2)3/2j b) ___ m c)--"- a 2


Seccibn 19.3

1. o 1

3. - i + (eY - x cos xy)k Y

5. Ambas integrales son iguales a 47r. 7. o 9. -48m

11. a) F . t = O así h G ( F t ) ds = O, así SSc [(rot F ) - n] dS = O según el teorema de Stokes.

b) (rut F ) n = O, así SSG [(rot F ) n] dS = O, así $=(F t )ds = O. 13. rut F = O, así SSG [(rut F ) n] dS = O, así $dO(F. t ) ds = O.

15. a) Si F = Fli + FJ + F3k, entonces

Entonces

b)

a2Fl a'F,

= o


i j k l

= Oi + O j +Ok = O


17. Sacar un ((disco)) muy pequeño de G, y sea H la superficie restante. Entonces

puesto que sólo se sacó una pequeña parte de C. En efecto, las integrales pueden

5. (xz - y ) i - y z j 7 . 4



1. Un cdculo muestra que

El vector unitario normal n cn (x, y, z ) en C; se escribe como n = (cos r ) i + (cos /j)j + (cos y)k donde x, y 7 son los ingulos que n forma con los ejes .Y, y y z . Considérese la contribucihn [(CRjiy) - (?Q/?z)] x (cos 3) dS a s j ~ [(V X F ) * nJ (/S. Puesto que Y es el inguio entre n e i. es tambiCn el ángulo entre el plano tangente en ( Y , J., z ) y el plano J.:. Así. (cos x) (IS es el &rea de la proyección de un elemento de la superficie del hrea [ / S sobre el plano y, z . Pero este es el significado de (/y t/z

en J'sc [ ( i K ?y) - (?Q'i:)] t / ~ ' t t , que por tanto es igual a [ (?R / i y ) - (?Q/?z)](cos x) (/S. Un anidisis anilogo con las otras componentes demuestra que V x F .

Puesto que t = (dx/ds)i + (dy/ds)j + (dz/ds)k, es obvio que

3. a) -3xdx A dy b) ( x + z') dx A dy A d z

1 aQ dxdy

que es la forma del teorema de Stokes dada en el ejercicio 1.


CAPITULO 20

Sección 20.1

v 4

1.

i

v i

5.


i

7.

Sección 20.2

1 1 1. - - = - x 2 + c

Y 2

S. sen" y = - x z + C 1 2

Y 9. - = In 1x1 + C X

11. y = x + - " x ? 5 2 2

3. tan" y = I x3 + c 3

7. c x 1" = I ( 5

13. y' = x' + 5

15. 2 6 ~ ' - y' = 1

Sección 20.3

1. x c o s y t y = c 9. xey - senny = C

9. - + - - 1nJyl = C x2 x

2 Y

3. xy2 + In / y / = C

7. In 1x1 - - + - = C 1 3

XY Y

11. -+:+3y = c 4 v x x


13. In 1x1 + x2yi + - = C 3

15. Sea F' = f: Ahora

Y 7

Sección 20.4

3 2

3. y = Ce-" + - e x

7. y = c csc x - 3x cot x - cot x + 3 ,

11. y = -e""""" + 3 o < x < 7 T

De a). se obtiene

As¡ litn,+,~ i = E / R . i tiende a cero. Decae exponencialmente de su valor en t = lo.


Sección 20.5

1. (Es un ejercicio u n poco aburrido. pero es de rutina en derivaci6n.)

3. y = C e 'I S. y = C,e + C,e-"/'

7. y = C , + e-"'*(C, + C7x) 9. y = C , cos &x + C, s e n h x

J3 11. y = C,e" + e"/2 (c* cos --F x + C, sen - x

2

J7 1s. y = e- " (C, + c,x) + e " / 2 ( C 3 c o s - x + c 4 s e n - x

17. y = -3e3x + 4e'"

19. y = eZx + e"x(cos d3x -- -scn&x)

2 2

- 1

J3

r, = -c + J c ' - 4km

2m

"c - r, =

2m


Puesto que c 2 > 4km, se tiene r 2 < r , < O. La solución general de n t E + cS + kS = O es entonces S = Clerl' + ~ ~ e ' " . Segun las condiciones iniciales S(O) = /I y $0) = O, se obtiene una solucih para el problema dado

Puesto que r , < O y r 2 < O. se tiene h . . , S(I) = O, a s i el cuerpo tiende a su posiciOn de reposo cuando I + a. Para que S sea cero, l a solttci6n muestra que se necesita

que satisfaga esta condicibn, así el cuerpo nunca cruza su posicibn de reposo. tener (P ~ I.:)' - - r , , i r2 . Puesto que r 1 - r2 > O y O < r l / r 2 O

19. Las soluciones de las ecuaciones características w 2 + u + I, = O son complejas y si o = v/4kn~ - c2,'7n,, las soluciones de Ia ecuación son de Ia forma

S = e(-' ' "" ' [c~ cos ut + c2 sen r c t ]

para constantes C1 y C2. La conclusión deseada se desprende inmediatamente. 21. Si k = O l a ccuaci6n sc escribe como

S + - S = -senkt = O. c 1 a a

Cualquier solucibn es de la forma

para constantes apropiadas C , y C2. El período de este movimiento oscilatorio es

2T&I&

Si k = G, entonces cualquier soluci6n es de la forma

para constantes apropiadas C1, C2 y A # O. La amplitud J(Cl + At)' + CZ2 entonces crece sin medida cuando t + cc.

Sección 20.7

1. O

3 7 + u ; ( (x + 1) + ~ ~ ( X + 1) ' + -_-(x + 1)' - ' ' ' + - _ _ - ~ ( X -L- 1)" + ' . ' 2" " 1 2! I ! 11 ! 1

Sección 10.8

xJnf4 (4% + 4)(4n + 3)(2n + l)!

+ (-1)"- +. . . )

I (-1y- "- + . . . (2n + 5)(2n + 4)(2n + 1)

9. v = a,, + U , ( X - 1) + U Z [ ( X - l).' t \!X - - l)']




1. (Ver el teorema 20.1, secci6n 20.1.)

5. S 7 + 3xy2 = c 9. y = e'(C, cos 2x + C, sen 2x) + :e'x

5. xy + sen y - cos x = C 7. y = C , + C2x + C,eZ1 9. y = C l e x + C2e'* + ,::senx t cos S

[873]

lndice de materias Absolutamente convergente, serie, 349 Absoluto, valor, 2 Aceleración, 50, 86 Aceleración, vector, 520

componente normal del, 525 componente tangencia1 del, 525

Amplitud, 107 Analítica, función, 370 Angulo

de fase, 107 entre dos planos, 508 entre dos rectas, 502 entre vectores, 514 medida en radianes, 101

Antiderivadas, 151 Aproximación por diferenciales, 15 Area, 197, 629

en coordenadas polares, 455 Area de una superficie, 219, 652

elemento diferencial del, 654 Armónica, serie, 325 Arquimedes, 158 Asintotas, 403

horizontales, 63 oblicuas, 66 verticales, 63

Auxiliar, ecuación, 717

Base, 254 Bernoulli, ecuación de, 714 Bidimensional, flujo, 662 Binormal, vector, 538 Bliss, teorema de, 210 Brahe, Tycho, 530

Caída libre, 727 cálculo, teorema fundamental del, 172, 175

Campo de dirección, 693 de fuerza, 603 de fuerzas centrales, 424, 529 de fuerzas conservativo, 606, 678, 681 de velocidad, 603 irrotacional, 606 vectorial, 602

Característica, ecuación, 717 Cauchy

producto de, 373 sucesión de, 352 valor principal de, 318

de curvatura, 438 de gravedad, 233 de masa, 233, 649

Centroide, 233, 650 Cero, vector, 476 Cerrada, curva, 605 Cicloide, 430 Cilíndricas, coordenadas, 466, 636 Cilindro, 470 Circulación de un fluido, 605, 677 Circulares, funciones, 102 Círculo, 7

Cociente diferencial, 44 Coeficientes

Centro

osculador, 438

binomiales, 389 de una serie, 354 indeterminados, 724, 737

Completar el cuadrado, 8 Componente, 488

de un vector, 477 normal, 525


tangencia]. 525 Compuesta. función, 80 Concavidad, I34 Condición

Inicial, 155 lateral, S84

Cónicas, secciones, 400 C'onservativo. campo de fuerzas, 606. 678. 681 Constantes

arbitrarias. 157 de resortes, 125

Continua, función. 55, 56. S45 Convergente

serie, 324 sucesiones, 321

Coordenadas cilíndricas, 466 en el espacio. 464 esféricas, 467. 640 polares. 444

Coordenados. ejes, 3 Coordenados unitarios, vectores, 476 Cortem, método de la. 209. 212 C'osenos dircctores. S06 Costo

marginal, 146. 147 promedio, 148

Creciente, funcibn. 133 Critcrlo de comparación

para integrales impropias. 314 para series. 132. 334

Cuadrantc. t C'arva

cel-racia, 605 curvatura de una, 435, -136 evoluta de una, 441 involuta de una, 441 longitud de una, 214 suave. 213, 429 suave por tramos, 600

de nivel coordenadas, 446 equipotenciales. 68 1 ortozonales. 95 suaves, 429

Curvatura. 436. S37 centro de, 438 radio de, 437 total. 598

Curvas

Decreciente. función, 133 Definida. integral, 165. 615 Densidad. 228, 644 Derivable. función. 44. 558 Derivación, 46. 69

implícita, 94 logaritmica. 256

Derivada, 44. 45. 556 direccional, S68 exterior, 690 parcial, 547 parcial mixta, 549 segunda, 85 vectorial, 5 17

Descartes, René. IS8 Desigualdad

del trikngulo. 28, S 15 de Schwarz. S14

Determinante, 49 1 Diferencia de vectores, 480 Diferencial. 74. 75. 558

del Area de una superficie. 654 de longitud de arco. 715. 433, 519 exacta, 591. 605. 675

Diferenciales. formas. 690 aproximación por. 75

Direccional. derivada, S68 Dirección. campo de, 693 Directriz de una pdribola, 407 Discos. método de, 203. 204 Distancia, 222

de un punto a un plano, S10 Dibergencia

teorema de l a . 667. 681 Divergentes, integrales impropias, 3 12 Divergentes. sucesiones, 371 Dominio, 16

Ecuación auxiliar. 7 17 característica. 7 17 de Bernoulli, 714 de la recta, 13 diferencial. 153. 180, 692 paramétrica, 87

exacta, 704 homogénea, 698, 714, 722 lineal, 714, 721

Ecuación diferencial, 153, 180, 692

fNDlCE DE MATERIAS 875

orden de una, 692

coordenados, 3 mayor de una elipse, 409 menor de una elipse, 409 rotación de, 416 Iraslacibn de, 8

Elipse, 400, 401. 408 eje mayor de una, 409 eje menor de una, 409 excentricidad de una, 412 Cocos de una, 408

Energía potencial, 678 Equipotenciales, curvas, 68 1 Error

Eje(s)

de redondeo, 392 de truncamiento, 392 porcentaje de, 79

producto, 484, 485 Escalar, 479

Espacio, coordenadas en el, 464 Estado estacionario, flujo de, 603 Euler, fórmula de, 378 Evoluta de una curva, 441 Exacta

diferencial, 591, 605, 675 ecuación diferencial, 704

Excentricidad, 412 Explícita, función, 94 Exponencial, función, 249

con base u, 254 Exterior, derivada, 690

Factor integrante, 706, 710 Fase, ángulo de, 107 Fluido, circulación de un, 677 Flujo

bidimensional, 662 circulación del, 605 de estado estacionario, 603 imcomprensible, 678 unidimensional, 661 vector, 661

de una elipse, 408 de una hipérbola, 410 de una parábola, 407

diferenciales, 690

Foco(s)

Formas

indeterminadas, 379

de Euler, 378 de Frenet, 541

Fórmula(s)

Frener, fórmulas de, 541 Fuerza, 48 1 Fuerzas, campo de, 603 Función, 15

analítica, 370 circular. 102 compuesta. 80 continua, 55, 545 creciente, 133 decreciente, 133 derivable, 44 derivada de una, 44, 556 diferenciable, 558 diferencial de una, 74, 75, 558 discontinua, 55 dominio de la, 16 explícita, 94 exponencial, 249 gritfica de una, 17 hiperbólica, 269 homogénea, 567 implicita, 94, 572 inversa, 247 limite de una, 38 límites por la derecha y por la izquierda

de una, 51, 52 monomial, 22 potencial, 678 racional. 41 rango de una, 16 real, 18 trigonométrica, 102, 103 trigonométrica inversa, 264 valor de una, 16 valor promedio de una, 201

Ganancia marginal, 146, 147 Geométrica, serie, 325

razón de la, 325 Giro, radio de, 236, 652 Gradiente, vector, 570 Gráfica, 17

concavidad de una, 134 intersección de una, 60

Green, teorema de, 665, 671, 674


Hélice, 5 19 Hidrostática, presión, 225 Hipérbola, 400, 403, 410

asíntotas de una, 403 excentricidad de una. 412 focos de una, 410

ecuación diferencial, 698. 714, 722 función. 567

Homogénea

Horizontal. asíntota, 63

Identidades trigonométricas, IO3 Implícita

derivación, 94 función, 94, 572

Imcompresible, flujo, 678 Indefinida, integral, 178 Independencia de la trayectoria, 676 Independiente, variable, 16 Indeterminadas, formas, 379 Indeterminados, coeficientes, 724, 737 Indice de la sumatoria, 159 Inercia, momento de, 230, 648 Infinitas, series, 324 Infinito, límites en el, 53 Inflexi6n, punto de, 135 ingreso marginal, 146, 147 Inicial

condición. 155 punto, 596

Integración, 178, 279 de funciones racionales, 285 por partes, 280 por sustitución. 294

definida, 165, 61 5, 625 de línea, 596 de un campo vectorial. 604 doble, 621 indefinida, 178 iterada, 618, 625

Integral, criterio de la, 337 Integral impropia, 312

convergente. 312 criterio de comparación para la, 314, 315 divergente. 3 12 valor principal de la. 318

Integrante, factor, 706, 710 Intersección

Integral

de una gráfica, 60 de una recta, 13

cerrado. Z de convergencia, 357 punto medio de un, 3

Intervalo

Inversa, función, 247 Inversa, función trigonométrica, 264 Involuta de una curva. 441 Irrotacional, campo, 606 Iterada, integral, 618. 625

Kepler. leyes de. 530

Lagrange, multiplicador de, 585 Leibniz, Gottfried, 158 L’Hópital. regla de, 384 Longitud

de una curva. 314 de un vector, 477

Longitud de arco, 214 diferencial de. 215, 433, 519 en coordenadas polares. 460

de una función, 38 de una sucesión. 321 en el infinito. 53 por la izquierda y por la derecha. 51, 52

Línea, integral de, 596 Lineal, ecuación diferencial. 714. 721 Logaritmica. derivación, 256 Logaritmo, natural, 239

Límite. 32

con base u, 254

Maclaurin, seric de. 369 Marginal

costo, 146, 147 ganancia, 146. 147 ingreso. 146, 147

Masa. 228, 598, 644 centro de, 649 densidad de, 228, 644

cuadrada, 491 determinante de la, 491

local, 127, 580 relativo, 127, 580

Matriz

Máximo, 125

Mínimo. 125

INDICE DE MATERIAS 877

local, 127, S80 relativo. 127, S80

Momentos, 229, 646, 648 Monomial. función. 22 Movimiento armónico simple, 728 Multiplicador de Lagrange, S85

Natural, función exponencial, 249

Newton logaritmo, 239

ley de gravitación, S29 método de. 119

Newton. Isaac. 158 Newtoniano. potencial, 68 1 Normal

componente. 525

vector. 553 priflcipdl. 537

Notación delta. 3 Numérica. recta, I Número real, 1

Orden de una ecuación diferencial. 691 Ortogonales

curvas. 95 trayectorias. 700

círculo, 438 plano. 537

Osculador

p, series. 388 Papus. teorema de. 234 Parihola, 25. 400,404, 407

directriz de una, 407 foco de una, 4 0 7 vértice de una, 407

Paralelas. rectas, I I Paralelogramo. relación del. 487 Paralelos

planos, 508 vectores, 479

de una recta, SO1 Paramétricas, ecuaciones, 87

ParÁmetro, SO1 Parciales

derivadas, S47 fracciones, 288 sucesión de sumas, 324

Pendiente, 8

fhmula paramétrica para la, 88 Período, de un planeta, 530 Perpendiculares

planos. 508 rectas, I 1 vectores, 481, 482, 487

Pitigoras. teorema de, 10 Planeta. periodo de un, 530 Planols). 507

ingulo entre dos, SO8 osculador. 537 paralelos, SOX perpendiculares. SO8 tangentes, 552

Polares. coordenadas, 444, 528, 634 Polinomio de Taylor, 361, 578 Porcentaje de error. 79 Posición. vector de. 5 I6 Potencial

energia, 678 función. 678 newtoniano. 68 1

Potencias, series de, 354 Presión hidrostitica, 225 Primer momento, 646 Principal, va!or, 265 Problema de Cauchy. 318

de la braquistocrona. 431 tautocrónico. 431

de Cauchq, 373 escalar, 484, 485 interno, 485 vectorial. 492 vectorial triple. 495

Promedio. costo. 148 Proyección vectorial, 488 Punto

Producto

critico. I35 de inflexión, 135 inicial, 596 medio, 3. 504 terminal. S96

Racional, función, 41 Radianes, medida en, 101 Radio

de convergencia, 356 de curvatura, 437

878 CALCULO CON GEOMETRíA ANALiTICA

giro, 236. 652 Rango. 16 Rapidez. 86. 222. 517 Raz6n

criterio de ¡a. 340 de una serie geornitrica, 325 instantinea de cambio. 31, 44 promecllo de cambio. 41

luncihn. 1 X nilmcro. 1 variable. I

cosenos directores de la. 5 0 6 ecuacibn de la. 13 ecuuciones paramétricas de la. 501 intersecciones con l o s ejes. 13

Real

Recta

numtkica. 1 pendiente de una. 8 segmento de. 504 tangente. 30

Kectingulo, regla del, 187 Rectas

hngulo entre dos, 502 paralelas. 1 I perpendiculares. I 1

Recurrente, relaci6n. 738 Redondeo, error de. 392 Reflectores. 426 Repicill

acotada. 024, 071 centroide de I:I, 233. 650 ccrracta. 0 I.!. 67 1 simple. 67 1

de I d cadena. xo. 82. 562 del recthngulo, 187 del trapecio, 188 de Simpson. 100

del paralelograrno. 487 recurrente, 73X

Regla

Relación

Reordenamiento dc una scric Resonancia. 73 1 Resorte. constante del, 225

vibraciones de un. 727. 7 3 Restricci6n, 584 Riemann, Rernharci. 161

sumas de, 162. 613

~ N D I C E DE MATERIAS 879

Sumas de Riemann, 162, 613 de series, 326 de sucesiones: 326 de vectores, 477 inferiores, 162, 61 3 superiores, 162, 61 3

índice de la, I59 notación de, 158

irea de una, 219, 652 cuadritica, 470 de nivel, 574

integraciOn por. 294 trigonomitrica. 307

Sumatoria

Superficie

Sustitución

Tangencial, componente. 525 Tangente,

plano. 552 recta, 30

Tautocrónico, problema. 43 I Taylor

polinomio de. 361. 578 series de. 369 teorema de, 362. 579

Taylor. Brook, 361 Teorema

del eje paralelo. 652 del valor intermedio, 119 del valor medio. 129 fundamental del hlgebra, 71Y fundamental del cikulo, 172, 175. 660

Terminal. punto, 596 rorsihn, 539 Trabajo. 225. 599, 604 Trapecio. regla del, 1x8 Traslacihn de ejes, X Trasladado, ~ector, 478 Trayectorias ortogonales, 700 Triingulo, desigualdad del, 28. 5 15 Trigonométrlca(s)

funciones, 102 identidades, 103 sustitución, 307

producto escalar, 496 producto vectorial, 495

Truncamiento, error de, 392

Triple

Unidimensional, flujo, 661 Unitario, vector. 476, 477

Valor absoluto, 2 de una funcibn, 16 principal, 265 principal de Cauchy. 3 18 promedm de una funcihn. 201

dependiente, 16 independiente. I6 real, I

Vector, 476 aceleracihn, 520 binormal. 53X cero. 476. 477 componente de, 477 de posicih, 5 16 flujo, 661 gradiente, 570 longitud de un. 477 normal, 553 normal principal. 537 trasladado, 478 unitario. 176. 477 velocidad. 5 I X

ingulo entre, 5 I4 coordenados unitarios. 476 diferencia do. 480 paralelos, 479 perpendiculares, 48 I , 482 producto escalar de. 4x4, 485, 487 suma de, 477

derivada, 5 17 producto, 492

Vectorial, campo. 602 dlvergencia de un, 666, 682 integral del. 604 rotaci6n o enrosque de un. 677, 684

Variable

Vectores. 476

Vcctorial

Vzlocidad, 86 Vertical. asíntota, 63 Vida media del elemento, 259 Volumen. 629

Weierstrass. teorema del valor intermedio de. I I9

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