Clculo de la Permitividad 0, h (cte. Planck) y (cte. de estructura fina) en funcin de c (velocidad de la luz).

Jose Garrigues Baixauli

Resumen.

En un artculo anterior (1), hemos partido de la hiptesis de que tanto en Universo como las partculas elementales poseen cuatro dimensiones espaciales y de que el Universo se origino en una fluctuacin cuntica de energa igual a la dada por la igualdad en el principio de incertidumbre de Heisenberg. Al ser conocidas las condiciones iniciales, se pueden establecer las condiciones de contorno, que permita calcular las diferentes constantes fundamentales. Hemos visto como se calcula:

G cte. de Gravitacin. Radio, masa y carga del electrn.

En funcin de las constantes, h ( cte. de Planck) y c ( velocidad de la luz en el vaco). En esta segunda parte, calcularemos:

0 permitividad. h cte. de Planck. cte. de estructura fina.

En funcin de una nica constante c .

Introduccin. Recordemos algunas de las formulas vistas anteriormente(1), y que utilizaremos posteriormente.

La carga elctrica es una propiedad intrnseca, de naturaleza discreta de algunas partculas y que da lugar a la interaccin electromagntica. Es una constante fsica fundamental en la categora de constantes electromagnticas, siendo su valor(2)

1,602176487 10-19 C

La carga unitaria (carga del electrn) viene dada (1,39) por:

2

2

21

2

2 216 cm

hcE

cqutU

u

pi

pi==

h= s 10 1,6005398 19-

(2.1)

La masa del electrn es una constante fsica fundamental incluida en categora de atmica y nuclear y su valor es(3):

9,10938215 10-31 kg

Segn hemos visto, la masa viene dada (1.40) por:

214

524tUu cE

cm

pi= = 9,092384 10-31 kg

(2.2)

Finalmente, la constante de gravitacin universal G, es una constante fsica fundamental que determina la intensidad de la fuerza gravitatoria, incluida en la categora de universal y de valor(4),

G = 6,667428 10-11 m3 kg s-2

que viene dada por (1.45):

21

23

1283

U

t

Ec

cG h= = 6,6596 10-11 m3 kg-1 s-2

(2.3)

En donde, tal como hemos visto, 121 == tU cE

Permitividad en el vaco 0. La permitividad es una constante fsica fundamental incluida en la categora de universal, que describe cmo un campo elctrico afecta y es afectado por un medio. Aparece en la ley de Coulomb y de Gauss, cuyo valor exacto es(5):

0 = 8,854187817 10-12 F m-1

El potencial gravitatorio de Planck viene dado por:

2cr

GMUP

PP ==

(2.4)

luego

2

32

P

PPP t

rcrGM ==

(2.5)

El cubo de Planck tridimensional plano se curva y se expande formando una hiperesfera tetradimensional de radio unitario, de manera que el potencial por metro o energa potencial por metro de la masa unitaria vendr dado por:

2

324

22

3 21mu

D

muP tr

r

Vtt

r pi=

=

(2.6)

De donde:

Pmu tt pi2=

(2.7)

Que ser igual al cociente entre las energas potenciales(6) gravitatoria y electromagntica cuando el tiempo en la carga (tqu) es la unidad, luego:

qu

mu

u

u

tt

KqGm

=2

2

(2.8)

De donde

( )quuP

u tqt

GmK2

2

2 pi= = 8,9731 10+9 N m2 s-2

(2.9)

Y la permitividad en el vacio ser:

( ) 12-22

0 10 8,873831

22==

quu

uP

tGmqt

(2.10)

tomo de Bohr.

Lo que nos interesa del modelo atmico de Bohr(7), es que dado la simplicidad de dicho modelo, se puede calcular de una forma sencilla, las energas cintica y potencial, as como la relacin con la energa electromagntica.

Si el electrn describe una rbita circular de radio r, la fuerza de atraccin culombiana ser compensada por la fuerza centrfuga, es decir:

2

22

r

Kqr

mv=

(2.11)

y la energa total ser:

22

2

21

21

vmr

KqvmE ee ==

(2.12)

En el modelo de Bohr, el electrn gira en rbitas circulares, cuyo momento angular est cuantificado, o lo que es lo mismo, la energa en un perodo, (espn en el electrn), slo puede tomar un nmero entero de valores de h .

hnprmvrL === (2.13)

de donde, para n igual a uno:

pr

h=

(2.14)

y la velocidad del electrn es:

rc

mrv c

Dh==

(2.15)

siendo cD , la longitud de onda Compton (8).

Sustituyendo r en la energa del electrn, resulta:

pKqm

pEe h

22

2=

(2.16)

El sistema ser estable en el estado de mnima energa, por lo tanto anulando la primera derivada:

e

e

mKqpKq

m

pdpdE

hh

22

0 ===

(2.17)

con lo que la velocidad del electrn es:

cKq

v ==h

2

=2187691,2 m s-1

(2.18)

y comparando con (2.15)

cr

D= =5,299177 10-11 m

(2.19)

Que es el radio atmico de Bohr. Podemos expresar el primer radio de Bohr en funcin de la longitud de onda B, de L. De Broglie:

Bpmva

pi21

00 ===

hh

(2.20)

siendo p=mv, la cantidad de movimiento, y

ph

aB == 02pi

(2.21)

por lo que la condicin cuntica de Bohr (ecuacin 2.21), segn seal De Broglie, para el movimiento angular del electrn en un tomo de hidrgeno, es equivalente a una condicin de onda estacionaria (9):

pi2h

nmvr =

(2.22)

De donde:

pi nmv

hnrC === 2

(2.23)

siendo C la longitud de la circunferencia de la rbita de Bohr. La condicin de onda estacionaria para explicar los estados cuantificados de energa condujo al desarrollo de la teora cuntica o mecnica cuntica.

En el modelo cuntico la onda estacionaria que constituye el electrn viene dado por la longitud de onda de De Broglie, ahora bien, si tomamos la longitud de onda en funcin de la constante reducida de Planck que es la que interviene en el principio de incertidumbre de Heisenberg, resulta:

Bcm

a Dh

==

0

(2.24)

con lo que el radio atmico coincide con la longitud de onda, que en vez de girar alrededor del ncleo, se dirige hacia el ncleo. Si tenemos en cuenta que dicha onda transporta energa, durante el semiciclo positivo, el ncleo (protn) recibe energa, la cul es devuelta al electrn en el semiciclo negativo, con lo que el intercambio de energa entre electrn y protn es lo que los mantiene unidos. Fotn virtual de la interaccin electromagntica?

Constante de estructura fina . La constante de estructura fina , caracteriza la interaccin electromagntica(10), incluida en la categora de atmica y nuclear, de valor(11):

=7,2973525376 10-3

se puede obtener a partir de la energa del espn del electrn en el tomo de hidrgeno, sin ms que aplicar el principio de incertidumbre de Heisenberg.

El espn es una propiedad intrnseca de las partculas, de forma que a toda partcula subatmica se le asigna un momento angular intrnseco fijo. De acuerdo con lo visto anteriormente, el electrn, partcula tetradimensional, ocupa un volumen en el espacio tridimensional, con dos rotaciones una espacial y otra en la cuarta dimensin. Se puede calcular la energa de dicha rotacin, sin ms que aplicar el principio de incertidumbre de Heisenberg.

tJ T

E h21

=

(2.25)

Siendo Tt, el periodo de rotacin en la cuarta dimensin. La longitud de onda de De Broglie, ecuacin (2.24), la podemos poner como:

21

mc

cB

hD

=

(2.26)

Y teniendo en cuenta la (2.1), resulta:

2221

pipi

qcB =D

(2.27)

Y en funcin del periodo de rotacin (1.22)

pi 24J

BcT

=D

(2.28)

Y sustituyendo en la ecuacin (2.25), resulta:

BJ

cED

h

pi 281

=

(2.29)

E imponiendo la condicin de que la energa de Planck a la distancia Br D= , es igual a la energa del espn en esa direccin, resulta:

B

JrJ

cEED

h==

3,

(2.30)

De donde:

3-2 10 7,31381

==

pi

(2.321

Constante reducida de Planck h

Es una constante fsica fundamental incluida en la categora de universal de valor(12):

s J 34 10 81,05457162=h

que representa el cuanto elemental de accin(13).

Sustituyendo las ecuaciones (6.45), (6.58), (6.62) y la definicin del tiempo de Planck, en la definicin de la constante de estructura fina o constante de acoplamiento (3.25), resulta: ( )qutuHu tcEc 5115 864pi=h (9.53)

Con lo que obtenemos para la constante reducida de Planck un valor de:

J 10 0497,1 -34=h (9.54)

Conclusin La aplicacin del principio de incertidumbre de Hesinberg, con la condicin de energa unitaria y mediante la hiptesis de que las partculas poseen cuatro dimensiones espaciales, permite calcular el radio de la partcula unitaria, a partir de la cul derivan el resto de partculas y algunas de las constantes fundamentales, con bastante precisin tales como:

Radio, masa y carga del electrn G cte. de gravitacin 0 permitividad en el vaco cte. de estructura fina h cte. de Planck

Suponiendo que los datos medidos son el verdadero valor del elemento de energa unitario, el error relativo se ha calculado de la siguiente forma:

m

um

m VVV

=

(6.97)

Siendo, Vm y Vu el valor medido y calculado respectivamente. A continuacin se muestra una tabla comparativa entre los valores medidos y los calculados.

Medidas Calculado Valor Error Valor Error h 1,054571628 10-34 5 10-8 1,0497 10-34 4,62 10-3 c 299792458 Exacto G 6,67428 10-11 1,0 10-4 6,660 10-11 2,14 10-3 0 8,854187817 10-12 exacto 8,874 10-12 2,22 10-3 mu 9,10938215 10-31 5 10-8 9,092 10-31 1,91 10-3 qu 1,602176487 10-19 2,5 10-8 1,601 10-19 7,35 10-4 ru

Referencias (1) Masa, Radio y Carga del Electrn y G (cte. Gravitacin),en funcin de las Constantes Fundamentales h (cte. Planck) y c (velocidad de la luz). (2) http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?e|search_for=elecmag_in! (3) http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?me|search_for=atomnuc! (4) http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?bg|search_for=universal_in! (5) http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?ep0|search_for=universal_in! (6) http://es.wikipedia.org/wiki/Energa_potencial (7) http://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_atmico_de_Bohr (8) http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?ecomwl|search_for=Compton+wavelength (9) Fsica Moderna. Raymond A. Serway,Clement J. Moses. Cengage Learnig Editores (10) http://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_estructura_fina (11) http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?alph|search_for=atomnuc! (12) http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?hbar|search_for=universal_in! (13) http://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Planck