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Comprimento de Arco
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Ensino Superior
3. Comprimento de Arco
Amintas Paiva Afonso
Cálculo 2
Comprimento de arco
A determinação do comprimento de segmentos de arco irregular — também conhecido como retificação de uma curva — representou uma dificuldade histórica. Embora muitos métodos tenham sido utilizados para curvas específicas, o advento do cálculo levou a uma formulação geral que provê a solução em alguns casos.
Definição: O comprimento de uma curva é o menor número tal que o comprimento dos caminhos polinomiais nunca pode ultrapassar, não importando quanto juntos sejam colocados os pontos finais do segmentos.
Na linguagem matemática, o comprimento do arco é o supremo de todos comprimentos de um dado caminho polinomial.
Comprimento de arco
Considere uma função f(x) tal que f(x) e f’(x) (isto é a derivada em
relação a x) são contínuas em [a, b]. O comprimento s de parte do gráfico
de f entre x = a e x = b é dado pela fórmula:
a qual se deriva da fórmula da distância aproximada do comprimento do arco composto de muitos pequenos segmentos de reta. Como o número de segmentos tende para o infinito (pelo uso da integral) esta aproximação se torna um valor exato.
dxxfsabb
a 2'1
Comprimento de arco
Um arco é a parte de uma curva que está entre dois pontos especificados A e B.
Suponha uma função contínua f(x) = y para a ≤ x ≤ b.
Vamos dividir o intervalo em n partes tal que x0 = a, x1 , x2, ..., xk -1, xk ..., xn = b de acordo com a figura.
x
y
A
B
Comprimento de arco
Seja Pk ponto (xk , yk) onde yk = f(xk)
O comprimento da corda que liga os pontos Pk-1 a Pk será dado por Pitágoras conforme a figura abaixo
S = 2 2
P0 = A
x0 = xa
P1
PK-1PK
Pn = B
............
.......
x1 xk-1 xk xb
y
x
PK-1
PK
ΔYk
ΔXk
S
Comprimento de arco
Quando Pk-1 estiver muito próximo de Pk poderemos admitir que o comprimento da
corda entre Pk-1 e Pk é o comprimento do arco entre estes dois pontos.
Então o comprimento da k-ésima corda é: 2 2
Colocando Δxk em evidência:
2 2
2 11
Suponhamos que y = f(x) além de contínua é também derivável entre A e B. Isto nos permite substituir a razão, que está dentro do radical e que é o coeficiente angular da corda que une os pontos Pk-1 a Pk, pelo valor da derivada e algum
ponto x*k entre xk-1 e xk , então
kkkf 1,'
(1)
Comprimento de arco
Podemos fazer isto, pois a corda é paralela a tangente em algum ponto da curva entre Pk -1 e Pk
*
Isto permite escrever (1) como comprimento da K-ésima corda =
Logo o comprimento total será
Agora tomando o limite destas somas quando n tende a infinito e o comprimento do maior subintervalo tende a zero
Comprimento do arco
AB = lim
max Δxk 0
Desde que f ’(x) seja contínua para que a integral exista.
.'12
kf
1
2'1 f (2)
dff k
2
1
2'1'1 (3)
Comprimento de arco
Uma outra visão mais intuitiva pode ser utilizada, se denotarmos por s o comprimento de arco variável de A até um ponto variável sobre a curva como mostra a figura abaixo
Se crescermos s uma pequena quantidade ds de modo que ds seja o elemento diferencial de arco, assim teremos dx e dy como as mudanças correspondentes em x e y. Se tivermos ds tão pequeno que essa parte da curva é virtualmente reta e, portanto, ds é a hipotenusa de um triângulo retângulo fino chamadotriângulo diferencial. Portanto, pelo teorema de Pitágoras
ds2 = dx2 + dy2
a
d
c
b x
y
dxdy
ds
s
Comprimento de arco
Assim, se isolarmos ds e depois fatorarmos dx e o removermos do radical, teremos:
Assim o comprimento total do arco AB pode ser pensado como a soma ou integral de todos os elementos de arco ds, quando ds percorre a curva desde a até b. Desta forma (4) se tornará comprimento de arco
que é a mesma fórmula (3)
Essa fórmula nos diz que y deve ser tratada como uma função de x.
dxdx
dydx
dx
dydydxds .1²
²
²1²
2
2
(4)
dxxfdxdx
dydsab
b
a
b
a
2
2
'1 1
Comprimento de arco
. dyyfdydy
dxds
d
c
d
c 1' . 1 2
2
Para x = a y = c e para x = b y = d, sendo estes valores de y os limites de integração.
Assim:
Essa fórmula nos diz que y deve ser tratada como uma função de x.
No entanto, às vezes é mais conveniente tratar x como uma função de y.
Neste caso dy
dy
dxdy
dy
dxdydxds . 1²1
²
²²²
2
Comprimento de arco
Se isolarmos y
2
33 24 xxy
2
Exemplo 1:
Calcule o comprimento da curva y2 = 4x3 entre os pontos (0, 0) e (2, 4 )
Logo,2 x
y
0
42
2
1
3' xdx
dyy
O comprimento do arco será:
dxdx
dydsab
b
a
2
1 dxxdsab
2
0
2
2
1
31
Comprimento de arco
dxxds
2
0
2
2
1
31
duu 9
1 2
0
2
1
ux 91
dxx 2
091
1191927
291
27
2
3
2
9
12
0
2
32
0
2
3
xu
9
dudx
dxdu 9
Comprimento de arco
Exemplo 2: Determinar o comprimento de arco da curva .30 ,12
xx
y
Comprimento de arco
Exemplo 3: Determinar o comprimento de arco da curva , de x = 2 a x = 4.
4824 4 xxy
Comprimento de arco
Exemplo 4: Determinar o comprimento de arco da curva , de x = 0 a x = 5.
2/3
3
1xy
Comprimento de arco
Exemplo 5: Determinar o comprimento de arco da curva ,
de x = 0 a x = 1.
2/1
2
3xy
Comprimento de arco
Exemplo 6: Determinar o comprimento de arco da curva , de
x = /4 a x = /2.
)ln(senxy