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Cálculo diferencial e integral de una variable
Extremos locales
Teorema del valor medio
22
Cálculo diferencial e integral de una variable
Habilidades
1. Define el concepto de extremos locales 2. Define el Teorema del valor extremo. Ilustra su significado
geométricamente.3. Define e interpreta el Teorema de Fermat.4. Calcula puntos críticos analizando premisas.
33
Cálculo diferencial e integral de una variable
Valores máximos y mínimos
)()( xfcf
Sea D el dominio de f.
Se dice que cD es un punto de máximo absoluto de f si
para todo xD.
El número f(c) se llama valor máximo absoluto de f en D.
)()( xfcf
Se dice que cD es un punto de mínimo absoluto de f si
para todo xD.
El número f(c) se llama valor mínimo absoluto de f en D.
Los valores máximo y mínimo se conocen genéricamente como valores extremos absolutos de f.
Definición
44
Cálculo diferencial e integral de una variable
x
y
A
B
C
D
E
F
G
H
Ejemplo
a b
Ubique los puntos de máximo y mínimo absoluto de f :
55
Cálculo diferencial e integral de una variable
Valores máximos y mínimos locales
)()( xfcf
Se dice que c es un punto de máximo relativo o local de f si
para todo x en algún intervalo abierto dentro del dominio de f que contiene a c.
)()( xfcf
Se dice que c es un punto de mínimo relativo o local de f si
para todo x en algún intervalo abierto dentro del dominio de f que contiene a c.
Definición
Los valores máximo y mínimo locales se conocen genéricamente como valores extremos locales de f.
66
Cálculo diferencial e integral de una variable
x
y
A
B
C
D
E
F
G
H
Ejemplo
a b
Ubique los puntos de máximo y mínimo relativos de f :
77
Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplo
máximo absoluto
puntos de máximo absoluto
y
xa c1 bc2 c3c4d1 d2 d3
puntos de mínimo local
88
Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplo
y
x
xxf
1)( 0x
¿Tiene f extremos locales?, ¿tiene extremos absolutos?
99
Cálculo diferencial e integral de una variable
Teorema del valor extremo
Si f es continua en [a, b] entonces:
f alcanza un máximo absoluto f (c) y un mínimo absoluto f (d) en algunos números c y d de [a, b].
y
xa b
y
xa b
y
xa b
Teorema
¿Se dan las condiciones para que se cumpla el teorema?
1010
Cálculo diferencial e integral de una variable
ejemplo
Determine los extremos absolutos de la función f sobre . 4,1
x
234 18163 xxxxf
1111
Cálculo diferencial e integral de una variable
Teorema de Fermat
Si f tiene un extremo local en c y si f ’ (c) existe entonces:
0)( c' f
y
xc1 c2 c3
f(x)y
1212
Cálculo diferencial e integral de una variable
Teorema del valor medio
2 Derivable en (a, b) .
1 Continua en [a, b] . Sea f:
Existe c (a, b) tal queab
afbfcf
)()(
)(
Entonces
y
xa b
abafbf
m )()(
Teorema
c2c1
1313
Cálculo diferencial e integral de una variable
Teorema de Rolle
Sea f : 1 Continua en [a, b] .
2 Derivable en (a, b) .
Entonces
Existe c (a, b) tal que 0)( c'f
Teorema
3 f (a)=f (b) .
y
xa bc1 c2
1414
Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplos
1. Muestre que 5 es un número critico de la función
pero g no tiene un extremo local en 5.
2. La función f(x) = IxI tiene un mínimo local en 0, esto contradice las hipótesis del teorema de Fermat.
3. Utilizando el resultado del teorema del valor medio, determine la recta tangente a f, paralela a la recta secante que une los extremos del intervalo.
352 xxg
2,0;)( 3 xxxf
1515
Cálculo diferencial e integral de una variable
Puntos críticos
Un punto crítico de una función f es un número c en su dominio tal que:
existe no )(o0)( cfcf
Definición
Teorema
Si f tiene un extremo local en c entonces c es un punto crítico de f.
1616
Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplo
y
xa c1 c2 c3 c4c2 c5 c6 c7
puntos críticos
1717
Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplo
puntos de extremo
y
xa c1 c2 c3 c4c2 c5 c6 c7
1818
Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplo
53642203)( 234 xxxxxf
1919
Cálculo diferencial e integral de una variable
Método del intervalo cerrado
Para hallar los extremos absolutos de una función f continua en [a, b]:
1 Halle los valores de f en los puntos críticos de f en <a, b>.
2 Halle f(a) y f(b).
3 El mayor de los valores obtenidos en 1 y 2 es el máximo absoluto de f en [a, b]. El más pequeño es el mínimo absoluto.
Método del intervalo cerrado
2020
Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplos
4,0;53642203)() 234 xxxxxfa
4;1;18163) 234 xxxxfb
Determine los extremos absolutos de las funciones en los intervalos que se indican.
2121
Cálculo diferencial e integral de una variable
Bibliografía
“Cálculo de una variable”
Cuarta edición
James Stewart
Secciones 4.1 y 4.2
Ejercicios 4.1 pág 284:4, 6, 8, 12, 16, 23, 24, 26, 30, 51, 53, 60, 63, 73, 80.
Encuentre los números críticos de la función:
40; 43, 50, Pág. 285
Encuentre los extremos absolutos de f o justifique la no existencia. Pág. 284 – 285: 17; 30; 56; 63.