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UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE
Lauréate International Universities
FACULTAD DE INGENIERIA
CARRRERA:
Ingeniería civil e industrial
CURSO:
Cálculo 1
TEMA:
Regla de L´Hopital
ALUMNOS:
LOBATO JAVIER, Juan Carlos
HERAS ALVARADO, Dante
CHALAN SANCHEZ, Yessel
DOCENTE:
RODRIGUEZ ALVAREZ, Desiderio Jhon
Cajamarca 2015
ÍNDICE
Introducción……………………………………………………………………………2
Desarrollo del tema…………………………………………………………………...3
Capítulo I……………………………………………………………………….3
Definición de derivación……………… ………………........3
Definición de regla de L´Hopital ………… ………………..4
Capitulo II……………………………………………………………………....4
Caso 1 :límites de la forma indeterminada
0/0……………………………………………………….………….4
Caso 2: límites de la forma indeterminada ∞/∞:
…………………………………………………………………6
Caso 3: cuando la regla de L´Hopital no es
útil………………………………………...…………………………7
Caso 4: con otras formas indeterminadas……………………….
…………………………...7
Capitulo III……………………………………………………………….….....8
Ejercicios resueltos….. ………………………………………….8
Ejercicios propuestos ………………………………..…………12
Conclusiones………………………………………………………………………….13
Referencias
consultadas…………………………………………………………………………...13
Anexos………………………………………………………………………………...14
METODO DE INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES Página 1
INTRODUCCIÓN
Este presente informe nos ayudara a poder utilizar adecuadamente la regla de
L´Hopital cuando sea necesaria, ya que primero se debe evaluar al cociente,
ya que solo se puede aplicar en las que sus límites son de forma
indeterminada, ya sea de l forma 0/0 o ∞/∞. Un error muy común en la
aplicación de esta regla, es aplicándola antes de evaluarla correctamente, ya
que s i tienen la forma 0/∞ o ∞/0, donde la primera es 0 y la segunda es ∞.
La Regla de L´Hopital establece que bajo ciertas condiciones, el límite del
cociente de dos funciones f(x)/g(x) coincide con el límite del cociente de sus
derivadas, para esto se debe realizar una derivación del numerador y
denominador separadamente, puesto que un error muy común en esto es
aplicar la regla del cociente al momento de derivar.
El desarrollo de este trabajo se llevara mediante una distribución de capítulos
los cuales presentaran definición, casos de usos de la regla de L´Hopital,
ejercicios resueltos y ejercicios propuestos. Con el fin de dar a conocer un
método el cual ayuda a hallar los límites de los cocientes de forma
indeterminada
METODO DE INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES Página 2
Regla de L´Hopital
Capítulo I:
Definición de límite:
Para ir en busca de una definición del límite, exploremos la siguiente
situación. En la gráfica se observa que los valores que toma una función
f(x) en un intervalo abierto (c-ƥ, c+ ƥ) se va aproximando a un punto
denominado c por ambos lados (izquierda y derecha). Así el límite de
f(x) es L cuando x tiende a c.
Definición de derivación:
El latín derivātus, derivada es un término que puede utilizarse como
sustantivo o como adjetivo. En el primer caso, se trata de una noción de
la matemática que nombra al valor límite del vínculo entre el aumento
del valor de una función y el aumento de la variable independiente.
La derivada, por lo tanto, representa cómo se modifica una función a
medida que su entrada también registra alteraciones. En los casos de
las funciones de valores reales de una única variable, la derivada
representa, en un cierto punto, el valor de la pendiente de la recta
METODO DE INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES Página 3
tangente al gráfico de la función en dicho punto.
Definición de la regla de L ´Hopital
En matemática más especialmente en cálculo diferencial, la regla de L
´Hopital es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de
funciones que en forma indeterminada
Capitulo II: Casos
Caso 1:
LÍMITES DE LA FORMA - INDETERMINADA 0/0:
Sean f y g funciones derivables en (x0−δ , x0+δ ¿− {x0 }, g’( x )≠ 0, tal que
limx→x0
f (x ) = limx→x0
g ( x ) = 0 y limx→x0
f ' ( x )g' (x )
=L, con L € IR U {−∞ ,+∞ }. Entonces
limx→x0
f ( x )g (x )
= L
Ejemplo:
Calcular: limn→0
sen3 xsenx
Evaluando este límite nos da:
limn→ 0
sen3 xsenx
=00
Al ser un límite de forma indeterminada se hace uso de la regla de L
´Hopital el cual consiste e derivar el numerador y denominador por
separado.
limn→ 0
(sen3 x )'( senx )´
=limn→ 0
3cos3 xcosx
Luego se hace el desarrollo del mismo:
METODO DE INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES Página 4
limn→ 0
3cos3 xcosx
=3
En conclusión:
limn→0
sen3 xsenx
=3
a) Aplicación de la regla de L´Hopital dos veces o más:
En ecuaciones es necesario aplicar la regla de L´Hopital las veces
que sea necesaria hasta dar con un resulta, siempre y cuando sigan
cumpliendo los requisitos para su uso.
Calcule: limx→0
e x−(1+ x )x2
:
limx→0
e x−(1+ x )x2
=00⌃limx→0
(ex−(1+x ))'(x2) '
=limx→0
ex−12x
=00
Derivando esta función nuevamente:
limx→0
(e¿¿x−1) '(2x )'
=limx→0
ex
2=12⇒ lim
x→0
ex−1x
=12⇒ lim
x→0
ex−(1+x )x2
=12¿
b) Aplicación de la regla de L´Hopital a límites laterales:
Calcule: lim
x→0+¿ sin x
√ x¿
¿
limx→0+¿ sin x
√ x=00¿
¿
Derivando ambas funciones:
limx→0+¿ ¿¿ ¿¿
¿
c) Aplicación de la regla de L´Hopital a límites al infinito:
METODO DE INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES Página 5
Calcule: limx→∞
tan−1 x− π2
cot−1 x
limx→∞
tan−1 x− π2
cot−1 x=00
Derivando ambas:
limx→∞
¿¿¿
Caso 2:
LIMITES DE LA FORMA INDETERMINADA ∞/∞:
Sean f y g funciones derivables en (x0−δ , x0+δ ¿− {x0 }, g’( x )≠ 0, tal que
limx→x0
f (x ) = ±∞ ⌃ limx→x0
g ( x ) = ±∞ y limx→x0
f ' ( x )g' (x )
=L, con L € IR U {−∞ ,+∞ }.
Entonces limx→x0
f ( x )g (x )
= L
Ejemplo:
Calcule: lim
x→0+¿ ln xcot x
¿
¿
limx→0+¿ ln x
cot x=
−∞∞
¿
¿
Derivando ambas funciones:
limx→ 0+¿ ¿¿ ¿¿
¿=
lim
x→0+¿
1x
csc2x= limx→ 0+¿−sin2x
x=0⇒ lim
x→0+¿ ln xcot x
=0 ¿
¿¿
¿¿
¿
a) Aplicación de la regla de L´Hopital dos veces o más:
Calcule: limx→∞
x2
ex
limx→∞
x2
ex=∞∞⌃ limx→∞
(x2)'(e¿¿ x) '
=limx→∞
2xex
=∞∞
¿
Derivando ambas funciones:
METODO DE INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES Página 6
limx→∞
(2 x) '(e¿¿ x) '
= limx→∞
2ex
=0⇒ limx→∞
2 xex
=0⇒ limx→∞
x2
ex=0¿
b) Aplicación de la regla de L´Hopital a límites laterales:
Calcule: limx→∞
x2
ex
limx→∞
x2
ex=∞∞⌃ limx→∞
(x2)'(e¿¿ x) '
= limx→∞
2xex
=∞∞
¿
Derivando ambas funciones:
limx→∞
(2 x) '(e¿¿ x) '
= limx→∞
2ex
=0⇒ limx→∞
2 xex
=0⇒ limx→∞
x2
ex=0¿
Caso 3:
Cuando la regla de L´Hopital no es util
Calcule: limx→∞
6 x
√3 x2−7
limx→∞
6 x
√3 x2−7=∞∞
limx→∞
(6 x )'¿¿ ¿
limx→∞
¿¿¿
Caso 4:
Con otras formas indeterminadas:
En el caso que se produsca otras formas indterminadas(
∞−∞,0∞ ,00 ,1∞ ,∞0) sera necesario reducirlo a las formas
indeterminadas 00
ó ∞∞
, para aplicar la regla de L’ hospital, si
corresponde.
METODO DE INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES Página 7
Ejemplo 1 :
Calcule: lim
x→0+¿ (1x−cot x)¿¿
limx→0+¿ (1x−cot x)=∞−∞¿
¿
limx→ 0+¿ (1x−cot x)= lim
x→0+¿( 1x −cos xsinx )=¿ lim
x→ 0+¿ sin x−x cos xx sin x
=00
¿
¿¿ ¿
¿ ¿
¿
limx→ 0+¿ ¿¿ ¿¿
¿
limx→0+¿ ¿¿ ¿¿
¿
Ejemplo 2:
Calcule: limx→ 0+¿ x ln x¿
¿
limx→0+¿ x ln x=0 (−∞)¿
¿
limx→0+¿ x ln x= lim
x→0+¿ ln x1x
¿
¿ ¿¿=
−∞∞
limx→0+¿ (ln x ) '
( 1x )'= lim
x→0+¿
1x
−1x2
= limx→0+¿ (−x )=0¿
¿ ¿
¿¿
¿
⇒ limx→0+¿ Xln X=0¿
¿
Capitulo III: ejercicios
Ejercicios resueltos (5 ejercicios)
Ejercicio n° 1:
Calcular:
METODO DE INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES Página 8
Solución: Observe que la regla dice que tenemos un límite:
Es decir, se toma el numerador como una función f(x) y el denominador
como otra función g(x).
En este caso
f(x) = cos3x + 4x – 1 y g(x) = 3x.
Además
f(0) = cos3 · 0 + 4 · 0 - 1 = 1 + 0 - 1 = 0 y también g(0) = 3 · 0 =
0.
Todo esto significa que se puede aplicar la regla de L'Hôpital porque el
límite es de la forma .
Ahora bien, la regla dice que tenemos:
Es decir, se derivan el numerador y el denominador separadamente (no
se deriva como un cociente). En el caso que nos ocupa tendríamos
entonces:
Ejercicio n° 2:
Calcular:
METODO DE INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES Página 9
Solución: Tomamos
f(x) = ex + e-x - 2 y g(x) = 1 - cos2x,
entonces :
f(0) = e0 + e-0 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0
g(0) = 1 - cos2 · 0 = 1 - 1 = 0
Y se puede aplicar la regla de L'Hôpital:
Observando el límite de la derecha nos damos cuenta que también es de
la forma . Volvemos a aplicar la regla de L'Hôpital (derivando el
numerador y derivando el denominador):
Concluimos que
Ejercicio n°3:
Calcular:
Solución: Tenemos que:
METODO DE INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES Página 10
Por lo que estamos ante un límite de la forma . Entonces, según la
regla de L'Hôpital tenemos:
Finalmente, hacemos notar que siempre hay que verificar que el límite
es de la forma o puesto que de lo contrario aplicar la regla de
L'Hôpital puede inducir a errores.
Ejercicio n° 4:
Suponga que tenemos
Como usted puede ver, este límite se puede obtener por simple
evaluación:
y esto indica que no es de las formas apropiadas para aplicar la regla de
L'Hôpital. ¿Qué sucedería si no nos damos cuenta de ello o aun
dándonos cuenta insistimos en aplicarla? En ese caso haríamos lo
siguiente:
METODO DE INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES Página 11
Y ésto es un error puesto que el límite es 8/7 y no 2
Eejercicio n°5
Calcule: limx→0
(sec x )1x2
limx→0
(sec x )1x2=1∞
En este caso nos podemos valer de la continuidad del logaritmo para
resolver el limite.
ln (limx→0
( sec x )1x2)=lim
x→0ln ( (sec x )
1x2)=
limx→0
ln (sec x )
x2=00
limx→0
( ln (sec x ) )'
(x2 ) '=limx→0
tan x
2 x=limx→0
sin x
2 xcos x=12
⇒ limx→0
ln ( sec x )
x2=12⇒ lim
x→0( sec x )
1x2=e
12
Ejercicios propuestos:
Ejercicio n°1:
Usar la regla de L´Hopital
limx→∞
X5−3 X4+5 X−34 X5+2 X3−5 X2−1
Ejercicio n°2:
Calcular el límite evaluando si es necesario usar la regla de L´Hopital
METODO DE INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES Página 12
limx→∞
e− x
1+e−x
Ejercicio n°3:
Encuentre:
limx→∞
3−ex
x2
Ejercicio n°4:
Encuentre:
limx→∞
e− x ln x
Ejercicio n°5:
Encuentre:
limx→∞ (1+ 1x )
x
CONCLUSIONES
Esta investigación se llevó a cabo con la finalidad de ampliar los
conocimientos adquiridos en el curso de cálculo 1. La forma de poder
hallar los límites de una función indeterminada con la regla de L´Hopital
Para poder aplicar la regla de L´Hopital se debe tener en cuenta que la
función sea de la manera indeterminada, ya que de lo contrario el
resultado sería erróneo
METODO DE INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES Página 13
Se debe tener un especial cuidado con los casos especiales, ya que
para poder aplicar la regla se debe tener un numerador y denominador,
en caso contrario se le podría dar la forma de este
Referencias consultadas
Cálculo 1 – Ron-Larson – 9na edición
http://www.cs.buap.mx/~fjrobles/FraPar.pdf
CALCULO DE UNA VARIABLE, transcendentes tempranas. JAMES
STEWART. Sexta edición. 2008.
ANEXOS
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