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Cálculo II
Aula 2: Limite e continuidade
Idéia intuitiva
2 2
2 2
sen( )( , )
x yf x y
x y
2 2
2 2( , )
x yg x y
x y
Conclusão
2 2
2 2( , ) (0,0)
sen( )lim 1
x y
x y
x y
2 2
2 2( , ) (0,0)lim
x y
x y
x y
Definição
Seja f uma função de duas variáveis cujo domínio D contém pontos arbitrariamente próximos de (a,b).
Dizemos que o limite de f(x,y) quando (x,y) tende a (a,b) é L e escrevemos
se para todo > 0 existe um número correspondente > 0 tal que sempre que (x,y)D e
( , ) ( , )lim ( , )
x y a bf x y L
( , )f x y L
2 20 ( ) ( )x a y b
Interpretação Geométrica
Interpretação Geométrica
Outras notações
lim ( , )x ay b
f x y L
( , ) quando ( , ) ( , )f x y L x y a b
Caminhos de aproximação
Propriedade
Seja f(x,y) L1 quando (x,y)(a,b) ao longo
do caminho C1 e f(x,y) L2 ao longo do
caminho C2 , com L1 L2, então
( , ) ( , )lim ( , ) não existe
x y a bf x y
Exemplo 1
Mostre que não existe. 2 2
2 2( , ) (0,0)lim
x y
x y
x y
Exemplo 2
Se , será que existe?
2 2,
xyf x y
x y
( , ) (0,0)lim ( , )
x yf x y
Exemplo 3
Se , será que existe?
2
2 4,
xyf x y
x y
( , ) (0,0)lim ( , )
x yf x y
Leis do limite
( , ) ( , )lim
x y a bx a
( , ) ( , )lim
x y a by b
( , ) ( , )lim
x y a bc c
Vale o teorema do confronto
Exemplo 4
Determine, se existir, 2
2 2( , ) (0,0)
3lim .
x y
x y
x y
2
2 2( , ) (0,0)
3lim 0
x y
x y
x y
Continuidade
Uma função f de duas variáveis é dita contínua em (a,b) se
Dizemos que f é contínua em D se f for contínua em todo ponto (a,b) de D.
( , ) ( , )lim ( , ) ( , )
x y a bf x y f a b
Exemplo 5
Calcule 2 3 3 2
( , ) (1,2)lim 3 2 .
x yx y x y x y
2 3 3 2
( , ) (1,2)lim 3 2 11
x yx y x y x y
Exemplo 5
Onde a função é contínua?2 2
2 2( , )
x yf x y
x y
( , ) | ( , ) (0,0) .D x y x y
Exemplo 6
A função
é contínua em (0,0)?
2 2
2 2 se ( , ) (0,0)
( , )
0 se ( , ) (0,0)
x yx y
g x y x y
x y
não é contínua em (0,0)g
Exemplo 7
A função
é contínua em (0,0)?
2
2 2
3 se ( , ) (0,0)
( , )
0 se ( , ) (0,0)
x yx y
g x y x y
x y
Solução2
2 2( , ) (0,0)
3lim 0
x y
x y
x y
e (0,0) 0g
é contínua em todo o domínio.g
Exemplo 8
Onde a função é contínua?( , ) arctgy
h x yx
( , ) é contínua 0.h x y x
Material disponível emwww.mat.ufam.edu.br/calculo2