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Derivadas e Aplicacoes
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Clculo II - Derivadas e Aplicaes 0
Faculdade de Tecnologia de Tatu
Prof. Wilson Roberto Ribeiro de Camargo
Calculo II
Sumrio
1. Derivao Implcita ...................................................................................................................... 1
2. Taxas Relacionadas ...................................................................................................................... 7
3. Estudos da funo .......................................................................................................................... 15
3.1. Anlise do Comportamento das Funes ............................................................................ 15
3.2. Valor funcional Mximo ..................................................................................................... 15
3.3. Valor mximo e mnimo absoluto num intervalo p(220) ........................................................ 20
3.4. Extremo absoluto .................................................................................................................... 21
3.5. Teorema do valor Extremo ..................................................................................................... 22
3.6. Concavidade e pontos de inflexo (p241) ............................................................................... 23
3.7. Pontos de inflexo ................................................................................................................... 24
3.8. Teste da derivada segunda para extremos relativos ................................................................ 26
4. Teorema de Rolle e Teorema do Valor Mdio (p.231) .................................................................. 31
5. Aplicaes Envolvendo extremos absolutos num intervalo fechado ............................................. 35
Clculo II - Derivadas e Aplicaes 1
1. Derivao Implcita
A equao 0122 yx como sabemos, a equao da circunferncia de centro na
origem C (0,0) e raio r = 1.
Tal circunferncia no grfico de uma funo, pois existe uma reta vertical que encontra a
circunferncia em dois pontos. Isto fica tambm evidente se explicitarmos y:
0122 yx 22 1 xy
21 xy
Podemos obter uma funo g escolhendo um arco da circunferncia acima do eixo Ox, caso
em que ela tem por expresso:
21)( xxgy
Escolhendo um arco abaixo do eixo Ox, obteremos uma funo h, que tem por expresso: 21)( xxhy
Note que: 01))((22 xgx e 01))(( 22 xhx
Chamando 1),(22 yxyxF , essas relaes ficam:
0))(,( xgxF e 0))(,( xhxF
Com os exemplos introduzidos, acreditamos que fica inteligvel a seguinte definio:
Definio:
Seja 0),( yxF uma equao em x e y. Se existir uma funo f tal que para todo x do seu
domnio se tenha 0))(,( xfxF , diz-se que f dada implicitamente por essa equao.
De acordo com essa definio, as funes g e h vistas so dadas implicitamente pela equao
122 yx
Observao:
No exemplo que vimos para motivar a definio acima, pudemos explicitar g e h em termos
de x. Mas isto no ocorre em geral.
a
brC
P(x,y)
y
x
222 )()( rbyax
a
brC
P(x,y)
y
x
222 )()( rbyax
Clculo II - Derivadas e Aplicaes 2
Por exemplo:
Sendo 1),( 2244 yxyxyxyxF ,
A equao 0),( yxF : 012244 yxyxyx ,
E neste caso no h como explicitar y em termos de x.
Mas pode suceder que exista uma funo f que satisfaz a equao, no sentido que:
1)())(())(( 2244 xfxxfxxfx para todo x do domnio. Alias, o nosso interesse que
exista tal funo com a qualidade de ser derivvel, pois queremos calcular sua derivada. Isto de fato
ocorre, porm no temos meios no momento para justificar a afirmao, pois usa conceitos relativos
a funes de duas variveis, e por isso no ser dado no momento. Nos exemplos e exerccios, ser
sempre admitida a existncia de uma tal funo.
Exemplos:
1) Dada equao abaixo, derive implicitamente. Achedx
dy.
a) 122 yx
)1()( 22
dx
dyx
dx
d
022 dx
dyyx
y
x
dx
dy
2
2
y
x
dx
dy
b) 12244 yxyxyx
)1()( 2244
dx
dyxyxyx
dx
d
012244 33 dx
dy
dx
dyyx
dx
dyyx
024124 33 dx
dy
dx
dyy
dx
dyyxx
0)124(124 33 dx
dyyyxx
124
1243
3
xx
yy
dx
dy
c) 352 yyx
)3()( 52 ydx
dyx
dx
d
dx
dyx
dx
dyyxy 152 245
dx
dyyx
dx
dyxy 425 52
dx
dyyxxy 425 512
42
5
51
2
yx
xy
dx
dy
Clculo II - Derivadas e Aplicaes 3
d) 2566 32 yyyxx
yyy
x
dx
dy
2518
2645
5
) 342 73 = 4 8
3[(4) 2 + [(2) 4]] 7[() 3 + (3) ] = (4) (8)
3 [432 + 2
4] 7 [3 + 32
] = 0 8
1232 + 64
73 212
= 8
64
212
+ 8
= 73 1232
(64 212 + 8) = 73 1232
=
73 1232
64 212 + 8
) ( + )2 ( )2 = 4 + 4 2( + )21[() + ()] 2( )21[() ()] = (4) + (4)
2( + ) [1 +
] 2( + ) [1
] = 43 + 43
( 2)
( + ) (1 +
) ( + ) (1
) = 23 + 23
+
+ +
+
+
= 23 + 23
2
+ 2 = 23 + 23
( 2)
+ = 3 + 3
3
= 3
( 3)
= 3
=
3
3
g) 1coscos xyyx [() cos + [(cos ) ]] + [() cos + [(cos ) ]] = (1)
[1 cos + [(sen )
]] + [
cos + [(sen ) ]] = 0
cos sen
+ cos
sen = 0
(cos sen )
= sen cos
Clculo II - Derivadas e Aplicaes 4
=
sen cos
cos sen
2) Dada equao 922 yx ache:
a) dx
dy por derivao implcita;
Vamos derivar implicitamente.
022 dx
dyyx
xdx
dyy 22
y
x
dx
dy
b) As duas funes definidas pela equao;
922 yx
29 xy
Sejam f1 e f2 as duas funes para as quais:
21 9)( xxf e
22 9)( xxf
c) A derivada de cada funo obtida na parte;
2
1
)9()( 21 xxf 22
21
992
2)2()9(
2
1)( 2
1
x
x
x
xxxxf
2
1
)9()( 22 xxf 22
22
992
2)2()9(
2
1)( 2
1
x
x
x
xxxxf
d) Comprove que o resultado obtido na parte (a) esta de acordo com os resultados obtidos na parte
(c).
- Para 21 9)( xxfy , segue da parte (c) que: y
x
x
xxf
21
9)(
- Para 22 9)( xxfy , segue da parte (c) que: y
x
y
x
x
xxf
22
9)(
O que tambm esta de acordo com o resultado obtido na parte (a).
3) Ache uma equao da reta tangente e normal curva 3 + 3 = 9 no ponto (1,2) e o ngulo de inclinao da reta tangente e normal.
Vamos derivar implicitamente em relao a x.
32 + 32
= 0
32
= 32
=
32
32
=
2
2
Logo, no ponto (1,2),
=
2
2=
12
22=
1
4
Clculo II - Derivadas e Aplicaes 5
A equao da reta tangente no ponto ),( oo yx , ento:
)( oo xxdx
dyyy (Guidorizzi, 204)
)1(4
12 xy
)1(24 xy 184 xy
094 yx
A equao da reta normal no ponto ),( oo yx , ento:
)(1
oo xx
dx
dyyy (Guidorizzi, 204)
)1(1
241
xy
)1(42 xy
442 xy
0424 xy
024 xy
O ngulo de inclinao da reta tangente.
= (
) = (
1
4) = 165,96
O ngulo de inclinao da reta normal.
= (1
) = (1
14
) = (4)
= 75,96
4) Ache uma equao e funo da reta tangente e normal curva 164 + 4 = 32 no ponto )2;1( e
o ngulo de inclinao da reta tangente e normal.
16 43 + 4 3
= 0
=
643
43
=
163
3
Logo, no ponto (1,2),
=
16 13
23=
16
8
= 2
Angulo da tangente
= (
) = (2)
= 116,57
Equao da reta tangente
)( oo xxdx
dyyy
)1(22 xy
222 xy
042 xy
Funo da reta tangente
42 xy
ngulo da normal.
= (1
)
= (1
2)
= (1
2) = 26,56
A equao da reta normal
)(1
oo xx
dx
dyyy
)1(2
12
xy
)1(2
12 xy
1)2(2 xy
142 xy
032 xy
Funo da reta normal
2
3
2
xy
5) Ache uma equao da reta tangente e normal curva 2 + + 2 3 = 10
Clculo II - Derivadas e Aplicaes 6
no ponto (2;3).
(2) + [() + ()] + (2) (3) = (10)
2 + 1 + 1
+ 2
3
= 0
(2 + 3)
= (2 + )
=
2 +
2 + 3
Logo, no ponto (2,3),
=
2 2 + 3
2 3 + 2 3=
4 + 3
6 + 2 3
=
7
5
O ngulo de inclinao da reta
tangente.
= (
) = (
7
5)
= 125,54
O ngulo de inclinao da reta
normal.
= (1
75
)
= (5
7)
= 35,54
Equao da reta tangente
)( oo xxdx
dyyy
)2(5
73 xy
)2(735 xy 147155 xy
0141575 xy
02975 xy
Em funo
5
297
xy
5
29
5
7
xy
A equao da reta normal
)(1
oo xx
dx
dyyy
)2(
5
7
13
xy
)2(7
53 xy
)2(537 xy 105217 xy
0211057 xy
01157 xy
Em funo
7
11
7
5
xy
6) Ache uma equao da reta tangente e normal curva 1933 yx no ponto (1,2).
Respostas:
A equao da reta tangente no ponto ),( oo yx , ento: 0194 xy
A equao da reta normal no ponto ),( oo yx , ento: 02249 xy
Clculo II - Derivadas e Aplicaes 7
2. Taxas Relacionadas
Um problema envolvendo taxas de variao de variveis relacionadas chamado de
problema de taxas relacionadas.
Os passos a seguir representam um procedimento possvel para resolver problemas
envolvendo taxas relacionadas.
1 Faa uma figura, se isso for possvel; 2 Defina as variveis. Em geral defina primeiro t, pois as outras variveis usualmente dependem de t.
3 Escreva todos os fatos numricos conhecidos sobre as variveis e suas derivadas em relao t. 4 Obtenha uma equao envolvendo as variveis que dependem de t. 5 Derive em relao a t ambos os membros da equao encontrada na etapa 4. 6 Substitua os valores de quantidades conhecidas na equao da etapa 5 e resolva em termos da quantidade desejada.
Comearemos nossa discusso com um exemplo que descreve uma situao real.
Exemplos:
1) Uma escada com 25 unidades de comprimento est apoiada numa parede vertical. Se o p da
escada for puxado horizontalmente, afastando-se da parede a 3 unidades de comprimento por
segundo, qual a velocidade com que a escada est deslizando, quando seu p esta a 15 unidades de
comprimento da parede?
- Figura (desenho esquemtico) - Definio das variveis:
t tempo decorrido desde que a escala comeou a deslizar pela
parede em segundos.
y distncia do cho ao topo da escada.
x distncia do p da escada ate a parede.
z comprimento da escada.
- Fatos numricos
conhecidos:
= 3
=? Quando x = 15
= 0
- Equao envolvendo as
variveis que dependem de t:
Teorema de Pitgoras:
2 + 2 = 2
- Derivando em relao a t:
2 + 2 = 2
2
+ 2
= 2
( 2)
+
= 0
=
=
- Substituindo os valores de quantidades conhecidas:
Devemos encontrar y para x = 15, substituindo na
equao:
2 + 2 = 2
= 2 22
= 252 152 = 400 = 20
] =
=
15
20 3 = 2,25
Logo o topo da escada esta deslizando a uma taxa de 2,25 unidades de comprimento por segundo. O
sinal negativo significa que y decrescente, quanto t cresce.
x
y
25
x
y
25
Clculo II - Derivadas e Aplicaes 8
2) Um tanque tem a forma de um cone invertido com 16m de altura e uma base com 4m de raio. A
gua flui no tanque a uma taxa de 2 3 . Com que velocidade o nvel da gua estar se elevando quando sua profundidade for de 5m?
1- Figura (desenho esquemtico) 2- Definio das variveis:
t tempo em (min) com que a gua flui no tanque.
V volume em m3 de gua.
h nvel em (m) com que a gua esta se elevando no tanque.
r raio em (m) do nvel da gua no tanque.
3- Fatos numricos conhecidos:
min
3
2 m
dt
dV
min? m
dt
dh quando mh 5
4- Equao envolvendo as variveis que dependem de t:
mh 16 para mr 4 4
4h
rrh
hrV 2
3
3
2
16343hh
hV
5- Derivando em relao a t:
3
163hV
dt
dhh
dt
dhh
dt
dV
163
163
22
dt
dV
hdt
dh
2
16
6- Substituindo os valores de quantidades conhecidas:
Encontrando agora 5
hdt
dh
min225 25
322
5
1616 m
dt
dV
hdt
dh
min5
407,0 m
dt
dz
4m
r m
h m
16 m
4m
r m
h m
16 m
Clculo II - Derivadas e Aplicaes 9
3) Dois carros esto se encaminhando em direo a um cruzamento, um seguindo a direo leste a
uma velocidade de 90km/h e o outro seguindo a direo sul, a 60km/h. Qual a taxa segundo a qual
eles se aproximam um do outro no instante em que o primeiro carro est 0,2km do cruzamento e o
segundo a 0,15km?
Resoluo:
1- Figura (desenho esquemtico)
2- Definio das variveis:
t tempo em (h) desde que os carros comearam a se aproximar.
x distncia em (km) do primeiro carro em relao a P (direo leste).
y distncia em (km) do segundo carro em relao a P (direo sul).
z distncia em (km) entre os dois carros.
3- Fatos numricos conhecidos: 4- Equao envolvendo as variveis que dependem de t:
x = 0,2km
= 90
Pelo teorema de Pitgoras temos:
2 = 2 + 2 y = 0,15km
= 60
- Encontrando z:
= 2 + 22
= 0,22 + 0,1522
= 0,06252
= 0,25 z = (?) km
= (? )
5- Derivando em relao a t:
2
= 2
+ 2
= ( 2)
=
+
6- Substituindo os valores de quantidades
conhecidas:
] =
0,2(90) + 0,15(60)
0,25
] = 108/
4) Um avio voa a 152,4m/s paralelamente ao solo, a uma altitude de 1.220m no sentido oeste,
tomando como referncia um holofote fixado no solo que o focaliza e que se encontra esquerda da
projeo vertical do avio em relao ao solo. Sabendo-se que a luz do holofote dever permanecer
iluminando o avio, qual dever ser a velocidade angular (de giro) do holofote, no instante em que a
distncia horizontal entre ele e a projeo vertical do avio for de 610m?
Norte
Sul
Leste Oeste
P
y (km)
x (km)
z (km
)
direo
sul
direo
leste
P
y (km)
x (km)
z (km
)
direo
sul
direo
leste
Clculo II - Derivadas e Aplicaes 10
1- Figura (desenho esquemtico) 2- Definio das variveis:
t tempo em (s) com que o avio se desloca na direo oeste.
ngulo de elevao (em radianos) do feixe luminoso emitido pelo holofote em relao ao solo.
x distncia em (m) medida horizontalmente entre o holofote e a projeo vertical do avio em relao
ao solo.
y distncia em (m) medida verticalmente entre o holofote e a projeo vertical do avio no solo.
3- Fatos numricos conhecidos:
x = 610m
= 152,4
y = 1220km
= 0
= (?) km
= (? )
4- Equao envolvendo as variveis que dependem de t:
tan =
2 = 1 + 2
5- Derivando em relao a t:
(tan ) = (12201)
2
= 1220 (1)11
2
= 1220 2
2
=
1220
2
=
1220
2 2
6- Substituindo os valores das grandezas
conhecidas temos:
tan =1220
=
1220
610= 2
2 = 1 + 22 = 1 + 4 = 5
=
1220
6102 5(152,4)
= 0,1
5) Um tanque cbico horizontal tem aresta medindo 2m, e a vazo de gua constante, valendo
0,5m3/s. Determine a velocidade de subida do nvel da gua.
1- Figura (desenho esquemtico) 2- Definio das variveis:
t tempo em (s) com que a gua esta sendo vazada no tanque.
h altura em (m) do tanque cbico (aresta vertical).
V volume do tanque cbico.
P (avio)
holofote
x = 610m
y = 1220m
Direo
oeste
P (avio)
holofote
x = 610m
y = 1220m
Direo
oeste
Clculo II - Derivadas e Aplicaes 11
3- Fatos numricos conhecidos:
sm
dt
dV 35,0 hhAV b
22
sm
dt
dh(?) mh 2
4- Equao envolvendo as variveis que dependem de t:
hV 4
5- Derivando em relao a t:
dt
dh
dt
dV 4
dt
dV
dt
dh
4
1
6- Substituindo os valores das grandezas conhecidas temos:
sm
dt
dh125,0
4
5,05,0
4
1
6) Uma pipa esta voando a uma altura de 40m. Uma criana esta empinando-a de tal forma que ela
se mova horizontalmente, a uma velocidade de 3m/s. Se a linha estiver esticada, com que
velocidade a linha estar sendo dada, quando o comprimento da linha desenrolada for de 50m?
1- Figura (desenho esquemtico) 2- Definio das variveis:
t tempo em (s) com que a criana empina a pipa
x distncia em (m) medida horizontalmente entre a criana e a projeo vertical da pipa no solo.
y distncia em (m) medida verticalmente entre a pipa e o solo.
z distncia em (m) medida entre a pipa e a criana.
3- Fatos numricos conhecidos:
sm
dt
dx3 mx (?)
sm
dt
dy0 my 40
s
m
dt
dz(?) mz 50
4- Equao envolvendo as variveis que dependem de t:
Pelo teorema de Pitgoras temos: 222 yxz
5- Derivando em relao a t:
dt
dyy
dt
dxx
dt
dzz 222
z
dt
dyy
dt
dxx
dt
dz
x
y
z
P
x
y
z
P
Clculo II - Derivadas e Aplicaes 12
6- Substituindo os valores de quantidades conhecidas:
Devemos encontrar z, substituindo na equao: 222 yxz
900160025004050 2222 yzx
30x
Encontrando agora 50
zdt
dz
50
90
50
040330
dt
dz
sm
dt
dz
5
9
7) Um balo esfrico est sendo inflado de tal forma que seu volume aumente a uma taxa de
5m3/min. Qual a taxa de crescimento do dimetro quando ele mede 12m?
1- Figura (desenho esquemtico) 2- Definio das variveis:
t tempo (em min.) com que o balo esta sendo inflado.
d dimetro (em m) do balo esfrico.
V volume (em m3) do balo esfrico.
3- Fatos numricos conhecidos:
.min(?)
d m
dt
d md 12
.mine 35
V m
dt
d mVe (?)
4- Equao envolvendo as variveis que dependem de t:
333
3
683
4
23
4
3
4d
ddrVe
22
drrd
5- Derivando em relao a t:
3
6dVe
dt
dd
dt
dd
dt
dVe d
2
d3
6
22
dt
dV
dt
d e2d
12d
6- Substituindo os valores de quantidades conhecidas:
Encontrando agora 12
d
ddt
d
.min22 72
5
144
105
21
12
d
12d me
dt
dV
dt
d
.min.min022,0
72
5d mm
dt
d
dd
Clculo II - Derivadas e Aplicaes 13
8) Uma bola de neve est se formando de tal modo que seu volume cresa a uma taxa de 8cm3/min.
Ache a taxa segundo a qual o raio esta crescendo quando a bola de neve tiver 4cm de dimetro.
1- Figura (desenho esquemtico) 2- Definio das variveis:
t tempo (em min.) com que a bola de neve esta se formando.
r raio (em cm) com que a bola de neve esta crescendo.
V volume (em cm3) da bola de neve que esta se formando.
3- Fatos numricos conhecidos:
.min(?)
r cm
dt
d cmr 2
2
4
.mine 38
V cm
dt
d cmVe (?)
4- Equao envolvendo as variveis que dependem de t:
3
3
4rVe
5- Derivando em relao a t:
3
3
4rVe
dt
dr
dt
dr
dt
dVe r4r
33
4 22
dt
dV
rdt
d e
24
1r
6- Substituindo os valores de quantidades conhecidas:
Encontrando agora 2
r
rdt
d
2
1
16
8
44
88
24
1r
2
dt
d
.min2
1r cm
dt
d
9) Suponha que quando o dimetro da bola de neve do exerccio anterior (exerccio 8) for de 6cm,
ela pare de crescer e comece a derreter a uma taxa de 1/4cm3/min. Ache a taxa segundo a qual o
raio estar variando, quando o raio for de 2cm.
.min64
1r cm
dt
d
10) Uma certa quantidade de areia despejada a uma taxa de 10m3/min, formando um monte
cnico. Se a altura do monte for sempre o dobro do raio da base, com que taxa a altura estar
crescendo quando o monte tiver 8m de altura?
11) Suponha que um tumor no corpo de uma pessoa tenha a forma esfrica. Se, quando o raio do
tumor for 0,5cm, o raio estiver crescendo a uma taxa de 0,001cm por dia, qual ser a taxa de
aumento do volume do tumor naquele instante?
dd
Clculo II - Derivadas e Aplicaes 14
diacm
dt
dV 3001,0
12) Suponha que um tumor no corpo de uma pessoa tenha a forma esfrica. Se, quando o raio do
tumor for 0,5cm, o raio estiver crescendo a uma taxa de 0,001cm por dia, qual ser a taxa de
crescimento da sua rea?
diacm
dt
dA 2004,0
13) Uma pedra jogada em um lago, provocando uma onde circular de raio r, o qual varia com o
tempo a uma taxa constante de 3cm/s. Calcule a taxa de variao, com o tempo, da rea do circulo
limitado pela onda, no instante em que o raio vale 20cm. {PB e9.6}
scm
dt
dA 21203202
14) Um balo esfrico, que esta sendo inflado, mantm sua forma esfrica. Seu raio aumenta a uma
taxa constante de 0,05m/s. Calcule a taxa da variao do seu volume, no instante em que seu raio
vale 2m.
sm
dt
dV 38,0
15) Um cubo de metal, que esta sendo aquecido, mantm sua forma. Uma aresta aumenta a uma
taxa que, no instante t0, vale 0,05cm/s, instante no qual a aresta mede 10cm. Calcule a taxa de
expanso do volume do cubo no instante t0.
scm
dt
dV 315
16) Uma moeda que esta sendo aquecida, mantm sua forma. Calcule o quociente entre a taxa de
variao com o tempo da rea de uma face e a taxa de variao com o tempo do dimetro, num
instante em que o dimetro mede 1cm.
cm
dt
dddt
dA
2
17) Uma escada, de comprimento 2m, desliza no cho, mantendo-se apoiada em uma parede. Em
um determinado instante, sua base dista 0,6m da parede e se afasta da mesma razo de 0,3m/s.
Calcule a velocidade com que seu topo desliza parede abaixo, no instante em questo.
smdt
dy/094,0
18) Uma escada, 6m de comprimento, apia-se durante seu movimento, no cho e na parede
vertical. Em um instante t0, o seu topo dista 3,6m do cho, e a sua base afasta-se da parede vertical
taxa de 1m/s. Calcule a velocidade escalar do topo no instante t0.
smdt
dy/
3
4
Clculo II - Derivadas e Aplicaes 15
3. Estudos da funo
3.1. Anlise do Comportamento das Funes
Dada uma curva y = f(x) usaremos a derivada para obter alguns dados acerca da curva.
Discutiremos os pontos de mximos e mnimos, os intervalos onde a curva crescente ou
decrescente. A interpretao geomtrica da derivada de uma funo a inclinao da reta tangente
no grfico da funo em um ponto. Esse fato possibilita aplicar derivadas como recurso auxiliar no
esboo de grficos. Por exemplo, podemos usar a derivada para determinar os pontos onde a reta
tangente horizontal, ou seja, onde a derivada zero. Antes de empregar a derivada para fazer
esboos de grficos, precisamos de algumas definies e teoremas.
s
t
A
By
y0
x0 x
x
y
C
Figura 1 Interpretao geomtrica da derivada de uma funo.
3.2. Valor funcional Mximo
Definio 1
A funo f ter um valor mximo relativo em c se existir um intervalo aberto contendo c, no qual
f(x) esteja definida, tal que )()( xfcf para todo x nesse intervalo.
As Figuras 2 e 3 mostram o esboo de parte do grfico de uma funo, tendo um valor
mximo relativo em c.
Figura 2 Valor mximo relativo para
f(c) = 0.
Figura 3 Valor mximo relativo para o qual f(c) no existe.
Clculo II - Derivadas e Aplicaes 16
Definio 2
A funo f ter um valor mnimo relativo em c se existir um intervalo aberto contendo c, no qual
f(x) esteja definida, tal que )()( xfcf para todo x nesse intervalo.
As Figuras 4 e 5 mostram o esboo de parte do grfico de uma funo, tendo um valor
mnimo relativo em c.
Figura 4 Valor mnimo relativo para f(c) = 0.
Figura 5 Valor mnimo relativo para o qual f(c) no existe.
Se a funo f tiver um mximo relativo em c ou um mnimo relativo ento diz que f tem um
extremo relativo em c. O seguinte teorema ser usado para localizar os valores possveis de c para
os quais existe um extremo relativo.
Observao:
c numero critico esta no domnio da funo f(c) = 0 ou f(c) no existe f(c) extremo relativo esta na imagem da funo valor mximo ou mnimo
Teorema
Se f(x) foi definida para todos os valores de x no intervalo aberto (a,b) e se f tiver um
extremo relativo em c, onde a < c
Clculo II - Derivadas e Aplicaes 17
Figura 6 Esboo de uma funo com pontos de extremo relativo.
Exemplos:
1) Consideremos a funo definida por 3)1()( xxf . Um esboo da funo esta na figura 7.
Figura 7 Esboo de f(x) = (x-1)3
2)1(3)( xxf , e sendo assim,
0)1(3)( 2 xxf
Somente quando:
0)1(3 2 x 1x
Ou seja:
0)1( f
Mas:
0)( xf se 1x e
0)( xf se 1x .
Sendo assim, f no tem um extremo relativo em 1, apesar da derivada primeira ser igual a zero.
Clculo II - Derivadas e Aplicaes 18
2) Seja a funo definida por:
3 xsex -8
3 xse 12)(
xxf
A funo f tem um valor mximo relativo em 3. Apesar de no ser derivvel em 3.
A derivada esquerda em 3 dada por: 2)3( f
A derivada direita em 3 dada por: 1)3( f
Logo conclumos que f(3) no existe.
Figura 8 Esboo da funo
3 xsex -8
3 xse 12)(
xxf
Definio
Se c for um nmero do domnio da funo f e se 0)( cf ou )(cf no existir, ento c ser
chamada de nmero crtico de f.
Dessa definio e da discusso anterior, um condio necessria (mas no suficiente) existncia
de um extremo relativo em c que c seja um nmero crtico de f.
Exemplo:
1) Ache os nmeros crticos extremos relativos da funo f definida por:
() = 43
+ 43
Soluo:
() = 43
+ 43
= 43 + 4
13
() =4
3
431 + 4
1
3
131 =
4
3
13 +
4
3
23 =
4
3(
13 +
23)
() =4 (
13 +
23)
23
323
=4 (
13 +
23)
23
323
=4 (
13+
23 +
23+
23)
323
=4 (
33 + 0)
323
() =4( + 1)
323
Clculo II - Derivadas e Aplicaes 19
Quando 4( + 1) = 0 = 1, () = 0
Quando 323
= 0 = 0, () no existe.
Ambos -1 e 0 esto no domnio de f; Logo os pontos crticos de f so -1 e 0.
Figura 9 Esboo da funo () = 4
3+ 4
3
2) Ache os nmeros crticos da funo g definida por xsenxxg cos )(
Figura 10 Esboo da funo xsenxxg cos )(
Resoluo:
Como: cosx 22 senxxsen
xsenxg 2)(21
2)2(cos)(21 xxg x2cos
Desde que )(xg exista para todo x, os nicos nmeros crticos so aqueles para ao quais 0)( xg .
Como 02cos x , quando: kx 212 onde k um inteiro qualquer.
Os nmeros crticos de g(x) so:
kk
x21
412
1
2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-2 -1 0 1
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0 90 180 270 360 450 540 630 720
Clculo II - Derivadas e Aplicaes 20
3.3. Valor mximo e mnimo absoluto num intervalo p(220)
Seja uma funo dada num certo intervalo, onde queremos encontrar o maior ou o menor
valor da funo.
O maior valor da funo no intervalo chamado de valor mximo absoluto. O menor valor
da funo chamado de valor mnimo absoluto.
Definio 1
A funo f ter um valor mximo absoluto num intervalo, se existir algum nmero c no
intervalo, tal que )()( xfcf para todo x no intervalo. Em tal caso, f(c) ser o valor mximo
absoluto de f no intervalo.
Definio 2
A funo f ter um valor mnimo absoluto num intervalo, se existir algum nmero c no
intervalo, tal que )()( xfcf para todo x no intervalo. Em tal caso, f(c) ser o valor mnimo
absoluto de f no intervalo.
Um extremo absoluto de uma funo num intervalo um valor mximo ou mnimo
absoluto da funo no intervalo. Uma funo pode ou no ter um extremo absoluto num intervalo
dado.
Exemplos:
1) Suponha que f seja a funo definida por xxf 2)( no intervalo )4,1[ .
Um esboo grfico da funo:
No h valor mximo absoluto de f em )4,1[ ,
pois 8)(lim4
xfx
, mas f(x) sempre menor
do que 8 no intervalo dado.
A funo tem um valor mnimo absoluto
de 2 em f em [1,4).
2) Consideremos a funo definida por 2)( xxf no intervalo ]2,3(
Um esboo do grfico:
Clculo II - Derivadas e Aplicaes 21
02)( xxf 0 x
Portanto a funo tem um valor mximo
absoluto em 0.
No h valor mnimo absoluto pois
9)(lim3
xfx
, mas f(x) sempre maior
do que 9 no intervalo dado.
3.4. Extremo absoluto
Podemos falar de um extremo absoluto de uma funo, mesmo que no seja especificado o
intervalo. Em tal caso, estamos nos referindo ao extremo absoluto da funo em todo o seu
intervalo.
Definio 1
f(c) ser o valor mximo absoluto da funo f se c estiver no domnio de f e se )()( xfcf
para todos os valores de x no domnio de f.
Definio 2
f(c) ser o valor mnimo absoluto da funo f se c estiver no domnio de f e se )()( xfcf
para todos os valores de x no domnio de f.
Exemplo:
1) Seja o grfico da funo f definida por 84)(2 xxxf :
uma parbola, e o ponto mais baixo da parbola esta em (2,4) e a parbola abre-se para cima.
042)( xxf
242 xx e
4824284)2( 22 xxf
A funo tem um valor mnimo absoluto
em x =2.
No h valor mximo absoluto em f.
Clculo II - Derivadas e Aplicaes 22
3.5. Teorema do valor Extremo
Se a funo f for contnua no intervalo fechado ],[ ba , ento f ter um valor mximo absoluto
e um valor mnimo absoluto em ],[ ba
O teorema assegura que a continuidade de uma funo em um intervalo fechado condio
suficiente para garantir que a funo tenha no intervalo ambos os valores, mximo e mnimo,
absolutos.
Um extremo absoluto de uma funo contnua num intervalo fechado deve ser um extremo
relativo, ou um valor de funo num extremo do intervalo.
Como uma condio necessria para que uma funo tenha um extremo relativo num
nmero c que c seja um nmero critico o valor mximo absoluto e o mnimo absoluto de uma
funo contnua f num intervalo fechado ],[ ba podem ser determinados pelo seguinte
procedimento:
1 Ache os valores da funo nos nmeros crticos de f em (, ). 2 Ache os valores de f(a) e f(b). 3 O maior dentre os valores das etapas 1 e 2 ser o valor mximo absoluto e o menor ser o valor mnimo absoluto.
Exemplo:
1) Ache os extremos absolutos de f em [2,1
2] se () = 3 + 2 + 1
Soluo:
Como f continua em 21,2 , o teorema do valor extremo pode ser aplicado.
Para achar os nmeros crticos de f, vamos calcular primeiro f:
() = 32 + 2 1
16124)1(34)2(4 22 acb
3
1
6
2
6
42
16
6
6
42
6
42
32
162
22
1
x
x
a
bx
Como )(xf existe para todos os nmeros reais, os nicos nmeros crticos de f sero os valores de
x para os quais () = 0
0)1)(13(123)( 2 xxxxxf 31
1 c e 12 c
Os valores nos extremos so:
1)( 23 xxxxf
112481)2()2()2()2( 23 f
211111)1()1()1()1( 23 f 81,011
2722
2727931
31
91
271
312
313
31
31 f
875,01187
88421
21
41
81
212
213
21
21 f
- O valor mximo absoluto de f em 21,2 2 ,que ocorre no nmero crtico c = -1.
- O valor mnimo absoluto de f em 21,2 -1, que ocorre no nmero crtico c = 2.
x -2 -1 1/3 1/2
f(x) -1 2 0,81 0,875
Clculo II - Derivadas e Aplicaes 23
3.6. Concavidade e pontos de inflexo (p241)
O conceito de concavidade muito til no esboo de uma curva. Analisando
geometricamente a figura 1, e figura 2 observamos que dada um ponto qualquer c no intervalo (a,b)
o grfico de f esta acima da tangente curva no ponto P(c,f(c)). Dizemos que a curva tem
concavidade voltada para cima no intervalo (a,b). Geometricamente, isto significa que a reta
tangente gira no sentido anti-horrio medida que avanamos sobre a curva da esquerda para a
direita.
Figura 1 concavidade voltada para cima. Figura 2 reta tangente gira no sentido anti-
horrio.
Na figura 3 e 4 descrevemos uma funo que tem concavidade voltada para baixo no
intervalo (a,b). Neste caso vemos que a tangente gira no sentido horrio quando deslocamos sobre a
curva da esquerda para a direita.
y = f(x)
b
y
P
a x
y = f(x)
b
y
a x
Clculo II - Derivadas e Aplicaes 24
Figura 3 concavidade voltada para baixo. Figura 4 reta tangente gira no sentido horrio.
Observando as figuras podemos propor as seguintes definies:
Definio 1:
Uma funo f dita cncova para cima no intervalo (a,b) se f(x) crescente neste intervalo.
Definio 2:
Uma funo f dita cncova para baixo no intervalo (a,b) se f(x) decrescente neste intervalo.
Podemos determinar a concavidade de uma curva analisando o sinal da derivada segunda f(x).
Teorema:
Seja f uma funo diferenciavel at segunda ordem em algum intervalo aberto contendo c.
Ento:
(i) se 0)( cf , o grfico de f cncavo para cima em (c,f(c))
(ii) se 0)( cf , o grfico de f cncavo para baixo em (c,f(c))
3.7. Pontos de inflexo
Podem existir pontos no grfico de uma funo nos quais a concavidade muda de sentido.
Esses pontos so chamados pontos de inflexo.
Definio:
O ponto ))(,( cfc ser um ponto de inflexo do grfico da funo f se o grfico tiver nele
uma reta tangente e se existir um intervalo aberto I contendo c, tal que se x estiver em I, ento:
(i) 0)( xf se cx e 0)( xf se cx , ou
(ii) 0)( xf se cx e 0)( xf se cx .
Teorema:
Se a funo f for derivvel em algum intervalo aberto contendo c e se ))(,( cfc for um ponto
de inflexo do grfico de f, ento 0)( cf ou )(cf no existe.
Exemplos:
1) Dada a funo. () = 3 62 + 9 + 1
y = f(x)
b
y
P
c a x
y = f(x)
b
y
a x
Clculo II - Derivadas e Aplicaes 25
a) Ache os mximos e mnimos relativos de f, aplicando o teste da derivada segunda;
b) Ache os pontos de inflexo do grfico de f;
c) Determine onde o grfico cncavo para cima e onde cncavo para baixo;
d) Faa um esboo do grfico;
Soluo:
() = 32 12 + 9 () = 6 12
Encontrando os nmeros crticos, ou seja, () = 0 () = 32 12 + 9 = 0 32 12 + 9 = 0 ( 3) 2 4 + 3 = 0
= 2 4 = (4)2 4 1 3 = 16 12 = 4
=
2=
(4) 4
2 1=
4 2
2= {
1 =4 2
2=
2
2= 1
2 =4 + 2
2=
6
2= 3
Encontrando o ponto de inflexo, ou seja, () = 0 () = 6 12 = 0 6 = 12
=12
6= 2
)(xf )(xf )(xf Concluso
x = 1 5 0 - Cncavo para baixo, ponto de mximo.
x = 2 3 0 Ponto de inflexo
x = 3 1 0 + Cncavo para cima, ponto de mnimo.
Grfico da funo () = 3 62 + 9 + 1.
2) Dada funo () = 3
.
Ache o ponto de inflexo do grfico de f.
Determine onde o grfico cncavo para cima e onde cncavo para baixo.
Faa um esboo do grfico.
Soluo:
3 221 1
2
1)( 3
2
xxxf
3 592 1
9
2)( 3
5
xxxf
2
4
1 2 3
Clculo II - Derivadas e Aplicaes 26
)(xf )(xf )(xf Concluso
0x + + f crescente e cncava para cima
0x 0 no existe no existe Ponto de inflexo
0x + - f crescente cncava para baixo
Na figura mostramos que o eixo y a reta tangente ao grfico da funo em (0,0) e um ponto de
inflexo. A concavidade do grfico determinada pelo sinal de )(xf .
Grafico da funo () =
3.
3.8. Teste da derivada segunda para extremos relativos
Teorema
Seja c um nmero critico de uma funo f, no qual 0)( cf e suponhamos que f exista para
todos os valores de x em algum intervalo aberto contendo c. Se )(cf existe e:
i) Se 0)( cf , ento f tem um valor mximo relativo em c;
ii) Se 0)( cf , ento f tem um valor mnimo relativo em c;
Exemplo:
1) Dada funo 23344 4)( xxxxf :
a) Ache os mximos e mnimos relativos de f, aplicando o teste da derivada segunda;
b) Ache os pontos de inflexo do grfico de f;
c) Determine onde o grfico cncavo para cima e onde cncavo para baixo;
d) Faa um esboo do grfico;
Soluo:
Calculando as derivadas primeira e segunda de f.
xxxxf 844)( 23
8812)( 2 xxxf
Equacionando 0)( xf temos:
0)2(4)(0
2
xxxxf
022 xx
981)2(1414 22 acb
-1
1
-2 2
-1
1
-2 2
Clculo II - Derivadas e Aplicaes 27
22
31
12
31
2
31
12
91
2
1
x
x
x
1
2
0
0)1)(2(4)(
x
x
x
xxxxf
Sendo assim os nmeros crticos de f so -2, 0, 1.
Vamos determinar os pontos de inflexo
08812)( 2 xxxf
44838464)8(12484 22 acb
548,0
215,1
3
71
38
788
122
728
2
16
x
xx
Vamos determinar os extremos relativos entre estes nmeros crticos, encontrando o sinal de
derivada segunda neles.
x )(xf )(xf )(xf Concluso
-2 67,103
32 0 + Valor mnimo relativo
-1,215 -6,12 8,4 0 Ponto de inflexo
0 0 0 - Valor mximo relativo
0,548 -0,89 -2,5 0 Ponto de inflexo
1 67,13
5 0 + Valor mnimo relativo
2) Dada funo 33 2 22)( 31
32
xxxxxf :
Ache os extremos relativos de f, aplicando o teste da derivada segunda, quando possvel;
Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexo do grfico de f e;
Determine onde o grfico cncavo para cima e onde cncavo para baixo;
Faa um esboo grfico de f.
Soluo:
Calculando as derivadas de primeira e segunda de f.
3 2332
32
3
2
3
2)( 3
231
xxxxxf
Clculo II - Derivadas e Aplicaes 28
3 53 494
92
9
4
9
2)( 3
534
xxxxxf
Como )0(f no existe, 0 um nmero critico de f.
Encontramos os demais nmeros crticos equacionando 0)( xf
032
31
3
2
3
2 xx
03
232
32
31
32
32
xx
032
32
32
31
xx
0032
31
xx
0131
x
131
x
1x
Assim 1 ponto critico tambm.
Podemos determinar se h um extremo relativo em 1 aplicando o teste da derivada segunda.
Como )0(f no existe, (0,0) um possvel ponto de inflexo. Para achar outras possibilidades
equacionamos 0)0( f .
035
34
9
4
9
2
xx
042 35
35
35
34
xx
042 031
xx
42 31
x
2
431
x
32x 8x
A tabela abaixo resume nossos resultados.
f(x) f(x) f(x) Concluso
x < 0 - - decrescente; cncavo para baixo.
x = 0 0 no existe no existe f no tem extremo relativo; ponto de inflexo.
0
Clculo II - Derivadas e Aplicaes 29
3) Dada funo 3)21()( xxf .
Ache o ponto de inflexo do grfico de f.
Determine onde o grfico cncavo para cima e onde cncavo para baixo.
Faa um esboo do grfico.
Soluo: 2)21(6)( xxf
)21(24)( xxf
Como )(xf existe para todos os valores de x, o nico ponto de inflexo possvel onde
0)( xf . Ou seja: 0)21(24)( xxf
021 x 2
1x
O grfico tem uma reta tangente horizontal no ponto de inflexo pois 021 f .
)(xf )(xf )(xf Concluso
21x + cncavo para cima
21x 0 0 0 Ponto de inflexo
21x - cncava para baixo
4) Ache os pontos de inflexo do grfico da funo seno.
Ache as inclinaes das tangentes nos pontos de inflexo.
Faa o grfico da funo seno num intervalo de 2 de comprimento, contendo o ponto de inflexo
com menor abscissa positiva.
Mostre um segmento da tangente nesse ponto de inflexo.
Soluo:
senxxf )(
xxf cos)(
senxxf )(
)(xf existe para todo x. Para determinar os pontos de inflexo, equacionamos 0)( xf
0 senx Pontos de inflexo: kx onde k um inteiro qualquer.
Inclinao dos pontos de inflexo:
impar inteirok se 1
par inteirok se 1 cos)( kkf
Logo, as inclinaes das tangentes nos pontos de inflexo so +1 ou -1.
-1
1
0,5 1
Clculo II - Derivadas e Aplicaes 30
-1
1
2
Clculo II - Derivadas e Aplicaes 31
4. Teorema de Rolle e Teorema do Valor Mdio (p.231)
Seja f uma funo contnua no intervalo fechado [a,b], derivvel no intervalo aberto (a,b) e
tal que 0)( af e 0)( bf . O matemtico francs Michel Rolle (1652-1719) provou que se uma
funo satisfaz essas condies, existe pelo menos um nmero c entre a e b para o qual 0)( cf .
Vejamos o significado geomtrico disto:
A figura 1 mostra um esboo do grfico de uma funo f que satisfaz as condies do
pargrafo precedente.
Vemos intuitivamente, que existe pelo menos um ponto P sobre a curva entre os pontos (a,0)
e (b,0), onde a reta tangente paralela ao eixo x; isto , a inclinao da reta tangente zero. Neste
ponto P a abscissa c, tal que 0)( cf .
Figura 1
A figura 2 mostra o esboo grfico de uma funo que no derivvel em um extremo, no
caso o extremo b, contudo existe uma reta tangente no ponto x = c no intervalo (a,b).
No entanto, necessrio que a funo seja continua no intervalo [a,b] para garantir a
existncia dessa tangente, conforme o esboo da figura 3.
Figura 2 Figura 3
Teorema de Rolle
Seja f uma funo, tal que:
i) ela seja contnua no intervalo fechado [a,b];
ii) ela seja derivvel no intervalo aberto (a,b);
iii) 0)( af e 0)( bf .
Ento existe pelo menos um ponto c no intervalo (a,b), tal que 0)( cf
c
P
a b
y
x
x b a c
P y
x a b
y
Clculo II - Derivadas e Aplicaes 32
Exemplo:
1) Dada funo xxxf 94)( 3 comprove que as condies (i), (ii) e (iii) das hipteses do
teorema de Rolle esto satisfeitas em cada um dos seguintes intervalos: 0,23 ,
23,0 e
23
23 , .
Ache ento um valor de c em cada um desses intervalos para os quais 0)( xf .
Soluo:
912)( 2 xxf
Como )(xf existe para todos os valores de x, f derivvel em ),(
Sendo assim, as condies (i) e (ii) do teorema de Rolle so vlidas em qualquer intervalo.
Para determinar em quais intervalos a condio (iii) se verifica, encontramos os valores para os
quais 0)( xf .
23
23
0
492 00)(4)(
x
x
x
xxxf
Sendo assim o teorema de Rolle valido nos seguintes intervalos:
23
23
23
23
,
,0
0,
Os valores adequados de c so os que satisfazem equao 0)( xf .
23
23
2 0912x
xx
Portanto, para os intervalos encontrados pelo Teorema de Rolle os valores adequados para c so:
23
23
23
23
23
23
23
23
ou ,
,0
0,
cc
c
c
Figura 4
-6
-4
-2
2
4
6
-2 -1 1 2 2
3
2
3
2
3c
2
3c
x
y
Clculo II - Derivadas e Aplicaes 33
Teorema do Valor Mdio
Seja f uma funo, tal que:
i) ela seja contnua no intervalo fechado [a,b];
ii) ela seja derivvel no intervalo aberto (a,b);
Ento, existir um nmero c no intervalo aberto (a,b), tal que ab
afbfcf
)()()(
Geometricamente, o teorema do valor mdio estabelece que se a funo )(xfy continua em
[a,b] e derivvel em (a,b), ento existe pelo menos um ponto c entre a e b onde a tangente curva
paralela corda que une os pontos ))(,( afaP e ))(,( bfbQ conforme figura 5.
Figura 5
Exemplo:
2) Dada xxx
xf 323
)( 23
comprove que as hipteses do teorema do valor mdio esto
satisfeitas para a=3 e b=6. Ento, encontre todos os nmeros c no intervalo aberto (3,6), tais que:
36
)3()6()(
ffcf .
Soluo:
Como f uma funo polinomial, ela ser continua e derivvel para todos os valores de x.
Logo, as hipteses do teorema do valor mdio esto satisfeitas para todo a e b.
34)( 2 xxxf
Calculando:
333323
3)3( 2
3
f
1263623
6)6( 2
3
f
53
15
36
)3(12
36
)3()6()(
ffcf
R
P
Q
a c b
f(a)
f(b)
x
y
Clculo II - Derivadas e Aplicaes 34
Equacionando 5)( cf , obtemos:
534)( 2 cccf
5342 cc
0242 cc 522 2321616)2(24)4(4 acb
828,4
828,0)21(2222
2
244
12
24
2
15
c
cc
Como -0,828 no esta no intervalo aberto (3,6), o nico valor possvel 828,4c
Figura 6 Grfico de xxx
xf 323
)( 23
e 34)( 2 xxxf .
Clculo II - Derivadas e Aplicaes 35
5. Aplicaes Envolvendo extremos absolutos num intervalo fechado
Exemplos:
1) Um fabricante de caixas de papelo deseja fazer caixas abertas a partir de pedaos de papelo
com 12 cm2 cortando quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando os lados para cima. Queremos
encontrar o comprimento do lado do quadrado a ser cortado para obter uma caixa com o maior
volume possvel.
deprofundidalarguraaltura
)212()212()( xxxxV
)212)(212()( xxxxV 32 448144)( xxxxV
21296144)( xxxV
)(xV existe para todos os valores de x.
Fazendo 0)( xV temos:
0)128(12)(0
2
xxxV
6
20128
2
12
x
xxx
O domnio de V(x) ser o intervalo
fechado [0,6]. Como V(x) contnua em
[0,6], segue do teorema do valor extremo que
V(x) tem um valor mximo absoluto nesse
intervalo.
Os nmero crticos de V so 2 e 6, ambos pertencentes ao intervalo fechado [0,6].
O valor mximo absoluto de V em [0,6] precisa ocorrer num nmero crtico ou num extremo
do intervalo. 32 448144)( xxxxV
0040480144)0( 32 V
128242482144)2( 32 V
0646486144)6( 32 V
O valor mximo absoluto de V em [0,6] 128, ocorrendo quando x = 2.
Logo, o maior volume possvel de 128cm3, obtido quando o comprimento do lado do
quadrado a ser cortado de 2cm.
Clculo II - Derivadas e Aplicaes 36
2) Os pontos A e B esto em lados opostos de um rio reto com 3km de largura. O ponto C est na
mesma margem que B, mas 2km rio abaixo. Uma companhia telefnica deseja estender um cabo de
A at C. Se o custo por quilmetro do cabo 25% maior sobre a gua do que em terra, como deve
ser estendido o cabo, de forma que o custo seja o menor para a companhia?
Soluo:
Seja:
k custo por quilometro em terra
k45 custo por quilometro sob gua
)(xC custo total da ligao.
Ento:
terrasob distncia
terrasob custo
gua sob distncia
22
gua sob custo
45 )2( 3)( xkxkxC
Como C contnua em [0,2], o teorema do valor extremo pode ser aplicado. Queremos encontrar o
valor mnimo absoluto.
Derivando em relao x temos:
)2()3()( 21
22
45 xkxkxC
)10(2)3()( 21
22
21
45
kxxkxC
kxkxxC
2
1
)3()( 2245
kx
kxxC
294
5)(
094
5)(
2
k
x
kxxC
094
5
2
k
x
kx
0194
5
2
x
x
194
5
2
x
x
2945 xx
)9(1625 22 xx
9169 2 x
162 x 4x
Clculo II - Derivadas e Aplicaes 37
Como -4 e 4 no esto no intervalo [0,2]. Logo no existem nmeros crticos de C em [0,2].
O valor mnimo absoluto de C em [0,2] deve ocorrer num dos extremos do intervalo.
Calculando obtemos:
)2(3)( 2245 xkxkxC
kkkC42322
45 )02(03)0(
13)22(23)2(4522
45 kkkC
Logo o valor mnimo absoluto de C em [0,2] 1345 k , ocorrendo quando x = 2.
Logo, para minimizar o custo do cabo, devemos estend-lo diretamente de A at C sob a
gua.
3) (p266) Um campo retangular margem de um rio deve ser cercado com exceo do lado ao
longo do rio. Se o custo do material for de $12,00 por metro linear no lado paralelo ao rio e de
$8,00 por metro linear nos dois extremos, ache o campo de maior rea possvel que possa ser
cercado com $3.600,00 de material.
Soluo:
Seja:
x (m) o comprimento de cada extremo do campo; y (m) o comprimento do lado paralelo ao rio; A (m
2) a rea do campo.
(2) 600.31288
(1)
yxx
xyA
Isolando y de (2)
600.31216 yx
xx
y3
4300
12
16600.3
Substituindo em (1) obtemos:
xxxyA34300
(3) 300)(34 xxxA
Se y= 0, x = 225 e se x = 0, y = 300. Como ambos
no deverem ser negativos, o valor de x ira tornar
A um mximo absoluto esta entre [0, 225].
2
34300)( xxxA
xxA38300)(
Fazendo 0)( xA , temos:
x383000 300
38 x 5,112300
83 x
1501503005,11230030034
34 xy
16875
112,5 225 x
A(x)
Clculo II - Derivadas e Aplicaes 38
2
34300)( xxxA
2
34 5,1125,112300)5,112( A
2875.16)5,112( mA
Assim sendo, a maior rea possvel que poder ser cercada com $3.600,00 de material ser A =
16.875m2, e isto acontece quando o lado paralelo ao rio tiver y = 150m e os extremos tiverem cada
um x = 112,5m.
4) Ao planejar um restaurante, estima-se que se houver de 40 a 80 lugares, o lucro bruto dirio ser
$16,00 por lugar. Se, contudo, o nmero de assentos for acima de 80 lugares, o lucro dirio por
lugar decrescer de $0,08 vezes o nmero de lugares acima de 80. Qual dever ser o nmero de
assentos para que o lucro dirio seja mximo?
Resoluo:
Seja:
- x o nmero de lugares;
- P(x) o lucro bruto dirio ($16,00 por lugar);
Quando 80x40 , calculamos o lucro da seguinte forma: O lucro por lugar ser: $16,00
P(x) obtido ao multiplicarmos por x pelo lucro por lugar, ou seja:
xxP 16)(
Quando 280x80 , calculamos o lucro da seguinte forma: O lucro por lugar ser: 16 0,08(x 80) O lucro ser obtido se multiplicarmos por x pelo lucro por lugar, ou seja:
xxP 80)]-0,08(x -16[)(
xxP 6,40)]0,08x -16[)(
xxP 0,08x] -40,22[)( 20,08 -40,22)( xxxP
Logo:
280x80 se 08,040,22
80x40 se 16)(
2xx
xxP
Mesmo que x, por definio, seja um inteiro, para ter uma funo contnua, vamos supor que x
possa assumir todos os valores reais no intervalo [40, 280].
Clculo II - Derivadas e Aplicaes 39
H continuidade em 80, pois:
P(80) = 1.280
280.116lim)(lim8080
xxPxx
280.1)08,040,22(lim)(lim 28080
xxxPxx
Sendo assim, P continua no intervalo fechado [40, 280] e o teorema do valor extremo garante um
valor mximo absoluto de P nesse intervalo.
Quando 80x40 , 16)( xP
Quando 280x80 , xxP 0,16 -40,22)(
)80(P no existe, pois:
60,9)80(
16)80(
P
P
Equacionando 0)( xP , teremos:
00,16 -40,22 x
140x
Os nmeros crticos de P so ento, 80 e 140.
Vamos calcular P(x) nos pontos extremos do intervalo [40, 280] e nos pontos crticos.
P(40) = 640
P(80) = 1.280
P(140) = 1.568
P(280) = 0
O valor mximo absoluto de P , portanto 1.568, ocorrendo quando x = 140. A capacidade de
assentos deve ser de 140 lugares, o que d um lucro bruto dirio de $1.568,00
5) Ache as dimenses do cilindro circular reto de maior volume que possa ser inscrito num cone
circular reto com um raio de 5cm e 12cm de altura.