CALCULO NUMERICO DE LA INTEGRAL DE DUHAMEL-SISTEMA SIN AMORTIGUACION

Cuando en algunos casos prácticos la excitación se conoce solo por datos experimentales, como en casos de movimientos sísmicos y los resultados tienen que ser obtenido por métodos numéricos

Duhamel la identidad trigonométrica sinw (t−r )=sinwt coswr−coswt sinwt .Usando esta identidad y suponiendo condiciones iniciales iguales a cero obtenemos, la integral de Duhamel apéndice (a), ecuación (4.4), en Ia forma.

y (t )=sinwt 1mw

∫0

t

F (r ) coswr dr−coswt 1mw

∫0

t

F (r )senw r dr

O

y (t )={A (t ) senwt−B (t)coswt } Imw (4.14)

En donde,

A (t )=∫0

t

F (r ) coswr dr

B ( t )=∫0

t

F (r ) sen w r dr (4.15)

El cálculo de la integral de Duhamel, por lo tanto, requiere el cálculo numérico de las integrales A ( t ) y B ( t ) .Varios métodos de integración numérica han sido usados para este cálculo. En estos métodos, las funciones bajo estas integrales son remplazadas por una suma de términos, que por conveniencia se calculan a incrementos iguales de tiempo ∆r , Los más populares de estos métodos son la regla trapezoidal y la regla de Simpson apéndice (b). Consideremos la integral de la función generalI (r ) .

A ( t )=∫0

t

I (r )d r .

La operación elemental requerida en la regla trapezoidal es:

A ( t )=∆r 12

( I 0+2L1+2 L2+…+2 Ln−1+Ln ) . (4.16)

Y en la regla de Simpson apéndice (b)

A ( t )=∆r 13

( I 0+4 L1+2 L2+…+4 Ln−1+Ln) . (4.17)

Donde n=t /∆r, que en la regla de Simpson debe ser un numero par. La aplicación de estas reglas es directa. El resultado obtenido es , sin embargo, aproximado, porque estas reglas están basadas en la sustitución de la función I (r )por una función de.

En forma análoga, de la ecuaci6n (4.19), obtenemos

B (t1 )=B (t i−1 )+(F (ti−1 )−ti−1∆Fi∆ ti

)(coswt i−1−coswt i)/w+∆ F iw2∆ f i

{senw t i−senw t i−1−w (ti cosw t i−t i−1 cosw ti−1)}

(4.22)

Las ecuaciones (4.21) y (4.22) son fórmulas de recurrencia para el cálculo de las Integrales en la ecuaci6n (4.15) en el instante t = ti.

Ejemplo ilustrativo 4-1

Determine Ia respuesta dinámica de una torre sometida a la fuerza producida por una explosión en su vecindad. La idealización de Ia estructura y de Ia carga debida a la explosión se muestran en la figura 4-7. Ignore la a mortiguaci6n en el sistema.

Soluci6n: Para este sistema la frecuencia natural es

w=√k /m=√100000 /100=31.62 rad /seg

Ya que el efecto de la explosión termina en el instante t = 0,060 seg. Los de A y B permanecen constantes después de ese tiempo. En consecuencia, la vibración libre que sigue se obtiene sustituyendo estos val ores A y B calculados para el instante t = 0,060 seg. en Ia ecuaci6n (4.14), esto es,

y (t )=¿

O sea

y (t )=0.8130 sen31.62 t−1.1338cos31.62 t

Para t ≥0.060 seg .

(a) RESPUESTA A CARGA DINAMICA GENERAL  

7.1             INTEGRAL DE DUHAMEL.

 El procedimiento descrito en el Capítulo 6 para evaluar la respuesta de la estructura a impulsos de corta duración sirve de base para evaluar la respuesta a carga dinámica general. Considerar la carga dinámica general p(t) de la Figura 7.1, más específicamente la intensidad de carga p() actuando en el tiempo t=. Esta carga que actúa durante el intervalo corto de tiempo d produce un impulso de corta duración p()d sobre la estructura y la ecuación puede usarse para evaluar la respuesta de este impulso, se debe notar que aunque este procedimiento es aproximado se vuelve exacto cuando la duración de la carga se aproxima a acero. Por tanto para un intervalo de tiempo d, la respuesta producida por la carga p() es: 

Para t >                                                                                          (7.1)

Figura 7.1 Derivación de la integral de Duhamel (no amortiguado)

 

En esta expresión el término du(t) representa la respuesta diferencial al impulso diferencial y no la variación de u durante el intervalo de tiempo dt. El histograma de carga completo consiste de una sucesión de impulsos cortos, cada uno de ellos produce su propia respuesta diferencial. La respuesta total a la carga arbitraria es la suma de todos los impulsos de duración d, es decir:

                                       (7.2) esta es una expresión exacta llamada integral de Duhamel. Debido a que esta basada en el principio de superposición solamente es aplicable a estructuras linealmente elásticas. En la ecuación 7.2 se asume tácitamente que la carga se inicia en el tiempo t=0 cuando la

estructura esta en reposo; para condiciones iniciales distintas del reposo   y   se añade la respuesta en vibración libre a la solución, entonces se tiene:

                             (7.3)

 usando la integral de Duhamel para un SDF no amortiguado la repuesta se determina asumiendo condiciones iniciales en reposo para una fuerza p(t)=p0  y  t>0, entonces la ecuación 7.2 es: 

  

7.2             INTEGRAL DE DUHAMEL PARA UN SISTEMA NO AMORTIGUADO.

 Si la función de carga es integrable, la respuesta dinámica de la estructura puede ser evaluada por integración formal de la ecuación 7.2 ó 7.3; sin embargo en muchos casos la carga es conocida solo de datos experimentales, y la respuesta debe ser evaluada por procesos numéricos. Para el análisis es práctico utilizar la identidad

trigonométrica   para reformular la ecuación 7.2: 

ó

                                                (7.4)Dónde:

(7.5)

 

7.3             INTEGRAL DE DUHAMEL PARA UN SISTEMA AMORTIGUADO.

 

El análisis para obtener la integral de Duhamel que expresa la respuesta de un sistema amortiguado a una carga general es similar al análisis para un sistema no amortiguado, con la única variante que la respuesta en vibración libre iniciada por un impulso diferencial p()·d esta

sujeta a un decremento exponencial. De este modo estableciendo u(0)=0  y    en la ecuación 4.15 da:

                                          (7.6)

La respuesta de la carga total arbitraria es:

                                    (7.7)

 Para una evaluación numérica de la respuesta del sistema amortiguado la ecuación 7.7 puede ser escrita en forma similar a la ecuación 7.4:

                                                  (7.8)

Donde en este caso:

                                          (7.9)

Para la excitación dinámica debida a la aceleración del suelo, la fuerza p()  toma el valor de:

                                                           (7.10)

  

7.4             EVALUACIÓN NUMÉRICA DE LA RESPUESTA DINÁMICA[1]

 La solución analítica de la ecuación de movimiento para un sistema simple no es posible si la

excitación (fuerza aplicada p(t) o aceleración del suelo  ) varía arbitrariamente con el tiempo, o si el sistema no es lineal. Un método más general de solución consiste en el cálculo iterativo de la respuesta a través de una serie de cálculos utilizando interpolación lineal, el cual es un procedimiento numérico altamente eficiente que puede ser desarrollado para sistemas lineales. La Figura 7.2 muestra una función de excitación en forma general, la cual es aproximada a través de una serie de líneas rectas suficientemente cercanas, de tal forma que se asume una discrepancia muy pequeña, es decir, si el intervalo de tiempo es muy pequeño la interpolación

lineal es satisfactoria. La función de excitación para el intervalo de tiempo   está dada por:

                                                        (7.11)

Dónde:

                                                         (7.12)

 Y la variable de tiempo  varía de 0 a ti. Para simplificar algebraicamente se considera primero a un sistema sin amortiguamiento. Para este caso la ecuación a ser resuelta es:

                                                    (7.13)

 

Figura 7.2 Interpolación lineal

  

La respuesta u()  para  es la suma de tres partes: (1) la vibración libre debido al

desplazamiento inicial ui y velocidad  para =0. (2) la respuesta para la fuerza pi con condiciones iniciales de cero. (3) la respuesta para (pi/ti)· con condiciones iniciales de cero. Adaptando las soluciones disponibles de los párrafos precedentes para estos tres casos la respuesta total es: 

y                                                                                                                                           (7.14)

 

Evaluando estas ecuaciones para =ti proporciona el desplazamiento ui+1 y la velocidad   en el tiempo i+1: 

(7.15)

               Estas ecuaciones se pueden replantear después de sustituir la ecuación 7.12 como fórmulas recurrentes: 

(7.16)

 Estas fórmulas también son aplicables para sistemas amortiguados, las cuales tienen sus respectivas expresiones para los coeficientes A, B,..., D’; ] para sistemas subamortiguados.

(b) En análisis numérico, la regla o método de Simpson (nombrada así en honor

de Thomas Simpson) y a veces llamada regla de Kepler es un método de integración

numérica que se utiliza para obtener la aproximación de la integral:

.