calculo perfil de velocidades en un ducto rectangular

7/21/2019 calculo perfil de velocidades en un ducto rectangular

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Revista Colombiana de F ısica, Vol. 43, No. 2 de 2011.

Calculo Del Perfil De Velocidades Y El Caudal En Un Ducto Rectangular

Calculation Of Velocity Profile And Flow Rate In A Rectangular Pipeline

C. Calderon * a, R. Martınez a , D. Rodrıguez a , G. Rodrıguezb

a Departamento de F ısica, Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogot a.b Departamento de Matem ´ aticas, Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogot a.

Recibido 29.05.11; Aceptado 15.06.11; Publicado en lınea 04.09.11.

Resumen

Se estudio el perfil de velocidades y el caudal en un ducto rectangular que puede asemejarse a una seccion de prueba de

un tunel de viento. Para ello se soluciono la ecuacion de Navier-Stokes asumiendo ciertas condiciones como la de flujo

estacionario incomprensible en un regimen laminar para el fluido. Se hallo la solucion analıtica para la velocidad y el caudal

del flujo mediante el metodo de las funciones de Green. Ademas se realizo un calculo numerico utilizando el metodo de

diferencias finitas para visualizar el perfil de velocidad que se espera en un ducto rectangular con el fin de encaminar el

problema hacia los metodos de la dinamica de fluidos computacional (CFD).

Palabras Clave: Perfil de velocidades; Ducto rectangular; Caudal.

Abstract

We studied the velocity profile and flow rate in a rectangular pipeline that can resemble a test section of a wind tunnel. For

this we solved the Navier-Stokes equation assuming certain conditions such as incomprehensible steady flow in a laminar

regime for the fluid. Afterwards, we found the analytical solution for the speed and flow rate using the method of Green’s

functions. We also carried out a numerical calculation using the finite difference method to visualize the velocity profile

which is expected in a rectangular pipeline in order to route the problem to the methods of computational fluid dynamics

(CFD).

Keywords: Velocity profile; Pipeline; Flow rate.

ingles PACS: 47.11.Bc; 47.10.ad; 47.15.-x.

c2011. Revista Colombiana de Fısica. Todos los derechos reservados.

1. Introduccion

En el presente trabajo se estudia el perfil de velocidades

y el caudal de un fluido en un ducto de forma rectangular en

primera instancia sin ningun tipo de obstruccion y posterior-

mente con un objeto anular de forma tambien rectangular en

el centro encontrandose para este la velocidad del fluido y el

caudal.

Vamos a considerar flujos independientes del tiempo, de

manera que todas las derivadas con respecto al tiempo seran

cero. Se asume ademas que el fluido es incomprensible, deesta manera la densidad es constante en el fluido (esta es una

buena aproximacion bajo la condicion del flujo subsonico).

En general, la presion esta dada en terminos de la den-

sidad y la temperatura a traves de una ecuacion de estado.

Cuando la temperatura varıa, se requiere una ecuacion adi-

cional de conservacion de la energıa. Se asumira en este tra-

bajo que la temperatura es constante a traves del fluido. Bajo

*[email protected]



Rev.Col.F ıs., Vol. 43, No. 2 de 2011.

estas condiciones, las ecuacion que tendremos en cuenta es:

∂ 2u

∂ 2y +

∂ 2u

∂ 2z =

1

ρ

∂P

∂x = cte, (1)

sujeto unicamente a la condicion de no deslizamiento u = 0,

para todas las paredes del ducto. Definiendo el cambio devariable

y∗ = y

h y z∗ =

z

h, (2)

donde h es el diametro hidraulico del ducto y definiendo

u∗ = ρu

h2(−dP dx

), (3)

la ecuacion 1 se transforma en

∇∗2(u∗) = −1 (4)

sujeto a la condicion u∗ = 0 en todos los puntos de la fron-

tera [1]. Con estas condiciones, se puede hallar la velocidad

del fluido y el caudal del mismo.

2. Seccion rectangular

Fig. 1: Geometrıa del ducto rectangular

Dada la geometrıa del problema vemos que la ecuacion a

resolver para nuestra seccion de prueba rectangular se trans-

forma a una ecuacion de Poisson que puede ser resuelta

por varios metodos, pero en este trabajo, se resolvera por

el metodo de las funciones de Green, el cual consiste en ha-

llar la correspondiente funcion de Green para la geometrıa

en cuestion, en este caso rectangular.

3. Funcion de Green para la configuracion rectangulo

En general tenemos que la funcion de Green G, satisface

∇2G(y, z; y, z) = −4πδ (y − y)δ (z − z), (5)

con la condicion de Dirichlet sobre la superficie G|0 = 0, es

decir

G(y = −a) = G(y = a) = G(z = −b) = G(z = −b) = 0.(6)

Utilizando separacion de variables para resolver la ecua-

cion (5) tenemos

G(y, z; y, z) = f (y, y)g(z, z). (7)

Si y

= y, entonces ∂ 2

∂y 2 +

∂ 2

∂z 2

f (y, y)g(z, z) = 0. (8)

Usando el metodo estandar de separacion de variables:

∂ 2

∂y 2f + f m2 = 0,

∂ 2

∂z 2g − gm2 = 0 (9)

y con las condiciones de frontera de Dirichlet propuestas an-

teriormente, tenemos

f (y, y) = A cosnπy

2a (10)

Ası, la solucion parcial al problema es

G(y, z; y, z) =∞

n=impar

Ag(z, z)cosnπy

2a

(11)

Sustituimos en la ecuacion inhomogenea para G y utilizando

la relacion de completez para la funcion delta

δ (y, y) = 1

a

∞n=impar

cosnπy

2a

cos

nπy

2a

(12)

la funcion de Green se puede expresar como:

G(y, z; y, z)

= 1

a

∞n=impar

cosnπy

2a

cos

nπy

2a

gn(z, z), (13)

donde ∂ 2

∂z 2 −

nπ

2a

2g(z, z) = −4πδ (z − z). (14)

Con las condiciones gn(z,−b) = gn(z, b) = 0, si y = y ,

∂

2

∂z 2 −

nπ2a

2

g(z, z) = 0, (15)

cuya solucion es

gn(z, z) = C cosh

nπy

a

+ D senh

nπy

a

. (16)

Para y < y se cumple G = 0 en y = −b, gn =α senh

nπa

(y< + b)

. Para y > y se cumple G = 0 en

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C. Calder on, R. Mart ınez, D. Rodr ıguez, G. Rodr ıguez: C alculo Del Perfil De Velocidades Y El Caudal En Un Ducto Rectangular

y = b, gn = α senhnπa

(b − y>)

. Ası para ambas regio-

nes

gn = C senhnπ

a (y< + b)

senh

nπ

a (b − y>)

. (17)

Para evaluar C, integramos la ecuacion diferencial

dgndz

z=z−

z=z−− (

nπ

a )2

z=z−z=z−

gn(z, z)dz = −4π. (18)

La integral de la ecuacion anterior se anula en el lımite cuan-

do → 0 dado que esta integral es el area bajo la curva gn.

Para z = z + tenemos z > z luego z< = z y z> = z.Para z = z − tenemos z < z luego z< = z y z> = z ,

entonces

C n = 8a

n senh 2nπba

. (19)

Ası la funcion de Green para la geometrıa del problema

esta dada por

G(y, z; y, z) =

8

∞n=1,3,5...

senhnπ2a

(z< + b)

senhnπ2a

(b− z>)

n senhnπba

×

cosnπy

2a

cos

nπy

2a

. (20)

4. Velocidad del flujo en un ducto rectangular

La solucion general a la ecuacion Poisson es

u(y, z) =

V

G(y, z; y, z)dV +

us(y, z)

∂G

∂nda. (21)

Dado que sobre la superficie tendremos la condicion

us(y, z) = 0, la segunda integral se anula; ası la solucion

a nuestra ecuacion es

u∗(y, z) =

V

G(y, z; y, z)dydz. (22)

Para hallar u(y, z) sustituimos la funcion de Green encon-

trada. Los lımites de integracion son −a < y < a y−b < z < b, i.e.,

u∗(y, z) =

8∞

n=1,3,5...

a−a

b−b

cosnπy

2a

cos

nπy

2a

×

senhnπ2a

(z< + b)

senhnπ2a

(b − z>)

n senhnπba

dydz. (23)

Sea −b < z < z y z < z < b, ası la integral queda

u∗(y, z) = 8

∞n=1,3,5...

1

n senh

nπba

×

a−a

cos

nπy2a

cos

nπy

2a

z−b

senh

nπ2a

(b − z)×

senhnπ

2a(z + b)

dz +

bz

senhnπ

2a(b − z)

×

senhnπ

2a(z + b)

dzdy

. (24)

Ahora evaluando las integrales para z y y, la velocidad del

fluido es

u(y, z) = 16a2

π3ρ

−

dP

dx

∞

n=1,3,5...

(−1)n−1

2 ×

1 −

cosh(nπz2a

)

coshnπb2a

cosnπy2a

n3

. (25)

El caudal esta definido por

Q =

u(y, z)dydz; (26)

integrando encontramos

Q = 4ba3

3ρ−dP

dx1 −

192a

π5

b

∞

n=1,3,5...

tanh nπb2a

n5 .

(27)

5. Aproximacion numerica

5.1. Representacion en diferencias finitas

Antes de entrar a detallar el esquema de solucion hace-

mos un reescalamiento del problema: las longitudes estaran

medidas en unidades de h y las velocidades en unidades de

velocidad incidente V 0. La ecuacion de Poisson utilizando

la representacion para la segunda derivada en diferencias fi-

nitas centradas se convierte en:

ui,j = −ryz + rz (ui+1,j + ui−1,j) +

ry (ui,j+1 + ui,j−1) , (28)

expresion que nos sirve para encontrar la velocidad del flu-

jo en el punto (i, j). Los parametros ryz , ry y rz dependen

del numero de divisiones que se realicen para la region de

interes; si el intervalo del eje y se divide en N pasos y el de

z en M entonces

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Rev.Col.F ıs., Vol. 43, No. 2 de 2011.

ry = dy2

2 (dy2 + dz2),

rz = dz2

2 (dy2

+ dz2

)

, (29)

ryz = dy2dz2

2 (dy2 + dz2),

con dy = 2a/N y dz = 2b/M . Ahora dado que hemos con-

vertido las ecuaciones diferenciales parciales en ecuaciones

en diferencias finitas haremos uso de un metodo iterativo pa-

ra hallar solucion de u en la region rectangular de la figura

1 considerando dos casos: primero el flujo libre atravesando

el ducto rectangular y en el segundo el mismo flujo atrave-

sando el canal con un obstaculo rectangular centrado.

Para la simulacion se divide la seccion rectangular

[0, 1] × [0, 0,5] en una grilla de 100 × 100 y teniendo en

cuenta la condicion de frontera de no deslizamiento sobrelas fronteras del ducto se soluciona la ecuacion (28) aplican-

do un metodo iterativo de Jacobi (mas detalles del metodo

en [7]).

Los resultados del perfil de velocidades obtenidos se

muestran en las figuras 2 y 3.

Fig. 2: Perfil de velocidades en un ducto rectangular.

Fig. 3: Perfil de velocidades en un ducto rectangular con obstaculo

rectangular. El obstaculo esta centrado y tiene de 40 % del tamano

del ducto.

Como se muestra en la figura 2, obtenemos un perfil de

velocidades parabolico, tıpico de un flujo laminar subsonico

desarrollado con una velocidad maxima U max ≈ 0,35 en

unidades reducidas.

En la figura 3, observamos que el flujo sufre estanca-

miento en la region donde esta ubicado el obstaculo, lo que

da lugar a un aumento en la velocidad del flujo alrededor del

obstaculo.

El aumento en la velocidad del flujo se puede explicar

si tenemos en cuenta la conservacion del caudal en las sec-

ciones transversales del ducto Q1 = Q2, donde Q1 es el

caudal a traves de una seccion sin obstaculo y Q2 el caudal

a traves de una seccion con obstaculo. De la definicion de

caudal promedio obtenemos que V 2 = V 1A1

A2

y como el area

transversal efectiva de Q1 es mayor que la de Q2 obtenemos

que V 2 > V 1.

6. Conclusiones

Luego de realizar este trabajo se encontro una buena

manera de solucionar analıticamente la ecuacion de Navier-

Stokes para hallar la velocidad y el caudal para un ducto

rectangular en un regimen laminar y subsonico.

Se comprendio y se utilizo el metodo de diferencias fi-

nitas con el cual se discretizo el sistema, para luego resol-

ver las ecuaciones numericamente. Se puede concluir que

mediante este metodo se puede atacar numericamente el se-

gundo caso y que para este los resultados pueden ser muy

buenos.

Referencias

[1] Frank M. White. Viscous Fluid Flow, New York,

McGraw-Hill, 1991.

[2] Frederick Sherman. Viscous Flow, New York, McGraw-

Hill, 1990.

[3] J.Tannehill, D.Anderson. Computational Fluid Mecha-

nics and Heat Transfer, Washington, Taylor & Francis,

1997.

[4] John David Jackson. Electrodinamica Clasica, Madrid,

Ed. Alhambra, 1980.

[5] O. K. Gustav Tietjens, L. Prandtl. Fundamentals of

Hydro- and Aeromechanics, New York y Londres,

MacGraw-Hill, 1934.

[6] John Anderson. Fundamentals of Aerodynamics, New

York, MacGraw-Hill, 1984.

[7] C. Hirsch, Numerical Computation of Internal and Ex-

ternal Flows V1, John Wiley, 1988.

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