Calculo Vectorial Turbinas

CALCULO VECTORIAL

UNIVERSIDAD POLITECNICA SALESIANA 2014-06-04Juan Faicn ([email protected]),Guido Quintua ([email protected]), Xavier Tenesaca ([email protected]), Jonathan Tenesaca ([email protected]).

11. IntroduccinEn el siguiente informe se dan a conocer los resultados del proyecto de aplicacin sobre la optimizacin de turbinas hidrulicas, tema tomado del libro de James Stewart. La razn de resolver este problema fue el de aplicar los conocimientos aprendidos en clase como los multiplicadores de Lagrange y a su vez utilizando software matemtico para su desarrollo.2. Desarrollo de contenidos

2.1. Rio Penobscot [1]El ro Penobscot (en ingls: 'Penobscot River') es un ro de la vertiente Atlntica de los Estados Unidos, que con una longitud de 563 kilmetros es el segundo ro ms largo del estado de Maine y el ms largo de los ros que discurren en su totalidad por dicho estado. Su cuenca hidrogrfica tiene una superficie de 22.300 km.El ro Penobscot se forma por la confluencia de cuatro ramales en varios lagos de la zona central de Maine, y fluye generalmente en direccin este. Despus de la unin del ramal West Branch con el East Branch en Medway (453614N 683152O), fluye unos 140 km al sur, ms all de la ciudad de Bangor, donde se convierte en navegable. Desemboca en el ocano Atlntico en la baha de Penobscot. El gobierno de Estados Unidos mantiene tres medidores de caudal en el ro Penobscot: el primero est en el ramal East Branch, en Grindstone (un asentamiento no incorporado aproximadamente a 10 millas al sur de Stacyville (454349N 683522O) donde el ro drena una cuenca de 2.810 km. El caudal aqu ha oscilado entre 400 y 1.300 pies cbicos por segundo.1 El segundo est en West Enfield (451412N 683857O), con una cuenca de 17.280 km y un caudal aqu entre 4.410 a 9.660 pies cbicos por segundo.2 El tercero est en Eddington (451412N 683857O), 0,64 km aguas abajo de la presa Veazie, con una cuenca de 20.110 km.

Figura 1. Mapa de la cuenca del ro Penobscot2.2. Turbinas Hidrulicas. [2]La turbina hidrulica convierte la energa del agua en movimiento, es decir, en energa mecnica que es aprovechada por el generador.Uno de los aspectos fundamentales para optimizar un proyecto hidroelctrico es lograr la seleccin adecuada del tipo, cantidad, velocidad, dimensiones geomtricas y principales caractersticas de funcionamiento de las turbinas a ser instaladas.Los tipos de turbinas comnmente utilizados son los siguientes: Turbinas KaplanOperan con cadas menores a los cuarenta metros y grandes caudales. Se caracterizan por tener labes con doble regulacin que permiten lograr un rendimiento estable en un rango de operacin amplio. Dentro de este tipo se pueden mencionar dos variantes: hlice, que tiene labes fijos y un rango de operacin ms estrecho; y bulbo, que son convenientes para cadas bajas, hasta veinte metros, y grandes caudales.

Figura 2. Turbina Kaplan Turbinas FrancisOperan en cadas medias, aproximadamente de treinta a seiscientos metros. Estas se caracterizan por su confiabilidad, simpleza y eficiencia. Como caso particular se puede mencionar las turbinas-bomba, que se utilizan en centrales de acumulacin por bombeo. Las turbinas-bomba permiten bombear agua desde un reservorio inferior hasta uno superior en las horas de bajo consumo, para luego generar energa en las horas pico. De este modo producen una mayor uniformidad en el diagrama de carga del sistema de suministro de energa elctrica, evitando el sobre equipamiento y el consumo de combustibles de hidrocarburos de alto costo.

Figura 3. Turbina Francis Turbinas PeltonOperan en saltos muy altos, a partir de doscientos hasta dos mil metros. Se disean como una turbina de impulso que utiliza la energa del flujo de agua para producir el movimiento de rotacin que finalmente es convertido en electricidad.

Figura 4. Turbina Pelton2.3. Multiplicadores de Lagrange [3]Se trata el mtodo de Lagrange para maximizar o minimizar una funcin general f(x, y, z) sujeta a una restriccin, o condicin lateral, de la forma g(x, y, z) = k.Explicacin del fundamento terico del mtodo de Lagrange para funciones de dos variables. Primero, se calculan los valores extremos de f(x,y) sujeta a una restriccin, o condicin lateral, de la forma g(x, y) = k. Hay que buscar los valores extremos de f(x, y) cuando el punto (x, y) est restringido a quedar en la curva de nivel g(x, y) = k.Maximizar f(x, y) sujeta a g(x, y) = k es encontrar el valor ms grande de c tal que la curva de nivel f(x, y) = c corte a g(x, y) = k. Esto sucede cuando las curvas se tocan apenas, es decir cuando tienen una recta tangente comn. Significa que las rectas normales en el punto (x0, y0) donde se presentan son idnticas. De modo que los vectores gradiente son paralelos para un escalar . (1)Este razonamiento tambin se aplica al problema de encontrar los valores extremos de f(x, y, z) sujeta a la restriccin g(x, y, z) = k. Por lo tanto, el punto (x, y, z) est restringido a estar ubicado en la superficie de nivel S con ecuacin g(x, y, z) = k. Considere las superficies de nivel f(x, y, z) = c y argumente que si el valor mximo de f es f(x0, y0, z0) = c, entonces la superficie de nivel f es f(x0, y0, z0) es tangente a la superficie de nivel g(x, y, z) = k, y de este modo lo vectores gradiente correspondientes son paralelos.Para determinar los valores mximos y mnimos de f(x, y, z) sujeta a la restriccin g(x, y, z) = k, suponiendo que estos valores existan y que se encuentre en la superficie g(x, y, z) = k.a. Determine todos valores de x, y, z y tal que

(2) (3)

b. Evale f en todos los puntos (x, y, z) que resulten del paso (a). El ms grande de estos valores es el valor mximo de f, el ms pequeo es el valor mnimo de f.2.4. La Ecuacin de Bernoulli [4]La integracin de la ecuacin para una densidad constante de cmo resultado la ecuacin de Bernoulli: (4)La constante de integracin (conocida como la constante de Bernoulli) generalmente vara de una lnea de corriente a otra, pero permanece constante a lo largo de una lnea de corriente en flujo permanente, sin friccin e incompresible. Estas cuatro suposiciones son necesarias y se deben tener presentes al aplicar esta ecuacin. Cada trmino tiene dimensiones de (L/T)2 o unidades de metros-newtons por kilogramo (5)Debido a que 1 N = 1kg*m/s2. Por consiguiente la ecuacin 2 se interpreta como energa por unidad de masa. Cuando sta se divide por g, (6)Puede interpretarse como energa por unidad de peso, metros newtons por newton (o pies-libra por libra). Esta forma es particularmente conveniente para desarrollar problemas de lquidos con una superficie libre.Cada uno de los trminos de la ecuacin de Bernoulli puede interpretarse como una forma de energa disponible. Esta ecuacin tambin se conoce como la ecuacin de conservacin de la ecuacin de conservacin de momentum. Las prdidas de energa debidas a la friccin y a la transferencia de calor solamente pueden incorporarse a la ecuacin diferencial de energa completa, la cual se analiza en la siguiente seccin.Al aplicar la ecuacin 3 a dos puntos sobre una lnea de corriente, (7) (8)Esta ecuacin muestra que lo importante es la diferencia en energa potencial, energa de flujo y energa cintica. Por consiguiente, es independiente del nivel de referencia particular, al igual que la diferencia en la elevacin de los puntos. Similarmente, es la diferencia en las cabezas de presin, expresada en unidades de longitud del fluido fluyendo, y no se altera por la presin de referencia particular seleccionada. Debido a que los trminos de velocidad son no lineales, su nivel de referencia es fijo. 3. Desarrollo del ProyectoLa Great northem Paper Company de Millinocket. Maine. Opera una estacin hidroelctrica generadora de energa elctrica en el ro Penobscot. El agua es enviada por tubera desde una presa hasta la estacin generadora. El caudal del agua es variable y depende de las condiciones externas.La estacin generadora de energa elctrica cuenta con tres turbinas hidroelctricas distintas, cada una con una funcin de potencia (nica) y conocida que da la cantidad de energa elctrica generada como una funcin del flujo de agua que llega a la turbina. El agua que entra se puede repartir en volmenes distintos para cada turbina, de modo que el objetivo es determinar de qu manera distribuir el agua entre las turbinas para lograr la produccin mxima total de energa Con cualquier caudal.Al aplicar la evidencia experimental y la ecuacin de Bernoulli, se determinaron los siguientes modelos cuadrticos para la salida de energa elctrica de cada turbina, de acuerdo con los caudales admisibles de operacin:KW1 = (-18.89+0.1277Q1-4.08*10-5*(Q1)2)*(170-1.6*10-6* (QT)2) (9)KW2 = (-24.51+0.1358Q2-4.69*10-5*(Q2)2)*(170-1.6*10-6* (QT)2) (10)KW3 = (-27.02+0.1380Q3-3.84*10-5*(Q3)2)*(170-1.6*10-6* (QT)2) (11)250 Q1 1110250 Q2 1110250 Q3 1225DondeQi = flujo por la turbina i en pies cbicos por segundo KWi= energa elctrica generada por turbina i en kilowatts. QT= flujo total por la estacin en pies cbicos por segundo.3.1. Si las tres turbinas se utilizan se desea determinar s flujo Qi para cada turbina que generar la produccin mxima total de energa. Las restricciones son que los flujos deben Sumar el flujo total que entra y se deben observar las restricciones del dominio dadas. En consecuencia, use multiplicadores de Lagrange para hallar los valores para los flujos individuales (como funciones de QT) que maximicen la produccin total de energa KW1+ KW2+ KW3 sujeta a las restricciones Q1+Q2 +Q3=QT y a las restricciones de) dominio en cada Qi.

Funcin a maximizar

Restriccin

(12)

(13)

(14)

Despejamos

(15)

Remplazamos (15) en (12), (13) y (14)

Flujo que generan la produccin mxima total de energia

(16) (17) (18)

3.2. Para qu valor de QT, su resultado es vlido?Lmites de

Lmites de

Lmites de

El dominio comn ser

3.3. En el caso de un flujo que entra de 2 500 pies3/s. determine la distribucin para las turbinas y compruebe que sus resultados son en efecto un mximo (tratando algunas distribuciones cercanas.)Si

Remplazando los y en (9), (10) y (12)

Cambiando los datos de los


Cambiando los datos de


Las distribuciones cercanas a las halladas no son ptimas por que estn debajo de la distribucin encontrada la cual si es efectiva.

3.4. Hasta ahora ha supuesto que las tres turbinas estn funcionando. Es posible en algunas situaciones que se pueda producir ms energa elctrica usando slo una turbina? Haga una grfica de las tres funciones de potencia, y con ayuda de ellas decida si un flujo que entra de 1000 pies3/s se debe distribuir entre las tres turbinas, o se debe guiar a slo una. Si usted encuentra que slo una de las turbinas se debe usar, cul sera?) Y si el flujo es de slo 600 pies3/s?

Figura 5. Graficas de cada una de las diferentes turbinas utilizadas Si lo remplazaramos en (16), (17) y (18) por lo tanto:

Entonces encontramos (9), (10) y (11) con

Produciendo energa con una sola turbina sera ms eficiente que con el ft3/s porque si utilizaramos solamente la tercera turbina est producira 12222.47 kilovatios este dato fue comparado en la Figura 5.Si lo remplazaramos en (16), (17) y (18) por lo tanto:


Podramos utilizar solo una turbina, ayudndonos de la grfica se ve que la turbina 1 puede ser mejor utilizada si la corriente fuera de 600ft3/s, las misma que nos entregara 7292.34 kilovatios.

Figura 6. Graficas de cada una de las diferentes turbinas utilizadas

3.5. Tal vez para algunos niveles de flujo sera ventajoso usar dos turbinas. Si el flujo es de 1800 pies3/s. cul par de turbinas recomendara usar? Mediante los multiplicadores de Lagrange. Determine como debe distribuir el flujo entre las dos turbinas para maximizar la energa producida. En relacin con este flujo, el uso de dos turbinas es ms eficaz que usar tres turbinas?Si lo remplazaramos en (16), (17) y (18) por lo tanto:


Usando las tres turbinas nos da una potencia de 16538.6 kilovatios.Hay tres combinaciones de las turbinas a considerar. Turbinas 1 y 2QT ser la suma entre (12) y (13) (19)Despejamos de (19) (20)Reemplazando (20) en (12) y (13)

Si (21) (22)Sustituyendo y (21) en (9)

Sustituyendo y (22) en (10)

Turbinas 1 y 3QT ser la suma entre (12) y (14) (23)Despejamos de (23) (24)Reemplazando (24) en (12) y (14)



Turbinas 2 y 3QT ser la suma entre (13) y (14) (27)Despejamos de (27) (28)Reemplazando (28) en (13) y (14)



Por lo tanto la combinacin de las turbinas 1 y 3 entregara la mayor energa generada.

3.6. Si el flujo que entra es de 3400 pies3/s, qu le recomendara a la compaa?Un flujo de 3400 ft3/s supera la capacidad de cada turbina. Se tendrn que combinar las tres turbinas para poder manejar el flujo.Se utilizara la turbina 3 en totalidad por si capacidad da 1225 ft3/s, el flujo restante se distribuir entre las turbinas 1 y 2, la cantidad restante de 1087.5.Como se vio en la pregunta 3.2, las turbinas tendrn un dominio general de .La corriente ser demasiada para el sistema de turbinas.Se usara el dominio mximo del sistema de 3 turbinas, donde se maximizara una turbina y la corriente restante se distribuir a las otras dos turbinas.Segn la pregunta 3.2, nos indica que la turbina 3 se maximizara primero por lo tanto:

La turbina 3 se maximizara cuando la corriente total es igual a 3231.23. La corriente restante es 168.79 y ser utilizada en las turbinas 1 y 2.En la pregunta 3.3 se consider la combinacin de la turbina 1 y 2, por lo tanto:

Reemplazando en: Calculando la corriente total por cada turbina. Tomando los flujos del problema 3.1 con una = 3231.23Reemplazando en (16), (17) y (18)

Sumando a estas las corrientes secundarias:

El valor mximo de la turbina 1 es menor que el valor mximo admisible de la turbina 1, por lo tanto su flujo ser maximizado.La recomendacin sera que debern distribuir los flujos mximos permisibles para las turbinas 1 y 3.

Con esto se logra el funcionamiento de las tres turbinas, trabajando con un caudal de 3400ft3/s.4. Conclusin El presente trabajo nos fue de gran ayuda para tratar de comprender el amplia gama del clculo vectorial en la vida diaria o problemas puntuales.Los multiplicadores de Lagrange juegan un papel muy importante al momento de querer optimizar cualquier elemento funcin.5. Referencias[1] Rio Penobscot [en lnea], disponible en: http://es.wikipedia.org/wiki/R%C3%ADo_Penobscot[2] Turbinas Hidrulicas [en lnea], disponible en: http://www.impsa.com/es/productos/impsahydro/SitePages/turbinas.aspx[3] James Stewart,Calculo de varias variables Trascendentes tempranas, 7ma. Ed. pp. 957 959[4] Vctor L. Streeter, Mecnica de Fluidos, 9na. Ed. pp. 205 206

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