CÁLCULOS DOS TEMPOS DE AVANÇO TL E DE … · Para resolver este problema torna-se necessário escrever a equação do balanço de volume para dois pontos da trajetória do avanço,

CÁLCULOS DOS TEMPOS DE

AVANÇO TL E DE INFILTRAÇÃO TR

TITICO DE SOUZA

08/01/2007

RETROSPECTIVA 2006

• Etapas de um projeto por sulcos convencionais:

1. Vazão máxima não-erosiva

2. Número mínimo de sulcos por lote

3. Cálculo do número de sulcos total

4. Número de lotes

5. Alternativas de Layout

6. Cálculo do tempo de infiltração da lâmina requerida TR

7. Cálculo do tempo de avanço - TL

8. Cálculo do tempo de irrigação

9. Cálculo da Eficiência de irrigação

• Sabemos que existe um procedimento de cálculo que permite

determinar os valores de TL, para cada QS, em cada situação de

infiltração, pela equação abaixo:

• Este procedimento de cálculo é um pouco complexo. Além do mais,

existe um procedimento de cálculo, também um pouco complexo,

para determinar o tempo de infiltração da lâmina requerida (Tr), para

cada situação de infiltração, pela equação abaixo:

a

r r 0 rZ kT f T

RETROSPECTIVA 2006

a 0 L0 L Y 0 Z L

f T XQ T S A X S kT X

(1 r )

Métodos de cálculo de TL e TR

• Há duas maneiras de encontrar TL e TR:

1. Por tentativa e acerto

2. Por cálculo numérico: Método de Newton-Raphson

Métodos de cálculo de TR

• Exemplo com TR

1. Por tentativa e acerto

a

r r 0 rZ kT f T

req

0,534

req 0,00022T0,0028T=0,15


2. Por cálculo numérico: Método de Newton - Raphson

• Suponha que desejamos estimar a solução (ou raiz) r de uma

equação f(x) = 0. Se uma primeira tentativa é, digamos x1, então

a figura seguinte sugere que uma melhor estimativa de r pode ser

x2, o ponto no qual a reta tangente à curva no ponto (x1, f(x1))

corta o eixo dos x.

• Para encontrar x2 explicitamente, observe que a declividade da

reta tangente em (x1, f(x1)) é:

Tanf X

X X

( )

( )

1

1 2


• A declividade da reta tangente é dada, também, pela derivada da

função avaliada em x1, ou seja, f '(X1). Portanto,

• Assim, podemos explicitar a equação para x2, uma melhor

estimativa de r,

• que é válida se f '(x1) for diferente de zero.

f Xf X

X X( )

( )

( )1

1

1 2

X Xf X

f X2 1

1

1

( )

( )


• Use o método de Newton para estimar a raiz quadrada de 3, que é

a raiz positiva de x2 - 3 = 0

• Solução: Neste caso, temos a função f(x) = x2 – 3 e sua derivada é

f ’(x) = 2x.

• De acordo com a equação de Newton-Raphson, se fizermos x1 = 2,

então:

X Xf X

f XX

X

X

X X2 1

1

11

12

1

1 13

2

3

2

( )

( )

/

X2

2 3 2

2175

/,


• Para uma melhor estimativa de 3, repita usando 1,75 ao invés

de 2. Portanto,

• que é a terceira estimativa com 5 decimais.

• Se repetirmos o processo mais uma vez, temos:

• Em resumo, pode-se estabelecer uma fórmula recursiva.

XX X

32 23

2

175 3 175

2173214

/ , / ,,

XX X

43 33

2

173214 3 173214

21732051

/ , / ,,


• FÓRMULA RECURSIVA PARA O MÉTODO DE NEWTON

• Seja r uma raiz de f(x) = 0 e xi uma estimativa de r tal que f'(x) 0.

Uma melhor estimativa pode ser obtida pela seguinte fórmula:

• O processo de cálculo usando a equação anterior deve ser repetido

até que:

• onde M é um valor preestabelecido, dependendo da acuralidade

que se quer obter (ex. M = 0,001).

X Xf X

f Xi i

i

i

1

( )

( )

X X Mi i 1


• SOLUÇÃO DO PROBLEMA DA IRRIGAÇÃO POR SUPERFÍCIE

• Voltemos agora ao problema de determinação do tempo de

infiltração, Tr, da lâmina aplicada na irrigação por superfície, dada

pela equação de Kostiakov modificada. Usaremos o método de

Newton para a solução da equação:

• A função é , cuja derivada é:

r

0,534

r 0,00022T0,0028T=0,15

a

r r 0 rZ kT f T

0

a fakTIdT

dZ 1


• que é a taxa de infiltração,

• Agora, seguiremos o seguinte procedimento:

• (a) Fazer uma estimativa inicial de Tr, com Tr = Tri

• (b) Avaliar a função e a derivada e calcular um valor revisado de

Tr,

foT

ak

foTkT-ZT)(T

a-1

r

r

a

rr

r1+ir

i

ii

i

0,00022+0028)T(0,534)(0,=I 1-0,534


• (c) Comparar Tr com Tri+1

• Se são iguais, dentro de uma tolerância, encontramos a solução,

Tri+1. Caso contrário, fazer Tri

= Tri+1 e repete (b) e (c).

• No presente exemplo:

• (a) T1 = 300 min, ou seja, Tri = 300 min

• T2 = 300 + 77,35 = 377,35 min

• Repetindo o processo para T1 = 377,35 min, temos:

(b) T2

300

0 15 0 0028 300 0 00022 300

0 534 0 0028 300 0 00022

0 534

0 534 1

, , ( ) , ( )

( , )( , )( ) ,

,

,


• T2 = 378,73

• Nova repetição, T2 = 378,73 min.

T2

377 35

0 15 0 0028 377 35 0 00022 377 35

0 534 0 0028 377 35 0 00022

0 534

0 534 1,

, , ( , ) , ( , )

( , )( , )( , ) ,

,

,

Métodos de cálculo de TL

• Exemplo com TL – Método do Balanço de Volume

• A equação do balanço de volume para a irrigação por superfície,

em qualquer tempo, é expressa da seguinte forma:

• A trajetória do avanço é dada, também, por uma equação do tipo

exponencial:

XTfσ+kTσ+XAσ=TQ xo'z

axzoyxo

rxpT=X


• A equação do balanço de volume contém duas incógnitas: Tx e r.

Para resolver este problema torna-se necessário escrever a

equação do balanço de volume para dois pontos da trajetória

do avanço, pela metodologia de Eliot e Walker (1982),

computando Tx para a metade do comprimento do sulco e para o

comprimento total. Assim, a equação do balanço de volume

escrita para a metade do avanço é:

• e para o final do sulco:

2

LTfσ+

2

LkTσ+

2

LAσ=TQ 0,5Lo

'

z

a

0,5Lzoy0,5Lo

LTfσ+LkTσ+LAσ=TQ Lo'z

aLzoyLo


• Os fatores de forma são calculados pelas seguintes equações:

• Para sulcos e faixas em declive, antes de determinar o avanço

ao final do campo é necessário calcular a vazão máxima não-

erosiva:

r1

1σe

a)r)(1(1

1a)-r(1aσ '

zz

1

1

5,0

01

max22

60

.

S

VQmax


• Para o cálculo da área de fluxo utiliza-se a equação abaixo:

• Para o caso de declividade zero, a equação para calcular a área

de fluxo é a seguinte:

2

1

5,0

01

0

60

.

S

QA0

13

32

0

3600

. xQA0


• Procedimento de cálculo de TL

1. Estimar um valor inicial para o expoente da equação potencial de

avanço, r1, com valor entre 0,4 a 0,6;

2. Calcular os fatores de forma do perfil sub-superficial z e ’z ;

3. Calcular o tempo de avanço ao final da parcela (TL) pelo método

numérico de Newton – Raphson;

3.1. Estimar um valor inicial para TL = T1;

0

01

5

Q

LAT


3.2. Estimar um novo valor para TL com TL= T2 pela Equação de

Newton - Raphson;

3.3. Comparar o valor estimado de TL com o inicial:

T1 = T2 ?

Sim! TL = T2

Não! Repete o procedimento 3.1 a 3.3.

LfLkT

Q

LTfLkTLATQTT

z

a

z

z

a

z

0

'1

10

10

'

101012

1

77,0


4. Calcular o tempo de avanço à metade da parcela, x = 0,5 L pelo

método numérico de Newton – Raphson;

4.1. Estimar um valor inicial para T0,5L = TL;


4.2. Estimar um novo valor para T0,5L com T0,5L= T2 pela Equação de

Newton - Raphson;

4.3. Comparar o valor estimado de T0,5L com o inicial:

T1 = T2 ?

Sim! T0,5L = T2

Não! Repete o procedimento 4.1 a 4.3.

LfLkT

Q

LTfLkTLATQTT

z

a

z

z

a

z

5,05,0

5,05,05,077,0

0

'

1

10

10

'

101012


5. Calcular um novo valor de r = r2 com a seguinte equação:

5.2. Comparar o valor estimado de r2 com o inicial, r1:

r1 = r2 ?

Sim! procedimento está terminado e o valor de TL é aquele

determinado no ítem 3.

Não! Repete o procedimento de 2 a 5 com r = r2.

L

L

T

Tr

5,0

2

log

2log

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