Signaux a passe-bande

• enveloppe complexe :

– composantes en phase et en quadrature,

– enveloppe, frequence instantanee,

• filtre equivalent en bande de base

• demodulation synchrone

• Processus aleatoires au second ordre.

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Enveloppe complexe

x(t) reel, centre (absence de composante continue) et donc X(f) = X∗(−f).

signal analytique:

Zx(f) = 2X+(f) = 2X(f)U(f) ⇔ zx(t) = x(t) + jx(t)

ou x(t) s’obtient par filtrage de x(t) par le filtre de gain complexeG(f) = −jsigne(f).

enveloppe complexe par rapport a f0:

xb(t) = zx(t)e−2jπf0t ⇔ Xb(f) = Zx(f + f0), et donc :

x(t) = Re(xb(t)e2jπf0t)

exemple:x(t) = a(t) cos(2πf0t)

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Composantes en phase et quadrature, etc

phase et quadrature:xb(t) = px(t) + jqx(t) ⇔ x(t) = px(t) cos(2πf0t)− qx(t) sin(2πf0t)

enveloppe et phase:xb(t) = ax(t)ejθx(t) ⇔ x(t) = ax(t) cos(2πf0t + θx(t))ax(t) = |zx(t)| independant de f0.

frequence instantanee

fi(t) = 12π

dθx(t)dt

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Filtre equivalent en bande de base

y(t) = h(t) ? x(t) ⇔ yb(t) = xb(t) ? hb(t)

ou

Hb(f) = H+(f + f0)

Enfiny(t) = Re(yb(t)e2jπf0t)

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Demodulateur synchrone

x(t), y(t) deux signaux reels, centres, dont la puissance est localisee autour def0 dans une bande B < f0.

x(t)× y(t) suivi d’un filtrage passe-bas −→ s(t) =12Re(xb(t)y∗b (t))

Exemples :

• y(t) = 2 cos(2πf0t + φ)

• x(t) = Ax cos(2πf0t + φx(t)) et y(t) = Ay sin(2πf0t + φy(t))

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Processus stationnaires au second ordre

x(t) processus aleatoires reels, centres, stationnaires au second ordre.

x(t)−→zx(t) = hFA(t) ? x(t)−→xb(t) = zx(t)e−2jπf0t = px(t) + jqx(t)

x(t) = Re(xb(t)e2jπf0t) = px(t) cos(2πf0t)− qx(t) sin(2πf0t)

• SXb(f) = S+

x (f + f0),

• px(t) et qx(t) ont meme d.s.p. qui s’obtient en : ...

• E [p2

x(t)]

= E[q2x(t)

]= E

[x2(t)

]= 1

2E[|xb(t)|2

]

• E [px(t)qx(t)] = 0

• E [px(t1)qx(t2)] = 0 si S+x (f + f0) est paire.

• x(t) gaussien alors ...

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