3

Cap. 1. Structuri de baza si metode de proiectare

1.1. Structuri de reglare si metode de proiectare

Realizarea unui “produs” de calitate impune "conducerea procesului" in care se elaborează produsul respectiv (în particular proces tehnic, proces tehnologic şi asimiliabile). Procesele tehnice se desfăşoară în instalaţii tehnologice. Procesele pot fi conduse în două moduri:

• manual – prin interventia nemijlocită şi adeseori continuă a unui operator uman,

• automat – prin utilizarea unor echipamente dedicate conducerii, denumite echipamente de automatizare (EA).

Ansamblul constructiv-funcţional de echipamente realizat în vederea conducerii se numeşte dispozitiv de conducere (DC).

Actiuni de conducere. Conducerea unui proces (tehnic, tehnologic, de laborator ş.a.) presupune efectuarea următoarele tipuri de acţiuni de conducere:

• Acţiuni de comandă (C): elaborarea de comenzi logice – combinaţionale şi secvenţiale – care se întâlnesc in toate acţiunile de conducere; ele pot fi şi specifice unor anumite tipuri de procese (de exemplu semaforizarea unei intersecţii); studiul teoretic şi aplicativ al unor astfel de acţiuni se face în cadrul disciplinelor de "sisteme cu evenimente discrete";

• Acţiuni de reglare (R): reglarea (controlul) parametrilor tehnologici (temperatură, presiune, viteză, poziţie, nivel, concentraţie …); – prin astfel de acţiuni se "controlează" evoluţia mărimilor caracteristice ale unui proces dinamic - obişnuit cu variaţie continuală în timp; acţiunea urmăreşte asigurarea evoluţiei dorite pentru aceste mărimi;

• Acţiuni de supervizare (supraveghere) (S) a funcţionării sigure, de detectare a defecţiunilor şi de monitorizare a desfăşurării procesului: – urmărirea şi monitorizarea desfăşurării procesului (sistemului), detectarea defecţiunilor şi înlăturarea acestora prin sistemele de protecţie diagnoză, asigurarea redundanţei conducerii în vederea funcţionării sigure a procesului.

A. Structura generala a unui Sistem cu Conducere Automata

Activitatea de conducere implică existenţa celor două subsisteme: - subsistemul condus sau procesul condus (instalaţia tehnologică) abreviat PC, - subsistemul de conducere, care este denumit dispozitiv de conducere (DC).

Structura principială a sistemului rezultat prin interconectarea celor două subsisteme, sistemul

cu conducere automată (SCA), este prezentată în fig.1.1-1 [23], [46]. Interconectarea se realizează prin intermediul perifericelor de proces. Denumirea se referă la:

- perifericele de interconectare tradiţională DC-PC: echipamentele de intervenţie în proces sau elementele de execuţie (EE) şi echipamentele de măsură (EM); atât funcţional cât şi în caracterizare matematică aceste periferice sunt parte a procesului condus (instalaţiei tehnologice);

- perifericele de conversie a naturii informaţiei prelucrate în DC: convertoarele analog-numerice şi numeric-analogice; atât funcţional cât şi în caracterizare matematică aceste periferice sunt parte a DC.

4

Fig.1.1-1. Structura principială a unui sistem cu conducere automată.

Funcţionalitatea unui SCA este determinată de realizarea obiectivelor conducerii. În acest cadru DC trebuie să asigure realizarea corelată a următoarelor categorii de sarcini de conducere:

• Elaborarea mărimilor de comandă, văzute ca evenimente cu timp discret - secvenţiale şi combinaţionale - necesare conducerii (Comanda sistemului).

• Elaborarea comenzilor legate de reglarea parametrilor procesului (partea de Reglare a sistemului).

• Realizarea unor funcţii suplimentare, obligatorii pentru funcţionalitatea SCA:

- Interfaţarea cu alte sisteme de conducere;

- Supravegherea funcţionării şi Diagnostizarea defectelor din sistem în vederea asigurării siguranţei în functionarea PC şi SCA;

- Monitorizarea funcţionării SCA ş.a.

B. Detalierea funcţiilor de conducere ale DC aferent unui SCA complex.

Structura unui DC complex dedicat conducerii poate fi reprezentata sub forma schemei bloc din fig. 1.1-2 (marcat si cu 2.2-3). Schema are la bază logica realizării funcţiilor DC cu utilizarea unor “echipamente / module individuale” analogice sau numerice. In acest context fiecare funcţie este realizată de câte un echipament / modul functional, care poartă aceeaşi denumire cu funcţia realizată. La realizarea soluţiilor de conducere cu “echipamente numerice” funcţiile menţionate pot fi implementate în diferite maniere, de exemplu prin module software (programele se scriu in C++, in limbaje dedicate pentru conducere sau chiar in matlab.

In fig. 1.1-2 funcţiile realizate şi – corespunzător - blocurile funcţionale, numerotate de la (1) la (13), sunt detaliate atât pentru partea de “comenzi logice” (CL) asigurate de către DC cât şi pe partea de funcţii de “reglare” (R) asigurate de către DC.

Relativ la fiecare funcţie evidenţiată, se fac câteva scurte precizari.

1. Interfaţarea SCA cu un sistem de conducere ierarhic superior. În construcţîa oricărui DC funcţia este permanent prezentă; în cazurile mai simple “sistemul ierarhic superior” poate fi chiar operatorul uman.

Observaţii: în practică ierarhizarea pe nivelele şi funcţiile preluate de aceste nivele pot fi de complexitate diferită, ca de exemplu: • corelarea/ intercondiţionarea funcţionării mai multor SCA complete într-o linie tehnologică (fig.

1.1-2);

5

• repartizarea “sarcinii comune” pe mai multe SCA care funcţionează într-un anumit regim de cuplare (de exemplu, cu ieşirea comună);

• calcule de optimizare, elaborarea referinţelor, adaptarea regimului de funcţionare şi a parametrilor DC;

• funcţii manageriale, economice ş.a.

Fig.1.1-2. Schema bloc aferenta unui DC complex si a SCA complex rezultat

2. Selectarea regimului de funcţionare a DC/SCA. În practică această funcţie este obligatorie; regimuri de funcţionare frecvent implementate în cadrul unui DC sunt următoarele: • regim de conducere “automat”; • regim de conducere “manual”;

• regim de “verificări” şi “reglaje locale” în cadrul DC sau/şi PC, înainte de puneri în funcţiune, revizii ş.a.m.d.;

• alte regimuri “semnificative” pentru funcţionarea PC.

3. Asigurarea prescrierii/programării evoluţiei dorite a PC. Prin această funcţie se asigură fixarea (evolutiei in timp a) referinţelor (referinţe, prescrieri) necesare realizării obiectivelor conducerii. Observaţie: procesele tehnologice se desfăşoară cu anumite valori impuse evoluţiei mărimilor caracteristice, care pot fi constante sau pot să aibă o anumită evoluţie în timp (de exemplu după un anumit ciclu sau după o anumită traiectorie sau …) ceea ce se asigură prin funcţia menţionată.

4. Realizarea şi coordonarea acţiunilor de conducere în regim de funcţionare “manual”. În acest regim DC devine o “prelungire” sau un “aplificator” al acţiunilor unui operator uman; funcţiile de coordonare (interblocare) a diverselor acţiuni şi de supraveghere a funcţionării sigure a PC sunt în continuare preluate de către DC.

5. Realizarea şi coordonarea acţiunilor de conducere în regim “automat”. La acest nivel se realizeaza legile de reglare şi toate functiile suplimentare solicitate de reglarea procesului (la nivelul regulatoarelor) s.a..

6

6. Interfaţarea DC-PC in sensul către process, elementele de intervenţie (EI) în proces sau organe de reglare (OR) în vederea transmiterii comenzilor.

Observaţie: după cum se va vedea, o astfel de interfaţare este necesară din două motive, care se referă la:

• adaptarea naturii semnalelor din DC cu cele din cadrul EE, • adaptarea/amplificarea nivelelor energetice ale semnalelor de comandă la nivele solicitate de

intervenţiile în proces.

7. Interfaţa “dinspre proces” – către DC în vederea obţinerii informaţiilor legate de desfăşurarea PC; informaţia despre starea si evoluţia procesului este recepţionată prin intermediul traductoarelor primare (Tp); semnale captate trebuie apoi concertite si adaptate la specificul echipamentelor ce compun DC. aceste adaptări sunt de “natură inversă” ca în cazul elementelor de execuţie. 8. Calculul unor mărimi intermediare şi a informaţiilor necesare în conducere; evaluarea stărilor procesului. In cazurile mai complexe marimile dupa care se realizeaza conducerea sunt determinata pe baza unor masurari complexe, a mai multori marimi. Astfel de situatii duc la necesitatea unor senzori inzestrati cu inteligenta al carui studiu si realizare constituie un capitol special al tehnicii masurarilor si automaticii.

9. Supravegherea derulării procesului si asigurarea funcţionării sigure a PC / SCA la apariţia unor “situaţii / fenomene anormale”. Situaţiile anormale din funcţionarea PC (SCA) pot conduce (de exemplu) la avarii care trebuie evitate.

Observaţie. Dacă în funcţionarea unei maşini electrice se depăşeşte curentul nominal (de exemplu iabs = kI·in , ki>>1) ea va putea funcţiona la o astfel de “încărcare” un interval de timp limitat, ∆t1 ,după care pot apare mai multe situaţii :

• necesitatea reducerii curentului la o valoare bine precizată iM < in , • necesitatea opririi instalaţiei tehnologice, • necesitatea pornirii unor instalaţii de rezervă care să preia sarcina suplimentară, ş.a..

Situaţiile de funcţionare “normală” şi “anormală” ale diferitelor aplicaţii de conducere sunt diferite şi se tratează diferit, de la caz la caz.

10. Semnalizarea stării PC şi a funcţionării SCA în ansamblu. Prin semnalizări luminoase, acustice sau de altă natură, operatorul uman care supraveghează derularea PC va afla dacă:

• procesul / sistemul evoluează în parametrii normali (de ex. cu o lumină verde); • procesul / sistemul evoluează în regimuri speciale (de ex. cu o lumină galbenă

intermitentă); • procesul (anumite mărimi sau parametrii ai acestuia) au atins nivele de avertizare sau

chiar periculoase pentru desfăşurarea procesului (de ex. cu o lumină roşie sau roşie intermitentă).

Trebuie menţionat faptul că, încărcarea excesivă, neraţională a unui DC cu semnalizări devine deranjantă pentru operatorul care urmăreşte derularea PC.

11. Indicarea, înregistrarea, protocolarea, teletransmiterea informaţiilor relative la desfăşurarea PC, a SCA. Inregistrarea şi protocolarea informaţiilor privind derularea PC / SCA pot fi necesare din diferite motive, una din ele fiind – de exemplu – aceea legată de “reconstituirea post-avarie a istoriei/ evoluţiei trecute a PC sau SCA ”.

12. Elaborarea comenzilor logice pe baza unor condiţionări de tip combinaţionale şi secvenţiale. Derularea procesului poate fi condiţionată de evoluţia în timp (programabile din prealabil) ale unor marimi din cadrul PC sau poate fi condiţionată de “realizarea” concomitentă a unor condiţii de functionare strict impuse.

7

Observatii. 1. Partea de „comenzi logice” a uni SCA poate fi foarte detaliata, incluznd parti cu adaptare a comenzilor functie de evolutia PC. Ca exemplu se pot da comenzile sistemelor de semaforizare si dirijare a circulatiei (feroviare, rutiere). 2. Exista SCA pentru care partea de reglare (in sens clasic) este redusa sau solutionata in variante pseudo-empirice, predominand partea de comanda.

13. Alimentarea DC şi SCA cu agenţii energetici care asigură funcţionarea DC şi a SCA (electrică, pneumatică, hidraulică ş.a.). Funcţionarea oricărui DC necesită alimentarea cu energie electrică (de ex. 220 V ca); deservirea tuturor sistemelor cu conducere la nivelul unui grup energetic necesita o multitudine de agenţi energetici : energie electrică, energie hidraulică (ulei sub presiune), aer comprimat ş.a..

În cadrul acestui curs sunt prezentate aspecte legate de dezvoltarea structurilor Sistemelor de

Reglare Automată (SRA) şi a algoritmurilor de reglare automată a proceselor.

C. Metode de conducere: Conducere în circuit deschis şi conducere în circuit închis

(reglare). Structuri de sisteme de conducere automată frecvent utilizate în practică.

În definirea unei soluţii de conducere, alegerea unei anumite structuri de SCA poate poate fi supusă următoarelor puncte de vedere:

- performanţele impuse desfăşurării procesului PC, reflectate în performanţele impuse SCA,

- prezenţa perturbaţiilor (externe sau interne), - complexitatea structurii PC (complexitate, acces la mărimi măsurabile, modificări în

valorile parametrilor sau char în structură etc.), - echipamentele de automatizare disponibile ş.a.

Pentru reglarea valorilor parametrilor tehnologici ai PC (a mărimilor de ieşire / reglate ale PC) se utilizează două structuri de coducere de bază (structuri de SCA):

- Sistem de Conducere Automată în Circuit Deschis (SCA-CD), fig.1.1-3 (a); - Sistem de Conducere Automată în Circuit Închis (SCA-CI), fig.1.1-3 (b); sistemele de

conducere automată in circuit inchis care asigură realizarea funcţiei de reglare poartă denumirea de Sisteme de Reglare Automată (SRA).

Structura de sistem de conducere automată în circuit deschis (SCA-CD) (feed-forward control). Este o structură relativ frecvent întâlnită în cazurile în care conducerea propriu-zisă este atribuită unui operator uman care asigură modificarea adecvată a referinţei r. Modificarea referinţei poate fi dată şi de un generator de referinţă (echipament, program). Structura – deşi simplă – este adeseori puţin eficientă şi prezintă restricţii de utilizare prin aceea că:

- structura nu poate fi utilizată în conducerea proceselor instabile, - structura nu asigură rejecţia efectelor perturbaţiilor nici chiar constante.

Îndeplinirea parţială a funcţiei de rejecţie a efectelor perturbaţiilor externe necesită realizarea unor conexiuni suplimentare după marimea de perturbaţie. Dacă mărimea de perturbaţie este accesibilă măsurărilor se pot realiza legături de compensare de tip feed-forward rezultând SCA-CD cu compensare dupa perturbaţie, fig.1.1-3 (a), completarea cu linie punctată. În vederea îmbunătăţirii performanţelor SRA, DC poate include sub o formă sau alta modelul matematic al PC şi asigura compensarea constantelor de timp mari ale procesului (efecte anticipative sau de filtrare, compensare serie).

Structuri de sisteme de conducere automată în circuit închis (SCA-CI), fără (în fig.1.1-3 (b)) şi cu (în fig.1.1-4 (b)) conexiune de compensare după perturbaţie. Prin existenţa conexiunii de reacţie (feedback) aceste sisteme pot realiza performanţe de conducere superioare, care se manifestă prin:

8

Fig.1.1-3. SCA în circuit deschis (a) şi SCA în circuit închis (b).

Fig.1.1-4. Structura de SCA-CD (a) şi SCA-CI (b) cu compensare dupa perturbaţie

• posibilitatea stabilizării proceselor instabile, • posibilitatea realizării unor performanţe de regim permanent în raport cu referinţa r(t) sau

în raport cu perturbaţia v(t) net superioare, chiar şi în conditiile variaţiei în timp a acestor mărimi,

• posibilitatea asigurării unor performanţe severe de regim dinamic chiar şi în condiţiile modificării parametrilor procesului.

Impunerea şi testarea acestor performanţe este adeseori relativă la variaţii particulare ale intrării (referinţei, perturbaţiei). Dezvoltarea acestor structuri poate fi supusă unor condiţionări mult mai severe decât dezvoltarea SCA-CD.

D. Perturbaţiile. Funcţionarea proceselor are loc într-o permanentă interacţiune a acestora cu mediul înconjurător; acesta se manifestă asupra PC prin efecte perturbatoare (perturbaţii). Perturbaţiile care acţionează asupra procesului reprezintă ansamblul influenţelor externe sau

interne care determină abaterea evoluţiei PC de la evoluţia dorită. Matematic, aceste perturbaţii pot fi surprinse sub diferite forme. Cea mai avantajoasă formă de caracterizare a perturbaţiilor constă în surprinderea lor în modelele matematice asociate procesului (sistemului); această modalitate este specifică automaticii clasice.

În funcţie de origine perturbaţiile pot fi datorate unor cauze externe (perturbaţii exogene) sau

unor cauze interne (perturbaţii endogene). De asemeni ele pot avea diferite caractere: aleator, persistent sau cu "tendinţe" (trenduri) de evoluţie de scurtă sau de lungă durată (de exemplu de tip "off-set") ş.a..

• Perturbaţiile externe se pot clasifica după diferite puncte de vedere, în: - Perturbaţii de tip "sarcină" – care corespund "încărcărilor variabile" la care este supus

procesul în timpul desfăşurării sale (de exemplu motorul unui sistem de acţionare poate fi încărcat cu momente de sarcină diferite, funcţie de regimul de funcţionare impus);

- Perturbaţii de tip "structură" - care au ca efect modificări în structura constructiv funcţională a procesului; astfel de modificări se resimt inclusiv în structura MM aferent procesului;

- Perturbaţii "parametrice" – care au ca efect modificarea valorilor parametrilor ce caracterizează procesul (MM aferent PC);

- Perturbaţii "parazite" – care au caracter aleator sau persistent şi care se manifestă sub forma unor "zgomote" de diferite tipuri; aceste perturbaţii pot fi generate de exemplu de instalaţii tehnologice care funcţionează în vecinătatea PC / SRA în cauză.

9

• Perturbaţii interne se manifestă în interiorul procesului şi pot fi clasificate în: - Perturbaţii "parametrice" datorate adeseori uzurilor care apar în instalaţia tehnologică

ducând la deprecierea performanţelor SRA; de exemplu uzarea în lagăre determină creşterea coeficienţilor de frecare, a energiei disipate şi determină în ultimă instanţă defecţiuni în instalaţia tehnologică.

- Perturbaţii de tip "structură" - care au ca efect modificări structurale în proces, modificări care se resimt inclusiv în structura MM aferent procesului;

- Perturbaţii "parazite" – aceste perturbaţii sunt de acelaşi tip ca şi perturbaţiile parazite exterioare numai că se manifestă în / dinspre interiorul procesului.

O aceeaşi perturbaţie va putea cumula simultan mai multe atribute, adică poate fi (concomitent) de tip structură şi să aibe un caracter persistent. Menirea sistemelor de reglare automată este şi aceea de a înlătura efectele perturbaţiilor. Dependent de tipul perturbaţiilor şi de structura şi proprietăţile sistemului de reglare, efectele perturbaţiilor vor putea fi înlăturate mai mult sau mai puţin eficient. Cerinţe suplimentare privind "robusteţea" SCA la diferite acţiuni perturbatoare - externe sau interne - pot conduce la complicarea structurii SCA.

E. Structuri de sisteme de reglare automată.

Prin proiectarea unui Sistem de Reglare Automată (SRA) trebuie soluţionate problemele legate de îndeplinirea funcţiilor de reglare. Cele două aspecte ale reglăarii unui proces sunt:

- urmărirea cât mai fidelă a evolutiei referintei, w(t) sau r(t);

- rejectia efectelor unor perturbatii ce pot actiona asupra proceului; ca si actiune externa perturbatia va fi marcata cu v(t) sau d(t).

Varietatea structurilor de SRA este deosebită. În vederea dezvoltării acestor structuri sau a îmbunătăţirii performanţelor, DC poate include sub o formă sau alta şi modelul matematic al PC. În continuare vor fi prezentate cu caracter introductiv câteva structuri de bază de SRA, structuri care constituie structuri informaţionale de referinţă în abordarea metodologică a studiului acestora.

Structura de Sistem de Reglare Automată convenţională (SRA-c). Este cea mai simplă structură de SRA, numită şi buclă de reglare, cu reacţia realizată după mărimea de ieşire a PC (ieşirea reglată). În fig.1.1-5 este prezentată schema bloc informaţională şi principalele relaţii (explicitare în operaţional, în timp continuu) care caracterizează structurade SRA-c.

Fig.1.1-5. Structura unui SRA convenţională.

Semnificaţia mărimilor care apar în schema bloc este următoarea: RG – regulator (controller), PC – proces condus (plant, process), F-r – filtru de referinţă, r0 – referinţa de bază (notata si cu w0), r – referinţa (filtrată) (notata si cu r), ε – eroarea de reglare (error) , u – mărimea de comandă (control signal), y – ieşirea măsurată, v1 – perturbaţia ce acţionează pe ieşirea procesului, v2 – perturbaţia ce acţionează pe intrarea procesului (denumită şi load disturbance) (perturbatia este notata adeseori si cu d - disturbance), dm – perturbaţia ce acţionează pe canalul de măsură (notată uneori şi cu n, noise). Separarea punctului de acţiune a perturbaţiei prezentată în figură este una strict metodologică.

Relaţiile de bază care caracterizează structura de SRA sunt următoarele (relatiile sunt scrise in timp “continuu”):

10

)()()()()()()()()( 21 svsSsHsvsSsrsSsLsy P++= , (1.1-1)

)()()()()()()()()()( 21 svsSsLsvsSsHsrsSsHsu RR −−= , (1.1-2)

)()()()()()()()( 21 svsSsHsvsSsrsSs P−−=ε , (1.1-3)

)()()( 0 srsFsr = . (1.1-4)

Semnificaţia funcţiilor de transfer (f.d.t.) care apar în aceste relaţii este cea cunoscută; cu )(sS şi )(sT sunt marcate funcţia de sensibilitate şi respectiv de sensibilitate complementară

având expresiile date de relaţiile (1.1-5) - (1.1-9):

)()(1

1)(

sHsHsS

PR+= , (1.1-5)

)()(1

)()()(

sHsH

sHsHsT

PR

PR

+= , (1.1-6)

si 1)()( =+ sTsS sau )(1)( sSsT −= , (1.1-7)

)()()()( 0 sHsHsHsL PR== - f.d.t. aferentă sistemului deschis, (1.1-8)

.)()(1

1)(,

)()(1

)()(

,)()(1

)()(,

)()(1

)()()(

12sHsH

sHsHsH

sHsH

sHsH

sHsH

sHsH

sHsHsH

PR

v

PR

P

v

PR

R

u

PR

PR

r

+=

+=

+=

+=

(1.1-9)

Observaţie: Pentru f.d.t. aferente procesului condus )(sH P şi regulatorului )(sH R se utilizează şi notaţiile )(sP şi respectiv )(sC .

Sisteme de reglare automată cu reacţii după mărimi interioare ale PC, )(1 ty , sau SCA cu conexiuni suplimentare. Aceste structuri se utilizează în situaţiile în care:

- procesul are o structură mai complexă şi conducerea după mărimea de ieşire nu realizează cerinţele de calitate impuse,

- procesul conţine subsisteme a căror stabilizare locală este obligatorie.

În fig.1.1-6 sunt exemplificate două astfel de structuri cu reacţii (partiale) după mărimi interioare şi reactie principală după ieşire, structura de sistem de reglare automată în cascadă (în fig.1.1-5 (a)) şi structura de sistem de reglare automata cu acţiune convergentă (în fig.1.1-6 (b)).

Fig.1.1-6. Structura de SCA-CI (SRA) cu conexiuni suplimentare: (a) SRA in cascada; (b)

SRA cu actiune convergenta

În particular, mărimile interioare pot fi chiar mărimile de stare ale procesului, situaţie în care se obţine SRA cu reacţii după stare. Trebuie remarcat faptul că aceste structuri pot suferi complicări ulterioare solicitate de calitatea conducerii.

11

Sisteme cu reacţii după stare (SRA-x). În cazul acestor structuri mărimile interioare după care se realizează reacţiile sunt stările x(t) ale procesului. Principial pot apare două situaţii:

- toate stările PC, x(t), sunt accesibile măsurărilor conform fig.1.1-7 (a) cu BC-x – compensator după stare şi AS – amplificator sumator,

- stările PC, x(t), sunt paraţial sau total neaccesibile măsurărilor, dar evoluţia lor poate fi estimată din măsurări efectuate asupra intrării şi ieşirii PC, u(t) şi y(t), conform situaţiei din fig.1.1-7 (b) cu OS-x – observator de stare.

Fig.1.1-7. Structuri de bază de SRA-x fără (a) şi cu (b) observator de stare.

Avantajele reglării după mărimi interioare – în particular (dar şi cu tratare generală) după mărimile de stare – se pot rezuma prin următoarele:

- posibilitatea stabilizării unor procese instabile, - posibilitatea asigurării unei calităţi mai bune a sistemului de reglare automată (regim

permanent, regim dinamic, rejecţia efectelor perturbaţiilor), - realizarea unor sisteme care îşi păstrează stabilitatea şi – în anumite limite – chiar şi

performanţele la variaţii ale parametrilor PC (sisteme robuste).

Sisteme de reglare automată bazată pe model. Aceste structuri de SRA sunt caracterizate de faptul că în elaborarea comenzii se utilizează modelul matematic (MM) al PC sau un MM prin intermediul căruia se impune o anumită desfăşurare a SRA. Cele două structuri de bază reprezentative de SRA bazate pe model sunt SRA cu model intern (Internal Model Control) şi SRA cu model extern.

Sisteme de reglare automată cu DC cu parametri adaptabili (SRA adaptive). În situaţiile în care PC are structura şi / sau valorile parametrilor variabile / variabili în timp în domenii largi se utilizează SCA (SRA) cu DC (RG) cu parametri adaptabili (surprinşi în vectorul p), dependent de “situaţia” de funcţionare a PC. Există multe principii de realizare a SCA adaptive; în fig.1.1-8 sunt prezentate două astfel de structuri:

- Structura de SCA adaptivă cu model etalon (de referinţă), fig.1.1-8 (a),

- Structura de SCA adaptivă cu identificarea permanentă a PC şi adaptarea continuă a parametrilor DC (RG) conform fig.1.1-8 (b) cu DIA – dispozitiv de identificare şi adaptare.

Sisteme de Reglare Automată optimale. Respectarea unor obiective de conducere definite pe baza unor cerinte (relatii) de optim – ca de exemplu consum energetic minim, pierderi minime, evoluţie optimală în raport cu anumite variaţii particulare ale intrării (intrărilor) sau alte obiective – solicită elaborarea comenzii u(t) pe baza unui criteriu de optim bine stabilit (comandă optimală, din anumite puncte de vedere). DC care elaborează comanda optimală poartă denumirea de DC optimală.

12

Fig.1.1-8. Structuri de SCA (SRA) adaptivă.

SRA cu predicţie (Predictiv-Control). În fapt este vorba de o clasă de metode pentru care elaborarea comenzii u(t) este bazată (sub o formă sau alta) pe:

- utilizarea explicită a unui MM pe baza căruia se prezice evoluţia PC pe un orizont de timp dat (Model Predictiv Control, MPC),

- calculcul secvenţei de comandă pe baza minimizării ueni funcţii obiectiv, - translatarea orizontului de timp care stă la baza elaborării comenzii.

F. Obiectivele şi etapele proiectării unui sistem de reglare automata (SRA).

Obiectivul principal al dezvoltării unui SRA revine la realizarea unui DC (ca parte a unui DC complex ce asigură toate funcţiile de conducere) capabil să asigure cerinţele impuse desfăşurării procesului.

Proiectarea unei soluţii de SRA se reduce la două probleme specifice (reglării):

• Dezvoltarea structurii SRA, ca parte componentă a acţiunii de conducere, a DC, şi care colaborează cu celelalte subsisteme ale DC.

• Proiectarea algoritmică a legii (algoritmului) de reglare (regulatorului) aferent SRA.

Dependent de specificul aplicaţiei, cele două probleme conţin o parte de cercetare-dezvoltare şi o parte de proiectare algoritmică propriu-zisa şi de implementare a soluţiei pe aplicaţie.

În esenţă în proiectarea sistemului de reglare automată trebuie parcurse următoarele etape a) Studiul de oportunitate a conducerii şi analiza de proces. b) Definirea obiectivelor de reglare ca parte componentă a obiectivelor generale de

conducere. c) Alegerea principiului de reglare (reglare după ieşire, reglare după stare, reglare

combinată) şi a structurii SRA (din multitudinea de variante posibile); fixarea soluţiei (tehnologiei) de implementare a soluţiei de conducere (reglare).

d) Alegerea metodei de proiectare adaptate aplicaţiei şi soluţiei de reglare. e) Proiectarea algoritmică a legii (algoritmului) de reglare (adeseori denumită şi

proiectarea regulatorului); validarea structurii de de reglare adoptate. f) Realizarea unor funcţii suplimentare solicitate în reglarea (conducerea) PC (de

exemplu, a limitărilor, a măsurii AWR ş.a.); validarea structurii extinse de reglare. g) Alegerea sau – după caz – proiectarea echipamentelor de conducere şi a software-ului

prin care se implementează funcţiile de reglare, elaborarea “proiectelor tehnice” pe baza cărora se pot implementa soluţiile de conducere (în particular, de reglare) adoptate.

h) Coordonarea functionalităţii SRA cu funcţionalitatea echipamentelor (programelor) care realizează celelalte sarcini de conducere (la nivelul SCA).

13

i) Realizarea proiectelor de execuţie aferente DC (alegerea / proiectarea echipamentelor, a software-ului de conducere, realizarea interfeţelor de proces, a cablajelor pentru EE, EM ş.a.).

Implementarea soluţiei de conducere – în particular, soluţiei de reglare – este o fază finală, de realizare şi punere în funcţiune a SCA. Parcurgerea etapelor specifice dezvoltării unui SRA necesită o bună colaborare între inginerul automatist şi inginerul de proces în definirea soluţiei de conducere.

Proiectarea sistemelor de reglare automată dupa mărimea de ieşire. La baza proiectării structurilor de reglare automată şi implicit a algoritmilor de reglare stau obiectivele impuse funcţionării SRA. Ele se manifestă prin performanţe impuse, condiţionări şi restrictii şi pot fi grupate în două categorii: • Obiective şi restricţii generale impuse SCA în ansambu. Aceasta se referă la proiectarea şi realizarea dispozitivului de conducere (DC) capabil să asigure toate funcţiile solicitate în conducere, la indicatorii de performanţă impuşi; în proiectarea SRA aceste obiective trebuie luate în seamă.

• Obiective şi restricţii specifice impuse sistemului de reglare automată, SRA (aici se va include şi cazul conducerii în circuit deschis). Acestea se referă la realizarea structurilor de reglare solicitate de conducerea PC.

Adeseori obiectivele impuse la nivelul SCA sunt resimţite în proiectarea SRA de regulă ca restricţii (proiectarea in prezenţa restricţiilor). Capitolul va urmări doar aspectele specifice

proiectării algoritmice a SRA, a regulatoarelor ce deservesc structurile de SRA.

Principalele etape ale proiectării unui SRA sunt următoarele:

I. Fixarea datelor iniţiale relative la funcţionarea şi la proiectarea SRA. Aceste date (iniţiale) se referă la următoarele categorii de informaţii. Datele iniţiale referitoare la procesul condus se referă la:

a) Structura funcţională a procesului: natura fizică a PC, construcţia şi funcţionarea instalaţiei tehnologice, subprocese componente ale procesului (separabilitatea pe subprocese, interacţiuni şi gradul de interactiune), mărimile caracteristice ale procesului (mărimi de intrare: de comandă, marimi de perturbaţie; mărimi de ieşire: de apreciere, marimi de măsură; mărimi de stare), accesul la măsurarea diferitelor mărimi ale PC; condiţii tehnice (restricţii) privind desfăşurarea PC ş.a. La definirea

procesului condus este obligatorie colaborarea cu tehnologul de proces.

b) Posibilităţile de caracterizare matematică a PC: modelare matematică primară a procesului (ecuaţii de functionare sub formă de ecuaţii de bilanţ de materie şi de energie), stabilirea modelelor matematice standard (intrare-ieşire şi după stare nelineare, lineare), accesul la determinarea parametrilor, studiul proprietăţilor structurale ale PC, separabilitate pe subprocese, posibilităţi de linearizare, posibilitatea utilizării unor MM simplificate ş.a.

Referitor la MM utilizate în dezvoltarea unui SRA se impun câteva precizări: - MM care urmează a fi utilizate în caracterizarea PC trebuie să fie corelate cu

metodele de proiectare. MM primare ale PC sunt de regulă cu timp continuu; adeseori, în vederea proiectării, aceste modele sunt transpuse în MM cu timp discret, utiliând de exemplu relaţia:

)(1

1

)( 1

ekTt

PCEPC sHs

LZz

zzH

=

−−= ;

14

)(zH EPC este MM discret aferent PC extins cu modulul eşantinator + element de

reţinere (ES+ER) - În diferitele faze ale dezvoltării SRA se pot utiliza MM de formă şi complexitate

diferită dar care, în condiţiile acceptate, să reflecte proprietăţile esenţiale ale sistemului. În faza de proiectare se pot utiliza MM simple, de ordin redus (de tip benchmark); în faza de verificare (prin simulare) a soluţiei de reglare, se vor utiliza MM detaliate.

- În momentul interconectării diferitelor subsisteme ce realizează PC, acestea trebuie să fie compatibile (adaptate ca natură fizică, nivel energetic); obsevaţia se referă şi la MM aferente.

Performanţele relative la funcţionarea sistemului se impun de către tehnologul de proces într-un limbaj specific domeniului. Aceste informaţii se transpun apoi în limbajul specific automatistului şi se adaptează la metoda de proiectare ce urmează a fi folosită.

Pornind de la caracterizarea performanţelor dorite în limbajul automatistului, în cazul SRA după mărimea de ieşire sunt uşor apelabile urmatoarele metode de proiectare:

- Metode clasice de proiectare, la care pentru caracterizarea performanţelor se utilizează indicatorii de calitate empirici definiţi în modele matematice neparametrice (curbe de răspuns) (σ1, tr, γ, φr, ωt) sau parametrice (alocarea polilor, forma analitică a comportării impuse ş.a.);

- Metode de proiectare optimală, la care performanţele se impun prin intermediul unor

indicatori de calitate sintetici (integrali), )()(* pp FI x = . Pe baza expresiei indicatorului

integral se determină apoi valorile optime ale parametrilor regulatorului (surprinşi în vectorul p ). În final performanţele realizate se pot verifica tot prin intermediul indicatorilor de calitate empirici.

II. Alegerea principiului de conducere şi a structurii SRA. Cerinţa fundamentală în raport cu comportarea oricărui SRA o constituie stabilitatea acestuia. Soluţionarea acestei probleme este cunoscută sub denumirea de problema stabilizării sistemului. Proiectarea unui SRA se extinde şi cu cerinţe suplimentare privind:

- realizarea performanţelor de regim dinamic; - realizarea cerinţelor de regim permanent (eroarea de reglare nulă, rejecţia efectelor

unor perturbaţii constante); - asigurarea robusteţii SRA în raport cu modificări ale parametrilor (structurii) PC; - asigurarea funcţionarii şi în condiţii de restricţii.

Modificarea parametrilor sau / şi structurii PC obligă adeseori la utilizarea unor SRA bazate pe strategii de conducere avansată:

- SRA care să poată asigura adaptarea parametrilor algoritmului de reglare; - utilizarea unor DC cu structură variabilă, dependent de evoluţia procesului;

DC aferente soluţiilor de reglare adoptate pot fi implementate ca soluţii numerice sau – în cazul unor aplicaţii locale – ca solutii analogice. Soluţiile de reglare pot fi implementate:

- cu RG convenţionale PI, PID (70-90% din aplicaţiile industriale), implementate în diferite variante constructiv-funcţionale;

- cu RG neconvenţionale (nelineare , cu structură varibilă ş.a.).

Ambele variante pot fi înzestrate adeseori cu grade diferite de adaptabilitate a structurii şi valorilor parametrilor şi uneori şi cu “inteligenţă” proprie (încorporată).

În cazul unor procese mai complexe dezvoltarea structurii de reglare poate necesita descompunerea şi separarea procesului în subprocese (cuplate mai mult sau mai puţin intens) care să poată fi conduse relativ autonom.

15

III. Proiectarea (sinteza) algoritmică a SRA. Metoda adoptată la proiectarea algoritmului de reglare depinde de următorii factori:

- structura de SRA adoptată, - obiectivele impuse în conducerea PC (SRA).

Soluţia rezultată din proiectarea algoritmică poate fi considerată: - minimală – dacă obiectivele se impun relativ la anumite mărimi ale sistemului sau

dacă ele sunt (în final) doar parţial satisfăcute, - optimală – dacă soluţia adoptată satisface un criteriu de performanţă global sau

satisface în întregime toate cerinţele impuse prin proiectare.

IV. Verificarea rezultatelor proiectării algoritmice. Verificarea validează cel puţin într-o primă fază soluţia de reglare şi presupune:

- Verificarea stabilităţii SRA rezultat. Există metode de proiectare (avansată) care – dacă în faza de proiectare modelul procesului a fost corespunzător ales – garantează stabilitatea SRA.

- Verificarea performanţelor realizate de SRA. Aceasta se poate asigura prin simulare pe calculator numeric sau – în cazul unor procese pretenţioase – pe instalaţii pilot. MM utilizate (sau instalaţia pilot) în acest caz trebuie să fie cât mai apropiate de structura reală a PC.

V. Proiectarea dimensional-constructivă a soluţiei de reglare. Această activitate este derulată numai după acceptarea soluţiei algoritmice şi presupune (într-o enumerare selectivă):

- alegerea soluţiei de implementare a sistemului de conducere în general şi a SRA în particular;

- alegerea echipamentelor de conducere; alegerea elementelor de execuţie şi a elementelor de măsură, care trebuie corelată cu proiectantul de proces; implementarea în proces a EE şi EM; realizarea interconectării cu DC;

- implementarea algoritmului de conducere sau, după caz, adaptarea parametrilor regulatoarelor realizate etc.

VI. Întocmirea documentaţiei aferente SCA. Orice soluţie de conducere presupune elaborarea unei documentaţii ce însoţeşte soluţia de conducere. Această documentaţie este adeseori foarte detaliată şi voluminoasă.

VII. Punerea în funcţiune a SCA. Orice punere în funcţiune a unui SCA este însoţită de: - probe de punere în funcţiune cu durată diferită (fixată prin prin legislaţie sau

convenţie între beneficiar, executant şi realizatorul SCA); - obligaţii şi răspunderi pentru punerea în funcţiune; de regulă proiectantul şi

executantul răspund pe termen lung pentru SCA realizat; - actualizări / reactualizări ale documentaţiei; - şcolarizarea personalului de deservire; - asumarea unor garanţii privind funcţionarea SCA (împreună cu service-ul).

VIII. Alte aspecte care pot apare la implementarea soluţiilor de conducere (de reglare). Faţă de cele prezentate, implementarea unei soluţii de reglare presupune luarea în seamă şi a următoarelor aspecte:

- modul de abordare a proiectării depinde şi de stadiul de realizare a procesului şi de experienţa anterioară în domeniul conducerii acestui proces; astfel, dezvoltarea unei soluţii de SCA pentru un “proces nou” implică un volum mare de cercetare prealabilă urmată de proiectare; retehnologizarea unui SCA vizează mai degrabă îmbunătăţiri în structura SCA şi în echipamentele de conducere;

16

- aspecte tehnico-economice de oportunitate şi rentabilitate a procesului (investiţiei) şi a soluţiei de conducere adoptate (studiu de oportunitate / fezabilitate);

- disponibilităţile de echipamente şi existenţa unui personal de dezvoltare şi de implementare instruit corespunzător;

- existenţa personalului instruit în utilizarea soluţiei de conducere.

G. Puncte de vedere în categorisirea metodelor de proiectare a SRA.

Datorită varietăţii foarte mari a metodelor de proiectare a regulatoarelor aferente SRA (proiectarea algoritmică a SRA sau proiectarea algoritmică a RG) o clasificare exhaustivă a metodelor de proiectare este dificilă. În cele ce urmează se prezintă diferite puncte de vedere relative la încadrarea

şi clasificarea posibilă a metodelor de proiectare.

(i) Dependent de MM (aferent PC) utilizat în proiectare şi de structura SRA (tipul reacţiilor utilizate la realizarea acestuia):

- Metode de proiectare a SRA cu reacţie după ieşire; Capitolul va fi dedicat acestor structuri. - Metode de proiectare a SRA cu reacţii după stare (SRA-x).

La rândul lor aceste metode pot fi grupate şi particularizate şi după alte puncte de vedere.

(ii) După numărul mărimilor după care se realizează structura de reglare: - Metode de proiectare a RG (SRA) pentru PC cu o singură marime de ieşire reglată (SRA

monovariabile). - Metode de proiectare a RG (SRA) pentru PC cu mai multe mărimi reglate (SRA

multivariabile).

În general un număr mărit de mărimi reglate (corespunzător şi un număr mărit de mărimi de referinţa şi de mărimi de comandă) complică aplicarea metodei de proiectare.

(iii) Dependent de gradul de invarianţă a structurii sau / şi a valorilor parametrilor PC, structurile de conducere si corespunzator, metodele de proiectare sunt:

- metode de proiectare specifice conducerii PC cu parametri şi structură fixă; - metode de proiectare specifice conducerii PC cu parametri şi structură variabilă.

(iv) Dependent de “domeniul timp”(timp continuu, t-C, sau timp discret, t-D) în care se deruleaza proiectarea algoritmului de reglare (a regulatorului) se disting:

- metode de proiectare în timp continuu, - metode de proiectare în timp discret.

Metodele de proiectare în timp continuu sunt adeseori “mai prietenoase” şi au avantajul că algoritmul de reglare (a.r.) continuu rezultat din proiectare (ecuaţie integro-diferenţială) poate fi uşor înţeles şi trecut relativ usor în timp discret prin discretizare (prin metoda trapezelor, metoda dreptunghiurilor în variantă avansată sau întârziată etc.). Metodele de proiectare directă în timp discret conduc la algoritmi de reglare numerică (a.r.n.) (adeseori ecuaţii recurente) a căror trecere în timp continuu nu are adeseori un sens fizic bine precizat.

H. Trecere în revistă a metodelor de proiectare bazate pe modele intrare-ieşire.

Algoritmii de reglare continui sunt impementabili numeric sub formă cvasicontinuă. Din acest motiv, metodele de proiectare a SRA lineare cu procese continue şi a.r. continui dar implementabile în variantă cvasicontinuă se pot grupa după cum urmează:

(a) Metode de proiectare bazate pe utilizarea indicatorilor integrali. Această abordare presupune alegerea indicatorului integral adecvat, alegerea regulatorului tipizat (din anumite considerente), evaluarea indicatorului într-o formă în care parametrii regulatorului sunt variabile (elemente programabile ale problemei de optimizare asociate) în raport cu care se extremizează (minimizează) expresia indicatorului integral. Alegerea indicatorului este întotdeauna corelată cu performanţe descriptibile şi prin indicatori empirici.

(b) Proiectarea bazată pe indicatori de calitate empirici. În cazul acestor metode de proiectare performanţele SRA sunt date / impuse sub diferite forme. Spre exemplu:

17

- sub formă grafică, tabele, diagrame, pentru performanţele caracterizabile prin indicatorii empirici (σ1, tr, tm, γd ş.a.),

- sub formă analitică, prin impunerea polilor şi zerourilor (cu corespondenţă în performanţe caracterizabile prin indicatorii empirici).

Aceste metode apelează principiul compensarii poli-zerouri (pole-zero cancellation). Prin aceasta, polii dominanţi ai procesului sunt compensaţi prin zerouri ale regulatorului care, pentru realizabilitate fizică, va conţine şi constante de timp de întârziere sub forma unor module PDT1, PD2T2.

(c) Proiectarea bazata pe utilizarea caracteristicilor de pulsaţie ale sistemului deschis )(0 ωjH sau

ale sistemului închis )( ωjH r . În acest caz se disting două categorii de metode: - metode bazate pe reprezentări analitice ale funcţiilor de răspuns la pulsaţie (f.r.p.); cazul poate

fi redus la categoria de metode bazate pe indicatori de performanţă; - metode bazate pe reprezentările grafice ale caracteristicilor de pulsaţie ale PC şi în final ale

sistemului deschis dBjH |)(| 0 ω , )(arg 0 ωjH .

Performanţele se impun “în domeniul pulsaţie”, de exemplu prin descriptorii pulsaţie de tăiere ωt, rezervă de fază φr, panta iniţială a caracteristicii modul-pulsaţie etc., având în vedere corespondenţa în indicatorii de calitate empirici din domeniul timp. Modelul aferent procesului poate fi cunoscut în forma analitică de model (parametric, f.d.t.) sau determinat din masurări experimentale; acest din urmă caz reprezintă de fapt categoria clasică a metodelor de priectare în domeniul pulsaţie.

(d) Proiectare bazată pe metoda locului rădăcinilor.

(e) Proiectare bazată pe date experimentale relative la proces şi relatii de acordare antecalculate

(metode experimentale de acordare). Rezultatele de proiectare pot fi aduse în conexiune cu: - indicatorii de calitate empirici definiţi în domeniul timp, - indicatorii de calitate integrali.

Astfel de metode se apelează frecvent în cazul conducerii proceselor lente unde modelarea detaliată a procesului devine dificilă şi în proiectare se adoptă modele matematice de tip benchmark.

(f) Proiectarea bazată pe alocarea polilor sistemului închis. Metoda face parte din categoria mai largă a meteodelor algebrice de proiectare; se aplică pe larg în proiectarea sistemelor de reglare avansată. În particular apar mai multe aspecte:

- stabilirea unui model de referinţă (etalon) pentru SRA (cu atenţionare asupra gradelor numărătorului şi numitorului) astfel ca regulatorul să rezulte fizic realizabil;

- stabilirea alocării convenabile a polilor sistemului închis în corelaţie cu performanţe ce pot fi intuite prin indicatorii de calitate empirici; întrucât zerourile sistemului închis rezultă în urma proiectării, adeseori acestea trebuie compensate (acest lucru implică extinderea gradelor de libertate ale regulatorului);

- stabilirea procedurii de determinare a MM aferent regulatorului (a.r.).

(g) Alte metode de proiectare. Proprietăţile structurii de sistem de reglare automată convenţională (SRA-c, buclă de reglare) pot fi imbunătăţite dacă aceasta se extinde cu conexiuni suplimentare. Pentru aceste noi structuri există procedee dedicate de calcul al algoritmilor de reglare. În general, metodele de proiectare utilizate în cazul SRA cu timp continuu sunt aplicate cu adaptări adecvate şi în cazul SRA cu timp discret.

I. Metode de proiectare după ieşire cu regulatoare cu acţiune în timp discret.

Particularităţi.

Principial, algoritmurile de reglare numerică (a.r.n.) pot fi obţinute pe două căi:

(a) Proiectare în timp continuu, urmată de discretizarea a.r. continuu obţinut. Metodele de proiectare aici încadrate se pot grupa în două variante de aplicare:

• Varianta 1: Proiectarea via timp-continuu, la care: - PC se cunoaşte prin MM continuu, de exemplu f.d.t. a procesului )(sH P ;

18

- MM continuu se extinde cu f.d.t. aferentă elementului de reţinere (ER) )(sH ER într-o

aproximare continuă rezultând f.d.t. a procesului extins )(sH PE calculată ca

)()()( sHsHsH ERPPE = ; - se alege perioada de eşantionare Te în corelaţie cu dinamica procesului, performanţele impuse

şi metoda de proiectare adoptată; - se proiectează a.r. continuu (alegerea metodei este bazată pe experienţa din domeniu a

proiectantului dar şi domeniul tehnic al PC); - se discretizează a.r. continuu şi se obţine algoritmul de reglare numerică cvasicontinuă (a.r.n.

CvC).

La această variantă apar următoarele aspecte specifice:

- neluarea în considerare a ER poate introduce unele abateri ale performanţelor de la cele scontate;

- valoarea perioadei de eşantionare trebuie judicios aleasă;

- în anumite situaţii implementarea a.r. obţinut poate fi însoţită de efectele date de fragilitatea implementării a.r.n.

• Varianta a 2-a: Proiectarea bazată pe modelul “în q” al procesului:

- PC se cunoaşte prin MM continuu, de exemplu )(sH P ;

- se calculează MM discret aferent PC extins cu modulul eşantinator + element de reţinere (ES+ER) rezultând f.d.t. )(zH EPC :

)(1

1

)( 1

ekTt

PCEPC sHs

LZz

zzH

=

−−= ; (1.1-10)

- se revine în domeniul timp continuu prin utilizarea transformării bilineare de forma:

2/1

2/1

1

12

e

e

e qT

qTz

z

z

Tq

+

+=⇔

+

−⋅= (1.1-11)

şi se calculează f.d.t. transformată )(qH EPC care este o formă raţională proprie:

2/1

2/1)()(e

e

qT

qTzEPCEPC zHqH

+

+=

= ; (1.1-12)

- se calculează regulatorul (a.r.) )(qH R care apoi se retrece în discret, )(zH R .

Metoda se aplică mai frecvent în situaţiile în care RG din domeniul q se calculează prin metode de frecvenţă. În acest caz calculul funcţiei de răspuns la pulsaţie discretă (transformată) are la bază relaţia (1.1-13):

Ω=

=ΩjqEPCEPC qHjH )()( . (1.1-13)

(b) Proiectarea numerică directă a a.r.n., bazată pe MM cu timp discret aferent PC continuu. Toate variantele de aplicare a metodei au la baza MM discret (extins) al PC, )(zH EPC (pentru un studio

introductiv privind proiectarea numerica directa a a.r. (SRA- cu timp discret) se pot consulta lucrarile [46], [47]).

1.2. Modele matematice de ordin redus, modele matematice de tip benchmark

Metodele de proiectare după ieşire prezintă prticularitatea ca utilizează în foarte mare măsură modele matematice de ordin redus ale procesului. Modelele matematice (MM) de ordin redus

19

sunt MM de tip Intrare-Ieşire (MM-II) lineare (linearizate) sau nelineare de complexitate relativ redusă care redau suficient de bine comportarea sistemului însă nu şi proprietăţile structurale.

În cazul MM-II lineare aceste modele sunt redate prin f.d.t. de ordin relativ redus, obişnuit )5(4≤Pn , fără sau cu dinamică la numărător ( PP nm ≤ ). Aceste MM “de aproximare” pot fi

obţinute: - în urma unor simplificări aduse MM de bază al PC (MM analitic), - prin identificare experimentală.

MM tipizate considerate reprezentative pentru sustinerea metodelor de proiectare sunt denumite modele de tip benchmark. Ele constituie particularizări ale MM de formă raţională sau extinse cu un modul cu timp mort (Tm):

msT

P

P

P esA

sBsH

−=

)(

)()( . (1.2-1)

MM tipizate (benchmark) frecvent apelate în practica proiectării SRA sunt prezentate în tabelul 1.2-1. Pentru generalitatea reprezentării, coeficienţii (parametrii) care caracterizează aceste modele sunt unitare sau relative la valoarea 1 prin înmulţire cu un coeficient adecvat, de exemplu Tα , în care 1=T şi 1 ,5.0 ,2.0 ,1.0 ,01.0=α .

Tabelul 1.2-1. Modele matematice de tip benchmark.

Tip MM Forma funcţiei de transfer )(sH P Observaţii şi comentarii

PT-n 8 ,4 ,3 ,2 ,1 ,

)1(

1=

+n

s n

Se utilizează la testarea performanţelor SRA pentru conducerea proceselor lente cu autostabilizare.

PT4

1 ,5.0 ,2.0 ,1.0

, (1 ) s(1 s)(1)1(

132

=α

)α+α+α++ ss Idem.

PDT3

1...1.0 ,10 ,5 ,2 ,1

,2()1(

0

20

20

20

=ς=ω

)+ςω+ω+

ω+

sss

s

Procese puternic oscilante.

PT1-Tm 10 ,5 ,1 ,5.0 ,2.0 ,1.0 ,

1

1=

+

−Te

sT

s Procese cu timp mort.

PDT3-nm 5 ,5.2 ,1 ,5.0 ,2.0 ,1.0,

)1(

13

=α+

α−

s

s Procese de fază neminimă (nm); cu cât valoarea lui α creşte, cu atât conducerea devine mai dificilă.

PC instabil 21

1

s− Proces instabil.

IT-n

8 ,4 ,3 ,2 ,1 ,)1(

1=

+n

ss n Extensibil cu timpul mort:

e– αs cu α = 0,1; 0,2 ; 0,5 ; 1,o ; 5,o ; 10,o

Pe baza MM tipizate se dezvoltă şi se testează eficienţa diferitelor metode de proiectare.

Observaţie: În cazul conducerii în timp discret, DC conţine pe lângă RG (a.r.) propriu-zis, elementul de comparaţie EC şi diferitele filtre suplimentare (F-r, F-y) precum şi interfeţele de conversie numeric-analogică (CAN) şi analog-numerice.

În acest context caracterizarea procesului condus (PC) compus din elemente de execuţie (EE), proces tehnic (instalaţie, PT), elemente de măsură (EM) trebuie extinsă din punct de

20

vedere informaţional cu elementele care surprind prezenţa modulelor eşantionator (ES) şi element de reţinere (ER).

În cazul conducerii după ieşire pentru regulator se utilizează MM-II sub forma f.d.t. )(sH R

sau )(zH R (respectiv ecuaţia recurentă aferentă). Astfel, rezultă f.d.t. aferente sistemului deschis, de formă raţională (extins cu elementul cu timp mort):

0, ,)(

)()()(

0

00 ≠===

−

m

sT

PR TesA

sBHsHsH m . (1.2-2)

Polinoamele de la numărător pot fi explicitate sub diferite forme. Metodele de proiectare continuă şi cvasicontinuă dupa ieşire sunt diverse, fapt pentru care abordarea lor în totalitate este dificilă.

1.2. Sistemul de reglare automată convenţional

A. Structura de Sistem de Reglare Automată convenţional (SRA-c), este utilizată în aplicaţiile de conducere mai simple ca structură de bază ce poate fi înnobilată în conţinut. Ea poate fi realizată în toate variantele: continuală, discretă sau mixtă. Schema bloc aferentă unui SRA-c este prezentată în fig.1.3-1, în care semnificaţia blocurilor şi a mărimilor este următoarea:

RG - regulator, realizează algoritmul de reglare (a.r.): u(t)=f(e(t);p);

EC - element de comparaţie, realizează eroarea de reglare: e(t)=w(t)-y(t)

EE - element de execuţie, amplifică comanda în "putere";

PT - proces tehnic care se derulează într-o instalaţie tehnologică;

EM - element de măsură prin care DC ia cunoştinţă de evoluţia PC.

Observaţie: pentru cazul discret : ( _ / _): EŞ eşantionator; EŞ + ER eşantionator + element de reţinere

Fig.1.3-1. Schema bloc aferenta unui SRA-c

Semnificaţia mărimilor: w(t)– referinta SRA (sau r(t)); y(t) marimea de masura a SRA; ε(t) – eroarea de rglare (sau e(t)); u(t) – comanda; m(t) – marimea de executie ( m0 - energii, materii,

materiale introduse din exterior); z(t) – marimea reglata (iesire de apreciere); v(t) – perturbatia.

Observaţii. (1). Nivelul energetic al semnalelor purtătoare de informaţie din cadrul DC şi din cadrul PC poate fi mult diferit.

Astfel, de exemplu, în cazul SRA a tensiunii unui generator sincron la nivelul PC se vehiculează puteri de ordinul de mărime de "sute de Mw". In acelaşi timp, în cadrul DC nivelul energetic al semnalelor (fie acestea de exemplu analogice sub forma unei tensiuni continue de ±10 V c.c.) este de ordinul de mărime "Watt".

21

(2). Toate blocurile din cadrul unui SRA pot fi cuplate numai prin adaptare adecvată a semnalelor de interconexiune (cuplare); în cazul unor module electrice aceasta poate insemna de exemplu ca:

- semnalele de interconectare trebuie să fie de aceeaşi natură fizică (c.c. sau c.a.), nivel energetic şi domeniu de variaţie,

- impedanţele de cuplare a celor două module trebuie să fie adaptate corespunzător.

• Elementul de execuţie (EE). Are menirea de a asigura introducerea puterii / energiei necesare către PT. Un element de execuţie constă din 2 module funţionale fig.1.3-2,:

- un convertor de semnal (CS) şi - un amplificator de putere (AP).

Semnificatia marimilor: u(t) - comanda (de la RG); ũ(t) - convertită comanda convertită;

m(t) - mărimea de executie (către procesul tehnic); m0 (sursa de energie primară)

Fig.1.3-2. Schema bloc cu detalierea structurii unui element de execuţie

Exemple de EE: (1) Amplificatorul de putere electronic constând dintr-un CS -dispozitiv de comandă pe grilă (DCG) şi AP - o punte cu tiristoare (PTr), ca subansamble (module funcţionale) ale unui element de execuţie.

(2) Elementul de poziţionare a deschiderii aparatului director la o turbină hidraulică (grup turbină hidraulică - generator sincron), constând din: CS - convertorul electrohidraulic şi AP - servomotorul hidraulic

Dinamica EE trebuie să fie mult mai redusă decât cea a procesului deservit. În caz contrar se poate ajunge la situaţia nedorită in care s-ar conduce EE, ceea ce este complet greşit. Pentru caracterizarea matematică a EE se utilizeazâ adeseori MM de aproximare, sub forma unor f.d.t. relativ simple, de tip proporţional (P), proporţional cu temporizare de ord.1 (PT1), integrator (I) sau / şi cu timp mort (Tm).

Astfel de f.d.t. de aproximare consacrate (specifice EE) pot fi de forma:

PTm)(tip0 ,;I) (tip; PT1)(tip1(

; P)(tip)( >+

=−

m

sT

EE

E

EEE Tek

s

k

sT

kksH m (1.3-1)

(componenta aferentă timpului mort e–Tm care se poate adăuga la fiecare MM).

Important de reţinut: În cazul conducerii numerice, EE analogic va fi precedat întotdeauna de către un element de reţinere ER (CNA) sau - după caz - convertorul de semnal (CS) va include prin construcţie acest convertor. Dimensionarea corectă a EE (prin care se asigura aportul de energie necesar conducerii) poate fi hotărâtoare pentru buna funcţionare a SRA; pe această cale se poate evita intrarea în saturaţie a regulatorului sau a EE în regimurile dinamice de forţare a funcţionării SRA (PC) cu toate implicaţiile care decurg dintr-o astfel de saturare.

• Elementul de măsură (EM). Acesta are o structura principială de forma data în fig.1.3-3 în care se disting: TP - traductorul primar (senzorul), CS - convertorul de semnal.

Fig.1.3-2. Detalierea structurii unui element de măsură

22

Observaţii: (1). Şi in acest caz este impusă necesitatea adaptării perfecte a lui y la cerinţele impuse de către DC (adaptare energetică şi informaţională). (2). Dinamica EM trebuie să fie net inferioară (cu cel puţin 2 ordine de mărime) dinamicii procesului condus, adică constantele de timp ale EM trebuie să fie mult mai mici decât cele ale PC. (3). În cazul conducerii numerice CS va include şi convertorul analog-numeric (CAN).

În cazul SRA cu timp discret. DC lucrează cu informaţie eşantionată la momente bine precizate de timp tk = k·Te cuantizată apoi în amplitudine.

Pentru simplificarea întregii teorii a conducerii în timp discret (numerice) se acceptă că toate mărimile eşantionate sunt eşantionate sincron.

Semnalul continual y(t) prelevat din proces suferă următoarele operaţii, fig.1.3-4: - eşantionare y(t) yk , - cuantizare yk yk , (1.3-2)

- codificare yk yk .

Acceptând la intrarea convertorului analog-numeric (CAN) un domeniu bine precizat al valorilor Du , care determină la ieşire reprezentarea în binar pe numărul de octeţi specifici convertorului (reprezentării), atunci prin conversia A N (A - analog, N - numeric) se va asigura o scalare, care din punctul de vedere al calculelor de dezvoltare al SCA nu prezintă interes; ea devine interesanta doar prin prisma raportului dintre semnalele de intrare şi de ieşire din echipamentul numeric.

Fig.1.3-4. Prelucrarea informaţionala a semnalului y(t)

La conversia semnalului numeric în semnal analogic (CNA) transmis către EE, eşantionul comandă de la ieşirea regulatorului de la momentul tk , notat aici tot cu uk , problema se pune în manieră similară. Semnalul binar va fi convertită intr-o mărime semnal cu variaţie

continuă între momentele de eşantionare notat în continuare cu uc(t) cu domeniul de variaţie maxim, bine precizat; cea mai convenabilă formă de realizare a semnalului uc(t) o constituie reţinerea la o valoare constantă egală cu cea a eşantionului de la momentul considerat, uk (ultima valoare eşantionată a comenzii) pe întreaga durată următoare a perioadei de eşantionare, Te (∆tk= tk+1 - tk) , fig.1.3-5.

23

Fig.1.3-5. Detalierea prelucrării eşantioanelor comenzii u

* prin reţinere, uc(t) - semnal cvasi-

continual transmis către EE

O problemă legată de alegerea perioadei de eşantionare Te derivă din faptul că elaborarea comenzii uk din valorile citite rk, yk necesită un timp de calcul (finit); ca urmare, între două momente de eşantionare se poate considera următoarea gestionarea timpului disponibil, fig.1.3-7. Astfel:

- în intervalul de timp ∆t1 are loc achiziţia şi conversia semnalelor de intrare, rk şi yk ; - intervalul de timp ∆t2 serveşte pentru elaborarea comenzii uk (realizarea a.r.); - la momentul de timp t2 = tk+∆t1+∆t2 din comanda uk se generează semnalul continuu uc(t)

care se transmite către PC (EE); acesta este menţinut la valoarea constanta pe intrarea acestuia pe intreaga durată a unei perioade de eşantionare; intervalul de timp ∆tc = ∆t1+∆t2 , se manifestă ca un timp mort;

∆t1 ←interval de timp necesar pentru achiziţia datelor de intrare wk,yk ∆t2 ∆t3

t

tk ∆tc t2 = tk+∆t1+∆t2 tk+1

∆tarn ∆t4 - interval de timp suplimentar la dispozitie

t3= tk + ∆tan

Te Fig.1.3-7. Gestionarea perioadei de eşantionare

- intervalul de timp ∆t3 este utilizat pentru efectuarea reiniţializărilor solicitate de reluarea la momentul tk+1 a a.r.; se va asigura obligatoriu condiţia: ∆tarn=∆t1+∆t2+∆t3 < Te ;

- ∆t4 reprezintă un intervalul de timp disponibil până la noul moment de eşantionare tk+1 şi care poate fi dedicat realizării altor activităţi de conducere.

Tratarea a.r.n. dependent de valoarea raportului ∆tc /Te : - Pentru: ∆tc<< Te (de exemplu ∆tc < 0.1*Te ) se poate considera că intrarea şi ieşirea sunt

eşantionate sincron; - Pentru: ∆tc=∆t1+∆t2 astfel încât 0.9Te ≤ ∆tc < Te , dar ∆tarn = ∆t1+∆t2+∆t3 < Te , se poate

accepta că eşantionul "actual" al ieşirii (uk) este determinat pe baza eşantioanelor intrării achizitionate la un moment de eşantionare anterior, tk-1 ceea ce în operaţional revine la inmulţirea f.d.t. în Z cu z

-1 ). - între cele două extreme se poate considera că se manifestă un timp mort reflectat printr-o

parte continuală de forma (în operaţional) e–s∆tc ; ori de câte ori se va dovedi necesar, ∆tc va fi inclus în timpul mort al procesului sau în constantele de timp mici ale acestuia.

24

B. O clasificare a SRA convenţionale (SRA-c). Din considerente de stabilitate pe calea directă a unui SRA-c (structura de baza) nu pot exista mai mult de două componente integratoare libere (simbolizate cu I), necompensate local cu buclă de reacţie. Corespunzător f.d.t. a sistemului deschis se poate explicita sub forma (cazul continual):

msT

qPR esA

sB

s

ksHsHsH

−==

)('

)(')()()(

0

000 0

(1.3-4)

f.d.t. a sistemului deschis partea raţională a f.d.t.

în care, cu q0 = 0, 1 sau 2 , sqo simbolizând polul în origine; cazul discret se tratează în

manieră absolut similară; in acest caz componenta I este evidenţiată de un factorul (1– z–1)q0

În funcţie de valoarea lui q0 se poate da următoarea clasificare a SRA-c: - SRA de tip 0 sau SRA de tip "proporţional" (P) pentru care q0 = 0, - SRA de tip 1 sau SRA de tip "simplu integrator", (I), pentru care q0 = 1, - SRA de tip 2 sau SRA de tip "dublu integrator", (2I), pentru care q0 = 2 .

Proprietăţile de regim tranzitoriu şi de regim permanentizat ale SRA-c vor depinde hotarâtor de tipul SRA (în ultima instanţă de valoarea lui q0 ).

Observaţii: (1). După cum se va vedea în capitolele următoare, d.p.v.d. al performanţelor SRA-c nu este însă totuna:

- cine aduce componenta I, regulatorul sau procesul, - în ce punct acţionează perturbaţia exterioară v(t) în raport cu pozitionarea componentei I .

Este întotdeauna de preferata situatia in care componenta I este adusă de regulator.

(2). D.p.d.v.d. al funcţionalităţii pe canalul de măsură a SRA nu se plasează blocuri de tip integrator (I) sau derivativ "pur" (D, DT1, DT2...); pot face excepţie situaţiile în care, în vederea realizării reacţiei, elementele de măsură conţin module care realizează astfel de componenete; în acest caz această componentă (I sau D) se va trata cu atenţie sporită.

Cu referire la schema bloc din fig.1.3-1 detaliată prin locul de acţiunii a perturbaţiei, relaţiile care caracterizează structura de SRA raman valabile relatiile (1.1-1) – (1.1-9) in care )()()()( sHsHsHsH MPTEP = . (1.3-5)

Trebuie remarcat ca acceptând că atât elemental de măsură cât şi elemental de execuţie au dinamica neglijabilă in raport cu dinamica procesului tehnic propriuzis, EE ksH ≈)( ,

MM ksH ≈)( , separarea perturbaţiei pe două locuri de acţionare extreme – pe intrare sau pe ieşire, este justificată. Semnificaţia funcţiilor de transfer (f.d.t.) care apar în aceste relaţii este cea deja menţionată. Aceste relatii vor fi utilizate pe parcursul intregului curs.

C. Caracteristicile de transfer (c.d.t.) ale unui SRA-c

(a) Structura de sistem cu reglare automată convenţională cu timp continuu (SRA-cC) (SRA-c-C). Caracteristicile de transfer ale SRA-c cu timp continuu (C). Schema bloc aferentă unui SRA după ieşire se poate detalia pe blocuri constructiv-funcţionale ale PC şi ale DC conform fig.1.3-8.

Fig.1.3-8. Schema bloc a unui SRA-c.

25

Fiecare din blocurile SRA poate fi caracterizat (după caz) prin MM-II sau -ISI. Pentru structura de SRA-c, caracterizarea de bază este cea prin MM-II în domeniul operaţional prin f.d.t.. Cum structura de SRA-c prezintă două intrări: w – mărimea de referinţă (sau r)( wz – referinţa primară) şi v – mărimea de perturbaţie şi o ieşire principală z – mărimea reglată, ea va prezenta şi două f.d.t. principale, explicitate pentru cazul continuu sub forma:

z(s) | z(s) |

Hzw(s) = —— | , Hzv(s) = —— | . (1.3-6) w(s) |v=0 v(s) |w=0

Ansamblul celor două f.d.t. (în general, mai multe) aferente unui SRA poartă denumirea de caracteristicile de transfer (c.d.t.) ale SRA-c: • f.d.t. în raport cu referinţa w, Hzw(s), rezultă imediat: Hd(s) HR(s)HE(s)HP (s)

Hzw(s) = ——————— = ———————————— , în care: (1.3-7) 1 + Hd(s)Hr(s) 1 + HR(s)HE(s)HP(s)HM(s)

HR(s)HE(s)HP(s)HM(s) = H0(s) – f.d.t. a sistemului deschis; (1.3-8)

• f.d.t. în raport cu perturbaţia v, Hzv(s), se obţine transpunând schema bloc conform fig.1.3-9 (a):

Fig.1.3-9. Relativă la determinarea f.d.t. în raport cu perturbatia v(t).

în consecinţă, rezultă:

HN(s) HN(s)

Hzw(s) = ————— = ————————————— . (1.3-9) 1 + H0(s) 1 + HR(s)HE(s)HP(s)HM(s)

Relaţiile (1.3-7) şi (1.3-8) evidenţiază două aspecte importante:

1. În raport cu cele două canale w şi v, comportarea SRA va fi diferită (regimuri tranzitorii care pot fi net diferite).

2. În situaţiile particulare în care f.d.t. HN(s) apare distinct de bucla de reglare, în raport cu cele două canale vor putea diferi chiar şi unele proprietăţi structurale ale SRA (de exemplu, proprietatea de srabilitate).

Un caz particular frecvent în practică este acela in care perturbaţia v(t) acţionează direct pe calea directă, fig.1.3-9 (b0, cand HN(s) este “parte din HP(s)”; atunci, numitoarele celor două f.d.t. polinomul caracteristic si ecuaţia caracteristică sunt aceleaşi:

∆(s)= 1 + H0(s) respective 1 + H0(s) = 0 . (1.3-10)

26

În multe situaţii prezintă interes c.d.t. ale SRA-c considerat având ca ieşire ieşirea de măsură y; în aceste condiţii relaţiile (6.3.4) şi (6.3.6) devin: y(s) | H0(s) y(s) | HN’(s)

Hw(s) = —— | = ————— , Hv(s) = —— | = ————— . (1.3-11) w(s) |v=0 1 + H0(s) v(s) |w=0 1 + H0(s)

în care:

HN’(s) = HN(s)HM(s) . (1.3-12)

Trecerile între cele doua grupuri de relaţii sunt următoarele:

Hzw(s) = Hw(s)HM-1

(s) , Hzv(s) = Hv(s)HM-1

(s) . (1.3-13)

(b) Structurarea particulara a SRA-c cu timp discret (SRA-cD). Caracteristicile de transfer ale SRA-cD. Pentru cazul sistemelor cu timp discret, f.d.t. (caracterizările matematice) se pot scrie doar între mărimi eşantionate. În fig.6.7 sunt evidenţiate cu prezenţa eşantionatorului ES mărimile care sunt eşantionate (w*

, e*, u

*, y

* (wz

*)). În consecinţă, blocurile pentru care se pot

scrie f.d.t. în z sunt: • RG – regulatorul e

* → u

* : HR(z); • PC – procesul condus u

* → y

* : HPC(z)

)(1

1

)( 1

ekTt

PCEPC sHs

LZz

zzH

=

−−= (1.3-14)

• EP – elementul de prescriere (dacă este cazul): wz* → w* : (HF(z)).

În acest context, o f.d.t. în z aferentă canalului v → (z) → y (y*) poate fi scrisă numai in

conditiile următorului “artificiu informaţional”: se consideră că perturbaţia v este eşantionată virtual v → v

*, cu aceeaşi perioadă de eşantionare Te;

semnalul eşantionat v* este reţinut şi astfel se creează semnalul vc, care aproximează

foarte bine semnalul analogic original v(t); între mărimile v*

şi y* (ieşirea de măsură eşantionată) se poate construi / defini f.d.t. în z, HN’(z):

)s(H)s(Hs

1LZ

z

1z

)z(v

)z(y)z('H

ekTt

MN

1

N

=

= (1.3-15)

Corespunzător, pentru SRA-cD se vor defini următoarele două f.d.t. în z: y(z) | H0(z) y(z) | HN’(z)

Hw(z) = —— | = ————— , Hv(z) = —— | = ————— . (1.3-16) w(z) |v=0 1 + H0(z) v(z) |w=0 1 + H0(z)

în care: H0(z) = HR(z)HPC(z) .

Observaţie: Definirea unor f.d.t. în z între mărimi care nu sunt eşantionate este greşită. Relaţiile (1.3-15) impun tratarea “în bloc” a PC, între mărimi eşantionate. Dacă există mărimi intermediare ale PC, care se preiau prin eşantionare în vederea conducerii, cum este cazul mărimii z1, atunci se pot defini : • f.d.t. in z: u*

(m) → (z1) yz1* ;

• f.d.t. in z: u* (m) → (z) y

* ;

27

Anexa 1.1. Calculul MM cu timp discret aferent unui proces cu timp continuu

1. Elementul de reţinere (Zero Order Hold, ZOH). In conducerea numerică a proceselor, eşantioanele comenzii date de DC numerică la momentele de timp tk=kTe , u*(t), se aplică PC, fig.A.1.1-1, peste modulul ER (convertor numeric-analogic CAN) care realizează semnalul continuu uc(t).

Fig.A.1.1-.1. Construirea semnalului continuu uc(t) din secvenţa u

*(t)

Cea mai uzuală modalitate de realizare a lui uc(t) se obţine prin reţinerea valorii eşantionului de la momentul curent, uk, pe întrega durată a perioadei de eşantionare Te ; in acest caz, expresia lui uc(t) se poate explicita în forma: ∞

uc(t) = ∑ u(kTe)[σ(t–kTe) – σ(t–(k+1)Te)] , în care, (A.1.1-1) k=0

∞ 1 – skTe 1 – s(k+1)Te

uc(s) = ∑ u(kTe) [ — e – — e ] . (A.1.1-.2) k=0 s s

Prin reordonare rezultă: –sTe

1 – e ∞ – skTe

uc(s) = ———— ∑ u(kTe ) e . (A.1.1-3) s k=0

În membrul drept al relaţiei (A.1.3) se pot delimita următorii doi factori: –sTe

∞ –skTe 1 – e

u*(s) = ∑ u(kTe) e (a) , HER(s) = ——— , (b) (A.1.1-4)

k=0 s

(a) reprezintă imaginea Laplace a secvenţei de valori u*(t) şi

(b) reprezintă f.d.t. în s aferentă elementului de reţinere (ER). HER(s) nu este o formă raţională, ceea ce îngreunează utilizarea ei in calculele analitice.

În conexiunea u*(t) → (ER + PC) → y(t), f.d.t. continuă a PC extins cu ER devine: –sTe

1 – e

HEPC(s) = HER(s) HPC(s) = ———— HPC(s) . (A.1.1-5) s

Observaţie: In situaţiile în care valoarea lui Te este suficient de mică în raport cu constantele de timp

ale PC, in prezenta CAN (ES+ER) se poate obţine o caracterizare continuă convenabilă a PC extins cu ER, de forma: -sTe/2 1

HEPC(s) ≈ HPC e sau HEPC(s) ≈ ————— HPC(s) . (A.1.1-6)

1 + sTe/2

Justificarea rel. (A.1.1-6) poate fi gasita usor prin tratarea in domeniul pulsatie.

28

2. F.d.t. în z aferentă conexiunii eşantionator + element de reţinere + proces condus + eşantionator. Conexiunea serie (fig.A.1) eşantionator + element de reţinere + proces condus + eşantionator, notata ES+ER+PC+ES, caracterizeaza procesul condus văzut la momente discrete ale

timpului. La determinarea f.d.t. HEPC(z) , se pleacă de la relaţia (A.1.1-6) în care se scrie:

HEPC(z) = ZL-1

HEPC(s)| . (A.1.1-7)

|t=kTe

Ţinând seama de faptul că z reprezintă anticiparea cu o perioadă de eşantionare, se obţine: z – 1 1

HEPC(z) = —— ZL-1

— HPC(s)| . (A.1.1-8)

z s |t=kTe

Pentru cazurile de interes practic în care HPC(s) are forme raţionale, HPC(s)/s se poate descompune în fracţii simple, de exemplu sub forma: 1 β0 n βi

— HPC(s) = — + ∑ ———— . (A.1.1-9)

s s i=1 s + αi

(pentru simplificare, în (A.2.3) s-a acceptat că polinomul A(s) are polii reali şi distincţi). Corespunzător, se obţine: z – 1 z β0 n z βi

HEPC(z) = —— ——— + ∑ ———————— , (A.1.1-10)

z z – 1 i=1 z – exp(–αiTe)

sau, în forma în z-1: β0 n βi

HEPC(z-1

) = (1 – z-1

)——— + ∑ ———————— . (A.1.1-11)

1 – z-1

i=1 1 – exp(–αiTe)z-1

αi reprezintă inversa unei constante de timp: αi = 1/TI , i = 1,… n.

Dacă f.d.t. HPC(s) are şi rădăcini complex conjugate, în relaţia (A.2.3) se va utiliza relaţia specifică: s+a 1–exp(-aTe)cos(bTe)z

-1

ZL-1

—————— = —————————————————— . (A.1.1-12)

(s+a)2+b

2 1–2exp(-aTe)cos(bTe)z

-1+exp(-2aTe)z

-2

Valoarea coeficientului exp(–Te/Ti), i=1,… n, va depinde de valoarea lui Te; altfel spus, pentru un PC continuu, având HPC(s) cu constantele de timp T1, T2, …, coeficienţii MM cu timp discret vor depinde de valoarea perioadei de eşantionare (Te).

În consecinţă, orice schimbare a perioadei de eşantionare Te va implica necesitatea recalcularii

coeficienţilor MM cu timp discret. Omiterea elementului de reţinere ER în calculul f.d.t. în z aferentă PC conduce la falsificarea rezultatelor.

Exemplul A.1.1-1. Să se determine f.d.t. în z aferentă PC extins cu ER cunoscând: 1

HPC(s) = ———— , la o perioadă de eşantionare preconizată Te = 1 sec.. (A.1.1-13) s(1+s)

Soluţie: În baza relaţiei (A.1.1-3) se scrie: z – 1 1 k

HEPC(z) = —— ZL-1

— ———— , (A.2.3-14) z s s(1+s)

în care expresia în “s” se descompune în forma: k 1 1 1

———— = k[—– – — + ———] . (A.1.1-15) s

2(1+s) s

2 s 1+s

Cu utilizarea tabelelor de transformate se obţine:

29

z–1 Tez z z b1z+b0

HEPC(z)= k ——— [——— – —— + ——————] = ——————

z (z–1)2 z–1 z–exp(-Te) a2z

2+a1z+a0

Pentru Te = 1 sec, rezultă valorile numerice:

a0 = 0.367879 , a1 = –1.367879 , a2 = 1 , (A.1.1-16)

b0 = 0.26424 , b1 = 0.367879 .

Exemplul A.1.1-2. Să se studieze influenţa valorii lui Te asupra coeficienţilor f.d.t. HEPC(z) pentru PC caracterizat prin f.d.t.: 1

HPC(s) = ———————————— , pentru Te = 2; 6; 12 sec. (A.1.1-17) (1+5s)(1+7.5s)(1+10s)

Soluţie: Urmând calea descrisă anterior se obţine: b2+b1 z

-1+bo z

-2

HEPC(z-1

) = —————————— z-1

. (A.1.1-18) 1+a2 z

-1+a1 z

-2+a0 z

-3

Valorile coeficienţilor astfel calculaţi sunt prezentate în tabelul A.1.1-1. Analiza valorilor calculate si a tendinţelor in modificarea acestora la modificarea lui Te este deosbit de importantă. Pe baza exemplului prezentat se pot forma câteva concluzii generale privind influenţa perioadei de

eşantionare Te asupra valorii coeficienţilor f.d.t. în z pentru o f.d.t. HPC(s) bine precizată: - Odată cu creşterea lui Te, valoarea absolută a coeficienţilor aν scade; - Odată cu creşterea lui Te, valoarea absolută a coeficienţilor bµ creşte;

Tabelul A.1.1-1. Valorile coeficienţilor din relaţia (A.1.1-18).

Coeficient \ Te Te = 2 Te = 6 Te = 12

a2 –2.25498 –1.2993 –0.59381

a1 1.68932 0.54723 0.10645

a0 –0.42035 –0.07427 –0.00552 3

1 + ∑ aν (a) ν=1

0.01399

0.17362

0.50712

b2 0.00269 0.05108 0.22608

b1 0.00926 0.1086 0.26433

b0 0.00186 0.01391 0.02672 3

∑ bµ (b) µ=0

0.01399

0.017362

0.50713 3 3

(∑bµ)/(1+∑aν) (c) µ=0 ν=1

1

1

1

• Odată cu creşterea lui Te, valorile sumelor (a) şi (b) cresc dar raportul (c) rămâne constant, egal cu coeficientul de transfer al PC continu, 3 3

(∑bµ)/(1+∑aν) = k = HPC(s) | .

µ=0 ν=1 | s=0

• La creşterea excesivă a lui Te, se manifestă următoarele tendinţele (general valabile): 3 3

(1): |a0| << |∑aν | , (2): |b0| << |∑bµ| , ν=1 µ=1

adică la creşterea excesivă a lui Te apare tentaţia reducerii ordinului sistemului. Efectuarea unei astfel de reduceri nu este recomandată întrucât între momentele de eşantionare sistemul iniţial

30

(neredus) şi cel redus vor avea comportări net diferite; ele se comportă aproape identic numai în momentele de eşantionare.