CLCULO IICAPTULO # 1

INTEGRALES IMPROPIAS

Introduccin:Al calcular una integral definida, el resultado representaba el rea encerrada entre el eje x y la curva (grfico):En la definicin de la integral definida:

Fueron impuestas las siguientes restricciones:1. El intervalo I = [a, b] es acotado y2. La funcin es acotada en el intervalo IPara liberarnos de estas restricciones se deben efectuar ciertas consideraciones en el concepto de la integral definida. Estas extensiones son las siguientes:1. 2. [a, b] es acotado y En consecuencia se tienen integrales definidas denominadas impropias. En este sentido podemos decir que se llaman integrales impropias aquellas en las cuales uno o ambos lmites estn abiertos (se encuentran en ) o aquellas en las cuales uno o ambos lmites hacen infinita la funcin a integrar, o para algn valor del dominio de la funcin surge alguna indeterminacin.Clasificacin de Integrales Impropias: De acuerdo a las definiciones expuestas lneas arriba tendremos:Integrales Impropias del Tipo I (con lmites infinitos) y del Tipo II (con lmites finitos). Para resolver cualquiera de estas integrales se debe calcular el lmite de la integral definida asociada.Tipo I. Integrales Impropias con Lmites Infinitos:Son de tres especies:

Primera Especie:Sea , (donde I = una funcin integrable en el intervalo para todo . Consideremos la funcin continua, entonces:

Se dice que la integral impropia tipo I de primera especie: es convergente cuando existe y es finito el lmite al infinito de la funcin Cuando el lmite no existe o es infinito se dice que la integral impropia es divergente. Por lo expuesto una integral impropia tipo I de primera especie se define y denota de la siguiente manera: (Grfico)

Si representa el rea de la regin plana limitada por las grficas de f, el eje X y las rectas: y . Luego, cuando la integral impropia es convergente, significa que ese nmero a la cual converge la integral es el rea de la regin plana infinita comprendida entre el grfico de f, el eje X y la recta .Segunda Especie:Sea , (donde I = una funcin integrable en el intervalo para todo . Consideremos la funcin continua, entonces:

Se dice que la integral impropia tipo I de segunda especie es convergente cuando existe y es finito el lmite al infinito de la funcin, casa contrario es divergente. Por lo expuesto anteriormente una integral impropia tipo I de segunda especie se define y denota de la siguiente manera: (grfico)

Si , la integral impropia representa, si es convergente, el rea de la regin infinita comprendida entre el grfico de f, el eje X y la recta: .Tercera Especie:Si , (c es arbitrario) y son convergentes las integrales impropias:

Se define y se denota: (Grfico)

Esta definicin no depende del nmero c considerado.Tipo II. Integrales Impropias con Lmites Finitos:Al igual que el tipo I son de tres especies.Primera Especie:Sea , (donde I = una funcin integrable en el intervalo para todo . Consideremos la funcin continua, entonces:

Se dice que la integral impropia: es convergente cuando existe y es finito el lmite cuando t tiende a b por la izquierda, es decir:

La definicin anterior es equivalente a: (Grfico)

Si en [a, b], la integral impropia representa, si es convergente, el rea de la regin infinita comprendida entre el grfico de f, el eje X y las rectas y .Segunda Especie:Sea , (donde I = una funcin integrable en el intervalo para todo . Consideremos la funcin continua, entonces:

Se dice que la integral impropia: es convergente cuando existe y es finito el lmite cuando t tiende a a por la derecha, es decir:

La definicin anterior es equivalente a: (Grfico)

Si en [a, b], la integral impropia representa, si es convergente, el rea de la regin infinita comprendida entre el grfico de f, el eje X y las rectas y .Tercera Especie:Si la funcin f es finita en los puntos a y b, y para cualquier son convergentes las integrales:

Se define y se denota: (Grfico)

Integrales Impropias con Integrandos no Negativos:En las siguientes proposiciones consideramos: y . Tambin son validos las proposiciones anlogas: y . Propiedad 1: Sea f una funcin no negativa en [a, b[ (esto es ), integrable en [a, t] para todo . Si la funcin es acotada en [a, b[, entonces converge.

Propiedad 2: (Criterio de Comparacin) Sean f y g funciones tales que e integrables en el intervalo [a, t], para todo . Se tiene:a) Si converge, entonces converge.

b) Si diverge, entonces diverge.Definicin:Se dice que una integral impropia Tipo II es Absolutamente Convergente cuando

es convergente. Propiedad 3: Si la integral es absolutamente convergente, entonces es convergente.

Propiedad 4: (Criterio del Lmite) Sean f y g funciones positivas integrables en el intervalo [a, t], para todo y supongamos que:

se tiene:a) Si , entonces las integrales impropias:

Son ambas convergentes o ambas divergentes.

b) Si y G converge, entonces F converge.

c) Si y G diverge, entonces F diverge.

Propiedad 5: Sea f una funcin integrable en el intervalo [a, t], y supongamos que:

Se tiene:a) Si , entonces converge.

b) Si , entonces diverge.

Propiedad 6: Sea f una funcin integrable en el intervalo [a, t], , y supongamos que:

Se tiene:a) Si , entonces converge.

b) Si , entonces diverge.

Ing. Fernando R. Estrada NaviaPgina 7