Cap 4 - Turbulencia - 07 - 2 Por Pagina

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Aplicacin Prctica de Aerodinmica Computacional (ANSYS-FLUENT)Aplicacin Prctica de Aerodinmica Computacional (ANSYS-FLUENT)

Profesores: Luis Ayuso y Rodolfo Profesores: Luis Ayuso y Rodolfo SantSant

Turbulencia. Qu es y su TratamientoTurbulencia. Qu es y su Tratamiento

Contenido.Turbulencia. Qu es y su Tratamiento.

Contenido.Turbulencia. Qu es y su Tratamiento.

Introduccin. n Clasificacin del movimiento. Efecto de la viscosidad. Qu es la turbulencia?.

Descripcin de la Turbulencia. n Cascada de energa. Escalas.n Mtodos de prediccin de la turbulencia. DNS, RANS y LES.

Modelo DNS (Direct Numerical Simulation).

Tema 6Turbulencia. Qu es y su Tratamiento

Modelo RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes).n Boussinesq.

Una-Ecuacin: Spalart-Allmaras. Dos-Ecuaciones: k-e (Standard, RNG y Realizable), k-w, k-L.

n RSM (Reynolds Stress Modeling).n Modelizado cerca de la pared. Funcin de pared, Dos-Zonas, Bajo-Re.

Modelo LES (Large Eddy Simulation).

2Profesores: Luis Ayuso y Rodolfo Sant - EIAE

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IntroduccinClasificacin del Movimiento de los Fluidos Viscosos.

IntroduccinClasificacin del Movimiento de los Fluidos Viscosos.

SEGN LA ESTRUCTURA INTERNA DEL FLUJO:

Movimiento LAMINAR Unas capas deslizan sobre otras sin

mezclarse. En general a velocidades bajas.

Tema 6Turbulencia. Qu es y su Tratamiento 3

Movimiento TURBULENTO Las capas del fluido se mezclan

entre si por agitacin. El flujo tiende a uniformizarse. Es el ms frecuente en la

naturaleza.

V

uFluido Ideal

Profesores: Luis Ayuso y Rodolfo Sant - EIAE

Introduccin.Efecto de la Viscosidad.

Introduccin.Efecto de la Viscosidad.

Experimento de Osborne REYNOLDS:Profesor de ingeniera britnico. Estudio de movimiento en tubos (1883).

Laminar

Turbulento

Inyector

agua

tinta


Conclusin:El cambio de laminar a turbulento depende del parmetro rvD/m, nmero de Reynolds (Re).

El proceso presenta histresis:v rgimen laminar hasta Re 10.000v rgimen turbulento hasta Re 2.300

4

c

ccc

lv

=Re

Re

I

10.0002.300

(5.700)(3.000)Entre placas


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Introduccin.Influencia del nmero de Reynolds.

Introduccin.Influencia del nmero de Reynolds.

40 < Re < 150

5-15 < Re < 40

Re < 5

Calle de torbellinos laminares (Von Karman).

Dos torbellinos laminares estables en la estela.

Flujo adherido (sin separacin)


Re > 3,5106

3105 < Re < 3,5106

150 < Re < 3105

Calle de torbellinos turbulentos, pero ms estrecha que en laminar.

Transicin de la capa lmite a turbulenta antes del punto de separacin, estela turbulenta.

Capa lmite laminar hasta el punto de separacin, estela turbulenta.

(Von Karman).


Introduccin.Influencia del Reynolds. Transicin a Turbulento

Introduccin.Influencia del Reynolds. Transicin a Turbulento

Flujos Externos.

Flujos Internos.

Rex 500.000 sobre superficiedonde

Otros factores, como la turbulencia de la corriente libre, la rugosidad superficial, soplado, succin, etc., pueden provocar la transicin a

etc.,,, hddxL =Red 20.000 en obstculos


Conveccin Natural.

donde

pueden provocar la transicin a Reynolds menores.

(Nmero de Rayleigh)

(Nmero de Prandtl)

Redh 2.300 en conductos


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IntroduccinQue es la Turbulencia?

IntroduccinQue es la Turbulencia?

Movimiento irregular, no estacionario, en el que las cantidadestransportadas de masa, cantidad de movimiento, energa, fluctan conla posicin y con el tiempo.La Turbulencia es Intrnsecamente Tridimensional y no Estacionaria.

Disipacin de turbulencia generada por una rejillaDisipacin de turbulencia generada por una rejilla..

Es impredecible en detalle. Contiene gran variedad de

tamaos de torbellinos (escalas).


Capa lmite turbulenta Capa lmite turbulenta sobresobre una placauna placa

Disipacin de turbulencia generada por una rejillaDisipacin de turbulencia generada por una rejilla.. Identificable por patrones de

torbellinos tpicos: estructuras coherentes. n Las estructuras coherentes de

gran escala son distintas para cada flujo.

n Los torbellinos pequeos son ms universales.

n La escala grande contiene la mayor parte de la energa.

Estructuraspequeas Estructuras

grandesChorro turbulentoChorro turbulento


Descripcin de la TurbulenciaCascada de Energa

Descripcin de la TurbulenciaCascada de Energa

Ramificacin de Torbellinos (Vortex Stretching).n Torbellino implica concentracin de vorticidad (w = V).

La vorticidad se concentra a lo largo de hilos de torbellinos o en manojos. Los hilos/manojos de torbellinos se deforman por las velocidades inducidas por los

torbellinos mayores.

Cascada de Energa.n La turbulencia no es un fenmeno de equilibrio. Decae por disipacin viscosa.


Se forma un torbellino grande en el flujo principal, aumenta su energa (generacin de la turbulencia).

La energa es transferida a las escalas pequeas (por la ramificacin de los torbellinos) donde es disipada (por la difusin viscosa).

8

La tasa de transferencia de energa de los torbellinos grandes a los pequeos

-dK/dt

La tasa de disipacin de la energa en los torbellinos pequeos

e = -dk/dt.=

( )2 2 212= + +K U V WEnerga cintica

( )2 2 212k u v w = + +Energa cintica turbulenta

u U u= +


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Descripcin de la Turbulencia Escalas Pequeas vs. Escalas Grandes

Descripcin de la Turbulencia Escalas Pequeas vs. Escalas Grandes

Comparando l (escala grande) con h (escala pequea):

donde (Nmero de Reynolds Turbulento).

Consecuencia de las escalas.

h

Re TTu lrm

=

1lh

>>( ) 43 /ReTl

h

1/2Tu k=


Consecuencia de las escalas.El nmero de celdas.

Ejemplo: flujo en un canal 2D

Ncel ~ (4 l/h)3 o Ncel ~ 64(ReT)9/4donde ReT = ruTH/2m.

ReH = 30.800 ReT ~ 400 Ncel ~ 40x106 !

Solo es abordable para problemas muy sencillos.9

Hl

4 filas y 4 columnas


Descripcin de la Turbulencia Mtodos de Prediccin de la Turbulencia

Descripcin de la Turbulencia Mtodos de Prediccin de la Turbulencia

l h = l/ReT3/4

Cascada de la EnergaInyeccin de energa Disipacin de energa

Torbellinos de disipacinTorbellinos de gran escala Flujo de la energa


RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes)

LES (Large Eddy Simulation)

DNS (Direct Numerical Simulation)


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Modelos de Turbulencia.Direct Numerical Simulation (DNS)

Modelos de Turbulencia.Direct Numerical Simulation (DNS)

DNS es la resolucin de las ecuaciones de Navier-Stokes completas.

C. Mov:

Para el ejemplo del canal 2D:

+

-=

+

j

i

kik

ik

ixU

xxp

xUU

tU

mr

h

4 filas y 4 columnas


Para el ejemplo del canal 2D:ReH = 30.800Ncel ~ 40x106

N de incrementos de tiempo ~ 48.000

No es adecuado para la aplicacin industrial del CFD.Solo es abordable para geometras sencillas y Re turbulento pequeo.Es muy til como herramienta de investigacin.

Comparacin de resultados de los modelos de turbulencia.

11

Hl


Modelos de Turbulencia. Modelizacin de las Escalas Pequeas

Modelos de Turbulencia. Modelizacin de las Escalas Pequeas

Se pueden utilizar dos mtodos para eliminar la necesidad de resolver todas las escalas de turbulencia:

Reynolds Averaging (RANS).n Se resuelven las ecuaciones de transporte para los valores medios.n Se modelizan todas las escalas de turbulencia.


Filtering (LES).n Ecuaciones de transporte para las escalas que se pueden resolver.n Resuelve los torbellinos mayores. Modeliza los menores.n Inherentemente no estacionario.

Ambos mtodos introducen trminos adicionales que deben ser modelizados para cerrar el problema.


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Modelo RANS.Descomposicin de la Velocidad

Modelo RANS.Descomposicin de la Velocidad

Consideremos un punto (x) del campo fluido:

Analizando la velocidad:

u'i

ui

u.x cte=r


La podemos descomponer como:

13

Uiui

tiempot

( ) ( ) ( ), , ,i i iu x t U x t u x t= +r r r

Velocidadinstantnea

FluctuacinVelocidad

media o principal


Modelo RANS.Velocidad MediaModelo RANS.Velocidad Media

Flujos estacionarios: Time Averaging

Se denomina con frecuencia Reynolds average a esta media (temporal).

u

T

( ) ( )0

0

1lim ,t T

i iTt

U x u x t dtT

+

=

r r

( ) ( ) ( ), , ,i i iu x t U x t u x t= +


Flujos peridicos (o quasi-peridicos): Ensemble Averaging

14

( ) ( ) ( )1

1, lim ,N

ni iN n

U x t u x tN =

= r r

U

n = n del periodo.

( ) ( ) ( ), , ,i i iu x t U x t u x t= +r r r

t

u


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Modelo RANS. Velocidad MediaModelo RANS. Velocidad Media

Contorno de velocidad instantneo.


Contorno de velocidad medio (Time Averaging)


Modelo RANS. Ecuacin de Cantidad de Movimiento

Modelo RANS. Ecuacin de Cantidad de Movimiento

Ecuaciones RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes):Sustituyendo u = U + u:

Dv pDt

mr t= - + i i ikk i j j

u u uput x x x x

r m

+ = - +

( )( ) ( ) ( )( ) i i i i i ik kk i j j

p pU u U u U uU ut x x x x

r m + + + ++ + = - +


Reglas: f = F + f y y = Y + y

Operando ...

Aparecen nuevos trminos (esfuerzos turbulentos de Reynolds):

Los esfuerzos de Reynolds son los trminos a modelizar.16

k i j j

+

-=

+

+

j

i

jik

ki

k

ik

i

xU

xxp

xuu

xUU

tU

mr''

-

+

-=

+

ji

j

i

jik

ik

i uuxU

xxp

xUU

tU ''rmr

jiij uuR ''r-=

; 0; 0; 0; F j j Fy j y jy FY j y = = +


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Modelo RANS. La Aproximacin de Boussinesq

Modelo RANS. La Aproximacin de Boussinesq

Por analoga, Boussinesq relaciona los esfuerzos de Reynols con una viscosidad turbulenta, mt, del flujo medio.

mt es un escalar (Rij queda alineado con Sij).

ijij SR t2m Hay que modelizar mt

( )yx tUy

t m m

= +

+

=i

j

j

iij x

UxUS

21


Los modelos se clasifican segn el n de ecuaciones resueltas:

Una-Ecuacin (k): Spalart-Allmaras

Dos-Ecuaciones:

(k-e): Standard k-e, RNG k-e, Realizable k-e.(k-w): Standard k-w (Wilcox) y k-w Shear Strees Transport (Menter).(k-L): Smith.

Profesores: Luis Ayuso y Rodolfo Sant - EIAE 17

( )2 2 212k u v w = + +Energa cintica turbulenta.

e = -dk/dtTasa de disipacin turbulenta.

Modelo RANS. Modelo Reynolds Stress Modeling (RSM)

Modelo RANS. Modelo Reynolds Stress Modeling (RSM)

Limitaciones del modelo de Boussinesq: Rij = 2mtSijEs suficiente con una simple relacin lineal?.

Rij es muy dependiente de las condiciones del flujo y de la historia. Rij no solamente cambia con el proceso del flujo medio.

Rij no estrictamente alineado con Sij para flujos con: Cambios bruscos en la tasa de deformacin del flujo medio. Tasa de deformacin extra (dilatacin rpida, lnea corriente muy curvada).


Tasa de deformacin extra (dilatacin rpida, lnea corriente muy curvada). Flujos rotativos. Flujos secundarios inducidos por los esfuerzos.

Solucin:

Inconvenientes del Reynolds Stress Modeling (RSM):Necesita ms potencia de CPU: 5 ecuaciones en 2D, y 7 en 3D.

50-60% ms tiempo por iteracin y 15-20% de memoria adicional.Puede incrementar mucho n de iteraciones para la convergencia.

Esfuerzos de Reynolds muy acoplados con el flujo medio.

18

modelizar directamente Rij


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Modelo RANS. Pared: Importancia de la Turbulencia.

Modelo RANS. Pared: Importancia de la Turbulencia.

Las paredes son las principales fuentes de turbulencia.

Para muchas de las aplicaciones de ingeniera es importante modelizar con precisin la zona prxima a las paredes:

n La correcta prediccin de la resistencia de friccin para flujos externos, o de la prdida de carga para flujos internos, dependen de la fidelidad en la prediccin del esfuerzo viscoso en la pared.


n La resistencia de presin en cuerpos romos depende sobre todo del punto de desprendimiento.

n El rendimiento trmico de los intercambiadores de calor, etc., se determina por la transferencia de calor a travs de las paredes, cuya prediccin depende sobre todo de los efectos cerca de esta.


Modelo RANS. Pared: Comportamiento Cerca de la Pared

Modelo RANS. Pared: Comportamiento Cerca de la Pared

kU/ut

t

+

n=

uyy/


Estructura del perfil de velocidad:Capa Interior, subcapa viscosa.

Ley de fuerzas viscosas, U = f(r, tw, m, y).

Capa de solape. Ley logartmica.Capa exterior. Depende del flujo medio.

20

Disipacin >> Produccin de k.

Produccin Disipacin de k.Equilibrio turbulento.


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Modelo RANS. Pared: Estrategias Cerca de la Pared

Modelo RANS. Pared: Estrategias Cerca de la Pared

Mtodo de Funcin de Pared

Mtodo de Dos-Zonas y Modelo para Bajo-Re

inner layer

outer layer


No se resuelve la subcapa viscosa.w Se asume que el centroide de la celda

adyacente a la pared est el la capa logartmica (y+ = 30-500).

w La informacin del centro de la celda es puenteada por la funcin de pared.

w Se pueden utilizar en los modelos completamente turbulentos de Alto-Re.

Se resuelve completamente la regin cerca de la pared, hasta esta.

w Requiere que la celda adyacente a la pared est en la subcapa viscosa (y+ < 5).

w Los modelos de Bajo-Re son completamente vlidos a travs de ella.

w Modelo de Dos-Zonas.Usa modelo ms simple en la subcapa viscosa.


Modelo LES.Filtrado

Modelo LES.Filtrado

Para ESTELAS NO ESTACIONARIAS: media espacial (filtro) sobre cada celda de la malla.

ui

xiD

ui Ui


En general,

La velocidad se descompone como:

n Observar que y por tanto, al contrario que en RANS, .

22

donde V es el volumen de la celda

1( , ) ( ', ; ) 'i iv

U x t u x t x dxV

= r r r r r r

i iU u ' 0iu

'i i iu U u= +rr r

Velocidad localFluctuacinVelocidad

media o principal


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Modelo LES.Ecuaciones Principales

Modelo LES.Ecuaciones Principales

Por filtrado (media espacial) de ecuaciones de Navier-Stokes:

Los trminos de los esfuerzos SGS (subgrid-scale) tij son:

0

( ) 1

i

i

i j iji i

j i j j j

Ux

U UU Upt x x x x x

tn

r

=

+ = - + -

ij i j i ju u U Ut -


Lij : esfuerzos de Leonard. Interacciones entre las escalas resueltas.Cij : trmino cruzado. Interacciones entre los trminos resueltos y los no resueltos.Rij : esfuerzos de Reynolds SGS. Interacciones entre escalas pequeas no resueltas.

Todos estos trminos se modelizan juntos.23

{' ' ' 'ij i j i j i j i j i jijijij

U U u u U u u U u uRCL

t = - + + +14243 1442443


Modelos de TurbulenciaResumen

Modelos de TurbulenciaResumen

Reynolds Averaged Navier-Stokes (RANS) (media temporal).Flujos estacionarios o no estacionarios peridicos.

Para cerrar el problema: modelizar los esfuerzos de Reynolds.Modelos de Boussinesq (Rij=2mtSij): modeliza mt

Una-Ecuacin (Spalart-Allmaras). Funciona bastante bien para varios tipos de flujos. Dos-Ecuaciones (p.e. k-e). Es uno de los ms utilizados en el CFD industrial.

Modelizado del Esfuerzo de Reynolds (RSM) (5 ecuaciones en 2D, 7 en 3D)


Modelizado del Esfuerzo de Reynolds (RSM) (5 ecuaciones en 2D, 7 en 3D) Necesario para flujos complejos, anistropos.

Opciones para el modelizado cerca de la pared:Funciones de pared.

No resuelven la subcapa viscosa ni la de solape. Fallan en esfuerzo en pared.Dos-Zonas y Modelos de Bajo-Re.

Resuelven la subcapa viscosa. Costoso de clculo. Calculan esfuerzo en pared.

Large Eddy Simulation (LES) (media espacial). Flujos no estacionarios.


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Modelos de TurbulenciaModelos de Turbulencia Disponibles en FLUENT

Modelos de TurbulenciaModelos de Turbulencia Disponibles en FLUENT

Aumento del coste de clculo

Modelos RANS

One-Equation ModelSpalart-Allmaras

Two-Equation ModelsStandard k

RNG kRealizable k


coste de clculo por iteracin

*Necesita licencia aparte

RANS Standard kSST k

4-Equation v2f *7-Eq. Reynolds Stress Model (RSM)

kkl Transition ModelSST Transition Model

Detached Eddy Simulation (DES)Large Eddy Simulation (LES)


Modelos de TurbulenciaModelos ms Representativos

Modelos de TurbulenciaModelos ms Representativos

Comentario- Flujo estacionario o peridico.- Velocidad Media como media temporal de la velocidad.Esfuerzos turbulentos de Reynolds: Rij = 2mtS ij. - Hay que modelizar mt (viscosidad turbulenta)

- Ecuacin algebraica para viscosidad turbulenta.

Longitud de mezcla Prandtl ( l mix ) m t = r lmix2(2S ijS ij)1/2. - Muy grosero pero muy econmico. Falla en flujos desprendidos. Se pierden los efectos de la historia aguas arriba.

K Spalart-Allmaras (S-A) k = 1/2(u'2+v' 2+w' 2 ) , energa cintica turbulenta. Econmico y preciso para flujos internos o capa lmite adherida, incluso flujo poco desprendido o recirculacin. Se

puede integrar en capa logartmica y viscosa. Admite funcin de pared. Falla para flujos bastante desprendidos y chorros. Razonable en estelas.

Standard K - e (SKE)Alto-Re. e = -dk/dt (tasa de variacin k).- Muy afinado para descripcin idealizada de turbulencia. Se puede incluir flotabilidad y compresibilidad. Robusto (poco sensible a valor de e en entrada y campo lejano) y econmico. Razonablemente preciso para muchos movimientos. Demasiado difusivo en lneas de corriente muy curvadas, remolinos, flujo separado o Bajo-Re. Falla en tasa de difusin de chorros.

RNG K - e (RNG)(ReNormalization Group)

ReNormalization Group: adimensionalizacin adecuada para independizarse de la escala.- Mejora Standard k - e en flujos que se deforman mucho (choque con pared), muy curvados, con separacin o Bajo-Re. Se puede incluir flotabilidad y compresibilidad.- Limitaciones inherentes a modelo de turbulencia-viscosidad isotrpica (pared).

Modelo de TurbulenciaRANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes).

Boussinesq

Cero-Ecuaciones

Una-Ecuacin

Dos-Ecuaciones

K- e


(ReNormalization Group) - Limitaciones inherentes a modelo de turbulencia-viscosidad isotrpica (pared).

Realizable K - e (RKE)Asegura valor + en esfuerzos normales y la desigualdad Schwarz para los tangenciales.- Mejora Standard k - e en flujos que se deforman rpidamente: recirculacin, rotacin, separacin, fuerte gradiente de p. Se puede incluir flotabilidad y compresibilidad. Resuelve tasa disipacin de chorros. Limitaciones inherentes a modelo de turbulencia-viscosidad isotrpica (pared).

K-L Smith L = escala de longitud. Mejor para flujo compresible limitado por paredes.- Falla en cizalladura: chorros, estelas largas, capas de mezcla. No robusto: sensible a valores de L en entrada y en campo lejano.K- w Wilcox w = vortic idad. Resuelve chorros. Admite compresibilidad y Bajo-Re. Razonable para efecto Bajo-Re cerca de pared, sin funcin amortiguamiento, y transicin.- Poco robusto: algo sensible a valores de w en entrada y en campo lejano.

Esfuerzos turbulentos de Reynolds: R ij = 2 m t S ij + otros trminos.- R i j no est estrictamente alineado con S ij si hay cambios bruscos, dilatacin, mucha curvatura, flujos rotativos. Se puede tener en cuenta compresibilidad y anisotropa cerca de pared. Tiene en cuenta los efectos de curvatura, remolinos y rotacin. Mas caro que k - e : 50-60% ms tiempo por iteracin, 15-20% ms memoria y bastantes ms iteraciones.

Cerca de la pared se distinguen tres zonas afectadas por esta: 1 la ms cercana: subcapa viscosa (y +

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Ejemplos de Flujo TurbulentoPerfil NACA 0012. Distribucin de Cp

Ejemplos de Flujo TurbulentoPerfil NACA 0012. Distribucin de Cp

Flujo Transnico. M = 0,8 ; Rec = 9106, a = 2,26

Tema 6Turbulencia. Qu es y su TratamientoProfesores: Luis Ayuso y Rodolfo Sant - EIAE 27

Modelos de Una-Ecuacin (Spalart-Allmaras) y Dos-Ecuaciones (SKE, RNG, RKE) con funcin de pared estndar.

Modelo RNG con distintas funciones de pared.

Ejemplos de Flujo TurbulentoPerfil NACA 0012. Capa LmiteEjemplos de Flujo TurbulentoPerfil NACA 0012. Capa Lmite

Flujo Transnico. M = 0,8 ; Rec = 9106, a = 2,26

RNG + Standard wall functionsRNG + Standard wall functions

Detalle de la separacin de la capa lmite.


RNG + NonRNG + Non--eq. wall functionseq. wall functions

SpalartSpalart--AllmarasAllmaras


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Ejemplos de Flujo TurbulentoAdaptador de Conducto Circular a Rectangular

Ejemplos de Flujo TurbulentoAdaptador de Conducto Circular a Rectangular

Fuerte gradiente de presin, se genera flujo secundario y un par de torbellinos en la direccin de la corriente.

Calculado usando SKE, RNG, y RSM con funciones de pared estndar. Contornos de velocidad axial en estacin 6:


SKE RNG RSM

Medido


Ejemplos de Flujo TurbulentoCilindro con borde de ataque romo


Turbulent flow past a blunt flat plate was simulated using four different turbulence models.n 8,700 cell quad mesh, graded near leading edge and reattachment location.n Non-equilibrium boundary layer treatment

000,50Re =Rx

0U


N. Djilali and I. S. Gartshore (1991), Turbulent Flow Around a Bluff Rectangular Plate, Part I: Experimental Investigation, JFE, Vol. 113, pp. 5159.

D

000,50Re =D

Recirculation zone Reattachment point


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RNG kStandard k

Contours of Turbulent Kinetic Energy (m2/s2)

0.49

0.56

0.63

0.70


Reynolds StressRealizable k

0.00

0.07

0.14

0.21

0.28

0.35

0.42




Predicted separation bubble:

Standard k (SKE)

Skin Friction CoefficientCf 1000


SKE severely underpredicts the size of the separation bubble,

while RKE predicts the size exactly.

Realizable k (RKE)


Experimentally observed reattachment point is atx / D = 4.7

Distance Along Plate x / D

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Ejemplos de Flujo TurbulentoCyclone


40,000-cell hexahedral mesh

High-order upwind scheme was used.

Computed using SKE, RNG, RKE and RSM (second moment 0.2 m

Uin = 20 m/s

0.1 m

0.12 m


and RSM (second moment closure) models with the standard wall functions

Represents highly swirling flows (Wmax = 1.8 Uin)

33

0.2 m

0.97 m




Tangential velocity profile predictions at 0.41 m below the vortex finder

Tema 6Turbulencia. Qu es y su Tratamiento 34Profesores: Luis Ayuso y Rodolfo Sant - EIAE

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