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PAVF
c
1999 37
Pareto-otimalidade
� Formula�c~ao geral do problema
� Solu�c~oes e�cientes
� T�ecnicas de escalariza�c~ao
� Condi�c~oes de Kuhn-Tucker para e�ciencia
� An�alise no espa�co dos objetivos
� M�etodo do crit�erio global
PAVF
c
1999 38
Formula�c~ao geral do problema
Formula�c~ao
Seja f = (f
1
; f
2
; : : : ; f
m
) (m � 2) um vetor de objetivos
e � R
n
um subconjunto de decis~oes fact��veis sobre o
qual f est�a de�nida
Problema multiobjetivo
'minimizar' f(x) s.a x 2
� O sentido da minimiza�c~ao n~ao �e o usual
� Em geral, m��nimos locais ou globais n~ao podem ser
obtidos
� Note que f : ! Y � R
m
e Y �e parcialmente
ordenado: em geral, qualquer que seja � > 0,
6 9 x
�
2 : f(x
�
) � f(x); 8x 2 \ B(x
�
; �)
De�ni�c~ao - Solu�c~ao ut�opica
A solu�c~ao ut�opica y := (y
1
; y
2
; : : : ; y
m
) do problema �e
de�nida como y
i
= f
i
(x
i
); i = 1; 2; : : : ;m, onde
x
i
:= argmin
x2
f
i
(x)
PAVF
c
1999 39
Formula�c~ao geral do problema
Dominancia
Para um ponto qualquer x
0
2 R
n
, de�na
<
(x
0
) := fx : f(x) � f(x
0
) e f(x) 6= f(x
0
)g
�
(x
0
) := fx : f(x) � f(x
0
)g
�
(x
0
) := fx : f(x) 6� f(x
0
) e f(x) 6� f(x
0
)g
� R
n
=
<
(x
0
) [
�
(x
0
) [
�
(x
0
); 8x
0
2 R
n
�
<
(x
0
) e
�
(x
0
) contem pontos de que dominam
e s~ao dominados por x
0
de acordo com '�'
�
�
(x
0
) cont�em todos os pontos n~ao-compar�aveis a x
0
� Como se busca a minimiza�c~ao simultanea dos objetivos
e x
0
62
<
(x
0
), uma solu�c~ao candidata x
�
2 dever�a
ser tal que \
<
(x
�
) = ;
De�ni�c~ao - Solu�c~ao e�ciente
x
�
2 �e uma solu�c~ao e�ciente se n~ao existe qualquer
outro ponto x 2 tal que f(x) � f(x
�
) e f(x) 6= f(x
�
)
PAVF
c
1999 40
Formula�c~ao geral do problema
Observa�c~oes
� Na literatura, e�ciente=n~ao-dominada=n~ao-inferior=
Pareto-�otima
� Solu�c~oes e�cientes n~ao s~ao dominadas por quaisquer
outros pontos de
� Qualquer ponto x 2 que proporcione um decr�escimo
em algum objetivo, deve ao mesmo tempo levar ao
acr�escimo de pelo menos algum outro, relativamente
aos valores produzidos por uma solu�c~ao e�ciente
� Interpreta�c~ao:
PSfrag replacements
x
f
1
f
2
e� ()
x
n
� Em geral, existem in�nitas solu�c~oes e�cientes em ,
representadas pelo conjunto e� ()
� Adota-se um sentido global para e�ciencia, mas carac-
teriza�c~oes locais s~ao poss��veis
PAVF
c
1999 41
T�ecnicas de escalariza�c~ao
Caracter��sticas
� Utiliza�c~ao de problemas escalares (mono-objetivos) pa-
ra descrever e gerar solu�c~oes e�cientes
� As condi�c~oes para e�ciencia �cam associadas �as con-
di�c~oes de otimalidade destes problemas
Teorema 1
x
�
2 e� () se e somente se x
�
resolve os m problemas
escalares
P
k
: minimizar
x2
f
k
(x)
s.a f
j
(x) � f
j
(x
�
); 8j 6= k
Prova: ()) Suponha que x
�
2 e� (). Ent~ao n~ao existe
x 2 tal que f(x) � f(x
�
) e f(x) 6= f(x
�
) e neste caso
x
�
resolve P
k
; k = 1; 2; ::;m. (() Suponha que x
�
resolve
P
k
; k = 1; 2; ::;m, mas x
�
62 e� (). Ent~ao existe x 2
tal que f(x) � f(x
�
) e que para algum k, f
k
(x) < f
k
(x
�
)
e x
�
n~ao resolveria o problema P
k
. 2
� A veri�ca�c~ao de e�ciencia exige a resolu�c~ao de m pro-
blemas
PAVF
c
1999 42
T�ecnicas de escalariza�c~ao
Teorema 2
Se x
�
2 �e solu�c~ao �unica de P
k
para algum k, ent~ao
x
�
2 e� ()
Prova: Por absurdo, suponha que x
�
2 �e a solu�c~ao
�unica de P
k
, mas x
�
62 e� (). Ent~ao existe x 2 tal que
f(x) � f(x
�
) e f(x) 6= f(x
�
) e, em particular, f
k
(x) �
f
k
(x
�
), o que contradiz a unicidade de x
�
. Portanto x
�
2
e� (). 2
� Os problemas P
k
; k = 1; 2; : : : ;m induzem condi�c~oes
anal��ticas para e�ciencia, mas tem pouca utilidade pr�a-
tica
Teorema 3
Se x
�
2 e� (), ent~ao existem um inteiro k 2 I :=
f1; 2; : : : ;mg e reais �
j
; j = 1; 2; : : : ;m (j 6= k) tais que
x
�
resolve
P
k
(�) : minimizar
x2
f
k
(x)
s.a f
j
(x) � �
j
; 8j 6= k
onde � est�a de�nido em
E
k
:= f� = (�
1
; ::; �
k�1
; �
k+1
; ::; �
m
) :
k
(�) 6= ;g
k
(�) := fx 2 : f
j
(x) � �
j
; 8j 6= kg
PAVF
c
1999 43
T�ecnicas de escalariza�c~ao
Prova: De�na f
�
i
= f
i
(x
�
); i = 1; 2; ::;m e suponha que
x
�
2 e� () n~ao resolve o problema para nenhum k 2 I
e reais �
j
; j = 1; 2; : : : ;m (j 6= k). Neste caso, para
algum k e �
j
= f
�
j
; 8 j 6= k, deve existir x 2 tal que
f
k
(x) < f
k
(x
�
) e f
j
(x) � f
�
j
; 8 j 6= k, o que contradiz
x
�
2 e� (). 2
� P
k
(�) �e chamado de problema �-restrito
� Variando-se convenientemente � em E
k
, �e poss��vel ge-
rar e� ()
� Nem toda solu�c~ao de P
k
(�) ser�a e�ciente
� Condi�c~oes su�cientes asseguram a e�ciencia da so-
lu�c~ao
Teorema 4
Dado � 2 E
k
, uma solu�c~ao x
�
de P
k
(�) �e e�ciente se
a) x
�
�e a solu�c~ao �unica de P
k
(�) para algum k, ou
b) x
�
resolve P
k
(�) para todo k 2 I.
PAVF
c
1999 44
T�ecnicas de escalariza�c~ao
Prova: a) Se x
�
�e a solu�c~ao �unica de P
k
(�) para algum k,
ent~ao x
�
�e tambem a solu�c~ao �unica do problema P
k
minimizar
x2
f
k
(x)
s.a: f
j
(x) � f
j
(x
�
); 8j 6= k
pois f
j
(x
�
) � �
j
; 8j 6= k. Logo, pelo Teorema anterior,
x
�
�e e�ciente; b) Suponha que x
�
�e e�ciente, mas n~ao
resolve P
k
(�) para todo k 2 I. Ent~ao existe um k
�
tal que
x
�
n~ao resolve
minimizar
x2
f
k
�
(x)
s.a f
j
(x) � f
j
(x
�
); 8j 6= k
�
e portanto x
�
n~ao �e e�ciente. 2
Exemplo (k = 1)
PSfrag replacements
x
x
0
x
00
f
1
f
2
1
(�
0
)
1
(�
00
)
�
0
2
�
00
2
e� ()
PAVF
c
1999 45
T�ecnicas de escalariza�c~ao
Observa�c~oes
� No Exemplo anterior, x
0
e x
00
s~ao as solu�c~oes �unicas dos
problemas P
1
(�
0
) e P
1
(�
00
). Portanto, x
0
; x
00
2 e� ()
� Considere k = 2 na situa�c~ao abaixo
PSfrag replacements
x
x
0
f
1
f
2
2
(�
0
)
�
0
1
e� ()
� Existem solu�c~oes para P
2
(�
0
) que n~ao s~ao e�cientes
� Dentre as solu�c~oes de P
2
(�
0
), x
0
2 e� ()
Limita�c~oes da abordagem
� Veri�car a otimalidade de x
�
com respeito a m pro-
blemas de otimiza�c~ao; agrega�c~ao de m � 1 objetivos
�as restri�c~oes originais
� As �-restri�c~oes podem modi�car a natureza do proble-
ma de otimiza�c~ao
PAVF
c
1999 46
T�ecnicas de escalariza�c~ao
Teorema 5
Seja x
�
2 uma solu�c~ao de
P
w
: minimizar
x2
< w; f(x) >
para w 2 R
m
; w � 0 dado. Ent~ao x
�
2 e� () se
a) x
�
�e a solu�c~ao �unica de P
w
, ou
b) w
i
> 0; i = 1; 2; ::;m
Prova: a) Se x
�
�e a solu�c~ao �unica de P
w
, ent~ao
< w; f(x
�
)� f(x) > < 0; 8x 2 ; x 6= x
�
Suponha que x
�
62 e� (), isto �e, que existe x 2 tal
que f(x
�
)� f(x) � 0 e f(x
�
)� f(x) 6= 0. Como w � 0,
isto implica que < w; f(x
�
)� f(x) > � 0, contradizendo
a unicidade de x
�
. Portanto, x
�
2 e� (). O caso b) �e
demonstrado por argumentos similares. 2
Formula�c~ao equivalente
P
w
: minimizar
x2
< w; f(x) >
onde w 2W := fw : w � 0;
m
X
i=1
w
i
= 1g
PAVF
c
1999 47
T�ecnicas de escalariza�c~ao
Observa�c~oes
� P
w
�e chamado de problema ponderado
� Variando-se w sobre W , �e poss��vel gerar e� () se
f
1
; f
2
; : : : ; f
m
forem convexas sobre convexo
Exemplo - Considere o problema do tipo 0� 1
minimizar
x2
wf
1
(x) + (1� w)f
2
(x); w 2 [0; 1]
f
1
(x) = x
1
+ 3x
2
+ 4x
3
;
f
2
(x) = 4x
1
+ 3x
2
+ x
3
;
= fx : x
1
+ x
2
+ x
3
= 1; x
1
; x
2
; x
3
2 f0; 1gg
= f(1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1)g
Os valores dos objetivos s~ao f(1; 4); (3; 3); (4; 1)g e por-
tanto e� () = . P
w
:
minimizar
x2
(4� 3w)x
1
+ 3x
2
+ (1 + 3w)x
3
Solu�c~ao:
w 2
8
>
>
>
<
>
>
>
:
[0; 0:5); x
�
= (0; 0; 1)
[0:5; 1]; x
�
= (1; 0; 0)
Conclus~ao: x
�
= (0; 1; 0) n~ao pode ser gerado atrav�es de
P
w
. Atrav�es de P
k
(�), pode-se gerar e� () com k = 1 e
�
2
= 4, �
2
= 3 e �
2
= 1, respectivamente 2
PAVF
c
1999 48
Condi�c~oes de Kuhn-Tucker para e�ciencia
De�ni�c~ao
Sejam f
i
; i = 1; 2; : : : ;m e g
j
; j = 1; 2; : : : ; p fun�c~oes
diferenci�aveis e
:= fx : g(x) � 0g 6= ;
Diz-se que x
�
satisfaz as condi�c~oes de Kuhn-Tucker para
e�ciencia - KTC
e
- se existem reais w
i
� 0; i = 1; 2; : : : ;m
n~ao todos nulos e �
j
� 0; j = 1; 2; : : : ; p tais que
m
X
i=1
w
i
r f
i
(x
�
) +
p
X
j=1
�
j
r g
j
(x
�
) = 0
g
j
(x
�
) � 0; �
j
g
j
(x
�
) = 0; j = 1; 2; : : : ; p
2
� Condi�c~oes de Kuhn-Tucker para problemas escalares -
KTC - s~ao obtidas sob quali�ca�c~ao de restri�c~oes: x
�
�e
um ponto regular das restri�c~oes
� Rela�c~oes entre KTC
e
e as KTC de P
k
(�
�
) - KTC
k
-
minimizar
x2
f
k
(x) s.a f
j
(x) � f
j
(x
�
); 8 j 6= i
com �
�
j
= f
j
(x
�
); 8 j 6= k, podem ser investigadas
PAVF
c
1999 49
Condi�c~oes de Kuhn-Tucker para e�ciencia
Teorema 6
Assuma que f
i
; i = 1; 2; : : : ;m e g
j
; j = 1; 2; : : : ; p
s~ao diferenci�aveis e que x
�
�e um ponto regular de P
k
(�
�
)
para no m��nimo um k. Ent~ao x
�
2 e� () implica que x
�
satisfaz KTC
e
Prova: Se x
�
2 e� () ent~ao x
�
resolve P
k
(�
�
); 8 k. Por
hip�otese, existe um k
�
tal que x
�
�e um pto. regular de
P
k
�
(�
�
). Ent~ao x
�
satisfaz KTC
k
: existem reais w
i
�
0; i = 1; 2; : : : ;m; i 6= k e �
j
� 0; j = 1; 2; : : : ; p tais
que
f
i
(x
�
)� �
�
i
� 0; w
i
(f
i
(x
�
)� �
i
) = 0; 8 i 6= k
g
j
(x
�
) � 0; �
j
g
j
(x
�
) = 0; j = 1; 2; : : : ; p
f
k
(x
�
) +
X
i 6=k
w
i
r f
i
(x
�
) +
p
X
j=1
�
j
r g
j
(x
�
) = 0
Portanto, x
�
satisfaz KTC
e
(w � 0; w 6= 0) 2
Teorema 7 (Su�ciencia)
Assuma que f
i
; i = 1; 2; : : : ;m e g
j
; j = 1; 2; : : : ; p
s~ao diferenci�aveis e que f
i
; i = 1; 2; : : : ;m s~ao estritamen-
te convexas sobre convexo. Ent~ao x
�
2 e� () se x
�
satisfaz KTC
e
PAVF
c
1999 50
Condi�c~oes de Kuhn-Tucker para e�ciencia
Prova: Se x
�
satisfaz KTC
e
, ent~ao existe k tal que w
k
> 0
e consequentemente x
�
satisfaz KTC
k
. Por hip�otese, f
k
�e
estritamente convexa sobre : x
�
�e a �unica solu�c~ao (global)
de P
k
(�
�
) e portanto x
�
2 e� () 2
Exemplo (Car�ater necess�ario das KTC
e
)
PSfrag replacements
x
f
1
f
2
a
b
c
� f
1
; f
2
convexas sobre := fx : g(x) = �x � 0g
convexo
� Com w
1
> 0 e w
2
= � = 0, KTC
e
s~ao satisfeitas no
intervalo (1; 2):
w � 0; w 6= 0; � � 0
g(x) � 0 ; �g(x) = 0
w
1
df
1
(x)
dx
+ w
2
df
2
(x)
dx
� � = 0
� As solu�c~oes no intervalo (1; 2) n~ao s~ao e�cientes
� KTC
e
s~ao condi�c~oes necess�arias, mesmo que o proble-
ma seja convexo
PAVF
c
1999 51
Condi�c~oes de Kuhn-Tucker para e�ciencia
Rela�c~oes entre KTC
w
, KTC
k
e KTC
e
U : problema apresenta solu�c~ao �unica;
C : f
i
; 8 i s~ao convexas sobre convexo;
E : f
i
; 8 i s~ao estrit. convexas sobre convexo;
T : implica�c~ao v�alida 8 k;
P : w
i
> 0; 8 i;
R : x
�
�e um pt. regular das restri�c~oes
PSfrag replacements
x
�
= argmin
x2
m
X
i=1
w
i
f
i
(x)
w 2W
x
�
2 e� ()
x
�
= argmin
x2
f
k
(x)
f
j
(x) � f
j
(x
�
); 8j 6= k
x
�
satis. KTC
k
x
�
satis. KTC
e
1
2
3
4
5
6
U ou T
T
C R
C
R
U ou P
PAVF
c
1999 52
Condi�c~oes de Kuhn-Tucker para e�ciencia
Implica�c~oes
1! 2 (T); 2! 1 (U ou T) : Teorema 1, Teorema 2
2! 3 (R) : Sempre verdadeira, sem hip�oteses adicionais
3! 4; 4! 3 : Sempre verdadeira, sem hip�oteses adicio-
nais: se x
�
satisfaz KTC
e
, existe ao menos um k tal
que w
k
> 0 e portanto
f
k
(x
�
) +
X
i 6=k
w
i
w
k
!
rf
i
(x
�
) +
p
X
j=1
�
j
w
k
!
rg
j
(x
�
) = 0
o que demonstra 4 ! 3. Com o racioc��nio inverso,
3! 4
5! 4 (R) : As KTC do problema P
w
, KTC
w
, s~ao equiva-
lentes as KTC
e
. Note que se w 2 W , ent~ao w � 0 e
w 6= 0
4! 5 (C) : Se x
�
satisfaz KTC
e
e o problema �e convexo,
ent~ao x
�
resolve P
w
, para w � 0; w 6= 0 (eventual-
mente normalizado)
5! 1 (U ou T) : Teorema 5
Teorema 6: 1! 2! 3! 4
Teorema 7: 4! 3 e com (E) 3! 2! 1
PAVF
c
1999 53
Condi�c~oes de Kuhn-Tucker para e�ciencia
Objetivos lineares
Considere f
i
(x) = < c
i
; x >; i = 1; 2; : : : ;m (note que
rf
i
(x) = c
i
) e as de�ni�c~oes
<
(x
0
) := fx : f(x) � f(x
0
) e f(x) 6= f(x
0
)g
�
(x
0
) := fx : f(x) � f(x
0
)g
�
(x
0
) := fx : f(x) 6� f(x
0
) e f(x) 6� f(x
0
)g
para um dado x
0
2 R
n
Proposi�c~ao
Seja C o cone gerado pelos vetores f�c
1
;�c
2
; : : : ;�c
m
g
e C
�
o cone polar associado. Ent~ao
<
(x
0
) = C
�
Prova: Por de�ni�c~ao, C
�
= fy : y
T
z � 0; z 2 Cg. Em
particular, para z = c
i
2 C; i = 1; 2; : : : ;m,
y
T
(�c
i
) � 0; i = 1; 2; : : : ;m
Considere C e C
�
com v�ertices em x
0
. Como (c
i
)
T
y �
0; i = 1; 2; : : : ;m; 8 y 2 C
�
, os pontos de C
�
fornecem
valores iguais ou menores para objetivos, relativamente a
f(x
0
), isto �e,
<
(x
0
) = C
�
2
PAVF
c
1999 54
Condi�c~oes de Kuhn-Tucker para e�ciencia
Exemplo (Goicoechea et al. (1982), pg. 42)
PSfrag replacements
H
C
C
�
C
�
0
�
x
1
x
2
x
0
x
�
�c
1
�c
1
�c
2
�c
2
�g
1
�g
2
g
1
(x) = 0
g
2
(x) = 0
� Como \
<
(x
0
) 6= ;, x
0
n~ao �e e�ciente
� Como \
<
(x
�
) = ;, x
�
�e e�ciente (assim como todos
os pontos nos trechos destacados)
� Como x
�
2 @ e \ C
�
= ;, existe um hiperplano H
que separa de
<
(x
�
). Se �e o vetor normal de H,
existem w
1
; w
2
� 0 e �
1
; �
2
� 0 tais que
= w
1
(�c
1
) + w
2
(�c
2
) = �
1
g
1
+ �
2
g
2
isto �e,
w
1
c
1
+ w
2
c
2
+ �
1
g
1
+ �
2
g
2
= 0 (KTC
e
)
PAVF
c
1999 55
An�alise no espa�co dos objetivos
Espa�co dos objetivos
Seja Y = f() a representa�c~ao do mapeamento de
no espa�co dos objetivos:
Y := fy 2 R
m
: y = f(x); x 2 g
Formula�c~ao no espa�co dos objetivos
P
y
: minimizar
y2Y
y
Conjunto de solu�c~oes e�cientes: e� (Y) := f(e� ())
Proposi�c~ao
Se y
�
2 e� (Y), ent~ao y
�
2 @Y
Prova: Se y
�
2 int (Y) pode-se de�nir B(y
�
; �) no entorno
de y
�
, e qualquer ponto y 2 B(y
�
; �) da reta que une
y
�
�a origem do R
m
seria tal que y < y
�
, contradizendo
y
�
2 e� (Y) 2
PAVF
c
1999 56
An�alise no espa�co dos objetivos
Interpreta�c~ao atrav�es de P
w
PSfrag replacements
Y
y
0
y
1
< w
0
; y > = �
0
< w
1
; y > = �
1
Dado w
0
2 W , seja y
0
2 Y uma solu�c~ao �otima do
problema
P
w
0
: minimizar
y2Y
< w
0
; y >
e �
0
o valor m��nimo associado. Ent~ao
H := fy : < w
0
; y > = �
0
g
�e um hiperplano suporte a Y no ponto y
0
, pois
< w
0
; y
0
> = �
0
e < w
0
; y > � �
0
; 8 y 2 Y
� Em outras palavras, Y � H
�
. Se y
0
�e a �unica solu�c~ao
de P
w
0
e/ou w
0
> 0, ent~ao y
0
2 e� (Y)
PAVF
c
1999 57
An�alise no espa�co dos objetivos
Observa�c~oes
� Em geral, nem todos os pontos de e� (Y) admitem
hiperplanos suportes e portanto podem ser gerados
atrav�es de P
w
:
PSfrag replacements
Y
y
1
y
2
y
3
� e� (Y) poderia ser gerado atrav�es de P
w
se Y fosse
um conjunto convexo
� N~ao se pode garantir Y convexo, mesmo que o pro-
blema seja convexo, isto �e, mesmo que f
1
; f
2
; : : : ; f
m
sejam convexas sobre convexo
� Entretanto pode-se garantir que se o problema for con-
vexo, ent~ao qualquer ponto de e� (Y) admite um hi-
perplano suporte
PAVF
c
1999 58
An�alise no espa�co dos objetivos
Lema
Seja Y � R
m
um conjunto arbitr�ario e conv (Y) a casca
convexa de Y . Se y 2 conv (Y), ent~ao y pode ser expresso
como
y =
m+1
X
i=1
�
i
y
i
; �
i
� 0;
m+1
X
i=1
�
i
= 1
com y
i
2 Y ; i = 1; 2; : : : ;m+ 1
Teorema 8
Sejam f
1
; f
2
; : : : ; f
m
fun�c~oes convexas sobre um conjun-
to convexo . Ent~ao Y admite um hiperplano suporte em
qualquer ponto de e� (Y)
Prova: Seja conv (Y) a casca convexa de Y e e� (conv (Y))
o conjunto das solu�c~oes e�cientes de conv (Y). Se y
0
2
e� (conv (Y)), ent~ao y
0
2 conv (Y) e atrav�es do Lema
y
0
=
m+1
X
i=1
�
i
y
i
; �
i
� 0;
m+1
X
i=1
�
i
= 1
onde y
i
= f(x
i
) 2 Y com x
i
2 ; i = 1; 2; : : : ;m+ 1
PAVF
c
1999 59
An�alise no espa�co dos objetivos
(Cont. da prova)
Usando a hip�otese de convexidade, obt�em-se
y = f
0
@
m+1
X
i=1
�
i
x
i
1
A
�
m+1
X
i=1
�
i
y
i
= y
0
� Observe que y 2 Y , e que portanto y 2 conv (Y).
Como y
0
2 e� (conv (Y)), conclui-se que y = y
0
2 Y
� Como y
0
2 e� (conv (Y)), ent~ao n~ao existe qualquer
outro y 2 conv (Y) tal que y � y
0
e y 6= y
0
� Dado que y
0
2 Y �e e�ciente sobre conv (Y) e Y �
conv (Y), conclui-se que y
0
2 Y tambem �e e�ciente
sobre Y , isto �e, y
0
2 e� (Y)
� Como, por de�ni�c~ao, e� (conv (Y)) admite hiperpla-
nos suportes, Y admite um hiperplano suporte em
y
0
2 e� (Y) 2
Observe que o Teorema 8 n~ao a�rma que Y �e um con-
junto convexo, e que portanto
P
y
: minimizar
y2Y
y
�e um problema convexo
PAVF
c
1999 60
An�alise no espa�co dos objetivos
Formula�c~ao convexa equivalente
Rede�na a regi~ao de factibilidade de P
y
como
Y +D := f� 2 R
m
: � = y + d; y 2 Y ; d 2 Dg
onde D �e o cone convexo
D := fd 2 R
m
: d � 0g
Teorema 9
e� (Y) = e� (Y +D)
Prova:
� Suponha y
�
2 e� (Y), mas y
�
62 e� (Y + D). Ent~ao
existem y 2 Y e d 2 D tais que y+ d � y
�
e y+ d 6=
y
�
, o que implica em y � y
�
e y 6= y
�
, isto �e, que
y
�
62 e� (Y). Portanto, e� (Y) � e� (Y +D)
� Suponha y
�
2 e� (Y +D), mas y
�
62 e� (Y), ou seja,
existe y 2 Y tal que y � y
�
e y 6= y
�
. Por continui-
dade, existe d 2 D; d 6= 0, tal que y+ d � y
�
, isto �e,
y
�
62 e� (Y +D). Logo e� (Y +D) � e� (Y) e assim
e� (Y +D) = e� (Y) 2
PAVF
c
1999 61
An�alise no espa�co dos objetivos
Consequencias
� Y +D preserva a estrutura e�ciente de Y
� O problema multiobjetivo �e equivalente (no sentido da
e�ciencia da solu�c~ao) a
P
y
: minimizar
y2Y+D
y
� Demonstra-se que a nova formula�c~ao �e convexa
Teorema 10
Sejam f
1
; f
2
; : : : ; f
m
fun�c~oes convexas sobre um conjun-
to convexo . Ent~ao Y +D �e um conjunto convexo
Prova: Sejam y
1
; y
2
2 Y+D, isto �e, y
k
= f(x
k
)+d
k
; k =
1; 2, com x
k
2 e d
k
2 D. Para � 2 [0; 1] e de�nindo
�� := 1� �,
�y
1
+ ��y
2
= �f(x
1
) + ��f(x
2
) + �d
1
+ ��d
2
� f(�x
1
+ ��x
2
) + �d
1
+ ��d
2
�y
1
+ ��y
2
= f(�x
1
+ ��x
2
) + �d
1
+ ��d
2
+ d
�
= f(�x
1
+ ��x
2
)
| {z }
2Y
+�(d
�
+ d
1
) + ��(d
�
+ d
2
)
| {z }
2D
para d
�
� 0. Portanto, �y
1
+ ��y
2
2 Y +D; 8� 2 [0; 1],
isto �e, Y +D �e convexo 2
PAVF
c
1999 62
An�alise no espa�co dos objetivos
Observa�c~oes
� Seja F := Y + D. O problema multiobjetivo equiva-
lente
P
y
: minimizar
y2F
y
�e convexo
� P
y
apresenta objetivos lineares (componentes de y) e
regi~ao fact��vel convexa
� O n�umero de vari�aveis (objetivos) �e m e, em geral,
m � n; ocorre um dr�astica redu�c~ao de dimensionali-
dade
Teorema 11 (Representa�c~ao de F)
F := fy : f(x) � y; x 2 g
� Note que cada y 2 F se escreve como y = f(x) +
d; x 2 ; d 2 D
� Qualquer m�etodo de resolu�c~ao de P
y
deve estar pre-
parado para, dado y
0
2 R
m
, veri�car se y
0
2 F
PAVF
c
1999 63
An�alise no espa�co dos objetivos
Teorema 12
Sejam f
1
; f
2
; : : : ; f
m
fun�c~oes convexas de�nidas sobre
um conjunto convexo compacto . Ent~ao y
0
2 F se e
somente se y
0
satisfaz o sistema de in�nitas desigualdades
lineares
inf
x2
< w; f(x)� y
0
> � 0; 8w 2W
Prova: ()) Suponha que y
0
2 Y . Ent~ao existe x
0
2 tal
que f(x
0
)� y � 0. Mas ent~ao
inf
x2
< w; f(x)� y
0
> � < w; f(x
0
)� y
0
> � 0
8w 2W , e a necessidade �ca provada. (() Se y
0
satisfaz
o sistema de inequa�c~oes, ent~ao
sup
w2W
inf
x2
< w; f(x)� y
0
> � 0
Neste caso,
sup
w�0
inf
x2
< w; f(x)� y
0
> = 0
pois, sem a normaliza�c~ao, w = 0 �e fact��vel. Logo, o valor
�otimo dual associado ao problema primal ( compacto)
minimizar
x2
0
T
x s.a f(x) � y
0
�e �nito (zero) e portanto o primal �e fact��vel, isto �e, existe
x
0
2 tal que f(x
0
) � y
0
2
PAVF
c
1999 64
An�alise no espa�co dos objetivos
Interpreta�c~ao
De�na x(w) = arg min
x2
< f(x)� y >; w 2W
PSfrag replacements
F
y
1
y
2
y
3
y
4
y
5
< w
2
; y > � < w
2
; f(x(w
2
)) >
� O sistema de inequa�c~oes
inf
x2
< w; f(x)� y
0
> � 0; 8w 2W
restringe y a pertencer a F
� Para cada w 2W obt�em-se uma restri�c~ao do tipo
< w; y > � < w; f(x(w)) >
PAVF
c
1999 65
An�alise no espa�co dos objetivos
Exemplo (Goicoechea et al. (1982), pg. 46)
minimizar
x2
(f
1
(x); f
2
(x))
f
1
(x) = x
1
� 3x
2
f
2
(x) = �4x
1
+ 2x
2
g
1
(x) = �x
1
+ x
2
� 7=2
g
2
(x) = x
1
+ x
2
� 11=2
g
3
(x) = 2x
1
+ x
2
� 9
g
4
(x) = x
1
� 4
g
5
(x) = �x
1
g
6
(x) = �x
2
= fx : g
i
(x) � 0; i = 1; 2; : : : ; 6g
PSfrag replacements
e� ()
C
�
0
1
1
2
2
3
3 4
A
B
C
D
E
F
x
1
x
2
c
1
c
2
PAVF
c
1999 66
An�alise no espa�co dos objetivos
Espa�co dos objetivos
PSfrag replacements
Y
e� (Y)
0
A
0
= (�12:5; 5)
B
0
= (�2:5; 10)
C
0
= (1;�14)
D
0
= (4;�16)
E
0
= (0; 0)
F
0
= (�10:5; 7)
A
0
B
0
C
0
D
0
E
0
F
0
y
1
y
2
� = �1:50
� = �1:14
� = �0:67
Rela�c~oes com P
w
:
minimizar
x2
wf
1
(x) + (1� w)f
2
(x); w 2 [0; 1]
� No espa�co dos objetivos,
minimizar
y2Y
�y
1
+ y
2
onde � := w=(1� w); w 2 [0; 1)
PAVF
c
1999 67
An�alise no espa�co dos objetivos
Exemplo (cont.)
� A equa�c~ao do hiperplano seria
�y
1
+ y
2
= � ) y
2
= ��y
1
+ �
� No tre�cho A
0
B
0
,
�� = �
w
1� w
= �1:50 ) w = 0:60
� Interpreta�c~ao: com w = 0:60, o objetivo de P
w
minimizar
x2
0:6(x
1
� 3x
2
) + 0:4(�4x
1
+ 2x
2
)
equivale a �x
1
�x
2
, cujas curvas de n��vel s~ao paralelas
ao hiperplano
x
1
+ x
2
� 11=2 = 0
correspondente �a restri�c~ao g
2
(x) (solu�c~oes m�ultiplas)
� Demais solu�c~oes e�cientes podem ser geradas de for-
ma similar
PAVF
c
1999 68
M�etodo do crit�erio global
Normas l
p
Se y 2 R
m
, a norma l
p
de y �e
kyk
p
:=
0
@
m
X
i=1
j y
i
j
p
1
A
1=p
; p � 1
As normas l
1
(soma absoluta), l
2
(Euclideana) e l
1
(in-
�nito) s~ao particularmente �uteis. Curvas de n��veis (kyk
p
=
cte):
PSfrag replacements
y
1
y
1
y
1
y
2
y
2
y
2
l
1
l
2
l
1
M�etodo do crit�erio global
Resolve-se, por exemplo, para p = 1; 2 ou 1
minimizar
x2
0
@
m
X
i=1
(f
i
(x)� y
i
)
p
1
A
1=p
; p � 1
PAVF
c
1999 69
M�etodo do crit�erio global
Exemplo
PSfrag replacements
Y
e� (Y)
0
A
0
B
0
C
0
D
0
E
0
F
0
y
1
y
2
y = (�12:5;�16)
p
=
1
p
=
2
p
=
1
� Minimiza-se a distancia de y ao conjunto Y
� A solu�c~ao �otima depende da medida de distancia (p)
� Diferentes normas re etem diferentes pondera�c~oes so-
bre os objetivos
PAVF
c
1999 70
M�etodo do crit�erio global
Seja
l
p
(x) :=
0
@
m
X
i=1
(f
i
(x)� y
i
)
p
1
A
1=p
; 1 � p <1
Como l
p
(x) �e estritamente crescente (p < 1) em rela�c~ao
a
~
l
p
(x) :=
m
X
i=1
(f
i
(x)� y
i
)
p
; 1 � p <1
minimizar l
p
(x) �e equivalente a minimizar
~
l
p
(x) sobre .
Mas
~
l
p
(x) =
m
X
i=1
(f
i
(x)� y
i
)
p�1
(f
i
(x)� y
i
)
e fazendo w
i
(x) := f
i
(x)� y
i
,
~
l
p
(x) =
m
X
i=1
w
i
(x)
p�1
(f
i
(x)� y
i
); 1 � p <1
� Se p = 1, os desvios em rela�c~ao a y s~ao ponderados
igualmente
� Se p = 2, as pondera�c~oes s~ao proporcionais aos des-
vios
PAVF
c
1999 71
M�etodo do crit�erio global
Quando p!1,
~
l
p
(x) = max
i
f(f
i
(x)� y
i
)g
p
e
l
1
(x) = max
i
f(f
i
(x)� y
i
)g
� Se p =1, minimiza-se o maior desvio em rela�c~ao a y
Proposi�c~ao
Se x
p
minimiza
~
l
p
(x); 1 � p <1 sobre , ent~ao x
p
2
e� ()
Prova: Se x
p
minimiza
~
l
p
(x) sobre , ent~ao
m
X
i=1
(f
i
(x
p
)� y
i
)
p
�
m
X
i=1
(f
i
(x)� y
i
)
p
; 8x 2
Suponha x 2 tal que f(x) � f(x
p
) e f(x) 6= f(x
p
).
Ent~ao existe i tal que f
i
(x) < f
i
(x
p
), o que contraria a
desigualdade acima. Portanto x
p
2 e� () 2
� Eventualmente, x
p
62 e� () se p =1