Cap33 Leis Operacionais

5/12/2018 Cap33 Leis Operacionais - slidepdf.com

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LEIS OPERACIONAISCapítulo 33 do livro:

´The Art of Computer Systems Performance Analysisµ



Leis Operacionais

Relações simples que não necessitam de nenhuma

hipótese sobre as distribuições dos tempos de

serviço ou intervalos entre chegadas.

Foram identificadas inicialmente por Buzen (1976)

e posteriormente estendidas por Denning e Buzen

(1978).

A palavra operacional significa que pode sermedida diretamente.



Quantidades Operacionais

São quantidades que podem ser medidas

diretamente durante um período finito de

observação.

Intervalo de tempo finito T

Número de chegadas Ai

Número de saídas C i

Tempo ocupado Bi



Quantidades Operacionais

i

ii

ii

ii

ii

C

BS

T

BU

T C X

T

A

!!

!!

!!

!!

saídasdenúmero

serviçodetotaltempo serviçodemédioTempo

totaltempo

ocupadotempo Utilização

temposaídasdenúmero Vazão

tempo

chegadasdenúmero chegadadeTaxa P

São todas variáveis que podem mudar de um período de

observação para outro.



Lei da Utilização

iii

i

iiii

S X U

C

B

T

C

T

BU

!

v!!



Exemplo 33.1

Considere o roteador do exemplo 31.1

Os pacotes chegam a uma taxa de 125 pps

O roteador leva uma média de 2 mseg paraencaminhá-los.

%2525,0002,0125Utilização

segundos002,0serviçodeTempo

pps125chegadadetaxasaídadetaxaVazão

!!v!!

!

!!!

iii

i

i

S X U

S

X

Este resultado é válido para qualquer processo de

chegada ou de atendimento!



Lei do Fluxo Forçado

Relaciona a vazão do sistema às vazões dosdispositivos individuais.

Equilíbrio do fluxo de jobs (job flow balance):

se o nosso período de observação T for tal que onúmero de chegadas em cada dispositivo for igual aonúmero de saídas. Isto é, Ai = C i.

Se o período de observação for longo o bastante, a

diferença Ai-C i é normalmente pequena se comparadacom C i.

Será exata se o comprimento da fila inicial for idênticoao comprimento final para cada dispositivo.




2

1 M

i

V i visitas por job

Jobs

visitasdetaxaou

0

0!!!

C

C V V C C

iiii




ii

iii

X V X

T

C

C

C

T

C X

T

C X

!

v!!

!!

palavras,outrasEm

odispositivdoVazão

totaltempo

sfinalizadoJobs sistemadoVazão

0

0

0

A plicável sempre que a hipótese de equilíbrio

do fluxo de jobs for verdadeira.



Leis do Fluxo Forçado e da Utilização

ii

ii

iii

XDU

S X V

S X U i

!

!

!

ou

odispositivésimo-doUtilização

job.dovisitasastodas paraodispositivésimo-

noserviçodetotaldemandaaé Onde

i

S V Diii

!

O dispositivo com o maior valor de Di tem a maior

utilização sendo então o dispositivo gargalo.



Exemplo 33.2

Num sistema de timesharing dados da contabilização

forneceram o seguinte perfil para os programas dos usuários:

Cada programa requer 5 segundos de tempo de CPU, faz 80 pedidos

de I/O ao disco A e 100 pedidos de I/O ao disco B.

O tempo médio ocioso dos usuários foi de 18 seg.

O disco A leva 50 mseg para atender um pedido de I/O, enquanto que

o disco B leva 30 mseg.

Com 17 terminais ativos, a vazão observada do disco A foi de 15,7

pedidos de I/O por segundo. Queremos obter a vazão do sistema e a utilização dos dispositivos.



Exemplo 33.2

O sistema pode ser

representado pelo seguinte

modelo:

DCPU =5 seg,

V A=80, V B=100

Z =18 seg,

S A

=0,050seg

, S

B=0,030

seg,

N =17 e X A=15,7 jobs/seg

Como os jobs devem visitar a

CPU antes de se encaminharem

aos discos ou aos terminais, a

taxa de visitas à CPU é dada por V CPU = V A+ V B +1=181.



Exemplo 33.2

Demanda total de serviço para todos os dispositivos:

Usando a lei do fluxo forçado, as vazões são

Usando a lei da utilização, as utilizações dos dispositivos são

seg3100030,0

seg480050,0

seg5

!v!!

!v!!

!

B B B

A A A

CPU

V S D

V S D

D

g pedidos/se6,191001963,0

g pedidos/se48,351811963,0

jobs/seg1963,080

70,15

!v!!

!v!!

!!!

B B

CPU CPU

A

A

X V X

X V X

V

X X

%8,5831963,0

%4,7841963,0

%9851963,0

!v!!

!v!!

!v!!

B B

A A

CPU CPU

XDU

XDU

XDU



Probabilidades de Transição

pij = Probabilidade de que um job se dirija à j-

ésima fila após ser atendido pela i-ésima fila.

Equivalente às taxas de visitas.

Num sistema com equilíbrio do fluxo de jobs,

Dividindo os dois lados por C 0

§!

!

M

i

iji j pC C

0

1 com 0

0

!!§!

V pV V M

i

iji j



Probabilidades de Transição

Em modelos de servidor central, após o término de serviço em

cada fila, o job sempre retorna à fila da CPU:

Estas probabilidades também se aplicam à entrada e saída

do sistema ( i=0). Portanto,

1, 0

1 11

{!

{!

ji p

i p

ij

i

M j p

p pV V

V V V V

pV

j

j j

M

,,3,2 ,

1

1

10

1

11

321

101

-

.

!!!

!

!



Exemplo 33.3

Considere a rede de filas do exemplo anterior.

As taxas de visitas são: V A=80, V B=100 e V CPU =181.

É fácil observar que após o término do serviço na CPU, as

probabilidades de que os jobs se dirijam ao disco A, disco Bou aos terminais são, respectivamente, 80/181, 100/181 e

1/181.

Portanto, as probabilidades de transição são: 0,4420; 0,5525

e 0,005525.



Exemplo 33.3

Dadas as probabilidades de transição podemos achar as

frações de visitas dividindo-as pela probabilidade de saída:

1811008011

100005525,0

5525,0

80005525,0

4420,0

!!!

!!

!!

B ACPU

B

A

V V V

V

V



Lei de Little

A lei de Little também é uma lei operacional.

Podemos aplicar a lei de Little para relacionar o comprimento

da fila Qi com o tempo de resposta Ri do i-ésimo dispositivo:

Se o fluxo de jobs estiver equilibrado, a taxa de chegadas é

igual à vazão. Portanto:

iii RQ P!

! médiox tempochegadasdetaxamédio Número

iii R X Q !



Exemplo 33.4

O comprimento médio da fila no sistema de

computação do Exemplo 33.2 foi observado como

sendo 8,88; 3,19 e 1,40 jobs, respectivamente na

CPU, disco A e disco B.

Quais foram os tempos de resposta para estes

dispositivos?



Exemplo 33.4

No exemplo 33.2, determinamos as vazões:

X CPU =35,48; X A=15,70 e X B=19,6

As novas informações fornecidas neste exemplo são:

QCPU =8,88; Q A=3,19 e Q B=1,40

Usando a Lei de Little, os tempos de resposta são:

seg071,06,1940,1seg203,070,1519,3

seg250,048,3588,8

!!!

!!!

!!!

B B B

A A A

CPU CPU CPU

X Q R X Q R

X Q R



Lei do

Tempo de Resposta Geral

A Lei de Little pode ser aplicada a qualquer parte do sistema.

O único requisito é que o fluxo de jobs seja equilibrado

naquela parte.

Portanto, se para um dado sistema Q=X R Dados os comprimentos individuais Qi das filas de cada

dispositivo, podemos calcular Q:

Dividindo ambos os lados por X e usando a lei do fluxo

forçado:

M M

M

R X R X R X X R

QQQQ

!

!

.

.

2211

21

§!

!!

M

i

ii M M V R R RV RV RV R

1

2211ou.



Exemplo 33.5

Para o sistema dos Exemplos 33.2 e 33.4, temos que:

V CPU =181; V A=80, V B=100

RCPU =0,250; R A=0,203; R B=0,071

O tempo de resposta do sistema é:

O tempo de resposta do sistema é de 68,6 segundos.

6,68100071,080203,0181250,0 !vvv!

! B B A ACPU CPU

V RV RV R R



Lei do Tempo de Resposta Interativo

Num sistema interativo, os usuários geram pedidos que são

processados pelo subsistema central e os resultados voltam

para o terminal.

Após um tempo ocioso Z , o usuário submete o próximo pedido. Se o tempo de resposta do sistema é R, o tempo total do ciclo

é R+ Z.

Num período de tempo T , cada usuário gera cerca de

T/ ( R+ Z) pedidos.



Lei do Tempo de Resposta Interativo

Num período de tempo T , cada usuário gera cerca de

T/ ( R+ Z) pedidos.

Para N usuários:

? A

Z X N R

Z R N

T

Z RT N

X

!

!

!

!

)(ou

)(

totaltempo pedidosdetotalnúmero sistemadoVazão



Exemplo 33.6

Para o sistema de timesharing do Exemplo 33.2, podemos

calcular o tempo de resposta usando a lei do tempo de

resposta interativo como segue:

X=0,1963; N =17; Z =18

Portanto,

seg6,68186,86181963,0

17!!!! Z

X

N R



Análise do Gargalo

Uma conseqüência da lei do fluxo forçado é que a utilização

dos dispositivos são proporcionais a suas demandas totais de

serviços:

O dispositivo com a maior demanda total de serviço Di tem a

maior utilização e é chamado dispositivo gargalo.

Este dispositivo é o fator chave em limitar uma maior vazão.

Portanto, a identificação do dispositivo gargalo deve ser oprimeiro passo em qualquer projeto de melhora do

desempenho.

ii DU w



Análise do Gargalo

Suponha que identificamos que o dispositivo b é o gargalo.

Isto significa que Db =Dmax é o maior entre D1 , D2 , ... ,D M .

Então a vazão e o tempo de resposta do sistema são limitados

por:

Onde, D =7 Di é a soma das demandas totais de serviço emtodos os dispositivos exceto nos terminais.

_ a Z N D D N R

Z D

N

D N X

u

À¿¾

°¯®

e

max

max

,max)(

e ,1

min)( Limites

assintóticos



Prova

Os limites assintóticos são baseados nas seguintes

observações:

A utilização de qualquer dispositivo não pode exceder a 1. Isto introduz

um limite na vazão máxima alcançável.

O tempo de resposta de um sistema com N usuários não pode ser menor

do que o de um sistema com apenas um usuário. Isto introduz um limite

no tempo de resposta mínimo.

A fórmula do tempo de resposta interativo pode ser usada para

converter o limite da vazão em limite do tempo de resposta e vice-

versa.

A seguir derivaremos os limites baseados nestas observações.



Prova

A utilização de qualquer dispositivo não pode exceder a 1. Isto

introduz um limite na vazão máxima alcançável.

Para o dispositivo gargalo b temos:

max

max

max

1

ou

1

temos1,quedomaior ser podenãoComo

D X

XD

U

XDU

b

b

e

e

!



Prova

O tempo de resposta de um sistema com N usuários não pode

ser menor do que o de um sistema com apenas um usuário.

Com apenas um job no sistema, não há espera em fila e o

tempo de resposta é simplesmente a soma das demandas deserviço:

D N R

D D D D R M

u

!!

)(

seja,Oumaior.serárespostadetempoo portanto,

e,entoenfileiramhaveráusuárioumdemaisCom

)1( 21 .



Prova

A fórmula do tempo de resposta interativo pode ser usada para

converter o limite da vazão em limite do tempo de resposta e

vice-versa.

Z D

N

Z N R

N N X

Z N D Z N X

N N R

e

!

u!

)()(

e

)()(

max



Limites Assintóticos



Joelho

O ponto de interseção das duas retas é chamado de joelho.

O número de jobs N* no joelho é dado por:

Se o número de jobs for maior do que N*, podemos afirmar

com certeza de que há alguma fila no sistema.

max

*

max

*

ou

D

Z D N

Z D N D

!

!



Exemplo 33.7

Para o sistema de timesharing considerado no Exemplo 33.2:

DCPU =5, D A=4, D B=3 e Z =18

D=DCPU + D A+ D B=5+4+3=12

Dmax

=DCPU

=5

Os limites assintóticos são:

_ a _ a185,12max,max)(

30,

5

1min,

1min)(

max

max

!u

À¿¾

°¯®

!

À¿¾

°¯®

e

N Z N D D N R

N

Z D

N

D N X



Exemplo 33.7



Exemplo 33.7

O joelho ocorre em:

Se houver mais do que 6 usuários no sistema,

haverá certamente algum enfileiramento no sistema.

65

30

5

1812

ou

18512

*

*

!!

!

!

N

N



Exemplo 33.8

Quantos terminais podem ser suportados pelo sistema detimesharing do Exemplo 33.2 se o tempo de resposta tiver queser mantido abaixo dos 100 segundos?

Usando os limites assintóticos para o tempo de resposta

obtemos R(N) u max{12,5 N -18}

O tempo de resposta será menor do que 100 se

5 N -18 u 100, ou seja se N u 23,6 o tempo de resposta

será maior do que 100. Portanto o sistema não pode suportar mais do que 23 usuários

se o tempo de resposta deve ser inferior a 100.

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